ANEXO 2 Considere el sistema de la figura. 1. Analice la respuesta en frecuencia de la planta 5/s. Grafique los diagramas de Bode y Nyquist y analice los resultados obtenidos. 2. Diseñar un compensador en adelanto para que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en
2±2√ 3
Compruebe el diseño usando matlab o scilab, a través del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado, demostrando que los polos deseados se encuentran en él. Demostrar igualmente que se cumple con la frecuencia natural no amortiguada y coeficiente de amortiguamiento deseados (calcúlelos a partir de la posición de los polos deseados). Simule la respuesta del sistema compensado ante entrada escalón unitario y determine los parámetros del estado transitorio de dicha respuesta y el error en estado estable.
3. Para el siguiente sistema:
1 54
1
a) Analizar su respuesta en el tiempo ante entrada escalón (calcula r los parámetros de la respuesta transitoria y error en estado estacionario ante entrada escalón unitario). Comprobar los resultados mediante simulación b) Diseñar un PID para que el sobreimpulso en lazo cerrado ante entrada escalón sea máximo del 15%, con un tiempo de establecimiento de 2 segundos máximo. Comprobar el diseño usando matlab-scilab
2
ANEXO 2 Considere el sistema de la figura. 1. Analice la respuesta en frecuencia de la planta 5/s. Grafique los diagramas de Bode y Nyquist y analice los resultados obtenidos. 2. Diseñar un compensador en adelanto para que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en
2±2√ 3
Compruebe el diseño usando matlab o scilab, a través del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado, demostrando que los polos deseados se encuentran en él. Demostrar igualmente que se cumple con la frecuencia natural no amortiguada y coeficiente de amortiguamiento deseados (calcúlelos a partir de la posición de los polos deseados). Simule la respuesta del sistema compensado ante entrada escalón unitario y determine los parámetros del estado transitorio de dicha respuesta y el error en estado estable.
3. Para el siguiente sistema:
1 0,51 a) Analizar su respuesta en el tiempo ante entrada escalón (calcular los parámetros de la respuesta transitoria y error en estado estacionario ante entrada escalón unitario). Comprobar los resultados mediante simulación b) Diseñar un PID para que el sobreimpulso en lazo cerrado ante entrada escalón sea máximo del 15%, con un tiempo de establecimiento de 2 segundos máximo. Comprobar el diseño usando matlab-scilab 3
b) Demostrar, utilizando matlab, simulink o scilab, que el rango encontrado en el ítem anterior es correcto.
1 1 0,51 1 11 6 1 1 16 1 1 6 1 1 6 1 6 1 1 6 1 ∗ 1 6 1 6 ∗ [ 6 1] [ 1 Simplificamos y tenemos que
1 1 6 1 Solucionando el denominador tenemos
4
61
1 6 6 1 5 6 6 En el denominador tenemos 2 veces la letra s simplificamos por factor común y Por lo tanto nuestra ecuación característica es:
1 5 6 6
Para realizar el análisis de Routh-Hurwit sacamos los coeficientes quedando:
1 5
6 430 5 1
|15 6| 5
Solucionando tenemos
5 ∗ 6 530 430 5 5 5 Como podemos observar debemos de realizar el análisis en
430 5
Ya que nos representa el complejo del sistema y determina la estabilidad del sistema Como podemos ver el valor mínimo es determinado por el numerador, por lo tanto lo igualo a cero para determinar a partir de que valor el resultado cambia de signo.
4300 Despejando tenemos que
7,5 í í . . Por lo tanto
> 0 > 0
6
Como podemos ver en 7.5 comienza la atenuación luego de pasar por el punto de 1.
2. Se tiene el siguiente sistema en lazo cerrado: 7
Donde
13 a) Hallar el valor de K para que dicho sistema tenga un error en estado estacionario del 5% ante una entrada escalón de magnitud 8. Calcule la constante estática de error de posición.
Tenemos que es un sistema de tipo cero
= →
=+
Resolviendo tenemos que 8
= → 13 = 3
5%0.05 =+
Como decíamos: para impulso=8 y para
Reemplazamos
1 0.05 1 3 Resolviendo
1 0.05 3 3 Simplificamos
1 1 3 0.05 3 3 0.05 3 30.05∗3 3 3 0.05 60 3 60 3 57 b) Demostrar mediante simulación que el valor de K hallado en el ítem anterior es correcto.
9
13 43
c) Calcular los parámetros de la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado con la ganancia encontrada K (ganancia ( ganancia en lazo cerrado, coeficiente de amortiguamiento, frecuencia natural no amortiguada, frecuencia natural amortiguada, valor final, sobreimpulso, tiempo pico, tiempo de establecimiento y tiempo de subida).
10
57 4357 57 460 Analizando la ecuación tendríamos que
57 60 Reemplazando y despejando
∗6057 0,95
el factor de atenuación
2ζ 4 ζ 42
es
a ζ 2
como
60 la frecuencia natural no amortiguada es
√ 60 60 Reemplazando (b) en (a) tenemos
c ζ√ 602 6 02 Despejando tenemos el factor de amortiguación
ζ √ 260 60 0.258 11
la frecuencia natural amortiguada es
∗ 1 ζ √ 60 60 ∗ 1 0.258 7.46∗ √ 10.066 1 0.066 7.46∗0.966 ≅7.4 Tiempo pico
0.42 7.48 42 Tiempo establecimiento con criterio del 2%
ζ4 42 2
12
Tiempo de sobreimpulso
%.100∗
∗ −−
1 %.100∗ ∗ − %.100∗
1
0.258∗. −0.258
%.100∗ 0.181 . 1 %.100∗ . 1 %.100∗ 2.31 %.43.23%
13
Tiempo subida (rise time)
− − (7.42 ) 1,3 1,3 7,4 3,14161,3 7,4 ≅ 0.2
d) Simular el sistema ante entrada escalón unitario y comprobar los valores hallados en el ítem c
Como podemos ver los datos coinciden con los calculos
14
Para el siguiente sistema:
1 54 Podemos observar que esta es una función de segundo la cual se presenta de la siguiente forma:
2 a. Desarrollamos la función de transferencia de la siguiente forma
1 4 54 ∗ 4 4 4 54 → cuencia a natur natural al no amorti amortigguada uada , así: Procedemos a calcular la F r ecuenci
4 → √ 4 → Luego procedemos a hallar el coeficiente de amortiguamiento, así:
2 5 5 2 ∗ 2 5 → 4 →, Ahora se halla el Tiempo pico, con la siguiente siguiente fórmula:
15
fr ecuenc uencii a nat natural amortiguad rtiguada Donde la fre
es:
1 2 1,25 1,25 1 → , → 1,5 → ,. Luego se calcula el tiem ti empo po de levantami levantamiento, ento, según:
Donde:
tan−
Donde:
→1,25∗2→, 1,5 − →tan (2,5)→, → 0,54 → , 1,5 Luego hallamos el sobrepaso máximo porcentual así: así:
( ) 16
%100→, ti empo po de asentamiento, asentami ento, así: Ahora hallamos el tiem
4 4 4 → → 1,25∗2 → , Criterio del 2% Ahora para entrada escalón unitario en estado estacionario tenemos:
1 1 Donde:
í:
lim → 1 lim → 54 → Entonces:
1 1 →, 14 Referencias bibliográficas 17
Ñeco, R., Reinoso,O. y García,N. (2013). Diseño de reguladores PID continuos. Método del lugar de las raíces. En: Apuntes de sistemas de control (1 (1 ed). Alicante, España: Ed ECU. Recuperado en http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10740996&ppg=24 Ñeco, R., Reinoso,O. y García,N. (2013). Análisis dinámico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia. En: Apuntes Apu ntes de sistemas de control (1 ed). Alicante, España: Ed ECU. Recuperado en http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10740996&ppg=24 Burns, R. (2001). Classical design in the s-plane. En: Advanced control engineering (1 ed). ed ). Oxford, Inglaterra: Ed Butterworth-Heinemann. Recuperado en http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2069/science/article/pii/B9780750651004500061 Ogata, K. (2010). Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces. En: Ingeniería de control moderna (5 ed)(pp. 308-398). Madrid, España: Ed Pearson Ogata, K. (2010). Análisis y diseño de sistemas de control por el método de la respuesta en frecuencia. En: Ingeniería de control moderna (5 ed)(pp. 398-477). Madrid, España: Ed Pearson. Controltheoryorg (2012). Representaciones gráficas de la respuesta frecuencial . Recuperado en http://www.youtube.com/watch?v=ntLgk1oVLZk en http://www.youtube.com/watch?v=ntLgk1oVLZk
18
