MTE3103 Geometri
Topik 3
3.1
Pepejal Sekata dan Separa Sekata
Sinopsis
Dalam topik 1 dan 2, kita mempelajari corak-corak 2-dimensi dalam satah.
Kita akan
mengkaji bentuk 3-dimensi yang dibina dari poligon-poligon sekata. Pepejal Platonik adalah pepejal sekata yang berbucu cembung (convex regular solid). Pepejal Archimedean adalah pepejal separa sekata yang juga berbucu cembung serta Pepejal Kepler-Pointsot yang berbucu cekung.
3.2
Hasil Pembelajaran
1.
Mengukuh dan membina pengetahuan tentang konsep asas geometri
2.
Meningkatkan kemahiran dan pengetahuan tentang teknik untuk pembinaan geometri yang tepat
3.
Menghargai peranan dan sejarah geometri
4.
Menghubungkait geometri dalam kurikulum matematik sekolah rendah dan menengah.
3.3
Kerangka Konseptual
Pepejal Sekata dan Separa Sekata
5 Pepejal Platonik
Bucu, Muka & Sisi
Pepejal Archimedes
33
Pepejal KeplerPointsot
MTE3103 Geometri
3.4
Pepejal Platonik
Rajah 3.1 di bawah menunjukkan lima jenis pepejal Platonik.
Pepejal-pepejal ini
dinamakan tetrahedron, kiub (heksahedron), oktahedron, dodekahedron dan ikosahedron. Semua nama ini berasal dari perkataan Greek yang merujuk kepada bilangan permukaan pepejal.
3.4.1
Nama-nama pepejal Platonik
Cuba cam dan namakan setiap pepejal Platonik dalam Rajah 3.1 di bawah, berdasarkan poligon yang membentuk permukaan pepejal dan bilangan permukaan yang membentuk pepejal tersebut (tetrahedron, kiub, oktahedron, dodekahedron dan ikosahedron)
Rajah 3.1
Pepejal Platonik di atas dikelaskan ke dalam kumpulan polihedra. Polihedron adalah pepejal yang disempadani poligon satah (plane poligons). Poligon-poligon tersebut membentuk muka (faces). Permukaan-permukaan ini bertemu di sisi (edges), titik pertemuan di mana tiga atau lebih sisi dipanggil bucu (vertices).
Fikir sejenak Semua permukaan pepejal Platonik mempunyai poligon sekata. Hanya 5 jenis pepejal sekata yang mungkin. Kenapa?
34
MTE3103 Geometri
3.4.2 Hubungan pepejal Platonik dengan unsur alam semulajadi
Pepejal
Platonik
mula
ditemui
dan
diketahui
pada
zaman
Plato
(427 – 347 S.M). Tapi perlu di ingatkan pepejal Platonik bukan ditemui oleh Plato. Pepejal-pepejal ini dinamakan sedemikian kerana kajian-kajian yang dibuat oleh beliau dan pengikut-pengikutnya. Plato percaya tentang perkaitan mistikal antara empat pepejal tersebut dengan empat unsur alam semulajadi seperti berikut:
Kiub
Bumi
Tetratedron
Api
Oktahedron
Udara
Ikosahedron
Air
Dodekahedron menyeliputi keseluruhan alam semesta.
3.4.3 Definisi Polihedra
Semua polihedron adalah 3-dimensi di mana permukaan-permukaannya terdiri dari satah poligon. Dalam bahasa Greek ‘poly’ bermaksud banyak dan ‘hedron’ bermaksud permukaan banyak. Polihedron sekata adalah polihedron
yang
mempunyai
permukaan-permukaan
poligon
sekata.
Permukaan-permukaan ini hanya terdiri dari satu jenis poligon sahaja.
35
MTE3103 Geometri
Aktiviti 1: Menyiasat bilangan poligon yang boleh membentuk bucu 1. Potong bentuk poligon sekata, segitiga sama sisi sebagai templat. 2. Dengan menggunakan segitiga sisi sama sebagai tempat, cuba bina bentangan (net) polihedra sekata. Hasilkan satu bentangan yang terdiri dari 6 segitiga. Cuba cantumkan poligon-poligon di bawah untuk mendapat satu pepejal. Adakah anda dapat membentuk pepejal? Kemudian cuba dengan bentuk segiempat sama dan pentagon. Adakah anda dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung, jika sudut adalah sama dengan 3600? Peringatan: Untuk membentuk objek 3-dimensi, kita mesti cantumkan sekurangnya 3 permukaan untuk bertemu di bucu. Jika anda mencuba dengan 2 poligon sahaja anda tidak akan dapat membentuk bucu pepejal). 3. Kenapa kita tidak dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung (convex 3-dimensional figure) dengan 6 permukaan bertemu pada satu bucu?
Kita tidak dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung dengan 6 permukaan bertemu pada satu bucu kerana sudut segitiga sama sisi ialah 600, maka 6 x 600 = 3600. Tetapi untuk membina pepejal 3-dimensi berbucu cekung (concave 3-dimensional figure) kita boleh guna lebih dari 6 permukaan atau lebih 3600. Bermakna bilangan segitiga yang bertemu pada satu bucu untuk membentuk pepejal 3-dimensi berbucu cembung ialah 3, 4 atau 5 seperti yang ditunjukkan di rajah di sebelah.
36
MTE3103 Geometri
Tetrahedron: Tiga segitiga pada satu bucu : 3 x 600 = 1800 Okhtahedron: Empat segitiga pada satu bucu : 4 x 600 = 2400 Ikosahedron: Lima segitiga pada satu bucu : 5 x 600 = 3000
Kiub: Tiga segiempat sama pada satu bucu : 3 x 900 = 2700
Dodekahedron: Tiga pentagram sekata pada satu bucu : 3 x 1080 = 3240
Perhatikan untuk membentuk polihedron berbucu cembung sekata (convex regular polyhedron), jumlah sudut perrmukaan pada satu bucu tidak boleh melebihi 3600.
Oleh itu, hanya ada lima polihedra sekata yang berbucu cembung sahaja dapat membentuk 5 pepejal platonik.
37
MTE3103 Geometri
Bukti : (i)
jumlah sudut semua permukaan yang bertemu pada satu bucu mesti kurang dari 3600.
(ii)
Pada setiap bucu sekurang-kurangnya hanya tiga segitiga sama sisi yang bertemu pada satu bucu boleh diwakilkan dengan simbol Schläfli (3,3). Simbol Schlafli (p,q) bermakna poihedron mempunyai permukaan polygon sekata p-sisi dengan q poligon bertemu pada satu bucu.
Simbol Schlafli (p,q)
Poligon sekata p-sisi
bilangan polygon yang bertemu pada satu bucu.
Aktiviti 2: Membina Pepejal Platonik
Buat model setiap jenis pepejal Platonik. Gunakan bentangan yang sesuai. Selepas anda membuat setiap pepejal Platonik, perhatikan dan buat analisa dari segi permukaan, sisi dan bucu. Kemudian isikan Jadual 1. Dengan menggunakan program Geometers Sketch Pad (GSP) lukiskan kesemua bentangan-bentangan yang mungkin untuk setiap jenis pepejal Platonik. [Nota : Anda boleh gunakan bentangan yang disediakan – Lampiran-lampiran 3A. Walaubagaimanapun anda mestilah menggunakan skala yang tepat agar dapat membina pepejal yang kemas dan cantik. Cadangan: Untuk mendapat pepejal yang cantik dan menarik, cetakkan bentanganbentangan menggunakan kertas bercorak.]
Sila layari internet dan cari bahan-bahan yang berkaitan dengan pepejal Platonik (Platonic solids)
38
MTE3103 Geometri
Lengkap jadual di bawah berdasarkan kefahaman anda terhadap topik ini.
Pepejal
Nama pepejal Platonik
Bilangan Permukaan pada satu bucu Simbol Schlafli (p,q) Bilangan Permukaan (F) Bilangan bucu (V) Bilangan sisi (E) Dual
JADUAL 1
39
MTE3103 Geometri
3.4.4
Dual pepejal Platonik
Sila rujuk Jadual 1. Anda akan dapat perhatikan perkaitan yang rapat di antara simbol Schlafli (p,q) untuk setiap pepejal Platonik. Misalnya simbol Schlafli untuk kiub ialah (4, 3) dan oktahedron ialah (3, 4). Bilangan sisi kedua-duanya adalah sama iaitu 12. Bilangan permukaan untuk kiub adalah sama dengan bilangan bucu oktahedron dan sebaliknya. Maka dikatakan dual untuk kiub adalah oktahedron dan sebaliknya. Begitu juga dengan dodekahedron dan ikosahedron. Simbol Schlafli (p,q) untuk dodekahedron ialah (5,3) dan ikosahedron ialah (3, 5). Bilangan sisi untuk kedua-duanya adalah 30. Maka dodekahedron adalah dual untuk ikosahedron dan sebaliknya. Untuk tetrahedron, dualnya ialah tetrahedron juga.
3.5
Bucu, Muka dan Sisi
Sekarang anda telah meghasilkan pepejal platonik, anda boleh mengkaji muka, bucu dan sisi pepejal-pepejal tersebut. Pertama, kita tahu berapa bilangan permukaan untuk setiap pepejall (kecuali kiub) dengan nama tersendiri.
Walau bagaimanapun, kita boleh
mengkaji setiap pepejal dan mengira bilangan permukaan bagi setiap pepejal tersebut. Kita boleh mendapatkan cara berkesan untuk mendapatkan bilangan permukaan polihedron. Contohnya, jika sebuah dodekahedron diletakkan pada meja yang rata, anda dapat melihat muka atas, satu pada bahagian bawah, lima berada di bahagian atas dan lima pada bahagian bawah, menjadi 1 + 1 + 5 + 5 = 12 kesemuanya. Sebenarnya, mengira bilangan muka dengan cara ini akan membuat anda mengenali pepejal dan membantu anda mengetahui bilangan muka dan sisi pepejal.
40
MTE3103 Geometri
Kita ambil contoh untuk dodekahedron.
Dodekahedron mempunyai 12
muka, setiap muka adalah pentagon sekata dengan setiap muka mempunyai 5 sisi. Jadi jika kita mengira setiap muka berasingan, kita akan dapat 5 X 12 = 60 sisi kesemuanya. Tapi setiap sisi pada dodekahedron mencantumkan dua muka, maka cara kiraan ini akan mengira kesemua sisi sebanyak dua kali. Jadi bilangan sisi sebenar adalah 60 ÷ 2 = 30. Sekarang setiap sisi bertemu pada dua bucu. Jadi jika kita mengira setiap sisi berasingan kita akan dapat 2 X 30 = 60 bucu. Tapi untuk dodekahedron, tiga sisi bertemu pada setiap bucu jadi kita akan mengira setiap bucu sebanyak tiga kali. Jadi, sekali lagi bilangan bucu adalah 60 ÷ 3 = 20.
Apakah formula umum untuk mengira bilangan muka, bucu dan sisi suatu poligon ?
3.6
Pepejal Arcimedes
Pepejal Archimedean adalah pepejal separa sekata (semi regular solids) kerana ia terbentuk dari dua atau lebih poligon cekung sekata (regular convex polygon).Ciri utama pepejal Archimedean ialah setiap permukaan adalah poligon sekata dan pada setiap bucu, poligon-poligon berulang dalam susunan yang sama, misalnya heksagon-heksagon-segitiga pada ‘truncated tetrahedron. Terdapat dua atau lebih poligon sekata pada pepejal Archimedean dan polihedron tersebut perlulah cembung.
Terdapat 13 jenis pepejal Archimedean (pepejal separa sekata) 1.
(3, 4, 3, 4) kuboktahedron
2.
(3, 5, 3, 5) ikosidodekahedron
3.
(3, 6, 6) truncated tetrahedron (truncated merujuk kepada proses di mana bucu yang di potong) 41
MTE3103 Geometri
4.
(4, 6, 6) truncated oktahedron
5.
(3, 8, 8) truncated kiub
6.
(5, 6, 6) truncated ikosahedron
7.
(3, 10, 10) truncated dodekahedron
8.
(3, 4, 4, 4) rhombikuboktahedron, (juga dipanggil rhombikuboktahedron kecil)
9.
(4, 6, 8) truncated kuboktahedron, (juga dipanggil rhombikuboktahedron besar)
10.
(3, 4, 5, 4) rhombikosidodekahedron,
11.
(4, 6, 10) truncated ikosidodekahedron,
12.
(3, 3, 3, 3, 4) snub kiub, snub kuboktahedron (snub adalah proses mengelilingkan satu-satu poligon dengan segitiga)
13.
(3, 3, 3, 3, 5) snub dodekahedron (snub ikosidodkahedron)
Rujuk kepada Lampiran 3.11 (Pepejal Archimedean)
Aktiviti 3: Membina pepejal Archimedean
Anda boleh guna beberapa bentangan yang disediakan dalam lampiran 3B. Cadangan : cetak guna kertas yang mempunyai corak yang menarik.
42
MTE3103 Geometri
3.7
Pepejal Kepler-Poinsot
Polihedron bukan berbucu cekung sekata (Regular non-convex polyhedron)
Juga dinamakan polyhedron bintang sekata (regular star polyhedra)
Kesemua permukaan adalah poligon sekata kongruen (All the faces are congruent (identical) regular polygons)
Bilangan permukaan yang bertemu pada kesemua bucu adalah sama.
Terdapat empat jenis pepejal Kepler-Poinsot.
(i)
Stellated dodekahedron kecil
12 permukaan, 12 bucu, 30 sisi
Dualnya ialah Dodekahedron besar
Simbol Schläfli ialah { 𝟐, 5}
Terdiri dari 12 permukaan pentagram
𝟓
(ii)
Dodekahedron Besar
12 permukaan, 12 bucu, 30 sisi
Permukaan cekung
Simbol Schläflinya ialah {5, 𝟐 }
Merupakan
𝟓
polihedra
berbucu
cekung
polyhedral).
Dualnya ialah stellated dodekahedron kecil 43
sekata
(concave
regular
MTE3103 Geometri
(iii)
Stellated Dodekahedron Besar
12 permukaan, 20 bucu, 30 sisi
Permukaan adalah cekung.
Simbol Schläflinya ialah {𝟐, 3}
Dualnya ialah Ikosahedron Besar
𝟓
(iv)
Ikosahedron besar
20 permukaan, 12 bucu, 30 sisi
Simbol Schläflinya ialah {3, 𝟐 }
𝟓
[Type a quote from the document or the summary of an interesting point. You can position the text box anywhere in the Aktiviti 4: Membina pepejal Kepler-Poinsot document. Use the Text Box Tools tab to change Anda boleh guna beberapa bentangan yang disediakan the dalam lampiran 3C.pull formatting of the quote text box.] Cadangan : cetak guna kertas yang ada corak yang menarik. Dualnya ialah Stellated dodekahedron besar
--SELAMAT MENCUBA SEMOGA BERJAYA—
44
