“Año del buen Servicio al Ciudadano”
PROFESOR: Dr.
Jorge R. Gonzales C.
ASIGNATURA: Tópicos
De Análisis Microeconómico
Incertidumbre y la Conducta de los Consumidores INTEGRANTES:
-
Balda Canales Augusto Robín Smick Díaz Zapata Juan Pablo Sosa Amaya Belén Carolina
17
1. Don Pedro es propietario de un departamento cuyo valor es de $250.000 y está evaluando la posibilidad de contratar un seguro contra destrucción parcial del inmueble (por incendio, etc.). El costo de la prima del seguro es de $9.900 y en caso de ocurrencia del siniestro le paga un monto de $122.625. Si la probabilidad de ocurrencia del incidente incidente es de 0,08 0,08 y la pérdida que genera es de $127.500: a. ¿Decidirá Don Pedro Pedro asegurar asegurar el departamento si su función de utilidad es: U = W ½? ¿Por qué? b. Calcular la ganancia esperada de la compañía de seguros y compararla con el valor esperado. Explicar la relación. c. Hallar la probabilidad de ocurrencia del siniestro que deja indiferente a Don Pedro entre asegurar o no la l a casa. Solución: a. Para evaluar la decisión de asegurar el departamento. Don Pedro debe comparar la utilidad que obtiene con la opción cierta con la lograda lograda con la opción incierta. incierta. En este caso, contratar el seguro del departamento representa la opción cierta y arriesgarse a que el siniestro no ocurra, la incierta. U sin seguro (incierta) = W½ = (250.000 – 9.900)½ 9.900)½ = 490 UE con seguro (cierta) = W½ = 0,08 (122.500)½ + 0.92 (250.000)½ W½ = 0.08 * 350 + 500 * 0.92 = 488 Luego, la utilidad esperada de contratar el seguro (cierta) es mayor que la proporcionada por la no contratación contratación (incierta), por lo que elegirá contratarlo. b. Asumimos que la compañía aseguradora posee una función de beneficio como la siguiente: П = prima – x* x* c П= 9.900 – 0,08 0,08 * 122.625 = 90 Siendo el beneficio П, que está compuesto por la prima (ingreso), menos la probabilidad (x) de que ocurra el siniestro multiplicado por el monto asegurado (c = costo). Lo cual determinaría una ganancia esperada de $90. c. Para hallar la probabilidad del siniestro (x) que deja indiferente al Don Pedro entre asegurar o no el departamento se debe plantear una ecuación que iguale la Utilidad con seguro a la Utilidad sin seguro y que tenga como variable la nueva probabilidad de ocurrencia del siniestro: siniestro: U con Seguro = 490 = x * 350 + (1 – x) x) 500 = UE sin seguro 350x + 500 – 500x 500x = 490 -150x = - 10 x = 0,066… Si el siniestro tuviera una probabilidad de ocurrencia del 0,066 0,066 Don Pedro estaría estaría indiferente entre contratar contratar o no el seguro. 2. Un chacarero puede plantar soja o maíz. A su vez, las ganancias que obtendría dependerían de un “evento de la naturaleza”, en este caso el clima. Por lo tan to sus ganancias son:
Lluvias Normales 46.00 31.00
Soja Trigo
Sequía 15.000 24.000
La probabilidad de lluvia es del 50% y la probabilidad de sequía de un 50%. La función de utilidad del chacarero es: donde W = ingreso neto. a. Si debe elegir entre soja o trigo, ¿Cuál elegirá sembrar? b. Si puede optar entre distintas proporciones de ambos cultivos (ingreso proporcional al al área sembrada), ¿Cuánto ¿Cuánto sembrará de de cada uno? uno? c. Si existe un seguro para los que sólo cultivan soja que paga $4500 si llueve y cuesta $2.000, ¿Cambiará su decisión? Solución: a. Calculamos la utilidad esperada de cada alternativa. Donde UEs es la utilidad esperada de cultivar soja y UEm es la utilidad esperada de cultivar trigo. tr igo. UEs = 0,5 [ U(46.000) + U(15.000)] UEs = 0,5 [ln 46.000 + 100 + ln 15.000 + 100] UEs = 110,1761 UEt = 0,5 [ U(31.000) + U(24.000)] UEt = 0,5 [ln 31.000 + 100 + ln 24.000 + 100] UEt = 110,2138 Siendo la utilidad esperada de cultivar trigo más alta que la de cultivar soja, elegirá cultivar la primer semilla. b. En este caso el individuo debe elegir la proporción X de soja y (1-X) de trigo que maximiza su utilidad esperada considerando los posibles estados de la naturaleza. Si llueve normalmente las ganancias ganancias serán: 46.000* 46.000* X + 31.000* (1X) 15.000 X + 31.000 Si hay sequía las ganancias serán: 15.000* X + 24.000* (1-X) = -9.000 X + 24.000 Considerando estas posibles ganancias y la probabilidad de ocurrencia de cada caso, maximiza la Utilidad esperada a partir de la proporción de siembre X, que es la incógnita. Max UEsm = 0,5 [U (15.000 X + 31.000) + U(-9.000 X + 24.000)] = 0,5 [ln(15.000 X + 31.000)+ 100 + ln(-9.000 X + 24.000) + 100]
∂UEsm/∂X = 0,5 [15.000 / (15.000 X + 31.000) – 9.000 / (-9.000 X + 24.000)] = 0
Despejando la igualdad anterior para hallar X: 15.000 / (15.000 X + 31.000) = 9.000 / (-9.000 X + 24.000) 9.000 = 30.000 X X= 3/10 y, por lo tanto, (1-X) = 7/10 De forma tal que el chacarero destinará 30% de su tierra a la soja y el 70% al maíz. Reemplazando en la función de utilidad esperada: UEst = 0.5[ln(15.000 * 0.3+ 31.000)+ 100 + ln(-9.000 * 0.3 + 24.000) + 100] UEst = 0.5[ln(35.500)+ 100 + ln(21.300) + 100] UEst = 110,2219 c. Si suponemos que el chacarero cultiva sólo soja y contrata el seguro: Si llueve sus ganancias serán: 46.000 – 2000 = 44.000 En caso de sequía sus ganancias serán: 15.000 + 4.500 – 2000 = 17.500 La utilidad esperada de esta decisión es: UE = 0,5 [U(44.000) + U(17.500)] UE = 0,5 [ln(44.000)+ 100 + ln(17.500) + 100] UE = 110,2310 Dado que es mayor a la utilidad esperada de diversificar la producción calculada en el inciso anterior, la decisión óptima para el individuo será cultivar solamente soja contratando el seguro, y no diversificar. 3. A un agente se le presenta una lotería que paga 0 a 1000 con probabilidad 1/2. Ofrece la opción de También se le ofrece la opción de tomar 250 con certeza.
*+ ⁄
} [] √ [] ⁄ *+ Suponga que
; ¿Qué acción toma el agente?
Agente es diferente entre y Nótese que en este caso
4. Considere las siguientes loterías:
En este caso el agente prefiere
Gráfica: La función de Utilidad Elemental
5. Supongamos el caso entre un individuo y una aseguradora, donde: w es la riqueza inicial del individuo; p es la probabilidad de ocurrencia de un siniestro; es la cantidad perdida en caso de que ocurra el siniestro; q es la cantidad asegurada y es la cantidad que se le paga a la compañía por el seguro. ¿Cuánto asegura el individuo?¿cuánto cobra la compañía?¿el individuo se asegura?
Solución:
} ( ) ) (
Ahora se observa el problema para la compañía aseguradora:
} ( )
Suponga que la competencia entre las aseguradoras hace que los beneficios esperados sean 0;
Volviendo a la ecuación (1)
De esta manera el individuo asegura el total de la pérdida.
Gráfica: La Demanda de Seguros
Si U es cóncava (el individuo es adverso al riesgo
El agente sí se asegura, y además se asegura por el total de la pérdida.
6. Un consumidor con una riqueza inicial w=600 u.m está pensando en comprar un cupón de la ONDE que cuesta 200 u.m. le daré un premio de 2000 u.m si le toca. Sus preferencias sobre riqueza cierta son U=w. Es falso que: a. Siempre que la probabilidad de que toque el cupón sea comprará el cupón. Verdadero: Un individuo l adverso el riesgo si obtiene más utilidad esperada con una riqueza o segura. En términos analíticos, el individuo es adverso al riesgo si la función de utilidad que representa sus preferencias sobre la riqueza cierta
es cóncava, lo cual se cumple si b. Siempre que la probabilidad de que toque el cupón sea indiferente entre comprar o no el cupón.
será
El coeficiente de adverso al riesgo de Pratt, R, relaciona la riqueza cierta del
individuo con el grado de aversión al riesgo y se obtiene como , de forma que el individuo es más adverso cuanto mayor es el valor de dicho coeficiente. Si las preferencias del individuo son , el
coeficiente de aversión toma el valor Como
Cuanto mayor es la riqueza menos adverso es el individuo
7. Usted está haciendo una pregunta test para un exámen. El enunciado del test contiene 4 respuestas de que solo una es acertada. Suponga que usted no sabe la respuesta, pero: Si no responde a la pregunta (decisión ) le dan una puntuación de 0 puntos. Si responde a la pregunta (decisión ) y lo hace acertadamente le dan una puntuación de 0.5 puntos y si lo hace erróneamente le dan una puntuación de -0.25 puntos.
Si llamamos w a la puntuación que obtiene en la pregunta, señale la respuesta falsa. a. Si sus preferencias son U=W
Las decisiones del consumidor son comprar el cupón )n o no comprarlo ). Los estados del mundo son que le toque el cupón o que no se le toque , con probabilidades respectivas y . Como no nos dicen el valor exacto de p, éste genéricamente puede ser ; y por lo tanto , siendo Si llamamos y a los resultados de una decisión dependiendo de lo que le toque o no, el plan de consumos contingentes del individuo es:
DESICIONES
: Comprar el cupón : No comprar el cupón
ESTADOS DEL MUNDO
, le toca el cupón
, le toca el cupón
El consumidor racional elige la lotería, asociada a la decisión, que le proporciona la mayor utilidad esperada, y si las preferencias sobre renta cierta vienen representadas por la función U=w, la utilidad esperada que puede obtener es:
Como
, se cumple que UE
Por tanto, el individuo preferirá comprar el cupón, siendo correcta la respuesta. 8. Un consumidor con una renta de W=3.000.000 u.m. se está planteando comprar un coche. En el concesionario le dicen que si lo compra hoy existe un coche de oferta que le cuesta 2.000.000. Sin la oferta, el mismo coche le costaría 2.400.000. El consumidor puede esperar a comprarlo la semana próxima, pero existe el riesgo de que otro comprador se le adelante y compre el coche de oferta. Si la probabilidad de la existencia de este otro comprador (estado del mundo 1) es p=0.5 y la función de utilidad del consumidor sobre la riqueza cierta es de la forma U=W, entonces: El consumidor prefiere comprar el coche la semana próxima, el plan de consumo contingente es:
a. El consumidor es indiferente entre comprar el coche hoy o la semana próxima.
Los estados del mundo son que exista otro comprador o no , con probabilidades respectivas p=0.5 y (1-p)=0.5. Siendo y los resultados de una decisión dependiendo de que exista o no otro comprador, el plan de consumos contingentes del individuo es: DESICIONES
ESTADOS DEL MUNDO
, existe otro comprador
: Comprar hoy
, no existe otro comprador
=
=
:Comprar otro día
=
La utilidad esperada que podemos obtener con cada lotería, asociada a una decisión es:
Como UE , el individuo elige la lotería que le proporciona mayor utilidad esperada, preferirá comprar hoy el coche, siendo falsa la respuesta.
9. Un individuo tiene unas preferencias por la riqueza cierta representadas por la función U=W. Dispone de 110 euros den renta y se plantea invertir 10 euros en la Bolsa, sabiendo que probabilidad de que el rendimiento de la inversión sea negativo y pierda la mitad de la inversión es del 40% y que la probabilidad de que el resultado sea positivo con una ganancia de M euros es del 60% a. La ganancia M debe ser al menos de 3.33 euros para que se dedica a invertir en Bolsa. Correcta: Los estados del mundo son que exista evolución negativa de laBolsa o , con probabilidades respectivas p=0.4 y (1-p)=0.6. Las decisiones son invertir en Bolsa o no, con resultados y , dependiendo de que la evolución de la Bolsa sea negativa o positiva. Analizamos cuál es el valor mínimo de ganancia, M, que hace que el consumidor prefiera invertir en Bolsa, por lo cual el plan de consumos contingentes del individuo es:
DESICIONES
ESTADOS DEL MUNDO
, evolución negativa
, evolución positiva
: Invierte en Bolsa :No invierte en Bolsa
La utilidad esperada que podemos obtener con la lotería asociada a cada decisión es: Para que UE , se tiene que cumplir que la ganancia mínima que hace que el individuo prefiera invertir en Bolsa sea M con lo cual la respuesta es correcta.
10. Un individuo que tiene una renta W=9.000 euros, tiene que hacer la declaración de la renta. Si lo hace correctamente, le toca pagar a hacienda 1.000 euros, y si defrauda, solo pagaría 500 euros. La probabilidad de que le hagan una inspección es del 5% y, si se la hacen, la multa a pagar es de 10 veces la cantidad defraudada (que tendrá que pagar además de lo que ya haya pagado a Hacienda). Señale que la respuesta falsa: a. Si las preferencias de este consumidor vienen representadas por la función ; no defraudará. Las decisiones del consumidor son defraudar ( o no defraudar ( , y los estados del mundo son que la Agencia tributaria le realice una inspección, con una probabilidad del 5% (estado ) o no se la realice (estado ). Si no defrauda sólo paga por dio impuesto 500 euros, y en el caso de ser inspeccionado la cuantía de la multa será 10(1000-500)=5000. Así, el plan de consumos contingentes del individuo es:
DESICIONES
ESTADOS DEL MUNDO
, inspeccionan
, no inspeccionan
: Defrauda
=8500
:No Defrauda
El consumidor racional elige la lotería, asociada a la decisión que le proporciona la mayor utilidad esperada, y si las preferencias sobre renta cierta vienen representadas por la función , la utilidad esperada que podemos obtener es:
UE Como puede apreciarse, la decisión de defraudar proporciona al individuo mayor utilidad, por tanto la respuesta es falsa.
11. Un agente dispone de 100 u.m. de riqueza y puede apostar 50 u.m. en el siguiente juego: si escoge una carta y sale picas pierde las 50 u.m. y si sale una carta de otro palo gana 20 u.m. a. Determine la decisión del agente si su función de utilidad es . b. Calcule el valor cierto del consumo que le resulta indiferente respecto a la situación con incertidumbre.
Solución: Agente:
Si sale pica pierdes los 50- Obtiene Si sale “otro palo” gana 20 - Obtiene
a. Determine la decisión del agente si su función de utilidad es Llamemos p a la probabilidad de perder Por lo tanto será la probabilidad de ganar. Aunque el valor esperado no es la función que debe considerarse para averiguar qué decisión tomará este agente, vamos a calcularlo para las dos opciones que tiene
Si atendiéramos a la comparación del valor esperado, el agente debería elegir jugar. Sin embargo, si calculamos la utilidad esperada en cada una de las dos acciones, el resultado es diferente.
12. Una persona tiene una casa valorizada por s/ 2200 y existe una probabilidad del 10% de que un terremoto destruya su casa y reduzca su ingreso a s/ 1000 a. Hallar su ingreso esperado en caso ocurra el terremoto si se enfrenta a una función de utilidad , y cuál sería su utilidad esperada b. Si el individuo estaría dispuesto a pagar por un seguro contra destrucción del inmueble ¿Cuánto es lo que estaría dispuesto a pagar la persona por el seguro? Y ¿Cuál es el máximo valor que estaría dispuesto a pagar por el seguro en caso la empresa cobre costos administrativos?
Solución:
a.
b.
13. Suponga que hay una posibilidad de 50-50 % de que un individuo resistente al riesgo con patrimonio corriente de $.20000 contraiga una enfermedad debilitante y sufra una pérdida de $. 10000 a. Calcule el costo de un seguro actuarialmente razonable en esta situación, si tiene una función de utilidad esperada b. Calcule el valor de la póliza razonable que solo cubra la mitad de cualquier perdida incurrida.
Solución
a.
b.
14. La señorita Fogg planea hacer un viaje alrededor del mundo en el que piensa gastar $ 10000. La utilidad del viaje es una función de cuanto gastara realmente (Y), dada por: a. Si hay un 25% de probabilidad que la señora fuentes pierda $ 1000 de su dinero en efectivo durante el viaje, ¿Cuál es la utilidad esperada? b. Suponga que la señorita fuentes puede comprar un seguro contra la perdida de esos $ 1000(comprando cheques de viaje), a una prima actuarialmente justa de 250, demuestre que su utilidad esperada es más alta si adquiere este seguro. Que si enfrenta el riesgo de perder $ 1000 Solución
a.
b.
c.
15. Una persona tiene preferencias que pueden ser expresadas por una función de utilidad cuya expresión es:
Donde: W= riqueza total Su riqueza inicial asciende a $ 8
Si la persona recibe un boleto de lotería cuyo premio mayor es de $ 56 con probabilidad de a.5 y $ 0 con probabilidad de 0.5. Determine: a. ¿a cuánto asciende su valor esperado luego de recibir el boleto de lotería? b. ¿en cuánto valora el juego el individuo? c. ¿Qué puede decirse acerca de la actitud de esta persona frente al riesgo?
Solución:
a. En este caso haciendo uso de la función de utilidad y de los datos, obtenemos el siguiente cuadro: Premio 56 0
Probabilidad 0.5 0.5
Utilidad 4 2
Riqueza 64 8
Para determinar su actitud ante el riesgo hay que hallar la utilidad del valor esperado
Entonces,
El precio mínimo al cual vendería esta persona, estaría muy cercano
La prima está en el rango: 0 < prima < 9 En el gráfico está representada por el trazo grueso y oscuro entre 19 y 28
16. En una playa privada del sur solo pueden ingresar los que adquieran una tarjeta que Cuesta $10, lo que le da derecho de llevar 5 invitados y disfrutar de los espectáculos. Los que no cuenten con tarjeta y sean sorprendidos pagarán, adicionalmente, una Penalidad de $25. La probabilidad de que lo descubran es de 25%.
Jacobo ama esta playa pero no le sobra el dinero. Si su función de utilidad es la Siguiente: Donde W representa su riqueza total que asciende a $1000, determine: a. Si Jacobo ingresará a la playa con tarjeta o sin ella b. Dado que Jacobo no es muy desprendido ¿cuál debería ser el costo de la tarjeta a Fin de que prefiera comprar la tarjeta y no estar en falta? Solución
Caso SINTARJETA Descubierto No descubierto CON TARJETA
Probabilidad
Riqueza
0.25 0.75 1
965 1000 990
Utilidad 31,064 31,623 31,464
a. Caso sin tarjeta VE=965 (0.25) + 1000 (0.75) VE= 991,25 UE = 31,064 (0.25) + 31,623 (0.75) UE= 7,766 + 23,717 UE= 31,483 Utilidad del Valor Esperado: UE(X)= (991,25)1/2 UE(X)= 31,484 La opción de ingresar a la playa sin tarjeta le representa una lotería que le brinda
Una utilidad de 31,483 (UE) Caso con tarjeta La compra de la tarjeta le proporciona a Jacobo una utilidad invariable de 31,464 Por tanto, dado que: 31,483 > 31,464 UST > UCT Jacobo ingresará a la playa sin comprar la tarjeta b. Jacobo revocará su decisión si le ofrecen un monto que le otorga una utilidad Mayor a la que obtiene si no compra la tarjeta (UST = 31,483).
Y el costo de la tarjeta (C), a través de:
17. Mario Tello trabaja en un Apiario donde gana S/ 1.000 mensuales y recibe dos gratificaciones anuales equivalentes a un sueldo cada una. Mario está cansado de las Picaduras y del bajo ingreso que percibe, y evalúa cambiar de trabajo. Tiene pensado instalar una tienda naturista donde tiene la posibilidad de ganar S/ 8.000 al año con una probabilidad de 60%, o ganar S/ 36,000 al año con una probabilidad de 40% Si Mario tiene una función de utilidad cuya expresión es:
a. Si Mario dejara su trabajo actual b. Si le ofrecen en un vivero donde ganaría s/ 19000 por año. ¿Qué decidirá Mario?
Solución
a. La utilidad que obtiene en su trabajo actual es:
La utilidad que obtendría con la tienda naturista vendría a ser la utilidad esperada:
b. El trabajo en el vivero que le promete un pago anual de s/21000, le brindara una utilidad de:
Este empleo en términos de utilidad, será más favorable
18. Un inversionista tiene en cartera dos proyectos que prometen una atractiva rentabilidad. El proyecto 1 requiere una inversión de $5000 y luego de un año redituara aun ingreso neto de $25000. El proyecto 2, un poco más grande, implica una inversión de $15000 para obtener a fin de año un monto neto de $35000, la probabilidad de que un proyecto cualquiera tenga éxito es de 60%. Determine: a. ¿Por cuál proyecto se dedicara el inversionista? b. Si el proyecto 1 fuese dejado de lado. ¿Cuál debería ser la ganancia que tendría que ofrecer el proyecto 2 a fin de interesar al inversionista? c. El estado busca desalentar los proyectos tipo 2 por que contaminan el ambiente ¿de qué monto debería ser el impuesto que se le tendría que cargar a estos proyectos a fin de favorecer a los proyectos tipo 1? d. Cuál debería ser la probabilidad de éxito de los proyectos si se quiere beneficiar por igual las inversiones en ambos proyectos? Solución
a. Analizando ambos proyectos Proyecto 1 Éxito Fracaso
Proyecto 2 Éxito Fracaso
Riqueza 25000 -5000
Probabilidad 0.6 0.4
Riqueza 35000 -15000
Probabilidad 0.6 0.4
Entonces el individuo invertirá en el proyecto 2
b. Para el proyecto 1 sea indiferente con el proyecto 2 el monto de ganancia solicitado(X) debe permitir obtener un VE de 15000, entonces:
Entonces la ganancia ofrecida será:
c. Denominemos T al impuesto, entonces,
El estado tendría que aplicar un impuesto inversión en el proyecto 1
con el fin de favorecer la
d. En este caso se debe cumplir que:
Cuando la probabilidad de éxito (q=0.5) sea igual a la de fracaso (1-a=0.5), al inversionista le dará igual invertir en uno u otro proyecto. 19. Un individuo tiene una función de utilidad: Hallar:
a. La medida de aversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt Solución
a. La medida de aversión absoluta de Arrow-Pratt es:
Calculamos las derivadas:
Luego reemplazando y simplificando:
Dado que , el individuo es adverso al riesgo, la función de utilidad es cóncava. Se intuye que a medida que la riqueza del individuo aumenta su aversión al riesgo disminuye. 20. Un individuo con un patrimonio corriente de 100000 dólares que enfrenta la perspectiva de una posibilidad de 25% de perder su automóvil con valor de 20000 dólares, por robo el próximo año. Supongamos también que la función de utilidad de este individuo es logarítmica esto es: U (w)=ln (w) Solución
Si este individuo afronta el año próximo sin seguro, su utilidad esperada será:
Si este individuo asegura por completo su automóvil
Este individuo está en mejor situación adquiriendo un seguro razonable. En realidad estaría dispuesto a pagar por el seguro más que la prima razonable. La prima máxima del seguro puede determinarse estableciendo:
Despejar X en esta ecuación produce:
Este individuo estaría dispuesto a pagar hasta $426 en costos administrativos a una aseguradora 21. Un individuo monta un negocio que requiere de $10000 de inversión. Supongamos solo dos estados: con probabilidad 0.5, la empresa fracasa (ingreso nulo), con probabilidad de 0.5 es exitosa (rinde beneficio de $20000) Considere dos loterías: el individuo puede invertir solo (juego A) o bien compartir la inversión con 9 socios más (juego B) a. ¿Qué debería elegir el individuo? b. ¿Qué sugiere la evidencia empírica?
Solución
En el juego A, resulta:
En el juego B, resulta:
El criterio del VE prescribe hacer A. sin embargo, la mayoría de la gente optaría por B, por lo que existe discrepancia. 22. Tienes una renta de 4/10 y te proponen el juego de lanzar la moneda y si sale cara ganas s/ 1 y si sale cruz pierdes s/ 2 a. ¿a cuánto equivale la riqueza inicial del individuo? Solución
Se tiene una renta de s/ 2500, puedes invertirlo y perder s/800 con una probabilidad de 0.2 o ganar S/500 a. ¿a cuánto asciende la riqueza inicial del individuo?
23. Si la empresa vende solo estufas o solo aparatos de aire, su renta será de $12000 o de $30000 según el año sea caluroso o frio. Aire acondicionado Estufas|
Caluroso 30000 12000
Frio 12000 30000
a. ¿a cuánto equivale su riqueza esperada? b. Si existe una probabilidad del 20% de perder tanto estufas como aparatos de aire acondicionado lo cual su ganancia disminuiría a $ 10000 ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por un seguro? Solución
a.
b.
24. ¿Cuál es el precio realmente justo de cada uno de los juegos? a) Ganar 1000 con una probabilidad de 0.5 y perder 1000 con una probabilidad de 0.5 b) Ganar 1000 con una probabilidad de 0.6 y perder 1000 con una probabilidad de 0. c) Ganar 1000 con una probabilidad de 0.7, perder 2000 con una probabilidad de 0.2 y perder 10000 con una probabilidad de 0.1 Solución: El precio justo estará dado por el valor esperado del premio de cada juego: a) E(premio)=1000*0.5+(-1000)*0.4=500-500=0 b) E(premio)=1000*0.6+(-1000)*0.4=600-400=200 c) E(premio)=1000*0.7+(-2000)*0.2+(10000)*0.1=700-400-1000=-7000
25. Un individuo compra 12 huevos y tiene que llevarlos a casa. Hacer viajes no le cuesta nada, pero en cada viaje que haga hay 50% de probabilidad de que todos los huevos se rompan. (a) Indique las consecuencias (en términos de huevos que llegan a casa) y las probabilidades de las loterías „hacer un sólo viaje con los 12 huevos‟ y „hacer dos viajes llevando 6 huevos en cada uno. Solución: Con un solo viaje llegan 0 o 12 huevos, cada consecuencia con probabilidad ½. Si se hacen dos viajes, pueden llegar 0, 6 o 12 huevos, dependiendo de que se rompan en todos, uno o ningún viaje. Teniendo en cuenta que cada viaje es independiente del otro, se sigue que las probabilidades de estas consecuencias son respectivamente ,
(b) suponga que las utilidades de las consecuencias „llegan 0, 6 , 12 huevos a casa‟ son respectivamente 6, 10 y 12, y que las preferencias del individuo satisfacen las hipótesis del modelo de von Neumann-Morgenstern, ¿preferirá hacer 1 o 2 viajes?, Solución: El individuo elegirá aquella lotería con mayor utilidad esperada. b.1) Para un viaje:
b.2) Para dos viajes:
Por tanto, hará dos viajes. 26. El señor Z tiene riqueza inicial igual a 5000 euros, y va a apostar 20 euros a que el Atlético de Madrid ganará la liga en tal caso, Z recibiría un premio de 200 euros. Z tiene una función de utilidad del dinero logarítmica , donde w indica riqueza final. Teniendo en cuenta todo esto, ¿con al menos cuánta probabilidad debe pensar Z que el Atlético ganará? ¿Y si el premio fuera igual a 400 euros? ¿Y si fuera 40? ¿Si usted trabajara para una empresa de apuestas, qué conclusión general sacaría de este análisis?
Resolución: Z tiene dos opciones o loterías, es decir, apostar o no a postar. La lotería “apostar” tiene dos consecuencias en términos de nivel de riqueza final: 5000 – 20+200= 5180 si gana la apuesta (probabilidad p) 5000-20= 4980 si pierde la apuesta (probabilidad 1-p).
La lotería “no apostar” es segura, pues la única con secuencia posible es 5000. Ahora, para que decida apostar, se debe cumplir que la utilidad esperada de apostar sea mayor que la de no apostar:
Lo único que cambia en las loterías si es premio son 400 euros es que la consecuencia “ganar” en la primera lotería es ahora igual a 5380. Un razonamiento análogo al anterior lleva a p>0,052. Para un premio de 40, la probabilidad debería ser mayor de 0,5. La conclusión es que cuanta más pequeña sea la probabilidad de que gane el atlético o el equipo que sea, mas premio habrá que dar en caso de ganar para conseguir que la gente apueste. 27. Considere un agricultor con función de utilidad del dinero logarítmica u(w)=ln(W) , donde w representa su nivel de riqueza final. La riqueza inicial del agricultor es de 25 euros. El agricultor proyecta comprar semillas modificadas genéticamente para resistir a las plagas. Los ingresos serán de 80 euros si llueve y de 5 euros si no llueve. La probabilidad de lluvia es del 50% y el coste de la inversión en semillas asciende a 20 euros. Si no invierte en semillas, los ingresos serán de 40 euros si llueve y de 5 si no llueve. Responda: (a) ¿Le interesa llevar el proyecto adelante? (b) ¿A partir de qué probabilidad de lluvia invertir es preferible a no invertir? Llamaremos A al proyecto de inversión en semillas modificadas, y B a la alternativa de seguir como siempre. La siguiente matriz de pagos indica las consecuencias monetarias de cada lotería, teniendo en cuenta que a los ingresos del proyecto A en cada estado de la naturaleza han de serles restados los costes de la inversión. Note asimismo que siempre que sumamos la riqueza inicial de 25:
LLUEVE
NO LLUEVE
A
85
10
B
65
30
Solución: a) La utilidad esperada del proyecto A es: UE(A)= 0.5*ln(85)+0.5ln(10)=3.37 Y la del proyecto B: UE(B)= 0.5*ln(65)+0.5ln(30)=3.79 Preferirá por tanto no invertir en semillas. b) Sea p la probabilidad de lluvia. Se requiere que la utilidad esperada del proyecto A sea mayor que la del B
UE(A)=p*ln(85)+(1-p)*ln(10) UE(B)
Por eso p 0.803
28. Un agricultor de secano está considerando qué cultivar la próxima temporada. Tiene dos alternativas posibles (trigo y girasol), y su riqueza final con cada cultivo variará según haya suficientes precipitaciones (probabilidad 50%) o sequía (probabilidad 50%), de acuerdo con la siguiente tabla:
CULTIVO
LLUEVE
SEQUIA
TRIGO
28000
10000
GIRASOL
19000
15000
Solución: Suponga que su función de utilidad del dinero es u(w) = Lnw. a. a) Si sólo puede plantar un cultivo, ¿cuál elegirá? Sea T (G) la lotería de plantar trigo (girasol). La utilidad esperada de cada una es:
UE(T) = 0,5*ln(28000)+0,5*ln(10000)= 9,725 < UE(G) = 0,5*ln(19000)+0,5*ln(15000)=9,734 En base a los valores de la utilidad esperada, preferirá plantar girasol. b) Si puede plantar 1/2 de parcela con trigo y el resto con girasol, ¿preferirá esta opción a especializarse en un cultivo? (Nota: Si planta un porcentaje µ de la parcela con un cultivo, los ingresos correspondientes a ese cultivo serán iguales a µ% de los que obtendría si plantara toda la parcela, en cualquier contingencia). La lotería plantar la mitad de trigo tiene dos consecuencias, cada una con probabilidad .
La consecuencia si llueve es 9500 + 14000 = 23500, y si no llueve 500 + 7500 = 12500. La utilidad esperada de esta lotería es. UE (T/2) = 0,5*ln(23500)+0,5*ln(12500)=9,749 Por lo tanto, preferirá diversificar. 29. Gómez es propietario de un inmueble que quiere vender. A día de hoy puede obtener 10.000 euros, pero también puede esperar un año, por si el mercado mejora. Gómez piensa que, con un 25% de probabilidad, el mercado inmobiliario irá a peor y que sólo venderá por 8.000 euros, mientras que el mercado mejorará con un 75% y entonces vendería por Y euros. La función de utilidad del dinero de Gómez es , y su riqueza inicial sin contar el inmueble es de 1.000 euros. Por simplificar, suponga que a Gómez le da igual obtener M euros ahora que dentro de un año. Responda razonadamente: Si el tipo de interés a un año es cero (y no hay inflación), ¿a cuánto tiene que ascender Y para que Gómez esté indiferente entre vender ahora o esperar un año? ¿Y si el tipo de interés fuera del 10%? Solución: Gómez puede elegir entre dos loterías, es decir, vender ahora o en un año. La primera es una lotería segura donde su riqueza final sería igual a 1000 + 10000 (1+r), donde r indica el tipo de interés. La segunda lotería tiene dos consecuencias posibles: 1000+8000 con probabilidad del 25% o 1000+Y con probabilidad 75%. Para estar indiferente entre una y otro deben tener la misma utilidad esperada
√ √ √
Si la tasa de interés es 0 entonces Y = 10711
Si la tasa de interés es 0.1 entonces Y=12094.8 30. Supongamos un individuo que desea formar una cartera de inversión compuesta por la siguiente estructura de activos:
a) Un bono cupón cero con un rendimiento del 20% b) Un activo financiero que hoy vale 20 u.m. y en el futuro valdrá 15 u.m. o 50 u.m.con una probabilidad ½ cada posibilidad. Si la renta inicial disponible es de 100 u.m. y la función de utilidad U(W)=ln(W), cuanto invertirá el individuo en activo incierto? Solución: Si el individuo supiera que mañana la economía irá mal, por lo tanto, el rendimiento de invertir en el activo incierto es bajo, entonces decidirá invertir su ahorro en el bono de cupón cero. Por el contrario, si supiera que la economía va a ir bien, invertiría íntegramente todo su ahorro en el activo incierto, que tiene un rendimiento del 50%, en vez del 20 % del cupón cero. En nuestro caso, y dado que se ha supuesto que, dada la función de utilidad, el individuo es adverso al riesgo, comparando las utilidades esperadas observamos que la rentabilidad del bono es mayor.
+
+
4.79
31. Imagine que usted es un inversor con una riqueza inicial de 10.000 euros. En una fiesta, un informático algo achispado le propone adquirir los derechos de uso y distribución de un programa creado por él. Como usted siempre lleva su talonario en el bolsillo, tan sólo debe escribir lo que desee ofrecer en un cheque al portador. Ahora, su intuición le indica que hay un 20% de probabilidad de que el programa no valga nada, un 30% de que sea un programa mediano que le reporte unos beneficios de 5.000, y un 50% de que sea realmente bueno y le reporte 10.000. Estas ganancias puede obtenerlas un economista tan bueno como usted. Por el contrario, el informático sólo obtendría la mitad de lo que usted ganase en cada caso, pues es mucho peor gestor y comercializador. Por lo tanto: El informático, que conoce la calidad real del programa, aceptará como mínimo un cheque por la mitad de lo que usted ganaría realmente. Suponga que usted es neutral al riesgo, con utilidad de la riqueza U(x) = x, donde x indica la riqueza final. Utilizando la teoría de la utilidad esperada, responda razonadamente: (a) ¿Qué precio escribirá usted? Solución: a) Nótese que los únicos precios que podría tener sentido ofrecer son 0, 2500 o 5000. Cualquier otro es más de lo que el informático pide en cada contingencia, con lo cual no es óptimo. Tenemos por tanto tres loterías:
1) Precio 0: lotería segura 10000 euros porque o bien no nos venderá el programa o nos dara algo sin valor. La utilidad esperada es de 10000. 2) Precio 2500: esta lotería tiene 3 consecuencias posibles. Con probabilidad 20%, el programa carece de valor y nos quedamos con 10000-2500=7500. Con probabilidad 30%, el programa rinde beneficios de 5000, con lo cual acabaríamos con una riqueza de 10000-2500+5000=12500. Con probabilidad 50%, el programa es realmente bueno y el informático no nos 20 lo vende, con lo cual nos quedamos con la riqueza inicial, 10000. La utilidad esperada de la lotería es por tanto
3) Precio 5000: otra lotería con 3 consecuencias posibles. Con probabilidad 20%, el programa carece de valor y nos quedamos con 10000-5000=5000. Con probabilidad 30%, el programa rinde beneficios de 5000, con lo cual acabaríamos con una riqueza de 10000-5000+5000=10000. Con probabilidad 50%, el programa da beneficios de 10000, con lo cual nos quedamos con una riqueza final de 10000-5000+10000=15000. La utilidad esperada de la lotería es por tanto
Comparando las utilidades esperadas, se sigue que deberá ofrecer un precio de 5000 euros. 32. El Gobierno de un pequeño país ha iniciado recientemente un plan de estabilización; no está claro si éste será exitoso o no. Se estima que con una probabilidad del 50% el plan será exitoso y que, también con una probabilidad de un 50%, éste fracasará. Un empresario debe elegir entre dos proyectos de inversión, uno en el pequeño país y otro en el extranjero. Las utilidades del proyecto en el extranjero serán de 400 mil dólares, independientemente de si el plan de estabilización fracasa o no. Las utilidades del proyecto en el país serán de 200 mil dólares si el plan de estabilización fracasa y de 800 mil si éste tiene éxito. El empresario es neutro al riesgo. Responda las siguientes preguntas, justificando sus respuestas: a) ¿Cuál de los proyectos de inversión elegirá el empresario? b) ¿Cuál es la mayor cantidad de dinero que el empresario estaría dispuesto a pagar por saber, antes de decidir cuál inversión realizar, si el plan de estabilización será exitoso o no? PLAN FRACASO
PLAN EXITOSO
UTILIDADES DEL PROYECTO EXTRANJERO
400.000
400.00
UTILIDADES DEL PROYECTO PAIS PEQUEÑO
800.000
200.000
Solución: a) Escogerá aquella alternativa que en promedio le reporte mayor ingreso. Ingreso proyecto extranjero: 400000 E(ingreso país)=800000*0.5+200000*0.5=500000 Por lo tanto, escogerá invertir en el país pequeño. b) En ese caso debemos calcular cual es el valor esperado del ingreso con información perfecta y comparada con la parte a) sin información: Si tuviéramos información perfecta y supiéramos que el plan será exitoso invertiríamos en el país, pero si sabemos que será un fracaso, invertimos en el extranjero. Recordemos además que se trata de un individuo neutral al riesgo. Entonces: E(ingreso con información)=800000*0.5+400000*0.5=400000+200000=600000 E(ingreso sin información)=500000 Por lo tanto, estaremos dispuestos a pagar como mucho 100000 por tener información perfecta. 33. Suponga que usted dispone de 10.000 para invertir y existen dos alternativas de inversión: acciones de la compañía A y acciones de la compañía B. Una acción de cualquiera de las dos compañías cuesta 1 y usted cree que aumentará a 2 si la compañía tiene un buen desempeño y que la acción quedará sin valor si el desempeño es malo. Cada compañía tiene una probabilidad de 50% de marchar bien. Si usted decide que invertirá solo 4.000 y evalúa las siguientes alternativas: Alternativa 1: invertir solo en la empresa A. Alternativa 2: invertir la mitad en la empresa A y mitad en la empresa B. Calcule las utilidades asociadas a cada alternativa y muestre gráficamente que la estrategia diversificada le entregará una mayor utilidad. Solución: Supongamos que invierte todo en A: con un 50% de probabilidad obtendré finalmente 6000 (pierdo los 4000 que invierto y me quedo solo con 6000) y con un 50% obtendré 14000 (doblo los 4000 que apuesto: 8000 mas los 6000 = 14000). Por lo tanto, E(ingreso invertir solo en A)=0.5*6000+0.5*14000=10000 Este nivel de ingreso tiene asociado un nivel de utilidad U1. Ahora si invierto 2000 en A y 2000 en B, tendré 4 escenarios posibles:
B=RESULTADO MALO
B=RESULTADO BUENO
A=RESULTADO BUENO
6000
10000
B=RESULTADO MALO
10000
14000
En este caso vemos que el resultado del ingreso esperado es el mismo E(ingreso de diversificar)=10000 La diferencia está en que esta alternativa es menos arriesgada, porque solo en el 25% de los casos quedo con 6000. Para realizar el análisis gráfico, del promedio de 6000 y 10000 obtenemos el punto C, del promedio de 10000 y 14000 obtenemos el punto D, y del promedio de C y D obtengo
34. Un consumidor con una riqueza inicial w=600 u.m. está pensando en comprar un cupón de la ONDE que cuesta 200 u.m.y le dará un premio de 2000 u.m. si le toca. Sus preferencias sobre riqueza cierta son U = w. Es falso que: (a) Siempre que la probabilidad de que toque el cupón sea > 10% comprará el cupón Resolución: a) Correcta Las decisiones del consumidor son comprar el cupón (A1) o no comprarlo (A2). Los estados del mundo son que le toque el cupón (s1) o que no se le toque (s2), con probabilidades respectivas p > 0, 1 y (1 − p) < 0, 9. Como no nos dicen el valor exacto de p, este genéricamen te puede ser p = 0, 1 +ε, y por tanto (1 − p) = 0, 9 − ε, siendo ε > 0. Si llamamos w1 y w2 a los resultados de una decisión dependiendo de que le toque o no, el plan de consumos contingentes del individuo es:
DECISION
S1: LE TOCA EL CUPON P=0.1+ ε
S2: NO LE TOCA EL CUPON 1-P=0.9- ε
A1: COMPRAR EL CUPÓN
W11=600-200+2000=2400 W12=600-200=400
A2: NO COMPRAR EL CUPÓN
W21=600
W22=600
El consumidor racional elige la lotería, asociada a la decisión, que le proporciona la mayor utilidad esperada, y si las preferencias sobre renta cierta vienen representadas por la función U= w, la utilidad esperada que puede obtener es:
UE (L1) = (0, 1 + ε) · 2400 + (0, 9 − ε) · 400 = 600 + 2000ε UE (L2) = (0, 1 + ε) · 600 + (0, 9 − ε) · 600 = 600 Como ε > 0, se c umple que UE (L1) > UE (L2) Por tanto, el individuo preferirá comprar el cupón, siendo correcto la respuesta. 35. Suponga que un agente puede elegir una lotería A que proporciona un premio de 700 u.m. con probabilidad p=0,25 y otro premio de 100 u.m. Este agente también podría elegir una lotería B que concede un premio de 300 u.m. con probabilidad q=0,1, y otro premio que consiste en participar en otra lotería C con dos resultados: 100 u.m. con probabilidad 0,7 ó 600 u.m.
a) Señale qué lotería, la A o la B, prefiere el agente si su función de utilidad viene dada por Resolución:
a) El agente puede elegir entre las loterías:
Con probabilidad p=0.25 gana 700 LOTERÍA A Con probabilidad (1-p)=0.75 gana 100 LOTERÍA B
Con prob.q=0.1 gana 300 Con prob.t=0.1 gana 100 Con prob.(1-q)=0.9 gana lotería C Con prob (1-t)=0.3 gana 600
√ √ √ √ √
UE
=0.25
UE
=0.1
)=14.64
El agente prefiere la lotería B porque le otorga mayor utilidad 36. A un individuo se le ofrece la posibilidad de invertir 1.000 u.m. en un negocio. Si el resultado es exitoso obtendrá una ganancia de 0,2 u.m. por u.m. invertida y si fracasa perderá 0,1 u.m. por u.m. invertida. a) Calcule la probabilidad de ganar para que el valor esperado de invertir sea 1.100
u.m Solución: Resultados si invierte: Si tiene éxito = 0.2*1000=2000 1000+200=1200 Si fracasa= -0.1*1000= -100 1000-100=900 Si llamamos p a la probabilidad de fracasar
UE
900p+1200-1200p=11000 p=1/3
Por tanto la probabilidad de ganar es (1-p)=2/3 37. Considere un indivi duo con una renta de 12.500€ anuales de los cuales tiene que pagar un 20% a Hacienda. No obstante, este individuo puede decidir defraudar al Fisco. En caso de que un inspector de Hacienda descubra que el individuo está defraudando, éste, además de devolver los impuestos defraudados, tiene que pagar una multa igual a tres veces la cuantía de los impuestos defraudados. Suponga que la probabilidad de ser descubierto es del 10% y que la función de utilidad del individuo viene dada por la expresión: u c Lnc . Calcule la cantidad de renta ocultada así como la cuantía de los impuestos defraudados a Hacienda por este individuo Solución: U(c) =Ln(c) Calculamos el valor esperado: VE= 0.1 (10000-0.6x)+0.9 (10000+0.2x)=10000+0.12x
Como podemos observar, el valor esperado del consumo crece con la cantidad que se defrauda (X), por lo que podemos señalar que el juego está desequilibrado a favor del individuo. Un individuo averso al riesgo ante un juego desequilibrado a su favor decidirá arriesgar algo; por lo tanto, este individuo decidirá defraudar una parte de su renta, y para obtenerla debemos calcular el punto de tangencia entre la restricción presupuestaria y la curva de indiferencia más alta que pueda alcanzar (maximización de su utilidad esperada sujeto a la restricción presupuestaria).
́́
RMS=
=
=
=
Donde c1=
C2=13333.33-
Donde C2=12000 y C1=4000
Una vez obtenido el punto de tangencia, que informa de los resultados posibles en cada uno de los estados de la naturaleza en la decisión óptima del individuo, podemos obtener la cantidad de renta ocultada, X , simplemente sustituyendo estos valores en las ecuaciones de los consumos contingentes.
X=
=10000
Por lo tanto, la renta ocultada será de X 10.000 u.m. Los impuestos defraudados serán: 0,2X 2.000 u.m. La elección optima del individuo está representada en el gráfico anterior a través del punto E.
38. Supongamos ahora que un inversionista tiene una riqueza igual a 50 u.m. y que se encuentra frente a la posibilidad de elegir entre dos alternativas de inversión que requieren una inversión de 50 u.m., la primera es un juego de resultado incierto en el cual existe un 0.8 de probabilidad de ganar 100 y un 0.2 de ganar 20. La segunda alternativa de inversión es de resultado cierto de 65. Además la utilidad está expresada en U(w)= a) Dada la información anterior podemos saber cuál alternativa es la que genera mayor utilidad:
Solución:
Alternativa N01 (resultado incierto)=0.8 Alternativa N02 (resultado cierto)=
+0.2
=2.418 utiles
=1.9155 útiles
Dado los niveles de utilidad que le reportan cada una de las posibilidades de inversión (determinada por su función de utilidad) esta persona elige la alternativa número 1, ósea al juego incierto, pues este le genera niveles de utilidad mayores. 39. ¿Cuánto es lo mínimo que estaría dispuesto a aceptar una persona por dejar de jugar el siguiente juego?
0.4
100 0.3
0.3
50 0
Solución: Sabemos además que esta persona no presenta otra riqueza adicional de lo proporcionado por el juego, sabemos también que su función de utilidad está dada por:
√ √ √ √ E(
0.4*
U(
+0.3*
+0.3
=6.12 ÚTILES
=6.12
=6.12
Dado el resultado anterior, lo mínimo que pediría hoy esta persona por dejar de jugar el juego (dada su función de utilidad) la cantidad de 37.47. 40. Analizamos a continuación otro caso (Seguros), para lo cual tomamos el siguiente ejemplo: Una persona con función de utilidad U(w) = w , presenta una riqueza inicial de 100 y un automóvil. El valor del automóvil podrá cambiar dependiendo de tres sucesos probables: a) El automóvil no sufre accidentes, ni averías en ese caso su valor alcanza a 200, existe un 90% de probabilidad de que esto ocurra b) El automóvil sufre accidentes menores, por lo cual pierde valor y solo llega a los 150, hay un 5% de probabilidad que esto ocurra c) El automóvil sufre accidentes mayores por lo cual su valor en estas condiciones es 0, existe un 5% de probabilidad de que esto ocurra.
Resolución:
200
VALOR DEL AUTO
0.9 0.05
150
0.05 0 0.9
300
VALOR DEL AUTO +100 0.05 250 0.05 100
√ √ √
E(
=0.9
+0.05
0.9
+0.05
=16.879
300-S
0.05 250-S+50 0.05 100-S+200 U (300-S)=16.879
√
=16.879
S=15.01 Valor del seguro. 41. Un individuo posee una riqueza de 36 y está considerando invertir en un nuevo negocio el cual, con probabilidad 2/3 incrementará su riqueza en 13 mientras que con probabilidad 1/3 la reducirá en 11. Suponiendo que el individuo es averso al riesgo con función de utilidad u(x) = ¿Qué decisión tomará el inversionista? Respuesta: Debe evaluar la utilidad esperada de las loterías que está enfrentando
√
Resolución: UE (1) =
√ √
UE (2)=1*
√
=6
=6.33
Por lo tanto el inversionista decide invertir.
42. Un estudiante debe escoger entre dos universidades, A y B. Sus perspectivas laborales se resumen en el siguiente cuadro:
Buen trabajo: Ingresos futuros $1 000 000 UNIVERSIDAD A
0.6 0.4 Mal trabajo: Ingresos futuros: $ 250 000
UNIVERSIDAD B
1
Trabajo digno: Ingresos futuros: $ 690 000
Resolución: Suponiendo que el estudiante es adverso al riesgo con función de utilidad u(x) = ln(x), las utilidades esperadas en cada caso son: UE(A)=0.6 * Ln (1 000 000)+0.4*Ln (250 000)=13.26 UE (B)=1*Ln (690 000)= 13.44 Entonces elige la universidad B. 43. Supongamos un individuo que tiene una función de utilidad U(w) = ln(w), que actualmente tiene riqueza igual a 10 u.m. (unidades monetarias). Que la tasa de interés del periodo es cero y que puede jugar un juego en el cual puede, con probabilidad 0,5, ganar 1 u.m. o con probabilidad 0.5 perder 1 u.m ¿El individuo acepta el juego? Aceptará jugar el juego cuando la utilidad esperada de su riqueza al final del juego sea superior a la utilidad de no jugar.
Es decir, E(U(w)) jugar E(U(w)) no jugar En este caso: E(U(w)) jugar = 0,5ln(11) +0.5ln(9) = 2.2975 útiles E(U(w)) no jugar = ln(10) = 2.3025 útiles
Como la utilidad esperada de jugar es menor que la de no jugar, esta persona no jugará el juego 44. Una persona neutral al riesgo tiene que elegir entre: a) Ordenar envíos de café para el siguiente periodo, a un precio futuro de S/1.00 por quintal. b) Comprar café en el siguiente periodo al precio vigente en ese momento, que puede ser de s/0.9 o s/1.00 por quintal, con probabilidades idénticas .tomando en cuenta que la cantidad demanda depende del precio, ¿Cuál de las dos opciones elegirá esta persona? Solución: Se dice que es neutral al riesgo por lo tanto la u =u (I) a) Precio es de s/1.00 I = PXQ I = 1Q VE = I - 1Q VE1 = I - Q
b) los precios son s/0.90 o s/1.00 con probabilidades idénticas VE= 0.5 (I - 0.9Q) + 0.5 (I- Q) VE=0.5 (I) - 0.45Q + 0.5 (I) - 0.5Q VE=I - 0.95Q
45. Un consumidor que es inicialmente un prestamista, sigue siéndolo incluso después de que bajen los tipos de interés. ¿Mejora o empeora su bienestar como consecuencia de la variación de los tipos de interés? Si se convierte en un prestatario después de la variación, ¿mejora su bienestar o empeora? Solución:
La ecuación de Slutsky cuando estudiamos la influencia de la variación del tipo de interés, una subida del mismo sobre el consumo presente C, es mejor considerar la restricción presupuestaria expresada en valor futuro, teniendo en cuenta la expresión: (1+r)C1 + C2 = (1+r) m1 +m2 Al subir el precio del interés, sube el precio del consumo actual (1+r) y permanece inalterado el precio del consumo futuro que es la unidad. En cambio cuando estudiamos la influencia de una subida del tipo de interés en el futuro consumo C2 es mejor considerar la restricción presupuestaria expresada en el valor actual; que corresponda a la ecuación: C1+
= m1+
Al subir el tipo de interés el precio del consumo actual es la unidad y se altera en cambio el precio del consumo futuro se reduce considerando la ecuación de Slutsky:
=
+ (m2- c2)
Si se produce una subida del tipo de interés, hemos visto que el precio de C no se altera y en cambio C2 al considerar la restricción presupuestaria en valor actual en consecuencia Por lo tanto podemos aplicar la anterior ecuación de Slutsky para estudiar el sentido de la anterior del consumo futuro C2.
El efecto sustitución sabemos que es negativo (-) suponemos m2-c2<0 entonces debe cumplir m1-c1<0 es decir el consumidor es un prestamista, en tal caso el efecto renta será también (-), al tratarse C2 de un bien normal, el efecto total resultara ser (-); en consecuencia una subida del tipo de interés (bajada del P2) provoca aumento 46. Supón que hay una posibilidad de 50-50 de que un individuo resistente al riesgo con patrimonio corriente de 20000 dólares contraiga una enfermedad debilitante y sufra una pérdida de $10000. a. Calcule el costo de un seguro actuarialmente razonable en esta situación y usa una gráfica de utilidad patrimonial para mostrar que el individuo preferirá. b. Supón que se dispone de dos tipos de pólizas de seguros: a. una póliza razonable que cubra la pérdida total y b. una póliza razonable que solo cubra la mitad de cualquier perdida ocurrida Calcule el costo del segundo tipo de póliza y demuestra que, en general, el individuo la considerara inferior a la primera. Solución: Riqueza total: 20000 Probabilidad que enferme: 50% Perdida: 10000
Riqueza esperada: (sin seguro)
*Utilidad esperada: (sin seguro)
E (W) =PW1 + (1-P) w2 P) W
E U (W) = P U (W1) + (1-
= 0.5 (20000) + 0.5 (10000)
=0.5 (
=15000
√
) +0.5
=120.71 *Prima justa =0.5x10000=5000 *No ocurre
* Si ocurre
E (W) =20000-5000 10000+10000-5000
E (w) =20000-
=15000
=15000 *Utilidad esperada: (con seguro) UE (W) = 0.5 (
√ √ )+ 0.5
)
B)*cubre todo =122.47 *Prima justa: 0.5x5000=2500 *No ocurre: E (W) =20000-2500 2500 =17500 *Utilidad esperada: (cuando la póliza cubre la mitad del
E U (W) =0.5X√17500 +0.5 X√12500 =122.05
*Si ocurre: E (w) =20000-10000+5000=12500
*El individuo debe optar por la póliza que cubre todo el siniestro ya que la utilidad que le otorga esta es mayor a la utilidad esperada cuando la póliza solo cubre la mitad del siniestro. 47. Al decidir estacionarse en un sitio prohibido, un individuo sabe que la probabilidad de recibir una infracciòn es p y que la multa por esa infracción es f . Supòn que todos los individuos son resistentes al riesgo (es decir, , donde W es el patrimonio del individuo).
Un incremento proporcional en la probabilidad de ser sorprendido o un incremento proporcional en la multa ¿será un elemento disuasorio màs eficaz para impedir el estacionamiento? Pista: emplee la aproximación de la serie de Taylor aproximación de la serie
Solución:
Probabilidad de la multa: p Valor de la multa: f Aversión al riesgo Riqueza: W
¿Qué será más eficaz para evitar que la gente se estacione en una zona prohibida?
Opción1:
Opción2:
opcion1
<
opcion2
¿Cuál reduce más mi utilidad esperada un ∆% de p o ∆% de f?
La ∆% de f va a reducir más la utilidad esperada por estar elevada al cuadrado en la función de Taylor por tanto será más eficaz aplicar la ∆% de f (pago de la multa) para evitar el estacionamiento en la zona prohibida. 48. Una persona tiene la siguiente función de utilidad: U = log I - C/M, dónde I es gasto en bienes de consumo y M su gasto en seguro médico. C es 1 si la persona está enferma y 0 si la persona está sana. La forma de ésta función de utilidad implica que cuanto más gaste la persona en seguro médico mejor será el cuidado médico y menos onerosa será la enfermedad. La probabilidad de que caiga enfermo es de ½. Si tiene un ingreso de s/. 10, ¿cuánto gastará la persona en seguro médico? L=I+M+ L=I+M+
∂ L/∂I = 1 -
(U - log I + C/M (U - ln I + C/M), C = 1 /I=0→I=
∂ L/∂M = 1 - .M-2 = 0 →1/ M-2 = I = 1/ M-2 I.M-2 = 1 M-2 = 1/I esto lo elevo todo a la (-1) para tener M² M² = (1/I)-1 M² = 1/ 1/I M² = I esta es la relación que busco para hallar el valor de M e I esta relación la reemplazo en la restricción: I + M I + M = 10 M² + M – 10 = 0, esta es una cuadrática al resolver obtengo M = 2.70 y M=3.70 Trabajo con el valor positivo de M = 2.70 y obtengo I =7.3, entonces como me piden cuánto gasta en M yo digo que gasta M = 2.70 Luego la U (enferma) =Ln I – 1/M = 1.62 Y U (sana) = Ln I = 1.99 La utilidad esperada: U E = 0.5 (1.62)+ 0.5 (1.99) = 1.81 Entonces yo digo que la U E > Uc , cuando está enferma, porque 1.81> 1.62 por lo tanto le conviene gastar en seguro médico cuando está enferma. 49. Supongamos que una empresa tiene tres opciones: (1) vender aparatos de aire acondicionado, (2) vender estufas, o (3) vender ambos. a. ¿Cuál sería su Renta esperada si vende sólo estufas o sólo aparatos de aire?
Si la empresa vende sólo estufas o sólo aparatos de aire, su renta será de 12,000€ o de 30,000€ según el año sea caluroso o frío.
Aire acondicionado Estufas
Caluroso 30000 12000
Frío 12000 30000
Su renta esperada sería: ½ (12,000 s/.) + ½(30,000S/.) = 21,000S/.
b.¿Cuál sería su Renta si la empresa se dedica a producir ambos?
Si la empresa se dedica a producir ambos, sus ingresos por las ventas de cada aparato se reducirán a la mitad: Si hiciese calor, su renta esperada sería de 15,000 S/. procedentes del aire acondicionado y de 6,000 S/. de las estufas, o sea 21,000 S/. en total. Si hiciese frío, su renta esperada sería de 6,000 S/. procedentes del aire acondicionado y de 15,000 S/. de las estufas, o sea 21,000 S/. en total. Con la diversificación, la renta esperada es de 21,000 S/. sin riesgo: ½ (21,000€) + ½(21,000 S/. ) Las empresas pueden reducir el riesgo diversificando entre actividades poco relacionadas
50. Una persona tiene una probabilidad de 0,5 de ganar 30,000 S/. y una probabilidad de 0,5 de ganar 10,000 S/. ¿Cuál sería la Renta Esperada y su Utilidad Esperada? El punto F muestra el escenario arriesgado – la utilidad de 14 también puede obtenerse con una renta cierta de 16,000 S/. que es el valor equivalente cierto. Es decir, estaría dispuesta a pagar hasta 4,000€ (20,000 – 16,000) para evitar participar en el juego.
En este caso, la prima por el riesgo es de 4,000 S/. porque una renta segura de 16,000 S/. le reporta la misma utilidad esperada que una renta incierta que tiene un valor esperado de 20,000 S/.
51. La vendedora Pánfila Pancracia vende revistas en la esquina de la avenida Benavides y la calle Indiana, y todos los días debe terminar cuántos periódicos pedir. Pánfila paga a la compañía 20 S/. por cada ejemplar y los vende a 25 S/. cada uno. Las revistas que no se venden al terminar el día no tienen valor alguno. Pánfila sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 ejemplares, cada uno con una posibilidad equiprobable. Demuestre cómo se ajusta en el modelo de estado del mundo.
Solución: Valores posibles de Demanda diaria de revistas: Se sabe que:
Pánfila debe elegir una acción (el número de revistas que debe ordenar cada día) Si Pánfila compra i ejemplares y la demanda es de j, entonces se compran i ejemplares a un costo de S/.20, y min (i, j) revistas se venden a S/.25 cada uno. Así, si Pánfila compra i revistas y se venden j, obtiene una ganancia neta de donde:
Ejemplares pedidos 6 7 8 9 10
6 S/.30 S/.10 -S/.10 -S/.30 -S/.50
Demanda de Ejemplares 7 8 S/.30 S/.35 -S/.15 -S/.5 -S/.25
S/.30 S/.35 S/.40 S/.20 S/.0
9
10
S/.30 S/.35 S/.40 S/.45 S/.25
S/.30 S/.35 S/.40 S/.45 S/.50
,
52. La función de Utilidad de Joana para su posición de activos x está dada por . En la actualidad los activos de Joan consisten en S/.10 000 en efectivo y una casa con valor de S/. 90 000. Durante un determinado año, hay una probabilidad de 0.001 de que la casa de Joan sea destruida por un incendio u otras cosas. ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar Joana por una poliza de seguro que le retribuirá su casa si ésta fuera destruida? Solución:
Sea siguientes loterías:
comprar el seguro
. Luego, Joana debe elegir entre las
Posición del activo
1
)
0.001
no comprar el seguro
0.999
Joana preferirá a si la utilidad esperada de Así p si y solo si
excede la utilidad a
53. Los directivos de pensión “Casita Feliz” Inc. Deben escoger uno de los tres fondos mutuos comparables en el cual invertir un millón de dólares. El personal del departamento de investigación ha estimado la recuperación esperada en un año para cada uno de los fondos mutuos, basándose en un desempeño pobre, moderado, o excelente del índice DowJones, de la siguiente manera: Desempeño del Dow Recuperación esperada Jones Fondo 1 $ Fondo 2$
Fondo 3 $
Pobre
50000
25000
40000
Moderada
75000
50000
60000
Excelente
100000
150000
175000
Utilice la matriz de ganancias para calcular la decisión óptima y la ganancia asociada utilizando cada uno de los criterios siguientes: a) Laplace b) Mini-Max Solución: 1.- Decisor: Los directivos de Casita Feliz 2.- Alternativas o acciones:
3.- Estados de la naturaleza:
4.- Matriz de consecuencias:
50000
75000
100000
25000
50000
150000
40000
60000
175000
a) Criterio de Laplace
Bajo el criterio de Laplace, se debe elegir la alternativa
b)
max
50000
75000
100000
10000
25000 40000
50000 60000
150000 175000
15000 175000
Mini
10000
Entonces, balo el criterio Mini-Max se debe elegir se debe elegir la alternativa
54.
Los Dueños de Carbon Burguer, están tratando de decidir si construyen una nueva sucursal en un centro comercial abierto, en un centro comercial cerrado o en un lugar remoto del que los analistas opinan que tienen un gran potencial de crecimiento. Además del costo de construcción $ 100 000, independiente del lugar, la renta anual de arrendamiento de cinco años en el centro al aire libre es de 30 000 $, en el centro comercial cerrado es de 50 000 $ y en un lugar retirado es de 10 000 $. La probabilidad las ventas de 5 años estén por debajo del promedio se estima en 0.3, la probabilidad en el promedio es de 0.5, y de que estén por encima del promedio es de 0.2. El personal de mercadotecnia ha preparado las siguientes proyecciones de recuperación para cinco años para cada resultado posible: VENTAS
Centro al aire libre
Centro cerrado
Lugar retirado
Por debajo del promedio Promedio
100000
200000
50000
200000
400000
100000
Por encima del promedio
400000
600000
300000
Utilice la matriz de ganancias para calcular a mano la decisión óptima y la ganancia asociada, usando cada uno de los siguientes criterios e ignorando cualquier flujo de efectivo después de cinco años: a) Maxi-Max b) Maxi-min c) Hurwicz(α=0.6) Solución: 1.- Decisor: Los dueños de Carbon Burguer 2.- Alternativas:
3.- Estados de la naturaleza:
4.- Matriz de consecuencias:
-150 -150 -100 0.3
-50 50 -50 0.5
150 250 150 0.2
5.- Función de consecuencias: Datos adicionales:
Costo de construcción = 100000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro al aire libre = 30000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro cerrado = 50000 $ Arrendamiento de 5 años en un lugar retirado = 10000 $ En miles de $
6.- Posibilidades a priori:
a) Optimista Maxi-Max
-150 -150 -100
-50 50 -50
150 250 150
Max 150 250 150
Maxi
250
b) Pesimista Maxi-min
-150 -150 -100
-50 50 -50
Min -150 -150 -100
150 250 150
c) Hurwicz (α=0.6)
Maxi
-100
55. Suponga que un vendedor de periódicos puede elegir una lotería “RapiMelcocha” que proporciona un premio de 700 u.m. con probabilidad p=0,25 y otro premio de 100 u.m. Este agente también podría elegir una lotería “RapiSusy” que concede un premio de 300 u.m. con probabilidad q=0,1, y otro premio que consiste en participar en otra lotería “la Kabala” con dos resultados: 100 u.m. con probabilidad 0,7 o 600 u.m. Solución: Lotería RapiMelcocha: Con probabilidad p=0,25 gana 700 Con probabilidad (1-p)=0,75 gana 100 Lotería RapiSusy: Con prob. q=0,1 gana 300 Con prob. (1-q)=0,9 gana lotería C
Con prob. t=0,7 gana 100 Con prob. (1-t)=0,3 gana 600
Evidentemente, la suma de las probabilidades en cada lotería debe ser igual a 1: Lotería RapiMelcocha: p 1 p 0,25 0,75 1 Lotería RapiSusy: q 1 qt 1 q1 t 0,1 0,9 0,7 0,9 0,3 0,1 0,63 0,27 1 a) Señale qué lotería, RapiMelcocha o RapiSusy, prefiere un agente si su función de utilidad viene dada por
b)
√
√ √ ) ( √ √ √
El agente preferirá la lotería que le reporte mayor utilidad esperada.
Si calculamos los valores esperados asociados a cada una de las dos loterías, tenemos:
Como puede observarse, la lotería RapiSusy no sólo tiene mayor utilidad esperada sino también mayor valor esperado que la lotería RapiMelcocha. c)
Calcule el equivalente certeza correspondiente a las loterías RapiMelcocha( A) y RapiSusy (B).
56. Un Pirata del Caribe tiene 8.000€ para invertir que puede repartir en dos tipos de activos: Bonos del Tesoro, con una rentabilidad del 25%, y acciones cuya rentabilidad depende de la coyuntura económica. En situaciones de crisis la rentabilidad es del 15% mientras que en situaciones de expansión económica es del 45%. La probabilidad de crisis económica es del 50% y la función de utilidad del Pirata es del tipo CES:
Solución:
Pirata del Caribe: Bonos del Tesoro → Obtiene 1 0,258.000 X Acciones
Con prob. 0,5 hay crisis → Obtiene 1 0,15 X Con prob. 0,5 hay expansión → Obtiene 1 0,45 X
X: cantidad que invierte en acciones.
a) Calcule el índice de aversión relativa al riesgo (ARR) del Pirata.
El Índice de Aversión Absoluta al Riesgo es positivo, por lo que el individuo es adverso al riesgo. Además, este índice es decreciente en el consumo, por lo que el individuo es menos adverso a medida que aumenta su riqueza.
El índice de Aversión Relativa al Riesgo es constante.
57. Suponga una relación contractual entre un agricultor, individuo A, y un terrateniente, individuo B, El terrateniente quiere contratar al agricultor para que éste trabaje sus tierras. Supongamos que la única incertidumbre en este problema es el estado de la Naturaleza (y no el esfuerzo o actuación de los agentes, para obviar el problema de incentivos), que puede suponer un año de buena cosecha, en cuyo caso el consumo es C1, o un año de mala cosecha, siendo C2 el consumo en este otro caso. Obviamente C1 C2. Las funciones de utilidad de los individuos son las siguientes:
a) Calcule la aversión absoluta al riesgo (AAR) de cada individuo.
Estudiemos, en primer lugar, la actitud frente al riesgo de los agentes:
Calculemos, además, los índices de aversión absoluta al riesgo de ambos individuos:
Ambos individuos son adversos al riesgo, por lo que la curva de contratos en la distribución de riesgos estará entre las líneas de certeza de ambos agentes.
58. Supongamos ahora que un inversionista tiene una riqueza igual a 50 u.m. y que se encuentra frente a la posibilidad de elegir entre dos alternativas de inversión que requieren una inversión de 50 u.m., la primera es un juego de resultado incierto en el cual existe un 0.8 de probabilidad de ganar 100 y un 0.2 de ganar 20. La segunda alternativa de inversión es de resultado cierto de 65. Representamos las alternativas anteriores de la siguiente forma: 0.8
100
0.8
65
0.2
20
0.2
65
Se sabe además que su función de utilidad está dada por:
a. Dada la información anterior podemos saber cual alternativa es la que genera mayor utilidad:
Alternativa n°1 (juego incierto):
Alternativa n°2 (resultado cierto):
Dado los niveles de utilidad que le reportan cada una de las posibilidades de inversión (determinada por su función de utilidad) esta persona elige la alternativa número 1, ósea al juego incierto, pues este le genera niveles de utilidad mayores. b.
( )
, correspondiente a la utilidad de tomar la alternativa
riesgosa, ahora veamos qué utilidad le reporta a esta persona la inversión cierta presentada anteriormente, que retorna un flujo de 84, que a su vez es la misma cantidad que el esperaría ganaren la inversión riesgosa
( )
Como se puede observar de los resultados anteriores:
59. Sea la función de utilidad de otra persona, representada por: Si ofrecemos a esta persona las mismas dos alternativas de inversión que tenía la persona anterior (Del ejercicio 58) ¿Qué alternativa toma este individuo? Recordemos que las alternativas estaban dadas por: 0.8 0.2
100
20
0.8
84
0.2
84
Así entonces tenemos:
( ) ( )
√
60. Si Alfredo presenta la siguiente función de utilidad y debe elegir entre dos juegos que presenta los siguientes valores de su riqueza a final de cada periodo, dados los distintos estados de naturaleza.
0.8 0.2 0.2
50 40 20
60 0.3 0.4 0.3
40 20
¿Qué juego elige? ¿Por qué?
( ) √ √ √ ( ) √ √ √
√
, presenta una riqueza inicial 61. Una persona con función de utilidad de 100 y un automóvil. El valor del automóvil podrá cambiar dependiendo de tres sucesos probables: a. El automóvil no sufre accidentes, ni averías en ese caso su valor alcanza a 200, existe un 90% de probabilidad de que esto ocurra.
b. El automóvil sufre accidentes menores, por lo cual pierde valor y solo llega a
los 150, hay un 5% de probabilidad que esto ocurra. c. El automóvil sufre accidentes mayores por lo cual su valor en estas condiciones es 0, existe un 5% de probabilidad de que esto ocurra. Gráficamente la situación anterior se presenta: 200
0.9 Valor auto
0.05 0.05
150 0
300
0.9 Valor auto +100
250
0.05 0.05
100
Si toma un seguro para los distintos estados de la naturaleza, este reembolsará de la siguiente forma: 0.9
0
0.05
50
0.05
200
De lo anterior tenemos que:
( )√ √√
a) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar esta persona por un seguro de cobertura total? 0.9
300 - S
0.05
250 – S + 50
0.05
100 – S + 200
Por lo tanto queda en la siguiente posición: 0.9 0.05 0.05
300 - S 300 - S 300 - S
Despejando podemos obtener obtener el valor del seguro:
√
b) ¿Cuál es el valor actuarial de la perdida? Finalmente tenemos que:
.
62. Pedro y Juan presentan la misma función de utilidad dada por , ambos tienen una casa que inicialmente vale 4000 (90% de probabilidad), pero existe la posibilidad de que esta sufra deterioros producto de un sismo que está anunciado con un 8% de probabilidad de que este suceda en cuyo caso el valor del inmueble alcanzaría solo a 2000, finalmente en caso de algún siniestro mayor (2% de Probabilidad de ocurrencia) la casa se valoraría en 1000. Juan además de la casa tiene una riqueza inicial de 2000, la tasa de interés de mercado es de 10%. Supongamos que la compañía de seguro puede negociar cobrando lo máximo a cada uno. a. ¿Cuánto es lo máximo que cobra a cada uno? ¿Cuánto es lo máximo que cada uno estaría dispuesto a pagar? Pedro 0.9 0.08 0.02
Juan
4000 2000
2000
1000
4000 + 2200 2000 + 2200 1000 + 2200
Pedro comprara el seguro, siempre que la l a utilidad esperada con seguro sea
mayor que la utilidad esperada sin seguro. Ósea:
( ) ( ) ( ) En el límite comprara el seguro cuando:
Analicemos a continuación el caso de Pedro:
Con seguro:
( ) Analicemos ahora el caso de Juan
269.17
b. ¿Cuánto es lo mínimo que podría cobrar la compañía aseguradora?
Lo mínimo que cobrara será el valor actuarial de la pérdida, pero siempre que se cumplan los siguientes supuestos: La compañía aseguradora no tiene otros costos. Que la empresa aseguradora pueda asegurar a muchos otros con las mismas características de tal modo que el promedio de la perdida tienda al valor actuarial de la perdida.
63. Tomemos nuevamente el ejercicio anterior (Pedro y Juan), pero ahora el seguro cubrirá un monto máximo de pérdida de 2000. Analiza el caso de Pedro. 0.9 0.08 0.02
4000
4000 - S
0.9
2000
4000 – S + 2000
0.08
1000
0.02 0.9
4000 - S
0.08
4000 - S
0.02
1000 – S + 2000
3000 - S
( )
64. Tomemos nuevamente el ejercicio anterior (Pedro y Juan), pero ahora el seguro cubrirá un monto máximo de pérdida de 2000. Analiza el caso de Juan. 0.9
6200 - S 6200 – S + 200
0.08 0.02
Ya sabemos que seguro será:
2200 – S + 200
para Juan es de 8.687919, por lo tanto el valor del
Ya sabemos cuánto es lo máximo que estaría dispuesto a pagar cada una de estas personas por este seguro parcial que cubre un monto de hasta 2000 de pérdidas del inmueble. 65. Continuando con el ejercicio propuesto, ahora, ¿Cuánto cobrarían tanto Pedro como Juan si quisieran vender la casa?
Valor de venta para Pedro 4000
0.9 0.08 0.02
2000 1000
Valor de venta para Juan
6200
0.9 0.08 0.02
4200 3200
66. Un individuo posee una riqueza de 36 y está considerando invertir en un nuevo negocio el cual, con probabilidad 2/3 incrementará su riqueza en 13 mientras que con probabilidad 1/3 la reducirá en 11. Suponiendo que el individuo es averso al riesgo con función de utilidad ¿Qué decisión tomará el inversionista?
√
2/3 36 + 13 = 49 P
r
1/3
1
36
36 - 11 = 25
Calculando las utilidades esperadas
67. Elección entre universidades. Un estudiante debe escoger entre dos universidades, A y B. Sus perspectivas laborales se resumen en el siguiente cuadro: 0.6
Buen trabajo, Ingresos futuros de S/. 1’ 000,000
Universidad A 0.4
Universidad B
1
Mal trabajo, Ingresos futuros de S/. 250,000
Trabajo digno, Ingresos futuros de S/. 690,000
Suponiendo que el estudiante es adverso al riesgo con función de utilidad , las utilidades esperadas en cada caso son:
68. Un individuo posee un ingreso bruto “I”, y debe decidir si paga o no pagar sus impuestos “T”. Si paga, obtiene con seguridad un ingreso “I -T”. Si decide no pagar con probabilidad de puede ser descubierto debiendo entonces pagar una multa “M”. Si no paga, se queda con su ingreso “I”. ¿Qué decisión tomará el individuo si es averso al riesgo? Sean: I = Ingreso T = Impuesto M = Multa
Paga
1
I-T
I – T - M
Lo Descubren
No Paga 1 -
I
No lo Descubren
√ √ √ √ Sea:
La decisión de la persona depende no de sus ingresos esperados sino de su utilidad esperada.
Dando valores:
Gráfico de la utilidad esperada de las dos loterías 69. Del
ejercicio anterior a. ¿Qué se puede hacer para evitar la evasión? - Elevar las multas - Mejorar la vigilancia (aumentar la probabilidad de descubrir la evasión)
b. ¿Cuánto debería ser la multa M como mínimo para que no evada?
√ √
Si elevamos la multa entonces nivel un poco menor que
disminuye. Bastará con que disminuya a un
Matemáticamente la multa mínima M es la que resuelve la ecuación:
70. Sea activos: -
la riqueza de un individuo la cual desea diversificar en dos
Depositar una fracción a en un banco (activo seguro) el cual paga una tasa de interés del 10% Invertir la fracción restante en un activo riesgoso donde con probabilidad 1/3 puede ganar 20% de lo invertido, y con probabilidad 2/3 puede perder 5% de lo invertido.
Supongamos que el individuo es adverso al riesgo con función de utilidad En términos de loterías Banco
1
1/3 Activo con renta variable
2/3
La utilidad total del individuo es la suma de las utilidades esperadas en cada caso.
[ ]
71. A continuación, se presenta información sobre la curva de utilidad de Clara. Utilidad Total (unidades) 200 160 120 80 40 0
Ingreso (miles S/.) 10 5.2 3.2 2 0.8 0
a) ¿Podría decir si Elena es amante, neutra o adversa al riesgo? Explique Suponga que a Clara le ofrecen un empleo como vendedora, en el que existe una probabilidad de 50% de obtener S/.8000 al mes y una probabilidad de 50% de no tener ingreso alguno. b) ¿Cuál es el ingreso esperado de Elena si toma ese empleo? ¿Cuál sería la utilidad esperada? c) Aproximadamente ¿Cuánto tendría que ofrecer otra empresa a Elena para convencerla de no tomar el empleo de ventas con ingresos inciertos? Explique SOLUCION: a) Se puede explicar graficando los valores dados en el plano cartesiano y notar que se trata de una persona adversa al riesgo porque resulta una curva cóncava. b) El ingreso esperado, son los ingresos que se espera obtener en promedio:
La utilidad esperada, es la utilidad que se espera tener en promedio:
Como no tenemos el valor exacto de la utilidad asociada a un ingreso de S/.8000, la estimamos: Sabemos que el valor de S/.8000 está entre S/.5200 y S/.10000. Podríamos tomar un valor de la utilidad entre 160 y 200. Interpolando la utilidad asociada a un ingreso de S/.8000 es 183.3. Por lo tanto, la utilidad esperada es :
c) Lo que se le debe ofrecer a Clara para no aceptar el empleo como vendedora es el ingreso cierto asociado a un mismo nivel de utilidad esperada. Este valor lo buscamos en la tabla, y como no existe ningún punto asociado a un nivel de utilidad de 91.65 lo estimamos: Sabemos que estará entre 80 y 120, asociado a
un nivel de ingreso entre S/.2000 y S/.3200, por lo tanto interpolando decimos que a 91.65 le corresponde un ingreso de S/.2349.5 Por lo tanto, se le debe ofrecer S/.2349.5 Además, tenemos que la diferencia entre 4000 y 2349.5 es la prima por riesgo. 72. Una persona tiene preferencias que pueden ser expresadas por una función de
. Donde:
utilidad cuya expresión es: . Su riqueza asciende a S/8.00. Si la persona recibe un boleto de lotería cuyo premio mayor es de S/56.00 con probabilidad 0.5 y S/0.00 con probabilidad 0.5. Determine: a) ¿A cuánto asciende su valor esperado luego de recibir el boleto de lotería? b) ¿Qué puede decirse acerca de la actitud de esta persona frente al riesgo? c) ¿A cuánto asciende la prima al riesgo? SOLUCION: a) Gana lotería No gana lotería Recibe boleto 8 No recibe boleto 8 8
b) De acuerdo con su función de utilidad, puede decirse que esta persona es adversa al riesgo ya que dicha función induce a una riqueza segura a una riqueza incierta, mediante su forma cóncava. c)
Calculo de M, donde: Por lo tanto:
73. El gobierno de un país recientemente independizado ha iniciado recientemente un plan de estabilización; no está claro si éste será exitoso o no. Se estima que con una probabilidad de 0.35 el plan será exitoso y que, con una probabilidad de 0.65, éste fracasará. Un inversionista debe elegir entre dos proyectos a invertir, uno en el joven país y otro en el extranjero. Las utilidades del proyecto en el extranjero serán de 350 mil dólares, independientemente de si el plan de estabilización fracasa o no. Las utilidades del proyecto en el país joven serán de 150 mil dólares si el plan de estabilización fracasa y de 900 mil si éste tiene éxito. El empresario es neutro al riesgo. Responda las siguientes preguntas, justificando sus respuestas: a) ¿Cuál de los proyectos de inversión elegirá el empresario?
b) ¿Cuál es la mayor cantidad de dinero que el inversionista estaría dispuesto a pagar por saber, antes de decidir cuál inversión realizar, si el plan de estabilización será exitoso o no?
Solución: a) El inversionista por ser neutral al riesgo, su utilidad es lineal con respecto al ingreso. Por lo tanto, escogerá aquel proyecto que en promedio le reporte mayor ingreso.
En conclusión, el inversionista llevara a cabo el proyecto en el país joven.
b) En ese caso debemos calcular cuál es el valor esperado del ingreso con información perfecta y compararla con la parte (a) sin información. Si tuviéramos información perfecta y supiéramos que el plan será exitoso invertiríamos en el país joven, pero si sabemos que será un fracaso, invertiríamos en el extranjero. Recordemos además que se trata de un individuo neutro al riesgo. Entonces:
El inversionista estará dispuesto a pagar: . Por tener información perfecta sobre el éxito o fracaso del proyecto en el país joven.
74. El sistema tributario de un país es tal que cobra una tasa única de impuesto de un 26% sobre los Ingresos de las personas. Además, se fiscaliza un porcentaje de las declaraciones y en todos los casos inspeccionados en que el contribuyente declara menos ingresos que los reales, se detecta dicha evasión, procediéndose a cobrar el impuesto sobre los ingresos reales, además de una multa sobre el monto del ingreso real. Planteado frente a este sistema, un contribuyente neutro al riesgo debe decidir entre declarar sus ingresos reales o un monto inferior a éstos. Si su ingreso real es de 1350 y la tasa de impuestos es igual a un 26%. Determine el ingreso máximo declarado “Z”, cuando la multa es de un 14% y la probabilidad de fiscalización es de un 70%, tal que deja indiferente al individuo entre declarar ese monto y todo su ingreso. SOLUCION:
Ordenando la información: Tasa de impuesto 0.26
Probabilidad de fiscalización 0.7
Ingreso real
multa
1350
0.08
Los pagos que se deben realizar en cada caso son:
Me descubren
Declarar todo Declarar solo “Z”
No me descubren
Ahora es fácil calcular lo demás: La cantidad máxima “Z” será cua ndo E (ingreso si declaro todo) es igual a E (ingreso de declarar sólo Z). Por lo tanto:
75. Un joven inversionista invirtió en una empresa de computación, ya que ella está
a punto de lanzar al mercado un nuevo software llamado “Luminions” que reemplazará al “Ventanax XP”. Sin embargo, la industria del software está pasando por un momento de mucha competencia por lo cual no se sabe si cuando este producto salga al mercado no haya aparecido antes el nuevo producto de la competencia, “Ventanax XP”. La probabilidad de que cuando “Luminios” aparezca en el mercado ya haya aparecido Ventanax XP es de un 45% y en ese escenario los ingresos del inversionista son de 450 UM. Al contrario, la probabilidad de que “Aluminios” salga al mercado y no haya aparecido “Ventanax XP” es de un 55% y en ese caso el inversionista recibe 1450 UM. a) Calcule el ingreso esperado de la inversión. b) Calcule la utilidad esperada de su inversión si su función de utilidad es: c) ¿Cuánto es la prima por riesgo que está exigiendo el inversionista?
SOLUCION: a) Ordenando la información del problema: Apareció Ventanax XP (Probabilidad igual 0.45) 450 Lanzo “Luminios” 0 No lanzo “Luminios”
b)
No apareció Ventanax XP (probabilidad igual a 0.55) 1450 0
c) Calculo un “M” tal que me dé el mismo nivel de utilidad: Es decir busco el M que:
Entonces: Por lo tanto, la prima por riesgo es igual a:
E JE RCI CI OS PROPUE STOS
1. Se ve a Jorge hacer una apuesta de $ 100000 en favor de Bulls en la final de la NBA. Si Jorge tiene una función logarítmica de utilidad patrimonial Y su patrimonio corriente es de $1000 000 ¿Cuál considera que es la misma probabilidad de que ganen los Bulls? 2. Demuestre lo siguiente: si la función de utilidad patrimonial de un individuo es convexa preferirá apuestas razonables a la certeza del ingreso, incluso podría estar dispuesto a aceptar apuestas un tanto irrazonables ¿crees que este tipo de comportamiento de asumir riesgos es común? ¿Qué factores podrían tender a limitar su ocurrencia? 3. Un individuo adquiere una docena de huevos y debe de llevarlos a su casa. Aunque hacer viajes a casa no tiene costo alguno, hay 50% de posibilidad que todos los huevos transportados en un viaje se rompan durante la trayectoria. El individuo considera dos estrategias: a. Llevar los 12 huevos en un solo viaje b. Hacer dos viajes con 6 huevos cada uno
En lista los posibles resultados de cada estrategia y las probabilidades de esos resultados. Demuestre que, en promedio, 6 huevos permanecerán sin romperse después del viaje a casa Desarrolle una gráfica para mostrar la utilidad obtenible en cada estrategia ¿Cuál estrategia será preferible? 4. Al decidir estacionarse en un sitio prohibido, un individuo sabe que la probabilidad de recibir una infracción es p y que la multa por esa infracción es f. supón que todos los individuos son resistentes al riesgo (es decir, donde W es el patrimonio del individuo, un incremento proporcional en la probabilidad de ser sorprendido o un incremento proporcional en la multa ¿será un elemento disuasorio más eficaz para impedir el estacionamiento? 5. Un agricultor cree que hay una posibilidad de 50-50 de que la siguiente temporada de cultivo sea especialmente lluviosa. Su función de utilidad esperada tiene la forma.
Donde Y y X representan el ingreso del agricultor en s ituaciones de “lluvia normal” y “muy lluvioso”, respectivamente. a. Supón que el agricultor debe elegir entre dos cultivos que prometen las siguientes perspectivas de ingresos Cultivo Trigo Maíz
Y 28000 19000
X 10000 15000
¿Cuál de estos cultivo sembrara? b. ¿Qué mezcla de trigo y maíz le ofrecería al agricultor el óptimo de utilidad esperada?
6. Dado el famoso juego de san Petersburgo de lanzar una moneda al aire repetidas veces y pagar S/2 si aparece sello en la n-esima jugada. Demuestre que si una persona tiene la siguiente función de utilidad y un ingreso inicial de S/99 la mayor suma que pagara por participar en este juego S/3 Ingreso 96 98 99 100 102 104
Utilidad 195 198 199,25 200 201 201
7. Una persona tiene la siguiente función de utilidad , donde I es su gasto en bienes de consumo y M su gasto en seguro médico. C es 1 si la persona está enferma y 0 si está sana. La forma de esta función de utilidad implica que cuanto más gasta la persona en seguro médico mejor será el cuidado y menos onerosa será la enfermedad. La probabilidad de que caiga enfermo es de 0.5, si tiene un ingreso de S/ 10 ¿Cuánto gastara la persona en seguro médico? 8. Un municipio está tratando de reducir el número de personas que se estacionan ilegalmente la pregunta eterna es si debe incrementarse la probabilidad de detectar el estacionamiento ilegal, o si debe subirse la multa a los que ya han sido detectados. Si los infractores son adversos al riesgo ¿podemos deducir que un aumento de 10% en la multa tendrá tendrá un mayor efecto que en un aumento de 10% en probabilidad de detección? 9. Una persona tiene una función de utilidad del ingreso Su ingreso adicional asciende a S/ 4, posee un billete de lotería que puede valer S/ 12 con la probabilidad de 0.5 y S/ 0 con la probabilidad de 0.5 ¿Cuál es la utilidad esperada? ¿Cuál es el máximo precio p al cual estaría dispuesto a comprar la lotería? 10. Un consumidor tiene una función de utilidad del ingreso de la forma , se le ofrece la oportunidad de apostar en el lanzamiento de una moneda que tiene la probabilidad p de caer en cara. Si apuesta S/ X podrá ganar I + x si la moneda cae cara y I – x si cae sello encuentre el valor óptimo de x en función a p ¿Cuál será la elección optima si p=0.5 11. La función de esperanza de utilidad de un consumidor tiene la formula Se le ofrece una lotería que le daría un ingreso I con la probabilidad p e I con la probabilidad de 1-p ¿Para qué nivel de ingreso le seria indiferente conservar su riqueza actual o participar en el juego? 12. Un agricultor puede cultivar trigo o papas o ambos a la vez. Si el clima es bueno un acre de tierra rinde ganancia de $2000 si está dedicado a producir trigo y $1000 si está dedicado a producir papas si el clima es malo, el mismo acre de tierra rendirá $1000 si está dedicado al trigo y $1700 si está dedicado a las papas. El buen y el mal clima son igualmente probables:
a. Suponiendo que el agricultor tiene una función de utilidad proporción de trigo debería estar dedicada a este cultivo
,que
b. Si el agricultor puede comprar una póliza de seguros que por cada $ 1 de prima paga $ 2 si el clima es malo y no paga nada si el clima es bueno ¿Cuánto de seguro comprara el agricultor y que proporción de tierra estará dedicada al trigo? 13. Supongamos que un fabricante introduce un nuevo producto. Si el producto cumple con los atributos publicitados por el fabricante, el nivel de utilidad de cada consumidor es u= donde x es el numero de unidades consumidas del nuevo producto e y el numero de unidades del otro producto que consumo. Existe, sin embargo,una probabilidad de ½ de que el producto no satisfaga a las expectativas y rinda solo el ¼ del flujo de servicios esperado y en este caso la utilidad estará dada por u= . Suponiendo que ambs bienes cuestan $1 por unidad, que es imposible probar x antes de comprarlo y que no existe reembolso si el producto no funciona bien. ¿cuánto comprara cada consumidor del bien x si su ingreso es $16? 14. La utilidad que una persona obtiene con los distintos niveles de ingreso en el siguiente periodo es la que aparece en la siguiente tabla:
Ingreso 260 285 290 310 315 320
Utilidad 1000 1500 1575 1856 1926 1980
En este periodo decide ahorrar $200 y en el siguiente recibirá un ingreso de otras fuentes por $100. Los $200 de ahorro pueden ser invertidos ya sea en un bono que rinde 10% con certeza o con una acción de una empresa que rinde 20% con una probabilidad de 0.8 y una perdida de 20% con una probabilidad de 0.2. Tanto los bonos como las acciones son vendidos en unidades de $100 Si no se paga impuestos por las inversiones. ¿cree usted que el consumidor gastará todos sus ahorros de $200 en bonos? 15. La inversión A ofrece una probabilidad de ½ de pagar de $10 y una probabilidad de ½ de pagar 6. La inversión B por el mismo costo tiene una probabilidad de ½ de pagar $9 y una probabilidad de ½ de pagar 5. Cual es la mejor inversión? 16. Un agricultor cree que hay una posibilidad de 50-50 de que la siguiente temporada de cultivo sea especialmente lluviosa. Su función de utilidad esperada tiene la forma.
Donde Y y X representan el ingreso del agricultor en situaciones de “lluvia normal” y “muy lluvioso”, respectivamente. c. Supón que el agricultor debe elegir entre dos cultivos que prometen las siguientes perspectivas de ingresos
Cultivo Trigo Maíz
Y 22000 11500
X 10400 15000
17. El sistema tributario de un país es tal que cobra una tasa única de impuesto de un 35% sobre los Ingresos de las personas. Además, se fiscaliza un porcentaje de las declaraciones y en el 100% de los casos inspeccionados en que el contribuyente declara menos ingresos que los reales, se detecta dicha evasión, procediéndose a cobrar el impuesto sobre los ingresos reales, además de una multa sobre el monto del ingreso real. Planteado frente a este sistema, un contribuyente neutro al riesgo debe decidir entre declarar sus ingresos reales o un monto inferior a éstos. Si su ingreso real es de 1000 y la tasa de impuestos es igual a un 35%, determine: (a) El ingreso máximo declarado D, cuando la multa es de un 10% y la probabilidad de fiscalización es de un 60%, tal que deja indiferente al individuo entre declarar ese monto y todo su ingreso. (b) La multa mínima, para que el individuo prefiera NO evadir, si la fiscalización es de un 50%. (c) El porcentaje mínimo de declaraciones a fiscalizar, para que el individuo prefiera NO evadir nada si la multa 18. Un joven inversionista invirtió en una empresa de computación, ya que ella está a punto de lanzar al mercado un nuevo software llamado Puerta‟s que reemplazará al Ventana‟s Millenium Edition. Sin embargo la industria del software está pasando por un momento de mucha competencia por lo cual no se sabe si cuando este producto salga al mercado no haya aparecido antes el nuevo producto de la competencia, Ventana‟s XP. La probabilidad de que cuando Puerta‟s aparezca en el mercado ya haya aparecido Ventana‟s XP es de un 40% y en ese escenario los ingresos del inversionista son de 100 UM. Al contrario la probabilidad de que Puerta‟s salga al mercado y no haya aparecido Ventana‟s XP es de un 60% y en ese caso el inversionista recibe 900 UM. (a) Calcule el ingreso esperado de la inversión. (b) Calcule la utilidad esperada de su inversión si su función de utilidad es: U (M) =M1/2 (c) ¿Cuánto es el premio por riesgo que está exigiendo el inversionista? 19. Suponga que Usted dispone de US$ 10.000 para invertir y existen dos alternativas de inversión: acciones de la compañía A y acciones de la compañía B. Una acción de cualquiera de las dos compañías cuesta US$ 1 y Ud. cree que aumentará a US$ 2 si la compañía tiene un buen desempeño y que la acción quedará sin valor si el desempeño es malo. Cada compañía tiene una probabilidad de 50% de marchar bien. Si Ud. que invertirá sólo US$ 4.000 y evalúa las siguientes alternativas: - Alternativa 1: Invertir sólo en la empresa A. - Alternativa 2: Invertir la mitad en la empresa A y mitad en la empresa B. Calcule las utilidades asociadas a cada alternativa y muestre gráficamente que la estrategia diversificada le entregará una mayor utilidad
20. A continuación se presenta información sobre la curva de utilidad de Elena. Ingreso 5 2.6 1.6 1 0.4 0
Utilidad 100 80 60 40 20 0
¿Podría decir si Elena es amante, neutra o adversa al riesgo? Explique 21. Supongamos que el ayuntamiento de una gran ciudad se plantea controlar el aparcamiento en su área central. Para ello puede implementar una de estas dos políticas: aumentar la vigilancia policial en un 10%, o aumentar las multas en un 10%. Responda: (a) Tras la implementación de cada una de las políticas, ¿cuál es el valor esperado de un conductor si decide aparcar en zona prohibida? (b) ¿Qué política será la más disuasoria si los conductores son adversos al riesgo? ¿Y si son amantes del riesgo? ¿Y si son neutrales ante el riesgo? Explique sus respuestas gráficamente. (c) Si el objetivo del ayuntamiento fuera meramente recaudatorio, ¿qué política sería más beneficiosa para las arcas municipales? 22. Suponga w1 > w2 > w3 > w4, y que u(w1) + u(w4) = u(w2) + u(w3); donde las w denotan niveles de riqueza, y u es la función de utilidad de dinero de un individuo. Si es averso al riesgo y maximiza la utilidad esperada, preferirá una lotería que le ofrezca ganar w2 y w3 con una probabilidades del 50% frente a ganar w1 y w4 con probabilidades del 50%, ya que esta última opción implica una varianza (riesgo) de resultados más elevada. ¿Cierto o falso? 23. Suponga que un agricultor tiene una cantidad inicial de trigo de 1000 kg. Debe decidir qué cantidad consumir y qué cantidad plantar para obtener más trigo al año siguiente. Si llueve obtendrá 10kg. de trigo por cada kg. que planta. En cambio, si no llueve obtendrá solo 5 kg. de trigo por cada kg. plantado. La probabilidad de que llueva es ½. La función de utilidad de este individuo es u(c0,c1) donde c0 y c1 son el consumo en el primer y segundo periodo. El problema que se plantea el agricultor es cuando trigo plantar. a) ¿Cuáles son los planes de consumo en este caso? b) ¿Cuál es la cantidad optima a plantar?
