Topicos da Mecânica Classica

T´ opicos opicos de Mecˆ anic an ica a Cl´ Cl´ assi assica ca Marcus A. M. de Aguiar 11 de Novembro de 2010

ii

Conte´ udo udo Pref´ acio

vii

Agradecimentos

ix

1 Mecˆ anica Newtoniana 1.1 1.1 O prin princc´ıpio ıpio dete determ rmin in´´ısti ıstico co de Newt Newton on . . . . . . . . . . . . 1.2 O grup o de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemplos elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 1.4 Mov Movimento de uma part art´ıcul cula . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Movime Movimento nto em uma dimens˜ dimens˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 1.5.1 Oscilad Osciladores ores anarmˆ anarmˆ onicos . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Sistemas de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 O problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. 1.7.11 Equa Equa¸c˜ çoes o˜es de movim movimen ento to e quan quantida tidades des conserv conservadas adas 1.7. 1.7.22 So Sollu¸c˜ cao aõ da equa¸c˜ caõ radial . . . . . . . . . . . . . . 1.7. 1.7.33 A equa equa¸c˜ ção da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 As três leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

1 5 6 8 11 13 14 17 21 21 25 28 30 31

. . . . .

33 33 35 38 45 47

2 As 2.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4 2.5

Equa¸c˜ c˜ oes de Euler-Lagrange V´ınculos e grau raus de liber berdad adee . . . . . . . . . . . . . O princ´ princ´ıpio de D’Alem D’Alembert: bert: caso est´ atico . . . . . . . O princ´ princ´ıpio de D’Alem D’Alembert bert e as equa¸c˜ co˜es de Lagran grangge Lagra Lagrange ngeana ana para para a for¸ força de Lorentz . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Princ´ıpios Variacionais 51 3.1 O princ´ıpio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iii

´ CONTEUDO

iv 3.2 3.2

3.3 3.4 3.5

3.6 3.7

3.8 3.9

O método e todo varia ariaci cion onal al de Eu Eule lerr-La Lagr gran ange ge . . . . . . . . . . . . 54 3.2. 3.2.11 A cate caten´ n´ oide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2. 3.2.22 A braqu braquis ist´ t´ ocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 O princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Coordenadas c´ c´ıclicas ıclicas e leis de conserva¸ conserva¸ c˜ caõ . . . . . . . . . . . 70 3.5. 3.5.11 Co Cons nserv erva¸ a¸c˜ cao a˜ o do doss mom momen ento toss li line near ar e ang angul ular ar . . . . . . 71 3.5. 3.5.22 Co Cons nserv erva¸ a¸c˜ caõ da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Sob obrre a un uniicidade da Lagr agran anggean eana . . . . . . . . . . . . . . . . 74 O teorema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.7. 3.7.11 Varia aria¸c˜ çao aõ segunda da a¸c˜ cao a˜ o para para sist sistem emas as simp simple less . . . . 79 3.7. 3.7.22 Demo Demonst nstra¸ ra¸ c˜ caõ do teorema de Morse . . . . . . . . . . . 82 O problema problema da causalid causalidade ade e as integra integrais is de caminho caminho de Feynman Feynman 85 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 As Equa¸c˜ co ˜es de Hamilton 4.1 A transformada de Legendre . . . . . . . 4.2 4.2 As equa equa¸c˜ ço˜es de Hamilton . . . . . . . . . 4.3 Hamiltoniana versus Energia . . . . . . . 4.4 4.4 Nota¸ ota¸c˜ caõ simplética . . . . . . . . . . . . 4.5 4.5 O Prin Princc´ıpio pio de Hamil amilto ton n Modi Modific ficad adoo . . 4.6 4.6 Propri Propried edade adess da A¸ c˜ caõ . . . . . . . . . . . 4.7 O princ´ıpio pio de Mau Maupert pertui uiss . . . . . . . . 4.8 4.8 Espa Espa¸co ço de de Fas Fases es e Su Super perff´ıcie ıcie de Ene Energ rgia ia . 4.9 Sec˜ ço˜es de Poincaré . . . . . . . . . . . . 4.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

5 Tran ransfor sforma¸ ma¸ c˜ coes o ˜es Canˆ onicas 5.1 5.1 Fun un¸ções Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Exemplos Exemplos de Transform ransforma¸ a¸c˜ coes o˜es Canˆ o nicas . . . . . . . . . onicas 5.3 5.3 Formul ormula¸ a¸c˜ cão Simplética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 O Grupo Simplético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Transform ransforma¸ a¸c˜ coes o˜es Infini Infinitesi tesimai maiss e a Identid Identidade ade de Jacob Jacobii 5.6 5.6 Equa Equa¸c˜ çoes o˜es de Movimento e Leis de Conserva¸c˜ caõ . . . . . 5.7 Inv Invarian ariantes tes Canˆ onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Os Colchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . 5.7. 5.7.22 O in invaria arian nte de Poinc oincar ar´é-Ca e -Cart rtan an . . . . . . . . . 5.8 O teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

91 91 93 97 10 100 101 101 10 103 106 106 107 11 115 11 117

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

121 . . . 12 122 . . . 128 . . . 13 131 . . . 13 135 . . . 135 . . . 13 137 . . . 14 140 . . . 14 140 . . . 141 . . . 14 146

´ CONTEUDO

v

5.9 5.9 O teo teore rema ma de Liou Liouvi vill llee par paraa si sistem stemas as gera geraiis . . . . . . . . . . 151 151 5.10 5.10 O teore teorema ma de de recor recorrˆ rˆ encia e ncia de de Poi Poinca ncar´ r´ e . . . . . . . . . . . . . . 153 5.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 157

6 Integrabilidade 159 6.1 6.1 Equa Equa¸c˜ ção a o de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.2 6.2 So Solu lu¸çao formal rmal de Hamiltonton-J Jacob obii . . . . . . . . . . . . . . . 164 164 6.3 6.3 Hami Hamilltonton-Ja Jaco cobi bi inde indepe pend nden ente te do temp tempoo . . . . . . . . . . . . 165 165 6.4 6.4 Inter Interpr preta eta¸c˜ çaõ geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 166 6.5 6.5 Limi Limite te Semic Semicl´ l´ assico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.6 6.6 Teorem oremaa de Arno rnold-Liouvi uville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 173 ˆ 6.7 6.7 Vari´ ari´ aveis aveis de A¸cão e Angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 180 6.7.1 Um grau de liber berdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 182 6.7.2 Va´rios graus de liber berdade . . . . . . . . . . . . . . . . 18 183 6.7.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 184 6.8 Super per-integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 189 6.8. 6.8.11 O vetor etor de Lapl Laplac acee-Ru Rung ngee-Le Lenz nz . . . . . . . . . . . . . 189 189 6.9 O teorema de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 190 6.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 193 7 Estabilidade 7.1 7.1 Ponto ontoss de de Equ Equil il´´ıbri ıbrioo em em 1 grau grau de li liber berda dade de . 7.1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 7.2 Po Pont ntos os de de Equi Equill´ıbri ıbrioo em n graus graus de libe liberda rdade de . 7.3 7.3 Po Pont ntos os fixos fixos nas nas Se¸ Se¸ c˜ coes o˜ es de Poincar´ aré . . . . . . 7.4 Variedade ariedadess Est´ aveis aveis e Instáveis . . . . . . . . 7.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Teoria eoria de de Pert Perturb urba¸ a¸c˜ ao 8.1 Um grau de liber berdade . . . . . . . . 8.1. 8.1.11 Exem Exempl plo: o: o pêndu e ndullo simp simplles 8.2 8.2 Dois ou mais grau grauss de liberd berdaade . . 8.2.1 Preâmbulo . . . . . . . . . . 8.2. 8.2.22 O Ca Caso so n˜ a o-ressonante . . ao-ressonante 8.2.3 O Caso ressonante . . . . . 8.2.4 Estruturas fractais . . . . . 8.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

197 . 197 . 20 201 . 203 . 205 205 . 20 8 . 21 210

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

213 . . . 21 213 . . . 216 216 . . . 21 219 . . . 21 219 . . . 222 . . . 22 225 . . . 22 2 29 . . . 23 231

vi

´ CONTEUDO

9 O Teorema KAM 233 9.1 9.1 O m´ método e todo super superco con nverge ergen nte de Newt Newton on . . . . . . . . . . . . . 233 233 9.2 9.2 Pertu Perturb rba¸ a¸c˜ coes o˜ es singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.3 9.3 Fra¸ rac˜ ções cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 238 9.4 O teorema KAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.5 9.5 Ap Apli lica ca¸c˜ ço˜es em astronomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 246 9.5. 9.5.11 O pro probl blem emaa de de trˆ trˆ es e s corpo corposs em em um um pla plano no . . . . . . . . 246 9.5.2 9.5.2 Falhas alhas no cintur˜ cintur˜ ao ao de aster´ oides o ides . . . . . . . . . . . . . 248 9.5. 9.5.33 Falha alhass no noss an an´éis e is de Sa Satu turn rnoo . . . . . . . . . . . . . . . 249 249 9.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 251 10 Caos Hamiltoniano 10.1 10.1 O mapa mapa de tor¸ c˜ caõ . . . . . . . . . . . 10. 10.2 O teo teore rema ma de Poinc oincar ar´é-Bi e -Birk rkho hoff ff . . . 10.3 0.3 O emaran ranha had do ho hom mocl ocl´ınico . . . . . 10. 10.4 Ca Caos os:: o map mapaa de de Fer Ferra radu dura ra de Sm Smal alee 11 Simetrias e Meios Cont´ınuos 11.1 Simetrias Simetrias e Leis de Conserva¸ Conserva¸ c˜ caõ . . 11.2 1.2 Meios eios con cont´ınuos e campo amposs . . . . . 11.3 Generaliza¸ Generaliza¸c˜ caõ para campo poss em 1-D 11.4 M´ ultiplos campo poss em 3-D . . . . . 11.5 Correntes conservadas . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

253 . 25 3 . 256 256 . 259 259 . 262 262

. . . . .

269 . 26 9 . 272 272 . 27 274 . 27 276 . 27 276

A Muda Mudan¸ n¸ ca de vari´ ca ari´ aveis aveis em integ integrai raiss multid multidimen imensio sionai naiss

279

B Comutador dos Campos Vetoriais

283

C Comuta Comuta¸¸c˜ c˜ ao ao dos Fluxos Flu xos em M f f

285

D Vari´ aveis aveis de a¸c˜ cao a õ e ˆ a ngulo angu lo pa parra o prob roblema lema de Keple eplerr

289 289

Bibliografia

293

Pref´ acio Novos livros de f´ısica básica asica continuam a ser escritos e publicados todos os anos. anos. Isso Isso parece um tanto parado paradoxal xal,, pois n˜ a o pode haver mais nada de ao novo para se dizer sobre esses temas. De fato, a Mecˆ anica, anica, a Termodinˆ amica amica e o Eletromagnetismo s˜ ao teorias bem estabelecidas h´ ao a muitos anos, e tanto já se escreveu sobre elas, que n˜ ao ao é claro c laro porque tantos autores aut ores insistem em re-apresentar esses conte´ udos udos de sua pr´ opria opria maneira. No entanto, para quem faz pesquisa, ou se interessa pelos avan¸ cos c os da ciência, enc ia, é bastant bas tantee claro cla ro que ‘n˜ ao existe assunto encerrado’. Novas descoberao tas sempre nos fazem repensar conceitos que pareciam intoc´ aveis para reinterpret´ a-los a-los e re-adapt´ a-los a-los as às novas situa¸c˜ cões. o es. A Mecânica anica Clássic as sicaa é um otimo ótimo exemplo desse processo pro cesso constante de re-descoberta. re-descob erta. No in´ in´ıcio dos anos a nos 1800 Laplace La place afirmou que se alguém em pudesse conhecer todas as for¸ cas agindo sobre todas as part pa rt´´ıculas existentes, assim como suas condi¸ c ondi¸ cões oes inicias, poderia ria calcul calcular ar todo o futur futuroo e o passa passado do do un univ ivers erso. o. Esse Esse pensame pensament ntoo determinista, terminista, no entanto, entanto, cairia por p or terra com os trabalhos trabalhos de Poincar´ Poincaré, e, que demonstrou demonstrou a instabilidade instabilidade intr´ intr´ınseca do moviment movimentoo no problema problema gravitagravitacional de três es corpos, fundando as bases do que seria conhecido mais tarde como Teoria do Caos. Simultaneamente aos trabalhos de Poincaré, e, apareciam os primeiros ind´ıcios ıcio s da d a inadeq ina dequa¸ ua¸c˜ cao aõ da mecânica anica e do eletromagn eletr omagnetismo etismo clássicos assico s para explicar certos fenˆ omenos omenos microsc´ opicos, opicos, como o efeito fotoelétrico etrico e a quantiza¸c˜ cão ao dos n´ıveis de d e energia atˆ omicos. omicos. Surgiria em breve b reve a teoria quântica antica e, junto com co m ela, ela , a dif´ dif´ıcil tarefa ta refa de compatibiliz´ a-la a-la com a mecânica anica cl´ assica. assica. Clássico assico versus quântico antico emaranhou-se com caos versus regularidade, e o es´ com esse esp´ tudo dessas quest˜ oes oes estende-se estende-se até os dias de hoje. E esp´ırito que esse livro foi escrito, tendo como base textos clássicos assicos como Goldstein e tantos outros, mas sempre procurando contato com elementos novos, particularmente com caos Hamiltoniano e limite semicl´ assico. assico. vii

viii

´ PREF ACIO

Esse livro foi preparado a partir de notas de aula para a disciplina Mecˆ anica anica Avan¸cada, cada, que lecionei v´ arias arias vezes na pós-gradua¸ os-gradua¸c˜ cão ao do Instituto Instit uto de F´ısica da Unicamp. Unicamp. Os primeiros primeiros cinco cap´ cap´ıtulos cont´ contém em uma breve revis˜ ao da mecânica anica Newtoniana, apresentando em seguida as equa¸ c˜ coes o˜es de Lagrange, os princ´ princ´ıpios variacionais e o formalismo for malismo de Hamilton, enfatizando e nfatizando o teorema te orema de Liouville, o teorema de recorrência encia de Poincaré e o tratamento dinˆ amico de ensembles. ensembles. Em seguida apresento apresento a teoria de transforma¸ cões oes canˆ onicas, onicas, incluindo cluindo a equa¸c˜ cão ao de Hamilton-Jacobi e sua rela¸c˜ cao aõ com o limite semiclássico assico da equa¸c˜ cao aõ de Schr¨ odinger. odinger. Os cap´ cap´ıtulos seis a nove discutem o teorema de integrabilidade de Arnold e Liouville, as vari´ aveis aveis de a¸c˜ cão ao e angulo aˆngulo e a teoria de perturba¸c˜ coes o˜es canˆ onicas, onicas, onde apresento os teoremas KAM, Poincaré-Birkhoff e-Birkhoff e os emaranhados emaranhados homocl´ homocl´ınicos, discutindo o aparecimento aparecimento de caos HamilHamiltoniano. Finalmente Finalmente apresento brevemente brevemente o limite do cont´ cont´ınuo, ınuo, a equa¸ cão ao da corda vibrante e o teorema de N¨ othe o ther. r. Esper Esperoo que que o li livr vroo possa possa ser u util ´ til como complemento nos cursos de p´ os-gradua¸ os-gradua¸c˜ cao aõ em mecânica anica clássica assica e também em aos estudantes interessados em aprender ap render sobre caos Hamiltoniano Hamilton iano e sua conex˜ ao ao com o limite semiclássico assico da teoria quˆ antica. antica.

Marcus A.M. de Aguiar Campinas, 11 de novembro de 2010.

Agradecimentos ´ um grande prazer agradecer a todos os alunos que estudaram pelas diE versas versões oes anteriores das notas de aula que originaram esse livro e que, pacientemente, me apontaram erros de todos os tipos: de gram´ atica atica e grafia, nas equa¸c˜ coes, o˜es, trechos com explica¸ explicac˜ ções oes obscuras ou confusas, etc. Gostaria de agradecer particularmente aos alunos Douglas Delgado de Souza, Eric Perim Martins, Murilo Murilo Neves Martins, Ceno P. P. Magnaghi e Thiago Visconti. Visconti. Um agradecimento especial ao aluno Wendell Pereira Barreto que fez uma revis˜ ao geral em todo o texto, ajudou nas figuras e na compila¸c˜ cao aõ das referˆ ref erências enc ias..

ix

x

AGRADECIMENTOS

Cap´ıtulo 1 Mecˆ Mecˆ anica anic a Newt Newton onia iana na A mecânica anica é um ramo da F´ısica que tem grande gran de apelo ape lo pr´ atico. atico. O movimento movimento de corpos sob a a¸c˜ cao aõ da gravidade, de for¸cas cas el´ asticas asticas e de atrito são ao exemplos intuitivos de sistemas dinˆ amicos amicos presentes presentes no nosso dia-a-dia. Embora seja dif´ dif´ıcil precisar quando a mecˆ anica anica come¸cou cou a ser descrita em termos de princ´ıpios ıpios fundamentais funda mentais,, um marco importante impo rtante é a descri¸ descr i¸ cão ao de Arist´ oteles oteles (384-322 AC) AC) do movimento movimento dos corpos. Para ele, todos os movimentos movimentos seriam retil´ retil´ıneos, circulares, ou uma combina¸ c˜ cão ao dos dois, pois esses eram os unicos u ńicos movimentos perfeitos. perfeitos. O estado natural de alguns corpos seria o de movimento perfeito, como os corpos celestes. Para outros, como uma pedra, o estado natural seria ser ia o de repouso, rep ouso, sendo send o seu movimento poss´ poss´ıvel apenas sob a a¸c˜ cao aõ constante de for¸cas: cas: no momento que a for¸ca ca deixasse de ser aplicada, o corpo retornaria a` sua posi¸c˜ cao ão natural de repouso. As idéias eia s de d e Arist´ Aris tóteles oteles são ao questionadas por Galileo (1564-1642) que introduz o que hoje conhecemos como método odo cient´ıfico, co, que diz, basicamente, que conclus˜ oes sobre o comportamento natural devem ser comprovadas por oes experimentos cuidadosos e controlados que possam ser reproduzidos sob as mesmas condi¸c˜ cões. oes. Galile Galileoo formula formula as leis básicas asicas do movimento de corpos sob a a¸c˜ cao aõ da gravidade, usa um telescópio opio para estudar o movimento dos planetas e formula o Princ´ Princ´ıpio da d a Relatividade de Galileo. O princ´ princ´ıpio diz que não ao é poss´ poss´ıvel distinguir distinguir o estado de repouso daquele em moviment movimentoo retil´ retil´ıneo uniforme. Como exemplo, Galileo observa que uma pessoa no p por˜ or˜ ao de um navio que navega em mar calmo com velocidade constante não a o tem como saber se est´ a realm realmen ente te em movim movimen ento to ou em repous repouso. o. Se a pessoa pessoa não ao olhar pela escotilha, n˜ ao ao haver´ a nenhum experimento capaz de decidir a questão. ao. 1

ˆ MECANICA NEWTONIANA

2

1.0

A conexão ao entre repouso r epouso e movimento retil´ retil´ıneo uniforme, observada por po r Galileo, atinge diretamente a teoria Aristotélica, elica, pois o primeiro é o estado natural das coisas, enquanto o segundo deveria requerer a aplica¸c˜ cao aõ constante de for¸cas. cas. A sa´ sa´ıda para essa contradi¸ c˜ cao aõ aparece alguns anos mais tarde com Isaac Newton (1643-1727), que generaliza os achados de Galileo e também em organiza e unifica os conceitos mais importantes da mecânica. anica. Veja a referˆ re ferência encia [1] [1 ] para uma biografia biog rafia recente de Newton. Newton define conceitos como massa, quantidade qua ntidade de movimento, inércia, ercia, for¸ca ca e acelera¸c˜ cão, ao, discutindo também em os conceitos de espa¸ co co e tempo, considerados em ultima u´ltima análise alise absolu absolutos. tos. As trˆ três es leis leis de Newton Newton formam formam a base da mecˆ anica anica clássica. assica. Embora tenham sido reformuladas por Lagrange, Hamilton e outros, essas leis são ao consideradas como fundamentais dentro do context cont extoo não-rel ao- relati ativ v´ıstico ıst ico e n˜ ao-quˆ ao-quântico antico até hoje. A primeira primeira lei define sistemas sistemas de referˆ referência encia especiais, especiais, chamados chamados de inerciais, inerciais, onde o movimento movimento de corpos pode ser descrito descrito em termos da segunda segunda lei. lei. A terceira terceira lei, finalmente, acrescenta o importante ingrediente da a¸ cão a o e rea¸c˜ cao, ão, que garante a conserva¸c˜ cão ao dos momentos linear e angular total de sistemas isolados. Discutiremos agora ag ora esses esse s conceitos conceito s fundamentais e as três es leis de Newton, 1 dando sua vers˜ ao ao ‘original’ e uma tradu¸c˜ cão ao livre para o Portuguˆ Português. es. Conceitos e leis são ao apresentados abaixo de forma misturada, que foi a que me pareceu mais did´ atica: atica:

Espa¸co co - Na mecânica anica cl´ assica assica o espa¸co co é tratad tra tadoo como com o absolu abs oluto, to, homogˆ hom ogêneo ene o e isotrópico. opico. A medida medida de distˆ ancia entre dois corpos ou dois pontos do espa¸ ancia co co é feita com uma régua, egua, escolhida esco lhida como padrão. ao. Os três es adjetivos adjet ivos acima significam que medidas de distˆ ancia ancia não ao dependem do estado do observador que as realiz rea lizaa (o ( o que q ue não ao é mais m ais verdade verd ade na teoria teo ria relati rel ativ v´ıstica ıst ica)) e, além em disso, dis so, não ao dependem da posi¸c˜ cao aõ absoluta desses dois pontos no espa¸co c o e nem de sua orienta¸c˜ cão ao (os dois pontos podem estar na Terra ou na Lua, orientados na dire¸c˜ cão ao Terra-Lua ou perpendicularmente). Essas duas ultimas ultima ´ s hip´ oteses, oteses, tamb´ ta mbém em válidas alidas na teoria relativ´ relativ´ıstica, nos permitem extrapolar resultados resultados de experimentos realizados na Terra para outros lugares do Universo. em é tratado como absoluto e uniforme, e sua meTempo - O tempo também dida é feita com um rel´ ogio ogio padrão. ao. O pr´ oprio oprio Newton Newto n desenvolveu dese nvolveu vários arios 1

[2]

Como aparece em inglˆ es es na tradu¸c˜ cão ao do latim por Andrew Motte em The Principia

1.0

3

relógios, ogios, particularmente rel´ ogios o gios de agua. água. O tempo absoluto absoluto significa significa que o intervalo entre dois eventos é independente indep endente do estado do observador o bservador que o mede, sendo intr´ intr´ınseco ınsec o aos a os eventos.

Sistemas Siste mas de referência, encia, velocidade, veloc idade, acelera¸ acele ra¸ c˜ c˜ ao ao e tra jet´ je t´ oria oria - O conceito de sistema de referência encia (SR) é fundamental, embora muitas vezes n˜ ao lhe damos grande importˆ ancia ancia e o consideramos consideramos impl´ impl´ıcito. Um SR Newtoniano deve ser pensado como um laborat´ orio e consiste em um sistema de orio eixos e um relógio. ogio. A imagem mental de um SR é de três es réguas eguas gigantes colocadas a 90 graus g raus umas das d as outras formando os três es eixos cartesianos ca rtesianos x, y e z e de um unico uńico rel´ ogio ogio vis´ıvel ıvel de todos os lugares lugare s para medir a passagem do tempo. tempo. Com isso, isso, podemo p odemoss anotar a cada instant instantee t, como visto no relógio, ogio, a posi¸c˜ cao aõ r = (x,y,z) part´ıcula. A taxa com que sua posi¸ p osi¸ cão ao muda x,y,z ) de uma part´ com o tempo, e a dire¸c˜ cao aõ em que a mudan¸ca ca ocorre, dar´ a sua velocidade v = (dx/dt, dx/dt, dy/dt, dy/dt, dz/dt) dz/dt) = (vx, vy , vz ) e a taxa com que a velocidade muda com tempo dar´ a sua acelera¸c˜ cão ao a = (dvx/dt, /dt, dvy /dt,dvz /dt) /dt) = (ax , ay , az ). A trajetória ori a da part par t´ıcula ıcu la é a fun¸ func˜ çao aõ r(t). Não ao se deve confundir o conceito de SR com o de sistemas sistemas de coordenada coordenadas. s. Diverso Diversoss sistema sistemass de coordenad coordenadas, as, como cartesianas, esféricas ericas ou parab´ olicas, podem ser escolhidos dentro de olicas, um mesmo SR. Exemplos de SR são ao um laborat´ orio orio fixo ao ch˜ ao, ao, ou fixo em rela¸c˜ cão ao a` uma esta¸c˜ cão ao espacial orbitando a Terra, ou ainda fixo em rela¸c˜ cao aõ a um carrossel que gira com velocidade angular constante. ca é um umaa a¸c˜ cão ao impressa a um objeto que visa mudar seu estado For¸ca ca - For¸ca de movimento. O conceito pode ser pensado como intuitivo e um dos problemas da F´ısica ısi ca é desc d escobr obrir ir quais qua is as for¸ forcas ças que atuam em determinado corpo e como elas se comportam em fun¸c˜ cao ão dos diversos parˆ ametros ametros do problema. A for¸ca ca eletrost´ atica entre dois objetos carregados, por exemplo, depende direatica tamente da quantidade de carga em cada um deles e do inverso do quadrado da distância ancia que os separa. separa. No caso de uma mola ideal, ideal, a for¸ ca aumenta linearmente com a distens˜ ao provocada. Assim, for¸cas ao cas genéricas erica s pod p odem em ser s er medidas por compara¸c˜ cao ão com uma mola padrão ao através es da medida medid a d daa d distˆ istˆ ancia ancia que esta deve ser distendida para compensar a for¸ca ca a ser medida.

A Primeira Lei de Newton - Every body perseveres in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon. Em portugu p ortuguˆês: es: Todos os corpos permanecem em seu estado de repouso, ou em moviment movimentoo retil´ retil´ıneo uniforme, a n˜ ao ser

4


1.0

que sejam compelidos a mudar seu estado por for¸cas cas neles aplicadas. aplicadas. Embora a primeira lei pare¸ca ca um caso particular da segunda lei com for¸ ca ca nula, e portanto totalmente dispens´ avel, avel, ela é de fato uma lei por p or si mesma. Seu propósito osito é definir uma classe class e especial esp ecial de sistemas siste mas de referência, encia , chamados chamad os inerciais, onde a segunda lei pode ser aplicada.

Sistema Inercial de Referˆ encia encia - SIR - São ao SR especiais onde vale a primei primeira ra lei de Newton. Newton. Nesses Nesses sistemas sistemas,, um corpo permanece permanece em seu estado de repouso r epouso ou em movimento retil´ retil´ıneo uniforme se n˜ ao ao hou houvere verem m for¸ f or¸cas cas agindo agindo sobre sobre ele. Um SR fixo em rela¸ c˜ cao aõ a um carrossel que gira não ao é inin ercial, pois um corpo deixado em repouso sobre ele passar´ a a se movimentar em rela¸c˜ cão ao ao observador observador no carross carrossel el assim assim que largado. largado. Pode-se Pode-se mostrar mostrar que, dado um SIR, ent˜ ao qualquer outro SR que se mova em rela¸ ao c˜ cão ao a` ele com velocidade veloc idade constante const ante também em é inercial. inerc ial. Massa - The quantity of matter is a measure of the same, arising from its density density and bulk conjunctly conjunctly. Em portuguˆ es: es: a quantidade quantidade de mat´ eria eria (massa) é uma medida da mesma, resultante da densidade densidade e do volume volume do corpo conjuntamen conjuntamente. te. Quantidade de Movimento The quantity of motion is a measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjunctly. Em português: es: a quantidade de movimento é uma medida do mesmo (movimento) e resulta da velocidade e da massa conjuntamente. Usando m para a massa e p para a quantidade quantidade de movimento movimento,, tamb´ também em conhecido conhecido como momento, momento, temos p = mv. A Segunda Lei de Newton - The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right right line in which that force is impressed. Em português: es: A altera¸ cão a o do movimento é sempre proporcional proporcion al a` for¸ca ca motriz impressa; impressa; essa altera¸ cão ao ocorre na dire¸c˜ cao ã o em que a for¸ca ca é impressa. Como a ausência encia de for¸ cas cas implica implica em repouso ou movimen movimento to retil´ retil´ıneo uniforme, uniforme, a altera¸ cão ao do movimento implica em acelera¸c˜ cão ao da part´ıcula. ıcula. Como o movimento é medido em termos da quantidade p a equa eq ua¸¸c˜ cão ao para a segunda lei é F = dp/dt. Emb/dt. Embora Newton n˜ ao ao diga explicitamente, explicita mente, essa lei só vale em SIRs, pois p ois estamos esta mos supondo sup ondo que a primeira primei ra lei é valida tamb´ t ambém. em. No caso de sistemas sistem as não ao inerciinerc iais ai s a equa eq ua¸¸c˜ cão ao deve ser modificada com a adi¸c˜ cao aõ das chamada cham adass for¸ for ¸cas cas fict´ıcias. ıcia s.

1.1

O PRINCÍPIO DETERMINÍSTICO DE NEWTON

5

A Terceira Lei de Newton - To every action there is always opposed an equal reaction reaction:: or the mu mutual tual action action of two two bodies b odies upon each other are always always equal, and directed to contrary contrary parts. Em portuguˆ es: es: A toda a¸c˜ cao ˜ corresponde sempre uma rea¸c˜ cão ao opos o posta ta igual, ig ual, ou ainda, a inda, a a¸c˜ cão ao m´ utua utua de dois corpos, um sobre o outro, é sempre igual e com dire¸ c˜ coes o˜es contr´ arias. arias.

1.1

O princ pr inc´ ´ıpio determin determi n´ıstico de Newton

As leis de Newton são ao baseadas em fatos experimentais experimentais e não ao podem ser demonstr demonstradas adas.. O fato de que for¸ cas determinam acelera¸c˜ coes, ões, i.e., derivadas segundas da posi¸c˜ cão a o em rela¸c˜ cao a˜ o ao tempo e não ao derivadas terceiras ou de ordem maior, leva ao chamado princ pri nc´´ıpio ıpi o determi dete rmin n´ıstico ıst ico de Newton New ton [3]. Esse princ´ princ´ıpio afirma afir ma que o estado de um sistema siste ma mecˆ mecanico ˆ é dado pelas pe las posi¸ pos i¸c˜ coes o˜es e velocidades de todos os seus pontos materiais em um dado instante de tempo e que as for¸cas cas agindo sobre ele determinam unicamente seu movimento. No caso de uma unica u ńica part´ıcula ıcula em um u m sistema sis tema de referência encia inercial, inerc ial, e supon su pondo do 2 que sua massa seja constante , a segunda lei diz que m¨r = F(r, r˙ , t).

(1.1)

Note que o valor de F sobre a part´ p art´ıcula ıcula depende dep ende apenas ape nas de seu estado estad o e não ao deve envolver a acelera¸c˜ cao aõ ou derivadas superiores da posi¸c˜ cao aõ em rela¸c˜ cao aõ ao tempo. tempo. Assim, Assim, dados dados r(t0 ) e r˙ (t0 ) calculamos ¨r(t0 ) = F(r(t0 ), r˙ (t0 ), t0 )/m. /m. Com a acelera¸c˜ cao, aõ, podemos calcular a velocidade no instante posterior t0 + velocidade, calculamos calculamos a posi¸c˜ cao: aõ: δt: δt : r˙ (t0 + δt) δt ) = r˙ (t0 ) + ¨r(t0 )δt e, com a velocidade, r(t0 + δt) Dessa forma, consegui conseguimos mos calcular calcular o estado estado da δt) = r(t0 ) + r˙ (t0 )δt. δt . Dessa part´ pa rt´ıcul ıc ulaa em t0 + δt. cao ão neste instante δt . Podemos, agora, recalcular a acelera¸c˜ e prosseguir integrando as equa¸c˜ coes o˜es de movimento gerando a trajet´ oria oria da part´ pa rt´ıcul ıc ula. a. O fato de podermos prever o comportamento futuro de um sistema a partir do seu estado inicial e das for¸cas cas agindo sobre ele é chamado de d e determinismo. O f´ f´ısico frances Pierre Simon de Laplace (1749-1827), maravilhado com as possibilidades de c´ alculo alculo da mecânica anica Newtoniana, afirmou que um demônio onio que pudesse conhecer as posi¸ p osi¸ cões oes e velocidade veloc idadess de toda t odass as part pa rt´´ıculas 2

Para problemas de massa variável, avel, como os problemas do foguete e da esteira rolante, veja o livro Mecânica anica de K. R. Symon [4]

6


1.2

do universo e as for¸cas cas entre elas seria capaz de prever inequivocamente seu futuro. Essa afirmativa, afirmativa, no entanto, entanto, mostrou-se errada mesmo dentro da teoria clássica assic a devido dev ido a existência encia de movimento movim ento ca´ c a´ otico, como veremos adiante. otico, Notamos ainda que, aplicando a mesma for¸ca ca F em dois objetos diferentes, as acelera¸c˜ coes o˜es (na dire¸c˜ cão ao da for¸ca) ca) ser˜ ao ao proporcionais: ¨1 x m2 = . ¨2 x m1

(1.2)

Tomando um dos objetos como padr˜ ao ao para massa, m1 = 1 por exemplo, podemos medir a massa dos outros objetos.

1.2

O gru grupo de Galile lileo o

Como Como menciona mencionamos mos anteri anteriorme ormente nte,, sistema sistemass inercia inerciais is tem a seguin seguinte te pro′ priedad priedadee importante: importante: se K é inerci ine rcial al e K move-se em rela¸c˜ cão ao a` K com velocidade constante, ent˜ ao ao K também em é inerci ine rcial. al. A prova é bastant bas tantee simples: Suponha, por simplicidade simplicidade,, que os referenciais referenciais K e K ′ tenham eixos x,y,z e x′ , y ′ , z ′ paralelos e que em t = 0 suas origens coincidam, como ilustrado na figura figura 1.1. Seja V a velocidade constante da origem de K ′ em rela¸c˜ cão ao a` ′ origem de K . Uma part par t´ıcula ıcu la m ter´ a coordenadas r e r quando observada de ′ cao aõ K e K respectivamente e, por constru¸c˜

r′ (t) = r(t)

− Vt.

(1.3)

A velocidade e acelera¸c˜ cão ao da part´ part´ıcula nesses referenciais ser˜ ao ao

v′ (t) = v(t)

−V

a′ (t) = a(t).

Dessa forma, se não ao houverem for¸cas cas sobre m, a = 0 pois K é inerci ine rcial al por po r ′ ′ ′ hipótese. otese. Como a = a, a = 0 tamb´ ta mbém em e K tamb´ ta mbém em é iner in erci cial al.. A transforma¸c˜ cao aõ (1.3) é de um tipo bem particular, particular, pois os eixos são ao paralelos e coincidem em t = 0. O conjunto geral de transforma¸c˜ coes o˜es que leva um referencial r eferencial inercial em outro ou tro é conhecido c onhecido como Grupo de Transforma¸c˜ c˜ oes de Galileo [3] e pode ser escrito como:

r′ (t) = ′

t

Rr(t) − Vt − u =t−s

(1.4)

1.2

O GRUPO DE GALILEO

7

z’ K’ m V

z

r’

K

y’

r

x’ y x

Figura 1.1: Os referenciais K e K ′ são ao inerciais.

R

onde é uma matriz ortogonal ort ogonal de determinante 1 (matriz de rota¸ cão), ao), V e u vetores e s um parâmetro ametro escalar. escalar. As transforma transforma¸ c˜ çoes ões de Galileo formam um grupo com 10 parˆ ametros independentes e podem ser decompostas em ametros três es transf tra nsform orma¸ a¸c˜ coes ões elementares: - Transla¸c˜ cão ao das origens do espa¸co co e do tempo (4 parˆ ametros) g1(r, t) = (r′ , t′ ) = (r

− u , t − s)

- Rota¸c˜ cao aõ dos eixos (3 parˆ ametros) ametros) g2 (r, t) = (r′ , t′ ) = ( r, t)

R

- Movimento uniforme com velocidade constante (3 parˆ ametros) ametros) g3 (r, t) = (r′ , t′ ) = (r

− Vt, t)

O requerimento de que as equa¸c˜ coes o˜es de movimento sejam invariantes por transforma¸c˜ coes ões de Galileo impõe oe uma série erie de restri¸ restr i¸c˜ coes o˜es aos tipos de for¸cas cas F que esperamos encontrar na natureza. Vamos ver a invariˆ ancia por transla¸ translac˜ ções oes ′ temporais temporais,, por p or exemplo. exemplo. Ela implic implicaa que se m¨r = F(r, r˙ , t) ent˜ ao ao mr¨ = ao, a equa¸c˜ cao aõ de movimento em K ′ F(r′ , r˙′ , t′ ) onde r′ = r e t′ = t s. Então, pode ser reescrita como m¨r = F(r, r˙ , t s) = F(r, r˙ , t), a não ao ser que F não ao dependa explicitamente explicitamente do tempo. A invariˆ invariˆ ancia ancia por transla¸c˜ coes o˜es temporais implica que um experimento realizado hoje dever´ a produzir os mesmos resultados se realizado amanh˜ a sob as mesmas condi¸c˜ coes ões (veja o exemplo 5 da próxima oxima se¸c˜ cão ao onde a invariância ancia é quebr q uebrada ada pela pel a for¸ f or¸ca ca F(t)=t)).

−

− ̸

8


1.3

A invariância ancia por rota¸c˜ cao aõ dos eixos implica que se m¨r = F(r, r˙ ) ent˜ ao ao ao mr¨′ = F(r′ , r˙′ ) onde r′ = r. Então

R

m[ ¨r] = F( r,

R Rr˙ ) = R[m¨r] = RF(r, r˙ ). A for¸ca ca deve ent˜ ao ao satisfazer a condi¸cão F(Rr, Rr˙ ) = RF(r, r˙ ). R

A invariância ancia por transla¸c˜ cões oes espaciais e movimento uniforme implica que, para um sistema sist ema de d e part par t´ıculas, ıculas , as for¸cas cas de intera¸c˜ cão ao s´ s ó p pode odem m depen de pender der das coordenadas e velocidades relativas entre elas: m¨ri = F( r j

{ − r }, {r˙ − r˙ }).

1.3 1.3

k

j

k

Exem Exempl plos os elem elemen enta tare ress

Apresentamos nesta se¸c˜ cão ao alguns a lguns exemplos exemp los simples s imples de solu¸ s olu¸c˜ cão ao da segunda lei de Newton em referenciais inerciais e comentamos sobre as propriedades de invariância ancia das equa¸c˜ coes o˜es por transla¸c˜ cões oes espaciais e temporais.

Exemplo 1 - Queda livre de pequenas alturas - Sup Supondo ondo que a Terra é um referencial inercial, o que pode ser considerado uma boa aproxima¸c˜ cao a˜ o em alguns casos, e escolhendo o eixo x na vertical, apontando para cima, a for¸ca ca gravitacional sobre uma part´ part´ıcula de massa m será F = mgˆ mgxˆ, onde g −2 9.8 ms . Podemos Podemos ent˜ ent˜ ao tratar o problema como se fosse unidimensional, ao pois sabemos que nas dire¸c˜ coes o˜es y e z o movimento será d dee repouso rep ouso ou retil´ıneo ıneo uniforme. A equa¸c˜ cão ao de movimento se reduz a` x¨ = g e solu¸c˜ caõ é

−

x(t) = x0 + v0t

≈

−

2

− gt /2.

Exemplo 2 - Queda vertical de grandes alturas - Nesse caso temos que levar em conta que a Terra é finita, de raio R e massa M Medindo do x a partir M .. Medin da superf sup erf´´ıcie, a distância ancia do objeto ao centro da Terra ser´ a r = R+x e a equa¸c˜ cao aõ de movimento fica mr¨ =

− GMr m 2

onde G = 6.673 10−11 m3 K g −1 s−2 é a constante de gravita¸ c˜ cão ao universal. 2 Substituindo r por R + x, lembrando que g = GM/R e supondo x << R podemos escrever

×

¨= x

1 − GM R (r/R) r/R) 2

2

=

1 2gx −g (1 + x/R) ≈ − g+ . x/R) R 2

1.3

EXEMPLOS ELEMENTARES

9

A solu¸c˜ cao aõ é deixad dei xadaa como com o exerc´ exe rc´ıcio ıci o e o result res ultado ado é x(t) = (x0

v R )cosh(ν t) + sinh sinh (ν t) + . − R2 )cosh(ν 2 ν 0

√

onde ν = 2g/R. Mostre que para para ν g/R . Mostre recuperada.

cão ao do exemplo exemp lo anterior anterio r é → 0 a solu¸c˜

´ dif´ onico onico I - E dif´ıcil superestimar o papel do Exemplo 3 - O oscilador harmˆ oscilador harmˆ onico onico na n a F´ısica. ısica. Voltaremos a falar dele em diversos momentos. Por enquanto enquanto basta pensar no movimento movimento unidimensiona unidimensionall de um corpo de massa m preso a uma mola ideal de constante el´ astica astica k . Se medi medirmo rmoss a posi¸c˜ cão a o da massa a partir de sua posi¸c˜ cão ao de equil equ il´´ıbrio, ıbr io, a sua equa¸ equ a¸c˜ cao aõ de movimento será mx¨ = kx, kx, ou ainda

−

x¨ =

2

−ω x,

ω=

√

k/m.

A solu¸c˜ cao, aõ, sujeita as às condi¸c˜ coes o˜es iniciais x(0) = x0 e x˙ (0) = v0 , é cos(ωt)) + x(t) = x0 cos(ωt

v0 sin(ωt sin(ωt)). ω

Exemplo 4 - O oscilador harmˆ onico onico II - O exemplo anterior ilustra uma situa¸c˜ cao aõ bastante comum de n˜ ao-invariˆ ancia ancia por transla¸c˜ cões oes espaci espaciais ais.. De ′ fato, se fizermos x = x a obtemos

−

¨′ = mx¨ = mx

′

′

−kx = −k(x + a) ≠ kx . Isso ocorre porque o sistema mx¨ = −kx é de fato uma descri¸c˜ cao aõ reduzida

de um problema de dois corpos, afinal de contas a outra extremidade da mola tem que estar presa em algum lugar! Considere, então, ao, a situa¸c˜ cao aõ mais realista descrita pela figura (1.2). As equa¸c˜ cões oes de movimento dos corpos com massas m1 e m2 são ao

− − − − −

m1x¨1 = k (x2 x1 l) m2x¨2 = k(x2 x1 l) onde l represen representa ta o comprim comprimen ento to natural natural da mola. mola. Definin Definindo do coordenada coordenadass relativas e de centro de massa por r = x2

− x − l, 1

R=

m1 x1 + m2 x2 m1 + m2


10

m

1.3

m2

1

x1

x2 x

Figura 1.2: Duas massas presas por uma mola observadas de um referencial inercial. e as massas total e reduzida M = m1 + m2 ,

µ=

m1 m2 m1 + m2

podemos mostrar facilmente que as equa¸c˜ cões oes de movimento se reduzem a µr¨ =

−kr

¨ = 0. M R

Tanto anto as equa¸ equa¸c˜ coes o˜es para x1 e x2 quanto quanto para r e R são ao inv invariant ariantes es por transla¸c˜ coes. o˜es. Fazend azendoo x1 x1 + a e x2 x2 + a vemos que r r e cões oes permanecem idênticas. enticas. Fica como exerc´ exerc´ıcio reR R + a e as equa¸c˜ solver as equa¸c˜ coes ões acima, obtendo x1 (t) e x2(t) em termos de suas condi¸c˜ coes o˜es iniciais, e estudar o limite em que m1 >> m2 .

→

→

→

→

Exemplo 5 - For¸cas cas dependentes do tempo - Como ultimo u ´ ltimo exemplo, consideremos o movimento unidimensional u nidimensional de uma part pa rt´´ıcula sob a a¸c˜ cao aõ de uma for¸ca c a dependen dependente te do tempo. tempo. Pa Para ra simpli simplific ficar ar o c´ alculo vamos supor que m = 1 e que escolhemos unidades tais que F ( F (t) = t, com t medido em horas. ras. A equa equa¸c˜ çao aõ de movimento é x¨ = t. Se fizermo fizermoss um experim experimen ento to hoje 3 supondo que x(0) = x˙ (0) (0) = 0 obte obtere remo moss a traje trajet´ t´ oria x1 (t) = t /6. Se repetirmos repetirmos o experime experiment ntoo amanh˜ amanh˜ a sob as mesmas condi¸c˜ coes ões teremos que fazer x(T ) horas. A sol solu¸ c˜ cao aõ será x2 (t) = T ) = x˙ (T ) T ) = 0 onde T = 24 hor 3 2 3 amos agora agora compa comparar rar as trajet´ trajet´ orias orias.. Pa Para ra tentar tentar t /6 tT /2 + T /3. Vamos ′ sobrepô-las o -las em um mesmo gráfico afico (figura 1.3) temos que fazer t = t T ′ em x2 , o que resulta x2 (t ) = t′3 /6 + t′2 T /2 (veja que x(t′ ) = x˙ (t′ ) = 0). As trajet´ orias orias não ao são ao as mesmas, mesmas, como esperado, pois essa for¸ca c a viola a invariância ancia por po r transla¸ trans la¸c˜ coes o˜es temporais. Problemas Problemas onde aparecem for¸ cas dependentes do tempo s˜ a o bastante comuns e n˜ ao ao a o est˜ ao ao errados. no errados. Como no

−

−

MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA

1.4

11

Figura 1.3: 1.3: Trajet´ orias orias para x1 (t) = t3 /6 (linha preta) e x2(t′ ) = t′3 /6+t 6+t′2T /2 (linha vermelha), as trajet´ orias orias não ao são ao as mesmas como esperado. exemplo 3 acima, eles descrevem apenas uma parte do sistema, n˜ ao a o o todo, o que pode ser conveniente em alguns casos. Incluindo na descri¸c˜ cao aõ a parte respons´ resp onsável avel pelo p elo aparec a parecimento imento dessas dessa s for¸cas cas externas, externas, o sistema global deve voltar a apresentar as propriedades de invariˆ ancia ancia desejadas. desejadas.

1.4

Movimen Movimento to de uma part´ part´ıcula

Nesta se¸c˜ cao aõ vamos estudar as propriedades gerais do movimento de uma part´ part´ıcula sujeita a for¸cas c as externa externas. s. Vamos amos supor supor que que as observ observa¸ a¸ cões o es são ao feitas feita s em e m um u m SIR S IR e que a massa da part´ıcula ıcula é consta c onstante. nte. Além em do momento linear p = mv, vamos definir d efinir também em o momento angular da part´ part´ıcula em rela¸c˜ cão ao a` origem como (1.5) L=r p e o torque da for¸ca ca externa como

N=r

×

× F.

(1.6)

Derivando L em rela¸c˜ cao aõ ao tempo obtemos dL dr = dt dt

× mr + r × ddtp = r × F = N

(1.7)

12


1.4

Com esse resultado, e com a segunda lei de Newton, derivamos dois importantes teoremas de conserva¸c˜ cao: aõ: ca total agindo Teorema de conserva¸c˜ cao a õ do momento linear - Se a for¸ca sobre uma part´ıcula ıcula é nula, ent˜ ao ao p˙ = 0 e seu momento linear permanece constante durante o movimento.

Teorema de conserv conserva¸ c˜ c˜ ao ao do momento angular - Se o torque total agindo agind o sobre a part´ıcula ıcula é nulo, ent˜ ao ao L˙ = 0 e seu momento angular permanece constante durante o movimento. Outro conceito extremamente util ´ é o do trabalho realizado por uma for¸ca. c a. Seja Seja r(t) a trajet´ oria oria de uma part´ part´ıcula de massa m que se move sob a a¸c˜ cão a o da for¸ca ca externa F. O trab trabal alho ho reali realiza zado do por F entre os pontos oria oria é definido defini do por r1 = r(t1 ) e r2 = r(t2) ao longo de sua trajet´



r2

W 12 12 =

F dr

·

r1

(1.8)

onde a integral integral acima é uma integral de linha feita ao longo da trajet´ oria da part´ pa rt´ıcul ıc ula, a, isto is to é, e, dr = vdt. dt. Podemos reescrever o trabalho como



t2

W 12 12 =

t1



t2

dv vdt = m dt

·

mv12 = 2

−

mv22 2

t1

md 2 (v )dt 2 dt

(1.9)

≡ T − T . 1

2

en ergi gia a cin´ ci n´ etic et ica a da part´ onde v12 = vx2 + vy2 + vz2 e T ( pa rt´ıcul ıc ulaa T (t) = mv2 (t)/2 é a ener no instante t. Esse resultado é conhecido como ca Teorema do trabalho-e trabalho-energia nergia - O trabalho realizado por uma for¸ca externa F entre os pontos r1 e r2 é igua ig uall a` varia¸c˜ cao aõ da energia cinética etica da part´ıcula ıcula entre esses dois pontos. ponto s. Consideremos agora a integral (1.8) entre os pontos r1 e r2 ao longo de um caminho arbitr´ ario ario γ e vamos supor que F depende apenas da posi¸c˜ cao aõ ao depender do caminho, mas apenas dos pontos ao r. Se o valor da integral n˜ iniciais e finais, i.e., se



γ 1

·

F dr =



γ 2

·

F dr

˜ MOVIMENTO EM UMA DIMENS AO

1.5

ent˜ ao, o valor da integral ao longo do caminho fechado γ = γ 1 ao, anular. Usando o teorema de Stokes teremos

 ·

F dr = 0 =

γ

 ∇ × (

− γ

2

13

deve se

F) dA,

S γ

onde S γ γ é qual q ualque querr sup s uperf´ erf´ıcie ıci e limit l imitada ada pela pe la curva cur va γ . Se isso vale para qualquer F = 0. Nesse caso podemos escrever curva fechada, ent˜ ao ao

∇×

F(r) =

−∇V ( V (r)

(1.10)

onde V é chama cha mada da de energia potencial , e a for¸ca ca é dita di ta conservativa . Lembrando que dV

∂V ∂V ∂V ≡ V ( V (r + dr) − V ( V (r) = dx + dy + dz = ∇V · dr ∂x ∂y ∂z

temos que

F dr = e

·



r2

r1

 −

−∇V · dr = −dV

r2

·

F dr =

dV = V ( V (r1 )

r1

− V ( V (r ) ≡ V − V . 2

1

2

Da equa¸c˜ cao aõ (1.9) vem que

T 2

− T = V − V 1

1

2

ou ainda, definindo a energia total E = T + V , V , vemos que E 2 = E 1, i.e., o valor da energia no ponto 1 é igual a seu valor no ponto 2.

Teorema de conserva¸c˜ c˜ ao ao da energi ene rgia a - Se as for¸cas cas agindo sobre uma part´ part´ıcula forem independentes da velocidade velocidad e e do tempo temp o e forem conservaticonse rvativas, i.e., se ao a energia total E = mv 2 /2 + V ( co nsta tante nte F = 0, então V (r) é cons ao longo do movimento. Note que em uma dimensão ao toda for¸ca ca da forma F = F ( a necesF (x) ser´ sariamente conservativa. Veremos alguns exemplos desse caso a seguir.

∇×

1.5

Movimen Movimento to em uma dimens˜ ao ao

Considere uma part´ part´ıcula de massa m movendo-se em uma dimens˜ ao a o sob a a¸c˜ cao aõ de uma for¸ for ¸ca ca F ( F (x). Como F = dV/dx, dV/dx, a energia potencial é dada por

− V ( V (x) = −

 x ˜

x

F ( F (x′ )dx′

14


1.5

onde a constante x˜ pode po de ser escolhida conforme a conveniˆ conveniência encia do problema. A energ e nergia ia total tota l da part´ıcula ıcula m E = 2



2

dx dt

+ V ( V (x)

(1.11)

é uma constante constante do movimento movimento,, determinada determinada unicamente unicamente pelas condi¸ cões oes iniciais. Resolvendo essa equa¸c˜ cao aõ para a velocidade obtemos dx = dt



2 (E m

)), − V ( V (x)),

que pode ser integrada diretamente. Escrevendo que x(0) = x0 encontramos t=

  √ − m 2

x(t)

dx′ . ′ (E V ( V (x ))

x0

(1.12)

Se conseguirmos conseguirmos resolver a integral integral explicitamente explicitamente obteremos obteremos uma express˜ expressao ˜ para t em fun¸c˜ cão ao de x, que, ao ser invertida, invertida, resultará na solu¸c˜ cao aõ procurada, x = x(t). Como um exemplo simples considere o oscilador harmˆ onico onico V ( V (x) = kx 2 /2 = mω02 x2 /2 onde ω0 = k/m. k/m. Escolhendo x0 = 0 a integral fica

√

t=

  √ − √   m 2E

Fazendo a substitui¸c˜ cao aõ x′ = 2E/mω02 θ e

√

t=

x

0

1

dx′

. mω02 x′2 /2E

2E/mω02 sin θ a integral fica simplesmente

m 2E

2E 1 = θ θ, mω02 ω0

ou θ = ω0 t. Substituindo de volta em x obtemos o resultado esperado x(t) = 2E/mω02 sin(ω sin(ω0 t).

√

1.5. 1.5.1 1

Osci Oscila lado dore ress an anar armˆ mˆ onicos onicos

O movimento movime nto de uma part´ıcula ıcula sob a a¸c˜ cao aõ de for¸cas ca s não ao harm ha rmˆ onicas oˆnicas pode ser bastante complicado c omplicado e, só em casos particulares, as equa¸ equ a¸ cões oes de movimento, podem ser resolvidas analiticamente. Nesta se¸c˜ cao aõ vamos ainda nos restringir

˜ MOVIMENTO EM UMA DIMENS AO

1.5

15

a sistemas sistemas unidimensiona unidimensionais is e considerar considerar inicialmen inicialmente te uma part´ part´ıcula sob a a¸c˜ cao aõ de uma for¸ca ca conservativa dada pelo potencial V ( V (x) = ax4 /4 + bx3 /3 + po de ser eliminada pois p ois não ao modifica mo difica a for¸ forca ça cx2 /2 + dx + e. A constante e pode F ( F (x) = dV/dx. dV/dx. Podemos ainda eliminar d fazendo x x + α e escolhendo apropriada.. Fixando Fixando a = 1, o que corresponde a re-escalar a α de maneira apropriada variável avel x, obtemos uma expressão ao simplificada dada por

−

→

x4 bx3 cx2 + + V ( V (x) = . 4 3 2 Os pontos onde V ′ (x) equil´ıbrio dV/dx = 0 correspondem a pontos de equil´ da part´ part´ıcula, pois a for¸ca ca é nula nesses pontos. A estabilidade do ponto de equil´ eq uil´ıbri ıb rioo é dad d adaa pel p eloo valo va lorr de d e V ′′ (x): o ponto p onto é est´ es t´ avel avel se V ′′ (x) > 0 (m´ınim ın imoo ′′ da energia potencial) e inst´ avel avel se V (x) < 0 (máximo aximo da energia potencial). Nesse caso, os pontos de equil´ equil´ıbrio s˜ ao ao dados por

≡

x0 = 0 , com ′′

V (x) =

 

x± =

− 2b ± 12 √b − 4c 2

se x = x 0

c 1 2 (b 2

√ − 4c) ∓ b − 4c b 2

2

se s e x = x±

Os pontos x± só existem quando b2 > 4c. A figura figura (1.4 (1.4)) mostr mostraa um diagrama da estabilidade estabilidade dos pontos de equil´ equil´ıbrio no plano c-b. Na regi˜ ao ao branca, dentro da par´ abola ab ola,, só o ponto po nto x0 existe exis te e é est´ estavel. a´vel. Em toda tod a região ao in stavel a´vel e ambos x+ e x− são ao est´ aveis. aveis. Para c > 0 e a` direita da c < 0 x0 é ins par´ par ábola ab ola (regi˜ (re gião ao escura) x0 é estavel, a´vel, x+ é instável ve l e x− estável. avel. Finalmente, na regi˜ ao ao simétrica etr ica,, a` esquerda da parábola ab ola (regi˜ (re gião ao escura esc ura também), em) , x0 é estável, avel, x+ é estavel a´vel e x− instável. avel. A linha linha c = 0 é uma linha linh a cr´ıtica ıti ca ond ondee ′′ aveis aveis (V (V = 0) x0 = x+ = 0 (os pontos coalescem) sendo marginalmente inst´ e apenas x− é estavel a´vel.. A figur figuraa (1.5) (1.5) mos mostr traa algu alguns ns exe exemp mplo loss de V ( V (x) para diferentes valores dos parˆ ametros ametros b e c. No caso caso da figu figura ra 1.5(a) 1.5(a),, por exemplo, exemplo, a part´ part´ıcula pode p ode ficar confinada ao po¸ co esquerdo ou direito do potencial, ou ainda, se tiver energia suficiente, oscilar sobre os dois po¸cos. cos. Nesse caso, se adicionarmos uma for¸ca ca de atrito proporcional a` velocidade a part´ıcula ıcula perder´ per der´ a energia e acabar´ a por parar em um dos m´ınimos, ınimos, n˜ ao ao necessariamente o de menor energia. O ponto po nto de equil´ equil´ıbrio est´ avel de energia mais alta é chamado de meta-est´ avel, avel, pois a part´ part´ıcula pode escapar para o

16


1.5

4

2

0

2 4 4

2

0

2

4

Figura 1.4: Diagrama da estabilidade dos pontos x± no plano c-b. Na região ao branca, dentro da par´ abola, abola, só o ponto x0 exis ex iste te e é est´ es tável. ave l.

Figura Figura 1.5: Fun¸c˜ cão ao potencial para (a) b=3.15, c=2; (b) b=3.15, c=0; (c) b=0, c=2. ponto de energia mais baixa se puder absorver energia externa e transpor a barreir barreiraa que separa os dois dois m´ınimos. ınimos. Isso Isso pode ocorrer, ocorrer, por exempl exemplo, o, se o sistema estiver acoplado a um reservat´ orio ori o térmico erm ico ond ondee K B T seja da ordem da altura da barreira de potencial. Transi¸c˜ cões oes onde a estabilidade ou o número umero de pontos de equil´ equil´ıbrio muda, conforme um parˆ ametro ametro do sistema é variad vari ado, o, são ao chamadas de bifurca¸c˜ coes. o˜es. Como coment´ ario final, notamos que se acrescentarmos uma for¸ ario ca ca externa peri´ odica odica da forma F 0 cos(¯ part´ıcula pode tornar-se exωt), ωt), o movimento da part´ tremamente complicado e ca´ otico, sendo aprisionado temporariamente em otico, um dos po¸cos, cos, depois saindo, caindo no outro po¸co c o e assim assim por diante. diante. No caso em que b = 0 o sistema resultante é conhecido como Oscilador de Duffing . No cap´ıtulo ıtulo 7 estudaremos em mais detalhes a teoria de estabilidade linear linea r de pontos pont os de equil´ıbrio. ıbrio. Como exemplo exemplo não ao trivial de aplica¸ cão a o da equa¸c˜ cao aõ (1.12) considere o potencial quártico artico invertido, onde escolhemos a = 1, b = 0 e c = 1:

−

V ( V (x) =

−

x4 x2 + . 4 2

Esse potencial tem um m´ınimo est´ avel avel em x0 = 0 e dois pontos de m´ aximo aximo

SISTEMAS DE PARTÍCULAS

1.6

17

±

sim´ si métri et rico coss em x± = 1, sendo conhecido as vezes como po¸ co co duplo invertido. invertido. Embora o cálculo alculo da integral (1.12) n˜ ao possa ser feito em geral, podemos ao resolve-la explicitamente se a energia da d a part´ıcula ıcula for exatamente a energia correspondente aos pontos de m´ aximo, aximo, i.e., E = 1/4. Supon Supondo do por simpli simpli-cidade que m = 1/2 e que inicialmente x(0) = 0, podemos calcular quanto tempo a part´ part´ıcula leva para par a atingir o ponto de equil´ equil´ıbrio em x = 1. 1. A re resposta é surpreendente. surpreendente. Substituindo Substituindo o potencial invertido invertido com E = 1/4 encontramos um quadrado perfeito dentro da raiz quadrada:

 √ x

t=

0

1

−

dx′ = 2x′2 + x′4



x

0

dx′ . 1 x′2

−

Fazendo x′ = tanh u a integral resulta exatamente u e obtemos t = u ou Dessaa forma forma,, o tempo necess necess´ ario a´rio para que x atinja o valor x(t) = tanh t. Dess de equi eq uill´ıbri ıb rioo x = 1 é infinito! Esse resultado é v´ alido alido sempre que temos movimento sobre curvas chamadas de separatrizes, que conectam pontos de equil equ il´´ıbrio ıbr io inst´ ins táveis. aveis. No cap´ cap´ıtulo 4 visitaremos visitaremos alguns problemas problemas unidimenunidimensionais, sionais, particularmen particularmente te o pêndulo endulo simples, simples, onde encontraremos encontraremos as separatrizes novamente.

1.6

Sistemas de part part´ ´ıculas

Quando estudamos o movimento de uma unica u ńica part´ıcula, ıcula, as for¸cas cas que agem sobre ela são ao necessariamen necessariamente te externas. externas. No caso de um sistema sistema com várias arias part´ part´ıculas, temos que distinguir entre as for¸cas cas internas, internas, que uma part´ıcula ıcula exerce sobre a outra, e eventuais for¸cas cas externas que podem agir sobre todas as part´ıculas ıculas ou sobre sob re um subconjunto su bconjunto delas [4]. Considere, por p or exemplo, um atomo átomo de v´ arios arios elétrons etro ns e suponha sup onha que seu se u n´ nucleo ´ possa ser considerado como uma unica u ńica part p art´´ıcula de d e carga carg a positiva. po sitiva. Se o atomo a´tomo for colocado entre as placas paralelas de um capacitor carregado, teremos as intera¸ c˜ coes o˜es eletro ele tromag magn´ néticas eti cas internas interna s entre os o s elétrons, etro ns, e entre e ntre estes est es e o n´ nucleo, ucleo ´ , e a for¸ca ca externa ext erna provocada provoca da pelo campo elétrico etrico gerado pelo capacitor que age sobre todas as part´ part´ıculas carregadas do sistema. Considere Considere ent˜ ao ao um sistema com N part par t´ıculas ıcu las e seja sej a Fij a for¸ca ca exercida e pela pe la part par t´ıcula ıcu la i sobre sob re a part par t´ıcula ıcu la j . Seja ainda Fi a for¸ca ca externa total que age sobre a part´ıcula ıcula i. A segunda lei de Newton para a i-ésima esima part´ part´ıcula

18


fica

dpi = dt

1.6



F ji + Fie .

(1.13)

j ̸ =i

A deriva¸c˜ cao aõ das leis de conserva¸c˜ cao aõ dos momentos linear e angular para um sistema sistem a d dee part´ p art´ıculas ıculas depende dep ende explicitament explic itamentee da d a aplica¸ a plica¸c˜ cao ˜ da terceira lei de Newton, que obviamente n˜ ao faz sentido quando consideramos uma unica ao ´ part´ pa rt´ıcul ıc ulaa sob so b a a¸c˜ cao aõ de for¸cas cas externas. e xternas. Como é usual u sual vamos re-enunciar re -enunciar a terceira lei nas suas formas fraca e forte: forte:

A¸c˜ cao a õ e rea¸c˜ c˜ ao ao - forma fraca - A for¸ca ca exercida pela part´ part´ıcula i sobre a part´ pa rt´ıcul ıc ulaa j é igual igu al em módulo, odulo, mas em sentido contr´ ario, ario, a` for¸ca ca exercida p ela el a par p artt´ıcul ıc ulaa j sobre sob re a part par t´ıcula ıcu la i: Fij = F ji , figura (1.6a).

−

ca exercida pela part´ part´ıcula i sobre A¸c˜ cao a õ e rea¸c˜ cao a õ - forma forte - A for¸ca a part´ pa rt´ıcul ıc ulaa j é igual igu al em módulo, odulo, mas em sentido contr´ ario, ario, a` for¸ca ca exercida pela pe la part par t´ıcula ıcu la j sobre a part´ıcula ıcula i. Além em disso essas for¸cas c as são ao exercidas na dire di re¸¸c˜ cão ao que q ue une u ne as a s part´ pa rt´ıculas ıcu las:: Fij = F ji com Fij (ri r j ), figura (1.6b).

−

∥ −

Se as for¸cas cas internas satisfizerem a terceira lei pelo menos em sua forma fraca, ent˜ ao a soma de todas as for¸cas ao cas internas se anula, pois, duas a duas, a soma é zero. z ero. Substituind Subst ituindoo pi = mi vi em (1.13) e somando sobre i obtemos 2

d dt2

     mi r i

i

Fie =

F ji +

=

i

i,j ̸ =i

i

Fie

e

≡F

onde Fe é a soma de todas as for¸cas cas externas agindo sobre as part´ part´ıculas do sistema. Definimos agora a coordenada do centro de massa do sistema por

R=

∑

onde M anterior fica

≡

i

∑∑

i mi ri

(1.14)

i mi

t otal. Em termos t ermos de R a equa¸c˜ cao aõ de movimento mi é a massa total.

d2 R M 2 = Fe dt ou ainda, em termos do momento linear total dR P = M = dt

 i

mi

(1.15)

dri dt

(1.16)

SISTEMAS DE PARTÍCULAS

1.6 (a)

19

(b) F

i

i j j

i

j

F

F

j

j i

ji

F

i j j

Figura Figura 1.6: Ilustra Ilustra¸c˜ çao aõ da terceira lei de Newton nas formas (a) fraca e (b) forte. obtemos

dP = Fe dt

(1.17)

e a seguinte lei de conserva¸c˜ cao: aõ: ca externa Teorema de conserva¸c˜ c˜ ao ao do momento linear total - Se a for¸ca ˙ = 0 e o momento total tota l agindo a gindo sobre o sistema sistem a de d e part´ p art´ıculas ıculas é nula, nul a, ent˜ ao ao P linear total permanece constante durante o movimento. Para Para deriv derivarmos armos a lei de conserv conserva¸ a¸ c˜ cao aõ do momento angular total precisamos que as for¸cas cas satisfa¸cam cam a terceira lei na sua forma forte. forte. O momento momento angular angu lar total do sistema sistem a de part´ıculas ıcula s é

L=



ri

i

×p.

(1.18)

i

Derivando em rela¸c˜ cao ão ao tempo obtemos dL = dt (note que r˙ i (1.13) vem

×p

i



ri

i

× p˙

i

= 0 pois p ois esses vetores são ao paralelos). para lelos). Substituindo p˙ i por dL = dt

 i

ri

×

Fie

+



ri

i,j ̸ =i

×F

ij .

A ultima u ´ ltima soma dupla pode ser calculada se analisarmos a contribui¸c˜ cao a˜ o de cada par de part´ part´ıculas. Para o par k e l temos

rk

×F

kl

+ rl

×F

lk

= (rk

−r)×F l

kl

=0

20


1.6

onde usamos a terceira lei fraca na primeira passagem, Fkl = Flk , e a forma forte na segunda passagem, onde a for¸ca ca é parale par alela la a` linha que une as part´ıculas. ıculas . Definindo Definin do o torque total externo por

−

Ne =



ri

i

obtemos

e i

×F

(1.19)

dL = Ne dt

(1.20)

eo

Teorema de conserv conserva¸ c˜ c˜ ao ao do momento angular total - Se o torque externo total agindo sobre o sistema de part´ part´ıculas é nulo, ent˜ ao L˙ = 0 e o momento angular total permanece constante durante o movimento. Para fechar essa se¸c˜ cao aõ discutimos brevemente a quest˜ ao ao da conserva¸c˜ cao aõ e de energia en ergia em sistemas de d e muitas part´ part´ıculas. Seja Fi = j ̸=i F ji + Fi a for¸ca ca total tota l agindo a gindo sobre a i-ésima esima part´ıcula. ıcula. Se Fi depender apenas das posi¸c˜ coes o˜es das part´ part´ıculas do sistema (e n˜ ao de suas velocidades ou do tempo), Fi = ao cão ao potencial V = V ( Fi (r1 , r1 , . . . , rN ), e se existir uma fun¸c˜ V (r1, r1 , . . . , rN ) tal que ∂V Fi = i V = ∂ ri ent˜ ao ao N mi2 r˙ i2 + V ( E = V (r1 , r1, . . . , rN ) 2 i=1

∑

−∇

−



permanece constante durante o movimento. A prova prova é bastante simples. Come¸camos camos escrevendo a equa¸c˜ cao aõ de movimento para a componente k da i-ésima es ima part´ pa rt´ıcul ıc ulaa (k = x,y ou z): mi

dvik = F ik ik = dt

− ∂x∂V . ik

Nessa equa¸c˜ cao aõ vik denota a componente k da velocidade veloci dade da part´ıcula ıcula i. Multiplicando os dois lados por vik obtemos dvik d = mi vik dt dt

  2 mi vik 2

=

− ∂x∂V v ik

ik

=

− ∂x∂V dxdt

ik

ik

.

1.7

O PROBLEMA DE KEPLER

21

Somando dos dois lados sobre as componentes k e sobr s obree as a s part´ p art´ıculas ıcu las i vemos que aparece apa rece de um lado a energia ener gia cinética etica total t otal do sistema, T = i mi vi2 /2 = 2 enqua nto que à direita aparece a deriv der ivada ada total t otal do potential i k mi vik /2, enquanto cão ao ao tempo, pois V em rela¸c˜

∑

∑∑

dV = dt

N

3

 i=1 k=1

∂V dxik . ∂x ik dt

Passando o termo do potencial para direita obtemos dT dV d + = (T + V ) V ) = 0 dt dt dt e, portanto, E = T + V é cons co nsta tante nte.. Note que não ao estamos apresentando as condi¸ c˜ cões oe s que qu e as Fi devem devem satisfazer faze r para que a fun¸c˜ cao aõ V exista. Uma discussão ao interessante sobre isso pode ser encontrada no livro do d o Symon, no n o cap´ cap´ıtulo 4.

1.7 1.7

O p pro rob blem lema d de e Kep Keple lerr

O problema de dois corpos interagindo gravitacionalmente, ilustrado na figura (1.7), ficou conhecido conhe cido como Problema de Kepler (1571-1630) (1571 -1630) devido às as famosas leis do movimento planetário ario formuladas pelo astrˆ onomo onomo alem˜ ao. a o. O prob prob-lema foi de fato resolvido p or Newton cerca de 50 anos após os seu enunciado enunciado emp´ emp´ırico por Kepler. Devido sua grande importˆ ancia na F´ısica e na Astronomia, tron omia, e também em por causa das aplica¸ aplica ¸c˜ coes o˜es que faremos mais tarde sobre movimento ca´ otico otico no problema gravitacion gravitacional al de três es corpos, resolveremos resolveremos esse problema com certo detalhe nesta se¸c˜ cao. aõ.

1.7. 1.7.1 1

Equa quac˜ ç˜ oes oes de movim movimen ento to e quant quantida idades des conser conser-vadas

As equa¸c˜ coes o˜es de movimento dos corpos de massa m1 e m2, considerados pontuais, são ao dadas por m1¨r1 = m2¨r2 =

Gm1 m2 (r2 r2 r1 3

| − |

− |rGm− mr | 1

2

1

2 3

−r )

(r2

1

− r ). 1

22


1.7

z m1

m2

r − r1

2

r

r

1

2

y x

Figura 1.7: Intera¸c˜ cao aõ gravitacional de dois corpos. Essas equa¸c˜ coes o˜es podem ser bastante simplificadas se re-escritas em termos de coordenadas relativa e de centro de massa m2 r = r2 r1 r1 = R r M (1.21) . m1 r1 + m2 r2 m 1 R = r2 = R + r M M

 

−

→

 

−

Somando diretamente as duas equa¸c˜ coes o˜es de movimento obtemos ¨ = 0, M R

(1.22)

onde M = m1 + m2 é a massa total, e que qu e indica a conserva¸ co nserva¸ cão ao do momento linear total, pois não a o há for¸ f or¸cas cas externas. ext ernas. Cancelando m1 nos dois lados da equa¸c˜ cao aõ de movimento movimento para o primeiro primeiro corpo e m2 na equa¸c˜ cao aõ para o segundo e subtraindo uma da outra obtemos ainda GM µ ˆr (1.23) µ¨r = r2 onde µ = m1 m2 /(m1 + m2 ) é a massa reduzida. reduz ida. Dessa forma, forma , o problema de de dois corpos corp os em três es dimens˜ dimensoes o˜es é reduzido r eduzido ao problema de um unico ´ corpo em 3D onde uma part´ıcula ıcula fict´ fict´ıcia de massa reduzida reduz ida µ é atra´ at ra´ıda ıd a para pa ra a orig or igem em por outro corpo fict´ fict´ıcio de massa M . Cancelan Cancelando, do, aind ainda, a, µ vemos que a dinâmica amica é determinada unicamente pela massa total M . ´ f´ E acil a cil ver que as for¸cas cas de intera¸c˜ cao aõ podem ser derivadas a partir do potencial Gm1 m2 GM µ = V ( V ( r2 r1 ) = r2 r1 r

−

| − | −| − | −

1.7

23


com F12 = ener gia total, to tal, portanto, p ortanto, é conservada. co nservada. V . A energia 1 V e F21 = 2 V . Além em disso, as for¸ f or¸cas cas satisfazem sa tisfazem a terceira lei de d e Newton Newt on na n a forma fo rma forte, e o momento angular angul ar total também em é conservado. conse rvado. Escrevendo Escre vendo

−∇

−∇

L = m1 r1

× r˙

1

+ m2 r 2

× r˙

2

e usando as transforma¸c˜ coes ões (1.21) obtemos

− r) × (R˙ − ˙ + µr × r˙ = M R × R

L = m1 (R

m2 M

m2 r˙ ) + M

m2 (R +

m1 r) M

× (R˙ +

m1 r˙ ) M

= LCM + Lr . ¨ = 0 e ¨r está na dire¸c˜ Como R cão a o de r fica claro que dLCM /dt = dLr /dt = 0 e os momentos angulares em rela¸c˜ cao aõ ao centro de massa e relativo s˜ ao ao conserv conservados ados independe independente ntemen mente. te. O mesmo mesmo ocorre ocorre com a energia energia total do sistema: E = 12 m1 r˙ 21 + 12 m2 r˙ 22 + V ( V ( r2 r1 )

| − |

=

 { 1 ˙2 M R 2

+

1 µr˙ 2 2

+ V ( V (r)

}≡

E CM CM + E r

com E CM em em conservadas conse rvadas independe indep endentemente ntemente.. CM e E r tamb´ A conserva¸c˜ cão ao de Lr mostra que o movimento relativo ocorre em um plano perpendicular a` Lr . Escolhendo o eixo z na dire di re¸¸c˜ cão ao de Lr , podemos resolver as equa¸c˜ coes o˜es de movimento (1.23) introduzindo coordenadas polares no plano x-y : x = r cos θ r = x2 + y 2 (1.24) y = r sin θ tan θ = y/x com rˆ = xˆ cos θ + yˆ sin θ (1.25) ˆ sin θ + yˆ cos θ. θˆ = x

 

→

 √ 

−

Escrevendo r = rrˆ e derivando duas vezes em rela¸c˜ cao ão ao tempo obtemos drˆ ˙ r˙ = r˙ rˆ + r dθ θ = r˙ rˆ + rθ˙θˆ

¨r = (¨r

− rθ˙ )ˆr + (2(2r˙θ˙ + rθ¨)θˆ 2

(1.26)

24


1.7

ˆ onde usamos que dr/dθ = rˆ. rˆ/dθ = θˆ e dθ/dθ Multiplicando Multiplicando por µ e usando (1.23) obtemos duas equa¸c˜ cões, oes, uma na dire¸c˜ cao aõ radial e outra na dire¸c˜ cao aõ angular. angular. A segunda dessas dessas equa¸ c˜ cões oes pode ser escrita na forma 1d 0 = µ(2r˙ θ˙ + rθ¨) = µr2θ˙ . r dt Olhando a primeira linha da equa¸c˜ cao ão (1.26) vemos que rθ˙ = vθ de forma que a quantidade entre parêntesis entesis é o momento angular na dire¸ cão ao z : µr2 θ˙ = µrvθ = Lr . Com isso temos Lr (1.27) θ˙ = 2 µr ou ainda Lr t dt′ (1.28) θ(t) = θ0 + . µ 0 r2 (t′ ) Essa equa¸c˜ cão ao poder´ a ser integrada quando a fun¸c˜ cão ao r = r (t) for conhecida. A equa¸c˜ cao aõ radial fica

−

 



µ(¨r

µ − rθ˙ ) = − GM r 2

2

e pode ser simplificada usando (1.27): µr¨ = µr

 −

Lr2 = 3 µr =

−

d dr

Lr µr2

2

GM µ r2

µ − GM r

(1.29)

2



Lr2 2µr2

−

GM µ r

≡−

dV ef ef . dr

Note que a energia ener gia associada asso ciada ao a o movimento relativo tamb´ em em pode p ode ser escrita escr ita em termos do potencial efetivo V ef definido acima. acima. Usando Usando novamen novamente te a ef definido primeira das equa¸c˜ coes o˜es (1.26) temos E r = 12 µ(r˙ 2 + r 2 θ˙2)

−

GMµ GM µ r

= 12 µr˙ 2 + V ef ef .

(1.30)

Dessa forma, o movimento radial fica equivalente ao movimento de uma part par t´ıcula ıcu la de massa mas sa µ em uma unica u ńica dimensão ao r (nunca negativa!) sob a a¸c˜ cao aõ do potencial efetivo V ef leva em conta implicitame implicitamente nte a parte ef . Esse potencial leva angular do movimento no termo que cont´ co nt´ em em o momento angular. angular .

1.7


25

Vef

r

E>0 min

r

r min

E<0

r

max

Vc

rc

̸

Figura 1.8: Potencial efetivo para Lr = 0. Para E < 0, orbita o´rbit a el´ el´ıptica; ıptica ; para órbita parab´ olica; olica; para E > 0, hiperbólica. olica. E = 0, orbita

1.7 1.7.2

Soluc˜ ç˜ ao ao da equa eq ua¸ c˜ ç˜ ao rad adiial

O potencial efetivo

Lr2 V ef ef = 2µr2

− GMr µ ̸

é ilustrado na figura (1.8) para o caso genérico erico Lr = 0. O ti tipo de de orbita órbita descrita pelo sistema de dois corpos, aqui representado em termos de sua coordenada relativa, depende do valor da energia relativa E r , que nesta se¸c˜ cao aõ chamaremos simplesmente de E . A menor energia ener gia poss pos s´ıvel, E = V c , para ocorre para r = rc (veja a figura 1.8) onde Lr2 G2 M 2 µ3 (1.31) rc = V c = . 2Lr2 GM µ2

−

Nesse ponto a for¸ca ca efetiva é nula e o movimento é circular com r = rc . A equa¸c˜ cão ao (1.28) pode ser facilmente integrada e resulta θ(t) = θ0 + Lr t/µrc2 . O per´ per´ıodo deste movimento circular circ ular pode p ode ser encontrado enco ntrado impondo impo ndo que θ(τ ) τ ) = 3 2 2 3 2π e resulta τ = 2πL r /G M µ . θ0 + 2π Para V c < E < 0 o movimento apresenta dois pontos de retorno radiais, rmin e rmax , conforme ilustra a figura (1.8), e fica confinado no plano x-y entre os anéis eis definidos definidos por esses raios. Para E > 0 o movimento tem uma

26


1.7

máxima axima aproxima¸c˜ cao aõ do centro de for¸cas cas dado por rmin mas é ilimitado, ilimita do, de forma que a distˆ ancia ancia relativa relativa entre os dois corpos pode p ode ir a infinito. infinito. Apesar de ser poss´ poss´ıvel resolver o problema de Kepler pelo método etodo discutido na se¸ cão ao 1.5 usando a equa¸c˜ cao aõ da energia, ener gia, é mais m ais f´ acil acil achar diretamente diretamente a equa¸ cão ao da orbita, órbita, onde r é dad dadoo em fun¸ func˜ çao aõ de θ. Na verdade o problema fica realmente simples se o escrevermos em termos de u(θ) = 1/r( Usando do uma linh linhaa /r(θ). Usan para indicar deriva¸c˜ cao aõ em rela¸c˜ cão ao a` θ temos: ˙ = −L − u1 du θ˙ = −r θu dθ µ

e

r

′

2

r˙ =

u′

2

Lr ′′ ˙ Lr2 2 ′′ r¨ = u θ= u u . µ µ2 Multiplicando por µ e usando a equa¸c˜ cao aõ de movimento radial encontramos

−

−

−

Lr2 2 ′′ Lr2 3 u u = u µ µ

2

− GMµu

ou

GM µ2 u = u+ u + uc Lr2 onde uc = 1/rc (veja a figura 1.8). A equa¸c˜ cao aõ acima é nada menos do que a equa¸c˜ cao aõ de um oscilador harmˆ onico onico de freq¨ uˆ uênci en ciaa un unit it´ aria a´ria submetido a uma for¸ca ca externa constante, como no caso de uma massa presa a uma mola sob a a¸c˜ cão ao da gravidade. A solu¸c˜ cão é ′′

−

≡−

cos(θ u(θ) = A cos(θ

−θ )+u 0

c

(1.32)

onde a constante A pode ser escrita em fun¸c˜ cao aõ da energia da trajet´ oria. oria. Para isso notamos que os pontos de retorno rmin e rmax (este s´ o para E < 0) são ao dados por E = V ef avel avel u temos ef (figura 1.8). Em termos da vari´ Lr2 2 E = u 2µ ou u2

− GMµu

− 2u u − 2LµE = 0. c

2 r

As duas solu¸c˜ coes o˜es dessa equa¸c˜ cão ao devem ser comparadas com os valores m´ aximos aximos e m´ınimos atingidos ating idos por u(θ) na equa¸c˜ cao aõ (1.32), o que ocorre para θ = θ0 e θ = θ0 + π : 2µE/Lr2 u± = uc uc2 + 2µE/L A + uc

±

√

≡±

1.7


27

y m1

x

m2

´ Figura 1.9: Orbitas el e l´ıpticas no n o referencial refe rencial do centro de massa supondo sup ondo m2 > m1 . o que resulta A=

√

2µE/Lr2 = uc uc2 + 2µE/L

√ − 1

E/V c

≡uϵ c

(1.33)

onde ϵ é a excentricidade da orbita ´ . Inve Inverten rtendo do (1.32) (1.32) e usando 1/u 1/uc = rc dado pela equa¸c˜ cao aõ (1.31) obtemos rc r (θ ) = 1 + ϵ cos(θ cos(θ

−θ ) ≡ 0

a(1 ϵ2 ) . 1 + ϵ cos(θ cos(θ θ0 )

−

−

(1.34)

O parâmetro ametro a é definid defi nidoo por po r rc = a(1 ϵ2 ) = a(E/V c ). Usando Usando a equa¸ equa¸c˜ cao aõ (1.31) obtemos a = GMµ/2 GMµ/2E . Se V c < E < 0 vemos que ϵ < 1, a > 0 e a órbita orbita fica limitada entre proxima o´xima subse¸c˜ cao ão vamos mostrar rmin = a(1 ϵ) e rmax = a(1 + ϵ). Na pr que isso corresponde a uma elipse com semieixo maior a. O pa parˆ ametro ametro θ0 indica a orienta¸c˜ cao aõ da elipse no plano e tem uma interpreta¸c˜ cao aõ importante: quando θ = θ0 , r atinge seu menor valor poss´ poss´ıvel, sendo portanto a posi¸ c˜ cão ao de maior aproxima¸c˜ cão ao dos corpos, ou per periélio. Se escol escolher hermo moss um SIR SIR em repouso em rela¸c˜ cão ao ao centro de massa, podemos tomar R = 0, de forma que, pelas equa¸c˜ coes ões (1.21), teremos r1 = (m2 /M )r e r2 = (m1 /M M ))r, ou seja, as orbitas o´rbitas de ambos os corpos s˜ ao ao el´ el´ıpticas, proporcionais proporc ionais a` r, mas sempre

−

−

−

−


28

1.7

em dire¸c˜ coes o˜es opostas. op ostas. A órbita orbita do corpo de maior massa ser´ a sempre interna aquela àquela do corpo de menor menor massa. massa. Na figura (1.9) ilustram ilustramos os o movim moviment entoo supondo que m2 > m1 . No caso do sistema sistema solar, a elipse elipse descrita descrita pelo Sol tem semieixo maior menor do que o raio do pr´ oprio oprio Sol. Se E > 0 teremos ϵ > 1 e a < 0 (de forma que a(1 ϵ2 ) > 0) e a equa¸c˜ cao aõ repre r epresenta senta uma hip´ h ipérbole erb ole cujas c ujas ass´ ass´ıntotas ıntota s pode p odem m ser se r obtidas obt idas fazendo fazen do , o que resulta θ = θ0 +arccos( 1/ϵ) arccos ( 1/ϵ). r (θ ) /ϵ) e θ = θ0 + 2π arccos /ϵ). No caso cas o cr´ıtico ıti co E = 0 a equa¸c˜ cão a o da orbita o´rbita pode ser reescrita como r + simplicidade. Fica como exerc´ exerc´ıcio r cos θ = a, onde escolhemos θ0 = 0 por simplicidade. 2 2 mostrar que essa equa¸c˜ cão a o pode ser colocada na forma y = a 2ax, ax, que representa uma par´ abola abola deitada.

→∞

− −

−

−

−

1.7.3

A equac˜ ç˜ ao ao da elip elipse se

A equa¸c˜ cão ao da elipse com centro na origem do sistema de coordenadas e semieixos a e b é dada da da p or x2 y2 + 2 =1 a2 b e está ilustra ilustrada da na figura figura 1.10 1.10 à esquerd esquerda. a. A excent excentrici ricidade dade da elipse elipse é definida como ϵ = 1 b2 /a2

√ −

e mede o seu alongamento: ϵ = 0 correspon corresponde de ao c´ırculo ırculo e quanto quanto mais mais ´ conveniente usar a próximo oximo é seu valor de 1, mais alongada a elipse fica. E e ϵ como parˆ ametros independentes e escrever ametros

√ − ϵ

b=a 1

2

Os focos da elipse estão ao dispostos simetricamente sobre o eixo x a distâncias ancias aϵ da origem. Chamando de r− e r+ as distˆ di stâncias ancia s de um ponto p onto arbitr a rbitr´ ario a´rio sobre a elipse at´ até cada um dos focos (veja (veja a figura figura 1.10), 1.10), temos temos a seguin seguinte te propried propriedade ade geom ge om´étri et rica ca:: r− + r+ = 2a.

±

Podemos demonstrar essa propriedade usando a equa¸ c˜ cao aõ da elipse ou usá-la a-la como defini¸c˜ cao aõ da elipse e, a partir dela, demonstrar a equa¸c˜ cao. ão. Vamos adotar a primeira primeira linha de racioc´ racioc´ınio e deixamos deixamos como exerc´ exerc´ıcio fazer o caminho contr´ ario. ario. Sendo r = (x, y ) o vetor posi¸c˜ cao aõ do ponto sobre a elipse medido a partir da origem, temos:

1.7


29

y

y b r−

r

r+ aε

−a ε

r’

θ

a

x

2a ε

x

Figura 1.10: Elipse com centro na origem e com foco na origem.

r− = r + aϵˆ aϵxˆ = (x + aϵ,y) aϵ,y ) r+ = r

√ ± − √ ±

ˆ = (x − aϵ,y) − aϵˆ aϵx aϵ,y )

de forma que r∓ = (x aϵ) Usandoo a equa¸ equac˜ çao aõ da elipse podemos aϵ)2 + y2 . Usand 2 2 2 2 2 2 2 substituir y = (1 x /a )b = (1 ϵ )(a )(a x ): r∓ =

x2

−

−

2aϵx + a2ϵ2 + (1

√a ± 2aϵx + ϵ x = a ± ϵx. =

2

2 2

=

2

2

2

)(a − x ) − ϵ )(a (a ± ϵx) ϵx)

√

2

Somando obtemos imediatamen imediatamente te r− + r+ = 2a. A equa¸c˜ cão a o da orbita o´rbita que obtivemos na se¸c˜ cao aõ anterior anteri or tem três es difere d iferen¸ n¸ cas cas em rela¸c˜ cao aõ a` equa¸c˜ cao aõ da elip elipse se que descre descreve vemo moss acima acima:: um de seus seus focos focos está na origem (e não ao o centro); ela est´ a escrita em coordenadas polares e; sua orienta¸c˜ cao aõ é arbi ar bitr tr´ aria, a´ria, dada por θ0 . Colocando o foco na origem temos a nova equa¸c˜ cão ao (veja a figura 1.10 direita) (x

− aϵ) aϵ) a2

2

y2 + 2 = 1. a (1 ϵ2)

−

Usando agora (veja a figura) que r′ = r 2aϵˆ aϵxˆ = (x 2aϵ,y) aϵ,y) e que r′ = 2a r obtemos: (2a r)2 = (x 2aϵ) r ′ 2 = (2a aϵ)2 + y2

− −

−

4a2

2

2

2

−

−

2 2

4a ϵ − 4ar + r = x + y − 4aϵx + 4a 4a (1 − ϵ ) = 4a(r − ϵx) ϵx) = 4ar(1 ar(1 − ϵ cos θ) 2

2

30


1.7

y

r dθ r

(t) r

(t +δt)

x

Figura 1.11: No intervalo dt o raio vetor se move de r(t) a r(t + δt) δt ) varrendo o angulo aˆngulo dθ. dθ. e, finalmente, cancelando o fator comum 4a 4a e isolando r: a(1 ϵ2 ) r= 1 ϵ cos θ

−

−

que corresp corr esponde onde à equa¸c˜ cao aõ do movimento de Kepler para energias negativas com θ0 = π.

1.7.4

As trˆ trˆ es es leis de de Kepler Kepler

A primeira das leis de Kepler afirma que os planetas giram em torno do Sol em órbitas orbitas el´ el´ıpticas. Como a elipse descrita pelo Sol é muito pequena, p equena, podemos considera-lo parado no centro de massa do sistema solar. A segunda lei de Kepler afirma que o raio vetor que une os planetas ao Sol varre areas a´reas iguai iguaiss em tempos tempos iguai iguais. s. De fato, fato, a area a´rea varrida pelo raio vetor no tempo dt é, e, veja vej a a figur fig uraa 1.11 1. 11,, é 1 dA = r2 dθ 2 ou

1 dθ 1 dA Lr = r2 = r 2 θ˙ = = constante. 2 dt 2 2µ dt

EXERCÍCIOS

1.8

31

Finalmente, a terceira lei de Kepler diz que o quadrado do p per er´´ıodo orbital dos planetas é proporcional ao cubo do semieixo semieixo maior de sua orbita. ´ Para demonstrar esse resultado basta integrar a lei das areas ´ sobre um per´ per´ıodo para obter Lr τ = πab = πa 2 1 ϵ2 = πa 2 E/V c . A= 2µ Elevando os dois lados ao quadrado e usando E = GMµ/2 GMµ/2a (veja o resultado abaixo da equa¸c˜ cao aõ (1.34) e V c dado por (1.31) obtemos,

√

√

−

−

Lr2 τ 2 Lr2 2 4 =π a . 4µ2 GM µ2 a ou

4π 2 3 τ = a. GM Finalmente, definindo a frequência encia do movimento como ω = 2π/τ podemos reescrever essa equa¸c˜ cao aõ na forma 2



G(m1 + m2 ) a= ω2

1.8



1/3

.

(1.35)

Exerc´ Exerc´ıcios

1. Considere uma part´ part´ıcula em queda livre vertical onde a distˆ ancia inicial em rela¸c˜ cão ao ao solo x0 não ao pode ser desprezada em rela¸c˜ cão ao ao raio rai o da Terra R. Mostre que no limite em que x0 /R << 1 a solu¸c˜ cão ao da equa¸c˜ cão ao de movim mov iment entoo é R v0 R )cosh(ν )cosh(ν t) + sinh sinh (ν t) + . x(t) = (x0 2 2 ν

−

onde ν =

√

2g/R. g/R . Calcule x(t) para ν

→ 0.

2. Considere uma part´ part´ıcula de d e massa ma ssa m = 1/2 movendo-se sob a a¸c˜ cão ao do potencial x4 x2 + . V ( V (x) = 4 2 Fa¸ca c a um esbo¸co c o de V ( movimentoo poss´ poss´ıveis. ıveis. V (x) e discuta os tipos de moviment Encontre os pontos de equil´ equil´ıbrio do potencial e discuta sua estabilidade. estabilidade . Encontre explicitamente a equa¸ c˜ cão ao da trajet´ oria para o caso particular oria onde E = 1/4 e x(0) = 0.

−

32


1.8

3. Mostre que a magnitude do vetor posi¸c˜ cao ã o do centro de massa, R, é dado pela equa¸c˜ cão ao 2

2

M R = M



mi ri2

i

onde rij = ri

−

1 2



2 mi m j rij

i,j

| − r |. j

4. Definindo as coordenadas e velocidades relativas ao centro de massa

r′ i = ri

−R

onde V = dR/dt, /dt, mostre que: (a) L = R

×P+

∑

i

r′ i

(b) T = 1/2M V 2 + 1/ 1 /2 (c)

∑

i

mi r˙′ i = 0.

×mv i

∑

′

i,

′2 i mi v i

v′ i = vi

−V

Cap´ıtulo 2 As Equa¸c˜ coes o ˜es de Euler-Lagrange Apesar do princ´ princ´ıpio determin´ determin´ıstico de Newton afirmar que, conhecidas as for¸cas cas e o estado inicial de um sistema, podemos sempre calcular seu estado futuro, em muitos problemas a situa¸c˜ cão ao é bem mais complicada. Uma das grandes dificuldades encontra-se na existência encia de v´ıncul cu los em vários arios problemas de interesse. interesse. Dependendo da natureza dos v´ınculos a simples simples aplica¸ cão ao direta da segunda lei de Newton n˜ ao basta para encontrar a trajet´ ao oria oria do sistema. Veremos vários arios exemplos a seguir. As equa¸c˜ cões oes de Euler-Lagrange, que derivaremos nessa se¸c˜ cao, aõ, podem ser pensadas como uma remodela¸c˜ cão ao da segunda lei de Newton que conseguem lidar com a questão ao dos v´ v´ınculo ınculoss de forma forma mais mais natural natural.. Existem Existem duas maneiras de deduzir essas equa¸c˜ coes: o˜es: a primeira utiliza utiliza diretamente diretamente a segunda lei e usa o conceito de deslocamento virtual , introduzido pelo f´ısico frances Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783), para eliminar as for¸ cas cas de v´ınculo ınc ulo das equa¸c˜ cões oes de movimento. A segunda, que veremos no pr´ oxim ox imoo cap´ıtul ıt uloo é, e, de certa forma, mais geral e usa o Princ´ Princ´ıpio Variacional de Hamilton. O material apresentado aqui é fortemente baseado no livro Classical Mechanics de H. Goldstein [5]. Outras referências encias relevantes relevantes para esse cap´ cap´ıtulo s˜ ao [4, 6].

2.1

V´ınculos ınculos e graus graus de liberdade liberdade

Considerem Consi deremos os um sistema siste ma gen´ ge nérico erico com N part´ıculas ıculas interagentes interag entes de coordecoo rdenadas cartesianas r1 , r2 , ..., rN . Os v´ınculos ıncul os aos quais essas part´ıculas ıculas podem po dem estar sujeitas s˜ ao classificados em duas categorias: ao

33

34

˜ AS EQUA EQ UAC C ¸ OES DE EULER-LAGRANGE

2.1 y

r=a θ

T

mg x

Figura 2.1: O pêndulo endulo simples. simples. A for¸ca ca de v´ınculo ınc ulo é a tens˜ ten s˜ ao a o no fio, que mant´ ma ntém em a part´ pa rt´ıcul ıc ulaa a um umaa dist di stˆânci an ciaa fixa fix a r = a da origem.

V´ıncu ın culo loss Holo Ho lonˆ nˆ omicos omicos - são ao aqueles que podem ser expressos em termos de fun¸ fu n¸c˜ cões o es do tipo f ( f (r1 , r2 , . . . , rN , t) = 0. Exemplo: os v´ınculos sobre as 2 part´ part´ıculas de um corpo r´ıgido podem po dem ser escritos como (ri r j )2 cij = 0. No caso do pêndulo endul o simples simple s (veja figura 2.1) o v´ınculo é r a = 0.

− −

−

ao aqueles que n˜ ao ao podem ser expressos V´ıncu ın culo loss N˜ ao-H ao -Hol olon onˆ ˆ omicos omicos - são dessa forma. Exemplo: Exemplo: as paredes de um recipiente esférico erico de raio a onde encontram-se confinadas as moléculas eculas de um gas. Nesse caso os v´ınculos s˜ ao ri < a. Os v´ v´ınculos introduzem introduz em duas dificuldades: em primeiro lugar, as coordenadas ri não ao são ao mais independentes e, em segundo, as for¸cas cas de v´ınculo ınc ulo não ao são ao conhecidas a priori. No caso do pêndulo, endulo, por exemplo, exemplo, a tens˜ ao no fio deve ser calculada a partir das equa¸c˜ cões oes de movimento movim ento.. Se houverem k v´ıncu ın culo loss hol h olon onˆ oˆmicos, podemos usar as k equa¸c˜ omicos, coes o˜es a veis. s. O n´ umero umero de variáveis aveis f i (r1 , r2, . . . , rN , t) = 0 para eliminar k variávei independentes n = 3N k é o n´ umero de graus de liberdade do sistema. Temos ent˜ ao ao duas op¸c˜ cões: oes: usar usar n das 3N 3N coordenadas cartesianas originais ou introduzir n novas variáveis aveis q1 , q2 , . . . , qn que sejam independentes e que especifiq esp ecifiquem uem unicament un icamentee a configura con figura¸¸c˜ cao aõ do sistema. Variáveis aveis desse tipo são ao chamadas de coordenadas generalizadas e devemos ser capazes de escrever todas as coordenadas originais em termos delas:

−

r1

= r1 (q1 , q2 , . . . , qn, t) .. .

(2.1)

rN = rN (q1 , q2 , . . . , qn , t). No exemplo exemplo do pêndulo endulo plano, figura 2.1, as coordenadas cartesianas da

2.2

´ O PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT: CASO EST ATICO

35

part´ pa rt´ıcul ıc ulaa são ao x e y . Em termos de coordenadas polares a equa¸c˜ cão ao de v´ıncu ın culo lo é r = a e basta θ para especificar sua posi¸c˜ cao. ão. A transforma¸c˜ cao aõ nesse nes se caso cas o é x = a cos θ y = a sin θ. O sistema tem apenas 1 grau de liberdade com coordenada generalizada q = θ.

2.2

O princ´ princ´ıpio de D’Alembert: D’A lembert: caso est´ atico atico

O princ´ princ´ıpio de D’Alembert, ou princ´ princ´ıpio do trabalho virtual, usa a no¸c˜ cao ˜ de coordenadas generalizadas e o conceito dos deslocamentos virtuais para eliminar as for¸cas cas de v´ınculo ıncul o da descri¸ desc ri¸c˜ cao aõ do problema. Veremos inicialmente como fazer isso no caso est´ atico, onde estamos interessados apenas nas conatico, figura¸c˜ cões oes de equil´ equil´ıbrio, e depois veremos veremos como a id´ eia eia pode ser estendida estendida para par a a dinˆ din âmica. ami ca. Nesse formalismo, a distin¸c˜ cao ão entre for¸cas cas de v´ınculo e outras o utras for¸cas, cas, que chamaremos chamaremos de for¸cas cas aplicadas, aplicadas, é fundam f undamental. ental. Seja ent˜ ao ao

Fi = Fi(a) + f i

(2.2)

a for¸ca ca total atuando na i-ésima esima part´ part´ıcula do sistema, onde f i são ao as for¸cas cas (a) de v´ıncu ın culo lo e Fi são ao as for¸cas cas aplicadas, que podem ser externas ou devido as às outras o utras part´ıculas ıculas do sistema. sistem a. deslocamentoss virtuais virtuais sobre o sistema é definido Um conjunto de deslocamento como pequenas altera¸c˜ cões oes instantâneas aneas δ ri na posi¸c˜ cao aõ da part´ part´ıculas de tal forma que não ao violem violem os v´ınculos, ınculos, ou, matematicamen matematicamente te falando, de forma que o trabalho realizado pelas for¸cas cas de v´ınculo seja nulo: N



f i δ ri = 0.

i=1

·

(2.3)

A distin¸c˜ cão ao entre deslocamentos reais dri , que de fato podem ocorrer no sistema, e os virtuais δ ri está no fato de que os ultimos u ´ltimos são ao feitos com o tempo congelado. congelado. Usando as transforma¸ transforma¸ cões oes (2.1) para coordenadas generalizadas temos n ∂ ri ∂ ri (2.4) dri = dq j + dt ∂q ∂t j j=1 j =1




36

2.2

y

y

ω dt

a

dr

θ

dr = δ r

δr

θ = ωt

x

x

Figu Figura ra 2.2: 2.2: Barr Barraa gira girand ndoo com com conta que desliza. Nesse caso δ r = dr

Figura Figura 2.3: 2.3: No pˆ endulo endulo simple simpless δ r = dr = adθ θˆ.

̸

enquanto enquanto que n

δ ri =



j=1 j =1

∂ ri δq j . ∂q j

(2.5)

Exemplo 2.2.1: Considere uma barra girando horizontalmente com velocidade angular constante ω e na qual uma conta pode deslizar sem atrito, conforme ilustrado ilustrad o na figura fi gura 2.2. O deslocamento desloca mento virtual da part´ part´ıcula ocorre oc orre com o tempo congelado e é feito ao longo da barra com esta parada. O deslocamento real da conta, por outro lado, leva em conta a rota¸c˜ cao aõ da barra. Note que a for¸ca ca de v´ınculo em cada instante é sempre perpendicular perp endicular a` barra e δ r f = 0.

·

Exemplo Exemplo 2.2.2: No caso ca so do pêndulo endulo simples, figura 2.3, o deslocamento virtual coincide com o real e est´ a na dire¸c˜ cao aõ θˆ, perpendicular a` tens˜ ao ao no fio. Nesta se¸c˜ cão ao vamos considerar apenas situa¸c˜ coes o˜es de equi e quill´ıbrio, ıbr io, ond ondee Fi = 0. Ent˜ ao, ao, usando (2.3) N

0=

 i=1

N

·

F i δ ri =

 i=1

N

(Fi(a)

·

+ f i ) δri =

 i=1

Fi(a) δ ri .

·

Note que conseguimos eliminar totalmente as for¸cas cas de v´ınculo da equa¸ cão ao de equil´ equil´ıbrio. No entanto, justamente devido aos v´ınculos, os deslocamentos ao são ao independentes e essa equa¸c˜ cao aõ n˜ ao ao implica que Fi(a) = 0. De fato δ ri não sabemos que a condi¸c˜ cão ao de equi eq uill´ıbri ıb rioo é Fi(a) = f i .

−

´ O PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT: CASO EST ATICO

2.3

37

Usando Usa ndo a equa¸ equ a¸c˜ cao aõ (2.5) obtemos N

n



Fi(a)

i=1 j=1 j =1

∂ r · ∂q δq i

=0

j

j

ou ainda n



Q j δq j = 0

(2.6)

j=1 j =1

onde N

Q j =



Fi(a)

i=1

∂ r · ∂q

i

(2.7)

j

são a o as for¸cas Como as coordenad coordenadas as generaliz generalizadas adas s˜ ao incas generalizadas. Como dependentes, a condi¸c˜ cão ao de equil´ equil´ıbrio se reduz a` Q j = 0, que podem ser resolvidas sem o conhecimento das for¸ cas cas de v´ınculo ınc ulo.. endulo novamente, novamente, ilustrado nas figuras Exemplo 2.2.3: Considere o pêndulo (a) 2.1 e 2.3. Nesse caso F = mgˆ cão a o de (x, (x, y ) para mgxˆ, f = T ˆ T rˆ e a transforma¸c˜ a coordenada generalizada θ é x = a cos θ, y = a sin θ. A for¸ca ca generalizada para a coordenada θ é

−

ˆ Qθ = mgˆ mg x

·  ∂x ∂y , ∂θ ∂θ

= mg

∂x = ∂θ

−mga sin θ.

A condi¸c˜ cão ao de equil equ il´´ıbrio ıbr io Qθ = 0 fornece θ = 0 ou θ = π .

Exemplo Exemplo 2.2.4: Suponha que o corpo na extremidade ext remidade do pêndulo endulo tenha massa m e carga car ga elétrica etr ica q . Se, al´ em em do campo gravitaciona gravitacional, l, for aplicado aplicado um campo elétrico etrico horizontal constante, E = E 0 yˆ a for¸ca ca aplicada total será (a) ˆ + qE 0yˆ, de forma que F = mgˆ mg x Qθ = mg

∂x ∂y + qE 0 = ∂θ ∂θ

−mga sin θ + qaE cos θ.

Agora a condi¸c˜ cao aõ de equil´ıbrio ıbrio resulta result a tan θ = qE 0 /mg. /mg .

0

38

2.3


2.3

O princ´ princ´ıpio de D’Alem D’Alembert bert e as equa¸c˜ coes o ˜es de Lagrange

O princ´ princ´ıpio de D’Alembert pode po de tamb´ em em ser usado para fornecer uma descri¸c˜ cão ao completa da dinâmica amica do sistema sem que as for¸cas cas de v´ınculo ıncul o precisem ser inclu´ inclu´ıdas explicitamente. O ponto p onto de partida para par a essa descri¸ cão é a segunda lei de Newton, escrita na forma 0 = Fi

− m ¨r

i i

(a)

= Fi + f i

− m ¨r

i i

= 0.

Multiplicando Multiplicando tudo por deslocamentos deslocamentos virtuais δri , somando sobre i e usando novamente que o trabalho das for¸cas cas de v´ınculo se anula para deslocamentos virtuais, virtuais, obtemos N



(a)

(Fi

i=1

− m ¨r ) · δr i i

i

= 0.

O primeiro termo dessa equa¸c˜ cão ao nós os já calculamos na se¸c˜ cão ao anterio ante riorr e o resu re sult ltad adoo é N



n

Fi(a)

i=1

· δr

i

=



Q j δq j

(2.8)

j=1 j =1

onde as for¸cas cas generalizadas generalizadas Q j são ao dadas por (2.7). Para simplificarmos o segundo termo e escreve-lo diretamente em termos das coordenadas generalizadas q j precisaremos de quatro resultados preliminares:

R1 - Derivando as rela¸c˜ coes o˜es (2.1) em rela¸c˜ cao aõ ao tempo obtemos r˙ i =

 j

∂ ri ∂ ri q˙ j + ∂q j ∂t

o que mostra que r˙ i é func˜ çao aõ de q1 , . . . , qn, q˙1 , . . . , q˙n . Além em disso vemos que ∂ ˙ ∂ r˙ i ∂ ri = . ∂ ˙ ∂ q˙ j ∂q j

R2 - A seguinte rela¸c˜ cão ao é verdade verd adeira ira:: d dt

  ∂ ri ∂q j

=

∂ ˙ ∂ r˙ i . ∂q j

2.3

˜ O PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT E AS EQUAC ¸ OES DE LAGRANGE

39

Para demonstr´ demonstra-la a´-la basta calcular cada lado da equa¸c˜ cão ao separadamente: separadamente:

     ∂ ri ∂q j

d dt

e ∂ ˙ ∂ r˙ i ∂ = ∂q j ∂q j

dri dt

=

k

∂ = ∂q j

∂ 2 ri ∂ 2 ri q˙k + ∂q k ∂q j ∂t∂q j

∂ ri ∂ ri q˙k + ∂q k ∂t

k

 =

k

∂ 2ri ∂ 2 ri q˙k + ∂q j ∂q k ∂q j ∂t

onde tratamos as variáveis aveis qk e q˙k como independentes. independentes.

R3 - Usando a regra elementar 22f f ((x)∂f ( ∂f (x)/∂x = (∂/∂x) ∂/∂x)f 2 (x) podemos escrever 1 ∂ ˙ ∂ r˙ i ∂ ∂T = mi r˙ i mi r˙ i2 = 2 ∂ ˙ ∂ q˙ j ∂ ˙ ∂ q˙ j ∂ ˙ ∂ q˙ j i i



 

·

onde T é a energi ene rgiaa cinética eti ca do sistema sist ema..

R4 - Usando exatamente o mesmo truque temos



∂ ˙ ∂ r˙ · ∂q

i

mi r˙ i

=

j

i

∂ ∂q j

  i

1 mi r˙ i2 2

=

∂T . ∂q j

Podemos agora simplificar facilmente o segundo termo da equa¸c˜ cao aõ dinâmica amica de D’Alembert. Come¸camos camos escrevendo escrevendo N

∑

N ri i=1 mi ¨

· δr

i

=

n

  

mi¨ri

i=1 j=1 j =1

=

i,j

∂ r · ∂q δq i

j

j

d ∂ ri mi r˙ i dt ∂q j

·

−

mi r˙ i

·

d dt

  ∂ ri ∂q j

Usando R1 e R2 obtemos N

 i=1

mi¨ri δ ri =

·

  i,j

d ∂ ˙ ∂ r˙ i mi r˙ i dt ∂ ˙ ∂ q˙ j

·

−

mi r˙ i

·

∂ ˙ ∂ r˙ i ∂q j



δq j .

δq j .

40


2.3

Usando ainda R3 e R4 N



mi ¨ri δri =

·

i=1

   −  d dt

j

∂T ∂ ˙ ∂ q˙ j

∂T ∂q j

δq j .

Finalmente, usando o resultado (2.8), transformamos as 3N equa¸c˜ cões oes correspondentes a` segunda lei de Newton na equa¸c˜ cao aõ unica u ńica

   − d dt

j

∂T ∂ ˙ ∂ q˙ j

∂T ∂q j

−Q

j



δq j = 0.

Como os δq j são ao independentes independentes as seguintes seguintes n equa¸c˜ coes ões devem ser satisfeitas: satisfeitas: d dt

 − ∂T ∂ ˙ ∂ q˙ j

∂T = Q j ∂q j

(2.9)

para j = 1, 2, . . . , n. Obtemos os assim assim a primei primeira ra forma forma das das Equa¸ Equa¸ cões o es de n. Obtem Lagrange, que envolve envolve a energia cinética etica e as for¸ cas generalizadas. generalizadas. No caso em que as for¸cas cas aplicadas s˜ ao ao conservativas, ent˜ ao ao N

Q j =



Fi(a)

i=1

·

∂ ri = ∂q j

N

 − ∇ i=1

∂ ri = i V ∂q j

·

N

 − i=1

∂V ∂ ri = ∂ ri ∂q j

·

∂V − ∂q j

e podemos escrever d dt

 − ∂T ∂ ˙ ∂ q˙ j

∂ (T ∂q j

− V ) V ) = 0.

Se, além em disso, dis so, o potencia pot enciall (e as a s for¸ forcas) ças) for independente independente das velocidades velocidades generalizadas, de forma que ∂V/∂ ˙ coes o˜es (2.9) podem simplificadas ∂V/∂ q˙ j = 0, as equa¸c˜ ainda mais escrevendo



d ∂ (T dt ∂ ˙ ∂ q˙ j ou

d dt

−

 − −  − V ) V )

∂ (T ∂q j

∂L ∂ ˙ ∂ q˙ j

∂L =0 ∂q j

− V ) V ) = 0 (2.10)

onde L = T V é a fun¸c˜ cao ˜ Lagrangeana , que deve ser escrita em termos das coordenadas coordenad as e velocidades velocidade s generalizadas. Essa é a forma mais tradicional das Equa¸c˜ coes o˜es de Lagrange.

2.3


41

Como ultimo u ´ltimo coment´ ario ario notamos notam os que as equa¸c˜ coes o˜es (2.10) (2. 10) ainda ain da são ao v´ validas a´lidas se as for¸cas cas generalizadas generalizada s dependerem depe nderem das velocidades de tal forma que exista uma fun¸cão U (q, q˙) tal que a seguinte rela¸c˜ cao aõ seja satisfeita: Q j =

−

∂U d + ∂q j dt

 

∂U . ∂ ˙ ∂ q˙ j

(2.11)

O leitor pode facilmente verificar que as equa¸ c˜ coes ões (2.9) se reduzem as a`s (2.10) com L = T U nesse nesse caso. Apesar Apesar de parecer extremam extremamen ente te especial, especial, as equa¸c˜ cões o es (2.11) são ao satisf satisfeita eitass para a for¸ca ca de Lorent Lorentz, z, como como veremo veremoss na próxima oxima se¸c˜ cão. ao. Veremos a seguir alguns exemplos elementares de aplica¸ c˜ cão ao das equa¸c˜ cões oes de Lagrange.

−

Exemplo 2.3.1 O ob jetivo deste primeiro exemplo é ilustrar certos cuidados que devemos ter em rela¸c˜ cao aõ às as várias arias derivadas parciais e totais que aparecem ao longo dos c´ alculos no formalismo de Lagrange. Considere um sistema alculos fict´ıcio ıcio de d e dois do is graus gr aus de d e liberdad lib erdadee cuja cuj a Lagran La grangeana geana é dada da da p por or L = q12 q˙2 + q˙12. Essa Lagrangeana tem as seguintes derivadas parciais: ∂L = 2q˙1 ∂ ˙ ∂ q˙1

∂L = q12 ∂ ˙ ∂ q˙2

∂L = 2q1 q˙2 ∂q 1

∂L = 0. ∂q 2

Veja que q2 não a o aparece em L. As deriv derivadas adas totai totaiss em rela¸ relac˜ ção a o ao tempo ficam d ∂L d ∂L = 2q¨1 = 2q1 q˙1 dt ∂ ˙ ∂ q˙1 dt ∂ ˙ ∂ q˙2 de forma que as duas equa¸c˜ coes o˜es de movi movime ment ntoo ficam ficam q¨1 q1 q˙2 = 0 e 2q1 q˙1 0 = 0.

 

 

−

−

Exemplo 2.3.2 Considere novamente novamente o pêndulo endulo simples, figura 2.1. Em coordenadas coordena das polares o raio é fixo r = a e θ é a unica uńica coordenada coordenada livre. livre. A transforma¸c˜ cão a o de x, y para θ é x = a cos θ, y = a sin θ. A ener en ergi giaa cin´ ci nétic et icaa é obtida calculando-se calculando-se x˙ = aθ˙ sin θ

−

y˙ = aθ˙ cos θ e T = m(x˙ 2 + y˙ 2 )/2 = ma2 θ˙2 /2. Como V =

−mgx = −mga cos θ obtemos

1 L = ma2θ˙2 + mga cos θ 2

42


2.3

e a equa¸c˜ cao aõ de movimento fica aθ¨ =

−g sin θ.

Exemplo 2.3.3 Considere o problema da barra girando horizontalmente com velocidade angular constante ω ilustra ilustrado do na figura 2.2. Escolhen Escolhendo do a barra ao longo do eixo x em t = 0 a posi¸c˜ cão ao angular da conta é dada por qu e é uma equa eq ua¸¸c˜ cão ao de v´ınculo dependente dep endente do tempo. A unica uńica variável avel θ = ωt, ωt , que livr iv re é r, que escolhemos escolhemos como coordenada coordenada general generalizad izada. a. A transfo transforma¸ rma¸ cão ao de x, y para r é x = r cos(ωt cos(ωt), ), y = r sin(ωt sin(ωt). ). Não ao existem for¸cas cas aplicadas, de forma que L = T . ao dadas por T . As velocidades são cos(ωt)) x˙ = r˙ cos(ωt

sin(ωt)) − ωr sin(ωt

sin(ωt)) + ωr cos(ωt cos(ωt)) y˙ = r˙ sin(ωt (compare com o resultado R1 acima), de forma que 1 1 1 L = T = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) = mr˙ 2 + mω2 r2 . 2 2 2 As derivadas parciais são ao ∂L/∂ ˙ ∂L/∂ r˙ = mr˙ e ∂L/∂r = mω2r, de forma que a equa¸c˜ cao aõ de Lagrange (2.10) resulta, ap´ os o s cancel cancelar armos mos a mass massa, a, r¨ = ω 2 r. Essa Ess a é a equa¸ equ a¸c˜ cao aõ de um oscilador invertido e a solu¸c˜ cão ao é dada em termos term os de fun¸c˜ coes o˜es hiperb´ olicas. olicas. Escolhendo r(0) = r0 e r˙(0) = v0 a solu¸c˜ cão é cosh(ωt)) + r (t) = r0 cosh(ωt

v0 sinh(ωt sinh(ωt)). ω

Exemplo Exemplo 2.3.4 Disco de massa m rolando sem deslizar em um plano inclinado. inclinado. O problema é ilustrado na figura 2.4. Para especificar a p osi¸ cão ao do disco temos que fornecer as coordenadas (x, (x, y ) do centro do disco e sua orienta¸c˜ cao, aõ, dada pelo angulo aˆngulo ϕ entre uma marca sobre o disco e o ponto de contato contat o deste dest e com a super su perff´ıcie inclinada inc linada.. Essas coo c oordena rdenadas, das, no entanto, não ao são ao independentes, indep endentes, pois p ois existem dois v´ v´ınculos. Vamos mostrar que o sistema tem apenas ap enas um grau de liberdade e que uma boa coordenada generalizada é dada por u (veja figura) que d´ a a distância ancia percorrida pelo centro do disco sobre sob re o plano. pla no. Os v´ınculo ınc uloss são: ao:

2.3


43

y u

a

φ

h α A

x

Figura 2.4: Disco rolando em plano inclinado. (1) Como o disco rola sem deslizar, adϕ = du, du, que pode ser integrada resultando em aϕ = u supondo que ϕ = 0 quando u = 0. (2) Como o disco está sempre sobre o plano, ∆y/ ∆y/∆ ∆x = tan α. Esses v´ınculos nos permitem escrever x, y, ϕ, e as respectivas derivadas totais em rela¸c˜ cao aõ ao tempo, em termos de u e u˙ :

− u cos α − a sin α y = h − u sin α + a cos α

x˙ = u˙ cos α

ϕ = u/a

˙ ϕ˙ = u/a.

x=A

y˙ =

−u˙ sin α

A Lagrangeana pode ser calculada facilmente: L =

m (x˙ 2 2

u˙ 2 = 2

+ y˙ 2 ) + I 2 ϕ˙ 2

 − m+

I a2

− mgy

mgu sin α + V 0

onde I é o momento de inércia ercia do disco e V 0 é constante. consta nte. A equa¸c˜ cao a˜ o de Lagrange para u resulta u¨(m + I /a2 ) = mg sin α de onde calculamos a acelera¸c˜ cão ao (constante) do centro do disco: u¨ =

mg sin α . m + I /a2

44


2.4

Exemplo Exemplo 2.3.5 V´ınculos ınculo s na forma diferencia difer encial. l. O primeiro pr imeiro v´ınculo do exemplo anterior foi escrito na forma de diferenciais adϕ = du e posteriormente ´ bastante comum, especialmente em sistemas com integrado para aϕ = u. E discos e aros que rolam sem deslizar, deslizar, o aparecimento aparecimento de v´ınculos ınculos desse tipo. Suponha ent˜ ao ao que um v´ınculo ınc ulo é dad dadoo na forma for ma M



gi (x1 , x2 , . . . , xM )dxi = 0.

i=1

Uma equa¸c˜ cao aõ desse tipo é dita integr´ avel, avel, e o v´ınculo holonˆ holonomico, oˆmico, se existir uma fun¸c˜ cao aõ f ( f (x1, x2, . . . , xM ) tal que M

df =

 i=1

∂f dxi = ∂x i

M



gi (x1 , x2 , . . . , xM )dxi = 0.

i=1

Nesse caso gi = ∂f/∂xi e a seguinte propriedade pr opriedade é satisfeita sa tisfeita pelas fun¸ c˜ coes o˜es gi : ∂g i ∂g j = . ∂x j ∂x i Essa é uma condi¸ condic˜ çao aõ necessária aria e suficiente para que o v´ınculo seja identificado como holonômico omico e possa ser integrado.

Exemplo 2.3.6 Pêndulo endul o com c om apoio apo io em par´ abola. abola. Como ilustra¸c˜ cão ao adicional adicional considere um pêndulo endulo cujo ponto de suspensão ao desliza sem atrito sobre uma 2 parábola abola y = ax . As coord coorden enad adas as do pon ponto to de apoio apoio s˜ ao ao x e y, as da massa são ao X e Y e θ é o angulo aˆngulo que o fio do pêndulo endulo faz com a vertical. vertical. O sistema tem dois graus de liberdade e as coordenadas generalizadas podem ser escolhidas como x e θ. As equa¸c˜ coes o˜es que conectam a posi¸c˜ cao aõ da part par t´ıcula ıcu la com x e θ são: ˙ = x˙ + lθ˙ cos θ X = x + l sin θ X Y = ax2

− l cos θ

˙ = 2axx˙ + lθ˙ sin θ Y

A Lagran Lag rangea geana na é m (2axx˙ + lθ˙ sin θ)2 ] mg( L = [(x˙ + lθ˙ cos θ)2 + (2ax mg (ax2 2 Fica como exerc´ıcio ıcio escrever escre ver as equa¸c˜ coes o˜es de movimento.

−

− l cos θ).

2.4

LAGRANGEANA PARA A FORC ¸ A DE LORENTZ

45

y y = a x2

l Y

m

θ

X

x

Figura 2.5: Pêndulo endulo com c om ponto p onto de suspens˜ ao ao sobre sob re par´ par ábola ab ola..

2.4 2.4

Lagr La gran ange gean ana a p par ara a a for¸ for¸ ca ca de Lorentz

Mostraremos agora que a for¸ca ca de Lorentz, que um campo eletromagnético etico part´ıcula de massa m e carga q no vácuo, acuo, E e B exerce sobre uma part´

F = q [E + v

× B]

(2.12)

pode ser colocada na forma (2.11). O primeiro passo para isso é escrever escrever a for¸ca ca de Lorentz em termos dos potenciais vetor e escalar A e Φ. Os campos E e B no vácuo acuo satisfazem as a`s equa¸c˜ coes o˜es de Maxwell

∇·B= 0 ∇×E+

∂ B ∂t

= 0.

A primeira dessas equa¸c˜ cões oes implica que podemos po demos escrever o campo magnético etico A. Substitu em termos do potencial vetor como B = Substituind indoo na segunda segunda equa¸c˜ cão ao e trocando a ordem das derivadas encontramos

∇×

 ∇×

∂ A E+ ∂t



= 0.

A fun¸c˜ cao aõ dentro do parêntesis entesis pode po de ent˜ ao ser escrita como o gradiente de uma fun¸c˜ cão, ao, que escolhemos esco lhemos como Φ. Assim

−∇

E=

−∇Φ − ∂ ∂tA


46

2.4

e a for¸ca ca de Lorentz fica

−∇ −

F=q

Φ

∂ A +v ∂t

× (∇ × A)



(2.13)

.

Para mostrar que F pode de fato ser escrita na forma da equa¸ c˜ cao aõ (2.11) vamos manipular as componentes da for¸ ca ca separada sep aradamente. mente. Faremos aremo s o cálculo alculo para a componente x apenas. O termo dif´ dif´ıcil de simplificar simplificar na express˜ expressao aõ acima ac ima é o ultimo. u´ltimo. Escrevendo Escrevendo explicitamente explicitamente o duplo produto vetorial vetorial temos [v

× (∇ × A)]

x

∇ × A) − v (∇ × A)

= vy ( = vy =

z



∂A y ∂x

x vx ∂A ∂x

−

+

z

∂A x ∂y

y vy ∂A ∂x

− ( vz

+

y

∂A x ∂z

z vz ∂A ∂x

−

−

∂A z ∂x

)−

x vx ∂A ∂x

+

x x + vx ∂A vx ∂A ∂x ∂x

x vy ∂A ∂y

+

x vz ∂A ∂z



onde somamos e subtra´ subtra´ımos os dois ultimos u´ltimos termos da segunda linha. Parte dessa express˜ expressao aõ pode agora ser reconhecida como a derivada total de Ax em rela¸c˜ cao aõ ao tempo. De fato temos dAx ∂A x ∂A x dx ∂A x dy ∂A x dz = + + + dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt =

∂A x ∂A x ∂A x ∂A x + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z

de forma que [v

× (∇ × A)]

x

= vx =

∂A x ∂A y ∂A z + vy + vz ∂x ∂x ∂x

∂ ∂A x (v A) + ∂x ∂t

·

− dAdt

x

+

∂A x ∂t

− dAdt . x

Note que a derivada parcial só atua em Ax , pois x,y,z, x, ˙ y, ˙ z˙ são a o todas consideradas vari´ aveis aveis independentes. Usando essa expressão ao podemos po demos escrever a componente x de (2.13) como F x = q =q

[− [−

∂ Φ ∂x ∂ ∂x

∂ ∂x

(v A)

· − (Φ − v · A) − +

] ]

dAx dt

dAx dt

.

EXERCÍCIOS

2.5

47

O primeiro termo j´ a está na forma desejada com U = Φ v A. Falta apenas mostrar que o ultimo u ´ltimo termo pode po de ser substitu´ substitu´ıdo por d/dt( d/dt(∂U/∂vx ). De fato, usando a independência encia das coordenadas coordenad as e velocidades nas na s derivadas parciais temos d ∂U d ∂ ( vx Ax ) dAx = = . dt ∂v x dt ∂v x dt

− ·

−

−

Dessa forma obtemos F x = q

−

∂U d ∂U + ∂x dt ∂v x



onde U = Φ e L=

2.5

m 2 v 2

−v·A

− q Φ + q v · A.

(2.14)


1. Obtenha as equa¸ equa¸c˜ coes o˜es de d e v´ınculo ınculo para par a um disco rolando ro lando sem se m deslizar em um plano. Essas equa¸c˜ coes o˜es são ao um caso especial de v´ınculos diferenciais da forma gi (x1 , x2 ,...,xn )dxi = 0 .

 i

Um v´ınculo desse tipo é holonˆ omic o micoo apenas apenas se exis existi tirr um umaa fun¸ fun¸ c˜ cão ao cao aõ df = 0 reproduza repro duza as equa¸c˜ coes o˜es acima. f ( f (x1 , x2 ,...,xn ) tal que a condi¸c˜ Mostre que nesse caso ∂g i ∂g j = ∂x j ∂x i para todo i, j . Mostre que não ao existe tal fun¸c˜ cao aõ para o caso do disco e que, portanto, por tanto, os v´ınculos ınculo s s˜ sao aõ não-holonˆ ao-holonômicos. omicos. 2. Duas rodas de raio a são ao montadas nas pontas de um eixo de tamanho girar de forma forma independen independente te (fig. 2.6). 2.6). O b de forma que elas possam girar sistema rola sem deslizar sobre um plano. Sejam x e y as coordenadas do ponto médio edio do eixo (projetadas no plano), ϕ e ϕ′ ângulo ang uloss de referência encia sobre cada roda e θ o angulo aˆngulo que a dire¸c˜ cao ão do eixo faz com o

48


2.5

Figur Figuraa 2.6: 2.6: Du Duas as rodas de raio raio a são ao montadas nas pontas de um eixo de tamanho b. eixo x. Mostre que o sistema tem dois v´ v´ınculos n˜ ao-holonˆ ao-holonômicos omicos dados por cos θdx + sin θdy = 0 sin θdx cos θdy = a2 (dϕ + dϕ′ ) e um v´ınculo ınc ulo holonˆ hol onômico omico

−

θ = C

− ab (ϕ − ϕ ) ′

onde C é uma consta con stante. nte. 3. Sejam q1 , q2 , ..., qn um conjunto independente de coordenadas generaliza eralizadas. das. Con Consid sidere ere agora uma transforma transforma¸ c˜ ¸ao a o para um novo con junto de coordenadas coorden adas independentes dadas por si = si (q1, q2,...,qn , t), coes ões de Lagrange s˜ ao ao invariantes por i = 1, 2,...,n. ,...,n. Mostre que as equa¸c˜ esse tipo de transforma¸ transforma¸ c˜ cao, aõ, i.e., mostre que nas novas vari´ aveis aveis obtemos d dt

 − ∂L ∂ s˙k

∂L =0 ∂s k

4. Considere Consid ere um u m pêndulo endulo duplo plano p lano onde o nde a primeir p rimeiraa part´ıcula ıcula tem t em massa mas sa car ga elétrica etr ica q1 e está presa por uma barra barr a de massa desprez despr ez´´ıvel m1 e carga de comprimento l1 . A segunda seg unda part´ıcula ıcula tem massa m assa m2 e carga car ga elétrica etr ica q2 e está suspensa por outra barra sem massa de comprimento l2 presa

2.5

EXERCÍCIOS

49

a` p primeir rimeiraa p part´ art´ıcula. ıcula. No sistema sistem a atua, a tua, além em da for¸ca ca da gravidade, um campo elétrico etrico constante de intensidade E 0 na dire¸c˜ cão ao horizontal. horizontal. (a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Escreva explicitamente as equa¸c˜ cao aõ de v´ıncu ın culo lo.. (b) Aplique Aplique o princ´ princ´ıpio de D’Alembert D’Alembert para encontrar encontrar a posi¸ cão a o de equil equ il´´ıbrio ıbr io do sistem sis tema. a. (c) Escreva a Lagrangeana e as equa¸c˜ coes o˜es de movimento.

50


2.5

Cap´ıtulo 3 Prin Princc´ıpio ıpioss Var aria iaci cion onai aiss A idéia eia de descrever o movimento a partir de um princ´ princ´ıpio de m´ınimo é bastante antiga. O primeiro desses princ´ princ´ıpios de que se tem not´ not´ıcia é o de Heros de Alexandria, que viveu aproximadamente entre os anos 10 e 70 DC,1 que postulou que ‘raios de luz’ se propagavam em linha reta quando restritos a um meio homogêneo. eneo. Temos aqui um princ´ princ´ıpio de menor caminho entre dois pontos. O fato de raios de luz mudarem mudarem de dire¸ cão ao quando passam de um meio a outro (refra¸c˜ cão) ao) já era conhecido nessa época, epo ca, mas s´ o foi formulado matematicamente de modo emp´ emp´ırico pelo holandês es Willebrord van Roijen Snell (1591-1626) em 1621 e pelo matem´ atico frances Pierre de Fermat (1601atico 1665) 1665 ) em 1650, na forma fo rma de d e outro out ro princ pr inc´´ıpio de d e m´ m´ınimo, mais geral g eral que aquele a quele enunci enunciado ado por Heros. Heros. Embora Embora nosso foco princip principal al seja a Mecˆ anica, vale a pena come¸car car este cap´ cap´ıtulo com algumas considera¸ c˜ coes o˜es sobre o Princ´ıpio ıpio de Fermat.

3.1

O princ´ princ´ıpio de Fermat Fermat

Sab emoss que luz é radia¸ Sabemo rad ia¸c˜ cao aõ eletromagn´ eletromagnética, etica, que pode se comportar como raios, ondas ou part´ part´ıculas (f´ otons). otons). Quando Quando a luz se comporta como como raios estamos no chamado limite da ´ opti op tica ca geométrica etr ica , quando λ << L, L, onde λ é −7 o comprimento de onda da luz (da ordem de 10 m para a luz vis´ vis´ıvel) e L a dimensão ao t´ıpica ıpica do aparato de medida me dida utilizado ut ilizado [9, 10]. 1

Uma otima o´tima abordagem histórica orica e conceitual pode ser obtida no livro Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory , de W. Yourgrau e S. Mandelstam [7]. Outra referen ref erencia cia interess inte ressante ante é The Variational Principles of Mechanics , de L. Lanczos [8].

51

52

PRINCÍPIOS VARIACIONAIS

3.1

Ar

Agua

alvo

fonte

Figura 3.1: Trajetória oria de um raio de luz ao mudar de meio. A figura 3.1 ilustra a determina¸c˜ cão ao do caminho percorrido pela luz desde uma fonte até o alvo, alvo, mu mudand dandoo de meio meio durant durantee o percurso. percurso. Coloca-s Coloca-see primeiramente um anteparo na frente do alvo de forma a deixar passar apenas a luz que o atinge. O orif´ orif´ıcio no anteparo deve ter tamanho L >> λ, λ, caso contr´ ario ario ocorrer´ a difra¸c˜ cão ao e não ao ser´ a poss´ p oss´ıvel ıvel a descri des cri¸c˜ çao aõ da luz por meio de raios. raios. Atr´ Atr´ as desse primeiro anteparo colocamos um segundo anteparo que, as mais uma vez, deixa passar apenas a luz que atinge o alvo, e assim sucessivamente vamente até a fonte. Vemos que os orif´ orif´ıcios em cada meio se alinham, mas que há uma mudan¸ca ca de dire¸c˜ cão ao na passagem entre os meios. Em 1650 16 50 Fermat enunciou um princ p rinc´´ıpio que permitia a determina¸ d etermina¸ cão ao do caminho da luz nessa situa¸c˜ cão: ao: “O caminho percorrido percorr ido pela p ela luz em qualquer combina¸c˜ cao aõ de meios, com quaisquer ´ındices ındices de refra¸c˜ cao, aõ, é tal que o tempo de percurso per curso é um extremo, extre mo, m´ınimo ou m´ aximo”. aximo”. Quando uma fun¸c˜ cão ao f ( ao ao df ( f (x) tem um ponto de extremo em x0 ent˜ f (x0 )/dx = 0. Isso implica que, para pontos x = x0 + δx pr´ pr óxim ox imos os de x0 , o valor de f ( f (x) é aproximadame aproxim adamente nte igual a` f ( f (x0 ): f ( f (x)

≈

df f ( f (x0 ) + dx

= f ( f (x0) +



x0

1 d2 f + δx 2 dx2

2

O(δx ).



δx 2

x0

ou seja, δf

≡ f ( f (x) − f ( f (x ) ≈ 0 0

i.e., a varia¸c˜ prime ira ordem nas vizinha¸ vizinh a¸cas cas do ponto pont o x0 . cao ˜ de f(x) é nula em primeira

O PRINCÍPIO DE FERMAT

3.1

53

fonte θ1

n1

θ1

L

x

1

∆L

. .

θ

θ2

2

n2 > n 1

L2

n2

∆ L1

2

alvo

Figura 3.2: Minimiza¸c˜ cao aõ do tempo de percurso.

Vamos mostrar que a aplica¸c˜ cão ao do d o princ pr inc´´ıpio de Fermat para a refra¸ r efra¸c˜ cao aõ leva à lei de Snell. A figura 3.2 mostra o caminho do raio de luz que vai da fonte, onde o ´ındice de refra¸c˜ caõ é n1 ao alvo, alvo , ond ondee o ´ındice ınd ice é n2 . O comprime comprimento nto dos caminhos caminh os em cada meio é L1 e L2 respectivamente e os angulos aˆngulos que esses raios fazem com a perpendicular a` superf sup erf´´ıcie que separa separ a os meios é θ1 e θ2. A figura mostra também em um caminho vizinho aquele a`quele percorrido pela luz. A idéia eia é impor imp or que o tempo temp o gasto gast o no percur p ercurso so do caminho c aminho correto corre to e no n o caminho cami nho vizinho sejam iguais. O tempo de percurso no caminho caminho correto (linha grossa) é τ = τ 1 + τ 2 =

L1 L2 + v1 v2

onde v1 = c/n1 e v2 = c/n2 são ao as velocidades velo cidades da luz nos no s respectivos r espectivos meios e acuo. acuo. O caminho vizinho é um pouco mais longo c é a velocidade da luz no v´ no meio 1 e um pouco mais curto no meio 2, e o tempo de percurso sobre ele é (veja (vej a a amplia amp lia¸c˜ çao aõ da regi˜ ao ao pr´ oxima oxima à superf supe rf´´ıcie na figura) figur a) τ ′ =

−

∆L1 L2 ∆L2 ∆L 1 L1 + ∆L + = τ + v1 v2 v1

− ∆vL . 2

2

54


3.2

Para que δτ = τ ′ τ = 0 devemos ter ∆L ∆L1 /v1 = ∆L2 /v2 . Como ∆L ∆L1 = x sin θ1 , ∆L2 = x sin θ2 e vi = c/ni (x é a diagonal do paralelogramo – veja a figura) ent˜ ao ao x sin θ1 x sin θ2 = c/n1 c/n2 ou n1 sin θ1 = n2 sin θ2

−

que é a famosa Lei de Snell.

3.2

O m´ etodo etodo variacional variacional de Euler-Lagrange Euler-Lagrange

Na mecânica anica o primeiro princ´ princ´ıpio variacional foi aparentemente proposto pr oposto pelo filósofo osofo francˆ francês es Pierre-Louis Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) (1698-1759) em 1744. Leonhard Euler (1707-1783) o reformulou logo em seguida e, um pouco mais tarde Joseph Louis Lagrange (1736-1813) desenvolveu o c´ alculo alculo de varia¸c˜ cões oes por volta de 1760. No entanto, entanto, foi apenas William William Rowan Hamilton Hamilton (18051865) 1865) que que o modifi modificou cou para para sua forma forma atual atual,, introd introduzi uzind ndoo a fun¸ func˜ ¸ao a o Lagrangeana L = T V . cao aõ vamos introduzir o c´ alculo alculo de varia¸c˜ coes o˜es V . Nesta se¸c˜ de forma abstrata e aplic´ a-lo a-lo à mecˆ anica anica na pr´ oxima oxima se¸c˜ cao aõ apenas. apenas. O cálculo alculo de varia¸c˜ cões oes se propõe oe a encontrar certas curvas que tornem extrem ext remoo (m´ (m´ınimo, ıni mo, máximo aximo ou ponto de sela) um determinado funcional . Seja c om condi¸c˜ coes o˜es de contorno contorno y(x1 ) = y1 e y(x2 ) = y2 y = y(x) uma curva suave com ′ fixas. Denotaremos y = dy/dx. dy/dx. Considere agora o funcional

−



x2

J =

f ( f (y, y ′ , x)dx

x1

onde f é um umaa fun¸ fu n¸c˜ cao ão suave arbitr´ aria. aria. A pergunta que queremos queremos responder é: e: dad da da f , coes o˜es de contorno fixas, que produz o f , qual a curva y(x), com condi¸c˜ menor valor poss pos s´ıvel da integral integra l J ? O cálculo alculo de varia¸c˜ coes o˜es na verdade encontra curvas que extremizam J . O tipo de extremo extremo obtido, obtido, se m´ axim ax imo, o, m´ınim ın imoo ou pon p onto to de sela, sela, deve ser verific verificado ado a posterio posteriori. ri. A curva curva que extremiz extremizaa o valor de J é dita estacion´ aria , pois o valor de J é fixo (em primeira prime ira ordem) ordem ) para curvas curvas vizinhas. vizinhas. O problem problemaa de raios de luz que discutim discutimos os na se¸ cão ao anterior anterior se encaixa nesse esquema: as condi¸ cões oes de contorn c ontornoo são ao fixadas fi xadas pelas pel as posi¸c˜ coes o˜es da fonte e do alvo e f dx = dt = vds = [c/n( )]ds onde ds é um eleel ec/n(y)]ds mento de caminho. Para cada caminho y (x) calculamos o tempo de percurso e buscamos o caminho que o extremize.

3.2

´ O METODO VARIACIONAL DE EULER-LAGRANGE

55

Figura Figura 3.3: Curva Curva estacion estacion´ aria a´ria (cont´ (cont´ınua) ınua) e curva curva vizinha vizinha (tracejada). (tracejada). O deslocamento δy( defi nidoo para par a x fixo e pode ser considerado virtual, no δy (x) é definid mesmo sentido de D’Alembert. Para resolver esse problema procedemos de forma an´ aloga aloga ao exemplo do raio de luz da se¸c˜ cao aõ anteri anterior. or. Seja y = y (x) a solu¸c˜ cao aõ procurada. procurada. Vamos amos construir uma fam´ fam´ılia de curvas vizinhas a` y(x) e impor que a varia¸c˜ cão ao de J seja nula quando calculada para essas curvas. Seja ent˜ ao ao y(x, α) = y(x) + αη αη((x) e y′ (x, α) = y′ (x) + αη ′ (x)

≡ y(x) + δy( δy (x) ′

′

≡ y (x) + δy (x)

onde α é um parˆ pa râmetro ametro pequeno, que faremos tender a` zero, e η (x) é uma fun¸c˜ cao aõ suave qualquer com η (x1 ) = η (x2 ) = 0. Co Como mo isso isso garan garanti timo moss que que ca as condi¸c˜ cões oes de contorno para todo α. A figura 3.3 3.3 ilustra ilustra y (x, α) satisfa¸ca a curva estacion´ aria aria procurada pro curada e uma curva curva da fam´ fam´ılia vizinha. Note que a fun¸c˜ cao aõ δy( defini da para x fixo e pode ser considerada δy (x) = y (x, α) y (x) é definida um deslocamento virtual no mesmo sentido de D’Alembert. Seja ainda

−



x2

J (α) =

f ( f (y(x, α), y ′ (x, α), x)dx.

x1

Expandindo J (α) em primeira ordem em torno de α = 0 obtemos obtemos



dJ (0) + J (α) = J (0) dα

α=0

dα

56


3.2

ou ainda δJ = J (α)

−



dJ (0) = J (0) dα



dα α=0

≡ 0.

dJ Impomos ent˜ ao ao que dα = 0 e, ao mesmo tempo, impomos que essa α=0 condi¸c˜ cao aõ deva ser satisfeita por qualquer curva η (x) com η (x1 ) = η (x2 ) = 0. Calculando a derivada em rela¸c˜ cão ao a` α obtemos

dJ = dα

      x2

x1

x2

=

x1

x2

=

x1

     

∂f ∂y ∂f ∂y ′ + dx ∂y ∂α ∂y ′ ∂α ∂f ∂y ∂f d + ′ ∂y ∂α ∂y dx ∂f ∂y ∂y ∂α

−

d dx

∂y ∂α

∂f ∂y ′

dx

∂y ∂f ∂y dx + ∂α ∂y ′ ∂α

(3.1)



x2 x1

onde fizemos uma integra¸c˜ cao aõ por partes no segundo termo. Como ∂y/∂α = η (x) e η (x1 ) = η (x2 ) = 0 obtemos

   

dJ = dα ou ainda

x2

x1

x2

δJ =

x1

∂f ∂y

∂f ∂y

−

   

d dx

− dxd

∂f ∂y ′

∂f ∂y ′

η (x)dx

δy( δy (x)dx

(3.2)

Como dJ/dα deve ser zero sobre a curva estacion´ aria, aria, em α = 0, para toda fun¸c˜ cão ao suave η (x), a curva procurada deve satisfazer a` equa¸c˜ cao aõ ∂f ∂y

−

d dx

  ∂f ∂y ′

=0

(3.3)

que é conhecida como Equa¸c˜ cao aõ de Euler, Euler, public publicad adaa em 1744. 1744. Pa Para ra uma deriva¸c˜ cão ao mais rigorosa dessa equa¸c˜ cão ao e do c´ alculo alculo de varia¸c˜ coes o˜es em geral, veja L. Elsgolts, Differential Equations and the Calculus of Variations, Variations, Mir Publishers. A importância ancia dessa equa¸c˜ cão ao na matemátic at icaa e na f´ısica ısi ca é enor en orme me,, pois vários a rios problemas podem ser colocados na forma de uma equa¸c˜ cao a˜ o de extremo.

3.2


57

A extensão a o do c´ alculo alculo de varia¸c˜ cões oes para funcionais com v´ arios arios graus de liberdade é imediata. Se f = f ( f (y1 , . . . , yn , y˙ 1, . . . , y˙n , x) definimos a familia de curvas vizinhas por yk (x, α) = yk (x) + αηk (x),

k = 1, . . . , n

onde as curvas ηk são ao independentes e satisfazem ηk (x1 ) = ηk (x2 ) = 0. A derivada dJ/dα nesse caso resulta n

   x2

dJ = dα

x1

k=1

∂f ∂y k

−

d dx

  ∂f ∂y ′ k

ηk (x)dx.

(3.4)

Para que essa derivada se anule para quaisquer fun¸ c˜ coes o˜es ηk devemos ter ∂f ∂y k

−

d dx

  ∂f ∂y ′ k

=0

k = 1, . . . , n .

(3.5)

A semelhan¸ca ca dessa equa¸c˜ cao aõ com a equa¸c˜ cão ao de Lagrange (2.10) é obvia, o´bvia, o que indica que o movimento de corpo previstos pela segunda lei de Newton deve também em extremizar ext remizar alguma quantidade. qua ntidade. Essa quantidade, qua ntidade, denominada a¸c˜ cao, ao ˜ , tem uma importância ancia fundamental na f´ısica e ser´ a discutida de v´ arios arios pontos de vista durante esse curso. Antes de voltar voltar à mecˆ anica, vamos ver três es exempl exe mplos os clássicos assicos de aplica¸c˜ cao aõ da equa¸c˜ cao aõ de Euler. Como um primeiro exemplo simples, vamos encontrar o caminho de menor distância ancia entre dois pontos do plano. Sejam (x (x1, y1 ) e (x2 , y2) as coordenadas dos dois pontos e uma curva suave y (x) qualquer qualquer ligando ligando esses esses pontos. pontos. O elemento de distˆ ancia ancia ao longo dessa curva é ds =

√

dx2 + dy 2 =



y ′ 2 + 1 dx

de forma que o comprimento c omprimento da curva entre os o s pontos p ontos é

  √ √ x2

J =

y ′ 2 + 1 dx.

x1

A curva que minimiza a distˆ ancia entre os pontos deve ent˜ ancia ao ao satisfazer a 2 ′ ′ equa¸c˜ cão ao de Euler com f ( Como mo ∂f/∂y = 0, ∂f/∂y ′ = f (y, y , x) = y + 1. Co c˜ cao aõ de Euler fica c = constante. Portanto a equa¸ ∂f = ∂y ′

y′

y′2

+1

=c

58


3.2 y y2 ds

y

1

x1

x2

x

x

ds

dA = 2 π x ds

Figura Figur a 3.4: Superf Sup erf´´ıcie de revolu¸c˜ cao ão gerada por rota¸c˜ cão ao de uma curva. curva. A area a´rea gerada por cada elemento da curva é dA = 2πxds. πxds. ou y ′ = a = constante e y (x) = ax + b, que é a linha reta. ret a. As constante const ante a e b devem ser encontradas de tal forma que y (x1 ) = y1 e y (x2 ) = y2 . Os próximos oximos dois exemplos tem solu¸c˜ coes o˜es um pouco mais longas e vamos trat´ a-los a-los nas subse¸c˜ cões oes seguintes. seguintes.

3.2. 3.2.1 1

A caten aten´ oide o íde

Neste exemplo procuramos a superf´ superf´ıcie de revolu¸ cão ao de m´ınima ıni ma area. a´rea. Con Con-sidere novamente dois pontos no plano x y com coordenadas (x (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e uma curva suave y (x) qual qualqu quer er ligando ligando esses esses pontos. pontos. Ao rodar essa curva em torno do eixo y criamos criam os uma superf´ sup erf´ıcie, ıcie, chamada de superf sup erf´´ıcie de revolu¸c˜ cão, ao, ilustrad ilustradaa na figura figura 3.4. Qual Qual a forma forma da curva curva que produz a superf sup erf´´ıcie com a menor area a´rea poss pos s´ıvel? Cada elemento eleme nto ds da curva, centrado no ponto (x, (x, y (x)), ao ser rodado gera um pequeno anel de raio x e area a´rea 1dx.. A área area total gerada pela curva é dA = 2πxds = 2πx y ′ 2 + 1dx

−

√

  x2

A = 2π

x y ′ 2 + 1 dx.

x1

√

Agora temos f ( cão ao de f (y, y′ , x) = x y′ 2 + 1 e novamente ∂f/∂y = 0. A equa¸c˜ Euler fica

3.2


59

Figur Figuraa 3.5: 3.5: A caten´ catenoide, oíde, gerada pela rota¸c˜ cao ã o do cosseno hiperb´ olico olico (esquerda) e uma bolha gigante mostrando a superf sup erf´´ıcie (direita, (direita , foto: foto : SANTOS, Obed Alves. CCTECA de Aracaju. 2010. color.). d dx ou



xy

′

√ √

y′ 2 + 1

xy ′

y′2

+1



=0

= a.

Elevando os dois lados ao quadrado e isolando y′ obtemos ∂y = ∂x ou

√x a− a

 √

2

2

a dx + b. x 2 a2 A integral pode ser feita facilmente com a mudan¸ca ca de vari´ aveis aveis x = a cosh u e resulta y = au + b = ou y=

x = a cosh

−

− y

b

a

que é conh c onheci ecida da como com o caten´ aria . A sup s uperf´ erf´ıcie ıci e gera g erada da é a caten´ cat en´ oide, oide, mostrada no lado esquerdo esquer do da figura figur a 3.5. Essa superf supe rf´´ıcie aparece, por exemplo, e xemplo, quando

60


3.2

uma bolha de sabão ao é formada entre dois anéis eis circulares paralelos, de raios arbitrários, arios, minimizando minimizando a tens˜ ao ao superficial, como mostrado no lado esquerdo da figura 3.5.

3.2. 3.2.2 2

A br braq aqui uist st´ ocrona o ćrona

O problema aqui é encontrar enco ntrar a curva ligando dois pontos a alturas diferentes d iferentes de tal forma forma que uma part´ part´ıcula ıcula partind partindoo do repouso repouso do ponto ponto mais mais alto atinja o ponto mais baixo no menor tempo poss´ poss´ıvel, ıvel, deslizando deslizando pela curva curva sob a a¸c˜ cão ao da gravidade g ravidade e sem atrito a trito [10]. O ponto 1, mais alto, alt o, é escolhido na origem, conforme ilustra a figura 3.6. O problema foi proposto e solucionado em 1697 pelo matem´ atic at icoo su´ı¸co co Johann Joh ann Bernoulli Bern oulli (1667-1748). (1667 -1748). O problema é interessante pelo fato de combinar o problema variacional com a conserva¸ cão ao de energia. De fato, usando E = mv2 /2

− mgy

e o fato de v (0) = y (0) = 0 vemos que qu e a energia da part´ part´ıcula é nula. Como quantidade que queremos E = 0, v = 2gy e o tempo de percurso, que é a quantidade minimizar, pode ser escrito como

√

   √ √ t

t=

L

′

dt =

0

0

x2

ds = v

0

1 + y′2 dx. 2gy

O funcional que teremos que usar na equa¸c˜ cão ao de Euler é agora mais complicado, dado por ′

f ( f (y, y , x) =



1 + y′2 . 2gy

As derivadas que precisamos são: ao: ∂f ∂y ∂f ∂y ′

=

=

d ∂f = dx ∂y ′

−

1 2y



1 + y′ 2 2gy

y′

√

2gy(1 gy (1 + y′ 2 )

√

y′′ 2gy (1 + y ′ 2 )3/2

− 2y

y′2

√

2gy(1 gy (1 + y′ 2)


3.2

x2

1

61

x

v g y

2

2

y

Figura 3.6: O problema da braquistócrona. ocrona. onde a ultima u ´ltima derivada requer alguma simplifica¸c˜ cão. ao. Substituind Subst ituindoo na equa¸c˜ cao aõ ′ 2 3/2 de Euler e multiplicando tudo por 2gy (1 + y ) obtemos

√

y

′′

−

y′ 2 2 (1 + y′ ) = 2y

− 21y (1 + y

′2 2

)

que pode ser colocada na forma y′′ = 1 + y′2

− 21y .

A solu¸c˜ cao aõ dessa equa¸c˜ cao aõ segue da seguinte seq¨ uencia uencia de identidades e transforma¸c˜ cões: oes: 1 d 1 ′2 log lo g (1 + ) = y 2y ′ dx 2y



 





d 2 log log (1 + y ′ ) = dx

−

− dxd log y



d 2 log log [(1 [(1 + y′ )y] = 0 dx y(1 + y ′ 2 ) = c = constante. A solu¸c˜ cao a˜ o desta ultima u ´ ltima equa¸c˜ cão a o pode ser ser fin final alme ment ntee resol resolvi vida da em forma forma ′ param´ para métrica. etric a. Escrevendo Escre vendo y = cot(2s cot(2s) a equa¸c˜ cão ao fornece y=

c c = c sin2 (2s (2s) = (1 2 1 + cot (2s (2s) 2

cos(2s)). )). − cos(2s


62

3.3

Usando agora dx = dy/y ′ e a forma y = c sin2 (2s (2s) obtemos dx =

2c sin(2s sin(2s)cos(2s )cos(2s)ds dy = cot cot (2s (2s) y′

= 2c sin2 (2s (2s)ds = c(1 ou

 

x(s) = d +

c (2s (2s 2

cos(2s))ds ))ds − cos(2s

sin(2s)) − sin(2s

. c cos(2s)) y (s) = (1 cos(2s 2 Quando s = 0, y = 0 e, de acordo com nossa escolha do ponto inicial, inicial, x(0) = 0 também. em. Isso implica implic a que qu e d = 0. Cha Chamand mandoo c = 2A e reparametrizando a curva por r = 2s encontramos

−

 

− sin r) = A(1 − cos r)

x(r ) = A(r y (r )

.

Essa curva, que satisfaz a equa¸c˜ cao aõ [x(r)

− Ar] Ar]

2

+ [y [y (r )

2

− A]

= A2

é conhecida conhe cida como cicl´ oide, oide, e é como um c´ırculo cujo centro se desloca enquanto quanto tentamo tentamoss desenha desenha-lo -lo.. A constan constante te A é obtida impondo-se impondo-se a passagem da curva pelo ponto (x (x2 , y2 ). As eq equac˜ ções oes x2 = A(r2 sin r2 ) e y2 = A(1 cos r2 ) devem ser resolvidas para A e r2 .

−

3.3

−

O princ´ princ´ıpio de de Hamilton Hamilton

O princ´ princ´ıpio de Hamilton Hamilton foi inspirado inspirado por outro, publicado publicado no mesmo ano de 1744 por Maupertuis. O princ´ princ´ıpio de a¸ cão ao m´ınima de Maupertuis dizia basicamente que a quantidade de a¸c˜ cao ˜ necess´ aria para que qualquer mudan¸ca ca seja sej a feita fei ta pela natureza nat ureza é sempre semp re a menor meno r poss´ıvel ıve l . No caso ca so de uma part pa rt´´ıcula, 2 a a¸c˜ c˜ ao foi definida por Maupertuis como a integral de mv , isto é, e, o dobro da energia cin´ etica etica da part´ part´ıcula. Maupertuis ficou fascinado fascinado com sua descoberta e atribuiu um caráter ater religioso ao princ´ princ´ıpio, como mostra a seguinte

3.4

MULTIPLICADORES MUL TIPLICADORES DE LAGRANGE LAGRANGE

63

afirma¸c˜ cao aõ [7]: With With the law lawss of moveme movement nt thus thus deduc deduceed, being eing found found to be pre precisely cisely the same as those observed in nature, we can admire the application of it to all phenomena, in the movement of animals, in the vegetation of plants, in the revolut revolution ion of the heavenly heavenly bodies: bodies: and the spe spectacle ctacle of the universe becomes so much the grander, so much the more beautiful, so much more worthy of its Author. Author... .. . The These se law laws, s, so beautifu autifull and so simple simple,, are are perh erhaps aps the only only ones which the Creator and Organizer of things has established in matter in order to effect all the phenomena of the visible world ... Hamilton Hamilton modificou o princ´ princ´ıpio de Maupertuis definindo definindo a a¸ cão a o como a integral da Lagrangeana:



t2

S =

˙ t)dt. L(q, q,

(3.6)

t1

A a¸c˜ cao aõ proposta inicialmen inicialmente te por Maupertuis é hoje conhecida conhecida como a¸c˜ cao ˜ reduzida e voltaremos a falar dela adiante. Como vimos na se¸c˜ cao aõ anterior, a imposi¸c˜ cao ão de que a varia¸c˜ cão ao primeira de a`s equa¸c˜ cões oes de Lagrange na forma (2.10), como S seja nula leva naturalmente as obtidas através es do princ´ princ´ıpio de D’Alembert dos deslocamentos virtuais para for¸cas cas conservativ conservativas. as. A aplica¸c˜ cão ao do princ´ princ´ıpio de Hamilton requer, portanto, que as for¸cas cas aplicadas sejam derivadas de uma fun¸c˜ cao aõ potencial e que os v´ınculos ınculo s sejam holonômicos. omicos . Repetimo Rep etimoss as equa¸c˜ coes o˜es aqui por completeza: d dt

 − ∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

∂L =0 ∂q k

(3.7)

O princ´ princ´ıpio de Hamilton Hamilton diz que dentre todos os caminhos caminhos conectando as coordenadas iniciais iniciais qk (t1 ) as a`s finais qk (t2 ), aquele que de fato corresponde a` trajetória oria do sistema é o que torna to rna nula a primeira pr imeira varia¸ c˜ cao aõ de S .

3.4 3.4

Mult Multip ipli lica cado dore ress de La Lagr gran ange ge

O método etodo variacional ariacional de Euler-LagrangeEuler-Lagrange-Hamil Hamilton ton pode ser estendido estendido de forma a incluir v´ınculos escritos na forma diferencial

 k

alk dqk + alt dt = 0

l = 1, 2, . . . , m

(3.8)

64


3.4

onde os coeficientes alk e alt são a o fun¸c˜ cões o es de q1 , q2 , . . . , qn e t. O ´ındice ındice l indica que podem po dem haver várias arias equa¸c˜ coes o˜es desse tipo. V´ınculos dessa forma podem po dem represe re presentar ntar tanto ta nto v´ v´ınculos ınculo s holonˆ holonomicos omi ˆ cos quanto qua nto n˜ n ão-hol ao- holonˆ onômicos omicos (veja o exemplo exemplo 2.3.5 do cap´ cap´ıtulo 2). De fato, v´ınculos holonˆ omicos omicos da forma f l (q1 , q2 , . . . , qn , t) = 0 levam à df l =

 k

∂f l ∂f l dqk + dt ∂q k ∂t

 ≡

alk dqk + alt dt = 0.

k

O princ´ pri nc´ıpio ıpio de Hamilt Ha milton on imp˜ im põe oe que a trajet´ oria oria do sistema qk (t) é tal ta l que q ue a a¸c˜ cão, ao, Ldt, extre mo em rela¸c˜ cao aõ a trajet´ orias orias vizinhas qk (t) + δq k (t). Os Ldt, é um extremo deslocamentos δq k (t) são ao virtuais, feitos com o tempo fixo, conforme ilustrado ilustrado na figura figura 3.3. 3.3. Em parti particul cular ar δq k (t1 ) = δq k (t2) = 0. Assi Assim, m, para para que que os v´ınculos sejam satisfeitos quando calculamos a a¸ c˜ cão ao para uma curva vizinha, devemos impor que [5, 8]

∫

n

      −  alk δq k = 0

(3.9)

k=1

e que

t2

t1

k

d dt

∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

∂L δq k dt = 0 ∂q k

(3.10)

(compare com a equa¸c˜ cão ao (3.4)). O conjunto de coordenadas qk pode ser escolhido de v´ arias arias formas formas.. Se esse conjunto j´ a satisfize sa tisfizerr todo t odoss os v´ınculos ınculo s automa a utomaticam ticamente ente então ao todos tod os os ao nulos, os qk serão ao independentes e (3.10) implicar´ a nas equa¸c˜ cões oes de alk serão Lagrange para cada uma das coordenadas. Esse é o caso do pêndulo, endulo, por p or exemplo, se escolhermos q = θ (veja (veja o exemplo exemplo 2.3.2 do cap´ cap´ıtulo ıtulo 2). No entanto, podemos escolher inicialmente um conjunto maior de coordenadas, não ao independentes, que satisfa¸cam cam equa¸c˜ coes o˜es de v´ınculo ınc ulo.. No caso cas o do d o pêndulo end ulo,, poder po der´´ıamos escolher esco lher as coorden coo rdenadas adas cartesian cart esianas as x e y e o v´ınc ın culo ul o x2 +y 2 a2 = 0, ou ainda xdx + ydy = 0, que está na forma (3.9). Nesse caso as equa¸ cões oes (3.10) n˜ ao ao implicarão a o em equa¸c˜ coes o˜es de Lagrange para x e y , pois dx e dy não a o são ao independ independen entes. tes. Teremos eremos que combin combinar ar (3.10) (3.10) e (3.9) (3.9) para obter as equa¸c˜ coes o˜es corretas. corre tas. O método etodo dos multiplicadores de d e Lagrange faz exatamente exatame nte isso. Note que, qu e, no caso c aso de v´ınculos ınculo s n˜ ao ao holonˆ omicos, omico s, essa e ssa é a unica uńica alternativa poss pos s´ıvel, pois poi s as equa¸c˜ coes o˜es (3.8) n˜ ao podem ser integradas para eliminarmos ao as coordenadas redundantes.

−

3.4


65

O truque para incorporarmos as equa¸c˜ cões oes de v´ınculo (3.9) no problema variacional é o seguinte: come¸camos camos introduzindo m variáveis aveis auxiliares λl , uma para cada equa¸c˜ cão ao de v´ınculo, conhecidos como multiplicadores de Lagrange e re-escrevemos (3.9) como λl



alk δq k = 0.

k

Integrando dos dois lados no tempo e somando sobre l obtemos

  t2

t1

λl alk δq k dt = 0.

k,l

Finalmente, Finalm ente, como essa integral integra l é nula, nula , pode p odemos mos subtra subtr a´ı-la da equa¸ e qua¸ c˜ cão ao (3.10) para obter

     − −   t2

t1

n

k=1

d dt

∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

∂L ∂q k

m


l=1

−

Como existem m equa¸c˜ cões oe s de v´ıncu ın culo lo,, apen ap enas as n m dos qk ’s origin ori ginais ais são ao independe independent ntes. es. Escolhe Escolhemos mos esses como q1 , q2, . . . , qn−m . No entan entanto, to, os m valores dos λl ’s podem ser escolhidos a vontade. Escolhemos ent˜ ao ao os valores de λ1 , λ2, . . . , λm de tal forma que d dt

−

m

 − − ∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

∂L ∂q k

λl alk = 0

l=1

−

para k = n m + 1, n m + 2, . . . , n. coes ões que resolvemos n. Temos aqui m equa¸c˜ para os m λl ’s. Com essa escolha a equa¸c˜ cão ao variacional acima pode ser reduzida para

     − −   t2 n−m

t1

k=1

d dt

∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

∂L ∂q k

m


l=1

−

Note que a soma agora s´ o vai de k = 1 at´ at é n m e só aparecem os δq k correspondentes. Mas esses s˜ ao independentes por escolha e, portanto, ao d dt

m

 − − ∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

∂L ∂q k

l=1

λl alk = 0

(3.11)

66


−

3.4

para k = 1, 2, . . . , n m. Co Como mo escol escolhe hemo moss os λl de modo que a mesma equa¸c˜ cao aõ fosse satisfeita para k = n m + 1, 1 , n m + 2, 2, . . . , n, n, ela vale para todo k, de 1 a n! Assim temos n equa¸c˜ coes o˜es para n + m variáveis aveis:: os n q ’s e os m λ’s. ’s. As coes o˜es restantes s˜ ao ao as equa¸c˜ coes o˜es de v´ınculo (3.8). Dividindo-as por p or dt m equa¸c˜ podemos reescreve-las na forma de equa¸ c˜ coes o˜es diferenciais diferenciais

−

∑

n k=1 alk

ou

−

q˙k + alt = 0 (3.12)

f l (q1 , . . . , qn, t) = 0 para l = 1, 2, . . . , m, o é p oss os s´ıvel ıve l se os v´ıncu ın culo loss fore fo rem m m, onde a segunda forma s´ holonômicos. omicos. O conjunto de n + m equa¸c˜ cões oes (3.11) e (3.12) fecha o problema. A interpreta¸c˜ cao aõ dos multiplicadores de Lagrange pode ser percebida da seguinte seguinte forma: se removermos removermos os v´ınculos e aplicarmos aplicarmos for¸ cas externas de forma a obter o mesmo movimento, ent˜ ao ao poder po der´´ıamos usar as equa¸c˜ cões oes de Lagrange na forma (2.9): d dt

 − ∂L ∂ ˙ ∂ q˙ j

∂L = Q j ∂q j

onde L cont´ co ntém em as for¸ fo r¸cas cas aplicadas, deriv´ aveis aveis de um potencial, e os Qk seriam as for¸cas cas generalizadas gene ralizadas de v´ınculo. Comparando com (3.11) vemos que m

Qk =



λl alk .

(3.13)

l=1

Assim o cálculo alculo dos multiplicadores de Lagrange permite o c´ alculo alculo das for¸cas cas de v´ v´ınculo, que tinham sido eliminadas do problema por p or D’Alembert e Hamilton. endulo endulo simples simples em coordenad coordenadas as polares. polares. Usando Usando as Exemplo Exemplo 3.4.1 O pˆ variáveis aveis r e θ e a equa¸c˜ cao aõ de v´ıncu ın culo lo r a = 0, ou dr = 0, temos

−





m 2 L= r˙ + r2 θ˙2 + mgr cos θ. 2

3.4


67

As três es inc´ incognitas o´gnitas são ao r, θ e λ e os coeficientes da equa¸c˜ cao aõ de v´ıncu ın culo lo são ao coes ões (3.11) e (3.12) ficam ar = 1, aθ = 0, at = 0. As equa¸c˜ mr¨

− mrθ˙ − mg cos θ − λ = 0 2

(2rr˙ θ˙ + r2 θ¨) + mgr sin θ = 0 m(2r r

− a = 0.

Usando r = a vem que r˙ = r¨ = 0 e obtemos Qr = λ = aθ¨ =

−maθ˙ − mg cos θ 2

−g sin θ.

Vemos que Qr é a tens te ns˜ aõ no fio. Compare essa solu¸c˜ ao cao ão com o exemplo 2.3.2 do cap´ıtulo ıtu lo anterio ante rior. r.

Exemplo 3.4.2 A barra barra girand girandoo – figu figura ra 2.2 e exemp exemplo lo 2.3.3. 2.3.3. Em vez de usarmos apenas a coordenada generalizada r, usamos r e θ e a equa¸c˜ cão a o de v´ınculo θ = ωt, Aqui temos temos ar = 0, aθ = 1 at = ω . As ωt, ou dθ ωdt = 0. Aqui equa¸c˜ coes ões (3.11) e (3.12) ficam

−

−

mr¨

− mrθ˙

2

=0

(2r r˙ θ˙ + r2 θ¨) m(2r θ

−λ=0

− ωt = 0.

Substituindo θ = ωt nas outras encontramos r¨ = rω 2 ˙ Qθ = λ = 2mωr r. A primeira equa¸c˜ cao aõ já foi resolvida no exemplo 2.3.3 e a segunda segue desta. Escolhendo v0 = 0 cosh (ωt) r(t) = r0 cosh ωt ) cosh(ωt)sinh( )sinh(ωt Qθ = λ = 2mr02 cosh(ωt ωt))

≈

mr02 2ωt e . 2

68


3.4

z y

a dr

φ v

θ π/2−θ

x

Figura 3.7: Disco rolando sem deslizar. Disco rolando rolando sem deslizar. deslizar. Um disco disco de raio raio a e massa Exemplo Exemplo 3.4.2 Disco M , concentrada na sua borda como um aro, rola sem deslizar no plano x-y, conforme conforme ilustra ilustra a figura figura 3.7. 3.7. Precisa Precisamos mos de 4 coordenada coordenadass para posicionar posicionar o sistema: sistema: as coordenadas coordenadas (x, (x, y ) do centro do disco, a orienta¸c˜ cao aõ do disco cao aõ ao eixo x e outro angulo aˆngulo ϕ para dar a orienta¸c˜ cao aõ do disco em θ em rela¸c˜ rela¸c˜ cao aõ ao seu pr´ oprio oprio eixo. O v´ınculo é dado pelo pel o m´ odulo odulo da velocidade do ˙ ˙ centro: v = aϕ. O sinal de menos indica que v e ϕ tem dire¸c˜ coes o˜es contr´ arias arias (veja a figura). figura ). Como o vetor velocidade é sempre paralelo ao plano do disco suas componentes s˜ ao: ao:

−

− θ) = v sin θ sin(π/22 − θ) = −v cos θ. y˙ = −v sin(π/

cos(π/22 x˙ = v cos(π/

ou, como v =

−aϕ˙ ,

dx + a sin θdϕ = 0 dy

− a cos θdϕ = 0.

Temos ent˜ ao ao duas equa¸c˜ cões oes de v´ınculo ınc uloss não-holonˆ ao-holonômicos, omicos, como o leitor pode facilmente facilmente demonstrar. A Lagrangeana Lagrangeana é a pr´ opria energia cinética, etica, dada por M 2 M a2ϕ˙ 2 M a2 θ˙2 2 (x˙ + y˙ ) + + L= , 2 2 4

3.5


69

onde os momentos momentos de in´ ercia ercia do disco em rela¸ cão ao ao eixo perpendicular a seu se u plan pl anoo é M a2 e em rela¸c˜ cao aõ a um eixo paralelo a seu plano passando pelo 2 centr en troo é M a /2. As quatro equa¸c˜ coes o˜es de Lagrange mais as duas equa¸c˜ cões oes de v´ıncu ın culo lo são: ao:

−λ =0 M ¨ M y¨ − λ = 0 M a ϕ¨ − λ a sin θ + λ a cos θ = 0 ¨ M x M ¨

1

2

2

1

2

M a2 θ¨ = 0 x˙ =

−aϕ˙ sin θ

y˙ = aϕ˙ cos θ.

Embora a solu¸c˜ cao aõ geral dessas equa¸c˜ cões oes seja dif´ dif´ıcil, podemos po demos usar nossa intui¸c˜ cao aõ para encontrar pelo menos três es solu¸ cões oes que representam movimentos simples. 1 - disco rodando em torno de seu eixo: x = x0 , y = y0 , ϕ = ϕ0, λ1 = λ2 = 0 e θ = θ0 + ωt. ωt. 2 - disco rolando na mesma dire¸c˜ cão: ao: θ = θ0 , ϕ = ϕ0 + βt, βt , λ1 = λ2 = 0, x = x0 aβt sin θ0 e y = y0 + aβt cos θ0 .

−

3 - disco descrevendo movimento circular: θ = ωt, cos(ωt), ), y = ωt, x = x0 + R cos(ωt 2 2 cos(ωt), ), ϕ = ϕ0 +Rωt/a, cos(ωt), ), λ2 = M Rω sin(ωt sin(ωt). ). y0+R cos(ωt Rωt/a, λ1 = M Rω cos(ωt Fazendo R = 0 recuperamos a solu¸c˜ cão 1. 1. Ser˜ erao aõ essas as unicas u ´ nicas solu¸c˜ cões oes p oss´ os s´ıveis ıve is??

−

−

Note que o torque do campo gravitacional n˜ ao a o est´ a sendo levado em considera¸c˜ cao, aõ, o que faz com que o disco n˜ ao ao se incline. Além em disso, a energia e nergia total é conservada. c onservada. Quando esses ingredientes s˜ ao adicionados ao problema ao várias arias complica¸ complica¸c˜ cões oes interessantes aparecem e ele recebe o nome de Disco do Euler [11].

70

3.5


3.5

Coordenadas c´ c´ıclicas e leis de conserv conserva¸ a¸c˜ ao

Para Lagrangeanas do tipo L=

 i

1 mi r˙ i2 2

− V ( V (r , . . . , r ) 1

n

a derivada em rela¸c˜ cao aõ à velocidade velocidade que aparece nas equa¸ cões oes de Lagrange tem um significado simples: ∂L = mx˙ k ∂ ˙ ∂ x˙ k ´ natural ent˜ é o momento mom ento da k-ésima esi ma part par t´ıcula ıcu la na dire¸ dir e¸ c˜ cão ao x. E ao ao definirmos o momento generalizado ∂L (3.14) pk = ∂ ˙ ∂ q˙k conjugado a` coordenada generalizada qk . Um exemplo importante e n˜ ao ao trivial aparece já com a Lagrangeana de uma part´ p art´ıcula ıcula sujeita sujeit a a camp c ampos os eletro el etromagn´ magnéticos etico s externo ext ernos. s. Para 1 L = mr˙ 2 2

− eΦ + er˙ · A

obtemos p = mr˙ + eA, que tem uma parte mecˆ anica e uma parte devido ao anica campo. Suponha que a Lagrangeana de um sistema com n graus de liberdade seja tal que a coordenada qk não ao apare¸ca ca explicitamen explicitamente te em L. Nesse caso temos d dt

 ≡ ∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

dpk ∂L = = 0. dt ∂q k

A variável avel qk é dita c´ıclica e seu momento conjugado pk é uma consta con stante nte do movimento. Em geral, leis de conserva¸c˜ cão a o est˜ ao ao associadas a` simetrias do sistema. De fato, se a Lagrangeana Lagrangeana é independente independente de uma coordenada qk , podemos deslocar o sistema na dire¸c˜ cao aõ de qk que as equa¸ equ a¸c˜ coes o˜es de movimento não a o vão ao se alterar. Assim, a conserva¸c˜ cão ao do momento linear est´ a associada a` simetria simetria de transla¸c˜ cao; aõ; a conserva¸c˜ cao aõ do momento angular a` simetria de rota¸c˜ cão; a o; a conserva¸c˜ cão ao de energia a` transla¸c˜ cão ao temporal.

˜ COORDENADAS CÍCLICAS ICLI CAS E LEIS DE CONSERV CONS ERVAC AC ¸ AO

3.5

3.5.1 3.5.1

71

Cons Conser erv va¸ c˜ c˜ ao ao dos momentos linear e angular

Vamos ilustrar as conserva¸c˜ cões oes de momento linear e angular com um sistema de apenas duas part´ part´ıculas onde 1 1 L = m1 r˙ 21 + m2 r˙ 22 2 2

− V ( V (|r − r |). 1

2

Veja que nenhuma das coordenadas coordenad as é c´ıclica. No entanto, usando como coordenadas generalizadas as coordenadas relativas e de centro de massa (veja o cap´ cap´ıtulo 1, se¸c˜ cao aõ 1.7)

 

r

= r2

−r

 

1

→

m1 r1 + m2 r2 R = M

r1 = R

− mM r

r2 = R +

2

m1 r M

onde M = m1 + m2 e µ = m1m2 /M M ,, obtemos 1 ˙2 1 2 + µr˙ L = M R 2 2

− V ( V (r).

A coordenada R é c´ıcli ıc lica ca,, pois Rx , Ry e Rz não ao aparecem em L. Então ao ˙ ˙ P = ∂L/∂ R = M R, que representa o momento linear total m1 r˙ 1 + m2 r˙ 2 , é constante. constante. A simetria associada a essa conserva¸ conserva¸ cão ao é a tran tr ansl sla¸ a¸c˜ cão ao do sistema: R + dR então, se deslocarmos o centro de massa para R ao, de acordo com as equa¸c˜ cões oes de transf tra nsform orma¸ a¸c˜ cao, aõ,

→

r1 r2

→r →r

1

+ dR

2

+ dR

e cada part´ part´ıcula do sistema é deslocada da mesma quantidade. Mostramos ent˜ ao que o deslocamento de todo o sistema n˜ ao ao ao afeta sua dinâmica amica e essa invariância ancia est´ a por tr´ as as da conserva¸c˜ cão ao de P. ˙ = R = 0, que é poss´ Tomando agora R poss´ıvel ıvel no referencial referencial do centro de massa, massa, podemos podemos olhar olhar a parte parte relativ relativa. a. Como Como vimos vimos no cap´ cap´ıtulo ıtulo 1 o movimento relativo ocorre no plano perpendicular ao momento angular, que é conservado. Tomando o plano como x-y e usando coordenadas polares r e aćil ver que a coordenada ϕ é c´ıclica ıcli ca e que a quantid qua ntidade ade conser con servada vada é o ϕ é facil módulo odulo do momento angular. A simetria associada é a de rota¸ c˜ coes o˜es em torno do eixo z .

72


3.5

´ interessante, no entanto, esquecer por um momento da conserva¸ E c˜ cao aõ do momento angular e escrever o problema pro blema diretamente direta mente em coordenadas coorden adas esféricas ericas cão ao e velocidade em coordenadas coordena das esféricas ericas s˜ ao dados r, θ e ϕ. Os vetores posi¸c˜ ˙ ˆ ˙ ˆ por r = rrˆ e v = r˙ rˆ + rθθ + r ϕ sin θϕ e a Lagrangeana fica 1 L = µ(r˙ 2 + r2 θ˙2 + r 2ϕ˙ 2 sin2 θ) 2

− V ( V (r).

A coordenada ϕ é c´ıcli ıc lica ca e porta or tant ntoo ∂L = mr2 ϕ˙ sin2 θ ∂ ϕ˙

pϕ =

é constante. c onstante. Como r sin θ é a dist di stˆ ancia aˆncia ao eixo z e rϕ˙ sin θ = vϕ , pϕ é a componente z do momento momento angular. angular. Por outro lado, lado, o moment momentoo na dire¸ cão ao cao aõ para θ pode ser escrita como θ é pθ = mr2θ˙ e a equa¸c˜ dpθ dt ou ainda

− mr ϕ˙

2 2

sin θ cos θ = 0

pϕ2 cos θ = 0. mr2 sin3 θ Multiplicando dos dois lados por 2mr 2mr2θ˙ = 2 pθ obtemos dpθ dt

−

dpθ 2 pθ dt

−

2 pϕ2 θ˙ cos θ =0 sin3 θ

   

dp2θ d + dt dt

pϕ2 sin2 θ

pϕ2 d 2 p + dt θ sin2 θ

=0

=0

e temos outra constante de movimento 2

L≡

p2θ

pϕ2 + . sin2 θ

Para ver que 2 representa o m´ odulo do momento angular total ao quadrado odulo 2 calculamos ⃗ = mr v = mr θ˙ϕˆ mr2 ϕ˙ sin θθˆ = pθ ϕˆ ( pϕ / sin θ)θˆ. Outra

L L

×

−

−

˜ COORDENADAS CÍCLICAS ICLI CAS E LEIS DE CONSERV CONS ERVAC AC ¸ AO

3.5

73

maneira de ver é escrevendo a energia cinética etica em termos de pθ e pϕ : T =

1 µr˙ 2 2

+

= 12 µr˙ 2 +

3.5.2 3.5.2

2 1 pθ ( 2 2µ r

+

2 pϕ ) r2 sin2 θ

L2 2µr 2 .

Cons Conser erv va¸ c˜ c˜ ao ao da ener energi gia a

A derivada total da Lagrangeana em rela¸c˜ cão ao ao tempo tem po é dL = dt =

          ∂L ∂L q˙k + q¨k ∂q k ∂ ˙ ∂ q˙k

k

d dt

k

= ou ainda

d dt

d dt

k

∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

q˙k +

∂L q˙k ∂ ˙ ∂ q˙k

+

∂L q˙k ∂ ˙ ∂ q˙k

k

−L

∂L ∂t

+

∂L ∂L q¨k + ∂ ˙ ∂ q˙k ∂t

∂L ∂t

=

− ∂L . ∂t

(3.15)

A fun¸c˜ cao aõ ˙ t) = h(q, q,

 k

∂L q˙k ∂ ˙ ∂ q˙k

−L=



pk q˙k

k

−L

(3.16)

onde q = (q1 , . . . , qn ) e q˙ = (q˙1 , . . . , q˙n ), é a energia do sistema. sistema. A equa¸c˜ cao aõ (3.15) mostra que h é cons co nsta tante nte se L não ao depender explicitamente do tempo. No caso de Lagrangeanas quadr´ aticas aticas nas velocidades, velocidades, h pode ser simplificada. Se 1 L = T V = aij (q )q˙i q˙ j V ( V (q ) 2 i,j

−



−

com aij = a ji , então ao ∂L = pk = ∂ ˙ ∂ q˙k

 i

aki (q )q˙i

74 e


h = =

∑ ∑

3.6

−

i,k aki (q )q˙i q˙k

1 i,j 2 aij (q )q˙i q˙ j

∑

1 i,j 2 aij (q )q˙i q˙ j

+ V ( V (q )

+ V ( V (q) = T + V.

Lagrangeanas quadr´ aticas nas velocidades aparecem em situa¸c˜ aticas coes o˜es bastante tante gerais. gerais. Supon Suponha ha por exemplo exemplo que o sistema sistema de part´ part´ıculas ıculas tenha tenha um potencial V ( cao aõ das coordenadas cartesianas V (r1 , . . . , rn ) e que a transforma¸c˜ para as generalizadas seja independente do tempo:

ri = ri (q1 , q2 , . . . , qn ). Ent˜ ao ao

r˙ i =

 k

e T =

  i

onde

mi 2

kl

∂ ri ∂ ri ∂q k ∂q l

·

akl (q ) =

 i

∂ ri q˙k . ∂q k



mi

≡

q˙k q˙l

1 2



akl (q)q˙k q˙l

kl

∂ ri ∂ ri . ∂q k ∂q l

·

Portanto, se V não ao depende das velocidades e se as coordenadas generalizadas se relacionam com as cartesianas cartesianas por transforma¸ transforma¸ cões oes independentes do tempo, ent˜ ao ao a fun¸c˜ cão ao h é identifi ide ntificad cadaa com T + q ue é a energia ener gia do sistema. siste ma. T + V , V , que Quando essas condi¸c˜ cões oes não a o s˜ ao ao satisfeitas, h ainda pode ser definida, mas não ao necessariamente coincide com a energia usual T + cao aõ T + V . V . Se a transforma¸c˜ depender do tempo, por exemplo, teremos

r˙ i =

 k

∂ ri ∂ ri q˙k + ∂q k ∂t

e aparecer˜ ao ao termos termos lineares lineares na velocid velocidade ade na Lagrange Lagrangeana. ana. Voltarem oltaremos os a falar sobre esse assunto na se¸c˜ cão ao 4.3.

3.6 3.6

Sobr Sobre e a uni unici cida dade de da da La Lagr gran ange gean ana a

Nossas deriva¸c˜ coes o˜es das equa¸c˜ cões oes de Euler-Lagrange Euler-Lagrange a partir do princ´ princ´ıpio de D’Alembert ou do princ´ıpio ıpio variacional de Hamilton pode p ode ter passado pa ssado a impressão ao que a Lagrangeana La grangeana de um sistema é uma fun¸ cão ao unicamente definida.

3.7

75

SOBRE A UNICIDADE DA LAGRANGEANA

Isso, no entanto, não ao é verdade. verdade. Assim como a energia de um sistema sistema é definida a menos de uma constante, a fun¸c˜ cao ˜ de d e Lagrang La grangee é definida de finida a menos me nos da derivada total de uma fun¸c˜ cao ão suave arbitr´ aria, desde que esta dependa aria, apenas das coordenadas e do tempo. Vamos ver isso de duas maneiras: Primeiramente, considere a fun¸c˜ cão ao dF ( dF (q, t) . dt Mostraremos que as equa¸c˜ cões oes de movimento fornecidas por L′ são ao idêntic ent icas as as às fornecidas por L. De fato, L′ = L +

d dt

  ′

∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

=

d ∂ dt ∂ ˙ ∂ q˙k

Por outro lado,

  L+

i

∂F ∂F q˙i + ∂q i ∂t

     =

d dt

∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

+

d dt

∂F ∂q k

.

∂L ′ ∂L d ∂F = + ∂q k ∂q k dt ∂q k onde invertemos a ordem de deriva¸ c˜ cao a˜ o no ultimo u´ ltimo termo. termo. Sub Subtrai traindo ndo uma equa¸c˜ cão ao da outra vemos que os termos envolvendo F se cancelam e obtemos as mesmas equa¸c˜ cões oes fornecidas diretamente por L. Podemos também em obter esse resultado diretamente do princ´ princ´ıpio varia′ cional cio nal.. A a¸ a ¸c˜ cão ao para L é ′

S =



t2

′

t2

L dt =

t1





t2

Ldt +

t1

t1

dF dt = S + S + F ( F (q, t) tt21 . dt

|

Calculando a varia¸c˜ cao ão primeira obtemos

∂F δS ′ = δS + δq ∂q pois δq( δq (t1 ) = δq( δq (t2 ) = 0.



t2

= δS

t1

Exemplo Exemplo 3.6.1 A Lagrangeana Lagrangeana para uma part´ part´ıcula de carga e sujeita a potencia pot enciais is eletro e letromagn´ magnéticos etico s Φ e é dada pela pel a equa¸c˜ cao aõ (2.14): m L = r˙ 2 eΦ + er˙ . 2 As mesmas equa¸c˜ cões oes de movimento podem ser obtidas a partir de m L′ = r˙ 2 eΦ er ˙ 2 pois L = L′ + d(er )/dt. /dt.

A

−

·A

− − ·A

A

76

3.7


3.7

O teor teorem ema a de Morse rse

O princ´ pri nc´ıpio ıpi o de Hamilto Hami lton n é uma condi¸ con di¸c˜ cao aõ de extrem e xtremoo para pa ra a a¸c˜ cao. aõ. Surge ent˜ ao ao a questão ao de saber que tipo de extremo é esse: m´ınimo, m´ aximo aximo ou ponto de sela. O teorema teorema de Morse Morse responde essa essa pergunta. pergunta. An Antes tes de enuncia enunciarr e demonstrar o teorema vamos fazer algumas considera¸ c˜ coes o˜es gerais. Fun¸c˜ cões oe s de um umaa unica uńica variável, avel, f ( f (x), tem um ponto de extremo local em ′ cão ao a` x. O ponto x0 se f (x0 ) = 0, onde a linha representa derivada em rela¸c˜ ′′ ′′ aximo se f (x0 ) < 0 e de m´ınimo se f (x0 ) > 0. No caso caso limit limitee x0 é de máximo ′′ ao. ao. f (x0 ) = 0 o ponto é dito de inflex˜ Para fun¸c˜ coes ões de mais variáveis aveis a análise alise é um pouco mais complicada. Tomemos o caso de duas variáveis, aveis, f ( ponto de extr extrem emoo r0 f (x, y ). Um pon (x0 , y0 ) satisfaz f x (r0 ) = f y (r0 ) = 0 onde f x = ∂f/∂x e f y = ∂f/∂y. ∂f/∂y. Nas vizinhan¸cas cas de r0 podemos expandir f até segunda segun da ordem como

≡

1 f ( f (r) = f ( f (r0 ) + 2

 ij

∂ 2f δx i δx j + ∂x i ∂x j

(3). O(3).

onde i e j valem x ou y e as derivadas segundas s˜ ao ao calculadas em r0. O termo de segunda ordem, que contém em a informa¸ c˜ cao aõ relevante sobre a vizinhan¸ca ca de r0, pode ser reescrito como (δ x δ x)

 

f xx xx f xy xy f yx yx f yy yy

    δx

.

δy

Como a matriz mat riz de d e derivadas der ivadas segunda seg undass é simétrica etric a e real, podemos po demos diagonaliza diago naliza-la com uma transforma¸c˜ cao aõ ortogonal, que é uma rota¸c˜ cao ão do sistema original (x, y ) para (˜ atica atica fica x, x, y˜). No novo sistema essa forma quadr´ (δ x ˜ δ y˜)

 

λ1 0 0

λ2

    δ x˜

= λ1 ( δ x ˜)2 + λ2 (δy˜)2 .

δ y˜

Os autovalores λ1 e λ2 determinam a topologia de f ( vizinhan¸cas cas de r0 . f (r) nas vizinhan¸ Se ambos forem positivos o valor de f ( se mpre maior que o valor de f ( f (r) é sempre f (r0 ) e r0 é ponto pont o de m´ınimo. Se ambos forem fore m negat n egativos ivos r0 é ponto po nto de m´ aximo aximo e se um deles for positivo e o outro negativo temos um ponto de sela. No caso do princ´ princ´ıpio variacional ariacional de Hamilton Hamilton estamos procurando o extremo da a¸c˜ cao, aõ, que não ao é uma u ma simples simp les fun¸ func˜ çao, aõ, mas um funcional , isto is to é, e, um umaa

3.7

O TEOREMA DE MORSE

77

fun¸c˜ cao aõ de fun¸c˜ cões. oes. De fato, para cada caminho poss´ poss´ıvel ıvel ligando ligando os pontos iniciais e finais temos um valor numérico erico para a a¸ c˜ cão. ao. Quando extremizamos a a¸c˜ cao a˜ o não ao encontramos encontramos um ponto cr´ cr´ıtico, mas toda uma trajet´ oria oria.. Em outras palavras, o n´ umero umero de vari´ aveis aveis do funcional S é infinit i nfinito. o. Para tornar torna r essa afirmativa mais clara, notamos que as pequenas varia¸ c˜ coes o˜es em torno da trajetória oria estacion´ aria, aria, que chamamos de δq( δq (x) = αη αη((x) (veja a figura 3.3) podem ser reescritas na forma [12] ∞

δq( δq (x) =

   an sin nπ

n=1

x x2

−x −x

1 1



que satisfazem automaticamente automaticamente as condi¸ cões oes de contorno δq( δq (x1 ) = δq( δq (x2) = 0. Pa Para ra cada conjun conjunto to de coeficient coeficientes es an temos uma trajet´ oria oria diferente. O número umero de d e graus grau s de liberdade, que é o n´ umero de maneiras independentes umero que podemos p odemos alterar a curva c urva vizinha, é o n´ umero umero de an’s, que é infinit infi nito. o. A segunda varia¸c˜ cao aõ de S em torno da curva estacion´ aria aria pode ser escrita como uma forma quadr´ atica como no caso da fun¸c˜ atica cao aõ de duas vari´ aveis: aveis: δ2 S = autovalores da matrix A forem positivos teremos um ij Aij ai a j . Se todos os autovalores m´ınimo. Para cada autovalor autovalor negativo de A existe uma dire¸c˜ cao aõ de máximo aximo no espa¸co co funcional e a curva estacion´ aria passa a ser um ponto de sela. aria Vamos agora enunciar o teorema de Morse e ver seu significado. Faremos a demonstra¸c˜ cao aõ em duas etapas em seguida:

{ }

∑

Teorema de Morse - As trajetórias orias clássicas assicas correspondem correspo ndem a um m´ınimo da a¸c˜ cão ao para tempos suficientemente curtos. Para tempos mais longos, cada vez que a trajet´ oria oria passar por um ponto conjugado, conjugado, onde det

−  → ∞ ∂ 2 S ∂q 1 ∂q 2

(3.17)

a varia¸c˜ cao aõ segunda de S ganha ganha um autovalor autovalor negativ negativo. o. Nessa Nessa express˜ express˜ ao escr ita como fun¸c˜ cão ao dos do s pontos p ontos iniciais, finais e do tempo: S = S (q1 , q2 , t) é escrita q1 = q(t1 ), q2 = q(t2 ) e t = t2 t1 . Para entender o significado significado f´ısico da quantidade quantidade dentro do sinal de determinante, e tamb´ em em para as demonstra¸ c˜ coes o˜es que seguem, vamos considerar apenas sistemas com um unico uńico grau de liberdade. liberdade. Isso Isso facilita facilita os c´ alculos alculos e as interpreta¸c˜ coes. o˜es. No pr´ pr´ oximo oximo cap´ıtulo ıtulo veremos que S (q1 , q2 , t) satisfaz a rela¸c˜ cão ao ∂S (3.18) p1 = p(t1 ) = ∂q 1

−

−

78


3.7

trajetorias com momento inicial

p

1

q

+ δp 1

trajetoria classica com momento incial p

q2

1

ponto focal

q

1

t2

t1

t

Figura 3.8: Pontos focais. onde p1 = p(t1) é o momento inicial inicia l da part´ıcula. ıcula . Portanto, Portanto ,

−

∂ 2 S ∂p 1 = . ∂q 1 ∂q 2 ∂q 2

→∞

→

A condi¸c˜ cão ao ∂p 1 /∂q 2 , ou ∂q 2 /∂p 1 0, significa que se fizermos um pequeno deslocamento no momento inicial da trajet´ oria, oria, δp 1 , a posi¸c˜ cao aõ final ao vai se alterar. Quando isso acontece temos um ponto focal , ilustrado δq 2 não na figura 3.8. Um exemplo exemplo bastan bastante te simple simpless onde os pontos pontos focais focais aparecem aparecem é o oscilador harmˆ onico. onico. A equa¸c˜ cao aõ de movimento x¨ = ω2 x tem te m sol s olu¸ u¸c˜ cões oes x(t) = 2 2 sin(ωt)) com x(0) = 0, p(0) = mωA e energia E = mω A /2, como como A sin(ωt ilustrado na figura 3.9 para diferentes valores de A, ou do momento inicial. cial. Independ Independen ente te do valor valor do moment momentoo inicial inicial as trajet´ orias retornam ao ponto x = 0 depois de cada intervalo π/ω. calculo a´lculo da a¸c˜ cao ão para o oscilador π/ω . O c´ harmônico onico fornece

−

S (q1 , q2 , t) =

mω (q12 + q22)cos(ωt )cos(ωt)) 2 sin( sin(ωt ωt))

[

e 2

− ∂q∂ ∂qS 1

= 2

− 2q q

1 2

mω sin(ωt sin(ωt))

que diverge para t = nπ/ω, nπ/ω, verificando o teorema de Morse.

]

3.7

O TEOREMA DE MORSE

79

q

2π ω π ω

t

Figura 3.9: Pontos focais foca is no oscilador harmônico. onico.

3.7. 3.7.1 1

Var aria ia¸ c˜ ç˜ ao ao segund seg unda a da a¸c˜ c˜ ao ao para sistema sis temass simples sim ples

Para Lagrangeanas que sejam quadr´ aticas aticas nas posi¸c˜ coes o˜es e velocid velo cidade adess é poss´ po ss´ıvel ıvel calcular a varia¸c˜ cão ao segunda da a¸c˜ cao aõ diretamente usando o c´ alculo alculo variacional apresentado na se¸c˜ cão ao 3.2. Estende Estendendo ndo a equa¸ c˜ cao aõ (3.2) para segunda ordem é imedia ime diato to ver que

    t2

δS =

t1

1 2

t2

t1

∂L ∂q

−

d dt

  ∂L ∂ ˙ ∂ q˙

2

2

δqdt+ δqdt+ (3.19)



2

∂ L 2 ∂ L ∂ L 2 ˙ + ˙ + δ q δ qδq qδ q δq dt ˙ q ∂ ˙ ∂ q˙2 ∂ ˙ ∂ q∂q q∂ ∂q 2

1

2

≡ δ S + S + δ S.

Como queremos avaliar avaliar δS sobre uma trajet´ oria oria clássica, assica, a varia¸c˜ cao aõ primeira cao. aõ. Para Para calcula calcularr a varia¸ aria¸c˜ cao aõ segunda usamos a exδ S será nula por defini¸c˜ pansão ao dos δq como 1

∞

   −−     − 

δq( δq (t) =

an sin nπ

n=1

de onde obtemos

∞

δq˙(t) =

n=1

nπa n cos nπ t2 t1

−

t t2

t1 t1

t t2

−

t1 t1

(3.20)

.

(3.21)

80


3.7

Substituindo Substituindo (3.20) e (3.21) em (3.19) podemos reescrever a varia¸ cão ao segunda da a¸c˜ cao aõ na forma 1 δ 2 S = 2

   an am

n,m

≡ 12

2nπ nmπ 2 + α βnm + γ nm nm nm (t2 t1 )2 (t2 t1 )

−

−



an Anm am

n,m

onde

  

t2

αnm =

t1

t2

βnm =

t1

t2

γ nm nm =

t1

  −    −  − −   −    −  − −   −    − 

∂ 2L cos nπ ∂ ˙ ∂ q˙2

t t2

∂ 2 L cos nπ ˙ q ∂ ˙ ∂ q∂q q∂ ∂ 2L sin nπ ∂q 2

t1 t1

t t2

t t2

−

t1 t1

t1 t1

cos mπ

t t2

t t2

sin mπ

t t2

sin mπ

t1 t1

−

t1 t1

t1 t1

dt

dt

dt.

Devido a forma complicada das matrizes α, β e γ que qu e comp co mp˜õe oe A, esse cálculo alcul o geral ge ral é poss p oss´´ıvel apenas ap enas para Lagrangea Lagr angeanas nas quadr´ quadraticas, ´ onde as derivadas segundas segundas que aparecem aparecem ficam constantes. constantes. Ilustra Ilustrarem remos os o c´ alculo dos autovalores de A para dois dois exemplo exemploss simple simples: s: a part´ part´ıcula ıcula livre livre e o oscilad oscilador or harmônico. onico.

A part´ıcula ıcu la livre. liv re. Nesse caso 1 L = µq˙2 2 e

∂ 2L =µ ∂ ˙ ∂ q˙2

∂ 2 L =0 ˙ q ∂ ˙ ∂ q∂q q∂

∂ 2 L = 0. ∂q 2

Devido à ortogonalidade dos senos e cossenos obtemos αnm =

µ (t2 2

− t )δ 1

nm

βnm = 0

γ nm nm = 0

3.7

O TEOREMA DE MORSE

81

e portanto

n2 π 2 µ Anm = δnm > 0. 2(t 2(t2 t1 ) Como A é diagonal e seus elementos são ao sempre positivos, a a¸ cão ao calculada para a trajet´ oria ori a clássica ass ica da part par t´ıcula ıcu la livre livr e é sempre sem pre um m´ınimo: ıni mo: qualqu qua lquer er outro caminho que n˜ ao ao seja o clássico assico produzir´ a um valor de a¸c˜ cão ao maior que aquele dado pelo caminho cl´ assico. assico.

−

O oscilador harmˆ onico. onico. Agora temos 1 L = µq˙2 2

− 12 µω q

2 2

e

∂ 2 L ∂ 2 L ∂ 2 L =µ =0 = µω 2 . 2 2 ˙ q ∂ ˙ ∂ q˙ ∂ ˙ ∂ q∂q q∂ ∂q Usando novamente a ortogonalidade dos senos e cossenos obtemos

−

αnm =

µ (t2 2

− t )δ 1

βnm = 0

nm

γ nm nm =

− µω2

2

(t2

− t )δ 1

nm

e portanto Anm



n2 π 2µ = δnm 2(t 2(t2 t1 ) =

−

µ 2(t 2(t2

−t ) 1

−

µω 2 (t2 2

[

δnm n2π 2

2

− t )δ 1

nm

2

− ω (t − t ) 2

1

 ]

.

Assim como no caso da part´ıcula ıcula livre a matriz matri z é diagonal. diago nal. O n-´ n -ésimo esimo autovalor µ λn = n2 π 2 ω 2 (t2 t1)2 2(t 2(t2 t1 ) se anula (e depois fica negativo para sempre) quando nπ = t1 + nτ /2 t2 = t1 + ω onde τ = 2π/ω é o per´ per´ıodo do oscilador. oscilador. Compare esse resultado resultado com a figura 3.9. Vemos ent˜ ao ao que após os meio per´ıodo ıod o d dee oscila¸ o scila¸c˜ cao aõ a a¸c˜ cão ao não é mais ma is um m´ınimo! Isso implica que existem existem outros caminhos, que n˜ ao a o o cl´ assico, assico, que produzem valores de S menores que aquele produzido pelo cl´ assic a ssico. o. A esperan¸ca ca de Maupertuis de que a Natureza agiria de modo a minimizar sua a¸c˜ cao aõ sobre as coisas materiais n˜ ao ao se realiza.

−

[

−

−

]

82

3.7.2


3.7

Demonstra¸ Demons tra¸c˜ c˜ ao ao do teorema de Morse Mors e

Devido a forma complicada da varia¸c˜ cão ao segund seg undaa da a¸c˜ cão ao dada pela pel a equa¸c˜ cão ao (3.19), sua aplica¸c˜ cão ao a sistemas gerais gera is torna-se praticamente imposs imp oss´´ıvel. Para o caso genérico erico onde 1 L = µq˙2 2

− V ( V (q)

temos temos que adotar um procedim procedimen ento to diferente diferente.. A equa¸ cão ao de movimento é simplesmente a segunda lei de Newton

µq¨ =

− dV . dq

Seja q 0(t) a solu¸c˜ cao aõ da equa¸c˜ cao aõ com q (t1 ) = qi , q (t2 ) = qf , e δq( δq (t) uma varia¸c˜ cao aõ dessa solu¸c˜ cão a o com δq( 0. A a¸ ac˜ çao aõ calculada para a δq (t1 ) = δq( δq (t2 ) = 0. 0 trajetória oria vizinha q(t) = q (t) + δq( dadaa por po r δq (t) é dad



t2

S =

t2

Ldt =

t1

  t1

1 µq˙(t)2 2

− V ( V (q (t))



dt.

Em vez de expandir q(t) diretamente em torno de q 0 (t), o truque que usaremos é o de discretizar discretizar o tempo ao longo das trajetórias. orias. Dividimos Dividimos o intervalo de tempo em N partes de mesmo tamanho ϵ e tal forma que t2 t1 = N ϵ e

−

q (t1 ) = qi

≡q

0

q(t1 + nϵ) nϵ)

≡q

n

q(t2) = qf

≡q

→∞

→

N .

No final do cálculo alculo tomaremos o limite em que N eϵ 0, mantendo 0 em disso fazemos fazem os qn = qn + ξn , onde ξn = δq( N ϵ = t2 t1 . Além δq (nϵ) nϵ) de forma

−

3.7

O TEOREMA DE MORSE

83

que N

S = lim

ϵ→0

 − −    − − −   −  −  − − −   − −  ≡ n=1 N

= lim

ϵ→0

µ (qn qn−1 )2 2 ϵ2

n=1

µ 0 (q 2ϵ n

N

= lim

ϵ→0

n=1

qn0 −1 + ξn

ξn−1 )2

µ (qn0 qn0−1 )2 2 ϵ2

n=1

N

V ( V (qn) ϵ

µ 0 (q ϵ n

V ( V (qn0 ) ϵ+

)(ξn qn0−1 )(ξ

µ (ξn ξn−1 )2 2 ϵ2

V

′′

V ( V (qn0 + ξn)ϵ

V ′ (qn0 )ξn ϵ +

ξn−1 )

2 0 ξn (qn )

2

S 0 + δS 1 + δS 2

ϵ

onde ξ0 = ξN = 0. O termo de primeira ordem é nulo, como j´ a pod´ıamos ıamos prever. p rever. De fato, o termo de primeira ordem proporcional a` ξk é µ 0 (q ϵ k =

0 k−1 )

− µϵ (q − q ) − V (q )ϵ

qk0+1

− 2q

−q

 −

ϵ µ

0 k+1

0 k ϵ2

+ qk0−1

0 k

′

0 k

+ V ′ (qk0 )

→−

0, ϵ[µq¨0 + V ′ (q0 )] = 0,

pois q0 satisfaz a equa¸c˜ cão ao de movimento. A varia¸c˜ cão ao segunda da a¸c˜ cao aõ δ 2 S = S S 0 pode agora ser escrita como uma forma quadrátic a tica. a. Defin Definin indo do o vetor etor de N 1 componen componentes tes ξ T = (ξN −1 , ξN −2 , . . . , ξ2, ξ1) (o super-escrito T significa transposto) podemos escrever µ (3.22) δ 2 S = ξ T AN ξ 2ϵ

−

−

84


3.7

onde a matrix AN é

AN =

  

2

2 ′′ N −1

0 0 − V ϵ /µ −1 2 − V ϵ /µ 0 −1 −1 0 2 − V ϵ /µ −1 −1 0 0 −1 ... 2 ′′ N −2

.. .

′′ 2 N −2

.. .

0 ... 0 ... 0 ... ...

  

onde V k′′ = V ′′ (qk0 ). Para determinar o car´ ater ater do extremo de S temos que calcular os N 1 autovalores de AN . Sabem Sabemos, os, no enta entant nto, o, que que se o potenci potencial al for suav suave, ent˜ ao para tempos curtos podemos aproxim´ ao a-lo a-lo por constante, constante, V ( V (q) V ( V (qi ). Temos ent˜ ao ao uma part´ part´ıcula ıcula livre livre e sabemos sabemos que todos os autov autovalores alores s˜ ao positiv positivos. os. Dessa Dessa forma, podemos calcular calcular apenas o determi determinan nante te de AN . Para tempos curtos o determinante ser´ a positivo e cada vez que ele trocar de sinal saberemos que um autovalor ficou negativo. O determinante de AN pode po de ser calcula c alculado do pelo pe lo método eto do dos cofato c ofatores. res. Aplicando Aplica ndo o método eto do a` primeira linha de AN obtemos

−

≈

−

det AN = 2

ϵ V N ′′ −1

2

µ



det AN −1

− det A

N −2 .

´ f´ E acil acil ver que det AN cresce linearmente com N e precisaremos tomar o ´ conveniente ent˜ limite em que N vai a infinito. E ao ao definir QN = ϵ det AN , que permanece p ermanece finito no limite limite de tempo cont´ cont´ınuo. ınuo. Com isso podemos reescrever a equa¸c˜ cao aõ acima como QN No limite N

− 2Q

N −1 ϵ2

+ QN −2

→ ∞ e ϵ → 0 obtemos ∂ Q V =− Q ∂t µ

=

−

V N ′′ −1 QN −1 . µ

′′

2

2

com

Q(t1 ) = 0

onde V ′′ = V ′′ (q (t)) é calcula c alculado do n naa tra t rajet´ jet´ oria oria clássica. assica. Como det AN = ϵQN , o determinante de A é ent˜ ntao aõ proporcional a` Q(t2 ). A equa¸c˜ cao aõ satisfeita por Q tem uma interpreta¸c˜ cão ao muito simples. Fazendo cao aõ de Newton obtemos q (t) = q(t)0 + Q(t) e substituindo na equa¸c˜ ¨) = µ(q¨0 + Q

(q − dV dq

0

+ Q)

2

d V (q ) − (q )Q ≈ − dV dq dq 0

0

2

O PROBLEMA DA CAUSALIDADE E AS INTEGRAIS DE CAMINHO DE FEYNMAN 85

3.8

¨ = V ′′ Q. Assim, ou, µQ Assim, o determinante determinante de A pode ser obtido propagando-se uma pequena varia¸c˜ cao aõ da trajet´ oria oria clássica assica com condi¸c˜ cão ao inicial Q(t1 ) = 0. Como a equa¸c˜ cao aõ é de segundo grau precisamos também em do valor de Q˙ em t = t1 . Veja que

−

Q2 e

′′ 2 1

− V ϵ /µ) /µ)ϵ = [(2 − V ϵ /µ)(2 1]ϵ ≈ [3 − 2(V 2(V /µ)(2 − V ϵ /µ) /µ) − 1]ϵ

Q1 = (2

′′ 2 2

′′ 2 1

Q2

−Q

1

ϵ

′′ 1

=1

+ V 2′′ )ϵ2 /µ] /µ]ϵ

2

− O(ϵ )

de forma que Q˙ (t1 ) = 1. O ultimo u ´ ltimo passo da demonstra¸c˜ cao aõ é relacionar relac ionar Q(t2 ) com a a¸c˜ cão. a o. Para ara isso usaremos usaremos mais uma vez a identidade identidade (3.18) a ser provada provada no próximo oximo cap´ıtulo. ıtulo . Usando ent˜ ao ao ∂S pi = µq˙i = ∂q i

−

e o fato de S = S (qf , qi , t), podemos calcular a varia¸c˜ cao ão na velocidade inicial que ocorrer´ a se fizermos pequenas varia¸c˜ cões oes nas posi¸c˜ coes o˜es inicial e final que especificam a trajet´ oria: oria: µδ q˙i =

−

∂ 2 S δq i ∂q i2

−

∂ 2S δq f . ∂q i ∂q f

Para δq i = 0 e δq˙i = 1 obtemos δq f = Q(t2) = µ Assim provamos que Q(t2 ) demonstra o teorema.

3.8 3.8

−  ∂ 2 S ∂q i ∂q f 2

−1

→ 0 quando ∂ S/∂q ∂q i

. f

vai a infinito, o que

O prob proble lema ma da da caus causal alid idad ade e e as inte integr grai aiss de caminho de Feynman

No primeiro livro da famosa série erie Lectures Le ctures on Physics [13], Richard R ichard Feynman discute em grande detalhe d etalhe o princ´ princ´ıpio de Fermat e nota que ele apresenta um

86


3.8

problema curioso de quebra de causalidade (veja a se¸c˜ cao ão 26.5 do primeiro livro). A questão ao que se coloca é a seguinte: seguinte: como o raio de luz sabe qual o caminho de m´ınimo tempo? temp o? Ele teria que percorrer p ercorrer v´ arios caminhos, medir o tempo em cada um deles e, s´ o depois, percorrer o caminho de menor tempo. Mas não ao é isso que acontece. Nas palavras p alavras de Feynman: The Fermat Principle, instead of saying it is a causal thing,..., it says this: we set up the situation and light decides which is the shortest time path, or the extreme one. But what does it do, how does it find out? Does it smells the nearby nearby paths paths and checks checks them against against each other? other? The answer answer is yes it does, in a way. O ingrediente que falta para entender esse aparente paradoxo é o caráter ater ondulatório o rio da luz. luz. A escala escala de distˆ distˆ ancia dada pelo comprimento de onda ancia da luz permite que ela cheire os caminhos vizinhos de forma a ir surfando no caminho caminho que localmen localmente te minimiza minimiza o tempo de percu p ercurso rso.. Na verdade verdade a explica¸c˜ cao aõ completa é um pouco p ouco mais complicada. co mplicada. Em poucas po ucas palavras, a luz não ao sabe qual o caminho de menor tempo e, por isso mesmo, percorre todos os caminhos camin hos simultaneament simultan eamente. e. Como isso é poss pos s´ıvel? Ora, isso é poss pos s´ıvel porque a luz não ao é composta de raios, r aios, mas sim de ondas (ou de f´ fotons, ´ mas não ao entraremos na quantiza¸c˜ cao aõ da luz aqui). A onda se espalha por todos os lados e a sensa¸ c˜ cão ao do raio de luz aparece devido ao fenˆ omeno ome no de d e interf int erferˆ erências enc ias construtivas (ao longo do raio) e destrutivas (fora dele). O que é realmente realmente curioso é que o mesmo problema problema de causalidade causalidade se apresenta na mecˆ anica anica com o princ´ princ´ıpio de Hamilton: como a part´ part´ıcula sabe de antem˜ a o qual o caminho onde a a¸c˜ ao cão ao é um extremo extremo?? A resposta, resposta, por incr inc r´ıvel que pare¸ par e¸ca, ca, é a mesma: ela n˜ a o sabe, e por isso vai por todos os ao caminhos caminhos simultaneam simultaneamente. ente. Como? Ora, part´ part´ıculas não ao s˜ ao exatamente exatamente part´ part´ıculas e as vezes se comportam c omportam como ondas. Essa é uma das d as descobertas de scobertas um tanto desconcertantes da mecˆ anica anica quânti a ntica. ca. Embora Embora n˜ nao aõ seja nosso objetivo discutir a teoria quˆ antica aqui, vale a pena uma pequena digress˜ antica ao ao sobre o assunto. Na mecânica anica quântica, antica, a probabilidade de sairmos do ponto qi em t1 = 0 e atingirmos o ponto qf em t2 = T é dada pelo módulo odulo ao quadrado do propagador . Na form formul ula¸ a¸c˜ cao aõ de Feynman de integrais de caminho, caminho, o propagador K (qf , qi , T ) e scritoo como c omo uma soma sobre todos to dos os caminhos caminh os poss p oss´´ıveis T ) é escrit ligando o ponto qi a qf no tempo T . peso de caminho caminho na soma soma é um T . O peso número umero complexo complexo igual a exp (iS/) onde S é a ac˜ çao aõ ao longo do caminho e

3.8 

O PROBLEMA DA CAUSALIDADE E AS INTEGRAIS DE CAMINHO DE FEYNMAN 87 −34

≈ 1.055 × 10

Js é a constante const ante de Planck: K (qf , qi , T ) T ) =



e

iS 

Dq(t).

Essa certamente n˜ ao ao é uma integral usual, pois integra-se sobre caminhos. O elemento de integra¸c˜ cao aõ q (t) pode ser explicitado apenas se usarmos aqui a mesma idéia eia que usamos na demonstra¸c˜ cão ao do teorema de Morse, i.e., a discretiza¸c˜ cao aõ do tempo. Dividimos o intervalo de tempo em N partes de mesmo tamanho ϵ e tal forma que T = N ϵ e q (nϵ) nϵ) qn , mantendo os extremos fixos. Analisando Analis ando exemplos exemp los simples, simple s, como a part´ıcula ıcula livre, é poss pos s´ıvel mostrar mostr ar que

D

≡

Dq(t)

N

N −1

  ∏ → µ 2πi ϵ

2

dqk .

k=1

Se as a¸c˜ cões oe s t´ıpic ıp icas as são ao muito maiores que a constante de Planck, ent˜ ao ao o valor de S/ para dois caminhos próximos oximos pode po de ser muito diferente. Somar as contribui¸c˜ coes o˜es de caminhos diferentes fica ent˜ ao parecido como somar n´ ao umeros umeros complexos aleat´ orios orios e o resultado tende a se anular. Essa é a interferência encia destrutiva. Imagine no entanto que estamos somando contribui¸ c˜ cões oes nas vizinhan¸cas cas 1 do caminho clássi a ssico co.. Ali Ali δ S = 0, caminhos caminhos vizinhos vizinhos tem pratica praticamen mente te a mesma a¸c˜ cao aõ e suas contribui¸c˜ coes o˜es são ao quase idênticas. enticas. Ent˜ ao, ao, ao invés es de suas contribui¸c˜ cões oes se cancelarem, cancelarem, elas se somam e temos interferˆ interferˆ encias encias construtiv construtivas. Nesse limite, chamado de limite limite semicl´ semiclassico, a´ssico, podemos calcular o propagador somando apenas as contribui¸ c˜ coes o˜es nas vizinhan¸cas cas da trajet´ oria oria clássica: assica: K (qf , qi , T ) T )

 ≈

e

i 

1

2

[S 0 +δS +δS ]

Dq(t) = e

i 

S 0



e

Discretizando o tempo e usando o resultado (3.22), δ 2S = integra¸c˜ coes o˜es a serem feitas são ao Gaussianas e o resultado é K (qf , qi , T ) T )

≈e

i 

i

=e



=e



i

S 0

S 0

S 0

    √  √ µ 2πi ϵ

N 2

µ ϵ det AN

1 2πi 

2πi ϵ µ

1 2πi 

µ Q(T ) T )

N −1 2

i 

δS 2

Dq(t).

µ T , 2ϵ ξ AN ξ

√det1 A

N

as N 1

−


88

3.9

e, finalmente, i

K (qf , qi , T ) T )

e S 0 2πi 

≈√



−  ∂ 2 S ∂q i ∂q f

1/2

.

Esse ultimo u ´ ltimo resultado resultado é bastante bastante importante importante na teoria semicl´ semiclassica ´ e conseguimo seguimoss deduzideduzi-lo lo usando usando soment somentee os c´ alculo alculoss j´ a elabor elaborado adoss na demon demon-stra¸c˜ cão ao do teorema teorema de Morse. Observ Observee que essa essa aproxima aproxima¸ c˜ ¸ao ao diverge nos pontos pon tos focai focais. s. O c´ alculo exato continua em geral finito, mas com um pico alculo próximo oximo aos pontos focais, onde a densidade de trajet´ orias orias clássicas assicas vai a infinito, como ilustra a figura 3.8.

3.9


1. Um part´ part´ıcula de massa m é colocada colocada no alto de um anel preso na posi¸c˜ cao ão vertical. A part´ part´ıcula desliza sobre o anel sem atrito. Calcule a rea¸c˜ cao aõ no anel sobre a part´ part´ıcula usando o método etodo dos multiplicadores de Lagrange. Encontre Encontre a altura em que a part´ part´ıcula se descola do anel. 2. Uma part´ part´ıcula de massa m desliza sem atrito sobre um bloco de inclina¸c˜ cao aõ α e massa M vez, desliza desliza sem atrito sobre sobre M .. O bloco, por sua vez, o chão. ao. (a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? (b) Escreva a equa¸c˜ cao aõ de v´ınculo, elimine uma das coordenadas e escreva a Lagrangeana. Resolva o problema. (c) Escreva as equa¸c˜ coes o˜es de movimento usando um multiplicador de Langrange. Resolva o problema e compare com a solu¸ c˜ cão ao anterior. 3. Escreva Escreva a Lagrangeana e obtenha os momentos momentos generalizados, generalizados, as equa¸ cões oes de movimento e a fun¸c˜ cão ao energia dos seguintes problemas: (a) oscilador harmˆ onico onico uni-dimensional. (b) part par t´ıcula ıcu la de d e massa ma ssa m e carga q no potencia pot enciall eletromagn´ eletr omagnético etico V ( V (r, v) = q (Φ(r) v A)

− ·

(c) Part´ıcula ıcu la movendomoven do-se se em três es dimens dim ens˜ o˜es num potencial central V ( oes V (r) em coorden co ordenadas adas esféricas. erica s.

EXERCÍCIOS

3.9

89

4. Sabemos Sabemos que o vetor vetor momento momento angular angular ⃗ é constante const ante para for¸cas cas centrais. trais. Po Porque rque as componen componentes tes ϕ = pθ e θ = pϕ / sin θ não a o são ao constantes? Mostre explicitamente que d ⃗ /dt = 0.

L

L

L

L

5. Considere Consid ere o princ pr inc´´ıpio variacional variacio nal onde ond e o funcional funcio nal integrado integ rado é f ( f (y, y ′ , x). Mostre que se f = f ( ao a seguinte equa¸c˜ cão ao f (y, y ′ ), independente de x, então é satisfe sa tisfeita ita pela pel a curva cu rva estacion est acion´ aria: a´ria: f

∂f =α − y ∂y ′

′

onde α é constante. Dica: calcule df/dx e use as equa¸c˜ cões oes de EulerLagrange. 6. Mostre que o tempo de percurso de um raio de luz ao longo do caminho caminho y = y(x) pode ser escrito como 1 t= c

 

n(x, y ) 1 + y′ 2 dx.

Suponha que n = n(y), independente de x. Mostre que as equa¸c˜ coes o˜es de ′′ ′ 2 dn Euler-Lagrange Euler-Lagrange associadas s˜ ao ao dadas por ny = (1 (1 + y ) dy , que podem

√

ainda ser simplificadas para n = A 1 + y ′ 2 onde A é uma consta con stante nte de integra¸c˜ cao. aõ. Obtenha a Lei de Snell a partir dessa equa¸c˜ cao. ˜ 7. Calcule a a¸c˜ cao aõ S (xf , xi , T ) part´ıcula livre. Verifique as rela¸ r ela¸ c˜ cões oes T ) para a part´ Dica: escrev escrevaa a solu¸ soluc˜ çao aõ ∂S/∂xf = pf , ∂S/∂xi = pi e ∂S/∂t = E . Dica: da equa¸c˜ cao aõ de movimento em termos de xf , xi e T antes de calcular a a¸c˜ cão. ao.

−

−

8. Calcule a a¸c˜ cao aõ S (xf , xi , T ) oscilador harmˆ onico onico e verifique verifique as T ) para o oscilador mesmas rela¸c˜ coes o˜es acima.

90


3.9

Cap´ıtulo 4 As Equa¸c˜ coes o ˜es de Hamilton As equa¸c˜ cões oes de Lagrange para um sistema com n graus de liberdade, d dt

 − ∂L ∂ ˙ ∂ q˙i

∂L = 0, ∂q i

(4.1)

formam um conjunto de n equa¸c˜ cões oes diferenciais de segunda ordem no tempo. O formalismo de Hamilton transforma essas equa¸c˜ coes o˜es em um novo conjunto de 2n equa¸c˜ cões oes de primeira ordem. or dem. Embora nenhuma f´ f´ısica nova seja acrescentada, a formula¸c˜ cão ao de Hamilton Hamilto n apresenta apre senta várias arias vantagens técnicas ecnic as sobre a de Lagrange, Lagrange, como veremo veremoss ao longo do curso. curso. En Entre tre elas salient salientamos amos a unicidade das solu¸c˜ coes o˜es no espa¸co co de fases, as transforma¸c˜ coes o˜es canˆ onicas o nicas e a teoria de perturba¸c˜ cão. ao. Outra Outra motiv motiva¸c˜ cão ao import imp ortante ante é a semelh sem elhan¸ an¸ca ca entre a descri¸c˜ cao aõ Hamiltoniana da mecˆ anica anica cl´ assica a ssica e a mecânica anica quântica, antica, que tamb´ também em discutiremos discutiremos brevemente. brevemente. A maneira mais imediata imediata de se obter as equa¸c˜ cões oes de Hamilton a partir das equa¸c˜ coes o˜es de Lagrange Lagr ange é através es de uma transforma¸c˜ cao ˜ de Legendre. Legendre.

4.1 4.1

A tran transf sfor orma mada da de Lege Legend ndre re

Seja f ( cao aõ convexa, i.e., com f ′′ (x) > 0. A inform informa¸ a¸c˜ cao aõ contida f (x) uma fun¸c˜ em f ( cao aõ auxiliar g (u) definida por [3] f (x) pode ser passada para uma fun¸c˜ g (u) = ux

− f ( f (x),

(4.2)

onde x = x(u) é obtido obtid o invertendo invertend o a rela¸c˜ cão ao u=

∂f . ∂x

91

(4.3)

92

˜ AS EQUA EQ UAC C ¸ OES DE HAMILTON

4.1 y = f(x)

y

y=ux

F(x,u)

x

x(u) −g(u)

Figura 4.1: Interpreta¸c˜ cao aõ gráfica afica da transformada de Legendre. Passamos a descrever f ( f (x) em termos de sua derivada. Note que df =

∂f dx = u(x)dx )dx ∂x

e dg = xdu + udx

(4.4)

dx = x(u)du. )du. − ∂f ∂x

(4.5)

A transformada de Legendre tem uma interpreta¸ cão ao geométrica etric a que q ue podepo demos entender graficamente. Para cada u, considere a reta y = ux. ux. O ponto ancia F ( cão ao f ( a´xima: x(u) é tal que a distância F (x, u) entre a reta e a fun¸c˜ f (x) é maxima: F ( F (u, x)

≡ xu − f ( f (x)

(4.6) ∂F ∂f =u . ∂x ∂x Impondo ∂F/∂x = 0 encon encontra tramo moss o pon ponto to x = x(u) onde a distˆ anci an ciaa é máxima axima e g (u) = F ( F (x(u), u). ´ interessan E interessante te notar que a ‘transformada ‘transformada ao quadrado’ é a identidade identidade (propriedade involutiva): dado

−

g (u) = ux( ux(u)

− f ( f (x(u))

com

u=

∂f ∂x

(4.7)

h(v ) = vu( vu (v )

− g(u(v))

com

v=

∂g . ∂u

(4.8)

ent˜ ao, ao,

˜ AS EQUA UAC C ¸ OES DE HAMILTON

4.2

93

Usando a express˜ ao ao para g obtemos v=

∂g ∂x = x(u) + u ∂u ∂u

∂x = x(u) = x − ∂f ∂x ∂u

(4.9)

e h(v ) = h(x) = xu

− [ux − f ( f (x)] = f ( f (x).

(4.10)

Exemplo 1 - f ( Nessee caso caso p = ∂f/∂v = mv, f (v ) = mv 2 /2. Ness mv , g ( p) p) = pv( pv( p) p) 2 f ( f (v ( p)) p)) = p /2m.

−

Exemplo 2 - Se U ( sistema termodinˆ amico U (S, V ) V ) é a energia interna de um sistema em equil´ıbrio ıbrio em fun¸c˜ cão ao da entropia e do volume, ent˜ ao ao T = ∂U/∂S e P = ∂U/∂V . ∂U/∂V . Definimos a energia livre de Helmholtz como ∂U . ∂S As novas rela¸c˜ cões oes termodinˆ amicas amicas em termos de F podem ser obtidas: F ( F (T , V ) V ) = U

com

dF =

∂F ∂F dT + dV ∂T ∂V

=

∂U ∂U dS + dV S + ∂S ∂V

=

∂U dV ∂V

ou seja, S =

4.2

− TS

T =

− T d T dS − S dT

− S dT = P d P dV − S dT

− ∂F ∂T

P =

∂F . ∂V

As equa¸c˜ coes o ˜es de Hamilton

Voltando a` mecânica, anica, definiremos a fun¸c˜ cão ao Hamiltoniana a partir de uma transforma¸c˜ cão ao de Legendre em L(q, q, ˙ t), ‘trocando’ ‘trocando’ as velocid velocidades ades q˙i pelos momentos conjugados definidos no cap´ cap´ıtulo 3, equa¸ c˜ cão ao (3.14), pi = ∂L/∂ ˙ ∂L/∂ q˙i [3, 5]: n

H (q,p,t) q,p,t)

 ≡

pi q˙i

i=1

− L(q, q,˙ t)

(4.11)

94


4.2

onde as n fun¸c˜ coes o˜ es q˙i = q˙i (q,p,t) ao obtidas resolvendo-se as n equa¸c˜ cões oes q,p,t) são pi =

∂L . ∂ ˙ ∂ q˙i

(4.12)

As equa¸c˜ coes o˜es de movimento de Lagrange podem agora ser reescritas em termos de H . Calculando a diferencial total dos dois lados de (4.11) e usando a conven¸c˜ cao aõ de soma sobre ´ındices ındices repetidos obtemos dH =

∂H ∂H ∂H dqi + dpi + dt ∂q i ∂p i ∂t

= q˙i dpi + pi dq˙i = q˙i dpi

∂L ∂L ∂L − ∂q dq − dq˙ − dt ∂ ˙ ∂ q˙ ∂t i

i

i

i

∂L ∂L − ∂q dq − dt ∂t i

i

onde o segundo termo cancelou o quarto pela defini¸ cão ao dos momentos. Podemos agora igualar os termos da primeira com a ultima linha que multiplicam diferenciais iguais. Obtemos assim as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton q˙i = p˙i =

∂H ∂p i

(4.13)

− ∂H . ∂q i

Temos ainda uma terceira rela¸c˜ cão ao envolvendo o tempo. Antes de escrevela explicitamente vamos também em calcular a derivada total tot al de H em rela¸c˜ cao aõ ao tempo: dH ∂H ∂H ∂H = q˙i + p˙ i + dt ∂q i ∂p i ∂t

−

= ( p˙ i )q˙i + (q˙i ) p˙i +

∂H ∂H = . ∂t ∂t

Juntando tudo obtemos dH ∂H = = dt ∂t

− ∂L . ∂t

(4.14)

Assim, se L não ao depende explicitamente do tempo, então ao H não ao depende explicitamente do d o tempo t empo e é uma constante do movimento.

˜ AS EQUA UAC C ¸ OES DE HAMILTON

4.2

95

Como indicado indica do no in´ in´ıcio deste dest e cap´ cap´ıtulo, as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton formam um conjunto de 2n 2n equa¸c˜ cões oes diferenciais de primeira ordem no tempo. Essas equa¸c˜ cões oes s˜ ao ao equivalentes as a`s n equa¸c˜ coes o˜es diferenciais de Lagrange, que s˜ ao ao de segunda ordem no tempo. As vari´ aveis aveis dinâmicas amicas são ao trocadas de q e q˙ para cao aõ ao longo dos pr´ oximos oximos q e p. Exploraremos as vantagens dessa nova descri¸c˜ cap´ ca p´ıtul ıt ulos os..

Exemplo 4.2.1 A part par t´ıcula livre em coorde co ordenadas nadas esféricas. erica s. O vetor veto r velocivelo ci˙ ˆ ˙ ˆ dadee é dad dad dadoo por po r r˙ = r˙ rˆ + rθθ + r ϕ sin θϕ e a Lagrangeana fica L = T =

m 2 (r˙ + r2 θ˙2 + r2 ϕ˙ 2 sin2 θ). 2

Os momentos conjugados s˜ ao ao

  

pr = mr˙ pθ = mr2 θ˙

→

pϕ = mr2 sin2 θϕ˙

A Hamiltoniana fica ˙ θ + ϕp ˙ ϕ ˙ r + θp H = rp

  

r˙ = pr /m θ˙ = pθ /(mr2) ϕ˙ = pϕ /(mr2 sin2 θ).

−L

pϕ2 pr2 p2θ = + + m mr2 mr2 sin2 θ

−





mr2 pθ 2 mr2

 −  −

m pr 2 m

2

2

pϕ2 1 p2θ 2 = + p + . 2m r r2 r 2 sin2 θ

Exemplo 4.2.2 O oscilador harmˆ onico. onico . A Lagran L agrangean geanaa é L=

mx˙ 2 2

− kx2

2

e o momento conjugado px = mx˙

→

x˙ = px /m

mr2 sin2 θ pϕ 2 mr2 sin2 θ





2


96 e

˙ x H = xp

−

4.2

px2 L= m

−



m px 2 m

px2 kx 2 = + . 2m 2

2

kx2 + 2

Exemplo Exemplo 4.2.3 Considere um sistema com n graus de liberdade com fun¸c˜ cao aõ Lagrangeana contendo apens termos lineares e quadr´ aticos na velocidade: 1 ˙ t) = L0 (q, t) + q˙T a + q˙T Aq˙ L(q, q, 2 onde a = a(q, t) é um vetor com n componentes, A = A(q, t) uma matriz etric a e o superesc sup erescrito rito T significa significa transposto. O momento conjugado conjugado n n simétrica a` qi é ∂L = ai + pi = A ji q˙ j = ai + Aij q˙ j . ∂ ˙ ∂ q˙i j j

×

Em forma vetorial





→

q˙ = A−1 ( p

p = a + A q˙

− a).

Substituindo na defini¸c˜ cao aõ de H obtemos H = pT q˙

−L

= pT A−1 ( p

T

1 2

−1

T

−1

−1

− a) − L − ( p − a) A a − ( p − a) A AA ( p − a) = ( p − a) A ( p − a) + a A ( p − a) − L − ( p − a) A a − ( p − a) A ( p − a) = ( p − a) A ( p − a) − L . −1

T

1 2

1 2

0

T

T

−1

T

0

T

−1

−1

−1

0

Na passagem da segunda para a terceira linha modificamos o primeiro p primeiro pT para ( p a)T , somando somando o termo que foi subtraido subtraido em seguida. seguida. Esse Esse termo cancela contra o quarto termo da terceira linha (note que ambos são ao escalares). escalares). −1 Usamos tamb´ em em o fato que, se A é sim´ si métri et rica ca,, ent˜ então ao A tamb ta mb´ém é. Em 2 particular, particular, se a = 0 e L0 = V , ao L = T V e H = p /2m + V = T + V , então T + V

−

−

−

4.3

HAMILTONIANA VERSUS ENERGIA

97

que é a energia do sistema. c a de Lorent Lorentz. z. Con Consi side dere re uma Exempl Exemplo o 4.2.4 4.2.4 Hamiltoniana para a for¸ca part´ıcula ıcula de carga carg a e sujeita a potenciais Φ e . A Lagrange Lagrangeana ana é dada pela equa¸c˜ cao aõ (2.14): m L = r˙ 2 eΦ + er˙ . 2 Comparando com o exemplo anterior temos L0 = eΦ, A = m1 e a = e . A Hamiltoniana fica ent˜ ao ao

A

−

·A

−

H =

4.3 4.3

1 (p 2m

2

− eA)

A

+ eΦ.

(4.15)

Hami Ha milt lton onia iana na versu ersuss Ene Energ rgia ia

A equa¸c˜ cão ao (4.14) mostra que se o tempo n˜ ao ao aparecer em L, não ao aparecer´ a tamb´ ta mbém em em H e esta será constan constante. te. Nesta Nesta se¸ sec˜ çao ão discutiremos a rela¸c˜ cão ao entre a fun¸c˜ cão ao Hamiltoni Hamiltoniana ana e a energia energia do sistema sistema.. Mostrar Mostraremos emos que nem sempre H representa a energia e que o fato de H poder ser conservada e poder representar a energia s˜ ao propriedades independentes. ao Vamos come¸car car com um exemplo (veja [5], se¸c˜ cão ao 8.1) onde um carrinho é puxado de forma a manter manter sua velocidade velocidade constante constante v0 . Sobre Sobre o carrinho carrinho uma massa pontua p ontuall m oscila presa a uma mola de constante elástica astica k (figura 4.2). Em rela¸c˜ cao aõ ao sistema de referência encia fixo no ch˜ ao, a posi¸ po si¸c˜ cao aõ da massa m é x, enquanto que a distens˜ ao ao da mola mo la é y = v0t x. A Lagran La grangeana geana é dada da da por m k ˙ t) = T V = x˙ 2 (v0 t x)2. L(x, x, 2 2 A equa¸c˜ cão ao de movimento resulta mx ¨ = k(x v0 t) e a solu¸ sol u¸c˜ caõ é

−

−

− − −

−

cos(ωt + ϕ) + v0 t x(t) = A cos(ωt

√

com ω = k/m. cao aõ corresponde aquela a`quela no referencial k/m. Como esperado, a solu¸c˜ de repouso do carrinh carrinhoo somada somada ao seu deslocamen deslocamento. to. Como L é pu pura rame mente nte quadrática atica na velocidade, podemos usar diretamente o resultado do exemplo 4.2.3 para a Hamiltoniana: px2 k + (v0 t H (x, px , t) = T + V = 2m 2

2

− x) .

98


4.3

y x v0 t

m

x

Figura 4.2: Oscilador harmˆ onico preso a um carrinho m´ onico ovel. ovel. A Hamiltoniana Hamilto niana é a energia ener gia da part´ıcula, ıcula, que n˜ ao ao é cons c onservad ervadaa devi d evido do a` for¸ca ca externa que mant´ mantém em o carrinho movendo-se movendo-se com velocidade velocidade constante. constante. De fato, dH ∂H = = k(v0 t x)v0 . dt ∂t ´ fácil E acil ver que a taxa de varia¸ c˜ cão ao de energia ener gia é igual à potência encia da for¸ca ca externa. externa. A for¸ ca ca externa sobre carrinho é ky, c ar a ky , pois deve contrabalan¸car for¸ca ca exerci exe rcida da pela pe la mola. mola . A potˆ p otência enc ia extern ext ernaa é ent˜ e ntão ao P = kyv ky v0 = k(v0 t x)v0 . Vamos agora escolher y = v0t x como coordenada generalizada. Ent˜ ao ao y˙ = v0 x˙ e m k 2 L′ (y, y˙ ) = T V = (v0 y˙ )2 y 2 2 que não ao depende dep ende do tempo! Veja que tamb´ em em podemos p odemos escrever L′ como

−

−

−

−

−

−

−

−

− −



≡

m k 2 d m 2 dF ( dF (y, t) L = y˙ 2 y + v0 t mv0y L′′ + . 2 2 dt 2 dt Como as equa¸c˜ coes ões de movimento de L′ e L′′ são ao idênticas entica s (veja a se¸c˜ cão ao 3.6) ′ ′ obtemos diretamente diretamente my¨ = ky e y(t) = A cos(ωt cos(ωt + ϕ ) como esperado. O momento conjugado a` y é ′

−

−

−

∂L ′ = py = ∂ ˙ ∂ y˙

−m(v − y˙ ) → 0

y˙ = v0 + py /m.

A nova Hamiltoniana fica ′

H (y, py ) = py y˙

−

py2 k + y 2 + v0 py L = 2m 2 ′

4.4

HAMILTONIANA VERSUS ENERGIA

99

que é claram c laramente ente conservada, conse rvada, mas m as n˜ ao ao representa a energia da part´ part´ıcula. Essa discussão a o pode ser genera generali liza zada da no segui seguint ntee sent sentid ido: o: se a fun¸ função Lagrangeana for da forma 1 ˙ t) = q˙T Aq˙ + q˙T a V ( L(q, q, V (q, t) T V 2 ent˜ ao, como vimos no exemplo 4.2.3, ao, 1 H = ( p a)T A−1 ( p a) + V. 2 Podemos Pode mos também em escrever escre ver direta d iretamente mente T + V em termos dos momentos. O resu re sult ltad adoo é 1 T + V = ( p a)T A−1 ( p a) + V + aA−1 ( p a). 2 Vemos então a o que H = T + V apenas se a = 0. Isso Isso ocorre, ocorre, por exemp exemplo, lo, quando a transforma¸c˜ cão ao das coordenadas cartesianas para as coordenadas generalizadas generalizadas é independente independente do tempo, conforme a discuss˜ discussao ˜ no final da se¸c˜ cao a˜ o 3.5. 3.5. Se a tran transf sfor orma ma¸c˜ çao aõ depende do tempo, como no problema do oscilador no carrinho H = T + V . Estamos assumin assumindo do sempre sempre que V não ao V . Estamos depende das velocidades. No entanto, podemos olhar para a mesma Lagrangeana de outra forma. Suponha que a transforma¸c˜ cao aõ das coordenadas cartesianas para as coordenadas generalizadas seja independente do tempo mas que o potencial dependa linearmente linearmente da velocidade, velocidade, como no caso da for¸ca ca de Lorentz. Lorentz. Ent˜ ao, T etica corresponde apenas a` U = V q˙ a e L = T U , U , onde a energia cinética parte puramente quadr´ atica nas velocidades. No caso particular da for¸ atica ca ca de Lorentz, A = m1, V = eΦ, a = e e 1 (p e )2 + eΦ H = 2m que é a energia ener gia da part´ıcula, ıcula , enquanto enqua nto que T + U não ao é. e. Isso ocorre porque o termo v B na for¸ca ca de Lorentz n˜ ao ao realiza trabalho e n˜ ao ao contribui para a energia. A conclus˜ conclusao aõ é que a rela¸ rel a¸c˜ cão ao entre Hamiltoniana e Energia deve ser olhada com cuidado. Em geral podemos afirmar que: – Para potenciais independentes da velocidade e transforma¸ cões oes r = r(q ) independentes do tempo, H é a ener en ergi gia. a. – Para potenciais independentes da velocidade e transforma¸ cões oes r = r(q, t) dependentes do tempo, H não ao é a energi ene rgia. a. – Para a for¸ca ca de Lorentz, H é a energia, energ ia, enquanto enqua nto que T + U não é.

−

−

−

−

−

̸

−

−

A

−A

×

≡ −

−

100

4.4

˜ AS EQU EQ UAC ¸ OES DE HAMILTON

4.5

Nota¸c˜ ao simpl´ etica

As 2n equa¸c˜ cões oes de Hamilton de um sistema de n graus de liberdade podem ser compactadas e reescritas reescritas em uma forma mais elegante [5, 3, 14]. Para isso constru´ constru´ımos primeiramente um vetor de 2n componentes contendo todas as posi¸c˜ coes o˜es e momentos generalizados e o correspondente operador gradiente:

η=

   

   

q1 .. . qn p1 .. . pn

∇

,

η

=

∇

   

∂/∂q1 .. . ∂/∂qn ∂/∂p1 .. . ∂/∂pn

   

(4.16)

.

Vemos que o gradiente de H , η H , corresponde basicamente ao lado direito das equa¸c˜ cões oes de Hamilt Hamilton on (4.13). (4.13). No entan entanto, to, q˙i está associado a` uma derivada em rela¸c˜ cão ao a` pi e vice-versa. Além em disso, uma das d as equa¸ e qua¸c˜ cões oes tem um sinal negativo. Para dar conta desses fatos definimos a matriz J =



0 1 1 0

−



onde cada um dos elementos acima é um bloco n

J =

   − 

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

−

... ... ... ... ... ... ... ...

(4.17)

× n. Explicitamente:

0 +1 0 . . . 0 0 0 +1 +1 . . . 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 . . . +1 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0

−

   

.

A matriz J , conhecida conhe cida também em como matriz simplética etica fundamental fundame ntal , tem as seguintes seguintes propriedades propriedades importantes: importantes: J T =

−J,

J 2 =

−1,

J J T = 1.

(4.18)

Com essas defini¸c˜ cões oes as equa¸c˜ cões oes de Hamilton assumem a forma compacta

∇ H.

η˙ = J

η

Usaremos essa nota¸c˜ cão ao exaustivamente exaus tivamente no cap´ cap´ıtulo 5.

(4.19)

O PRINCÍPIO DE HAMILTON MODIFICADO

4.5

4.5

101

O Princ´ Princ´ıpio de Hamilton Hamilton Modificado Modificado

O princ´ princ´ıpio variacional de Hamilton diz que a dinˆ amica natural descrita por amica sistemas mecânicos anicos é tal que a a¸c˜ cao aõ é um extremo. Em outras palavras, a a¸c˜ cao aõ calculada calcu lada sobre curvas vizinhas vizinh as à trajet´ tra jetória oria correta corre ta é igual, em primeira primei ra ordem, a` a¸c˜ cão ao desta trajet´ tra jetória: oria:



t2

δS = δ

Ldt = 0.

t1

Essa propriedade é independente da descri¸ c˜ cao aõ que utilizamos para formular o movimento, de Lagrange ou de Hamilton. Deve então ao ser poss po ss´´ıvel obter o bter as equa¸c˜ cão ao de Hamilton diretamente a partir desse mesmo princ´ princ´ıpio. Usando Usa ndo a equa¸ equ a¸c˜ cao aõ (4.11) podemos escrever L em termos de q e p como n



L=

pi q˙i

i=1

− H (q,p,t) q,p,t)

onde q˙i deve ser tamb´ em em escrito em termos de q e p usando a primeira das equa¸c˜ cões oes de Hamilton (4.13). (4 .13). O princ´ıpio ıpio variacional assume assu me ent˜ ao ao a forma

 

δ



n

t2

pi q˙i

t1

i=1

− H (q,p,t) q,p,t)

dt = 0.

(4.20)

Podemos tratar a varia¸c˜ cao aõ de S nesse formato como a varia¸c˜ cao aõ de uma fun¸c˜ cão ao de 2n variáveis aveis independentes e suas derivadas, f ( ˙ p). eto do variavar iaf (q,p, q, p˙). O método cional implica que teremos 2n 2n equa¸c˜ coes o˜es de Euler-Lagrange, uma para cada variável: avel: d ∂f ∂f =0 dt ∂ ˙ ∂ q˙i ∂q i d dt Para f =

∑

n i=1 pi q˙i

 −  − ∂f ∂ ˙ ∂ p˙ i

∂f = 0. ∂p i

− H (q,p,t) q,p,t) obtemos

d ∂H ( pi ) + =0 dt ∂q i

→

p˙ i =

d (0) dt

→

q˙i =

=0 − q˙ + ∂H ∂p i

i

− ∂H ∂q i

∂H ∂p i

102


4.5

que são a o as equa¸c˜ coes o˜es de Hamil Hamilton ton.. Essa Essa vers˜ vers˜ ao ao do princ´ pri nc´ıpio ıpi o variacio varia cional nal é chamada de Princ´ Princ´ıpio de Hamilton Modificado. Um detalhe que pode passar desapercebido nessa deriva¸ c˜ cao aõ das equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton Hamilto n é a quest˜ questao aõ das condi¸c˜ coes o˜es de contorno envolvidas no princ´ princ´ıpio variacional. O cálculo alculo que fizemos no cap´ cap´ıtulo 3 para derivar as equa¸ cões oes de Euler-Lagrange assume que estamos mantendo as vari´ aveis aveis livres fixas nos instantes inicial e final enquanto consideramos varia¸ c˜ coes o˜es da a¸c˜ cao aõ para curvas vizinhas. De acordo com a equa¸c˜ cao aõ (3.1), (3.1) , é necess´ nece ss´ ario ario fazer uma integra¸c˜ cão ao por partes partes que gera os chamad chamados os ‘termos ‘termos de superf superf´ıcie’. ıcie’. Esses Esses termos termos se anulam devido a` condi¸c˜ cão ao de contorno imposta às as curvas vizinhas. Quando aplicamos o princ´ princ´ıpio de Hamilton Hamilton na sua forma original, original, com ˙ t), as vari´ ariaveis a´veis livres livres s˜ ao a o os qi apenas e impomos δq i (t1 ) = L = L(q, q, Para ra aplic aplicar ar o princ princ´´ıpio ıpio de Hami Hamilt lton on na forma forma modificad modificadaa δq i (t2 ) = 0. Pa ter´ıamos ıamos que impor, impo r, além em disso, disso , que δp i (t1 ) = δp i (t2 ) = 0, o que parece estranho estranho.. De fato, se as equa¸ equa¸ c˜ coes o˜es de Lagrange s˜ ao ao equivalentes as a`s de Hamilton, elas devem valer nas mesmas condi¸c˜ coes. o˜es. De acordo com a equa¸c˜ cão ao (3.1) os termos te rmos de superf´ superf´ıcie que aparecem nesse caso s˜ ao ao ∂f δq i ∂ ˙ ∂ q˙i

∑



t2

∂f + δp i ∂ ˙ ∂ p˙i t1



t2

.

t1

No entanto, como f = ni=1 pi q˙i H (q,p,t), ao é q,p,t), temos que ∂f/∂ ˙ ∂f/∂ p˙ i = 0 e n˜ necessário ario impor condi¸c˜ cao aõ alguma sobre δp nos extremos. Goldstein afirma em seu livro que, embora desnecess´ ario, ri o, é util u´til pensar δp seja zero nos extremos. Nesse caso podemos somar a` L uma fun¸c˜ cão ao qualquer qualquer do tipo dF ( ao altera as equa¸c˜ cao aõ de movimen movimento, to, pois p ois (veja dF (q,p,t) q,p,t)/dt que isso não a se¸c˜ cão ao 3.6)



t2

δ

t1

−

dF dt = δF tt21 = dt

|

 i

∂F δq i ∂q i

     t2

+

t1

i

∂F δp i ∂p i

t2

= 0.

t1

Esse truque, no entanto, é um tanto problem´ atico. atico. Enquanto é sempre poss pos s´ıvel encontrar encont rar solu¸c˜ cões o es das equa¸c˜ cões oes de movimento que satisfa¸cam c am as condi¸c˜ coes o˜es de contorno usuais, q (t1 ) = q0 e q (t2 ) = qf , não ao é poss os s´ıvel ıve l em gera ge rall encontrar solu¸c˜ coes o˜es quando tanto as coordenadas co ordenadas quanto quanto os momentos iniciais iniciais são ao fixados. De fato, dados (q (q0 , p0 ) em e m t = t1 , a solu¸c˜ cao aõ que parte deste ponto é unica, u ´ nica, e não ao necessariamente passa por (q (qf , pf ) em t = t2 . Voltaremo oltaremoss a essa discuss˜ discu ssão ao quando quand o desenvolvermo d esenvolvermoss a teoria teor ia de transforma trans forma¸¸c˜ coes ˜ canˆ onicas onicas

˜ PROPRI PRO PRIEDA EDADES DES DA AC ¸ AO

4.6

103

no pr´ oximo oximo cap´ıtulo. ıtulo . A idéia eia de impor impo r δp = 0 nos extremos é incorreta incorreta e também em desnec des necess ess´ aria. a´ria.

4.6 4.6

Prop Propri ried edad ades es da A¸ c˜ ao

Chamamos a trajet´ oria o ria que extremiza a a¸c˜ cao a˜ o de trajet´ oria cl´ assica , para distingui-la de outros caminhos que não ao satisfazem as equa¸c˜ coes o˜es de movimento. mento. A integral integral de L(q, q, ˙ t) sobre a trajet´ oria or ia cl´ cl ássi as sica ca é a a¸c˜ c˜ ao cl´ assica . Se a trajet´ tra jetória oria cl´ assica assica q(t) parte de q1 em t = t1 e chega em q2 em t = t2, ent˜ ao ao



t2

S (q1 , t1 ; q2 , t2 ) =

˙ t)dt. L(q, q,

t1

Consideremos Consideremos agora uma outra trajetória oria cl´ assic assicaa q¯(t) vizinha à q(t), confor conforme me ilustra ilustra a figura figura 4.3. 4.3. A nov nova trajet´ trajet´ oria come¸ca c a em q1 + ∆q1 em ∆t1 e chega em q2 + ∆t ∆t2 em t = t2 + ∆t ∆t2 . Escrevemos t = t1 + ∆t q¯(t) = q (t) + δq( δq (t) e enfatizamos que δq( dif eren¸ n¸ca ca entre as trajet´ orias o rias a tempo fixo. fixo. No δq (t) é a difere extremo final, como os tempos de propaga¸c˜ cão ao s˜ ao ao diferentes, temos: ∆q2

≡ q¯(t

− q(t ) = q¯(t ) + q¯˙ (t )∆t )∆t − q (t ) = q¯(t ) − q (t ) + q˙(t )∆t )∆t = δq 2

+ ∆t ∆t2 )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+ q˙(t2 )∆t )∆t2 .

Na terceira terce ira linha substitu subst itu´´ımos q¯˙ (t2 )∆t )∆t2 por q˙(t2 )∆t )∆t2 porque a diferen¸ca é de segunda ordem nos desvios. Da mesma forma obtemos ∆q1 = δq 1 + q˙(t1 )∆t )∆t1 . Podemos agora calcular a diferen¸ ca c a entre a a¸c˜ cao ão dessas duas trajet´ orias orias clássicas assicas vizinhas. Para simplificar a nota¸c˜ cao aõ e os c´ alculos, vamos fazer tudo alculos, para um unico u ´ nico grau de liberdade. O leitor poder´ a verificar que toda manipula¸c˜ cao aõ vale para qualquer n´ umero de graus de liberdade. A varia¸c˜ umero cao aõ da a¸c˜ cão, ao, que chamaremos de ∆S ∆S para enfatizar que ambas as trajet´ orias orias são ao clássicas, assicas,

104


4.6

q q2+∆ q2 q2

δ q(t2)

q q δ q(t)

q1 q + ∆q 1

δ q(t1)

1

t2 t2+∆t2

t1+∆ t1 t1

t

Figura 4.3: Duas trajet´ tra jetórias orias cl´ assicas: assicas: q (t) com q (t1 ) = q1 e q (t2 ) = q2 (linha cheia, azul) e q¯(t), com q (t1 + ∆t1 ) = q1 + ∆q1 e q(t2 + ∆t2 ) = q2 + ∆t2 (linha tracejada, vermelho). e n˜ ao ao curvas arbitr´ arias ri as,, é ∆S

≡ S (q

1

= =

∫ ∫

+ ∆q ∆q1 , t1 + ∆t ∆t1 ; q2 + ∆q ∆q2 , t2 + ∆t ∆t2 )

∫ ∫ ∫

t2 +∆t +∆t2 t1 +∆t +∆t1

L(q, q¯, q, q¯˙ , t)dt

t1 t1 +∆t +∆t1

¯ + Ldt

t2 t1

−

t2 t1

¯ + Ldt

− S (q , t ; q , t ) 1

1

2

2

˙ t)dt L(q, q, t2 +∆t +∆t2 t2

¯ Ldt

−

∫

t2 t1

Ldt

¯ = L(q, onde L cao aõ q¯, q, q¯˙ , t). Na primeira e terceira integrais o intervalo de integra¸c˜ é infinitesimal infinitesimal.. Na segunda, que tem os mesmos limites de integra¸ integra¸ cão a o que a quarta, podemos expandir q¯ em torno de q. O resultado resul tado é: e: ∆S = =

−

¯ (t1 )∆t ¯ (t2 )∆t )∆t1 + L )∆t2 + L

)∆t −L(t )∆t 1

)∆t2 + 1 + L(t2 )∆t

 ∫  ∫  −   t2 t1

∂L δ q˙ ∂ ˙ ∂ q˙

+

∂L δq ∂q

t2 t1

∂L ∂q

d dt

∂L ∂ ˙ ∂ q˙

dt δqdt +

∂L ∂ ˙ ∂ q˙ δq



t2 t1

.

(4.21) ¯ (ti )∆t Novamente trocamos L )∆ti por L(ti )∆t )∆ti . Como a trajetória oria satisfaz as equa¸c˜ coes o˜es de Lagran Lagrange ge,, a integ integral ral se anul anula. a. Usan Usando do ainda ainda a defini defini¸ c˜ ¸ao a o de

˜ PROPRI PRO PRIEDA EDADES DES DA AC ¸ AO

4.7

105

momento generalizado temos finalmente ∆S = L(t)∆t )∆t tt21 + pδq

t2 t1

| | = L(t)∆t )∆t| + p[∆q [∆q − q˙∆t]| = [L(t) − pq˙]∆t ]∆t| + p∆q | = − H (t)∆t )∆t| + p∆q | = −H (t )∆t )∆t + H (t )∆t )∆t + p ∆q − p ∆q t2 t1

t2 t1

t2 t1

2

2

t2 t1

1

1

t2 t1

2

2

1

(4.22)

t2 t1

1

onde p1 e p2 são a o os valore aloress do momen momento to nos pontos pontos inic inicia iall e fina final. l. Co Como mo os deslocamentos ∆q ∆qi e ∆ti são ao arbitr´ arios, podemos calcular a varia¸c˜ arios, cao aõ da a¸c˜ cao aõ em rela¸c˜ cão ao a` cada um deles separadamente, zerando os demais. Seguem ent˜ ao ao as seguintes rela¸c˜ cões: oes: ∂S = p1 ∂q 1

−

∂S = + p2 ∂q 2

(4.23)

∂S = +H (t1 ) ∂t 1 ∂S = ∂t 2

−H (t ). 2

Se H for constante, constante, H (t1 ) = H (t2 ). Note como as derivadas de S em rela¸c˜ cao aõ a seus parˆ ametros ametros produz os parˆ ametros ametros conjugados. conjugados.

Exemplo: A part pa rt´´ıcula livre. Nesse caso q (t) = q0 + v0 t de forma que



τ

S (qf , q0 , τ ) τ ) =

0

m 2 m q˙ dt = v02 τ, 2 2

onde v0 deve ser escrito em termos de q0 , qf e τ . cao aõ da trajet´ oria oria τ . Pela equa¸c˜ vemos que v0 = (qf q0 )/τ , /τ , de forma que m S (qf , q0, τ ) τ ) = (qf q0 )2 . 2τ ´ f´ E acil acil verificar que ∂S/∂q0 = ∂S/∂qf = mv0 e que ∂S/∂τ = mv 2/2 = E .

−

−

−

−

0

106

4.7


4.7

O princ´ princ´ıpio de de Maupertuis Maupertuis

Na se¸c˜ cao aõ anterior calculamos a varia¸cão de S para duas trajet´ orias orias clássicas assicas que come¸cam cam e terminam em pontos p ontos ligeiramen ligeiramente te diferentes. diferentes. O resultado que obtivemos, equa¸c˜ cão ao (4.22), (4.22 ), é na verdade verdad e v´ valido a´lido em condi¸c˜ cões oes um pouco mais gerais do que mostramos. mostramos. De fato, vamos vamos supor que a trajet´ oria ori a de d e referˆ ref erência, enc ia, partindo de q1 em t = t1 e terminando em q2 em t = t2 seja sej a cl´ c lássica ass ica,, mas m as que q ue a trajet´ tra jetória oria vizinha, com condi¸c˜ cões oes iniciais e finais diferentes, seja apenas um caminho caminho qualq qualque uer. r. A dife diferen ren¸ca ça entre as a¸c˜ coes o˜es nesse caso ainda ser´ a dada pela equa¸c˜ cão ao (4.21). (4.21) . Como a quantidade dentro da integral é calculada na trajet´ oria oria de referˆ refe rência, encia , que é cl´ assica, ela se anula pelas equa¸c˜ assica, cões o es de Lagrange e segue o resultado re sultado (4.22). O s´ s´ımbolo ∆ agora significa apenas ape nas que os caminhos vizinhos admitem pequenas mudan¸cas cas nas condi¸c˜ cões oes inicia ini ciais is e finais, em oposi¸c˜ cão ao ao s´ımbolo ımb olo δ que usamos quando as condi¸c˜ coes o˜es iniciais e finais estão ao fixas. Vamos agora nos restringir a sistemas onde H é independe indep endente nte do tempo temp o e, portanto, portanto, constante constante.. Se calcularmo calcularmoss a varia¸ ariac˜ ¸ao a o de S sobre a trajet´ oria oria clássica assica para caminhos vizinhos que tenham os pontos iniciais e finais fixos, ∆q1 = ∆q2 = 0, mas tempo de trânsito ansito arbitr´ ario, ario, ∆t ∆t1 e ∆t2 diferentes de zero, ent˜ ao, de acordo com (4.22), ao, (∆t − ∆t ). −H (∆t

∆S =

2

1

Por outro lado, a a¸c˜ cao ão pode ser escrita como



t2

S =



t2

( pq˙

t1

− H )dt =

pq˙ dt

t1

− H (t − t ). 2

1

e sua varia¸c˜ cao aõ para caminhos que mantenham H constante e ∆q ∆q1 = ∆q2 = 0 é



t2

∆S = ∆

pq˙ dt

t1

No entanto, como ∆S ∆S =

(∆t − ∆t ). − H (∆t 2

1

(∆t − ∆t ), a condi¸c˜ cão ao −H (∆t 2



1

t2

∆

t1

S

pq˙ dt = ∆ = 0

(4.24)

determina a trajet´ oria oria clássica assica se as varia¸c˜ coes ões forem restritas a` superf´ sup erf´ıcie ıci e de energia e com ∆q ∆q1 = ∆q2 = 0.

ESPAC ¸ O DE FASES E SUPER S UPERF FÍCIE DE ENERGIA

4.8

107

∫ t

A quantidade quantidade = t12 pq˙ dt é chama cha mada da de a¸c˜ cão ao con co ncao ˜ reduzida e reduzida e foi a a¸c˜ siderada inicialmente por p or Maupertuis, Maup ertuis, Euler e Lagrange. Lagrange . A equa¸c˜ cao ˜ (4.2 (4 .24) 4) é conhecida conhecida historicamen historicamente te como princ´ıpio ıpio de Maupertuis e diz que a a¸c˜ cao aõ reduzida é um extremo se considerarmos considerarmos curvas curvas Q(t) com Q(t1) = q1 e superf´ıcie de energia, i.e., com P ( Q(t2 ) = q2 sobre a superf´ P (t)Q˙ (t) L(Q(t), Q˙ (t)) = E = constante. constante. No caso especial da part´ part´ıcula livre, q˙ = p/m e (4.24) pode ser reescrita como ∆ T dt = 0, onde T = p2 /2m é a energi ene rgiaa cinética. eti ca. Como Com o T = E , que é constante const ante para as varia¸c˜ cões oes permitida per mitidas, s, o princ´ıpio ıpio de Maupertu Maup ertuis is se reduz ao de Fermat ∆ dt = 0.

S

−

∫

4.8

∫

Espa¸co co de Fases e Superf Sup erf´ ´ıcie de Energia

No formalismo Hamiltoniano as coordenadas qi e os momentos pi são ao tratados como variáveis aveis independ independent entes. es. O n´ umero umero de coordenadas n, que é sempre sempr e igual ao n´ umero umero de momentos conjugados, é o n´ umero de graus de liberdade umero 2n do sistema sistema.. O espa¸ espaco ço vetorial , de dimensão ao 2n, formado pelas coordeco de fases. Um vetor nesse espa¸co nadas e momentos é chamado de espa¸co co é da forma for ma (veja (vej a a equa¸ equ a¸c˜ cao aõ (4.16))

F

η=

   

q1 .. . qn p1 .. . pn

   

e as equa¸c˜ coes o˜es de movimento são ao tratadas mais naturalmente na sua forma simp si mpl´ létic et icaa η˙ = J η H

∇

conforme descrito na se¸c˜ cão ao 4.4. Como as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton Hamilton são ao de primeira primeira ordem no tempo, o teorema de unicidade de Cauchy-Lipschitz garante que por cada ponto de 2n passa uma e apenas uma trajet´ oria. oria. Trajet´ orias orias cl´ assicas assicas nunca se cruzam no espa¸co c o de fases. fases. De fato, fato, para para um conjun conjunto to de 2n equa¸c˜ coes o˜es diferenciais de primeira ordem precisamos fornecer 2n 2n con co ndi¸ di ¸c˜ cões oes iniciais. Tratando cada ponto do espa¸co c o de fases como uma condi¸c˜ cão ao inicial, podemos imaginar a

F

108


4.8

dinâmica amica gerada por H como um fluxo cont´ cont´ınuo ınuo que ‘arrasta’ as condi¸ cões oes iniciais ao longo de suas trajet´ orias orias unicas, u ´ nicas, como um fl´ uido. uido. Mostraremos no próximo oximo cap´ıtulo ıtulo que esse fl´ uido ui do é inco in comp mpre ress´ ss´ıvel. ıve l. 2n Traje Tra jet´ tória or iass em podem po dem tamb´ em em ser especificadas especificada s pelas n posi¸c˜ cões oes iniciais e n posi¸c˜ cões oes finais, como fizemos na análise alise dos princ´ıpios ıpios variacionais. variacion ais. No entanto, como veremos a seguir, pode haver mais de uma solu¸ cão a o das equa¸c˜ coes o˜es de movimento que conecte esses pontos. Cada uma dessas solu¸c˜ coes o˜es terá momentos iniciais e finais distintos, não ao violando a unicidade de solu¸c˜ coes o˜es no espa¸co co de fases. fases. Alterna Alternativ tivamen amente, te, podemos especificar especificar n coordenadas iniciais iniciais e n momentos finais, etc, contanto que forne¸ camos camos 2n 2n vari´ vari áveis ave is inde in de-pendentes. Para sistemas com Hamiltonianas independentes do tempo definimos o conjunto de pontos

F

2n

{ ∈ F

ΣE = η

}

tal que H (η ) = E

sup erf´ıcie ıci e de energi ene rgia a, que tem dimens˜ como a superf´ dimens ão ao dim(ΣE ) = 2n 1. Como o valor de H sobre qualquer trajet´ oria oria é constante, const ante, a condi¸ condic˜ çao aõ inicial define uma superf´ superf´ıcie de energia ΣE com H (η(0)) = E e η (t) ΣE , i.e., a trajet´ oria oria ficará sempre sempr e em ΣE . Como todo ponto de ΣE será transportado pela dinâmica amica em outro ponto de ΣE , dizemos dizemo s que a superf sup erf´´ıcie de energia ener gia é invariante pela dinˆ amica. amica.

− ∈

Exemplo 4.8.1 O oscilador harmˆ onico onico unidimensional. A Hamiltoniana é p2 mω2 q 2 + H (q, p) = 2m 2 e as equa¸c˜ coes o˜es de movimento q˙ =

∂H = p/m ∂p

p˙ =

= −mω q. − ∂H ∂q 2

A solu¸c˜ cão ao geral gera l é dada por cos(ωt)) + q (t) = q0 cos(ωt cos(ωt)) p( p(t) = p0 cos(ωt

p0 mω

sin(ωt sin(ωt))

− mωq

0

sin(ωt sin(ωt)).


4.8

p

109

2

F

ΣE 2mE

q

2E mω 2

Figura Figura 4.4: Espa¸ Espaco ço de fases harmônico onico unidimensional.

2

superf´ıcie de energia Σ F e superf´

E

para o oscilador

Em nota¸c˜ cao aõ simplética etica isso fica simplesmente simple smente η (t) = Aη0 onde

 −

cos(ωt cos(ωt))

A=

1 mω

sin(ωt sin(ωt))

sin(ωt)) cos (ωt (ωt)) mω sin(ωt

 

    q0

,

η0 =

.

p0

A matriz A é p eri´ er iódica, odica, A(t) = A(t + 2π/ω 2 π/ω)) e ‘propaga’ a condi¸c˜ cão ao inicial to do ponto p onto da orbita o´rbita temos η0 . Como a energia é a mesma em todo p2 mω2 q 2 p2 mω2 q02 + = 0 + 2m 2 2m 2 ou ainda

≡ E

p2 q2 + =1 2mE 2E/mω 2

√

√

que é a equa¸ equ a¸c˜ cao aõ de uma elipse com semi-eixos a = 2E/mω 2 e b = 2mE , definindo a superf´ superf´ıcie de energia ΣE , conf confor orme me ilus ilustr traa a figur figuraa 4.4. 4.4. ΣE 1 tem a topologia de um c´ırculo, também em chamado de 1-toro, T . Note Note que que,, neste exemplo, a trajet´ oria oria cobre totalmente a superf sup erf´´ıcie de energia ap´ os um tempo temp o suficientem sufi cientemente ente longo lo ngo (nest ( nestee caso cas o basta bas ta um per´ıodo) ıod o) e o sistema sist ema é dito dit o erg´ odico. odico. onico unidim unidimensi ensional onal.. Conside Considere re um Exemplo Exemplo 4.8.2 Um oscilador anarmônico oscilador harmônico onico perturbado perturba do por um termo qu´ artico:

110


4.8

F

p

2

0.1 2

8

16 24

q

Figura Figura 4.5: 4.5: Espa¸ Espaco ço de fases 2 e algumas superf´ superf´ıcies de energia (valor de onico unidimensional com λ = ω = 1 e onico E indicado) para o oscilador harmˆ m = 1/2.

F

H (q, p) =

p2 mω2 q2 λq4 + + . 2m 2 4

As equa¸c˜ coes o˜es de movimento s˜ ao ao q˙ =

∂H ∂p

p˙ =

−

= p/m

∂H ∂q

=

2

3

−mω q − λq .

Como H é positiv positivaa (soma (soma de quadrado quadrados), s), para um dado valor alor H = E a posi¸c˜ cão a o e o momento ficam limitados aos valores p p < 2mE e q 2 < 4E/λ mω2/λ. sup erf´´ıcie de energia n˜ ao ao é mais ma is m2 ω4 /λ2 + 4E/λ /λ. No entanto, a superf uma elipse, a não ao ser para energias E << m2 ω4 /λ. figura 4.5 4.5 mostr mostraa /λ. A figura algumas superf´ıcies ıcies de energia para λ = ω = 1 e m = 1/2.

√

−

||

√

onico puro. Seja Exemplo 4.8.3 O oscilador anarmônico p2 + λq2k H (q, p) = 2m onde k é inteir int eiroo maior ma ior ou igua i guall a` 1. O movimento é claramente cla ramente peri´ pe ri´ odico, odico, pois a superf sup erf´´ıcie de energia energ ia é limitada limitad a (novamente H é uma u ma soma de quadrados) quadr ados)..


4.8

111

Para k = 1 o oscilador é harmˆ onico. onico. Pa Para ra k = 2 as superf´ superf´ıcies de energia são a o pareci parecida dass com a do probl problem emaa anter anterio iorr no limite limite de alta altass energi energias as.. O interessante desse problema é que podemos pode mos calcular exatamente o per´ per´ıodo do movimento para qualquer valor de k. Para isso isso escrevemos escrevemos p = m dx/dt e usamos o método etodo de integra¸ c˜ cao ão descrito na se¸c˜ cão ao 1.5, equa¸c˜ cao aõ (1.12): t=

  √ − m 2

q (t)

dx

(E

q0

λx2k )

.

Para calcular o per´ per´ıodo temos temo s que integrar sobre sob re toda tod a a volta. Como o problema lem a é simétrico etr ico basta bas ta integra inte grarr de q0 = 0 até qmax = (E/λ) E/λ )1/2k e multiplicar o resultado por 4:

  √ −

τ ( τ (E ) = 4

m 2E

(E/λ) E/λ )1/2k

dx . (1 λx2k /E )

0

Fazendo a substitui¸c˜ cão ao u = x(E/λ) E/λ )1/2k obtemos

√

1−k

1

τ ( τ (E ) = 2 2m k E 2k λ− 2k onde

I

 √ 1

I = k

du

1 u2k depende apenas da ordem da n˜ ao-linearidade, e independe de quaisquer outao-linearidade, ros parˆ ametros do problema. Para k = 1 temos 1 = π/2 ametros π/ 2 e τ ( τ (E ) = π 2m/λ. m/λ. 2 Escolhendo λ = mω /2 recuperamos τ = 2π/ω, π/ω , que independe da energia. Para k = 2, 1 = πΓ(5/ Γ(5/4)/ 4)/Γ(3/ Γ(3/4) 1.311 e τ ( limite te τ (E ) E −1/4 . No limi em que k vai a infinito o potencial se aproxima de um po¸co co de paredes retas (o po¸co co infinito, problema tradicional na mecˆ anica anica quântica antica). ). Nesse Nesse caso caso temos que escolher λ = 1 e obtemos ∞ = 1 e τ ( τ (E ) = 2 2mE −1/2 . 0

−

I

I √

≈

I

∼

√

√

Exemplo 4.8.4 O pêndulo endul o – veja o exemplo e xemplo 2.3.2. A Lagra L agrangean ngeanaa é 1 L = ma2θ˙2 + mga cos θ 2 e a Hamiltoniana

p2θ H = 2ma2

− mga(cos mga(cos θ − 1)

112


4.8 4 3

F 2

2 1

p

2

0.1

2

1 2 3 4

θ

Figur Figuraa 4.6: Espa¸ Espa¸ co co de fases do pêndulo endulo e algumas superf´ superf´ıcies de energia 2 (valor de E indicado) para mga = 1 e ma = 1/2. onde somamos a constante mga por conveniência. encia . As equa¸ equ a¸c˜ coes o˜es de movimento θ˙ =

∂H ∂p θ

p˙θ =

−

= pθ /ma2 ∂H ∂θ

=

−mga sin θ

mostram que existem dois pontos de equil´ equil´ıbrio: (θ, pθ ) = (0, 0) e (θ, (θ, pθ ) = (0, (0, π ). As superf´ superf´ıcies de energia para E < 2mga são ao limitadas, limitad as, corresp corr esponondendo a oscila¸c˜ cões oes do pêndulo, endulo, enquanto que para E > 2mga as superf´ sup erf´ıcies ıcie s são ao abertas, correspondendo a rota¸c˜ cões oes do pêndulo. endu lo. A superf sup erf´´ıcie de energia ener gia cham ada de separatriz e, na verdade verdade é composta de 3 partes E = 2mga é chamada disjuntas: o ponto de equil´ equil´ıbrio em θ = π , a trajet´ oria oria no sentido horário ario com E = 2mga e a trajet´ tra jetória oria no sentido anti-hor´ ario ario com E = 2mga. mga.

Exemplo 4.8.5 O oscilador harmônico onico bi-dimensional. Considere o sistema de dois graus de liberdade H (q, p) =

1 2 m ( p1 + p22 ) + (ω12 q12 + ω22 q22 ). 2m 2

A solu¸c˜ cao aõ geral ge ral pode p ode ser novamente escrita na forma for ma simplética etica como co mo η(t) =


4.8

113

A(t)η0 onde agora

A(t) =

   − 

cos(ω cos(ω1 t)

0

1 mω1

0

cos (ω2 t)

0

1 mω2

cos (ω1 t)

0

sin(ω1t) 0 mω1 sin(ω

−mω

0

2

sin(ω sin(ω1 t) 0

sin(ω sin(ω2 t) 0

sin(ω sin(ω2 t)

cos (ω2t)

   

e η0T = (q10 , q20 , p10 , p20 ). A matriz de propaga¸c˜ cão ao A(t), no entanto, n˜ ao ao é necessaria nece ssariamente mente peri´ per i´ odica odica como no caso unidime unidimensi nsional onal.. Na verdade, verdade, A(t) só ser´ ser á peri´ pe riódica odica se α umero racional, da forma α = r/s com r e s inteiros. De fato, umero ω1/ω2 for um n´ se ω1 = rω0 e ω2 = sω0

≡

ent˜ ao ao é fácil acil verificar que A(t + 2π/ω 2 π/ω0 ) = A(t). Se α for irracional n˜ ao a o há periodicidade perio dicidade e o movimento é dito quase peri´ odico. odico. 4 O espa¸co co de fases tem dimensão ao 4 e a superf sup erf´´ıcie de energia, dada por

F

p21 p22 q12 q22 1= + + + 2mE 2mE 2E/mω12 2E/mω22 é a superf´ıcie ıcie tri-dimensional de um elips´ oide mergulhado em quatro dioide mensões. oes. Reescrevendo H como a soma de dois osciladores independentes,





p21 mω12 q12 p22 mω22 q22 + + + H (q, p) = 2m 2 2m 2

≡

H 1 + H 2

podemos mostrar, usando diretamente as equa¸c˜ coes o˜es de movimento, que dH 1 /dt = dH 2 /dt = 0, de forma que a energia total se distribui em duas partes que são ao conservadas independentemente. Assim temos duas constantes de movimento independentes p2 mω2 q 2 E 1 = 2m1 + 21 1 E 2 =

p22 2m

+

mω22 q22 2

e o movimento global fica restrito a uma superf´ superf´ıcie menor que a superf´ superf´ıcie de energia ΣE , que tem dimensão ao 3. Quando Quando projetamos projetamos a trajet´ oria em cada

114


4.9

p

p

1

2

2mE 1

2mE2

q

2E1 mω12

X

2E2 mω22

1

p

1

q

1

q

2

p

2

q

2

Figura 4.7: Trajet´ oria do oscilador 2D projetada nos planos conjugados q1 - p1 oria e q2 - p2 . O produt produtoo diret diretoo dos dos dois dois toros toros T 1 forma o toro T 2 no espa¸co c o de fases quadri-dimensional.

um dos planos conjugados conjugados qi - pi , temos o análogo alogo ao oscilador unidimensional, como como ilus ilustra trado do na figu figura ra 4.7. 4.7. O movi movime ment ntoo no espa¸ espa¸ co de fases ocorre na superf´ superf´ıcie 2D formada pelo p elo produto direto dos dois toros T 1 , que é um toro T 2 . Mantendo a energia total fixa, podemos dividi-la entre E 1 e E 2 de várias arias 2 maneira maneiras. s. Cada divis˜ divis˜ ao corresponde a um toro T diferente, pois os semiao eixos das elipses dependem dos valores de E 1 e E 2 . Assim, Assim, a superf´ superf´ıcie de energia ΣE pode ser decompost decompostaa em uma fam´ fam´ılia ılia a um parˆ ametro de toros, conforme ilustrado na figura 4.8. Nesta figura vemos a proje¸ cão ao de ΣE no espa¸co co q1 - p1 -q2 , que aparece como um esfer´ oide oide maci¸co. c o. Uma Uma trajet´ trajetoria o´ria t´ıpica fica circulando circu lando no plano q1- p1 enquanto enquanto a coordenada q2 tamb´ ta mbém em osci os cila la para cima e para baixo. O movimento movimento gera um cilindro, que é mostrado a` direita, e que é a proje¸ pro je¸c˜ cao aõ do toro T 2 nesse espa¸co co 3D. Mudando um pouco a distribui¸c˜ cao aõ de E entre E 1 e E 2 mu mudamo damoss o toro. toro. A uni˜ ao ao de todos esses toros gera ΣE em uma estrutur estruturaa parecida parecida com uma cebola. Discuti Discutiremo remoss novamente novamente a estrutura dos toros na superf´ superf´ıcie de energia no cap´ cap´ıtulo 8.

˜ ´ SEC ¸ OES DE POINCARE

4.9 q

115

2

ΣE

p 1

q1

Figura 4.8: Superf´ Superf´ıcie de energia 3D projetada no espa¸ co q1 - p1 -q2 folheada ` direita uma trajet´ por toros 2D. A oria oria circulando em um dos toros, tamb´ em em projetado no mesmo espa¸co co 3D.

4.9

Se¸c˜ oes de Poi Po incaré

A descri¸c˜ cao ão do oscilador harmônico onico bi-dimensional mostra que sistemas com dois graus graus de liberdad liberdadee podem ser bastan bastante te dif´ dif´ıceis ıceis de tratar tratar dada a alta alta dimensionalida dimensionalidade de do espa¸ co de fases. Por outro lado, como veremos adiante, co esses são ao sistemas extremamente interessantes que podem apresentar movimento ca´ otico, inexistente em sistemas com apenas um grau de liberdade. otico, O método eto do das se¸c˜ cões oes de Poincar´ Poincaré permite estudar e visualizar visualizar a dinˆ amica de sistemas conservativos com dois graus de liberdade como se fossem unidimensionais. As trajetórias orias de um sistema Hamiltoniano com dois graus de liberdade 4 moviment movimentam-se am-se no sub-espa¸ sub-espa¸co co tri-dimensional ΣE , pois o v´ınculo superf´ıcie pod podee H (q1, q2, p1, p2 ) = E é sempre satisfeito. Mesmo assim, essa superf´ 3 ser bastante basta nte dif d if´´ıcil de parame p arametriza trizarr e representar repre sentar no espa¸ e spa¸co co R usua us ual. l. A idéia ei a básica asica das se¸c˜ coes o˜es de Poincar´ Poin caré é intro i ntroduz duzir ir artific art ificial ialment mentee um u m segu s egundo ndo v´ınculo ınc ulo,, amica amica se reduza a` duas dimens˜ oes oes f ( f (q1, q2 , p1 , p2) = 0, de tal forma que a dinˆ apenas. Como esse segundo v´ınculo é artificial, ele ter´ a uma conseq¨ uˆ uência importante sobre as trajet´ orias, orias, como j´ a veremos. Vamos ilustrar ilustrar o m´ etodo etodo com a constru¸ cão a o de uma se¸c˜ cão ao de Poincar´ Poin caré bastante tradicional, onde o segundo v´ınculo é simplesmente q2 = 0. O conjunto de pontos com q2 = 0 forma uma superf´ superf´ıcie tri-dimension tri-dimensional al Σq2 . Chamaremos a interseçc˜ cão a o de ΣE com Σq2 de super su perf´ f´ıcie ıc ie de Po Poin incar car´é ΣP , que tem dimens dimens˜ão ao 2. Assim, Assim, estaremo estaremoss intere interessad ssados os na dinˆ amica de tra jetórias orias com energia E fixa e q2 = 0. Escolhemos então ao uma condi¸c˜ cão ao inicial

⊂ F

116


4.9

propagar ar esse esse ponto, ponto, a η0 = (q10 , q20 = 0, p10 , p20 ) tal que H (η0 ) = E . Ao propag coordenada q2 (t) em geral deixar´ a de ser zero e o v´ınculo q2 = 0 deixará de ser satisfeit satisfeito. o. No entan entanto, to, se esperarmo esperarmoss um tempo suficient suficientemen emente te longo, longo, é prov´ ovavel a´vel que em um instante futuro t = t1 , q2 (t1 ) = 0 novamen novamente. te. Dessa Dessa forma, o conjunto η1 = (q1 (t1 ), q2 (t1 ) = 0, p1 (t1 ), p2 (t1 )) voltou a` sup su p erf er f´ıcie ıc ie de Poincar´ Poincaré. e. Criamos assim uma dinˆ amica discreta, chamada de Mapa de amica Poincar´ caré, que leva pontos de ΣP a ela mesma. Falta apenas um detalhe para concluir a constru¸ c˜ cão ao do mapa: em primeiro lugar notamos que basta considerar os valores dos pontos q1 e p1 sobre a superf´ sup erf´ıcie ıci e de Poincar´ Poin caré, e, pois po is q2 = 0 e p2 pode ser obtido a partir de H = E . No entanto, como em geral H é quad qu adr´ rática atica em p2 , é conveniente considerar consi derar apenas os pontos que voltam a` q2 = 0 com momento conjugado p2 de mesmo sinal que p20 . Assi Assim, m, se p20 > 0, só consideramos os pontos com q2 = 0 se p2 > 0. O mapa de Poincaré leva um ponto ξ0 = (q10 , p10 ) ΣP ao ponto amica amica Hamiltoniana: ξ1 = (ξ0 ). ξ1 = (q11 , p11 ) ΣP , propagado pela dinˆ Conseguimos desta forma uma representa¸ c˜ cão ao bidimensional da dinˆ amica. amica. O pre¸co co a pagar paga r é n˜ ao ao termos mais acesso a` trajet´ tra jetória oria toda, to da, mas apenas ape nas à sua posi¸c˜ cao aõ a instantes discretos, como se uma luz estrobosc´ opica opica estivesse piscando. Em geral n˜ ao ao é poss po ss´´ıvel obter obt er uma expres exp ress˜ s˜ ao ao anal ana l´ıtica ıti ca para par a , sendo necessário ario integrar as equa¸c˜ coes o˜es de movimento numericamente e anotar os valores de q1 e p1 toda vez que q2 = 0 e p2 > 0. Obviamente a escolha esc olha do d o v´ v´ınculo ıncul o aria e outras s˜ ao ao poss po ss´´ıveis, depende dep endendo ndo da conveniência encia do q2 = 0 foi arbitrária problema. Como ilustra¸c˜ cao, aõ, construiremos o mapa de Poincaré explicitamente para o oscilador harmônico onico bidimensional. Fixando q20 = 0 e supondo que p20 > 0 temos (veja a se¸c˜ cão ao anterior)

∈

P

∈

P

P

q2(t) =

p20 mω2

sin(ω sin(ω2 t)

cos(ω2 t). p2 (t) = p20 cos(ω A coordenada q2 se anula para t = nπ/ω2 , mas apenas para n par teremos ao ao sempre que t = tn = 2nπ/ω2 a trajet´ oria oria voltará a` sup su p erf er f´ıcie ıc ie p2 > 0. Ent˜ de Poinc Poi ncar´ aré. e. O mapa pode ser visualizado com a ajuda da figura 4.8: na proje¸ c˜ cao aõ q1 sup erf´´ıcie de Poincaré corresp corr esponde onde ao plano q1 - p1 . Ca Cada da vez vez que que a p1 -q2 a superf trajetória oria (que anda sobre um dos cilindros) cruzar o plano q1 - p1 de baixo

EXERCÍCIOS

4.10

117

para cima (de forma que p2 > 0), teremos um ponto na se¸c˜ cão ao de Poincar´ Poin caré. e. No instante do primeiro retorno os valores de q1 e p1 ficam

    −

1 mω

cos(2πα cos(2πα))

q11

=

p11

sin(2πα sin(2πα))

sin (2πα (2πα)) cos (2πα) mω sin πα )

      ≡   q10

q10

P α

p10

p10

onde α = ω1/ω2 . Usand Usandoo ξ para designar o ponto (q (q1 , p1 ) obtemos o mapa de Po Poin inca car´ ré ξ1 = P α ξ0 . Repetindo o procedimento k vezes temos ξk = P α . . . . . . Pα ξ0 = P αk ξ0 = P kα kα ξ0 .

   k vezes

Se α for um n´ umero racional, da forma r/s com r e s inteiros, ent˜ umero ao ao a trajetória oria ser´ a peri´ pe riódica odi ca e irá atravess atr avessar ar a superf´ sup erf´ıcie ıci e de Poincar´ Poin caré s vezes. Isso é claro, c laro, pois p ois o argumento dos d os senos e cossenos cosse nos em P kα e 2πkr/s que fica igual kα ´ a 2πr para k = s, de forma que P sα Olhando para para a figura figura 4.8 vemos sα = 1. Olhando que os pontos ficar˜ ao sobre a elipse definida por ao 2 2 p21 mω12 q12 p10 mω12 q10 + = + 2m 2 2m 2

≡ E

1

Se α for irracional os pontos na se¸c˜ cao aõ de Poincaré preencher˜ preen cher˜ ao ao densamente a elipse. Finalmente, mudando a condi¸c˜ cão ao inicial mas mantendo H = E e q20 = 0, geramos órbitas orbitas que descrever˜ ao ao outras elipses na mesma superf´ superf´ıcie de Poincaré. e. Voltaremos a falar fa lar das se¸ sec˜ çoes o˜es de Poincaré nos cap´ cap´ıtulos ıtulo s 7 a 10. Veja, em particular, as se¸c˜ coes ões 7.3, 8.2.1 e 10.1.

4.10


1. O ponto de suspens˜ ao ao de um pêndulo endulo plano simples simples de comprimento comprimento abola abola z = ax2 no plano l e massa m é restrito a mover-se sobre a par´ vertical (Exemplo 2.3.6). Obtenha a Hamiltoniana. 2. O ponto ponto de suspens˜ suspens˜ ao ao de um pêndulo endu lo plano pla no simples sim ples de d e comprime com primento nto l e massa m é restrito a mover-se sobre um trilho tr ilho horizontal (fig. 4.9). Esse

118


4.10

Figura 4.9: Pêndulo endulo com ponto p onto de suspens˜ ao se movendo em um trilho. ao

Figura 4.10: Cilindro uniforme de densidade ρ e raio a montado de forma a poder rodar livremente sobre seu eixo vertical.

EXERCÍCIOS

4.10

119

ponto é ainda conectado por uma barra sem massa de comprimento comprimento a a um anel de raio a e massa M que pode girar livremente sobre seu centro fixado no trilho. Obtenha a Hamiltoniana. 3. Um cilindro cilindro uniform uniformee de densida densidade de ρ e raio a é montado de forma a poder poder rodar rodar livrem livremen ente te sobre sobre seu eixo eixo verti vertical cal (fig. (fig. 4.10) 4.10).. No lado lado externo externo do cilind cilindro ro um trilho trilho espiral espiral é fixado. fixado. Po Porr esse esse trilho trilho uma bolinha de massa m desliza sem atrito sob a a¸c˜ cão ao da gravida gravidade. de. Use qualquer sistema de coordenadas e encontre a Hamiltonina do problema da bolinha + cilindro e resolva as equa¸c˜ coes o˜es de movimento. 4. Considere Considere o problema gravitacional gravitacional de dois corpos com massas M e m. Suponha que M >> m, m, de forma que M possa ser considerado fixo no centro centro de massa massa do sistema sistema.. Escolha Escolha um sistema sistema de coordenada coordenadass q⃗ = (q1 , q2 ) com centro em M e que gira gir a com co m frequência encia angular a ngular Ω no plano x-y da órbita orbita de m. Mostre Mostre que a Lagrange Lagrangeana ana nessas nessas coordenadas coordenadas pode ser escrita como



m ˙ ⃗ L= q⃗ + (Ω 2



× q⃗)

2

+

GM m q

⃗ = Ωˆ onde Ω z . Obtenha a Hamiltoniana. 5. Partindo Partind o da fun¸ fu n¸c˜ cao aõ de Lagrange, use a teoria de transforma¸ c˜ coes o˜es de Legendre para construir uma formula¸c˜ cao aõ onde as variáveis aveis independentes independentes sejam q˙i e p˙i . Chamando de G(q, ˙ p, ˙ t) a nova ‘Hamiltoniana’, encontre as equa¸c˜ coes o˜es de movimento em termos de G. 6. Mostre que a a¸c˜ cao aõ para o oscilador harmˆ onico onico é dada por S (q1 , q2 , t) =

mω (q12 + q22 )cos(ωt )cos(ωt)) 2 sin( sin(ωt ωt))

e verifique as rela¸c˜ cões oe s (4.2 (4 .23) 3)..

[

− 2q q

1 2

]

120


4.10

Cap´ıtulo 5 Transforma¸c˜ co ˜es Canˆ onicas No formalismo Lagrangeano, qualquer escolha de coordenadas generalizadas pode ser utilizada para descrever o movimento de um sistema. As equa¸c˜ cões oes de Lagrange mantêm em sua forma original d dt

 − ∂L ∂ ˙ ∂ q˙i

∂L =0 ∂q i

(5.1)

para para as coorde coordenad nadas as q = (q1 , q2 ,...,qn ) e para para qual qualqu quer er outro outro conjun conjunto to cao aõ for invers inver s´ıvel: sk = sk (q1, q2 ,...,qn ) se a transforma¸c˜ d dt

 − ∂L ∂ ˙ ∂ s˙ i

∂L = 0. ∂s i

(5.2)

No formalismo Hamiltoniano isso não ao é sempre verdade, pois os momentos pk estão ao atrelados at relados à escolha das coordenadas co ordenadas pela defini¸ cão ao pk = ∂L/∂ ˙ ∂L/∂ q˙k . Podemos ent˜ ao nos perguntar quando a transforma¸c˜ ao cao ão do conjunto de coordenadas canˆ onicas onicas qk , pk para um novo conjunto Qk , P k , preserva as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton, isto é, e, supondo que q˙k =

∂H ∂p k

p˙ k =

− ∂H , ∂q

(5.3)

k

quais as propriedades da transforma¸c˜ cao aõ geral geral

· · · , q , p , p , · · · , p , t) P = P (q , q , · · · , q , p , p , · · · , p , t) Qk = Qk (q1 , q2 , k

k

1

2

n

n

121

1

1

2

2

n

n

(5.4)

122

˜ ˆ TRAN TR ANSF SFOR ORMA MAC C ¸ OES CANONICAS

5.1

para que as dinˆ amica amica seja dada por ∂K Q˙ k = ∂P k

P ˙k =

∂K − ∂Q ,

(5.5)

k

para alguma nova fun¸c˜ cao aõ Hamiltoniana K (Q,P,t). transforma¸ rma¸ c˜ cões oes com Q,P,t). As transfo essa propriedade s˜ ao ao chamadas de canˆ onicas. onicas. Embora as transforma¸c˜ cões oes canˆ onicas onica s não ao tenham ten ham a genera g eneralidade lidade das transtr ansforma¸c˜ cões oes de coordenadas das equa¸c˜ coes o˜es de Lagrange, elas incluem a possibilidade de misturar coordenadas e momentos na defini¸ c˜ cao aõ das novas variáveis, aveis, o que traz grandes vantagens. Uma das aplica¸c˜ coes o˜es importantes da teoria de transforma¸c˜ coes o˜es canˆ onicas consiste em buscar uma transforma¸ onicas c˜ cão ao que leve a nova Hamiltoniana a depender apenas dos novos momentos, mas n˜ ao a o das novas coorden co ordenadas. adas. Quando Quand o isso i sso é poss p oss´´ıvel, as equa¸c˜ coes ões de Hamilton podem ser imediatamente integradas, pois os novos momentos ser˜ ao ao constantes: constantes: ˙ k = ∂K = 0 P P k = P k0 = const.,

−

Q˙ k =

→

∂Q k

∂K ∂P k

(5.6)

≡ Ω (P ) P ) = const k

→ Q (t) = Q k

k0

+ Ωk (P ) P )t.

A solu so lu¸¸c˜ cão ao do problema problema é dada pela transforma¸ transforma¸ cão ao inversa, e não ao envolve envolve integra¸c˜ coes o˜es além em das triviais trivia is acima: acima :

· · · , Q (t), P , P , · · · , P , t) = p (Q (t), Q (t), · · · , Q (t), P , P , · · · , P , t).

qk = qk (Q1 (t), Q2 (t), pk

5.1

k

1

2

n

n

10 10

20 20

10 10

n0

20 20

(5.7)

n0

Fun¸c˜ coes o ˜es Geratrizes

Uma maneira prática atica e elegante de construir transforma¸ c˜ coes o˜es canˆ onic on icas as é exex plorando uma liberdade lib erdade oferecida pelo princ´ princ´ıpio variacional de Hamilton [5]. Lembramos que as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton podem ser obtidas impondo-se que

  t2

δ

n

pk q˙k

t1

k=1



− H (q,p,t) q,p,t)

dt = 0.

(5.8)

com δq k (t1 ) = δq k (t2 ) = 0. Lembram Lembramos os ainda que podemos acrescen acrescentar tar ao integrando integra ndo qualquer qualqu er fun¸c˜ cao aõ do tipo dF dF ((q, t)/dt sem alterar as equa¸c˜ cões oes de movimento resultantes. Isso ocorre porque



t2

δ

t1

dF ( F (q, t) dt = δ [F ( F (q2 , t2 ) dt

0. − F ( F (q , t )] = 0. 1

1

(5.9)

˜ FUNC ¸ OES GERATRIZES GERATRIZES

5.1

123

já que as varia¸ c˜ cões oes são ao feitas com qk (t1 ) e qk (t2 ) fixos. Queremos agora definir novas vari´ aveis aveis canônicas onicas Q, P que devem satisfazer as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton para uma nova fun¸c˜ cão ao Hamiltoniana K (Q,P,t). Q,P,t). Ent˜ ao ao basta impor que

  t2

δ

t1

n

P k Q˙ k

k=1

− K (Q,P,t) Q,P,t)



dt = 0.

(5.10)

com δQk (t1 ) = δQ k (t2 ) = 0. Como garantir a validade de (5.10)? A maneira mais simples é impor que o integrando integrando em (5.10) seja igual ao de (5.8): n



n

P k Q˙ k

k=1

− K (Q,P,t) Q,P,t) =



pk q˙k

k=1

− H (q,p,t) q,p,t).

(5.11)

Essa solu¸c˜ cão, ao, no entanto, entanto, é trivial, trivial, pois implica implica a transforma¸ transforma¸ c˜ cao aõ identidade, onde Qk = qk , P k = pk e K = H . Uma possibil possibilida idade de um pouco mais mais geral é impor imp or que os integrandos sejam apenas ap enas proporcionais, pr oporcionais, i.e., n







n

P k Q˙ k

k=1

− K (Q,P,t) Q,P,t) = λ

pk q˙k

k=1

− H (q,p,t) q,p,t)

.

(5.12)

com λ constante. A solu¸c˜ cao aõ dessa des sa equa¸ equ a¸c˜ cao aõ corresponde a transforma¸c˜ coes o˜es de escala: Qk = µqk

P k = νp k

K (Q, P ) P ) = µνH ( µνH (Q/µ,P/ν )

(5.13)

com λ = µν . Finalmente temos o caso mais geral onde usamos a liberdade dada pela equa¸c˜ cão ao (5.9): n



 n

P k Q˙ k

k=1

− K (Q,P,t) Q,P,t) = λ

pk q˙k

k=1



dF (q,Q,t) q,Q,t) − H (q,p,t) q,p,t) − . dt 1

(5.14)

já que tanto as coordenadas coordena das originais quanto as novas novas devem ser fixas para que as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilt Hamilton on sejam obtidas. obtidas. De fato, integrand integrandoo dos dois lados de t1 a t2 e fazendo a varia¸c˜ cao aõ da a¸c˜ cão ao temos

∫ ∑

δ (

n ˙ k=1 P k Qk

− K )dt

∫ ∑

= λδ (

−

n k=1 pk q˙k

∂F 1 (q2 ,Q2 ,t2 ) δq 2 ∂q 2

+

− H )dt −

∂F 1 (q2 ,Q2 ,t2 ) δQ 2 ∂Q 2

∂F 1 (q1 ,Q1 ,t1 ) δQ 1 ∂Q 1

+

∂F 1 (q1 ,Q1 ,t1 ) δq 1. ∂q 1


124

5.1

Impondo que a varia¸c˜ cão ao da a¸c˜ cão ao nas coordenadas coordena das originais seja nula quando obtemos δq 1 = δq 2 = 0 obtemos n

δ

  (

k=1

P k Q˙ k

− K )dt = − ∂F (q∂Q, Q , t ) δQ 1

2

2

2

2

2

+

∂F 1 (q1 , Q1 , t1 ) δQ 1 , ∂Q 1

o que mostra que a varia¸c˜ cao a˜ o da a¸c˜ cão ao nas novas novas coordenadas coordena das tamb´ em em ser´ a nula quando δQ 1 = δQ2 = 0. Como a constante multiplicativa λ apenas muda a escala das coordenadas e momentos, vamos fixar λ = 1 e considerar apenas as conseq¨ uˆ uênci en cias as da fun¸c˜ cao aõ F 1 (q,Q,t) c a de vari´ aveis aveis.. Escrev Escrevendo endo a derivada derivada total q,Q,t) na mudan¸ca explicitamente obtemos n

 k=1

n

P k Q˙ k K (Q,P,t) Q,P,t) =

−



n

−

pk q˙k H (q,p,t) q,p,t)

k=1

  − k=1



∂F 1 ∂F 1 ˙ ∂F 1 q˙k + Qk + . ∂q k ∂Q k ∂t

Essa equa¸c˜ cão ao é satisfe sat isfeita ita se pk =

∂F 1 ∂q k

P k =

∂F − ∂Q

1

(5.15)

k

K (Q,P,t) Q,P,t) = H (q(Q,P,t) Q,P,t), p(Q,P,t) Q,P,t), t) +

∂F 1 . ∂t

A transforma¸c˜ cao aõ (q, p) (Q, P ) entao aõ definida implicitamente pela P ) é ent˜ fun¸c˜ cao aõ geratriz F 1 (q,Q,t). cões oes acima podem ser inverq,Q,t). As primeiras n equa¸c˜ tidas para obter Qk = Qk (q,p,t). Substit stituin uindo do esse resultad resultadoo no segundo segundo q,p,t). Sub conjunto de equa¸c˜ coes o˜es obtemos P k = P k (q,p,t). q,p,t). Note que a nova Hamiltoniana K não ao é apenas a Hamiltoniana Hamiltonian a original o riginal calculada ca lculada nas novas novas vari´ aveis: aveis: se a transforma¸c˜ cão ao depender explicitamente do tempo ganhamos o termo extra coes o˜es de movimento seguem seg uem do princ´ princ´ıpio variacional: ∂F 1 /∂t. /∂t . As equa¸c˜

→

∂K Q˙ k = ∂P k e a transforma¸c˜ cao aõ é dita dit a canˆ canonica. oˆnica.

P ˙k =

∂K − ∂Q . k

(5.16)


5.1

125

Um exemplo e xemplo simples e importante de aplica¸c˜ cao aõ dessa teoria é dada pela escolha F 1 = qQ. coes o˜es (5.15) obtemos a transforma¸c˜ cão ao qQ. Aplicando as equa¸c˜ p =

∂F 1 =Q ∂q

P =

= −q. − ∂F ∂Q 1

(5.17)

Esse exemplo exemplo mostra mostra que as coordenad coordenadas as e os momen momentos tos são ao tratados tratados de forma equivalente no formalismo Hamiltoniano, podendo ser convertidos um no outro por uma simples transforma¸c˜ cao aõ canˆ ca nônic on ica. a. A deriva¸c˜ cão ao que fizemos acima, e que resulta em F 1(q,Q,t) cao aõ q,Q,t) como fun¸c˜ geratriz, parte da imposi¸c˜ cão ao do princ´ princ´ıpio de Hamilton Hamilton modificado nos dois conjuntos de vari´ avei a veis. s. Isso Isso,, por sua vez, requer requer a extre extremi miza¸ za¸ cão a o da a¸c˜ cão ao frente a caminhos caminhos que tenham as coordenadas co ordenadas iniciais iniciais e finais fixas. Da Da´´ı a liberdade de adicionarmos a fun¸c˜ cao aõ F 1 (q,Q,t). q,Q,t). O exemplo acima sugere que devam existir outras formas equivalentes de gerar transforma¸ cões oe s canˆ ca nônic on icas as onde a fun¸c˜ cao aõ geratriz dependa de outros conjuntos de vari´ aveis, aveis, como por exemplo, F 2 (q,P,t). Essas diferen diferentes tes formas formas para as fun¸ cões oes geratrizes gerat rizes são ao q,P,t). Essas uteis u ´ teis em diversas situa¸c˜ cões, oes, como veremos veremos adiante adiante.. Veremos eremos agora como generalizar o procedimento acima para obter essas formas alternativas. O ponto de partida para nossa demonstra¸ c˜ cão ao baseia-se do fato de que as equa¸c˜ cões oes de Hamilton Hamilton tamb´ também em podem ser obtidas a partir da imposi¸ cão ao

  − t2

δ

t1

n

qk p˙k

k=1



− H (q,p,t) q,p,t)

dt = 0.

(5.18)

com δp k (t1 ) = δp k (t2 ) = 0. Essa forma alternativ alternativaa do princ´ princ´ıpio de HamilHamilton é análoga a loga a` forma original com a troca p q e q p e o leitor pode facilmente verificar que ele leva as a`s mesmas equa¸c˜ coes o˜es de movimento de Hamilton. Voltando as a`s transforma¸ transforma¸c˜ coes o˜es canônicas, onicas, podemos agora combinar combinar essas diferentes formas do principio variacional. Por exemplo, podemos impor que

→

n



pk q˙k

k=1

n

− H (q,p,t) q,p,t) =

−

Qk P ˙k

k=1

→−

dF (q,P,t) q,P,t) − K (Q,P,t) Q,P,t) + . dt 2

(5.19)

onde δq k (t1) = δq k (t2) = 0 para as variáveis aveis originais e δP k (t1 ) = δP k (t2 ) = 0 para as nov novas coordenada coordenadas. s. Note que agora agora a liberdad liberdadee é de adicion adicionar ar a derivada total de uma fun¸c˜ cao a˜ o de q , P e t. Escre Escreve vendo ndo a deriv derivada ada total total


126

5.1

explicitamente e igualando os termos obtemos ∂F 2 pk = ∂q k Qk =

∂F 2 ∂P k

(5.20)

∂F 2 . ∂t Invertendo a escolha acima e fazendo δp k (t1 ) = δp k (t2) = 0 para as vari´ aveis aveis originais e δQ k (t1 ) = δQ k (t2 ) = 0 para as novas coordenadas obtemos K (Q,P,t) Q,P,t) = H (q(Q,P,t) Q,P,t), p(Q,P,t) Q,P,t), t) +

n

−

n

qk p˙k

k=1

− H (q,p,t) q,p,t) =

que resulta em qk =

− ∂F ∂p

P k =

∂F − ∂Q



P k Q˙ k

k=1

dF ( p, Q, t) − K (Q,P,t) Q,P,t) + dt 3

(5.21)

3

k 3

(5.22)

k

∂F 3 . ∂t Finalmente, escolhendo os momentos fixos tanto nas vari´ aveis aveis originais quanto nas novas obtemos K (Q,P,t) Q,P,t) = H (q(Q,P,t) Q,P,t), p(Q,P,t) Q,P,t), t) +

n

− k=1

n

qk p˙k

− H (q,p,t) q,p,t) =

que resulta em qk =

−

Qk P ˙ k

k=1

dF ( p, P, t) − K (Q,P,t) Q,P,t) + dt 4

(5.23)

− ∂F ∂p

Qk =

4

k

∂F 4 ∂P k

K (Q,P,t) Q,P,t) = H (q(Q,P,t) Q,P,t), p(Q,P,t) Q,P,t), t) +

(5.24) ∂F 4 . ∂t


5.2

127

As fun¸c˜ coes o˜es geratrizes F 1 (q,Q,t), q,Q,t), F 2 (q,P,t), q,P,t), F 3 ( p, Q, t) e F 4 ( p, P, t) formam as quatro maneiras fundamentais de se produzir transforma¸ c˜ cões oes canˆ onicas. onicas. A nomencl nomenclatur aturaa com os ´ındices ındices de 1 a 4 foi introduzida introduzida por Goldst Goldstein ein e tornoutornou-se se tradiciona tradicional. l. Em sistemas sistemas com mais mais de um grau de liberdad liberdadee essas quatro quatro formas formas podem ainda ainda ser combin combinadas adas.. Pa Para ra n=2, por exemplo, exemplo, podemos utilizar a forma 1 para q1 e p1 e a forma 2 para q2 e p2 : p1 q˙1 + p2 q˙2

dF ( F (q , q , Q , P , t) − H (q,p,t) q,p,t) = P Q˙ − Q P ˙ − K (Q,P,t) Q,P,t) + dt 1

1

1

2 2

2

1

2

cujas equa¸c˜ coes o˜es ficam p1 =

∂F ∂q 1

P 1 =

∂F − ∂Q

p2 =

1

K = H +

∂F ∂q 2

Q2 =

∂F ∂P 2

(5.25)

∂F . ∂t

O quadro abaixo mostra um resumo das quatro fun¸c˜ coes o˜es geratrizes b´ asicas: asicas:

F 1 (q,Q,t) q,Q,t)

pk = ∂F 1 /∂q k

F 2 (q,P,t) q,P,t)

pk = ∂F 2 /∂q k

P k =

−∂F /∂p

k

F 4 ( p, P, t)

−∂F /∂p

k

qk =

4

1

k

Qk = ∂F 2 /∂P k

F 3 ( p, Q, t) qk =

3

−∂F /∂Q

P k =

−∂F /∂Q 3

Qk = ∂F 4 /∂P k

K = H + ∂F 1 /∂t

K = H + ∂F 2 /∂t

k

K = H + ∂F 3 /∂t

K = H + ∂F 4 /∂t

128

5.2 5.2


5.2

Exem Exempl plos os de Tra rans nsfo form rma¸ a¸c˜ coes o ˜es Canˆ onicas onicas

A seguir apresentamos exemplos simples de transforma¸c˜ cões oe s canˆ ca nônicas onicas que ilustram o papel das fun¸c˜ cões oes geratrizes associadas.

Transforma¸c˜ c˜ ao ao ident id entid idade ade:: F 2 (q, P ) P ) = qP p = ∂F 2 /∂q = P

Q = ∂F 2 /∂P = q

Troca de coordenada por momento : F 1(q, Q) = qQ p = ∂F 1 /∂q = Q

P =

−∂F /∂Q = −q 1

Transforma¸c˜ coes o ˜es pontuais: F 2 (q, P ) P ) = f ( f (q)P p = ∂F 2 /∂q = P ∂ f /∂ q

Q = ∂F 2 /∂P = f ( f (q)

Evolu¸c˜ c˜ ao ao temporal temp oral infinitesimal infinit esimal:: F 2 (q, P ) P ) = qP + ϵH (q, P ) P ) p

= P + ϵ∂H ( ϵ∂H (q, P ) P )/∂q

Q = q + ϵ∂H ( ϵ∂H (q, P ) P )/∂P. Como a transforma¸c˜ cao aõ é pr´ proxima o´xima da identidade, podemos substituir P por cao: aõ: p na Hamiltoniana, gerando um erro da ordem de ϵ2 na transforma¸c˜ p

= P + ϵ∂H ( ϵ∂H (q, p)/∂q + O(ϵ2 )

Q = q + ϵ∂H ( ϵ∂H (q, p)/∂p + O(ϵ2 ). Usando agora as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton e reordenando obtemos P = p + ϵ p˙ + O(ϵ2 ) Q

≈ p( p(t + ϵ) = q + ϵq˙ + O(ϵ ) ≈ q(t + ϵ). 2

Evolu¸c˜ c˜ ao ao temp te mpor oral al:: F ( F (q,Q,t) q,Q,t) = S (q,Q,t) q,Q,t)

˜ ˆ EXEMPLOS EXEM PLOS DE TRANSFORMA TRAN SFORMAC C ¸ OES CANONICAS

5.2

129

Seja S(q,Q,t) S(q,Q, t) a a¸c˜ cao aõ de uma trajet´ oria oria com q(t1 ) = Q e q (t2 ) = q. Como a a¸c˜ cao aõ satisfaz as rela¸c˜ cões oes p( p(t1 ) =

−∂S/∂q( ∂S/∂q (t ) 1

p(t2 ) = ∂S/∂q( ∂S/∂q (t2)

vemos que a a¸c˜ cao aõ é a fun¸c˜ cao aõ geratriz da evolu¸c˜ cao ã o temporal, do tipo F 1. As coordenadas originais (q, (q, p) representam o ponto no espa¸co c o de fases no instante t2 enquanto (Q, (Q, P ) P ) representam o ponto inicial no instante t1 : P =

−∂S/∂Q

p = ∂S/∂q.

O fato de que a evolu¸c˜ cão ao temporal temp oral ocorre o corre ‘de traz tr az para par a frente’ ser´ a reinterpretado adiante quando estudarmos a equa¸c˜ cao ˜ de Liouville.

Vari´ aveis aveis de a¸c˜ c˜ ao ao e ˆ angulo angu lo para o oscila osc ilador dor harmˆ harm ˆ onico onico Seguindo a motiva¸c˜ cão ao inicial para misturar coordenadas e momentos em uma mudan¸ca ca de variáveis, aveis, procuramos aqui uma transforma¸c˜ cao a˜ o de (q, (q, p) para (Q, (Q, P ) onico. onico. Como P ) tal que K = K (P ) P ) para o oscilador harmˆ p2 mω2 q 2 + H (q, p) = , 2m 2 procuramos uma transforma¸c˜ cão ao do tipo p = f ( f (P )cos P )cos Q

q=

f ( f (P ) P ) sin Q, mω

que leva a nova Hamiltoniana a K =

1 2 f (P ) P ). 2m

A fun¸c˜ cao aõ f ( cão ao seja se ja f (P ) P ) deve ser escolhida de tal forma que a transforma¸c˜ canônica. onica. Dividindo uma equa¸c˜ cao ão pela outra obtemos p = mωq cot Q, o que nos leva a procurar uma fun¸c˜ cao ão geratriz do tipo F 1 : p = mωq cot Q = P =

−

∂F 1 ∂Q

=

∂F 1 ∂q

mωq 2 1 . 2 sin2 Q

→

F 1 (q, Q) =

mωq 2 2

cot Q

130


5.3

Da segunda equa¸c˜ cão ao obtemos q = q (Q, P ). Substituindo na express˜ express˜ ao ao para P ). Substituindo cao: aõ: p = p(q, Q) completamos a transforma¸c˜



2P mω

q=

sin Q

√2P mω cos Q. √ Isso mostra que a fun¸c˜ cao aõ procur pro curada ada é f ( f (P ) P ) = 2P mω e que K (P ) P ) = ωP . ωP . p =

Escrevendo as equa¸c˜ coes ões de Hamilton para K obtemos P = const. = E/ω e Substit stituin uindo do de volta volta na transfo transforma¸ rma¸ cão ao temos a solu¸c˜ cao aõ do Q = Q0 + ωt. ωt . Sub problema: q= p =



2E mω2

sin(Q sin(Q0 + ωt) ωt )

√2Em cos(Q cos(Q

0

+ ωt) ωt ).

Devido às as suas unidades dimensionais, as vari´ aveis Q e P são ao chamadas de vari´ aveis aveis de ângulo angulo e a¸c˜ cão a o e são ao geralmente renomeadas para ϕ e I .

Fun¸c˜ coes o ˜es geratrizes e transforma¸c˜ coes o ˜es de Legendre Podemos obter F 2 (q,P,t) cao aõ de Legendre de F 1 (q,Q,t) q,P,t) como uma transforma¸c˜ q,Q,t) onde tiramos Q e colocamos P no seu lugar:

−

F 2 (q,P,t) q,P,t) = F 1(q,Q,t) q,Q,t) + QP

com

− P = ∂F . ∂Q 1

Calculando a diferencial dos dois lados obtemos ∂F 2 ∂F 2 ∂F 1 ∂F 1 dq + dP = dq + dQ + P d P dQ + QdP. ∂q ∂P ∂q ∂Q O segundo e o terceiro termos a` direita se cancelam. Igualando termos com a mesma diferencial obtemos as regras de transforma¸c˜ cão ao para F 2 : ∂F 2 ∂F 1 = =p ∂q ∂q

∂F 2 =Q ∂P

Da mesma forma podemos mostrar que todas as fun¸c˜ coes o˜es F i conectam-se por transforma¸c˜ coes o˜es de Legendre similares.

˜ SIMPLETICA ´ FOR FO RMU MULA LAC C ¸ AO

5.3

5.3 5.3

131

Form ormula¸ ula¸ c˜ ao Simpl´ etica

O uso do principio variacional de Hamilton nos permite construir transforma¸c˜ coes o˜es canˆ onicas o nicas a partir de fun¸c˜ cões oes geratrizes arbitrárias arias envolvendo envolvendo sempre uma das variáveis aveis originais (q ou p) e uma das novas (Q ou P). No entanto, dada uma transforma¸c˜ cao, aõ, como saber sab er se ela e la é canˆ ca nˆ onica onica diretamente? A resposta a essa pergunta nos levar´ a ao conceito de Colchetes de Poisson [5, 15, 16]. Seja ent˜ ao ao Qi = Qi (q, p)

P i = P i (q, p)

i = 1, 2, . . . , n

(5.26)

uma mudan¸ca ca de variáveis aveis arbitrária. aria. Consideraremos por enquanto apenas transforma¸c˜ cões oes independentes do tempo. Derivando Qi em rela¸c˜ cão ao ao tempo e usando a conven¸c˜ cao aõ de soma sobre ´ındices ındices repetidos obtemos: ∂Q i ∂Q i ∂Q i ∂H Q˙ i = q˙k + p˙k = ∂q k ∂p k ∂q k ∂p k

− ∂Q ∂p

i

k

∂H . ∂q k

(5.27)

Escrevendo H (q, p) = K (Q(q, p), P ( P (q, p)) vemos que ∂H ∂K ∂Q l ∂K ∂P l = + ∂p k ∂Q l ∂p k ∂P l ∂p k

(5.28)

∂H ∂K ∂Q l ∂K ∂P l = + . ∂q k ∂Q l ∂q k ∂P l ∂q k substituindo em (5.27) obtemos Q˙ i

  

∂Q i ∂K ∂Q l ∂K ∂P l = + ∂q k ∂Q l ∂p k ∂P l ∂p k =

∂K ∂Q i ∂Q l ∂Q l ∂q k ∂p k

− ∂Q ∂p

i

k

∂P ∂Q − ∂p ∂q l

l

k

k

  

∂Q i ∂K ∂Q l ∂K ∂P l + ∂p k ∂Q l ∂p k ∂P l ∂p k

∂Q l ∂K ∂Q i ∂P l + ∂q k ∂P l ∂q k ∂p k

Analogamente obtemos ∂K ∂P l ∂Q l P ˙i = ∂Q l ∂q k ∂p k

−      +

∂K ∂P i ∂P l ∂P l ∂q k ∂p k

− ∂Q ∂p

i

k

(5.29)

∂P l . ∂q k

∂P − ∂P ∂p ∂q i

l

k

k

.

(5.30)

Para que essas equa¸c˜ coes o˜es sejam equivalentes as a`s equa¸c˜ cões oes de Hamilton Q˙ i = ∂K/∂P i e P ˙ i = ∂K/∂Qi devemos impor que

− {P , P } = {Q , Q } i

l q,p

i

l q,p

=0

e

{Q , P } i

l q,p

= δi,l

(5.31)

132


5.3

onde definimos os Colchetes de Poisson entre duas fun¸c˜ coes o˜es F e G por n

{F, G}

q,p

=

 k=1

∂F ∂G ∂q k ∂p k

−



∂F ∂G . ∂p k ∂q k

(5.32)

Note a semelhan¸ca ca entre os colchetes de Poisson das novas vari´ aveis aveis e os comut comutado adores res entre entre os operado operadores res de posi¸ posi¸ cão a o e momento da mecˆ anica anica quântica. antica. Toda essa manipula¸c˜ cao aõ alg´ ebrica ebrica pode p ode ser refeita de forma compacta e elegante usando a formula¸c˜ cao aõ simplética, etica, introduzida na se¸c˜ cao aõ 4.4. 4.4. Vamos amos fazer isso agora de forma geral, permitindo que a transforma¸c˜ cão ao dependa também em do d o tempo. Sejam (veja a equa¸ c˜ cão ao (4.16)) η=

 q p

ξ=

  Q P

(5.33)

vetores de dimensão ao 2n no espa¸co c o de fases. fases. A transf transform orma¸ a¸ c˜ cão a o canˆ onic on icaa é dada por ξ = ξ (η, t) e chamaremos de M ij ij = ∂ξ i /η j a matriz jacobiana da transforma¸c˜ cao. aõ. As equ equa¸ a¸c˜ cões oes de Hamilton nas vari´ aveis aveis originais origin ais são ao dadas por η˙ = J∂H/∂η onde a matriz J e o gradiente s˜ ao dados por (veja (4.17)) ao J =



0 1 1 0

−



∂ = ∂η

  ∂/∂q ∂/∂p

(5.34)

.

Para que a transforma¸c˜ cao aõ seja canônica onica precisamos mostrar que ξ˙ = J∂K/∂ξ. J∂K/∂ξ . Sabemos que K não ao ser´ a igual a H se a transforma trans forma¸¸c˜ cao aõ depender do tempo explicitamente. Calculando a derivada temporal de ξ obtemos ∂ξ i ∂ξ i ∂ξ i ∂H ∂ξ i = M ij = M ij + ξ˙i = η˙ j + . ij η˙ j + ij J jk ∂η j ∂t ∂t ∂η k ∂t

(5.35)

Escrevemos agora a nova Hamiltoniana K em termos de H como K (ξ, t) = H (η (ξ, t), t) + A(ξ, t)

(5.36)

onde A é um umaa fun¸ fu n¸c˜ cao aõ arbitr´ aria que devemos determinar. Invertendo temos aria H (η, t) = K (ξ (η, t), t)

− A(ξ(η, t), t).

(5.37)

Derivando H em rela¸c˜ cao aõ a` ηk e usando a defini¸c˜ cão ao de M obtemos ∂H ∂K ∂ξ j = ∂η k ∂ξ j ∂η k

−

∂A ∂ξ j = (M T )kj ∂ξ j ∂η k



∂K ∂ξ j

−

∂A ∂ξ j



.

(5.38)

˜ SIMPLETICA ´ FOR FO RMU MULA LAC C ¸ AO

5.3

133

Escrevendo (5.35) e (5.38) em nota¸ c˜ cao ão matricial vemos que ∂H ∂ξ ∂K + = M J M T ξ˙ = M J ∂η ∂t ∂ξ

T ∂A

− M J M

∂ξ

+

∂ξ . ∂t

(5.39)

A condi¸c˜ cão ao para que a transforma¸c˜ cão ao seja canˆ onic on icaa é ent˜ entao aõ M J M T = J .

(5.40)

As matrizes que satisfazem a equa¸c˜ cão a o (5.40) são ao ditas simpl´ simpléticas eticas e formam um grupo, chamado de grupo simplético etico ou grupo das transforma¸c˜ coes ˜ canônicas. onicas. Além em disso, temos uma equa¸c˜ cao aõ para a corre¸c˜ cao aõ A na HamiltoniHamiltoniana caso a transforma¸c˜ cão ao dependa explicitamente do tempo: ∂A ∂ξ = J . ∂ξ ∂t

(5.41)

Note que a equa¸c˜ cão ao (5.40) (5. 40) é equi e quivalent valentee as a`s rela¸c˜ coes ões (5.31), pois o colchetes colchetes de Poisson também em pode po de ser escrito na nota¸ cão ao simpl´ sim plética eti ca como com o

{F, G}

η

∂F T ∂G = J ∂η ∂η

(5.42)

onde o vetor à esquerda esquer da é transpos trans posto, to, vetor linha (quando (quan do for poss pos s´ıvel omio mitiremos o s´ımbolo ımbolo ‘T’ para simplificar simplificar a nota¸ c˜ cao). aõ). Pa Para ra F = ξk e G = ξl teremos, usando a nota¸c˜ cão ao de Einstein,

{ξ , ξ } k

l η

∂ξ k T ∂ξ l T T = = M mk J mn J mn mn mn M ln ln = M km km J mn mn M nl ∂η m ∂η n

Note ainda que

{η, η} = J

(5.43)

{ }

{

}

onde a matriz mat riz do lado esquerdo e squerdo é definida de finida como c omo η, η ij = ηi , η j . Finalmente vamos mostrar a rela¸c˜ cão ao que a fun¸c˜ cao aõ A tem com as fun¸c˜ cões oes geratrizes geratrizes da se¸c˜ cao aõ anterior. Para isso escrevemos primeiramente as condi¸ cões oes (5.41) explicitamente em termos de Q e P : P : ∂A = ∂Q

− ∂P ∂t

∂A ∂Q = ∂P ∂t

(5.44)

e escrevemos A em termos de uma fun¸c˜ cao aõ auxiliar F como A(Q,P,t) Q,P,t) =

∂F ( ∂F (q,P,t) q,P,t) ∂t

|

q =q (Q,P,t) Q,P,t)

(5.45)

134


ou ainda

5.4

∂F ( ∂F (q,P,t) q,P,t) = A(Q(q,P,t) q,P,t), P , t) t). ∂t

(5.46)

Derivando (5.46) em rela¸c˜ cao aõ a q e usando a primeira das equa¸c˜ cões oes (5.44) obtemos ∂ 2 F ∂A ∂Q ∂Q ∂P ∂ 2 F = + =0 (5.47) ∂q∂t ∂Q ∂q ∂q ∂t ∂q∂t

→

Da mesma forma, derivando (5.46) em rela¸c˜ cao aõ a P e usando (5.44) temos ∂ 2 F ∂A ∂Q ∂A = + ∂P∂t ∂Q ∂P ∂P

→

∂Q ∂ 2 F ∂P ∂Q = + ∂t ∂P∂t ∂t ∂P

(5.48)

Essas equa¸c˜ coes o˜es são ao as versões oes diferenciais das rela¸c˜ coes ões que definem transforma¸c˜ cões oes canônicas onicas com a fun¸c˜ cao ã o geratriz do tipo F 2. De fato fato,, partin partindo do de ∂F 2 ∂F 2 (5.49) p = Q= ∂q ∂P e derivando cada uma dessas equa¸c˜ coes o˜e s em e m rel r ela¸ a¸c˜ cao aõ ao tempo com Q = Q(q,p,t), q,p,t), aveis independentes independentes obtemos P = P ( P (q,p,t) q,p,t) e tomando q e p como variáveis ∂ 2 F ∂ 2 F ∂P 0= + ∂q∂t ∂q∂P ∂t ∂Q ∂ 2 F ∂ 2 F ∂P = + ∂t ∂P∂t ∂P 2 ∂t

→

∂Q ∂P ∂ 2F + =0 ∂q ∂t ∂q∂t

(5.50)

∂Q ∂Q ∂P ∂ 2 F = + . ∂t ∂P ∂t ∂P∂t

(5.51)

→

que são ao as equa¸c˜ coes ões (5.47) e (5.48). Vemos ent˜ ao que F é a fun¸ fu n¸c˜ cao aõ geratriz da transforma¸c˜ cão ao e que a nova Hamiltoniana deve ser acrescida da derivada parcial de F em rela¸c˜ cao aõ ao tempo.

Exemplo Considere F 2 (q,P,t) transforma¸ a¸c˜ cão canônica é q,P,t) = qP + P 2 t/2. t/2. A transform dada por P = p e Q = q + pt. coes o˜es (5.44) resultam pt. As equa¸c˜ ∂A = ∂Q

=0 − ∂P ∂t

∂A ∂Q = = p = P. ∂P ∂t

Por integra¸c˜ cão ao obtemos A(Q, P ) P ) = P 2 /2, que coincide com ∂F 2 /∂t como deveria.

´ O GRUPO SIMPLETICO

5.5

5.4

135

O Grupo Simpl´ etico etico

O conjun conjunto to das transfo transforma¸ rma¸ cões o es canˆ canonicas oˆnicas forma forma um grupo, grupo, cham chamado ado de grupo simplético. etico. Vamos mostrar, mostr ar, primeiramente, primeira mente, que duas transforma¸ tra nsforma¸ cões oes canônicas onica s aplica a plicadas das sucessivamente suces sivamente formam forma m também em uma transforma trans forma¸¸c˜ cao ˜ can c anˆônic on ica. a. Sejam as transforma¸c˜ cões oes de η Como mo suas suas ξ , ξ (η, t) e de ξ ν , ν (ξ, t). Co matrizes jacobianas s˜ ao ao simpléticas etica s teremos: tere mos:

→

M =

∂ξ ∂η

→

M J M T = J (5.52)

N =

∂ν ∂ξ

N J N T = J

→

Vamos mostrar que a transforma¸c˜ cao aõ direta, η ν , dada por ν = ν (η, t) também em é simplética. etica. Com isso teremos mostrado que o ’produto’ de duas transforma¸c˜ cões oes canˆ onic on icas as tamb´ ta mbém em é canˆ ca nˆ onica. onica. A prova prova é bastante simples. ∂ν Seja O = ∂η . En Ent˜ t˜ ao, ao, usando a regra da cadeia é f´ acil acil ver que O = N M e, portanto, OJ OT = N M J (N M )T = NMJM T N T = N J N T = J.

(5.53)

→

Vejamos agora a transforma¸c˜ cao aõ inversa, de ξ η dada por η = η (ξ, t) com matriz jacobiana U . regr a da cadeia é f´ acil acil ver que U M = 1, i.e., U . Pela regra −1 ao temos que U = M . Então U J U T = M −1 J (M −1 )T = M −1 M J = J

(5.54)

onde usamos a equa¸c˜ cao aõ (5.40) multiplicada por (M (M −1)T pela direita dos dois lados na ultima u´ltima passagem. Vemos ent˜ ao ao que a transforma¸ transforma¸c˜ cao aõ invers inve rsaa tamb´ t ambém em é canonica. oˆnica. Como a identidade identidade é obviament obviamentee simpl´ simplética, etica, temos todas as propriedades b´ asicas asicas de um grupo.

5.5 5.5

Tra rans nsfo form rma¸ a¸ c˜ coes o ˜es Infinitesimais e a Identidade de Jacobi

Transforma¸ c˜ cões oes canˆ onicas onicas infinitesimais são ao uteis u ´ teis em diversas situa¸c˜ cões, oes, particularmente ticularmente no desenvol desenvolvimen vimento to da teoria de perturba¸c˜ coes ˜ que que verem veremos os adiant adiante. e. Podemos Podemos gerar uma transfor transforma¸ ma¸ c˜ ao ao infinitesimal arbitrária a ria com o

136


5.5

aux´ılio ılio da fun¸ func˜ çao ão geratriz do tipo F 2 . Seja então ao n

F 2(q, P ) P ) =



qi P i + ϵG( ϵG(q,P,t) q,P,t).

(5.55)

i=1

O primeiro termo gera a transforma¸c˜ cao aõ identidade, e o segundo é assumido pequeno, ϵ << 1. As regras da transforma¸c˜ cao aõ para F 2 resultam em ∂F 2 ∂q i

pi = Qi =

∂F 2 ∂P i

∂G (q,P,t) q,P,t) = P i + ϵ ∂G( ∂q i ∂G (q,P,t) q,P,t) = qi + ϵ ∂G( ∂P i

ou P i = pi

(5.56)

−ϵ

∂G( ∂G (q,p,t) q,p,t) ∂q i

+ O(ϵ2 ) (5.57)

∂G (q,p,t) q,p,t) + O(ϵ2 ). Qi = qi + ϵ ∂G( ∂P i

Em nota¸c˜ cão ao simplética etica essas equa¸c˜ coes o˜es ficam ξ = η + ϵJ∂G/∂η + O(ϵ2 ) ou caõ é δη = ξ η = ϵJ∂G/∂η + O (ϵ2 ) . A matriz da transforma¸c˜

−

∂ 2 G M = 1 + ϵJ 2 ∂η onde

 ≡ ∂ 2 G ∂η 2

ij

∂ 2 G ∂η i ∂η j

é uma matriz matri z simétrica. etric a. De fato, como J T = T

M = 1

−

(5.58)

(5.59)

−J , temos que

∂ 2 G ϵ 2 J ∂η

(5.60)

e M J M T = J + O(ϵ2 ). Vamos agora usar a idéia eia de transforma¸c˜ coes o˜es infinitesimais para demonstrar a Identidade de Jacobi. Seja u(η) uma fun¸c˜ cão ao das variáveis aveis canônicas onicas e cão ao canˆ onica infinitesimal gerada por F 2 = qP + onica ξ = η +δη uma transforma¸c˜ qP +ϵC . Ent˜ ao ao δu = u(η + δη) δη )

∂u ∂C = ϵ{u, C }. − u(η) = ∂u δη = ϵ J ∂η ∂η ∂η

(5.61)

˜ ˜ EQUAC ¸ OES DE MOVIMENTO E LEIS DE CONSERVAC CONSERVAC ¸ AO

5.6

137

Tomemos agora duas fun¸c˜ cões oes arbitr´ arias arias A(η ) e B (η ). En Ent˜ t˜ ao, ao, usando usando (5.61) e a regra da cadeia temos que:

{

} → δ{A, B } = ϵ{{A, B }, C } = {δA,B } + {A,δB } (b) Para u = A → δA = ϵ{A, C } (c) Para u = B → δB = ϵ{B, C }. (a) Para u = A, B

Assim vemos que

{{

} } {{

} } { {

}} }}

ϵ A, B , C = ϵ A, C , B + ϵ A, B, C

(5.62)

ou ainda, usando a propriedade de antisimetria dos colchetes de Poisson,

{{A, B }, C } + {{B, C }, A} + {{C, A}, B} = 0

(5.63)

Identidade e de Jacobi Jacobi. Essa que qu e é a Identidad Essa demon demonst stra¸ ra¸ c˜ cão ao é devida a Nivaldo Nivaldo Lemos Lemos [14] [14] e foi foi pu publ blic icada ada em [17] [17].. Outra Outrass propri proprieda edades des impor importan tantes tes do colchetes de Poisson s˜ ao: ao:

{ } (2) {F, G} = −{G, F } (3) {aF + bG,H } = a{F, G} + b{G, H } (4) {FG,H } = F {G, H } + {F, H }G (1) F, F = 0

5.6

Equa¸c˜ c˜ oes de Movimento e Leis de Conoes serva¸c˜ ao

Para qualquer fun¸c˜ cão ao u das variáveis aveis canˆ onicas onicas q e p e do tempo, temos que du = dt

 k

∂u q˙k + ∂q k

 k

∂u ∂u p˙ k + . ∂p k ∂t

(5.64)


138

5.6

Na nota¸c˜ cao aõ simplética etica a mesma m esma express˜ expre ss˜ ao ao fica du ∂u ∂u ∂u ∂H ∂u ∂u = = + = u, H + η˙ + J . dt ∂η ∂t ∂η ∂η ∂t ∂t

{

}

(5.65)

Para os casos particulares u = qk ou u = pk obtemos

{

}

q˙k = qk , H =

∂H ∂p k

} − ∂H ∂q

{

p˙k = pk , H =

(5.66)

k

ou, em nota¸c˜ cão ao simp si mpl´ létic et ica, a,

{

}

η˙ = η, H =

∂η ∂H ∂H = J J . ∂η ∂η ∂η

(5.67)

Para u = H ,

dH ∂H ∂H = H, H + = (5.68) . dt ∂t ∂t Finalmente, se u é uma constante do movimento, de forma que sua derivada total em rela¸c˜ cao aõ ao tempo é zero, ent˜ ao ao

{

}

∂u = H, u . ∂t

{

}

(5.69)

Constantes de movimento s˜ ao ao extremamente uteis u´teis na solu¸c˜ cao aõ das equa¸c˜ coes o˜es de movimento, pois são ao rela¸c˜ coes o˜es explicitas entre as vari´ aveis aveis do problema que permitem efetivamente reduzir o n´ umero de coordenadas independentes. umero Nesse sentido, o seguinte segu inte resultado é importante: imp ortante: se u e v são ao duas constantes do movimento, então, ao, pela identidade de Jacobi, H, u, v = 0 e u, v é uma nova constante de movimento. Temos ent˜ ao, aparentemente, uma forma ao, de gerar novas constantes do movimento a partir de duas conhecidas. No entanto, na maioria dos casos, as novas constantes geradas s˜ ao ao triviais, como por exemplo u, v = 1.

{ { }}

{ }

{ }

Exemplo 5.6.1 - Seja H = p2 /2 1/2q 2 e considere a fun¸cão D(q,p,t) q,p,t) = c onstante nte do movimento. movim ento. PrimeiraPrime ira pq/2 pq/2 H t. Vamos mostrar que D é uma consta mente notamos que ∂D/∂t = H . O colchet colchetes es de Po Pois isso son n entre entre H e D é: e: 1 1 H, D = H,pq/2 H,pq/2 = 14 p2 , pq 4 q 2 , pq

−

−

−

{

}

{

}

= 14 ( 2 p2 )

−

{

1 4

2

  }− 2

1 /2q − (−2/q ) = − p /2 + 1/

2

=

−H.

˜ ˜ EQUAC ¸ OES DE MOVIMENTO E LEIS DE CONSERVAC CONSERVAC ¸ AO

5.6

139

Portanto, ∂D/∂t = H, D e D˙ = 0.

{

}

Exemplo 5.6.2 Considere a equa¸c˜ cão ao de movimento para uma fun¸c˜ cão ao u(η ) que não ao dependente explicitamente do tempo, du = u, H . dt

{

}

Expandindo a solu¸c˜ cao aõ u(t) = u(η (t)) em série erie de Taylor em e m torno de t = 0 obtemos du t2 d2u + + .... u(t) = u(0) + t dt t=0 2 dt2 t=0 Usamos agora a rela¸c˜ cão ao entre a derivada total e os Colchetes de Poisson para escrever 2 u(t) = u(0) + t u, H 0 + t2 u, H , H + . . .

{



}

{{

t2 2

{· }

= 1 + t , H 0 + {·,H }t

≡e

u0

} }

{{·, H }, H } + . . .



u0

(5.70)

≡ L(u ). 0

O operador

L=e

{·,H }t

é conhecido co nhecido como Liouvilliano. L iouvilliano. Note a semelhan¸ca ca entre a evolu¸c˜ cao aõ temporal clássica assica da fun¸c˜ cão ao u e a evolu¸c˜ cao aõ temporal quˆ antica antica de uma fun¸c˜ cao aõ de onda, −iHt/ dada por ψ (t) = e ψ (0) .

|

⟩

|

⟩

cão ao de um problema simples usando o Exemplo 5.6.3 Vamos achar a solu¸c˜ 2 operador de Liouville. Seja H = p /2m + gq. ao vemos que gq . Então 2

{q, H } = {q, p /2m} = p/m {{q, H }, H } = { p/m, H } = { p/m, gq } = −g/m. Como o segundo colchetes deu constante, os colchetes de ordem superior se anulam e a série erie é finita. finita . Da mesma forma

{ p, H } = { p, gq } = −g

140


5.7

e o resto da série erie também em se anula. Ent˜ ao, ao, usando (5.70) para u = q e u = p obtemos q (t) = q (0) + pt/m gt2 /2m

−

p( p(t) = p(0)

5.7 5.7

− gt.

Inv In var aria ian ntes tes Canˆ Canˆ onicos onicos

Uma das grandes vantagens vantagens de se trabalhar no formalismo formalismo de Hamilton Hamilton é que algumas quantidades quantidades importantes importantes são ao invarian invariantes tes pela escolha do sistema de coordenadas canˆ onico. o nico. Como Como a pr´ opria opria evolu¸c˜ cao aõ temporal temp oral é uma transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica, onica, essas essas quanti quantidade dadess s˜ ao ao invariantes pela dinâmica. amica. Dentre essas, três es s˜ ao particularmente importantes: os colchetes de Poisson, ao o invarian invariante te integral integral de Poincar´ Poincaré-Cartan e-Cartan e o elemento elemento de volume volume no espa¸ co de fase fases. s. Esse Esse ultimo, u ´ ltimo, em particular, tem como conseq¨ uˆ uência encia o teorema teor ema de Liouville.

5.7. 5.7.1 1

Os Colc Colche hete tess de de Poi Poisso sson n

Sejam u(η ) e v (η) duas fun¸c˜ coes ões suaves das variáveis ave is canˆ ca nônic on icas as η e

{u, v}

η

∂u T ∂v = J ∂η ∂η

(5.71)

os colchete colchetess de Poiss Poisson. on. Conside Consideremo remoss agora agora uma transfo transforma¸ rma¸ cão ao canˆ onica onica ao η ξ . Então ∂u ∂u ∂ξ j ∂u ∂u = = M ji = (M T )ij , ∂η i ∂ξ j ∂η i ∂ξ j ∂ξ j ou ∂u ∂u T ∂u T ∂u = M = e M ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ

→

com express˜ oes oes similares para a fun¸c˜ cão ao v . Então ao

{u, v}

η

∂u T ∂u T ∂v T ∂v = = M J M J = u, v ξ . ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ

{ }

(5.72)

Dessa forma, o colchetes de Poisson entre duas fun¸c˜ coes o˜es u e v tem o mesmo valor se calculado em qualquer sistema de coordenadas canˆ onico. onico.

ˆ INVARIANTES CANONICOS

5.7 Λη t

p

Λξ t

P

γ η

t

η

141

γ ξ

ξ

t

q

Q

Λ p,P t

γ q,Q

Figur Figuraa 5.1: 5.1: A curv curvaa γ η é levada le vada em γ ξ pela transforma¸c˜ cão a o canˆ onic o nica. a. No espa¸co co de fases duplo a curva é γ .

5.7.2

O invariante invariante de Poincar´ Poincar´ e-Cartan e-Cartan

Considere uma transforma¸cão canonica oˆnica gerada por uma fun¸c˜ cão ao do tipo F 1 (q,Q,t) q,Q,t) [8, 3]. Calculando a diferencial de F 1 obtemos, com a conven¸c˜ cao aõ de Einstein, dF 1 =

∂F 1 ∂F 1 ∂F 1 dqk + dQk + dt ∂q k ∂Q k ∂t

(K − H )dt. )dt. − P dQ + (K = ( p dq − H dt) − (P dQ − K dt). = pk dqk k

k

k

k

k

k

Como dF 1 é uma diferencial exata, sua integral em qualquer curva fechada é nula. nula . Considere Consid ere ent˜ ao ao uma curva fechada γ η no espa¸co co de fase estendido Ληt de dimensão ao 2n + 1 onde os eixos são a o as 2n 2n coordenadas e momentos q e p e o tempo t. Sup Suponh onhaa que que a curv curva seja seja parame parametri triza zada da por τ : τ : γ η = (q (τ ) τ ), p(τ ) τ ), t(τ )). τ )). Essa curva é levada em γ ξ = (Q(τ ) τ ), P ( P (τ ) τ ), t(τ )) τ )) pela transforma¸c˜ cão ao canˆ onica, onica, no espa¸co co estendido Λξt . Finalmente, no espa¸co c o de fases ‘duplo estendido’ Ληξt de dimensão ao 4n + 1 com eixos q,Q,p,P,t temos a curva γ = (q(τ ) τ ), Q(τ ) τ ), p(τ ) τ ), P ( P (τ ) τ ), t(τ )) τ )) (veja a figura 5.1).

142


5.7

Integrando dF 1 sobre γ obtemos

   dF 1 =

γ

ou

( pk dqk

γ η

( pk dqk

γ η

− H dt)

− H dt) =

Portanto, a integral

S =

 ·

 − 

(P k dQk

γ ξ

( p dq

γ

(P k dQk

γ ξ

− K dt) = 0

− K dt).

− H dt)

(5.73)

(5.74)

(5.75)

é um invariante invaria nte canˆ canonico oˆnico para qualquer curva fechada γ no co de fases esγ no espa¸co tendido (q,p,t (q,p,t). ). Note que quando parametrizamos a curva γ com ametro γ com o parâmetro [0, 1], o invariante pode ser escrito como τ [0,

∈

  1

S =

0

∂q p( p(τ ) τ ) ∂τ

·

−



∂t dτ H (q(τ ) τ ), p(τ )) τ )) ∂τ

(5.76)

Veremos agora algumas aplica¸c˜ coes o˜es desse invariante. (1) Se a transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica for independente do tempo, ∂F/∂t = 0 e a onica equa¸c˜ cao aõ (5.74) se reduz a



γ η

(2) Invariancia de

pk dqk =



P k dQk .

(5.77)

γ ξ

cao aõ temporal S pela evolu¸c˜

Considere a curva fechada γ 0 = (q0 (τ ) τ ), p0(τ ) τ ), t0 (τ )) τ )) parametrizada por Cadaa pon ponto to nessa nessa curv curvaa pode ser pensado pensado como uma condi¸ condi¸ cão ao inicial, τ . τ . Cad e sua trajetória oria subsequente subsequente pode ser obtida integrando-se integrando-se as equa¸ cões o es de movim movimen ento. to. Note que cada uma dessas dessas trajet´ orias come¸ca ca em um instante diferente, diferente, pois t0 = t0 (τ ). τ ). O caso particular t0 = const corresponde a iniciar todas as trajet´ orias o rias no mesm mesmoo insta instant nte. e. A propag propaga¸ a¸ c˜ cao aõ desse conjunto de trajetórias orias gera um tubo no espa¸co co de fases extendido, como mostra a figura (5.2). (5.2). Como Como a evolu¸ evolu¸ c˜ cao aõ temporal é uma transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica, onica, ent˜ ao, a o, a integral de ( p dq H dt) sobre qualquer curva γ t correspondente correspondente a` evolu¸c˜ cao aõ

· −


5.7

143

q p

γ

t

Figura 5.2: Tubo de trajet´ orias formado pela propaga¸c˜ orias cão ao das condi¸c˜ coes o˜es iniciais sobre a curva fechada γ . temporal da curva γ 0 ter´ a o mesmo valor. Na verdade é poss´ poss´ıvel mostrar mo strar que a integr integral al ser´ será a mesma mesma para qualquer qualquer curva curva que envo envolv lvaa o tubo de trajetórias o rias e será nula para qualquer curva que possa ser reduzida a um ponto por deforma¸c˜ cões oes cont´ cont´ınuas sobre a superf´ superf´ıcie do tubo. Para mostrar esse resultado notamos primeiramente que a integral sobre uma curva que envolve uma area a´rea fechada do tubo pode ser quebrada em pequenas integrais de linha linha sobre sobre quadrad quadradinh inhos os nessa nessa superf superf´ıcie, ıcie, como mostra mostra a figu figura ra 5.3a. 5.3a. As integrais nas partes internas dos quadrados se anulam, pois s˜ ao ao sempre percorridas percorr idas duas dua s vezes, uma vez em cada cad a dire¸c˜ cao. ˜ Esse quadradinhos podem ser constru´ constru´ıdos da seguinte seguinte forma: na curva curva original original γ 0 marcamos pontos espa¸cados cados de dτ dτ .. Cada um desses pontos é propagado gerando um conjunto conjunto de linhas (suas trajetórias). orias). A cada passo de tempo dt desenhamos a curva curvas que envolvem envolvem o tubo. As trajet´ orias γ t , gerando um outro conjunto de curvas e as curvas γ t geram um reticulado sobre o tubo, como ilustrado na figura 5.3b. Vamos mostrar que a integral (5.75) em uma curva fechada sobre o tubo que pode ser contra´ contra´ıda a um ponto é nula. Para isso basta mostrar que a integral integral sobre cada pequeno quadradinho quadradinho fechado fechado é nula (figura 5.3c). Pela sua constru¸c˜ cao, aõ, o vetor representando o lado do quadrado na dire¸ c˜ cao a˜ o da ′ ′ ′ trajetória ori a é (q,˙ p, ˙ 1)dt 1)dt, e na dire¸c˜ cao aõ perpendicular, (q (q , p , t0)dτ )dτ ,, onde usamos a linha para indicar derivadas em rela¸c˜ cão à τ , τ , e o ponto para derivadas em rela¸c˜ cão à t. Note Note que o valor alor da vari´ variavel a´vel tempo no canto inferior esquerdo é t0 (τ ) enquanto que no canto superior esquerdo é t0(τ + dτ ) τ ) + t, enquanto τ ) + t = ′ ′′ 2 t0 (τ ) τ ) + t + t0 (τ )d τ )dτ τ + t0 (τ )d τ )dτ τ /2. A figura 5.3(c) mostra o valor aproximado


144

5.7 (b)

(a)

q p

dτ

dt

γ

0

t

(c) q + q dτ p +p dτ

’ ’

. .

q + q dt + q d τ p + p dt + p d τ t 0 + t + dt + t0 d τ

3

x

’

t0 + t + t 0 d τ

’ ’

’

ν

q

(d)

p

4

x

T1

x 2

T2

Λ

γ q

0

x

p

. q + q dt . p + p dt

1

t0+ t

t

t 0 + t + dt

Figura 5.3: Tubo de trajet´ orias formado pela propaga¸c˜ orias cao aõ das condi¸c˜ cões oes iniciais sobre a curva fechada γ . de q , p e t nos quatro vértices. ertices. Ao fazer a integral de d e linha ao longo dos lados vamos avaliar p e H (q, p) no no p ponto onto médio edio do lado. O cálculo alculo da integral integr al para p ara cada um dos lados, numerados de 1 a 4 na figura, deve ser feito com cuidado, mantendo termos até ordem 2 em dt e dτ : dτ :

S

1

= ( p + pd p˙dt/2)(˙ t/2)(˙qdt + q¨dt2 /2) H (q + q˙dt/2 t/2, p + pd p˙dt/2)d t/2)dtt 2 2 = pq˙dt + p˙q˙(dt (dt) /2 + pq¨dt /2 H dt (∂H/∂q) (dt)2/2 (∂H/∂p) ∂H/∂q)q˙(dt ∂H/∂p) p(d p˙(dtt)2/2 = pq˙dt + p˙q˙(dt (dt)2 /2 + pq¨dt2 /2 H dt

− − −

−

−

onde usamos as equa¸c˜ cões oes de Hamilton para cancelar os dois termos. t ermos.

S

2

= ( p + pd 2)(q ′ dτ + q ′′ dτ 2 /2) p˙dt + p′ dτ /2)(q 2)(t0′ dτ + t′′0 dτ 2/2) H (q + q˙dt + q ′ dτ /2, p + pd p˙dt + p′ dτ /2)(t = pq ′ dτ + q ′ pd p˙dtdτ + pq ′′ dτ 2 /2 H t0′ dτ H t′′0 dτ 2 /2+ (q ′ p′ + pq ˙ ′ t0′ qp ˙ ′ t0′ )(dτ )(dτ ))2 /2

−

−

−

−


5.7

145

onde já cancelamos dois termos da expans˜ ao a o de H usando novamente as equa¸c˜ cões oes de Hamilton. Da mesma forma obtemos

S

3

= ( p + pd p˙dt/2 t/2 + p′ dτ )( τ )( q˙dt q¨dt2 /2) H (q + q˙dt/2 t/2 + q ′ dτ, p + pd p˙dt/2 t/2 + p′ dτ )( τ )( dt) 2 2 = pq˙dt p¨ (dt) /2 pq ˙ ′ dtdτ pq¨dt /2 + H dt p˙q˙(dt

− −

− − −

−

−

−

e

S

4

= ( p + p′ dτ /2)( q ′ dτ q ′′ dτ 2 /2) H (q + q ′ dτ /2, p + p′ dτ /2)( t0′ dτ t′′0 dτ 2 /2) = pq ′ dτ pq ′′ dτ 2 /2 + H t0′ dτ + H t′′0 dτ 2 /2 (q′ p′ + pq ˙ ′ t0′ qp ˙ ′ t0′ )(dτ )(dτ ))2/2.

− −

−

−

−

−

−

−

−

Finalm Finalmen ente, te, a integr integral al no circui circuito to completo completo é obtida obtida somando somando as quatro quatro contribui¸c˜ coes, o˜es, que se cancelam cancelam exatamen exatamente te at´ até ordem ordem 2. Se o n´ umero de parti¸c˜ coes o˜es temporais temp orais é N e de parti¸c˜ coes o˜es em τ é M , o erro acumulado no cálculo alculo da integral sobre os N M quadra qua dradin dinhos hos é N M (3) que vai a zero quando dt e dτ vão ao a` zero. Isso mostra que a integral sobre a curva fechada de fato é nula. Na figura 5.3(a) a ilustra¸c˜ cão ao mostra N = 3 e M = 2. Note que se tivéssemos essemo s feito o c´ alculo em primeira ordem apenas o erro seria N M (2) alculo que fica finito no limite dt e dτ indo a` zero, invalidando a prova. Por exemplo, NMdtdτ = (N dt)( Da´´ı a importˆ impo rtância ancia em fazer o c´ alcu al culo lo at´ at é dt)(M M dτ ) dτ ) t. Da ordem 2. Vamos agora imaginar uma curva qualquer ν sobre o tubo. tu bo. Constru Const ru´´ımos uma superf´ superf´ıcie Λ fazendo uma pequena abertura em γ 0 e levando as tra jetórias orias nas fronteiras fronteiras da abertura até ν , como como most mostra ra a fig figur uraa 5.3d 5.3d.. A superf sup erf´´ıcie Λ é um tubo tub o aberto abe rto limitado limitad o p pelas elas curvas γ 0 , T 1, ν e T 2 . Como a integral total é nula e as integrais sobre T 1 e T 2 se cancelam, a integral sobre γ 0 tem que ser igual à integral sobre ν , demonstrando o teorema. Um caso particular do teorema ocorre para curvas curvas onde t(τ ) τ ) = t0 = const. const. Para curvas γ 1 no plano t = t1 > t0 teremos dt dt = 0 ao longo das curvas iniciais e finais e a equa¸c˜ cao ão (5.75) se reduz a`

O

O

→

−



γ 0

pk dqk =



γ 1

pk dqk .

(5.78)


146

5.8

(3) Invariˆ ancia ancia das areas a´reas na Se¸c˜ cão ao de Poinc Poi ncar´ aré Considere Considere um sistema sistema com dois graus de liberdade. O mapa de Poincar´ Poincaré (q1 , p1 ) é obtido marcando-se neste plano as interseç cões oes das trajet´ orias orias com a superf´ıcie ıcie gerada pela interseç c˜ cao a˜ o de ΣE = (q, p) t.q. H (q, p) = E com Σ2 = (q, p) t.q. q2 = 0 e p2 > 0 . Em outras palavras, para cada trajet´ oria oria com energia E , marcamos os pontos (q (q1, p1 ) toda vez que q2 = 0 com p2 > 0. Note Note que que o tempo tempo que que uma trajet trajet´ oria o´ria demora para voltar voltar à se¸ c˜ cao a˜ o de Poincaré é diferente difer ente para cada trajet´ tra jet´ oria. oria. No caso do oscilad oscilador or harmˆ onico bidimensional bidimensional esse tempo é constante, constante, igual a 2π/ω2 . Con Consid siderem eremos os ent˜ entao aõ uma curva fechada γ 0 sobre a se¸c˜ cao aõ de Poincar´ Poincar´ e. e. Nessa curva q2 = 0 e dq2 = 0. Além em disso, como H = E , H dt = E dt = 0. Propagan Propagando do essa curva geramos um tubo de trajet´ orias orias que fura a se¸c˜ cao aõ novamente em alguma curva fechada γ 1 . Ness Nessaa curva curva dt dt = 0, pois os pontos atingem a se¸c˜ cao aõ em tempos distintos. distintos. No entanto, entanto, como H é constante, o termo da integral em ao contribui. Ent˜ ao ao equa¸c˜ cao ão (5.75) se reduz a` H dt não

{

{

}

̸





p1dq1 =

γ 0

}





p1 dq1 ,

(5.79)

γ 1

que mostra a preserva¸c˜ qualqu quer er c˜ ao ao de ´ areas are as na se¸ se c˜ ção de Poi Po incar´ e: qual área area envolvida por uma curva fechada ser´ a mapeada em outra regi˜ ao ao fechada envolvendo exatamente a mesma area. a´rea.

5.8 5.8

O teor teorem ema a de Liou Liouvi vill lle e

Seja dη dη = dq1 . . . dqn d p1 . . . d pn o elemento de volume no espa¸co c o de fases. Quando fazemos uma mudan¸ca c a de variáveis aveis qualquer, o elemento de volume nas novas vari´ aveis deve conter o Jacobiano da transforma¸c˜ aveis cao aõ (veja o apêndice endice A). No caso de uma transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica onica obtemos

|

|

dξ = det M dη

(5.80)

onde dξ dξ = dQ1 . . . dQn dP 1 . . . dP n e M ij e a matriz matri z Jacobiana Jacob iana da ij = ∂ξ i /∂η j ´ T transforma¸c˜ cao. aõ. Como Como a matriz matriz M é simp im plética, M J M = J . Tomand omandoo o determinando dos dois lados obtemos det(M det(M T J M M )) = (det M M ))2 det J = det J. Portanto, det M =

±1 e | det M | = 1.

(5.81)

5.8

O TEOREMA DE LIOUVILLE

147

p V(0) ν

η

V(t)

Dt

D0

q

Figura 5.4: Propaga¸c˜ cão ao de volumes pela evolu¸c˜ cao aõ temporal. Integrando sobre sobre um volume finito V η vemos que

  dη =

V η

dξ

(5.82)

V ξ

onde V ξ corresponde ao volume V η escrito nas novas variáveis aveis canônicas. onicas. Uma aplica¸c˜ cão ao partic p articularm ularmente ente importante impo rtante desse resultado resul tado é obtido o btido para as transforma¸c˜ cões oes canˆ onicas geradas pela evolu¸c˜ onicas cão ao temporal. temp oral. A preserva¸ pr eserva¸c˜ cao aõ de volumes pela evolu¸c˜ cao aõ temporal é conhecida como teorema de Liouville. Liouville. Lembremos que a a¸c˜ cao ão de uma trajet´ oria oria que vai de qi até qf no tempo T , T , S (qi , qf , t), satisfaz as propriedades pi =

∂S − ∂q

pf =

i

∂S . ∂q f

(5.83)

Comparando essas rela¸c˜ coes ões com a transforma¸c˜ cão ao canˆ onica onica gerada por F 1 (q,Q,t) q,Q,t) p =

∂F 1 ∂q

P =

− ∂F ∂Q

1

(5.84)

vemos que S (qi , qf , t) = F 1 (q = qf , Q = qi , t) é a fun¸ fu n¸c˜ cao aõ geratriz da evolu¸c˜ cão ao temporal de qf para qi . A figura figura 5.4 mostra mostra a evol evolu¸ u¸ c˜ cao aõ temporal da regi˜ ao ao ao Dt com volume V ( D0 , com volume V (0), V (0), para a região V (t). Seja η = f ( f (η0 , t) a evolu¸c˜ cão ao temporal do ponto inicial η0 depois de um tempo t. Escrevendo V ( V (t) =



Dt

dη

(5.85)

148


5.8

p

D0

p

Dt

b

V(0)

V(t)

pa

qa

qb

q a+p t a

q +p t b b

q

Figura 5.5: Propaga¸c˜ cao aõ de um volume retangular para a part pa rt´´ıcula livre.

→

podemos fazer uma transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica onica η ν dada por η = f ( f (ν, t). Sob essa transforma¸ transforma¸c˜ cão ao cada ponto em Dt é levado ao seu ponto inicial em D0 e V ( V (t) =

  D0



∂η dν = V (0) V (0).. ∂ν

(5.86)

Como uma ilustra¸c˜ cao aõ simples simp les dessa de ssa algebra alg ebra vamos conside c onsiderar rar uma um a part´ıcula ıcula livre. Seja D0 a região ao retangular delimitada por qa q qb e pa p pb , como como ilus ilustra trado do na figu figura ra 5.5. A evol evolu¸ u¸ c˜ cão ao temporal distorce o retângulo, angulo, pois pontos com momento maior andam mais do que aqueles com momento ´ fácil menor. E acil ver geometricamente que o volume propagado (a area a´rea nesse caso) é igual ao inicial. inicial. A solu¸ c˜ cão ao das equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton são ao p = p0 e a o as fun¸c˜ coes o˜es f . transfo forma rma¸c˜ ção ao canˆ onica oni ca é obtida obt ida q = q0 + p0 t e nos dão f . A trans escrevendo as condi¸c˜ coes o˜es iniciais em termos das finais: P = p e Q = q pt. pt. Sob essa transfor¸c˜ cao, aõ, que tem jacobiano unit´ ario, a rio, a area a´rea final é levada de volta sobre o retˆ angulo angulo inicial. inicial. As aplica¸c˜ coes o˜es mais importantes do teorema de Liouville est˜ ao ao no contexto contexto da mecˆ anica anica estat´ estat´ıstica. Suponha por exemplo exemplo que queremos descrever um sistema cujo estado inicial é incerto. No caso de um g´ as com grande n´ umero umero de part´ıculas, ıcula s, v´ arias arias condi¸ condi¸c˜ coes ões iniciais microscópicas opicas podem corresponder a um mesmo estado macrosc´ opico. opico. Uma das maneiras maneiras de descrever descrever nossa ignorância ancia sobre o estado es tado preciso prec iso do d o sistema sis tema é atrav´ at ravés es da d a teoria te oria de ensemble e nsembles: s: consideramos um grande conjunto de sistemas idênticos enticos em todos os aspectos, asp ectos, mas cada um com uma condi¸c˜ cão ao inicial diferente. Distribuimos as condi¸c˜ coes o˜es iniciais no espa¸co co de fases, de forma que sua densidade seja proporcional a` probabilidade do sistema real estar naquela condi¸c˜ cao aõ inicial.

≤ ≤

≤ ≤

−

5.8

O TEOREMA DE LIOUVILLE

149

A densidade de elementos do ensemble cuja condi¸c˜ cão ao inicial inicia l é (q, p) é definida por dN (5.87) D= dV onde dN dN é o numero u´mero de elementos do ensemble no volume dV dV em torno de (q, p). Como vimos, dD ∂D = D, H + (5.88) . dt ∂t No entanto, conforme o tempo passa o elemento de volume envolvendo as dN condi¸c˜ coes o˜es iniciais move-se no espa¸co co de fases, mantendo sempre o mesmo volume. Por outro lado, os pontos iniciais dentro de dV dV (0) (0) estar˜ ao ao dentro de dV ( ao podem cruzar as fronteiras de ao V (t) para qualquer tempo: esses pontos n˜ dV pela unicidade das solu¸c˜ coes o˜es das equa¸c˜ cões oes diferenciais de primeira ordem. Ent˜ ao ao dD/d cão ao para D se reduz a` D/dt = 0 e a equa¸c˜

{

}

∂D = H, D . ∂t

{

}

(5.89)

Os casos caso s de distribui¸ distr ibui¸c˜ coes o˜es fora do equil´ equil´ıbrio e distribui¸c˜ cões oes estacion´ arias arias são ao importantes e os trataremos a seguir.

Distribui¸c˜ c˜ oes oe s Fora do Equi Eq uill´ıbri ıb rio o Como cada elemento do ensemble segue as equa¸c˜ coes ões de movimento de Hamilton e como dD/ dD/d dt = 0, a probabilidade do sistema estar em (q (q0, p0 ) em t = 0 é carregad carr egadaa para (q(t), p(t)) no instante t: D(q (q0 , p0, t), p(q0 , p0 , t), t) = D(q0 , p0 , 0)

(5.90)

0). D(q,p,t) q,p,t) = D(q0 (q,p,t) q,p,t), p0 (q,p,t) q,p,t), 0).

(5.91)

ou ainda Assim, a densidade no ponto (q, (q, p) no instante t é mesma m esma densidade densid ade do ponto pont o inicial (q (q0 , p0 ) no instante inicial t = 0. cão ao temporal de uma distribui¸c˜ cao aõ Gaussiana para a Exemplo 5.8.1 Evolu¸c˜ part´ıcula ıcula livre. A distribu dis tribui¸ i¸c˜ cao aõ inicial inicia l normalizada norma lizada é 1 exp D(q,p, 0) = 2πab

−

(q

2

2

− q¯) − ( p − p) p¯) 2a 2b 2

2



(5.92)


150

5.8

e est´ a centrada no ponto (¯ cao aõ q e b na dire di re¸¸c˜ cão ao p. A q, p) p¯) com largura a na dire¸c˜ solu¸c˜ cão ao das equa¸c˜ cões oes de movimento movim ento é p = p0 e q = q0 + p0 t/m e, escrevendo escrevendo as condi¸c˜ coes o˜es iniciais em termos das finais, p0 = p e q0 = q pt/m. ao pt/m. Então

−

D(q,p,t) q,p,t) = D(q

− pt, p, 0)

1 = exp 2πab

−

(q

2

− p t/m − q¯) − ( p − p) p¯) 2a 2b 2

2

2



(5.93) .

Fica como excerc excer c´ıcio mostrar mostr ar que:

⟨⟩ (b) ⟨ p⟩ = p¯ (c) ⟨q ⟩ = a (d) ⟨ p ⟩ = b

(a) q t = q¯ + pt/m ¯ t

2

2

t

t

2

+ (q¯ + pt/m) ¯ )2 + b2 t2/m2 pt/m

2

+ p¯2

√

(e) ∆q ∆q(t) = a 1 + b2 t2 /m2 a2 (f) ∆ p( p(t) = b

(g) Calcule ∂D/∂t e mostre que o resultado é igual a` H, D .

{

}

(h) Esboce D(q,p,t) q,p,t) para t = 0 e para t > 0. Finalmente podemos perguntar qual a probabilidade de um elemento de ensemble estar entre q e q + dq dq independente do valor de seu momento: D(q, t) =

 − − − − − − − D(q,p,t)d q,p,t)d p. p.

(5.94)

A integral pod podee ser calculada facilmente e o resultado re sultado é D (q, t) =

√

1 exp 2π ∆q(t)

Da mesma forma obtemos D( p, t) =

1 exp 2πb

√

(q

( p

¯ )2 q¯ pt/m) pt/m 2∆q 2∆q(t)2 p) p¯)2 2b2

.

.

(5.95)

(5.96)

5.9

151

O TEOREMA DE LIOUVILLE PARA SISTEMAS GERAIS

cao aõ temporal de uma distribui¸ distribuic˜ çao ão Gaussiana para o osExemplo 5.8.2 Evolu¸c˜ cilador harmˆ onico. onico. Seguindo o mesmo me smo procedimento pro cedimento anterior é f´ acil acil mostrar que 1 exp D(q,p,t) q,p,t) = 2πab

−

(q cos ωt

2

2

− p sin ωt/mω − q¯) − (mωq sin ωt + p cos ωt − p) p¯) 2a 2b 2

2

Distribui¸c˜ cões oe s Esta Es taccion´ io nária ar iass Quando o sistema est´ a em equi eq uill´ıbrio ıbr io esta es tatt´ısti ıs tico co,, ∂D/∂t = 0 e, portanto, Nessee caso caso a dist distri ribu bui¸ i¸ c˜ cao aõ deve ser independente do tempo. D, H = 0. Ness Caso H seja a unica uńica constante de movimento do problema, ent˜ ao ao D só pode depender de H .

{

}

cao aõ microcanˆ onica onica Exemplo 1 Distribui¸c˜ D (q, p) = δ(E

)). − H (q, p)).

(5.97)

cao aõ microcanˆ onica onica suave Exemplo 2 Distribui¸c˜ 2

q,p)) D(q, p) = e−(E −H (q,p))

/α2

.

(5.98)

Exemplo 3 Distribui¸c˜ cao aõ de Boltzman βH (q,p) q,p) D(q, p) = e−βH ( .

5.9

(5.99)

O teorem teorema a de Liouvi Liouville lle par para a sistem sistemas as gerais gerais

Por completeza vamos demonstrar agora uma versão ao do teorema de Liouville Liou ville válida alida para equa¸c˜ cões oes diferenciais gerais, não ao necessariamente Hamiltonianas [3]. Considere então ao o conjunto de n equa¸c˜ cões oes diferenciais de primeira ordem x˙ = f ( f (x) ou, explicitamente, x˙ i = f i (x1 , x2 , . . . , xn )

i = 1, 2, . . . , n .

(5.100)

Considere o volume V (0) ao D(0) no espa¸co co de configura¸c˜ coes o˜es x V (0) de uma região e seja V ( ao D(t) obtida pela propaga¸c˜ cão a o de D(0) pelas V (t) o volume da região equa¸c˜ cões oes acima. Ent˜ ao ao V ( V (t) =



D (t)

dx

(5.101)



.

152


5.10

onde dx dx = dx1 dx2 . . . dxn . Para tempos curtos podemos resolver as equa¸c˜ coes o˜es de movimento e obter (5.102) xi (t) = xi0 + tf i (x0 ).

→

Como no caso Hamiltoniano, fazemos agora uma mudan¸ ca ca de variáveis aveis x y definida por (5.103) xi = yi + tf i (y). Por constru¸c˜ cao aõ essa transforma¸c˜ cão ao leva D(t) em D(0) e V ( V (t) =



)dy J (y, t)dy

(5.104)

D(0)

onde J é o jacobiano da transforma¸c˜ cao: aõ:





∂ (x1 , x2 , . . . , xn) ∂f = det 1 + t J (y, t) = . ∂ (y1 , y2 , . . . , yn ) ∂y

(5.105)

Escrevendo o determinante explicitamente e xplicitamente e calculando seu valor pelo p elo método etodo de Laplac Lap lacee é f´ acil acil ver que n

J (y, t) = 1 + t

 i=1

∂f i + O(t2 ) ∂y i

2

≡ 1 + t∇ · f + O(t ).

(5.106)

Substituindo na integral do volume obtemos V ( V (t) =



)dy = V (0) ∇ · f )dy V (0) + t

(1 + t

D(0)



D (0)

∇ · f dy.

(5.107)

Como t é peque eq ueno no

−

dV V ( V (t) V (0) V (0) = = dt t



D (0)

∇ · f dy.

(5.108)

∇· ∇·

Assim, a condi¸c˜ cao aõ para preserva¸c˜ cão ao de volumes é que f = 0, ou seja, f < 0 teremos contra¸c˜ o divergente do campo f deve deve se anula anular. r. Se cao aõ de volumes, geralmente indicando alguma dissipa¸c˜ cão. Se f > 0 temos expansão ao de volumes, indicando um fluxo de energia sobre o sistema. Para o caso Hamiltoniano Hamiltoniano temos xi = qi e xi+n = pi para i = 1, 2, . . . , n. em diss di ssoo n. Além ´ fácil acil verificar que a condi¸c˜ cao aõ f = 0 f i = ∂H/∂xi+n e f i+n = ∂H/∂xi . E é satisfeita satisf eita automatica autom aticamente. mente.

∇·

−

∇·

5.10

5.10

ˆ ´ O TEOREMA DE RECORRENCIA DE POINCARE

153

O teorema de recorrˆ encia encia de Poincar´ e

O teorema de recorrˆ recorrência encia trata da reversibil reversibilidade idade de sistemas sistemas dinˆ amicos e tem consequências encias importantes na mecˆ anica anica estat e stat´´ıstica. Em termos t ermos gerais ge rais ele afirma que as trajet´ orias de sistemas Hamiltonianos retornam arbitrariaorias mente perto de sua condi¸c˜ cao aõ inicial, sendo essa afirmativa v´ alida alida para quase toda condi¸c˜ cao aõ inicial inicial.. Imagin Imaginee ent˜ ao ao um gás as com N 0 part par t´ıculas ıcu las,, ond ondee N 0 é o numero u ´ mero de Avogadro, colocado dentro de uma caixa de lado L. Escol Escol-hendo uma condi¸c˜ cão ao inicial onde todas as part par t´ıculas estejam est ejam confinadas co nfinadas em um pequeno cubo de lado L/ L/22 dentro da caixa, esperamos que elas se dispersem com o passar do tempo, distribuindo-se de forma aproximadamente homogênea enea dentro da caixa toda. t oda. O teorema, no entanto, diz que se esperare sperarmos um tempo t empo suficientemente longo, as part´ part´ıculas retornar˜ r etornar˜ ao à esse pequeno volume inicial. Esse é um resultado resu ltado n˜ ao intuitivo e que parece contrariar a ao segunda lei da termodinˆ amica, pois a entropia do gás amica, as teria que diminuir. Vamos primeiro demonstrar o teorema e depois retornaremos a essa discuss˜ ao do gás as [3, 18]. Conside Considere re um sistem sistemaa dinˆ dinamico aˆmico cont´ cont´ınuo ınuo que preserve preserve volumes volumes e que mapeie uma região ao limitada D do espa¸co c o de fases fases sobre sobre si mesma mesma.. Essas Essas condi¸c˜ cões oes são ao satisfeitas satisfeitas para sistemas sistemas Hamiltoniano Hamiltoniano com movimen movimento to limitado se D for escolhido esco lhido como a superf sup erf´´ıcie de energia. Se x D e a dinˆ di nâmic am icaa é discreta, discr eta, escreveremos escre veremos xn+1 = g(xn ). Se a dinâmica amica for cont´ cont´ınua, como no caso Hamiltoniano, vamos fixar um intervalo de tempo arbitr´ ario ario τ e usar a mesma nota¸c˜ cão ao xn+1 = g (xn) onde agora g indica a propaga¸c˜ cão ao pelo intervalo τ . ca U x τ . Considere agora um ponto qualquer x D e uma vizinhan¸ca (figura 5.6a). Sob a a¸c˜ cao aõ da dinâmica amica a vizinhan¸ca ca U é le l evada vad a em gU que tem o mesmo volume de U . ao D tem volume finito, as sucessivas U . Assim, se a região itera¸c˜ coes o˜es de U terão ao que apresentar interseç c˜ coes o˜es em algum algum momen momento to.. De fato, o n´ umero umero m´ aximo aximo de passos da dinâmica amica que podem acontecer antes que ocorra alguma interseçc˜ caõ é V ( ao, ao, para algum k e m V (D )/V ( /V (U ) U ). Ent˜ (k > m):

∈

∈

g k U

∩g

m

U = .

̸∅

⊃

(5.109)

A região ao de interseçc˜ cão ao entre g k U e g m U pertence simultaneamente as a`s duas k−1 m−1 vizinhan¸cas. cas. Então, ao, se olharmos as imagens anteriores g U e g U , U , veremos que essa regi˜ ao ao de interseçc˜ cão ao deve também em ser levada tanto t anto a g k−1 U como a g m−1 U . eia sucessiv suce ssivamente amente vemos que (5.109) (5 .109) imU . Aplicando essa idéia


154

5.10

(a)

(b) m

g U

g x

gU

m −1

k

g

g U

U

U

k−1

g U D

Figur Figuraa 5.6: Regi˜ Regi˜ ao ao D e vizinhan¸ca ca U do ponto inicial x sob a a¸cão da dinâmica. amica. plica que g (k−m) U

∩ U ≠ ∅

(5.110)

−

o que mostra que pontos de U voltaram para U depois de (k (k m) itera¸c˜ coes. o˜es. Assim, Assim, para toda condi¸c˜ cao aõ inicial x existem condi¸c˜ cões oes iniciais arbitrariamente próximas oximas que retornam a` vizinhan¸ca ca de x.

Exemplo 1 Seja D um c´ırculo ırc ulo unit´ uni tário ario e g a rota¸c˜ cao aõ por um angulo aˆngulo fixo α, de forma que cada ponto x sobr so bree o c´ırcu ır culo lo é levado le vado em g (x) = x + α. Vamos assumir que α = 2πn/m, ao é um numero u´mero racional multiplicado por πn/m, i.e., α não 2π . Como omo D é limitad limi tadoo e g preserva volumes (comprimentos nesse caso), podemos aplicar o teorema de recorrˆ recorrência encia e afirmar que existe n tal que

̸

n

|g x − x| < δ

(5.111)

para todo δ > 0 (figura (figura 5.7a). Aqui Aqui δ faz o papel da vizinha¸ca ca U do ponto le vadoo em f ( qu e é tão ao x. Seja agora f = g n . Sob a a¸cão de f o ponto x é levad f (x) que próximo oximo de x quanto quanto se queira queira (figura 5.7b). 5.7b). En Ent˜ t˜ ao, dado qualquer ponto ao, po demos afirmar que a orbita o´rbita de x passa arbitrariamente arbitrariamente y sobre o c´ırculo podemos próxima oxima de y . Em outras palavras, provamos que todas as orbitas ´ s˜ ao densas no c´ırcul ırc ulo. o. Usaremos esse resultado no exemplo 2 abaixo.

Exemplo 2 Dados os n´ umeros inteiros da forma 2n para n = 0, 1, 2, . . ., umeros ., considere a sequência encia formada pelo primeiro d´ıgito de cada um desses n´ umeros: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, . . .. ..

ˆ ´ O TEOREMA DE RECORRENCIA DE POINCARE

5.10

(b)

(a) x

x gn x

155

f x

gx

g 2x

y k

f x

Figura 5.7: Região ao D e vizinh vizinhan¸ an¸ca ca U do ponto inicial x sob a a¸c˜ cão a o da dinâmica. amica. (a) O n´ umero umero 7 aparece? (b) Qual a frequência encia com que o d´ıgito 3 aparece? apar ece? Seja xn = 2n . Defin Definim imos os a vari vari´ avel a´vel auxiliar yn = log10 xn [log10 xn ], onde [a [a] indica a parte inteira de a. Para n = 12, por exemplo, x12 = 4096 = 4.096 103 e y12 = (log10 4.096 103 ) [log10 4.096 103 ] = (log10 4.096 + 3) 3 = log10 4.096. Assim, Assim, vemos que para que o primeiro primeiro d´ıgito de xn seja p, a condi¸c˜ cao aõ log10 p < yn < log10 ( p + 1) deve ser satisfeita. Consideremos ent˜ ao ao a sequˆ se quênci en ciaa formada diretamente pelos yn: y0 = 0, y1 = log10 2, y2 = 2log10 2, y3 = 3log10 2, y4 = 4log10 2 1, etc etc. Os n´ umeros umeros dessa sequência encia saltam de log10 2, mas sempr sempree ficam ficam entr entree 0 e 1: se yn = n log10 2 > 1, subtraimos sua parte inteira. inteira. Podemos Podemos ent˜ ao escrever uma dinˆ amica amica discreta na forma ırculo de comprime co mprimento nto unit´ un it´ ario. ario. yn+1 = yn +log10 2 onde os yn ficam sobre um c´ırculo O problema agora recai no exemplo anterior. anterior. Como a dinˆ amica dos yn é densa no c´ırculo, ırcul o, sabemos sab emos que os yn passarão ao arbitrariamen arbitrariamente te pr´ oximo oximo de qualquer ponto pont o do c´ırculo. ırculo . Ent˜ ao ao eles passar˜ ao pelo intervalo entre log10 7 e log10 8 e ao o número umero 7 certamente aparecer´ a na sequˆ seq uência. enc ia. A fre f requˆ quênci en ciaa com c om que qu e cad c adaa d´ıgit ıg itoo k aparece apar ece é igual ig ual ao a o comprime co mprimento nto do intervalo correspondente para yn: P ( 1)/k.. P (k ) = log10 (k + 1) log10 k = log10 (k + 1)/k ´ E fácil acil verificar verifica r que k P ( particul cular ar P (3) 0.125 e P (7) P (k) = 1. Em parti P (3) P (7) 0.058 que é maior que P (8) 0.051, embora o n´ umero u mero 8 apare¸ca c a logo P (8) no in´ in´ıcio da sequência. encia. O primeiro d´ıgito 7 aparece para n = 46 e x46 =

−

−

×

×

−

×

−

∑

−

≈

≈

≈

156


5.11

70368744177664. a mara c´ ubica u bica de lado L e um gás a s com N Exempl Exemplo o 3 Considere uma câmara part´ part´ıculas que, inicialmente, est´ a confinado a` metade da cˆ amara, amara, que está separada da outra metade por uma parti¸ c˜ cao. aõ. Em t = 0 abrimos a parti¸c˜ cão ao e deixamos o gás as expandir. De acordo com o teorema teor ema de recorrˆ rec orrência, encia, depois dep ois de algum tempo todas as part´ part´ıculas dever˜ ao ao retornar a` metade inicial. inicial. Porque Porque esse efeito nunca nunca é observado? observado? A resposta é que o tempo necess´ ario para que isso ocorra é muito muito grande. Podemos fazer uma estimativa estimativa desse tempo de retorno em termos de volumes no espa¸co c o de fases fases.. Seja Seja τ uma unidade de tempo t´ıpica para que uma vizinhan¸ca ca Ω0 do estado inicial se propague para Ωτ de forma que não ao haja superposi¸c˜ cao a˜ o com Ω0 . O n umero u ´ mero m´ aximo aximo de passos de tamanho τ que podem ser dados sem que Ωnτ intercepte com algum Ωmτ anterior anterio r é dado d ado pela pel a raz˜ ao entre os volumes do espa¸co ao co de fases e da vizinhan¸ca: ca: V (Ω) (Ω0 ). Como a energia do gás as é conser con servada, vada, V (Ω)/V /V (Ω N



2 2 ( p2xn + pyn + pzn ) = 2mE.

n=1

A energia total pode ser estimada estimada pelo teorema de equiparti¸ equiparti¸c˜ cao ˜ de energia. Cadaa part Cad par t´ıcula ıcu la tem e = 3K T /2 e E = 3NKT/2 cão ao acima NKT/2 = 3RT /2. A equa¸c˜ é a de uma esfera esfer a d dee raio r aio r = 2mE em um espa¸co co de dimens˜ dimensao aõ 3N (espa¸co co dos momentos). Ent˜ ao ao

√

V (Ω) V (Ω) =



dx1 . . . dz3N d px1 . . . d pz3N = cL3N r3N −1

(3N −1)/ 1)/2 onde c = 2π(3N Γ((3N 1)/ 1)/2). /Γ((3N Qual seria uma defini¸c˜ cão ao razo´ avel avel de vizinhan¸ca ca Ω0 ? Vamos considerar, considerar, para efeitos de estimativa, que Ω0 é tal que todas to das as part´ıculas ıculas devem ocupar oc upar a primeira metada da caixa, independente de suas posi¸ c˜ coes ões particulares e de suas velocidades. Assim,

−

2)N r 3N −1 = V (Ω) V (Ω V (Ω0 ) = cL2N (L/ L/2) V (Ω)//2N 22

N log10 2 e V (Ω) (Ω0 ) = 2N = 10N log 1010 para N = 1023 . O numer u ´m eroo é V (Ω)/V /V (Ω enorme e, mesmo multiplicando por qualquer unidade de tempo razo´ avel ve l, é muitas vezes maior do que a idade do universo.

≈

EXERCÍCIOS

5.11

5.11

157


1. (a) Encontre Encontre uma fun¸c˜ cao aõ geratriz do tipo F 3 para a transforma¸c˜ cão ao identidade. (b) Seja Q = Aq uma transforma¸ transforma¸c˜ cão ao pontual (as novas posi¸c˜ coes o˜es dependem apenas das posi¸c˜ coes o˜es originais) com A uma matriz n n ortogonal de coeficien coeficientes tes constantes. constantes. Mostre Mostre que os novo novoss moment momentos os s˜ ao dados pela mesma matriz aplicada no vetor composto pelos velhos momentos mais um gradiente no espa¸co co de coordenadas.

×

2. Mostre que a matriz M = ∂ζ/∂η para a transforma¸c˜ cao aõ

−

Q1 = q1 Q2 = p2

P 1 = p1 2 p2 P 2 = 2q1 q2

− −

é simpl´ simp lética. eti ca. Encontr Enc ontree a fun¸ func˜ çao aõ geratriz (problema 8). 3. Mostre que a transforma¸c˜ cao aõ q=

{

}

satisfaz Q, P

q,p



2P sin Q, mω

p=

{ }

= 1 e q, p

Q,P

√

2P mω cos Q

= 1.

→

4. Mostre Mostre que a transfor transforma¸ ma¸ cão ao (q, p) (Q, P ) P ) gerada por F 1 (q, Q) satisfaz Q, P q,p = 1. Fa¸ca ca o cálculo alculo para par a um grau de liberdade lib erdade apenas.

{

}

5. Mostre que a transforma¸c˜ cao aõ Q = p + iaq ,

P=

p

− iaq 2ia

é canonica oˆnica e encontre uma fun¸c˜ cao aõ geratriz. geratriz. Use essa essa transforma transforma¸ c˜ ção ao para resolver o oscilador harmˆ onico. onico. 6. A Hamiltoni Hamiltoniana ana de um sistema sistema tem a forma forma 1 H = 2





1 + p2 q 4 . 2 q

Encontre uma transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica onica que reduza H a` forma de um oscilador oscilador harmˆ onico. onico. Escreva a solu¸c˜ cao aõ q = q (t).

158


5.11

7. Um sistema com dois graus de liberdade é descrito pela Hamiltoniana Hamiltoniana H = q1 p1 Mostre que F 1 =

p1

2 1

− q p − aq 2 2

− aq

1

q2

e

+ bq22 .

F 2 = q1 q2

´ poss´ são ao constantes do movimento. E poss´ıvel encontrar outras constantes de movimento independentes usando a identidade de Jacobi entre F 1 , F 2 e H ? 8. Mostre, usando a condi¸c˜ cão ao de constante de movimento via parênteses enteses de Poisson, que o vetor de Laplace-Runge-Lenz

A=p

× L − mkr r

é uma constante co nstante do movimento movime nto para par a o problema pro blema de Kepler Kep lerH H = p2 /2m k/r. k/r .

−

9. Calcule a evolu¸c˜ cao aõ temporal de um ensemble Gaussiano sob a a¸ c˜ cao aõ de um potencial harmˆ onico onico (veja a se¸c˜ cão ao 4.8). Calcule o desvio quadr´ atico atico médio ∆q(t) e mostre que ele é peri´ odico odico com metade do per´ per´ıodo do oscila oscilador. dor. Mostre Mostre que para uma escolha escolha apropria apropriada da das larguras larguras da distribui¸c˜ cão ao inicial ∆q ∆q fica independente do tempo.

Cap´ıtulo 6 Integrabilidade A teoria de transforma¸c˜ coes o˜es canˆ onicas sugere que podemos reduzir a solu¸c˜ onicas cão ao das da s equ e qua¸ a¸c˜ cões oes de Hamilton ao problema de encontrar uma mudan¸ ca ca de vari´ aveis aveis que torne a dinâmica amica trivial. Uma possibilidade, como j´ a mencionamos, consiste em procurar uma transforma¸c˜ cao aõ independente do tempo que leve as variáveis aveis originais (q, (q, p) a (Q, P ) P ) de forma que a nova hamiltoniana dependa apenas dos novos momentos P , P , i.e., H (q(Q, P ) P ), p(Q, P )) P )) = K (P ). P ). Uma vez encontradas tais vari´ aveis aveis obtemos P ˙i = ∂K = 0

−

Q˙ i =

∂Q i

∂K ∂P i

(6.1)

≡ Ω (P ) P ) i

cuja solu¸c˜ cão é P i = P i0 = const, aveis originais const, Qi (t) = Qi0 + Ωi t. Nas variáveis q(t) = q(Q(t), P 0 ) (6.2)

. p( p(t) = p(Q(t), P 0 )

são ao obtidas diretamente das equa¸c˜ cões oes da transform tran sforma¸ a¸c˜ cao aõ canˆ onic o nica. a. Co Como mo veremos, existe uma certa liberdade na defini¸c˜ cao aõ das variáveis aveis Q e P . P . Uma escolha particular leva as a`s variáveis aveis de a¸c˜ cão a o e angulo, aˆngulo, como veremos adiante. Uma outra maneira de tornamos as equa¸c˜ cões oes de movimento triviais é buscando busca ndo uma transforma trans forma¸¸c˜ cao aõ canˆ onica dependente do tempo, gerada, por onica exemplo, por uma fun¸c˜ cao aõ do tipo F 2(q,P,t), q,P,t), que torne a nova hamiltoniana identicamente nula: ∂F 0. (6.3) K (Q, P ) P ) = H (q (Q,P,t) Q,P,t), p(Q,P,t)) Q,P,t)) + ∂t

≡

159

160

6.1

INTEGRABILIDADE

Nesse caso teremos

P ˙i

=

Q˙ i =

−

∂K ∂Q i

∂K ∂P i

=0 (6.4)

=0

ou P i = P i0 , Qi (t) = Qi0 . A fu func˜ ção ao geratriz F , F , usualmente denotada por cham ada de fun¸c˜ c˜ ao principal de Hamilton . O estudo das proprie propriedade dadess S , é chamada dessa transforma¸ transforma¸c˜ cão ao canˆ onica onica é conhecido como Teoria de Hamilton-Jacobi. Vamos, inicialmen inicialmente, te, expor as id´ eias eias principais principais da teoria de HamiltonHamiltonJacobi e ver sua conex˜ ao ao com a transforma¸c˜ cao aõ independente do tempo que leva a K (P ). ao que qualquer problema Hamiltoao P ). O leitor pode ter a impress˜ niano pode ser resolvido por uma dessas maneiras. No entanto, infelizmente, isso não ao é verdade. A pergunta p ergunta que devemos responder resp onder é: e: em que condi¸ cões oes as transforma¸c˜ cões oes canônicas onicas acima podem p odem ser encontradas? O teorema de Arnold-Liouville [3] dá as condi¸c˜ cões oes para que elas existam, e elas são ao muito restritivas. Do lado oposto a esses sistemas sol´ uveis, uveis, ou integráveis, aveis, estão ao os sistemas caóticos, oticos, que estudaremos adiante.

6.1

A equa¸c˜ c˜ ao ao de Hamil Ham ilton ton-Ja -Jacob cobii

Procuramos um fun¸c˜ cão ao geratriz S (q,P,t) q,P,t) tal que [5] H +

∂S =0 ∂t

pi =

∂S ∂q i

Qi =

∂S . ∂P i

(6.5)

Usando a segunda dessas equa¸c˜ cões oes podemos re-escrever a primeira como



∂S ∂S H q1 , . . . , qn, ,..., ∂q 1 ∂q n



+

∂S = 0. ∂t

(6.6)

Veja que S = S (q1 , . . . , qn , P 1 , . . . , Pn , t), mas os P i são ao constantes, pois equa¸c˜ çao aõ acima, conhecida como equa¸c˜ cao aõ de Hamilton-Jaco Hamilto n-Jacobi, bi, é K = 0. A equa portanto uma equa¸c˜ cao ão diferencial parcial de n +1 variáveis: aveis: as n coordenadas

˜ DE HAMILTON-JACOBI EQUAC ¸ AO

6.1

161

cao aõ completa dessa equa¸c˜ cao aõ requer, portanto, n + 1 qi e o tempo t. Uma solu¸c˜ constantes de integra¸c˜ cão. ao. No entanto, uma delas é aditiva, pois p ois a equa¸c˜ cao aõ só envolve as derivadas de S . As n constantes de integra¸cão nao aõ triviais, α1 , . . . , αn devem estar ligadas com os n valores das constantes P i . Podemos ent˜ ao ao escolher diretamente αi = P i e escrever pi = Qi

∂S ( ∂S (q,α,t) q,α,t) ∂q i

≡β

i

=

(6.7)

∂S ( ∂S (q,α,t) q,α,t) ∂α i

onde os βi tamb´ am bém são ao constantes. constantes. Do segundo conjunto conjunto de equa¸ cões oes tiramos qi = qi (α,β,t) α,β,t) que podemos substituir no primeiro conjunto para obter pi = valores res das const constan antes tes α e β estão ao ligados com os valores pi (α,β,t). α,β,t). Os valo iniciais qi0 e pi0 :



qi0 = qi (α,β, 0) pi0 = pi (α,β, 0)



→

αi = αi (q0 , p0 ) . βi = βi (q0 , p0 )

(6.8)

Veja que não ao é nece ne cess ss´ a´rio identificarmos as constantes αi diretamente com ario os novos momentos P i . Poder Pode r´ıamos tê-las e-las escolhido escolh ido como fun¸c˜ coes o˜es independentes dos P i , αi = αi (P ). Isso modificaria modificaria a transfor transforma¸ ma¸ c˜ cao aõ canˆ onica, onica, mas P ). Isso não ao alteraria alteraria significativ significativamen amente te os resultados. resultados.

Exemplo 6.1.1 - A part´ part´ıcula livre A equa¸c˜ cão ao de Hamilton-Jacobi nesse caso é 1 2m

 

Escrevendo S (q,α,t) q,α,t) = W ( W (q, α) identificamos identificamos com P , P , obtemos

∂S ∂q

2

∂S = 0. ∂t

+

(6.9)

const ante de separa¸ separ a¸c˜ cao, aõ, que − αt onde α é a constante

1 2m

 

2

∂W ∂q

=α

(6.10)

que pode p ode ser integrada imediatamente. O resultado é S (q,α,t) q,α,t) =

√2

mα q

− αt

(6.11)

162

6.1

INTEGRABILIDADE

onde a constan constante te aditiv aditivaa foi descartada descartada por ser irrelev irrelevante. ante. Usando Usando S nas equa¸c˜ coes o˜es que definem a transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica onica obtemos

√

∂S = 2mα p = ∂q ∂S m = Q=β= q 2α ∂α



(6.12)

− t.

√

Calculando em t = 0 temos α = p20 /2m = energia e β = m/2 m/2αq0 = mq0 /p0 . Substituin Subst ituindo do esses es ses valores valor es nas na s equa¸ equ a¸c˜ coes o˜es acima e resolvendo para q e p obtemos os resultados esperados



2α p0 (β + t) = q0 + t m m p( p(t) = p0 . q(t) =

(6.13)

Exemplo 6.1.2 - O oscilador harmˆ onico onico A equa¸c˜ cao aõ de Hamilton-Jacobi para o oscilador harmˆ onico onico é um pou pouco co mais mais complic complicada, ada, mas ainda ainda pode ser resolvida resolvida analiticam analiticamen ente. te. Como Como este é um problema particularmente particularmente importante, faremos toda a algebra em detalhe. Come¸camos camos por 1 2m

  ∂S ∂q

2

mω2 2 ∂S + = 0. q + 2 ∂t

Fazendo novamente a separa¸c˜ cao aõ de vari´ aveis aveis S (q,α,t) q,α,t) = W ( W (q, α) mos 2 1 ∂W + m2 ω 2 q 2 = α 2m ∂q ou

   √   − 

mω2 q 2 dq. 2α A integral pode ser feita com a mudan¸ ca ca de vari´ vari áveis ave is W =

(6.14)

− αt obte(6.15)

2mα

1

(6.16)

sin u =

mω2 q 2α

(6.17)

e o result res ultado ado é W =

α (u + sin u cos u). ω

(6.18)

˜ DE HAMILTON-JACOBI EQUAC ¸ AO

6.2

163

Para escrever explicitamente explicitamente as equa¸ cões oes da transf tra nsform orma¸ a¸c˜ cão ao canˆ ca nônica onica precisaremos calcular ∂u/∂α e ∂u/∂q. derivando ∂u/∂q . Os resultados podem ser obtidos derivando os dois lados da equa¸c˜ cao aõ (6.17) em rela¸c˜ cão ao a α e a q respectivament respectivamente. e. Obtemos 1 ∂u ∂u mω2 1 = tan u e = (6.19) . 2α 2α cos u ∂α ∂q Ent˜ ao ao temos: ∂S ∂W = Q =β= t ∂α ∂α



−

−

1 α = (u + sin u cos u) + (1 + cos2 u ω ω

− sin

1 1 [u + sin u cos u] cos2 u tan u ω ω Ent˜ ao, ao, u = ω(β + t) e, pela eq.(6.17) =

−

q(t) =

2

u)

−  − tan u 2α

t . (6.20)

− t = ωu − t



2α sin(ωβ sin(ωβ + ωt) ωt ). mω2

A equa¸c˜ cão ao para p resulta em ∂S ∂W α = = (1 + cos2 u p = ∂q ∂q ω

− sin

(6.21)

2

u)

du dq .



(6.22)

√

2α mω2 1 cos2 u = 2mα cos u 2α cos u ω Usando o resultado que encontramos para u obtemos =

√ ()= 2

p( p t

cos(ωβ + ωt) mα cos(ωβ ωt).

(6.23)

Para finalizar escrevemos a fun¸c˜ cao aõ principal de Hamilton explicitamente e a rela¸c˜ cao ão entre as constantes α e β e as condi¸c˜ coes o˜es iniciais q0 e p0 : S (q,α,t) q,α,t) =

α arcsin ω

  mω2 2α

q

+

mα q 2

 −

p20 mω2 q02 + α= 2m 2 1 q0 tan ωβ = . 2α p0

1

mω2 q 2 2α

− αt

(6.24) (6.25) (6.26)

164

6.2

6.3

INTEGRABILIDADE

Solu¸c˜ c˜ ao ao formal for mal da equa¸ equ a¸c˜ c˜ ao ao de Ha Hami milt lton on-Jacobi

Um insight importante sobre a interpreta¸ c˜ cão ao f´ısica da fun¸c˜ cão ao principal de Hamilton Hamilton é obtido calculando-se calculando-se a derivada derivada total de S (q,α,t). Usando do as as q,α,t). Usan equa¸c˜ coes o˜es (6.5) encontramos dS = dt

n

 i=1

∂S ∂S = q˙i + ∂q i ∂t

n



− H = L.

pi q˙i

i=1

(6.27)

A fun¸c˜ cão ao princip principal al de Hamilt Hamilton on nada mais é do que a a¸ cão. a o. Essa Essa rela rela¸c˜ ção ao nos permite escrever uma solu¸c˜ cao aõ formal para S (q,α,t). q,α,t). Em primeiro lugar lembramos lembramos que αi = αi (q0 , p0 ) e βi = βi (q0 , p0 ). Assim, Assim, podemos especificar uma trajet´ tra jetória oria fornecendo as 2n condi¸c˜ coes o˜es iniciais (q (q0 , p0 ) ou ent˜ ao ao (q0, α) (pois dados q0 e α podemos obter p0 ). Para α fixo consideramos ent˜ ao ao uma trajet´ oria especificando o valor de oria ao, de acordo com a equa¸c˜ cao aõ acima q0 . Então,



t

S (q,α,t) q,α,t) = S (q0 , α, 0) +

(6.28)

L dt

0

onde a integral integral é feita sobre a trajet´ oria oria escol escolhida hida.. Essa Essa solu¸ c˜ cao aõ é formal for mal porque para fazermos a integral da Lagrangeana precisamos ter a trajet´ oria, isto é, e, precisamos ter a solu¸c˜ cao aõ de antem˜ ao. ao. No entanto, entanto, veremos veremos adiante adiante que essa expressão ao tem uma importante aplica¸c˜ cao aõ no cálculo alculo semicl´ semiclassico a´ssico da evolu¸c˜ cao aõ temporal de estados quˆ anticos. anticos . Como exerc´ ex erc´ıcio ıcio vamos verificar verifi car essa es sa expressão ao para a part par t´ıcula livre. Nesse caso ca so temos te mos S (q0 , α, 0) = e

√2

(6.29)

mα q0



t

p20 L dt = t = αt. 2 m 0 Substituindo na eq.(6.28) e usando que q = q0 + p0 t/m obtemos

(6.30)

√2mα q + αt = √2mα (q − t) + αt √ √ = 2mα q − 2αt + αt = 2mα q − αt.

S (q,α,t) q,α,t) =

0

p0 m

Fica como exerc´ exerc´ıcio para p ara o leitor verificar a equa¸ c˜ cão ao (6.28) para o oscilador harmônico. onico.

6.3

HAMILTON-JACOBI INDEPENDENTE DO TEMPO

6.3

165

Hamilt Hamiltonon-Jac Jacobi obi independ independen ente te do tempo tempo

Se a hamiltoniana H (q, p) não ao depende explicitamente do tempo, é sempre poss´ po ss´ıvel ıvel escreve esc reverr (6.31) S (q,α,t) q,α,t) = W ( W (q, α) γ t

−

e reduzir a equa¸c˜ cao aõ de Hamilton-Jacobi a` sua forma independente do tempo: H (q,

∂W ) = γ. ∂q

(6.32)

Como só existem existem n constantes constantes de integra¸ integra¸ c˜ cão ao independ independen entes, tes, se n > 1 a constante de separa¸c˜ cao aõ deve ser uma fun¸c˜ cao aõ das constantes αi = P i, i.e., γ = γ (α1 , α2 , . . . , αn).

(6.33)

Se n = 1 podemos escolher diretamente γ = α. ´ interessante estudar W ( E opria transforma¸ c˜ cão ao W (q, α) como gerando sua própria canônica onica independente do tempo onde os novos momentos ainda s˜ ao dados por P i = αi . Como omo os os P i são ao constantes e como P ˙i = ∂K/∂Qi , vemos que a nova Hamiltoniana s´ o pode depender dos pr´ oprios oprios P i . Então ao W deve satisfazer ∂W pi = ∂q i

−

Qi =

∂W ∂W = ∂P i ∂α i

(6.34)

K (Q, P ) P ) = H (q(Q, P ) P ), p(Q, P )) P )) = K (P ) P ) = γ (P ) P ) = γ (α) onde usamos (6.32) e (6.33). As equa¸c˜ cões oes de movimento nas novas variáveis aveis ent˜ ao ao se reduzem a P ˙ i

=

Q˙ i =

−

∂K ∂Q i

∂K ∂P i

=

=0 ∂γ ∂α i

→

P i = αi

≡ Ω ( α) → i

Qi = Qi0 + Ωi (α)t.

(6.35)

Finalmente Finalm ente mostramos mostr amos que a fun¸ fu n¸c˜ cao aõ W é a a¸cao aõ reduzida de Maupertuis: dW = dt

n

 i=1

∂W q˙i = ∂q i

n



pi

i=1

dqi dt

(6.36)

166

6.4

INTEGRABILIDADE

Σ t (α)

p Σ0(α )

p= S t qt p= S 0 q0

q

q

0

t

q

Figura 6.1: Ilustra¸c˜ cao aõ das superf sup erf´´ıcies Σα geradas pela equa¸c˜ cão ao de HamiltonJacobi dependente do tempo. ou W =

6.4 6.4

 ·

p dq.

(6.37)

Interp Inte rpre reta ta¸¸c˜ c˜ ao ao geom geom´ ´ etri et rica ca e cond condi¸ i¸c˜ c˜ oes oes de existência

A transforma¸ transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica o nica gerada por S (q,α,t) q,α,t) pode ser interpretada da seguinte forma [19]: para cada conjunto fixo de constantes αi , as rela¸c˜ coes o˜es pi =

∂S ( ∂S (q,α,t) q,α,t) = pi (q,α,t) q,α,t) ∂q i

(6.38)

conectam cada ponto q = (q1 , q2, . . . , qn ) com um ponto p = ( p1 , p2 , . . . , pn ) no instante t. As n equa¸c˜ cões oes p = p(q,α,t) ıcie Σt (α) q,α,t) definem uma superf´ıcie de dimensão ao n. Em t = 0 p = p(q,α, 0), ou p0 = p(q0 , α), gera uma superf´ pe rf´ıcie ıcie inicial inic ial Σ0 (α). Como α está fixo, fix o, escolher escolh er um ponto p onto (q0 , p0 ) em Σ0 (α) corresponde a escolher os parˆ ametros ametros β = Q. Co Conf nform ormee o tempo pass passa, a, cada condi¸c˜ cao aõ inicial (q (q0 , p0 = ∂S ( 0)/∂q 0 ) de Σ0 (α) é propagada propa gada para ∂S (q0 , α, 0)/∂q (qt , pt = ∂S ( Assim, m, o pon ponto to (q,p (q,p)) em Σt (α) é o ponto que ∂S (qt, α , t) t)/∂q t ). Assi

˜ GEOMETRICA ´ INTE IN TERP RPRE RETAC TAC ¸ AO

6.4

167

propagou de (q (q0 , p0 ) em Σ0 (α). Em outras palavras, a superf´ superf´ıcie definida por p = p(q,α,t) q,α,t) pode ser obtida propagando por um tempo t cada ponto da superf sup erf´´ıcie inicial inicia l definida de finida por p = p(q,α, 0). Se H não ao depende do tempo podemos tentar a separa¸ cão ao de vari´ aveis aveis S (q,α,t) q,α,t) = W ( W (q, α)

− γ (α)t.

(6.39)

Nesse caso, como p =

∂S ∂W = (q, α) ∂q ∂q

(6.40)

vemos que a superf supe rf´´ıcie Σ(α Σ(α) não ao muda com o tempo. Assim, Σ(α Σ(α) deve ser uma superf sup erf´´ıcie invariante pelo p elo fluxo fl uxo de d e H , de forma que pontos (q (q0 , p0 ) sobre ela sejam propagados para pontos (q (qt , pt ) ainda sobre a mesma superf´ superf´ıcie. Para sistemas com um unico uńico grau de liberdade a unica uńica superf sup erf´´ıcie invariante com co m dime di mens ns˜ão ao um é a pr´ propria o´pria superf sup erf´´ıcie de energia. Nesse caso, de fato temos que 2 1 ∂W + V ( (6.41) V (q ) = γ 2m ∂q e ∂W = 2m(γ V ( (6.42) p = V (q )) ∂q

  √

−

que corresponde a` superf´ superf´ıcie de energia com E = γ . A figura figura 6.2 ilust ilustra ra a supe su perf´ rf´ıcie ıc ie Σ(α Σ(α) = ΣE para potenciais onde o movimento é confinado. Em sistemas com n > 1 graus de liberdade a superf´ superf´ıcie de energia ΣE ainda ainda é inv invariant ariantee pelo fluxo. fluxo. No entan entanto, to, a dimens˜ dimens˜ ao dessa des sa superf´ sup erf´ıcie ıci e é dim(ΣE ) = 2n 1, que é maior do que n se n > 1. Para Para consegui conseguirmos rmos superf´ superf´ıcies invariantes invariantes de dimens˜ ao a o menor s˜ ao ao necess´ arios arios outros outr os v´ınculos, ınculo s, i.e., outras constantes do moviment movimentoo que diminuam a dimens˜ ao da superf´ sup erf´ıcie ıci e invarian invariante. te. Precisamos Precisamos exatamente de n 1 outras outras constante constantes. s. Caso essas essas constantes não ao existam, a separa¸c˜ cao aõ de variáveis aveis dada pela eq.(6.39) não ao produz uma solu¸c˜ cao ão geral para a fun¸c˜ cao aõ W . udo udo W . Esse é basicamente o conte´ do teorema de Arnold-Liouville que discutiremos adiante. Para finalizar essa se¸c˜ cão ao voltamos ao exemplo do oscilador harmˆ onico. onico. Vimos na se¸c˜ cao aõ 6.1 que

−

−

α W ( W (q, α) = arcsin ω

  mω2 2α

q

mα + q 2

 − 1

mω2 q 2 . 2α

(6.43)

168

6.5

INTEGRABILIDADE

p ΣE

q0

qt

q

Figura Figur a 6.2: 6.2 : Sup Superf erf´´ıcie invariante i nvariante ΣE no caso de um grau de liberdade.

→

A transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica onica (q, (q, p) (Q, P = α) pode ser escrita imediatamente se olharmos as equa¸c˜ cões oes (6.20) e (6.22) do exemplo 6.1.2: p =

∂W = ∂q

 −  

√

2mP 1

e

1 ∂W = arcsin Q= ∂α ω

mω2 q 2 2P

(6.44)

mω2 q 2P

(6.45)

Resolvendo para q e p obtemos q=



2P mω2

sin(ωQ sin(ωQ))

√ cos(ωQ)). p = 2mP cos(ωQ

(6.46)

A partir dessas equa¸c˜ coes o˜es obtemos ainda p2 mω2 q 2 + = P = K. H (q, p) = 2m 2 cuja dinˆ amica amica resulta em P = P 0 e Q = Q0 + t.

(6.47)

´ LIMITE SEMICLASSICO

6.5

6.5

169

O limite semicl´ assico assico da equa¸c˜ ao de Sch chrr¨ odinger odinger

Para sistemas com um grau de liberdade a equa¸c˜ cão ao de Schr¨ odinger odinger pode po de ser escrita como 2 ∂ 2 ψ ∂ψ = + V ( (6.48) i V (q)ψ. 2m ∂q 2 ∂t

−

Et )/ Se V = 0 exist ex istem em solu s olu¸¸c˜ coes o˜es do tipo ψ p (q, t) = Aei( pq−Et) onde E = p2 /2m. Se o comprimento de onda de De Broglie h/p é pequeno peq ueno em rela¸c˜ cao aõ as a`s dimensões oes onde V ( ao esperamos que, localmente, ao V (q ) varia apreciavelmente, ent˜ comp orte como c omo se a part´ıcula ıcula fosse livre. Escrevemos ent˜ ao ψ se comporte

ψ (q, t) = A(q, t)e

i 

σ(q,t) q,t)

≡

(6.49)

≡

onde A e σ são a o reais e A(q, 0) A0 (q) e σ(q, 0) σ0 (q ) são ao supostas conhecidas. hecidas. Em outras palavras palavras,, dada a fun¸ func˜ ção ao de onda inicial queremos obter sua evolu¸c˜ cao aõ temporal. Substituindo na equa¸c˜ cao aõ de Schr¨ odinger odinger obtemos i i ∂A ∂σ q,t) q,t) = e− σ(q,t) A H (q, p) pˆ)e σ(q,t) A. ∂t ∂t Para calcular o lado direito vemos que

−

i



−i

∂f ∂q

(a)

[ p, ˆ f ( f (q)] =

(b)

iσ (q,t) q,t)/ [ p, ˆ eiσ( ]=

(c)

iσ (q,t) q,t)/ iσ(q,t) q,t)/ = pˆ + e−iσ( pˆ eiσ(

−iσ( iσ (q,t) q,t)/

(d)

e

n

∂σ iσ( q,t)/ eiσ(q,t) ∂q

iσ( iσ (q,t) q,t)/

pˆ e

e portanto obtemos: i

∂A ∂t

− A ∂σ ∂t

= H (q, pˆ + 1 = 2m =

−

(6.51)

∂σ ∂q

 

= pˆ +

∂σ ∂q

n

∂σ )A ∂q

−

2

(6.50)



∂ ∂σ i + ∂q ∂q

∂ 2 A 2m ∂q 2

−



2

A + V ( V (q)A

i ∂ 2 σ A 2m ∂q 2

−

1 i ∂σ ∂A + 2m m ∂q ∂q

  ∂σ ∂q

2

A + V ( V (q)A (6.52)

170

6.5

INTEGRABILIDADE

Separamos agora as partes real e imagin´ aria. Para a parte real obtemos aria. 1 2m

  ∂σ ∂q

2

A + V ( V (q )A

−

2

∂ 2 A ∂σ + = 0. A 2m ∂q 2 ∂t

(6.53)

Desprezando Desprezando o terceiro termo, que é de ordem 2 em rela¸c˜ cão ao aos outros, podemos cancelar a amplitude A e ficamos com 1 2m ou

    ∂σ ∂q

2

+ V ( V (q) +

∂σ =0 ∂t

(6.54)

∂σ ∂σ + =0 (6.55) ∂q ∂t que é a equa¸ equ a¸c˜ cão ao de Hamilt Hamiltonon-Jaco Jacobi. bi. Note Note que o termo termo que foi desprezado desprezado 2 2 pode ainda ser adicionado ao potencial fazendo-se V ( V (q) V ( V (q ) 2m A1 ∂ ∂qA2 , que é o ‘potencial quˆ antico’ da teoria de Bohm, que depende da amplitude antico’ da fun¸c˜ cao aõ de onda. A parte imaginária ari a da equa¸ equ a¸c˜ cao aõ resulta exatamente em: H q,

→

1 ∂ 2 σ A 2m ∂q 2

∂A − m1 ∂σ . ∂q ∂q Multiplicando tudo por 2A 2A e definindo ρ = |ψ | = A obtemos 1 ∂ σ 1 ∂σ ∂ρ ∂ρ =− ρ− . ∂t m ∂q m ∂q ∂q ∂A = ∂t

−

2

−

(6.56)

2

2

2

(6.57)

Finalmente, notando que p = ∂σ/∂q e definindo v = p/m, p/m, ∂ρ = ∂t

∂ρ − ∂v ρ−v ∂q ∂q

(6.58)

ou

∂ρ ∂ + (ρ v ) = 0 (6.59) ∂t ∂q que é a equa¸c˜ cão ao da contin continuid uidade. ade. O c´ alculo em 3-D resulta analogamente alculo em ∂ρ/∂t + (⃗ρv ) = 0. Podemos agora resolver as equa¸c˜ cões o es (6.55) (6.55) e (6.59) (6.59).. Pa Para ra a prime primeir iraa sabemos que (veja a se¸c˜ cao aõ 6.2)

∇·



q,t

σ (q, t) = σ0(q0 , 0) +

q 0 ,0

L dt.

(6.60)

´ LIMITE SEMICLASSICO

6.5

171

p Σt Σ0

q0

q

q0+ dq

0

q + dq

q

Figura 6.3: Sup Superf erf´´ıcie invariante ΣE no caso de um grau de liberdade. onde o ponto q0 é tal que a tra jet´ oria oria que parte de (q (q0 , p0 = ∂σ 0 /∂q 0 ) atinge o ponto q no ponto t. Na prática, atica, dado o ponto q e seu momento associado as as no tempo para encontrar p = ∂σ/∂q, ∂σ/∂q , temos que propagar esse ponto para tr´ q0, como ilustrado na figura (6.3). A equa¸c˜ cão ao da continuidade, por outro lado, nos d´ a a conserva¸c˜ cão ao de ρdq [19], assim como em fluidos temos a conserva¸c˜ cão ao da massa dm = ρdV . ρdV . Assim, se o intervalo [q [q0 , q0 + dq0 ] é propagado prop agado para [q, q + dt] ao dt] então 0)dq0 = ρ(q, t)dq ρ(q0, 0)dq ou

| 

dq0 A(q, t) = A(q0 , 0) dq

|

| |

(6.61)



1/2

(6.62)

.

Para sistemas com um grau de liberdade podemos obter uma express˜ ao ainda mais simples. Como a energia se conserva escrevemos dq = dt



2 (E m

− V ( V (q)) = p(q)/m

e

dq0 = dt



2 (E m

− V ( V (q )) = p(q )/m 0

0

(6.63)

ou, dividindo uma pela outra dq0 p(q0) = dq p( p(q )

(6.64)

172

6.6

INTEGRABILIDADE

Colocando tudo junto obtemos o resultado procurado:



p( p(q0 ) ψ (q, t) = A0 (q0 ) p( p(q )



1/2

e

i 

[σ0 (q0 )+S )+S (q0 ,0; q,t)] q,t)]

(6.65)

.

Se houver houver mais de uma trajetória oria que atinja o ponto q no tempo t fixado, temos que somar as contribui¸c˜ coes o˜es de todas elas. Esse procedimento resolve a equa¸c˜ cão ao de Schr¨ odinger como um problema odinger de condi¸c˜ coes o˜es inicia iniciais: is: dada ψ (q, 0) temos ψ (q, t). Pod Podemo emoss ainda ainda nos per−iEt/ guntar sobre os estados estacion´ arios, arios, onde ψ (q, t) = ϕ(q )e . Pa Para ra que que tenhamos esse tipo de dependˆ dep endência encia temporal, temp oral, basta que procuremos pro curemos solu¸ cões oes da eq.(6.55) da forma (6.66) σ (q, t) = (q ) Et.

S −

S

Substituindo na equa¸c˜ cão ao de Hamilton-Jacobi vemos que (q) deve satisfazer versao aõ independente do tempo. Explicitamente H (q, ∂ /∂q) /∂q ) = E , que é sua vers˜ temos que ∂ = 2m(E V ( (6.67) p( p(q ) = V (q)) ∂q define a superf sup erf´´ıcie invariante ΣE = (q, p(q )), que é a superf sup erf´´ıcie de energia, ener gia, e

S S

S S ±

S (q) =

√  ±

−

p(q )dq.

(6.68)

Como temos duas solu¸c˜ coes, o˜es, os estados estacion´ arios arios ficam dados por ∫ ∫ e−iEt/ − i p(q )dq + i p(q )dq + C 2 e ψE (q, t) = C 1 e p( p(q)

 √







(6.69)

que é o resultad resultadoo WKB. WKB. Pa Para ra complet completar ar a solu¸ solu¸ cão ao é ainda preciso obter a forma de ψ (q, t) nas regiões oes classicamente proibidas e conect´ a-las a -las com a expressão ao acima. Esse procedimento mostra que apenas as energias onde



1/2)h 2)h p(q )dq = (n + 1/

(6.70)

produzem conex˜ oes oes compat comp at´´ıveis. Essa equa¸c˜ cão ao é conhecida conh ecida com regra regr a de quantiza¸c˜ cão a o de BohrBohr-So Somm mmerf erfel eld. d. Veja mais mais detal detalhes hes,, por exemp exemplo lo,, no livro do Landau [20]. Como exerc´ exerc´ıcio, calcule a evolu¸ evolu¸ c˜ cao aõ temporal de uma part´ part´ıcula livre cuja fun¸c˜ cao aõ de onda inicial inicial é um auto-estado auto-estado de momento, momento, ′ ′ ψ ( p, 0) = δ( p p ). Mostre que nesse caso σ0(q ) = qp .

−

6.6

6.6 6.6

TEOREMA DE ARNOLD-LIOUVILLE

173

O teor teorem ema a de inte integr grab abil ilid idad ade e de Arno Arnold ld-Liouville

Como comentamos come ntamos no in´ıcio ıcio desse cap´ cap´ıtulo, ıtulo , a teoria teor ia de Hamilton-Jac Hamilt on-Jacobi obi pode p ode dar a impress˜ ao ao de que a solu s olu¸¸c˜ cao aõ de qualquer problema Hamiltoniano pode ser reduzida a uma transforma¸c˜ cão ao canˆ onica. onica. Veremos agora quais as a s condi¸c˜ coes o˜es que garantem que essa transforma¸ c˜ cao aõ canˆ onica pode ser encontrada. Os sisonica temas para os quais tal fun¸c˜ cao aõ geratriz pode ser obtida apenas com opera¸c˜ c˜ oes de invers˜ ao e integra¸c˜ cao ˜ de fun¸c˜ coes ˜ conhecidas são ao chamados chamado s de integr´ integraveis a´veis [3]. Veremos já o significado pr´ atico atico dessa frase em it´ alico. alico. Antes de enunciar o teorema de Arnold-Liouville precisamos de algumas defini¸c˜ coes ões auxiliares: – Chamaremos de 2n o espa¸co co de fases de um sistema com n graus de liber2n dade. Veja que dim( ) = 2n.

F F

– Duas fun¸c˜ coes o˜es F 1 (η ) e F 2 (η ), onde η parênteses ente ses de Poisson Pois son entre entr e elas ela s é nulo: nulo : n

{F , F } = 1

2

 i=1

2n

∈ F

∂F 1 ∂F 2 ∂q i ∂p i

ao se o , estão a o em involu¸c˜

∂F − ∂F ∂p ∂q 1

2

i

i

= 0.

– Duas fun¸c˜ coes o˜es F 1 (η ) e F 2(η ) são ao independentes se os vetores GF i

≡ J ∂F ∂η

i

forem L.I. (linearmente (linearmente independentes). independentes). Veja que o vetorG vetor G será a velocidade cão ao F for a Hamiltoniana. η˙ quando a fun¸c˜ t – O fluxo da hamiltoniana H será denotado por gH . Uma Uma condi condi¸c˜ ção ao inicial 2n t , quando propagada por H por um tempo t estará no ponto ηt = gH η η.

∈ F

TEOREMA (Arnold-Liouville) Se existirem n fun¸c˜ coes o˜es F i (η ), η ent˜ ao: ao:

2n

∈ F

, independentes e em involu¸c˜ cao aõ

1 – A supe su perf rf´´ıcie n-dimensiona n-dime nsionall M f f , definida por

174

6.6

INTEGRABILIDADE

M f f = η t.q. F i (η ) = f i , i = 1, 2, . . . , n onde f = (f 1 , f 2 , . . . , fn ) é um vetor veto r de valores valor es numéricos eri cos,, é invariante invaria nte pelo pe lo fluxo de H = F 1 .

{

}

2 – Se M f f for limitada e conexa (i.e., se for finita e não ao tiver partes disjuntas) ent˜ ao ao ela é difeomorfa a um toro n-dimensional T n , definido como o produto direto de n c´ırcu ır culo los. s. 3 – Nesse caso existem coordenadas ϕ1, ϕ2 , . . ., ϕn sobre M f f tal que dϕi = ωi (f ) f ), dt i.e., o movimento gerado por H é condiciona condi cionalmente lmente peri´ per i´ odico. odico. 4 – As equa¸c˜ cao aõ de movimento podem ser integradas por quadraturas, i.e., por po r opera op era¸¸c˜ coes o˜es que envolvem apenas invers˜ ao ao ou integra¸c˜ cão a o de fun¸c˜ coes o˜es conhecidas hecidas.. Em outras palavra palavras, s, uma transform transforma¸ a¸ cão ao canˆ onica onica (q, (q, p) (ϕ, I ) pode po de ser constru´ constru´ıda de d e tal forma que, nas novas novas vari´ aveis, aveis, H = H (I ). ).

→

Provaremos Provaremos primeiramen primeiramente te o ´ıtem 1 acima. Como escolhemos escolhemos F 1 como Hamiltoniana, então ao se η0 M f f , i.e. F i (η0 ) = f i, temos que

∈

d F i (η (t)) = F i , F 1 = 0 dt

{

}

e todas as F i são ao constantes na trajet´ oria oria η (t), i.e., F i (η0 ) = F i (η (t)) = f i . Assim, a trajetória oria não a o sai de M f f que é, e, portanto, invariante invariante pelo fluxo de H . A segunda parte do teorema é a mais complicada, pois trata-se de uma propriedade global da superf´ superf´ıcie M f f . Co Como mo a escolh escolhaa de H como sendo F 1 é totalmente tota lmente arbitr´ arbit r´ aria, podemos considerar cada uma das F i como gerando aria, t um fluxo gF i , que abreviaremos, quando não ao houver problemas, por git . Cada um desses fluxos é dado explicitamen explicitamente te pelas equa¸ cões o es de movim movimen ento to η˙ = J ∂F i /∂η. /∂η . Os vetores Gi = J ∂F i /∂η geram um campo vetorial sobre M f f : em

6.6


175

p 5 4 3 2 1

1

2

4

3

5

6

q

Figura 6.4: Exemplo de campo para n=1. cada ponto η

∈ M

f f

temos n vetores vetores L.I. G1 (η ), G2 (η ), . . . , Gn (η ) onde

    − −

∂F i (η ) ∂p 1

.. . ∂F i (η ) ∂p n

Gi (η ) =

∂F i (η ) ∂q 1

.. .

∂F i (η ) ∂q n

   

Por exemplo, em um grau de liberdade e para F = p2 /2 + q4 /4, teremos G(q, p) =

  p q3

− . = (1, (1, 2) teremos G(η ) = (2, (2, −1), como ilustrado na figura (6.4).

No ponto η0 0 Precisamos agora de dois resultados sobre a comutatividade dos fluxos gerados por cada uma das fun¸cões F i . Esses resultados estão ao demonstrados nos apêndices endic es B e C.

176

6.6

INTEGRABILIDADE

Mf t

s s gi g j η = g j gti η

s g j η

t gη i

η

Figura 6.5: Comutatividade dos fluxos sobre M f f . Lema 1 – O comutador de GF i com GF j é dado da do por po r [GF i , GF j ]

≡G

F i (GF j (η ))

−G

= G{F i ,F j }(η ) =

{

F j (GF i (η ))

∂ J ∂η

(6.71)

{F , F }. i

j

}

Lema 1a – Se F i , F j = 0 ent˜ ao ao [GF i , GF j ] = 0. A demon demonst stra ra¸c˜ çao aõ est´ a no apˆ apêndi en dice ce B. Lema 2 – Se [G [GF i , GF j ] = 0 então ao os fluxos git e g js comutam: git g js η = g js git η

(6.72)

para todo η . A demo demons nstra tra¸c˜ çao aõ est´ a no apˆ apêndice endice C e a figura figura 6.5 ilustra ilustra o resultado. Como os fluxos comutam, podemos definir um ‘superfluxo´ sobre M f f que combina a a¸c˜ cao aõ de todas as poss´ poss´ıveis dinâmicas amicas geradas pelas fun¸c˜ cões oes F i : g t = g1t1 g2t2 . . . gntn

(6.73)

onde t = (t1 , t2 , . . . , tn ) Rn . Fixando um ponto x0 M f f , gt x0 passeia sobre M f f conforme t anda sobre Rn , gerando um mapa de Rn sobre M f f : para cada t temos x = g t x0 . Co Como mo as as traje trajet´ t´ orias orias xi (ti ) = g ti x0 estão ao unicamente n definidas e os fluxos comutam, o mapa de R loc almente um-a-um. um-a-u m. M f f é localmente De fato, para ti << 1 temos x = x0 + i Gi (x0 )ti . En Ent˜ t˜ ao, ao, dado o vetor t

∈

∈

∑

→

6.6

177

TEOREMA DE ARNOLD-LIOUVILLE (a)

(b ) t2

~ e^2

=

=

~ ^ e1

t1

Figura 6.6: (a)Grupo estacion´ ario ario e (b) célula elula unitária. aria. o ponto x está unicamente definido. Por outro lado, como os vetores Gi são ao −1 LI, essas rela¸c˜ cões oes podem ser invertidas para obtermos t = G (x x0 ) onde esimo campo camp o vetorial. vetoria l. Gij é a matriz formada pelo componente i do j -ésimo No entanto, esse mapa não ao pode ser um-a-um globalmente, pois Rn não ao é limitado e estamos supondo que M f f é. e. En Ent˜ tão ao devem existir valores de t para os quais g t x0 = x0 . O conjunto desses t forma o Grupo Estacion´ ario Γ de M f f , cujas propriedades s˜ ao: ao:

−

(a) t = 0

∈ Γ.

(b) Existe uma vizinhan¸ca ca U de t = 0 onde gt x0 = x0 pois, supondo que x0 não ao é um ponto pont o de equil´ıbrio, ıbrio , o fluxo desloca deslo ca x0 ao longo de sua órbita. orbita. Isso mostra que Γ é um grupo discreto.

̸

(c) Γ é independente de x0 . Fica como exerc´ exerc´ıcio ao leitor provar provar essa proτ priedade (Dica: escreva y = g x0 ). (d) Γ de fato forma um grupo: se t1 t = 0 Γ.

∈

−1 1

ao t + t ∈ Γ; t ∈ Γ e t ∈ Γ então 2

1

2

=

−t ; 1

Usamos agora o resultado conhecido (veja uma demonstra¸ cão ao simples no n livro do Arnold) que qualquer sub-grupo discreto do R pode ser escrito em termos de uma base de vetores eˆ1 , eˆ2 , . . ., eˆk como m1 eˆ1 + m2 eˆ2 + . . . + mk eˆk

178

6.6

INTEGRABILIDADE

= =

=

=

Figura 6.7: Célula elula unit´ aria equivalente a um toro quando os lados opostos aria são ao identificados. onde os mi são ao inteiros inteiros (veja (veja a figura figura 6.6). 6.6). Essa Essa constru¸ constru¸ cão ao é muito usada em Estado Est ado Sólido olido (veja, por exemplo, o livro do Kittel). A célula elula primitiva p rimitiva formada pelo paralelogramo k-dimensional eˆ1 eˆ2 . . . eˆk é mapeado em um toro k-dimensional T k em M f f , pois cada lado oposto é identificado, i.e., é levado nos mesmos pontos em M f f , como ilustrado na figura 6.7. No caso de M f f , k = n, sen˜ s enão ao haveri h averiaa uma um a dire¸ di re¸c˜ cao aõ ond ondee pod p oder´ er´ıamos ıam os propagar indefinidamente e M f f não ao seria ser ia compacta. co mpacta. As curvas cur vas ao longo das d as dire¸c˜ coes o˜es eˆk são ao chamadas de circuitos circu itos irredut´ıveis ıve is do toro, γ k .

∧ ∧ ∧

Finalmente fazemos uma mudan¸ca ca linear das vari´ aveis aveis t para angulos aˆngulos 2π ao longo da dire¸c˜ cao aõ eˆ1, como ϕ1 , ϕ2, . . . , ϕn onde cada ϕi varia de 0 a 2π ilustra a figura 6.8. Indicando a transforma¸c˜ cão a o por ϕ = At, onde A é uma matriz mat riz n n, e t lembrando que o fluxo de H = F 1 é dado da do p or g1 , ou seja por

×

t=

  

t 0 0 .. . 0

  

,

ent˜ ao, sob o fluxo da Hamiltoniana, a transforma¸c˜ ao, cão ao se reduz a ϕi = Ai1t

≡ ω t. i

Com isso demonstramos demonstramos os ´ıtens 2 e 3 do teorema. A demonstra¸ demonstrac˜ ¸ao ao do ´ıtem ıt em 4 vai mostrar explicitamente como encontrar a transforma¸c˜ cao aõ canˆ can ônica oni ca para par a as variáveis aveis de ângulo angulo ϕ e seus momentos conjugados I que resolvem o problema. Antes Antes disso vamos ver dois exemplos simples simples de fluxos para fixarmos

6.6

179


t2

e2 2π

ϕ

ϕ

1

2

2π e1

0

t1

Figura 6.8: Transforma¸c˜ cao aõ para variáveis avei s de ângulo ang ulo.. as idéias eias da demonstra¸ demon stra¸c˜ cao. aõ.

Exemplo 6.6.1 Para sistemas com um grau de liberdade M f f é a sup su p erf´ er f´ıcie ıc ie de energia (F (F 1 = H , f = E , M f f = ΣE – veja a figura figura 6.2). Nessa Nessa caso a dire¸ direc˜ ção ao cao aõ do toro ϕ, pois tudo é unidiment do fluxo de H coincide com a dire¸c˜ sional. siona l. De fato, como sabemos sab emos que o movimento m ovimento é peri´ p eriódico odico e que q ue o per p er´´ıodo ario ar io é Γ = 0, τ, 2τ , . . . . A τ depende em geral da energia, o grupo estacion´ 1 superf´ superf´ıcie de energia tem a topologia do toro t oro T e a variável avel ϕ é ϕ = 2πt/τ .

{

}

Exemplo 6.6.2 Movim Movimen ento to em um potencia potenciall central central.. Nesse Nesse caso caso o movimovimento ment o é plano pla no e a Hamilt Ham iltoni oniana ana é pr2 p2θ + 2 + V ( H = V (r) 2 2r

≡

pr2 + V ef ef (r ). 2

{

}

As constantes de movimento s˜ ao ao F 1 = H e F 2 = pθ . Fixando f = E, m , a variedade M f f é M F F = η t.q. H (η ) = E e pθ = m .

{

}

A dinâmica amica do sistema sob a a¸c˜ cao aõ de F 1 = H é ilustrada na figura 6.9. Para valores de energia negativos o movimento radial est´ a confinado entre r1 e r2 e

180

6.7

INTEGRABILIDADE

sua proje¸c˜ cão ao no plano r pr é p eri´ er iódica odi ca com per pe r´ıodo ıo do τ r . O momento angular movi mentoo também em é peri´ pe ri´ odico, odico, mas o pθ é constante e no plano θ pθ o moviment tempo necess´ ario para uma volta angular completa, τ θ , não ario ao é nec n eces essa sari riam amen ente te igual ou mesmo comensur´ avel avel com τ r . Dizemos Dizemos que o movimento movimento global é quase-periódico. odico. A dinâmica a mica sob a a¸c˜ cão a o de F 2 = pθ é trivia tri vial. l. As equa¸ equ a¸c˜ coes o˜es de Hamilton ˙ mostram que θ = 1 enquanto que as derivadas temporais de todas as outras vari´ aveis aveis são ao nulas. Assim, a dinâmica amica de F 2 mant´ nt ém r , pr e pθ constantes enquanto θ = t. O movimen movimento to é globalmente globalmente peri´ p eri´ odico odico com per pe r´ıodo ıod o τ 2 = 2π . A figura 6.10(a) mostra o grupo estacion´ ario ario no plano t1–t2 com pontos vermelhos. A dinâmica amica na dire¸c˜ cao aõ de t2 é naturalmente natur almente peri´ per i´ odica odica (tˆ2 = eˆ2 ). No entanto, quando andamos na dire¸c˜ cao aõ de t1 não ao passamos por pontos do grupo, pois o movimento com H não ao é p eri´ er iódico. odico. A dire¸c˜ cão a o de eˆ1 , ao longo da qual o movimento ocorre apenas na dire¸c˜ cao aõ radial, não ao coincide com a dire¸c˜ cao aõ t1 . No caso especial do problema de Kepler, com V ( V (r) = K/r, K/r, sabemos que as orbitas órbitas são ao elipses fechadas, e portanto peri´ odicas. odicas. A dinâmica amica de de cao aõ angula angularr e um umaa radia radial. l. Ness Nessee caso caso H causa simultaneamente uma rota¸c˜ o grupo estacion´ ario ario é ilustrado ilustrado na figura 6.10(b) e o eixo t1 corta o grupo estacionário. ario.

−

−

−

6.7

ˆ Vari´ aveis aveis de A¸ c˜ ao e Angulo

Nesta se¸c˜ cao aõ vamos construir explicitamente a transforma¸ c˜ cao aõ canˆ onica onica que leva as variáveis aveis originais (q, (q, p) para novas variáveis aveis (ϕ, (ϕ, I ) onde cada ϕk varia entre 0 e 2π 2π ao longo de um dos circuitos circu itos irredut´ıveis ıveis do toro. t oro. Embora a transforma¸cão nao aõ seja tão ao simples, simples, a id´ eia eia por traz da transforma¸ transforma¸ cão é quase trivial: trivial: Temos emos um conjun conjunto to de n constantes F k (q, p) independentes e em involu¸c˜ cao. a˜ o. Podemo odemoss ent˜ ent˜ ao ao definir novas novas vari´ aveis aveis (Q, P ) P ) de tal forma que Como mo os P k são ao constantes do movimento, a Hamiltoniana P k = F k (q, p). Co escrita em termos de Q e P deve ser tal que P ˙k = ∂H/∂Qk = 0. Então ao H não ao pode depender dos Q’s: H = H (P ). P ). Assim vemos que Q˙ k = ∂H/∂P k Ωk (P ) integra¸ ra¸ c˜ cao aõ das equa¸c˜ cões oes de movimento é ent˜ ao ao trivial: P ) = const.. const.. A integ ao que existe uma transforma¸c˜ cao aõ P k = P k0 e Qk = Qk0 + Ω k t. Fica claro então canônica onica que torna a dinâmica amica trivial. Acontece que a escolha direta dos novos P k como as fun¸c˜ coes o˜es F k não é

−

≡

´ EIS ˜ E ANGULO ˆ VARIAV AVEI S DE AC ¸ AO

6.7

181

p

Vef

θ

m

r

2π

θ

y p

r

r1 r1

r2

r2

x

r

Figura 6.9: Movimento sob a a¸c˜ cao aõ de um potencial central.

(a)

(b) t2

t2

2π

e2

e2

0

e1

t1

2π

0

e1

t1

Figura 6.10: (a) Grupo estacion´ ario ario para um potencial central genérico; erico; (b) Caso particular do potencial de Kepler.

182

6.7

INTEGRABILIDADE

a melhor poss p oss´´ıvel. ıvel. Como vimos as fun¸c˜ cões oes F k geram fluxos que não ao est˜ ao ao necessariamente ao longo dos circuitos irredut´ irredut´ıveis γ k . A id´ i déia ei a ent˜ e ntão ao é defin de finir ir um novo conjunto de momentos I k que são ao fun¸c˜ cões oes dos F k : I k = I k (F ). F ). Como os F são ao constantes, os I tamb´ ta mbém em ser˜ se rão. a o. O que define os I ’s ’s é a imposi imp osi¸c˜ çao aõ que suas vari´ aveis aveis conjugadas são ao os ângu an gulo loss ϕk que variam de zero a 2π 2π ao longo dos circuitos γ k . As variáveis aveis (I (I , ϕ) são ao chamadas de vari va ri´ávei av eiss de a¸c˜ c˜ ao e angulo. aˆngulo. Vamos ver como definir definir a vari´ ariavel a´vel I em sistemas com apenas um grau de liberdade e depois estenderemos o c´ alculo alculo para um n´ umero umero arbitr´ ario ario de graus [5, 3].

6.7. 6.7.1 1

Um grau grau de liber liberda dade de

Nesse caso F = H , f = E e a superf´ sup erf´ıcie ıci e M f f = M E e a superf´ sup erf´ıcie ıcie de energi ene rgiaa E ´ (veja a figura 6.2). Escolhemos um fun¸c˜ cao ão geratriz do tipo 2, S (q, I ), ), tal que p =

∂S ∂q

ϕ=

∂S ∂I

(6.74)

com as condi¸c˜ cões oes (1)

I = I (E )

(2)



M E

e

dϕ = 2π .

Integrando a primeira das equa¸c˜ cões oes acima podemos escrever S como S (q, I ) =



)dq p(q, I )dq

(6.75)

onde a integral é feita sobre a superf´ superf´ıcie I =const., =const., ou seja, sobre M E E . De ) . Quand Quandoo conhe conhecer cermo moss a rela¸ rela¸ c˜ cao aõ H (q, p) = E podemos obter p = p(q, E ). cao aõ E = E (I ) poderemos escrever p = p(q, I ) e calcular explicitamente a fun¸c˜ geratriz fazendo a integral acima. Para obter a rela¸c˜ cao aõ E = E (I ) fazemos fazemos o seguin seguinte te truque: truque: definimo definimoss primeiramente a varia¸c˜ cao aõ de S sobre um ciclo em torno de M E E , i.e., sobre o unico u ´ nico circuito irredut´ irredut´ıvel deste toro: A(I ) =



)dq p(q, I )dq

(6.76)


6.7

183

que nada mais é do que a área area no plano p-q envolvida pela superf´ superf´ıcie de energia. Derivando em rela¸c˜ cão ao a I obtemos ∂A( ∂A (I ) = ∂I



∂p dq = ∂I



∂ ∂S dq = ∂q ∂I



∂ϕ dq = ∂q



dϕ

≡ 2π.

(6.77)

Integrando resulta em A(I ) = 2πI ou



1 I = 2π

pdq.

(6.78)

Escrevendo explicitamente p = p(q, E ) temos a rela¸c˜ cão ao procurada: 1 I = 2π



)dq = I (E ) p(q, E )dq

(6.79)



(6.80)

e finalmente a fun¸c˜ cao aõ geratriz: S (q, I ) =

))dq. p(q, E (I ))dq.

A receita para o c´ alculo alculo da fun¸c˜ cao aõ geratriz da transforma¸ c˜ cão ao canˆ onica onica é a seguinte: (1) use H (q, p) = E para escrever p = p(q, E ); ); (2) obtenha cao aõ (6.79); (3) inverta para obter E = E (I ) e fa¸ca ca I = I (E ) a partir da equa¸c˜ a integral indefinida (6.80).

6.7.2

V´ arios arios graus graus de liberdade liberdade

A expressão a o da fun¸c˜ cao aõ geratriz para mais graus de liberdade é obtida com generaliza¸c˜ cao aõ direta do procedimen procedimento to uni-dime uni-dimensi nsional onal.. A fun¸ c˜ cao aõ geratriz p ode ser escrita escrita S (q, I) depende das n coordenadas qk e das n constantes I k e pode como n S (q, I) =

 

)dqk pk (q, I)dq

k=1

 ≡ ·

p dq

(6.81)

onde a integral é feita sobre um caminho qualquer na superf´ superf´ıcie M f f , onde os valores I k são ao constantes. constantes. Veja que, pelo teorema de Poincar´ Poincaré-Cartan, e-Cartan, a integral sobre M f f não ao depende depende do caminho. caminho. Utiliz Utilizando ando as n expressões oes ). Quando conseguirmos expressar F k (q, p) = f k podemos obter pk = pk (q, f ). os novos momentos I k em fun¸c˜ cao aõ das constantes f , teremos tere mos a fun¸c˜ cao aõ geratriz procurada. Novamente Novamente precisamos precisamos encontrar encontrar essas rela¸ cões oes I k = I k (f )

184

6.7

INTEGRABILIDADE

impondo que os angulos aˆngulos conjugados variem de 0 a 2π 2π conforme os circuitos irredut irred ut´´ıveis do toro s˜ ao ao percorridos. Definimos Ak (I) como sendo a integral de S sobre o circuito circu ito peri´ per iódico odico γ k : Ak (I) =



·

p(q, I) dq.

γ k

(6.82)

Derivando em rela¸c˜ cao aõ a I j obtemos ∂A k = ∂I j j =

    i

i

γ k

γ k

∂p i dqi = ∂I j j ∂ϕ j dqi = ∂q i

   ≡ i

γ k

∂ ∂S dqi ∂q i ∂I j j

dϕ j

(6.83) 2πδ j,k

γ k

pois o angulo aˆngulo ϕ j só muda ao longo do circuito γ j . Integr Integrando ando vemos vemos que que Ak = 2πI k , ou ainda 1 I k = 2π



p(q, f ) dq = I k (f ).

·

γ k

(6.84)

Invertendo essas n rela¸c˜ cões oes teremos f = f (I) e finalmente a fun¸c˜ cao aõ geratriz S (q, I) =



·

p(q, f (I)) dq.

(6.85)

Note que se a Hamiltoniana é a fun¸c˜ cão ao F 1 , então ao f 1 = f 1 (I) é o mesmo que novas vari´ aveis de a¸c˜ cao. aõ. H = H (I), que é a Hamiltoniana escrita nas novas A receita geral para o cálculo alculo da fun¸c˜ cão ao geratriz da transforma¸ c˜ cao aõ canˆ onica onica é a seguinte: (1) use F k (q, p) = f k para escrever pk = pk (q, f ); ); (2) obtenha I = I(f ) a partir das equa¸c˜ coes o˜es (6.84); (3) inverta para obter f = f (I) e fa¸ca ca a integral indefinida (6.85).

6.7. 6.7.3 3

Exem Exempl plos os

O oscilador harmˆ onico onico 1-D


6.7

185

A Hamilt Ham iltoni oniana ana é H = p2 /2 + ω 2 q2 /2. Fixando Fixando uma superf´ superf´ıcie de energia E resolvemos para p em fun¸c˜ cao aõ da posi¸c˜ cao aõ e do momento: p(q, E ) = 2 2 2E ω q e

√ −

S (q, I ) =

 √ − 2E

ω 2 q2 dq

Definindo a vari´ avel avel auxilar θ por q = 2E S (q, I ) = ω



E= E (I ).

com

√

2E/ω 2 sin θ obtemos E [θ + sin sin 2θ/2] θ/2] . ω

cos2 θ dθ =

A rela¸c˜ cão ao E = E (I ) vem de 1 I = 2π



E )dq = p(q, E )dq πω



2π

cos2 θdθ =

0

E ω

ou, E = ωI . result ado final é ωI . O resultado sin 2θ/2] S (q, I ) = I [ I [θ + sin θ/2] onde θ(q, I ) é obti ob tido do de q = é

√

2I /ω sin θ. A Hamiltoniana nas novas variáveis aveis H (I ) = ωI

e a solu¸c˜ cao aõ das equa¸c˜ cões oes de movimento é I = I 0 e ϕ = ϕ0 + ωt. Finallωt. Fina mente escrevemos as equa¸c˜ coes o˜es da transforma¸c˜ cão ao canˆ onica onica e as resolvemos para completar compl etar a solu¸c˜ cao: aõ: ∂S ∂θ = I (1 ( 1 + cos 2θ) = 2I cos p = I cos2 θ ∂q ∂q

  ω 1 2I cos θ

sin2θ sin2θ sin2θ sin2θ ∂S ∂θ = θ+ + I (1+cos2θ ( 1+cos2θ) = θ+ ϕ= 2 2 ∂I ∂I

− 2I cos I cos

= 2

θ

O resultado da transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica é q=

√

2I /ω sin ϕ

p=

√

√

2I ω cos θ;



sin θ 2I cos I cos θ

2I ω cos ϕ

e a evolu¸c˜ cão ao tempo tem poral ral é q(t) =

√

2I 0 /ω sin(ϕ sin(ϕ0 + ωt) ωt)

p=

√

2I 0 ω cos(ϕ cos(ϕ0 + ωt) ωt)



= θ.

186

6.7

INTEGRABILIDADE

onde I 0 = E/ω. E/ω .

O oscilador harmˆ onico onico 2-D Nesse caso a Hamiltoniana é soma de duas du as partes part es n˜ ao ao interagentes, H = 2 2 2 2 2 2 omo H 1 e H 2 são a o fun¸c˜ coes o˜es H 1 + H 2 = p1 /2 + ω1 q1 /2 + p2 /2 + ω2 q2 /2. Como independentes e em involu¸c˜ cão, ao, o sistema sistem a é integrável. avel. A energia energia total E se reparte em E 1 e E 2 e cada parcela é conservada. Nesse caso é conveniente escolher H 1 e H 2 como fun¸c˜ coes o˜es F i , e não ao a Hamilt Hamiltoni oniana ana total. Os valores valores de E 1 e E 2 definem defin em a superf´ sup erf´ıcie ıcie M f f e, nessa superf´ superf´ıcie, os valores assumidos assu midos por cada variável avel ficam limitados aos intervalos

    ∈ −   √ √ ∈ − 2E i ,+ ωi

qi e pi

2E i ωi

2E i , + 2E i

como ilustra a figura 6.11(a). A proje¸ c˜ cao aõ da trajet´ tra jet´ oria oria nos planos conjugados ao elipses, como no caso unidimensional, como mostram os q1 p1 e q2 p2 são painéis eis (b) ( b) e (c). A variedade varieda de M f f pode ser visualizada no espa¸co co q1 p1 q2 (fig.6.11(d)): a proje¸c˜ cao aõ q1 p1 deve ser uma elipse, enquanto o valor de q2 oscila entre 2E 2 . A superf´ superf´ıcie gerada é um cilindro, que na verdade é um ‘toro achatado’ achatado’.. Cada ponto sobre o cilindr cilindroo define define os valores valores de q1 , p1 e q2 . Co Como mo E 2 está fixa, o valor de p2 está definido a menos de um sinal. Portando o cilindro tem duas folhas, uma onde p2 é positivo (o lado de fora do cilindro, por exemplo) e outra onde p2 é negativo (o lado de dentro). As folhas se encontram nos pontos onde q2 é maximo, a´ximo, ou seja, quando p2 = 0. Os circuitos circu itos irredut irred ut´´ıveis γ 1 e γ 2 tamb´ am bém em são ao mostrados na figura. Para obter a fun¸c˜ cao aõ geratriz da transforma¸c˜ cão ao canônica onica temos temo s que qu e fazer a integral de p dq sobre M f f . Como a integral é independente inde pendente do caminho, ca minho, escolhemos aquele que anda um trecho sobre γ 1 e depois outro trecho sobre resultad o é a soma de duas fun¸ func˜ çoes o˜es geratrizes independentes, uma em γ 2 . O resultado cada sub-espa¸co: co:

±√

− −

−

| |

·

sin 2θ1 /2] + I 2 [θ2 + sin sin 2θ2 /2] S (q1 , q2 , I 1 , I 2 ) = I 1 [θ1 + sin

√

onde θi (qi , I i ) é obtido obtid o de qi = 2I i /ω sin θi . A Hami Hamilt lton onia iana na nas novas novas variáveis ve is é H (I 1 , I 2 ) = ω1 I 1 + ω2I 2.


6.7

(a)

q2

187

q2

(b)

E2

q1

(c)

p

2

q

(d)

p

2

1

γ

E1

2

γ

1

q1

p

1

q1

Figura 6.11: Proje¸c˜ cao aõ da trajet´ tra jetória oria nos planos (a) q1 q2 ; (b) q2 p2; (c) q1 p1. O painel (d) mostra a superf´ıcie ıcie M f f projetada no espa¸co co q1 p1 q2 e os dois circui cir cuitos tos irredu irr edutt´ıveis γ 1 e γ 2.

188

6.7

INTEGRABILIDADE (a)

(b) t2

φH

2π

φ2 0

φ1

t1

Figura Figura 6.12: Grupo Grupo estacio estacion´ n´ ario ario no plano t1 M f f .

−t

2

e trajet´ oria oria de H no toro

−

Para finalizar este exemplo mostramos o grupo estacion´ ario no plano t1 que t2 , assim como o fluxo de H nesse plano e sobre o toro M f f . Note qu os circui circuitos, tos, que correspon correspondem dem ao fluxo fluxo de H 1 e H 2 , não ao coincidem com trajet´ orias orias do sistema.

O problema de Kepler A Hamiltoniana do problema de dois corpos de massas m1 e m2 pode ser separada em uma parte livre do centro de massa e uma parte correspondente a uma part´ part´ıcula de massa reduzida µ no potencial gravitacional central da massa total M = m1 + m2 : pr2 p2θ + H = 2µ 2µr2

− GMr m

Os circuitos irredut´ irredut´ıveis corresponde c orrespondem m a variar θ de 0 a 2π com r fixo (γ 1 ) e variar r de rmax a rmin e de volta a rmax (γ 2 ). As variáveis aveis de a¸c˜ cão ao são: ao: 1 I θ = 2π e 1 I r = 2π



2 pr dr = 2π

 



2π

pθ dθ = pθ

0

rmax

2µ(E + E + GMµ/r) GMµ/r)

rmin

µ − I /r = −I + √GM −2µE 2 θ

2

θ

6.8

SUPER-INTEGRABILIDADE

189

onde E < 0. Resolv Resolvendo endo para para E obtemos a Hamiltoniana nas vari´ aveis aveis de a¸c˜ cao: aõ: M 2µ3 G2 H (I r , I θ ) = . 2(I 2(I r + I θ )2 ´ fácil E acil verificar que as freq¨ uˆ uências encias dos movimentos radiais e angulares s˜ ao ao iguais, o que mostra que as órbitas orbitas são ao peri´ odicas: odicas:

−

ωr = ωθ =

6.8

M 2µ3 G2 . (I r + I θ )3

Super-i Super-in ntegrab tegrabili ilidad dade e

Vimos que um sistema sistema com n graus de liberdade é integr´ integr´ avel se tiver n constantes do movimento independentes e em involu¸c˜ cao. aõ. Podemos nos perguntar o que acontece se um sistema Hamiltoniano tiver mais do que as n constantes necessárias. arias. Dois Dois exempl exemplos os importan importantes tes de sistema sistemass desse desse tipo com n = 2 são ao o oscilador harmˆ onico onico isotr´ opico o pico e o problema problema de Kepler. Kepler. A terceir terceiraa constante constante de movimen movimento to é o momento momento angular no primeiro primeiro caso e o vetor vetor de Laplace-Runge-L Laplace-Runge-Lenz enz no segundo. A conseq¨ uência enc ia desta des ta consta con stante nte extra ext ra é que a variedade M f f fica unidimensional e o movimento é sempre peri´ odico. odico. Veremos que o conjunto de três es constantes, apesar de independentes, indep endentes, n˜ ao est˜ ao ao em involu¸c˜ cão. ao. Sistemas nessa categoria s˜ ao ao chamados de super-integr´ aveis. aveis.

6.8.1 6.8.1

O veto vetorr de La Lapla placece-Run Rungege-Len Lenzz

Vamos mostrar que o problema problema gravitacional gravitacional plano de dois corpos tem três es constan constantes tes de movim moviment entoo [5]. [5]. Dua Duass delas delas s˜ ao a energia total e o momento ao angul angular. ar. Vamos amos supor um caso caso geral geral de for¸ forca ça central onde F = f ( f (r )r/r. /r. Ent˜ ao ao r p˙ = f ( f (r ) r e f ( f (r ) f ( f (r ) p˙ L = µ [r (r r˙ )] = µ [(r r˙ )r r2 r˙ ]. r r Usando 2r r˙ = d(r r)/dt = d(r d(r2 )/dt = 2r r˙ e o fato de L ser constante podemos escrever

×

·

d (p dt

× ×

· −

·

× L) = −µf ( µf (r )r

2

−  r˙ r

rr˙ = r2

d r µf ( µf (r)r . dt r

−

2



190

6.9

INTEGRABILIDADE

Para for¸cas cas gravitacionais f ( f (r) = d (p dt ou ainda O vetor

×

2

e

d r L) = µK . dt r

×

d p dt

−K/r



L

A=p

−

r µK = 0. r



× L − µK rr

é portanto por tanto uma constante const ante de movimento e é conhecido conhe cido como vetor de LaplaceRunge-Lenz . Como Como o movim movimen ento to é plano plano e perpendicu perpendicular lar a L, vemos que A L = 0, o que mostra que A está no plano da órbita. orbita. Podemos Podemos ent˜ ent˜ ao ao escolher a dire¸c˜ cão ao fixa de A para medir o angulo ângulo orbital θ. Nesse caso

·

A r = Ar cos θ = r (p

· · × L) − µKr. Como r · (p × L) = L · (r × p) = L · L = L , vemos que Ar cos θ = L − µKr µK r, 2

2

que ainda pode ser re-escrito como



1 µK A = 2 1+ cos θ r L µK



que é a equa¸c˜ cao aõ da órbita orbita (veja o cap´ cap´ıtulo 1). Podemos ent˜ ao identificar cao aõ de A = µKϵ µK ϵ, onde ϵ é a excentricidade da elipse. Como A está na dire¸c˜ 1/r é maximo a´ximo e r é m´ınim ın imoo, con co nclu´ cl u´ımos ım os que qu e o vetor de Laplaceθ = 0, onde 1/r Runge-Lenz aponta para o ponto mais baixo da órbita orb ita (peri´ (p eriélio eli o no caso do Sol) e tem m´ odulo odulo A = µkϵ. µkϵ . A existˆ existência encia desta terceira constante constante de movimento movimento torna o problema de Kepler super-integr´ a vel e faz com que todas as suas orbitas avel o´rbitas de energia negativa sejam peri´ odicas. odicas.

6.9 6.9

O teor teorem ema a de Bert Bertra rand nd

O fato de termos encontrado uma terceira constante de movimento para o problema de Kepler e para o oscilador isotr´ opico opico não ao implica que haja uma terceira constante de movimento para outras for¸ cas centrais. Caso ela exista, sabemos que as orbita o´rb itass ser˜ s erão ao peri´ pe riódicas odicas para todos os valores de E e L onde

6.9

O TEOREMA DE BERTRAND

191

o movimento é limitado. O teorema de Bertrand mostra que, para potenciais p otenciais n centrais da forma U ( U (r ) = K n r , isso só ocorre para n = 2 e n = 1, correspondendo ao oscilador isotr´ opico e ao problema de Kepler. Faremos aqui opico uma demonstra¸c˜ cão ao parcial parcial do teorema teorema [5, 14]. O leitor encontr encontrar´ ar´ a demonstra¸c˜ coes o˜es mais rigorosa rigorosass nos livros livros do Arnold Arnold [3] e de J.L. McCauley McCauley [21]. A idéia eia da demons dem onstra tra¸c˜ ção ao é mostrar primeiramente que as orbitas o´rbitas pr´ oximas oximas da orbita órbit a circular circ ular (que ( que é obviamente obvia mente peri´ p eri´ odica), odica), só serão ao tamb´ ta mbém em p eri´ er i´ odicas odicas para alguns valores de n. Em seguida mostraremos mostraremos que para valores valores de n diferentes de 2 e -1 existem energias para as quais as orbitas o´rbitas n˜ ao ao são ao peri´ odicas, odicas, o que leva a` conclus˜ ao ao que apenas para n = 2 e n = 1 as orbitas órbitas são ao peri´ odicas odicas para todas energias. Come¸camos camos por escrever as equa¸c˜ coes o˜es de conserva¸c˜ cão a o b´ asicas asicas para uma part par t´ıcula ıcu la de massa mas sa µ sujeita ao potencial U ( U (r ):

−

−

µr˙ 2 + V ( E = V (r); 2 onde e

L2 V ( V (r) = U ( U (r) + 2µr2 ˙ L = mr2 θ.

Temos que separar separar a prov prova em dois casos: (A) n = 1, 2, . . . e K n > 0 (para que o movimento seja limitado); (B) n = 1, 2, . . . e K n < 0. O caso par t´ıcula ıcu la livre livr e e é trivia tri vial. l. n = 0 corresponde a` part O potencial efetivo V ( u ńi co m´ınimo ıni mo dad dadoo por p or r0n+2 = L2 /(nµK n ) V (r) tem um unico que corresponde a` orbita o´rbita circular de per´ per´ıodo τ θ = 2πµr 02 /L e energia E 0 = orbitas com energia pr´ oxima oxima de E 0 podemos expandir V ( V ( V (r0 ). Para órbitas V (r ) em torno de r0 . Seja Seja ent˜ ent˜ ao ao E = E 0 + ϵ e r próximo oximo de r0. A equa¸ e qua¸c˜ cao a˜ o de conserva¸c˜ cao aõ de energia fica

− −

µr˙ 2 V ′′ (r0 ) + E 0 + (r E 0 + ϵ = 2 2 ou

µr˙ 2 V ′′ (r0 ) + (r ϵ= 2 2

−r ) 0

2

−r ) 0

2

√

que representa representa um oscilador oscilador radial com per´ per´ıodo τ r = 2π µ/V ′′ (r0 ). O per´ıodo ıod o angular angu lar é ainda aproximadamente aproxima damente τ θ de forma que a raz˜ ao ao entre

192

6.9

INTEGRABILIDADE

os per´ıodos, ıodo s, chamada cha mada de n´ umero umero de rota¸c˜ caõ, é W

τ θ = τ r

≡

√

µV ′′ (r0)r04 . L

Se W for racional, W = p/q, o´rbita fecha depois de q voltas em torno da p/q, a orbita origem, tendo completado completado p oscila¸c˜ coes o˜es radiais. Calculando W explicitamente obtemos 3L2 ′′ 1)K nr0n−2 V (r0 ) = 4 + n(n 1)K µr0 e µV ′′ (r0)r04 = 3 + n(n 1)K 1)K n µr0n+2 /L2 = n + 2 2 L de forma que W = n + 2

−

−

√

que é independe indep endente nte de K n e de L. Esse n´ umero umero certamente é racional para (W=1). No entan entanto, to, essa essa an´ analise a´lise mostra que as n = 2 (W=2) e n = 1 (W=1). orbitas órbitas vizinhas a` circular ainda ser˜ ao ao fechadas se n = 7, 14, 14, 23 etc. etc. Vamos então a o mostrar que, nesses casos, as orbitas o´rbitas com energia alta n˜ ao a o são ao peri´ odicas. odicas. Das equa¸c˜ coes o˜es de movimento para r e θ podemos derivar uma equa¸c˜ cao aõ para a orbita, o´rbita, r = r (θ). Po Porr simpli simplicid cidade ade vamos vamos considerar considerar apenas o caso K n > 0 e, portanto, n > 0. Partimos de

−

dr = 1/ r˙ = dt



2 (E µ

− V ) V )

dθ L = 2 θ˙ = dt µr e portanto dθ = dr

L/r2 2µ(E V ) V )

√

−

ou, integrando sobre um per´ per´ıodo radial,

 √ rmax

∆θ = 2

rmin

L/r2 . 2µ(E V ) V )

−

EXERCÍCIOS

6.10

193

A quantidade ∆θ ∆θ mede o quanto o movimento angular rodou depois de um per´ıodo ıod o radial. radia l. Ent˜ ao, ao, 1 ∆θ 1 = = 2π W π

 √ rmax

L 2µ(E

r2

rmin

. − V ) V )

Como procuramos situa¸c˜ coes ões onde todas as orbitas o´rbitas sejam fechadas, independente da energia, vamos tomar E . Os pontos pontos de retorno retorno s˜ ao ao solu¸c˜ cões oes de L + K nr n E = 2 2µr

→∞

≈∞

e são ao dados aproximadamente por rmax e rmin a mudan¸ca ca de vari´ aveis aveis x = L/ L/(( 2µEr) µEr ) obtemos

√

−1

W

1 = π

 √ 1

0

1

2

≈ (L /2µE )

1/2

. Fazendo

dx 1+n/2 2 −n /E 1+n/

2

− x − Ax

onde A = K n Ln/(2µ (2µ)n . Para grandes valores de E e po demos desprezar E e n > 0 podemos o ultimo u ´ltimo termo na raiz quadrada e obtemos −1

W

1 = π

 √ 1

0

dx 1 = . 2 1 x2

−

No entanto, se todas as orbitas o´rbitas do potencial U = K nr n são ao peri´ odicas, odicas, W deve deve ser o mesmo mesmo para todas as energias. energias. En Ent˜ t˜ ao o valor W = 2 para altas energias deve ser o mesmo que W = n + 2 para baixas energias, o que ocorre apenas para n = 2. Uma análise alise similar para o caso K n < 0 fornece apenas o valor n = 1.

√

−

6.10


1. Uma part´ part´ıcula move-se em uma dimens˜ ao ao no potencial V ( V (x) = k/x 2, etodo de Hamilton-Jacobi se x(0) = x0 e k > 0. Determine x(t) pelo método x˙ (0) = 0. 2. Uma part´ıcula ıcula com energia total t otal positiva p ositiva move-se move-se em uma dimes˜ ao ao sob a a¸c˜ cão ao do potencial V ( V (x) = F x onde F é uma constante positiva. Use variáveis aveis de angulo aˆngulo e a¸c˜ cao aõ para determinar o per´ per´ıodo em fun¸ c˜ cao aõ da energia. Qual o espectro de energias que resulta da aplica¸c˜ cão ao da regra de quantiza¸c˜ cao aõ de Bohr-Sommerfeld?

||

194

6.10

INTEGRABILIDADE

3. O movimento de uma part´ part´ıcula é governado pela p ela Hamiltoniana dependente do tempo p2 H (x,p,t) x,p,t) = Atx 2m

−

onde A é constante. Resolva as equa¸c˜ coes o˜es de movimento pelo método etodo Hamilton-Jacobi. 4. Uma part´ part´ıcula de carga e e massa m move-se no plano x-y sob a a¸c˜ cao aõ de um u m campo ca mpo magnético etico constante const ante B na dire di re¸¸c˜ cão ao z. A Hamiltoniana do sistema sistem a é dada por



1 eB H = px + y 2m 2



2



1 + py 2m

−



eB x 2

2

.

Esse sistema sistem a é integrável? avel? Quais as constantes constantes de movimento? movimento? (Dica: escreva a Hamiltoniana em coordenadas polares). Escreva e resolva as equa¸c˜ coes o˜es de movimento. Construa vari´ aveis aveis de ângulo angulo e a¸c˜ cao aõ para esse sistema. 5. Considere o sistema integr´ avel avel I 12 I 22 H 0 (I 1 , I 2 ) = α + . 2 2

≡

Para uma energia fixa E , encontre ρ ω1 /ω2 como fun¸c˜ cao aõ de E e I 1 . Mostre que I 1 varia entre zero e o valor m´ aximo aximo 2E/α. E/α . Encontre o valor de I 1 e I 2 (i.e., encontre o toro) onde ρ = r/s. cao aõ r/s. Escolha uma se¸c˜ de Poincaré conveniente e esboce esbo ce o mapa de Poincaré nessa se¸ cão. ao.

√

6. Mostre que M f f não ao pode ser uma esfera, que tamb´ também em é compacta e cone conexa xa.. (Dic (Dica: a: most mostre re que o grupo grupo estac estacio ion´ n´ ario da esfera n˜ ao é discreto). 7. O oscilador harmˆ onico onico isotr´ opico opico é um caso particular particular do oscilador oscilador harmônico onico 2-D e ocorre quando ω1 = ω2 Nessee caso temos temos um ω. Ness problema de for¸ca ca central e o momento angular deve ser conservado. De fato, definindo Lz = q1 p2 q2 p1

≡

−

EXERCÍCIOS

6.10

195

é facil aćil mostrar que z

1

= p1 p2 + ω12 q1 q2

z

2

= p1 p2

{L , H } {L , H } {L , H } z

2 2 1 2

−

−ω q q = q q (ω − ω ). 2 1

1 2

2 2

e Lz , H = 0 no caso isotrópico. opico. Em vez de usar as três es constantes constantes de movimento H 1 , H 2 e Lz é interessante usar as seguintes constantes alternativas: K 1 = ( p1 p2 + ω2 q1 q2)/2

{

}

K 2 = (H 1

− H )/2ω 2

K 3 = Lz /2. Com isso obtemos H 2 = 4ω 2 (K 12 + K 22 + K 32 )

{

}

∇

onde K i , H = 0 e Gi = J H são ao independentes. Note que, embora existam três es constantes constantes de movimento movimento independentes, independentes, elas n˜ ao est˜ ao ao em involu¸c˜ cao. aõ. (a) Calcule os vetores Gi . orto gonal a todos to dos os G . ∇H é ortogonal (c) Mostre que {K , K } = ϵ K , que é uma algebra de momento (b) Mostre que

i

i

j

ijk

k

angular. Isso mostra que o grupo de simetria n˜ ao ao é SO(2), SO(2) , mas SU(2) ou SO(3).

196

INTEGRABILIDADE

6.10

Cap´ıtulo 7 Estabilidade de Pontos de ´ Equil´ıbrio e Orbitas Peri´ odicas odicas Nos próximos oximos cap´ cap´ıtulos estudaremos estudaremos o efeito de pequenas perturba¸ cões em sistemas Hamiltonianos integr´ aveis. Veremos que perturba¸c˜ aveis. cões oe s t´ıpic ıp icas as provo p rovo-cam o aparecimento de orbitas o´rbitas peri´ odicas odicas isoladas na superf´ superf´ıcie de energia, sendo algumas delas est´ aveis aveis e outras inst´ avei a veis. s. As orbitas o´rbitas inst´ aveis aveis são ao responsáveis aveis pelo aparecimento de movimento caótico otico em suas vizinhan¸ cas. Neste cap´ cap´ıtulo vamos apresentar apresentar o conceito de estabilidade estabilidade linear de pontos de equil´ equil´ıbrio e de orbitas o´rbitas peri´ odicas. odicas. Essas Essas ultimas u ´ltima s serão ao tratadas trat adas como pontos fixos nos mapas de Poincaré. e.

7.1

Pontos ontos de Equil´ Equil´ıbrio em 1 grau de liberdade

Um ponto de equil´ıbrio ıbrio η0 = (q0 , p0 ) é tal que o campo Hamiltoniano G = J H se anula sobre ele:

∇

∂H (q0 , p0 ) ∂p ∂H (q0 , p0 ) ∂q

=0 ≡ ∂H ∂p 0

(7.1)

= 0. ≡ ∂H ∂q 0

A estabilidade de η0 é ditada dit ada pelo pel o compo co mportame rtamento nto dinˆ dinamico aˆmico em sua vizinhan¸ca: ca: se pontos vizinhos se afastarem de η0 , este e ste será consid c onsiderado erado inst´ avel. avel. 197

198

7.1

ESTABILIDADE

Caso eles se aproximem, aproximem, dizemos que o ponto de equil´ equil´ıbrio é est´ avel avel.. No entanto, como sistemas Hamiltonianos s˜ ao ao cons co nser ervati vativos vos,, não ao é p oss os s´ıvel ıve l que qu e órbitas orbitas vizinhas tendam assintoticamente a η0. Veremos ent˜ ao ao que a defini¸ c˜ cao aõ de estabilidade deve se aplicar a situa¸c˜ coes o˜es onde o nde órbitas orbit as vizinhas viz inhas permanec per manecem em vizinhas, i.e., não ao se afastam de η0 . Consideremos ent˜ ao ao uma trajet´ oria oria vizinha dada por (7.2) q = q0 + δq p = p0 + δp. Substituindo nas equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton e expandindo até primeira pr imeira ordem ord em nos desvios δq e δp obtemos ∂H ∂H 2 ∂H 2 + q˙ = δq˙ = δq + δp ∂p 0 ∂q 0 ∂p 0 ∂p 20 2

p˙ = δ p˙ =

∂H ∂H − ∂H − δq − ∂q ∂q ∂q ∂p 2 0

0

(7.3)

2

0

δp 0

ou, em forma matricial,

    − δ q˙

H qp qp

H pp

=

δ p˙

      ≡   δq

δq

A

H qq qq

−H

pq

δp

(7.4)

δp

2 onde H qp ao coeficientes constant constantes. es. Em nota¸ cão ao /∂q∂p, etc, são qp = ∂ H (q0 , p0 )/∂q∂p, simpl´ simp lética eti ca essa ess a equa e qua¸c˜ ção ao se traduz em

δ η˙ = Aδη = J H ′′δη

(7.5)

onde H ′′ ij ∂ 2H/∂ηi ∂η j é a matriz jacobiana das derivadas segundas de H . Os autovalores de A podem po dem ser facilmente calculados calculad os e o resultado r esultado é

≡

√ λ = ± − det H . ′′

(7.6)

Como a matriz A é real, rea l, se λ for um autovalor complexo e v seu autovetor, Av = λv, ao tomando o complexo conjugado dessa equa¸c˜ cão ao obtemos λv, então ∗ ∗ ∗ ∗ ta mbém em é auto au toval valor or de A com autovetor v ∗ . Av = λ v . Isso mostra que λ tamb´ Essa análise alise mostra que existem apenas duas possibilidades: ea l e λ é real

′′

autovalor. Nesse caso detH det H −λ é o segundo autovalor.

< 0.

7.1

PONTOS DE EQUILÍBRIO EM 1 GRAU DE LIBERDADE

im agin in´ário ar io puro pu ro e λ∗ = λ é imag

199 ′′

se gundo autovalor. Nesse caso det H −λ é o segundo

> 0.

Vamos analisar cada um desses casos em detalhe: Chamando de de v1 e v2 os dois autovetores de A podemos tomar Caso real. Chamando cao aõ de v1 ou v2 . Com isso obtemos δη na dire¸c˜ v˙ 1 = Av1 = λv1 v˙ 2 = Av2 =

−λv

1

2

λt

→ v (t) = v e → v (t) = v e 10

2

20

−λt

(7.7) .

Um deslocamento deslo camento genérico erico pode p ode ser escrito e scrito como c omo combina¸ co mbina¸ cão ao linear de v1 e v2 na forma δη( δη (t) = α1 v1(t) + α2 v2 (t) = α1 v10 eλt + α2 v20 e−λt .

(7.8)

Escrevendo essas rela¸c˜ cões oes explicitamente em termos de q e p vemos que

        δq( δq (t)

−λt λt α1 v10q 10q e + α2 v20q 20q e

=

δp( δp (t)

α1 v10 p eλt + α2 v20 p e−λt v10q 10q v20q 20q

=

v10 p v20 p

 

 

eλt

0

0

e−λt

    α1

(7.9)

α2

≡ V S (t) α 0

Dessa express˜ ao ao vemos que em t = 0 δη(0) δη (0) = V 0 α

→

α = V 0−1 δη(0) δη (0)..

(7.10)

O resultado final para a evolu¸c˜ cao ã o temporal de trajet´ orias orias vizinhas ao ponto η0 é que (7.11) δη( δη (t) = V 0 S (t)V 0−1 δη(0) δη (0).. Essa equa¸c˜ cao aõ mostra que, a menos de uma transforma¸c˜ cao ão nos eixos, o movimento é uma mistura de afastamento e aproxima¸ cão ao exponenci exponencial. al. O ponto de equil equ il´´ıbrio ıbr io é dito dit o inst´ ins t´ avel, avel, pois deslocamentos genéricos ericos cair˜ ao ao sobre tra jetórias o rias que se afastam de η0 . A eq equa ua¸c˜ çao aõ pode ainda ser interpretada da

200

7.1

ESTABILIDADE

p

p

(a)

(b)

η

η

0

0

q

q

Figura 7.1: Fluxo na vizinhan¸ca ca de um ponto de equil´ equil´ıbrio (a) inst´ avel avel e (b) estável. avel. seguinte forma: definindo ξ = V 0−1δη temos ξ (t) = S (t)ξ (0). Em termos termos de −λt λt componentes, ξ1 (t) = ξ1(0)e (0)e e ξ2 (t) = ξ2 (0)e (0)e correspondem a um afastamento exponencial e uma aproxima¸c˜ cão ao expone exp onenci ncial al ao ponto po nto de equil equ il´´ıbrio ıbr io respectivament respectivamente. e. As dire¸c˜ coes o˜es de ξ1 e ξ2 são ao obviamente as dire¸c˜ coes o˜es dos autovetores de A, conforme a equa¸c˜ cão ao (7.7). A figura 7.1 (a) o comportamento dinâmico amico na vizinhan¸ca ca de η0. O fato de termos uma dire¸c˜ cão ao sobre a qual as trajet´ orias orias se aproximam de uência η0 e outra sobre a qual elas se afastam na mesma taxa é uma conseq¨ do teorema de Liouville, pois volumes não ao podem contrair (duas dire¸c˜ coes o˜es se aproximando) nem expandir (duas dire¸c˜ coes o˜es se afast afastand ando). o). O ponto ponto de equi eq uil´ l´ıbri ıb rioo é dito di to inst´ avel ve l ou hiperb´ olico olico. Nessee caso caso temos temos apenas apenas um autove autovetor tor v e seu Caso imagin´ imagin´ ario ario puro. Ness ∗ complexo conjugado v . Os autoval a utovalore oress são ao λ iθ. cao aõ iθ. Escolhendo δη na dire¸c˜ de v temos

≡

v˙ = Av = iθv

→

v (t) = v0 eiθt .

(7.12)

Como v é comp c omplex lexo, o, a dinˆ d inâmica amica real nas vizinhan¸ vizinhan¸cas cas de η0 deve ser escrita como δη( δη (t) = βv( βv (t) + β ∗ v ∗ (t)

≡α u

1 + (t) +

α2 u− (t)

(7.13)

PONTOS DE EQUILÍBRIO EM 1 GRAU DE LIBERDADE

7.1

201

onde α1 = 2Re Re((β ), α2 = 2I m(β ) e v (t) + v ∗ (t) v0 eiθt + v0∗ e−iθt = = Re u+ (t) = Re((v0 )cos θt 2 2 = u+ (0)cos θt u− (t) =

v (t)

− I m(v )sin θt 0

−u

∗

− (0)sin θt ∗ −iθt 0

iθt

− v (t) = v e − v e 0

2

2

= Re Re((v0)sin θt + I m(v0 )cos θt

= u+ (0)sin θt + u−(0) (0) cos cos θt (7.14) Escrevendo explicitamente em termos de q e p temos

        δq( δq (t)

sin θt] θt] + −q (0) sin

α1 [u+ p

sin θt)] θt)] + − p (0) sin

=

δp( δp (t)

−u (0) cos cos θt − u

α1 [u+q (0)cos θt

u+q (0) u−q (0)

=

u+ p (0) u− p (0)

  −

cos θt

sin θt + u−q (0)cos θt] α2 [u+q (0) sin θt] sin θt + u− p (0) cos cos θt)] α2 [u+ p (0) sin θt)]

sin θt

sin θt cos θt

≡ U R(t) α

    α1 α2

0

(7.15)

Desta equa¸c˜ cao aõ segue que δη(0) δη (0) = U 0 α e portanto (0). δη( δη (t) = U 0R(t)U 0−1 η (0).

(7.16)

O movimento nas vizinhan¸cas cas do ponto de equil´ıbrio ıbrio é uma rota¸ rotac˜ çao aõ no −1 sistema de coordenadas δξ = U 0 δη. po nto de equil´ıbrio ıbrio é dito est´ avel avel ou δη . O ponto el´ el´ıptico, ıptic o, pois poi s deslocamento deslo camentoss genéricos erico s ficar˜ ficarao aõ circulando em torno de η0. As dire¸c˜ cões oes de ξ1 e ξ2 são ao os eixos eixos principai principaiss da elipse. elipse. A figura figura 7.1(b) 7.1(b) ilustra ilustra esse caso.

7.1. 7.1.1 1

Exemp xemplo lo

Considere um oscilador anarmˆ onico onico dado por p2 q 2 q4 +k + . H = 2 2 4

 

202

7.1

ESTABILIDADE

Os pontos po ntos de equil´ıbrio ıbrio s˜ ao ao dados por q˙ = p

≡0

p˙ =

3

−kq − q ≡ 0

e resultam em: (a) q = p = 0 (b) p = 0 q =

±√−k

se k < 0.

Vamos primeiro considerar k > 0. Ness Nessee caso caso existe existe apenas apenas um pon ponto to de equil e quil´´ıbrio na n a origem. or igem. Linearizando as equa¸ e qua¸ c˜ cões oes de Hamilton em torno de (q, p) = (0, (0, 0) obtemos δ η˙ = Aδη com

  −  ±√   √  √   √   √   √     √ √   √  √  √  √ √    √     −√ √ √    0

1

A=

.

k 0

Os autovalores de A são ao λ± =

ao ao i k e os autovetores correspondentes s˜

v+ =

1

1 1+k

.

i k

∗ e v− = v+ . Os vetores reais u+ e u− são ao

1

1 1+k

u+ =

k 1+k

u− =

0

0 1

Podemos ent˜ ao ao construir as matrizes U 0 e U 0−1 : U 0 =

1 1+k

1

0

U 0−1

0

k

=

k+1 k

k 0

0

1

e, usando a equa¸c˜ cao ão (7.16) obtemos δq( δq (t)

cos( kt) kt)

sin ( kt) kt)/ k

δq(0) δq (0)

=

δp( δp (t)

k sin( kt) kt)

cos ( kt) kt)

δp(0) δp (0)

.

PONTOS DE EQUILÍBRIO EM N GRAUS DE LIBERDADE

7.2

203

O leitor pode verificar que δq( δq (t)2 + k−1δp( δp (t)2 = constante, constante, o que mostra que as órbitas orbitas vizinhas ficam sobre elipses com semi-eixos ao longo dos eixos q e p. Quando k < 0 a origem passa a ser instável avel e os dois novos pontos de equi eq uill´ıbri ıb rioo p = 0 q = origem. O leit leitor or pode confir confirma marr k bifurcam da origem. que esse pontos s˜ ao ao est´ aveis. aveis. Na origem os autovalores autovalores ficam λ = k= ao ao k e os autovetores, agora reais, s˜

±√−

√

±√−

± ||

  √ | |  √ | |    √ | |  √ | | −√ | |     √ | |    −√ | | √ | | 1

1 1+ k

v1 =

k

V 0 =

1

1

k

V 0−1

k

1

1 1+ k

v2 =

As matrizes V 0 e V 0−1 ficam 1 1+ k

  √ | |  −√ | |  √ √ | |  √ | |  | | √ | | − √ | | √ | |    √ | |    .

k

k +1

=

k

k

1

k

1

e o movimento nas vizinhan¸cas cas da origem fica dado por δq( δq (t)

cosh(

k t)

sinh (

=

δp( δp (t)

k sinh(

k t)/

k

δq(0) δq (0)

.

k t)

cosh (

k t)

δp(0) δp (0)

Note que v1 v2 = (1 ao a o são ao ortogonais. k )/(1 + k ) e os autovetores n˜ Para k pequeno eles são ao quase paralelos, paralelos, ficando ortogonais ortogonais para k = 1 e (anti)paralelos de novo no limite k . Para ara uma disc discus uss˜ s˜ ao a o mais detalhada veja as referências encias [22, 23].

||

7.2

·

−| |

||

||→∞

−

Pontos ontos de Equil Equil´ıbrio em n graus graus de liberdade

O estudo estud o da estabilidade de d e pontos p ontos de equil´ equil´ıbrio em sistemas Hamiltonianos com n´ umero umero arbitr´ a rio de graus de liberdade segue o mesmo esquema da ario análise alise anterior. anterior. Adotaremos, Adotaremos, no entanto, uma an´ alise ligeiramente diferente, alise introduzindo o conceito de matriz tangente. tangente. Os pontos de equil´ equil´ıbrio η0 são ao determinados pela condi¸c˜ cão ao ∂H (η0 ) = 0. ∂η

204

7.2

ESTABILIDADE

Expandindo as equa¸c˜ coes o˜es de Hamilton até primeira ordem em δη torno de η0 obtemos δ η˙ = J H ′′ (η0 )δη J H 0′′δη

≡

onde (H (H 0′′ )ij = ∂ 2 H/∂ηi ∂η j . A sol solu u¸c˜ cão ao formal dessa equa¸c˜ cao aõ de primeira ordem pode ser escrita como ′′

δη( δη (t) = eJ H 0 t δη(0) δη (0)

≡ M (t)δη .

(7.17)

0

Note que essa solu¸c˜ cao aõ é an´ analoga a´loga as a`s solu¸c˜ cões oes (7.7) e (7.12). (7.12). Diagona Diagonaliz lizando ando λt ′′ dia gonaliz alizamo amoss tamb´ t ambém em M . Se λ é autova au tovalo lorr de A, então ao e será A = J H 0 diagon autovalor de M e o comportamento de δη depender´ a dos autovalores de A serem reais ou complexos. A matriz M (t) é cham c hamada ada de matriz mat riz tangent tan gentee e é uma matriz mat riz simpl´ simp lética, eti ca, T i.e., M J M = J . Para mostrarmos mostrarmos essa propriedade notamos primeiramente primeiramente que ela é satisfeita em t = 0, pois M (0) ( 0) = 1. Vamos amos ent˜ ent˜ ao ao mostrar que T T d(M d(M J M isso M J M deve ser independente do tempo e M ))/dt = 0. Com is igual ao seu valor em t = 0, i.e., J . Pa Para ra calcu calcula larr a deriv derivada de M em rela¸c˜ cao aõ ao tempo fazemos ˙ = d eJH 0 t = J H ′′ M. M 0 dt ′′

Como H 0′′ é sim´ im étrica ic a e J T =

(7.18)

−J ,

˙ T = M T H ′′ J T = M 0

T

′′ 0

−M H J.

(7.19)

Assim temos: d ˙ T J M + M T J M ˙ = M T J M = M dt

( )

T

′′ 0

T

′′ 0

−M H J J M + M J J H M = 0.

Finalmente temos as seguintes propriedades sobre os autovalores de M M :: (1) Se λ é autovalor aut ovalor de M , então ao λ∗ também em é. e. Isso segue do fato que M é real. De fato, tomando o complexo complexo conjugado da equa¸ cão ao de autovalores ∗ ∗ ∗ M v = λv obtemos M v = λ v . (2) Se λ é autovalor aut ovalor de M , então ao λ−1 também em é. e. Isso segue do fato de M ser simpl´ s implética. etica . Escrevendo Escre vendo a equa¸c˜ cão ao de autovalores na forma λ−1 v = M −1 v e notando que M −1 = J −1 M T J temos λ−1v = J −1 M T J v ou M T (J v) =

7.3

˜ ´ PONTOS PONT OS FIXOS NAS SEC ¸ OES DE POINCARE

205

Isso mostra mostra que J v é autoveto aut ovetorr de M T com autovalor λ−1 . Como λ−1 (J v). Isso ta mbém em é auto au toval valor or de M . M e M T tem os mesmos autovalores, λ−1 tamb´ Temos ent˜ ao um conjunto maior de possibilidades para os autovalores do ao que no caso de um grau de liberdade. Para o caso de dois graus de liberdade, por exemplo, temos seguintes possibilidades para o conjunto dos 4 autovalores de M (λ, µ, θ e ϕ reais): (a) eλt , e−λt , eµt, e−µt – ponto fixo hiperb´ olico olico nas duas dire¸c˜ coes o˜es (inst´ avel) avel) (b) eλt , e−λt , eiθt , e−iθt – ponto fixo hiperb´ olico olico em uma dire¸c˜ coes o˜es e el´ el´ıptico ıpt ico na outra (inst´ avel) avel) (c) eiϕt , e−iϕt , eiθt , e−iθt – ponto fixo el´ el´ıptico nas duas dire¸c˜ coes o˜es (est´ avel) avel) iθ+λ)t iθ+λ)t (d) e(iθ+ , e(−iθ+ , e(iθ−λ)t , e(−iθ−λ)t – ponto fixo loxodrômico omico (instável). avel).

7.3

Pontos ontos fixos fixos nas Se¸ Se¸ c˜ coes o ˜e s de Poinc Poi ncar´ aré

Se¸c˜ coes o˜es de Poincar´ Poin caré s˜ ao ao extremamente uteis u´teis para analisar sistemas dinˆ amicos amicos com dois graus graus de liberdad liberdade. e. Apesar Apesar deste deste ser um caso bastant bastantee particu particular, lar, ele é importante imp ortante por p or ser o menor n´ umero umero poss´ poss´ıvel de graus de liberdade onde pode ocorrer movimento ca´ otico. De fato essa ferramenta ser´ otico. a empregada no estudo de caos nos pr´ oximos oxim os dois doi s cap ca p´ıtulos ıtu los.. Como vimos no n o cap c ap´´ıtulo 5, 5 , uma das d as conseq¨ c onseq¨ uˆ uências enc ias do invariante invaria nte canˆ c anônico onico de Poincar´ Poin caré-Cart e-C artan an é a preser pre serva¸ va¸ cão a o de areas a´reas pelo mapa de Poincaré. e. Vamos mostrar agora que a preserva¸c˜ cao aõ de áreas areas é equivalente equivalente ao mapa possuir jacobiano igual a 1. Seja η1 = F ( e. Em termos termo s de coordenadas coorden adas F (η0 ) um mapa de Poincaré. q1 = F q (q0 , p0 ) (7.20) p1 = F p (q0 , p0 ). Tomando um ponto A arbitr arb itr´ário ari o no n o plan p lanoo q, p, escrevemos escrevemos A′ = F ( F (A), como ilustra ilustr a a figura fig ura 7.2. 7 .2. Constru Const ru´´ımos tamb´ t ambém em os vetores vet ores infinit i nfinitesimai esimaiss ortogonai orto gonaiss

206

7.3

ESTABILIDADE p C’ B’ A’

C δ

A

ε

B

q

Figura 7.2: Preserva¸c˜ cão a o de areas a´rea s pelo p elo mapa de Poincaré. e.

−

−

element ntoo de area a´rea formado por esse ξ = B A = ϵqˆ e ν = C A = δ p. pˆ. O eleme pequeno retˆ angu ng ulo é = ϵδ. ϵδ. Vamos agora propagar todos os pontos do retˆ angulo angulo e calcular a nova ′ area área . Para Para isso isso basta basta encontrar encontrar os vetores vetores propagado propagadoss ξ ′ = B ′ A′ e a´rea ser´ a dado por ′ = ξ ′ ν ′ . Temos ν ′ = C ′ A′. O novo elemento de area que

A

′

B =

A

−

 

A | × |

         | × | 

F q (q0 + ϵ, p0 )

F q (q0 , p0 )

=

F p (q0 + ϵ, p0 )

e, da mesma forma,

F qq qq (q0 , p0 )

+ϵ

F p (q0 , p0 )

F q (q0 , p0 + δ )

′

 

C =

F p (q0 , p0 + δ )

 

ξ =B

′

′

F pq (q0 , p0 )

de modo que ′

A=

ξ′

=A +δ

F qq qq

   

F pq

.

F pp

′

′

ν = C

F pq

ν ′ = ϵδ

′

F qp qp

′

F qq qq

−A =ϵ

   ≡   A +ϵ

Assim os vetores infinitesimais propagados s˜ ao ao ′

−

F qq qq F qp qp F pq F pp

 ≡A

′

−A =δ

   

det[F det[F ′ (η0 )]. )].

F qp qp

F pp

(7.21)

˜ ´ PONTOS PONT OS FIXOS NAS SEC ¸ OES DE POINCARE

7.3

207

Ent˜ ao ao ′ = implic implicaa det [F ′ (η)] = 1 para todo η e vice-versa. Com esse resultado estamos agora preparados para estudar a estabili´ importante observar que dade de pontos fixos em uma se¸c˜ cao aõ de Poincar´ Poin caré. e. E um ponto fixo corresponde a uma orbita o´rbita periódica odica do sistema Hamiltoniano correspon corresponden dente. te. Com essa essa an´ alise estaremos dando um passo importante no estudo da estabilidade, estabilidade, pois p ois passamos passamos de simples simples pontos de equil´ equil´ıbrio a orbitas órbitas fechadas de per´ per´ıodo arbitr´ ario. ario. Seja ent˜ ao ao η0 um ponto fixo do mapa de Poincaré, e, i.e., F ( amica nas na s vizinhan¸cas c as de η0 é obti ob tida da F (η0 ) = η0 . A dinâmica como sempre fazendo η = η0 + δη e expandindo as equa¸c˜ coes o˜es até primeira prime ira ordem em δη. r esulta ltado do é δη ′ = F ′ (η0)δη ou, explicitamente, δη . O resu

A A

    δq ′

F qq qq F qp qp

=

δp

′

F pq F pp

    δq

.

δp

A estabilidade de η0 é determinada pelos autovalores autovalores da matriz Jacobiana calculada no ponto fixo. A equa¸c˜ cao aõ de autovalores resulta λ2

′

− λ T r[F (η )] + 1 = 0.0.

(7.22)

0

onde T r[F ′ (η0 )] = F qq e o traco ço da Jacobiana Jacobiana e usamos que det [F ′ (η0 )] = qq +F pp ´ 1. Multiplicando toda a equa¸c˜ cão ao por λ−2 obte ob temo moss tamb´ ta mbém em λ−2

−1

−λ

T r[F ′ (η0 )] + 1 = 0

(7.23)

que qu e é an´ analoga a´loga a` equa¸c˜ cao aõ anterio anterior. r. Assim, Assim, se λ é autova au tovalo lor, r, λ−1 também é. Além em disso, como a matriz matr iz Jacobiana Jacob iana é real, se λ for complexo, λ∗ tamb mb´ém será autov autovalor. alor. Vemos emos que nov novamente amente os autov autovalores alores aparecem aparecem aos pares, pares, como no caso dos pontos de equil´ equil´ıbrio de sistemas com um grau de liberdade lib erdade ′ e temos agora três es possibilidades, dependendo se T r[F (η0 )] for menor ou maior do que 2:

|

λ−1 = e−µ

λ = eµ , λ=

µ

−e ,

λ = eiθ ,

λ−1 =

→ −µ

−e

λ∗ = e−iθ

→

|

ponto fixo inst´ avel avel direto.

→

ponto fixo inst´ avel avel inverso.

ponto fixo est´ avel. avel.

No caso instável avel direto, sucessivas itera¸c˜ cões oes de um ponto vizinho ao ponto fixo sobre o autovetor est´ avel avel v2 , aproxim aproximamam-se se do ponto ponto fixo uniform uniformeemente, sempre na dire¸c˜ cao a˜ o de v2 . No caso caso inst´ inst´ avel inverso, pontos vizinhos avel

208

7.4

ESTABILIDADE

aproximam-se do ponto fixo passando alternadamente pela dire¸ c˜ cao aõ +v1 e v1 . Listamos a seguir alguns exemplos de mapas que preservam area a´r ea,, tam t amb´ bém em chamados de mapas conservativos.

−

Mapa Padr˜ ao ao (Standar (Sta ndard d Map) : θn+1 = θn + pn (7.24) pn+1 = pn + K sin K sin θn+1 .

Mapa Quadr´ atico ati co de H´ enon en on

yn+1 = xn

n

2 n

n

2 n

− (y − x )sin ψ sin ψ + (y (y − x )cos ψ.

xn+1 = xn cos ψ

(7.25)

Mapa do Gato de Arnold xn+1 = xn + yn ;

xn mod 1 (7.26)

2yn ; yn+1 = xn + 2y

yn mod 1.

Mapa de Meyer xn+1 = xn

− p

n

(7.27)

( xn pn+1 = pn + ϵ + (x

2

− p ) . n

Mapa do Padeiro xn+1 = 2xn

[2x ] − [2x n

(7.28)

[2xn ]) /2 yn+1 = (yn + [2x onde [x [x] significa a parte inteira de x.

7.4

Varied ari edade adess Est´ Est´ aveis aveis e Inst´ Inst´ aveis aveis

A análise alise que fizemos na se¸c˜ cão ao 7.1 do comportamento dinˆ amico amico nas vizinhan¸cas cas de um u m ponto p onto de d e equil equ il´´ıbrio instável avel mostra mo stra a existˆ ex istência encia de duas d uas dire¸c˜ coes o˜es

´ ´ VARIEDADES ESTAVEIS E INSTAVEIS

7.4

209

especiais, dadas pelos autovetores v1 e v2 da matriz linearizada A, equa¸c˜ cao aõ (7.4). (7.4). De acordo acordo com a equa¸ c˜ cão ao (7.7), (7.7) , a dinâmica amica ao longo dessas dire¸c˜ coes o˜es é muito muito simples: simples: pontos afastam-se afastam-se exponencialmente exponencialmente r´ apido a pido do ponto de equil equ il´´ıbrio ıbr io sobre sob re v1 e aproximam-se exponencialmente r´ apido apido dele sobre v2 . No exemplo exemp lo do oscilador oscil ador anarmˆ anar mônico onico da se¸c˜ cao aõ 7.1.1 calculamos explicitament tamentee esses vetores vetores.. A figura 7.3 mostra mostra a dinˆ dinamica ˆ no espa¸co c o de fases desse problema para k = 1. Note Note que, como como o sistema sistema tem apenas apenas um grau de liberdade, as trajet´ orias orias coincidem com as curvas de n´ıvel do Hamiltonian toniano. o. Pr´ oximo oximo do ponto de equil´ equil´ıbrio inst´ avel na origem podemos ver avel claramente as dire¸c˜ coes ões dos autovetores v1 e v2 sobre a curva de n´ıvel H = 0. Essa curva é também em uma separatriz, como no problema do pêndulo endulo (veja a figura 4.6), que separa o movimento oscilat´ o rio ao redor de cada um dos orio pontos pont os de equil´ıbrio ıbrio estáveis aveis do movimento circular sobre ambos os pontos de equi eq uill´ıbri ıb rio. o. Pontos Pon tos sobre a separatriz movem-se movem-se de maneira a` tender assintoticamente ao ponto inst´ avel. avel. As dire¸c˜ coes ões correspondentes a` v1 e v2 são ao tangentes a` separatriz no ponto de equil´ equil´ıbrio. A defini¸ de fini¸ c˜ cao aõ de variedades est´ aveis aveis e instáveis aveis é uma genera gen eraliz liza¸ a¸c˜ cao aõ do conceito de separatriz e, em sistemas com apenas um grau de liberdade, coincide com ele [19]:

−

A Variedade Est´ equil´ıbrio inst´ avel avel é o conjunt con juntoo avel avel W s de um ponto de equil´ invariante de pontos η do espa¸co c o de fases tal que a trajet´ oria oria de η tende assintoticamente a esse ponto. A Variedad equil´ıbrio inst´ avel avel é o conjunt con juntoo Varie dade e Inst´ In stável ave l W u de um ponto de equil´ invariante de pontos η do espa¸co co de fases tal que a trajet´ oria oria de η , quando propagad propagadaa para trás as no tempo, tempo, tende tende assinto assintotica ticamen mente te a esse esse ponto. ponto. Em outras outras palav palavras, ras, s˜ ao ao os pontos pontos que, que, no passado, passado, estav estavam arbitrar arbitrariam iamen ente te próximos oximos do ponto de equil´ıbrio. ıbrio. Um conj co njunt untoo é invariante pela dinˆ amica amica quando a trajet´ oria oria de cada um de seus pontos p ontos permanece sempre sobre o conjunto. conjunto. Um ponto p onto de equil´ equil´ıbrio instável avel tem tipicamente tipicamente duas variedades ariedades est´ aveis e duas instáveis, aveis, conforme ilustra a figura 7.3. No caso particular do oscilador qu´ artico artico existem apenas duas curvas invariantes: W u = W s a` direita e W u = W s a` esqu esquerd erda. a. No caso do pêndulo, endulo, figura 4.6, 4 .6, temos apenas uma curva cur va invariante, invariante, pois p ois o ponto instável avel em θ = +π é o mesmo que em θ = π. No caso de pontos fixos instáveis aveis em mapas de Poincar´ Poincaré a situa¸ cão é

−

210

7.5

ESTABILIDADE

Wu

Ws p Wu

Ws

q

Figura 7.3: Trajet´ orias para o oscilador anarmˆ orias onico onico com k < 0. Próximo oximo ao ponto fixo inst´ avel na origem podemos ver as variedades est´ avel avel avel e inst´ ins tável avel cujas tangentes correspondem as a`s dire¸c˜ coes ões dos autovetores v1 e v2 . similar mas, em geral, aparecem quatro curvas invariantes distintas, duas variedades est´ aveis aveis e duas instáveis. aveis. Diferenteme Diferentemente nte do caso unidimensional, unidimensional, essas variedades não ao correspondem correspo ndem a uma unica ´ trajet´ oria oria do sistema, pois trata-se de um mapa: deslocando a origem do espa¸ co co de fases para o ponto fixo, um ponto η0 em sua vizinhan¸ca ca e sobre W s tem sua trajet´ tra jetória oria na se¸c˜ cao aõ −kµ de Poincaré dada por ηk = e η0 , que não ao forma uma curva cont´ cont´ınua. A variedade W s (assim com W u ) é composta por um conjunto cont´ cont´ınuo de trajetórias, orias, cada uma intersectando a curva em um conjunto cont´ avel de pontos. O conceito de variedades est´ aveis aveis e instáveis aveis tem um papel importante no estudo de caos em sistemas não ao integr´ aveis, e voltaremos a falar delas no cap ca p´ıtul ıt uloo 10. 10 .

7.5


1. Con Consid sidere ere a Hamilt Hamiltoni oniana ana de um grau de liberdad liberdadee p2 + q (1 H = 2

2

− aq );

a > 0.

EXERCÍCIOS

7.5

211

Encontre Encontre os pontos de equil´ equil´ıbrio e estude sua estabilidade. estabilidade. Use seus resultados resultados para desenhar de forma esquem´ esquemática atica o fluxo no espa¸ co de fases do sistema. 2. Considere Considere a Hamiltoniana Hamiltoniana de dois graus de liberdade p21 p22 ω 2q12 λq22 aq24 + + + + H = . 2 2 2 2 4 (a) Encontre Encontre os pontos de equil´ equil´ıbrio e estude sua estabilidade estabilidade como fun¸c˜ cao aõ de λ para a > 0 fixo. (b) Escreva Escreva explicitamen explicitamente te o Mapa de Poincar´ Poincaré para o caso em que c˜ cão ao a = 0. Encontre os pontos fixos e estude sua estabilidade como fun¸ de λ. O que mudaria qualitativamente se a > 0? Discuta Discut a a existência encia de pontos peri´ odicos odicos nos casos a = 0 e a > 0. 3. Conside Considere re o sistema sistema de equa¸ c˜ coes o˜es diferenciais diferenciais x˙ = x

− 2y y˙ = 3x − 4y .

(a) Esse sistema siste ma é Hamilton Ha miltoniano? iano? (b) Estude a estabilidade e stabilidade do ponto de equil´ equil´ıbrio (x, y ) = (0, (0, 0) e esboce o fluxo no espa¸co co de fases. 4. Popul Popula¸ a¸c˜ coes o˜es de predadores x e presas y podem ser descritas aproximadaaproximadamente pelo sistema x˙ = αx + βxy

−

y˙ = γy

− δxy .

(a) Encontre os pontos de equil´ equil´ıbrio e estude sua estabilidade. est abilidade. (b) Existem valores dos parˆ ametros que tornem o sistema Hamiltoniametros ano? 5. O Mapa de Meyer é dado por x1 = x0

− p

0

(x0 p1 = p0 + ϵ + (x

2

− p ) 0

.

212

ESTABILIDADE

7.5

(a) Mostre que o mapa preserva areas. a´reas. (b) Encontre os pontos fixos e estude sua estabilidade como fun¸ c˜ cao aõ de Encontree os pontos pontos fixos fixos de per´ per´ıodo 2 e estude estude sua estabilid estabilidade. ade. ϵ. Encontr Esboce o fluxo no espa¸co co (x, p) e construa o diagrama de bifurca¸ c˜ cões, oes, graficando a coordenada x dos pontos fixos e dos pontos de peri´ odicos odicos de per pe r´ıodo ıo do 2 s˜ ao ao em fun¸c˜ cao aõ de ϵ. Use linha cheia para pontos est´ aveis aveis e linha pontilhada para pontos inst´ aveis. aveis.

Cap´ıtulo 8 Teoria de Perturba¸c˜ ao Como vimos no cap´ cap´ıtulo 6, sistemas integr´ aveis aveis são, ao, de certa forma, triviais. Isso ocorre o corre porque p orque existem coordenadas co ordenadas canônicas onicas especiais, de a¸ cão ao e angulo, ângulo, nas quais o movimento é linear. Embora a constru¸ constr u¸ cão ao expl exp l´ıcita ıci ta dessa des sa transforma¸c˜ cão ao canˆ c anônica onica possa po ssa ser s er dif d if´´ıcil, pois poi s pode p odem m aparece ap arecerr integrais inte grais complicadas plicadas que têm em que ser resolvidas, resolvidas, o teorema de Arnold-Liouvil Arnold-Liouville le garante garante sua existência. encia. Mas ser´ a que todo sistema Hamiltoniano é integr´ avel a vel?? InInfelizmente a resposta é n˜ ao. ao. Na verdade verdade os sistemas sistemas integr´ integr´ aveis com mais de um grau de liberdade s˜ ao raros e qualquer perturba¸c˜ ao cão ao genérica erica pode po de destruir as constantes de movimento tornando o sistema n˜ ao-integr´ ao-integr´ avel a vel.. Em outras palavras, sistemas integr´ aveis aveis são ao estruturalmente inst´ aveis. aveis. O objetivo deste dest e cap´ıtulo ıtulo é estudar estud ar o efeito efeit o de pequenas peq uenas perturb per turba¸ a¸c˜ coes ˜ em sistemas integr´ aveis aveis.. Seguirem Seguiremos os de perto a apresen apresenta¸ ta¸ cão ao da referência encia [24]. Outras fontes importantes s˜ ao ao [25, 26, 27]

8.1 8.1

Um gra grau u de de lib liber erda dade de

Vamos considerar uma Hamiltoniana da forma H (I , ϕ) = H 0(I ) + ϵH 1 (I , ϕ) + ϵ2 H 2 (I , ϕ) + . . .

(8.1)

onde (I (I , ϕ) são ao variáveis aveis de a¸c˜ cao a˜ o e angulo aˆngulo para H 0. Se ϵ = 0 a solu¸c˜ caõ é I = I 0;

ϕ = ϕ0 + ωt; ωt;

ω = ∂H 0/∂I.

(8.2)

Buscamos Buscamos ent˜ ao ao uma transfor transforma¸ ma¸ c˜ cão a o canˆ onica o nica de (I (I , ϕ) para (J, (J, θ) de tal forma que a nova Hamiltoniana K só dependa de J . Se consegui conseguirmos rmos conconstruir essa transforma¸c˜ cao ão o sistema será novamente trivial nas na s novas vari´ aveis. aveis. 213

214

˜ TEORI TEO RIA A DE PERTURBA PERTU RBAC C ¸ AO

8.1

Como estamos nos restringindo aqui a sistemas com apenas um grau de liberdade, ele é sempre integr´ avel, avel, e tal transforma¸c˜ cao aõ deve existir para todo ϵ. No entanto, trataremos o problema de forma perturbativa apenas, pois estenderemos o tratamento para mais graus de liberdade na pr´ oxima oxima se¸cão. Seja S (J, ϕ) a fun¸c˜ cao ão geratriz (do tipo F 2) dessa transforma¸c˜ cão. a o. Como Como para ϵ << 1 a transforma trans forma¸¸c˜ cao aõ deve ser próxima oxima da ident identidad idade, e, podemos podemos escrever (8.3) S (J, ϕ) = J ϕ + ϵS 1(J, ϕ) + ϵ2 S 2 (J, ϕ) + . . . . A fun¸c˜ cao aõ S 1 será escolhida escolhida de forma a eliminar eliminar a dependˆ encia encia angular da nova Hamiltoniana. As equa¸c˜ coes o˜es da transforma¸c˜ cao aõ são ao I =

∂S ( ∂S (J, ϕ) ∂S 1 (J, ϕ) = J + ϵ + O (ϵ2 ) ∂ϕ ∂ϕ

(8.4)

∂S ( ∂S (J, ϕ) ∂S 1 (J, ϕ) = ϕ+ϵ + O (ϵ2 ). (8.5) ∂J ∂J Podemos resolver essas equa¸c˜ coes o˜es para as coordenadas originais em termos das novas em primeira ordem em ϵ: θ=

∂S 1 (J, θ) + O ( ϵ2 ) ∂θ

(8.6)

(J, θ) + O (ϵ ). − ϵ ∂S ∂J

(8.7)

I = J + ϵ ϕ=θ

1

2

Substituindo Substituindo essa transforma¸ transforma¸ c˜ cao aõ na Hamiltoniana obtemos K (J, θ) = H (I (J, θ), ϕ(J, θ)) = H 0 (I (J, θ)) + ϵH 1 (I (J, θ), ϕ(J, θ)) + O(ϵ2 )





∂H 0 ∂S 1 = H 0 (J ) + ϵ + O(ϵ2 ) + ϵ [H 1 (J, θ) + O (ϵ)] ∂J ∂θ



(8.8)



∂S 1 = H 0 (J ) + ϵ ω(J ) + H 1 (J, θ) + O (ϵ2 ) ∂θ 2

≡ K (J ) + ϵK (J, θ) + O(ϵ ) 0

1

onde ω = ∂H 0 /∂I = ∂K 0/∂J é a freq fr eq¨ uˆ u¨ência enc ia do moviment movi mentoo não ao pertu pe rturba rbado. do.

8.1

UM GRAU DE LIBERDADE

215

Vamos agora determinar S 1 de forma que K 1 = K 1 (J ). ). Para isso isso vamos vamos explicitar a dependência encia angular expandindo H 1 e S 1 em série eri e de Fourier: Fourie r: +∞

S 1 (J, θ) =

 

S 1n(J ) einθ

(8.9)

H 1n (J ) einθ .

(8.10)

n=−∞ +∞

H 1 (J, θ) =

n=−∞

Substituindo em K 1 obtemos +∞

K 1 =



[inωS 1n + H 1n ] einθ .

(8.11)

n=−∞

Vemos que a escolha

S 1n (J ) =

 

i

H 1n (J ) nω( nω(J )

0

̸

se n = 0 (8.12)

se n = 0

cancela todos os termos de K 1 , menos o termo de H 1n com n = 0. O resultado é 2π 1 )dθ (8.13) K 1 (J ) = H 10 H 1 (J, θ)dθ H 1 . 10 (J ) = 2π 0 Dessa forma obtemos K (J )



≡⟨ ⟩

⟨ ⟩

= H 0 (J ) + ϵ H 1

H 1n (J ) inϕ S (J, ϕ) = J ϕ + i e ( ) nω( nω J n=0 =0 ̸



(8.14)

o que resolve resolve o problema problema até primeira primeira ordem em ϵ. Pa Para ra fechar fechar essa essa se¸ sec˜ çao aõ notamos que existe uma maneira bem mais direta de se obter a fun¸c˜ cao aõ geratriz ao ao de H 1 em série erie de Fourier. Para isso is so notamos no tamos S 1 sem ter que fazer a expans˜ de (8.8) que ∂S 1 ∂S 1 ˜ 1 + H 1 + H 1 ω + H (8.15) K 1 = ω ∂θ ∂θ

≡

⟨ ⟩


216

8.1

onde separamos H 1 em seu termo médio edio mais o resto, que é a parte depen˜ 1 ou, dente de θ. Como vimos que K 1 = H 1 , então ao ω∂S ω∂ S 1 /∂θ = H

⟨ ⟩ − 1 ˜ dθ. (8.16) S = − H ω A receita final ent˜ ao ao é a seguinte: segui nte: calcula-se calcu la-se ⟨H ⟩ e obt o bt´ém-se m- se K . Define-se ˜ ≡ H − ⟨H ⟩ e integra-se para obter S . H



1

1

1

1

1

8.1.1

1

1

Exemplo: Exemplo: o pˆ pˆ endulo endulo simples simples

Como exemplo de aplica¸c˜ cão a o da teoria de perturba¸ c˜ cao ão vamos considerar o pêndulo endu lo simples, simple s, cuja Hamiltoniana Hamilto niana é dada por pψ2 H = 2ml2

1). − mgl(cos mgl (cos ψ − 1).

(8.17)

Faremos o cálculo alculo perturbati p erturbativo vo completo desse problema problema para ilustrar ilustrar sua aplica¸c˜ cao. a˜ o. A dinˆ dinˆ amica amica pode ser vista qualitati qualitativ vamente amente na figura figura 8.1. Note Note que ψ = 0 é um ponto po nto de equil equ il´´ıbrio ıbr io est´ estavel a´vel e ψ = π é um p onto ont o de equi eq uill´ıbrio ıbr io instável. avel. A estrutura em forma de ilha representa movimen movimentos tos oscilat´ orios, enquanto que as curvas cont´ cont´ınuas representam rota¸ cões oes nos sentidos antihorário ario (em cima) e hor´ ario (em baixo). A curva que separa os dois tipos de ario movimento movim ento é conhe co nhecid cidaa como co mo separatriz e separatriz e o tempo necess´ ario ario para percorre-l p ercorre-laa completame compl etamente nte é infinito. infin ito. As oscila¸ osc ila¸c˜ cões oes com baixa amplitude tem freq¨ uˆ uência uˆ uência encia diminui, tendendo tend endo a g/l e, conforme a amplitude aumenta, a freq¨ zero sobre a separatriz. Considerando o limite de pequenas oscila¸c˜ coes o˜es podemos expandir o cosseno até ordem ord em 4 em ψ

√

pψ2 2 + ( H = mgl( mgl ψ /2 2ml2

4

6

− ψ /24) + O(ψ ).

(8.18)

Os termos quadráticos aticos caracterizam um oscilador harmˆ onico onico H 0 de freq¨ uˆ uência aveis aveis de ângulo angulo e a¸c˜ cão ao (ϕ, I ) como: ω = g/l e podemos escrever vari´

√

pψ =

√

2mglI/ω cos ϕ

ψ=

Substituindo Substituindo em H obtemos, obtem os, até ordem 4, H = ωI

−

I 2 sin4 ϕ 2 6ml

√

2ωI/mgl sin ϕ.

≡ H + H . 0

1

(8.19)

(8.20)

8.1

UM GRAU DE LIBERDADE

217

1.0

) ψ ( 0.5 V

0.0 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

ψ

−

Figura 8.1: Potencial V ( V (ψ ) = mgl(cos mgl (cos ψ o pêndu en dulo lo com co m g = 1, m = 1/4 e l = 2 .

co de fases p − ψ para − 1) e espa¸co ψ

218


8.1

Para aplicar a teoria de perturba¸ c˜ cão ao canˆ onica, onica, temos que expandir expandir H 1 em 2 série erie de Fourier. Fourier . Escrevendo Escre vendo sin ϕ = (1 cos2ϕ cos2ϕ)/2 e elevando ao quadrado 2 obtemos (1 2cos2ϕ 2cos2ϕ +cos 2ϕ)/4. Escrevendo ainda cos2 2ϕ = (1+cos (1+cos 4ϕ)/2 obtemos

−

−

H 1 =

−

I 2 (3 48ml 48ml2 2

=

I − 96ml 96ml

2

4cos2ϕ + cos cos 4ϕ) − 4cos2ϕ

[− 6

(8.21)

]

4(e 4(e2iϕ + e−2iϕ ) + (e ( e4iϕ + e−4iϕ ) . 2

⟨ ⟩

48ml −3I /48ml

O valor médio edi o de H 1 é H 1 = H 10 10 =

−

K = ωJ

2

e a nova Hamilto H amiltoniana niana é

3J 2 . 48ml 48ml2

(8.22)

A freq¨ uˆ uência enc ia das oscila¸ osc ila¸c˜ coes ões agora depende de J : Ω=

∂K =ω ∂J

J − 8ml .

(8.23)

2

Como E = ωJ 3J 2 /48ml 48ml2, podemos inverter e escrever J em termos de E como (mostre esse resultado!) J = (E/ω)(1 3E/(48 (48mgl )). Vemos ent˜ ent˜ ao ao E/ω )(1 + 3E/ mgl)). que a freq¨ uˆ uencia eˆncia diminui diminui com a energia (e portanto com a amplitude amplitude das oscila¸c˜ cões) oes) o que est´ a de acordo com o resultado resultado exato. Podemos calcular calcular S 1 usando (8.14) ou (8.16). Vamos fazer pelo primeiro método etodo para ilustrar o procedimento. pro cedimento. Em primeiro lugar notamos queH que H 1,2 = 2 2 2 2 24ml e H 1,4 = H 1,−4 = J /96ml 96ml . Assim, H 1,−2 = J /24ml

−

−

S 1 = S 1,2 e2iϕ + S 1,−2e−2iϕ + S 1,4 e4iϕ + S 1,−4 e−4iϕ = =

iH 1,2 2iϕ (e 2ω

−

−e

−2iϕ

H 1,2 sin2ϕ sin2ϕ + ω

−

J 2 = (sin (sin 4ϕ 192mωl 192mωl 2

)+

iH 1,4 4iϕ (e 4ω

H 1,4 sin4ϕ sin4ϕ 2ω

8sin2ϕ) − 8sin2ϕ

−4iϕ

−e

) (8.24)

8.2

DOIS OU MAIS GRAUS DE LIBERDADE

219

Finalmente calculamos a solu¸c˜ cao aõ nas variáveis aveis (ϕ, (ϕ, I ): ): ∂S 1 J 2 = J + (cos4θ (cos4θ I = J + 48mωl 48mωl 2 ∂θ ϕ=θ

J =θ− − ∂S 96mωl 96mωl ∂J 1

2

(sin (sin 4θ

4cos2θ) − 4cos2θ

(8.25)

8sin2θ) − 8sin2θ

onde J (t) = J 0 e θ(t) = θ0 + Ωt. Para obter a evolu¸c˜ cão ao temporal nas vari´ aveis aveis originais, originais, basta substituir substituir I (t) e ϕ(t) na transforma¸c˜ cão ao (8.19).

8.2 8.2 8.2.1

Dois Dois ou ou mai maiss grau grauss de libe liberd rdad ade e Preˆ ambulo ambulo

O problema do oscilador harmônico onico perturbado perturb ado por um termo quártico artico (veja o exemplo 4.8.2) é semelhante ao problema do pêndulo endulo que resolvemos na se¸c˜ cao aõ anterior. Nesse caso 1 p2 + mω2 q2 + ϵq 4/4 H = 2m 2 ou, em termos das variáveis aveis de a¸c˜ cao aõ e ângulo angulo do oscilador harmˆ onico, onico, I 2 H = ωI + ϵ 2 2 sin4 θ. mω O resultado da teoria de perturba¸c˜ cao aõ pode ser inferido dos c´ alculos alculos anteriores para o pêndulo endulo e resulta em ¯2 3 I ¯ ¯ + H = ω I + I + ϵ 8 m2 ω 2

2

O(ϵ ).

¯ é cons Nessa aproxima¸c˜ cao aõ I co nsta tante nte e ¯ ¯ ˙θ = ∂ H = ω + ϵ 3 I ¯ ¯ 4 m2 ω 2 ∂ I

≡Ω

¯, que é a freq¨ fre qüˆ uencia eˆncia do moviment movimentoo perturbado. Note que Ω depende de I ¯+ 3ϵI ¯2/(8m depende de E atrav´ at ravés es da rela re la¸c˜ çao aõ E = ωI + (8m2 ω 2) + (ϵ2 ). Invertendo I essa rela¸c˜ cão ao temos 3 E 2 E ¯ + ( ϵ2 ) I (E ) = ϵ 2 4 8m ω ω

O

−

O

220


8.2

Figura 8.2: Representa¸c˜ cao aõ de uma fam´ fam´ılia de toros intersectando uma se¸ cão ao de Poinc Poi ncar´ aré. e. de forma que podemos obter a dependˆ encia encia da freq¨ uência encia com a energia: energ ia: 3 E Ω(E Ω(E ) = ω + ϵ + (ϵ2 ). 2 2 4m ω Esse tipo de dependência encia é t´ıpico em sistemas Hamiltonianos. O caso do oscilador harmˆ onico, onico, onde a freq¨ uˆ uência encia do movimento não ao depende dep ende da energia é raro e ‘patol´ ogico’. ogico’. Qualquer Qualquer perturba¸ perturba¸ cão a o não-harmˆ ao-harmônica onica introduz dependˆ dep endências encia s da freq¨ frequˆ u¨ência encia com a amplitude do movimento. Nas próximas oximas subse¸c˜ coes o˜es vamos considerar sistemas com dois graus de liberdade e iremos supor que as freq¨ uˆ uências encia s caracter´ cara cter´ısticas ıstica s do movimento dependem dependem de sua amplit amplitude. ude. Pa Para ra fixarmos fixarmos id´ idéias eias vamos conside considerar rar um sistema integr´ avel avel modelo da forma α1 α2 H 0 (I 1 , I 2 ) = ω10 I 1 + I 12 + ω20 I 2 + I 22 , 2 2 que corresponde a` aproxima¸c˜ cao aõ do oscilador quártico artico que acabamos de discutir. As a¸cões I 1 e I 2 são ao constantes e as freq¨ uˆ uências enc ias nas dire¸ dir e¸c˜ coes o˜es de θ1 e θ2 são ao ω1 = ω10 + α1 I 1

O

ω2 = ω20 + α2 I 2 de forma que

ω10 + α1 I 1 ω20 + α2 I 2 2 é func˜ ção a o de I 1 e I 2. Fixando Fixando uma superf superf´ıcie ıcie de energia energia H 0 (I 1 , I 2 ) = E podemos escrever, por exemplo, I 2 = I 2 (I 1 , E ). ). Dessa forma, para E fixo, ω10 + α1 I 1 ρ = ρ(I 1 ) = . ω20 + α2 I 2 (I 1, E ) ρ

≡ ωω

1

=

8.2

DOIS OU MAIS GRAUS DE LIBERDADE p

221

I1

1

1

3

1

q

5

4

2

5

3

1

4

2

p

θ

2π

θ1

1

I1

1

3

8

2π

1

6

6

11

1 11 4

9

7

10

2 12 5

38

10

q

5 9 12

72

1

4

´ Figura 8.3: Orbitas peri´ odicas odicas e não ao peri´ odicas odicas na se¸c˜ cão ao de Po Poin inccar´ ar é q1 - p1 e I 1 -θ1 .

Veremos eremos que a raz˜ ao ao entre entre as duas freq¨ uênci en cias as não ao perturbadas perturba das é de grande grande importˆ importˆ ancia a ncia na manei maneira ra pela pela qual qual o sist sistema ema H 0 respon responde de a perperturba¸c˜ cões. oes. Conforme Conforme distribu distribu´´ımos a energia total E entre os dois modos de oscila¸c˜ cao, ão, variando o valor de I 1 e I 2 mas mantendo H 0 (I 1 , I 2 ) = E , mudamos o toro M f f onde o movimento ocorre oc orre e tamb´ em em o valor de ρ. Como ρ é uma fun¸cao aõ cont´ co nt´ınua ınu a de I 1 , seu valor muda continuamente ao varrermos a superf sup erf´´ıcie de energia. ener gia. Em uma se¸c˜ cao aõ de Poincaré, e, os toros que comp˜ oe oe a superf´ superf´ıcie de energia intersectam a se¸c˜ cao aõ como ilustrado na figura 8.2. O valor de ρ em cada um desses toros indicar´ a se as trajet´ orias orias sobre ele são ao peri´ per i´ odicas odicas (ρ (ρ racional) racional) ou não-peri´ ao-periódicas odicas (ρ (ρ irracio irracional nal). ). As figuras 8.3 ilustram ilustram esses dois casos para uma se¸ se ¸c˜ cão ao de Poincaré definida defini da por θ2 = 0 nos planos q1 - p1 e I 1-θ1 para ρ = 2/5 (em cima) e ρ irracional pr´ oximo oximo de 2/ 2/5 (em baixo). No primeiro caso, qualquer qualquer tra jet´ oria fura o plano apenas 5 vezes, repetindo a mesma seq¨ oria uencia de pon pontos tos indefi indefini nidam damen ente. te. No mesmo mesmo toro toro existe existem m infini infinitas tas trajet´ trajet´ orias, cada uma u ma furando furand o cinco vezes em pontos distintos do c´ırculo representando repr esentando a interseçc˜ cao aõ do toro com o plano de Poincaré. e. No caso do toro irracional, irraciona l, uma unica u ńica trajet´ tra jetória oria acaba preenchendo o c´ırculo todo se esperarmos um tempo suficientemente longo.

222

8.2.2


8.2

O Caso n˜ ao-ressonante ao-ressonante

O cálculo alculo perturbativo para sistemas sistemas com mais de um grau de liberdade é praticamente idêntico entico ao caso unidimensional. Come¸ camos camos com uma Hamiltoniana da forma H (I , ϕ) = H 0 (I ) + ϵH 1 (I , ϕ) + ϵ2 H 2 (I , ϕ) + . . .

(8.26)

onde (I (I , ϕ) = (I 1 , I 2 , . . . , In , ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) são ao variáveis a veis de a¸c˜ cão ao e angulo aˆngulo para H 0 . Se ϵ = 0 a solu¸c˜ caõ é I k = I k0 ;

ϕk = ϕ0 + ωk t;

ωk = ∂H 0/∂I k .

(8.27)

Buscamos Busca mos novamente uma u ma transforma trans forma¸¸c˜ cao aõ canˆ onica onica de (I (I , ϕ) para (J, (J, θ) de tal forma que a nova Hamiltoniana K só dependa de J . Seja Seja S (J, ϕ) a fun¸c˜ cao aõ geratriz da transforma¸c˜ cão. ao. Ent˜ ao ao S (J, ϕ) = J ϕ + ϵS 1 (J, ϕ) + ϵ2 S 2 (J, ϕ) + . . .

·

(8.28)

· ≡

onde usaremos a nota¸c˜ cão ao J ϕ func˜ ção ao S 1 J 1 ϕ1 + J 2 ϕ2 + . . . + J n ϕn . A fu dever´ a ser escolhi escolhida da de forma forma a elimin eliminar ar a dependˆ dependência encia angular angular da nov nova Hamiltoniana. As equa¸c˜ coes o˜es da transforma¸c˜ cao aõ são ao I k =

∂S ( ∂S (J, ϕ) ∂S 1 (J, ϕ) = J k + ϵ + O (ϵ2 ) ∂ϕ k ∂ϕ k

(8.29)

θk =

∂S ( ∂S (J, ϕ) ∂S 1 (J, ϕ) = ϕk + ϵ + O(ϵ2 ). ∂J k ∂J k

(8.30)

Resolvendo para as coordenadas originais obtemos, em primeira ordem em ϵ, ∂S 1 (J, θ) + O ( ϵ2 ) ∂θ k

(8.31)

− ϵ ∂S ∂J (J, θ) + O(ϵ ).

(8.32)

I k = J k + ϵ

ϕk = θk

1

2

k

8.2

223


Substituindo a transforma¸c˜ cao aõ na Hamiltoniana obtemos K (J, θ) = H (I (J, θ), ϕ(J, θ)) = H 0 (I (J, θ)) + ϵH 1 (I (J, θ), ϕ(J, θ)) + O(ϵ2 )



n



∂H 0 ∂S 1 + O (ϵ2 ) + ϵ [H 1 (J, θ) + O (ϵ)] ∂J k ∂θ k

   ·

= H 0 (J ) + ϵ

k=1 n

= H 0 (J ) + ϵ

ωk (J )

k=1

∂S 1 ∂θ k





+ H 1 (J, θ) + O(ϵ2 )



∂S 1 = H 0 (J ) + ϵ ω + H 1 (J, θ) + O (ϵ2 ) ∂θ 2

≡ K (J ) + ϵK (J, θ) + O(ϵ ) 0

1

(8.33) onde ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) são ao as freq¨ uˆ uências encia s do movimento n˜ ao ao perturbado. Vamos agora determinar S 1 de forma que K 1 = K 1 (J ). ). Expandindo Expandindo H 1 e S 1 em série erie de Fourier ourie r m´ ultipla ultipla obtemos: +∞

S 1 (J, θ) =

 

S 1n(J ) ein·θ

(8.34)

H 1n(J ) ein·θ

(8.35)

n=−∞ +∞

H 1 (J, θ) =

n=−∞

onde agora n = (n1 , n2 , . . . , nn ) Substituindo em K 1 obtemos +∞

K 1 =



n=−∞

[in ωS 1n + H 1n ] ein·θ .

·

(8.36)

Antes de fazer a escolha das componentes de S 1 temos que observar se o movimento não ao perturbado encontra-se em ressonˆ ancia ancia ou não. ao. A condi¸c˜ cao aõ de ressonˆ ancia ancia ocorre quando

·

n ω = n1 ω1 + n2 ω2 + . . . + nn ωn = 0

(8.37)

224


8.2

para algum conjunto de inteiros nk , positiv positivos os ou negativ negativos. os. Como o valor valor das freq¨ uˆ uências ωk depende dos valores de I , ou seja do toro ao redor do qual estamos fazendo a perturba¸ c˜ cao, aõ, temos que especificar se estamos tratando de um toro ressonante ou n˜ ao-ressonante. Nesta se¸c˜ ao-ressonante. cao aõ vamos considerar apenas o caso não-ressonante. ao-ressonante. Nesse caso vemos que a escolha

S 1n (J ) =

 

i

H 1n(J ) n ω (J )

̸

se n = 0

·

0

(8.38)

se n = 0

cancela todos os termos de K 1 , menos o termo de H 1n com n = 0. O resultado é n 2π 1 )dθk (8.39) K 1 (J ) = H 10 H 1 (J, θ)dθ H 1 . 10 (J ) = 2 π 0 k=1

∏ 

≡⟨ ⟩

Dessa forma obtemos, como no caso unidimensional, K (J )

⟨ ⟩

= H 0 (J ) + ϵ H 1

(8.40)

H 1n (J ) inθ S (J, ϕ) = J ϕ + i e ( ) n ω J n=0 =0 ̸

·



·

o que, aparentemen aparentemente, te, resolve resolve o totalmente totalmente o problema problema até primeira primeira ordem em ϵ. O problema com essa solu¸c˜ cão ao é a conver co nvergˆ gênci en ciaa da série er ie para pa ra S 1. Vamos conside considerar rar o caso de dois graus de liberdad liberdade. e. O denominado denominadorr que aparece aparece em S 1n é ω1 n2 (8.41) n1 ω1 + n2 ω2 = n1 ω2 . ω2 n1



−−



O caso não ao ressonante corresponde a σ = ω1 /ω2 irracio irracional nal.. No entan entanto, to, sabemos que qualquer irracional pode ser aproximado t˜ ao a o bem quanto se queira por um racional, i.e., existem inteiros r e s tal que ω1 /ω2 r/s < δ para qualquer δ . Assim, Assim, conforme conforme somamos somamos sobre sobre n1 e n2 , o denominador em (8.38) pod podee ficar arbitrariamente p equeno e a série erie pode p ode n˜ ao convergir. A convergˆ conve rgência enc ia depe de pende nder´ r´ a dos coeficientes de Fourier (n (n1 , n2 ) de H 1 irem a zero mais rápido apido do que a aproxima¸c˜ cão ao de σ pelo racional n2/n1 correspondente. A demonstra¸c˜ cao aõ da convergˆ encia encia é dada pelo teorema KAM que discutiremos no pr´ oximo oximo cap´ cap´ıtulo. Note que, além em da quest˜ ao ao de convergˆ conve rgência enc ia da série eri e

|

− |

8.2


225

de Fourier para S 1 , existe o problema da convergˆ encia encia da série erie em ϵ, i.e., da série erie perturbativa perturbat iva como um todo. A conclusão, ao, por enquanto, é que a solu¸c˜ cao aõ (8.40) é apenas formal e n˜ ao faz sentido enquanto n˜ ao ao ao mostrarmos sua convergˆ conve rgência. enc ia.

8.2.3 8.2.3

O Caso Caso resso ressona nan nte

Vamos nos restringir agora a sistemas com dois graus de liberdade para simplificar os c´ alculos alculos e a interpreta¸c˜ cao aõ dos result resultado ados. s. Su Supom pomos os ent˜ entao aõ que estamos interessados interessados na dinˆ amica perturbada na vizinhan¸ca amica ca de um toro para o qual σ = ω1 /ω2 = r/s com r e s inteiros inteiros e primos entre si. Esse toro é chamado de toro ressonante. ressonante. Então ao vemos que n1 ω1 + n2ω2 se anula não ao só para n1 = n2 = 0 mas tamb´ em em para n1 = ps e n2 = pr para qualquer valor inteiro de p, positiv positivoo ou negativo negativo.. Vamos excluir excluir o caso p = 0, pois este corresponde a n1 = n2 = 0 que será levado em conta separadamente. A escolha que fizemos para S 1n em (8.38) deve ent˜ ao ao ser modificada. Vamos reescrever a express˜ ao ao de K 1 na forma

−

+∞

K 1 =



[in ωS 1n + H 1n ] ein·θ .

·

n=−∞

(8.42)

e separar a soma sobre n = (n1 , n2 ) em três es partes: (a) (n1 , n2 ) = (0, (0, 0), (b) (n1 , n2 ) = p(s, r) n p , com p = . . . , 2, 1, 1, 2, . . . e (c) outros valores de n. Com isso obtemos

− ≡

K 1 = H 100 100 +



− −

ip( ip(sθ1 −rθ2 )

H 1,ps,− pr e

p=0 =0 ̸

+



[in ωS 1n + H 1n] ein·θ .

n̸ =np ,0

·

(8.43)

·

Note que os termos envolvendo n ω se anulam para n = 0 e para n = n p . Podemos agora escolher os valores dos coeficientes S 1n :

S 1n (J ) =

 

i

H 1n (J ) n ω (J )

·

0

̸

̸

se n = 0 e n = n p .

(8.44)

se n = 0 ou n = n p

Essa escolha permite eliminar a terceira parcela da Hamiltoniana K 1 , mas não ao permite a elimina¸c˜ cão ao da dependˆ dep endência encia angular: angu lar: K 1 = H 100 100 +



p=0 =0 ̸

ip(sθ1 −rθ2 ) H 1,ps,− pr eip( .

(8.45)

226


8.2

Veremos agora que a forma dessa Hamiltoniana est´ a relacionada ao aparecimento de ilhas ressonantes (cercadas de regi˜ oes oes caóticas) oticas) em sistemas perturbados turbados.. Pa Para ra isso isso notamos notamos primeira primeiramen mente te que, como como K 1 é real, temos ∗ que ter H 1,n = H 1,−n. Isso Isso nos permite permite escrever escrever a soma soma sobre sobre p’s negativos como o complexo conjugado da soma sobre os p’s positiv positivos. os. Escrev Escrevendo endo iβp ao ao (8.45) simplifica para H 1,ps,− pr = α p e a express˜ ∞

K 1 = H 100 100 +



2α p cos[ p( p(sθ1

p=1 p=1

− rθ ) + β ]. 2

p

(8.46)

Por simplicidade vamos tomar β p = 0. Mais adian adiante te colocaremos colocaremos a fase β p de volta e veremos que seu papel n˜ ao ao é muito muit o relevante rel evante.. Fazemos finalmente uma ultima u´ltima transforma¸c˜ cao aõ canˆ onica o nica de (J, (J, θ) para ¯ ¯ (J , θ) gerada por ¯1 + θ2 J 2 . (8.47) F 2 (J¯, θ) = (sθ1 rθ2 )J

−

A transforma¸c˜ cao aõ é dada d ada explicitame explic itamente nte por p or ¯1 = J 1 /s J ¯2 = J 2 + rJ 1 /s J θ¯1 = sθ1 rθ2 θ¯2 = θ2

(8.48)

¯1 J 1 = sJ ¯2 rJ ¯1 J 2 = J . θ1 = θ¯1/r + r θ¯2 /s θ2 = θ¯2

(8.49)

−

e sua inversa inver sa é

−

Nas novas variáveis aveis a Hamiltoniana completa fica ∞

¯) + ϵH 100 ¯ K = H 0 (J 100 (J ) +



¯)cos[ 2ϵα p (J ) cos[ p pθ¯1 ].

(8.50)

p=1 p=1

Veja ent˜ ao ao que K corresponde a uma aproxima¸ c˜ c˜ ao ao inte ntegr´ gr ´ avel avel de H , pois ¯2 tamb´ além em da energia ener gia total, tota l, J ta mbém em é cons co nsta tante nte,, j´ a que K não ao depende de θ¯2 . Como os coeficientes de Fourier de H 1 devem cair exponencialmente r´ apido apido com a ordem, em uma primeira aproxima¸c˜ cão ao basta considera consi derarr p = 1, o que leva a` forma mais simples ¯) + ϵH 100 ¯ 2 ϵα1 (J ¯)cos ) cos θ¯1 . K = H 0 (J 100 (J ) + 2ϵα

(8.51)

8.2


227

Como J ¯2 é cons co nsta tante nte e θ¯2 não ao aparece, reduzimos o problema a um movimento mento unidimensi unidimensional onal.. Na verdade, verdade, como Ω2 θ¯˙ 2 = 0, o movimento no plano (θ¯1 , J ¯1 ) é apenas uma proje¸ pro je¸c˜ cao aõ do movimento global onde θ¯2 tamb mb´ém ¯ ¯ depende depende do tempo. tempo. Se marcarm marcarmos os os valore aloress de (θ1 , J 1) cada vez que θ¯2 passar por 0 (ou 2π 2π ), teremos um mapa de Poincaré. e. ∗ ¯∗ ¯ ¯ ¯1 ), que correspondem Os pontos pont os de equil´ıbrio ıbrio (θ1 , J 1 ) de K no plano (θ1 , J a orbitas o´rbitas peri´ odicas odicas do sistema, são ao dados por:

≡

̸

∂K ∂H 0 ∂H 100 ∂α 1 100 = + + 2ϵ 2 cos θ¯1∗ = 0 ϵ ϵ ∗ ∗ ∗ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ J 1 ∂ J 1 ∂ J 1 ∂ J 1 ∂K = ∂ θ¯1

−2ϵα (J ¯ )sin θ¯ 1

∗ 1

∗ 1

(8.52)

= 0.

O valor de J ¯2 é constante e calculado sobre o toro ressonante. Temos ent˜ ao ao dois pontos pont os de d e equil e quil´´ıbrio em θ¯1∗ = 0 e θ¯1∗ = π, como no problema do pêndulo. endul o. Uma ultima u´ltima simplifica¸c˜ cão ao nos permite olhar o movimento apenas nas vizinhan¸cas cas dos pontos de equil´ equil´ıbrio. Para isso expandimos expandimos K ∗ ∗ ¯1 = J ¯1 J ¯ . A expan em torno de J ¯1 até segunda ordem em ∆J expans˜ s˜ ao a o de H 0 1 tem o termo t ermo de ordem zero, que é constante e pode po de ser esquecido, e os termos de primeira e segunda ordem. Para H 100 100 e α1 apenas calculamos sua ordem zero, zero , pois poi s eles têm em um ϵ multiplicando. Acontece que o termo de ordem um de H 0 dá zero: ∂H 0 ∂H 0 ∂J 1 ∂H 0 ∂J 2 = ¯∗ ¯∗ + ∂J 2 ∂ J ¯∗ ∂J 1 ∂ J ∂ J 1 1 1 (8.53)

−

−

= ω1 s + ω2 ( r) = 0. Assim obtemos uma Hamiltoniana efetiva dada simplesmente por ∆K =

G ¯1 )2 (∆J 2

− F cos θ¯ . 1

(8.54)

onde G = ∂ 2 H 0 /∂ J ¯12 e F = 2ϵα1 . Essa é a Hamiltonian Hamilt onianaa de um pêndulo. endu lo. A ilha de estabilidade correspondente ao movimento oscilat´ orio ori o do pêndulo end ulo é criada criad a pela pel a ressonˆ resso nˆ ancia, ancia, de onde originou originou o cosseno cosseno.. A energia efetiv efetiva da separa sep aratri trizz é ∆K = F , avel avel θ¯1 = π e F , pois corresponde a` energia do ponto inst´ ¯1 = 0. A largura ∆J largura da ilha, ilha, i.e., i.e., o valor alor de ∆J ¯1 sobre a separatriz em θ¯1 = 0 é ∆J ¯1 = 4F /G ancia ancia diminui ent˜ ao ao ϵH 1,s,−r . A largura da ressonˆ com a raiz quadrada do parˆ ametro ametro perturbativo perturba tivo e tamb´ em em com a ordem da ressonância, ancia, que deve cair exponencialmente r´ apido. apido.

−

√

≈

√

228


8.2

Figura 8.4: Mapa standard para (a) k=0.01; k=0.01; (b) k=0.2; (c) k=0.5 e (d) k=1.0

8.2


229

Finalm Finalmen ente te volta voltamos mos as a`s vari´ ariavei a´veiss (θ, J ). ) . Co Como mo vimo vimos, s, os po pon ntos tos de ¯1) corr equil´ equil´ıbrio no plano (θ¯1 , J corres espon ponde dem m a orbitas o´rbitas peri´ odicas o dicas no espa¸ espa¸ co co ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ completo completo (θ1, θ2 , J 1 , J 2 ). As eq equac˜ ções o es (8.49) (8.49) mostr mostram am que que θ2 = θ2 mas Assim, o interv intervalo alo onde onde θ¯1 varia entre π e π ( onde θ1 = θ¯1 /r + rθ¯2 /s. /s. Assim, vemos um pêndu en dulo lo), ), correspondente a uma varia¸c˜ cão ao entre π/r e π/r apenas para θ1 . Temos que repetir r vezes o desenho do pêndulo endulo para completar a figura na vari´ avel avel θ1 . Então, ao, observamos uma cadeia com r ilhas, onde r é a ordem da ressonˆ ancia. ancia. Um exemplo que ilustra o efeito da perturba¸c˜ cão ao em toros ressonantes é dado pelo Mapa Padr˜ ao ao

− −

I n+1 = I n + K sin K sin ϕn

ϕn+1 = ϕn + I n+1 .

(8.55)

Como Como esse esse mapa mapa prese preserv rvaa area a´reas, s, ele ele pod podee ser ser pensa pensado do como como a se¸ sec˜ çao a˜ o de Poincar Poincar´é de um sistema sistema Hamilt Hamiltoni oniano ano perturbad perturbado. o. O parˆ ametro perturbativ at ivoo é K . Para K = 0 a a¸c˜ cão ao I permanece constante, enquanto o angulo aˆngulo ara I = 0 todos ϕ salta sempre de um valor constante que depende de I . Para os pontos ϕ são ao pontos pontos fixos do mapa. mapa. A linha linha I = π/3 π/ 3 1 corresponde a um toro ressonante, pois os pontos s˜ ao ao orbitas o´rbit as peri´ per iódicas odica s de d e per´ıodo ıod o 3. 3. O mesmo ocorre em I = π/2 ao ao orbitas o´rbitas de per´ per´ıodo 2 e, e , em geral g eral π/ 2 1.57 onde est˜ em I = rπ/s, ondee ficam fica m órbita orb itass de per pe r´ıodo ıo do s. rπ/s, ond Na figura 8.4 mostramos várias arias trajet´ orias do mapa para quatro valores orias do parˆ ametro ametro K . Ca Cada da traj trajet et´ o´ria, correspondendo a uma condi¸c˜ oria, cao aõ inicial diferente, é representada repr esentada com uma cor diferente. Pr´ oximo de I = 0 abre-se imediat imediatamen amente te uma ilha ilha grande. grande. Isso Isso ocorre porque, porque, para I 0 qualquer valor de K é significat sign ificativo. ivo. Olhando Olhan do o gr´ afico afico para K = 1 podemos distinguir claramente duas cadeias de ilhas perto de I = 3 e I = 3 e três es cadeias cadei as perto per to de I = 1.5 e I = 1.5. Outras cadeias com mais ilhas podem ser observadas, porém em com menor amplitude. amplit ude.

≈

≈

≈

−

8.2.4 8.2.4

−

Estr Estrut utur uras as frac fracta tais is

A teoria de perturba¸c˜ cão ao que desenvolvemos desenvolvemos prevê que o movimento nas vizinhan¸cas cas de um toro racional é modificado mo dificado de forma qualitativa. O conjunto de orbitas o´rbitas peri´ odicas odicas que cobria o toro é substitu´ substitu´ıdo por uma cadeia de ilhas que possui geralmente apenas duas órbitas orbitas peri´ odicas: odica s: uma estável avel no centro da ilha e outra instável avel nos seus extremo extremos. s. Pr´ oximo oximo do ponto est´ avel avel podemos expandir o cosseno como fizemos no exemplo do pêndulo. endulo. Reescrevemos

230


8.2

Figura 8.5: Amplia¸c˜ cao aõ de uma regi˜ ao do Mapa standard para k=1.0 ao ent˜ ao ao a equa¸c˜ cao aõ (8.54) como G ¯1)2 F + F θ¯2 /2 F θ¯4 /24 + O(ϵ2 , θ¯6 ). (∆J (8.56) 1 1 2 Desprezando o termo constante F e definindo vari´ aveis aveis de angulo aˆngulo e a¸c˜ cao aõ ψ e L por

−

∆K =

−

−

¯1 = ∆J onde Ω1 =

√

2L1 Ω1 /G cos ψ1

√F G, obtemos

∆K = Ω1 L1

−

θ¯1 =

√

2L1 Ω1/F sin ψ1

Ω21 L21 sin4 ψ1 + O(ϵ2 , θ¯6 ). 6F

(8.57)

(8.58)

Aplicando a teoria de perturba¸ c˜ cao aõ nas variáveis aveis L1 e ψ1 e lembrando que 4 sin ψ1 = 3/8 podemos escrever

⟨

⟩

∆K = Ω1 L1

−

Ω21 L21 + O(ϵ2 ) 16F 16F

2

≡ ∆K + ϵ K (L, ψ) = 0

2

(8.59)

EXERCÍCIOS

8.3

231

onde os termos em ϵ2 representam todas as corre¸c˜ coes o˜es dessa ordem que foram ¯2 desprezada despr ezadass nos no s cálculos alculo s anterior ant eriores. es. Estamos Estam os tamb´ t ambém em chamando cha mando L2 = ∆J e ψ2 = θ¯2 para uniformizar a nota¸c˜ cao. aõ. Estamos agora olhando as trajet´ orias orias próximas o ximas ao centro de uma das ilhas. O movimento nessa região ao é, e, grosso gross o modo, mod o, regular, regu lar, constitu const itu´´ıdo de curvas aproximadamente el´ el´ıpticas que circundam o p ponto onto fixo central. Podemos chamar essas estruturas de toros secund´ arios, pois aparecem devido a` perarios, turba¸c˜ cao. ão. No entanto, as freq¨ uˆ uências enc ias não ao pertu pe rturba rbadas das nessa nes sa regi˜ reg i˜ ao ao do espa¸co co de fases são ao dadas por ∂ ∆K 0 GL1 = Ω1 w1 = 8 ∂L 1 (8.60) 2 ∂ ∆K 0 ∂ Ω1 L1 ∂G = L1 w2 = 16 ∂L 2 ∂L 2 ∂L 2 e novamen novamente te podem haver haver ressonˆ ancias, i.e., valores de L1 e L2 para os quais u ´ mero racional racional.. Nessas Nessas regi˜ oes oes a dependência encia angular de K 2 w1 /w2 é um numero não ao pode ser totalmente eliminada por teoria de perturba¸ c˜ cão a o e pequenas ilhas aparecer˜ ao onde haveria um toro secund´ ao ario ario racional racional.. Dentro Dentro dessas dessas pequenas ilhas o processo se repete em ordem mais alta de ϵ: pequenos toros terciários arios circundam o ponto central da ilha, etc. O resultado resultado é uma estrutura fractal de ilhas dentro de ilhas. A largura dessas ilhas diminui não a o apenas com ϵ, mas tamb´ também em com a ordem da ressonância ancia e ficam exponencialmente pequenas conforme adentramos a estrutura fractal. fractal. A figura 8.5 mostra mostra um amplia amplia¸ c˜ çao aõ do mapa standard onde a estrutura secund´ aria ar ia de il ilha hass é vis´ıvel. ıve l. Outra caracter´ caracter´ıstica importante importante desses sistemas sistemas perturbados é a persistˆ sistência encia de alguns toros para perturba¸ cões oes pequenas (veja por exemplo a figura 8.4 para K pequeno). Isso indica que a série erie perturbativa p erturbativa deve convergir para alguns toros irracionais. Vemos tamb´ em em a existência encia de movimento aparentemente aleat´ orio orio para perturba¸c˜ cões oes maiores, trataremos esses assuntos no pr´ oxim ox imoo cap´ c ap´ıtul ıt ulo. o.

−

−

8.3


1. Um sistema Hamiltoniano Hamiltoniano de um grau de liberdade é dado por



p2 ω2 q2 b + + ϵ aq + q 2 H = 2 2 2



.

232


8.3

(a) Resolva o problema exatamente. (b) Resolva o problema por teoria de perturba¸c˜ cao aõ supondo ϵ pequeno. (c) Expanda o resultado exato em primeira ordem em ϵ e compare com o resultado perturbativo.

Cap´ıtulo 9 O Teorema KAM As duas questões oes de convergˆ encia encia da série erie perturbativ perturbat ivaa levantadas levantadas no final da se¸ se ¸c˜ cão ao 8.2.2 do cap´ cap´ıtulo anterior anterior foram tratadas pelo p elo matem´ atico russo Andrey Kolmogorov (1903-1987) em 1954 e, mais tarde, extendidas e tornadas rigorosas pelo seu aluno ucraniano Vladimir Arnold (1937-) em 1963 (para sistemas Hamiltonianos) e pelo alem˜ ao a o J¨ urgen Moser (1928-1999) em urgen 1962 (para mapas). O resultado é conhecido conhecido hoje como Teorema Teorema KAM. A demonstra¸c˜ cao aõ desse teorema pode ser encontrada, por exemplo, no livro ErAvez [18], no apêndice endice godic Problems of Classical Mechanics de Arnold e Avez 34, e é bastante complexa e sofisticada. Em vez de tentar esbo¸ esb o¸ car uma prova simplificada, simplificada, o que provav provavelmen elmente te n˜ ao ao é poss´ poss´ıvel, vamos ilustrar os problemas de convergˆ encia encia das séries eries (8.28) e (8.34) através es do estudo de dois problemas muito simples ligados a` questão ao de encontrar os zeros de fun¸ c˜ cões oes a uma variável avel real. Além em disso, como vimos no cap´ cap´ıtulo anterior, o efeito da perturba¸c˜ cao aõ depende fortemente da raz˜ ao ao entres as freq¨ uˆ uências enc ias do movimento n˜ ao ao perturbado. p erturbado. Veremos portanto p ortanto algumas propriedades básicas asicas dos números umeros irracionais e de suas aproxima¸c˜ cões o es por racion racionai ais. s. Depoi Depoiss dessa dessass discussões oes preliminares vamos enunciar o teorema KAM e discutir algumas aplica¸c˜ coes o˜es simples simples em astronom astronomia. ia. Essa Essa discus discuss˜ s˜ ao ao seguirá de perto a apresenta¸c˜ cao ão de M. Berry em [28].

9.1

O m´ m´ etodo etodo superconvergente superconvergente de Newton

A idéia eia central centra l da d a demons d emonstra¸ tra¸c˜ cao aõ de Kolmogorov Kolmo gorov é baseada basea da em uma técnica ecnic a superconvergente de teoria de perturba¸c˜ cão. ao. Curiosa Curiosamen mente, te, esse mesmo mesmo tipo 233

234

9.1

O TEOREMA KAM

de convergˆ conve rgência enc ia r´ apida apida ocorre o corre no método etodo de Newton para encontrar encontrar zero de fun¸c˜ coes, o˜es, e o usaremos para ilustrar a idéia. eia. Suponha que queremos encontrar a posi¸c˜ cao ˜ x¯ onde a fun¸c˜ cão ao suave f ( f (x) se anula, f ( Suponha nha aind aindaa que conhe¸ conhe¸ camos camos a posi¸c˜ cao aõ aproximada f (x¯) = 0. Supo do zero, x0 , e que a distância ancia entre x¯ e x0 seja pequena. Escrevemos ∞

− x )) =

(x¯ f ( f (x¯) = f ( f (x0 + (¯

0

 n=0

1 (n) )(x¯ f (x0)(¯ n!

n

−x ) ≡0 0

onde f (n) = dn f/dxn . Re-arran Re-arranjan jando do os termos termos podemos reescrev reescrever er essa expressão ao como (x¯

−

x0 ) +

1 f (2) (x¯ 2! f (1)

−

x0 )2 +

1 f (3) (x¯ 3! f (1)

−

x0 )3 + . . . =

−

f (0) f (1)

≡ ϵ.

−

Podemos agora inverter essa série erie e escrever (x¯ x0 ) em fun¸c˜ cão a o de ϵ (veja, por exemplo, Handbook of Mathematical Functions, Functions, M. Abramowitz e I.A. Stegun): ¯ = x0 + ϵ + ϵ x

2

−     −  f (2) f (2) 3 +ϵ 2 2f (1) 2f (1)

f (3) + .... 6f (1)

(9.1)

Assim, conhecendo a fun¸c˜ cao aõ e ponto x0 , podemos calcular x¯ com precis˜ ao ao arbitrária aria por meio desta série erie no parˆ ametro ametro ϵ. Obviamente a convergˆ c onvergência encia da série erie vai depender dep ender da fun¸c˜ cao aõ e de ϵ. Esse tipo t ipo de procedimento pro cedimento é an´ analogo a´logo ao apresentado na equa¸c˜ cão ao (8.28). Existe, no n o entanto, um método etodo muito mais eficiente que a equa¸ equac˜ ¸ao ao (9.1) para encontrar zero de fun¸ c˜ cões, oes, que é o método etodo de Newton. O método etodo consist consistee do seguin seguinte: te: dado x0, obtemos obtemos primei primeirame ramente nte uma aproxim aproxima¸ a¸ c˜ cao aõ melhor, x1, a partir de 0 = f ( (x¯ f (x¯) = f ( f (x0 + (¯

(1)

− x )) ≈ f ( f (x ) + f 0

0

(x0)(x )(x1

− x ), 0

o que resulta em x1

′

− x = −f ( f (x )/f (x ) = ϵ ≡ ϵ . 0

0

0

1

Como x1 deve ser uma aproxima¸c˜ cão a o melhor para x¯ que x0 , repetimos o procedimento anterior come¸ cando cando agora em x1 e obtendo x2 e assim por diante: ϵ2 = x2 x1 = f ( f (x1 )/f ′ (x1 ) .. .

−

ϵn = xn

−

−x

n−1

=

′ n−1 )/f (xn−1 ).

−f ( f (x

´ O METODO SUPERCONVERGENTE DE NEWTON

9.2

235

A distância ancia entre as sucessivas aproxima¸c˜ cões oes não ao é constante. const ante. Para ter uma idéia eia da taxa tax a de d e conver c onvergˆ gência enc ia da série eri e temo t emoss que q ue estima est imarr ϵn+1 em termos de ϵn . Para fazer isso escrevemos ϵn+1 =

f (x ) f ( f (x =− − f f ( (x ) f (x ′

+ ϵn ) . + ) ϵ n−1 n

n−1

n

′

n

A expans˜ e xpansão ao do numerador numerad or resulta resul ta f ( f (xn−1 + ϵn ) = f ( f (xn−1 ) + f ′ (xn−1 )ϵn + 12 f ′′ (xn−1 )ϵn2 + . . . = 12 f ′′ (xn−1 )ϵn2 + . . . onde usamos a defini¸c˜ cão ao de ϵn para cancelar os dois primeiros termos. Podemos expandir o denominador em ordem zero apenas e obter ′′

ϵn+1

=

− 12 f f ((xx ′

n−1 ) 2 ϵn . n−1 )

Dessa forma, conquanto que o zero de f ( ao seja uma tangência encia (onde f (x) não ′ 2 uencia de distânci an cias as é: e: ϵ1 = ϵ, ϵ2 = (ϵ ), ϵ3 = (ϵ4 ), f (x) = 0) a seqüencia convergência encia é, e, portanto, muito mais ma is r´ apida do que a ϵ4 = (ϵ8 ), etc. A convergˆ série erie usual dada pela equa¸c˜ cão ao (9.1). Esse é um dos procedimentos pro cedimentos utilizados por Kolmogorov para demonstrar o teorema KAM. Mostra-se Mostra-se em primeiro primeiro lugar a convergˆ convergˆ encia encia da série erie de Fourier para S 1 , equa¸c˜ cão ao (8.28), (8.28 ), para certos cert os toros toro s n˜ n ão-pertur ao-p erturbados bados iniciais, inicia is, i.e., para certos valores das vari´ aveis aveis de a¸c˜ cão ao I. Co Com m isso isso conseg consegueue-se se um (1) (1) novo conjunto de vari´ aveis aveis J e θ , diferindo das originais em ordem ϵ, de tal forma que, em primeira primeira ordem na perturba¸c˜ cao, ˜ os J(1) são ao constantes. Em seguida, reescreve-se a Hamiltoniana em termos dessas novas vari´ aveis aveis (1) 2 de forma que a dependência encia em θ é da orde or dem m ϵ . Busca-se Busca -se então ao um novo conjunto de coordenadas J(2) e θ(2) , diferindo de J(1) e θ(1) em ordem ϵ2 e mostra mos tra-se -se a convergˆ conve rgência enc ia da série eri e S 1 associad associada, a, e assim assim por diant diante. e. A cada passo a dependˆ dep endência encia das vari´ aveis aveis de angulo aˆngulo no parˆ ametro ametro ϵ é o quadra qua drado do da dependˆ dep endência enc ia anteri ant erior. or. No entanto, para que tudo isso funcione, temos que mostrar quando as série er iess para pa ra S 1 convergem. convergem. Novament Novamentee ilustraremos ilustraremos o procedimento procedimento de forma bastante simples.

O

O

O

236

9.2

O TEOREMA KAM

f(x)

ε g(x)

x0

y

x

δ

−

Figura Figura 9.1: 9.1: Fun¸c˜ cão ao f ( cão ao singular g (x) = ϵ/( f (x) e a perturba¸c˜ ϵ/(x y ). O parâmetro ametro δ = y x0 mede a distância ancia do zero n˜ ao perturbado da singulariao dade.

−

9.2

Pertu erturb rba¸ a¸ c˜ coes o ˜es singulares

Vamos voltar ao problema do cálculo alculo dos zeros de uma fun¸c˜ cao aõ suave. Vamos supor que podemos escrever a fun¸c˜ cao aõ como F ( F (x) = f ( f (x) + ϵg( ϵg(x) de tal forma que sabemos onde est˜ ao a o os zeros de f ( Para simpli simplificar ficar as coisas coisas vamos vamos f (x). Para supor que f ( f or também em uma fun¸ func˜ çao ão bem comportada o f (x) = x x0. Se g (x) for calculo dos zeros de f não ao apresentar´ a surpresas. Suponha, no entanto, que oximo de x0 . Como um exemplo g (x) tenha uma singularidade em x = y, próximo concreto considere considere ϵ F ( F (x) = (x x0 ) + x y

−

−

−

com y > x0 , conforme ilustrado na figura 9.1. Como F ( p odemos calcular a posi¸c˜ cao ão de seus zeros exF (x) é muito simples, podemos plicitament plicitamente. e. Impondo F ( c˜ cao aõ do segundo F (x) = 0 encontramos a seguinte equa¸ grau: ( yx0 + ϵ) = 0. x2 x(x0 + y) + (yx

−

A condi¸c˜ cao aõ para existência encia de solu¸c˜ cões oes reais rea is é que ∆

2

≡ (x − y) − 4ϵ ≥ 0. 0

A figura 9.2 mostra o comportamento de F ( F (x) para ∆ < 0, ∆ = 0 e ∆ > 0. Ent˜ ao, ao, fixando a distância ancia δ = y x0 , entre o zero não ao perturbado e a posi¸c˜ cao aõ

−

˜ PERTU PE RTUR RBA BAC C ¸ OES SINGULARES

9.3

∆> 0

∆= 0

∆< 0

f(x)

x0

f(x)

x0

y

237

f(x)

x0

y

x

x

y x

Figura Figura 9.2: 9.2: Fun¸c˜ cao aõ F ( para difer diferen ente tess valore aloress de ∆ (vej (vejaa o texto) texto).. A F (x) para fun¸c˜ cao aõ perturbada s´ o terá zeros z eros se o valor da perturba¸ perturbac˜ ¸ao ao for suficientemente pequeno comparado a` distância ancia entre o zero original e a singularidade.

da singularidade, o zero da fun¸c˜ cao aõ perturbada s´ o existirá se ϵ

2

≤ δ /4.

Ou ainda: mantendo ϵ fixo, F ( er a´ um zero zer o próximo oxim o a` x0 se este estiver F (x) só ter´ suficientemen suficientemente te longe da singularidade singularidade y. A analogia com a teoria de perturba¸ c˜ cao aõ desenvolvida desenvolvid a no cap´ cap´ıtulo 8 é a segui seguint nte: e: para para um valor alor fixo fixo da pertur perturba ba¸ c˜ ção, ao, os toros da Hamiltoniana perturbada s´ o existirão a o se a raz˜ ao ao entre suas freq¨ uˆ uênci en cias as não ao perturbadas estiver suficientemente longe de um n´ umero umero racional. racional. Na próxima oxima se¸c˜ cao aõ discutiremos medidas de distˆ ancia ancia entre n´ umeros umeros racionais e irracion irracionais ais,, necess´ necess´ arias arias para entend entender er a conve convergˆ rgˆ encia encia da teoria teoria de perturba¸c˜ cão ao desenvolvida desenvolvi da no cap´ıtulo ıtulo 8. Antes, porém, em, é interessante intere ssante fazer duas observa¸c˜ coes ões sobre este exemplo exemplo simples. simples. Em primeiro primeiro lugar, lugar, notamos notamos que a escolha de f ( cão ao linear não ao é restritiva, rest ritiva, pois poi s se x0 é proximo o´ximo f (x) como uma fun¸c˜ de y, sempre podemos linearizar f ( ao. a o. A fun¸ fun¸c˜ cao aõ singular g (x) f (x) nessa regi˜ −2 pode, po de, é claro, ser de ordem mais ma is alta, como (x (x y) , mas o polo de primeira ordem é o mais simples e basta para tirarmos t irarmos as informa¸ c˜ coes ões qualitativas sobre o problema.

−

Finalmente, Finalmente, é interessan interessante te notar que, caso hajam zeros de F ( eles F (x), eles 2 aparecem genericamente aos pares (exceto para ϵ = δ /4). Veremos que um reflexo disso também em acaba aparecendo no teorema correlato de PoincaréeBirkhoff, que trataremos mais adiante.

238

9.3

9.3

O TEOREMA KAM

Fra¸c˜ coes o ˜e s cont co nt´ ´ınu nuas as

As equa¸c˜ coes o˜es (8.40) e (8.41) do cap´ cap´ıtulo 8 e a discuss˜ discussão ao da se¸ cão ao anterior, mostram mostr am que a quantidade quant idade chave ch ave que vai determinar dete rminar a convergência encia ou n˜ ao da série eri e pertu pe rturba rbativa tiva (8.34) (8. 34) é a ‘distˆ ‘dis tˆ ancia’ ancia’ entre o toro n˜ ao-res ao- resson sonante ante,, também em chamado de toro irracional , para o qual a série erie foi desenvolvida, desenvolvida, e os toros ressonantes vizinhos, chamados de racionais. racionais. Em outras palavras, temos que determinar se a raz˜ ao ao entre as freq¨ uˆ uênci en cias as não ao perturbadas σ = ω1 /ω2 está suficientemente longe dos n´ umeros umeros racionais. r acionais. Embora a idéia eia de distˆ ancia ancia entre racionais raciona is e irracionais irrac ionais possa parecer estranha, est ranha, pois p ois um conjunto co njunto é denso no outro, ela pode ser formulada de maneira precisa com a ajuda das chamadas fra¸ c˜ c˜ oes oe s cont´ con t´ınua ın uass [29, 30]. Todo n´ umero umero irracional irracional σ pode ser aproximado t˜ ao ao bem quanto se queira por um n´ umero umero racional. Dado σ = d0.d1 d2 d3 . . . onde os d´ıgitos dk são a o inteiros entre 0 e 9, podemos produzir a seguinte seq¨ uencia uencia de aproxima¸c˜ cões oes racionais: racionais: d0 ,

d0 d1 , 10

d0 d1 d2 , 100

d0 d1 d2 d3 ,...,etc. 1000

Nessa seq¨ uencia, o erro cometido, i.e., a distˆ uencia, ancia ancia entre o n´ umero umero irracional e sua aproxima¸c˜ cao aõ racional, racio nal, é dado d ado por

 −  σ

1 r < . s s

(9.2)

Para o n´ umero umero π = 3.14159265 . . . e r/s = 3141/ 3141/1000, o erro é menor do que 1/1000, pois está na quarta casa decimal. Existe, no entanto, uma outra maneira de gerar aproxima¸c˜ coes o˜es racionais para n´ umeros umeros irracionais que é bem mais eficiente. Nesse método, etodo, conhecido como fra¸c˜ coes o˜es cont´ınuas, ınua s, o n´ umero umero σ é escrito escri to na forma 1

σ = a0 +

1

a1 + a2 +

1 a3 + . . .

onde os coeficientes ak são ao inteiros maiores ou iguais a um se k > 1 e a0 [σ] é a parte inteira inteira de σ (que (que pode ser posi p ositiv tiva, a, negativ negativaa ou nu nula), la), que

≡

˜ FRAC ¸ OES CONTÍNUAS

9.3

239

k=0 ak = [ σ]

σ = ( σ − ak )

−1

k=k+1

Figura 9.3: Algoritmo para constru¸c˜ cao aõ de fra¸c˜ coes o˜e s cont´ co nt´ınuas ınu as.. denotare denotaremos mos pelos colchete colchetess [ ]. Essa Essa expans˜ expans˜ ao é unica u´ nica e pode ser obtida através es do algoritmo indicado na figura 9.3.

Exemplo 9.3.1 O número umero π : 1

π = 3+

1

7+

1

15 + 1+

1 292 + . . . .

umero e: Exemplo 9.3.2 O número 1

e = 2+

1

1+

1

2+

1

1+ 1+

1 4+ ....

´ poss´ E poss´ıvel ıvel encontrar encontrar uma rela¸ c˜ cão ao de recorrˆ encia encia entre a aproxima¸ aproxima¸ cão ao

240

9.3

O TEOREMA KAM

σ

2

1

3

4

5

6

7

n

Figura 9.4: Comportamento dos aproximantes racionais para o n´ umero σ . racional de ordem n σn

≡ sr

n n

1

= a0 +

(9.3)

1

a1 +

1

a2 +

1 an 1. De fato, podemos podemos mostrar mostrar por indu¸ induc˜ çao aõ que ... +

e a aproxima¸c˜ cao aõ de ordem n

−

rn = anrn−1 + rn−2 (9.4) sn = ansn−1 + sn−2 onde r0 = a0 , s0 = 1, r−1

≡ 1 e s ≡ 0. Note que, para n > 1, s −1

n

> sn−1 .

Exer Ex ercc´ıcio ıc io:: Demonstre essa rela¸c˜ cão. ao. aćil ver que (9.4) vale para σ0 e σ1 . Supomos então ao que ela seja Solu¸c˜ ao: é facil válida alida para σn e mostramos que vale tamb´ ta mb´ em em para σn+1 . Usamo Usamoss agora agora o fato que a expansão ao de σn+1 como co mo um umaa séria er ia do tip ti p o (9.3 (9 .3)) fica fic a idêntic ent icaa à série er ie de σn se fizermos an + 1/a 1/an+1 a¯n . Assim, escrevendo σn+1 = r¯n /s¯n temos que ¯n rn−1 + rn−2 r¯n = a

≡

¯n sn−1 + sn−2 . s¯n = a Substituindo a¯n = (an an+1 + 1)/a 1)/an+1 e re-arranjando os termos obtemos r¯n =

1 [a r an+1 n+1 n

+ rn−1 ]

s¯n =

1 [a s an+1 n+1 n

+ sn−1 ].

˜ FRAC ¸ OES CONTÍNUAS

9.3

241

Dividindo r¯n por s¯n o inteiro an+1 se cancela e os termos entre colchetes ficam iguais à rn+1 e sn+1 respectivamente. Multiplicado a primeira das equa¸c˜ coes o˜es (9.4) por sn−1 , a segunda por rn−1 e subtraindo uma da outra obtemos

−r

rn sn−1

n−1 sn

=

−[r

n−1 sn−2

n−2 sn−1 ].

−r

Usando essa rela¸c˜ cao aõ recursivamente chegamos a rnsn−1

−r

n−1 sn

= ( 1)n[r0 s−1

−

−r

−1 s0 ]

= ( 1)n+1

−

e dividindo os dois lados por snsn−1 obtemos a rela¸c˜ cao aõ importante σn

−σ

n−1

=

( 1)n+1 . sn sn−1

−

(9.5)

Essa equa¸c˜ cão ao mostra que os aproximantes racionais de rn/sn são ao alternadamente maiores maiores e menores do que σ , como ilustra a figura 9.4. Além em disso, essa rela¸c˜ cao ão mostra que ou σn < σ < σn+1 (por exemplo, para n = 2 na figura) ou cão ao σn+1 < σ < σn (como para n = 3 na figura). No primeiro caso vale a rela¸c˜ 0 < σ σn < σn+1 σn. No segundo segundo caso vale vale σn+1 σn < σ σn < 0, de forma que sempre é verdadeira a desigualdade

−

−

−

|σ − σ | < |σ − σ | = s s1 n

n+1

n

n n+1

<

1 . sn2

−

(9.6)

Comparando com a (9.2) vemos que o ganho em precis˜ ao ao é signific s ignificativo. ativo. Essa rela¸c˜ cão ao vale vale para todo n´ umero umero irracional irracional e pode-se mostrar que nenhum nenhum outro tipo de aproxima¸c˜ cao ão racional gera precis˜ ao que seja melhor do que essa para ao todo irracional. Para um dado irracional, a seq¨ uencia uencia σn converge r´ apido apido se a seq¨ uencia uencia apido. Dessa forma, o n´ umero umero mais irracional de irracional de todo to doss é a1 , a2 , . . . divergir rápido. aquele cuja aproxima¸ aproxima¸ c˜ cão ao por po r racion rac ionais ais é a mais mai s lenta lent a poss po ss´´ıvel, isto ist o é, e, quanto qua nto todos os an forem iguais a` 1. Esse Esse n´ numero, u´mero, conhecido como raz˜ ao ao aur aú rea, ea , é dado por 1 ζ = 1 + 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1+ ....

242

9.3

O TEOREMA KAM

0

x

1

Figura Figur a 9.5: 9 .5: A raz˜ r azão ao aurea aúrea na visão ao de Euclides, onde 1/x 1/x = x/(1 x/(1

− x)

Claramente vemos que ζ satisfaz a rela¸c˜ cao aõ ζ = 1 + 1/ζ 1/ζ , ou ζ =

√5 + 1 2

= 1.6180339 . . . .

(9.7)

A equa¸c˜ cao aõ (9.4) mostra que, para a raz˜ ao ao áurea, aurea, as rela¸c˜ coes o˜es de recorrˆ rec orrência enc ia satisfeitas pelo numerador e denominador de ζ n = rn/sn são ao de fato fat o idˆ i dênticas enti cas,, estando apenas ‘defasadas’: rn = rn−1 + rn−2 sn = sn−1 + sn−2 pois r−1 = r0 = 1 enquanto s−1 = 0 e s0 = s1 = 1. Escrevendo Escrevendo genericament genericamentee F n = F n−1 + F n−2 ;

F −1 = F 0 = 1

temos a famosa Seq¨ uencia de Fibonacci , cujos primeiros n´ um eros umer os são ao 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 13, 21, 21, 34, 34, . . . . Claramente ζ n = F n/F n−1 . A razão ao aurea aúrea teve uma grande influência encia nas artes. Aparentemente esse número umero curioso foi descoberto por Euclides em cerca de 300 AC como sendo o ponto ao longo de um segmento de comprimento unit´ ario ario tal que a razão ao entre seu tamanho e o trecho maior, seja igual a` raz˜ r azão ao entre os trechos trecho s maior ma ior e menor menor,, como como na figura figura 9.5. 9.5. Po Porr algum algum motiv motivoo mist misteri erios oso, o, esse esse tipo de propor¸c˜ cao aõ geom´ ge ométri et rica ca é agra ag rad´ d´ avel aos olhos e foi muito utilizado em pinturas avel do per´ per´ıodo renascentista. renascentista. A figura 9.6 mostra um retˆ angulo angul o constru const ru´´ıdo com as propor¸c˜ cões oes da raz˜ ao ao áurea aurea e que é subdividido sub dividido em um quadrado quadr ado mais ma is outro retângulo angulo dourado. Repetindo o processo é poss´ poss´ıvel gerar uma espiral cujas propor¸c˜ coes o˜es são ao freq¨ uenteme uentement ntee encont encontrada radass na natureza. natureza. O ponto ponto final da espiral espir al é conhecido conhe cido como olho de diabo. diabo. Para Para mais detalhes detalhes e curiosi curiosidade dadess veja o artigo de Maria Efigênia enia de Alencar na revista F´ısica na Escola [31] A equa¸c˜ cão ao (9.6) nos diz que qualquer n´ umero irracional pode ser aproxiumero mado por uma racional da forma r/s de tal forma que o erro na aproxima¸c˜ cao aõ

9.4

O TEOREMA KAM

243

Figura 9.6: Espirais associadas ao n´ umero umero aureo aúreo em um girassol. Os bot˜ oes oes cresc crescem em a parti partirr de duas espirai espiraiss do centro centro para fora. Uma Uma delas delas tem 21 bra¸cos, c os, e a outra 34, que são a o n´ umeros de Fibonacci e cuja raz˜ umeros ao ao é aprox ap roxiimadamente 1.619. (foto: Jon Sullivan, Daisy Detail, 2004, color é menor men or do que s−2. No entanto, para certas classes especiais de n´ umeros, umeros, a −3 −4 −s convergˆ encia encia pode po de ser ainda melhor, como s , s ou mesmo e . O livr livroo Continued Fractions de A.Y. Khinchin, demonstra todos esses resultados de forma rigorosa. Para ter uma idéia eia do tipo de n´ num umer ´ eroo cuja cu ja conver co nvergˆ gênci en ciaa é −2 mais rápida apida do que s , considere as ra´ ra´ızes reais da equa¸c˜ cao aõ f ( f (x) = d0 + d1 x + d2 x2 + . . . + dn xn onde os dk são ao inteiros. Essas ra´ ra´ızes s˜ ao ao ditas algebr´ aicas de ordem n e são ao uma generaliza¸c˜ cao ão dos racionais. Esses ulti u ´l timo moss são ao ra´ızes ız es de fun¸ fu n¸c˜ cões oes da forma umeros umeros n˜ ao-algebr´ ao-algebráicos aicos s˜ s ão ao ditos dito s transcend tran scendentais. entais. Por f ( f (x) = d0 + d1x. Os n´ 2 exemplo, 2 é algebr alg ebraic aico, o, pois po is é raiz rai z de f ( 2 e π é transc tra nscend endenta ental. l. f (x) = x Um teorema de Liouville diz que se o erro σ r/s < c/sα com α > 2, então ao tran scendental. ental. Em particular part icular,, a razão ao aure au ´ reaa é um numero u´mero algebraico de σ é transcend ordem 2.

√

| − |

9.4

−

O teorema KAM

Considere um sistema integr´ avel com dois graus de liberdade com Hamiltoavel ¯ 1 (I 1 , I 2) independente das niana H 0 (I 1, I 2 ) e uma perturba¸c˜ cao aõ da forma ϵH variáveis aveis angulares ϕ1 e ϕ2. Cada supe s uperf rf´´ıcie de energia energ ia de H 0 é compo com posta sta por po r uma fam´ fam´ılia de toros, e cada toro é caracterizado pela razão ao σ0 = ω10 /ω20 entre as freq¨ uˆ uências enc ias de rota¸ rot a¸c˜ cao aõ nas dire¸c˜ cões o es dos angulos aˆngulos ϕ1 e ϕ2 respectivamente.

244

9.4

O TEOREMA KAM

¯ 1, tamb´ O sistema perturbado, H = H 0 + ϵH ta mbém em é inte integr gr´ avel a´vel e, portanto, suas superf supe rf´´ıcies de energia ener gia também em s˜ ao a o compost compostas as por toros toros.. Se a Hami Hamilltoniana H 0 não ao for degenerada, degenerada, isto é, e, se σ0 mudar suavemente conforme mudamos de toro, ent˜ ao podemos caracterizar (pelo menos localmente) cada ao toro pelo seu valor de σ0 . Note Note que que iss issoo n˜ a o ocorre no caso do oscilador ao harmônico onico bidimensional bidimensional,, onde σ0 é igual para todos os toros. ¯ 1 forem fun¸c˜ Se tanto H 0 quanto H coes ões suaves, então ao podemos po demos acompanhar, acompanhar, como fun¸c˜ cao aõ de ϵ, a superf´ superf´ıcie bidimensional correspondente correspo ndente a um toro tor o com razão ao σ fixa. Esperamos que essa superf´ superf´ıcie deforme-se deforme -se suavemente conforme p odemos considerar o toro de H 0 cuja cuj a raz˜ raz ão ao de ϵ é variado. Por exemplo, podemos freq¨ uências é σ0 = 2 e, para cada valor de ϵ, buscar o toro de H com o mesmo σ = 2. Se esse toro existir existir para um interv intervalo alo finito finito de varia¸ ariação de ϵ, dizemos que o toro com σ0 = 2 foi preservado pela perturba¸c˜ cão, ao, ou sobreviveu a` perturba¸c˜ cao, aõ, pois existia em H 0 e continua existindo em H . Neste caso particular onde tanto H 0 quanto H são ao integr´ integr´ aveis, aveis, todos os toros sobrevivem a` perturba¸c˜ cao. aõ. Considere agora uma perturba¸c˜ cao aõ gen´ ge néric er icaa ϵH 1 (I 1 , I 2 , ϕ1 , ϕ2 ) como fizemos no cap´ cap´ıtulo 8. O sistema perturbado perturb ado H = H 0 + ϵH 1 não ao é mai m aiss inte i ntegr gr´ avel a´vel e não ao é mais poss´ poss´ıvel saber a priori quais toros sobrevivem a` perturba¸c˜ cão ao (se é que algum toro sobrevive) sobrevive) e quais s˜ ao ao dest de stru´ ru´ıdos ıd os.. O teor teorem emaa KAM KAM diz respeito a essa quest˜ ao ao e prova prova que a série erie perturbativa, perturbativa, desenvol desenvolvida vida com a técnica ecnic a supe s uperconverge rconvergente nte a` la Newton, converge para toros irracionais cuja cuj a raz˜ r azão ao de freq¨ fre q¨ uˆ uências encias seja ‘suficientemente irracional’ irrac ional’ para que a seguinte rela¸c˜ cao aõ seja satisfeita: ω1 r K (ϵ) (9.8) > 2.5 ω2 s s

√

√

√



 − 



 − 

para todos r e s inteiros e onde K (ϵ) é independe indep endente nte de r e s e vai a zero quando ϵ vai a zero. Toros com razão ao de freq¨ uˆ uências encias transcendentais, por exemplo, n˜ ao ao satisfazem essa rela¸c˜ cão a o e são ao os primeiros a serem destru de stru´´ıdos. Vamos assumir que todos os toros que n˜ ao ao satisfazem essa rela¸c˜ cao aõ são ao destru´ d estru´ıdos. ıdos. Isso inclui inclu i todos os toros racionais com σ0 = r/s e uma pequena vizinhan¸ca ca deles, onde ω1 ω2

r K (ϵ) < 2.5 . s s

(9.9)

Vamos ent˜ ao ao estimar qual a fra¸c˜ cao aõ dos toros que sobrevivem a` perturba¸c˜ cao. aõ. Ora, como os n´ umeros umeros racionais s˜ a o densos nos reais e temos que retirar ao

9.5

O TEOREMA KAM

0

1 5

1 4

1 3

2 5

1 2

2 3

245

1

3 4

Figura Figura 9.7: Toros racionais racionais e vizinh vizinhan¸ an¸ cas de tamanho K (ϵ)/s2.5 . Quan Quanto to maior s menor o tamanho da vizinhan¸ca ca removida. os racionais juntamente com uma pequena vizinhan¸ ca ca deles, podemos achar que não ao vai sobrar nada, i.e., que todos os toros ser˜ ao ao destru´ destru´ıdos. Isso, no entanto, n˜ ao ao é verda ver dade de.. Suponha que os toros em uma determinada camada de energia tenham ao ao todos os n´ umeros umeros racionais nesse σ0 variando entre 0 e 1. Localizamos ent˜ intervalo e retiramos n˜ ao ao apenas esses n´ umeros, umero s, mas também em uma u ma vizinha v izinhan¸ n¸ca ca 2.5 de tamanho K (ϵ)/s em torno de cada um. Obvia Obviamen mente te um ponto ponto dentro dessa vizinhan¸ca ca satisfaz (9.9) e deve ser removido. Tudo o que sobrar satisfaz (9.8) e corres c orrespon ponde de à fra¸ fr a¸c˜ cao aõ de toros que sobreviveram. A figura (9.7) ilustra o procedimento. Para cada denominador s fixo temos, em geral, s 1 racion racionai ais. s. Pa Para ra 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 e 6/7. O interv intervalo total s = 7, por exemplo, temos 1/ removido da reta, , é então

−

R

∞

R<

 s=1

K (ϵ) (s s2.5

∞

− 1) <

 s=1

K (ϵ) s= s2.5

∞

 s=1

K (ϵ) s1.5

≈ 2.6K (ϵ).

Como K (ϵ) vai a zero quando ϵ vai a zero, para pequenas perturba¸c˜ coes o˜es quase todos os toros irracionais sobrevivem! O resultado resulta do final é que, no sistema perturbado, perturbad o, apesar ap esar de n˜ ao haver duas constantes de movimento, a maioria das orbitas o´rbitas continuam sobre toros. Aquelas que não ao est˜ ao sobre toros formam um conjunto pequeno mas finito, disao tribu´ tri bu´ıdo ıdo no espa¸ esp a¸co co de fases entre os toros que ficaram. O fator K/s2.5 nas equa¸c˜ cões oes (9.8) e (9.9) de fato é da forma K/sµ onde Quanto maior maior o valor valor de µ menores as vizinhan¸cas cas µ > 2 depende de H 0. Quanto removidas próximas oximas aos toros racionais e mais resistente a Hamiltoniana a` perturba¸c˜ coes. o˜es. Po Porr outro lado, lado, se µ é muito pequeno, qualquer perturba¸c˜ cão ao leva a` destrui¸c˜ cao aõ de uma fra¸c˜ cao aõ consider´ avel avel dos toros. O teorema teo rema KAM não ao diz nada sobre o que acontece ac ontece na regi˜ ao do espa¸co co de fases fases onde n˜ ao ao há mais toros. Voltaremos a esse ponto no próximo ox imo cap ca p´ıtul ıt ulo. o.

246

9.5

O TEOREMA KAM

y’

y

Ω µ r

m

rB

x’ x

M

Figura 9.8: Sistema plano plan o de três es corpos corp os com M fixo no centro, m em orbita o´rbita circular e µ orbitando orbitando sob a influˆ influência encia dos dois corpos. O sistema sistema de coordenadas x-y é inerc i nercial, ial, fixo em rela¸c˜ cao aõ ao corpo central, e o x′ -y ′ gira junto com m.

9.5 9.5.1 9.5.1

Aplica¸c˜ coes o ˜es em astronomia O problema problema de trˆ es es corpos em um plano plano

Vamos considerar aqui uma vers˜ ao bastante restrita do problema gravitaao cional ciona l de três es corp c orpos os que, q ue, apesar ape sar de simplificada simplifi cada,, é util ´ para certos problemas problemas de astronomia. astronomia. Para fixar id´ eias eias podemos pensar que os três es corpos s˜ ao o Sol, Júpiter upiter e um pequeno aster´ oide. oide. As massas desse três es corpos, que denominaremos genericamente de A, B e C, s˜ ao, ao, respectivamente, M , m e µ, com M >> m >> µ. µ. Como µ é muito pequena, podemos pode mos assumir que o movimento do sistema siste ma A-B não ao é afetado por C e suas orbitas o´rbitas são ao conhecidas conhecidas.. Para Para tornar tudo mais simples vamos supor que A fica parado na origem (pois M >> m) m) e que B está em orbita órbita circular de raio rB e freq¨ uˆ uência encia angular angul ar Ω. Queremos Quere mos estudar estudar o movim movimen ento to de C sob a influˆ influˆ encia encia de A e B assumi assumindo ndo que tudo acontece no plano orbital do sistema A-B, conforme ilustrado na figura 9.8. A Lagrangeana para o corpo C no referencial x-y de A é dada por 1 GM µ Gmµ + L = µr˙ 2 + r rB (t) 2 r

|−

|

˜ APLICAC ¸ OES EM ASTRONOMIA

9.5

247

onde rB (t) é um umaa fun¸ fu n¸c˜ cão ao conhecida conhe cida do tempo. Para eliminar a dependˆ dep endência encia ′ ′ explici explicita ta do tempo mu mudam damos os para um referenc referencial ial não ao inercial inercial x -y cuja origem é A mas que gira com velocidade Ω junto com B. Escolhemos o eixo ′ cao ão de B, de forma que rB = rB x ˆ′ . x′ na dire¸c˜ A transforma¸ transforma¸c˜ cão ao para o novo sistema de coordenadas pode ser feita facilmente e é deixada deixad a como exerc´ıcio ıcio para o leitor. leito r. O resultado resul tado é 1 L = µ r˙ 2 + (Ω 2

[

× r)

]

2

+

GM µ Gmµ + r rB r

|− |

onde Ω = Ωzˆ e abolimos as linhas para simplificar simplificar a nota¸c˜ cao. aõ. Em coo coorrdenadas polares x = r cos θ, y = r sin θ podemos mostrar que Ω r = Ωr ( sin θx ˆ + cos θyˆ), de forma que

×

−





1 GM µ Gmµ 2Ωr2 θ˙ + Ω2 r2 + + L = µ r˙ 2 + r2 θ˙2 + 2Ωr . r rB 2 r

|− |

Observe Observe que o denominador denominador do ultimo u´ltimo termo da Lagrangeana pode ser escrito 2 2 como r + rB 2rr B cos θ. Os momentos canˆ onicos onicos são ao pr = µr˙ e pθ = µr2 (θ˙ + Ω) e a Hamiltoniana fica

√

−



pr2 p2θ + H = 2µ 2µr2

− p Ω − θ

 √

GM µ +ϵ r

GM m 2 2rrB cos θ r 2 + rB

−

≡ H + ϵH onde ϵ ≡ µ/m é o parˆ pa râmetro ametro perturbativo. perturbativo. 0

1

(9.10)

A Hamiltoniana Hamiltoniana H 0 descreve a intera¸c˜ cao aõ de C com A e é cert c ertame amente nte integr´ inte gr´ avel. As constantes de movimento avel. são a o a energia e pθ . A inter intera¸ a¸c˜ cão ao entre C e B , H 1 , quebra a integrabilidade pois depende de θ. Para aplicar o teorema KAM a esse problema precisamos primeiramente ´ fácil escrever H 0 em termos de suas variáveis aveis de a¸c˜ cao a˜ o e angulo. aˆngulo. E acil ver que 1 I θ = 2π



2π

pθ dθ = pθ .

0

A variável avel de a¸c˜ cao aõ I r é dada da da p or 1 I r = 2π



1 pr dr = 2π

  

GM µ 2µ E + ΩI θ + E + ΩI r

−

I θ2 dr. r2

248

9.5

O TEOREMA KAM

O cálculo alc ulo é feito fei to pelo pe lo método eto do de res´ıduos ıdu os no apêndice end ice D e o result res ultado ado é I r =

−I + −

√

θ

Resolvendo para E obtemos H 0 (I r , I θ ) =

−

GM µ2 . 2µ(E + ΩI θ ) E + ΩI

G2 M 2 µ3 2(I 2(I r + I θ )2

− ΩI . θ

(9.11)

As freq¨ uˆ uências encia s do movimento n˜ ao-perturbado ao-perturbado s˜ ao ao ω0θ =

−Ω + ω

C

(9.12)

ω0r = ωC onde

G2 M 2 µ3 ωC = (I r + I θ )3

(9.13)

é a freq fr eq¨ uˆ u¨ência encia de Kepler Keple r de C em torno de A no sistema sistema inercial inercial.. A raz˜ ao ao entre as freq¨ uências é Ω ω0θ =1 (9.14) . ω0r ωC

−

9.5.2

Falhas no cintur˜ ao ao de aster´ oides oides

O cintur˜ ao ao de aster´ oides que existe entre as orbitas oides o´rbitas de Marte e J´ upiter, upiter, a aproximadam aproximadamente ente 3 UA (uma Unidade Unidade Astronˆ omic om icaa é igua ig uall à distância ancia entre a Terra e o Sol) Sol) é composta composta por p or corpos de tamanhos tamanhos variad variados. os. A grande grande maioria tem menos de 10Km de extens˜ a o e apenas 26 tem mais de 200Km ao de diâmetro. ametro. EstimaEstima-se se que a massa massa total dos aster´ aster´ oides seja menor do que a da Lu Lua. a. O maior maior de todos todos os aster´ aster´ oides conhecidos é Ceres, com 974Km 20 de diâmetro ametro e 1. 1.76 10 Kg. A orbitas órbitas dos aster´ oides oides é determinada determinada em grande parte pelo Sol, enquanto J´ upiter faz o papel de corpo perturbador. As massas envolvidas s˜ upiter ao: ao:

×

30

× 10 Kg Massa de J´ upiter upiter m = 1.90 × 10 Kg Massa do Sol M = 1.99

27

9.5

˜ APLICAC ¸ OES EM ASTRONOMIA

249

Figura 9.9: Histograma do n´ umero umero de aster´ aster óides oides em fun¸c˜ cao aõ da distância ancia ao Sol em UA (Alan Chamberlin, 2007, JPL/Caltech). Massa t´ıpica de um aster´ asteroide oíde µ = 1017 Kg onde estimamos estimamos µ como sendo um milésimo esimo da massa de Ceres, o que d´ a um −10 valor para o parˆ ametro ametro perturbativo ϵ da ordem de 10 . Mesmo para Ceres ele seria da ordem de 10−8 , que é ainda muito pequeno. O astrônomo onomo Daniel Kirkwood foi o primeiro a observar, em 1857, que a distribui¸c˜ cao aõ dos aster´ oides oides no cintur˜ ao ao apresentav apresentavaa falhas. Um histograma histograma moderno é apresentado apresentado na figura 9.9. Kirkwood Kirkwood corretamente corretamente explicou que, nessas posi¸c˜ coes, o˜es, o per´ per´ıodo das orbitas o´rbitas dos aster´ oides oides estaria estar ia em ressonˆ resso nância ancia com J´ upiter upiter (a raz˜ ao ao entre as freq¨ uˆ uências enc ias é indic in dicada ada na figur fi gura). a). Como Com o vimos vi mos,, essas orbitas o´rbitas n˜ ao ao est˜ ao restritas a se mover sobre toros de baixa dimensionao alidade, e podem ser arrastadas para outras regi˜ oes oes até serem eventualmente eventualme nte atra´ıdas ıdas para o Sol, J´ upiter upiter ou mesmo mesmo para fora do sistem sistemaa solar. solar. Veremos eremos no pr´ oximo oximo cap´ cap´ıtulo que parte part e das da s orbitas o´rbitas na regi˜ ao ao dos toros toro s destru destr u´ıdos s˜ ao ao caóticas. oticas. Note que quanto mais simples é a raz˜ ao ao das freq¨ uˆ uênci en cias as,, maio ma iorr é a falh fa lha. a. Isso é consistente com o teorema KAM, que prevê intervalos intervalos da ordem de 2.5 1/s . Quanto maior s, menor o intervalo intervalo de toros destru´ destru´ıdos.

9.5.3

Falhas nos an´ eis eis de Saturno

Existem várias arias teorias teorias sobre a origem origem dos anéis eis de Saturno. Saturno. Uma delas, proposta por p or Edouard Roche no século eculo 19, diz que eles se formaram devido

250

9.5

O TEOREMA KAM

m

2a

2a

m

r

R M

Figura 9.10: For¸cas cas de maré e atra¸ atrac˜ çao aõ gravitacional m´ utua utua sobre uma lua.

a` desintegra¸c˜ cao, aõ, devido aos efeitos de mar´ e, e, de uma lua que orbitav orbitava nessa região. ao. Uma varia variante nte dessa dessa teoria teoria diz que a lua foi atingida atingida por um grande cometa e se despeda¸cou. c ou. Uma Uma tercei terceira ra hip´ hipotese o´tese é a de que as part´ part´ıculas dos do s anéis ei s são ao restos da nu nuve vem m de poeira original original que formou Saturno. Saturno. Essa Essa ultima u ´ ltima hipótese otese parece n˜ ao a o muito aceita, pois h´ a indica¸c˜ cões oes que os anéis eis sejam recentes. recentes. A teoria teoria de Roche Roche é intere interessan ssante te do ponto ponto de vista vista mecˆ anico e vamos apresent´ a-la a-la aqui aqui rapidamen rapidamente. te. A figura 9.10 mostra um planeta de massa elite de massa 2m que dividimos ficticiamente em duas metades M e um satélite de raio a. As duas metades sentem for¸cas cas gravitacionais gravitacionais diferentes, pois uma delas está ligeiramente mais ma is afastada do planeta que a outra. Esse gradiente de atra¸c˜ cao ão provoca uma tens˜ ao repulsiva entre elas, chamada de efeito de ao maré. e. Por outro outr o lado, as duas du as metades metad es est˜ ao ao tamb´ t ambém em conect c onectadas adas pela pe la atra¸ a tra¸c˜ cão ao gravitacional m´ utua. utua. A desintegr desintegra¸ a¸c˜ cao aõ acontece quando a repuls˜ ao ao da mar´ ma ré vence a atra¸c˜ cão ao entre as duas metades. A for¸ca ca atrativa entre as duas metades é

Gm2 F at . at = 4a2

EXERCÍCIOS

9.6

251

A for¸ca ca de mar´ e, e, por p or outro lado, pode ser estimada como: F mare mare =

GM m (R + r + a)2

m − (R +GM 3 a) r + 3a

2

  −

GM m = 1 (R + r + a)2

2a 1+ R+r+a

 −2

4GMma ≈ (R4GMma ≈ . + r + a) r 3

3

Podemos comparar as for¸cas cas assumindo que os corpos tenham todos a mesma densidade, de forma que M = 4πρR 3 /3 e m = 4πρa 3 /3. Para ara que que ` condi¸c˜ cão ao F at at seja maior que F mare mare chegamos a r < (16)1/3 R

52R ≈ 152. 152.300 K m. ≈ 2.52R

Essa estimativa simples, conhecida como Limite de Roche, parece bastante preci precisa sa.. De fato, fato, n˜ ao a o há nenhum satélite elite de Saturno aquém em desse limite. O satélite elite mais pr´ oximo, oximo, Janus, está a 156.800 Km, embora outros satélites elites menores tenham sido identificados um pouco mais pr´ oximos oximos ainda. Os anéis eis de Saturno tamb´ em em apresentam falhas, ou divis˜ oes, devido a presen¸ca ca de corpos perturbadores, perturbado res, que nesse caso ca so são ao as luas Mimas, Tethys e Encelado Encelados, s, nov novamente amente verific verificando ando a instabi instabilid lidade ade dos toros toros racionai racionais. s. A figura 9.11 mostra um esquema das falhas. Chamando de ω a freq¨ uˆ uênci en ciaa das da s part´ıculas ıculas nos anéis, eis, as principais princ ipais ressonˆ resso nâncias ancia s s˜ ao: ao: ω = 3ωmimas entre os anéis C e B e ω = 2ωmimas, ω = 3ωencelados , ω = 4ωtethys entre entr e os anéis eis B e A, conhecido como divisor de Cassini.

9.6


1. Expanda os n´ umeros umeros abaixo em fra¸c˜ coes o˜es cont´ınuas ınua s até tercei ter ceira ra ordem ord em e calcule o erro entre a aproxima¸c˜ cao aõ racional e o n´ umero umero dado. (a) π (b)

√2

(c) e

252

9.6

O TEOREMA KAM

Figura Figura 9.11: 9.11: An An´éis eis de Saturno Saturno em compara compara¸ c˜ çao aõ com o planeta planeta.(i .(imag magem: em: Nasa/JPL 2. Calcule os n´ umeros umeros cujas fra¸c˜ coes o˜es cont´ınuas ınua s s˜ ao ao dadas abaixo: 1

x=

1

1+

1

2+ 1+

1 2...

1

x=

1

1+

1

k+ 1+

1 k...

3. Mostre que todo n´ umero irracional tem uma fra¸c˜ umero cao aõ cont´ınua ınua infinit infi nita. a.

Cap´ıtulo 10 Caos Hamiltoniano O teorema KAM n˜ ao diz nada sobre o comportamento das trajet´ ao orias orias nas regiões oes próximas oximas aos toros racionais, onde a teoria de perturba¸ c˜ cão ao não ao converge. verge. A dinˆ amica amica nessas regi˜ oes oes é extremamente extremamente rica e complexa complexa e ser´ a o assunt assuntoo deste deste cap´ cap´ıtulo. ıtulo. Vamos inicia inicialme lmente nte demonstr demonstrar ar o teorema teorema de Poincaré-Birkhoff, e-Birkhoff, que mostra a persistência encia de algumas orbita orb ´ itass peri p eri´ódicas odi cas onde haviam haviam toros racionai racionais. s. O teorema teorema ainda afirma que metade dessas dessas orbitas órbitas peri´ odicas odicas são ao instáveis. aveis. Veremos que isso leva leva ao aparecimento aparecimento dos chamados emaranhad emaran hados os homocl hom ocl´´ınicos ıni cos que, por sua vez, est˜ ao ao associados a movimentos ca´ oticos. otico s. Esse cap´ cap´ıtulo está baseado nas referências encias [28, 19, 24].

10.1

O mapa de tor¸c˜ ao

A figura 8.4 mostra o comportamento comportamento t´ıpico de uma fam´ fam´ılia de toros com energia E fixa, de um sistema integr´ avel de dois graus de liberdade, intercepavel tand ta ndoo uma u ma se¸ se ¸c˜ cao aõ de Poincar´ Poin caré arbi a rbitr´ trária. aria. As curvas geradas pela intercepta¸c˜ cao aõ ´ tem a topologia de c´ırculos, ırculos, mas podem ser bem complicadas. complicadas. Orbitas sobre os toros aparecer˜ ao ao na se¸c˜ cao aõ de Poincaré como c omo uma seq¨ sequencia ¨ de pontos sobre a curva correspondente. Para facilitar a an´ alise que faremos a seguir, construiremos uma transalise forma¸c˜ cao aõ canˆ onica simples que leva as vari´ onica aveis aveis originais q1 , q2 , p1 , p2 em novas variáveis aveis Q1 , Q2 , P 1 , P 2 de tal forma que os toros interceptem a se¸ c˜ cao aõ de Poin Po inca car´ ré Q2 = 0 em c´ırculos ırcul os perfeito per feitos. s. Em primeiro lugar supomos conhecida a transforma¸ c˜ cão ao canˆ can ônica oni ca que leva de q1 , q2 , p1 , p2 as às variáveis a veis de ângulo a ngulo e a¸c˜ cao aõ θ1 , θ2, I 1 , I 2 , de forma que a 253

254

10.1

CAOS HAMILTONIANO

Hamiltoniana do sistema tem a forma H 0 = H 0 (I 1 , I 2 ). Definimos então ao

√2I sin θ √ = 2I sin θ

Q1 =

1

1

Q2

2

2

√2I cos θ √ P = 2I cos θ . P 1 = 2

1

1

2

2

Considere agora a se¸c˜ cao aõ de Poincar´ Poin caré Q2 = 0 com P 2 > 0 e H 0 = E . Trajet´ raje tórias orias sobre a se¸c˜ cao aõ tem a variável avel ângulo angulo θ2 igual a 0, 2π 2π, 4π , etc. e variáveis a veis de a¸c˜ cao aõ I 1 , I 2 satisfazendo H 0 (I 1 , I 2 ) = E . Das equa equa¸c˜ ções o es de Hamilton e da escolha inicial θ2 (0) = 0 obtemos I 1 = I 10 10

θ1 = θ10 + ω1 t

I 2 = I 20 20

θ2 = ω2t

onde ω1 = ω1 (I 1, I 2 ) = ∂H 0 /∂I 1 , ω2 = ω2 (I 1, I 2 ) = ∂H 0 /∂I 2 e H 0 (I 10 10 , I 20 20 ) = oria oria est´ a sobre a se¸c˜ cao aõ de Poincaré e retorna a ela em E . Em t = 0 a trajet´ t = 2π/ω2 t1 . Assim temos:

≡

Q11

≡ Q (t ) = √2I 1

1

sin(θ10 10 10 sin(θ

+ 2πω 2πω 1 /ω2 )

= Q10 cos(2πα cos(2πα)) + P 10 sin(2πα)) 10 sin(2πα P 11 11

cos(θ + 2πω 2πω /ω ) ≡ P (t ) = √2I cos(θ = −Q sin sin (2πα (2πα)) + P cos(2πα cos(2πα)) 1

1

10

10 10

10

1

2

10 10

onde α = ω1 /ω2 , é conhecido como n´ umero de rota¸c˜ cao. ao ˜ . A trans transfor forma¸ ma¸ c˜ cao aõ claramente corresponde a uma rota¸ c˜ cao aõ pelo angulo aˆngulo 2πα 2πα.. Em forma matricial temos cos(2πα cos(2πα)) sin (2 (2πα) Q11 πα ) Q10 = (10.1) sin(2πα sin(2πα)) cos (2πα) P 11 πα ) P 10 11 10

    −

   

ou, em nota¸c˜ cão ao simp si mpl´ létic et icaa

η1 = P 0 (α)η0 .

(10.2)

As curvas invariantes de P 0 são ao c´ırculos com centro na origem. O sub-escrito 0 em P 0 (α) indica que o mapa é para o Hamiltoniano Hamiltoniano integr´ avel avel H 0 e a dependˆ dep endência enc ia em α enfatiza que o angulo aˆngulo de rota¸c˜ cao aõ depende

˜ O MA MAPA PA DE D E TORC TO RC ¸ AO

10.1

255

P1 I >I

I Q1 I< I

¯ são Figura Figura 10.1: 10.1: Mapa de tor¸ c˜ cao aõ T 0 = P 0s . Pon Pontos tos sobre sobre I ao pontos fixos do ¯ mapa. Pon Pontos tos sobre c´ırculos externos a` I rodam no sentido anti-hor´ ario a rio e pontos sobre c´ırculos internos rodam ro dam no n o sentido se ntido hor´ ario, ario, gerando uma tor¸c˜ cao aõ no espa¸co co de fases. do toro inicial sobre a superf´ superf´ıcie de energia. Como a energia est´ a fixa, podemos rotular os toros pela vari´ avel avel de a¸c˜ cao aõ I 1 , pois I 2 = I 2 (E, I 1 ) (veja a se¸c˜ cao aõ ′ ′ 8.2.1). Vamos supor que dα/dI 1 α = 0 e, por conveniência, encia , que α > 0. Iterando Iter ando a equa¸c˜ cao aõ (10.2) geramos os pontos sobre a se¸ c˜ cao aõ de Poincar´ Poin caré correspondente a` condi¸c˜ cao aõ inicial η0 :

≡ ̸

ηk = [P 0 (α)]k η0 = P 0 (kα) kα )η0 .

(10.3)

O número umero de rota¸c˜ cao aõ α varia continuamente com I 1 . Considere então ao um toro I 1 = I ¯1 tal que α ¯ inteiros. os. En Ent˜ t˜ ao, ao, todo θ10 α(I ¯1) = r/s com r e s inteir sobre esse toro corresponde a uma órbita orbita peri´ p eri´ odica que intercepta a se¸c˜ cão ao de Poincar´ Poin caré em s pontos distintos. distintos. Isso é evidente, evidente, pois 2πsα = 2πr e, portanto, P ( também em que os pontos p ontos rodam r vezes em P (sα) sα) = 1. Fica claro tamb´ torno da origem o rigem ao completarem a órbita. orbita. Todos os pontos do c´ırculo de raio 2 2 ¯1 são ao orbita o´rb itass peri´ pe riódicas odi cas do mapa map a de Poincar´ Poin caré com per pe r´ıodo ıo do s. O Q1 + P 1 = 2I per´ıodo ıod o real, no espa¸co co de fases, é τ (2π/ω2 ) = r(2π/ω (2π/ω1 ). τ¯ = s(2π/ω A periodicidade s das orbitas o´rbitas do toro I ¯1 nos leva naturalmente a definir cao a õ T 0 (α) = P 0s (α) = P 0 (sα). o mapa de tor¸c˜ Sob b a a¸ c˜ cao a˜ o de T 0 , todos os sα). So pontos sobre o toro I ¯1 são ao pontos fixos. A razão ao do nome ‘tor¸c˜ cao’ aõ’ ficar´ a clara em breve.

≡

256

10.2

CAOS HAMILTONIANO

¯1 + δI 1 , com δI 1 > 0. Como Considere agora um toro vizinho, com I 1 = I escolhemos α′ > 0 vemos que α(I 1) α ¯ + α′ δI 1 > α ¯ . Após os uma itera¸c˜ cao aõ de a posi¸c˜ cao aõ angular T 0 , um ponto inicial θ10 sobre esse toro vizinho ter´

≈

2 π (α ¯ + α′ δI 1 ) = θ10 + 2πr 2πr + 2πα 2πα ′ δI 1 θ1s = θ10 + 2π = θ10 + 2πα 2πα ′ δI 1 > θ10 . ¯1 não Assim, vemos que pontos sobre I 1 > I a o são ao pontos fixos de T 0 , pois, a cada intercepta¸ intercepta¸ c˜ cao aõ da se¸c˜ cao aõ de Poincaré, e, rodam ro dam um pouco mais do que seria necessário ario para completar r voltas em s pass passos os.. Sob Sob a a¸ c˜ cão a o de T 0 pontos ¯1 rodam no sentido anti-hor´ sobre I 1 > I ario. ario. ¯1 rodam no sentido hor´ Da mesma forma, pontos sobre I 1 < I ari a rio. O resultado, ilustrado na figura 10.1 é uma u ma tor¸ c˜ cão ao no espa es pa¸co ço de fases.

10.2

O teorema de Poincar Poincar´ ´ e-Birkhoff e-Birkhoff

Suponha que o sistema integr´ avel avel tratado trat ado na se¸c˜ cao aõ anterior seja perturbado, de forma que (10.4) H (I , ϕ) = H 0 (I ) + ϵH 1 (I , θ) onde (I (I , ϕ) = (I 1 , I 2, θ1, θ2 ) são ao variáveis avei s de a¸c˜ cao aõ e ângulo angulo para H 0. Deno Deno-taremos o mapa de Poincaré Q2 = 0 correspondente a` H por P ϵ , de forma que P 0 representa o mapa n˜ ao perturbado que discutimos na se¸c˜ ao cao aõ anterior. Não ao esperamo esp eramoss que os c´ırculos ırcul os permane¸ per mane¸cam cam invariantes por P ϵ . No en en¯1 tanto, se ϵ for suficientemente pequeno, esperamos que pontos ‘acima’ de I ainda movam-se no sentido anti-hor´ ario ario pela a¸c˜ cao aõ de T ϵ = P ϵs , enquanto pon¯1 movam-se no sentido hor´ tos ‘abaixo’ de I ario, ario, embora I 1 não ao p erma er mane ne¸ca ça mais mais constant constante. e. Note que a rota¸ c˜ cão ao depende basicamente de α′ , que não é uma quantidade infinitesimal, enquanto que a varia¸c˜ cao aõ de I é propo pro porci rciona onall a` ϵ. Vamos então ao observar obser var a dinˆ amica de pontos iniciais com angulo amica aˆngulo θ10 fixo ¯ e valor valo r de a¸c˜ cao aõ próximo à I 1 , como ilustrado na figura 10.2. Como abaixo de ¯1 a rota¸c˜ ¯1 a rota¸c˜ cao aõ é para um lado e acima de I cão ao é para p ara outro outr o lado, l ado, ent˜ ao, ao, I ¯ por continuidade, deve existir um ponto pr´ oximo oximo de I 1 onde n˜ ao ao há rota¸c˜ cao aõ algu alguma ma.. Sob Sob a a¸c˜ cao a˜ o de T ϵ esse ponto pode apenas mover-se radialmente. Encontrando esse ‘ponto que n˜ ao ao roda’ para todo θ1 geramos uma curva Rϵ ¯1 quando ϵ vai dos pontos que não ao rodam. Claramente Rϵ tende ten de ao c´ırculo ırc ulo I a zero.

´ O TEOREMA DE POINCAR E-BIRKHOFF

10.2

257

P1 I >I Rε

I θ

1

Q1 I< I

¯ Figura 10.2: Mapa de tor¸c˜ cão ao T ϵ do sistema perturbado. Pontos externos a` I ainda rodam no sentido anti-hor´ ario e pontos internos no sentido hor´ ario ario. ario. A curva Rϵ (linha grossa, em vermelho) contém em os pontos que n˜ ao rodam sob a a¸c˜ cao aõ de T ϵ , podendo apenas ter movimento radial. Como observamos acima, Rϵ não ao é uma curva invariante p elo mapa T ϵ , pois seus pontos po dem mover-se mover-se radialmente. radialmente. Assim, Assim, aplicando T ϵ a cada ponto desta curva geramos uma nova curva, como ilustrado na figura 10.3. As setas indicam o sentido do movimento, sempre radial, pela a¸c˜ cao aõ do mapa. Conforme mostramos na se¸c˜ cão ao 5.7.2, 5.7 .2, mapas map as de Poincar´ Poin caré pres p reservam ervam areas a´reas e, portant p ortanto, o, a área area envolvida por Rϵ é a mesma envolvida por T ϵ (Rϵ). Dessa forma, se parte dos pontos da curva expandem-se pela aplica¸c˜ cao aõ do mapa de tor¸c˜ cao, aõ, outros tem que se contrair, de forma a preservar a area a´rea inici inicial al.. O result res ultado ado é que: que : (i) Rϵ e T ϵ (Rϵ ) devem tipicamente cruzar-se um n´ umero par de vezes. vezes. (ii) Os pontos de interseçc˜ cao ˜ s˜ ao pontos fixos de T ϵ (Rϵ ), pois não ao tem movimento de rota¸c˜ cao aõ nem movimento radial. (iii) Metade dos pontos fixos s˜ ao inst´ aveis ( A1 e A2 ) e metade est´ aveis ( B1 e B2 ). Esses pontos aparecem de forma alternada, A1 , B1 , A2 , B2 , etc. Essa ultima u ´ltima propriedade pod podee ser demonstrada com o aux´ aux´ılio da própria opria

258

10.3

CAOS HAMILTONIANO

(b)

P1

(a)

P1 Wu

T (R ) ε

ε

A1

R

Ws

ε

B1

B1 B2 A2

A1

Q1

Ws

Wu B2

Ws

Wu

Q1

Ws A2

Wu

Figura 10.3: (a) Curvas Rϵ (vermelho) (vermelho) e T ϵ (Rϵ ) (verde). Os pontos de interseçc˜ cao aõ são ao pontos fixos de T ϵ , sendo metade metad e instáveis aveis – A1 e A2 – e metade estáveis, aveis, – B1 e B2 . (b) Curvas invariantes nas vizinhan¸cas cas dos pontos fixos estáveis avei s e inst´ ins táveis. aveis . figura 10.3(a): na vizinhan¸ca ca dos pontos B1 e B2 o movimento de pontos sob a a¸c˜ cao aõ de T ϵ causa sua rota¸c˜ cão ao em torno do ponto fixo, caracterizando um ponto est´ avel. avel. Compare Compare com a figura figura 7.1(b). 7.1(b). Da mesma forma, forma, a dinˆ amica amica na vizinhan¸ca ca dos pontos A1 e A2 é caracter´ cara cter´ıstica ıstica de pontos pont os fixos inst´ aveis. aveis. A figura 10.3(b) apresenta os mesmos pontos fixos novamente, apenas sem as curvas Rϵ e T ϵ (Rϵ ) mas com algumas curvas invariantes nas vizinhan¸cas cas dos pontos p ontos estáveis aveis e com as a s variedades varieda des est´ e st´ aveis aveis e instáveis aveis (veja a se¸c˜ cao aõ 7.3), nas vizinhan¸cas cas dos pontos inst´ aveis. aveis. O resultado dessa an´ alise alise é conhecido conh ecido como teorema teor ema de Poincaré-Birkhoff, e-Birk hoff, e pode ser resumido da seguinte forma: a a¸c˜ cão ao de uma perturba per turba¸¸c˜ cao aõ gen´ ge néric er icaa sobre um sistema integr´ avel causa o desaparecimento de quase todas as (inavel finitas fini tas)) órbita orb itass peri p eri´ odicas o´dicas ali existentes. existentes. Sobrevivem, Sobrevivem, no entanto, entanto, um n´ umero umero par dessas orbitas, o´rbitas, sendo metade delas inst´ aveis aveis e metade metad e estáveis. aveis. Note que cada um dos pontos fixos de T ϵ é ponto po nto fixo de per pe r´ıodo ıo do s do mapa map a de Poincar´ Poin caré P ϵ . Assim, se houver apenas uma órbita orbita peri´ odica odica est´ avel avel e uma instável, avel, aparecer˜ apar ecerão ao 2s pontos fixos de T ϵ , s para cada orbita. o´rbita. A figura 10.3 é apenas ape nas pictórica, ori ca, compat´ com pat´ıvel ıvel com s = 2. Veja que o teore t eorema ma KAM K AM prevˆ pr evê a sobrevivˆ sobre vivência encia dos toros toro s irracio ir racionais, nais, mas não ao diz nada sobre os racionais. O teorema acima é o primeiro passo para entender o que acontece nessa regi˜ ao. ao.

O EMARANHADO HOMOCLÍNICO

10.3

10.3

259

O emaranhado homocl´ homocl´ınico

Quando definimos as curvas invariantes W s e W u no cap´ cap´ıtulo 7, apresentamo apre sentamoss apenas exemplos simples onde W s e W u eram de fato a mesma curva: pontos que tentem assintoticamente para o ponto fixo quando propagados para frente no tempo te mpo,, tamb´ ta mbém em tendem te ndem ao ponto p onto fixo fix o quando qua ndo p propag ropagados ados para trás as no tempo. Esse tipo de comportamento é caracter´ caracter´ıstico apenas de sistemas integráveis, aveis, como os sistemas 1D que apresentamos com exemplo na se¸c˜ cão ao 7.3. Vale a pena reescrever as defini¸c˜ cões oes aqui considerando o mapa T ϵ :

Vari edad ade e Est E st´ ´ avel ave l W s de um ponto A Varied p onto de equil´ıbrio ıbrio instável avel η¯ é o conj co njunt untoo invariante de pontos η do espa¸co c o de fases tal que a trajet´ oria oria de η tende assintoticamente a esse ponto: η W s se limn→∞ T ϵn η = η¯.

∈

Varie dade e Inst´ In stável ave l W u de um ponto de equil´ A Variedad equil´ıbrio inst´ avel avel é o conjunt con juntoo invariante de pontos η do espa¸co co de fases tal que a trajet´ oria oria de η , quando propagad propagadaa para trás as no tempo, tempo, tende tende assinto assintotica ticamen mente te a esse esse ponto. ponto. Em outras outras palav palavras, ras, s˜ ao ao os pontos pontos que, que, no passado, passado, estav estavam arbitrar arbitrariam iamen ente te próximos oximos do ponto de equil´ıbrio: ıbrio: η W u se limn→−∞ T ϵn η = η¯.

∈

Tipicamente as curvas W s e W u são ao distintas, podendo cruzar-se apenas em pontos pontos isolado isoladoss ao inv´ inv´ es es de coincid coincidirem irem em toda sua extens˜ extens˜ ao. ao. Para ara entendermos a dinˆ amica amica na vizinhan¸ca ca dos pontos fixos inst´ aveis aveis temos que estudar estudar o comportam comportamen ento to dessas dessas curvas. curvas. A figura figura 10.4 10.4 ilustra ilustra os element elementos os básicos asicos numa se¸c˜ cao aõ de Poincaré pr´ oxima ao toro racional com s = 5. oxima 5. Por simplicidade vamos supor que r = 1. Vemos alguns toros irracionais vizinhos vizinhos preservados pela perturba¸c˜ cao aõ e a estrutura de cinco pontos fixos est´ aveis aveis e cinco instáveis aveis no lugar do toro racional com ω1 /ω2 = 1/5. As setas indicam a dire¸c˜ cão ao do fluxo pelo pel o mapa T ϵ . Cada um dos cinco pontos inst´ aveis aveis corresponde a` mesma órbita orb ita peri´ pe riódica, odi ca, que fura a se¸c˜ cao aõ 5 vezes antes de completar um per p er´´ıodo, o mesmo ocorrendo ocorre ndo para os 5 pontos estáveis aveis.. Da mesma forma, as variedad ariedades es W s (ou W u) de cada um dos pontos instáveis aveis s˜ ao, de fato, a mesma variedade est´ ao, avel avel (ou instável). avel). Se propagamos propagamos um pequeno pequeno trecho trecho de W s geramos uma fita que dá a volta volta no espa¸co co de fases e intercepta a se¸c˜ cao aõ sobre um trecho um pouco menor (os pontos se aproximam todos do ponto fixo) de W s do pr´ pr óximo ox imo p onto ont o

260

10.3

CAOS HAMILTONIANO

Figura 10.4: Curvas Curvas invarian invariantes tes nas vizinhan¸ vizinhan¸ cas cas dos pontos fixos est´ aveis aveis e instáveis aveis para o caso s = 5. estável avel da se¸c˜ cao. aõ. O cruzamento das variedades W s e W u em pontos isolados da se¸c˜ cão a o de Poincar´ Poin caré tem t em conseq con seq¨ uˆ u¨ênci en cias as dram dr am´ aticas a´ticas para a dinâmica. amica. Para entendermos como isso acontece, vamos mostrar primeiro que nem W s nem W u podem se auto-inte auto-intercep rceptar. tar. De fato, suponha que W s cruze consigo mesma como ilustra ilustrado do na figura 10.5(a). 10.5(a). Se x representa o ponto de interseç c˜ cao aõ e y e z representam pontos vizinhos, ent˜ ao, a o, supondo que a dinˆ amic am icaa é cont´ co nt´ınua ınu a e suave: (i) T ϵ x, T ϵ y e T ϵ z devem ser próximos oximos uns dos outros e (ii) o arco de cont´ınuo ligando T ϵ y e T ϵ z . W s entre y e z deve ser mapeado em outro arco cont´ O leitor pode p ode se convencer convencer facilmente facilmente que essas duas condi¸c˜ coes ˜ não a o podem ser satisfeitas simultaneamente. Vamos agora considerar o cruzamento da variedade est´ avel avel W s de um dado ponto fixo com a variedade inst´ avel avel W u de outro ponto fixo vizinho corresp corr espondent ondentee à mesma órbita orbit a peri´ per i´ odica, como ilustrado na figura 10.5(b). odica, ¯ e θ¯ Essa figura pode ser simplificada se a re-desenharmos nas vari´ aveis aveis J introduzidas na se¸c˜ cão ao 8.2.3. 8.2.3. Nessas Nessas vari´ vari´ aveis focalizamos apenas em um r aveis pontos fixos est´ aveis aveis que aparecem na se¸c˜ cao aõ de Poinc Po incar´ aré. e. Como Com o θ¯ varia de +π +π ¯ a` π, os pontos fixos inst´ aveis, aveis, que ficam em θ = π representam o mesmo ponto. O espa¸co co de fases J ¯-θ¯ tem a topologia de um cilindro, periódico odico em θ¯ ¯. Sobre o cilindro vemos apenas um ponto fixo est´ e extenso em J avel avel e um

−

±

O EMARANHADO HOMOCLÍNICO

10.3 (a)

261

(b)

Ws

h

W u

Ws

Tε z Tε x Tε y

z

Wu

x y

Figura Figura 10.5: (a) Interseç Interseç cão a o de W s consigo consigo mesma. mesma. (b) Intersec Interseç c˜ çao aõ de W s com W u no ponto homocl homo cl´´ınico h. instável, avel, como ilustrado na figura 10.6. Como as curvas W s e W u são ao invariantes, invariantes, pontos sobre elas são ao sempre levados de volta a elas pela dinâmica. amica. Como o ponto h pertence as a`s duas curvas, ele deve ser levado em T ϵ h p erte er tenc ncen ente te tamb´ ta mbém em à W s e W u . Isso mostra que a existência encia de um ponto pont o homocl homo cl´´ınico leva natur n aturalmente almente à infinitos infinit os outros, dados pela orbita o´rbita de h. Além em disso, devido devid o à proprieda prop riedade de de preserva¸ prese rva¸ c˜ cão ao de areas a´reas nas se¸c˜ coes o˜es de Poincaré, e, as regiões oes achuradas na figura 10.6(a) tem todas a mesma area. área. A órbita orbita de h é cha c hama mada da de ´ orbi or bita ta ho homocl´ mocl´ınica ın ica do do ponto fixo, pois aproxima-se dele tanto para tempos futuros quanto para tempos passados. A orbita órbita de h vista sobre a variedade W s aproxima-se indefinidamente do ponto ponto fixo. fixo. Isso Isso implic implicaa que que a distˆ distˆ ancia entre T ϵn+1 h T ϵn h vai tendendo a zero para n grand grande. e. Pa Para ra manter manter a area a´rea em cada região ao achurada constante, os loops achurados devem ficar cada vez mais longos e retorcidos, pois não ao podem ocorrer auto-interseçc˜ coes. o˜es. A figura resultante resultante é conhecida conhecida como emaranhado emaranhado homocl´ homocl´ınico. A figura 10.6(b) mostra o emaranhamento emaranhamento das variedades est´ avel avel e instável avel (cores azul e vermelha) para o ponto fixo instável avel do mapa de Meyer (veja a se¸c˜ cão ao 7.3). Voltando as a`s variáveis aveis originais J e θ, uma visão ao esquem´ atica atica do espa¸co co de fases ficaria como na figura 10.7: orbitas o´rbitas el´ el´ıpticas circulando os pontos fixos estáveis aveis e, nas vizinhan¸cas cas dos pontos inst´ aveis, aveis, o emaran e maranhado hado homocl homo cl´´ınico, representado por curvas azuis e vermelhas que cruzam-se infinitas vezes sem no entanto cruzarem-se cruzarem-se entre si. Fica claro dessa figura que o movimento movimento nas regiões oes vizinhas aos pontos inst´ aveis aveis é bastante bast ante complicado. Embora este jamos agora olhando apenas para orbitas o´rbitas sobre as curvas W s e W u , espera-se

262

10.4

CAOS HAMILTONIANO

2

Tε h

Tε h

Ws 3

Tε h

h

W

u

¯ e θ¯. As Figura 10.6: (a) Interseçc˜ cao aõ de W s com W u nas variáveis aveis auxiliares J variedades são ao mostradas partindo do mesmo ponto fixo e cruzando no ponto homo ho mocl´ cl´ınic ın icoo h. Sucessivas evolu¸c˜ coes o˜es temporais pelo mapa T ϵ são ao mostradas. As áreas areas achuradas achurada s s˜ ao ao todas to das iguais. (b) Emaranhado Emar anhado homocl ho mocl´´ınico no mapa de Meyer. que uma órbita orb ita genérica eri ca nessa nes sa regi˜ reg i˜ ao ao tamb´ t ambém em tenha te nha comp c omportam ortamento ento basta b astante nte complexo. Mostraremos nas pr´ oximas oximas se¸c˜ coes o˜es que ele é de fato ca´ otico. otico.

10.4 10.4

Caos Caos:: o mapa mapa de de Fer Ferra radu dura ra de de Smal Smale e

Para entender a complexidade do movimento nas vizinhan¸cas cas dos pontos fixos instáveis aveis que surgem devido a` perturba¸c˜ cão, ao, considere uma pequena região ao D em torno de um desses pontos fixos, conforme mostrado em amarelo na figura 10.8(a). Vamos fazer uma série erie de d e considera¸ co nsidera¸ cões oes sobre as orbitas o´rbitas nessa região ao que nos levarão ao a` id´ eia eia de caos. Primeirament Primeiramentee vemos vemos que iterando os pontos dentro dessa regi˜ ao ao pelo mapa de Poincaré T ϵ ela tender´ a a se esticar ao longo da variedade inst´ avel avel W u enquanto se contrai na dire¸c˜ cão ao de a´rea inicial. Depois de um n´ umero umero suficientemente W s, sempre preservado a area grande k de intera¸c˜ coes ões do mapa, essa regi˜ ao ao atingir´ a o ponto homocl homo cl´´ınico h, como mostrado na cor laranja em 10.8(a). Da mesma forma, se propagarmos essa região ao inicial amarela para tr´ as no tempo ela se esticar´ as a ao longo de W s e depois de n passos pas sos também em atingi ati ngir´ rá h (região ao azul na figura). Dessa forma, tomando como regi˜ ao inicial diretamente a faixa em azul, ao vemos que depois de n + k itera¸c˜ coes o˜es do mapa ela ser´ a levada a` faixa laranja. Esse mapa da faixa azul a` faixa fa ixa laranja é mostrado mo strado de forma f orma simplificada simplificad a na figura 10.8(b). A caracter´ caracter´ıstica mais significativ significativaa desse processo, conhecido conhecido

10.4

CAOS: O MAPA DE FERRADURA DE SMALE

263

Figura Figura 10.7: 10.7: Vis˜ Visao aõ esquem´ atica atica do espa¸co co de fases do sistema sistema perturbado mostrando alguns dos toros irracionais que sobrevivem a` perturba¸c˜ cao a˜ o e a região ao onde havia havia um toro racional. racional. O toro é substit substituido uido por cadeias cadeias de ilhas de estabilidade em torno dos pontos fixos est´ aveis e pelo emaranhado aveis homocl homo cl´´ınico junto aos pontos ponto s inst´ in st´ aveis. aveis.

264

10.4

CAOS HAMILTONIANO

como Mapa de Ferradura , é que dois conjuntos conju ntos de pontos da faixa azul voltam sobre ela. Esses conjuntos s˜ ao identificados pelas regi˜ ao oes oes de interseçc˜ cao aõ entre as faixas, ressaltados em vermelho. Para simplificar a nota¸c˜ cão ao vamos chamar P T ϵn+k . Dessa forma, P leva a região ao azul na laranja diretamente. Note que a faixa azul é primeiramente contra´ contra´ıda e depois esticada na dire¸ cão ao contr´ aria. a ria. A figura figura 10.9(a 10.9(a)) mostr mostraa onde as regi˜ oes oes de interseçc˜ cao aõ vermelhas sobre a parte laranja encontravamse na parte amarela, antes de ser esticada. A mesma figura mostra ainda onde essas duas regi˜ oes estavam sobre a faixa azul (duas finas faixas vermelhas). oes Isso tudo é simplificado simplificado e ampliado ampliado na figura 10.9(b): a regi˜ ao azul azu l é levada levad a na laranja de tal forma que suas duas sub-faixas escuras são ao levadas de volta a` região ao azul nas sub-faixas vermelhas. A conclusão ao dessa sequˆ encia encia de figuras é a seguinte: seguinte: o mapa P é tal que cada regi˜ ao ao inicial contém em duas sub-faixas horizontais que s˜ ao ao levadas de volta a` mesma região ao inicial inicial na forma forma de duas sub-fa sub-faixa ixass verticai verticais. s. O restante das orbitas o´rbitas vai terminar fora dessa regi˜ ao ao inicial. Vamos agora nos fixar apenas nesses dois sub-conjuntos de pontos, marcados como faixas azul escuras horizontais, cujas orbitas o´rbitas retornam ao retˆ angulo angulo azul claro pela aplica¸c˜ cão a o de P . Chama amando ndo o retˆ retangulo aˆngulo azul claro de A, as P . Ch faixas de H 0 e H 1 e as faixas verticais vermelhas de V 0 e V 1 temos que

≡

P ( P (H 0 ) = V 0

∈A

e

P ( P (H 1 ) = V 1

∈ A.

Podemos ent˜ ao nos perguntar se alguns desses pontos ainda permanecem em ao A se aplicarmos o mapa duas vezes. Ora, parte das faixas V 0 e V 1 vermelhas caem exatamente sobre H 0 e H 1 e sabemos que tudo que esta nessas regiões oes é mapeado map eado de volta em A. Então, ao, as regiões oes pintadas de amarelo na figura 10.10(a 10.10(a)) correspondem correspondem aos pontos procurado procurados. s. Na regi˜ ao original A eles aparecem com duas sub-regi˜ oes oes dentro de H 0 e H 1 , que denominamos H 00 00 , H 01 01 , H 10 10 e H 11 11 , e que satisfazem P 2(H ij ij ) = V ij ij . Da mesma forma as faixas V ij ij interceptam H 0 e H 1 em 8 sub-conjuntos que correspondem a` faixas horizontais do tipo H ijk ijk em A, duas delas dentro de cada uma das faixas H ij ao ao levad le vados os ij e assim por diante. Os conjuntos H ijk ijk s˜ 3 em V ijk ijk por P . A conclusão ao é: e: existem 2k subconjuntos de A que sempre retornam à at é k aplica¸c˜ coes o˜es do mapa P . Esses conjunt conjuntos os s˜ ao ao faixas horizontais A p or at´ P . Esses

10.4


265

−n

Tε D

h

A

D

n+k

Tε

A

k

T D ε

Figur Figuraa 10.8: 10.8: (a) (a) Dinˆ Dinˆ amica amica na vizinhan¸ca c a dos pon pontos tos fixos: fixos: um umaa pequen pequenaa região ao D é levada na regi˜ reg i˜ ao ao laranja contendo o ponto homocl´ homocl´ınico h depois de um certo n´ umero umero k passos do mapa. Se mapeada para trás as no tempo a região ao amarela vai na azul depois de n passos. (b) A região ao azul azu l é levada levad a na laranja depois de k + n passos do mapa, interceptando-a duas vezes.

−n

Tε D

h D

k

Tε D

Figura Figura 10.9: 10.9: (a) Dinˆ amica amica na vizinhan¸ca ca dos pontos fixos: fixos: as duas regi˜ regioes o˜es vermelhas da faixa laranja interceptam a azul (s´ o uma é vis´ıvel, ıvel, pois po is a outra out ra está debaixo da regi˜ ao ao amarela) s˜ ao mostradas onde estavam originalmente ao no quadrado amarelo e tamb´ em em na faixa azul. (b) Simplifica¸c˜ cão ao da dinˆ di nâmic am ica: a: a região ao azul é levada na laranja de tal forma que suas duas sub-faixas escuras são ao levadas de volta a` região ao azul nas sub-faixas vermelhas.

266

10.4

CAOS HAMILTONIANO

V0

V1 H 00

H0

H01 H10

H1

H11 V00 V01

V V11 10

Figura 10.10: (a)Dinâmica amica simbólica olica onde faixas horizontais são ao levadas em faixas verticais. verticais. (b) Conjuntos que voltam voltam a` A se mapeados tanto para frente quanto para tr´ as a s no tempo ap´ os: o s: um umaa itera¸ itera¸ c˜ cão ao (amarelo (amarelo); ); duas itera¸ cões oes (marrom); (marr om); três es itera¸ iterac˜ çoes ões (preto). rotulados por H i1 i2...ik onde os in valem 0 ou 1. Da mesma mesma forma, fazendo fazendo a dinâmica amica inversa, mapeando para tr´ as no tempo, veremos que s˜ as ao ao os pontos sobre os conjuntos V i1i2...ik que são ao levados de volta a` A pelas primeira coes o˜es do mapa inverso. A interseçc˜ cão ao desses dois conjuntos contém em os k itera¸c˜ pontos que permanecem em A se propagados para frente ou para tr´ as as p or at´ até coes. o˜es. A figura 10.10(b) mostra esses conjuntos para k = 1 (amarelo), k intera¸c˜ k=2 (marrom) e k = 3 (preto (preto). ). No limit limitee em que k vai a infinito obtemos o conjunto que nunca deixa a regi˜ ao ao inicial A. Esse conjunto Λ é fractal e ´ esse forma um conjunto de Cantor . E es se fract f ractal al que qu e é respo re spons´ ns´ avel avel pela dinâmica amica caótica. otica. Vamos ver isso de duas maneiras.

Sensibilidad Sensib ilidade e ` a condi¸c˜ coes o ˜es inicia iniciais is. Em primei primeiro ro lugar lugar consi conside dere re duas condi¸c˜ coes o˜es iniciais escolhidas sobre a se¸c˜ cao aõ de Poincar´ Poincaré representada representada pela figura 10.10(b) de tal forma que uma delas est´ a sobre o quadrado amarelo superior esquerdo, dentro do quadrado marrom superior sup erior esquerdo esquer do e também em muito pr´ oxima oxima da sub-região a o preta preta superi superior or esquerd esquerda, a, mas mas fora dela. dela. A segunda segun da condi¸ cond i¸c˜ cao aõ inic inicia ial, l, por outro outro lado lado est´ esta´ tamb´ também em dentro dessa subregião ao marrom marrom e, al´ além em disso, disso, dentro dentro da regi˜ regiao aõ preta superior esquerda e dentro das pr´ oximas oximas 37 sub-regiões oes que delimitam as zonas que retornam ao quadrado. Embora muito pr´ oximas, oximas, a trajet´ tra jetória oria da primeira condi¸c˜ cão ao inicial retornará ao quadrado azul apenas ap enas duas dua s vezes consecutivas, enquanto que a segunda far´ a isso por 39 itera¸c˜ cões oes do mapa. Temos ent˜ ao ao uma sensibilidade as às condi¸c˜ coes o˜es iniciais iniciais promovida promovida pela existˆ existência encia deste fractal no espa¸ co de

10.4

267


fases. Essa propriedade proprieda de é uma das marcas registradas do movimento ca´ otico. Consi side dere re agora agora o conju conjunt ntoo Λ dos pon pontos tos sobre sobre o Dinˆ amica amica simb´ olica olica. Con conjunto fractal que nunca deixam o quadrado. Um ponto x Λ deve necessariamente estar sobre uma das faixas horizontais H 0 ou H 1 , caso contr´ ario ario não ao retornaria ao quadrado na pr´ oxima oxima itera¸c˜ cão ao do mapa. Vamos associar o número umero a0 igual a zero ou um se x H 0 ou x H 1 respectivamente. Considere agora P ( oximo retorno do ponto x ao quadrado. NoP (x), i.e., o próximo vamente, P ( ario ario P 2 (x) não ao retornaria P (x) deve estar sobre H 0 ou H 1 , caso contr´ ao quadrado. quadrado. Associam Associamos os o n´ umero umero a1 igual a zero ou um se P ( P (x) H 0 ou pro cesso geramos geramo s uma sequência encia P ( P (x) H 1 respectivamente. Repetindo o processo k de zeros e uns associada a x dada por a0 a1 a2 . . . onde ak = 0 se P (x) H 0 e ak = 1 se P k (x) H 1 . Da mesma forma x deve estar sobre V 0 ou sobre V 1 pois P −1 (x), na itera¸c˜ cão ao anterior, tamb´ t amb´ em em estava estava no n o quadrado. Associamos ent˜ ao ao uma outra sequência encia b0 b1 b2 . . . onde bk = 0 se P −k (x) V 0 e bk = 1 se encias juntas podemos po demos associar à x a P −k (x) V 1 . Colocando as duas sequências sequência encia duplamente dupla mente infinita infinit a

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

x

−→

. . . b3 b2 b1b0 .a0 a1a2 . . .

´ fácil E acil ver que a sequência encia associada a` P ( P (x) deve ser P ( P (x)

−→

. . . b3 b2 b1 b0 a0 .a1 a2 . . .

Isso fica claro quando notamos que P ( a sobre a mesma orbita o´rbita que P (x) est´ sequência encia futura deve ser a mesma. Por outro lado, como x, portanto sua sequˆ pontos sobre H i são ao levados a` V i , se a0 = 0 (x estava em H 0) agora o ponto está em V 0 e o primeiro digito da sequência encia a` esquerda deve ser 0. O mesmo vale se a0 = 1. A dinâmica amica de pontos sobre Λ consiste simplesmente em deslocar o ponto na sequˆ sequência encia de zeros zeros e uns associad associadaa a` órbita. orbita. Dessa Dessa forma forma temos temos as seguint seg uintes es conseq con sequˆ uências enc ias:: (a) podemos pensar nas orbitas o´rbit as de Λ como sequências encia s aleat´ aleat órias orias de caras cara s e coroas. (b) duas orbitas o´rbitas onde os primeiros M coeficientes a sejam iguais e que difiram nos coeficientes coeficientes seguintes seguintes tem órbitas orbitas semelhantes semelhantes por M itera¸c˜ coes o˜es do mapa P , mas depois depois separam separam-s -see uma da outra outra.. Isso Isso mostra mostra que que essa essass P , mas

268

CAOS HAMILTONIANO

10.4

orbitas órbitas est˜ ao ao na mesma M-ésima esima sub-regi˜ a o do figura 10.10(b) e reflete a ao sensibilidade a` condi¸c˜ cões oes iniciais. (c) sequências encia s peri´ per i´ odicas correspondem a orbitas odicas o´rbitas peri´ odicas. odicas. Por exemexemplo, pl o, a órbi or bita ta ...abca.bca... tem per´ıodo ıodo 3. Como os coeficiente coe ficientess são ao apenas ape nas N 0 ou 1, existem aproximadamente 2 /N orbitas órbit as de per´ıodo ıod o N em Λ. (d) uma órbita orbit a do tipo tip o ...abca.bcxyztabcabc... é uma orbita o´rb ita homoc hom ocll´ınica ınic a a` orbita o´rbita peri´ odica odica ...abca.bca..., ...abca.bca..., pois aproxima-se dela no futuro e no passado. Podemos construir uma infinidade de orbitas o´rbit as homocl homo cl´´ınicas variando o tamanho e os d´ıgitos da parte central xyzt. xyzt. Em resumo, o cruzamento das variedades W s e W u leva a uma riqueza de comportamentos comportamentos que est´ a longe de ser obvia. o´bvia. Existem Existe m métodos eto dos para par a determidete rminar se uma determinada perturba¸ c˜ cão ao provocar´ a tal cruzamento, levando ao aparecimento de movimento ca´ otico. Na verdade o conjunto de perturba¸ otico. c˜ cões oes onde isso não ao ocorre é muito muito pequeno e caos é um fenˆ omeno genérico erico em sistemas com mais de um grau de liberdade.

Cap´ıtulo 11 Simet Simetri rias as e Meio Meioss Cont Cont´ ´ınuos Neste cap´ cap´ıtulo vamos voltar voltar ao tema das leis de conserva¸ conserva¸ cão a o e sua associa¸c˜ cao aõ com as simetrias. Formularemos inicialmente uma rela¸ c˜ cão ao direta entre as simetrias da Lagrangeana e suas respectivas grandezas conservadas sem alusão ao expl ex pl´´ıcita ıcit a às as coord co ordena enadas das c´ıclicas ıcli cas.. Em seguid seg uidaa discuti disc utirem remos os brevem br evemente ente o limite onde o n´ umero de graus de liberdade vai a infinito, passando da deumero scri¸c˜ cao aõ de um sistema de part´ part´ıculas a um sistema de campos. Discutiremos Discutiremos também em brevemente breveme nte as a s leis le is de d e conser c onserva¸ va¸ cão ao nesse caso. A apresenta¸c˜ cão ao segue as referˆ refe rências encia s [5, 16].

11.1 11.1

Sime Simetr tria iass e Lei Leiss de Cons Conser erv va¸ c˜ ao

A formula¸c˜ cao aõ Lagrangeana da mecˆ anica evidencia suas grandezas conseranica vadas atrav´ atr avés es das variáveis aveis c´ıclicas, ıclica s, i.e., das vari´ aveis aveis que não ao aparecem explicitamente na Lagrangeana. Assim, se um sistema é descrito por L(q, q, ˙ t), onde q = (q1 , q2 , . . . , qn), e qk não ao aparece, ent˜ ao ao d dt

  ∂L ∂ ˙ ∂ q˙k

=

∂L =0 ∂q k

e o momento conjugado a qk , pk = ∂L/∂ ˙ const ante do movimento. movimento . ∂L/∂ q˙k é uma constante O fato de qk não ao aparecer em L, por outro lado, implica uma simetria do sistema: se fizermos uma transforma¸c˜ cão ao onde todas as part´ part´ıculas s˜ ao ao deslocadas na dire¸c˜ cao aõ de qk não ao devemos notar qualquer altera¸c˜ cão ao no movimento. Como exemplo e xemplo considere con sidere uma u ma part´ıcula ıcula movendo-se no plano sob a a¸ cão ao de 269

SIMETRIAS E MEIOS CONTÍNUOS

270

11.1

um potencial central: m 2 L= x˙ + y˙ 2 2

( ) − √ V ( V (

x2

+

y 2)



m 2 = r˙ + r2 θ˙2 2

−

V ( V (r ).

(11.1)

Como θ é c´ıclica, pθ = mr2 θ˙ = m(xy˙ yx˙ ) é constante. const ante. Como θ não ao apar ap arec ece, e, a simetria do sistema é por rota¸c˜ coes o˜es em torno do eixo z . Vamos mostrar essa simetria explicitamente. Definimos novas coordenadas por

 

−

x′ = x cos ϕ + y sin ϕ ′

y =

→

−x sin ϕ + y cos ϕ

 

x = x′ cos ϕ ′

′

− y sin ϕ

.

(11.2)

′

y = x sin ϕ + y cos ϕ

´ f´ E acil acil verificar que x2 + y2 = x′ 2 + y′ 2 e x˙ 2 + y˙ 2 = x˙ ′2 + y˙ ′2 . Defini Definind ndoo ′ ′ ′ ′ ′ ′ coordenadas polares no sistema linha por x = r cos θ e y = r sin θ vemos que r′ = r, θ′ = θ ϕ e

−



m ′2 L= r˙ + r′2θ˙′2 2

−

V ( V (r ′ )

(11.3)

é de fato idêntica entica nos dois sistemas sistem as de coordena coo rdenadas. das. Apesar da simplicidade e de sua interpreta¸c˜ cao aõ imediata, as grandezas conservadas s´ o aparecem de forma explicita se escolhermos o sistema de coordenad ordenadas as apropri apropriado. ado. Em coordenadas coordenadas cartesi cartesianas anas x, y não a o há variáveis aveis c´ıclicas ıclica s e a conserva¸ conse rva¸c˜ cao aõ do momento angular est´ a escondida . Vamos ent˜ ent˜ ao ao mostrar o seguinte resultado que generaliza a regra relativa a coordenadas c´ıcli ıc lica cas: s: Se a Lagrangeana L(q, q˙) descrevendo um sistema autônomo ono mo é invaria inva riante nte s pela transforma¸c˜ c˜ ao q ametro amet ro real e cont´ cont´ınuo ınu o q¯s = h (q), onde s é um parˆ tal que h0 (q ) = q é a identid ide ntidade ade,, ent˜ ao existem uma constante de movimento dada por n ∂L d s (11.4) I (q, q˙) = hi (q ) . ˙ d ∂ ˙ ∂ q s s=0 i i=1

→

  

Prova: Se q (t) é solu so lu¸c˜ ção a o das equa¸c˜ coes o˜es de Lagrange, ent˜ ao, ao, como L é ins s variante por h , q¯s (t) = h (q (t)) tamb´ ta mbém em é solu so lu¸c˜ ção, ao, pois q e q¯s satisfazem as a`s mesmas equa¸c˜ coes o˜es de movimento.

˜ SIMETRI SIM ETRIAS AS E LEIS DE CONSER CONS ERV VAC ¸ AO

11.1

271

No nosso exemplo anterior, se x(t) e y(t) s˜ ao solu¸c˜ coes ˜ ent˜ ao x′ (t) e y ′ (t) tamb´ tam bém em sati s atisfa sfazem zem as equa¸c˜ c˜ oes de movimento para todo ϕ. Isso fica evidente ′ ′ quando escrevemos x = r cos θ′ , y ′ = r ′ sin θ′ e vemos que r ′ = r e θ′ = θ ϕ. Portanto, se r(t) e θ(t) s˜ ao solu¸c˜ coes, ˜ ent˜ ao r′ (t) = r(t) e θ′ (t) = θ(t) ϕ tamb ta mb´ém em s˜ ao, pois as derivadas s˜ ao iguais e as equa¸c˜ coes ˜ de movimento n˜ ao dependem de θ.

− −

Isso implica que

d ∂L ∂L (q¯s , q¯˙ s ) = (q¯s , q¯˙ s ). dt ∂ ˙ ∂ q˙i ∂q i

(11.5)

Por outro lado, devido a` invariância ancia de L pela transforma¸c˜ cão ao hs vemos que dL/ ds = 0 (no nosso exemplo, L n˜ ao depende de ϕ). Explicitamente temos L/d

 i

∂L ∂ ¯ ∂ q¯is ∂L ∂ q¯˙ (q¯s , q¯˙ s ) + (q¯s , q¯˙ s ) is = 0. ∂q i ∂s ∂ ˙ ∂ q˙i ∂s

(11.6)

Multiplicando (11.5) por ∂ ¯ ∂ q¯is /∂s e somando sobre i obtemos

   i

∂ ¯ ∂ q¯is d ∂s dt

∂L ∂ ˙ ∂ q˙i

=

i

∂L ∂ ¯ ∂ q¯is = ∂q i ∂s

 − i

∂L ∂ q¯˙ is ∂ ˙ ∂ q˙i ∂s

(11.7)

onde usamos (11.6) na ultima u´ltima passagem. Como d ∂ q¯˙ is = dt ∂s

  ∂q is ∂s

(11.8)

vemos que aparece uma derivada total no tempo quando passamos todos os termos para o lado esquerdo:

        i

∂ ¯ ∂ q¯is d ∂s dt

∂L ∂ ˙ ∂ q˙i

d + dt

∂q is ∂s

d ∂L = dt ∂ ˙ ∂ q˙i

i



∂L ∂ ¯ ∂ q¯is = 0. ∂ ˙ ∂ q˙i ∂s

(11.9)

O termo entre colchetes colchetes é, e, portanto, uma constante constante de movimento movimento.. Essa constante aparece para qualquer valor de s. No entanto, e ntanto, é mais m ais prátic at icoo us´ us áala diretamente para s = 0. Ness Nessee caso a deriv derivad adaa de L no primeiro termo pode ser calculada na solu¸c˜ cao ão original (pois qi0 (t) = qi (t)) e basta conhecer s a transforma¸c˜ cão ao q¯s = h (q).


272

11.2

c˜ coes o˜es ao Exemplo 12.1.1 Suponha que o sistema seja invariante por transla¸ longo do eixo x. A transforma¸c˜ cao aõ corres cor respo ponde ndente nte é ¯rsi = his (ri ) = ri + seˆx

i = 1, 2, . . . , n

(o ´ındi ın dice ce i se refere as a`s part´ıculas, ıculas , n˜ a o aos graus de liberdade, que s˜ ao ao ao 3n nesse caso) e ∂ ¯rsi = eˆx . ∂s A constante const ante de movimento é o momento linear do sistema na dire¸ cão ao x: n

I =

n



(mi r˙ i ) eˆx =

·

i=1



mi x˙ i = P x .

i=1

coes ões em torno do eixo Exemplo 12.1.2 Se o sistema for invariante por rota¸c˜ caõ é z a transforma¸c˜ x¯si = xi cos s + yi sin s y¯si = xi sin s + yi cos s z¯si = zi

−

e as derivadas em rela¸c˜ cao aõ a s ficam ∂ ¯rsi ∂s

|

s=0

= ( xi sin s+yi cos s, xi cos s yi sin s, 0)s=0 = (yi , xi , 0) = ri eˆz .

−

−

−

−

×

A constante constante de moviment movimentee nesse caso é o momento momento angular total na dire¸ cão ao z: n n I =

 i=1

(mi r˙ i ) (ri

· × eˆ ) = eˆ z

z

 · i=1

(mi r˙ i

× r ) = −L . i

z

Fica como exerc´ exerc´ıcio refazer o c´ alculo alculo em um valor de s arbitrário. ario. Lembre Lembre que nesse caso as derivadas ∂L/∂ ˙ em calcula c alculadas das na solu¸ s olu¸c˜ cao aõ ∂L/∂ q˙i devem ser também ao em q(t). q¯s (t) e não

11.2

Meios cont cont´ ´ınuos ınuos e campos campos

O exemplo mais ilustrativo ilustrat ivo da passagem p assagem de um sistema de part par t´ıculas para um campo é dado pelo limite em que uma u ma cadeia de osciladores lineares se transforma em uma barra el´ astica. astica. Considere ent˜ ao uma cadeia linear de massas ao

MEIOS CONTÍNUOS E CAMPOS

11.2

a

a

k

k

k

m

η

η

k

k

m

i−1

273

m

η

i

k

m

m

η

i+1

i+2

Figura 11.1: Cadeia linear de osciladores osciladores em equil´ equil´ıbrio (figura de cima) e fora do equil´ equil´ıbrio mostrando os deslocamentos de cada part´ part´ıcula (figura de baixo). enticas ligadas ligad as por molas também em idênticas enticas com constante const ante el´ astica k. m idênticas Seja a a distância ancia de equil´ equil´ıbrio entre as massas (figura 11.1 - parte superior). A hipótese otese de massas e molas idˆ enticas enticas n˜ ao ao é fundamental, mas facilita a descri¸c˜ cao aõ do siste sistema ma.. Quand Quandoo as massas massas s˜ ao deslocadas de sua posi¸c˜ ao cao aõ de equil´ equil´ıbrio o sistema come¸ca c a a osci oscila lar. r. Vamos amos medir medir o desloc deslocam amen ento to da iésima esi ma part par t´ıcula ıcu la de sua posi¸ po si¸c˜ cão ao de equil´ equil´ıbrio pela vari´ avel avel ηi (parte inferior da figura). Como a energia potencial armazenada em cada mola é proporcional a` sua compress˜ ao ao ou expans˜ ao ao total, a Lagrangeana do sistema é dada por m 2 k (ηi+1 ηi )2 L = η˙i 2 2 i =

 − −  −  a

i

m 2 η˙ 2a i

ka 2

−

ηi+1 ηi a

 ≡

(11.10)

2

aLi .

i

Note que a Lagrangeana é independente do parˆ ametro ametro de rede a, que qu e é intro int ro-duzido apenas por conveniˆ conveniência. encia. As equa¸ e qua¸ c˜ coes ões de movimento ficam m ηï a

−



− − η −η a

ηi+1 ηi ka a2

i

2

i−1



= 0.

(11.11)

Podemos agora apreciar a introdu¸ cão de a nas equa¸c˜ coes: o˜es: no limite em que 0 a cadeia se transforma em uma barra el´ asti as tica ca cont´ co nt´ınua ınu a e m/a a µ que é a densidade densidade linear de massa. Nesse limite as pequenas molas devem ficar cada vez mais duras, pois as part´ part´ıculas n˜ a o podem se mover em grandes ao

→

→


274

11.3

distânci a ncias as.. A cons consta tan nte da mola mola vezes vezes o espa espa¸ çamento da rede tende ao camento chamado Módulo odulo de Young: ka deslo camento da i-ésima esima part´ıcula ıcula Y . Y . O deslocamento se transforma na deforma¸c˜ cão a o sofrida pela barra no ponto x no instante t: Finalment entee o termo termo entre entre colchetes colchetes torna-se torna-se a deriv derivada seηi (t) η (x, t). Finalm gunda de η (x, t) em rela¸c˜ cao aõ a x. De fato, (η (ηi+1 ηi )/a é a derivada der ivada primei pri meira ra no ponto i +1 e (η (ηi ηi−1 )/a é a derivada no ponto pont o i. A diferen¸ca ca entre esses dois termos dividida por a é porta p ortanto nto a derivada segunda. segun da. No limite do cont´ cont´ınuo pod podemos emos ent˜ ao substituir a Lagrangeana por ao

→

→

−

−

L=

 L

(11.12)

dx

onde

L = µ2 η˙ − Y 2 η 2

′2

(11.13)

é a densidade Lagrangeana , η˙ = ∂η/∂t e η ′ = ∂η/∂x. equa ua¸c˜ ções oes de ∂η/∂x. As e as eq movimento ficam ∂ 2 η ∂ 2 η (11.14) µ 2 Y 2 = 0, ∂t ∂x

−

que é uma um a equa¸ eq ua¸c˜ cão ao de onda onde a velocidade do som (velocidade cão ao som (velocidade de propaga¸c˜ de pu pulso lsos) s) é v = Y /µ. /µ.

√

11.3 11.3

Gene Genera rali liza za¸¸c˜ c˜ ao ao para campos camp os em 1-D

A Lagrange Lagrangeana ana de um sistema sistema de part´ part´ıculas ıculas depende depende generic genericamen amente te das posi¸c˜ coes o˜es e das velocidades das part´ part´ıculas, além em de poder po der depender explicitamente tamente do tempo. Quando Quando descrev descrevemo emoss um campo, campo, como o campo de deforma¸c˜ cões oes da barra elástica, astica, a Lagrangeana é dada pela integral de uma densidade Lagrangeana, que pode depender genericamente do campo η , de sua derivada derivada temporal η˙, de sua derivada espacial η ′ e também em das coorden coo rdenadas adas ′ ˙ η , x , t). x e do tempo t: = (η, η, t). Para encontrar as equa¸c˜ coes o˜es de movimento do campo podemos aplicar o princ´ princ´ıpio variacional de d e Hamilton. Buscamos solu¸ so lu¸c˜ coes o˜es η (x, t) onde o valor do campo é fixo em dois extremos, extremos, η (x1 , t) = η1 e η (x2 , t) = η2 e onde as configura¸c˜ coes o˜es iniciais inicia is e finais também em estão ao fixas, i.e., η (x, t1 ) e η (x, t2 ) são ao

L L

˜ PARA CAMPOS EM 1-D GENE GE NERA RALI LIZA ZAC C ¸ AO

11.3

275

fun¸c˜ coes o˜es conhecidas. O princ´ princ´ıpio variacional fica

∫ L  ∫  ∫  −   −   2 1

δS = δ = =

(η, η, ˙ η ′ , x , t)d t)dx xdt

2 1

∂ L δη ∂η

+

∂ L δη˙ ∂ ˙ ∂ η˙

2 1

∂ L ∂η

d dt

∂ L ∂ ˙ ∂ η˙

+

∂ L δη ′ ∂η

dxdt

′

∂ L ∂η

d dx

′

δη dxdt +

∫

L dx ∂ ∂ ˙ δη ∂ η˙

t2 t1

|

+

∫

∂ L dt ∂η δη ′

|

x2 x1

onde fizemos duas integra¸c˜ coes o˜es por partes na ultima u ´ ltima passagem (em rela¸c˜ cão ao a t no segundo termo de S e em rela¸c˜ cao aõ a x no tercei terceiro ro termo). termo). Ambos Ambos os termos de superf´ superf´ıcie gerados s˜ ao ao nulos devido as a`s condi¸c˜ cao aõ de contorno. Impondo ent˜ ao ao que δS = 0 somos levados a` equa¸c˜ cao aõ d dt

 L  L  − L ∂ ∂ ˙ ∂ η˙

+

d dx

∂ ∂η ′

∂ = 0. ∂η

(11.15)

Exemplo 12.3.1 Considere um campo η (x, t) descrito pela densidade Lagrangeana 2 2 2  ∂η ∂η 2 = 2  m2 c 2 η 2 . c ∂t ∂x

L

 −  −

O campo satisfaz a equa¸c˜ cao aõ de movimento η¨ = c2 η ′′ m2 c4 /2 η , que qu e é conco nhecida como equa¸c˜ cão ao de Klein-Gordon. Podemos resolver essa equa¸c˜ cão ao buscando os modos normais do campo. Escrevendo Escrevendo η (x, t) = η0 exp i(Et + px) px)/ vemos que os parâmetros ametros E e p não ao podem ser independentes, mas devem 2 satisf sat isfaze azerr a rela¸ rel a¸c˜ cao aõ rel r elat ativ´ iv´ısti ıs tica ca E = p2 c2 + m2c4. Esse tipo de Lagrangea Lagrangeana na é chamada de Lagrangeana livre, pois n˜ ao a o h´ a intera¸c˜ cao ão do campo com elementos externos. O ultimo u ´ ltimo termo, quadr´ atico atico no camp c ampo, o, é chamado cham ado de termo t ermo de massa. Essa equa¸c˜ cão ao descreve descr eve uma part´ıcula ıcula relativ relat iv´´ıstica de spin zero. zero .

−

Nota sobre o c´ alculo alculo de derivadas. Como o campo η depende agora de ao. a o. Em x e de t, as derivadas totais e parciais podem gerar alguma confus˜ primeiro lugar notamos que x e t são ao variáveis aveis independentes: inde pendentes: não ao existe ao, para o campo η (x, t), dη/d mes mo que ∂η/∂x, ∂x/∂t. ∂x/∂t. Então, η/dx é o mesmo ∂η/∂x, o mesmo valendo para o tempo, dη/ dη/d dt = ∂η/∂t. ∂η/∂t. A densidade Lagrangeana, por outro ′ lado, pode depender de η , η˙ , η , x e t e portanto

L̸ L

d ∂ = dt ∂t

e

L̸ L

d ∂ = . dx ∂x

276


11.5

De fato,

L

L

L

L

L

d ∂ ∂ ∂ ∂ = η˙ + η¨ + ′ η˙′ + . dt ∂η ∂ ˙ ∂ η˙ ∂η ∂t

11.4

Multiplos u ´ ltiplos campos em 3-D

Quando temos v´ arios arios campos ηi em três es dimens dim ens˜ oes o˜es é conveniente definir x0 = t

x1 = x

x2 = y

x3 = z

(11.16)

e denotarmos uma coordenada espacial ou o tempo por xν . As deri deriv vadas adas serão ao denotadas por dηi = ηi,ν . (11.17) dxν Note que, apesar de sua semelhan¸ca ca com a nota¸c˜ cão ao relativ relat iv´´ıstica, ıstica , nosso n osso tratatrat amento me nto aqui aq ui é cl´ cl ássi as sico co (n˜ (nao-rel aõ- relati ativ v´ıstico ıst ico). ). No caso cas o rela r elativ´ tiv´ıstico ıst ico é usua u suall defin d efinir ir es de x0 = t. Nesse Nesse caso a Lagrange Lagrangeana ana deve ser sempre sempre inx4 = ict, ict, ao invés variante ariante por transforma¸ transforma¸ c˜ coes ões de Lorentz. Não ao faremos esse tratamento aqui. Podemos ent˜ ao escrever a Lagrangeana de forma compacta como ao

L(η , η i

i,ν , xν )

(11.18)

e as equa¸c˜ coes o˜es de movimento ficam d dxν

 L − L ∂ ∂η i,ν

∂ =0 ∂η i

(11.19)

onde a soma sobre ν está impl imp l´ıcit ıc ita. a.

11.5 11.5

Corren Correntes tes conser conserv vada adass

No caso de um sistema de part´ part´ıculas vimos que se a Lagrangeana Lagr angeana n˜ ao depender explicitamente do tempo, ent˜ ao a energia se conserva. Vamos rever esse ao

11.5

CORRENTES CONSERVADAS

277

resultado aqui. Come¸camos camos com o cálculo alculo da derivada total de L: dL = dt =

        ∂L ∂L ∂L q˙i + qï + ∂q i ∂ ˙ ∂ q˙i ∂t

i

d dt

i

=

d dt

i

∂L ∂ ˙ ∂ q˙i

∂L ∂L qï + ∂ ˙ ∂ q˙i ∂t

q˙i +

∂L ∂L q˙i + ∂ ˙ ∂ q˙i ∂t

onde usamos as equa¸c˜ cões oes de Lagrange na segunda passagem. Podemos ainda reescrever esse resultado na forma d dt

 i

∂L q˙i ∂ ˙ ∂ q˙i



−L

=

− ∂L . ∂t

Assim, vemos que se ∂L/∂t = 0 a energia do sistema, h(q, q˙) =

 i

∂L q˙i ∂ ˙ ∂ q˙i

−L=



pi q˙i

i

−L

é cons co nser ervada vada.. No caso de campos o processo é idˆ entico. entico. No entanto, entanto, como estaremos estaremos trabalhando com uma densidade Lagrangeana, esperamos encontrar leis de conserva¸c˜ cao aõ locais. Por exemplo exemplo,, a densida densidade de de energia energia n˜ ao ao deve ser constante em todos os pontos, mas deve fluir de tal forma a satisfazer uma equa¸c˜ cão ao de continu continuida idade: de: se n˜ ao houver fontes externas a varia¸c˜ ao cão a o de energia em um ponto deve se dar apenas em fun¸ c˜ cão ao do fluxo de energia para pontos vizinhos, sem que haja cria¸c˜ cao aõ ou perda global de energia. Vamos então ao derivar a densidade Lagrangeana em fun¸c˜ cão a o de xµ onde o ´ınd ın dice ic e µ pode ser qualquer componente de 0 a 3: d ∂ ∂ ∂ = ηi,µ + ηi,νµ + dxµ ∂η i ∂η i,ν ∂x µ

L

L

d = dxν =

L

 L L 

L

L

L

∂ ∂ ∂ ηi,µ + ηi,νµ + ∂η i,ν ∂η i,ν ∂x µ

d ∂ ∂ ηi,µ + dxν ∂η i,ν ∂x µ

L

(11.20)

278


ou ainda



L

11.5



− L

d ∂ ∂ (11.21) ηi,µ δµ,ν = dxν ∂η i,ν ∂x µ onde µ é fixo e ν e i são ao somados. soma dos. Definindo o tensor te nsor de energia-tens˜ ene rgia-tensão ao T µν µν =

vemos que, se

−L

L

∂ ηi,µ ∂η i,ν

− Lδ

(11.22)

µ,ν

ao depende dep ende explicitame explic itamente nte de x , então ao L não µ

dT µν µν = 0. dxν

(11.23)

Note que essa equa¸c˜ cao aõ pode valer para µ = 0 e µ = 1, por exemplo, e não ao para µ = 2 ou µ = 3, caso a Lagrangeana n˜ ao ao dependa de x e t mas dependa de y e z . Para entender o significado dessas equa¸c˜ coes o˜es de conserva¸c˜ cao aõ vamos olhar a equa¸c˜ cao aõ relativa a µ = 0. Nesse caso temos T 0 0 =

∂L η˙ i ∂ ˙ ∂ η˙i

−L

(11.24)

que é a densidade densidade de energia dos campos. Definindo Definindo ainda o vetor 3-D T 0 = (T 01 01 , T 02 02 , T 03 03 )

(11.25)

a equa¸c˜ cao aõ para µ = 0 torna-se uma equa¸c˜ cao aõ de continuidade para a densidade de energia: dT 0 0 + (11.26) T 0 = 0. dt O vetor T 0 é interpretado como o fluxo de densidade de energia. energ ia. i.e., T 0i é a energia por unidade de volume que atravessa uma area a´rea unit´ aria aria perpendicul p erpendicular ar a` dire¸c˜ cao aõ xi por unidade de tempo. Analogamente, definindo os vetores 3-D como

∇·

T µ = (T µ1 , T µ2 , T µ3 )

(11.27)

podemos escrever todas as 4 equa¸c˜ coes o˜es de conserva¸c˜ cão ao como equa¸c˜ coes o˜es de continuidade na forma dT µ 0 + (11.28) T µ = 0. dt Assim como a componente 0 corresponde a` conserva¸c˜ cao aõ de energia, as outras componentes correspondem a` conserva¸c˜ cao aõ do momento em cada dire¸c˜ cão ao espacial. Veja o livro do Goldstein para uma aplica¸c˜ cão ao a` barra el´ astica. astica.

∇·

Apˆ endice A Mudan¸ca ca de var ari´ i´ aveis aveis em integrais multidimensionais Considere a integral multidimensional da fun¸c˜ cão ao f ( f (x1 , x2 , . . . , xn ) sobre uma regi˜ ao ao D



)dS = f ( f (x1 , x2 , . . . , xn)dS

D



)∆S f ( f (x1 , x2 , . . . , xn )∆S

≡ f ( f (x) (A.1)

onde dS dS = dx1 . . . dxn e a fórmula ormula a` direita representa uma discretiza¸ c˜ cão ao da integral como soma sobre pequenos elementos de volume. Fazemos agora uma mudan¸ca ca de vari´ aveis aveis definida por yi = yi (x), i = 1, 2, . . . , n. supor n. Vamos supor que essa transforma¸c˜ cao aõ seja sej a invert´ıvel ıvel no dom´ınio ınio D. Sob Sob essa essa muda mudan¸ n¸ca, ca, cada ponto x no espa¸co co original origi nal é levado em y e, em particular, o dom´ dom´ınio ′ de integra¸c˜ cao aõ D é levado le vado em D . Al´ em em disso, para todo valor f ( f (x) em D corresponde o mesmo valor F ( F (y) = f ( f (x(y)). Assim,



)∆S = f ( f (x)∆S



)∆S. F ( F (y)∆S.

(A.2)

Vamos agora relacionar ∆S ∆S , o elemento de volume no espa¸co co original, com ′ ∆S , que é o elemento elemento de volume volume correspondente correspondente no espa¸ co y . Come¸ Come¸camos camos considerando o espa¸co co y (veja a figura abaixo), onde ∆S ′ = ∆y1 ∆y2 . . . ∆yn .

(A.3)

Considere Considere o elemento elemento de volume volume formado pelo paralelep paralelep´´ıpedo de lados dy1 , dy2 , etc. O volume desse elemento é definido pelos vetores infinitesimais 279

280

ˆ APENDICE A

x2

y2 C dy 2 A

C’

B

v2

v1

B’

A’ dy1

y

x1

1

Figura A.1: Mapeamento do elemento de volume. que ligam um dos vértices, ertices, A, aos outros n vérti er tice cess B , C , etc. As arest arestas as correspondentes s˜ ao ortogonais, de comprimento dy ao dy1 , dy2, etc, e o volume é ′ ∆S conforme dado acima. Pela transforma¸c˜ cao aõ inversa, os vértices ertices s˜ ao ao levados em A′ , B ′ , etc, formando um paralelep´ paral elep´ıpedo ıped o curvil curvi l´ıneo no espa¸co co x. No limi limite te em que os lados são ao pequenos, p equenos, pod podemos emos também em definir defi nir vetores infinitesimais ligando os vérti er tice ces, s,v⃗1 ,v⃗2, etc. O volume formado por esses n vetores vetore s é dado por

· ×

×

∆S =v⃗1 v(⃗2 v⃗3 . . . v⃗n ) =

 

v11 v21 . .. vn1

v12 v22 . .. vn2

. .. . .. .. . . ..

 

v1n v2n . . .. vnn

(A.4)

Os vetoresv⃗i podem agora ser calculados. calculados. Para⃗ Parav⃗1 = B ′ A′ , por exemplo, exemplo, temos que

−

A′ = (x1(y1 , y2 , . . . , yn), x2 (y1, y2 , . . . , yn ), . . . xn(y1 , y2 , . . . , yn)) dy1 , y2 , . . . , yn ), x2 (y1 + dy dy1 , y2 , . . . , yn ), . . . xn (y1 + dy dy1 , y2 , . . . , yn )) B ′ = (x1 (y1 + dy de forma que v⃗1 = e, em geral, v⃗k =

 

∂x 1 ∂x 2 ∂x n , ,..., ∂y 1 ∂y 1 ∂y 1

∂x 1 ∂x 2 ∂x n , ,..., ∂y k ∂y k ∂y k

 

dy1

(A.5)

dyk .

(A.6)

´ MUDANC MUDA NC ¸ A DE VARI AVEIS EM INTEGRAIS MULTIDIMENSIONAIS

281

Substituindo esse resultado em (A.4) obtemos

∆S =

=

       

∂x 1 dy1 ∂y 1

∂x 2 dy1 ∂y 1

...

∂x n dy1 ∂y 1

∂x 1 dy2 ∂y 2

∂x 2 dy2 ∂y 2

...

∂x n dy2 ∂y 2

...

...

... ...

∂x 1 dyn ∂y n

∂x 2 dyn ∂y n

...

∂x 1 ∂y 1

∂x 2 ∂y 1

...

∂x n ∂y 1

∂x 1 ∂y 2

∂x 2 ∂y 2

...

∂x n ∂y 2

. ..

.. .

. .. . ..

∂x 1 ∂y n

∂x 2 ∂y n

...

≡ I dy dy 1

2

∂x 1 ∂y n

   

∂x 1 dyn ∂y n

   

(A.7)

dy1 dy2 . . . dyn

. . . dyn = I ∆S ′

onde o determinante determinante I ´ jacob iano da transf t ransforma¸ orma¸c˜ cão. ao. Finalmente, Finalmente, voltando voltando I é o jacobiano a` equa¸c˜ cao ão (A.2) temos

ou

  D

)∆S = f ( f (x)∆S

)dS = f ( f (x)dS

  D

′

)∆S ′ F ( F (y )I (y )∆S

(A.8)

)dS ′ . F ( F (y)I (y)dS

(A.9)

282

ˆ APENDICE A

Apˆ endice B Comutador dos Campos Vetoriais ∇

O conjunto dos vetores GF i (x) = J F i (x) formam n campos vetoriais vetoriais sobre o espa¸co co de fases e, em particular, sobre M f f . Usaremos a nota¸c˜ cao aõ x = (q, p). Vamos mostrar aqui que

F

[GF i , GF j ](x ](x)

≡G ◦G

F j (x)

F i

−G ◦G

F i (x)

F j

A regra de composi¸c˜ cao aõ indicada indic ada pelo pel o s´ımbolo GF i

◦G

F j (x)

(B.1)

se guint inte: e: ◦ é a segu

∇

= GF i (J F j (x)) = GF i

∇

= G[F i ,F j ] (x).



∂F j j /∂p ∂F j j /∂q

−



−

= J F i (∂F j j /∂p, ∂F j j /∂q) /∂q )

=

  −   −

∂ F i (∂F j j /∂p, ∂F j j /∂q) /∂q ) ∂p ∂ F i (∂F j j /∂p, ∂F j j /∂q) /∂q ) ∂q

− −

∂F i ∂ 2 F j ∂q ∂p 2

=

−

∂F i ∂ 2 F j ∂p ∂p∂q

∂F i ∂ 2 F j ∂F i ∂ 2 F j + ∂q ∂p∂q ∂p ∂q 2 283

  

 

(B.2)

284

ˆ APENDICE B

Analogamente obtemos

  −

∂F j j ∂ 2 F i ∂q ∂p 2

GF j

◦G

F i (x)

=

−

∂F j j ∂ 2 F i ∂p ∂p∂q

2

2

∂F j j ∂ F i ∂F j j ∂ F i + ∂q ∂p∂q ∂p ∂q 2

  

(B.3)

Subtraindo as duas parcelas e re-arranjando os termos podemos colocar o resultado na forma

 {  − {

∂ F i , F j ∂p

(GF i GF j

)(x) F i )(x

◦ −G ◦G F j

=

 }   }

∂ F i , F j ∂q

= J ( F i , F j ) = G[F i ,F j ] (x).

Assim, se as fun¸c˜ coes o˜es est˜ ao ao em involu¸c˜ cão, ao, F i , F j correspondentes comutam, [G [GF i , GF j ] = 0.

{

∇{

}

}

(B.4) = 0, os campos vetoriais

Apˆ endice C Comuta¸c˜ c˜ ao ao dos dos Flux Fluxos os em M f Mostraremos aqui que se os campos vetoriais Gi (x) e G j (x) comutam comu tam,, então ao t s seus fluxos gi (x) e g j (x) também em comutam. c omutam. Em primeiro lugar consideramos t e s infinitesimais. Nesse caso git (x) = x + tJ F i (x) = x + tGi (x).

∇

(C.1)

Expandindo Expan dindo o comutador comuta dor em série erie de Taylor até segun s egunda da ordem orde m em em t e s temos git g js (x)

s t j i

− g g (x) = A t + A s + A st + A s 1

2

3

4

2

+ A5 t2 + O(3). (3).

(C.2)

Podemos ver imediatamente que quatro dos coeficientes Ai são ao nulos: (a) se s = 0 o lado esquerdo é nulo, portanto p ortanto A1 = A5 = 0; (b) se t = 0 o lado esquerdo é nulo, portanto p ortanto A2 = A4 = 0. Mostraremos agora que A3 também em é zero, zer o, de forma for ma que o comutad comu tador or é de ordem ord em três es em t e s. Usando t e s pequenos e a eq.(C.1) recursivamente podemos escrever git (g js (x)) = git(x + sG j (x)) = x + sG j (x) + tGi (x + sG j (x)) (C.3) g js (git (x))

=

g js (x

+ tGi (x)) = x + tGi (x) + sG j (x + tGi (x)). )). 285

ˆ APENDICE C

286

Os ultimos u ´ ltimos termos t ermos dessas expressões oes pod podem em ser calculados:

    −  − ∂ ∂p

Gi (x + sG j (x)) =

F i (q +

∂ ∂q

∂ ∂p

=

  −    − { }   { }

∂F s ∂pj , p

F i (q + s

∂F s ∂qj )

∂F j ,p ∂p

s

∂F j ) ∂q

[F i (q, p) + s F i , F j ]

∂ ∂q

(C.4)

[F i (q, p) + s F i , F j ]

= Gi (x) + sG{F i ,F j } (x). Analogamente, G j (x + tGi (x)) = G j (x) + tG{F j ,F i } (x) = G j (x)

− tG

{F i ,F j } (x).

(C.5)

Substituindo esses resultados nas equa¸c˜ coes o˜es (C.3) obtemos git (g js (x)) = x + sG j (x) + tGi (x) + tsG{F i ,F j } (x) (C.6) g js (git (x))

= x + tGi (x) + sG j (x)

− stG

{F i ,F j } (x).

Subtraindo uma da outra temos finalmente gitg js (x)

{

s t j i

− g g (x) = 2tsG

{F i ,F j } (x)

=0

(C.7)

}

se F i , F j = 0. Consideremos agora a propaga¸c˜ cao aõ por tempos finitos, como ilustrado na figura C1. Vamos de x para y pelo caminho C 1 andando N passos na dire¸c˜ cao aõ de tamanho ϵ com o fluxo de F 2 (de tal forma que N ϵ = t2 ) e depois M passos com F 1 (tal que M ϵ = t1 ): g1M ϵ g2N ϵ (x). Depois fazemos o inverso pelo caminho C 2 : g2N ϵ g1M ϵ(x). Para deformarmos C 1 em C 2 temos que fazer N M opera¸c˜ cões oes infinitesimais, como ilustrado na figura C2 para N = M = 2. A cada passo mudamos o percu p ercurso rso em apenas um quadrad quadradinh inhoo elementar. elementar. O erro que aparece aparece de3 vido à não ao comutatividade dos fluxos é de ordem ϵ para cada uma dessas mudan¸cas. cas. O erro total acumulado é N M ϵ3 = (N ϵ) (M ϵ)ϵ = t1 t2 ϵ

→ 0.

Portanto os fluxos comutam também em para tempos finitos.

(C.8)

˜ DOS FLUXOS EM COMUTAC TAC ¸ AO

M F

287

t2

y

C1

x

C2

t1

Figura C.1: Propaga¸c˜ cao aõ por tempos finitos de x a y pelos caminhos C 1 e C 2.

Figura C.2: Deforma¸c˜ cao aõ dos caminhos de propaga¸c˜ cão ao em um trecho do percurso total.

288

ˆ APENDICE C

Apˆ endice D Vari´ avei veis de a¸c˜ ao e ˆ angulo para o problema de Kepler No cap´ cap´ıtulo 9 consideramos o problema de três es corpos movendo-se em um plano. plano. Assumi Assumimos mos que o corpo principal principal tem massa M >> m >> µ, µ, onde o corpo de massa µ é um corpo de teste e m faz o papel de perturbar sua orbit ó rbita. a. Como Como M >> µ, µ, vamos supor que M está fixo na origem e, neste apêndice, endic e, vamos esquecer esquec er de m. A Hamiltoniana para o problema de Kepler com M no centro e µ orbitando em sua volta é dada por H =

1 2 1 2 pr + p 2µ 2µr2 θ

− p Ω − GMr µ .

(D.1)

θ

O termo pθ Ω aparece porque estamos em um referencial que gira no plano da orbita o´rbita com freq¨ uˆ uencia eˆncia Ω. Esse termo n˜ ao tem um papel fundamental ao no cálculo alculo das vari´ aveis aveis de a¸c˜ cao aõ e podemos fazer Ω = 0 se quisermos obter resultados no referencial do centro de massa. O problema probl ema é claramente clara mente integr´ integravel, a´vel, e tanto H quanto pθ são ao cons co nsta tante ntess de movimento. A variável avel de a¸c˜ cão ao I θ é obtida obtid a trivialmente trivia lmente de 1 I θ = 2π



2π

pθ dθ = pθ .

(D.2)

0

A variável a vel de a¸c˜ cao aõ I r , por outro lado, é bem mais dif´ dif´ıcil de calcular. calcular. Substituindo pθ por I θ e H por E obtemos 1 I r = 2π



1 pr dr = 2π

  

GM µ 2µ E + ΩI θ + E + ΩI r 289

−

I θ2 dr. r2

(D.3)

ˆ APENDICE D

290

y r +i

+i +i

+

z θ +

+ +

− − − − −

+i

x

Figura D.1: Linha de corte para a fun¸c˜ cao aõ f ( f (z ) =

√z .

Como o integrand integ randoo tem um polo p olo na n a origem ori gem (e ( e tamb´ ta mbém em um polo pol o no infinito), infinit o), é conveniente fazer a integra¸ c˜ cao aõ pelo p elo método eto do dos res´ıduos. ıdu os. Esse Ess e c´ calculo a´lculo foi feito primeiramente por Sommerfeld e est´ a esquematizado no livro do Goldstein. No entanto, a integral envolve uma raiz quadrada, e v˜ ao aparecer as chamadas ao ‘linhas de corte’ (branch ( branch cuts, em inglês) es) e as folhas de Riemann associadas. Para Pa ra entend entender er como como isso isso funcion funciona, a, conside considere re f ( Escrevend endoo f (z ) = z . Escrev iθ 1/2 iθ/2 iθ/2 z = re (r 0 e θ real) obtemos f ( f (z ) = r e . Para θ = 0, f ( f (z ) = r1/2 . Para θ = π, f ( ara θ = 2π, f ( linhaa f (z ) = +ir1/2 . Para f (z ) = r1/2 eiπ = r1/2 . A linh ao ao pode ser cruzada e é a ’linha θ = 0 apresenta uma descontinuidade e n˜ de corte’. corte’. Ao passarmo passarmoss de θ = 2π ϵ para θ = 2π + ϵ temos que assumir iϵ/2 iϵ/2 que f ( para r 1/2 e+iϵ/2 , entrando na f (z ) passou continuamente de r1/2 e−iϵ/2 iϵ/2 segunda ‘folha de Riemann’, e n˜ ao ao na primeira, onde f ( . A f (z ) = +r 1/2 e+iϵ/2 situa¸c˜ cao aõ é ilustrada na figura D.1. A fun¸c˜ cão ao que vamos integr integrar ar é da forma forma f ( (z z0 )(z )(z1 z ). f (z ) = Nesse caso a linha de corte deve ser escolhida conforme mostra a figura iθ/2 D.2(a D.2(a). ). Perto Perto de de z = z0 podemos escrever z z0 = ϵ1/2 eiθ/2 e f ( f (z ) = iθ/2 (figura (figura D.2(b)) D.2(b)).. Pa Para ra θ 0, acima da linha de corte, o z1 z0 ϵ1/2 eiθ/2 sinal da fun¸c˜ cão ao é positivo, pos itivo, para θ = π aparece +i +i e para θ 2π , abaixo da linha de corte, o sinal da fun¸c˜ cao aõ é nega ne gati tivo. vo. Perto de z = z1 a situa¸c˜ cao aõ é um pouco mais complicada. A figura D.2(c) mostra o vetor z z1 , mas precisamos precisamos de z1 z , que aponta na dire¸c˜ cao aõ oposta. iθ i(θ−π) 1/2 i(θ−π)/2 Escrevendo z z1 = ϵe , então ao z1 z = ϵe e f ( . f (z ) = z1 z0 ϵ e Quando z está sobre sobr e o corte, cort e, θ = π e o sinal é positivo. p ositivo. Quando Quand o z está sobre o eixo real, θ = 0 e aparece i. Finalm Finalmen ente, te, quando quando z está sob o corte, θ = π e o sinal fica negativo. Voltando a` integral I r e definindo A = 2µ(E + ΩI θ ), B = GM µ2 e

√

≥

−

− −

√ −

≈

−

−

−

−

−

√ −

√ − ≈

−

√ −

−

−

−

´ EIS ˜ E ANGULO ˆ VARIAV AVEI S DE AC ¸ AO PARA O PROBLEMA DE KEPLER y

(a)

+i

+i

+i +i

(b)

+i

+ +

+

+

z0 − − − − z1 −i

291

(c)

ε

−i

x

z

z −z0

z−z1

θ

z0

Figura D.2: Linha de corte para a fun¸c˜ cao aõ f ( f (z ) = das vizinhan¸cas cas de z0 e de z1 .

z1−z

√ − (z

)(z1 z0 )(z

θ

z1

− z) e detalhe

C = I θ2 podemos escreve-la como 1 I r = 2π

  −

A+

2B r

− rC dr. 2

Como E < 0 vamos supor que A > 0. Para mostrar que a integral é singular sing ular tanto na origem como no infinito podemos ainda reescreve-la de duas formas diferentes: 1 I r = 2π

 √  −

2Br r2 + A

A r

−

1 C dr = 2π A

 √ √ − A r

(r

)(r+ r− )(r

− r) dr

(D.4)

ou, definindo u = 1/r, /r, I r =

−

1 2π

 √  − C u2

A 2Bu + C C

2

−u

onde r± =

B

du =

−

1 2π

 √ √ − C (u u2

)(u+ u−)(u

− u) du (D.5)

∓ √B − AC 2

A são ao os pontos de retorno radiais e u± = 1/r±. O polo p olo na origem é de primeira ordem. O no infinito, u = 0, de segunda. A integral será feita ao longo do contorno contorno ilustrado na figura D.3. Observe Observe que quando vamos de r− para r+ o momento radial pr é positivo pos itivo e tomamos tomam os o sinal sinal positivo positivo da raiz. Na volta, volta, de r+ para r− , pr < 0 e tomamos o sinal negativo da raiz. O contorno Γ deve ser pensado como envolvendo o resto do plano complexo, para evitar a linha de corte. Assim, Assim, incluiremos incluiremos o res´ res´ıduo na origem, com fase +i +i, e o res´ res´ıduo no infinito, com fase i:

−

{

|

|

− |

(+i) res re s´ıduo ıdu o em 0 + ( i) res re s´ıduo ıd uo em I r = 2πi (+i

∞|}} ∞|

(D.6)

292

ˆ APENDICE D

Γ + +

0

+

+

r+ − − − −

+i

8

r−

r

−i

Figura D.3: Caminho de integra¸c˜ cao aõ e singularidades de I r .

1 2π

√A√−r

re s´ıduo na origem, de acordo a cordo com a equa¸ equac˜ ¸ao ao (D.5 (D .5)) é r = √−OC ,res com C = I . Se não ao tiv´ t ivéssemo ess emoss feito fe ito a an´ analise a´lise de sinais não ao sab sa b er´ıamo ıa moss se isso é +iI /2π ou −iI /2π . Mas is isso j´ ja´ está decidido decidido em (D.6) e só 2 θ

θ

− +

θ

precis pre cisamo amoss de d e módulo, odu lo, I θ . O polo no infinito, ou na origem de u, é de segunda ordem. Escrevendo o integrando em (D.5) na forma h(u)/u2 o res´ıdu ıd uo é h′ (0) = 21π C (u+ + (2π Novamente amente s´ o precisamos do módul od uloo que qu e é u− )/ u+ u− = B/ B/(2 π A). Nov (2π B/(2 B/ π A). Substituindo de (D.6) obtemos

√

√−

√− √

I r =

−I + B/ θ

√

A=

−

(D.7)

− ΩI .

(D.8)

−I + − θ

Resolvendo para E obtemos finalmente H (I r , I θ ) =

GM µ2 . 2µ(E + ΩI θ ) E + ΩI

√

G2 M 2 µ3 2(I 2(I r + I θ )2

θ

Bibliografia [1] James Gleick. Isaac Newton, uma biografia . Companhia das Letras, SP, 2004. [2] Isaac Newton. Newton. The Principia Principia , Traduzid raduzidoo para o inglˆ inglˆ es es por And Andrew rew Motte. Prometheus Books, NY, 1995. [3] V. I. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Mechanics. Springer, 1989 [4] Keith R. Symon. Mechanics. Mechanics. Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co., 1971 [5] Herbert Goldstein, Goldstein, Charles P. P. Poole, John L. Safko. Safko. Classical mechanics. mechanics. Pearson Educ, 2001 [6] Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion. Classical dynamics of particles and systems. systems. Belmont, Calif.: Brooks/Cole, 2004 [7] Wolfgang Yourgrau, Satanley Mandelstam. Variational ariational Principles Principles in Dynamics and Quantum Theory . Dover Publications Inc., 1979 [8] Conelius Lanczos. The Variational Principles of Mechanics. Mechanics. Dover Publications Inc., 1986 [9] Max Born, Emil Emil Wolf. Wolf. Principles of Optics. Optics. Cambridge University Press, 1999. [10] Alain Brizard. An Introduction to Lagrangian Mechanics. Mechanics. World Scientific, 2008. [11] Keith Moffatt. Euler’s disk and its finite-time singularity . Brief Communication, Nature 404 (2000) 833 (see also Nature 408, 540). 293

294

BIBLIOGRAFIA

[12] [12] Martin Martin C Gutzw Gutzwil ille ler. r. Ch Chaos aos in class classic ical al and and quan quantu tum m mech mechan anic icss. Springer, 1991 [13] Richard Richard Feynman, Feynman, Robert Leighton, Leighton, Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics. Physics. Addison-Wesley, 1963. [14] [14] Nivaldo Nivaldo A. Lemos. Lemos. Mecânica an ica anal´ an al´ıtica ıt ica . São ao Paulo Livraria da F´ısica, 2007 [15] Wreszinski, reszinski, Walter Walter F. Mecânica anica Cl´ assica Moderna . Edusp, 1997 [16] Florian Schec Scheck. k. Mechanics : from Newton’s laws to deterministic chaos. chaos. Springer, 2010 [17] Nivaldo Nivaldo Lemos. Am. J. Phys. 68 (2000) 88. [18] V. I. Arnold, Ar nold, André Avez. Ergodic problems of classical mechanics. mechanics. Ben jamin Inc., 1968 [19] A.M.Ozorio A.M.Ozorio de Almeida. Sistemas Sistemas Hamiltonianos: Hamiltonianos: caos caos e quantiza¸ quantiza¸ cao. c˜ ao ˜ . Editora da Unicamp, 1995 [20] [20] Lev Landau, E. Lifsc Lifschit hitz. z. Mecânica anica Quˆ antica: antica: teoria teoria n˜ ao rela relati tivv´ısti ıs tica ca . Editora Mir, Moscou, 1974. [21] Joseph L. McCauley. McCauley. Classical Mechanics. Mechanics. Cambridge University Press, 1997 [22] Dominic Dominic William Jordan, Peter Smith. Nonlinear ordinary differential Oxford Unive Universi rsity ty equatio quations: ns: an intr introductio duction n to dynami dynamiccal systems systems.. Oxford Press, 1999 [23] Morris W Hirsch, Hirsch, Stephen Smale. Smale. Differential equations, dynamical systems, and linear algebra . Academic Press, 1974 [24] Allan J. Lichten Lichtenberg, berg, M. A. Lieberman. Regular and stochastic motion . Springer-Verlag, 1982 [25] John Guckenheimer, Guckenheimer, Philip Holmes. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. fields. Springer-Verlag, 1990 [26] Alexander Alexander L Fetter, John Dirk Walecka. alecka. Theoretical mechanics of particles and continua . Dover Publications, 2006

BIBLIOGRAFIA

295

[27] L E Reichl. The transition to chaos : conservative classical systems and quantum manifestations. manifestations. Springer, 2004 [28] Michael V. Berry. in Topics in Nonlinear Dynamics, Dynamics, ed. S. Jorna, Am. Inst. Cont. Proc. 46 (1978) 16. [29] A.Ya. A.Ya. Khinchin. Continued Fractions, Fractions, Dover, NY, 1964. [30] Eliana X.L. Andrade, Cleonice F. Bracciali. Fra¸c˜ coes ˜ Cont´ Cont´ınuas: Propriedades e Aplica¸c˜ coes, oes ˜ , Notas em Matem´ atica Aplicada, SBMAC, 2005. atica [31] [31] Mar Mariia E. G. de Alenc lencar ar.. em F´ısi ısica na Esco Escola la,, 5(2) (20 (2004) 04) 4 (http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol5/Num2/v5n1a02.pdf).

Topicos da Mecânica Classica

Recommend Documents