INGENIERÍA HIDRÁULICA Y AMBIENTAL, VOL. XXII, No. 3, 3, 2001 2001
Noviembre del 2000
CÁLCULO DEL TIRANTE NORMAL EN UN CANAL RECTANGULAR DE FORMA DIRECTA INTRODUCCIÓN Para el cálculo del régimen uniforme en canales con secciones transversales, transversales, se propone en este art artículo, ículo, una fórmula, la cual se ilustrará al final del desarrollo del artículo, con un un ejemplo práctico. CÁLCULO En el cálculo del régimen uniforme, la determinación de la profundidad normal de circulación para un determinado caudal que circula por un canal dado viene expresada por la ecuación de Manning, Chow, Streeter, Luaces, King y Bakhmeteff entre otros. 1-7 Q
1
2
1
A R 3 S O 2 = AR
...(1)
n
la que se puede plantear como: Qn S O
A R = AR
2
3
5
= 3 A 2
Conociendo que para la sección rectangular: A = by P = b + 2 y
5
de donde finalmente se tiene que: ...(4)
1 [b + 2 y ]2
It is intends a for mula for the cal culation culati on of the unifo rm regime in rectangular channels whose error doesn't overcome 25 % and the same one is showed through a practical prac tical example ex ample.. Key words: normal depth; uniform flow; wide rectangular channel; rectangular section.
...(3)
entonces se puede plantear que:
= by 3 3
Se propone una fórmula para el cálculo del régimen uniforme en canales con secciones rectangulares cuyo error no supera el 2,5 % y la misma se ilustra a través de un ejemplo práctico. Pala Pa labr bras as clav cl ave: e: tir an te norm no rmal al,, régi ré gimen men unif un ifor orme me,, secciones seccio nes anchas, ancha s, sección secció n rectangular. rectang ular.
...(2)
P
Qn [by ]5 3 = = S O [b + 2 y ]2 3
Resumen / Abstract
b 3 y 5 [by ]5 = = 2 2 3 2 2 2 y y b 1+ b 1+ b
Qn S O
5
= y
3
1 2 3 y 2 1+
b
ecuación esta que no se puede resolver de forma directa,1,4,5,8 y 9 sino haciendo uso uso de gráficos, ábacos o de algún método iterativo de solución de ecuaciones, como: Método de Newton, Bisección, Método de la secante, etcétera.
Carlos Car los A . L uace uacess Socar Socar r ás, ás, Más M áste terr en Ci encias, I ngeniero Hi H i dráulico, dráulico, Ce C entro de de I nvestig nvestiga aciones ciones H i dráulicas, dráulicas, I nstituto nstituto Supe Super i or Politécnico Politécnico J osé osé A. E cheve cheverr r í a, Ci udad udad de La H abana abana e-mail e-mail : cluaces@ci cluaces@ci h.i spjae.ed spjae.edu.cu u.cu
40
...(5)
entonces, la ecuación (10) se puede plantear como:
Pero para una sección ancha, donde: R ≈ y ,
a5 = [1+ 2aβ ]2
5
2
Qn = byy 3 = by A 3 S O
...(13)
...(6) resolviendo el cuadrado y ordenando el polinomio para β, se tiene que:
siendo por lo tanto,
4a2β 2 + 4aβ + 1− a5 = 0
5
Qn b S O
= y A 3
...(7)
Sustituyendo la ecuación (7) en (5) se tiene: 5
5
y A 3 = y 3
1 2 3 1 + 2 y
5
y 3 5
=
y A 3
b
1 1 3 2 y 2 + 1 b
y resolviendo para β, se llega a:
β1,2 = ...(8)
...(9)
...(14)
− 4a + 16a2 − 16a2(1 − a5 ) 8a 2
...(15)
Entonces si le dan valores a, a se puede obtener valores de β y así hacer la tabla 1 de a, β y b/y , b 1 donde: y = a * β . (tabla 1) y
como: a = y A
está entre[1− ∞]
β = y A b está entre [0 − ∞]
donde si se eleva al cubo se llega a: 5 2 y 2 y = 1+ y A b
...(10)
Haciendo un nuevo cambio de variables para disminuir el intervalo del dominio de α y β entre [0 − 1] como el propuesto por Velazco y León10-11 para el tirante crítico en canales trapeciales, se obtiene (ver tabla 2 y gráfico 1).
Si se llama a: K =
y a = y A
...(11)
= y A
...(12)
β
b
1
está entre [0 − 1] ,
a
G = 1
1+ β está entre [0 − 1]
Tabla 1 Valores de a , b y b/y a
1,00 1,20
1,40
1.60
1,80 2,00
5,00
10,00
50,00 100,00
β
0,00 0,24
0,47
0,70
0,93 1,16
5,49
15,76
176,77 500,00
1,52
0,89
0,60 0,43
0,04
b/y
∞
3,47
0,006
41
Lo que si se ajusta la misma a una ecuación potencial del tipo K = CG B se llega a: C =0,978 224 81 B =0,834 135 312 Con un coeficiente de correlación r = 0,998 866 99 y cuyo gráfico de error absoluto vs b/y se muestra en el gráfico 2, donde se puede observar los errores cometidos por el empleo de esta expresión no exceden el 2 %. Sustituyendo las variables por su valores originales,
1 = C a 1+ β 1
B
B 1 = C 1 y y A y A 1 + b
...(17)
B
y =
...(16)
y A
1 C B 1+ y A b
y y A 1+ A b =
...(18)
C
Tabla 2 Valores de K y G K
1,00
0,83
0,71
0,63
0,56
0,50
0,33
0,20
0,14 0,11
0,05
0,03
0,02
G
1,00
0,81
0,68
0,59
0,52
0,46
0,29
0,15
0,10 0,07
0,02
0,01
0,00
GRÁFICO 1 Curva de ajuste.
GRÁFICO 2 E rror absoluto modular vs b/y de la ecuación ajustada.
42
Donde si se sustituyen los valores de C y B , se tiene que: 0,834 135
y y = 1,022 22 y A 1+ A b
...(19)
2 Qn = A R 3 S 0
Resolviendo esta igualdad con ayuda del EXCEL (solve) se tiene que el tirante es:
o aproximadamente: y = y A 1+ y A
3. Comprobación:
y solve =0,793 092 m
5
6
b
...(20)
donde C = 1,0 y B =5/6 y un gráfico de error absoluto modular vs b/y como el que se muestra (gráfico 3).
donde el módulo del error absoluto será: Err or= |y solve - y n| *100 =0,098 % R/ El valor del tirante normal es de 0,794 m. CONCLUSIONES Se desarrolló una fórmula para el cálculo del tirante normal en un canal rectangular, la cual tiene un error máximo de aproximadamente un 2,5% y su empleo permite realizar los cálculos de forma directa sin tener necesidad de iterar. REFERENCIAS
GRÁFICO 3 E rror de k vs b/y para C = 1 y B = 5/6.
De lo anterior se tiene que ahora el error mayor es de 2,5 % y el mismo se encuentra desplazado hacia la zona de b/y entre 0 a 3 y no como la ecuación anterior donde los errores (2%) se encontraban en casi toda la relación de b/y , por lo que se recomienda el empleo de esta última para el cálculo del tirante en canales con secciones rectangulares. EJ EMPLO PRÁCTICO Por un canal de sección rectangular con ancho de fondo de 12 m, coeficiente de rugosidad de Manning de 0,013 y una pendiente longitudinal de 0,000 3, circulan 10 m3 de agua. ¿Cuál es el tirante normal de circulación?
Datos: b = 12 m, m = 0, n =0,013, S 0 =0,000 3, Q =10 m3/s. 1. Calcular y A:
Qn y A = b S O
3
5
3
10 ⋅ 0,013 5 = = 0,755 12 ⋅ 0,000 3
1. CHOW, V.T AND R. MAIDMENT DAVID: Hidrología aplicada, McGraw-Hill, 1994. 2. CHOW, V.T.: Hidráulica de canales , Editorial Diana, México, 1985. 3. STREETER, V. L.: Mecánica de los fluidos , Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana, Cuba, 1989. 4. LUACES SOCARRAS, C.A.: "Conducciones libres", J ornada Cientifica Estudiantil de la CUJ AE, Instituto Superior Politécnico J osé Antonio Echeverría, Ciudad de La Habana, 1994. 5. LUACES SOCARRÁS, C.A.: "Cálculo hidráulico de canales en parámetros adimensionales", Instituto Superior Politécnico J osé Antonio Echeverría, Ciudad de La Habana, 1995. 6. KING, H.W.: Manual de hidráulica, t. I, Edición Revolucionaria,1986. 7. BAKHMETEFF, B. A.: Hydraulics of Open Channel, McGraw-Hill Book Co. Inc, 1932. 8. FRENCH, R. H.: Hidráulica de los canales abiertos , México, 1989. 9. Henderson, F.M.: Open channel flow , New York, 1966. 10. VELAZCO DAVIS, E.: "Una fórmula práctica para el tirante crítico en canales trapeciales", RevistaIngeniería Hidráulica, Vol. XIX, No. 3, Instituto Superior Politécnico J osé Antonio Echeverría, Ciudad de La Habana, 1990. 11. LEÓN, M. A. Y ARMANDO ESTOPIÑAN: Hidráulica de canales , Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana, Cuba, 1989.
2. Cálculo de y N : 5
5
y 6 0,755 6 = 0,794 y N = y A 1+ A = 0,755 * 1+ 12 b
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