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ONGRESO N ACIONAL DE HIDRÁULICA HIDRÁULICA XXII C XXII C ONGRESO

AMH

AMH

ACAPULCO , G UERRERO UERRERO , M ÉXICO ÉXICO , N OVIEMBRE OVIEMBRE 2012

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE TIRANTES NORMALES Y CRÍTICOS Jiménez Castañeda Amado Abel, Luna Reyes Aldo y Berezowsky Verduzco Moisés Instituto de Inenier!a, "ni#ersidad $acional Aut%noma de Mé&ico Circuito 'scolar, Ciudad "ni#ersitaria, ()*+(, Mé&ico, - .'/mail0 a1c23umas-ii-unam-m&4 mb#23umas-ii-unam-m&4 alunar2iinen-unam-m&

Introducción

Cálculo del tirnte nor!l

'n estudios de 5idr6ulica de canales es com7n 8ue se re8uiera 5acer el c6lculo del tirante normal4 3or e1em3lo, en el diseño 5idr6ulico de un canal se dis3one de los datos siuientes0 la 9orma de la secci%n trans#ersal del canal, la 3endiente de la 3lantilla, el coe9iciente de ruosidad de Mannin y el caudal de diseño4 3rimero, con estos datos y aluno de los métodos del diseño 5idr6ulico del canal, se obtiene una de las dimensiones del canal, 3or e1em3lo el anc5o de la 3lantilla4 des3ués, se calcula el tirante normal re8uerido 3ara el caudal de diseño-

'n casi todo el continente americano, y también a ni#el mundial, se em3lea la 9%rmula de Mannin 3ara calcular la #elocidad media del 9lu1o en un canal con réimen uni9orme4 esta conocida e&3resi%n se escribe como0

:tro de los estudios cl6sicos donde se re8uiere 5acer el c6lculo del tirante normal se tiene cuando se 5ace el estudio del 9uncionamiento 5idr6ulico de un canal, donde se re8uiere conocer los ti3os de 3er9iles 5idr6ulicos 8ue se 3resentan en toda su lonitud4 3ara ello es necesario calcular tanto el tirante normal como el tirante cr!tico- Adem6s, en este ti3o de estudios es com7n 8ue al menos una de las secciones de control este asociada al réimen cr!tico- ;or ello, las dos 3artes 9undamentales de este traba1o se dedican al c6lculo del tirante normal y del tirante cr!tico(+( y >(++4 estos métodos se escoieron al 5acer una re#isi%n del estado del arte con res3ecto a métodos de c6lculo de tirantes normales y cr!ticos-

 = /    



 1

donde , es la #elocidad media del 9lu1o, en m?s4 , el radio 5idr6ulico, en m4 , la 3endiente de la 3lantilla del canal, adimensional4 y , el coe9iciente de ruosidad de ManninAl multi3licar la ec- @+ 3or la corres3ondiente 6rea 5idr6ulica se obtiene una ecuaci%n, conocida como la ecuaci%n de continuidad 3ara un 9lu1o unidimensional en un canal con réimen 3ermanente y uni9orme, la cual se e&3resa como0

 =  /   

donde

 2

2 

, es el asto, en m ?s y , el 6rea 5idr6ulica, en m >-

's con#eniente recordar 8ue el tirante normal es a8uel 8ue se 3resenta en un canal con 9lu1o a su3er9icie libre, en réimen uni9orme, y 8ue satis9ace la ec, 3or lo 8ue 3ara su c6lculo se re8uiere resol#er dic5a ecuaci%n4 esto indica 8ue se re8uiere resol#er una ecuaci%n del ti3o no lineal e im3l!cita4 3ara ello se dis3one de métodos métodos numéricos del ti3o recursi#o y también de ecuaciones a1ustadas del ti3o e&3l!cito, cuya soluci%n no es matem6ticamente e&acta, 3ero los resultados obtenidos tienen e&celente a3ro&imaci%nSección rectangular

;ara este caso se dis3one de dos métodos 8ue em3lean 9%rmulas e&3l!citas y un método numérico bastante sencillo-

•

Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008)

((* 3ublic% un método 8ue em3lea e&3resiones del ti3o e&3l!cito 3ara calcular el tirante normal en canales de secci%n rectanular, y =ri#asta#a @>(( indica 8ue 5izo alunas adecuaciones a esas e&3resiones, con las 8ue 3ro3one la metodolo!a de c6lculo siuiente0

XXII C ONGRESO N ACIONAL DE HIDRÁULICA

AMH

+-

ACAPULCO , G UERRERO , M ÉXICO , N OVIEMBRE 2012

=e calcula el 3ar6metro



 = ⁄ .    = 1+1.2.   = 2 +11.2. +!1".# %& =  (  ( = ⁄  &  & = (* 1+2(* +1.,12(*-* %& = 

"n criterio de con#erencia com7nmente em3leado 3ara sus3ender el 3roceso iterati#o es cuando se cum3le la condici%n siuiente0

3 9%&0 ! %&09 : ".""1 ;

'ste mismo criterio es #6lido 3ara las otras 9%rmulas recursi#as 8ue se incluyen en el 3resente traba1o- 'ste método se distinue 3or8ue con 3ocas iteraciones se obtiene una soluci%n tan 3recisa como sea re8uerida 3or el usuario- 'l método 3ermite 8ue el #alor inicial 3ro3uesto sea inclusi#e

donde es el anc5o de la 3lantilla del canal, en m>-

-

)-

•

=e obtiene el 3 ar6metro

3 %0< = "." 3$ 3'


Sección trapecial

;ara canales de secci%n tra3ecial se dis3one de un método 8ue em3lea e&3resiones del ti3o e&3l!cito, y otro 8ue es numérico del ti3o recursi#o-

=e obtiene el #alor del tirante normal, en m

•

Método propuesto por Vatankhah  !asa (20"")

+-

>-

-

=e obtiene el 3 ar6metro

=e calcula

=e obtiene el #alor del tirante normal

)


'n =ri#asta#a @>(( se 3resenta un método del ti3o e&3l!cito 3ara calcular el tirante normal en canales de secci%n trans#ersal de 9orma tra3ecial- 'ste autor aclara 8ue el método se basa en el 3resentado 3or ((*, con una adecuaci%n sencilla 3ro3uesta 3or =ri#asta#a4 la metodolo!a de c6lculo es la siuiente0

.    >   = 1+. ⁄  )  )$  = !".7 + ? ".27+@ 1+  ! 1 + 1 +) > A A = 2 + B 1 +  >$   = AA..2 !". +#1!".  +#A >' 7 %& =   >C

Con esta e&3resi%n se obtienen errores menores 8ue el (-(D, 3or lo 8ue se considera 8ue es bastante 3recisa-

•

AMH

+-


>-

=e calcula

-

=e obtiene

)-

=e calcula

*-

=e calcula el tirante normal

!cuación recursiva propuesta por #night et al (20"0)

'n Eni5t et al @>(+( se 3resenta una e&3resi%n del ti3o recursi#o 3ara calcular el tirante normal en una secci%n trans#ersal de 9orma tra3ecial- 'sa misma e&3resi%n se sim3li9ica 3ara el caso de una secci%n rectanular, 3uesto 8ue , donde es el talud de la 3ared lateral del canal, adimensional- As!, la e&3resi%n sim3li9icada se e&3resa de la manera siuiente0

 ="  0%& =  4/* 5 +2% &06/* 8

donde el su3er!ndice es un contador de las iteraciones-

Al a3licar este método se 5a obser#ado 8ue el error m6&imo es menor 8ue (-(+D, 3or lo 8ue es am3liamente recomendado en a3licaciones 3r6cticas-


AMH

•



'ste método em3lea la e&3resi%n r ecursi#a siuiente0

0%& =  4/* 5 +2%&0+B 1 +%&0 6/*

%0< = "

!cuación propuesta por S$a%ee ("&&')

La 9%rmula 3ro3uesta, 8ue es del ti3o e&3l!cito, es la siuiente0

N. F  .  . F    A A , %E = L   2 M

;ara comenzar el 3roceso iterati#o es necesario 3ro3oner un #alor inicial del tirante, 3or e1em3lo, - 'l 3roceso iterati#o se sus3ende cuando se cum3le con el criterio de con#erencia ya citadoSección circular •

•

AMH

Método propuesto por Srivastava (2008)

;ara una secci%n de 9orma circular, se recomienda la e&3resi%n del ti3o e&3l!cito siuiente0

%D& = 1.7>E.FG1 !".7>7".3373!E.FHI # E = D⁄ 4 # D

1"

Los resultados obtenidos con esta e&3resi%n tienen errores menores 8ue el >D-

•

!cuación eplicita propuesta por Vatankhah  !asa (20"")

N.  H / .  F .  F      %E = A L1 +1.172)- A M 11

'l error relati#o m6&imo en 3orcenta1e 8ue se o btiene con esta e&3resi%n es menor 8ue (->G D-

•


donde

'n el caso 3articular de 8ue se re8uiera mayor 3recisi%n en el c6lculo del tirante cr!tico de una secci%n tra3ecial, se recomienda em3lear el método numérico recursi#o de ;unto .i1o 8ue se basa en la e&3resi%n siuiente0

y

0%E = A 4/ 55+2+ %%E0E066/

es el di6metro del conducto, en m-

'sta e&3resi%n es #6lida 3ara tirantes normales 8ue tienen un 3orcenta1e de llenado menor 8ue (-F), y el error en el tirante normal calculado es menor 8ue el (-*D-

Cálculo del tirnte cr"tico

%E

'l tirante cr!tico, , se obtiene al resol#er la ecuaci%n eneral del tirante cr!tico, la cual se e&3resa como0

A = JEE E

K JE

donde , es el 6rea 5idr6ulica del tirante cr!tico, en m >4 , el anc5o de la su3er9icie libre del aua, en m4 , la aceleraci%n de la ra#edad, en m?s >
;ara este ti3o de secci%n se dis3one de dos e&3resiones del ti3o e&3l!cito y un sencillo método numérico, del ti3o recursi#o-

12

;ara utilizar la ec- @+> se re8uiere 3ro3oner un #alor inicial del tirante4 en este caso se 3uede 3ro3oner un #alor inicial de cero, es decir, , sin embaro, al 3ro3oner como #alor inicial del tirante calculado con la ec- @+(, el n7mero de iteraciones 3ara obtener un #alor bastante 3reciso del tirante cr!tico es del orden tres- 'l criterio tradicional de con#erencia 3ara sus3ender el 3roceso iterati#o es el mismo 8ue ya se cit%-

%E0< = "

Sección circular •


Aun8ue esta e&3resi%n ya tiene casi #einte años de 5aber sido 3ublicada, se considera 8ue es 7til 3resentarla 3or su sencillez y su am3lio rano de a3licaci%n, 8ue es desde el > 5asta el +((D del 3orcenta1e de llenado-

%DE = L1 +".,,AD*NMN.*

13


AMH

AMH


Los resultados obtenidos con esta e&3resi%n son bastante 3recisos, ya 8ue el error 8u e se obtiene al em3learla es menor 8ue +->GD, lo cual es com7nmente ace3tado en la 3r6ctica 3ro9esional-

•


(  ) ( =  3"."⁄17B "7.""3 = ".",31 & )     & = ".",31* 1+2".",31* + 1.,12".",31*-*  = ". 2 ))2 & N.  * %DE = L1 +13.>AD*N.* ! 13AD*N.M 1) )$ %& = ".2))23 = ".,32> ; •


+-

=e obtiene el 3ar6metro

con la ec-

>-

=e calcula

-

=e obtiene el #alor del tirante normal con la ec-

con la ec-

'sta e&3resi%n, del ti3o e&3l!cito, es de las m6s recientemente 3ublicadas- 'l rano de a3licaci%n es desde el + 5asta el +((D del 3orcenta1e de llenado-

Los resultados obtenidos con esta e&3resi%n tienen un error menor 8ue (->GD, 3or lo 8ue se considera 8ue es bastante 3recisa-

•

Al sustituir los corres3ondientes #alores en la ec obtiene

E#e!$lo% de $licción $r el cálculo del tirnte nor!l

7 ;/O

Calcular el tirante normal 8ue se tiene con un asto de , en los canales cuyas caracter!sticas se indican a continuaci%n- Considerar 4y -

0%& = 7B ""..""17"3 4/* 53+2%3 &06/* %&0 = ".)"27+53+2%&06/*

 = "."17  = ".""3 P=QR  S   3 VU ; TVUW; XTVUW ! TVU X T .   ". " 17 7  = 3⁄B ".""3 = ".2"#2  3  = ".2"#251+1.2".2"#26. = ".2),K %& = ".,323 ;  3$ "#21.2"..2 !),K".#+1".2"#2 = ".2))1 9%&0 ! %&09 : ".""1 ;  = 2 ""..22),K+1 3'  2  Y Z %& = ".2))13 = ".,323 ;

Sección rectangular con ancho de plantilla •





+-

>-

-

)-


=e calcula

7

se

Los #alores obtenidos al em3lear la e&3resi%n anterior en 9orma recursi#a se re3ortan en la tabla siuiente0 Ta*la " +,lculo del tirante nor%al con la ec

con la ec-

con la ec-

=e calcula con la ec-

=e obtiene el tirante normal con la ec-

(-(

(-H>)H

(-H>)H

(-H>)H

(-G+(

(-(F)

(-G+(

(-G()

(-(+>)

(-G()

(-G>+

(-((+G

(-G>+

(-G>

(-(((>

=e sus3enden las iteraciones con cum3le la condici%n de con#erencia siuiente0

ya 8ue se

La com3araci%n de los resultados obtenidos con los métodos anteriores se incluye en la tabla siuiente, donde el caudal se obtiene al em3lear la ec, mientras 8ue es el error relati#o-


AMH

•

Método o ecuación
TU; [ ;⁄O \[ ] (,G>

),FFFF

(,((>

Vatank5a5 y 'asa

(,G>H

*,((>

(,(*H

Eni5t

(,G>

),FFFF

(,((>

P= Q ^= _  > .      2 " . " 17 7   .   = 1+2  3⁄B ".""3 = ".)37) 2. ` ` =  1 +)".)37) = 1.>77, 3. >   = !".7 + ? ".27+".)37@ 1+22 ! 1+` = ".3K" A >$ A = 2".3K"+  1 +2 2 = 1.>,))  >'  = ".3K"AA.. 2!""..3#K"+1!". ".)37)".3#K"+ " . ) 37) A ".)37)   = ".3#7)  > C %& = ".3#7)32- = ".7,#1 ;

Sección trapecial con

Mediante la e&3resi%n recursi#a




+-



, /* 0 /*     a3+2% 1 + 2 b   & 7 " . " 17 %&0 =  B ".""3 4 3 +2%&0 00 6/* 7 % & 0%& = 1.2",7 53+2B 3 +2%&

Ta*la 2 +o%paración de resultados

•

con la ec

Ta*la ' +,lculo del tirante nor%al con la ec ()

TVU ; TVUW; XTVUW ! TVU X

=e calcula la #ariable

Con la ec

)-

*-

H-

AMH


=e obtiene

se obtiene

(-(

(-H>)H

(-H>)H

(-H>)H

(-*G

(-(*(

(-*G

(-*G*

(-(()G

(-*G*

(-*G+

(-((()

%& = ".7,#1 ;

9%&0 ! %&09 : ".""1 ;

=e sus3enden las iteraciones, ya 8ue 3ara se cum3le 8ue - 'n este caso 3articular, los dos métodos dan resultados 3r6cticamente iuales- 'n la tabla siuiente se 3resenta la com3araci%n de los resultados al em3lear los corres3ondientes métodos, donde se nota 8ue la a3ro&imaci%n es e&celenteTa*la . +o%paración de resultados

con la ec

Método o ecuación
TU; [ ;⁄O \[ ] (-*G+

)-FFFG

(-((H

(-*G+

)-FFFG

(-((H

=e calcula con la ec

=e calcula el tirante normal con la ec

Sección circular con di,%etro •

c=_R


=e calcula

E

con la ec- @b

E = 27⁄".B "17".""34 = ".217>


AMH

# %D& = 1.7>".217.FG1 !".7>7".3373!".217.FHI %D& = ".>127 %& = ".>1272 = 1.22)K ;

Al =ustituir el 3ar6metro anterior en la ec-

060/ E 0%E = 1.3>7K 53+)% 53+2%E6

se obtiene

Ta*la  +,lculo del tirante nor%al con la ec

TVe; TVeW; XTVeW ! TVeX

E#e!$lo% de $licción $r el cálculo del tirnte cr"tico

7 ;/O

Calcular el tirante cr!tico 8ue se tiene con un asto de , en los canales cuyas caracter!sticas se indican a continuaci%n- Considerar -

A = K.#1 ;/O P= Q ^= _ 1" N. F  .  . F      K. # 1 3 K. # 1 2 %E = L 7   27  M = ".7>), ;

Sección trapecial/ •




Mediante la ec-

•


`d  `d = K.#173 = ".2#31 11 .F N.H %E = `d/ 1+1.172)23- `d.F4 %E = ".7,3K ;

Al em3lear la ec-

/12 / %E0 = K.7#14 53+253+2%2 %E0E066

Con base en la ec- recursi#a

(-H*HG

(-H*HG

(-H*HG

(-*H>

(-(F)

(-*H>

(-*G*)

(-(+>>

(-*G*)

(-*G

(-((+H

(-*G

(-*G)(

(-(((>

%E = "f7,)" ; 9%E0 ! %E09 : ".""1 ; K Te ; [ ;⁄O \[ ]

"na 9orma alternati#a de re#isar la a3ro&imaci%n de cada método, se basa en em3lear el #alor del tirante cr!tico 3ara calcular el asto con la ecTa*la 1 +o%paración de resultados

!cuación =wamme

(-*H)G

)-H*

>-G(

Vatank5a5 y 'asa

(-*GF

)-FFH

(-(>

Eni5t

(-*G)(

*-(((

(-((H

Sección circular con di,%etro •

c=QR


13 %DE = L1 +".,,K.#173*NMN.* = ".31K# %E = ".31K#3 = ".K7K) ;

Con base en la ec-

se obtiene


(-(

W_

=e sus3enden las iteraciones ya 8ue se cum3le 3ara 8ue -


•

AMH


•


g$ g$ = K.#173* = "."1")



AMH


1) %DE = G1+13.>g$N.* ! 13g$N.IN.* = ".31>7 %E = ".31>73 = ".K)K7 ;

Mediante la ec-

Ta*la  +o%paración de resultados !cuación =wamme Vatank5a5 y 'asa

TU; [ ;⁄O \[ ] (-F*F)

*-(F+G

+-)

(-F)F*

)-FF()

(-+F>

Conclu%ione% 'n este traba1o se re3ortan #arios métodos 3ara el c6lculo del tirante cr!tico y el tirante normal de secciones trans#ersales de 9orma rectanular, tra3ecial y circular, las cuales son am3liamente em3leadas en estudios de 5idr6ulica de canalesLa mayor!a de estos métodos 9ueron 3ublicados en los 7ltimos años- "nos métodos se basan en ecuaciones a1ustadas del ti3o e&3l!cito, y otros em3lean ecuaciones sencillas del ti3o recursi#o- La a3ro&imaci%n 8ue se obtiene en los resultados al em3lear cual8uiera de estos métodos es e&celente=e considera 8ue estos métodos son de ran utilidad tanto en la docencia como en la 3r6ctica 3ro9esional-

AMH

Re&erenci% "- #night 3/ 4ahe M++/ Lamb R. and Samuels G.P. @>(+(. Practical channel hydraulics. CRC ;ress. "E2- Srivastava/ 3 @>((- Flow Through Open Channels:&9ord "ni#ersity ;ress- India'- S$a%%e/ 5# @+FF- Critical de3t5 e8uations 9or irriation canals- Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ACE, Vol- ++F @>, 33- )((/)(F.- Terzidis/ 46 @>((*- '&3licit met5od to calculate t5e normal de3t5 o9 tra3ezoidal o3en c5annel- Kreece- Vatankhah/ 36 and !asa/ MS @>(++- '&3licit solutions 9or critical and normal de3t5s in c5annels wit5 di99erent s5a3es- Journal of Flow !easure"ent and Instru"entation Vol- >>, >(++, 33- )/)F-

Reconoci!iento% =e aradece al 3ersonal de la "nidad de =er#icios de In9ormaci%n, del Instituto de Inenier!a, "$AM, 3or su a3oyo 3ara obtener la mayor 3arte de las 3ublicaciones 8ue se incluyen en las re9erencias del 3resente traba1o-

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