Tippens Fisica 7e Soluciones 15

Capítulo 15. Fluidos Densidad 15.1. ¿Qué volumen ocupan 0.4 kg de alcohol? ¿Cuál es el peso de este volumen?

!=

m ; V

V=

m 0.4 kg = ; ! 790 kg/m 2 V = 5.06 × 10–4 m3

W = DV = ρgV = (790 kg/m3)(9.8 m/s2)(5.06 × 10–4 m3); W = 3.92 N 15-2. Una sustancia desconocida tiene un volumen de 20 ft3 y pesa 3370 lb. ¿Cuáles son el peso específico y la densidad? D=

W 3370 lb = ; V 20 ft 3

D = 168 lb/ft3

!=

D 168 lb/ft 3 = ; g 9.8 m/s 2

ρ = 5.27 slugs/ft3 15-3. ¿Qué volumen de agua tiene la misma masa que 100 cm3 de plomo? ¿Cuál es el peso específico del plomo? Primero encuentra la masa del plomo: m = ρV = (11.3 g/cm3)(100 cm3); Ahora el agua: Vw =

m 1130 g = = 1130 cm3 ; Vw = 1130 cm3 3 ! w 1 g/cm

D = (11,300 kg/m3)(9.8 m/s2) = 110,740 N/m3;

215

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 15

m = 1130 g

D = ρg

D = 1.11 × 105 N/m3

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15-4. Un matraz de 200 mL (1 L = 1 × 10–3 m3) está lleno de un líquido desconocido. Una balanza electrónica indica que el líquido en cuestión tiene una masa de 176 g. ¿Cuál es la gravedad específica del líquido? ¿Puede usted adivinar qué es ese líquido? V = 200 mL = 0.200 L = 2 × 10-4 m3;

!=

m = 0.176 kg

m 0.176 kg = ; V 2 # 10"4 m3

ρ = 880 kg/m3, benceno

Presión de fluidos 15-5. Halle la presión en kilopascales producida por una columna de mercurio de 60 cm de alto. ¿Cuál es esa presión en lb/in2 y en atmósferas? P = ρgh = (13,600 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.60 m); P = 80 kPa ! 0.145 lb/in.2 " P = 80 kPa # $; % 1 kPa &

P = 11.6 lb/in2 P=

80 kPa ; 101.3 kPa/atm

P = 0.790 atm 15-6. Un tubo contiene agua bajo una presión manométrica de 400 kPa. Si se cubre un orificio de 4 mm de diámetro en el tubo con un trozo de cinta adhesiva, ¿qué fuerza tendrá que ser capaz de resistir la cinta?

A=

! D 2 ! (0.004 m) 2 = = 1.257 x 10-5 m 2 ; 4 4

P=

F ; A

F = PA = (400 000 Pa)(1.257 × 10–5 m2); P = 5.03 N

216



15-7. Un submarino se sumerge a una profundidad de 120 ft y se nivela. El interior del submarino se mantiene a la presión atmosférica. ¿Cuáles son la presión y la fuerza total aplicadas a una escotilla de 2 ft de ancho y 3 ft de largo? El peso específico del agua del mar es de 64 lb/ft3, aproximadamente. P = Dh = (64 lb/ft3)(120 ft);

P = 7680 lb/ft2;

F = PA = (7680 lb/ft2)(3 ft)(2 ft);

P = 53.3 lb/in2

F = 46 100 lb

15-8. Si usted construye un barómetro usando agua en lugar de mercurio, ¿qué altura del agua indicará una presión de una atmósfera?

P = ! gh;

h=

P 101,300 Pa = ; ! g (1000 kg/m3 )(9.8 m/s 2 ) h = 10.3 m = 34 ft

15-9. Un pistón de 20 kg descansa sobre una muestra de gas en un cilindro de 8 cm de diámetro. ¿Cuál es la presión manométrica sobre el gas? ¿Cuál es la presión absoluta?

! D 2 ! (0.08 m) 2 A= = = 5.027 # 10"3 m 2 ; 4 4

P=

F mg = A A

(20 kg)(9.8 m/s 2 ) P= = 3.90 " 104 kPa; !3 2 5.027 " 10 m P = 39.0 kPa Pabs = 1 atm + Pmanométrica = 101.3 kPa + 39.0 kPa; Pabs = 140 kPa *15-10. Un tubo abierto en forma de U como el que se muestra en la figura 15-21 tiene 1 cm2 de sección transversal. ¿Qué volumen de agua deberá verterse en el tubo de la derecha para que el mercurio del tubo de la izquierda se eleve 1 cm por encima de su posición original?

! m ghm = ! 2 gh2 ;

h2 =

! m hm (13.6 g/cm3 )(1 cm) = = 13.6 cm !2 1 g/cm3

V = Ah = (1 cm2)(13.6 cm); V = 13.6 cm3 = 13.6 mL

217



15-11. La presión manométrica en un neumático de automóvil es de 28 lb/in2. Si la rueda soporta 1000 lb, ¿cuál es el área del neumático que está en contacto con el suelo? A=

F 1000 lb = ; P 28 lb/in 2

A = 35.7 in2 15-12. Dos líquidos que no reaccionen químicamente se encuentran en un tubo doblado como el de la figura 15-21. Demuestre que las alturas de los líquidos por encima de su superficie de separación son inversamente proporcionales a sus densidades: h1 h2 = ! 2 !1 . El nivel de presión debe ser el mismo para cada columna: ρ1gh1 = ρ2gh2 así que:

h1 ! 2 = h2 !1 15-13. Suponga que los dos líquidos contenidos en el tubo en forma de U de la figura 15-21 son agua y aceite. Calcule la densidad del aceite si el agua se mantiene 19 cm por encima de la entrecara y el aceite permanece a 24 cm por encima de dicha zona de encuentro. Use como referencia el problema 15-12. h1 ! 2 = ; h2 !1

! aceite =

hw ! w (19 cm)(1000 kg/m3 ) ; = haceite 24 cm

ρaceite = 792 kg/m3 15-14. Un manómetro de presión de agua indica una presión de 50 lb/in2 al pie de un edificio. ¿Cuál es la máxima altura a la cual subirá el agua en el edificio?

P = Dh;

h=

P (50 lb/in 2 )(144 in 2 /ft 2 ) = ; D 62.4 lb/ft 2 ) h = 115 ft

218



La prensa hidráulica 15-15. Las áreas de los pistones grande y pequeño de una prensa hidráulica son 0.5 y 25 in2. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal de la prensa? ¿Qué fuerza se tendrá que ejercer para levantar una carga de 1 tonelada (2000 lb)? ¿A través de qué distancia deberá actuar la fuerza de entrada para levantar esta carga hasta una distancia de 1 in? [1 ton = 2000 lb] Ao 25 in.2 ; MI = 50 MI = = Ai 0.5 in.2

Fi =

2000 lb ; 50

Fi = 40.0 lb si = MI so = (50)(1 in); si = 50 in 15-16. Una fuerza de 400 N se aplica al pistón pequeño de una prensa hidráulica cuyo diámetro es 4 cm. ¿Cuál deberá ser el diámetro del pistón grande para que pueda levantar una carga de 200 kg?

Fo Ao d o2 = = ; Fi Ai di2

do = di

Fo (200 kg)(9.8 m/s 2 ) ; = (4 cm) Fi 400 N do = 8.85 cm

15-17. El tubo de entrada que suministra presión de aire para operar un gato hidráulico tiene 2 cm de diámetro. El pistón de salida es de 32 cm de diámetro. ¿Qué presión de aire (presión manométrica) se tendrá que usar para levantar un automóvil de 1800 kg? Pi = Po ;

Pi =

Fo (1800 kg)(9.8 m/s 2 ) ; = Ao ! (0.16 m) 2

Pi = 219 kPa 15-18. El área de un pistón en una bomba de fuerza es de 10 in2. ¿Qué fuerza necesita para elevar el agua con el pistón hasta una altura de 100 ft? [10 in2(1 ft2/144 in2) = 0.0694 ft2] F = PA = (Dh)A;

F = (62.4 lb/ft3)(100 ft)(0.0694 ft2); F = 433 lb

219



Principio de Arquímedes *15-19. Un cubo de 100 g que mide 2 cm por lado se ata al extremo de una cuerda y se sumerge totalmente en agua. ¿Cuál es el empuje y cuál es la tensión sobre la cuerda? V = (0.02 m)3 = 8 × 10–6 m3;

m = 0.100 kg;

T

T

FB = ρgV

FB 3

2

–6

3

FB = (1000 kg/m )(9.8 m/s )(8 × 10 m );

mg

FB = 0.0784 N ΣFy = 0;

T + FB – mg = 0;

T = mg – FB ;

T = (0.100 kg)(9.8 m/s2) – 0.0784 N;

T = 0.980 N – 0.0784 N;

T = 0.902 N *15-20. Un objeto sólido pesa 8 N en el aire. Cuando este objeto se cuelga de una balanza de resorte y se sumerge en agua, su peso es de sólo 6.5 N. ¿Cuál es la densidad del objeto?

m=

W 8N = ; g 9.8 m/s 2

m = 0.816 kg ; ! =

m V

Para encontrar la densidad, necesita conocer el volumen V del bloque, que es el mismo del volumen de agua desplazada. FB = 8 N – 6.5 N;

V=

FB = 1.5 N;

T

T=6.5 N

FB 8N

FB = ρgV;

FB 1.50 N = ! g (1000 kg/m3 )(9.8 m/s 2 )

V = 1.53 # 10"4 m3 ;

!=

m 0.816 kg = ; V 1.53 # 10-4 m3

ρ = 5333 kg/m3

220



*15-21. Un cubo de madera cuyas aristas miden 5.0 cm cada una, flota en agua con tres cuartas partes de su volumen sumergidas. (a) ¿Cuál es el peso del cubo? (b) ¿Cuál es la masa del cubo? (c) ¿Cuál es el peso específico de la madera? [V = (0.05 m)3 = 1.25 × 10–4 m3] El volumen del agua desplazada es ¾ del volumen del bloque: VD = ¾(1.25 × 10–4 m3) = 9.38 × 10–5 m3

FB = W

FB = ρgVD = (1000 kg/m3)(9.8 m/s2)(9.38 × 10–5 m3) = 0.919 N El peso es igual a la fuerza de flotación con la que el cuerpo flota: W = 0.919 N

m=

W 0.919 N = ; g 9.8 m/s 2 m = 0.0938 kg o m = 93.8 g

3 (125 cm 3 ) ! mV Peso específico: ; = = 4 ! w mVw 125 cm3

Peso específico = 0.75 *15-22. Un trozo de metal de 20 g tiene una densidad de 4000 kg/m3. Está atado a un hilo delgado y se sumerge en aceite (1500 kg/m3) por completo. ¿Cuál es la tensión en el hilo? Primero encuentre el volumen del metal a partir de su masa y densidad:

!=

m ; V

V=

m 0.02 kg = = 5 " 10-6 m3 ; ! 4000 kg/m3

FB = ρgV

T

T

FB mg

3

2

–6

3

FB = (1500 kg/m )(9.8 m/s )(5 × 10 m ); FB = 0.0735 N ΣFy = 0;

T + FB – mg = 0;

T = mg – FB ;

mg = (0.02 kg)(9.8 m/s2) T = 0.196 N – 0.0735 N; T = 0.123 N

221



*15-23. Se ha observado que la masa de un fragmento de cierta roca es de 9.17 g en el aire. Cuando el trozo se sumerge en un fluido de 873 kg/m3 de densidad, su masa aparente es de sólo 7.26 g. ¿Cuál es la densidad de esa roca? Peso aparente = peso real – fuerza boyante; mAg = mg – mfg mA = m – mf ;

mf = m - mA = 9.17 g – 7.26 g = 1.91 g

El volumen Vf desplazado se encuentra a partir de la masa desplazada: mf = 1.91 g Vf =

mf

!f

! roca =

=

0.00191 kg = 2.19 " 10-6 m3 ; Vf = Vroca = 2.19 × 10–6 m3 3 873 kg/m

mroca 9.16 " 10-3 kg ; = Vroca 2.19 " 10-6 m3

ρroca = 4191 kg/m3 *15-24. Un globo de 40 cm de diámetro está lleno de helio. La masa del globo y la canastilla que lleva adjunta es de 18 kg. ¿Qué masa adicional puede levantar este globo? Primero halle el volumen del globo: Vb = (4/3)πR3 = (4/3) π (20 m)3 Vb = 3.351 × 104 m3;

FB = Wglobo + Whelio + Wadicional

Fb = ρairegVb = (1.29 kg/m3)(9.8 m/s2)(3.351 × 104 m3) = 4.24 × 105 N 3

2

4

3

4

WHe = ρgV = (0.178 kg/m )(9.8 m/s )(3.351 × 10 m ) = 5.845 × 10 N Wb = mbg

FB WHe Wb WL

Wadicional = FB – Wb – WHelio = 4.24 × 105 N – (18 kg)(9.8 m/s2) – 5.845 × 104 N Wadicional = 3.65 × 105 N; madicional =

Wadicional 3.65 ! 105 N = ; g 9.8 m/s 2

madicional = 37 200 kg Las densidades del aire y del helio se tomaron de la tabla 15.1 del texto.

222



Flujo de fluidos 15-25. A través de una manguera de 1 in de diámetro fluye gasolina a una velocidad promedio de 5 ft/s. ¿Cuál es el gasto en galones por minuto (1 ft3 = 7.48 gal)? ¿Cuánto tiempo tardaría en llenar un tanque de 20 gal? [A = πR2 = π(0.5 in)2 = 7.854 in2(1 ft/144 in2) = 5.454 × 103

ft2]

R = vA = (5 ft/s)(5.454 × 10-3 ft2) = 0.0273 ft3/s; R = (0.0273 ft3/s)(7.48 gal/ft3)(60 s/min); R = 12.2 gal/min

Tiempo =

20 gal ; 12.2 gal/min Tiempo = 1.63 min

15-26. A partir de un depósito terminal de 3 cm de diámetro, fluye agua con una velocidad promedio de 2 m/s. ¿Cuál es el gasto en litros por minuto (1 L = 0.001 m3)? ¿Cuánto tardará en llenarse un recipiente de 40 L? [A = π(0.015 m)2 = 7.07 × 10–4 m2 ; V = 40 L = 0.04 m3] R = vA = (2 m/s)(7.07 × 10–4 m2) = 1.41 × 10-3 m3/s

Tiempo =

0.04 m3 ; 1.41 " 10!3 m3 /s Tiempo = 28.3 s

15-27. ¿Cuál tendrá que ser el diámetro de una manguera para que pueda conducir 8 L de petróleo en 1 min con una velocidad de salida de 3 m/s? R=

8 L ! 0.001 m3 " ! 1 min " -4 3 $ %$ % = 1.33 # 10 m /s ; R = vA 1 min & 1 L ' & 60 s '

A=

! D2 R = ; 4 v

D2 =

D = 5.66 " 10!4 m 2 ;

4 R 4(1.33 # 10"4 m3 /s) = = 5.66 # 10-4 m 2 !v ! (3 m/s) D = 7.52 × 10–3 m; D = 7.52 mm

223



15-28. El agua que fluye de un tubo de 2 in sale horizontalmente a razón de 8 gal/min. ¿Cuál es la velocidad de salida? ¿Cuál es el alcance horizontal del chorro de agua si el tubo está a 4 ft del suelo? R=

8 gal " 1 ft 3 # " 1 min # 3 $ %$ % = 0.01782 ft /s; 1 min & 7.48 gal ' & 60 s '

v=

A=

! ( 212 ft) 2 = 0.0218 ft 2 4

R 0.01782 ft 3 /s = ; A 0.0218 ft 2 v = 0.817 ft/s

Para hallar x, primero encuentre el tiempo de choque con el suelo a partir de y = ½gt2 t=

2y 2(4 ft) = = 0.500 s g 32 ft/s 2

Ahora el nivel es x = vxt Nivel: x = vt = (0.817 ft/s)(0.5 s) x = 0.409 ft o x = 4.90 in 15-29. El agua que fluye a 6 m/s por un tubo de 6 cm pasa a otro de 3 cm conectado al primero. ¿Cuál es su velocidad en el tubo pequeño? ¿Es mayor el gasto en el tubo pequeño? 2

A v d 2 v ! 6 cm " A1v1 = A2v2; v2 = 1 1 = 1 2 1 = # $ (6 m/s) ; A2 d2 % 3 cm &

v2 = 24.0 m/s La velocidad de flujo es la misma en cada tubo.

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli 15-30. Considere la situación descrita en el problema 15-29. Si los centros de ambos tubos están sobre la misma recta horizontal, ¿cuál es la diferencia de presión entre ambos? Para un tubo horizontal, h1 = h2: P1 + ρgh1 +½ρv12 = P2 + ρgh2 + ½ρv22 P1 – P2 = ½ρv22 – ½ρv12 = ½ρ(v22 – v12); ρ = 1000 kg/m3 P1 – P2 = ½(1000 kg/m3)[(24 m/s)2 – (6 m/s)2] = 2.70 ×105 Pa; ΔP = 270 kPa

224



15-31. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua por una grieta del recipiente a 6 m por debajo de la superficie del agua? Si el área de la grieta es 1.3 cm2, ¿con qué gasto sale el agua del recipiente? [Las presiones son iguales en la parte superior y en la fisura: P1 = P2] P1 + ρgh1 +½ρv12 = P2 + ρgh2 + ½ρv22;

ρgh1 +½ρv12 = ρgh2 + ½ρv22 Observe que ρ se cancela y recuerde que v1 se puede considerar como cero. Ajustando v1 = 0, tiene: ρgh1 = ρgh2 + ½ρv22

o

v22 = 2g(h1 – h2)

v22 = 2(9.8 m/s2)(6 m); v2 = 10.8 m/s A = (1.2 cm2)(1 × 10–4 m2/cm2) = 1.20 ×10–4 m2; R = vA; R = (10.84 m/s)(1.20 × 10–4 m2); R = 1.41 × 10–3 m3/s o R = 1.41 L/s 15-32. En el costado de un depósito de agua hay un orificio de 2 cm de diámetro, ubicado 5 m por debajo del nivel del agua que contiene el depósito. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua del orificio? ¿Qué volumen de agua escapará por ese orificio en 1 min? [Aplique el teorema de Torricelli.]

v = 2 gh = 2(9.8 m/s 2 )(6 m) ; v = 9.90 m/s

! D 2 ! (0.02 m) 2 A= = = 3.18 " 10-5 m 2 ; 4 4

R = vA

R = (9.90 m/s)(3.18 ×10–5 m2); R = 3.11 × 10–4 m3/s

R=

3.11 ! 10-4 m3 " 60 s # " 1 L # ; $ %$ 3 % 1s & 1 min ' & 0.001 m ' R = 187 L/min

225



*15-33. Por un tubo horizontal fluye agua a razón de 82 ft3/min. Un manómetro de presión, colocado en una sección transversal de 6 in de este tubo, da una lectura 16 lb/in2. ¿Cuál es la presión manométrica en una sección del tubo donde el diámetro es de 3 in? A1 = π(3 in)2 = 28.3 in2 = 0.1964 ft2

1

A1 = π(1.5 in)2 = 7.07 in2 = 0.0491 ft2 3

2

6 in.

3

R1 = R2 = 82 ft /min(1 min/60 s) = 1.37 ft /s;

3 in.

v1A1 = v2A2; v1 =

R 1.37 ft 3 /s = = 6.959 ft/s ; A1 0.1964 ft 2

v2 =

R 1.37 ft 3 /s = = 27.84 ft/s A2 0.0491 ft 2

Encuentre la presión absoluta: P1 = 16 lb/in2 + 14.7 lb/in2 = 30.7 lb/in2; lb " ! 144 in 2 " ! 2 P1 = # 30.7 2 $ # $ = 4421 lb/ft (Presión absoluta en el tubo 1) 2 in 1 ft % &% &

D = ρg;

!=

D 62.4 lb/ft 3 = = 1.95 slugs/ft 3 g 32 ft/s 2

Utilice unidades consistentes para todos los términos: in, slugs. P1 = 4421 lb/ft2; v1 = 6.959 ft/s; v2 = 27.84 ft/s; ρ = 1.95 slugs/ft3; Como h1 = h2,

P1 +½ρv12 = P2 + ½ρv22 y P2 = P1 + ½ρv12 – ½ρv22

P2 = 4421 lb/ft 2 + ? (1.95 slugs/ft 3 )(6.959 ft/s) 2 ! ? (1.95 slugs/ft 3 )(27.84 ft/s) 2

P2 = 4421 lb/ft2 + 47.22 lb/ft2 – 755.7 lb/ft2; P2 = 3713

P2 = 3713 lb/ft2

lb ! 1 ft 2 " = 25.8 lb/in.2 (Presión absoluta en el tubo 2) 2 # 2 $ ft % 144 in. &

Presión manométrica P2 = 25.8 lb/in2 – 14.7 lb/in2; P2 = 11.1 lb/in2

226



*15-34. El agua fluye a razón de 6 gal/min por una abertura que se halla en el fondo de un depósito cilíndrico. El agua del depósito tiene 16 ft de profundidad. ¿Cuál sería el régimen de salida con una presión adicional de 9 lb/in2 a la fuente de suministro del agua? La velocidad de escape es proporcional a la diferencia en presión entre entrada y salida.

ΔP = ρgh = Dh = (62.4 lb/ft3)(16 ft); ΔP = 998.4 lb/ft2 = 6.933 lb/in2 Así, Δ P de 6.933 lb/in2 produce una velocidad de 6.0 gal/min. Ahora, el nuevo ΔP es: ΔP’ = 6.933 lb/in2 + 9 lb/in2. Por razón y proporción, tenemos R 6 gal/min = ; 2 15.93 lb/in 6.933 lb/in 2

R = 13.8 gal/min *15-35. El agua circula a través de un tubo a 4 m/s bajo una presión absoluta de 200 kPa. El tubo se estrecha después hasta la mitad de su diámetro original. ¿Cuál es la presión absoluta en su parte angosta? [v1d12 = v2d22]

1

2

v1 = 4 m/s;

! 2d " v2 = # 2 $ (4 m/s) = 16 m/s % d2 &

2

d1

d2

P1 +½ρv12 = P2 + ½ρv22 y P2 = P1 + ½ρv12 – ½ρv22 P2 = P1 + ½ρv12 – ½ρv22;

ρ = 1000 kg/m3; v1 = 4 m/s; v2 = 16 m/s

P2 = 200, 000 Pa + ? (1000 kg/m3 )(4 m/s) 2 ! ? (1000 kg/m3 )(16 m/s) 2

P2 = 200 000 Pa + 8000 Pa – 128 000 Pa = 80 000 Pa; P2 = 80.0 kPa

227



*15-36. El agua fluye continuamente por un tubo horizontal. En un punto donde la presión absoluta es de 300 kPa, la velocidad es de 2 m/s. Más adelante, el tubo se estrecha bruscamente, haciendo que la presión absoluta descienda a 100 kPa. ¿Cuál será la 1 velocidad del agua en esta zona angosta? 2 2 2 d1 d P1 +½ρv1 = P2 + ½ρv2 1 d2

½ρv22 = P1 +½ρv12 – P2

½(1000 kg/m3)v22 = 300 000 Pa + ½(1000 kg/m3)(2 m/s)2 – 100 000 Pa (500 kg/m3)v22 = 202 000 Pa; v2 = 20.1 m/s

Problemas adicionales *15-37. A un paciente humano se le administra sangre con una densidad de 1050 kg/m3, desde un recipiente a una distancia de 60 cm por encima de su brazo. ¿Cuánto más alta es la presión en esta posición que si el recipiente se mantuviera al mismo nivel del brazo? P = ρgh = (1050 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.6 m); P = 6.17 kPa *15-38. Un depósito cilíndrico de 50 ft de altura y 20 ft de diámetro está lleno de agua. (a) ¿Cuál es la presión del agua en el fondo del depósito? (b) ¿Cuál es la fuerza total en el fondo? (c) ¿Cuál es la presión en un tubo para agua colocado 90 ft por debajo del nivel del agua del depósito? (a) P = (62.4 lb/ft3)(50 ft) = 3120 lb/ft2; P = 21.7 lb/in2 (Presión manométrica) (b) F = PA = (3120 lb/ft2)[π(10 ft)2]; F = 9.80 × 105 lb (c) P = (63.4 lb/ft3)(90 ft) = 5616 lb/ft2; P = 39.0 lb/in2

228


(Presión manométrica)


*15-39. Un bloque de madera pesa 16 lb en el aire. Un lastre de plomo, que tiene un peso aparente de 28 lb en el agua, se ata a la madera y ambos se sumergen en agua. Si su peso aparente combinado en el agua es de 18 lb, halle la densidad del bloque de madera. FB = 28 lb + 16 lb – 18 lb = 26 lb; V=

FB = DV

FB 26 lb 16 lb = = 0.417 ft 3 ; Dmadera = ; 3 D 62.4 lb/ft 0.417 ft 3

D = 38.4 lb/ft3 *15-40. Un bloque de madera de 100 g tiene un volumen de 120 cm3. ¿Podrá flotar en el agua? ¿y en gasolina? Para el agua: FB = ρgh = (1000 kg/m3)(9.8 m/s2)(120 × 10-6 m3) = 1.176 N W = mg = (0.1 kg)(9.8 m/s2) = 0.980 N

FB > W sí

Para la gasolina: FB = ρgh = (680 kg/m3)(9.8 m/s2)(120 × 10-6 m3) = 0.800 N W = mg = (0.1 kg)(9.8 m/s2) = 0.980 N

FB < W no

*15-41. Un tubo de ensayo vertical contiene 3 cm de aceite (0.8 g/cm3) flotando sobre 9 cm de agua. ¿Cuál es la presión en el fondo del tubo? [PT = ροgho + ρωghw] PT = (800 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.03 m) + (1000 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.09 m) PT = 235.2 Pa + 882 Pa = 1117 Pa; PT = 1.12 kPa *15-42. ¿Qué porcentaje de un iceberg suele permanecer por debajo de la superficie del agua del mar (ρ = 1030 kg/m3)?

FB

Si un iceberg flota, entonces: FB = mig and FB = ρωgVw mig = ρiVi g; además, ρiVi g = ρωgVw Así que:

Vw !i 920 kg/m3 = = = 0.893 o 89.3% Vi ! w 1030 kg/m3

FB

Así, el 89.3% del iceberg permanece bajo el agua, de aquí la expresión: “eso es sólo la punta del iceberg”.

229



*15-43. ¿Cuál es el área más pequeña de una capa de hielo de 30 cm de espesor que es capaz de sostener a un hombre de 90 kg? El hielo está flotando en agua dulce. (ρ = 1000 kg/m3) [V = Ah, así que A = V/h] La pregunta se puede plantear así: ¿Cuál es el volumen de hielo que podrá soportar a una persona de 90 kg? FB = Whielo + Whombre; FB = ρwgVw; Whielo = ρhielogVhielo; Whombre = mg

ρwgVw = ρhielogVhielo + mg (la gravedad se elimina por división) El área menor ocurre cuando el hielo está a nivel con la superficie y Vhielo = Vagua ρwVw = ρhieloVw + m o (1000 kg/m3)Vw – (920 kg/m3)Vw = 90 kg Vw = 1.125 m3. Ahora, como V = Ah, tiene

A=

Vw 1.125 m3 = ; h 0.300 m A = 3.75 m2

*15-44. Una balanza de resorte marca un peso de 40 N cuando un objeto se cuelga de ella en el aire. Cuando el mismo objeto se sumerge en agua, el peso registrado se reduce a sólo 30 N. ¿Cuál es la densidad del objeto? [FB = 40 N – 30 N = 10 N] FB = ρwgVw ;

Vw =

FB 10 N = ; ! w g (1000 kg/m3 )(9.8 m/s 2 )

Vw = 1.02 " 10-3 m3

El volumen del objeto es el mismo que el del agua desplazada: V = 1.02 × 10–3m3

m=

W 40 N = = 4.08 kg; g 9.8 m/s 2

!=

m 4.08 kg = V 1.02 # 10"3 m3

ρ = 4000 kg/m3 *15-45. Una tasa de metal con paredes delgadas tiene una masa de 100 g y un volumen total de 250 cm3. ¿Cuál es el número máximo de monedas de un centavo que se puede colocar dentro de la tasa sin que ésta se hunda en agua? La masa de cada moneda es de 3.11 g. FB = ρgV = mcg + mpg ;

mp = ρV – mc;

mp = (1 g/cm3)(250 cm3) - 100 g mp = 150 g. Como cada centavo es 3.11 g, núm. de centavos = 48

230



15-46. ¿Cuál es la presión absoluta en el fondo de un lago de 30 m de profundidad? Pabs = 1 atm + ρgh = 101 300 Pa + (1000 kg/m3)(9.8 m/s2)(30 m); P = 395 kPa 15-47. Un fluido se extrae a presión de un tubo de 6 mm de diámetro, de manera que 200 mL brotan de él en 32 s. ¿Cuál es la velocidad promedio del fluido dentro del tubo? [R = vA; 200 mL = 2 × 10–4 m3]

A=

! d 2 ! (0.006 m) 2 = = 2.83 " 10-5 m 2 ; 4 4

R=

2 x 10-4 m3 = 6.25 ! 10-6 m3 /s 32 s

v=

R 6.25 " 10!6 m3 /s = ; A 2.83 " 10!5 m 2 v = 0.221 m/s

*15-48. Una bomba cuya potencia de salida es de 2 kW extrae agua de un sótano hasta la calle situada 6 m más arriba. ¿A razón de cuántos litros por segundo se vaciará el sótano?

Potencia =

Fs mgh = ; t t

m Potencia 2000 W = = = 34.0 kg/s t gh (9.8 m/s 2 )(6 m)

Ahora, ρw = (1000 kg/m3)(0.001 m3/L) = 1 kg/L; Por tanto, 1 kg de agua es un litro: Velocidad = 34.0 L/s

231



15-49. Un tubo horizontal de 120 mm de diámetro tiene una reducción de 40 mm de diámetro. La velocidad del agua en el tubo es de 60 cm/s y la presión es de 150 kPa. (a) ¿Cuál es la velocidad en la zona más angosta? (b) ¿Cuál es la presión en dicha zona? 2

2 1 1

2 2

v d = v2 d ;

2

!d " ! 120 mm " v2 = v1 # 1 $ = (60 cm/s) # $ ; % 40 mm & % d2 & v2 = 540 cm/s

P1 +½ρv12 = P2 + ½ρv22 y P2 = P1 + ½ρv12 - ½ρv22 P2 = 150, 000 Pa + ? (1000 kg/m3 )(0.06 m/s) 2 ! ? (1000 kg/m3 )(5.4 m/s) 2

P2 = 150 000 Pa + 180 Pa – 14 580 Pa = 136 000 Pa; P2 = 136 kPa *15-50. La columna de agua dentro del recipiente que se ilustra en la figura 15-20 se sostiene a una altura H por encima de la base del recipiente. Demuestre que la profundidad h necesaria para lograr un alcance horizontal de x está dado por

h=

H H 2 ! x2 ± 2 2

¿En qué forma muestra esta ecuación que los orificios equidistantes arriba y abajo del punto medio tendrán el mismo alcance horizontal? [y = H – h] La velocidad emergente νx es: vx = 2 gh t=

x x = ; vx 2 gh

y =? g

t2 =

x2 ; 2 gh

y=

y x = vxt

y

y = ½gt2

x2 ; Ahora sustituya t2 en y = ½gt2: 2 gh

x2 ; 4h

y = H !h =

x2 4h

h H y

x

Multiplique ambos miembros por “h” y reordene: h2 – Hh + x2/4 = 0 Ahora, h =

x2 !b ± b 2 ! 4ac donde a = 1, b = H y c = 4 2a

H ± H 2 ! 4 x 2 /4 h= ; 2(1)

H H 2 ! x2 h= ± 2 2

El punto medio es (H/2), y el término ± indica la distancia arriba y debajo de ese punto.

232



*15-51. Una columna de agua se eleva 16 ft por encima de la base de su recipiente. ¿Cuáles son las dos profundidades a las cuales el agua saldrá por un orificio con un alcance horizontal de 8 ft? Del problema 15-50: h = h=

H H 2 ! x2 ± 2 2

(16 ft) 2 ! (8 ft) 2 16 ft ± = 8 ft ± 6.93 ft ; 2 2

h = 1.07 ft y 14.9 ft *15-52. Tome como referencia la figura 15-20 y el problema 15-50. Demuestre que el alcance horizontal está dado por x = 2 h( H ! h) . Use esta relación para mostrar que el alcance máximo es igual a la altura H de la columna de agua. Del problema 15-50:

H – h = x2/4h

o

x2 = 4hH – 4h2

x2 = 4h(H – h), de lo cual: x = 2 h( H ! h) El nivel máximo xmáx ocurre cuando h = (H/2): xmáx = 2

H 2

H" H2 ! y xmáx = H H # = 2 $ % 2' 4 &

*15-53. El agua fluye por un tubo horizontal a razón de 60 gal/min (1 ft3 = 7.48 gal). ¿Cuál es la velocidad en una sección estrecha del tubo, el diámetro de éste se reduce de 6 a 1 in? gal ! 1 ft 3 " ! 1 min " 3 R = 60 # $# $ = 0.1337 ft /s ; d1 = 6 in = 0.5 ft min % 7.48 gal & % 60 s &

R 0.1337 ft 3 /s ; v1 = 0.6809 ft/s v1 = = A1 ! (0.25 ft) 2 2

2 1 1

2 2

v d = v2 d ;

2

!d " ! 6 in " v2 = v1 # 1 $ = (0.6809 ft/s) # $ ; % 1 in & % d2 & v2 = 24.5 ft/s

233



15-54. ¿Cuál tendrá que ser la presión manométrica en una manguera contra incendios si la boquilla expulsa el agua hasta una altura de 20 m? ΔP = ρgh = (1000 kg/m3)(9.8 m/s2)(30 m); ΔP = 196 kPa *15-55. El agua fluye a través del tubo que se muestra en la figura 15-22 a razón de 30 L/s. La presión absoluta en el punto A es de 200 kPa y el punto B está 8 m más arriba que el punto A. La sección inferior del tubo tiene un diámetro de 16 cm y la sección superior se estrecha hasta un diámetro de 10 cm. (a) Halle las velocidades de la corriente en los puntos A y B. (b) ¿Cuál es la presión absoluta en el punto B? [R = 30 L/s = 0.030 m3/s] AA = π(0.08 m)2 = 0.0201 m3 B

AB = π(0.05 m)2 = 0.00785 m3 8m

R 0.030 m3 /s vA = = = 1.49 m/s ; AA 0.0201 m 2

A

R 0.030 m3 /s v2 = = = 3.82 m/s A2 0.00785 m 2

La velocidad de flujo es la misma en cada extremo, pero v1 = 1.49 m/s y v2 = 3.82 m/s Para hallar la presión en B, considere la altura hA = 0 con fines de comparación: PA + ρghA +½ρvA2 = PB + ρghB + ½ρvB2 ;

PB = PA + ½ρvA2 - ρghB - ½ρvB2

PB = 200 000 Pa + ½(1000 kg/m3)(1.49 m/s)2 – (1000 kg/m3)(9.8 m/s2)(8 m) - ½(1000 kg/m3)(3.82 m/s)2

PB = 200 000 Pa + 1113 Pa –78 400 Pa – 7296 Pa; PB = 115 kPa

234



Preguntas para la reflexión crítica 15-56. Una sala tiene las siguientes dimensiones: el piso 4.50 m × 3.20 m y altura de 2.40 m. La densidad del aire es de 1.29 kg/m3. ¿Cuánto pesa el aire contenido en el salón? ¿Qué fuerza ejerce la atmósfera sobre el piso del salón? V = (4.50 m)(3.20 m)(2.40 m); V = 34.56 m3; Apiso = (4.5 m)(3.2 m) = 14.4 m2; ! =

m ; W = mg V

m = !V = (1.29 kg/m3 )(34.56 m3 ) = 44.6 kg ; W = (44.6 kg)(9.8 m/s2);

W = 437 N F = PA = (101 300 Pa)(14.4 m2); F = 1 460 000 N 15-57. Una lata de estaño para café flota en agua (1.00 g/cm3) y tiene un volumen interno de 180 cm3 y una masa de 112 g. ¿Cuántos gramos de metal se pueden agregar a la lata sin que se hunda en el agua? [La fuerza de flotación equilibra el peso total.] FB = ρgV = mcg + mmg ;

mm = ρV – mc;

El volumen de la lata y el volumen del agua desplazada son el mismo. mm = (1 g/cm3)(180 cm3) – 112 g; mm = 68.0 g *15-58. Un bloque de madera flota en agua con dos tercios de su volumen sumergidos. El mismo bloque flota en aceite con 9 décimos de su volumen sumergidos. ¿Cuál es la razón de la densidad del aceite a la densidad del agua (la gravedad específica)? La fuerza de flotación es la misma para el aceite y el agua: FB (aceite) = FB (agua)

ρaceitegVaceite = ρwgVw ;

! oil Vw = = ! w Voil

2 9

3

;

10

Peso específico = 0.741

235



*15-59. El ala de un avión mide 25 ft de largo y 5 ft de ancho y experimenta una fuerza de sustentación de 800 lb. ¿Cuál es la diferencia entre las presiones en la superficie superior e inferior del ala?

P1 ! P2 =

800 lb = 6.40 lb/ft 2 ; (25 ft)(5 ft)

ΔP = 0.0444 lb/in2 *15-60. Suponga que el aire (ρ = 1.29 kg/m3) fluye hacia atrás por la superficie superior del ala de un avión a 36 m/s. El aire en movimiento que pasa por la superficie inferior del ala tiene una velocidad de 27 m/s. Si el ala tiene un peso de 2700 N y un área de 3.5 m2, ¿cuál es la fuerza de empuje sobre el ala? Suponga que h1 = h2 para un ala pequeña: P1 +½ρv12 = P2 + ½ρv22 P1 – P2 = ½(1.29 kg/m3)(36 m/s)2 – ½(1.29 kg/m3)(27 m/s)2; ΔP = 365.7 Pa !P =

F = 365.7 Pa; F = (365.7 Pa)(3.50 m2); A

F = 1280 N *15-61. El agua de mar tiene un peso específico de 64 lb/ft3. Dicha agua se bombea a través de un sistema de tubos (véase la figura 15-23) a razón de 4 ft3/min. Los diámetros de los tubos en los extremos superior e inferior son de 4 in y 2 in. El agua se descarga en la atmósfera en el extremo superior a una distancia de 6 in por arriba de la sección inferior. ¿Cuáles son las velocidades de flujo en los tubos superior e inferior? ¿Cuáles son las presiones en las secciones superior e inferior?

R=4

ft 3 ! 1 min " 3 # $ = 0.0667 ft /s dA = 4 in; dB = 2 in min % 60 s & 2

AA =

B 6 ft

2

! ( 412 ft) ! ( 212 ft) = 0.0873 ft 2 ; AB = = 0.0218 ft 2 4 4

A

R 0.0667 ft 3 /s vA = = = 0.764 ft/s ; AA 0.0873 ft 2 v2 =

236

R 0.0667 ft 3 /s = = 3.06 ft/s A2 0.0218 ft 2



La velocidad de flujo es la misma en cada extremo, pero vA = 0.764 ft/s y vB = 3.06 ft/s La presión en el punto B es 1 atm = 2116 lb/in2. Considere hA = 0 con fines de referencia. D = ρg;

!=

D 64 lb/ft 3 = ; g 32 ft/s 2

! = 2.00 slugs/ft 3

PA + ρghA +½ρvA2 = PB + ρghB + ½ρvB2 ;

PA = PB + ½ρvB2 + ρghB – ½ρvA2

PA = 2116 lb/ft2 + ½(2 slugs/ft3)(3.06 ft/s)2 + (2 slugs/ft3)(32 ft/s2)(6 ft) – ½(2 slugs/ft3)(0.764 ft/s)2

PA = 2116 lb/ft2 + 9.36 lb/ft2 + 384 lb/ft2 – 0.584 lb/ft2; PA = 2209

lb ! 1 ft 2 " # $; ft 2 % 144 in 2 &

PA = 17.4 lb/in2

237

PA = 2509 lb/ft2


(absoluta)


Tippens Fisica 7e Soluciones 15

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