Tippens Fisica 7e Soluciones 03

Capítulo 3. Mediciones técnicas y vectores Conversión de unidades 3-1. ¿Cuál es la estatura en centímetros de una mujer que mide 5 pies y 6 pulgadas? Resp. 168 cm.

! 2.54 cm " 5 pies, 6 pulg = 66 in; (66 in) # $ = 168 cm % 1 in & 3-2. Un piso tiene baldosas de 8 pulgadas en cada lado. Si las baldosas fueron colocadas lado a lado, ¿cuál es la distancia en metros que cubre una fila de 20 baldosas?

! 8 in " ! 2.54 cm " ! 1 m " 20 baldosas # $# $# $ = 4.06 m % tile & % 1 in & % 100 cm & 3-3. Una cancha de futbol tiene 100 m de largo y 60 m de ancho. ¿Cuáles son la longitud y la anchura de la cancha en pies?

! 100 cm " ! 1 in " ! 1 ft " (100 m) # $# $# $ = 328 ft % 1 m & % 2.54 cm & % 12 in &

L = 328 ft

! 100 cm " ! 1 in " ! 1 ft " (60 m) # $# $# $ = 197 ft % 1 m & % 2.54 cm & % 12 in &

A = 197 ft

3-4. El mango de una llave inglesa mide 8 in. ¿Cuál es la longitud de dicho mango en centímetros?

! 2.54 cm " (8 in) # $ = 20.3 cm % 1 in &

L = 20.3 cm

3-5. Un monitor de 19 in para computadora tiene una sección efectiva de imagen que mide 18 in en diagonal. Exprese esta distancia en metros.

! 2.54 cm " ! 1 m " (18 in) # $# $ = 0.457 m % 1 in. & % 100 cm &

L = 0.457 m

3-6. La longitud de una libreta es 234.5 mm y su anchura es 158.4 mm. Exprese al área superficial de la libreta en metros cuadrados.

! 1 m "! 1 m " Área = (234.5 mm)(158.4 mm) # $# $ = 0.037 % 1000 mm & % 1000 mm & 9

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 3

A = 0.0371 m2

Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

3-7. Un cubo tiene 5 in por lado. ¿Cuál es el volumen del cubo en unidades del SI y en unidades del SUEU? 3

3

! 2.54 cm " ! 1 m " 3 V = (5 in)3 = 125 in 3 # $ # $ = 0.00205 m % 1 in & % 100 cm &

(

)

V = 0.00205 m3

3

! 1 ft " 3 V = (125 in 3 ) # $ = 0.0723 ft % 12 in &

V = 0.0723 ft3

3-8. En una carretera interestatal se ha impuesto un límite de rapidez de 75 mi/h. (a) ¿A cuánto equivale esta rapidez en kilómetros por hora? (b) ¿Y en pies por segundo? (a) 75

mi ! 1.609 km " # $ = 121 km/h h % 1 mi &

(b) 75

mi ! 1 h " ! 5280 ft " # $# $ = 110 ft/s h % 3600 s & % 1 mi &

3-9. Un motor Nissan tiene 1 600 cm3 de cilindrada (volumen) y un diámetro interior de 84 mm. Exprese estas medidas en pulgadas cúbicas y en pulgadas. 3

! 1 in " (b) 84 mm # $ = 3.31 in % 25.4 mm &

! 1 in " 3 (a) 1600 cm # $ = 97.6 in % 2.54 cm &

(

3

Resp. 97.6 in.3, 3.31 in

)

3-10. Un electricista tiene que instalar un cable subterráneo desde la carretera hasta una vivienda que se localiza a una distancia de 1.20 mi en el bosque. ¿Cuántos pies de cable va a necesitar?

! 5280 ft " 1.2 mi # $ = 6340 ft % 1 mi &

L = 6340 ft

3-11 Un galón estadounidense tiene un volumen equivalente a 231 in3. ¿Cuántos galones se necesitan para rellenar un depósito que mide 18 in de largo, 16 in de ancho y 12 in de alto? Resp. 15.0 gal V = (18 in)(16 in)(12 in) = 3 456 in3

! 1 gal " V = (3456 in 3 ) # = 15.0 gal 3 $ % 231 in &

V = 15.0 gal

3-12. La densidad del bronce es de 8.89 g/cm3. ¿Cuál es su densidad en kilogramos por metro cúbico? 3

g " ! 1 kg " ! 100 cm " kg ! $# # 8.89 3 $ # $ = 8890 3 cm & % 1000 g & % 1 m & m %

10


ρ = 8890 kg/m3


Adición de vectores por métodos gráficos 3-13. Una mujer camina 4 km hacia el este y después camina 8 km hacia el norte. (a) Aplique el método del polígono para hallar su desplazamiento resultante. (b) Compruebe el resultado con el método del paralelogramo.

Sea 1 cm = 1 km; Entonces:

R θ

R = 8.94 km, θ = 63.40

8 km

4 km

3-14. En la superficie de Marte un vehículo se desplaza una distancia de 38 m a un ángulo de 180º. Después vira y recorre una distancia de 66 m a un ángulo de 270º. ¿Cuál fue su desplazamiento desde el punto de partida?

38 m, 1800 φ

Escoja una escala, por ejemplo, 1 cm = 10 m Dibuje cada vector a escala, como se muestra en la figura.

67 m

R Mida R = 7.62 cm o R = 76.2 m Mida el ángulo φ = 60.10 SO θ = 1800 + 60.10 = 240.10

R = 76.2 m, 240.10

3-15. Un agrimensor inicia su tarea en la esquina sudeste de una parcela y registra los siguientes desplazamientos: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S; y D = 100 m, E. ¿Cuál es el

B

desplazamiento neto desde el punto de partida? Elija una escala, 1 cm = 100 m

C

A

Dibuje cada vector de cola a cabeza hasta que haya dibujado todos.

D

Trace la resultante desde el origen al final. 0

R

0

R = 500 m, φ = 53.1 NE o θ = 126.9 .

φ

3-16. Una fuerza descendente de 200 N actúa en forma simultánea con una fuerza de 500 N dirigida hacia la izquierda. Aplique el método del polígono para encontrar la fuerza resultante. 0

Escoja una escala, mida: R = 539 N, φ = 21.8 SE.

11


200 N

500 N φ R


3-17. Las tres fuerzas siguientes actúan simultáneamente sobre el mismo objeto: A = 300 N, 30º NE; B = 600 N, 270º; y C = 100 NE. Halle la fuerza resultante mediante el método del polígono.

A

Escoja una escala, dibuje y mida: R = 576 N, φ = 51.4º SE

R

B

C 3.18. Una embarcación navega una distancia de 200 m hacia el oeste, después avanza hacia el norte 400 m y finalmente 100 m a 30º SE. ¿Cuál es su desplazamiento neto? C

(Ajuste: 1 c m = 100 N) Dibuje y mida: R = 368 N, θ = 108.00

B

R

θ

A 3-19. Dos cuerdas A y B están atadas a un gancho de amarre, de manera que se ha formado un ángulo de 60º entre las dos cuerdas. La tensión sobre la cuerda A es de 80 lb y la tensión sobre la cuerda B es de 120 lb. Utilice el método del paralelogramo para hallar la fuerza resultante sobre el gancho. R Dibuje y mida:

R = 174 lb

B A

3-20. Dos fuerzas A y B actúan sobre el mismo objeto y producen una fuerza resultante de 50 lb a 36.9º NO. La fuerza A = 40 lb se dirige hacia el oeste. Halle la magnitud y la dirección de la fuerza B. Dibuje R = 50 lb, 36.9º NO primero, después dibuje 40 lb, O. F = 30 lb, 900

12


40 lb

R 36.9

F

0


Trigonometría y vectores 3-21. Halle los componentes x y y de (a) un desplazamiento de 200 km a 34º, (b) una velocidad de 40 km/h a 120º y (c) una fuerza de 50 N a 330º. (a) Dx = 200 cos 340 = 166 km

300

0

Dy = 200 sen 34 = 112 km 0

(b) vx = –40 cos 60 = –20.0 km/h vy = 40 sen 600 = +34.6 km/h 0

(c) Fx = 50 cos 30 = 43.3 N;

340

(a) Fy = –50 sen 300 = –25.0 N

600

(c)

(b)

3-22. Un trineo es arrastrado con una fuerza de 540 N y su dirección forma un ángulo de 40º con respecto a la horizontal. ¿Cuáles son los componentes horizontal y vertical de la fuerza descrita?

540 N 400

Fx = 540 cos 400 = 414 N

Fy = 540 sen 400 = 347 N

(a)

3-23. El martillo de la figura 3-28 aplica una fuerza de 260 N en un ángulo de 15º con respecto a la vertical. ¿Cuál es el componente ascendente de la fuerza ejercida sobre el clavo? F = 260 N, φ = 750; Fy = 260 sen 750

Fy = 251 N. F φ

3-24. Un niño intenta levantar a su hermana del pavimento. Si la componente vertical de su empuje F tiene una magnitud de 110 N y la componente horizontal una magnitud de 214 N, ¿cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza F? R = (214) 2 + (110) 2 = 241 N; tan ! =

13

110 ; ! = 27.20 NO 214


Fy 110 N

F φ Fx = 214 N


3-25 Un río fluye hacia el sur a una velocidad de 20 km/h. Una embarcación desarrolla una rapidez máxima de 50 km/h en aguas tranquilas. En el río descrito, la embarcación avanza a su máxima velocidad hacia el oeste. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección resultantes de la embarcación? R = (50) 2 + (20) 2 = 53.9 km/h; 20 tan ! = ; ! = 21.80 SO 50

R

20 km/h

0

R = 53.9 km/h, 21.8 S of E

50 km/h

* 3-26. Una cuerda que forma un ángulo de 30º con la horizontal arrastra una caja sobre el piso. ¿Cuál tendrá que ser la tensión de la cuerda si se requiere una fuerza horizontal de 40 lb para arrastrar la caja? 0

Fx = F cos 30 ;

Fx 40 lb F= = ; 0 cos30 cos300

F F = 46.2 N

300

Fx

* 3-27. Se necesita un empuje vertical de 80 N para levantar la parte móvil de una ventana. Se usa una larga pértiga para realizar dicha operación. ¿Qué fuerza será necesario ejercer a lo largo de la pértiga si ésta forma un ángulo de 34º con la pared? ADJ = F cos 300;

F=

ADJ 80 N = ; 0 cos 34 cos 340

340

80 N

F = 96.5 N

F

* 3-28. La resultante de dos fuerzas A y B es de 400 N a 210º. Si la fuerza A es de 200 N a 270º, ¿cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza B? (φ = 210 – 180° = 30°) B = –400 N cos 300 = –346 N:

B = 346 N, 1800

B 200 N

14


300

400 N


Método de componentes para la suma de vectores 3-29. Halle la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares: (a) 400 N, 0º, (b) 820 N, 270º y (c) 500 N, 90º. Dibuje cada vector para encontrar R: Ax = +400 N; Bx = 0; Cx = 0:

A φ

Rx = +400 N R

Ay = 0; By = –820 N; Cy = +500 N; Ry = 0 – 820 N + 500 N = –320 N R=

2

2

(400 ) + (!320 )

"320 ; tan ! = ; R = 512 N, 38.70 SE 400

C

B

3-30. Cuatro cuerdas, que forman ángulos rectos entre ellas, tiran de una argolla. Las fuerzas son A = 40 N, E;

B = 80 N, N; C = 70 N, O; y D = 20 N, S. Encuentre la fuerza resultante

en la argolla.

C = 70 N, O

Ax = +40 N; Bx = 0; Cx = – 70 N Dx = 0:

D = 20 N, S

Rx = +40 N – 70 N = –30 N

R

B = 80 N, E

φ

Ay = 0; By = +80 N; Cy = 0; Dy = –20 N;

A = 40 N, E

Ry = 0 + 80 N – 20 N = +60 N R=

2

2

(!30 ) + (60 )

;

tan ! =

60 ; "30

R = 67.1 N, 116.60

*3-31. Dos fuerzas actúan sobre el automóvil ilustrado en la figura. 3-30. La fuerza A es igual a 120 N, hacia el oeste, y la fuerza B es igual a 200 N a 60º NO. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el automóvil? Ax = –120;

Bx = – (200 N) cos 600 = –100 N

Rx = – 120 N – 100 N; Rx = –220 N Ay = 0, By = 200 sen 600 = +173 N;

600 Ry = 0 + 173 N = 173 N;

Esto es, Rx = –220 N, Ry = +173 N y Dirección resultante: tan ! =

15

R

B

A

R = (!220) 2 + (173) 2 = 280 N

173 ; ! = 38.20 NO ; "220


φ

R = 280 N, 141.80


*3-32. Suponga que la dirección de la fuerza B del problema 3-31 se invirtiera (+180º) y que los demás parámetros permanecieran sin cambio alguno. ¿Cuál sería la nueva resultante? (Este resultado es la resta vectorial A − B.) El vector B estará ahora a 60° SE en lugar de NE. Ax = –120 N;

Bx = +(200 N) cos 600 = +100 N

Rx = – 120 N + 100 N; Rx = –20 N Ay = 0, By = –200 sen 600 = –173 N; Ry = 0 – 173 N = –173 N; Entonces, Rx = –20 N, Ry = –173 N y Dirección resultante: tan ! =

R = (!20) 2 + (!173) 2 = 174 N

"173 ; ! = 83.40 SO ; "20

R = 174 N, 263.40

*3-33. Calcule la fuerza resultante que actúa sobre el perno de la figura 3-31. (Ax = 0) Bx = –400 cos 200 = –376 N; Bx = –500 cos 600 = –250 N Rx = 0 – 376 N – 250 N;

60

Rx = –626 N

0

200

C 500 N

Ay = +600 N; By = 400 sen 200 = 137 N;

B 400 N A = 600 N

R

Cy = 500 sen 60 = – 433 N

φ

Ry = 600 N – 137 N – 433 N; Ry = +304 N

R = (!626) 2 + (304) 2

R = 696 N

tan ! =

304 ; "626

φ = 25.90 NO

*3-34. Calcule la resultante de las siguientes fuerzas aplicando el método de componentes para efectuar la suma de vectores: A = (200 N, 30º), B = (300 N, 330º) y C = (400 N, 250º). Ax = 200 cos 300 = 173 N; Bx = 300 cos 300 = 260 N

A

Cx = –400 cos 700 = –137 N; Rx = ΣFx = 296 N

300

φ

Ay = 200 sen 300 = 100 N; By = 300 sen 300 = –150 N Cy = –400 sen 700 = –376 N; Ry = ΣFy = –430 N 2

2

R = (296) + (!430) ;

16

"426 tan ! = ; 296


R

0 B 30

700

C

0

R = 519 N, 55.2 SE


*3-35. Tres embarcaciones ejercen fuerzas sobre un gancho de amarre como muestra la figura 3.29. Halle la resultante de esas tres fuerzas. Ax = 420 cos 600 = +210 N; Cx = –500 cos 400 = –383 N Bx = 0;

C = 500 N

Rx = 210 N + 0 –383 N; Rx = –173 N

400

Ay = 420 sen 600 = 364 N; By = 150; Cy = 500 sen 400 = 321 N

R = ( !173) 2 + (835) 2 ;

Ry = ΣFy = 835 N; tan ! =

B

R

150 N

420 N A φ

835 ; R = 853 N, 78.30 NO "173

600

Diferentes vectores 3-36. Dos desplazamientos son: A = 9 m, E y B = 12 m, S. Compare la magnitud y la dirección de (A + B) y (A – B). Ax = 9 m; Bx = 0 m;

A

Rx = ΣFx = 9 m

A–B -B

+B

Ay = 0 m; By = –12 m; Ry = ΣFy = –12 m A+B

R = (9) 2 + (!12) 2 = 15.0 m ;

tan ! =

"12 ; 9

A

A + B = 15.0 m, 53.1 SE A – B = 15.0 m, 53.10 NE

Para A – B, Ry = ΣFy = –(–80 N) o + 80 N;

3-37. Dado que A = 24 m, W; B = 50 m, N. Encuentre la magnitud y dirección de (a) A + B y –A (b) B – A. Ax = –24 m; Bx = 0;

Rx = ΣFx = –24 m +B

Ay = –0 ; By = +50 m; Ry = ΣFy = +50 m

A+B

φ

+B

φ

B–A

+A

R = (!24) 2 + (50) 2 = 55.5 m ;

tan ! =

50 ; "24

Para B – A, Rx = ΣFx = 0 – (–24 m) o + 24 N;

17


A + B = 55.5 m, 64.40 NO B – A = 55.5 m, 64.40 NE


3-38. La velocidad tiene una magnitud y dirección que se representan por un vector. Considere una embarcación con una velocidad inicial de 30 m/s cm dirección al oeste. Un instante después tiene una velocidad de 12 m/s con 300 al suroeste. ¿Cuál es el cambio en la velocidad? Solución. Cada velocidad es un vector: A = 30 m/s, O y B = 12 m/s, 300 SO Ax = –30 m/s; (–B)x = 12 cos 300 = +10.4 m/s Ay = 0; (–B)y = 12 sen 300 = 6.00 m/s Rx = ΣFx = –30 m/s + 10.4 m/s; Rx = –19.6 m/s Ry = ΣFy = 0 + 6.00 m/s;

-B30

300

+B

"6 ; 19.6

φ

300

Ry = +6.00 m/s

R = (19.6) 2 + (!6) 2 = 20.5 m/s ; tan ! =

A-B

0

+A B – A = 20.5 m/s, 17.00 SE

3-39. Considere cuatro vectores: A = 450 N, O; B = 160 N, 440 NO; C = 800 N, E; y D = 100 N, 349 NE. Determine la magnitud y dirección de A – B + C – D. Trace un vector Resp. 21.30 SO

poligonal. Ax = –450 N; Ay = 0:

Cx = +800 N; Cy = 0:

Bx = –(160 N)(cos 440) = –115 N;

A

44B0

34 D0

C

By = +(160 N)(sen 440) = 111 N; Dx = (100 N)(cos 340) = 82.9 N; Dy = (100 N)(sen 340) = 55.9 N; (Observe a los vectores –B y –D trazados abajo del polígono.) A–B+C-D

A

signos

440

–B

Rx = Ax – (Bx) + Cx – (Dx) Tenga cuidado con los

C

340

Rx = –450 N – (– 115 N) + 800 N – (+82.9 N) –

D

Rx = –450 N + 115 N + 800 N – 82.9 N Rx = 382 N

Ry = Ay – (By) + Cy – (Dy) = 0 – (111 N) + 0 – (55.9 N);

R = (382) 2 + (!167) 2 = 417 N ; tan ! =

18


"167 ; 382

Ry = –167 N R = 417 N, 17.00 SE


Problemas adicionales 3-40. Calcule los componentes horizontal y vertical de los siguientes vectores: A = (400 N, 37º), B = (90 m, 320º) y C = (70 km/h, 150º). 0

Ax = 400 cos 37 = 319 N;

Ay = 400 sen 37 = 241 N

Bx = 90 cos 400 = 68.9 m;

By = 90 sen 400 = 57.9 m

Cx = –70 cos 300 = –60.6 km/h;

400 N

70 km/h

0

A 370

300C

400

Cy = 70 sen 300 = 25.0 km/h

90 m

B

3-41. Un cable está unido al extremo de una viga. ¿Qué tirón se requiere, a un ángulo de 40º con respecto al horizontal, para producir una fuerza horizontal efectiva de 200 N? P cos 400 = 200 N;

P = 261 N

P

400

3-42. Un muelle para pescadores se extiende hacia el norte y el sur. ¿Cuál deberá ser la velocidad de una embarcación que avanza a un ángulo de 40º NE para que su componente de velocidad a lo largo del muelle sea de 30 km/h? v cos 400 = 30 km/h;

v = 39.2 km/h

3-43. Halle la resultante R = A + B para los siguientes pares de fuerzas: (a) A = 520 N, sur; B = 269 N, oeste, (b) A = 18 m/s, norte, B = 15 m/s, oeste. 269 N

(a) R = (!269) 2 + (!520) 2 = 585 N

B

"520 tan ! = ; R = 585 N, φ = 62.60 SO "269

(b) R = ( !15) 2 + (18) 2 ;

tan ! =

18 ; "15

(a)

R

φ

A R

φ

B

520 N

15 m/s

A 18 m/s

(b)

R = 23.4 m/s, 50 .20 NO

*3-44. Efectúe la resta vectorial (A − B) para los pares de fuerzas del problema 3-43. (a)

(a) R = (269) 2 + (520) 2 = 585 N tan ! =

520 ; 269

19

Nφ

R = 585 N, 62.60 SE

(b) R = (15) 2 + (18) 2 ;

A 520 N

tan ! =

–B = 269

18 ; 15


A 18 m/s

R φ

R

(b) –B =15 m/s

R = 23.4 m/s, 50.20 NE


*3-45. Un semáforo está colgado a la mitad de un cable, de manera que cada segmento forma un ángulo de 10º con la horizontal. La tensión en cada segmento del cable es de 200 N. Si la fuerza resultante en el punto medio es cero, ¿cuál es el peso del semáforo?

2(200) sen 100 = W:

T

T

Rx = ΣFx = 0; T sen 100 + T sen 100 – W = 0; W = 69.5 N

W

*3-46. Calcule la resultante de las fuerzas ilustradas en la figura 3-33. Rx = 420 N – 200 cos 700 – 410 cos 530 = 105 lb 0

C = 410 lb

0

Ry = 0 + 200 sen 70 – 410 sen 70 = –139.5 lb

530

R = 175 lb; θ = 306.90

R = Rx2 + Ry2

B = 200 lb 700

A = 420 lb

R *3-47. Calcule la resultante de las fuerzas que presenta la figura 3-34. C = 240 N

Ry = 150 sen 550 + 200 sen 400 – 240 sen 270 = 142 N; 2 x

R= R +R

2 y

0

B = 200 N

270

Rx = 150 cos 550 – 200 cos 400 – 240 cos 270 = –281 N

R 0

R = 315 N; φ = 26.9 ΝΟ, θ = 153.1

φ

400 550 A = 150 N

*3-48. Un bloque de 200 N descansa sobre un plano inclinado a 30º. Si el peso del bloque actúa verticalmente hacia abajo, ¿cuáles son los componentes del peso hacia abajo del plano y en dirección perpendicular al plano? Escoja el eje de las x a lo largo del plano y el eje de las y perpendicular. Wx = 200 sen 300; Wx = 100 N, hacia abajo del plano.

300

Wy = 200 sen 600; Wx = 173 N, plano normal. 300

20


W


*3-49. Halle la resultante de los tres desplazamientos siguientes: A = 220 m, 600; B = 125 m, 2100; y C = 175 m, 3400.

A

0

0

Ax = 220 cos 60 = 110 m; Ay = 220 sen 60 = 190.5 m Bx = 125 cos 2100 = –108 m; By = 125 sen 2100 = –62.5 m Cx = 175 cos 3400 = 164.4 m; Cy = 175 sen 3400 = –59.9 m

600 300

200

C

B

Rx = 110 m –108 m + 164.4 m; Ry = 190.5 m – 62.5 m – 59.9 m; Rx = 166 m; Ry = 68.1 m 68.1 tan ! = ; ! = 22.30 ; 166

B 300

R = (166) 2 + (68.1) 2 = 180 m 200

A C R

R = 180 m, θ = 22.30 600

Preguntas para la reflexión crítica 3-50. Considere estos tres vectores: A = 100 m, 00; B = 400 m, 2700 y C = 200 m, 300. Elija una escala apropiada y muestre gráficamente que el resultado es el mismo, sin importar en qué orden sean sumados estos vectores; es decir, A + B + C = C + B + A. Elija una escala apropiada y muestre gráficamente que el resultado es el mismo, sin importar en qué orden sean sumados estos vectores; es decir,

A+B+C

21

C+B+A


A–C

C–A


3-51. Dos fuerzas A = 30 N y B = 90 N pueden actuar sobre un objeto en cualquier dirección que se desee. ¿Cuál es la máxima fuerza resultante? ¿Cuál es la mínima fuerza resultante? ¿Es posible que la fuerza resultante sea cero? La fuerza resultante máxima ocurre cuando A y B están en la misma dirección:

A+B

= 30 N + 90 N = 120 N La fuerza resultante mínima ocurre cuando A y B están en direcciones opuestas: B – A = 90 N – 30 N = 60 N Ninguna combinación da R = 0.

*3-52. Considere dos fuerzas A = 40 N y B = 80 N. ¿Cuál tiene que ser el ángulo entre esas dos fuerzas para que la magnitud de la fuerza resultante

B = 40 N

C = 60 N

sea 60 N? Dado que R = C = 60 N es menor que 80 N, el ángulo

θ entre A y B debe ser > 90°.

φ

θ

A = 80 N

Al aplicar la ley de los cosenos al triángulo, podemos encontrar φ y entonces θ. C2 = A2 + B2 – 2AB cos φ;

(60)2 = (80)2 + (40)2 – 2(80)(40) cos φ; φ = 46.60.

El ángulo entre la dirección de A y la dirección de B es θ = 1800 – φ; θ = 133.40.

*3-53. ¿Qué tercera fuerza F es necesario agregar a las dos fuerzas siguientes para que la fuerza resultante sea igual a cero? A = 120 N, 1100 y B = 60 N, 2000? Componentes de A: Ax = 120 cos 1100 = –40.0 N; Ay = 120 sen 1100 = 113 N Componentes de B: Bx = 60 cos 2000 = –56.4 N; By = 60 sen 2000 = –20.5 N Rx = 0; Rx = Ax + Bx + Fx = 0;

Rx = –40.0 N –56.4 N + Fx = 0; o

Ry = 0; Ry = Ay + By + Fy = 0;

Ry = 113 N – 20.5 N + Fy = 0;

F = (97.4) 2 + ( !92.2) 2 = 131 N

tan ! =

Fx = +97.4 N

o Fy = –92.2 N

"92.2 ; ! = "43.30 y θ = 3600 – 43.40 97.4

Así, la fuerza F tiene una magnitud y dirección de: F = 134 N, θ = 316.60

22



*3-54. Un avión requiere una dirección resultante con curso hacia el oeste. La rapidez del avión es 600 km/h cuando el aire está inmóvil. Si el viento adquiere una rapidez de 40 km/h sopla en dirección de 30º SO, ¿en qué dirección se deberá orientar el avión y cuál será su velocidad relativa con respecto al suelo? Del diagrama, Rx = R, Ry = 0, Así que Ay + By = 0. Ay = 600 sen φ; Βy = –40 sen 300 = –20 km/h 600 sen φ – 20 = 0; 600 sen φ = 20 sen ! =

A =R600 km/h

φ

20 ; ! = 1.910 NO (dirección 600

300 B = 40 km/h

a la que debe apuntarse la nave)

Observe que R = Rx y que Ax +Bx = Rx, sólo necesitas encontrar la suma de las componentes en x. Ax = –600 cos 1.910 = 599.7 km/h; Βx = 40 cos 300 = –34.6 km/h R = –599.7 km/h –34.6 km/h; R = –634 km/h. Así, la velocidad del aeroplano en relación con el suelo es 634 km/h, 0°; y el aeroplano debe apuntar en una dirección de 1.91° NO. *3-55. ¿Cuáles tendrán que ser la magnitud F y la dirección θ de la fuerza necesaria para que el automóvil de la figura 3-35 avance directamente hacia el este, con una fuerza resultante de 400 lb?

F

Rx = 400 lb y Ry = 0; Rx = Ax + Fx = 400 lb

θ

200 cos 200 + Fx = 400 lb

20

Fx = 400 lb – 200 cos 200 = 212 lb Ry = 0 = Ay + Fy;

Ay = –200 sen 200 = –68.4 lb

0

E

A = 200 lb

Fy = –Ay = +68.4 lb; Así, Fx = 212 lb y Fy = +68.4 lb F = (212) 2 + (68.4) 2 ; tan! =

23

68.4 ; 212


R = 223 lb, 17.90 NE


Tippens Fisica 7e Soluciones 03

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