Tippens Fisica 7e Soluciones 14

Capítulo 14. Movimiento armónico simple Movimiento periódico, segunda ley de Newton y ley de Hooke 14-1. Una piedra oscila en círculos a rapidez constante en el extremo de una cuerda, describiendo 50 revoluciones en 30 s. ¿Cuáles son la frecuencia y el periodo de este movimiento? f =

50 rev = 1.67 rev/s ; 30 s

T=

f = 1.67 Hz

1 1 = ; f 1.67 hz

T = 0.600 s

14-2. Un niño está sentado en el borde de una plataforma que gira a 30 rev/min. La plataforma tiene 10 m de diámetro. ¿Cuál es el periodo del movimiento y cuál es la rapidez del niño? [R = (D/2) = 5 m.]

30

rev ! 1 min " # $ = 0.500 rev/s; f = 0.500 Hz; min % 60 s &

T=

1 1 = f 0.500 hz

T = 2.00 s v=

2! R 2! (5 m) = ; T 2.00 s

v = 15.7 m/s 14-3. Una pelota de caucho oscila en un círculo horizontal de 2 m de diámetro y describe 20 revoluciones en 1 min. Una luz distante proyecta la sombra de la pelota sobre una pared. ¿Cuáles son la amplitud, la frecuencia y el periodo del movimiento de la sombra? A = R = 1.00 m f = 0.333 Hz

T=

f = 20

rev ! 1 min " # $ = 0.333 rev/s; min % 60 s &

R

1 1 = ; f 0.333 hz

T = 3.00 s -R

196

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 14

0

x +R

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14-4. Una pelota se mueve en un círculo de 12 cm de radio a 300 rev/min. ¿Cuáles son la amplitud, la frecuencia y el periodo de la sombra de la pelota proyectada en una pared? A = R = 12 cm T = 1/f = 1/5 s

f = 300

rev ! 1 min " # $ = 5.00 rev/s; min % 60 s &

f = 5.00 Hz

T = 0.200 s

14-5. Una masa oscila a la frecuencia de 3 Hz y con una amplitud de 6 cm. ¿Cuáles serán sus posiciones en los tiempos t = 0 y t = 3.22 s? A t = 0:

x = A cos (2πft) = (6 cm) cos [2π(3 Hz)(0)];

A t = 2.5 s:

x = 6.00 cm

x = A cos (2πft) = (6 cm) cos [2π(3 Hz)(3.22 s)];

x = –3.22 cm

14-6. Una masa de 50 g oscila con un MAS cuya frecuencia es de 0.25 Hz. Suponga que t = 0 cuando la masa se encuentra en su desplazamiento máximo. ¿En qué momento será el desplazamiento cero? ¿En qué momento se encontrará la masa a la mitad de su amplitud? [ƒ = 0.25 s, T = 1/ƒ = 4.0 s.] Una vibración completa toma 4 s, por tanto, la masa alcanza cero en un cuarto de ese tiempo, o sea, t = 4 s/4 = 1.00 s Ahora encuentre el tiempo para alcanzar x = A/2: x=

A = A cos(2! ft ); 2

2πft = 1.047 rad;

cos(2! ft) = 0.5;

t=

(2! ft ) = cos "1 (0.5) = 1.047 rad

1.047 rad ; 2! (0.25 Hz) t = 0.677 s

Note que el tiempo para alcanzar A/2 no es igual a la mitad del tiempo para alcanzar x = 0. Esto se debe a que la fuerza de restauración no es constante. Llega a x = 0 en 1 s. Pero cubre la mitad de esa distancia en un tiempo de 0.667 s.

197



14-7. Cuando una masa de 200 g cuelga de un resorte, la altura de éste desciende una distancia de 1.5 cm. ¿Cuál es la constante k del resorte? [F = mg; x = 1.5 cm = 0.015 m.]

k=

F (0.200 kg)(9.8 m/s 2 ) = ; x 0.015 m k = 131 N/m

14-8. Una masa adicional de 400 kg se añade a la masa inicial de 200 g del problema 14-7. ¿Cuál será el incremento del desplazamiento hacia abajo? (ΔF se debe solamente a la masa adicionada.)

k=

!F ; !x

!x =

!F (0.400 kg)(9.8 m/s 2 ) = ; k 131 N/m Δx = 2.99 cm

14-9. Una masa de 1.5 kg oscila en el extremo de un resorte con MAS. La amplitud de la vibración es de 0.15 m y la constante del resorte es de 80 N/m. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración y de la fuerza sobre la masa cuando se ubica en los desplazamientos siguientes: (a) 0.15 m, (b) –0.09 m, y (c) +0.05 m? Recuerde que F = –kx y a = –kx/m.

198

(a) F = – (80 N/m)(0.15 m) o F = –12.0 N

a=

F !12 N = o m 1.5 kg

a = !8.00 m/s 2

(b) F = –80 N/m)( –0.09 m) o F = +7.20 N;

a=

F 7.20 N = o m 1.5 kg

a = +4.80 m/s 2

(c) F = – (80 N/m)(0.05 m) o F = –4.00 N;

a=

F !4.0 N = o m 1.5 kg

a = !2.67 m/s 2



14-10. Un resorte ligero y un bloque de 0.65 kg se hallan en una superficie horizontal sin fricción. El resorte se comprime una distancia de 6 cm y se suelta para que vibre con MAS. Si la constante del resorte es de 9 N/m, ¿cuál es la aceleración inicial del bloque y cuál es la fuerza inicial sobre el bloque? La aceleración inicial sucede cuando x = +0.06 m, y F = ma en ese punto.

a=

!kx !(9 N/m)(0.06 m) = ; a = !0.831 m/s 2 ; m 0.65 kg

F = (0.65 kg)( –0.831 m/s2);

F = –0.540 N

Trabajo y energía en el movimiento armónico simple 14-11. Se comprime un resorte a una distancia de 4 cm. Si su constante es de 200 N/m, ¿cuánto trabajo realiza la fuerza de compresión? ¿Cuál es la energía potencial? Trabajo = ½kx2= ½(200 N/m)(0.04 m)2; La energía potencial es igual al trabajo realizado. Trabajo = 0.16 J; U = Trabajo = 0.16 J 14-12. Una pistola de juguete funciona empujando una bola de plástico de 0.15 kg contra un resorte, al que se comprime una distancia de 8 cm. La constante del resorte es de 400 N/m. Si se suelta la bola, ¿cuál será la velocidad cuando se aparte del extremo del resorte? La energía total se conserva. ½mv2 = ½kx2; al resolver para v se obtiene: v =

kx 2 (400 N/m)(0.08 m) 2 ; = m 0.15 kg

v = 4.12 m/s

199



14-13. Una masa de 0.5 kg está unida a un resorte ligero cuya constante es de 25 N/m. La masa es desplazada una distancia de 6 cm y luego se le suelta para que oscile con MAS sobre una superficie horizontal sin fricción. (a) ¿Cuál es la energía total del sistema? (b) ¿Cuál es la velocidad máxima? (c) ¿Cuál es la aceleración máxima? La energía total en x = A es la misma que en otros puntos. (a) E = U + K = ½kA2 + 0 o

E = ½(25 N/m)(0.06)2 = 45.0 mJ

(b) La velocidad máxima sucede cuando x = 0, así E = K desde U = 0 1 2

2 mvmáx = 12 kA2 = 45 mJ;

2 vmáx =

2(0.045 J) = 0.18 m 2 /s 2 0.5 kg

(c) La aceleración maxima ocurre cuando x = A, así que

a=!

k 25 N/m x=! (0.06 m); m 0.5 kg

amáx = ±3.0 m/s 2

14-14. Considere las mismas condiciones del problema 13. ¿Cuál será la velocidad de una masa de 0.5 kg cuando su posición es x = +5 cm y cuál será su velocidad cuando x = –3 cm? 1 2

kx 2 + 12 mv 2 = 12 kA2 :

Para x = 5 cm:

1 2

k = 25 N/m, A = 0.06 m, m = 0.5 kg, x = 0.05 m y – 0.03 m

(25 N/m)(0.05 m) 2 + 12 (0.5 kg)v 2 = 12 (25 N/m)(0.06 m) 2 ;

v = ±0.234 m/s Para x = 5 cm: 12 (25 N/m)(-0.03 m) 2 + 12 (0.5 kg)v 2 = 12 (25 N/m)(0.06 m) 2 ; v = ±0.367 m/s El mismo resultado se encuentra por sustitución directa en:

v=±

200


k 2 (A ! x 2 ) m


Velocidad en el movimiento armónico simple 14-15. Un cuerpo vibra con una frecuencia de 1.4 Hz y una amplitud de 4 cm. ¿Cuál es la velocidad máxima? ¿Cuál es su posición cuando la velocidad es cero? v = – 2πfA sen(2πft);

vmáx ocurre cuando senθ = 1,

vmáx = 2π(1.4 Hz)(4 cm);

vmáx= 2πfA

vmáx = 35.2 cm/s

Cuando v = 0, x = ±A o x = ± 4.00 cm 14-16. Un objeto oscila con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 6 cm. ¿Cuál es la velocidad máxima? vmáx = –2πfA = –2π(5 Hz)(6 cm);

vmáx = ± 189 cm/s

14-17. Un bloque liso colocado sobre una superficie sin fricción está unido a un resorte; se tira de él hacia la derecha una distancia de 4 cm y luego se suelta. Tres segundos después regresa al punto de partida. ¿Cuál es su frecuencia y cuál es su rapidez máxima? [T = 3.00 s.] f = 1/T = 0.333 Hz;

vmáx = 2πfA = 2π(0.333 Hz)(4 cm); vmáx = 8.38 cm/s

14-18. En el problema 14-17, ¿cuáles son la posición y la velocidad 2.55 s después de soltar el bloque? x = A cos(2πft) = (4 cm)cos[2π(0.333 Hz)(2.55 s)]; x = 2.35 cm v = –2πfA sen(2πft) = –2π(0.333 Hz)(4 cm)sen [2π(0.333 Hz)(2.55 s); v = 6.78 cm/s La posición es 2.35 cm a la derecha (+) del centro y el cuerpo se mueve a la derecha (+) a 6.78 cm/s. *14-19. Una masa unida al extremo de un resorte oscila hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia de 0.600 Hz y una amplitud de 5 cm. ¿Cuál será su desplazamiento 2.56 s después de alcanzar un máximo? x = A cos(2πft) = (5 cm) cos [2π(0.6 Hz)(2.56 s)]; x = –4.87 cm

201



*14.20. Un objeto vibra con una amplitud de 6 cm y una frecuencia de 0.490 Hz. Iniciando con su máximo desplazamiento en dirección positiva, ¿cuándo será la primera vez que se desplace 2 cm? x = A cos(2πft);

cos(2! ft ) =

2πft = 1.23 rad;

t=

x 2 cm = = 0.333 ; A 6 cm

(2πft) = cos–1(0.333);

1.23 rad ; 2! (0.490 Hz) t = 0.400 s

*14-21. Demuestre que la velocidad de un objeto con MAS se expresa como una función de su amplitud y su desplazamiento. (Véase el círculo de referencia: θ = 2πft.)

sen! =

y A

# y$ v = %2" fA sen ! = %2" fA & ' ; ( A)

v = 2πfy

A

Pero, y = A2 ! x 2 por el teorema de Pitágoras, por lo que:

v = ±2"f

θ y x

A2 ! x 2

Nota: Esta expresión también se deriva de los principios de la conservación de la energía. 14-22. Use la relación desarrollada en el problema 14-21 y verifique las respuestas obtenidas para la posición y la velocidad en el problema 14-18.

v = ±2! f

A2 " x 2 = ±2! (0.333 Hz) (4 cm) 2 " (2.35 cm) 2 ; v = ± 6.78 cm/s

14-23. Una masa que vibra a la frecuencia de 0.5 Hz tiene una velocidad de 5 cm/s al pasar por el centro de oscilación. ¿Cuáles son la amplitud y el periodo de vibración? vmax = –2πfA = 5 cm/s A =

vmax 5 cm/s = ; 2! f 2! (0.5 Hz) T=

202

A = 1.59 cm

1 1 ! ; T = 2.00 s f 0.5 Hz



*14-24. Un cuerpo vibra con una frecuencia de 8 Hz y una amplitud de 5 cm. ¿En qué momento después de ser liberado de x = +5 cm será su velocidad igual a +2.00 m/s? v = –2πfA sen(2πft);

sen(2! ft ) =

(2πft) = sen–1(–0.796);

v 2 m/s = = "0.796 ; "2! fA "2! (8 Hz)(0.05 m)

2πft = –0.920

t=

0.921 ; "2! (8 Hz)

t = –18.3 ms

Nota: El signo negativo para el tiempo significa que la velocidad era +2 m/s, 18.3 ms ANTES de su desplazamiento era +5 cm. Habrán dos momentos dentro del primer periodo de la vibración en los que la velocidad será de +5 m/s. Uno es 18.3 ms antes de llegar al extremo del primer periodo (t = –18.3 ms), el segundo es 18.3 s después de haber llegado a la mitad del primero. Así, para encontrar el tiempo en que la velocidad era de +2 m/s después de la liberación de +5 cm, debe SUMAR 18.3 ms a un medio del periodo T.

T=

1 1 = = 0.125 s , f 8 Hz

t=

T 125 ms + 18.3 ms = + 18.3 ms 2 2

t = 62.5 ms + 18.3 ms; t = 80.8 ms

Aceleración en el movimiento armónico simple 14-25. Una masa de 400 g está unida a un resorte y hace que éste se alargue hasta una distancia vertical de 2 cm. A continuación, se tira de la masa hacia abajo hasta una distancia de 4 cm y se suelta para que vibre con MAS como se muestra en la figura 14-13. ¿Cuál es la constante elástica? ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración cuando la masa se halla 2 cm debajo de su posición de equilibrio?

k=

(0.400 kg)(9.8 m/s 2 ) ; 0.02 m k = 196 N/m

Considere hacia abajo como +.

a=!

k !(196 N/m)(0.02 m) x= m 0.400 kg a = –9.8 m/s2, hacia arriba

203



14-26. ¿Cuál es la aceleración máxima para el sistema descrito en el problema 14-25 y cuál es su aceleración cuando se encuentra 3 cm arriba de su posición de equilibrio? (Hacia abajo +)

amáx = !

k !(196 N/m)(0.04 m) A= m 0.400 kg a = –19.6 m/s2, hacia arriba

a=!

k !(196 N/m)( ! 0.03 m) x= m 0.400 kg a = 14.7 m/s2, hacia abajo

14-27. Un cuerpo describe una oscilación completa en 0.5 s. ¿Cuál es su aceleración cuando se desplaza a una distancia de x = +2 cm de su posición de equilibrio? (T = 0.5 s) f =

1 1 = = 2.00 Hz ; a = –4π2f2x = –4π2(2 Hz)2(0.02 m); T 0.5 s

a = –3.16 m/s2 14-28. Halle la velocidad máxima y la aceleración máxima de un objeto que se mueve en un MAS con una amplitud de 16 cm y una frecuencia de 2 Hz. vmáx = "2! fA = "2! (2 Hz)(0.16 m);

vmáx = ± 2.01 m/s amáx = –4π2f2A = –4π2(2 Hz)2(0.16 m) amáx = ± 25.3 m/s2 *14-29. Un objeto que vibra con un periodo de 2 s es desviado hasta una distancia de x = +6 cm y luego se suelta. ¿Cuáles son su velocidad y su aceleración 3.20 s después de ser soltado? [ƒ = 1/T = 0.5 Hz]

v = "2! fA sen (2! ft ) = "2! (0.5 Hz)(0.06 m) sen[(2! (0.5 Hz)(3.2 s)]; v = +0.111 m/s; v = +11.1 cm/s, en dirección positiva a = – 4π2f2A cos(2πft) = – 4π2(0.5 Hz)2(0.06 m) cos [2π(0.5 Hz)(3.2 s)] a = +0.479 m/s2, en dirección positiva

204



14-30. Un cuerpo vibra con MAS cuyo periodo es de 1.5 s y su amplitud es de 6 in. ¿Cuáles son su velocidad y su aceleración máxima? [ƒ = 1/T = (1/1.5 s) = 0.667 Hz; A = 6 in = 0.5 ft] vmáx = "2! fA = "2! (0.667 Hz)(0.5 ft);

vmáx = ± 2.09 ft/s amáx = – 4π2f2A = –4π2(0.667 Hz)2(0.5 ft) amáx = ± 8.77 ft/s2 *14-31. En el caso del cuerpo descrito en el problema 14-30, ¿cuáles son su velocidad y su aceleración después de un tiempo de 7 s?

v = "2! fA sen (2! ft ) = "2! (0.667 Hz)(0.5 ft) sen[2! (0.667 Hz)(7 s)]; v = +1.81 ft/s; v = +1.81 ft/s, en dirección positiva a = – 4π2f 2A cos(2πft) = – 4π2(0.667 Hz)2(0.5 ft) cos [2π(0.667 Hz)(7 s)] a = +4.26 ft/s2, en dirección positiva

El periodo y la frecuencia *14-32. Las puntas de un diapasón vibran con frecuencia de 330 Hz y amplitud de 2 mm. ¿Cuál es la velocidad cuando el desplazamiento es de 1.5 mm? (Véase el problema 14.21.)

v = ±2! f

A2 " x 2 = ±2! (330 Hz) (2.0 mm) 2 " (1.5 mm) 2

v = ± 2743 mm/s; v = ± 2.74 m/s

205



*14-33. Una masa de 400 g produce un estiramiento de 20 cm en un resorte. A continuación, la masa de 400 g es removida y sustituida por una masa m desconocida. Cuando se tira de la masa desconocida para que descienda 5 cm y luego se suelta, vibra con un periodo de 0.1 s. Calcule la masa del objeto.

k=

F (0.40 kg)(9.8 m/s 2 ) m = = 19.6 N/m ; T = 2! k !x 0.20 m "m# T = 4! $ % ; &k' 2

2

T 2 k (0.10 s) 2 (19.6 N/m) m= 2 = ; 4! 4! 2 m = 0.00496 kg = 4.96 g

*14-34. Un largo trozo de metal delgado está sujeto por su extremo inferior y tiene una bola de 2 kg unida a su extremo superior. Cuando se tira de la bola hacia un lado y luego se suelta, vibra con un periodo de 1.5 s. ¿Cuál es la constante elástica de este dispositivo? T = 2!

m ; k

T2 =

4! 2 m ; k

k=

4! 2 m ; T2

k=

4! 2 (2 kg) ; (1.5 s) 2

k = 35.1 N/m *14-35. Un automóvil y sus pasajeros tienen una masa total de 1600 kg. El armazón del vehículo está sostenido por cuatro resortes, cada uno con una fuerza constante de 20 000 N/m. Calcule la frecuencia de vibración del automóvil cuando pasa sobre un promontorio del camino. Cada resorte soporta ¼(1600 kg) o 400 kg; f =

1 1 = T 2!

k ; m

f =

1 2!

k = 20,000 N/m

(20, 000 N/m) ; 400 kg

f = 1.13 Hz

206



El péndulo simple 14-36. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de un péndulo simple de 2 m de longitud? T = 2!

L 2m ; = 2! g 9.8 m/s 2

f = 1/T;

T = 2.84 s;

f = 0.352 Hz

*14-37. Un reloj de péndulo simple marca los segundos cada vez que su peso llega a su amplitud máxima en cualquiera de los lados. ¿Cuál es el periodo de este movimiento? ¿Cuál debe ser la longitud del péndulo en el punto en que g = 9.80 m/s2? T = 2.00 s/vib; L ; g

T = 2!

L=

T2 =

4! 2 L ; g

L=

T 2g 4! 2

(2.0 s) 2 (9.8 m/s 2 ) ; 4! 2 L = 0.993 m

14-38. Un trozo de cuerda de 10 m de longitud está unido a un peso de acero que cuelga del techo. ¿Cuál es el periodo de su oscilación natural? T = 2!

L 10 m ; = 2! g 9.8 m/s 2

T = 6.35 s *14-39. En la superficie de la Luna, la aceleración de la gravedad es de sólo 1.67 m/s2. Un reloj de péndulo ajustado para la Tierra es colocado ese satélite. ¿Qué fracción de su longitud en la Tierra deberá ser su nueva longitud para mantenerse en el tiempo preciso? Te = 2! Le = ge

207

Le Lm ; Tm = 2! ; el ajuste requiere que Te = Tm ge gm Lm ; gm

Lm g m 1.67 m/s 2 = = = 0.170 ; Le ge 9.8 m/s 2


Lm = 0.17 Le


*14-40. Un estudiante construye un péndulo de 3 m de longitud y determina que éste completa 50 vibraciones en 2 min, 54 s. ¿Cuál es la aceleración de acuerdo a la gravedad en el lugar donde está el estudiante? [2 min = 120 s; t = 120 s + 54 s = 174 s] T=

174 s = 3.48 s; 50 vib

g=

T = 2!

L ; g

T2 =

4! 2 L g

4! 2 L 4! 2 (3.0 m) = ; T2 (3.48 s) 2 g = 9.78 m/s2

El péndulo de torsión *14-41. Un péndulo de torsión oscila con una frecuencia de 0.55 Hz. ¿Cuál es el periodo de su vibración? ¿Cuál es la aceleración angular cuando su desplazamiento angular es de 60º? T = (1/f) = 1.82 s;

T = 2!

I ; k'

τ = Iα; τ = –kθ; I T2 (1.82 s) 2 = 2 = ; k ' 4! 4! 2

θ = 600(π/180) = 0.333π #=

Iα = –kθ

y

I #! = k "

I = 0.0837 s 2 k'

I #! = k "

$! $0.333" = I 0.837 s 2 k' α = –12.5 rad/s2

*14-42. La aceleración angular máxima de un péndulo de torsión es de 20 rad/s2 si el desplazamiento angular es de 70º. ¿Cuál es la frecuencia de vibración? (Véase el problema 14-35.)

I $! $700 (" /180) = = ; k' # $20 rad/s 2 T = 2!

I = 0.06109 k'

I = 2! 0.06109 s 2 ; k'

T = 1.55 s f =

208

1 T


f = 0.644 Hz


*14-43. Un disco de 20 cm de diámetro constituye la base de un péndulo de torsión. Una fuerza de 20 N, aplicada al borde, hace que éste se tuerza en un ángulo de 12º. Si el periodo de la vibración angular después de soltar el borde es de 0.5 s, ¿cuál es el momento de inercia del disco? [R = D/2 = 0.10 m ]

! = FR = (20 N)(0.10 m) = 2.0 N m; ! = I" = $k '# = 2.0 N m ; k'=

2Nm 2Nm = 0 = 9.55 N m/rad ; ! 12 (" /180)

T = 2!

I ; k'

" I # T 2 = 4! 2 $ % ; & k''

T 2 k ' (0.5 s) 2 (9.55 N m/rad) I= = ; 4! 2 4! 2 I = 0.0605 kg m2 *14-44. Un objeto irregular está suspendido de un alambre como un péndulo de torsión. Un momento de torsión de 40 lb · ft hace que se tuerza hasta un ángulo de 15º. Cuando el objeto queda libre, oscila con una frecuencia de 3 Hz. ¿Cuál es el momento de inercia de ese cuerpo irregular?

k'=

! 40 lb ft = 0 = 152.8 lb ft/rad ; " 15 (# /180) I=

f =

1 2!

k' ; I

f2=

k' 4! 2 I

k' 152.8 lb ft/rad = ; 2 2 4! f 4! 2 (3 Hz) 2 I = 0.430 lb ft2

Problemas adicionales 14-45. La constante elástica de un resorte de metal es 2000 N/m. ¿Qué masa hará que este resorte se estire hasta una distancia de 4 cm? Dado: Δx = 0.04 m, k = 2000 N/m,

k=

!F mg = ; !x x

m=

F = mg

kx (2000 N/m)(0.04 m) = ; g 9.8 m/s 2 m = 8.16 kg

209



14-46. Una masa de 4 kg cuelga de un resorte cuya constante k es de 400 N/m. Se tira de la masa haciéndola descender una distancia de 6 cm y luego se suelta. ¿Cuál es la aceleración en el instante en que se suelta? [x = 0.06 m, k = 400 N/m, m = 4 kg, F = ma = -kx]

a=

!kx !(400 N/m)(0.06 m) = ; m 4 kg a = 6.00 m/s2

14-47. ¿Cuál es la frecuencia natural de vibración del sistema descrito en el problema 14-46? ¿Cuál es la velocidad máxima? f =

1 2!

k 1 = m 2!

400 N/m ; 4 kg

f = 1.59 Hz vmáx = –2πfA = –2π(1.59 Hz)(0.06 m); vmáx= ± 59.9 cm/s *14-48. Una masa de 50 g, colocada en el extremo de un resorte (k = 20 N/m) se mueve a una velocidad de 120 cm/s cuando se coloca a una distancia de 10 cm de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la amplitud de la vibración? [v = 1.20 m/s, k = 20 N/m, x = 0.10 m, m = 0.050 kg] f =

1 2!

k 1 = m 2!

v = ±2"f A2 =

20 N/m = 3.18 Hz; (Véase ecuación del problema 14-19) 0.05 kg

A2 ! x 2 ;

v2 = 4π2f2(A2 – x2);

A2 =

v2 + x2 2 2 4! f

(1.20 m/s) 2 + (0.10 m) 2 ; A = 0.0136 m 2 ; 4! 2 (3.183 Hz) 2 A = 11.7 cm

210



*14-49. Una masa de 40 g está unida a un resorte (k = 10 N/m) y después de desviarla de su posición de equilibrio se suelta, con una amplitud de 20 cm. ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando está a la mitad del camino hacia la posición de equilibrio? f =

1 2!

k 1 = m 2!

10 N/m = 2.516 Hz; 0.04 kg

v = ±2"f

A2 ! x 2

2

" A# A $ % & = 0.75 A2 ; '2( 2

v = ±2! f

v= ± 2! (2.516 Hz)(0.866)A

v= ± 2! (2.516 Hz)(0.866)(0.20 m) v = ± 2.74 m/s 14-50. ¿Cuál es la frecuencia del movimiento para la masa del problema 14-49? f =

1 2!

k 1 = m 2!

10 N/m = 2.516 Hz; 0.04 kg

f = 2.52 Hz 14-51. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte ligero. Al mover la masa de su posición de equilibrio y soltarla, describe 20 oscilaciones en 25 s. Halle el periodo y la constante elástica. T=

25 s 20 vib

k=

T = 1.25 s;

T = 2!

4! 2 m 4! 2 (2 kg) = ; T2 (1.25 s) 2

m ; k

T2 =

4! 2 m k

k = 50.5 N/m

*14-52. ¿Qué longitud debe tener el péndulo para que el periodo sea de 1.6 s en un punto donde g = 9.80 m/s2? T = 2!

L gT 2 (9.8 m/s 2 )(1.6 s) 2 ; ; L= 2 = g 4! 4! 2

T = 63.5 cm

211



*14-53. Un objeto se mueve con un MAS de 20 cm de amplitud y 1.5 Hz de frecuencia. ¿Cuáles son la aceleración y la velocidad máximas? [A = 0.20 m; f = 1.5 Hz] a = "4! 2 f 2 A = "4! 2 (1.5 Hz) 2 (0.20 m) ;

a = ± 17.8 m/s2 vmáx = "2! fA = "2! (1.5 Hz)(0.20 m) ;

vmáx = ± 1.88 m/s *14-54. En el caso del objeto presentado en el problema 14-53, ¿cuáles son la posición, la velocidad y la aceleración 1.4 s después de que el objeto llega a su máximo desplazamiento? [f = 1.5 s; t = 1.4 s.] x = A cos(2πft) = (20 cm) cos [2π(1.5 Hz)(1.4 s)]; x = 16.2 cm v = –2πfA sen(2πft) = –2π(1.5 Hz)(0.2 m)sen [2π(1.5 Hz)(1.4 s); v = –1.11 m/s a = "4! 2 f 2 x = "4! 2 (1.5 Hz) 2 (0.162 cm);

a = –14.4 m/s2

Preguntas para la reflexión crítica *14-55. Una masa m unida al extremo de un resorte oscila con una frecuencia f = 2 Hz y una amplitud A. Si la masa m se duplica, ¿cuál será la nueva frecuencia para la misma amplitud? Si la masa no cambia y la amplitud se duplica, ¿cuál será la frecuencia?

f =

1 2!

k 1 ; f2" ; m m

f2 =

f1 2 Hz = ; 2 1.414

f12m1 = f22m2

f2 =

f12 m1 = m2

f12 m1 2m1

f2 = 1.414 Hz Puesto que la frecuencia no es una función de A, la frecuencia permanece: f2 = 2.00 Hz

212



*14-56. Considere una masa de 2 kg unida a un resorte cuya constante es 400 N/m. ¿Cuál es la frecuencia de vibración natural? Si el sistema se estira +8 cm y luego se suelta, ¿en qué puntos se maximizarán su velocidad y su aceleración? ¿Llegará a la mitad de su velocidad máxima cuando la amplitud llegue a la mitad? Calcule la velocidad máxima y la velocidad en x = 4 cm para comprobar su respuesta. f =

1 2!

k 1 = m 2!

400 N/m ; 2 kg

f = 2.25 Hz La velocidad máxima ocurre en x = 0 porque la fuerza de restauración ha estado actuando en la misma dirección por el tiempo más largo cuando x = 0, x=0 La aceleración máxima ocurre cuando la fuerza de restauración es mayor x = ± 8 cm *14-57. Una masa de 200 g está suspendida de un largo resorte en espiral. Cuando la masa se desplaza hacia abajo 10 cm, se observa que vibra con un periodo de 2 s. ¿Cuál es la constante elástica? ¿Cuáles son su velocidad y su aceleración cuando pasa hacia arriba por el punto que se localiza +5 cm por arriba de su posición de equilibrio? [f = 1/T = 0.500 Hz; x = +5 cm] T = 2!

m ; k

v = ±2! f

k=

4! 2 m 4! 2 (0.2 kg) = ; T2 (2 s) 2

k = 1.97 N/m

A2 " x 2 = ±2! (0.5 Hz) (0.10 m) 2 " (0.05 m) 2 v = + 0.272 m/s (positiva porque el movimiento es hacia arriba)

a=

!kx !(1.97 N/m)( + 0.05 m) = ; m 0.200 kg

a = –0.493 m/s2

La aceleración es hacia abajo porque la fuerza de restauración es hacia abajo.

213



*14-58. Un reloj de péndulo marca los segundos cada vez que el peso pasa por su punto más bajo. ¿Cuál deberá ser la longitud del péndulo en un lugar donde g = 32.0 ft/s? Si el reloj se lleva a un sitio donde g = 31.0 ft/s2, ¿cuánto tiempo se retrasará en un día? T = 2.0 s;

T = 2!

L ; g

Si g = 32 ft/s2, vib/día = Si g = 31 ft/s2,

T = 2!

L=

T 2 g (2 s) 2 (32 ft/s 2 ) ; = 4! 2 4! 2

L = 3.24 ft

86 400 s/día = 43,200 vib/día 2 s/vib

L 3.24 ft = 2! = 2.032 s/vib g 31 ft/s 2

Lo que significa que g = 31 ft/s, Vib/día =

86 400 s/día = 42,520 vib/día 2 s/vib

Vib. perdidas = 43,200 – 42,520 = 680 vibraciones Tiempo perdido = (2 s/vib)(680 vib) = 1360 s; Tiempo perdido = 22.7 min *14-59. Una masa de 500 g está unida a un dispositivo cuya constante elástica es de 6 N/m. La masa se desplaza hacia la derecha hasta una distancia x = +5 cm a partir de su posición de equilibrio y luego se suelta. ¿Cuáles son su velocidad y su aceleración cuando x = +3 cm y cuando x = −3 cm? f =

1 2!

k 1 = m 2!

v = ±2! f

6 N/m ; 0.5 kg

f = 0.551 Hz

A2 " x 2 = ±2! (0.551 Hz) (0.05 m) 2 " (0.03 m) 2 v = ± 0.139 m/s

La velocidad puede ser + o – u otro +3 cm o a –3 cm. A x = +3 cm: a =

!kx !(6 N/m)( + 0.03 m) = ; m 0.500 kg a = – 0.360 m/s2

A x = – 3 cm: a =

!kx !(6 N/m)( ! 0.03 m) = ; m 0.500 kg a = +0.360 m/s2

214



Tippens Fisica 7e Soluciones 14

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