Carlos Fernando Bautsa Bautsa Rodríguez Rodríguez
TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS MATEMÁTICOS Introducción Antes de comenzar comenzar a modelar matemáticamente matemáticamente es necesario necesario saber para qué modelamos. Se puede modelar para entender la realidad pero también el modelo puede servir obtener resultados que son realmente decisiones que afectarán esa realidad. En el segundo de los casos los modelos matemáticos son especialmente útiles, y dentro de ellos los modelos de programación matemática. El captulo se cier cierra ra con con una una revi revisi sión ón de otra otras s técn técnic icas as de mode modela lado do basa basada das s en las las matemáticas.
Modelos normativos y Modelos Descriptivos. !os !os modelo modelos s norma normativ tivos os e"ige e"igen n el plan plantea teamie miento nto de un model modelo o matem matemát ático ico #probablemente en forma de función ob$etivo y restricciones%. !os modelos cuya estructura se a$usta a algunos de los patrones clásicos para los que es factible la optimización optimización #programación lineal por e$emplo% forman el subcon$unto de modelos de optimización. En ocas ocasio ione nes s la estr estruc uctu tura ra del del mode modelo lo impi impide de el uso uso de algú algún n méto método do de optimización conocido, es por ello que se plantean los procedimientos &eursticos de resolución que, si bien no garantizan óptimos, permiten encontrar soluciones en espacios cortos de tiempo. !os modelos descriptivos abarcan todas aquellas técnicas de modelado que no comporta comportan n la definici definición ón de estruct estructuras uras matemáticas matemáticas que definen definen una solución solución como la deseabl deseable e para ser implemen implementad tada. a. Entre Entre los modelos modelos descriptiv descriptivos os se pueden citar los modelos de simulación, la teora de colas e incluso las técnicas de previsión entre otras. Algunos de los modelos descriptivos llevan apare$ada una carga matemática importante, mientras que otros su estructura no es de tipo matemático. Aunque ello no les quita ni un ápice de formalidad. 'or poner un e$emplo los modelos ()E*+ son altamente formales y estándar. Aunque tienen aspecto aspecto de grafo, grafo, no necesar necesariame iamente nte debieran debieran ser incluidos incluidos entre entre los que se denominan -odelos -atemáticos.
Modelos matemticos se!"n varia#les y parmetros. !os modelos matemáticos son modelos formales que utilizan el lengua$e de las matem matemát ática icas s para para descr describi ibirr un siste sistema, ma, e"pre e"presa sando ndo parám parámetr etros, os, variab variables les y relacio relaciones. nes. El lengua lengua$e $e matemát matemático ico no se limita a la e"pres e"presión ión de números números y operadores aritméticos que los relacionan. As por e$emplo la teora de grafos, ampliamente utilizada en aplicaciones prácticas, es un subcon$unto/ de la más general teora de con$untos. !os modelos matemáticos se pueden clasificar de múltip múltiple les s maner maneras. as. A conti continu nuac ación ión se desc describ riben en alguna algunas s que que se cons conside idera ran n relevantes0 relevantes0 1% !os modelos pueden ser estáticos o dinámicos. dinámicos. 2n modelo estático no tiene en cuenta el tiempo, mientras que los modelos dinámicos s. !os modelos
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dinámicos se suelen representar con ecuaciones en diferencias o ecuaciones diferenciales. 3% !os modelos pueden ser lineales o no+lineales. Si todos los operadores de un modelo son lineales el modelo es lineal. Si al menos uno es no+ lineal el modelo es no+lineal. Aunque &ay e"cepciones, los modelos lineales son muc&o más fáciles de mane$ar que los modelos nolineales. En general los modelos no+lineales pueden ser linealizados, pero entonces, es posible, que se estén perdiendo aspectos relevantes del problema. 4% 2n modelo puede ser determinista o estocástico. 2n modelo determinista es aquel en que cada con$unto de variables en un estado está definido por los parámetros del modelo y por los estados anteriores. 2n modelo determinista se comporta siempre igual para un con$unto de parámetros de entrada. En un modelo estocástico las variables de estado se representan por distribuciones de probabilidad, y por tanto el modelo es capaz de recoger aleatoriedad o incertidumbre.
Modelos de optimi$ación com#inatoria !a optimización combinatoria es una rama de la (nvestigación 5perativa que consiste en encontrar la solución óptima a un problema en que cada solución está asociada a un determinado valor #el valor de la solución%. El término combinatoria/ &ace a la rama de la matemática que estudia el número de posibilidades de ordenación, selección e intercambio de los elementos #ob$etos% de un con$unto #o colección%, es decir las combinaciones, variaciones y permutaciones. Se ocupa, en particular, del 6recuento6 de los ob$etos de dic&as colecciones #combinatoria enumerativa% y del problema de determinar si cierto ob$eto 6óptimo6 e"iste #combinatoria e"tremal%. El término optimización/ &ace referencia a este segundo aspecto de la búsqueda del me$or valor. En muc&os de esos problemas la búsqueda e"&austiva no es factible y por la estructura de los problemas tanto no es posible. !a optimización combinatoria actúa en el campo de los problemas de optimización en los que el con$unto de soluciones factibles es discreto #o reducible a discreto%. En algunos casos se tiende la tendencia a asumir que la 57 es la programación lineal entera con variables binarias.
Modelos de pro!ramación matemtica !a caracterstica común que comparten todos los modos de modelar matemáticamente es que representan la realidad mediante variables #incógnitas% y parámetros #datos%. 8ambién tenemos en cuenta algunos otros artefactos como funciones o con$untos. )e este modo la realidad queda cuantificada. Entre los modelos matemáticos están la programación dinámica o la teora de grafos. !os modelos de programación matemática se distinguen porque representan la realidad mediante funciones. Estas son combinación de variables y parámetros en forma de restricciones y9o funciones ob$etivo. En general, las restricciones se deben respetar y las funciones ob$etivo establecen la diferencia entre una solución y otra me$or. Este tipo de modelos matemáticos pertenecen al grupo de los
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modelos normativos #qué indican el camino a seguir% frente a la categora de los descriptivos #que describen la situación actual o futura%.
%na clasi&icación de modelos de pro!ramación matemtica 2na clasificación de los modelos de programación matemática podra tener en cuenta las siguientes caractersticas0 + Estructura, ob$etivos y restricciones #lineales o no+lineales% + 7aractersticas de las :ariables #;eales, )iscretas +Enteras+,
MODELOS EMPI'ICOS 7uando se desconoce un modelo teórico para un proceso en funcionamiento, es posible plantear un modelo emprico &aciendo ensayos de cambio en alguna condición de operación y registrando la variación de la variable de proceso que es afectada y que determina su estado o condición de operación. 2n procesamiento de los datos obtenidos, e"perimentalmente, permite que se a$usten a un modelo matemático, que por la forma como se encuentra es de naturaleza emprica. Se puede afirmar, que los modelos empricos, se utilizan especialmente0 > En algunos procesos que se consideran muy comple$os para modelarlos a partir de los principios fundamentales. > 'ara determinar algunos parámetros desconocidos en el modelo de un sistema. -uc&os parámetros pueden calcularse a partir de datos de la planta en estado estacionario, pero otros deben determinarse a partir de pruebas dinámicas #por e$emplo, los tiempos de residencia en sistemas sin reacción% > 'ara verificar la consistencia del modelo matemático planteado teóricamente para el sistema.
MODELO MECA(ICISTA !a relación entre el su$eto y el ob$eto es, de acuerdo con este modelo del conocimiento, un proceso mecánico que se inicia con el mero y simple entrar en contacto el su$eto con el ob$eto, a través del aparato perceptivo.
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El proceso es mecánico porque está conformado por elementos que tienen una función especfica, sin los cuales no es posible que se produzca correctamente dic&o proceso. Es como un auto, el cual funciona en razón de sus componentes mecánicos. 'ara que el auto funcione óptimamente es necesario que todos sus componentes también funcionen correctamente.
El su$eto, equipado por naturaleza con un aparato sensorial o aparato perceptivo, formado por el con$unto de los cinco sentidos, entra en contacto con el ob$eto de manera totalmente pasiva a través de dic&o aparato, el cual le reporta lo percibido a nuestra mente o conciencia, que son registradas en la memoria. Al con$unto de percepciones sensoriales se les llama e"periencia/ sensitiva, o emprica. !a e"plicación mecanicista de la relación entre el su$eto y el ob$eto, se puede decir entonces, es el fruto de la refle"ión filosófica de la escuela emprica, cuyos orgenes se encuentran desde Aristóteles y llegan &asta los pensadores ingleses ?o&n !oc@e y )avid ume. Es importante &acer la conte"tualización del modelo mecanicista porque este tema está ligado a algunos otros que se e"ponen en *ilosofa 1, y porque puedes as amplificar tu comprensión de las formas de pensar Bo métodos+ de los filósofos. El modelo mecanicista es acertado o correcto cuando e"pone que es a través del aparato perceptivo que se produce el proceso de conocer, pero falla al no lograr e"plicar aquel tipo de conocimiento que no depende de la e"periencia sensorial, sino del proceso de abstracción, fundamental en la construcción del conocimiento cientfico. )e a& que su carácter cognoscitivo sea emprico, es decir referido e"clusivamente a las percepciones sensoriales, las cuales son el resultado del re&le)o &iel* +,,o#)etivo y neutral #como si fuera un espe$o% del ob$eto, tal como seCala el modelo. !a relación entre el su$eto y el ob$eto es, de acuerdo con este modelo del conocimiento, un proceso mecnico que se inicia con el mero y simple entrar en contacto el su$eto con el ob$eto, a través del aparato perceptivo. El proceso es mecánico porque está conformado por elementos que tienen una función especfica, sin los cuales no es posible que se produzca correctamente dic&o proceso. Es como un auto, el cual funciona en razón de sus componentes mecánicos. 'ara que el auto funcione óptimamente es necesario que todos sus componentes también funcionen correctamente.
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Esto último quiere decir que el su$eto construye, con los datos empricos que le reporta su aparato perceptivo, una imagen o representación mental que es el refle$o fiel, totalmente ob$etivo y neutral, de lo que el ob$eto es. 2na idea de esto nos la puede dar el refle$o de un espe$o plano, que refle$a e"actamente la forma de los ob$etos sin distorsionarlos.
MODELOS TELEO(OMICOS. Teleonomia Es un término ideado por $acques monod, que se refiere a localidad de aparente propósito y de orientación a ob$etivos de las estructuras y funciones de los organismos vivos, la cual deriva de su &istoria y de su adaptación evolutiva para el é"ito reproductivo. !os modelos teleonómicos son aplicables a comportamientos dirigidos por metas y se formulan e"plcitamente en términos de ob$etivo
