théorie des plaques

EPFL-ENAC-SGC

Mécanique des Structures II

semestre d’automne 2010

P. Lestuzzi

Mécanique des Structures II Contenu: – Plaques

– Parois – Torsion non uniforme Objectifs:

– Compréhension analytique et intuitive intuitive du comportement mécanique des structures – Ne pas concurrencer l’ordinateur – Choisir la bonne modélisation et apprécier les résultats résultats d’une manière critique

1.

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Dalles:



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éléments porteurs principalement en béton armé

Fréquemment utilisés dans la construction, notamment dans: – Bâtiment:

– Pont:

2.

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Flexion des plaques: définitions et hypothèses

Structures bidimensionnelles planes: Plaques

charges:

perpendiculaires à la surface

Voiles

dans le plan

Hypothèses: – Normales au feuillet moyen restent normales (Bernoulli) – Le feuillet moyen ne subit aucune déformation dans son plan – Les contraintes normales au feuillet moyen peuvent être négligées – Matériau homogène et isotrope (béton, béton armé ?) – Matériau élastique linéaire (béton, béton fissuré ?) – Dalle mince d’épaisseur constante (L/h > 15) – Déformations faibles (w < 1/5 h)

Bibliographie: – Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S. : Théorie des plaques et coques. Librairie Polytechnique CH. Beranger, 1968 – Pucher A.: Einflussfelder elastischer Platten. Springer-Verlag, 1977

3.

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Flexion: rappel du mode opératoire pour les poutres (c. f. TGC 2)

Cinématique: (relations géométriques d’un petit élément isolé dans sa position déformée)

– Expression des dilatations:

dx′ r–y y = = 1 – dx r r

⇒

dx′ dx′ – dx y ε = – 1 = – = dx dx r

– Approximation des petites déformations:

ds = r dθ ≈ dx

et

dv tgθ ≈ θ = dx

2

⇒

1 dv = r dx2

relations indépendantes du matériau: valables quelle que soit la loi constitutive

4.

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rappel du mode opératoire pour les poutres (suite)

Loi constitutive: – loi de Hooke:

σ

= Eε

⇒

σ

Ey = – r

Principe d’équivalence: E E 2 M = – ∫ σ y dA = r ∫ y dA = r I A A

⇒

M 1 = EI r

Equilibre: dV – q = dx

2

dM – V = dx

⇒

Equations différentielles des poutres fléchies: 2 M dv 1 = = 2 r dx EI

4

dv

q

d M q dx2 =

5.

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Plaques: Cinématique

Conservation des sections planes (hypothèse de Bernoulli) – relation dans le plan xz (y = const.):

– déformations dans le plan xy passant par D:

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6.

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Plaques: Cinématique

Déformation d’un élément dans son plan:

Déformations spécifiques:

Déformations d’un feuillet quelconque situé à z du feuillet moyen:

7.

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Plaques: Relation d’état

Loi de Hooke à deux dimensions (c. f. TGC 3):

Contraintes:

avec les déformations déterminées auparavant:

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8.

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Plaques: Principe d’équivalence (c. f. TGC 2)

Distribution des contraintes dans la hauteur du profil:

Efforts internes correspondants:

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9.

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10.

Plaques: Principe d’équivalence

Relations entre les contraintes et les efforts internes:

avec les contraintes déterminées auparavant:

2

mx = – B (

∂w ∂x2

2

+ ν

∂w ∂y2

2

)

my = – B ( 2

mxy = – (1– ν) B

où B représente la rigidité de flexion:

∂w ∂x ∂y

∂w ∂y 2

2

+ ν

∂w ∂x 2

)

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Plaques: Conditions d’équilibre

Forces et moments agissant sur l’élément:

Les accroissements s’expriment à l’aide des dérivées partielles: dmx =

∂mx ∂x ∂q x

dx

dqx = dx ∂x

dmy =

∂m y ∂y ∂qy

dy

dqy = dy ∂y

dmxy =

∂mxy ∂x

dx

11.

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Plaques: Conditions d’équilibre

Equilibre des forces verticales:

Equilibre des moments:

après simplification:

Combinaison des conditions d’équilibre:

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12.

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Plaques: Equation de Lagrange

en introduisant l’expression des moments:

dans la relation traduisant les conditions d’équilibre:

on obtient l’équation de Lagrange (1811):

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13.

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