10. Desargues, Desargues, Pappus, Pascal, Brianchon, Brianchon, etc... 0
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ABC , A B C , si las tres rectas AA , BB , CC se interTeorema de Desargues. Desargues. Dados dos triángulos ABC , sectan en un punto S , entonces los tres puntos P = BC B C ; Q = CA C A y R = AB A B están sobre 0
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una recta. recta. Y recípr recíproc ocamente amente,, si los dos triángulos triángulos son tales que P; Q y R son colineales entonces las rectas 0 0 0 AA , BB , CC son concurrentes.
Demostración. Demostración. Cortemos los tres triángulos SB C , SC A, SAB , con las transversales P B C , QC A , RA B , respectivamente. respectivamente. 0
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Q
A' A P B'
B S R
C
C'
Por el teorema de Menelao, tenemos en magnitud y signo: SB 0 BP CC 0 = 1, B 0 B P C C 0 S
SC 0 CQ AA0 = 1; C 0 C QA A0 S
SA 0 AR BB 0 = 1: A0 A RB B 0 S
Multiplicando estas tres igualdades obtenemos, después de simpli…car, que: BP CQ AR = 1, P C QA RB
lo que muestra, por el recíproco del teorema de Menelao, la proposición. Recíprocamente, supóngase que los tres puntos P ; Q ; R son colineales. Si las rectas BB y CC se intersectan en S , necesitam necesitamos os demostrar demostrar que la recta AA también pasa por S . Por hipótesis, las rectas QR;CB;C B ; que unen vértices correspondientes de los triángulos QCC y RBB son concurrente concurrentes. s. Por la parte directa directa del teorema de Desargues, los tres puntos S = CC BB ; A = QC RB y A = C Q B R son colineales. Por tanto AA ; BB y CC concurren en S: 0
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De…niciones. En la situación del teorema anterior, los dos triángulos ABC y A B C se dice que están en perspectiva desde desde el punto punto S . El pun centro de perspectiva perspectiva , y la recta P QR es el eje de perspectiva perspectiva de los punto to S es el centro dos triángulos. triángulos. También ambién si dos triángulos triángulos ABC y A B C son tales que P = BC B C ; Q = CA C A y R = AB A B son colineales se dice que los triángulos están en perspectiva desde la recta P QR. El teorema de Desargues dice que los triángulos ABC y A B C están en perspectiva desde un punto sí y sólo si están en perspectiva desde una recta. 0
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tres puntos puntos sobre sobre una recta recta,, B , D , F , otros tres tres puntos puntos sobr sobre Teorema eorema de Pappus Pappus.. Sean A, C , E , tres F , otros otra otra recta. recta. Si las rectas rectas AB , , interse inter sectan ctan a las rectas re ctas , , en los puntos , AB, BC; CD, CD DE E F F;; F A L M , M , N , N , respectivamente, entonces estos puntos son colineales.
Demostración. Demostración. Considere el triángulo XY Z de lados AB , CD , EF . A tal triángulo triángulo lo cortan las transver transversale saless fD, E , Lg, fN , F , Ag; fC , M , B g; fC , E , Ag; fD, F , B g. Por lo que al aplicar el teorema teorema de Menelao Menelao al triángulo triángulo X Y Z con cada una de estas transversales tenemos: XD Y E Z L X N Y F Z A XC Y M ZB = 1, = 1, = 1: DY EZ LX N Y F Z AX CY M Z BX XC Y E ZA X D Y F ZB = 1, = 1: CY EZ AX DY F Z BX C
E
A Y
N L
M X
B
D
F
Z
Como L, M , N , son también puntos sobre los lados del triángulo X Y Z , y si multiplicamos las tres primeras ZL ecuaciones anteriores y dividimos entre las otras dos obtenemos: XN YMM LX = 1, es decir, L, M , N son NY Z colineales. hexágono no inscri inscrito to en una circun circunfer ferenc encia ia y L = AB DE; DE ; Teorema eorema de Pascal. Pascal. Sean ABCDEF un hexágo M = BC EF y N = CD F A; entonces L; M y N son colineales.
Demostración. X
L A
D
N B
C Z
Y
E M F
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Considere el triángulo XY Z de lados AB , CD , EF; EF ; entonces N ; M ; L estan sobre los lados X Y ; Y Z; Z X: X: Por el recíproco del teorema de Menelao si mostramos que XN Y M Z L = 1 N Y M Z LX
tendremos que L ; M ; N son colineales. Primero aplicamos Menelao al triángulo XY Z con trasversales fD ; E ; Lg; fC ; M ; Bg y fN ; F ; Ag; y obtenemos: X D Y E ZL = 1; DY EZ LX
XC Y M Z B = 1, CY M Z BX
X N Y F ZA = 1 N Y F Z AX
Ahora la potencia de X; de Y y de Z; son respectivamente X A X B = X C X D;
Y E Y F = Y C Y D;
Z A ZB = ZE ZF :
Si multipl multiplicam icamos os las tres primeras ecuaciones ecuaciones y reducimos reducimos con las identidad identidades es anterior anteriores, es, obtenemos obtenemos lo deseado. Teorema de Newton. Si un cuadrilátero ABCD tiene una circunferncia inscrita que es tangente a los lados AB;BC;CD;DA en los puntos E ; F ; G ; H ; respectivamente, respectivamente, entonces AC;EG;BD;FH son concurrentes.
Demostración. A X
H D E O G
B
C
F
Sean O = EG F H y X = EH F G: Como D es la intersección de las rectas tangentes en G y en H al incírculo, tenemos que al aplicar el teorema de Pascal al hexágono EGGFHH; que O ; D ; X son colineales. Análogamente aplicando Pascal al hexágono E E H F F G, se tiene que B ; X ; O son colineales. Luego B ; D ; O son colineales, lo que implica que las rectas EG;BD;FH son concurrentes en O: Análogamente se puede mostrar mostrar que las rectas AC;EG;FH son concurrentes en O; luego el teorema es inmediato. Teorema de Brianchon. Los seis lados AB;BC;CD;DE;EF;FA de un hexágono ABCDEF son tangentes a una circunferencia en los puntos G;H;I;J;K;L; entonces las diagonales AD;BE;CF son concurrentes.
Demostración. Sean M = AB CD; N = DE F A y aplique el teorema de Newton al cuadrilátero AMDN; para ver que las rectas AD;IL;GJ concurren digamos a A : 0
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A
G B
L
M H
B'
C
F
C'
A'
K I
P N D
j
E
Análogamente Análogamente las rectas BE;HK;GJ concurren a un punto B y las rectas C F ; H K ; I L concurren a C : Note que la recta I L coincide con la recta A C : Ahora aplicando el teorema de Pascal al hexágono GGILLH se tiene que los puntos A ; O ; P son colineales donde O = GI LH y P = I L H G: Aplicando Pascal nuevamente al hexágono HHLIIG obtenemos que C ; O ; P son colineales, luego A ; C ; P son colineales. Ahora como G = AB A B ; H = BC B C y P = CA I L = CA C A ; tenemos por el inverso del teorema de Desargues aplicado a los triángulos ABC y A B C que las rectas AA = AD; BB = BE y CC = CF son concurrentes. 0
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Ejemplo. Si un cuadrilátero ABCD tiene una circunferncia inscrita que es tangente a los lados AB;BC;CD;DA en los puntos E ; F ; G ; H ; respectiv respectivamen amente. te. Y si O es el punto de intersección de las diagonales AC y BD AO entonces OC = FAE : C A
H D E O G P
B
F
C
Por el teorema de Brianchon (o por Newton) las rectas AF; BO y CE son concurrentes. Por el teorema AE AO BF;; luego OC : de Ceva en el triángulo ABC; BF CO EB = 1 : Pero EB = BF = AE F C OA F C
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11. Ejercicio Ejercicioss y problema problemass sobre sobre Desargue Desargues, s, Pappus Pappus,, Pascal, Pascal, Brianc Brianchon hon,, etc... etc... Ejercicios Ejercicio 1. 1 . Use el teorema teorema de Desargues Desargues para demostrar demostrar que (a) los lados del triángulo triángulo órtico órtico intersec intersectan tan a los lados del triángulo triángulo dado en tres puntos colineales: colineales: (b) las rectas que unen los puntos de contact contacto o de los lados de un triángulo triángulo con el incírculo incírculo intersec intersectan tan los correspondi correspondient entes es lados lados del triángulo triángulo en tres puntos colineales, (c) las rectas que unen los vértices de un triángulo a los vértices correspondientes del triángulo tangencial son concurrentes. Establezca y demuestre otras proposiciones análogas. Sugerencia. Encuentre un punto desde el cual los triángulos están en persperctiva.
Ejercicio 2. 2 . En una hoja de papel están dibujadas dibujadas dos rectas no paralelas, paralelas, cuyo cuyo punto de interse intersección cción Q no es posible dibujar porque el tamaño de la hoja no lo permite. Ahora dibuje un punto cualquiera P sobre el papel. El problema consiste consiste en dibujar, dibujar, usando regla únicament únicamente, e, otro punto punto diferent diferentee de P que esté en la recta P Q. Sugerencia. Sugerencia. Construya un triángulo, triángulo, donde un vértice es el punto dado y los otros dos sobre las rectas dadas, trace una recta cualquiera que servirá como recta de perspectiva, ahora localice un triángulo que este en perspectiva desde esta última recta con el triángulo que se construyó.
Ejercicio 3. Si A, C , E , son tres puntos que están sobre una recta y B , D, F , están sobtre otra, y si las dos rectas AB y CD son paralelas paralelas a DE y F A respectivamente, respectivamente, entonces EF es paralela a BC . Sugerencia. Aplique varias veces el Teorema de Tales.
Ejercicio 4. Sean C y F puntos sobre los respectivos lados AE y BD de un paralelogramo AEBD. Si M y N denotan los puntos de intersección de CD con F A y de EF con BC , la recta M N intersectará DA en P y a EB en Q. Demuestre que AP = QB . M , N y L = AB DE son colineales. Sugerencia. Use el Teorema de Pappus, para mostrar que M , Ejercicio 5. 5. Si cinco de los seis vértices vértices de un hexágono hexágono están sobre una circunfere circunferencia ncia,, y los tres pares de lados opuestos se intersectan en tres puntos colineales, entonces los seis vértices están sobre una misma circunferencia. Sugerencia. Suponga que no. Siga un camino parecido cuando se demostró el inverso del Teoremas de Menelao.
Ejercicio 6. 6 . En un cuadrilát cuadrilátero ero cíclico cíclico ABCD sin dos lados paralelos, las tangentes en A y C , concurren con la recta que une el punto de intersección de AB y CD con el punto de intersección de BC y DA: AB,, Sugerencia. Siga los mismos pasos que en el Teorema de Pascal, con el triángulo XY Z formado por las rectas AB EA y la tangente en C .
Ejercicio 7. 7. Si tres triángulo triánguloss tienen tienen un centro de perspectiv perspectiva a com común, ún, entonces entonces los tres ejes de perspectiv perspectivaa son concurrentes. Ejercicio Ejercicio 8. Si tres triángu triángulos los están están en perspetiv perspetiva a por pares y los pares pares de triángu triángulos los tienen tienen un eje de perspectiva común, entonces los centros de perspectiva son colineales. Ejercicio 9. 9. Muentre que siempre es posible construir un triángulo que esté en perspectiva con un triángulo dado y que sea semejante a un segundo triángulo dado. Ejercicio 10. 10. Sean A, C , E puntos sobre una recta y B , D, F sobre otra. Si los segmentos AB y CD son paralelos a DE y F A respectivamente, respectivamente, entonces EF y BC son paralelos. Ejercicio 11. 11. En el hexágo hexágono no ABCDEF , los lados BC y EF son paralelos a la diagonal AD y los lados CD y F A son paralelos a la diagonal BE . Muestre que si AB y DE son paralelos entonces son paralelos a la diagonal CF . Muestre también que los centroides de ACE y BDF coinciden. 0
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Ejercicio 12. 12. Si el triángulo ABC está en perspectiva con los triángulos A B C y B C A entonces también está en perspectiv perspectiva a con el triángulo triángulo C B A : 0
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Ejercicio 13. 13. Usando el teorema de Desargues resuelva el ejemplo 4 de la sección 1. Sugerencia. Los triángulos A0 BC 0 y AB 0 C están en perspectiva desde una recta.
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Ejercicios con puntos y rectas inaccesibles . Un punto P se dirá punto inaccesible si está determinado por dos rectas dadas y el punto de intersección no es posible posible usarlo para la construcción. construcción. Una recta l es una recta inaccesible si está determinado por dos puntos de manera que la recta no es posible usarla para la construcción. Ejercicio 14. 14. Dado un punto ordinario P y un punto inaccesible Q, trazar la recta P Q. Sugerencia. Use Pappus o Desargues.
Ejercicio 15. Dada una recta ordinaria l y una recta inaccesible m construir el punto de intersección de estas. Ejercicio 16. Dadas dos rectas inaccesibles l y m construir su punto de intersección. Sugerencia. Usar el recíproco de Desargues.
Ejercicio 17. Dados dos puntos inaccesibles P y Q construir la recta que determinan. Ejercicio 18. Por un punto punto inaccesibl inaccesiblee trace trace una recta paralela paralela a dos rectas paralelas paralelas dadas. Ejercicio 19. Por un punto punto accesible accesible trace una recta recta paralela paralela a dos rectas paralelas paralelas inaccesible inaccesibles. s.
Problemas Problema (Macedonia, 2001) Para el circuncírculo de un triángulo ABC; sean D la intersección de la tangente en A con la recta BC; E la intersección de la tangente en B con la recta CA y F la intersección de la tangente en C con la recta AB: Muestre que D ; E ; F son colineales. Sugerencia. El hexágono es AABBCC:
Problema (?) Sean D y F los puntos medios de los arcos menores AB y CA del circuncírculo del triángulo ABC y sea E EF ; muestre que la recta J K un punto cualquiera sobre el arco menor BC: Si J = AB DE y K = CA EF; pasa por el incentro I de ABC: Sugerencia. El hexágono es CDEFBA:
Problema (Australia, 2001) Sea A ; B ; C ; A ; B ; C puntos sobre una circunferencia de manera que AA ; BB ; CC son perpendiculares a BC; CA; AB , respectiv respectivamen amente. te. Sea D un punto arbitrario de la circunferencia y sean A = A D BC; ortocentroo H de ABC son colineales. B = B D CA; C = C D AB: Muestre que A ; B ; C y el ortocentr 0
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Sugerencia. Aplique dos veces Pascal, con los hexágonos AA0 DC 0 CB y B 0 DC 0 CAB:
Problema (Iberoamericana, 2005) Sea O el circuncentro de una triángulo acutángulo ABC y A1 un punto sobre el arco menor BC de la circunferencia circunscrita de ABC: Sean A2 y A3 puntos en los lados AB y CA respectivamente, tales que \BA 1 A2 = \OAC y \CA 1 A3 = \OAB: Muestre que la recta A2 A3 pasa por el ortocentro de ABC: Sugerencia. Sugerencia. Vea primero que la altura desde B (desde C ) y la recta A1 A3 (la recta A1 A2 ) se intersectan sobre el circuncírculo circuncírculo en E 0 (en F 0 ). El hexágono es BACF 0 A1 E 0 :
Problema (Lista corta IMO, 1991) Sean ABC un triángulo y P un punto en su interior. Sean P 1 y P 2 los pies de las perpendiculares desde P BP:: Si Q1 6 a los lados AC y BC: Sean Q1 y Q2 los pies de perpendicula perpendiculares res desde C a las rectas AP y BP = P 1 y Q2 6 = P 2 ; muestre que las rectas P 1 Q2 ; P 2 Q1 y AB son concurrentes. Sugerencia. Vea que el hexágono CP 1 Q2 P Q1 P 2 es cíclico, y apliquele Pascal.
Problema (China, 1996) Sea H el ortocentro de un triángulo acutángulo ABC: Las tangentes desde A a la circunferencia de diámetro BC son AP y AQ: Muestre que P; Q y H son colineales. Sugerencia. P Q es la polar de A; luego H está sobre P Q si y sólo si A está sobre la polar de H: Puntos de la polar de H son B 0 (C 0 ) el punto de interseción de las tangentes a la circunferencia de diámetro BC en C (B ) y F (E ) el y BBFEEC: pie de la altura desde C (B ): Aplique Pascal a los hexágonos B F F E C C y
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Problema (China, 2005) Una circunferencia corta a los lados BC;CA;AB de un triángulo en los puntos D1 ; D2 ; E 1 ; E 2; F 1 ; F 2 en ese orden. orden. Sean L = D1 E 1 D2 F 2 ; M = E 1 F 1 E 2D2 y N = F 1 D1 F 2 E 2 : Muestre que las rectas AL; BM y CN son concurrentes. Sugerencia. Sean P = D1 F 1 D2 E 2 ; Q = E 1 D1 E 2 F 2 y R = F 1 E 1 F 2 D2 : Vea que A;L;P son colineales al aplicar Pascal al hexágono E 2 E 1 D1 F 1 F 2 D2 : Análogamente B ; M ; Q y C ; N ; R son colineales. colineales. Sean X = E 2 E 1 D1 F 2 ; Y = F 2 F 1 E 1 D2 y Z = D2 D1 F 1 E 2 ; aplique Pascal al hexágono D1 F 1 E 1 E 2 D2 F 2 para ver que P ; R ; X son y R;Q;Z son colinale colineales, análogamente Q ; P ; Y y colinales. s. Use después que los triángu triángulos los ABC y P QR están en perspectiva desde una recta.
Problema (Rusia, 2000) El incírculo del triángulo ABC toca al lado CA en K: Una segunda circunferencia S con el mismo centro intersecta a cada lado del triángulo en dos puntos. Sean E y F las intersecciones con AB y BC mas cercanas a B; sean B1 y B2 las intersecciones con CA con B1 mas cercano a A: Finalmente, sea P = B2 E B1 F: Muestre que los puntos B ; K ; P son colineales. Problema (San Petesburgo, 2000) Las mediatrices de los lados AB y BC de un triángulo no equilátero ABC intersectan a los lados BC y AB en A1 y C 1 , respectivamente. Las bisectrices de los ángulos \A1 AC y \C 1 CA se intersectan en B , de manera similar se de…nen A y C : Muestre que A ; B ; C estan sobre una recta que pasa por el circuncentro de ABC: 0
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Sugerencia. Vea que B 0 esta sobre la recta por O e I :
Problema (IMO, 1978) En el triángulo isósceles ABC , con AB = CA; una circunferencia es tangente internamente al circuncírculo de ABC y a los lados AB y CA en P y Q, respectivamente. Muestre que el punto medio de P Q es el centro del incírculo de ABC: Sugerencia. Vea primero que la bisectriz de \B y DQ concurren sobre el circuncírculo en un punto E , donde D es el punto de tangenci tangencia a de las circunfere circunferencia ncias. s. De igual igual manera la bisectri bisectrizz de \C y DP concurren en un punto F sobre el circuncírculo. El hexágono es ABEDFC:
Problema (Lista corta IMO, 1993) Considere un triángulo ABC; una circunferencia C es tangente a los lados AB y CA en D y E; respectivamente y también es tangente a la circunferencia circunscrita de ABC; muestre que el incentro I del triángulo es el punto medio de DE: DE : Sugerencia. Vea primero que la bisectriz de \B y F E concurren sobre el circuncírculo en un punto E 0 , donde D es el punto de tangencia de las circunferencias. De igual manera la bisectriz de \C y F D concurren en un punto D 0 sobre el circuncírculo. El hexágono es ABE 0 F D0 C:
Problema (APMO, 2006) Sean A; B dos puntos distintos sobre una circunferencia O y sea P el punto medio del segmento AB: Sea O 1 la circunferencia tangente a la recta AB en P y tangente a la circunferencia O. Sea l la recta tangente a O 1 que pasa por A y diferente a la recta AB: Sea C el punto de intersección, diferente de A; de l y O. Sea Q el punto medio del segemento BC y sea O 2 la circunferencia tangente a la recta BC en Q y tangente a la recta AC: Muestra que la circunferencia O 2 es tangente a la circunferencia O. Sugerencia. Considere O 2 la circunferencia que es tangente a O ; BC y CA: Si P y P son los puntos de tangencia de O 1 con AB y CA CA;; y Q y Q son los puntos de tangencia de O 2 con BC y CA; vea que P QP Q es un paralelogramo donde sus diagonales se cortan en el incentro de ABC:
Problema (Checa-Polaca-Eslovaca, 2005) Un cuadrilátero convexo convexo ABCD esta inscrito en una circunferencia de centro O y circunscrito a una de centro I ; las diagonales AC y BD se intersectan en un punto P: Muestre que los puntos O ; I ; P son colineales. Sugerenc Sugerencia. ia. Sean E ; F ; G ; H los puntos puntos donde donde A I ; B I ; C I ; D I corta corta al circuncí circuncírcul rculo, o, vea que EG y F H son diámetros. Use Pascal en los hexágonos ACHDBE y GCHFBE:
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