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PRIMER PERÍODO
OBJETIVO GENERAL Conoce algunos sistemas de numeración y resuelve situaciones cotidianas que involucran la utilización de conjuntos con sus respectivas relaciones y operaciones
OBJETIVO ESPECIFICO Conoce algunos sistemas de numeración y resuelve situaciones cotidianas que utilizan los conjuntos y operaciones entre ellos de unión! intersección! complemento y di"erencia
TEXTO PAGINA 11
CONTENIDO # Conjuntos • Determinación de conjuntos • Representación de conjuntos • Clasi"icación de conjuntos $ Relaci Relacione oness entre entre conjun conjuntos tos % Operac Operacion iones es entre entre conjunt conjuntos os • • • • •
&nión Intersección Complemento Di"erencia Di"erencia sim'trica
( )lgunos )lgunos sistem sistemas as de de numer numeraci ación ón
CONJU CON JUNTOS NTOS
&n conjunto es una agrupación de o*jetos! llamados elementos! los cuales tienen propiedades en com+n ,os conjun conjuntos tos se nom*ran nom*ran con letras letras may+sc may+scula ulass )!-!C )!-!C./!0 ./!0!!1 y los elementos que "orman el conjunto se sim*olizan con letras min+sculas a!*!c.!2!y!z
Determinación e c!n"#nt!$% 1& P!r E'ten$ión% se nom*ran todos los elementos del conjunto uno a uno Por ejemplo! M34$!(!5!6!#7!#$!#(!#5!#68 (& P!r c!m)ren$ión% se nom*ra la propiedad com+n a todos los elementos 9eniendo en cuenta el ejemplo anterior! M342:2 es un n+mero par menor que $78 ;C#an! #n c!n"#nt! $e etermina )!r c!m)ren$ión* e$ im)!rtante en#nciar +a )r!)iea c!n ta+ )reci$ión* ,#e )ermita ienti-icar caa #n! e +!$ e+ement!$ ,#e .acen )arte e+ c!n"#nt!/& Re)re$entación e c!n"#nt!$% &n conjunto se puede representar gr<"icamente en un diagrama de =enn o mediante un diagrama lineal Por ejemplo completa y representa el conjunto M347!#!$!%!(8 en la siguiente ta*la>
1& Diarama e Venn
•
(& Diarama Linea+
C+a$i-icación e +!$ c!n"#nt!$% 1& Conjunto universal> ?irve como re"erencia para otros conjuntos! se sim*oliza con la letra & (& Conjunto unitario> @ormado por un solo elemento & Conjunto vacAo> Carece de elementos! se sim*oliza con letra griega B que se lee "i o con un par de llaves sin elementos en su interior 48 2& Conjunto @inito> @ormado por un n+mero determinado de elementos que se pueden contar 3& Conjunto in"inito> @ormado por un n+mero indeterminado de elementos que no se pueden contar
9),,ER o # COF&9O? Re$)!ne&
( Cómo se determina un conjuntoH
1 4Gu' pala*ras se pueden cam*iar por agrupación en la de"inición de conjuntoH
Gu' diagramas representar conjuntosH
se
utilizan
para
2 Gu' clase de conjunto es el conjunto "ormado por todos los m+ltiplos de un n+meroH 3 Gu' clase de conjunto es el conjunto "ormado por las ciudades de un paAs determinadoH Inica +a$ e')re$i!ne$ ,#e eterminan c!n"#nt!$&
10 C 3 42:2 es m+ltiplo de K8 11 C es un conjunto in"inito E$cri9e e+ c!n"#nt! ,#e re)re$enta caa imaen ; e')r<$a+! )!r c!m)ren$ión&
E')+ica t# re$)#e$ta&
6 ,as "lores m
E$cri9e caa c!n"#nt! )!r e'ten$ión ; c+a$i-=ca+! en -init!* in-init!* #nitari! ! :ac=!&
7 ,as prue*as di"Aciles
12 ) 3 L2:2 es un n+mero par
8 ,os paAses de )m'rica del sur
13 - 3 L2:2 es un n+mero primo entre $7 y $N
O9$er:a e+ iarama e Venn& L#e!* etermina e+ :a+!r e :era e caa )r!)!$ición&
15 C3 42:2 ∈ N, X ≤ 0}
5 ,os estudiantes mayores de ## aJos
c
17 D = { x/x es un baile típico de
Colombia} Lee y resuelve
Juan realia durante todo el a!o las acti"idades re#istradas en el si#uiente planeador$ Ener!
Fe9rer!
>ar?!
=iaja a 9ol+ de vacaciones
Inicia clases en el colegio J#ni!
Participa en una o*ra de teatro
Realiza un campament o ecológico
Participa en un torneo de "+t*ol
Realiza una e2cusión de vacaciones
A!$t! Presenta evaluacione s trimestrales
Se)tiem9re
Oct#9re
N!:iem9re
Diciem9re
Organiza un *aile para un evento
Participa en un torneo de ajedrez
Presenta evaluacione s "inales
?ale a vacaciones y va a la playa
>a;!
J#+i!
A9ri+ Presenta e2
Determina )!r e'ten$ión +!$ c!n"#nt!$ ,#e c#m)+en +a$ $i#iente$ caracter=$tica$% 17 )3 42:2 es un mes para presentar evaluaciones8 18 -3 42:2 es un mes para participar en los torneos $7 C 3 42:2 es un mes de vacaciones8 $# D 3 42:2 es un mes para realizar un campamento8 $$ E 3 42:2 es un mes para realizar una peregrinación8 $% Cu
d∈% p ∈% n & % m & %
(3 O9$er:a e+ iarama& L#e!* c!m)+eta +a$ a-irmaci!ne$ )ara ,#e $ean :eraera$ Re+aci!ne$ entre c!n"#nt!$% a Relación entre un elemento y un conjunto> permite esta*lecer si un elemento pertenece o no pertenece al conjunto! y se conoce como re+ación e )ertenencia& Cuando un elemento 2 pertenece a un conjunto ) se escri*e> 2 ∈ '
(i x N) pertenece a un con*unto ' se escribe + x & '
* elaci-n entre dos con*untos+
Re+aci!ne$ Entre D!$ C!n"#nt!$
Inc+#$ión
&n conjunto ) est< incluido en - o es su*conjunto de - si todos los elementos de ) son elementos de - y se sim*oliza ) Β Dos conjuntos ) y - son
I#a+a
Inter$ecante$
Di$;#nt!$
iguales si todos los elementos de ) son elementos de - y todos los elementos de - son elementos de ) y se sim*oliza ) 3 Dos conjuntos ) y - son intersecantes cuando tienen elementos comunes! pero ) - y )! es decir ) no est< contenido en - y - no est< contenido en ) Dos conjuntos ) y - son disyuntos cuando no tienen ning+n elemento en com+n
TALLER N! ( RELACI@N ENTRE CONJUNTOS
A-ian?! CO>PETENCIAS Re$)!ne& 1 Por qu' es necesario relacionar dos conjuntosH
E$ta9+ece e+ :a+!r e :era )ara caa )r!)!$ición& J#$ti-ica t# re$)#e$ta c!n #n e"em)+!
( Cu
3 ?i )
?i todos los elementos de ) pertenecen a -! pero no todos los elementos de - pertenecen a )! cu
Β
y-
)> entonces!
)3- 5 ?i )
y 6 ?i )
C
) .
Βy
Α, entonces! ) - son disyuntos Βy
-
C! entonces
7 Para todo )! se cumple que
∅ ⊂ Α. O9$er:a e+ iarama e :en ; e$cri9e ∈,
&,
$en +a re+ación ,#e e'i$te entre e+ement! ; c!n"#nt! ! entre caa )ar e c!n"#nt!$
17 342:2 es una ciudad de ?uram'rica 18 342:2 es una ciudad de )m'rica (0342:2 es una ciudad de orteam'rica8 (13 42:2 es una ciudad de Colom*ia8 El siguiente esquema presenta la clasi"icación de los animales>
K $ #7 6 G ## $M #$ M #% GP #( P
Determina )!r e'ten$ión caa )ar e c!n"#nt!$ ; rea+i?a e+ iarama e Venn ,#e re)re$enta +a re+ación ,#e .a; entre e++!$& 13 ) 3 42:2 es un n+mero par! 2 ≤ .}
- 3 42:2 es un divisor de #58
15 F 3 42:2 es una vocal de la pala*ra pacA"ico 3 42:2 es una vocal de la pala*ra castillo 16 = 3 42:2 es un mes con %7 dAas Q 3 42:2 es un mes del aJo om*ra cada conjunto a partir de las relaciones que se esta*lecen en el siguiente diagrama de =enn
((&Organiza las clases de animales en un diagrama de =enn teniendo en cuenta que> • ) es el conjunto de animales • = es el conjunto de verte*rados • I es el conjunto de inverte*rados • C es el conjunto de animales de sangre caliente • @ es el conjunto de animales de sangre "rAa • O es el conjunto de ovAparos
Resuelve
• • •
( Realiza un diagrama de =enn para ilustrar las siguientes relaciones 9odos los cereales son alimentos ing+n l
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
.$ UNI@N ENTRE CONJUNTOS C!nce)t!
Se $im9!+i?a
,a unión de dos conjuntos ) y - es el conjunto "ormado por los elementos que pertenecen a )! a - o am*os
AUB
Determinación )!r c!m)ren$ión
∈'2X∈ 1}
A U B XX
Re)re$entaci!ne$ r-ica$ C!+!rea +! ,#e re)re$enta +a #nión en caa iarama e Venn A ; B $!n inter$ecante$% A ; B $!n i$;#nt!$% los B e$ $#9c!n"#nt! e A% los los conjuntos tienen conjuntos no tienen elementos de - son elementos elementos comunes elementos comunes de )
C!nce)t! ,a intersección de dos conjuntos ) y - es el conjunto "ormado por los elementos comunes de ) y -
1& INTERSECCI@N ENTRE CONJUNTOS Se $im9!+i?a Determinación )!r c!m)ren$ión A ∩ - 3 4/:/ ∈ ' A ∩-
X
∈ 1}
Re)re$entaci!ne$ Gr-ica$ C!+!rea +! ,#e re)re$enta +a inter$ección en caa iarama e Venn A ; B $!n inter$ecate$
A ; B $!n i$;#nt!$
B e$ $#9c!n"#nt! e A
TALLER N! UNI@N ENTRE CONJUNTOS
S!m9rea c!n +=nea$ +a reión e+ iarama e Venn ,#e c!rre$)!ne a +a #nión entre +!$ c!n"#nt!$ > ; N&
#( Cu
Lee ; re$#e+:e Determina )!r e'ten$ión caa #nión& L#e!* rea+i?a e+ iarama e Venn c!rre$)!niente& 3 ) 3 L2:2 es un divisor de N(8 - 3 42:2 es un divisor de (68 5 C 3 42:2 ∈ N, 3 ≤ X ≤ .4} D '' ∈ N x ≤ .4} 6 3 42:2 es un pez de agua dulce8 S 3 42:2 es un pez de agua salada8
Para el dAa del amor y la amistad el grado se2to realiza una "ista! 6 estudiantes piden! estudiantes piden pizza y Uelado y N estudiantes piden solo Uelado #T Realiza un diagrama de =enn para determinar cu
Encuentra las uniones a partir de los siguientes conjuntos M 3 4#! %! N! T! K8 3 4$! (! 5! 68 R 3 4$! %! N! T8
7 M& K &R 10 M & & R 11 M & R 1( M & & R 1 M & & ∅ Re$#e+:e El siguiente diagrama de =enn representa a los estudiantes que tienen iPod! iPUone o los dos! donde P es el conjunto de los estudiantes que usan iPod y @! que usan iPUone
TALLER N! 2 INTERSECCI@N ENTRE CONJUNTOS
Ha++ar +a inter$ección entre caa )ar e c!n"#nt!$& 1 ) 3 42:2 es un divisor de $68 y - 3 42:2 es un divisor de %N8 $ C 3 42:2 ∈ X es par} D 3 42:2 ∈
N, .4
≤ X ≤40
N, .4 ≤ X
≤40}
E 3 42:2 es una vocal de la pala*ra renacuajo8 y @ 3 42:2 es una consonante de la pala*ra estanque8 O9$er:a e+ iarama e Venn ; etermina e+ :a+!r e :era e +a$ e')re$i!ne$ aa$& J#$ti-ica t# re$)#e$ta&
2 A∩ Β = Β ∩ C 3 A ∩ ∅ = {2,3,4,5,6,9,10} 5 A ∩ ( Β & C 3 4%!(8 6 A ∩ & 3 4#$! #%!#(8 7 A & B ∩ ( Β & C 3 S!m9re c!n +=nea$* en e+ iarama* caa !)eración ; c!m)ara +!$ re$#+ta!$& 8 A ∩ ( Β & C
#7 A & B ∩ ( Β & C
En un concurso de *aile participaron %N personas ?i $6 personas *ailaron ballet y $# *ailaron "lamenco! responde> ## Cu )! - y C! y se o*tuvieron los siguientes resultados> a %% personas les gusta la *e*ida )! a %6 personas les gusta la *e*ida -! %7 personas les gusta la *e*ida C! #6 personas *e*en tanto ) como -! #$ personas *e*en ) y C! y #N personas *e*en - y C )dem
(& CO>PLE>ENTO UN CONJUNTO C!nce)t!
Se $im9!+i?a
El complemento de un conjunto ) contenido en un conjunto universal &! es el conjunto "ormado por todos los elementos que est
Determinación )!r c!m)ren$ión
) ) 3 42:2 ∈
5 X & '6
Re)re$entaci!ne$ Gr-ica$ C!+!rea +! ,#e re)re$enta +a #nión en caa iarama e Venn
TALLER N! 2 CO>PLE>ENTO ENTRE CONJUNTOS U9ica +!$ c!n"#nt!$ U e*#*c*a*+*)*t*!* A a *e * i* !* # ; B c* a* +* i en caa iarama e Venn ; $!m9rea c!n +=nea$ +a$ !)eraci!ne$ inicaa$&
Re)re$enta caa $it#ación en e+ iarama e Venn ; re$#e+:e& ( &na galerAa presenta las o*ras de aren y de Senry! )la e2posición asisten #6N personas! de las cuales TN personas aprecian l as o*ras de aren! 67 aprecian las o*ras de Senry y $7 o*servan las dos o*ras Cu
$%( ?e realizó una encuesta a $77 personas so*re su canal de televisión nacional pre"erido ,oa resultados o*tenidos "ueron los siguientes> #7N personas pre"ieren el canal )! K6 pre"ieren el canal -! K7 pre"ieren el canal C! (N pre"ieren el canal ) y -! %N pre"ieren el canal )y C! (7 pre"ieren el canal - y C y $N personas pre"ieren los tres canales Cu
& DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
Concepto
,a di"erencia entre los conjuntos ) y -! es el conjunto "ormado por todos los elementos que pertenecen a ) y no pertenecen a -
?e sim*oliza ) W -
Determinación por comprensión ) W - 3 42:2 ∈
'X&
1}
Re)re$entaci!ne$ Gr-ica$ c!+!rea +! ,#e re)re$enta +a #nión en caa iarama e Venn ) W -
) W- 3
)V-
2& DIFERENCIA SI>TRICA ENTRE CONJUNTOS Concepto ,a di"erencia sim'trica entre los conjuntos ) y - es el conjunto "ormado por todos los elementos que no pertenecen a la unión de ) y - y no pertenecen a la intersección de ) y -
?e sim*oliza )
Determinación por comprensión
∆ B
) - 34 2:2 ∈ A & B ; ' & A ∩ Β)
Re)re$entaci!ne$ Gr-ica$ c!+!rea +! ,#e re)re$enta +a #nión e caa iarama e Venn )
)
∆ B
∆ B
TEXTO PAGINA (6 CONTENIDO # ?istema de numeración decimal $ ?istema de numeración *inario % Conjunto de los n+meros naturales • Representación de • Orden de (
Operaciones entre n+meros naturales • )dición • ?ustracción • Multiplicación • División • Polinomios )ritm'ticos con n+meros aturales
SISTE>A DE NU>ERACI@N DECI>AL
)
∆ B
En la actualidad es el sistema de numeración m seg+n el nom*re de la posición de cada ci"ra! en notación e2ponencial o en notación polinómica Por ejemplo para escri*ir el n+mero dos millones cuatrocientos treinta y dos mil quinientos veintiocUo $(%$N$6! lo podemos representar asA> om*re de la &m &nidades posición de millón otación especial #75 =alor EFEMP,O Posición E2ponencial Polinómica
CM Centena s de mil
DM Decena s de Mil
&M &nidade s de Mil
C Centena s
D Decena s
& &nidade s
#7N
#7(
#7%
#7$
#7#
#77
#7
#
#77777 #77777 #7777 #777 #77 7 $ ( % $ N $ &m (CM %DM $ &M NC 5 N ( % $ 2 #7 X ( / #7 X% 2 #7 X $ 2 #7 X N /#7$ X $ $777777 X (77777 X %7777 X $777 X N77 X $7 X 6
$ 6 $D 6& # 2 #7 X 6 2#77
TEXTO PAGINA 81
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Di:i$i9i+ia entre
Criteri!
E"em)+!
DOS
?i la +ltima ci"ra es par
$6
TRES
?i la suma de sus ci"ras es m+ltiplo de %
N5#
CUATRO
?i las dos +ltimas ci"ras son ceros o "orman un m+ltiplo de ( ?i la +ltima ci"ra es 7 ó N
#7#5
?i es divisi*le entre $ y entre %
%$( %(% #7N $$5#
NUEVE
?i la di"erencia entre el n+mero sin la ci"ra de las unidades y el do*le de la ci"ra de las unidades es 7 ó un m+ltiplo de T ?i las tres +ltimas ci"ras son ceros o "orman un m+ltiplo de 6 ?i la suma de sus ci"ras es m+ltiplo de K
#((7
DIEK
?i la +ltima ci"ra termina en 7 ?i la di"erencia entre la suma de las ci"ras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 7 o un m+ltiplo de ##
#$# ($$( 5%5TK
N$N
CINCO SEIS SIETE
OCHO
ONCE
#7(6 %55%
TEXTO PAGINA 108 TERCER PERIODO OBJETIVO GENERAL )plicar los conceptos de la teorAa de n+meros en la solución de pro*lemas y resolver ejercicios que requieren del uso de ecuaciones! potenciación! radicación logaritmación en el conjunto de los n+meros naturales
OBJETIVO ESPECIFICO )plicar los conceptos de la teorAa de n+meros m+ti)+!$* i:i$!re$* nmer!$ )rim!$* mcm* mc en la solución de pro*lemas y resolver ejercicios que requieren del uso de ecuaciones! potenciación! radicación logaritmación en el conjunto de los n+meros naturales
CONTENIDO # Ecuaciones
(& Te!r=a e Nmer!$ • • • • • •
M+ltiplos de un +mero Divisores de un +mero +meros primos y compuestos Criterios de Divisi*ilidad M<2imo Com+n Divisor MAnimo Com+n M+ltiplo
% Operaciones entre n+meros aturales • Potenciación • Radicación • ,ogaritmación
TEXTO PAGINA 18 OBJETIVO GENERAL
'nalia, reconoce resuel"e situaciones 7ue in"olucran 8racciones, con sus respecti"as operaciones b9sicas$ OBJETIVO ESPECFICO
esuel"e situaciones cotidianas 7ue in"olucran la utiliaci-n de 8racciones con sus respecti"as operaciones de suma, resta, multiplicaci-n di"isi-n$
