1
REVIEW BUKU
HYDROLOGIC MODELS CHAPTER 2
TIME SERIES ANALYSIS AND STOCHASTIC MODELLING Pengarang : Chong-yu Xu 2002
SERIES ANALISIS TI M E SERIES DAN MODEL STOKASTIK DAN 1. PENDAHULUAN
Materi yang disajikan dalam bab ini dapat dibagi menjadi empat bagian utama. Bagian pertama adalah tentang sifat statistik dan komponen dari time series . Bagian selanjutnya dari bab ini adalah pembahasan metode untuk mengidentifikasi dan ser i es hidrologi. Bagian ketiga dari pemodelan komponen yang berbeda dari ti me se
bab ini adalah pembahasan berbagai jenis model stokastik yang tersedia . Bagian presentasi dari bidang penerapan model stokastik . terakhir dari bab adalah presentasi 2. TIME SERIES T i me ser ser i es adalah suatu himpunan pengamatan yang dibangun secara berurutan
dalam waktu. Dalam banyak kasus, pola perubahan dapat berasal dari penyebab yang
jelas dan mudah dipahami dan dijelaskan, tetapi jika ada beberapa penyebab untuk variasi dalam nilai time series , menjadi sulit untuk mengidentifikasi beberapa efek individual. Pada Gambar 2.1, grafik atas menunjukkan serangkaian pengamatan berubah dengan waktu sepanjang absis, sumbu ordinat mewakili nilai-nilai perubahan y dengan y dengan waktu, t . Dari inspeksi visual dari seri, ada tiga fitur yang terlihat dalam pola pengamatan, Pertama, ada peningkatan bertahap teratur secara keseluruhan dalam ukuran nilai, tren ini, diplot sebagai komponen terpisah y terpisah y1 (t (t ), ), menunjukkan peningkatan linier dalam ukuran rata-rata y dengan waktu. Kedua, teratur jelas dalam seri komposit adalah variasi siklus, yang diwakili secara terpisah oleh y2 (t ), ), komponen periodik. Ketiga , Single tinggi puncak setengah jalan sepanjang seri. Hal ini biasanya hasil dari
peristiwa bencana langka yang tidak dari bagian dari pola dikenali. Analisis time series ser ies dan model stokastik fitur dari seri adalah komponen stokastik acak, y4 (t ), ), yang merupakan variasi yang tidak teratur tetapi terus dalam nilai yang terukur dan mungkin memiliki beberapa persistensi. Ini mungkin karena instrumental kesalahan observasi
2
sampling atau mungkin berasal dari fluktuasi acak dijelaskan dalam proses fisik alami. Time series dikatakan proses acak atau stokastik jika mengandung mengandung komponen komponen stokastik. Oleh karena itu, sebagian besar hidrologi time series dapat dianggap dianggap sebagai proses proses stokastik karena mengandung kedua komponen deterministik dan stokastik. Jika deret waktu hanya berisi komponen random / stokastik dikatakan proses acak murni atau stokastik. Seri pegamatan lengkap, y lengkap, y((t ), ), sehingga dapat dinyatakan dengan:
(1)
Dua bentuk yang pertama adalah dalam bentuk deterministik dan dapat diidentifikasi dan diukur cukup mudah, dua bentuk terakhir adalah stokastik dengan elemen utama acak, dan beberapa efek persistensi kecil, kurang mudah diidentifikasi dan diukur.
Gambar 1. Komponen time series .
3. SIFAT SIFAT WAKTU SERIES Tujuan dari model stokastik adalah untuk mewakili sifat statistik yang penting
. Contoh sifat ini antara lain: tren, korelasi serial, ser i es dari satu atau lebih ti me se
3
kovarians,
korelasi
silang,
dll.
Statistik
dasar
biasanya
digunakan
untuk
mengekspresikan sifat/ karakteristik dari time series. Nama
Mean
Varians
Kovarians
Contoh Estimasi
Notasi Untuk
No.
Populasi
Pers
̅ ̅ ̅ ̅
(2)
(3)
(4)
Time ser ies Stasioner
Jika sampel statistik (mean, varians, kovarians, dll) yang dihitung oleh persamaan 2 & 4, adalah bukan waktu atau panjang sampel , maka time series dikatakan stasioner pada saat orde kedua, stasioner mingguan, atau stasioner dalam arti luas. Secara matematis kita dapat menulis sebagai:
Dalam hidrologi, order ketiga dan lebih tinggi jarang dipertimbangkan karena tidak dapat diandalkan untuk perkiraan. Order kedua stasioner, juga disebut kovarians stasioner, biasanya sudah cukup dalam hidrologi. Dikatakan stasioner ketika distribusi X t tidak tergantung pada waktu dan ketika semua distribusi simultan dari variabelvariabel acak proses hanya tergantung pada time-lag . Dengan kata lain, proses dikatakan stasioner jika momen-n-th order kejadian (n untuk setiap bilangan bulat) tidak tergantung pada waktu dan tergantung hanya pada time-lag . Nonstationary time series
Jika nilai-nilai statistik sampel (mean, varians, kovarians, dll) yang dihitung oleh persamaan 2 dan 4 tergantung pada waktu atau panjang sampel , yaitu jika tren tertentu adalah dilihat dalam seri, maka itu adalah seri non-stasioner . Demikian pula,
4
periodik dalam seri berarti bahwa itu adalah non-stasioner . Secara matematis kita dapat menulis sebagai:
White noise time ser ies
Untuk hubungan seri stasioner, jika proses adalah murni acak dan stokastik independen, time series disebut White noise time series . Secara matematis kita dapat
menulis sebagai:
Untuk semua
Gaussian time seri es
Sebuah proses acak Gaussian adalah proses (tidak harus stasioner) yang semua variabel acak terdistribusi secara normal , dan semua variabel acak yang terdistribusi serentak
dari proses ini adalah normal. 4. ANALISIS HIDROLOGI TI M E SERIE S
Metode analisis time series . Topik khusus ini dalam statistik matematika memberikan bantuan berharga bagi insinyur dalam memecahkan masalah yang melibatkan frekuensi kejadian peristiwa hidrologi utama. Secara khusus, ketika rekaman data hanya relatif pendek yang tersedia, perumusan model time series
dari data tersebut dapat
memungkinkan menghasilkan urutan panjang sebagai data pembanding yang akan memberikan dasar untuk perkiraan yang lebih baik dari perilaku hidrologi. Selain itu, analisis time series curah hujan, penguapan, limpasan dan rekaman lainnya berurutan variabel hidrologis dapat membantu dalam evaluasi setiap penyimpangan dalam rekaman data. Tugas analisis time series meliputi:
1). Identifikasi beberapa komponen time series 2). Deskripsi matematis (modeling) komponen yang berbeda diidentifikasi Jika time series hidrologi diwakili oleh X 1 , X 2 , X 3 , ..., X ,t ..., kemudian secara simbolis, mewakili struktur X t oleh:
5
,dimana
adalah komponen trend,
adalah komponen periodik dan
adalah
komponen stokastik . Dua komponen pertama adalah fitur deterministik spesifik dan tidak mengandung unsur keacakan . Yang ketiga, stokastik, komponen berisi baik fluktuasi acak dan persistensi self-correlated dalam seri data. Ketiga komponen
membentuk model dasar untuk analisis time series . Tujuan dari analisis time series antara lain tapi, tidak terbatas pada:
(1) Deskripsi dan pemahaman tentang mekanisme, (2) Simulasi Monte-Carlo (3) Peramalan evolusi masa depan, Dasar analisis stokastik adalah asumsi bahwa proses ini stasioner. Pemodelan time
series jauh lebih mudah jika stasioner. 4.1. Komponen Trend
Hal ini mungkin disebabkan oleh perubahan iklim jangka panjang atau, dalam aliran sungai, oleh perubahan bertahap dalam respon DAS untuk curah hujan karena perubahan penggunaan lahan. Kadang-kadang, kehadiran tren tidak dapat segera diidentifikasi. Metode identifikasi trend:
Dua metode yang umum digunakan untuk mengidentifikasi tren, yaitu :
(1) Mann-Kendall test
Tes
menggunakan
data
hidrologi
baku
(un-smoothed) untuk
mendeteksi
kemungkinan tren. Statistik Kendall pada awalnya dirancang oleh Mann (1945) sebagai tes non-parametrik untuk tren. Kemudian distribusi yang tepat dari uji statistik diperoleh oleh Kendall (1975).
The Mann-Kendall tes didasarkan pada uji statistik S
didefinisikan sebagai berikut:
∑ ∑ dimana
(5)
adalah nilai data sekuensial, n adalah panjang dari kumpulan data, dan.
6
( ) ∑ √ {√
(6)
Mann (1945) dan Kendall (1975) telah mendokumentasikan bahwa ketika, statistik S distribusi mendekati normal dengan mean dan varians sebagai berikut:
(7)
- - t t -t
(8)
Dimana :
= jumlah data
= jumlah ikatan untuk nilai
(jumlah data dalam kelompok
)
= jumlah nilai terikat (jumlah kelompok dengan nilai-nilai yang sama / ikatan) Standar uji statistik Mann-Kendall dihitung dengan
(9)
Standar MK statistik Z mengikuti standar distribusi normal dengan mean nol dan varians adalah satu.
Hipotesis bahwa belum ada tren akan ditolak jika
|| Dimana
(10) adalah nilai dibaca dari tabel standar distribusi normal dengan α menjadi
tingkat signifikansi tes. (2) Metode Regresi Linear
Metode regresi linier dapat digunakan untuk mengidentifikasi apakah terdapat kecenderungan linear dalam time series hidrologi. Prosedur ini terdiri dari dua langkah, pemasangan persamaan regresi linier dengan waktu T sebagai variabel independen
dan data hidrologi, Y sebagai variabel dependen, yaitu.
da meguji sigifikasi statistik dari koefisie regresi β.
(11)
7
Uji hipotesis mengenai β dapat dilakukan dengan mencatat bahwa
∑̅
distribusi dengan derajat bebas
memiliki
. Dengan demikian hipotesis
diuji dengan menghitung.
Dimana
adalah standar deviasi koefisien
versus
(12)
(13)
Dan
∑
||
Dimana adalah standar eror regresi,
dan
(14)
adalah variabel hidrologi diamati dan
estimasi dari persamaan regresi, masing-masing. Hipotesis
, bukan tren, ditolak jika
Model untuk tren:
Bentuk tren tergantung pada latar belakang fenomena yang diteliti. Setiap tren halus yang dilihat dapat diukur dan kemudian dikurangkan dari seri sampel. Model umum untuk tren dapat mengambil bentuk sebagai berikut:
a t
Atau
(tren linear, seperti gambar 1)
a
Koefisien
(tren non linear)
(15)
(16)
biasanya dievaluasi oleh least-squares fitting . Jumlah bentuk yang
diperlukan dalam tren polinomial yang terutama dikenakan oleh interpretasi dari fenomena yang diteliti. Restriction dibuat dengan persyaratan yang signifikan karena prinsip penyederhanaan mengenai jumlah parameter tidak diketahui (konstanta) yang digunakan dalam model. Menggunakan sejumlah parameter sekecil mungkin , karena dalam banyak kasus penambahan parameter pelengkap mengurangi akurasi parameter lainnya. Juga prediksi dan kontrol prosedur berkorelasi negatif dipengaruhi oleh jumlah parameter yang berlebihan. Prinsip penyederhanaan tidak hanya penting sehubungan dengan pemilihan fungsi tren tetapi juga sehubungan dengan bagian lain dari model. 4.2. Komponen Periodik
8
Sebagian besar data seri tahunan, tidak ada variasi siklis dalam pengamatan tahunan, tetapi dalam urutan data bulanan efek periodik musiman terlihat berbeda jelas. Keberadaan komponen periodik dapat diselidiki secara kuantitatif dengan (1) analisis Fourier, (2) analisis spektral, dan (3) analisis autokorelasi. Identifikasi komponen periodik dengan autokorelasi
Prosedur terbagi atas dua, menghitung koefisien autokorelasi dan menguji statistik signifikan. Untuk serangkaian data,
, koefisien korelasi
antara
dan
dihitung dan diplot terhadap nilai-nilai L (dikenal sebagai lag), untuk semua unit pasangan data waktu L terpisah dalam seri:
∑ ∑
di mana adalah mean dari sampel nilai n dari
nilai dari nol sampai n / 4. Sebuah plot Karakteristik dari time series
(17) dan L biasanya diambil untuk nilai-
vs L membentuk correlogram tersebut.
dapat dilihat dari correlogram tersebut. Contoh
correlograms dpat dilihat pada gambar 2. Perhitungan persamaan (17) untuk berbagai L memberikan kasus-kasus sebagai berikut:
Jika satu.
Jika
,
. Artinya, korelasi pengamatan dengan dirinya sendiri adalah
,
. proses ini dikatakan sebagai proses murni acak. Hal ini
menunjukkan bahwa pengamatan linear independen satu sama lain . Correlogram untuk time series acak ditunjukkan pada gambar 2 (a).
Jika
untuk beberapa
, tetapi setelah
, kemudian
. time
series masih disebut hanya sebagai satu acak (tidak murni acak) karena memiliki 'memori' sampai
. Ketika
untuk apa yang terjadi sebelum waktu
, Proses dikatakan tidak memiliki memori
. Correlogram untuk proses stokastik
non-independen seperti ditunjukkan pada gambar 2 (b). Ini merupakan perwakilan dari proses regresif auto. Biasanya, correlogram tersebut dapat dihasilkan dari serangkaian yang dijelaskan oleh Model Autoregressive:
Dimana
adalah terkait dengan koefisien autokorelasi
independen acak.
(18)
dan
adalah elemen
9
Dalam kasus data yang mengandung komponen siklik (deterministik), kemudian
untuk semua
. Correlogram akan tampak seperti di gambar 2 (c).
Dimana adalah periode siklus. Pemodelan komponen periodik:
Sebuah fungsi periodik
adalah fungsi sehingga
untuk semua
Nilai terkecil
disebut period. Dimensi T adalah waktu. T adalah jumlah waktu-unit
(tahun, bulan, hari atau jam, dll) dan juga memiliki. untuk semua dan untuk semua bilangan bulat
.
Frekuensi didefinisikan sebagai jumlah periode per unit waktu:
Fungsi trigonometri adalah fungsi periodik sederhana. Misalnya
10
Gambar 2. Contoh Correlogram
⁄ [ ] Memiliki periode
, karena
frekuensi sudut didefinisikan sebagai
the konstan disebut amplitudo dan fase
(terhadap titik asal) dari fungsi-sinus.
Sebuah model sederhana untuk komponen periodik dapat didefinisikan se bagai
di mana
(19)
adalah amplitudo gelombang sinus mengenai tingkat
gelombang .
dan panjang
11
The serial (auto) koefisien korelasi untuk
tersebut diberikan oleh:
(20)
Kurva kosinus berulang setiap T unit waktu sepanjang correlogram dengan Untuk
Jadi periodisitas dalam suatu kurun waktu yang dihadapkan
oleh siklus reguler di correlograms yang sesuai. Setelah periodisitas signifikan.
telah diidentifikasi dan diukur dengan
deviasi) mereka dapat dihapus dari time series asli bersama dengan tren.
seri terbaru.
terbentuk:
[]}
Perilaku ini menyebabkan ide untuk model
mana lagi
(standar
adalah data
(21) dengan serangkaian Fourier terpotong
adalah waktu dalam sebulan. Tanda plus di akhir diperlukan untuk
menghindari nilai negatif dari
. Parameter , dan adalah karakteristik DAS.
4.3. Komponen Stokastik
mewakili komponen stokastik sisa time series bebas dari tren non-stasioner dan
periodisitas dan biasanya dianggap cukup stasioner untuk tahap berikutnya dalam analisis time series
sederhana. Komponen
ini dianalisa untuk menjelaskan dan
mengukur setiap persistensi (serial (auto) korelasi) dalam data dan setiap keacakan independen sisa. Standar pertama, yaitu:
̅ ̅
Dimana
dan
(22)
adalah mean dan deviasi standar dari seri
. Seri,
, kemudian
memiliki rata-rata nol dan satuan deviasi standar. Koefisien autokorelasi dari
dihitung dan correlogram yang dihasilkan diperiksa untuk bukti dan pengakuan korelasi dan / atau struktur acak. Misalnya, dalam gambar 3a untuk aliran bulanan, correlogram dari seri stasioner (dengan
periodisitas
dihapus)
memiliki
ciri
khas
Membandingkannya dengan gambar 2, yang correlogram
yang
dapat
menyerupai sebuah proses
regresif auto (Markov). Untuk urutan pertama Model Markov.
dikenali.
(23)
12
dimana
adalah koefisien autokorelasi lag 1 dari seri
independen acak. Serangkaian residual
dan
adalah residual
kemudian dapat terbentuk dari seri
yang diketahui lag 1 koefisien autokorelasi nya,
:
dan
(24)
Correlogram residual akhirnya dihitung dan digambar (Gambar 3b). Untuk data ini ini menyerupai correlogram dari 'white noise', yaitu didistribusikan nilai independen acak. Jika masih ada tanda-tanda autoregresi di dicoba, dan orede meningkat sampai frekuensi dari nilai
correlogram, orde kedua Markov Model
acak correlogram diperoleh. Diagram distribusi
urutan pertama (Gambar 3c) menunjukkan pendekatan perkiraan
dengan distribusi normal (Gussian). Model yang diperoleh harus diuji dengan metode statistik sehingga dapat diterapkan untuk time series. Setelah model telah dirumuskan dan dihitung batas keyakinan yang memuaskan, total representasi matematis dari time series
dapat digunakan untuk
memecahkan masalah hidrologi dengan data seri sintesis non-historis yang memiliki sifat statistik yang sama seperti seri data asli. 5. TIME SERIES SINTESIS
Hasil dari serangkaian data sintetik hanya membalikkan prosedur analisis time series. Pertama, karena banyak item data yang diperlukan, urutan sebanding angka acak,
diambil dari distribusi
, dihasilkan menggunakan paket komputer standar. Kedua,
̅ nilai-nilai
sintetis yang sesuai yang secara rekursif dihitung dengan menggunakan
persamaan 2.23 (mulai seri dengan nilai terakhir dari histori seri Ketiga, seri
sebagai
kemudian berasal dari persamaan 22 secara terbalik:
Periodik komponen
diwakili oleh
ditambahkan dengan nilai-nilai
dan
(25) untuk periode waktu
untuk memberikan:
(dari persamaan 21)
Penggabungan komponen trend
nilai).
kemudian
(26)
kemudian menghasilkan serangkaian sintetis
memiliki sifat statistik yang mirip dengan seri data historis.
13
Gambar 3. Sungai Thames di Teddingtom Weis
(82 tahun aliran bulanan, dari Shaw, 1988)
6. BEBERAPA MODEL STOKASTIK
Pada akhirnya desain keputusan harus didasarkan pada model stokastik atau kombinasi dari stokastik dan model deterministik. Hal ini karena sistem apapun harus dirancang untuk beroperasi di masa depan. Model deterministik tidak tersedia untuk menghasilkan masukan DAS di masa depan dalam bentuk curah hujan, radiasi matahari, dll, juga tidak mungkin bahwa model deterministik untuk input ini akan tersedia dalam waktu dekat. Model stokastik harus digunakan untuk input tersebut. 6.1. Model stokastik murni acak
14
Mungkin proses stokastik sederhana untuk model adalah di mana peristiwa dapat diasumsikan terjadi pada waktu diskrit dengan waktu antara konstanta peristiwa , peristiwa setiap saat independen terhadap peristiwa pada waktu lainnya, dan distribusi probabilitas dari kegiatan ini yang diketahui . Pembangkit stokastik dari
model jenis ini hanya menghasilkan sampel pengamatan acak dari distribusi probabilitas univariate. Misalnya, pengamatan acak untuk setiap distribusi normal dapat dihasilkan dari hubungan tersebut,
dimana
(27)
adalah standar deviasi random normal (yaitu pengamatan acak dari distribusi
normal standar) dan dan adalah parameter dari distribusi normal yang diinginkan. 6.2. Model Autoregresif
Dimana persistensi hadir, urutan sintetis tidak dapat dibuat dengan mengambil serangkaian nilai-nilai sampel dari distribusi probabilitas, karena ini tidak akan memperhitungkan hubungan antara setiap urutan angka dan yang pernah ada sebelumnya. Pertimbangkan orde kedua time series
stasioner, seperti time series
tahunan, terdiri dari bagian deterministik dan bagian acak . Bagian deterministik dipilih sehingga mencerminkan efek persistensi, sementara diasumsikan bahwa bagian acak memiliki rata-rata nol dan varians konstan. Salah satu model untuk mensimulasikan rangkaian
tersebut
adalah
model
Autoregressive.
Bentuk
umum
dari
model
autoregressive adalah
*+ (28)
Dimana adalah nilai rata-rata dari seri,
adalah koefisien regresi,
adalah urutan diamati dan variabel-variabel acak
biasanya diasumsikan normal dan
independen terdistribusi dengan mean nol dan varians menentukan urutan yang memadai,
. Dalam rangka untuk
dari autoregresi diperlukan untuk menggambarkan persistensi
perlu untuk memperkirakan
varians dari residual
,
parameter:
.
Autoregresi Order pertama
(29)
dan
15
Ketika persamaan (29) digunakan untuk model seri debit tahunan, model menyatakan bahwa nilai
dalam satu periode waktu tergantung hanya pada nilai
dalam jangka
waktu sebelumnya ditambah komponen random. Hal ini juga diasumsikan bahwa independen dari
.
Persamaan (29) merupakan Model First Order Markov yang memiliki tiga parameter
yang akan diestimasi: ,
, dan
.
Untuk metode momen estimasi parameter, parameter sebagai mean aritmetik dari data yang diamati.
Adapun
dapat dihitung dari time series
, persamaan Yule-Walker (Delleur, 1991) menunjukkan bahwa.
∑
persamaan di atas, ditulis untuk
(30)
menghasilkan satu set persamaan. Dimana
adalah koefisien autokorelasi untuk lag waktu
. Sebagai koefisien autokorelasi
dapat diperkirakan dari data menggunakan persamaan (17), persamaan ini
dapat diselesaikan untuk parameter autoregressive
. Ini adalah estimasi
parameter dengan metode momen. Sebagai contoh, untuk Model First Order Autoregressive, AR (1), persamaan Yule-Walker menghasilkan
(31)
dalam cara yang sama kita dapat memperoleh persamaan untuk menghitung untuk AR (2) model sebagai
Hal ini dapat ditunjukkan
yang berhubungan
(32) dengan (varians dari seri (33)
dan
) oleh:
√ ( )√ Jika distribusi adalah
kemudian distrbusi adalah
sekarang dapat dihasilkan dengan memilih adalah
kemudian
model untuk menghasilkan
. Nilai acak
secara acak dari distribusi
atau
adalah
yang
. Dengan demikian,
dan mengikuti Model First Order
Markov adalah
Prosedur untuk menghasilkan nilai
. Jika
adalah:
(34)
16
̅ ̅
(1) Estimasi (2) Pilih
,
dan
dari ,
, dan
secara acak dari distribusi
(3) Hitung
(persamaan 17) masing-masing , dan
dengan persamaan (34) berdasarkan ,
Nilai pertama
, yaitu
menghilangkan efek
,
dan
, mungkin dipilih secara acak dari
. Untuk
pada urutan yang dihasilkan, yang pertama 50 atau 100 nilai
yang dihasilkan mungkin dibuang.
6.3. Proses F ir st Order M arkov dengan periodisitas: Model Thomas – Fiering
Model First Order Markov pada bagian sebelumnya mengasumsikan bahwa proses ini stasioner dalam tiga momen pertama. Hal ini dimungkinkan untuk menggeneralisasi model sehingga periodisitas data hidrologi dicatat sampai batas tertentu. Dalam bentuk yang paling sederhana, metode ini terdiri dari penggunaan dua belas persamaan regresi linear. Katakanlah, dua belas tahun rekaman yang tersedia, dua belas aliran
Januari dan dua belas aliran Desember yang abstraksi dan aliran Januari diregresikan pada aliran Desember, sama, aliran Februari diregresikan pada aliran Januari, dan seterusnya untuk setiap bulan dalam setahun .
̅ ̅ ̅ ( ̅) ̂ ̅ ( ̅) ……..
Gambar 4 menunjukkan analisis regresi turut untuk bulan
dan
pada
, pasangan aliran bulanan berturut-
dari tahun ke tahun dari rekaman di mana
(Jan Feb, ... Desember) dan ketika
2, j +1 = 1 = Jan (akan ada 12
regresi tersebut). Jika koefisien regresi bulan j +1 pada adalah regresi aliran bulanan,, dapat ditentukan dari
, maka nilai-nilai garis
aliran bulan sebelumnya, dengan
persamaan:
(35)
Untuk memperhitungkan variabilitas dalam poin diplot di sekitar garis regresi yang mencerminkan varians dari data yang diukur di sekitar garis regresi, komponen selanjutnya ditambahkan:
17
di mana
adalah standar deviasi dari aliran di bulan
korelasi antara aliran di bulan
,
adalah koefisien
dan j seluruh catatan, dan
,
menyimpang terdistribusi acak normal dengan mean nol dan Unit deviasi standar. Bentuk umum dapat ditulis sebagai
̂ ̂ ( ̅)
Dimana
(36)
, ada 36 parameter untuk model bulanan ( , untuk setiap
bulan). The subscript mengacu ke bulan. Untuk sintesis bulanan bervariasi 1 sampai 12 sepanjang tahun. Subskrip adalah sebutan serial dari tahun 1 ke tahun n. Simbol lainnya adalah sama seperti yang disebutkan sebelumnya
Gambar 4. Model Thomas-Fiering
Prosedur untuk menggunakan model tersebut adalah sebagai berikut:
̅ ∑ ∑ ̅ √ ∑ ̅̅ ̅∑ ̅ ̅
(1) Untuk setiap bulan,
. Hitung :
a) Aliran rata-rata b) Standar deviasi
c) koefisien korelasi dengan aliran pada bulan sebelumnya,
d) slope persamaan regresi yang berkaitan aliran bulan untuk aliran pada bulan sebelumnya:
18
̂ ̅ ( ̅) * +
(2) Model ini kemudian ditetapkan dua belas persamaan regresi
Dimana ada deviasi normal acak
(3) Untuk menghasilkan urutan aliran sintetis, menghitung (menghasilkan) urutan angka random
, dan pengganti dalam model.
6.4. Model Moving average Bentuk Model :
Moving average telah sering digunakan untuk berbagai jenis time series hidrologi seperti harian atau mingguan suhu udara, tingkat penguapan, kecepatan angin, dll. Proses moving average yang digunakan dalam data bangkitan hidrologi stokastik agak berbeda.
Dalam
penggunaan
ini,
proses
moving
average menggambarkan
penyimpangan dari urutan kejadian dari nilai rata-rata mereka.
*+ *+ Proses
didefinisikan sebagai
Dimana
(37)
adalah proses stasioner unkorelasi, disebut moving average orde q,
dinotasikan
-proses.
Hal ini juga dapat ditulis sebagai
Dengan
,
(38)
,…,
Sifat dari proses moving average:
( ) ∑ Autokovarian proses diperoleh dengan membentuk produk
dan mengambil
harapan:
(39)
Untuk
, memperoleh varians dari proses
Dengan konvensi
(40)
19
( ) ∑ ∑ ∑
untuk
(41)
untuk
(42)
Fungsi autokorelasi
,
(43)
Persamaan (40) dan (41) dapat digunakan untuk estimasi parameter dengan metode momen, sebagai berikut
̂ ̂ ̂
(44)
(45)
Persamaan (44) dan (45) digunakan secara rekursif. Misal nya untuk Model MA (1)
(46)
Kami memiliki
Dimana 6.5.
dan
(47)
merupakan perkiraan dari auto-kovarians dan dihitung dari data.
Model ARMA
Bentuk model :
Dalam hidrologi stokastik model ARMA dikenal sebagai Model Auto-Regresif Moving Average (ARMA) yang menggabungkan beberapa sifat autokorelasi langsung dari serangkaian data dengan efek menghaluskan dari menjalankan rata-rata terbaru
melalui seri. Kedua komponen dari model untuk tahunan, dijelaskan oleh:
seri data, misalnya aliran sungai
Auto-regresi (AR(p))
(48)
Moving average (MA(q))
dimana
adalah angka acak dengan mean nol dan varians
(49)
Model Auto-regressive moving average (ARMA(p, q)) didefinisikan:
20
(50)
Salah satu manfaat dari proses ARMA adalah bahwa, dimungkinkan untuk menyesuaikan model dengan jumlah parameter, yaitu
. Jumlah ini umumnya
lebih kecil dari jumlah parameter yang akan diperlukan baik menggunakan Model AR atau Model MA. Prinsip ini disebut penghematan parameter. Model First Order ARMA (1, 1) adalah:
⌊⌊⌋ ⌋
(52)
Dengan mengalikan kedua sisi (52) dengan
dan mengambil harapan akan kedua belah pihak kita memperoleh autokovarian
Untuk
(53)
, persamaan (53) menjadi
tetapi
(54)
(55)
Jadi
Untuk
1, persamaan (53) menjadi
Menggabungkan dengan persamaan sebelumnya
Atau
(56)
dan
(57)
Untuk
(58)
21
fungsi autokorelasi (ACF) diperoleh dengan membagi persamaan (56), (57) dan (58)
dengan untuk mendapatkan
Perhatikan bahwa parameter MA
(59a)
(59b)
(59c)
masuk hanya dalam pernyataan untuk
. Untuk
dan di luar perilaku autokorelasi identik dengan yang ada pada Model AR (1). Perkiraan parameter
dan
dapat diperoleh dari persamaan (59b) dan (59c), karena
,- ,- koefisien serial (auto) korelasi
dan
Secara umum untuk Model ARMA
dapat dihitung dari data. autokovarian adalah
(60a)
(60b)
(61)
dan ACF adalah
Untuk lags q pertama, ACF tergantung pada AR dan MA parameter.
Justifikasi hidrologi model ARMA
Sebuah Justifikasi fisik model ARMA untuk simulasi debit sungai tahunan adalah sebagai berikut. Pertimbangkan DAS dengan curah hujan tahunan evapotranspirasi
. Limpasan permukaan
Biarkan kontribusi air tanah ke sungai menjadi Kemudian,
, infiltrasi
.
konservasi massa untuk penyimpanan air tanah (63)
Atau
Menulis ulang
dan
. (Lihat Gambar 5).
(62)
(64)
22
Gambar 5. Representasi konseptual dari proses presipitasi-aliran
setelah Salas dan Smith (1980) atau
,- , -
(65)
Dan menulis ulang (64)
(66)
Kombinasi (62), (66) dan (65) menghasilkan
(67)
yang memiliki bentuk ARMA (1, 1), yaitu persamaan (52) Model ketika curah hujan, adalah serial independen dan ketika
,
, dan
.
6.6. Model pembangkitan data harian
Pembangkitan serangkaian sintetis kejadian sehari-hari adalah masalah yang sangat rumit untuk beberapa jenis data. Data yang dapat dianggap hampir independen dari satu hari ke hari tidak terlalu sulit dan dapat ditangani oleh salah satu proses yang telah dijelaskan sebelumnya. Namun, proses harian seperti suhu, energi surya, dan debit
23
sungai memiliki karakteristik yang jauh lebih sulit untuk model. Debit sungai, misalnya, sangat sulit. Tingginya tingkat persistensi, karena drainase air banjir dari sistem saluran di mana telah disimpan, membuat debit sungai sulit untuk memodelkan dalam hitungan hari. Selama resesi, korelasi antara aliran untuk periode dan baik sebelum dan sesudahnya sangat tinggi. Besarnya autokorelasi (kemiringan resesi) adalah fungsi dari banyak hal seperti penyimpangan (kekasaran) dari saluran, kemiringan saluran, ukuran saluran, suhu air, kadar sedimen, dan jumlah dan kondisi vegetasi di saluran penyimpan. Perubahan faktor ini dapat menyebabkan koefisien autokorelasi bervariasi
dari peristiwa ke peristiwa lain, musim ke musim dan bahkan tahun ke tahun. Selain itu, aliran sungai terdiri dari dua komponen karakter yang sama sekali berbeda. Salah satu komponen adalah aliran permukaan yang merupakan respon nonlinier karena tingkat kontrol yang tinggi bahwa energi matahari, pertumbuhan vegetasi, evapotranspirasi dan olahraga kelembaban tanah pada karakteristik aliran. Komponen lain adalah aliran air tanah yang jauh lebih linear dalam menanggapi karena bertindak terutama seperti
drainase dari satu atau lebih waduk. Besarnya komponen yang berbeda bervariasi dari satu tempat ke tempat lain. Karakteristik debit sungai membuat bangkitan sintetis data harian sangat sulit. Telah dibuat model shot-noise untuk mewakili catatan aliran sehari-hari sebagai proses stokastik. Fitting model seperti data hidrologi harian ini sangat kompleks dan bisa menjadi tugas yang sulit. 7. KEGUNAAN MODEL STOKASTIK (1) Untuk membuat prediksi frekuensi kejadian ekstrem
Model Stokastik telah digunakan untuk membuat prediksi tentang frekuensi terjadinya peristiwa ekstrim tertentu yang menarik bagi hidrologi. Model seperti yang diberikan oleh persamaan (29) yang dipilih, dan
residual yang dianggap
variabel random dengan distribusi probabilitas yang parameter yang ditentukan. Parameter diperkirakan dari data; disebut "sintetik" urutan
*+
kemudian dapat
dibangun, dan frekuensi dengan mana peristiwa ekstrim terjadi di dalamnya dapat diambil sebagai perkiraan "benar" dengan frekuensi yang akan terjadi dalam jangka panjang.
24
(2) Untuk penyelidikan aturan operasi sistem
Sebuah penggunaan lebih lanjut untuk urutan sintetik yang dihasilkan oleh model stokastik yaitu pengoperasian waduk, seperti investigasi kesesuaian aturan operasi yang diusulkan untuk pelepasan air dari sistem yang kompleks waduk yang saling berhubungan. Dengan menggunakan urutan yang dihasilkan sebagai masukan ke sistem waduk yang dioperasikan sesuai dengan aturan yang diusulkan, frekuensi yang mengalami gagal dapat diperkirakan. Hal ini dapat menyebabkan revisi aturan rilis yang diusulkan; aturan dimodifikasi dapat diuji oleh prosedur yang sama. (3) Untuk memberikan prakiraan jangka pendek
Model Stokastik telah digunakan untuk membuat perkiraan. Dengan nilai-nilai
sampai dengan waktu
diasumsikan oleh input dan output variabel
, model stokastik telah dibangun dari data ini untuk
meramalkan output dari sistem pada waktu mendatang, . Dalam istilah statistik,
adalah lead-time dari perkiraan. Banyak model stokastik
yang memiliki keuntungan tertentu untuk tujuan peramalan yang mereka berikan, sebagai produk sampingan dari prosedur untuk memperkirakan parameter model, batas kepercayaan untuk perkiraan (yaitu sepasang nilai, satu kurang dari perkiraan dan satu yang lebih besar, sehingga ada kemungkinan
mennggolongkan nilai-
nilai ini akan berada pada kisaran nilai yang diamati dari variabel pada waktu
). Oleh karena itu, tingkat kepercayaan mengekspresikan ketidakpastian
dalam perkiraan yang lebih luas. Selain itu, semakin besar lead-time memperkirakan diperlukan, semakin besar lebar interval kepercayaan.
yang
(4) Untuk "memperpanjang" catatan durasi pendek, dengan korelasi
Model stokastik telah digunakan untuk "memperpanjang" catatan debit DAS di mana rekaman yang ada hanya singkat. Misalnya, diperlukan untuk memperkirakan debit puncak sesaat dengan periode ulang
tahun (yaitu sedemikian rupa sehingga
akan muncul kembali dengan frekuensi sekali dalam
tahun, dalam jangka
panjang). Salah satu pendekatan untuk masalah ini adalah untuk memeriksa catatan debit di lokasi yang perkiraan diperlukan, menjabarkan debit sesaat maksimum untuk setiap tahun catatan, dan untuk mewakili distribusi debit sesaat tahunan maksimum dengan fungsi kepadatan probabilitas yang sesuai. Absis,
,
25
katakanlah,
yang
dilampaui
oleh
proporsi
memperkirakan banjir -tahun.
distribusi
kemudian
Bagaimanapun, sering terjadi bahwa panjang catatan debit yang tersedia adalah singkat, katakanlah sepuluh tahun atau lebih sedikit. Di sisi lain, catatan lebih lama dari debit mungkin tersedia untuk tempat pengukuran lain, sehingga debit puncak di dua lokasi tersebut berkorelasi. Dalam keadaan tertentu, yang kemudian diperbolehkan untuk mewakili hubungan antara debit maksimum tahunan di dua lokasi oleh persamaan regresi dan menggunakan persamaan dilengkapi ini untuk memperkirakan debit sesaat tahunan maksimum untuk tempat dengan catatan singkat. (5) Untuk memberikan urutan sintetis masukan DAS
Misalkan model telah dikembangkan untuk sistem yang terdiri dari DAS dengan curah hujan sebagai variabel input, aliran sungai sebagai variabel output. Jika model stokastik yang dikembangkan dari mana urutan sintetis curah hujan bisa dihasilkan memiliki sifat statistik yang menyerupai mereka urutan historis curah hujan, urutan curah hujan sintetis dapat digunakan sebagai input untuk model utama untuk transformasi ke urutan debit sintetis. Debit sehingga diperoleh kemudian bisa diperiksa untuk frekuensi kejadian ekstrem.