UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DESSAROLLO DE UN CONTROLADOR BASADO EN PREDISTORSION ADAPTATIVA Y SU APLICACIÓN EN LA FLOTACIÓN DE CONCENTRADO DE COBRE.
FABIÁN ESTEBAN SEGUEL GONZÁLEZ
Profesor Guía: Dr. Ismael Soto
Santiago de Chile – Chile 2013
ÍNDICE LISTA DE FIGURAS ................................................ .......................................................................... ............................................... ..................... 5 LISTADO DE VARIABLES .................................................... .............................................................................. .................................. ........ 5 CAPITULO 1. INTRODUCCION................................................ .......................................................................... .............................. .... 7 1.1
Motivación ................................................... ............................................................................ ............................................... ...................... 9
1.2 Objetivos ........................................ .................................................................. ................................................... .................................... ........... 10 1.2.1 Objetivo general ........................................................ .................................................................................. ............................ .. 10 1.2.2 Objetivos específicos ................................................ .......................................................................... ............................ .. 10 1.3 Alcances y limitaciones ................................................ .......................................................................... ................................ ...... 10 1.4 Metodología ........................................................ ................................................................................. ......................................... ................ 11 CAPITULO 2. REVISION BIBLIOGRAFICA ................................................ .......................................................... .......... 13 2.1 Circuitos de flotación................................................ flotación.......................................................................... .................................... .......... 14 2.2 Instrumentaciòn y control de celdas de flotación f lotación .............................. ......................................... ........... 17 2.2.1
Variables manipulables.................................................. ...................................................................... .................... 17
2.2.2
Problemas para el control automático ............................................... ............................................... 18
2.2.3
Objetivos de control .................................. ........................................................... ......................................... ................ 18
2.2.4 Aplicación de control de celdas de flotación ...................................... ...................................... 19 CAPITULO 3. METODOS ............................................................. ..................................................................................... ........................ 23 3.1 Modelación de celdas de flotación flo tación ............................................... ............................................................... ................ 23 3.1.1 Clasificación de modelos................................................... ....................................................................... .................... 23 3.1.2 Adhesión burbuja-partícula ............................................... ................................................................... .................... 24 3.1.3 Niveles en las celdas de flotación ............................................... ......................................................... .......... 26 3.1.4 Modelos de dos fases ....................................................... ........................................................................... .................... 26 3.1.5 Zona de la espuma................................................ .......................................................................... ................................ ...... 27 3.1.6 Holdup de gas ...................................... ............................................................... ................................................. ........................ 29 2
ÍNDICE LISTA DE FIGURAS ................................................ .......................................................................... ............................................... ..................... 5 LISTADO DE VARIABLES .................................................... .............................................................................. .................................. ........ 5 CAPITULO 1. INTRODUCCION................................................ .......................................................................... .............................. .... 7 1.1
Motivación ................................................... ............................................................................ ............................................... ...................... 9
1.2 Objetivos ........................................ .................................................................. ................................................... .................................... ........... 10 1.2.1 Objetivo general ........................................................ .................................................................................. ............................ .. 10 1.2.2 Objetivos específicos ................................................ .......................................................................... ............................ .. 10 1.3 Alcances y limitaciones ................................................ .......................................................................... ................................ ...... 10 1.4 Metodología ........................................................ ................................................................................. ......................................... ................ 11 CAPITULO 2. REVISION BIBLIOGRAFICA ................................................ .......................................................... .......... 13 2.1 Circuitos de flotación................................................ flotación.......................................................................... .................................... .......... 14 2.2 Instrumentaciòn y control de celdas de flotación f lotación .............................. ......................................... ........... 17 2.2.1
Variables manipulables.................................................. ...................................................................... .................... 17
2.2.2
Problemas para el control automático ............................................... ............................................... 18
2.2.3
Objetivos de control .................................. ........................................................... ......................................... ................ 18
2.2.4 Aplicación de control de celdas de flotación ...................................... ...................................... 19 CAPITULO 3. METODOS ............................................................. ..................................................................................... ........................ 23 3.1 Modelación de celdas de flotación flo tación ............................................... ............................................................... ................ 23 3.1.1 Clasificación de modelos................................................... ....................................................................... .................... 23 3.1.2 Adhesión burbuja-partícula ............................................... ................................................................... .................... 24 3.1.3 Niveles en las celdas de flotación ............................................... ......................................................... .......... 26 3.1.4 Modelos de dos fases ....................................................... ........................................................................... .................... 26 3.1.5 Zona de la espuma................................................ .......................................................................... ................................ ...... 27 3.1.6 Holdup de gas ...................................... ............................................................... ................................................. ........................ 29 2
3.1.7 Velocidad superficial de gas.................................................. .................................................................. ................ 29 3.1.8 Flujo superficial de superficie de burbujas ............................................ 30 3.1.9 Overall rate constant ......................................... ................................................................... .................................... .......... 31 3.1.10Tiempo de residencia de espuma .................................................. ........................................................ ...... 32 3.1.11 Modelos probabilísticos ................................................... ....................................................................... .................... 32 3.1.12 Modelos Mode los de balance poblacional p oblacional ............................. ....................................................... ............................ .. 34 3.1.13 Modelos cinéticos ................................................ .......................................................................... ................................ ...... 35 3.2 Ecuaciones del modelo ................................................ .......................................................................... ................................ ...... 36 3.2.1
Balance de masas ..................................................... ............................................................................. ........................ 37
3.2.2
Tasa de flotación total................................................ ........................................................................ ........................ 38
3.2.3
Flotabilidad del mineral .................................................. ...................................................................... .................... 39
3.2.4
Flujo superficial super ficial de superficie de burbujas ......................................... ......................................... 39
3.2.5
Factor de recuperación de d e la espuma ............................................... ............................................... 40
3.2.6 Arrastre ................................................. .......................................................................... ............................................. .................... 40 3.2.7 Adición de aire ................................................... ............................................................................. ................................ ...... 40 3.2.8 Alimentación (entrada de lodo) ................................................ .......................................................... .......... 41 3.3
Interfaz en MATLAB ............................... ......................................................... .................................................. ........................ 41
3.4
Consideraciones del modelo .................................... ............................................................. ................................ ....... 42
3.5
Pre distorsión ........................................................................ ........................................................................................... ................... 44
3.6
Redes neuronales ................................................................. .................................................................................... ................... 46
3.7
Entrenamiento o aprendizaje a prendizaje ................................................................... ................................................................... 48
3.7.1
EKF (Extended Kalman Filter) para el entrenamiento de redes
neuronales ................................................... ............................................................................. .................................................. ........................ 50 CAPITULO 4. PREDISTORSION BASADA EN REDES NEURONALES ............. 53 CAPITULO 5. OPERACIÓN DEL PREDISTORSIONADOR .......................... ................................. ....... 58 3
ANEXO A: CONCEPTOS BASICOS ..................................................................... 60 ANEXO B: Resumen de variables y ecuaciones ................................................... 63
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LISTA DE FIGURAS Figura 2. 1 Adhesión burbuja-partícula ángulo de contacto .................................. 25 Figura 2. 2 Tipos de circuitos de flotación ............................................................... 9 Figura 2. 3 Circuitos básicos de flotación .............................................................. 16 Figura 2. 4 Balance de masas por una celda de flotación ..................................... 61 Figura 3. 1 Curvas de recuperación vs ley ............................................................ 19 Figura 3. 2 Jerarquización de sistemas de automatización para el proceso de flotación (laurilla et al, 2002).................................................................................. 21 Figura 4. 1 Caminos de transporte de mineral en el interior de la celda ............... 27 Figura 4. 2 Transferencia de material entre la zona de pulpa y la zona de recuperación.......................................................................................................... 28 Figura 4. 3 Modelo de Kelsall para operación Batch ............................................. 34 Figura 4. 4 Analogía flotación y reacción química (Yiannatos, 64,) ....................... 36
Figura 5. 1 Ecuación (4.22) en Simulink
42
Figura 5. 2 Ecuación (4.3) en Simulink
42
LISTADO DE VARIABLES
: ó :ó :ó ó :ó ó : :ó 5
: : :ó :ó ó :ó :ó : : : ∶ :Á ó : : :á : ó : ó : ℎó : [ ]: ó
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CAPITULO 1. INTRODUCCION La flotación es un método de procesamiento de minerales que se utiliza para obtener mineral ricamente concentrado desde finas partículas de tierra. Las bases de la flotación se sientan en las propiedades fisicoquímicas superficiales de las partículas de interés para la separación. Estas propiedades superficiales son usualmente alteradas por la adición de reactivos químicos tales como colectores, activadores y depresores. Las partículas de interés tienen características hidrófobas y tenderán a unirse con las burbujas de aire a ire (aerofílicas). Estas burbujas de aire con el mineral atrapado en ellas subirán a la superficie donde son removidas como espuma de concentrado. La flotación puede ser llevada a cabo tanto en columnas como en celdas. En las columnas de flotación, la agitación es provista por el aire que es esparcido desde el fondo de la columna. En la flotación en celdas mecánicas la agitación es provista mecánicamente y esta agitación es utilizada además para romper el flujo de aire en burbujas. Las celdas son conectadas en serie para dar forma a los bancos de flotación. Los bancos a su vez son conectados de diversas formas para dar vida a los circuitos de flotación. La flotación es uno de los métodos más utilizados por la industria procesadora de minerales hoy en día. Es por ello que la tecnología relacionada tiene un impacto global y por sobre todo nacional en la economía. El porcentaje de minerales obtenidos a través de este método es aproximadamente el 95% del total de los minerales producidos mundialmente, de ahí la importancia de desarrollar un método que mejore los resultados obtenidos a través de la flotación ya que esto afecta de manera significativa en la producción de concentrado. El proceso de flotación puede ser caracterizado como flotación colectiva o flotación selectiva. Este primero es donde el concentrado contiene dos o más elementos de interés y estos elementos son separados del mineral sin valor económico. La segunda se efectúa una separación donde los productos no contengan más de una especie individual. Este trabajo se concentrará en la flotación colectiva.
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En este capítulo se entregará una descripción descr ipción general de conceptos relacionados a la flotación. Los conceptos de recuperación y ley serán aclarados, los reactivos químicos utilizados serán detallados, la configuración de circuitos de flotación y los mecanismos mediante los cuales se lleva a cabo la flotación. La flotación es un método utilizado para separar separ ar un mineral de interés de un mineral sin o con poco valor económico llamado ganga. Previo a que los minerales sean flotados y se transformen en concentrado no son más que lodo fabricado por chancadoras y molinos gigantes de gran capacidad capacida d los cuales muelen las partículas de mineral y son mezcladas con agua. El desempeño de los molinos afecta el desempeño de la flotación ya que es aquí donde las partículas son llevadas a tamaños típicos en la industria chilena del cobre que es dentro del rango de los 4575 [µm] (Yiannatos, pag 15). El funcionamiento del molino es una fuente de perturbaciones para la celda de flotación debido a que es quien proporciona el tamaño de las partículas que serán flotadas y que es quien determina el flujo de material de entrada a la celda. El objetivo de la flotación no es alcanzable en un solo paso. Es por ello que las celdas de flotación son usualmente conectadas en serie en forma de bancos de flotación. Estos bancos son conectados en varias configuraciones co nfiguraciones para dar forma a un circuito de flotación. Existen distintos tipo de circuitos de flotación.
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Circuito Rougher Recuperadores Circuito Scavenger Circuitos Cleaner Limpiadores Recleaner
Figura 2. 1 Tipos de circuitos de flotación El circuito Rougher o primario se encarga de la obtención del mineral valioso de manera colectiva. El Scavenger se encarga de recuperar la cola proveniente del Rougher por lo tanto es el encargado de recuperar el mineral valioso que proviene del flujo desperdiciado por el recuperador primario. Estos serán detallados en la sección 1.4.2.
1.1 Motivación Evaluando el estado del arte del proceso de flotación y las necesidades de mejorar la recuperación de concentrado de cobre para obtener un mayor beneficio económico se ha visto la oportunidad de diseñar un controlador ba sado en técnicas ampliamente utilizadas en el ámbito de las telecomunicaciones.
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Para el país la recuperación de concentrado de cobre es una variable de crítica importancia para el desarrollo económico del país ya que esta industria es responsable del 14,2% del PIB nacional (2012). Chile satisface el 36% del mercado mundial de cobre y representa el 30% de las exportaciones nacionales. Una mejora en el control automático de las celdas de flotación aumentaría la recuperación de mineral valioso lo que trae consigo un mayor beneficio económico del proceso.
1.2 Objetivos 1.2.1 Objetivo general Utilizar la técnica de Pre-distorsión para controlar una celda de flotación. Disminuir el efecto de las perturbaciones en la entrada y aumentar la ley y recuperación del concentrado.
1.2.2 Objetivos específicos
Desarrollar estudio de la teoría del proceso de flotación
Revisar el estado del arte del desarrollo del control aplicado a las celdas de flotación.
Desarrollar un modelo computacional de una celda de flotación.
Desarrollar estudio de la teoría del pre distorsionador adaptativo basado en redes neuronales.
Sintonizar un controlador basado en redes neuronales mediante datos obtenido de la operación del modelo computacional de la celda de flotación simulada..
Realizar simulación de la planta controlada por la red sintonizada
Analizar comparativamente los resultados
Evaluar los beneficios obtenidos al simular la solución propuesta
1.3 Alcances y limitaciones El presente trabajo propone la utilización de una red neuronal artificial utilizada como un pre distorsionador adaptativo para el control de una celda de flotación de cobre simulada a través del software MATLAB.
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Este controlador debe compensar las perturbaciones provocadas por el flujo de lodo variable a la entrada y el grado de este. Para la compensación se utilizará la adición de colector y el flujo de aire como variable a controlar ya que esta variable influye en la especificidad de la recuperación. En cuanto a limitaciones el sistema al ser solamente simulado no acreditará la precisión en un ambiente minero real. Pero la simulación intentará obtener resultados que estén cercanos a la realidad utilizando modelos matemáticos.
1.4 Metodología Para el desarrollo de este trabajo de investigación se utilizará el método analíticosintético, se estudiarán en profundidad el proceso de flotación y sus variables más relevantes, se estudiará también la técnica de predistorsión, esto, para desarrollar un controlador que sirva para la estabilización y el aumento del rendimiento en la obtención de concentrado de cobre mediante una ceda mecánica de flotación. El origen del tema nace como un aporte a la investigación de un proyecto del laboratorio de gestión de tecnologías de la información (Lab GETIC). Proyecto desarrollado en el marco de un proyecto anillo con colaboración de múltiples planteles y profesores de universidades nacionales y extranjeras . Dicho proyecto se encuentra en desarrollo por el investigador responsable Dr. Ismael Soto. Las etapas a desarrollar para la ejecución de este trabajo serán las siguientes:
Estudiar la bibliografía referente a la pre distorsión.
Proponer una arquitectura de pre distorsión basada en redes neuronales para desarrollar un controlador para la adición de reactivos.
Plantear y modelar un algoritmo de entrenamiento para las redes neuronales.
Revisar la bibliografía referente a las variables que afectan al proceso de flotación.
Revisar la bibliografía que dé cuenta del estado del arte de control automático de celdas de flotación (AFC).
Proponer un modelo ceda de flotación que utilice estas variables.
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Realizar la sintonización del controlador basado en pre distorsión y obtener el los resultados de su aplicación mediante simulación.
Concluir con respecto a las curvas y simulaciones obtenidas de la operación del predistorsionador.
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CAPITULO 2. REVISION BIBLIOGRAFICA En el mundo, la máquina de flotación neumática fue patentada en 1914 por J.M. Calow. Las primeras celdas industriales empleadas en Chile fueron de tecnología experimental de la Mineral Separation Company. En los años posteriores se instalaron celdas Galigher modelo Agitair 48 de 40
pie y celdas Denver Nº 30 y 24
pie respectivamente. En la década del 30 se usaron las celdas Wemco Fagergren 66 de 51 pie. de 100 y 50
El avance más importante en los llamados colectores tiólicos ocurrió en 1925 cuando C. Keller patentó los alquil xantatos; en 1926 F. Whitworth los alquil ditiofosfatos, y en 1928 A. Fischer los xantoformiatos. Por su parte, los principales espumantes fueron patentados en 1908 y 1909 por E. Sulman et al., incluyendo los alcoholes de cadena larga, aceite de pino y ácido cresílico. En Chile la primera celda de flotación fue implementada en 1911 por la mina El Teniente le seguirían en 1927 la operación de la planta de flotación de Potrerillos y, en 1952 la de Chuquicamata. Durante los 90 años de historia de la flotación en Chile, las tendencias predominantes han sido el aumento de la capacidad de las plantas, la disminución del consumo específico de energía de los equipos, la simplificación en los diagramas de flujos y el desarrollo de la automatización. El especialista y académico del Departamento de Ingeniería Metalúrgica de la Universidad de Concepción, Sergio Castro, plantea que las capacidades de las plantas han crecido desde 3.000 a 160.000 tpd; el volumen de las celdas ha aumentado desde alrededor de 40 hasta 4.500
pie; y la configuración de circuitos
se ha simplificado considerablemente. Las tecnologías de punta en flotación corresponden al uso de celdas gigantes de 4.500
pie, -pero ya hay disponibles en el mercado de 5.500 pie y mayores-, el
empleo de celdas columnares de 11-14 m de alto, y numerosos avances en el control automático, tales como: control de nivel y de aireación, analizadores de leyes en línea con monitor en terreno, empleo de cámaras de video con analizadores de imágenes para optimizar los flujos de evacuación de concentrados en celdas unitarias de gran volumen, etc.. Las columnas operan bajo control automático, 13
normalmente con la estrategia de control más simple, es decir, la de control de nivel de la interfaz pulpa/espuma (regula el espesor de la capa de espuma). Emplea un lazo de control, cuyo actuador es la válvula de control dispuesta en la descarga inferior de la columna; mientras que el agua de lavado se maneja independientemente. Las parrillas de agua de lavado operan frecuentemente suspendidas sobre la espuma. La inyección de aire se hace por burbujeadores removibles tipo lanza con insertos de orificio pequeño, del tipo externo de Control International; o bien con sistemas neumáticos regulables como el burbujeador Minovex. El objetivo de la celda de flotación es realizar una serie de funciones de forma simultánea. Las características de diseño de una celda son geometría, hidrodinámica y suspensión de sólidos.
Geometría: Las nuevas generaciones poseen una geometría simétrica. El estanque redondo ofrece condiciones simétricas y estables en toda la celda y reduce la existencia de puntos muertos (Yiannatos, 38). Además el volumen de estas ha aumentado y este aumento permite reemplazar a muchas celdas pequeñas ahorrando energía, espacio, mantenimiento y disminuyendo el costo de la automatización para la celda.
Flujo específico de aire: El flujo específico de aire depende del área transversal y del volumen de la celda. De este depende la capacidad de transporte y rebalse de las celdas.
Impulsor: El impulsor en las celdas de flotación auto aspirantes cumple las siguientes funciones. -Suspensión de partículas -Aspiración y dispersión de aire -Circulación de pulpa.
(Yiannatos, 39)
2.1 Circuitos de flotación
14
En la figura 1.3 se muestran las formas básicas en las que son conectadas las celdas de flotación. La mayor parte del mineral valioso es recuperado por las primeras celdas. El objetivo de las últimas celdas es flotar el mineral con menor probabilidad de flotar.
15
Figura 2. 2 Circuitos básicos de flotación
16
2.2 Instrumentaciòn y control de celdas de flotación En el presente capitulo se recompilará la información disponible en la literatura acerca del control y la instrumentación existentes para las celdas de flotación así como un análisis de las variables que afectan al proceso y pueden ser controladas. Dado que el objetivo fundamental del control del proceso de flotación de minerales es reducir la variabilidad de la recuperación y la ley de concentrado producida por la naturaleza del flujo de entrada.
2.2.1 Variables manipulables Las variables más comúnmente manipuladas por los sistemas de control de recuperación y grado en las celdas son
Adición de reactivos químicos tales como colectores y espumeantes
Flujo de aire hacia las celdas
Nivel de la pulpa
(Perrez-Correa et al, 1998),(Lynch et al, 1981: 17). Ambos, recuperación y grado son afectados por el nivel de la pulpa en las celdas. Mientras mayor es el nivel de la celda mayor es el tiempo de residencia dentro de la celda lo que implica un aumento en la recuperación. Sin embargo, mayor nivel de la pulpa implica menor nivel de espuma debido a que el nivel de espuma es la diferencia entre el alto de la celda y el nivel de la pulpa (wills, 1997:313). Menores niveles de espuma producen una disminución en el tiempo de residencia de la espuma lo que implica que la ganga no es separada del mineral valioso lo cual produce una disminución en la ley del concentrado (Jamsa-jounela et al, 2003). El control de niveles en una celda de flotación se realiza mediante técnicas avanzadas de control, sin embargo, un buen control del nivel es una meta difícil de lograr. El colector como ya fue descrito en el capítulo 1.4 incrementa la recuperación de mineral valioso peor llega a haber un punto en donde una mayor adición de colector no asegura una mayor recuperación de mineral valioso pero la recuperación de ganga se incrementa (wills, 1997:312). El uso de control de la adición de espumeantes es complicado debido a que la acción de los espumeantes es una 17
función compleja que involucra muchos factores tales como la química del agua. Una excesiva adición de espumeantes en una parte del circuito de flotación puede ocasionar problemas hacia abajo. El flujo de aire que entra a las celdas es una variable importante para el control de las celdas. Los efectos del flujo de aire tienden a ser más rápidos que los efectos producidos por el control del nivel de la pulpa y no tiene efectos secundarios si es usado en exceso (wills, 1997:313). Incrementar el flujo de aire reduce el tiempo de residencia de la espuma, lo que reduce el tiempo que tiene la ganga de despegarse de la espuma y caer. Un mayor flujo de aire también incrementa el área superficial de las burbujas lo que incrementa la colección de partículas en fase de pulpa.
2.2.2 Problemas para el control automático En el diseño de los equipos y la instrumentación asociada para el proceso constituyen restricciones y a veces problemas para el control de una instalación. Instrumentos para la medición en línea de las variables de interés (leyes, flujos, recuperaciones) en general existen pero son de baja disponibilidad y confiabilidad por falta de instrumentación adecuada o bajo mantenimiento. Entre los problemas más comunes que poseen estos elementos se encuentran la calibración, instalación y contrastación. En el ámbito de las celdas de flotación existe una gran variabilidad en las condiciones de operación (leyes, granulometría, flujos, etc) lo que dificulta un adecuado control. (Yiannatos et al, 122).
2.2.3 Objetivos de control La ley del concentrado y su recuperación son las variables que indican el rendimiento del circuito de flotación. Idealmente, un circuito de flotación la flotación proporcionará un concentrado que contenga la totalidad del mineral valioso ingresado al sistema. Sin embargo, esta separación ideal no es realizable en la realidad y una decisión entre ley y recuperación debe ser hecha como se muestra en la figura 2.1
18
Figura 3. 1 Curvas de recuperación vs ley El fin de la estrategia de control a escoger debe operar la planta en un punto que debe ser determinado por factores económicos (Hodouin et al, 2001).
2.2.4 Aplicación de control de celdas de flotación En el control de las celdas de flotación se ha desarrollado en diferentes áreas tales como medición, modelos, estrategias de control y algoritmos. La falta de conocimiento del proceso y la compleja interacción entre las variables hacen que el control sea de baja calidad. Desde la década de los 70’s uno de los principales avances en control de flotación
está relacionado con el uso de mediciones en línea de leyes lo que ha posibilitado el control basado en
Medición directa de un objetivo metalúrgico
Uso de sistemas de control supervisor experto 19
El monitoreo en línea también puede realizarse a variables como
Flujo volumétrico y la densidad de pulpa de alimentación
Flujo de aire
Nivel de pulpa
pH
Medición de leyes en las corrientes de alimentación, concentrado y colas
Otras variables como el hold-up de gas, tamaño de burbujas o bisa de agua en las columnas no son de uso común en la gran minería. Incluso con estos avances aún los circuitos de flotación son difíciles de controlar. El proceso tiende a ser altamente no lineal y tiene una fuerte interacción entre las variables (Perez-Correa et al, 1998). Esto limita la utilización de PID SISO (single input single output). Y hace que la aplicación de técnicas de control avanzadas. El control avanzado es también atractivo desde un punto de vista económico. Debido al gran rendimiento económico de las celdas incluso un incremento en la recuperación de 0,5% puede ser económicamente significativo (Ferrerira & Loveday, 2000). Según (laurilla et al, 2002) el principio del control de las celdas de flotación puede ser representada por una pirámide de jerarquías. En el nivel más bajo se encuentra la instrumentación que es la base para el control del proceso. La mantención de la instrumentación es entonces también una de las bases para el correcto funcionamiento del proceso. Los controles de niveles básicos están orientados a mantener las variables en sus set points. Estos incluyen nivel de pulpa, aireación y adición de reactivos químicos. Normalmente el control es realizado mediante PID SISO pero métodos de control más avanzado se están utilizando en la actualidad. Normalmente el control de estas variables es realizado en cada celda individualmente por los controladores PID y los controles avanzados son utilizados para controlar el banco completo (por ejemplo control de nivel de pulpa).
20
Optimización Maximizar el beneficio
Control avanzado Canceladores de perturbacónes, control de la recuepración y ley
Control básico de nivel Control de cola, aireación, reactivos
Instrumentacion Válvulas, sensores de medición, XRF,...
Figura 3. 2 Jerarquización de sistemas de automatización para el proceso de flotación (laurilla et al, 2002) Dos grandes tipos de control para la flotación han sido desarrollados AFC (control avanzado de flotación) y OFC (control de flotación optimizada). AFC es utilizado para disminuir los efectos de las perturbaciones de las entradas (cambios en la ley de la alimentación o en el flujo de alimentación) y mantene r el desempeño de gradorecuperación. OFC por otro lado intenta maximizar la viabilidad económica (comúnmente aumentado el grado y la recuperación). Ambos, AFC y OFC intentan conseguir sus objetivos mediante la manipulación de las variables controlables. Numerosos estudios en el área de la automatización de ce ldas de flotación han sido conducidos con el fin de aumentar la eficiencia del proceso. Diversos autores han desarrollado estudios acerca del estado del arte del proceso de flotación y como su evolución en el tiempo ha contribuido a la implementación de nuevas tecnologías en el área del control automático. Cada proceso de flotación es único, esto debido a que cada operación posee su propia instrumentación, química del mineral, etc., es por ello que un controlador universal no puede ser desarrollado, sin embargo,
las técnicas pueden ser 21
utilizadas de manera correcta si son sintonizadas específicamente para el lugar donde serán implementadas. Para llevar a cabo el control de una celda de flotación la instrumentación necesaria para la medición de variables relevantes y actuación para las variables controladas debe ser revisada. Para el caso del flujo de lodo entrante al sistema de flotación flujómetros magnéticos son comúnmente usados y están basados en el principio de Faraday de inducción. Este método es no intrusivo y los flujómetros modernos pueden realizar 30 mediciones por minuto. De acuerdo con Gupta y Yan (2006) (Gupta, A., Yan, D.S., 2006. Mineral processing design and operation, First edition.pp. 622 –671. Chapter 18) existen dos tipos de AFC utilizados para el procesamiento de minerales (una mezcla entre ambos también es posible). •
Model-based: Pueden ser clasificados en empíricos y en fenomenológico
según Polat y Chander (2000) (Polat, M., Chander, S., 2000. First-order flotation kinetics models and methods for estimation of the true distribution of flotation rate constants. International Journal of Mineral Processing 58, 145 –166). Los modelos empíricos utilizan métodos estadísticos para relacionar las entradas y las salidas de la planta como un modelo multivariable relacionando las variables dependientes e independientes utilizadas para establecer
un control predictivo. El control
adaptativo es de esencial importancia, esto, debido a que el comportamiento de la planta es no lineal y complejo. Muchos controladores predictivos contienen control adaptativo, sin embargo, no siempre se utiliza este método. A pesar de la popularidad de estos controladores, autores como Desbiens (1994) (Desbiens, A., Hodouin, D., Najim, K., Flament, F., 1994. Long-range pred ictive control of a rougher flotation unit. Mineral Engineering 7 (1), 21 –37) y Gupta y Yan (2006) hallaron problemas con la estabilidad del control adaptativo ya que se saturan después de un periodo de tiempo.
22
Los modelos fenomenológicos –que capturan la relación causa y efecto entre las variables involucradas entendiendo la física del proceso- para realizar control predictivo también son utilizados. Normalmente los modelos fenomenológicos son divididos en 3 grupos: Cinético, balance de población de minerales y modelo probabilístico. A pesar de la investigación de modelos empíricos y fenomenológicos autores como Bergh y Yianatos (2011) (Bergh, L.G., Yianatos, J.B., 2011. The long way toward multivariate predictive control of flotation processes. Journal of Process Control 21, 226 –234) y Mckee (1991) (McKee, D.J., 1991. Automatic flotation control — a review of 20 years of effort. Minerals Engineering 4 (7 –11), 653 –666plantean que para ser aplicable sin perder sus beneficios, buenas medidas, regulación aceptable de objetivos como el nivel, modelos dinámicos confiables y métodos más robustos son requeridos. La flotación tiene debilidades en la mayoría de esos aspectos. Es por ello que el control experto, donde la decisión de los operadores es automatizada mediante el uso de inteligencia artificial es más utilizada. Control experto: El potencial de los sistemas expertos en la industria de
•
procesamiento de minerales fue identificado en la década de los 80 ’s por Bearman y Milne (1992) (Bearman, R.A., Milne, R.W., 1992. Expert systems: opportunities in the minerals industry. Minerals Engineering 5 (10 –12), 1307 –1323). Debido a que la modelación del proceso de flotación es altamente complicada por su carácter no lineal y multivariable métodos de inteligencia artificial han sido utilizados para la construcción de métodos de control. Tres importantes técnicas utilizadas son ANN (artificial neural networks), Inductive machine learning y lógica difusa.
CAPITULO 3. METODOS 3.1 Modelación de celdas de flotación 3.1.1 Clasificación de modelos Existen diversos tipos de modelos de celdas de flotación o circuitos de celdas de flotación en la actualidad. Los tipos más comunes de modelos son
Modelos a micro escala 23
Modelos a macro escala Empírico
o
Fenomenológico
o
Cinético
Próbabilístico
Balance poblacional
En los modelos a micro escala, la flotación es modelada identificando todos los sub procesos y relaciones físicas para predecir el comportamiento del proceso. Este modelo es difícil de concebir debido a la complejidaddel sistema y de las interacciones entre las variables químicas y físicas del proceso. (Polat y chander, 2000) Los modelos a macro escala relacionan las respuestas totales de los parámetros operacionales en un set de ecuaciones. Estos modelos pueden ser divididos en empíricos y fenomenológicos. En los modelos fenomenológicos el proceso es descrito mediante ecuaciones sin significado físico que siguen la trayectoria del proceso, en cambio, los modelos fenomenológicos consisten en un set de ecuaciones que describen la naturaleza física y química de la flotación. Los modelos fenomenológicos pueden ser cinéticos, probabilísticos y de balance poblacional de minerales que describan la interacción entre las burbujas y las partículas de mineral. Para definir más detalladamente estos modelos definiciones de sub procesos y variables deben ser revisados.
3.1.2 Adhesión burbuja-partícula El principio básico de la flotación es que esta ocurre cuando una partícula de mineral se adhiere a la superficie de una burbuja debido a las características hidrófobas de esta. Para que este fenómeno ocurra una interfaz aire-solido debe ser creada y una interfaz aire-agua y agua-sólido deben ser destruidas. Esto requiere que la suma de las tensiones superficiales de las interfaces aire-gua y agua-solido debe ser mayores que la tensión superficial de la interfaz aire-sólido. Esto se presenta en la ecuación (1.1). 24
≤
(1.1)
El trabajo requerido para romper la interfase partícula-burbuja se denomina trabajo de adhesión,
, y es igual al trabajo requerido para separar la inte rfase sólido-gas
y producir interfaces separadas sólido-agua y agua-gas conocido como Trabajo de Ruptura. El trabajo de adhesión se puede obtener de la ecuación (1.2).
(1.2)
Las tensiones superficiales del sólido-agua y aire-sólido no pueden ser medidas. Sin embargo, esas variables pueden ser eliminadas de la ecuación (1.2) introduciendo el ángulo de contacto entre el sólido y la burbuja. Las fuerzas en el plano superficial del solido deben sumar cero. Para conocer el ángulo de contacto que se debe alcanzar para producir la adhesión de la partícula de sólido a la burbuja se realiza un balance de fuerzas entre las tensiones superficiales el cual se detalla en la ecuación (1.3) y en la figura 1.1.
cos (1.3)
Figura 2. 3 Adhesión burbuja-partícula ángulo de contacto Sustituyendo la relación (1.3) en la (1.2) se obtiene una nueva ecuación para representar el trabajo.
1cos
(1.4)
La ecuación también indica una medida del trabajo requerido par a romper la interfaz aire-sólido entrega un indicio de la fuerza de la adhesión entre la partícula de mineral y la burbuja. Si el ángulo de contacto es cero no existe tendencia a la adhesión y si 25
el ángulo es de 90° la tendencia de adhesión alcanza su máximo. Ambos,
y el
ángulo de contacto pueden ser medidos experimentalmente y han sido utilizados extensamente en la teoría de flotación y es un parámetro que describe la flotabilidad de un mineral. Un reactivo químico llamado colector es usualmente utilizado para aumentar la probabilidad de la adhesión burbuja-partícula.
3.1.3 Niveles en las celdas de flotación En aplicaciones industriales las celdas de flotación típicamente son conectadas en serie formando complejos circuitos de flotación. La pulpa o lodo es quien alimenta la entrada de la primera celda del circuito y señal de cola de esta primera celda es la encargada de alimentar la celda sucesiva. La magnitud del flujo que entra a la siguiente celda depende de la diferencia de presión existente entre ambas celdas y de la apertura de la válvula de control y de la viscosidad y densidad de la pulpa (Kampjarvi y Jamsa-Jounela, 2003). La diferencia de presión depende de la diferencia de altura de las celdas.
3.1.4 Modelos de dos fases Los modelos de una fase aumen una fase perfectamente mezclada, sin embargo, muchos otros autores (Hemphill y Loveday, 1002) (Lynch, 2981) (Vera, 2002) sostienen que la fase de espuma debe ser también considerada para modelar de manera adecuada la flotación. Los modelos de dos fases incluyen el comportamiento de ambos, la zona de la pulpa y la zona de espuma. Existe una serie de procesos de transferencia entre ambas fases. El traspaso entre estas dases es mostrado en la figura 3.1
26
Figura 4. 1 Caminos de transporte de mineral en el interior de la celda Muchas cosas pueden suceder dentro de la celda a las partículas atrapadas por una burbja una vez entra a la fase de la espuma. Esta puede despegarse de la burbuja debido al rompimiento de esta o al ser desplazada por otra partícula. Una vez que la partícula del mineral es despegada esta puede re adherirse a otra burbuja o retornar a la zona de pulpa (hemphill y Loveday, 2003). Una parte de la espuma puede también colapsar devolviendo el mineral atrapado en las burbujas hacia la zona de la pulpa. Las partículas arrastradas (las que no están adheridas a una burbuja) pueden ser transportadas hacia el concentrado o ser devueltas a la pulpa. Todos estos procesos contribuyen a aumentar la complejidad del proceso y deben considerarse en el modelo.
3.1.5 Zona de la espuma Sólo una parte del material que ingresa a la celda es recuperado y colectado en el concentrado. El factor de recuperación es utilizado para medir el desempeño metalúrgico del proceso (Vera, 2002). La transferencia entre la pulpa y la fase de espuma se esquematiza con la figura 3.2 sin incluir las partículas arrastradas.
27
Figura 4. 2 Transferencia de material entre la zona de pulpa y la zona de recuperación La fracción del material que entra a la zona de recuperación mediante transporte por burbujas
. Una parte de las partículas retornan a la zona de la pulpa. Estas
partículas son llamadas “drop-back” y la fracción que queda en la zona de espuma
corresponde a la recuperación de la zona espuma
.
La eficiencia de la zona de colección normalmente varía entre el 60 y 90% mientras que la eficiencia de la zona de espuma se encuentre entre el 10 y el 90%. Una baja recuperación en la zona de la espuma tiene un impacto altamente negativo en el desempeño de la celda. (Vera, 2002) Se ha investigado la relación entre el tiempo de residencia
y la recuperación total
y se ha encontrado una relación exponencial dada por la ecuación (3.1) (Gorian, 1998)
−
(3.1)
La función exponencial describe el número de partículas que se mantienen
atrapadas en las partículas de burbujas en la zona de espuma. es un parámetro relacionado a la condición de la espuma (Vera, 2002).
28
Las partículas que se despegan de las burbujas son devueltas a la zona de la pulpa o atrapadas por el agua que se encuentra entre las burbujas. Este mecanismo es similar al arrastre. Las partículas que inicialmente ingresar on a la zona de la espuma mediante burbujas también son consideradas.
ó +
(4.2)
Combinando las ecuaciones se puede obtener una expresión para la recuperación en la zona de colección. La fracción de burbujas que se despegan de las burbujas − . La relación resultante se expresa como corresponden a
1 − (1 − )+ (4.3) 3.1.6 Holdup de gas
Cuando un gas es introducido en un liquido o lodo un volumen de liquido es desplazado. La fracción volumétrica desplazada corresponde al holdup de gas (Finch y Dobby, 1990). El holdup de gas se incrementa con un incremento en el flujo de gas y decrece cuando el con el tamaño de las burbujas (Gorain, 1997) . No existe una relación significante entre el holdup de gas y la constante de flotación. El flujo superficial de gas y el holdup de gas están relacionados mediante una relación lineal. Para un mismo flujo de aire una gran población de burbujas de pequeño tamaño da como resultado un holdup de gas grande y viceversa. El holdup de gas es más fácilmente medible que el fjujo superficial de gas.
3.1.7 Velocidad superficial de gas Esta propiedad se define como el flujo volumétrico del aire que ingresa a la celda dividido por el área de la sección transversal de esta. La ecuación 3.4 muestra esta relación
(3.4)
Esta velocidad puede ser medida. Usualmente es la diferencia entre la velocidad superficial de gas y la velocidad del gas calculada por la ecuación (3.4). 29
La velocidad superficial del gas es medida en distinto puntos de la celda. Existe una diferencia entre la velocidad superficial calculada y la medida no describe completamente la distribución de velocidades en el área total de la celda. Valores de dispersión cercanos a 100 indican una buena dispersión de aire. Este índice no posee una significancia física importante pero se utiliza para medir el rendimiento del agitador utilizado.
−, 100 ,, ∙100
(3.5)
La relación de este parámetro con la constante de flotación es significativa. Esta relación se deteriora a medida que la velocidad superficial de gas se incrementa demasiado.
3.1.8 Flujo superficial de superficie de burbujas Esta expresión es definida por la ecuación (3.6). El diámetro de Sauter es ca lculado por la ecuación (3.7).
(3.6)
∑∑
(3.7)
El efecto que poseen el tamaño de las burbujas, el holdup de gas y la velocidad superficial de aire en la constante de flotación no están relacionadas individualmente. Sin embargo, estas propiedades están relacionadas en la flujo de área superficial de burbujas y se ha encontrado una relación lineal entre este parámetro y la constante de flotación. Esta relación de
, y puede ser expresada como la ecuación (3.8) donde
corresponde a la flotabilidad del mineral lo que depende de la composición de la partícula y las condiciones de superficie
,
(3.8)
30
La estimación de este parámetro es fundamental para describir el proceso, sin embargo su medición es complicada debido a que es necesario medir el tamaño de las burbujas (Finch, 2000). En las celdas mecánicas el tamaño de las burbujas depende del diseño del agitador y su velocidad además del flujo de aire (Gorian, 1999). La concentración de espumeante en la celda también afecta el tamaño de las burbujas. El tamaño medio de la burbuja tiende a disminuir al incrementar la velocidad del agitador. El tamaño de las partículas y la densidad de la pulpa también tienen un efecto sobre el tamaño de las burbujas y, en consecuencia, en el flujo superficial de burbujas. El agitador puede ser caracterizado por la razón de velocidad del agitador obtenida por la ecuación (3.9).
á
(3.9)
El diámetro del agitador es medido de asta a asta y la altura es la altura vertical de las astas o cuchillas del agitador. En resumen la expresión para el flujo de área superficial de burbuja s se muestra en la ecuación (3.10)
Donde
(3.10)
,,, son parámetros del modelo sacados de data obtenida por (Gorian,
2000).
3.1.9 Overall rate constant En las secciones anteriores se ha discutido y caracterizado la relación entre la tasa con que las partículas son colectadas desde la fase de la pulpa y entran en la fase de espuma. La tasa con la que las partículas en la son colectadas en la zona de la espuma puede también ser descrita como una ecuación diferencial de primer orden. La relación entre esta tasa
es inversamente proporcional con la profundidad de
la espuma. La tasa es mayor para profundidades grandes de espuma. Para zonas
31
de espuma poco profundas la constante tiende a ser igual a la constante de la zona de colección
, .
(3.11) ∗) ( − +(−∗)
(3.12)
Esta una relación no lineal debido a las no linealidades contenidas en
visto en la
sección 3.4.
3.1.10Tiempo de residencia de espuma Puede ser definido de diversas formas como se muestra en las ecuaciones (3.13), (3,14) y (3.15) Definido según el tiempo de residencia del aire
,
(3.13)
Definido según el flujo de lodo
,
(3.14)
Definido según el tiempo de residencia de las partículas en la espuma
,
(3.15)
3.1.11 Modelos probabilísticos Estos modelos son utilizados para realizar un diagnóstico de la ope ración, comparar reactivos, etc (Yiannatos, 62, año). Los modelos probabilísticos caractizan el comportamiento del mineral frente a distintas condiciones de operación como lo pueden ser dosificación de reactivos, PH, etc. Dentro de los modelos probabilísticos más importantes se encuentran los modelos propuestos por Schuhmann (1942), Tomlinson y Flemming (1942) y Kelsall (1961)
32
Schuhmann: propone que la velocidad de flotación puede descomponerse en
una serie de eventos de naturaleza probabilística (Yiannatos, 63)
∙ ∙ (3.1) Donde
: ó : ó : ℎó :
Tomlinson y Flemming
∙
(3.2)
Donde:
: ó ℎ [ ]: ó Kelsall
1
(3.3)
Donde:
:ó ℎ Si se considera que el flujo de concentrado es proporcional a la masa de la pulpa se tiene la situación descrita por la figura 3.1
33
Figura 4. 3 Modelo de Kelsall para operación Batch Cuando se inicia la recuperación de concentrado, cuya masa corresponde a la masa que queda en la celda corresponde a
∙
1 que corresponde a
la cantidad inicial en el proceso de tipo Batch menos la cantidad recuperada. Si se considera el proceso hasta una duración de n periodos de tiempo se obtiene que la masa al interior de la celda será:
· 1
(3.4)
3.1.12 Modelos de balance poblacional Los modelos de balance poblacional describen el comportamiento de la flotación prediciendo el número de burbujas en la celda y sus tamaños. Debido a que la recuperación de un mineral está estrechamente relacionada con la el tamaño y la distribución de las partículas que afectan directamente a la constante cinética de flotación. La predicción es realizada en términos de sub proces os tales como rompimiento de las burbujas y coalescencia. La celda de flotación es usualmente modelada como dos zonas separadas:
La zona del agitador
La zona de recuperación
El rompimiento de las burbujas ocurre en la primera zona, la del agitador, mientras que la coalescencia ocurre principalmente en la zona de recuperación o espuma. 34
Las burbujas formadas en la zona del agitador suben a la zona de colección donde puede ser recirculadas hacia el agitador o puede subir para formar la espuma (Deglon, 1999). En la zona del agitador se provee de la energía necesaria para mantener las partículas en suspensión. Permite la generación de burbujas pequeñas y mantiene las condiciones hidrodinámicas necesarias para una eficiente interacción burbujapartícula. También es en esta zona donde se alimenta la celda que provee una fuente continua de material al proceso.
3.1.13 Modelos cinéticos En cuanto a la aparición de estos modelos su primera aparición fue realizada por García-Zúñiga en 1935. En este modelo se plantea un comportamiento exponencial de primer orden para la determinación de la constante cinética de flotación. La formación y la colisión burbuja partícula se produce en la zona de colección se puede asimilar a una reacción química como la mostrada en la figura 3.4
35
Mineral
Agregado Burbujapartícula Burbuja
Figura 4. 4 Analogía flotación y reacción química (Yiannatos, 64,) Estos modelos se basan en el balance de masas y el movimiento de esta a través de la celda (balance de masas entre la alimentación de lodo y la salida de concentrado o cola).
3.2 Ecuaciones del modelo Para desarrollar el modelo en la sección anterior (3) se explicaron las complejas relaciones existentes entre las variables más importantes del proceso de flotación y 36
el desempeño de este. En este capítulo se resumirán las ecuaciones fenomenológicas y empíricas para la formulación de un modelo computacional realizado en MATLAB®.
3.2.1 Balance de masas El material entra a la celda en la fase de pulpa como alimentación posee varios caminos de salida. Uno de ellos es dejar esta fase mediante la señal de cola (tailings). El mineral valioso puede dejar la fase de pulpa mediante la flotación (adhesión burbuja-partícula) y ambos, ganga y mineral valioso pueden dejar la pulpa por arrastre. Estos minerales pueden ingresar nuevamente a la pulpa desde la zona de colección por el colapso de las burbujas, drenaje de la espuma y mecanismos similares. La ecuación 4.1 resume este balance (Ruanne Delport, 2004).
, , ,
(4.1)
El flujo másico de cada componente que sale de la celda en la señal de cola es calculado por la concentración de cada componente en la pulpa y el total de flujo volumétrico
, ,
(4.2)
Para las celdas conectadas en un banco el flujo volumétrico de una celda a la siguiente puede ser calculado por la expresión (4.3) donde en la siguiente celda y
es el nivel de pulpa
es el nivel de pulpa en la propia celda. El volumen total de
pulpa en la celda es la suma de los minerales y el agua que esta contiene. El nivel de una celda puede ser superior al nivel de la pulpa debido a que la celda se compone de una fase de pulpa y otra de espuma. El volumen total de la celda puede ser calculada por la expresión (4.6) y el nivel depulpa en la celda se calcula por la ecuación (4.7)
√ , , (4.4) ∑= , ,
(4.3)
(4.5) 37
, −∈
(4.6)
L ,
(4.7)
Se asume una densidad constante y las densidades en las dos celdas son aproximadamente las mismas. La contribución del aire en la fase de pulpa para la densidad es obviada. El flujo de pulpa desde la última celda puede ser manipulada por una válvula de control en la línea de salida del banco. El flujo a través de esta válvula es dado por la ecuación (4.8). Se asume que la presión de salida corresponde a la presión atmosférica por lo que la diferencia de presión en la válvula corresponde a la presión generada por la última celda.
Qtlng Kvlvf x√
(4.8)
El balance de masas puede ser también calculado para el agua. El agua deja la celda por la señal de cola o por la del concentrado. Se asume que la constante de recuperación es proporcional a la concentración de agua en la celda. El efecto de la altura de la espuma en la proporcionalidad de la constante también debe ser incluido. En este caso se asume que
no es función de la altura de la espuma.
, , ,
(4.9)
mw,tlng Cw,Qtlng (4.10) , , (4.11) , (4.12) , , (4.13) 3.2.2 Tasa de flotación total En la fase de la pulpa el balance de masa dado anteriormente incluye términos para material dejando la fase de pulpa a través de flotación y material re ingresando a la 38
pulpa debido al drop-back. Es posible combinar ambos términos y modelar una tasa a la que el material deja la fase de pulpa. Esta tasa está dada por la ecuación (4.15). La constante de la zona de colección (utilizada para modelas la tasa a la que las partículas se adhieren a las burbujas en la fase de la pulpa) es producto de la
flotabilidad del mineral, y el flujo superficial superficie de burbujas
. No todas las
partículas que dejan la zona de colección son colectadas en el concentrado. La porción de este mineral que deja la celda en el concentrado está dada por el factor de recuperación. Estas variables están relacionadas en la tasa de flotación total dada en la ecuación (4.14). El flujo másico desde la celda hacia la flotación es dado por la ecuación (4.16)
(4.14) , (4.15) , (4.16) 3.2.3 Flotabilidad del mineral Es un parámetro que depende del timo de mineral y del tamaño de las partículas
(Vera, 2002). Lo rangos medidos de flotabilidad varían entre
10− a 2,7∙10− para
material valioso. Se asume que la flotabilidad de la ganga es cero.
3.2.4 Flujo superficial de superficie de burbujas Esta relación empírica entregada por (Gorian, 1999) es utilizada para calcular el flujo superficial de superficie de burbujas.
(4.17)
Los valores de las constantes a hasta e son dados por (Gorain, 1999). Además de la velocidad periférica del agitador y
para distintos tipos de plantas así como el
80% del tamaño de la alimentación. Los valores fueron seleccionados y mostrados en el resumen del modelo.
39
3.2.5 Factor de recuperación de la espuma De la relación dada por (Vera, 2002). Esta relación requiere el tiempo de retención en la espuma el cual es calculado del flujo volumétrico de aire y del volumen de la espuma en la celda. El nivel de la espuma es la diferencia en tre la altura de la celda y el nivel de la fase de pulpa. El parámetro de drenaje,
1/. , − (1 − )+ (4.18)
, varía entre 7 y 75 1/
mientras que tiene un valor de 4
(4.19) (4.20) 3.2.6 Arrastre El arrastre describe la tasa neta con la cual las partículas dejan la fase de pulpa. Depende de la tasa que las partículas entran a la zona de colección y la tasa con que las partículas son devueltas a la pulpa. El flujo de agua desde la celda se expresa en masa de agua por unidad de tiempo
. La tasa de recuperación del agua es proporcional a la masa de agua contenida en la fase de pulpa (Lynch, 1981: 74). La ecuación (4.22) puede ser escritas en términos de
, . La función de clasificación es dada por la ecuación
(4.21).
+
(4.21)
, ,, (4.22) ,
(4.23)
3.2.7 Adición de aire Muchas de las ecuaciones dadas anteriormente depende de variables relativas al flujo de aire. Estas incluyen tiempo de retención en la espuma y holdup de aire. No es realista asumir que un cambio en el flujo de aire canbiará instantáneamente 40
cualquiera de estos, sin embargo se puede asumir que estas cambiarán gradualmente luego de unos cuantos segundos. Este cambio se consigue adhiriendo un retardo de primer orden para describir el cambio efectivo del flujo de aire en la celda.
3.2.8 Alimentación (entrada de lodo) La entrada a un circuito de flotación corresponde a un espectro de distintos tipos de partículas en tamaño y composición. Si se quiere predecir cuantitativamente la recuperación y la ley del concentrado final la alimentación a la celda debe ser dividida en muchas clases dependiendo del tamaño y composición de las par tículas teniendo, cada una su propia flotabilidad. Para el análisis dinámico y cumplir con el objetivo de este modelo las partículas fueron divididas en dos clases: Mineral valioso y ganga. El mineral valioso tiene una alta flotabilidad mientras que la ganga tiene flotabilidad cero y solo es recuperado en el concentrado debido al arrastre. En general la alimentación contiene una baja cantidad de mineral valioso. El material que entra al sistema lo hace en forma de pulpa que es una mezcla de mineral y agua.
3.3 Interfaz en MATLAB La serie de ecuaciones mencionadas en el punto anterior son dispuestas en la plataforma MATLAB para crear la simulación de un banco de celdas de flotación. Las ecuaciones son desarrolladas en Simulink como se muestra en las figuras 4.1 y 4.2.
41
Figura 5. 1 Ecuación (4.22) en Simulink
Figura 5. 2 Ecuación (4.3) en Simulink
3.4 Consideraciones del modelo Se utiliza el modelo para ver la respuesta de este a variaciones en la entrada de mineral como su respuesta al escalón y entradas aleatorias de distribución normal con el fin de generar una base de datos del comportamiento del proceso. 42
Con el fin de crear una base de datos utilizable por la todas las entradas y salidas fueron escaladas en el rango de 0 a 1. La normalización de variables es necesaria cuando intervienen variables con diferentes unidades y, por lo tanto, amplitudes a veces de varios ordenes de magnitud diferentes. Para la normalización de variables en el conjunto comprend ido entre 0 y 1 se utiliza la siguiente ecuación
− (4.24) − El valor de es 1,1 veces el máximo valor de la variable y es 0,9 veces el valor mínimo de la variable. Los valores de entrada y salida del modelo estarán dados en torno al punto de operación entregado en el apéndice A.
Imágenes y gráficos de respuesta de la planta
43
3.5 Pre distorsión Generalmente el modelo que representa un fenómeno natural no es una función lineal. Sin embargo como los modelos lineales son más fá ciles de analizar, se puede tratar de convertir las funciones a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A este procedimiento se le denomina linealización. Actualmente se puede considerar que la teoría básica de sistemas lineales e invariantes está plenamente desarrollada, en el sentido de que es global (aplicable a cualquier sistema lineal) y dispone de potentes herramientas de diseño y evaluación. Sin embargo, no ocurre lo mismo con los sistemas no lineales. En éstos, las soluciones que se obtienen suelen ser particulares y sólo aplicables a clases específicas de no linealidades. Además, con la dificultad añadida de no disponer de métodos sistemáticos de análisis y diseño, siendo muchos de ellos simples extrapolaciones de los típicos en sistemas lineales, y por ello poco adecuados al problema no lineal. Consecuencia de todo lo anterior es que en los ámbitos de Procesado de Señal y de Teoría de Control son ampliamente usados tanto los filtros como los controladores lineales, dejándose los diseños basados en estructuras no lineales para aplicaciones específicas. De entre estos cabe destacar el empleo de algoritmos 44
adaptativos, que se basan en leyes de adaptación implícitamente no lineales, aunque su diseño se ha venido haciendo hasta hace poco extrapolando experiencias de diseños lineales y de parámetros constantes. Como ejemplo de algunos de los problemas que supone la presencia de no linealidades en canales de comunicación cabe decir que en transmisiones digitales a alta velocidad una de la mayores causas de que aumente la probabilidad de error es la presencia de no linealidades (Benedetto, S., E. Biglieri and V. Castellani, Digital Transmission Theory, Prentice-Hall International, 1987). Hay aplicaciones en comunicaciones en los que se exige a los amplificadores que trabajen cerca de saturación para un mayor rendimiento de potencia, logrando así disminuir la distorsión que esto va a originar. Este es el caso de los repetidores a bordo de satélites de enlace. Una solución que se aplica es la de predistorsionar la señal a transmitir, de modo que la predistorsión compense a la distorsión. También es importante la linealización de amplificadores de RF en sistemas de comunicaciones móviles, donde es necesario un alto rendimiento en potencia, lo que hace que se trabaje cerca de saturación. Esto es una limitación para el uso de modulaciones tipo QAM, que son deseables por ser eficientes espectralmente pero son más sensibles al efecto de las no linealidades que otras modulaciones menos eficientes (Ariyavisitakul, S. and T.P. Liu, Characterizing the Effects of Nonlinear Amplifiers on Linear Modulation for Digital Portable Radio Communications, IEEE Transactions on Vehicular Technology, Vol. 39, No. 4, pp. 383-389, November 1990). En la linealización por pre distorsión, objetivo principal de este trabajo, es un método ampliamente usado. Trabaja distorsionando la señal antes de que llegue al sistema no lineal, de manera que el efecto global sea el de un sistema lineal, pues el efecto de la pre distorsión trata de ser el efecto inverso al de la no linealidad. A lo largo de este trabajo la idea que se quiere dar a entender con la palabra linealizar o predistorsionar el cómo conseguir que un sistema dinámico no lineal se comporte, es decir responda, como si fuera lineal. Además, el problema que se considera no es de modelado (aproximar un sistema no lineal por uno lineal), ni 45
tampoco de filtrado (eliminar no linealidades a la salida de un sistema), sino que lo que se pretende es modificar (controlar) el sistema no lineal y hacer que su comportamiento sea lineal.
3.6 Redes neuronales Una red neuronal es un sistema que permite establecer una relación lineal o no lineal entre las salidas y las entradas. Sus características están inspiradas en el sistema nervioso lo que les da varias ventajas tales como su capacidad de aprendizaje adaptativo, son auto-organizativas, pueden funcionar en paralelo en tiempo real y ofrecen tolerancia a fallos por la codificación redundante de la información. Desde el punto de vista de solucionar problemas, las redes neuronales son diferentes de los computadores convencionales que usan algoritmos secuenciales, mientras que las redes neuronales actúan como el cerebro humano, procesando la información en paralelo, y también pueden aprender y generalizar a situaciones no incluidas en el proceso de entrenamiento. Las redes neuronales pueden procesar información de forma más rápida que los computadores convencionales, pero tienen la desventaja de que no podemos seguir su respuesta paso a paso como se puede hacer al ejecutar un programa convencional en un ordenador por lo que no resulta fácil detectar los errores. Las redes neuronales artificiales son muy efectivas para resolver problemas complicados de clasificación, reconocimiento de patrones y mapeo de funciones. Los métodos de entrenamiento basados en el gradiente descendente convergen de manera muy lenta cuando existen grandes cantidades de datos a ser procesados, debido a esto, es necesario una formular un método alternativo para el entrenamiento. La figura 5.4 muestra una red neuronal feedforward con dos capas ocultas y dos salidas. El número de entradas es directamente dependiente de la información disponible para ser clasificada o de las variables de entrada de un proceso, mientras que el número de neuronas de salida es igual al número de clases a ser separadas o de salidas del sistema dependiendo si la red es utilizada para clasificación o mapeo de funciones. Las unidades de una capa se conectan 46
unidireccionalmente con las de la siguiente, en general todas con todas, sometiendo a sus salidas a la multiplicación por un peso que es diferente para cada una de las conexiones. Luego de ser computado es pasado por una función de activación φ(.)
se computa la salida de cada una de las capas.
Figura 6. 1 Esquema de una red neuronal feedfoward Las funciones de activación típicamente usadas son mostra das en la figura 5.5 para el caso de las redes neuronales artificiales utilizadas para mapeo de funciones en las capas ocultas deben contener funciones diferenciables tal como lo son sigmoidal, tangente hiperbólica, etc. En el caso de la capa de salida es común utilizar una función lineal no saturada para darle a la red neuronal rango libre.
47
FFigura 6. 2 funciones de activación típicamente utilizados en las redes neuronales
3.7 Entrenamiento o aprendizaje Para producir el aprendizaje en la figura 5.7 se muestra el proceso que lleva a cabo la red neuronal para almacenar conocimiento
Datos de entrenamiento
Entrenamiento
Pesos
Salida de la red
Figura 6. 3 Modelo simplificado de aprendizaje El aprendizaje o entrenamiento es la clave para la plasticidad de una red neurona y esencialmente es el proceso en el que se adaptan las sinapsis para que la red responda de un modo distinto a los estímulos del medio. En una red neuronal toda información adquirida se guarda en el valor de cada peso sináptico. De hecho, las neuronas de la mayor parte de los seres vivos son iguales y su diferencia reside en 48
el concepto de organización, número y modo de cambio entre las interacciones sinápticas. El aprendizaje se divide en dos tipos:
i)
Aprendizaje supervisado: Es una técnica para deducir una función a partir de datos de entrenamiento. Los datos de entrenamiento consisten de pares de objetos (normalmente vectores): una componente del par s on los datos de entrada y el otro, los resultados deseados.
ii) Aprendizaje no supervisado: Se distingue del Aprendizaje supervisado por el hecho de que no hay un conocimiento a priori. En el aprendizaje no supervisado, un conjunto de datos de objetos de entrada es tratado. Así, el aprendizaje no supervisado típicamente trata los objetos de entrada como un conjunto de variables aleatorias, siendo construido un modelo de densidad para el conjunto de datos.
Por lo general las redes neuronales artificiales feedforward son entrenadas con el clásico algoritmo backpropagation propuesto por Rumelhart(D.E. Rumelhart, G.E. Hinton y R.J. Williams,”learning internal representations by error propagation in D.E.
Rumelhart y J.L. McClelland, editors, Parallel distributed processing, volumen 1, chapter 8, The MIT Press, Cambridgem MA, 1986). Este algoritmo es útil para redes de tamaño pequeño o problemas simples pero tiende a converger deficientemente si el número de nodos es grande o si el problema es complejo. Para solucionar este problema, otros métodos de entrenamiento han sido propuestos. Una red neuronal feedforward puede ser adaptada utilizando el algortimo basado en el Filtro Extendido de Kalman (EKF) ( Sharad Singhal, Lance Wu, “traininig multilayer perceptrons with the extended Kalman algorithm”,Bell Communicarions Research, Morristown, NJ) Este es un método para calcular recursivamente la
49
actualización de los pesos para todos los pesos de la red. Las ventajas y detalles del método serán explicados en el capítulo 5.3.1.
3.7.1 EKF (Extended Kalman Filter) para el entrenamiento de redes neuronales El filtro de Kalman (R. E. Kalman, “a new approach to linear filtering and prediction problems”, J. Basics Eng., Trans. ASME, Series D, Vol 82, No.1, 1960, pag 35-45)
es una herramienta ideal para trabajar con ruidos, tanto de planta como de medición. Adicionalmente su costo computacional es relativamente bajo al requerir solo información de estados anteriores para la realizar una estimación. Existe una gran cantidad de métodos de aprendizaje o entrenamiento. El filtro extendido de Kalman constituye la base del entrenamiento de segundo orden para las redes neuronales. El cual, es una práctica y efectiva alternativa para los entrenamientos de tipo batch. La esencia del EKF es que durante el entrenamiento, además de actualizar los pesos de la red neuronal de manera secuencial, una matriz de covarianza del error también es creada y actualizada. La idea del filtro es linealizar el modelo de espacio estado no lineal en cada instante de tiempo alrededor del último estado conocido, luego, una vez con ocido el modelo se aplican las ecuaciones de filtro de Kalman que proveen un medio recursivo computacional eficiente para estimar el estado de un proceso, tomando como base la minimización del error cuadrático medio. Una de las ventajas que posee el filtro de Kalman sobre otros métodos de entrenamiento radica en que los cálculos a realizarse no son complejos. El modelo que se pretende minimizar está siendo linealizado en el punto de operación donde se encuentre y, además, es posible hacer correcciones de las predicciones realizadas mediante un monitoreo constante del proceso. Si se considera el comportamiento de una red neuronal como un sistema no lineal discreto con la siguiente representación
50
Figura 6. 4 Representación en diagrama de bloques de una red neuronal del tipo feedforward que entrega un mapeo entre el vector de entrada y el vector de salida .
(5.1) + ℎ , ,− (5.2) La primera ecuación es la ecuación de proceso y simplemente especifica que el estado una red neuronal ideal es caracterizado como un proceso estacionario afectado por ruido
. El estado del sistema está dado por el valor de los pesos .
La segunda ecuación es conocida como observación o ecuación de medida y representa la respuesta deseada del vector
como una función no lineal del vector
, el vector de pesos y, para redes neuronales recurrentes, el nodo recurrente de activación y una medida de ruido randómico . La medida de ruido es típicamente caracterizada por ruido blanco de media cero con covarianza dada por , . Similarmente el ruido del proceso es también caracterizado como ruido blanco de media cero con covarianza dada por , . de entrada
Ahora el problema de entrenamiento utilizando la teoría del filtro de Kalman puede ser descrito como encontrar el mínimo error cuadrático medio estimado del estado
utilizando los datos observados. Se asume una arquitectura de red con pesos y nodos de salidas. La solución del EKF para el problema de entrenamiento es dada por la siguiente recursión de ecuaciones (ver anexo 2).
− +
(5.3) (5.4) (5.5) (5.6) 51
El vector
representa
la estimación del estado (pesos) del sistema en la
actualización k-ésima. Esta estimación es función de la matriz de ganancia de Kalman
y el vector de error ̂, donde es el vector de objetivo ê
es la salida de la red neuronal en la k-ésima iteración del entrenamiento. La matriz de ganancia de Kalman es una función de la matriz de covarianza de error estimado
, la matriz de derivadas de las salidas de la red con respecto a los pesos y la matriz de escalamiento . La matriz se calcula mediante el algoritmo backpropagation. La matriz de escalamiento es función de la matriz de ruido así como de las matrices y . Finalmente, la matriz de covarianza de error estimado se actualiza recursivamente junto con el vector de pesos estimados. Este algoritmo intenta encontrar los valores de los pesos que m inimicen la suma de
∑ . Se debe notar que este algoritmo requiere medir la salida y las matrices de covarianza de ruido, y sean especificadas para todo el transcurso del entrenamiento. De forma similar, la matriz de covarianza de error error cuadrático
debe ser inicializada al principio del entrenamiento. Cada uno de los pasos de entrenamiento consiste en los siguientes pasos: 1) Una entrada de entrenamiento
es propagada a través de la red para
. La propagación hacia adelante e s función de la activación de los nodos − . El vector de error es también obtenido en producir un vector de salida este paso. 2) La matriz de derivadas
es obtenida mediante Backpropagation. En este
caso, se realiza un backpropagation por separado para cada componente del vector de salida
.
3) La matriz de ganancia de Kalman es calculada como función de la matriz de
, la matriz de covarianza de error y la medida de la matriz de covarianza de ruido . En este paso se incluye el cálculo de la matriz de escalamiento . derivadas
4) El vector de pesos se actualiza utilizando la matriz de ganancia de Kalman
, el vector de error y los valores actuales de los pesos 52
5) La matriz de covarianza de error es actualizada utilizando la matriz de
, la matriz de derivadas y los valores actuales de la matriz de covarianza de error . En este paso también la matriz de ganancia de Kalman
covarianza de error aumenta debido a la matriz de covarianza de ruido del proceso
.
CAPITULO 4. PREDISTORSION BASADA EN REDES NEURONALES La predistorsión será el objetivo para linealizar y controlar nuestro sistema elegido en este proyecto. Es, como se ha mencionado un poco más arriba, una técnica que pretende modificar las características de la señal de interés antes de pasar por la parte no lineal de nuestro sistema, i.e. el amplificador de potencia, planta de flotación o cualquier otro proceso no lineal. Generalmente, se trata de un algoritmo que actúa sobre la señal que queremos transmitir en base a unos parámetros de un modelo supuesto para la parte no lineal. En efecto, estos serán los dos componentes fundamentales a la hora de diseñar un pre distorsionador: el modelado de la parte no lineal (y con memoria, si procede) del sistema; y el método de ajuste de los parámetros de ese algoritmo para conseguir un resultado global lineal. Una vez escogido el modelo con el que trabajar, se procede a una identificación de parámetros. Para ello, se aplica el algoritmo, desde un estado inicial, a la se ñal y se hace pasar por la parte no lineal. A continuación, se recoge la salida y se realiza algún procedimiento de ajuste de los parámetros del algoritmo para conseguir una linealización lo mejor posible. Esto se suele hacer mediante algún tipo de regresión matemática, por ejemplo mínimos cuadrados, y, en algunas ocasiones, se tiene en cuenta la estadística de la señal de entrada para conseguir un ajuste más rápido. La forma de ajustar será por iteración entrada-distorsión-recu peración-ajuste. Estas iteraciones se suelen hacer de dos formas: 53
(i) Método continuo y adaptativo (ii) Entrenamiento a priori
El método adaptativo se realiza de manera continua durante toda la transmisión de la señal. De esta forma, cambios en las características del canal en general pueden ser recogidos por el algoritmo, consiguiendo un ajuste bueno para infinidad de situaciones. Esto, siempre y cuando la velocidad de convergencia del algoritmo reajuste sus parámetros lo suficientemente rápido como para adaptarse a los cambios del canal. Por otro lado, los métodos basados en entrenamiento, consiguen el ajuste de los parámetros del algoritmo mediante señales de entrenamiento que se transmiten al comienzo de la vida de la transmisión y, ocasionalmente, en distintos momentos después de la puesta a punto inicial. Esto puede parecer peor que el caso anterior, pero es muy válido para canales en los que se prevée que la no linealidad cambie poco, o en los que el modelo de no linealidad se ajuste muy bien al comportamiento del sistema. El análisis y diseño de filtros no lineales tiene en la actualidad muchas aplicaciones, especialmente en comunicaciones, control y procesado de imagen y voz. En estas áreas de conocimiento son populares filtros no lineales tales como los filtros de estadística de orden superior, los filtros polinómicos y los filtros de Volterra. Los métodos adaptativos se dicen adaptativos por la forma en que consiguen la convergencia de sus parámetros, en contraposición con los métodos basados en entrenamiento. La mayoría de los métodos adaptativos confían en una técnica basada en tabla de datos (look up table). Esta se rellena a partir de muestras discretas proveniente de la aplicación de algún algoritmo de modelado, por ejemplo series de Volterra, a la señal que queremos transmitir. Es decir, usando un modelo, generamos una correspondencia entre valor de la señal de entrada y valor de la señal que debe pasar por el sistema, de forma que la señal a la salida del sistema tenga un comportamiento lineal con respecto a la señal que queremos transmitir.
54
Figura 6. 5 Esquema de método entrenamiento adaptativo utilizando Tabla Look-up b) Diagrama de sistema operación donde x _k ̃ corresponde a la entrada del sistema luego de haber sido predistorsionada. Esto funciona bien para señales de banda estrecha. Sin embargo, consideramos sistemas de banda ancha, el amplificador de potencia presenta memoria, la tabla con las muestras pre-computada se hace muy grande y el procedimiento para la selección de la muestra siguiente se hace muy complejo. Además, si el amplificador cambia sus características, toda la tabla debe actualizarse y la estrategia de selección cambia de nuevo. Un desarrollo alternativo es la utilización de un esquema de control no lineal adaptativo, figura 4.4, basado en el Modelo de Referencia Adaptativa de Control. Los parámetros del controlador (predistorsionador) son ajustados de manera 55
adaptativa, para conseguir la mínima desviación con respecto al resultado objetivo, en nuestro caso, un comportamiento lineal. Las dificultades de este esquema no son triviales: una estructura de control específica junto con un algoritmo de control robusto deben ser diseñados.
Figura 6. 6 Esquema de control basado en predistorsión adaptativa y modelo de referencia. La sintonización del controlador es realizada en linea con la operación. Rodriguez, Nibaldo plantea en su trabajo (S. I. a. C. R. Rodriguez N., “, "Adaptive predistortion of COFDM for mobile Satellite Channel",” International Journal of
Communication systems, vol. 16, no. 10, pp. 137-150, 2003.) la utilización de redes neuronales artificiales para la creación de un predistorsionador adaptativo. En el modo de entrenamiento la señal de salida de la re d neuronal corresponde a la entrada del sistema. Debido a que la señal no presenta un considerable retardo no existe un modelo de referencia. Los pesos son actualizados con el algoritmo EKF (Extended Kalman Algorithm). Por carácter no lineal que poseen las celdas de flotación, una red neuronal con al menos 1 capa oculta es utilizada. Según el teorema de aproximación universal “una red neuronal con al menos una capa oculta y un número finito de neuronas es un aproximador universal de funciones sobre subconjuntos compactos de
”. La 56
primera versión de este postulado fue entregada por George Cybenko en 1989 (Cybenko., G. (1989) "Approximations by superpositions of sigmoidal functions", Mathematics of Control, Signals, and Systems, 2 (4), 303-314) para redes neuronales que en su capa oculta contenían funciones de activación sigmoidales. Luego, en 1991 Kurt Hornik demostró que no solo una función sigmoidal poseía estas características, sino que la arquitectura de la red de propagación hacia adelante (feedfoward) le entrega el potencial a la red de ser un aproximador universal. Gracias a esta propiedad, la red neuronal propuesta será capaz de aproximar la función
−. que corresponde a la función inversa al sistema a
controlar. El entrenamiento y la descripción de la red neuronal artificial utilizada se describen en las siguientes secciones. Para esta tesis se ha utilizado el controlador adaptativo utilizando un modelo de referencia el cual corresponde a un retardo puro como se muestra en la figura 4.5.
Figura 6. 7 Diagrama de sistema propuesto para el control del banco de flotación
57
CAPITULO 5. OPERACIÓN DEL PREDISTORSIONADOR
Determinación número de neuronas en capa intermedia Curvas de entrenamiento de la red neuronal, velocidad de convergencia y error en la aproximación Tablas de Indice de adecuación Error RMS RSD (relative standard deviation) Gráficos de celda con ruido a la entrada sin control y su respuesta Gráfico de respuesta con control Tablas de RSD con y sin control y comparación (disminución de la perturbación) Tabla de aumento de recuperación con y sin control (aumento de beneficio)
58
59
ANEXO A: CONCEPTOS BASICOS Para el análisis y la modelación del proceso de flotación es necesario conocer algunos conceptos básicos que están involucrados en el proceso. 1.5.3.1
Densidad
Cociente entre la masa del cuerpo y su volumen 1.5.3.2
Densidad aparente
Se aplica a sólidos granulares donde el volumen medido no solo contiene al sólido en estudio sino que también existe aire contenido entre las partículas. Si se considera que el volumen total corresponde a
ó y considerando
que:
óó al dividir esta expresión por vtotal se obtiene: (1.5) ó ó Para sólidos granulares de tamaño de partícula mas o menos parejo el factor de hueco se estima en torno al 45% por lo que la parte sólida granular ocupa el restante 55%. 1.5.3.3
Densidad de pulpas
Las pulpas son una mezcla entre sólido y agua. Una de sus características más importantes es el porcentaje de sólido que viene dado por la ecuación (1.6).
% 100 (1.6) De esta relación y de la ecuación de balance de masas se puede obtener la expresión (1.7)
% −% (1.7) ó
60
1.5.3.4
Balance de masa
Se deben definir los siguientes términos para realizar un balance de masas en un equipo de flotación:
1) Alimentación del sistema ( , feed)
)
2) Ley de alimentación de la celda i-ésima (
3) Producto valioso o concentrado obtenido de la i-ésima celda ( , Concentrate)
4) Ley correspondiente del concentrado obtenido en la i-ésima celda (
5) Relave o ganga obtenida en la i-ésima celda ( )
6) Ley correspondiente a la señal de cola o ganga (
La figura 1.4 muestra de manera esquemática la relación del balance de masas en una celda de flotación
Figura 2. 4 Balance de masas por una celda de flotación 1.5.3.5
Balance de masa global
EL escenario a considerar para el balance de masas considera que todo lo que entra en un sistema debe ser igual a lo que sale, siempre y cuando se haya alcanzado el estado estacionario. El balance de masa global estará dado por la ecuación (1.8).
(1.8)
61
1.5.3.6
Balance de masa por componente
Además del balance de masas global puede realizarse un balance de masas por componente dado por la ecuación (1.9)
∙ ∙ ∙ 1.5.3.7
(1.9)
Recuperación
La recuperación mide la eficiencia del proceso. En el proceso el objetivo es recuperar la máxima cantidad de mineral valioso. Uno de los principales problemas de esta premisa es que a medida que se aumenta la recuperación disminuye la ley del mineral recuperado. La recuperación se expresa como un cuociente entre el mineral valioso en el concentrado (recuperado) y el la masa de mineral valiosa con el que la celda es alimentado como expresa la ecuación (1.10)
(1.10) ó Considerando la figura 1.4 esta expresión puede ser representada por la ecuación (1.11).
∙ (1.11) ∙ Considerando que en el balance de masa global se puede expresar la recuperación en función de las leyes de minerales en las señales de entrada, cola y concentrado como
(1.12) − −
62
ANEXO B: Resumen de variables y ecuaciones Tabla 1 Variables utilizadas para el modelo
Variable Flujo alimentación Flojo alimentación de agua Flujo de aire a la celda Fracción de control de válvula Masa del mineral i en la celda Masa de agua en la celda Flujo másico de mineral i en la cola Flujo másico de agua en la cola Flujo volumétrico de cola Volumen de pulpa en la celda Volumen de la fase de pulpa en la celda Concentración de mineral en la fase de pulpa Concentración de agua en la fase de pulpa Nivel de pulpa Nivel de espuma Flujo másico que sale en concentrado (por flotación) Flujo másico que sale en concentrado (por arrastre) Tasa total de flotación Constante de flotación Factor de recuperación de espuma Flujo superficial de superficie de burbuja Tiempo de residencia en espuma Función de clasificación
Símbolo
, ,
, , , , ,
, ,
Unidad
1 63
Balance de masa del mineral:
d; m m ,d ,tlng mltt mntnnt md b dt Balance de masa del agua.
d m w,d mw,tlng mw,ntnnt dt Flujos señal de cola primera y segunda celda
√ Qtlng Kvlvfx√
(4.3)
Flujo másico del mineral de la celda en la cola
m,tlng C,Qtlng Flujo másico del agua de la celda en la cola
mw,tlng Cw,Qtlng Volumen de pulpa en la celda
V,t −∈ Total de volumen de la fase de pulpa
V ∑n= ρ, ρ, Concentración de mineral en la fase de pulpa
C, , Concentración de agua en la fase de pulpa
Cw, , Nivel de la pulpa 64
L , Masa de salida de concentrado (por flotación)
m,lttn Vrvll Masa de salida de concentrado (por arrastre)
mtnnt kwCFM, Índice de flotación general
rvll kvllC, Constante de flotación general
kvll PSbR Factor de recuperación de espuma
R, e−β (1 e−β )+ω Tiempo de residencia de espuma
τ Nivel de espuma
L Lt L Área superficial de flujo de aire
Sb aNb Ad P Función de clasificación
C +ω
65
Tabla 2 Constantes y parámetros del modelo
Parámetro
Símbolo
Parámetro que relaciona flujo entre celdas
Constante de tasa de recuperación de
agua Flotabilidad del mineral Constantes
de
flujo
superficial
de
Unidad
, 1
ℎ
superficie de burbuja Área de sección transversal de la celda Altura de la celda Velocidad periférica del agitador Constante de aspecto del agitador Drenaje Parámetro de la espuma Drenaje de agua
La densidad inicial de la pulpa corresponde a
1 1 1
1300 . La tasa de mineral de
alimentación está basada en un flujo másico de ganga correspondiente a
45 ,. Para la densidad 90 , es utilizado.
antes mencionada un flujo de agua de
66
