1. INTRODUZIONE Ciò che caratterizza la natura dell’essere umano, concepito come creatura senziente, è la
capacità (e necessità) di fare delle scelte in ogni momento della sua vita. Generalizzando, si potrebbe affermare che la vita di un particolare individuo non è altro che l’insieme delle
scelte che egli fa, o subisce, ad opera di altri individui. Da questa considerazione si può par tire tire per comprendere l’importanza di una teoria matematica che inquadri le scelte degli individui e la loro interazione intera zione reciproca in schemi logici e necessari. Nella seguente trattazione si cercherà di presentare, nonostante la sua estrema complessità e ampiezza, la Teoria dei Giochi, branca della matematica sviluppatasi enormemente durante la seconda metà del secolo scorso. Essa studia attraverso modelli quantitativi lo sviluppo sviluppo delle interazioni tra soggetti in una una grandissima quantità di di scenari (che sono definiti situazioni strategiche), proponendosi come obiettivo quello di evidenziare le dinamiche dinamiche di scelta dei dei soggetti soggetti e prevedere prevedere (o giustificare) giustificare) l’esito finale
della situazione considerata. considerata. In particolare, questo percorso si articolerà in d ifferenti fasi, le prime più propriamente esemplificative dal punto di vista matematico, le altre dimostrative di alcuni collegamenti collegamenti della Teoria a questioni concernenti ambiti anche molto diversi tra loro, in modo da evidenziare l’estrema varietà delle possibilità di applicazione e le piene potenzialità di questo modello matematico. Dopo una breve ma doverosa introduzione storica sull’evoluzione della teoria, si forniranno alcune definizioni necessarie alla trattazione dell’argomento. Successivamente, Successivamente, si presenterà l’insieme dei postulati matematici fondamentali sui quali la teoria stessa si
fonda, per poi enunciare i tre teoremi che permetteranno la risoluzione risoluzione dei giochi presentati. Seguiranno una serie di esempi, molti dei quali celebri, di giochi e la relativa analisi, con alcuni riferimenti a situazioni attinenti al reale. I primi quattro rientreranno nella categoria dei giochi non cooperativi, mentre l’ultimo tratterà una situazione cooperativa,
studiata secondo lo schema proposto dal professor Alfredo Di Tillio durante il seminario “Bocconi Numbers” del 4 Marzo 2016. Nell’ultima parte si riprenderanno alcuni dei giochi proposti e aspetti particolari della
Teoria, sfruttandoli per dimostrare, attraverso alcune riflessioni, lo stretto legame tra i problemi analizzati “a tavolino” e alcune problematiche reali, soggetto di studio negli ambiti letterario, storico, filosofico e scientifico. Come già accennato in precedenza, la trattazione sarà in alcune sue parti necessariamente necessariamente semplificata, in accordo con la sua natura principalmente divulgativa.
3
2. CENNI STORICI
La teoria dei giochi, anticipata in alcuni dei suoi concetti da Leibniz nel 1710, fu formulata nel 1928 dal matematico John von Neumann. Egli credeva fortemente nella ragione e nel metodo razionale come unico strumento utile per affrontare gli eventi importanti della vita. Le nuove idee di Neumann, affiancate alla formalizzazione di molti concetti da sempre al centro della matematica ludica, diedero origine ad una nuova branca della matematica stessa, volta a fornire un metodo efficace per affrontare problemi decisionali, risoluzione di conflitti, dilemmi sociali. Neumann sviluppò ulteriormente le sue teorie in ” Theory of Game and Economic behavior” (1944), lavorando con Oskar Morgenstern: i due scienziati tentarono di descrivere matematicamente il comportamento umano in quelle situazioni in cui l’interazione umana è incentrata su
dinamiche competitive di vincita-perdita o spartizione di risorse.
La teoria dei giochi conobbe un grandissimo sviluppo durante la seconda guerra mondiale, soprattutto in USA e in Gran Bretagna, dove un numero rilevante di scienziati ed economisti vennero impiegati negli Stati Maggiori. Le conclusioni cui questi studiosi pervennero ebbero un ruolo fondamentale negli anni successivi, in quanto vennero utilizzate per gestire le situazioni di conflitto della Guerra Fredda. Uno dei principali studiosi nel campo della teoria dei giochi fu, negli anni cinquanta, il matematico John Nash jr ., che si specializzò nei giochi non cooperativi ed introdusse il co ncetto di “Equilibrio di Nash”.
Non possono non essere citati inoltre Tucker (matematico americano, autore del Dilemma del Prigioniero), Luce e Raiffa, che in “Games and Theory” (1957) estesero la teoria a contesti decisionali incerti e complessi, con agenti di razionalità limitata, e Schelling, autore del testo “The Strategy of Conflict ” (1960) sui comportamenti strategici.
Dopo un breve periodo in cui l’utilizzo della teoria fu offuscato dal suo sviluppo nella matematica più astratta, intorno al 1980 essa tornò in voga, ed è tutt’oggi uno degli strumenti preferiti nel campo delle valutazioni economiche e delle Scienze Sociali. 4
3. DEFINIZIONE ED ELEMENTI FONDAMENTALI
Si potrebbe tentare di definire la Teoria dei Giochi nei seguenti termini: La Teoria dei Giochi è quella scienza matematica che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni (cooperative o non cooperative) attraverso modelli in cui le decisioni di un soggetto, il quale è per ipotesi razionale e intelligente, influiscono sui risultati conseguibili dal soggetto stesso e dagli altri soggetti .
Analogamente, si forniscono le definizioni degli elementi fondamentali che la caratterizzano: 1. 2. 3. 4.
gioco payoff strategie soluzione
Per gioco si intende il modello di interazione tra i decisori, che risulta definito dal l’insieme costituito dai giocatori, dalle loro strategie e dai possibili payoff, cui si aggiunge, nel caso, il numero di ripetizioni del gioco. In linguaggio matematico un gioco è dunque così definito:
in cui N è l’insieme dei giocatori, S l’insieme delle strategie, P è l’insieme dei payoff, n il numero delle volte in cui il gioco viene ripetuto. Ciò definisce in modo univoco un gioco, differenziandolo da ogni altro e creando una situazione ben precisa. E’ facile intuire la complessità di un gioco che coinvolga numerosi giocatori, ciascuno in grado di scegliere all’interno di un esteso insieme di strategie. Per tale ragione, in questa trattazione ci limiteremo ad un’analisi di versioni semplificate dei giochi. Si definiscono payoff gli utili ricavati da ciascun giocatore in relazione alle scelte della partita. Nelle versioni semplificate si identificano spesso con il guadagno (o la perdita) di somme di denaro, tuttavia rappresentano in linea generale un valore astratto che esprime il grado di preferenza del soggetto rispetto al risultato ottenuto in funzione della strategia intrapresa. Dunque, per ogni gioco viene definita una funzione, detta ‘di utilità’:
Essa lega ogni gruppo di strategie S ai relativi valori (payoff), in funzione del tempo. Uno stesso gruppo di strategie può infatti dare esiti diversi a seconda delle condizioni in cui si 5
gioca, nonché a seconda della ripetizione del gioco a cui si è giunti. Qui si nota l’importanza nella definizione di gioco del numero di volte per cui esso viene ripetuto. L’utile può anche assumere valori negativi.
Le strategie sono le possibili azioni che ogni giocatore può compiere, le quali comprendono una valutazione da parte del giocatore stesso dei profili d erivanti dalle azioni degli altri decisori in relazione alla propria scelta. Ciò significa che una strategia è dunque un piano completo e contingente, derivante da osservazioni di tipo probabilistico, che specifica come il giocatore debba comportarsi in ogni possibile circostanza in cui potrebbe essere chiamato a decidere. Il valore di una strategia, ovvero il valore assegnatogli dalla funzione di utilità, viene calcolato dunque secondo la seguente relazione:
in cui:
Si rappresenta il valore della strategia i, j la strategia dell’avversario,
∏ j il payoff nel caso che l’avversario scelga la strategia j
P j la probabilità che ciò avvenga.
Ciò mette in evidenza come la probabilità che l’avversario faccia una determinata scelta
influenzi consistentemente il valore di una strategia. Talvolta l’esito delle azioni è soggetto a qualche forma di incertezza, come nel caso di una
lotteria. In questi casi alla funzione di utilità si associa un valore di incertezza, attribuendo diverse probabilità ai vari esiti: le strategie soggette a incertezza sono dette miste; quelle che presentano un ben determinato esito sono invece dette pure.
Infine, la soluzione di un gioco è la descrizione sistematica dei risultati che possono emergere in un determinato tipo di situazione, partendo dalle ipotesi di razionalità e intelligenza dei giocatori.
6
4. RAPPRESENTAZIONE DEI GIOCHI
La modellizzazione di un gioco e la sua risoluzione richiedono in quasi tutti i casi una rappresentazione grafica, che permetta di visualizzare in maniera chiara e simultaneamente le strategie possibili e i consequenziali payoffs, e di seguire l’evoluzione della partita e prevederne lo stato finale (soluzione). La Teoria prevede due differenti tipi di rappresentazione:
Forma normale (o strategica), la quale consiste in una rappresentazione matriciale (matrice delle vincite) che associa ad ogni scelta strategica i payoffs dei diversi decisori. Viene utilizzata nelle situazione strategiche che prevedono una scelta simultanea e non ripetuta. Si riporta a titolo esemplificativo la versione più semplice, che schematizza il gioco del nascondino.
Forma estesa (o grafo ad albero), la quale mette in risalto sia le informazioni di cui i giocatori dispongono al momento di muovere sia la sequenza (temporale o logica) delle loro mosse, ovvero ogni nodo del grafico rappresenta la scelta di un giocatore che conduce a diverse possibili scelte successive degli altri giocatori. Questa forma è particolarmente utile nei giochi sequenziali o ripetuti. Si riporta la schematizzazione del gioco precedente.
7
5. DIFFERENTI TIPI DI GIOCO Con l’evoluzione della teoria, che considerava una moltitudine di situazioni le più diverse
tra loro, si iniziò a classificare i vari giochi in base alle loro caratteristiche, che potevano essere la struttura stessa del gioco, la sua soluzione o la rappresentazione grafica ad esso associata. Considerata la differente natura di questi criteri, una classificazione non ne esclude un’altra, ma specifica solamente alcune caratteristiche della situazion e strategica considerata. I giochi possono quindi essere suddivisi in :
Giochi cooperativi e non cooperativi, ovvero che considerano o no l’interazione diretta (l’accordo) tra diversi decisori per stabilire una strategia comune; Giochi a somma zero, se la somma dei payoffs è sempre nulla, ovvero ciò che
guadagna un giocatore è perso da un altro; Giochi simultanei o sequenziali, a seconda del fatto che le azioni intraprese dai giocatori avvengano nello stesso tempo o ad una mossa di un giocatore segua una mossa dell’avversario; Giochi one-shot o ripetuti, quando vengono giocati una sola volta o ripetuti nelle medesime condizioni (ciò non significa che i payoffs siano uguali); Giochi a informazione completa o incompleta, nei primi tutti i giocatori hanno il medesimo grado di informazione, i secondi presentano uno squilibrio, tipico delle situazioni di interazione militare Giochi finiti o infiniti, che hanno un limite di tempo o di giocate, o che si evolvono in continuazione (come può essere un modello sociale o u n mercato azionario).
6. POSTULATI DELLA TEORIA
La teoria, per poter essere costruita, necessita dell’introduzione di alcune ipotesi a priori, che pur allontanandola per certi versi dalla realtà, consentono una trattazione rigorosa che soddisfa i requisiti necessari a renderla una teoria matematica . 6.1 Postulato di razionalità Ciascuno dei giocatori è razionale ed intelligente, ovvero agisce in modo tal e da massimizzare il proprio guadagno, scegliendo la strategia che lo porta a ricevere il più possibile. Inoltre ogni giocatore è portato a comportarsi in modo tale che, se non esiste almeno una combinazione di strategie il cui payoff sia per lui positivo, egli abbandoni il gioco.
Ovviamente una considerazione di questo tipo allontana il modello dalle situazione reali, in cui, per negligenza o diverso grado di intelligenza, le strategie scelte possono non essere le migliori.
8
6.2 Postulati di simmetria e invarianza Si tratta di 3 postulati di carattere prettamente matematico che sono necessari ad assicurare la validità di alcuni teoremi e l’esistenza di determinate soluzioni. 1) Postulato di Simmetria: il gioco è invariante rispetto a permutazioni degli agenti, cioè scambiando fra loro gli agenti, essi agirebbero nello stesso modo in cui avrebbe agito l’avversario prima dello scambio. 2) Postulato di Invarianza rispetto alle contrazioni : se una soluzione a è ritenuta accettabile in un gioco che ammette N come insieme delle opzioni dei giocatori, preso un gioco che ammette come opzioni un sottoinsieme Q di N , tale che la soluzione a appartenga anche a tale sottoinsieme, essa sarà accettabile per il secondo gioco.
3) Postulato di invarianza rispetto alle trasformazioni di scala: è possibile rappresentare le funzioni di utilità dei giocatori in modi diversi applicando trasformazioni di scala diverse, cioè riducendo il valore dei payoff ad una scala unica diversa da quella di partenza. Il postulato obbliga a scegliere una trasformazione che non modifichi le controimmagini delle funzioni di utilità in relazione alla posizione delle immagini.
6.3 Postulato di Zermelo Il postulato di Zermelo è stato introdotto dall’omonimo matematico e costituisce il primo
tentativo di rendere assiomatico un gioco. Procedendo per induzione osservando il gioco degli scacchi, Zermelo formulò una legge di carattere generale che garantisce una soluzione a qualsiasi gioco. In altre parole, esiste sempre un’utilità per ogni giocatore corrispondente ad un determinato insieme di strategie e tale utile sarà maggiore, minore o uguale a quello dell’avversario. Non esiste un gioco per cui non sia possibile associare ad una strategia un valore. Il fatto che poi tale gioco sia giocabile o meno dipende dalle caratteristiche dell’utile.
9
7. TEOREMI E CONCETTI FONDAMENTALI
7.1 Teorema del minimax E’ stato f ormulato da J. von Neumann nel 1928.
Ipotesi: gioco a somma zero, strategie pure o miste. Enunciato: Ogni gioco finito a somma costante possiede almeno un punto di equilibrio di minimax in strategie pure o miste. Un punto di equilibrio di minimax è una combinazione di strategie tali che ciascun giocatore selezioni la strategia che fornisce il più alto dei valori minimi , mentre l’avversario è portato a scegliere la minima perdita fra quelle massime per ogni strategia. Considerando due soli giocatori:
cioè il primo giocatore per ogni strategia possibile x sceglie il payoff minimo e tra i payoff così selezionati sceglie quello maggiore, mentre il secondo giocatore calcola per ogni strategia y la perdita maggiore e fra queste sceglie la perdita minore. Possiamo considerare come esempio un gioco a somma zero, di valore totale pari a 15, avente la seguente come tabella delle strategie e dei pay-off:
I minimi guadagni per il giocatore 1 sono 7 per la strategia 1 e 0 per la strategia 2, tra essi il maggiore è 7. E’ facile controllare che per il giocatore 2 la massima p erdita per la strategia A è 7 e per la strategia B è 10; tra le due la minima è 7. Dunque il massimo guadagno per uno coincide con la minor perdita per l’altro, nessuno dei due avr à interesse a spostarsi da tale combinazione di strategie, poiché ridurrebbe il proprio guadagno o aumenterebbe la propria perdita. Posto il valore del gioco a 15, si può analizzare la questione dal punto di vista complementare, cioè del guadagno del giocatore 2 legato a una perdita per il giocatore 1. In questo caso, riportato fra parentesi, si avrebbe come massimo dei minimi guadagni 8 corrispondente alla strategia A di G2, mentre come minimo delle massime perdite ancora 8 corrispondente alla strategia 1 di G1, cioè la stessa combinazione di strategie del punto di vista opposto. Il limite di questo teorema consiste nel fatto di poter essere applicato esclusivamente a giochi a somma zero, ma per questo tipo di giochi fornisce equilibri certi e soluzioni razionalmente inappellabili. 10
7.2 Ottimo di Pareto Il concetto è stato introdotto da Vilfredo Pareto nel 1896. Una combinazione di strategie è detta ottimo paretiano se non esiste nessuna combinazione strategica, diversa da quella considerata, tale che il payoff (benessere) di un qualsiasi giocatore possa essere aumentato, se non a scapito del payoff (benessere) di un altro giocatore. Una combinazione di strategie di questo tipo assicura che non vi siano sprechi di risorse, infatti è largamente usata in ec onomia come concetto per valutare l’efficienza di un sistema. L’ottimo paretiano rappresenta la soluzione migliore dal punto di vista collettivo, ma non è detto che rappresenti anche la miglior soluzione per il giocatore singolo. Su questa importante considerazione si tornerà nella parte finale dell a trattazione. 7.3 Teorema di Nash E’ stato f ormulato da John Forbes Nash Jr. nel 1949.
Ipotesi: gioco non cooperativo, strategie pure o miste. Enunciato: Ogni gioco finito che ammetta strategie miste ammette almeno un equilibrio di Nash. Un equilibrio di Nash è una combinazione di strategie tali che ciascun giocatore non abbia alcun interesse a modificare la propria strategia individuale mentre gli altri mantengono inalterate le proprie. Sostanzialmente è una condizione in cui un giocatore che cambi la propria strategia può solo rimetterci, senza possibilità di guadagno:
in cui:
Ui è l’utilità attesa dal giocatore i, Si è la strategia giocata dal giocatore i
le strategie s* sono quelle previste dall’equilibrio di Nash.
Se gli agenti sono razionali e la combinazione di strategie non corrisponde ad un equilibrio di Nash, almeno un giocatore avrà interesse a modificare la propria strategia. Ciò significa che attraverso la ricerca dell’equilibrio di Nash si può pervenire alla soluzione del gioco stesso. Gli equilibri di Nash possono corrispondere (vedi Corteggiamento) o meno (vedi Dilemma del prigioniero ) ad Ottimi di Pareto. La mancata corrispondenza si presenta ogni volta che la razionalità individuale e quella collettiva non coincidono.
11
8. ESEMPI DI GIOCHI
8.1 Il dilemma del prigioniero Si presenta una versione semplificata, che permetta di capire facilmente la strutturazione, gli esiti e le implicazioni del gioco. "Due sospettati, A e B, sono arrestati dalla polizia. La polizia non ha prove sufficienti per accusarli e, dopo aver rinchiuso i due prigionieri in due celle diverse, interroga entrambi offrendo loro le seguenti prospettive: se uno confessa (C) e l’altro non confessa (NC) chi non ha confessato sconterà 10 anni di detenzione mentre l’altro sarà libero; se entrambi non confesseranno, allora la polizia potrà accusarli solo di un reato minore e saranno condannati entrambi ad un anno di carcere; se, invece, confesseranno entrambi, la pena da scontare sarà pari a 5 anni di carcere. Ogni prigioniero può riflettere sulla strategia da scegliere tra, appunto, confessare o non confessare. In ogni caso, nessuno dei due prigionieri potrà conoscere la scelta fatta dall’altro prigioniero."
Inizialmente formulato negli anni ‘50 congiuntamente dall’economista-matematico Albert Tucker e dal filosof o−economista Thomas Schelling (che ritroveremo nella parte riguardante la Strategia della Deterrenza), il Dilemma del Prigioniero risalirebbe in realtà, in un'altra forma simile, al 1651 e sarebbe stato contenuto nel Leviatano di Hobbes. Ciò che sicuramente si può affermare è che esso rappresenta l’esempio più famoso e conosciuto di tutta la Teoria. Di seguito la matrice dei payoff: Sospettato B Confessa Confessa Sospettato A
Non confessa
(-5;-5) (-10;0)
Non confessa (0;-10) (-1;-1)
Le situazioni possibili sono dunque quattro e, preso atto dell’evidente carattere simmetrico del gioco, possiamo analizzare quelle relative ad un unico giocator e. Considerando il Sospettato A, notiamo che esiste una dinamica debolmente dominante (ovvero una scelta per cui, a prescindere dalle scelte dell’altro giocatore, la funzione di
utilità assume valori maggiori o uguali di quelli relativi a qualsiasi altra strategia): se A confessa, B potrà confessare o non confessare. Nel primo caso il payoff di A sarà (-5>10), nel secondo sarà (0>-1). Se dunque A ragionasse in termine di profitto puramente personale (il famoso postulato di razionalità), non avrebbe altra scelta che confessare, denunciando il suo compagno. 12
Lo stesso ragionamento, come abbiamo detto per via della simmetria, può essere applicato al Sospettato B. La soluzione del gioco, che abbiamo trovato cercando un equilibrio di Nash, è quindi (C;C): dal punto di vista della strategia individuale (ovvero, contando solo sulle proprie possibilità) nessun giocatore può infatti ottenere un profitto maggiore. Quello che appare subito chiaro è, però, che la situazione (NC;NC) è la più vantaggiosa per entrambi i giocatori, sia a livello individuale che sociale. Ebbene, non è possibile pervenire a tale soluzione a meno di un preventivo accordo tra i due sospettati (e anche in questo caso, non è sicuro che un complice non decida di tradire, per restare libero). Questo è un tipico caso in cui il perseguimento dell’interesse individuale porta ad una soluzione che non è un Ottimo di Pareto e, a ben guardare, a una soluzione che non è neanche la migliore per l’individuo stesso. Attraverso un accordo e la mutua collabor azione, si potrebbe però giungere all’Ottimo paretiano, che risulterebbe anch’ess o un equilibrio di Nash (benché di un gioco modificato, dato che le condizioni non sono più quelle di partenza). Queste considerazioni saranno approfondite nel paragrafo 9.1 8.2 Corteggiamento Questo gioco è giustamente famoso, poiché è oggetto di una delle più conosciute scene del film “A beautiful mind”, in cui Russell Crowe interpreta nientemeno che John Nash. Il film, incentrato sulla vita del matematico, benché romanzato, rappresenta in maniera soddisfacente alcuni dei tratti della personalità di Nash, non ultimo quello della sua malattia. L’episodio sopracitato sembra non avere una sicura base biografica, ma rimane comunque di primaria importanza, poiché rappresenta un’altra situazione simile a quella presentata nel Dilemma del Prigioniero, dove l’Ottimo paretiano non verrebbe raggiunto in
condizioni normali. La presenza di un esperto della teoria (nel film Nash stesso) permette di capovolgere la situazione, portando tutti i giocatori ad ottenere il massimo. Di particolare interesse è anche la reazione nel film degli accademici alle conclusioni di Crowe/Nash: egli viene accusato di voler rovesciare l’economia classica con delle chiacchiere da bar.
Come vedremo, in realtà, la teoria di Nash rappresenta invece un valido modello alternativo (su cui poggiano alcuni pr incipi dell’economia moderna) alla teoria smithiana della “mano invisibile”.
La situazione può essere schematizzata come segue: “In un bar cinque amici stanno passando la serata. Dalla porta in fondo al l ocale entrano cinque amiche, quattro more e una bionda, che è anche la più carina del gruppo. Il gruppo dei ragazzi (tra i quali è presente, come ricordiamo, un conoscitore della Teoria, che nel film è proprio Nash) decide subito di corteggiare le ragazze. Come fare?”
Per ciascuno il maggior interesse è avere la bionda a disposizione per sé senza intromissioni da parte dei compagni, le more sono una seconda scelta; il peggiore dei casi è restare soli. Le soluzioni ottenibili sono molteplici. Il caso in cui ogni ragazzo corteggi un ragazza è la soluzione più auspicabile per ogni corteggiatore - dato che è meglio una 13
ragazza, non importa se mora o bionda, che nessuna - e nessuno ha interesse nel modificare la situazione, visto che, essendo l’unico a tentare di cambiare ragazza, il giocatore rimarrebbe solo. Quindi tale soluzione è sia un ottimo di Pareto che un Equilibrio di Nash. E’ dimostrabile che questa situazione non è ottenibile a meno che un leader si impong a. Infatti, senza un previo accordo, il ragazzo cui toccherebbe la bionda sarebbe invidiato e quindi subito raggiunto da un altro. Così facendo, si creerebbe una situazione di squilibrio che porterebbe almeno un giocatore al payoff negativo: la bionda avrebbe infatti interesse a concentrare le attenzioni su di sé per farsi bella con le amiche, ma potrebbe, alla fine dei giochi, scegliere un unico ragazzo. L’escluso (o gli esclusi) proverebbero a rifarsi con le
more, che sentendosi come seconde scelte, lo rifiuterebbero. Così si arriverebbe alla situazione sopra descritta. Anche in questo caso, dunque, appare fondamentale un accordo tra i giocatori, per realizzare la soluzione con il profitto maggiore per tutti. Nel fi lm questo ‘accordo’ si realizza
con la spiegazione della situazione da parte di Nash agli amici che, divenuti consci del fatto che non avrebbero alcun interesse a mettersi in concorrenza gli uni con gli altri, gli lasciano l’onore di corteggiare la bionda (c osa che poi lui non fa perché, folgorato dal suo stesso ragionamento, corre a scrivere le sue teorie) 8.3 Caccia al cervo Questo gioco è un altro esempio, molto celebre, di come la Teoria possa essere applicata ai campi più disparati. Esso infatti prende il nome da una particolare situazione esposta da Jean Jacque Rousseau nel suo “Discorso sull’origine della disuguaglianza fra gli uomini ” (1755). La sua idea era c he le società umane fossero un’evoluzione delle temporanee
alleanze degli uomini primitivi, necessarie per dare la caccia ai grandi animali sui quali un singolo individuo non avrebbe potuto avere la meglio. Il suo desiderio era la creazione di uno stato civile giusto, che fosse in grado di emendare i danni morali e materiali in cui l'uomo si dibatte. Un progetto che fu poi concretamente analizzato ed esposto nel “Contratto Sociale” , in cui si afferma la necessità di “trovare una forma di associazione che difenda e protegga, mediante tutta la forza comune, la persona e i beni di ciascun associato e per mezzo della quale ognuno, unendosi a tutti, non obbedisca tuttavia che a sé stesso e rimanga libero come prima”.
Non vi sarebbero, quindi, dei diritti di natura divina, stabili, ma diritti che nascono con l’istituzione di un patto - sempre diverso a seconda del momento storico, del luogo geografico, del numero di sottoscriventi e dei bisogni da soddisfare - che persegua la regola d’oro del vivere civile: non fare agli altri ciò che non vorresti che fosse fatto a te.
Il contrattualismo così inteso, se visto in profondità, per quanto democratico e idilliaco possa sembrare è un “atto di forza” di un insieme di individui deboli, che si alleano per soggiogare chi fisicamente è più forte. Solo intravedendo un’utilità comune, o un comune rischio, forti e deboli possono ritrovarsi uguali all’inter no di un patto gestito. Tali situazioni, nell’ambito della caccia di grossi animali, potrebbe essere descritte in questi termini: 14
“Due cacciatori devono decidere se collaborare (C) in una battuta di caccia al cervo, ripartendosi i ruoli di battitore e tiratore, o dedicarsi per conto proprio alla caccia delle lepri non collaborando (N). Il ragionamento di ciascun giocatore si può dunque riassumere nel seguente modo: la cooperazione di entrambi (C-C) è la migliore delle ipotesi perché permette di cacciare il cervo, se io però non coopero e vado a caccia di lepri è meglio che lui non lo sappia e continui a dare la caccia al cervo, consentendomi di catturare più lepri oppure di tornare al mio posto e continuare a cacciare il cervo (N-C). Se l’altro non coopera è meglio che anche io non lo faccia (N-N), perché così ho qualche possibilità in più di prendere la lepre. Diversamente, se io continuassi a cooperare mentre l’altro non lo fa (C-N) certamente non prenderei né il cervo né la lepre.”
Se attribuiamo i valori di utilità arbitrari da 0 a 3 alle quattro possibilità possiamo rappresentare questa interazione con il gioco in forma strategica definito dalla tabella seguente:
Applicando il Teorema di Nash:
per il cacciatore 1: nella prima colonna è vantaggioso collaborare (3>2), nella seconda no (1>0) per il cacciatore 2: nella prima riga è conveniente collaborare (3>2), nella seconda no (1>0)
Il gioco ha dunque due Equilibri di Nash (C- C) e (N;N), il primo coincidente con l’Ottimo paretiano, il secondo no. Se i decisori perseguissero l’utilità massima seguendo il postulato di razionalità, la conclusione sarebbe quasi sicuramente la prima, ma considerando altri fattori esterni il gioco si complica. Per esempio, la prudenza di un giocatore potrebbe portarlo a notare che scegliendo di non collaborare avrebbe, alla peggio, un piccolo guadagno, mentre scegliendo di collaborare potrebbe ritrovarsi con nulla in mano. Ciò fa pensare che la soluzione (N-N) sia molto più probabile di quanto sembri. Proprio per questa ragione Rousseau trovò esemplificativo questo caso, usandolo per introdurre la necessità del Contratto Sociale 15
Come abbiamo notato nei due giochi precedentemente considerati, anche qui la cooperazione sociale porta a risultati migliori, ma non è affatto scontata. 8.4 Falchi e colombe Questo gioco ricopre un ruolo di fondamentale importanza, dato che costituisce il modello base per l’analisi di situazioni di conflitto a livello economico. Esso può essere visto come
un modello di situazione in cui dei contendenti devono trattare per spartirsi un territorio (un mercato) e esplicita l’importanza delle convenzioni.
Il gioco può essere ipotizzato come segue: “Due imprenditori, titolari di aziende produttrici di una certa merce, aprono contemporaneamente una filiera in una città. Si ipotizza, per semplicità, che in città non esista ancora un mercato per la merce considerata, dunque esso dovrà essere spartito tra i due contendenti. Un imprenditore può decidere di intraprendere una politica aggressiva, ovvero ‘da falco’, oppure attendista e remissiva, ‘da colomba’. Ovviamente la situazione di maggior profitto sarà quella in cui uno assumerà il ruolo del falco, a scapito di quello che sceglierà di attendere. Un utile minore sarà ottenuto da ognuno nel caso entrambi decidano di ‘attendere’ (ovvero si sparti scano pacificamente il mercato); mentre nel caso tutti e due optino per una politica aggressiva, subiranno un danno entrambi (sia perché, per aggredire, dovranno offrire prezzi concorrenziali, sia perché dovranno spendere risorse nella lotta).”
Rappresentando il gioco in forma matriciale:
Ancora una volta, per trovare la soluzione, ricorriamo al Teorema di Nash:
per il primo imprenditore: nella prima colonna è vantaggioso essere colomba (0 > 2), nella seconda colonna è meglio essere falco (4 > 2) per il secondo imprenditore: nella prima riga è conveniente essere colomba (0>-2), nella seconda conviene essere falco (4>2)
La presenza di due equilibri simmetrici, coincidenti con le reciproche situazioni di disaccordo, implica che la soluzione del gioco è comportarsi in maniera opposta al concorrente. Se si considera una situazione di assoluta simultaneità, ciò porta a uno stallo, che si risolve solo ed esclusivamente se uno dei due giocatori sceglie di ritirarsi oppure se i contendenti decidono di spartirsi pacificamente il mercato con una convenzione. In una 16
situazione sequenziale, invece, chi prende una decisione e applica la sua strategia con il giusto tempismo si impone come regolatore del gioco stesso, relegando gli avversari in posizione di subalternità. Questa osservazione di grande rilevanza verrà ripresa più avanti, unitamente ad altre relative a Dio li fa poi li accoppia, nel paragrafo 9.2. 8.5 Dio li fa poi li accoppia Fino a questo punto si è parlato fondamentalmente della branca della Teoria concernente i giochi non cooperativi, sia per un prevalente interesse personale, sia perché in situazioni di cooperazione le considerazioni fin qui esposte valgono solo in una certa misura, poiché si complicano in maniera esponenziale i modelli interpretativi e le relative soluzioni. Di seguito si forniscono la definizione di giochi cooperativi e alcune osservazioni necessarie per introdurre il gioco del ‘Dio li fa poi li accoppia’.
Un gioco cooperativo si presenta quando gli interessi dei giocatori non sono in opposizione diretta tra loro, ma esiste una comunanza di interessi. Se i giocatori perseguono un fine comune, almeno per una parte della durata del gioco, possono associarsi per migliorare il proprio "pay-off". La garanzia è data dagli accordi vincolanti. La teorizzazione matematica di questi concetti è estremamente complessa: per il nostro fine basti sapere che si possono definire funzioni di utilità comprendenti gli interessi comuni dei giocatori, che formano una ‘coalizione’, arrivando a trattare il gioco in forma essenziale. Tipici esempi di situazioni in tal senso sono i mercati bilaterali, come può essere la richiesta e l’offerta di posti di lavoro nella sanità pubblica.
Questo esempio è preso da una situazione reale: durante il secondo dopoguerra, negli USA i praticanti che facevano richiesta per posti negli ospedali e gli ospedali che li contattavano non avevano un sistema di controllo e incrocio delle preferenze. Ciò causava continui intoppi e scontentava nella maggior parte dei casi entrambe le parti. La soluzione fu fornita nel 1962 dall’Algoritmo di Gale-Shapley, che permise di sviluppare una procedura centralizzata. Esso sarà presentato nella risoluzione del gioco. “ Una matrona romana chiese al saggio Yose Halafta: - In quanti giorni Dio ha creato il mondo? Lui rispose: «In sei giorni, come è scritto, perché in sei giorni il Signore ha fatto il cielo la terra e il mare …» Lei chiese ancora: «E cosa è stato a fare da allora?» Lui rispose: «Forma coppie, combina matrimoni, assegna al signor A la moglie di A, la figlia di A al signor B, ecc.» La matrona disse:
17
- Questa è una cosa che posso fare anch’io! Vedi quanti schiavi e schiave ho? Posso accoppiarli facilmente tutti in una volta. Lui rispose: «Se secondo te questo è un compito facile, secondo Lui è un compito tanto difficile quanto dividere il Mar Rosso». A quel punto lui se ne andò. E lei che fece? Fece chiamare mille schiavi e mille schiave, formò due file e ordinò loro: «Lo schiavo A si sposerà con la schiava A; lo schiavo B sposerà la schiava B, ecc.» Fece trascorrere una notte alle nuove coppie. La mattina dopo sembrava un campo di battaglia: uno schiavo aveva la testa fracassata, ad uno era stato cavato un occhio, un altro aveva un gomito rotto, un altro ancora aveva una gamba rotta. La matrona ammise il suo peccato di superbia e demorse dal suo intento.”
Questa leggenda sul saggio ebraico Yose Ben Halafta serve a testimoniare la difficoltà nel trovare un matching stabile tra due ordini di preferenze. Il caso sopra presentato può essere ridotto alla suo forma base, considerando per esempio l’analisi delle preferenze di quattro ragazzi nei confronti di quattro ragazze, e viceversa.
L’esempio è particolarmente funzionale per spiegare l’utilizzo dell’Algoritmo di Gale-
Shapley: il suo funzionamento può essere ridotto a un sistema di inviti e rifiuti dei ragazzi nei confronti della ragazze (e viceversa). Più precisamente: 1. I ragazzi inviteranno la loro ragazza preferita; le ragazze accetteranno solo il loro preferito tra quelli che le hanno invitate, ma potranno cambiarlo successivamente se verranno invitate da uno che preferiscono. 2. I rifiutati inviteranno la seconda ragazza in ordine di preferenza; le ragazze faranno come sopra. 18
3. Il gioco termina quando si formano tutte le coppie; il matching così ottenuto sarà stabile, in quanto è dimostrabile che nessuno, sia dei ragazzi sia delle ragazze, potrà formare una nuova coppia in accordo con l’ipotetico partner .
Si riassumono di seguito alcune importanti considerazioni:
Quali che siano le preferenze, l’algoritmo termina con un matching stabile.
Se si invertono le parti e sono le ragazze ad invitare si perviene ugualmente a un matching stabile, che può essere diverso dal primo (o per meglio dire lo è la maggior parte delle volte) Una ragazza è raggiungibile per un ragazzo se esiste un matching stabile in cui essi formano una coppia. Una ragazza che, quando i ragazzi invitano, ha rifiutato un ragazzo, non è raggiungibile per quest’ultimo. Quindi, se i ragazzi invitano, la ragazza assegnata ad un ragazzo dall’algoritmo è la sua preferita fra quelle
raggiungibili. Per contro, quando sono i ragazzi ad essere invitati, a ciascuna ragazza viene assegnato il ragazzo che lei preferisce tra quelli raggiungibili.
Le ultime due considerazioni implicano che, facendo matching tra due ordini di preferenza in un mercato bilaterale, chi fa domanda è generalmente più soddisfatto di chi risponde. Questa osservazione costituirà il fulcro del paragrafo 9.2.
9. CONSIDERAZIONI E APPLICAZIONI
9.1 La Ginestra e l’esito sub-ottimale del dilemma del prigioniero: la necessità della cooperazione sociale Giacomo Leopardi viene considerato unanimemente dalla critica una delle più grandi figure della letteratura italiana. La formula che può forse riassumere nel miglior modo tutta la sua opera è ‘l’ultimo dei classici, il primo dei moderni’: la capacità di esprimere in forme originali, rielaborate sui modelli classici a lui tanto cari, argomenti tipici della sensibilità romantica, anticipando gran parte dei temi della letteratura del Secolo Breve, ha reso la 19
figura di Leopardi imprescindibile per qualsiasi riflessione organica sulla letteratura italiana. La grandezza di Leopardi è senza dubbio da ascrivere anche e soprattutto all ’elaborazione filosofica che portò avanti durante tutta la vita, cardine e radice della sua opera letteraria, dalla quale si possono astrarre temi e riflessioni che, ancor oggi, non hanno perso validità e importanza. Si potrebbe spendere parecchio tempo a parlare del pessimismo storico, della teoria del piacere, della fase psicologica-esistenziale, del pessimismo cosmico, oppure della sensibilità che accompagna, sempre e comunque, ciascuna della sue opere. O ancora, della sua vita infelice e, purtroppo, tormentata. Tuttavia, in questa sede si vuole porre l’accento più propriamente sul l’ultimo periodo della vita di Leopardi e in particolare sul l’opera che viene considerata il suo testamento poetico, l’opera scaturita dalla piena completezza del pensiero filos ofico leopardiano. “La ginestra, o Il fiore del deserto” viene composta nel 1836, a Torre del Greco, ma pubblicata solamente nell’edizione dei “Canti ” del 1845, curata dall’amico Ranieri, otto anni dopo la morte dell’autore. Posizionata in chiusura dell’i ntera opera per volontà stessa del
poeta, è considerata il suo testamento spirituale, poiché riassume le convinzioni ultime di Leopardi e costituisce allo stesso tempo un’esortazione da parte del poeta a tutta l’umanità.
Ciò si può notare appieno nel seguente passo ( vv. 126-157):
E incontro a questa Congiunta esser pensando, Siccome è il vero, ed ordinata in pria L'umana compagnia, Tutti fra sé confederati estima Gli uomini, e tutti abbraccia Con vero amor, porgendo Valida e pronta ed aspettando aita Negli alterni perigli e nelle angosce Della guerra comune. Ed alle offese Dell'uomo armar la destra, e laccio porre Al vicino ed inciampo, Stolto crede così qual fora in campo Cinto d'oste contraria, in sul più vivo Incalzar degli assalti, Gl'inimici obbliando, acerbe gare Imprender con gli amici, E sparger fuga e fulminar col brando Infra i propri guerrieri. Così fatti pensieri Quando fien, come fur, palesi al volgo, E quell'orror che primo 20
Contra l'empia natura Strinse i mortali in social catena, Fia ricondotto in parte Da verace saper, l'onesto e il retto Conversar cittadino, E giustizia e pietade, altra radice Avranno allor che non superbe fole, Ove fondata probità del volgo Così star suole in piede Quale star può quel ch'ha in error la sede.
Accanto a una critica del suo tempo, "il secolo superbo e sciocco [...] che credeva nelle magnifiche sorti e progressive", ma anche a una ripresa della concezione filosofica sul tema della morte, della catastrofe, del tragico destino umano che trascende le epoche storiche e accomuna tutti, Leopardi fornisce quella che, alla fine della sua vita, ritiene essere l’unica, per quanto non perfetta, soluzione alla vita di sofferenza cui è condannato l'uomo. La Natura è matrigna, questo è un dato di fatto ormai per l’autore, c he esorta
dunque tutti gli uomini a resistere, strenuamente, come la ginestra, fiore che vive sulle pendici del Vesuvio e in terreni ancora più aridi. E così come le ginestre si raggruppano in cespugli, anche gli uomini si stringano in “social catena” per sopravvivere. Ora, Leopardi raggiunse questa conclusione dopo una vita intera passata a riflettere e scrivere, prendendo ispirazione dalla propria esperienza. Privando, seppur a malincuore, il concetto sopra espresso di molta della sua poeticità, lo si può riassumere nel seguente modo: 1. L’uomo vive in un mondo che, se non si può definire ostile, è assolutamente indifferente nei suoi confronti. 2. Il primo fine dell’uomo, inteso come individuo, è la sopravvivenza. 3. Per sopravvivere l’uomo deve cooperare con i suoi simili, lasciando da parte ostilità e incomprensioni, contro il comune nemico che è la natura. La conclusione, dunque, nonostante l’amara esperienza personale - Leopardi passò tutta
la vita riflettendo, stringendo una manciata di legami che quasi mai riuscirono a infrangere la solitudine che provava - è un’esortazione a stringere la “social catena”, per raggiungere il fine prefissato. Nella sezione 8, e più precisamente nei sottoparagrafi 8.1, 8.2 e 8.3 , attraverso l’analisi di tre differenti giochi (il Dilemma del Prigioniero, Corteggiamento e Caccia al cervo) si è giunti alla conclusione che, per ottenere l’utile maggiore, in alcune situazioni la scelta necessaria è la cooperazione. Si ripropongono rapidamente le considerazioni salienti relative al primo gioco, che meglio può essere comparato alle riflessioni leopardiane. Sospettato B 21
Confessa Confessa Sospettato A
Non confessa
(-5;-5) (-10;0)
Non confessa (0;-10) (-1;-1)
Ai due prigionieri si presenta la possibilità di perseguire il profitto personale, arrivando a una soluzione che non è la migliore né per la società (in questo caso loro due) né, in definitiva, per il singolo individuo; oppure, attraverso la riflessione, decidere di agire in comunione per il profitto massimo: la libertà di entrambi. Le analogie sono evidenti: in una situazione drammatica, attraverso un’attenta riflessione ,
è stato possibile pervenire a una soluzione che poteva non sembrare la più scontata, ma certamente è quella che porta all’ utile maggiore. Leopardi propone un’alleanza di tutti gli uomini per perseguire un fine comune che sia maggiore di quello raggiungibile individualmente, proprio come in un gioco cooperativo in cui i giocatori si coalizzano per raggiungere un payoff favorevole ad ognuno. Le situazioni e i percorsi sono estremamente differenti. La conclusione è la stessa. 9.2 L’algoritmo di Gale-Shapley: una formulazione matematica del Carpe Diem oraziano Orazio nasce nel 65 a C. a Venosa, una colonia romana, in una famiglia di bassa estrazione sociale (il padre era un liberto). Compiuti gli studi a Roma, intorno ai vent’anni si trasferisce in Grecia per approfondire ulteriormente la sua cultura. Lì, intorno al 44 a. C., anno in cui a Roma viene ucciso Cesare, entra in contatto con l’esercito repubblicano. Orazio, ancora giovane, si schiera dalla parte dei cesaricidi, i quali però verranno poi sconfitti nella battagli di Filippi. Al momento del ritorno, non possiede più la casa a Venosa, così per vivere si impegna come scrivano di un magistrato. E’ proprio in questo periodo che inizia la sua attività poetica. Inizia a scrivere gli Epodi e successivamente, notato da Mecenate, viene ammesso al suo prestigioso circolo: è in questo periodo che compone le Satire e le Odi . E’ importante ricordare che Orazio rivendicherà sempre la sua libertà artistica e rifiuterà,
per questo, di diventare segretario di Augusto. Ritiratosi in una v illa di campagna donatagli da Mecenate, inizierà a scrivere le Epistole. Infine comporrà il Carmen Saeculare, un inno commissionatogli da Augusto per annunciare una nuova era, quella del principato. Le Odi (Carmina) di Orazio sono costituite da 103 poesie, scritte a partire dal 30 a.C. e raccolte in quattro libri. I primi tre libri, che contengono rispettivamente 38, 20 e 30 poesie, furono pubblicati nel 23 a. C.; il quarto, composto da 15 componimenti, nel 13 a.C.
22
Il modello dell'opera è la grande poesia greca di età arcaica, soprattutto Alceo, Anacreonte, Saffo, Pindaro e i poeti dell'isola di Lesbo, con la ripresa di diversi tipi di componimento e di metri vari. Orazio mostra un atteggiamento eclettico, l'età gli fa apprezzare il tempo che è passato e rimpiangere l'irreversibilità del tempo che fugge. Nelle Odi egli concilia epicureismo e stoicismo, prendendo le verità sia dell'una che dell'altra filosofia, e il suo pensiero si fa universale, raggiungendo picchi poetici altissimi ed immortali come nell'11ª poesia celebre per il Carpe diem o quella dedicata a Cleopatra o l'ultima, quando immagina di morire da cigno, sorvolando i continenti senza passare per il fiume Stige, tanto da rendere vana ogni sepoltura. Molte poesie sono ispirate alla paura della morte, la quale coglie tutti, ricchi e poveri, felici ed infelici, costringendo ogni uomo a varcare il fiume Cocito. Ma Orazio sviluppa tanti altri temi, ora tragici ora leggeri, in modo sublime, con una lexis latina perfetta nella forma e nella prosodia. Molte poesie incitano a fortificare l'anima, altre a divertire, altre a cogliere e a godere i beni terreni, come l'amicizia, il vino, le danze, i banchetti, tutti temi epicurei. Orazio, tuttavia, era prima di tutto un Romano fedele a Mecenate e ad Ottaviano, per cui molte odi sono dedicate a quei due grandi uomini che gli avevano regalato la tranquillità economica, la sicurezza dell'esistenza e la gloria dell'impero. Orazio li contraccambia donando l'immortalità poetica. Molti temi sono comuni alle Epistole, agli Epodi e alle Satire: essi vengono sviluppati e svolti in forma lirica e poetica, sviluppando considerazioni filosofiche molto profonde e creando Odi molto belle, che procurano al lettore piacere estetico e catarsi drammatica. “Carpe diem” è una locuzione tratta dalle Odi di Orazio (Odi I, 11, 1-8), traducibile in
"strappa il giorno", ma più famosa nella forma tradotta liberamente "cogli l'attimo". Viene di norma citata in questa forma abbreviata, anche se sarebbe opportuno completarla con il seguito del verso oraziano: "quam minimum credula postero" ("confidando il meno possibile nel domani"). È un invito a godere ogni giorno dei beni offerti dalla vita, dato che il futuro non è prevedibile, che non deve essere inteso come invito alla ricerca del piacere, ma ad apprezzare ciò che si ha. Si tratta non solo di una delle più celebri orazioni della latinità, ma anche di una delle filosofie di vita più influenti della storia, nonché di una delle più fraintese, nella quale Orazio fece confluire tutta la potenza lirica della sua poesia. Si riportano i versi dall’Ode 11, 1-8:
23
Il componimento si presenta come un breve ma profondo avvertimento del poeta alla fanciulla Leuconoe sulla natura della vita, secondo i precetti della morale epicurea e della teoria del piacere: è meglio vivere l’attimo piuttosto che interrogarsi inutilmente sul destino che ci attende. Il ‘carpe diem’ è quindi punto saliente del dialogo tra il poeta e la ragazza, che ritiene di poter vedere “con mente chiara” nel futuro che attende lei e il poeta.
Il consiglio di Orazio è invece quello di abbandonare le illusioni e di prestare attenzione a “staccare” un attimo dell’eterno fluire del tempo; Dal punto di vista stilistico, la “morale” del testo si compone grazie alle tecniche della
brevitas: periodi concisi ed inseriti in una struttura semplice, ma scanditi dal ritmo dell’asclepiadeo maggiore, che pone in rilievo al centro di alcuni versi le “massime” filosofiche che Leuconoe dovrebbe seguire (ad esempio, v. 1: “scire nefas”; v. 6 “vina liques”). Il breve testo è poi movimentato dal ricorso a parallelismi (v. 1: “quem mihi, quem tibi”; v. 4: “seu [...] seu”; vv. 6-7: “sapias [...] liques [...] reseces”) e a frequenti
enjambements (vv. 1-2, 2-3, 5-6, 7-8). Il messaggio profondo del testo che emerge negli ultimi versi - come in chiusura di una riflessione esistenziale amara ma non rassegnata - sembra quello di una consapevole ascesi per conquistare la felicità: forse conviene dimenticarsi, almeno per un giorno, del dolore del mondo e della morte che ci separerà dagli affetti più cari. Nel paragrafo 8.5 si è svolta l’analisi di una problematica interpretabile come gioco
cooperativo, quella del matching in un mercato bilaterale. Si riportano alcune delle conclusioni relative all’esempio dei ragazzi e delle ragazze:
Una ragazza è raggiungibile per un ragazzo se esiste un matching stabile in cui essi formano una coppia. Una ragazza che, quando i ragazzi invitano, ha rifiutato un ragazzo, non è raggiungibile per quest’ultimo. Quindi, se i ragazzi invitano, la ragazza assegnata ad un ragazzo dall’algoritmo è la sua preferita fra quelle
raggiungibili. Per contro, quando sono i ragazzi ad essere invitati, a ciascuna ragazza viene assegnato il ragazzo che lei preferisce tra quelli raggiungibili.
Da queste due conclusioni si può dedurre che chi invita tende a ottenere un profitto maggiore. Astraendo il concetto dalla situazione specifica, è ragionevole affermare che, ogniqualvolta due individui si trovino nella condizione di avere una lista di preferenze relative a dei possibili scenari di interazione in un sistema chiuso, fare il primo passo è generalmente la scelta che permette di trovarsi in condizioni migliori. In linea generale tali considerazioni possono essere estese a mercati complessi, aperti e in continua evoluzione (come quello del lavoro). La conclusione è, dunque, che l’applicazione dell’algo ritmo di Gale-Shapley esorta i decisori di questi giochi a scegliere per primi , a “cogliere l’attimo”, per ottenere il massimo possibile: la felicità raggiungibile.
24
9.3 Strategie e virus truffatori: l’inganno, carta vincente a livello evolutivo Più recente è l’applicazione della teoria dei giochi alle strategie evolutive. In tale campo la ricerca è molto attiva e ha raggiunto risultati già notevoli, per quanto incompleti. Uno studio particolarmente interessante ha per esempio dimostrato che biologicamente l’inganno è una strategia vincente a livello evolutivo. Tale studio è stato effettuato su
colonie di virus ed ha evidenziato che, tra essi, alcuni individui erano in grado di riprodursi utilizzando le proteine sintetizzate da altri individui per proprio uso, cioè di rubare il materiale prodotto da altri senza fornire nulla in cambio. Una forma di parassitismo. L’evoluzione di tale sistema può essere rappresentat a come gioco in cui entrambi i giocatori devono scegliere se essere produttori o sfruttatori e la ricompensa è la possibilità di riprodursi. Si è nella situazione reale, quando tali strategie sono in realtà legate alla probabilità di ciascuno di avere il DNA da truffatore o da produttore, cioè la soluzione del gioco è da ricercare negli equilibri misti. La conclusione a cui sono giunti i ricercatori è che, per quanto sia collettivamente irrazionale, l’inganno è la strategia dominante e in breve i “bari” prendono il sopravvento sulla popolazione. Tale condizione non può però durare a lungo, poiché i produttori rimasti non sono in grado di sintetizzare per tutti, cosicché una parte dei “bari” non si riproduce. Il numero dei produttori sale così nuovamente rispetto al totale, finché non si torna nelle proporzioni iniziali. Si è così dimostrato che è nec essario un equilibrio: la presenza dell’imbroglio nella società è inevitabile poiché è l’unica strategia dominante, ma la sua esclusiva applicazione porterebbe alla distruzione stessa della società. PAUL E. TURNER, professore di ecologia e biologia evolutiva alla Yale University, si occupa di ecologia e di evoluzione di malattie infettive, utilizzando come modelli popolazioni di microbi coltivati in laboratorio: La teoria dei giochi è un strumento utile per predire matematicamente quale strategia risulterà vincente in un contesto simile. I sociologi la usano per prevedere quali comportamenti si diffonderanno all'interno di una popolazione, specialmente nel caso di conflitti tra figure come «falchi» contro «colombe», ma anche «cooperatori » contro «imbroglioni». Uno dei risultati più interessanti di questo approccio è la prova matematica che, sebbene l'inganno sia considerato un comportamento irrazionale, poiché è punibile, può prendere il controllo di un'intera popolazione. Il mio gruppo ha applicato la teoria dei giochi a una serie di esperimenti di evoluzione virale in vitro.
La situazione che si presenta è la seguente. Nella cellula infettata da più virus, i prodotti metabolici cellulari diventano liberamente accessibili a ciascuno dei patogeni che partecipano alla coinfezione, in un processo detto 25
«complementazione», in cui un virus fornisce un prodotto utile che non può essere creato da un altro virus. Se i virus si forniscono risorse utili l'un l'altro, l'interazione è vantaggiosa per tutti. Prendiamo il caso della coinfezione di una cellula da parte di due virus mutanti diversi tra loro perché hanno alcuni geni inattivari in posizioni differenti del genoma. Un pool di risorse comuni consente ai virus di usare i prodotti proteici elaborati dai loro simili e la coinfezione aiuta i mutanti, permettendo loro di riprodursi in condizioni in cui non potrebbero farlo. Interazioni reciprocamente vantaggiose di questo tipo sono però rare, oppure estremamente difficili da individuare. Accade molto più spesso che i virus mostrino un conflitto di interessi e che un virus si appropri egoisticamente delle risorse disponibili ai danni di altre specie o genotipi virali. In una forma di complementazione nota come «mescolamento fenotipico», un virus acquisisce da un altro alcuni tratti osservabili (fenotipici, appunto). Questo fenomeno coinvolge spesso un conflitto per le proteine usate per creare il capside virale, l'involucro che protegge il materiale genetico del virus. Il mescolamento fenotipico permette a un virus di acquisire le proteine del capside dal pool di risorse di virus diversi: un vantaggio cruciale, perché sono alcune proteine presenti sul capside a decidere se il virus può legarsi a un particolare recettore sulla cellula ospite e dunque, a determinarne la riproduzione e la sopravvivenza. Astraendo dalla situazione specifica per trattare l’argomento in linea generale, quando le diverse “strategie” sono associate alle differenze genetiche sottostanti, la teoria dei giochi
è applicabile allo studio dell'evoluzione. Divulgata dal biologo inglese John Maynard Smith, la teoria evolutiva dei giochi entra in campo quando il successo riproduttivo di un individuo, o fitness, è dipendente dalla frequenza. La teoria evolutiva dei giochi valuta costi e benefici in termini di fitness associata a strategie diverse, predicendo così il destino evolutivo delle vari e tipologie. Tramite l’applicazione del dilemma del prigioniero, la teoria evolutiva dei giochi suggerisce che gli imbroglioni finiranno per avere il sopravvento: l'egoismo si rivela la strategia evolutiva stabile. Il risultato è sorprendente perché è in qualche modo contrario alla teoria dell'evoluzione per selezione naturale di Darwin. Il darwinismo sostiene che le differenze tra le performance individuali consentono agli individui più adatti di avere una prole più numerosa e che questo, col tempo, porta la popolazione ad adattarsi meglio all'ambiente. Il dilemma del prigioniero indica che gli imbroglioni riescono a sostituire con successo i cooperatori, diminuendo al contempo la fitness media della popolazione. È facile dimostrare matematicamente il dilemma del prigioniero, ma ci sono voluti gli esperimenti in vitro sui virus per dimostrare che questa strategia può verificarsi anche in una popolazione biologica.
26
9.4 La Teoria dei Giochi nella Guerra Fredda: applicazioni nel campo militare, strategia della deterrenza e crisi cubana Lo sviluppo considerevole della Teoria dei Giochi nel secondo dopoguerra può essere giustificato dal suo profondo legame, oltre che con contenuti di tipo economico, anche con le strategie di tipo militare e politico. In quel periodo, infatti, i profondi contrasti tra i due modelli di società, quella americana e quella sovietica, avevano condotto alla cosiddetta “guerra fredda”; pur senza mai giungere ad uno scontro diretto sul piano militare, le due potenze hanno sempre cercato di prevaricare l’avversario sul piano degli armamenti, su quello dell’economia, su quello del
prestigio culturale e del progresso tecnologico, come in ogni altro campo della società. In tale quadro lo scontro è all’ordine del giorno, perciò vi si inserisce perfettamente una
Teoria come quella dei Giochi, che studia proprio i modelli di conflitto. La sua prima applicazione reale in questo campo ha riguardato i movimenti di truppe. La questione era legata alla convenienza o meno di far seguire un certo percorso ad un convoglio militare, sottoponendolo a rischi di attacchi o a perdite di tempo prezioso. La Teoria dei Giochi, tramite la trasformazione di tale problematica in un gioco il cui payoff è la salvezza o meno del convoglio, è stata in grado di stabilire quali fossero i percorsi migliori e i momenti migliori in cui utilizzarli. Un secondo tipo di applicazione, meno prettamente militare, riguarda il tema della deterrenza, molto sentito durante la “guerra fredda”, approfonditamente trattato da Thomas C. Schelling, economista ed esperto di teoria di giochi, nel suo libro “La strategia del conflitto” (1960). Scrivendo di questo fenomeno, egli afferma che esso “non concerne l’applicazione efficiente della forza, ma l’utilizzo di una forza potenziale. Si riferisce non tanto a nemici che si detestano vicendevolmente, ma piuttosto a partner che non si fidano l’uno dell’altro o sono in reciproco disaccordo. Riguarda non tanto la suddivisione di vantaggi o perdite tra due partecipanti, quanto la possibilità che certi risultati, piuttosto che altri, siano peggiori o migliori per entrambi.”
Sostanzialmente esso riguarda uno scontro sul piano psicologico più che fisico; studia quanta paura si riesce ad incutere nell’avversario e quanta ce ne incute egli stesso; quanto ci si fida di lui; quanto sembra esserci inferiore o superiore… In base a tali considerazioni si compiono le proprie scelte. Schelling è stato un ispiratore riconosciuto della politica estera americana negli anni Sessanta: un’intera generazione di giovani funzionari dell’era kennediana sono cresciuti ai seminari di Schelling: McGeorge Bundy, consigliere alla sicurezza nazionale di Kennedy e Lyndon Johnson, il suo vice W ait Rostow, John McNaughton, assistente del segretario alla difesa Robert McNamara. La Teoria dei giochi è stata dunque usata ripetutamente per prendere decisioni importanti anche a livello mondiale. L’esempio forse più appariscente riguarda la Crisi di Cuba. Nel 1962 l’Urss aveva fatto installare missili sull’isola puntati verso gli Stati Uniti. Nel momento in cui l’intelligence 27
americana ha prova dell’esistenza di tali basi sovietiche a Cuba e dell’intenzione di incrementare la presenz a di missili, Kennedy istituisce il blocco navale per l’isola e il 22
ottobre 1962 annuncia in un comunicato televisivo (in 102 paesi, 30 lingue): “Non correremo prematuramente il rischio di una guerra mondiale nella quale i frutti della vittoria sarebbero cenere nella nostra bocca, però non ci tireremo indietro di fronte a questo grave rischio in qualsiasi momento sarà necessario affrontarlo”. In seguito ad un’analoga risposta , poche ore dopo da parte di Kruscev, si instaura un
braccio di ferro che rischia di condurre alla guerra nucleare. In tale situazione gli strateghi militari di entrambe le nazioni applicarono le conoscenze della Teoria dei Giochi e valutarono attentamente probabilità e conseguenze di ogni azione. Fortunatamente entrambe valutarono che le probabilità di guadagno non erano sufficienti per rendere appetibile un conflitto fisico, ma probabilmente sarebbe bastata una percentuale non di molto più alta per scatenare il terzo conflitto mondiale. Due giochi sono inoltre legati a queste applicazioni. Il primo è stato ripreso da Stanley Kubrick nel film “Il dottor Stranamore” : l’URSS ha costruito una bomba nucleare in grado di distruggere gli USA, che viene lanciata in modo automatico in seguito a un attacco qualsiasi contro il territorio sovi etico; l’esistenza di tale ordigno viene però mantenuta segreta. Contemporaneamente, negli USA alcuni generali devono decidere se lanciare o meno un attacco contro l ’URSS, in base al principio che sia meglio fare la prima mossa; l’eventuale risposta nucleare all’attacco danneggerebbe entrambi anche se non totalmente. Poiché gli Americani non sono a conoscenza della nuova bomba, contano sul fatto che, per non danneggiare anche se stessi, i Sovietici non scateneranno la guerra nucleare. Questa condizione paradossale, rappresentata nel film, conduce ad un gioco, in cui da una parte gli USA devono sc egliere se attaccare, dall’altra l’URSS deve scegliere se rivelare o no l’esistenza dell’ordigno; dal punto di vista statunitense, però, l’URSS deve invece scegliere se reagire o trattare, scelta che in realtà essa non è libera di compiere. La soluzione ottimale sembrerebbe essere rappresentata da un attacco USA, poiché coi dati a loro disposizione, l’unica risposta per l’URSS sarebbe trattare senza contrattaccare. Il fatto che la risposta URSS sia automatica conduce però infallibilmente alla distruzione. Ciò mette in luce come l’informazione sia indispensabile per una giusta visione del problema, e di conseguenza l’importanza fondamentale dello s pionaggio in questo periodo. Il secondo gioco riguarda la deterrenza militare in senso stretto: è vantaggioso installare missili per primi contro l’avversario o reagire all’installazione di missili da parte di quest’ultimo? Avere i missili senza che l’altro li abbia porta il guadagno massimo, non essere armati entrambi lascia le cose invariate, avere entrambi i missili porta ad una perdita minima (non si può sopraffare l’avversario, e si ha una perdita in denaro e opinione pubblica), essere disarmati di fronte ai missili nemici conduce alla perdita massima. Se questo gioco venisse giocato una volta sola simultaneamente (avere i missili corrisponde 28
ad attaccare), l’unico equilibrio è dato dall’attacco di entrambi: l’interesse è sempre nel
cercare di essere armati. La situazione cambia se il gioco viene ripetuto un numero indefinito o finito di volte. Nel primo caso l’interesse comune sarà l’accordo per disarmare entrambi (è un Ottimo di Pareto, cioè il meglio per il “gruppo”), e in caso di violazione dell’accordo la strategia tit-for-tat (colpo su colpo). Infatti la consapevolezza di una rappresaglia nel successivo turno da parte dell’avversari o induce tutti a non rompere la collaborazione. Diverso è il caso in cui si sappia che il gioco viene ripetuto t volte, cioè che oltre un certo limite temporale non potranno esserci ritorsioni da parte de ll’altro (ad esempio in caso di ultimatum). Nella giocata t infatti entrambi i giocatori avranno interesse a rompere l’accordo, poiché l’altro non avrà modo di reagire successivamente. La certezza di non cooperare in t conduce però alla conclusione che potrebbe essere utile essere il primo a non cooperare, dunque a rompere gli accordi in t-1. Poiché entrambi ragionano razionalmente, giungono alla stessa conclusione. Questo ragionamento per induzione a ritroso può essere ripetuto per ogni giocata, portando alla conclusione che è meglio non collaborare fin dall’inizio, conducendo allo stesso equilibrio del gioco singolo, da cui nessuno ha interesse a spostarsi sia singolarmente (verrebbe distrutto) sia in gruppo (l’induzione precedente ha dimostrato che non è conveniente, perché prima o poi si verrà traditi perdendo tutto). Tali considerazioni strategiche sono poi state applicate nella realtà, con valutazioni diverse a seconda dei casi.
29
