La Teoria dei giochi e la difficoltà della scelta
Tutta la storia dell'uomo è basata sulla sua abilità di fare scelte, ad ogni livello(personale, familiare, sociale) e in ogni campo (morale, economico, politico), in condizioni di conoscenza imperfetta della situazione, del comportamento altrui, e degli effetti delle varie scelte. La teoria dei giochi ha come scopo la modellizzazione matematica di questo processo decisionale, nella maniera tipica della scienza: astraendo, cioè, dalle situazioni reali alcuni elementi che si prestino a un trattamento formalizzato.
La scommessa su Dio può essere Inteso come un primo esempio di Applicazione della teoria dei giochi. Pascal nel suo carteggio con Pierre De Fermat parla di probabilità nel Gioco d'azzardo
Machiavelli ne “Il Principe Considera le mosse del papato Come una sorta di gioco eI cortigiani del papa come dei giocatori
Il primo lavoro matematico sulla teoria dei giochi fu l’articolo presentato al Congresso internazionale dei matematici del 1912 da Ernst Zermelo.
In esso egli provò che il gioco degli scacchi (e, più in generale, ogni gioco che non può proseguire all’infinito) è determinato, secondo la seguente modalità: esiste una strategia che permette al bianco di vincere sempre. esiste una strategia che permette al nero di vincere sempre. esiste una strategia che permette ad entrambi i giocatori di pareggiare sempre. Il risultato è però non è costruttivo, nel senso che non dice quale dei tre casi succeda effettivamente: per questo motivo, non ha applicazioni pratiche.
John von Neumann dimostrò, nel 1928, il primo teorema della nuova teoria.
Il lavoro di von Neumann culminò, nel 1944, nel classico testo “Theory of Games and Economic Behavior” (Teoria dei giochi e comportamento economico), scritto con l’economista Oscar Morgenstern.
Von Neumann e il teorema del Minimax
Esso stabilisce che in certi giochi a somma zero, in cui cioè la vincita di un giocatore è uguale e contraria alla perdita dell’altro giocatore, e a informazione perfetta, in cui cioè ogni giocatore conosce esattamente sia le possibili mosse dell’altro giocatore che le loro conseguenze, esiste una strategia che permette ad entrambi i giocatori di minimizzare le loro massime perdite: da qui il nome di teorema minimax. Il minimax venne migliorato ed esteso a più riprese da von Neumann, per esempio a giochi con più di due giocatori: questo caso è reso complicato dalla possibilità di cooperazione fra alcuni giocatori, nella forma di alleanze o coalizioni.
Calcolo del massimo e minimo di una funzione Il teorema del minimax non è altro che una generalizzazione su più incognite del calcolo di massimi e minimi che avviene nelle funzioni continue e derivabili. Per determinare massimi e minimi di una funzione, è di fondamentale importanza lo studio del segno della derivata prima. Tale studio, infatti, permette sia di determinare i punti stazionari della funzione sia di distinguere fra questi i massimi, i minimi e i punti di flesso orizzontale sia di individuare eventuali punti estremanti in cui non esiste la derivata prima. Quindi per determinare i massimi e i minimi di una funzione f(x) si può procedere nel modo seguente:
si calcola f'(x) e se ne determina il dominio per individuare gli eventuali punti in cui la f(x) è continua, ma non derivabile; si risolve l'equazione f'(x] = O per trovare i punti stazionari; si studia il segno di f'(x) deducendo gli eventuali massimi e minimi (stazionari o non) e i flessi a tangente orizzontale.
Si dovrà ricordare di prendere poi in esame anche i valori che la funzione assume negli eventuali estremi di tali intervalli. Se poi è richiesta la determinazione dei massimi e minimi assoluti, si deve tener presente che, per il teorema di Weierstrass, la loro esistenza è garantita nel caso si consideri un intervallo chiuso e limitato in cui la funzione sia continua. Per determinarli basterà ricordare che essi sono a maggior ragione anche massimi e minimi relativi e quindi vanno ricercati tra questi. Così il punto di massimo assoluto sarà quello, tra i punti di massimo relativo, in cui la funzione assume il valore maggiore, mentre il punto di minimo assoluto sarà quello, tra i punti di minimo relativo, in cui la funzione assume il valore minore. Se invece non sono soddisfatte le condizioni richieste dal teorema di Weierstrass, massimo e minimo assoluto possono non esistere.
Sartre e la scelta
Un anno prima la pubblicazione del testo fondamentale di Neumann “Theory of Games and Economic Behavior” (Teoria dei giochi e comportamento economico) Sartre aveva pubblicato “L'essere e il nulla” suo capolavoro, in cui egli affrontò direttamente il problema della capacità decisionale dell'uomo e della sua libertà, trattando il rapporto tra la coscienza intesa come essere per se e l'essere in se materializzato nel mondo esterno. In quanto libero di nullificare l'essere in se, l'uomo è per Sartre responsabile del mondo e di se stesso. Tutto ciò che accade nel mondo risale alla libertà e alla responsabilità della scelta originaria, e perciò nulla di ciò che accade all'uomo può essere detto inumano: “Le più atroci situazioni della guerra, le peggiori torture non creano una situazione inumana: non vi è situazione inumana; soltanto con la paura, la fuga e il ricorso a comportamenti magici io potrei decidere dell'inumano; ma questa decisione è umana e io ne porterei l'intera responsabilità.” Sono io che decido del coefficiente di avversità delle cose e persino della loro imprevedibilità decidendo di me stesso. Non vi sono casi accidentali; un avvenimento sociale che erompe subitaneo non viene dal di fuori: se io sono mobilitato in una guerra questa guerra è la mia guerra e io la merito: “Io la merito in primo luogo perchè potevo sottrarmi ad essa col suicidio e la diserzione: queste possibilità ultime devono sempre esserci presenti quando si tratta di affrontare una situazione. Se non mi ci sono sottratto io l'ho scelta: forse solo per mollezza, per debolezza davanti all'opinione pubblica, perchè preferisco certi valori a quelli del rifiuto stesso di far la guerra. Ma in ogni caso, si tratta di una scelta.”
Magna pars vitae elabitur male agentibus
Seneca si pone il problema della iactura temporis in relazione all'incapacità dell'uomo di scegliere e agire correttamente o la sua totale inadeguatezza alla situazione:
“Et si volueris attendere, magna pars vitae elabitur male agentibus, maxima nihil agentibus, tota vita aliud agentibus.” L'uomo che non ha raggiunto l'autarkeia(il concetto stoico di bastare a se stessi senza dipendere da altri e da cose esterne) è in oltre in balia delle contaminazioni esterne, se non è arrivato ad una sufficiente crescita personale, il saggio deve vivere nascosto poiché la folla amorfa e corrotta, annulla la volontà individuale nello spirito di branco. “Non torno mai a casa con lo stesso stato d'animo con cui ne sono uscito” Il contatto con gli uomini rende inumanamente crudeli, l'esempio trascina e finisce per travolgere le difese dell'io
Eveline: being unable to choose Written by James Joyce, the short story Eveline deals with her uncapability in making decision; she decides to stay in her difficulty lifestyle in spite of choosing her freedom. A young woman of about nineteen years of age sits by her window, waiting to leave home. She muses on the aspects of her life that are driving her away, while "in her nostrils was the smell of dusty cretonne". Her mother has died as has her older brother Ernest. Her remaining brother, Harry is on the road "in the church decorating business". She fears that her father will beat her as he used to beat her brothers, and she has little loyalty for her sales job. She has fallen for a sailor named Frank who promises to take her with him to Buenos Aires (spelled Buenos Ayres). Before leaving to meet Frank, she hears an organ grinder outside, which reminds her of a melody that played on an organ on the day her mother died and the promise she made to her mother to look after the home. At the dock where she and Frank are ready to embark on a ship together, Eveline is deeply conflicted and makes the painful decision not to leave with him. Her face registers no emotion at all. Like other tales in Dubliners, such as "Araby", "Eveline" features a circular journey, where a character decides to go back to where their journey began, and where the result of their journey is disappointment and reluctance to travel.
Descrizione della teoria La teoria dei giochi nasce come caso particolare della teoria della formazione delle decisioni (decision making) che si sviluppò negli anni Cinquanta con lo scopo di capire come si compiano le scelte e si prendano le decisioni; si parte dal presupposto che ogni soggetto (un attore unitario e razionale) tende a massimizzare i profitti, minimizzando le perdite (cost-benefits analysis).
Cos'è un gioco? La teoria dei giochi si è focalizzata sullo studio dei giochi strategici, dove esiste una situazione di conflitto tra due o più soggetti L’elemento fondamentale diventa così la dialettica delle volontà, la quale impone a ciascuno dei partecipanti di chiedersi quali siano le intenzioni degli altri. Il ricorso a tali modelli presuppone un carenza di comunicazione, vale a dire la situazione in cui non si ha alcun modo per conoscere, con sufficiente certezza, le reali intenzioni dell’avversario. Entrando nel dettaglio dei giochi strategici. Innanzitutto è necessario individuare gli attori (2 o più giocatori) e indicare le opzioni (anche in questo caso 2 o più); per ogni conseguenza (outcome) si può prevedere una probabilità di accadimento e posso dunque associare un valore. Il valore ponderato moltiplicato per la probabilità di accadimento di ognuna delle conseguenze collegate ad una determinata opzione mi dà la speranza matematica di quella conseguenza. Dire che l’attore è razionale significa supporre che il giocatore calcoli per ogni outcome la speranza matematica e scelga l’opzione con il valore più elevato (l’ottimo parietano). I più semplici giochi strategici sono quelli 2x2 (2 giocatori con sole 2 opzioni). Si possono dividere poi in giochi a somma zero (in cui la posta in palio non è divisibile e c’è un vincitore e uno sconfitto) e con somma diversa da zero (solitamente più utili per rappresentare conflitti internazionali). La distinzione dei giochi strategici è infine in base a: a) lunghezza (numero di mosse); b) soluzione (stato più probabile alla fine del gioco); c) sequenza (decisione di operare mosse contemporanee o successive); d) durata Non bisogna dimenticarsi che anche il fattore tempo è importante: i giochi hanno un inizio, una durata e una fine. Si può descrivere, almeno in linea di principio, ogni gioco in forma estesa (strategia in forma estesa); APPLICAZIONI DEI GIOCHI A SOMMA ZERO Quindi si presentavano soltanto due opzioni: cooperare, cioè rinunciare ad armarsi, o defezionare, ossia agire in modo contrario. Inoltre, nel gioco, ha importanza l’ordine dei valori attribuiti ai vari stadi: la scelta dell’ordine dipende dalla funzione di utilità (cioè dalle preferenze) del giocatore, la quale è determinata dalla sua natura (ideologie, cultura, passato storico, ecc.); a sua volta, tale scelta indicherà lo stato preferito da quel tipo di giocatore (i giocatori si differenziano cioè in base alla loro funzione di utilità).
Cubismo: sintesi della realtà nelle forme geometriche Elemento fondamentale della teoria dei giochi è la descrizione di elementi soggettivi della realtà umana con elementi matematici, il cubismo, soprattutto nel periodo sintetico si propone di sintetizzare la realtà secondo le forme della geometria euclidea. Il cubismo sintetico Tra il 1910 e il 1921 Picasso e Braque si rendono conto che spezzando troppo la superficie pittorica, i suoi singoli frammenti non sono più ricomponibili virtualmente e l'opera si avvicina sempre più ai caratteri dell'astrattismo, infatti i cubisti vogliono perdere la riconoscibilità dell'oggetto. Con la collaborazione di Juan Gris elaborano una serie di tecniche per uscire da questo paradosso in cui sono incappati portando alle estreme conseguenze la loro tecnica di rappresentazione del reale. Introducono nel quadro frammenti di realtà, di oggetti reali combinati alle parti dipinte (tecnica del collage), utilizzano mascherine con numeri o lettere (tecnica mista, tipo stencil); inseriscono trompe l'œil e riproducono l’effetto delle venature del legno con la tecnica del pettine passato sul colore fresco. Inoltre si assiste al ritorno del colore e soprattutto il processo dell'opera non ha inizio attraverso l'osservazione del reale, ma si creano sulla tela forme geometriche semplici variamente composte, in intersezione, orientate in vario modo e solo in un secondo momento queste suggeriscono oggetti reali. La realtà viene dunque sintetizzata, creata nell’immagine. Gli oggetti sulla tela non sono più copia del reale, esistono nel momento in cui vengono concretizzati nell’immagine pittorica, di essi c’è solo il concetto formale.
Calvino: la realtà espressa mediante formule Lo stesso Calvino nel suo periodo combinatorio mostra un atteggiamento calcolistico nei confronti di situazioni pratiche, come nella raccolta di racconti Ti con zero. Ti con zero è una raccolta di racconti di Italo Calvino pubblicata da Einaudi nel 1967. I racconti in essa presenti hanno forti legami con quelli de Le cosmicomiche, pubblicate in raccolta due anni prima dallo scrittore ligure (ed originariamente pubblicate tra il 1963 e il 1964). Il testo di Ti con zero è suddiviso in tre sezioni "Altri Qfwfq", "Priscilla" e "Ti con zero" composte rispettivamente da quattro, tre e quattro racconti. 0 Altri Qfwfq La prima sezione nella quale sono suddivisi i racconti di Ti con zero è quella che più direttamente si ricollega a Le cosmicomiche: anche in questo caso il protagonista dei quattro racconti ("La molle luna", "Gli Uccelli", "I cristalli" e "Il sangue, il mare") è Qfwfq. Caratteristica dei racconti è quella della durata dell'orizzonte temporale abbracciato dalla narrazione: in media di molti milioni di anni. Priscilla Definita dall'autore come "una lunga storia d'amore" questa sezione è composta di tre parti, "Mitosi", "Meiosi" e "Morte".
Ti con zero Costituiscono "i racconti deduttivi", secondo la definizione dello stesso Calvino: si tratta di quattro racconti che trattano di paradossi; in particolare il racconto che da il titolo alla raccolta è incentrato sul paradosso di Zenone.
Il dilemma del prigioniero
Il dilemma del prigioniero è sicuramente uno dei giochi strategici più studiati, più facilmente applicabili alle relazioni internazionali e più semplice da comprendere. Si tratta di un gioco a informazione completa proposto negli anni Cinquanta da Albert Tucker come problema di teoria dei giochi. Oltre a essere stato approfonditamente studiato in questo contesto, il “dilemma” è anche piuttosto noto al pubblico non tecnico come esempio di paradosso. Il dilemma, anche se usa l'esempio dei due prigionieri per spiegare il fenomeno, in realtà descrive la corsa agli armamenti negli anni '50 da parte di USA e URSS (i due prigionieri) durante la Guerra Fredda.
Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati di aver compiuto una rapina. Gli investigatori li chiudono in due celle diverse impedendo loro di comunicare. A ognuno vengono date due scelte: confessare l'accaduto, oppure non confessare. Viene inoltre spiegato che: a) se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l'altro viene però condannato a 7 anni di carcere. b) se entrambi confessano, vengono entrambi condannati a 6 anni. c) se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1 anno. Un’utile premessa: si deve dare per scontato che tutti i personaggi abbiano una capacità logica pressoché perfetta; questo non vuol dire che debbano essere buoni o altruisti, ma solo che tutti capiscano il gioco allo stesso modo, e non facciano alcun errore; dunque ne consegue che tutti prenderanno la stessa decisione. La scelta adottata da entrambi sarà dunque di confessare: il motivo è che per ognuno dei due lo scopo è minimizzare la propria condanna; e ogni prigioniero, confessando, rischia da 0 a 6 anni, mentre non confessando rischia da 1 a 7 anni. Il paradosso che consegue da questa conclusione sta nel fatto che anche l'altro prigioniero, trovandosi nella stessa situazione, farà il medesimo ragionamento; con un risultato complessivo che non è ottimale per nessuno dei due (6 anni di carcere a testa).
Confessa
Non confessa
Confessa
(6,6)
(0,7)
Non confessa
(7,0)
(1,1)
Il dilemma del prigioniero nei rapporti internazionali Coopera
Defeziona
Se pensiamo agli Stati Uniti e all'URSS come ai due prigionieri e alla confessione come l'armamento con l'atomica (ovviamente per contro la non confessione come il non armamento), il dilemma descrive come per le due nazioni fosse inevitabile al tempo della Guerra Fredda la corsa agli armamenti, benché Defeziona (4,1) (2,2) questo risultato finale fosse non ottimale per nessuna delle due superpotenze (e per l'intero mondo). Descrivendo la situazione da un punto di vista teorico (dove cooperare significa non confessare per non danneggiare l’altro), lo stato che permette di ottenere il punteggio maggiore (l’ottimo parietano) è quello in cui entrambi gli attori cooperano; il caso peggiore si ha quando uno coopera e l’altro defeziona (ciò è accaduto prima della II guerra mondiale, quando Hitler riarmava la Germania, mentre gli Alleati scelsero una politica di appeasement). Seguendo il principio di analisi razionale, conviene scegliere comunque di defezionare: prendo 2 se l’altro defeziona e 4 se l’altro coopera (se scelgo di cooperare avrò 3 nella migliore delle ipotesi e 1 nella peggiore): si ritorna così alla spiegazione della scelta “obbligata” della corsa agli armamenti durante la guerra fredda. È bene precisare che il punto cruciale di questo gioco è la mancanza di comunicazione. Coopera
(3,3)
(1,4)
Equilibrio di Nash La prima formulazione di questo teorema, che costituisce la nozione di equilibrio più famosa della teoria dei giochi per quel che riguarda i giochi non cooperativi, apparve in un brevissimo articolo del 1949. John Nash, ancora studente a Princeton, spiegava la sua idea di fondere intimamente due concetti apparentemente assai lontani: il primo era quello di un punto fisso in una trasformazione di coordinate, mentre il secondo riguardava la strategia più razionale che un giocatore potesse adottare, in caso di competizione con un avversario anch'esso razionale. Si estendeva così la teoria dei giochi ad un numero arbitrario di partecipanti, o agenti, e si dimostrava che, in certe condizioni, esiste sempre una situazione di equilibrio, che si ottiene quando ciascun individuo che partecipa a un dato gioco sceglie la sua mossa strategica in modo da massimizzare la sua funzione di retribuzione. Per giungere a tale conclusione si presuppone che il comportamento dei rivali non varia a motivo della scelta (vuol dire che anche conoscendo la mossa dell'avversario, il giocatore non faccia una mossa diversa da quella che ha deciso). Tutti i giocatori, possono dunque operare una scelta dalla quale ciascuno trae un vantaggio (o limita lo svantaggio al minimo). Una differenza sostanziale rispetto al caso dei giochi a “somma zero” studiati in precedenza da John von Neumann, dove la vittoria di uno dei due (unici) partecipanti era totale e necessariamente accompagnata dalla sconfitta all'altro.
Il principio di Heisenberg Il teorema di Nash aveva fornito un modello decisionale anche in situazioni con informazioni incomplete o assenti, allo stesso modo Heisenberg partendo dal presupposto di inconoscibilità della reale misura di una caratteristica fisica fornisce un principio in grado di approssimare la posizione nello spazio e nel tempo di una particella. Heisenberg sosteneva che misurare significa sempre perturbare il sistema e quindi anche le grandezze che lo caratterizzano. Immaginando di voler stabilire la posizione di un oggetto in movimento. Per far ciò bisogna vederlo; per esempio, facendo arrivare sul corpo un fascio di luce. Egli affermò l'impossibilità di valutare simultaneamente in modo rigoroso e senza alcun limite la posizione e la quantità di moto di un oggetto, oppure l'istante di tempo in cui un sistema si trova in un particolare stato e la corrispondente energia del sistema. La posizione e la quantità di moto, così come il tempo e l'energia, sono coppie di parametri usualmente indicati come grandezze coniugate. Per la completa descrizione meccanica, in senso classico, di un sistema, le grandezze coniugate devono essere sempre note simultaneamente. La meccanica quantlstica introduce invece, con il seguente enunciato, un'indeterminazione intrinseca in tali coppie di grandezze, o meglio, una correlazione fra le incertezze con cui i loro valori possono essere determinati: Principio di indeterminazione di Heisenberg Ogni qualvolta vogliamo determinare simultaneamente la posizione x di un corpuscolo lungo una data direzione e la sua quantità di moto px lungo la stessa direzione, le incertezze Dx e Dpx delle due grandezze sono legate dalla relazione:
Dove è la costante di Planck ridotta Similmente, se misuriamo l'energia E di un corpuscolo mentre esso si trova in un determinato stato, impiegando un intervallo di tempo Dt per compiere tale osservazione, l'incertezza DE sul valore dell'energia è tale che:
Il principio di Heisenberg è valido universalmente ma assume importanza rilevante solo nel mondo del molto piccolo nel movimento delle particelle elementari protoni ed elettroni protagoniste del meccanismo di fusione nucleare
La fusione nucleare nelle stelle Secondo i modelli teorici, elaborati tenendo conto delle condizioni di temperatura e pressione esistenti all'interno del nocciolo delle stelle di sequenza principale, le reazioni di fusione dell'idrogeno in elio possono avvenire con due modalità diverse: il ciclo protoneprotone e il ciclo carbonio-azoto-ossigeno. In genere i due cicli coesistono, anche se uno prevale sull'altro. Il fattore determinante per stabilire quale ciclo prevale è la temperatura (e quindi la massa): nelle stelle di massa inferiore a 1,5 masse solari, dove la temperatura del nocciolo non supera i 20 milioni di kelvin avviene prevalentemente il ciclo protone-protone, mentre nelle stelle con massa maggiore e un nucleo più caldo (specialmente quelle delle classi spettrali O, B, A), prevale il ciclo carbonio-azoto-ossigeno. Nel ciclo protone-protone è possibile individuare una via principale e diversi processi collaterali, meno importanti dal punto di vista quantitativo. Il processo principale, per comodità, può essere suddiviso in due fasi. Prima fase: fusione di due protoni (cioè due nuclei di idrogeno 11 H ) con produzione di deuterio (idrogeno 21 H, che possiede un protone e un neutrone nel nucleo). Questa fusione libera energia e comporta la trasformazione di un protone in un neutrone, mediante l'espulsione di un positrone (e+) e di un neutrino (v). Il deuterio si fonde, a sua volta, con un altro protone, formando un nucleo di elio "leggero" ( 32 He), contenente due protoni e un neutrone. In questa fase viene liberata energia, sotto forma di raggi gamma. Seconda fase: i nuclei di elio "leggero" si trasformano in nuclei di elio 4 He (formati da due protoni e due neutroni). Il processo può 2 avvenire con modalità diverse. Nella maggior parte dei casi (85%), due nuclei di 3 He si uniscono direttamente, producendo un nucleo 4 di2 He . Questa reazione produce anche 2 protoni, che possono essere utilizzati in 2un nuovo ciclo. In totale, dunque, 6 protoni sono stati immessi nel ciclo e 2 sono stati restituiti alla fine, insieme al nucleo di elio. Il bilancio complessivo del ciclo è: 1 14H
4 2 He
2e
2v raggi
Il ciclo carbonio-azoto-ossigeno inizia quando un nucleo di idrogeno penetra in un nucleo di carbonio, formando un nucleo di azoto instabile, che va incontro a ulteriori trasformazioni in cui vengono assorbiti altri tre protoni. Al termine del ciclo viene rigenerato 3 un nucleo di carbonio C identico a quello di partenza e viene espulso un nucleo di elio 2 He. ti bilancio complessivo è identico a quello 4 del ciclo protone-protone: si consumano 4 protoni e si forma un nucleo di 2 He , con l'emissione di 2 elettroni positivi e di energia, sotto forma di raggi gamma.
