Teoria Dei Numeri 2018

TEORIA DEI NUMERI NOSTRI AGGIORNAMENTI E INTEGRAZIONI AL 2018 (In particolare sull’Ipotesi di Riemann e sulla Fattorizzazione più veloce)

Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero

Abstract In this paper we will show Number Theory and its 1

more important problems (especially RH, speed factoring) and our best contributes. Riassunto In questo libro parliamo della in particolare della Teoria dei numeri e dei suoi problemi principali (tre riguardano la teoria dei numeri: Ipotesi di Riemann (RH) , Fattorizzazione veloce. Seguiranno i nostri principali contributi su ognuno di questi problemi (basati sulla ex congettura di Goldbach , come la RH e la fattorizzazione veloce, Seguiranno Note finali e riferimenti su altri problemi del Millennio come la congettura di Hodge ( con il nostro contributo topologico basato sugli infiniti 2

triangoli di Tartaglia, anche se è argomento del Calcolo combinatorio e non di Teoria dei numeri, e il problema P = NP in particolare al sottoproblema della Fattorizzazione, che potrebbe essere un problema NP e forse anche un problema P se la nostra congettura della mantissa fosse vera e in futuro potrebbe essere migliorata. °°°°°°°°°° Inizialmente riportiamo , da Wikipedia, la voce Teoria dei Numeri, e poi i nostri principali contributi sulla RH (seconda parte della congettura sulle funzioni zeta generalizzate, con il nuovo problema (relativamente facile) di calcolarne i relativi 3

zeri, ma su serie numeriche diverse dai numeri primi) e sulla fattorizzazione veloce (TFFv) congettura della mantissa, con il nuovo problema (difficile) di calcolare il rapporto r = q/p conoscendo solo N = p*q, e da tale rapporto risalire ad una stima di p’ molto vicino a p reale, eliminando in parte i lunghi tempi di calcolo per p e q molto grandi. Non è ancora all’altezza di violare la crittografia RSA (non è questo il nostro scopo, essendo tale crittografia ottima per proteggere segreti militari, industriali, finanziari e privati del tutto legittimi, ma solo quello di capire se tale violazione fosse possibile per via teorica. Ma i prossimi computer quantistici, un miliardo di volte più veloci degli attuali computer, così si dice, potrebbero 4

violarla con il calcolo a forza bruta, grazie alla loro enorme potenza di calcolo, tra pochi anni. Infine, un accenno agli infiniti T(n) triangoli di Tartaglia (anche se fanno parte dell’analisi combinatoria e relativo calcolo combinatorio), potenzialmente interessanti per la congettura di Hodge, un altro dei problemi del millennio oltre alla RH interessato alle funzioni zeta generalizzate) e al problema P ≠= NP ( nel caso la fattorizzazione fosse un problema P oppure NP ( ancora non si sa bene) considerati in questo lavoro essenzialmente riepilogativo/divulgativo, ma con buone novità . Iniziamo con la Teoria dei numeri : 5

Teoria dei numeri Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca Tradizionalmente, la teoria dei numeri è quel ramo della matematica pura che si occupa delle proprietà dei numeri interi e contiene molti problemi aperti che possono essere facilmente compresi anche da chi non è un matematico. Più in generale, la materia è giunta ad occuparsi di una più ampia classe di problemi che sono sorti naturalmente dallo studio degli interi. La teoria dei numeri può essere divisa in diversi campi a seconda dei metodi utilizzati e dei problemi studiati. Il termine "aritmetica" viene anche utilizzato per riferirsi alla teoria dei numeri. Questo termine è piuttosto vecchio, e non è più popolare come era una volta. Tuttavia, il termine rimane prevalente, ad esempio, nel nome dei "campi" matematici (geometria algebrica aritmetica e l'aritmetica delle curve ellittiche e delle superfici). Questo significato della parola aritmetica non dovrebbe essere confuso con la branca della logica che studia l'aritmetica intesa come sistema formale.

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1 Branche e caratteristiche della teoria dei numeri 2 Storia della teoria dei numeri 3 Bibliografia 4 Voci correlate 5 Altri progetti 6 Collegamenti esterni

Branche e caratteristiche della teoria dei numeri[modifica | modifica wikitesto] Nella teoria dei numeri elementare, gli interi sono studiati senza l'uso di tecniche provenienti da altri settori della matematica. Rientrano in questa parte le questioni di divisibilità, l'algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore, la fattorizzazione di interi in numeri primi, lo studio dei numeri perfetti e le congruenze. Tipiche asserzioni sono il piccolo teorema di Fermat e il teorema di Eulero (che è una sua generalizzazione), il teorema cinese del resto e la legge di reciprocità quadratica. Vengono indagate le proprietà delle funzioni moltiplicative come la funzione di Möbius e la funzione φ di Eulero; come pure le successioni di interi come i fattoriali e i numeri di Fibonacci. Molti problemi della teoria dei numeri elementare sono eccezionalmente profondi e (allo stato attuale) richiedono nuove idee. Esempi sono:    

la congettura di Goldbach (debole e forte), che riguarda l'espressione dei numeri pari come somma di numeri primi, la congettura di Polignac, la congettura di Chen, la congettura dei numeri primi gemelli riguardo all'esistenza di infiniti primi gemelli, 6

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la congettura dei numeri di Sophie Germain, la nuova congettura di Mersenne, la congettura dei numeri perfetti, la congettura di Collatz che riguarda le condizioni di terminazione di un algoritmo iterativo. Il teorema di Matiyasevich ha dimostrato che la teoria delle equazioni diofantee è indecidibile (vedi il decimo problema di Hilbert).

La teoria analitica dei numeri sfrutta i meccanismi del calcolo infinitesimale e dell'analisi complessa per affrontare problemi sui numeri interi. Alcuni esempi sono il teorema dei numeri primi e la collegata ipotesi di Riemann. Anche problemi della teoria dei numeri elementare come il problema di Waring (rappresentare un numero dato come somma di quadrati, cubi, ecc.), la congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach vengono attaccati con metodi analitici. Anche le dimostrazioni di trascendenza delle costanti matematiche, come π o e, vengono classificate nella teoria dei numeri analitica. Mentre le affermazioni sui numeri trascendenti sembrerebbero non riguardare i numeri interi, esse studiano in realtà la possibilità di certi numeri di essere rappresentati come radici di un polinomio a coefficienti interi; i numeri trascendenti sono inoltre strettamente collegati all'approssimazione Diofantea, che studia la precisione con cui un dato numero reale può essere approssimato da un numero razionale. Nella teoria dei numeri algebrica, il concetto di numero viene generalizzato a quello di numero algebrico che è radice di un polinomio a coefficienti interi. Questi domini contengono elementi analoghi agli interi, chiamati interi algebrici. In questo ambiente, è possibile che le proprietà familiari dei numeri interi (come l'unicità della fattorizzazione) non siano più verificate. La forza degli strumenti utilizzati -- teoria di Galois, coomologia dei campi, teoria dei campi delle classi, rappresentazioni dei gruppi e funzioni L—è quella di consentire (almeno in parte) di recuperare l'ordine per questa nuova classe di numeri. Molti problemi di teoria dei numeri vengono attaccati più facilmente studiandole modulo p per tutti i numeri primi p (vedi campi finiti). Questo metodo è chiamato localizzazione e porta alla costruzione dei numeri p-adici; questo settore di studi è chiamato analisi locale e nasce dalla teoria dei numeri algebrica. La teoria geometrica dei numeri incorpora tutte le forme di geometria. Comincia con il teorema di Minkowski sui punti reticolari negli insiemi convessi e lo studio dell'impacchettamento delle sfere. Viene spesso impiegata anche la geometria algebrica, specialmente la teoria delle curve ellittiche. Il famoso ultimo teorema di Fermat fu dimostrato utilizzando queste tecniche. Infine, la teoria dei numeri computazionale studia algoritmi importanti nella teoria dei numeri. Algoritmi efficienti per la verifica della primalità e la fattorizzazione di interi hanno importanti applicazioni nella crittografia.

Storia della teoria dei numeri[modifica | modifica wikitesto] La teoria dei numeri, uno degli argomenti preferiti presso gli antichi greci, vide la sua rinascita nel sedicesimo e nel XVII secolo nelle opere di Viète, Bachet de Meziriac, e soprattutto Pierre de Fermat. Nel XVIII secolo Euler e Lagrange diedero importanti contributi alla teoria, e al suo termine la disciplina iniziò ad avere una forma scientifica grazie ai grandi lavori di Legendre (1798), e Gauss (1801). Con le Disquisitiones Arithmeticae (1801) di Gauss può dirsi iniziata la moderna teoria dei numeri. 7

Chebyshev (1850) fornì utili margini per il numero di primi compresi tra due limiti. Riemann (1859) congetturò una formula asintotica migliorata per il teorema dei numeri primi, introdusse l'analisi complessa nella teoria della funzione zeta di Riemann, e, dai suoi zeri, derivò le formule esplicite della teoria dei numeri primi. La teoria delle congruenze si può far risalire alle Disquisitiones di Gauss. Egli introdusse la notazione:

ed esplorò la maggior parte della materia. Nel 1847 Chebyshev pubblicò un lavoro in Russo sull'argomento, che fu reso popolare in Francia da Serret. Oltre a riassumere il lavoro precedente, Legendre enunciò la legge di reciprocità quadratica. Questa legge, scoperta per induzione matematica ed enunciata da Eulero, fu provata per la prima volta da Legendre nel suo Théorie des Nombres (1798), sebbene soltanto per casi particolari. Indipendentemente da Eulero e Legendre, Gauss scoprì la legge intorno al 1795, e fu il primo a dare una dimostrazione generale. Altri personaggi eminenti che contribuirono alla materia sono: Cauchy; Dirichlet, di cui Vorlesungen über Zahlentheorie (Lezioni di teoria dei numeri) è un classico; Jacobi, che introdusse il simbolo di Jacobi; Liouville, Eisenstein, Kummer, e Kronecker. La teoria viene generalizzata per includere la legge di reciprocità cubica e biquadratica, (Gauss, Jacobi, Kummer). È dovuta a Gauss anche la rappresentazione di interi in forme quadratiche. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue(?) (1859, 1868), e specialmente Hermite contribuirono all'argomento. La teoria delle forme ternarie fu studiata da Eisenstein, e a lui ed a H. J. S. Smith sono dovuti notevoli progressi nella teoria delle forme in generale. Smith diede una classificazione completa delle forme ternarie quadratiche, e estese le ricerche di Gauss sulle forme quadratiche reali alle forme complesse. Gli studi riguardanti la rappresentazione dei numeri come somma di 4, 5, 6, 7, 8 quadrati furono portati avanti da Eisenstein e la teoria fu completata da Smith. Dirichlet fu il primo a tenere delle lezioni sulla materia in una università tedesca. Tra i suoi contributi vi è l'estensione dell'ultimo teorema di Fermat, che Eulero e Legendre avevano risolto per ; Dirichlet provò che . Tra gli ultimi scrittori francesi vi sono Borel; Poincaré, le cui memorie sono numerose e importanti; Tannery, e Stieltjes. Tra i personaggi più eminenti in Germania vi sono Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, e Richard Dedekind. In Austria l'opera Vorlesungen über allgemeine Arithmetik di Stolz (1885-86), e in Inghilterra la Theory of Numbers (Part I, 1892) di Mathews sono tra i lavori più completi. Genocchi, Sylvester, e Glaisher diedero altri contributi alla teoria. Il matematico inglese G. H. Hardy fu uno dei fautori più appassionati della teoria dei numeri, e dedicò ad essa gran parte della sua vita.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto] 

Tom M. Apostol: (2008): Functions of Number Theory, Chapter 27 della NIST Digital Library of Mathematical Functions 8

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Oystein Ore (1948): Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc., ISBN 0-48665620-9 Richard Dedekind (1963), Essays on the Theory of Numbers, Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-21010-3 Richard K. Guy (1981): Unsolved Problems in Number Theory, Springer, ISBN 0-38790593-6 Harold Davenport, Aritmetica superiore. Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 88-08-09154-6 Melvyn B. Nathanson (2000): Elementary methods in number theory, Springer, ISBN 0387-98912-9 Kenneth Ireland, Michael Rosen (2010): A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer, ISBN 978-1-4419-3094-1

In rosso le congetture per le quali abbiamo delle soluzioni o proposte di soluzione. Riportiamo solo la congettura di Goldbach (per le altre vedi Riferimenti finali sui nostri contributi) poiché su di essa ci siamo basati per le nostre proposte di soluzioni per la RH ( congetture sulle funzioni zeta generalizzate, e possibile fattorizzazione veloce, o almeno più veloce rispetto agli algoritmi attuali) 9

Congettura di Goldbach Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca In matematica, la congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Essa afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi (che possono essere anche uguali).

Il numero di modi con cui un numero n si può scrivere come somma di due primi per n ≤ 1 000 000 Per esempio, 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7 etc.

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1 Origini 2 Risultati 3 Citazioni nelle arti 4 Note 5 Bibliografia 6 Voci correlate 7 Collegamenti esterni

Origini[modifica | modifica wikitesto] 10

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura: Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi. Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione equivalente: Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche col nome di congettura forte di Goldbach. La congettura debole di Goldbach, che è implicata dalla congettura forte, asserisce che tutti i numeri dispari maggiori di 7 possono essere scritti come somma di tre primi.

Risultati[modifica | modifica wikitesto] La congettura di Goldbach ha attirato l'attenzione di molti teorici dei numeri. La maggior parte dei matematici ritiene che la congettura sia vera, basandosi principalmente su considerazioni statistiche e probabilistiche ottenute con il teorema dei numeri primi. Nel 1923 Hardy e Littlewood hanno dimostrato che se l'ipotesi di Riemann generalizzata è vera, allora la congettura debole di Goldbach è vera per tutti gli interi dispari sufficientemente grandi. Nel 1937, Ivan Vinogradov rimosse l'assunzione dell'ipotesi di Riemann generalizzata, mostrando che ogni numero dispari è somma di tre primi. Inoltre, basandosi sulle idee di Vinogradov, [1] [2] Chudakov, van der Corput, e Estermann[3] hanno dimostrato che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due primi, ossia che la frazione dei numeri che possono essere scritti in tal modo tende a 1. Nel 1975, Hugh Montgomery e Robert Vaughan hanno dato una versione più precisa di questo risultato mostrando che il numero di interi pari minori di N che non sono rappresentabili come somma di due primi è minore di per due costanti . Diversi altri risultati parziali sono stati dimostrati nel corso degli anni. Nel 1939 L.G. Schnirelmann provò che ogni numero pari n ≥ 4 può essere scritto come somma di al più 20 numeri primi.[senza fonte] Questo numero è stato successivamente abbassato da numerosi matematici; in particolare Olivier Ramaré nel 1995 ha dimostrato che ogni numero pari n ≥ 4 si può scrivere come somma di al più 6 numeri primi. Si noti che la congettura debole di Goldbach implica il medesimo risultato, ma con soli 4 numeri primi. Nel 1951, Linnik ha dimostrato che esiste un intero k tale che ogni numero pari sufficientemente grande si può scrivere come somma di due primi e al più k potenze di due. Nel 2002 Roger HeathBrown e Jan-Christoph Schlage-Puchta hanno dimostrato che k = 13 è sufficiente[4] e nel 2003 Pintz e Ruzsa hanno migliorato questo risultato mostrando che si può prendere k = 8.[5] Un altro risultato importante è quello ottenuto da Chen Jingrun che nel 1966 ha dimostrato che ogni numero pari sufficientemente grande può essere scritto come somma o di due primi, o di un primo e un semiprimo (il prodotto di due primi): per esempio, 100 = 23 + 7·11.[6] Infine, nel corso degli anni ci sono stati diversi risultati per abbassare il limite menzionato sopra oltre al quale la congettura debole di Goldbach è dimostrata. Tra questi, vi è la dimostrazione di 11

Deshouillers, Effinger, te Riele e Zinoviev che l'ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura debole di Goldbach.[7] Nel 2013 Harald Helfgott ha annunciato di aver dimostrato tale risultato senza l'assunzione dell'ipotesi di Riemann, risolvendo totalmente quindi la congettura debole di Goldbach.[8][9][10][11]

Citazioni nelle arti[modifica | modifica wikitesto] 

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Nel 2000, allo scopo di pubblicizzare il libro Zio Petros e la congettura di Goldbach di Apostolos Doxiadis, l'editore britannico Tony Faber offrì un premio di 1 000 000 di dollari per una dimostrazione della congettura. Il premio sarebbe stato assegnato solo per dimostrazioni inviate per la pubblicazione entro aprile 2002, ma non fu mai reclamato. La congettura di Goldbach è citata nel film La Bestia con un miliardo di schiene, versione cinematografica della serie animata Futurama, in una scena in cui il professor Farnsworth e il suo rivale-collega prof. Wernstrom affermano di aver trovato "un'altra dimostrazione elementare" della congettura di Goldbach. È citata nel libro Il teorema del pappagallo di Denis Guedj. È citata nei libri Il marchio del diavolo e Il debito di Glenn Cooper. È citata nel libro Perché io credo in Colui che ha fatto il mondo. Tra fede e scienza di Antonino Zichichi. È citata nel film spagnolo La habitación de Fermat. È citata nel primo racconto (Milioni di trilioni) de I banchetti dei vedovi neri di Isaac Asimov È citata nel saggio Tre concezioni della scienza umana di Karl Popper È citata nel saggio "Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante" di Douglas Hofstadter, in cui compare in uno dei dialoghi fra Achille e la Tartaruga

Note[modifica | modifica wikitesto] 1. ^ Nikolai G. Chudakov, О проблеме Гольдбаха [On the Goldbach problem], in Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 17, 1937, pp. 335–338. 2. ^ J. G. Van der Corput, Sur l'hypothèse de Goldbach, in Proc. Akad. Wet. Amsterdam, vol. 41, 1938, pp. 76–80. 3. ^ T. Estermann, On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes, in Proc. London Math. Soc., 2, vol. 44, 1938, pp. 307–314, DOI:10.1112/plms/s244.4.307. 4. ^ D. R. Heath-Brown e J. C. Puchta, Integers represented as a sum of primes and powers of two, in Asian Journal of Mathematics, vol. 6, nº 3, 2002, pp. 535–565, arXiv:math.NT/0201299. 5. ^ J. Pintz e I. Z. Ruzsa, On Linnik's approximation to Goldbach's problem, I, in Acta Arithmetica, vol. 109, nº 2, 2003, pp. 169–194, DOI:10.4064/aa109-2-6. 6. ^ J. R. Chen, On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sci. Sinica 16 (1973), 157--176. 7. ^ Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis (PDF), in Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, vol. 3, nº 15, 1997, pp. 99–104, DOI:10.1090/S1079-6762-97-00031-0. 8. ^ H.A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem, 2013. 9. ^ H.A. Helfgott, Minor arcs for Goldbach's problem, 2012. 10. ^ Prime numbers: the 271 year old puzzle resolved - Truth Is Cool 11. ^ Proof that an infinite number of primes are paired - physics-math - 14 May 2013 - New Scientist

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto] 12

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Zio Petros e la congettura di Goldbach (1992), di Apostolos Doxiadis, Bompiani (ISBN 88452-4861-5) Le ostinazioni di un matematico, ovvero come morire tre volte per la congettura di Goldbach (2005), di Didier Nordon, Sironi Editore (ISBN 88-518-0047-2)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]  

Christian Goldbach Problemi di Landau

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]     

(EN) Goldbach's conjecture, parte delle Prime Pages di Chris Caldwell. (EN) A million-dollar maths question. Articolo di Anjana Ahuja in The Times, 16 marzo, 2000. (EN) Help verify the Goldbach conjecture, La ricerca distribuita gestita da T. Oliveira e Silva. (EN) Online tool per verificare la congettura di Goldbach su interi che vengono richiesti. Congettura di Goldbach, in Thesaurus del Nuovo soggettario, BNCF.

Base teorica sulla retta critica: parte reale 1/2 come media aritmetica come media aritmetica tra due zeri coniugati, vedi Rif. finali sulla congettura delle funzioni zeta generalizzate. Nella congettura di Goldbach i due numeri primi p e q tali che la loro somma sia S, sono simmetrici rispetto alla semisomma S/2 = s, per esempio 7 e 13 hanno come 13

somma S = 7+3 = 20, e sono simmetrici rispetto a 10 =20/2, infatti 7+3 = 10 e 13 -.3 =10, con 3 = semidifferenza q – p = 13 - 6 = 7. Cosa che vedremo in seguito . Poiché nella formula della funzione zeta sono presenti i numeri p e q ma ora a denominatore, e quindi inversi 1/p e 1-1/p, la cui somma =1 e quindi hanno come media (1/p + 1- 1/p)/2 = ½, che è la retta critica su cui giacciono tutti gli zeri coniugati della funzione zeta (nella media le parti immaginarie dovuti agli esponenti complessi si elidono a vicenda e rimane solo ½ reale , come richiesto dalla RH. Altro esempio con due qualsiasi zeri di zeta coniugati: 1/2 + bi ,

1/2 – bi 14

Loro media aritmetica (1/2 + bi + 1/2 – bi)/2 = ½ , essendo + bi e – bi opposti e quindi si elidono a vicenda. Rimane solo /2, parte reale di tutti gli zeri di tutte le funzioni zeta relative non solo i numeri primi, ma tutte le serie numeriche conosciute o no. La differenza con gli zeri della funzione zeta di Riemann potrebbe essere solo nella loro spaziatura,, in base alla spaziatura dei nuovi numeri considerati, per esempio multipli di 3, con spaziatura simile a quella dei numeri primi, , numeri di Fibonacci (molto più distanti tra loro), ecc. Questo il concetto base per la nostra congettura sulle funzioni zeta generalizzate ad altri tipi di numeri 15

Base teorica per la fattorizzazione veloce è invece il prodotto di Goldbach 7*13 = 91, che però non è costante come la somma di Goldbach = 20 come tutte l’altra coppia di Goldbach a somma 20, come 3+17 con 3 *17 = 51 < 91 ; e differenti da s^2 = 100 entrambi i prodotti con un quadrato: 100 -51 = 49= 7^2, 100 – 91 = 9=3^2, da qui l’algoritmo di Fermat: s – d = p, s + d = q,

10 -3 = 7 10+3 = 13

scrivibile anche come s – N = d^2 da cui d = √ d^2 da cui poi s – d = p e s + d = q Il problema è che non conoscendo , bisogna procedere per tentativi sommando ad N i quadrati 16

successivi ad N fino a quando si ottiene un quadrato perfetto S da cui poi , s = √S , e il quadrato aggiunto sarà esattamente d^2 da cui poi d = √ d^2 e quindi possiamo fattorizzare N nell’esempio per 3*17 = 51 abbiamo_ 51 + 4 = 55 non quadrato perfetto, poiché √55=7,41 51 + 9 = 60 ..... 51 +16 =70 ..... 51 +25= 76 ..... 51 +36 = 87 ..... 51+ 49 = 100 quadrato perfetto poiché √100= 10 intero E quindi abbiamo già d = 7 ed s = 10 Per cui p = 3 = 10-7 e q = 10+7 =17 e la fattorizzazione è fatta. Per N molto più grande (tipo in numero semiprimo RSA) la procedura è uguale ma 17

ovviamente molto più lunga, ma sempre meno del metodo a forza bruta, e con qualche possibile futuro miglioramento per i numeri semiprimi della crittografia RSA. Vedi In Rif . Il Teorema fondamentale della fattorizzazione veloce con algoritmo di Fermat basato su N = p*q come differenza tra semisomma al quadrato e semidifferenza al quadrato, e anche quello sulla congettura della mantissa. Conclusioni Possiamo concludere dicendo che con i nostri lavori di ricerca elencati sei successivi riferimenti finali la congettura elementare dei numeri ne esce ora ( 2018) 18

migliorata e aggiornata con contributi innovativi , in modo particolare per quanto riguarda la RH e la fattorizzazione più veloce, due dei sei problemi del millennio qui trattati , e qualche altro anche se piccolo contributo lo abbiamo trovato per gli altri problemi rimasti: congettura di Hodge, Ipotesi di Birch e Swinnerton – Dyer ecc. Vedi contributi per gli altri problemi del Millennio. Per ricercatori, docenti e appassionati di teoria dei numeri questo lavoro potrebbe essere una buona fonte di dati, soluzioni e infine anche punti per approfondire ulteriormente gli argomenti e i problemi matematici che più interessano.

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Riferimenti sui nostri contributi sulle principali ex congetture Per ogni contributo, citeremo i siti di provenienza Sulla ex congettura di Goldbach 1 – Dimostrazione della congettura di Goldbach Giovanni Armillotta www.giovanniarmillotta.it/metodo/di_noto14.html "METODO", N. 20/2004 Francesco Di Noto – Annarita Tulumello (Gruppo Eratostene – Caltanissetta) DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI GOLDBACH

Proof of Goldbach’s Conjecture Abstract This our Proof of Goldbach’s conjecture’s positive solution (Goldbach was right), is based on the complementary nature between p and q=N–p, with p+q=N even >=4. If p and q are both prime numbers, we have a couple of Goldbach for N. Our simple procedure to find all the GN couples of Goldbach for a given number N, (an addition table of odd numbers, and the method of columns “a”+“b” have given us the formulas to calculate excactly the number GN, (real GN); approximately but more easil (statistical GN); and therefore to prove the direct proportionality between GN and N; and this to prove directly the Goldbach’s Conjecture, since GN>=1 for any even number N, and never GN=0 (negative solution, its impossibility is proved in our work). Our formulas for real and statistical GN are: (3) GN=

; DN=

; C=wiped out squares with N 20

(1) GN~



for any even N

(2) G10n~ for N=10n At the end of our work, we carry the curve P of prime numbers and the curve G of couples of Goldbach, (G~ ) for first values of 10n . The intermediate values of N between 10n and 10n+1 have intermediate values of GN , between G10n and G10n+1. “ERATOSTENE” (Francesco Di Noto) (Annarita Tulumello) Dimostrazione della congettura di Goldbach Riassunto Questa nostra dimostrazione della soluzione positiva del Teorema di Goldbach (costui aveva ragione) si basa sulla complementarità tra p e q=N–p; con p+q=N pari >=4. Se p e q sono entrambi numeri primi, abbiamo una coppia di Goldbach per N. Le nostre semplici procedure per trovare tutte le coppie di Goldbach per un dato N, e cioè GN (tavola di addizione di tutti i numeri dispari, metodo delle due colonne “a”+“b”) ci hanno fornito le formule per calcolare GN in modo esatto (GN reale) o approssimativo (GN statistico), ma più facilmente e quindi di dimostrare la proporzionalità diretta tra GN ed N; e con essa anche la soluzione positiva del Teorema di Goldbach, poiché GN>=1 per qualsiasi numero pari N e mai GN=0; questo caso comporterebbe la soluzione negativa (la cui impossibilità è pure dimostrata nel nostro lavoro). Le formule principali per GN reale e GN statistico sono: (3) GN= (1) GN~ (2) G10n~

; DN= 

; C=caselle cancellate =per ogni N pari

per N=10n

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Alla fine del lavoro, riportiamo la curva P dei numeri primi e la curva G delle coppie di Goldbach, tra loro connesse: G~ per i primi valori di N=10n; valori intermedi di N compresi tra 10n e 10n+1, hanno valori di GN compresi tra G10n e G10n+1. “ERATOSTENE” (Francesco Di Noto) (Annarita Tulumello)

Dal quale riportiamo le tavole di addizione o reticoli per rendere più comprensibile la nostra dimostrazione: DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI GOLDBACH Per questa mia dimostrazione siamo partiti dall’idea fondamentale, mai però venuta in mente a nessuno: una tavola “pitagorica” di addizione di tutti i numeri dispari tranne il numero 1 (non primo) e il numero 2, primo ma non applicabile al Teorema di Goldbach perché, sommato ad un altro primo, darebbe un numero N dispari, mentre Goldbach li voleva pari: N uguale o maggiore di 4 come somma di due primi p e q tali per pq=N. Cosicché , costruendo questa tavola, avremo un numero N pari ad ogni incrocio tra due numeri dispari qualsiasi: per esempio 20=911, 1317, e così via, come si può vedere nel seguente Reticolo

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Si nota facilmente che un certo numero N pari si ripete dal numero dispari N–3 della riga in alto, in diagonale, fino allo stesso numero N–3 della colonna in basso a sinistra; e il numero delle ripetizioni (cioè delle caselle contenenti N) è dato dalla relazione (N–4)/2; per esempio, N=20 parte da 20–3=17 e si ripete in diagonale (20– 4)/2=8 volte; esattamente le 8 possibili somme tra numeri dispari da 3 a 17; e tra queste 8 somme di numeri dispari, si annidano le possibili somme di primi che soddisfano il Teorema di Goldbach per N=20. Come identificarle facilmente, contarle, e per N molto grandi, calcolarne il numero? È presto detto: cancellando con una linea centrale tutte le righe e le colonne del reticolo che partono da un numero dispari composto (che ovviamente non può fare parte di una coppia di Goldbach) rimangono tutte le caselle in cui il numero N è la somma dei due numeri primi posti all’inizio della riga e della colonna corrispondente; e quindi essi formano una coppia di Goldbach per quel numero N. Nel caso di N=20, tali composti da 3 a 17, sono il 9=33, e 15=35; per cui si tagliano, come in una sorta di crivello di Eratostene bidimensionale, le due righe e le due colonne che partono da 9 e 15; con ciò si eliminano tutte le coppie miste di primi e di composti che non soddisfano il Teorema, e rimangono solo le caselle agli incroci di righe e colonne che partono dai numeri primi, e che quindi soddisfano il Teorema. La loro 23

somma, infatti, è N.; il reticolo seguente, con i tagli effettuati, rende chiara la procedura: 4 caselle con il numero 20 vengono tagliati e ne rimangono altre 4, di cui 2 sono speculari alle altre 2, e quindi solo due (3+17), e (7+13) soddisfano il Teorema per N=20.

Reticolo di soli p+q (Tutte le somme possibili tra i numeri primi)

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Tutti i numeri pari N sono presenti GN volte in ogni semireticolo, esteso all’infinito; il reticolo è diviso dalla diagonale, che comprende le coppie p+q=N con p=q=

.

...”

Per il resto si rinvia all’originale.

2- sul sito https://www.scribd.com/.../Pier-FrancescoRoggero-Francesco-Di-Noto-Michele-Nard... 25

DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI POLIGNAC Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto Abstract: In this paper we examine in detail an our proposal of proof on Polignac Conjecture which proves implicitly also the twin primes conjecture 3 Congettura debole e forte di Goldbach happyslide.net/doc/133388/congettura-debole-e-fortedi-goldbach : Congettura debole di Goldbach già dimostrata. Ne consegue la congettura forte (accenni alla fattorizzazione alla Fermat e alla RH1) Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui num eri primi, sulle loro congetture e sulle loro connession i con le teorie di stringa. Abstract In this paper we show the connections between, strong Goldbach’s conjecture and weak Goldbach’s conjectu re, recently proved. Riassunto 26

Dalla recente dimostrazione della congettura debole di Goldbach (N’ dispari maggiore di 5, ossia N > 7, ne c onsegue automaticamente la dimostrazione della cong ettura forte (N pari > 4 come somma di due numeri pri mi)

4 TAVOLA ADDIZ P + p - studylibit.com studylibit.com/doc/3602431/tavola-addiz-p---p TAVOLA DI ADDIZIONE DEI NUMERI PARI E DEI NUMERI PRIMI PER CONGETTURA DEBOLE DI GOLDBACH (NUMERI DISPARI COME SOMMA DI TRE PRIMI) (Additive table about weak Goldbach conjecture) Francesco Di Noto, Michele Nardelli ABSTRACT In this paper we show an additive table of even numbers and primes, about weak Goldbach conjecture RIASSSUNTO In questo breve lavoro mostriamo una tavola di addizione dei numeri pari P e dei numeri primi p, ottenendo tutti i numeri dispari come somma di tre primi ( due nei numeri pari P come somma di due primi, almeno una volta) e l’altro è il primo che viene aggiunto. 27

Su altre congetture della teoria elementare dei numeri: Congettura di numeri primi gemelli, e di Polignac insieme Pier Francesco Roggero, Francesco Di Noto, Michele Nardelli - Scribd https://www.scribd.com/.../Pier-Francesco-RoggeroFrancesco-Di-Noto-Michele-Nard... DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI POLIGNAC Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto Abstract: In this paper we examine in detail an our proposal of proof on Polignac Conjecture which proves implicitly also the twin primes conjecture Alcuni tipi di numeri primi - Nardelli - studylibit.com studylibit.com/doc/1625610/alcuni-tipi-di-numeriprimi---nardelli Alcuni tipi di numeri primi o connessi ai numeri pr 28

imi: permutabili, gemelli, cugini, sexy, numeri perfetti, esagonali centrati, persiani, amichevoli, cubani Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui nu meri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa Introduzione In questo lavoro parleremo brevemente di alcuni ti pi di numeri primi: permutabili, gemelli, cugini, sexy, e di numeri in qualche modo connessi ai numeri primi (esagonali centrati, numeri perfetti), con una loro breve definizione (dall’omonima voce di Wikipedia), la lo ro forma numerica 6k+1, e qualche breve nota sulla connessione con altri tipi di numeri primi e sulla loro distribuzione media. quadruple di numeri primi - studylibit.com studylibit.com/doc/4700725/quadruple-di-numeriprimi QUADRUPLE DI NUMERI PRIMI TRAMITE LE FORME 6K + 1 E LORO INFINITA’ Francesco Di Noto, Michele Nardelli Abstract 29

In this paper we show the Eulero’s formula x+ x^2 + 41 and quadruples of prime numbers by means forms 6k + 1, and their infinity Riassunto In questo lavoro proponiamo una breve dimostrazione della formula generatrice di numeri primi non consecutivi, tramite le forme 6k+1, ed in modo particolare la forma 6k -1 quale forma del numero primo di partenza (17 = 6*3 -1 = 18 – 1) , e infine una distribuzione media delle di quadruple di numeri primi ed una proposta di dimostrazione sulla loro infinità, estensibile anche alla quintuple e alle sestuple, proporzionalmente più rare delle quadruple. infinite estensioni - studylibit.com studylibit.com/doc/1103123/infinite-estensioni INFINITE ESTENSIONI DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN (connessioni con test di primalità e fattorizzazion e veloce) Gruppo “B. Riemann” Michele Nardelli, Francesco Di Noto *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui nu meri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Abstract 30

In this paper we show infinite generalization (or extension) of Sophie Germain’s primes Riassunto In questo lavoro, seguito del Rif.1, mostreremo le possibili ed infinite estensioni kp + 1, kp + 2 con k dispari o pari ( o generalizzazioni) dei numeri primi di Sophie Germain, partendo dai numeri gemelli, per k = 1 Numeri di Lucas primi http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li .... INFINITA’ DEI NUMERI DI LUCAS PRIMI Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we will proof the infinity of primes Lucas ‘ numbers Riassunto In questo lavoro dimostriamo l’infinità dei numeri di Lucas primi , problema ancora aperto (Rif.1) .

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Numeri di Fibonacci e finanza http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li .... ECONOFISICA (FIBONACCI TRADING) Con costante teorica di salto = sezione semiaurea 1,2720 presente anche, con piccole variazioni, nei numeri quantici e in altri fenomeni fisici Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract It is possible to improve the Fibonacci algorithm for trading (HFT), by means half – golden section and Fibonacci numbers ( their consecutive arithmetic mean) . New possible algorithm based on energetic levels ( quantum numbers, Ref, 7) and constant 1,2720 = √1,618 and minimum number = 13. Riassunto Sarebbe possibile migliorare l’algoritmo di Fibonacci (HFT) per il mercato azionario, tramite la sezione semiaurea di Fibonacci 8rif.1), che tiene conto anche delle medie aritmetiche, intere e semi intere, tra due numeri di Fibonacci consecutivi Rif. 2. Essa emerge in diversi argomenti matematici (per es. 32

l’andamento dei grossi numeri di Mersenne, Rif.3) o anche fisici ( quantistici, per esempio livelli energetici degli atomi ecc. (Rif. 7), in tal caso si parla di econofisica) e chimici ( nei pesi atomici dei superatomi sperimentali della nuova chimica ( Rif. 5). Emerge chiaramente anche nella legge statistica di Benford, con la quale è possibile scovare frodi in campo fiscale, altro argomento finanziario simile al mercato finanziario, e ci potrebbe anche essere qualche connessione tra i due campi e la legge di Benford (vedi Riferimento 6 e relativa tabella ufficiale ( Dalla rivista Mate n. 5- 2016 pag. 51 e nostra interpretazione aritmetica tramite la sezione semiaurea con il proprio numero fisso 1,2720 = √1,618032; la stessa costante per i livelli energetici degli atomi, o numeri quantici, Rif. 7) Questa nostra modifica potrebbe essere utile per eventuali connessioni con le medie aritmetiche connesse al trading. Numeri perfetti, numeri di Fibonacci, numeri di Mersenne - study on the perfect numbers and mersenne's prime with new ... https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/ nardelli2013a.pdf 33

Dal quale riportiamo: STUDY ON THE PERFECT NUMBERS AND MERSENNE'S PRIME WITH NEW DEVELOPMENTS. POSSIBLE MATHEMATICAL CONNECTIONS WITH SOME SECTORS OF STRING THEORY Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli1,2, Francesco Di Noto 1 Dipartimento di Scienze della Terra Università degli Studi di Napoli Federico II, Largo S. Marcellino, 10 80138 Napoli, Italy 2 Dipartimento di Matematica ed Applicazioni “R. Caccioppoli” Università degli Studi di Napoli “Federico II” – Polo delle Scienze e delle Tecnologie Monte S. Angelo, Via Cintia (Fuorigrotta), 80126 Napoli, Italy Abstract In this paper we show that Perfect Numbers are only “even” plus many other interesting relations about Mersenne’s prime. Furthermore, we describe also various equations, lemmas and theorems concerning 34

the expression of a number as a sum of primes and the primitive divisors of Mersenne numbers. In conclusion, we show some possible mathematical connections between some equations regarding the arguments above mentioned and some sectors of string theory (p-adic and adelic strings and Ramanujan modular equation linked to the modes corresponding to the physical vibrations of the bosonic strings). E anche qualche brano interessante sui numeri perfetti pari e dispari (impossibili) “...If we now repeat the algorithm with any integer positive number n and we see to divide it for all the divisors of the powers of another prime number (5, 7, ...) summing all its proper divisors, i.e. except for the same “n” we ALWAYS have: It is IMPOSSIBLE that the numerator of the 2nd member goes to 1. More precisely it is not possible to have an integer number but only a fractional number, because at numerator we have a number divisible by the prime number p that we have chosen, while at 35

denominator we have a prime number different from p ( ≠ p). If we choose any integer positive number n and we see to divide it for all the divisors of the powers of another composite number (6, 9, ...) summing all its proper divisors, i.e. except for the same “n” we have ALWAYS and a FORTIORI (because between the factors we have also the factors of the composite number) that: It is IMPOSSIBLE that the numerator of the 2nd member goes to 1. More precisely it is not possible to have an integer number but only a fractional number, because at numerator we have a number divisible by the composite number k that we have chosen, while at denominator we have a prime number. This shows that the only perfect numbers are of the form: 2p−1 ( 2p - 1) = n with p prime and that can be only EVEN. These are therefore perfect numbers that can only be EVEN, the odds cannot be there for what that we have seen before and then it comes to seeking out the Mersenne primes to find a perfect number …..

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Another our discovery is the form 6k-2 of all the perfect numbers with the exception of perfect initial number 6, because of the form 6k, for k = 1, since 6 * 1 = 6. In fact: 6 * 5-2 = 28 6 * 83 -2 = 496 .... .... And so on. Our proof is the following: Since the product being (2 ^ n * 2 ^ (n +1) of an odd power of 2 for an even power of 2, and being the even powers of the form 6k-2 (for example, 4 = 2 ^ 2 = 6 - 2, 16 = 2 ^ 4 = 18-2 etc.) and the odd powers of form 6k +2, for example 8 = 2 ^ 3 = 6 + 2, 32 = 2 ^ 5 = 30 + 2, we have that (6k +2)*(6k'-2) = 36k * k ' - 26k +26k' - 2 = 6k'' - 2, being the sum of the three terms preceding a multiple k'' of 6. For example, for 28 = 4 * 7 = (6 -2) * (6 +2 -1) = 48-6 -12-2 = 28 atuttoportale: Collaboratori - Museo Scuola Morcone www.museoscuolamorcone.com/atuttoportale/collabo ratori.php Infinità dei Numeri Perfetti 37

A cura del Gruppo Eratostene http://www.gruppoeratostene.com/) Con la collaborazione di Eugenio Amitrano ( http://www.atuttoportale.it/) Contenuti dell’articolo: Titolo Pag.  Enunciato . . . . . . . . . 2  Dimostrazione . . . . . . . . 2  Conclusioni . . . . . . . . . 3 ...”

funzione φ di Eulero; IPOTESI SULLA VERITA DELLE CONGETTURE SUI NUMERI ... docplayer.it/59573410-Ipotesi-sulla-verita-dellecongetture-sui-numeri-primi-con-gra... IPOTESI SULLA VERITA DELLE CONGETTURE SUI NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO ESEMPI NULLI (Legendre, Goldbach, Riemann ) Michele Nardelli,Francesco Di Noto, Abstract In this paper we show as some conjectures about prime numbers, with comet graphs and counterexample = 0, are all true. (Legendre s 38

conjecture, Goldbach s conjecture, Riemann equivalent Hypothesis RH1 ) Riassunto In questo lavoro mostreremo come le congetture sui numeri primi che hanno grafici numerici di tipo comet e con contro - esempi uguali o minori di zero, sono in genere vere. Posseggono tali interessanti requisiti la congettura di Legendre (Rif.1), la congettura di Goldbach (Rif.2) e una delle ipotesi RH equivalenti ( e precisamente la RH1) (Rif.3) Vediamole ora singolarmente: Congettura di Legendre (Rif 1) .... Numeri di Fibonacci e stringhe:

eprints.bice.rm.cnr.it/640/1/Nardinot02.pdf FIBONACCI, DIMENSIONI, STRINGHE: NUOVE INTERESSANTI CONNESSIONI Francesco Di Noto e Michele Nardelli1,2 1Dipartimento di Scienze della Terra Università degli Studi di Napoli Federico II, Largo S. Marcellino, 10 80138 Napoli, Italy 2 Dipartimento di Matematica ed Applicazioni “R. Caccioppoli” 39

Università degli Studi di Napoli “Federico II” – Polo delle Scienze e delle Tecnologie Monte S. Angelo, Via Cintia (Fuorigrotta), 80126 Napoli, Italy Riassunto In questo lavoro si mostrano semplici ma interessanti connessioni tra i numeri F di Fibonacci F = 1,2,3,5,8,13 e i numeri D corrispondenti alle dimensioni spazio -temporali coinvolte nelle teorie di stringa, con D = 2F, formula che potrebbe essere la condizione limitante (o una delle condizioni limitanti) circa i modi di vibrazioni delle stringhe, le quali possono vibrare solo con certi numeri D, come 10 e 26 per le stringhe eterotiche, e non con altri. Inoltre potrebbe esistere una connessione tra le simmetrie dei gruppi algebrici di Lie, importanti nel Modello Standard, e i numeri D = 2F. Se così fosse veramente, l’intero nostro universo visibile poggerebbe, dal punto di vista matematico, quasi interamente sui numeri di Fibonacci, oltre che sui numeri primi, i numeri primi naturali, ed anche sui numeri di partizioni p(n), coinvolti nelle teorie sulla gravitazione ma anche nelle teorie di stringa, e i numeri p-adici, coinvolti nelle teorie di stringa. Ci sarebbe quindi un solido ponte tra la fisica teorica e alcuni settori della teoria dei numeri (numeri di 40

Fibonacci con la formula D =2F, numeri primi sottoforma di numeri primi naturali, di forma 6F + 1, numeri p –adici, e infine i numeri di partizione; tutti numeri con curve logaritmiche, molto diffuse in parecchi fenomeni naturali. Test di Primalità https://www.scribd.com/.../Pier-Francesco-RoggeroMichele-Na... THERE IS NO SECURE TEST FOR PRIMALITY Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto Abstract In this paper we examine in detail a completely new test for the primality of prime number and how all these tests behave in the mystery of prime numbers. Congettura di Chen happyslide.net/doc/481329/sui-numeri-primi-di-chen

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SUI NUMERI PRIMI DI CHEN E LE LORO PROPO RZIONI IN π(N) Gruppo “B. RIEMANN”* *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui num eri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa Abstract In this paper we show Chen’s prime numbers, forms 6k +1 and π(N). Riassunto In questo lavoro vedremo come, tra tutti i numeri prim i fino a N, quanti sono in percentuali approssimative i numeri primi di Chen; e poi, tra questi, quanti sono quelli di forma 6k -1 e quelli di forma 6k+1. Si trova che circa dueterzi (circa il 70%) sono numeri primi di Chen e un terzo invece no; e che tra questi due terzi di numeri primi di Chen, di nuovo due terzi sono di for ma C - = 6k-1 e un terzo di forma C + = 6k +1, e con r apporto C- /C+ ≈ 2 . Queste proporzioni si ritrovano poi nei numeri primi supersingolari, fattori degli ordini dei gruppi sporadici di Lie (in modo particolare il “mostro”, con 15 numer i primi come fattori, e tutti numeri primi di Chen). 42

Forme 6k + 1 dei numeri primi MATEMATICA CON I NUMERI PRIMI E LE FORME 6k+1 e studylibit.com/doc/1057859/matematica-con-inumeri-primi-e-le-forme-6k-1-e Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1 Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero Abstract In this paper we show arithmetic with general forms 6n + 1 of prime numbers Riassunto In questo lavoro tratteremo l’aritmetica e più in generale la matematica, con le forme generali 6n +1 dei numeri primi, tranne il 2 e il 3 iniziali, anche in merito alle congetture interessate: Goldbach, numeri primi gemelli, Polignac, ecc. e indicando nei riferimenti i nostri lavori precedenti in merito. Allegheremo una nostra nota storica su Pietro Bongo, il matematico del ‘500 che per primo ha scoperto le forme numeriche 6n + 1 Su tali forme sono stati elaborati di recente anche test di primalità e metodi di fattorizzazione, reperibili sul Web. 43

I numeri di Catalan http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/sites/default/files /sp_wizard/docs/I%20numeri%20di%20Catalan.pdf - LA SUCCESSIONE DI CATALAN(Osservazioni matematiche e sezione semi aurea ) Francesco Di Noto, Michele Naedelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we will talk about Catalan succession and new ours math observations, also about our half golden sequence, for some math previsions Riassunto In questo lavoro parleremo della successione di Catalan e di possibili connessioni aritmetiche con 44

la sequenza e aurea e semiaurea di Fibonacci, e della distribuzione logaritmica dei numeri di Catalan che costituiscono l’omonima successione

Congettura di Collatz, Fermat, Mersenne, Sophie- Germain, Chen. eprints.bice.rm.cnr.it/505 Di Noto, Francesco and Tulumello, Annarita and Di Maria, Giovanni and Nardelli, Michele (2008) Note sulle connessioni tra i numeri primi di Fermat, i numeri primi di Mersenne ed i numeri di Collatz. NOTESULLECONNESSIONITRAI NUMERIPRIMIDIFERMAT,I NUMERIPRIMIDIMERSENNEEI NUMERIDICOLLATZ 45

Dedicato ai geni matematici francesi SophieGermain, Fermat, Mersenne e Collatz, i cui numeri sono qui interconnessi . F. Di Noto, A. Tulumello, G. Di Maria, M. Nardelli1,2 … Abstract In questo lavoro metteremo in evidenza le connessioni aritmetiche tra i numeri M di Mersenne e i numeri F di Fermat, primi e non primi, soprattutto per quanto riguarda le potenze pari e dispari di 2 coinvolte, i coefficienti k della forma generale M = 6k +1 (in questo caso i coefficienti k sono anche i numeri di c di Collatz utili a dimostrare la relativa congettura) ed F = 6k -1. Altre connessioni esistono tra i numeri primi gemelli, i numeri di Sophie Germain, i numeri di Mersenne, i numeri perfetti e l’ultimo teorema di Fermat, ecc. (vedi schema finale delle varie connessioni tra i vari tipi di numeri). Infine evidenzieremo alcune interessanti connessioni tra tali settori della Teoria dei Numeri ed alcuni settori della Teoria delle Stringhe.

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Numeri di Mersenne, Numeri perfetti, numeri di Fibonacci docplayer.it/53659034-Le-nostre-previsionimatematica-su-grandi-numeri-francesco-... LE NOSTRE PREVISIONI MATEMATICA SU GRANDI NUMERI Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some our previsions about gr eat numbers, as 49° and other Mersenne’s prime number, seventh Taxicab number. In the last paragraph we focus attention on the how we can get the maximum number Profezie matematiche. Da Nardelli blog spot

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http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/narde lli/Profezie%20Matematiche.pdf .... “PROFEZIE” MATEMATICHE” Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show our predictions about the possible grandness of some titanic numbers: 65thprime numbers of Mersenne, with 1 000 000 000 digits, next T(17) number of knots, and next T(7) TAXICAB number, and next two magic squares: sixth and seventh. But also the possible true of Riemann Hypothesis Riassunto In questo lavoro ci occuperemo del futuro matematico, con previsioni, anche approssimative, su possibili futuri (anche lontano ) da qui il termine di “profezie”; potrebbero passare ancora decenni o anche qualche secolo per poterle verificare …) per esempio scoperte di grandi numeri in base all’andamento statistico dei precedenti. In Rif. 1 abbiamo azzardato alcune previsioni sui prossimi numeri primi di Mersenne , sui TAXICAB (somme di n cubi) , sui nodi e sui quadrati magici Numeri primi di Mersenne 48

http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/breve%20nota%20su%2050%C2%B0%20numero% 20primo%20di%20Mersenne.pdf Breve nota sul 50° numero primo di Mersenne appena scoperto: ne avevamo previsto, in “Profezie matematiche” la grandezza come circa 28 milioni di cifre basandoci sul numero di Fibonacci 27,5, invece ne ha 23.249.425, ma basato anche questo sul numero 21. Sarà quindi il 51° ad averne circa 28 milioni di cifre , e forse anche un pò di più , vedi sotto. Nostra previsione quindi non sbagliata, ma solo un po’ più complicata del previsto e in compenso un po’ più chiara. Ora però, tramite alcune osservazioni più precise, abbiamo capito un po’ meglio l’andamento generale dei grandi numeri di Mersenne, con una possibile (ma non sempre) ripetizione dello stesso numero di Fibonacci o di una media tra due numeri consecutivi di Fibonacci: la prossima volta sarà sicuramente 27,5 media tra 21 e 34. Prevediamo una grandezza di circa 29 150 000 cifre , e con esponente n prevedibile attorno a 97 069 500, tale che 2^97 069 500 -1 sia molto vicino al numero reale , con una differenza minore al 6% (succede nel circa il 49

50% dei casi e non in tutti i casi, come pensavamo prima; l’ altro 50% può avere in qualche caso una percentuale massima d’errore del 13%, ma anche attorno all’1% o al 2% in altri casi. Il numero di Mersenne con almeno 100 000 000 di cifre (con premio di 150 000 dollari allo scopritore) viene così rinviato al 60° numero ( e non più al 57° come avevamo previsto per difetto. Mentre quello con un miliardo di cifre (con premio da 200 000 dollari ma già annullato) viene rinviato all’72°, uno più uno meno, invece del 65° prima previsto per difetto. Alla prossima volta per il 51° numero primo di Mersenne. Pubblicheremo in seguito le nostre osservazioni con apposito articolo. Caltanissetta 12.01.2018 Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero. http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/sul%2050%C2%B0%20numero%20primo%20di%2 0Mersenne.pdf - Osservazioni sul recente 50° numero primo di Mersenne recentemente scoperto Francesco Di Noto, Michele Nardelli, 50

Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some new interesting connections between Fibonacci numbers and Mersenne prime numbers about their previsions Riassunto In questo breve lavoro riportiamo alcune osservazioni sui grandi numeri primi di Mersenne, ed in particolare sul 50° appena scoperto, che regolano il loro andamento generale in base ai numeri di Fibonacci e loro medie consecutive, confermando la nostra relazione iniziale tra i due tipi di numeri (di Fibonacci e di Mersenne) Numeri iperperfetti e superperfetti http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/numeri%20iperperfetti%20e%20superperfetti.pdf NUMERI IPERPERFETTI E SUPERPERFETTI Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some our observations about iper perfect numbers. In final Note also the super perfect numbers Riassunto In questo lavoro mostriamo alcune osservazioni 51

aritmetiche e stime aritmetiche sulla distribuzione dei sui numeri iperperfetti fino a 10^n (Rif. 1) Nella nota finale accenneremo ai numeri superperfetti con in comune la forma 6k - 2 e il fatto che sono pari con in numeri perfetti normali. Numeri di Pell http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/infinit%C3%A0%20numeri%20di%20Pell.pdf INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI Pn DI PELL Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero Abstract In this paper we prove the infinity of primes’ Pell Pn Riassunto In questo lavoro cercheremo di dimostrare l’infinità dei numeri primi Pn di Pell basandoci sul lavoro di Mauro Fiorentini : Pell (numeri di) (Rif. 1) Dal quale riportiamo il brano interessato: La funzione generatrice dei numeri di Pell è . Se n è composto, Pn è composto, mentre se n è primo, Pn è talvolta primo, ma non si sa se i primi del genere siano infiniti. I minimi casi si hanno per n uguale a: 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 52

97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197 e nessun altro valore minore di 188856; i primi per n > 14000 sono solo probabilmente primi (E. W. Weisstein, 2009). L’evidenza in rosso è nostra. Per la loro utilità matematica rimandiamo al Rif. 4. numeri p-adici; studylibit.com/doc/4855621/di-noto---sito-nardelli-1 I NUMERI PRIMI IN NATURA : FISICA QUANTISTICA FISICA NUCLEARE, BIOCHIMICA , GENOMICA, PSICOLOGIA (TRAMITE LA FUNZIONE ZETA ,NUMERI P –ADICI E I NUMERI PRIMI NA TURALI) Abstract In this paper we concentrate the indicate ons about relations between prime numbers and some natural phenomena,with special attention at their connections: a) zeta function in quantum physics b) natural prime numbers ( with forma 6f+1, where f is Fibonacci’s numbers) in quantum physics, nuclear stability , and so on; 53

c) p-adic numbers (quantum physics, genetics and DNA, and so on) d) prime numbers (biochemistry) We invite visitors to signal us possible other phenomena connected prime numbers, p-adic numbers, natural prime numbers, prime numbers. Premessa Oltre che in vari fenomeni naturali micro - e macrocosmici, come abbiamo visto nel nostro recente lavoro “Notesulle connessioni tra i numeri primi, i numeri primi naturali, i numeri di Fibonacci e alcuni fenomeni naturali” e già pubblicato su questo sito, i numeri primi emergono talvolta anche sotto altre forme, per esempio i numeri p-adici (inversi delle potenze dei numeri primi) anche in genetica (DNA) come vedremo in seguito, e anche come numeri primi in se stessi, anche in biochimica. Prima però accenneremo all’importanza dei numeri p-adici in fisica quantistica (livelli energetici degli atomi, ecc.), dalla quale poi potrebbero in qualche modo riemergere a livello immediatamente superiore nella genetica (in particolare in fenomeni riguardanti il DNA) e, in modo più diretto, anche i n biochimica, e cioè, in entrambi i casi, a livello biologico-molecolare e non più quantistico. Citiamo qualche brano dal libro di Derbyshire “L’ossessione dei numeri primi” (Bollati Boringhieri Editore)e dedicato essenzialmente 54

all’ipotesi di Riemann e alla sua funzione zeta, sospettata di coinvolgimento nella fisica quantistica a causa della stretta similitudine tra gli intervalli degli interi di zeta e gli intervalli tra i livelli energetici degli atomi, per poi passare al lavoro di Branco Dragovich e Alexandra Dragovich “p-Adic Modelling of the Genome and the genetic code” reperibile sul sito: arXiv.0707.3043v1[q- bioOT] 20 Jul 2007 e sul sito : http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatki n/zeta/sezione number theory and physics archive, new , recent archived material, e nel quale si sostiene che la degenerazione del codice genetico è un fenomeno p-adico; e al secondo lavoro “Biochemical identification of prime numbers” di J. Toha, M.A. Soto sullo stesso sito di cui sopra, e secondo i quali una tecnica biochimica può identificare i numeri primi.

ultimo teorema di Fermat https://www.scribd.com/.../Pier-Francesco-RoggeroMichele-Nar... - A POSSIBLE PROOF OF FERMAT’S LAST THEOREM THROUGH THE ABC RADICAL 55

Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto Abstract In this paper we show a possible proof of Fermat’s Last Theorem through the “abc”radical. Furthermore, in the various Sections, we have described also somemathematical connections with π ,Φ , thence with some sectors of string theory.

L’Ultimo teorema di Fermat www.museoscuolamorcone.com/atuttoportale/articoli/ matematica/FermatTerne.pdf :

L’Ultimo teorema di Fermat e le terne Pitagoriche Aspetto aritmetico e geometrico A cura di Francesco Di Noto Eugenio Amitrano ( http://www.atuttoportale.it/) Contenuti dell’articolo: Titolo Pag. Abstract . . . . . . . . . 2 Introduzione . . . . . . . . 2 56

Terne pitagoriche . . . . . . . . 2 L’ultimo teorema di Fermat . . . . . . 3 Terne pitagoriche con potenza n-sima. . . . . 3 Aspetto geometrico . . . . . . . 4 Conclusioni . . . . . . . . 5 Riferimenti . . . . . . . . 5   Abstract In this paper, we show an arithmetic and geometry property of Fermat's last theorem by powers greater than two applied to Pythagorean triples.  Introduzione In questo lavoro didattico è illustrato un aspetto aritmetico e geometrico dell’ultimo teorema di Fermat attraverso potenze maggiori di due applicate alle terne pitagoriche.

teorema dei numeri primi, http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/TNP%20con%20medie%20log..pdf 57

-NUOVO TNP (Teorema dei Numeri Primi)Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show an our new version of NPT based on means of two different logarithmic values estimate of π(N). That is, π(N) ≈ ( N/ln(N) +2 log(N )) /2 Riassunto In questo lavoro mostriamo una nostra nuova e migliore versione del Teorema dei Numeri Primi (TNP) basata sulla media delle due stime logaritmiche (con 2log(N) e con ln(N), anziché solo che con ln(N), cioè la nota versione di Gauss: π(N) ≈ N/ln(N) CRITERI DI DIVISIBILITA` E DI - Nardelli studylibit.com studylibit.com/doc/914016/criteri-di-divisibilita--e-di--nardelli CRITERI DI DIVISIBILITA’ E METODI DI FATTORIZZAZIONE Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto Abstract 58

In this paper we show some divisibility and factoring criterion Riassunto In questo lavoro mostriamo i criteri di divisibilità noti (Wikipedia, Ing. Luigi Piazza) con alcune nostre eventuali osservazioni (con le forme 6n+1 (per es. 36k^2+mn+1 ); e anche qualche metodo per la fattorizzazione

Altri problemi studylibit.com/doc/7061642/teorema-di-dirichlet Teorema di Dirichlet: una nostra nuova possibile dimostrazione con le forme 6k + 1 dei numeri primi Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show a n our possible proof of Dirichlet ‘s Theorem with arithmetical forms 6k + l of prime numbers Riassunto In questo lavoro tentiamo una nostra dimostrazione del Teorema di Dirichlet con le forme aritmetiche 59

6k +1 dei numeri primi, con qualche nuova osservazione e riferimenti finali a nostri lavori precedenti sull’argomento (formule per trovare numeri primi) Il Teorema di Dirichlet riguarda, com’è noto, ser ie infinite di numeri primi di forma aritmetica particolare. Dopo la sua parziale definizione da parte di Wikipedia, tentiamo una nostra dimostra zione tramite le due forme numeriche dei numeri primi, 6k +1 (tranne il 2 e il 3 iniziali, che fanno eccezione essendo di forma dive rsa, rispettivamente 6k + 2 e 6k + 3 per k = 0). Crittografia RSA studylibit.com/doc/4884859/crittografia-rsainviolabile CRITTOGRAFIA R.S.A. INVIOLABILE Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show the inviolability of RSA criptography Riassunto In questo breve lavoro la possibile inviolabilità d 60

ella crittografia RSA, anche in base alle recenti precauzioni (sostituzione delle chiavi pubbliche con numeri N di tipo RSA – 2048, di circa 600 cifre o poco più). Ancora peggio violarla con i futuri computer quantistici , già in fase di sperimentazioni “ Commento Crittografia inviolabile con i primi computer quantistica, ma con i prossimi, un miliardo di volte più veloci e potenti, forse si:

http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/PC%20QUANTISTICI%20STATO%20DELLART E-.pdf COMPUTER QUANTISTICI : LO STATO DELL’ARTE ( 2017) (complessità computazionale, crittografia RSA) Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract 61

Short paper on future quantum computer and possible danger for RSA criptography Riassunto Lavoro riepilogativo / divulgativo e di ricerca computazionale sui più moderni e futuri computer quantistici , con qualche ancora lontano pericolo per la crittografia RSA Sull’ipotesi di Riemann Dal sito https://es.scribd.com/.../Francesco-Di-Noto-MicheleNardelli-Pierfrancesco-Roggero-Co... - Congettura generale sulle possibili infinite funzioni zeta , compresa quella di Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show our possible generalizations of zeta functions to other numeric series, but with critical line = ½ in all the possible cases. Riassunto 62

In questo lavoro proponiamo una nostra congettura, che chiameremo provvisoriamente “zeta generalizzata”, fino alla sua completa dimostrazione e trasformazione nell’omonimo teorema. La generalizzazione consiste nella sostituzione dei numeri primi della zeta di Riemann, con altre serie numeriche simili. Esporremo i motivi per cui in tutte le generalizzazioni la retta critica è sempre ½, poiché, ipotizziamo, sarebbe la struttura della formula della funzione zeta a dare sempre gli zeri sulla retta critica, indipendentemente dalla serie numerica a denominatore. Per esempio, sostituendo le potenze complesse dei numeri primi 1/ p^s con i le potenze complesse 1/3n^s, avremmo sempre gli zeri coniugati sulla retta critica ½. Introduzione Nel nostro precedente lavoro (Rif. 1, I tre problemi del Millennio con in comune i numeri primi), abbiamo accennato a questa nostra congettura nella prima parte, dedicata all’ipotesi di Riemann. Qui vogliamo approfondirla ancora meglio, gettando possibilmente le basi per una sua successiva dimostrazione, ottenendone un teorema parzialmente o totalmente utile ad una successiva o immediata dimostrazione della RH come caso particolarissimo ( basato sui numeri primi) 63

Possibilmente, con l’aiuto di matematici in grado di calcolare gli zeri di ogni variante, da tali zeri che prevediamo sulla retta critica, potremmo trarne delle conclusioni utili circa la RH , con la funzione zeta più famosa della matematica.” http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/Funzioni%20zeta%20storia%20fino%20a%20riema nn.pdf : - LA FUNZIONE ZETA DALLA SERIE ARMONICA ALLE NOSTRE FUNZIONI ZETA GENERALIZZATE (Passato, presente e futuro dell’ipotesi di Riemann) Francesco di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we will show a short history of zeta function, , from Euler to Riemann, with our possible contributes (generalized zeta functions) Riassunto In questo lavoro riepilogativo e divulgativo proponiamo una breve storia della funzione zeta e dell’ipotesi di Riemann , dalla serie armonica al prodotto di Eulero e al prodotto di Riemann (che lo estende ai numeri complessi) e a noi ( che lo 64

estendiamo anche a serie numeriche diverse da quella dei numeri primi, ma possibilmente con gli stessi risultati (zeri sulla retta critica ½ ma con spaziature diverse, e in tal caso dimostrando l’ipotesi) http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/Conseguenze%20di%20Goldbach.pdf EX CONGETTURA DI GOLDBACH: POSSIBILI CONSEGUENZE SU TRE PROBLEMI DEL MILLENNIO Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some connections and consequences between ex – Goldbach’s Conjecture and three millennium problems: Riemann hypotesis, P = NP? (speed factoring problem), Birch and Swinnerton –Dyer conjecture. Riassunto In questo lavoro mostriamo tre positive conseguenze dell’ex congettura di Goldbach e i tre problemi del millennio basati sui numeri primi : Ipotesi di Riemann, P = NP? (limitatamente al sottoproblema della fattorizzazione veloce, Ipotesi di Birch e 65

Swinnerton – Dyer, e possibilmente utili in futuro alla loro dimostrazione) http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/CONNESSIONI%20CON%20FUNZIONE%20ZE TA.pdf Connessione tra numeri fortunati e funzioni zeta generalizzate, ed altro ( Retta reale ½, spaziatura diversa tra i nuovi zeri) Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we compare prime numbers ( with arithmetic forms 6k +1 and 6k -1) show some connections between lucked numbers (with arithmetic forms 6k +1 e 6k +3. With some exceptions, as 39 and 85 and other ) and generalized zeta functions. Possible calculation of lucked zeros by means lucked numbers. Possible infinity of lucked prime numbers (open problem) See final Note). Final proposal of two probabilistic tests to see if a odd number N can be a lucked numbers and a deterministic test for not lucked numbers (with arithmetic form N = 6k -1) Riassunto In questo lavoro comparativo tra numeri primi 66

(con forme aritmetiche 6k -1 e 6 k +1) e numeri fortunati (con forme aritmetiche 6k +1 e 6k +3), consigliamo agli esperti di calcolare gli zeri “fortunati” tramite la serie dei numeri fortunati, ottenendo possibilmente gli stessi risultati della funzione zeta classica ( parte reale ½ ma spaziatura diversa) , contribuendo così alla dimostrazione dell’ipotesi di Riemann (vedi Rif. finali). Possibile infinità (problema ancora aperto) dei numeri fortunati primi. Vedi Nota finale) Nostra congettura: tutti i problemi (Goldbach, gemelli, funzione zeta ecc.) e i teoremi (TNP sui numeri primi possono essere comuni ai numeri fortunati e risolti con le stesse modalità usate con i numeri primi). Proposta finale di due test probabilistici per determinare se un numero dispari possa essere fortunato con qualche probabilità ( fino a 200 troviamo mediamente il 50%),ed un test deterministico di non fortunalità per i numeri dispari di forma 6k -1. Nota finale e altri contributi circa altri problemi del millennio connessi ai numeri primi

67

Altri problemi del Millennio sono connessi ai numeri primi: la congettura di Birch e Swinnerton Dyer per via dei numeri congruenti , tra i quali i numeri primi di forma d = 8k + 5, e il problema P ≠ NP per via della fattorizzazione in fattori come suo sottoproblema che interessa anche la crittografia RSA. Risolvendo questo problema in modo da eliminare del tutto o quasi il metodo della forza bruta ( dividere N = p*q per tutti i numeri primi fino ad n = √N ), la crittografia RSA viene violata in tempi polinomiale. E il problema della fattorizzazione sarebbe invece si tipo P (polinomiale) , Non è invece ancora sicuro, come molti sperano, che una dimostrazione della RH potrebbe violare la crittografia RSA. Infatti, 68

ammettendo che la RH fosse vera, sono stati creati nuovi algoritmi di fattorizzazione, che però non hanno consentito tale violazione. Questo potrebbe essere possibile, caso mai, con una RH basata sui semiprimi N = p*q anziché sui numeri primi, e tali semiprimi possono essere trovati con la ex congettura di Goldbach, trasformando le somme di Goldbach p + q = S in prodotti di Goldbach p*q = N, e poi applicando la congettura della mantissa, che in gran parte dei casi per m > 0,50, indica grosso modo una molto probabile percentuale di p rispetto ad n = √N. risparmiando almeno il 67% del calcolo a forza bruta, e i semiprimi usati nella crittografia RSA hanno quasi 69

tutti m > 0,50, con qualche raro contro esempio, ( il chè significa p maggiore del 50% di n = √N ), vedi Riferimenti per Goldbach . 1- Congettura di Birch e Swinnerton Dyer a) ipotesi di birch - studylibit.com studylibit.com/doc/5188517/ipotesi-di-birch LA CONGETTURA DI BIRCH E SWINNERTON – DYER E I NUMERI CONGRUENTI Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier F rancesco Roggero *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica su i numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Abstract In this paper we show some connections between Birch and Swinnerton–Dyer’s conjecture and the congruent numbers Riassunto In questo lavoro mostreremo alcune connessioni mate 70

matiche tra i numeri congruenti e la congettura di Birch e Swinnerton–Dyer, con osservazioni aritmetiche e/o geometriche sui numeri congruenti, con metodo per ottenere terne pitagoriche (alla loro ba se) usando quadruple di numeri di Fibonacci, con qualche piccola novità (Note). Di recente, è stata annunciata sul web una scoperta sul calcolo dei numeri congruenti, in relazione anche alla congettura di Birch e Swinnerton – Dyer (da qui in poi indicata col solo nome di Birch, per maggiore semplicità) - b) Nnumeri congruenti http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/sites/default/files /sp_wizard/docs/Osservazioni%20distribuzione%20nu meri%20congruenti.pdf OSSERVAZIONI SULLA DISTRIBUZIONE LOGARITMICA DEI NUMERI CONGRUENTI (possibile Teorema dei numeri congruenti simile a quello dei numeri primi.) 71

Francesco D Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero

Abstract In this paper we show some our ideas about congruent numbers , and their logarithm distribution , interesting for Birch and Swinnerton – Dier Conjecture. Possible theorem of congruent numbers as theorem of prime numbers. Riassunto In questo lavoro mostriamo una nostra osservazione, speriamo originale, sulla distribuzione dei numeri congruenti attorno ai quadrati , e sulle connessioni tra numeri congruenti e numeri primi (per esempio 72

quelli di forma p = 8k + 5 sono anche congruenti) ecc. e le possibili conseguenze , possibilmente e sperabilmente positive , per la congettura di Birch e Swinnerton - Dier e la sua futura eventuale dimostrazione definitiva. Un possibile teorema sulla distribuzione logaritmica dei numeri congruenti molto simile a quello dei numeri primi .

C) : http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nard elli/Congettura%20Birch%20difficile.pdf Perché il problema di Birch e Swinnerton – Dyer è difficile Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we will talk about difficult for Birch and Swinnerton – Dyer conjecture (rarity of congruent numbers and elliptic curves) Riassunto 73

In questo lavoro tentiamo di spiegare perché la congettura di Birch e Swinnerton – Dyer è difficile da risolvere , a causa della rarità delle curve ellittiche dovuta alla rarità dei numeri congruenti ( e dei numeri primi congruenti e di forma p = 8k + 5) I numeri congruenti sembrano solo quelli ( con qualche eccezione) che esprimono aree di triangoli rettangoli con rapporti minori di 5 tra il cateto maggiore e il cateto minore, escludendo quindi tutti quelli con rapporto maggiore. Teorema dei numeri primi fortunati Poiché anche i numeri fortunati hanno una distribuzione dei numeri primi , essendo molto simili (sono di forma 6k +1 e 6k +3, mentre i numeri primi, tranne il 2 e il 3 finali, sono di forma 6k -1 e 6k +1), riportiamo un nostro recente lavoro sull’argomento, che riportiamo parzialmente pagine:

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http://xoom.virgilio.it/source_filemanager/na/ar/nardel li/TEOREMA%20DEI%20NUMERI%20PRIMI%20 FORTUNATI.pdf

TEOREMA DEI NUMERI PRIMI FORTUNATI Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto Sommario: In questo documento viene descritta la distribuzione asintotica dei numeri primi fortunati, dando un’approssimazione di come questi siano distribuiti 1. TEOREMA DEI NUMERI PRIMI FORTUNATI Un numero fortunato è un numero naturale in un insieme che è generato da un “crivello”. Il crivello è simile a quello di Eratostene che genera i numeri primi, ma in questo caso vengono eliminati i numeri in base alla loro posizione nell’insieme che rimane, a differenza dei loro valori. ... Sia π(n) la funzione approssimativa che conta il numero di numeri primi fortunati minori o uguali a n: 75

Π(n) ≈ 3n /3ln^2 (n) ... Con questo teorema si afferma che il numero di numeri primi fortunati è infinito.... ‘’ Per il resto (tabelle ,ecc.) si rinvia all’originale)

I tre problemi del millennio sui numeri primi www.salvatorebaldinu.it/.../I%20tre%20problemi%20 del%20millennio%20sui%20nu... :

I tre problemi del millennio sui numeri primi (RH, P =N P e congettura di Birch e Swinnerton Dyer: possibili connessioni e una nostra previsione) Dedicato a Bernhard Riemann Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Annarita Tulumello Sommario 76

Tra i sei problemi del millennio rimasti ancora insoluti dopo la dimostrazione della congettura di Poincarè da parte del matematico russo G. Perelman, ce ne sono tre nei quali sono coinvolti i numeri primi; i quali indirettamente riguarderebbero anche il problema del gap di massa, nel caso questo fosse risolto tramite qualche gruppo di Lie (il cui numero di elementi è un multiplo di un numero primo n ottenuto con la formula n^2 + n + 1 in cui anche n è un numero primo o una sua potenza). In questo lavoro riepilogativo - divulgativo vedremo brevemente in che modo i tre problemi del millennio accennati nel titolo sono basati sui i numeri primi, come poi possano essere connessi tra di loro, e come tale connessione possa facilitare la soluzione di qualcuno di loro, che potrebbe facilitare in seguito la soluzione dei due problemi rimanenti ai matematici impegnati in tale impresa (gli sforzi maggiori sembrano dedicati alla RH, l ipotesi di Riemann) Per esempio, il problema P = NP è connesso alla RH tramite la fattorizzazione, sottoproblema di P, e che con la RH ha in comune i numeri primi (o meglio, la loro distribuzione. Un prodotto infinito simile alla funzione zeta lega invece la RH alla congettura di Birch e Swinnerton Dyer. Infine, sia sul problema della fattorizzazione (in P se la RH è vera) , sia sulla congettura di Birch e Swinnerton - Dyer, sono basati 77

due famosi sistemi crittografici (RSA nel primo caso, ECC nel secondo, tramite le curve ellittiche). Di entrambi ne parla l Ing. Rosario Turco in Le basi della crittografia (Rif. 1) Abstract In this paper on Millennium s Problems as RH, P = NP , Birch and Swinnerton - Dyer s conjecture, connected with prime numbers, we anticipate that it will result: or all them true or all them untrue, because them have some relations with factoring and cryptographics systems (RSA, ECC). More probable is positive solution (all them are true) The other problems ( Theory of Yang Mils, Hodge s conjecture and Navier - Stokes equations), they here are only shortly mentioned). atuttoportale: Collaboratori - Museo Scuola Morcone www.museoscuolamorcone.com/atuttoportale/collabo ratori.php La funzione di Landau come ipotesi RH equivalente II (La nostra proposta di dimostrazione empirica con tabelle e grafico comet; ulteriori connessioni con le partizioni di numeri) Francesco Di Noto e Michele Nardelli Abstract 78

In this paper we will consider Landau Function as an equivalent RH, with its comet graph and some connections with number partition p(n), Ф and π Riassunto In Rif. 1, prima parte di questo lavoro, abbiamo parlato della funzione di Landau come ipotesi RH equivalente e delle sue connessioni con le partizioni di numeri, importanti in fisica: In questa seconda parte approfondiamo la prima parte, dimostrando con tabelle numeriche e grafico di tipo comet, la verità della funzione di Landau come ipotesi RH equivalente (che chiameremo RH L), e quindi, indirettamente, la RH , basata invece sulla più difficile funzione zeta. In più aggiungeremo nuove osservazioni sulle partizioni di numeri alle quali la funzione è connessa tramite il m.c.m. più grande per una partizione di ogni numero naturale n. In Rif. 2 e Rif. 3 si possono trovare dei lavori sulle altre ipotesi RH equivalenti . Infine , in omaggio al matematico Edmund Landau, indichiamo due riferimenti (Rif. 5 e Rif. 6) a nostri lavori precedenti sugli infiniti numeri di Landau, di forma n^2 +1, e alla relativa congettura 2 - Fattorizzazione come problema NP 79

a)

Congettura della mantissa, in

CRITTOGRAFIA : LO STATO ATTUALE DELL`ARTE (2017) (con studylibit.com/doc/7117420/crittografia---lo-statoattuale-dell-arte--2017---con CRITTOGRAFIA : LO STATO ATTUALE DELL’ARTE (2017) (con qualche novità sulle tetrazioni ,sul logaritmo discreto e fattorizzazione ecc.) Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we will show the statement of actual cryptography Riassunto In questo lavoro mostriamo lo stato attuale della crittografia, con qualche nostra novità sul logaritmo discreto (basata sulle tetrazioni) , sulla quasi congettura della mantissa e sui computer modulari ancora in fase di studio teorico”. Dal quale riportiamo la parte finale sulla congettura della mantissa e sul completamento di Euclide: 80

a ) “...Cominciamo dalla nostra quasi congettura della mantissa della radice quadrata dei semiprimi N =p*q (quasi perché esistono dei contro esempi, ma distribuiti in modo asimmetrico: molti (il 50% dei semiprimo fino, per esempio, a 10^3^ 000) per mantisse fino a 0,50, poi sempre meno al crescere della mantissa fino a n = √ N, con n intero e quindi con mantissa corrispondente al 100% di n e quindi n stessa, con p = n = q e quindi q/p =1 Riportiamo, da Rif. 1 (completamento di Euclide) , qualche brano: “...Ufficiosamente, invece, noi abbiamo notato qualcosa, esposta in Rif. 3 (Teorema fondamentale della fattorizzazione) basato sulla nostra osservazione che p, n e q fanno parte di una rogressione geometrica con rapporto variabile r = q/p ; la percentuale %(p) di p rispetto ad n è molto vicina all’inverso della radice quadrata di r , quindi %(p) ≈1/√r; circa la fattorizzazione di numeri RSA, abbiamo trovato che, poiché in tali casi il Rapporto massimo è 2,25, la percentuale di p rispetto ad n %(p) ≈ 66,666%e quindi p sarà compreso tra il 66,666% di n ed n stesso (pari ovviamente al 100% di n stessa; e che, in ogni caso, un ‘indizio è la mantissa di n, con due cifre, considerata come probabile percentuale di p , per una congettura ancora in fase di studio iniziale; che presenta però alcune eccezioni (con qualche esempio), tuttora inspiegabili. In genere, la percentuale reale è infatti superiore a quella vagamente indicata dalla mantissa, (% reale > di % stimata con la mantissa) specialmente quando la mantissa è superiore 0,50, con sempre meno contro esempi al crescere dalla mantissa. Per esempio, se la mantissa di n è 0,60, la percentuale reale è superiore al 60% di n (Vedi Rif.3). Per mantissa inferiore a 81

0,50, i contro esempi di semiprimi irregolari sono in genere uguali ai semiprimi regolari, e la cosa sembra casuale. In tal modo, con il metodo di fattorizzazione con forza bruta (provare con tutti i numeri primi da 3 ad n) , si risparmierebbe il 60% dei tempi di calcolo. Non è molto, ma nemmeno poco, specialmente se la percentuale reale dovesse essere, per esempio, il 70%: in questo caso si può fattorizzare il numero N usando solo il 70 - 60 = 10% di n.”

b)

fattorizzazione veloce come problema np studylibit.com studylibit.com/doc/5800493/fattorizzazione-velocecome-problema-np FATTORIZZAZIONE VELOCE COME PROBLEMA NP (NON POLINOMIALE) Gruppo “B.Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui nu meri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa Abstract In this paper we show some connections between spee dfactorization and NP = P Problem Riassunto In questo lavoro tratteremo la fattorizzazione veloce come problema NP (non polinomiale) 82

c) Teorema fondamentale della fattorizzazione veloce studylibit.com/doc/731120/teorema-fondamentaledella-fattorizzazione-veloce IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA FATTORIZZAZIONE Gruppo “B.Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.

Abstract In this paper we show our Fundamental Theorem about factorization Riassunto In questo lavoro esponiamo il nostro Teorema Fondamentale della fattorizzazione, basato sulle progressioni geometriche, poiché p, n e q fanno parte di una progressione geometrica con numero fisso √r = √q/p, con n =√N e con N = p*q, essendo p e simmetrici rispetto ad n. Ma anche, equivalentemente, come progressione geometrica , p*√r = n n*√r = q e quindi, di conseguenza, p*r = q Ovviamente non conosciamo a priori p e q (è proprio la ricerca di p e q, conoscendo solo N, lo scopo della fattorizzazione). Cercare √r per altre vie è quindi un 83

problema matematico equivalente alla fattorizzazione veloce. Per il momento non si conosce nessuna valida via alternativa, tuttavia…

Riferimenti a contributi su altri Problemi del Millennio 1 – Congettura di Hodge Possibili connessioni tra gli infiniti Tk triangoli di Tartaglia e la ... docplayer.it/44923762-Possibili-connessioni-tra-gliinfiniti-tk-triangoli-di-tartaglia-e-l... Possibili connessioni tra gli infiniti Tk triangoli di Tartaglia e la congettura di Hodge Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Abstract In this paper we show some probable connections between Tk infinite Tartaglia’s triangles and Hodge s conjecture. Riassunto 84

In questo lavoro proviamo ad evidenziare qualche probabile connessione, tra gli infiniti Tk triangoli di Tartaglia e la congettura di Hodge. Com è noto, la congettura di Hodge è uno dei sei Problemi del Millennio rimasti dopo la dimostrazione della congettura di Poincarè da parte del matematico russo Grigory Perelman. La congettura di Hodge è generalmente ritenuta il più difficile di tali problemi del millennio, per via della sua elevata astrazione matematica e delle profonde conoscenze .

Altri lavori sui problemi del millennio Da

Michele Nardelli

michelenardelli.blogspot.com/

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- TIPI DI NUMERI (PRIMI, CONGRUENTI E DI FIBONACCI) PER DUE PROBLEMI DEL MILLENNIO (IPOTESI DI RIEMANN E CONGETTURA DI BIRCH E SWINNERTON – 85

DYER, ED ANCHE PER TRE CRITTOGRAFIE Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some connection between, prime numbers, Fibonacci numbers and congruent numbers, Riemann Hypothesis and Birch and Swinnerton’s conjecture as millennium’s problem Riassunto In questo lavoro mostriamo le connessioni tra tre tipi di numeri (primi , congruenti e di Fibonacci) con i due problemi del millennio come l’ipotesi di Riemann e la congettura di Swinnerton –Dyer, come caso particolare dei numeri primi, se aggiungiamo anche i numeri semiprimi possiamo avere una connessione anche sul problema P = NP?, sebbene limitato alla sola fattorizzazione veloce, un suo sottoproblema ( si ritiene però che la fattorizzazione veloce sia una via di mezzo tra problema P e problema NP , ma siccome è difficilissimo da risolvere, lo includeremo lo stesso in questo lavoro, come connesso all’ipotesi di Riemann) Nostri risultati su altre branche della matematica 86

Topologia a basse dimensioni 1 -Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di stringa - Scribd https://es.scribd.com/.../Teoria-matematica-dei-nodifisica-quantistica-teoria-di-stringa... : Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di stringa (connessioni con i numeri di Fibonacci, di Lie e i numeri di partizione) Parte Prima Michele Nardelli, Francesco Di Noto Gruppo “B. Riemann” Abstract In this paper we show some possible connections between knot theory and string theory, based on Fibonacci’s numbers, Lie numbers and partition of numbers. Riassunto Qui mostriamo qualche possibile relazione tra la teoria di stringa e teoria matematica dei nodi, tramite la comune connessione con i numeri di Fibonacci , di Lie e i numeri di partizione

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Poiché potremmo considerare l’ipotetica percezione spazio temporale come possibile argomento della topologia a basse dimensioni (e non solo basse), proponiamo il lavoro, ancora inedito: 2 – Percezione spazio temporale in n dimensioni La percezione spaziale n-dimensionale, quale che sia n , presenta infatti tre distinte possibilità: a) completa (a 360°) per gli oggetti e gli ambienti a n-1 dimensioni, o, più in generale, a n-p dimensioni, con p variabile da 1 a n-1; per esempio, noi possiamo ammirare, dalla terza dimensione (n = 3) un bel quadro bidimensionale (n = 2 = 3 – 1) cosa impossibile ad un ipotetico essere bidimensionale (n = 2) come l’ipotetico bioanimale di “Flatland”, il Paese piatto (nota 1 – Arcidiacono); che dello stesso quadro può invece vederne solo una parte della sua teorica sottilissima cornice (n = 1), proprio quella che ha davanti agli occhi, a causa della successiva possibilità b. b) parziale, (180°) per gli oggetti o ambienti n dimensionali (p 88

= n); in tal caso, la luce che gli arriva parte dalla porzione esterna degli oggetti (o ambienti) rivolta verso gli occhi, e qui si ferma per essere poi trasmessa al cervello che ricostruisce e interpreta l’immagine percepita. Quindi, si vede solo la parte degli oggetti rivolta verso gli occhi, ma nulla che si trovi dietro la nuca del percipiente (limitazione superata parzialmente dagli specchietti retrovisori). In altre parole, una percezione limitata, a 180°. c) Nulla, o percezione zero, invece, (nota 3) per oggetti con p = n + 1, o più in generale, n + q, e quindi p = n+q, poiché nulla arriva agli occhi n-dimensionali da una qualsiasi dimensione superiore ad n, e quindi a partire da n + 1. Riepilogando, percezione totale (360°) parziale (180°) o nulla (0°) nei tre possibili casi n – 1, n, n + 1, e, più in generale: n>p; (n – p) n=p; n n2, 3>1), incompleti quelli a tre dimensioni (3=p=n) e per nulla quelli a quattro e successive dimensioni (4>3, p>n); per i soggetti in stato extracorporeo è come se essi fossero esseri a 4 dimensioni (e nella 4^ dimensione) per cui la loro percezione è completa (caso a) per gli oggetti tridimensionali a noi noti, poiché 4>3; quindi apparentemente attraverso di essi, da tutti 89

i lati e nel loro interno simultaneamente; e a 360° per gli ambienti (avendo essi la limitazione (“nuca”) rivolta verso la 4^ dimensione); e così tale loro percezione rientra nella regola generale “a”). Ovviamente, in un mondo a 4 dimensioni, anche essi vedrebbero parzialmente i loro oggetti o ambienti a 4 dimensioni (p=n=4), a 180°; e quindi rientrerebbero nel caso b), come noi nelle note 3 dimensioni (n=p=3); e, analogamente, non vedrebbero nulla che fosse a 5 d, per via della regola “c” (5>4; p=n>4). E così via per tutte le altre dimensioni possibili e immaginabili. Ciò varrebbe anche per il tempo, fatto di eventi successivi e non di punti spaziali; nel nostro mondo esso ha una sola dimensione, e noi, esseri pure a t=1, percepiamo il tempo ad un evento per volta (t=p=1-1=0, dimensione di un “puntoevento); mentre un essere a t=2 dimensioni temporali, vedrebbe in modo completo (passato, presente e futuro) la linea del tempo (t=1<2).

Caltanissetta

1.2.2018

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