TERCER LABORATORIO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Civil

Flujo Gradualmente Variado

TERCER LABORATORIO FLUJO GRADUALMENTE VARIADO I. Objetivo.    

Estudio experimental y analítico de un flujo gradualmente variado. Determinar experimentalmente la curva del flujo gradualmente variado. Comparar los métodos directo y el de Prasad. Diferenciar los conceptos que existen en el flujo gradualmente variado.

II. Fundamento Teórico. Este flujo es del tipo permanente, variando gradualmente su tirante a lo largo de la longitud del canal. Para su estudio se han considerado las siguientes hipótesis: La pendiente del canal es pequeña, es decir, se puede considerar que el tirante del flujo es el mismo si se usa una dirección vertical o normal al fondo del canal. El flujo es permanente, es decir, las características del flujo permanecen constantes en el intervalo de tiempo considerado. Las líneas de corriente son prácticamente paralelas, es decir, la distribución hidrostática de la presión prevalece sobre la sección del canal. La pérdida de carga entre dos secciones se calculará como si se tratara de un flujo de un flujo uniforme utilizando la velocidad y tirante de las secciones. ECUACIÓN DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO.

Figura 1. Ecuación del Flujo Gradualmente Variado.

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La altura total de energía en la sección:

Derivando con respecto a x:

La pendiente se define como el seno del ángulo de la pendiente y se supone positiva si desciende en la dirección del flujo y es negativa si asciende. Luego:

Reemplazando estas ecuaciones en la ecuación (1) tenemos:

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RUGOSIDAD COMPUESTA Cuando la sección del canal presenta diferentes rugosidades, se aplicará la fórmula de HORTON-EINSTEIN para el cálculo de la rugosidad promedio.

Figura 2. Esquema de un Canal Compuesto.

Dónde: n: rugosidad promedio de la sección P: Perímetro mojado del canal ( Σ Pi ) Pi: P1, P2, P3

ni: n1, n2, n3

III. Equipo.  

    

Canal de sección rectangular de 10.56 metros de largo y 0.25 metros de ancho. La rugosidad del fondo es 0.014 y de las paredes 0.009 (coeficiente de rugosidad de Manning). Dos rieles de cojines para el desplazamiento del carrito portalimnímetro de punta. La pendiente del canal varía entre +10% y –3% (contra pendiente). Compuerta llamada tipo persiana. Vertedero para medir el caudal (vertedero triangular de 53°08’). Wincha de 3 metros.

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Figura 3. Equipo Usado Canal

Figura 4. Limnímetro para medir el Caudal

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IV. Procedimiento. 

 



Instalar en el canal los accesorios necesarios para generar un flujo gradualmente variado, y darle la pendiente que para ello requiera. Esta labor será desarrollada por el profesor de práctica. Abrir la válvula de ingreso de agua y establecer un caudal. Medir el flujo gradualmente variado en coordenadas X e Y, esto se hará con la wincha (a cada 0.40 m) y con el limnímetro de punta. El guía indicará el punto inicial y final de medición del perfil del flujo. Medir la carga de agua sobre el vertedero triangular y obtener el caudal de la tabla de calibración.

V. Cuestionario. a) Graficar la curva del flujo gradualmente variado medida durante la práctica de laboratorio. 

PENDIENTE DEL CANAL: S0 = 1.8 %



DEL LIMNÍMETRO: Q=0.008775 m3/s



DATOS OBTENIDOS EN EL LABORATORIO

X

Y (superficie)

Y (fondo)

Y

(m) 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 6.6

(mm) 431.4 420.6 410.0 402.4 390.5 377.9 366.9 356.3 346.4 333.5 323.3

(mm) 97.4 96.7 97.1 99.3 99.1 97.1 99.5 99.9 100.7 100.7 100.6

(m)

Tabla N1: Datos del laboratorio

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0.3340 0.3239 0.3129 0.3031 0.2914 0.2808 0.2674 0.2564 0.2457 0.2328 0.2227



0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15

) m ( Y e t n a r i T

LINEA DE AGUA

0.1 0.05 0 8

6

4

2

0

Distancia x (m) Gráfico N1: línea de agua.

b) Calcular analíticamente la curva de flujo gradualmente variado y graficarla, para ello se aplicarán los métodos de: MÉTODO

DEL PASO DIRECTO:

Por ser un flujo subcrítico, el sentido del cálculo será aguas arriba, en sentido contrario del flujo. De lo contrario se hará en el sentido aguas abajo.

Se tiene y1 (dato leído) y se quiere determinar y 2, considerando Y = 0.01m. y1 = 0.3227 m y2 = y1 - ΔY = 0.3127 - 0.01 = 0.3127 m Además se considera para el primer tirante y1 un x1 = 0

Con y1 = 0.234 m y y2 = 0.224 m se determina Sf1 y Sf2, aplicando la fórmula:

Dónde: Q = 0.008775 m3 / s S f = gradiente de la línea de energía

n = Rugosidad compuesta de la sección Ésta se calcula considerando:

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n vidrio = 0.009 y n madera = 0.014 B=0.25m Para y1 = 0.3227 m,

tenemos:

Q = 0.008775 m3/s A1 = 0.25*(0.3227) = 0,080675m2 P1 = 0.25 + 2*(0.3227) = 0.8954 m R 1 = 0.090099 m n1 = 0.010513 Sf 1=3.24x10-5 Para y2 = 0.3127 m, tenemos:

Q = 0.008775 m3/s A2 = 0.25*(0.3127) = 0.0782 m2 P2 = 0.25 + 2*(0.3127) = .8754 m R 2 = 0.0893 m n2 = 0.010546 -5 Sf 2=3.51x10

Se determina: S f = (S f 1 + S f 2 ) /2 S f = 0.00003375

Se determina x, es decir la distancia horizontal a la cual corresponderá un tirante y2, en el flujo (a partir de la ubicación de y1 ) . Se aplica la relación:

Dónde: So = pendiente del fondo del canal = 1% = 0.01 Dónde: x1 = 0 x2 = 0 +( 0.367677 ) = 0.367677 m

Repetir el procedimiento para hallar la ubicación de los demás tirantes del flujo gradualmente variado (y3, y4,....) x será la distancia horizontal que separa a las secciones con tirantes y i+1 e y i .

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA CAUDAL

N

(m3/s) 1 2 3 4 5 0.008775

6 7 8 9 10 11

Y m 0.2227 0.2327 0.2427 0.2527 0.2627 0.2727 0.2827 0.2927 0.3027 0.3127 0.3227

Flujo Gradualmente Variado Facultad de Ingeniería Civil

A

P

m2

m

R m

n adimen.

Sf %

Sf prom %

E m

ΔX

m

X m

0.0557

0.6954

0.0801

0.0109

0.00009

-

0.2240

0.0582

0.7154

0.0813

0.0109

0.00008

0.00008

0.2339

0.5521

0.552

0.0607

0.7354

0.0825

0.0108

0.00007

0.00007

0.2438

0.5526

1.105

0.0632

0.7554

0.0836

0.0108

0.00006

0.00006

0.2537

0.5530

1.658

0.0657

0.7754

0.0847

0.0107

0.00006

0.00006

0.2636

0.5533

2.211

0.0682

0.7954

0.0857

0.0107

0.00005

0.00005

0.2735

0.5535

2.764

0.0707

0.8154

0.0867

0.0107

0.00005

0.00005

0.2835

0.5538

3.318

0.0732

0.8354

0.0876

0.0106

0.00004

0.00004

0.2934

0.5540

3.872

0.0757

0.8554

0.0885

0.0106

0.00004

0.00004

0.3034

0.5541

4.426

0.0782

0.8754

0.0893

0.0105

0.00004

0.00004

0.3133

0.5543

4.981

0.0807

0.8954

0.0901

0.0105

0.00003

0.00003

0.3233

0.5544

5.535

Tabla N2. Datos para graficar la curva por el método directo.

0.4 0.3 0.3 ) m ( 0.2 Y e t n 0.2 a r i T

METODO PASO DIRECTO

0.1 0.1 0.0 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

Distancia X (m)

Gráfico N2. Curva calculada por el método directo.

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0.000

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA 

Flujo Gradualmente Variado Facultad de Ingeniería Civil

METODO DE PRASAD

CAUDAL (m3/s)

0.008755

Y1 (m) 0.22 0.232 0.244 0.256 0.268 0.28 0.292 0.304 0.316 0.328 0.34

Y2 (m) 0.232 0.244 0.256 0.268 0.28 0.292 0.304 0.316 0.328 0.34 0.352

ΔY

(m) 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012 0.012

n1 adim 0.01231 0.01237 0.01242 0.01247 0.01252 0.01257 0.01261 0.01265 0.01269 0.01272 0.01276

n2 adim 0.01237 0.01242 0.01247 0.01252 0.01257 0.01261 0.01265 0.01269 0.01272 0.01276 0.01279

S1 (%) 0.000112 0.000099 0.000088 0.000079 0.000071 0.000065 0.000059 0.000054 0.000049 0.000045 0.000042

S2 (%) 9.9E-05 8.8E-05 7.9E-05 7.1E-05 6.5E-05 5.9E-05 5.4E-05 4.9E-05 4.5E-05 4.2E-05 3.9E-05

fY1 55.2468 55.3037 55.3489 55.3852 55.4144 55.4383 55.4579 55.4741 55.4875 55.4987 55.5082

Tabla N3. Cálculos para el método de Prasad Tenemos finalmente:

N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y2 (m) 0.232 0.244 0.256 0.268 0.28 0.292 0.304 0.316 0.328 0.34 0.352

ΔXi

(m) 0.6633 0.6639 0.6644 0.6648 0.6651 0.6654 0.6656 0.6658 0.6659 0.6660 0.6661

Xi (m) 0.66 1.33 1.99 2.66 3.32 3.99 4.65 5.32 5.98 6.65 7.32

Tabla N4. Resultados finales para la gráfica por el método de Prasad. Página 9

fY2 55.3037 55.3489 55.3852 55.4144 55.4383 55.4579 55.4741 55.4875 55.4987 55.5082 55.5161

fprom

ΔXi

55.2753 55.3263 55.3671 55.3998 55.4264 55.4481 55.4660 55.4808 55.4931 55.5034 55.5121

(m) 0.6633 0.6639 0.6644 0.6648 0.6651 0.6654 0.6656 0.6658 0.6659 0.6660 0.6661

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Ingeniería Civil

Flujo Gradualmente Variado Facultad de

0.4 0.35 0.3 0.25 ) m ( Y

0.2

0.15 0.1 0.05 0 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

X (m) METODO DE PRASAD

Gráfico N3. Curva calculada por el método de Prasad.

C) Comparar y comentar las gráficas.

-

Los tirantes pertenecientes a cada dx casi siempre se encuentran en el intervalo preciso con pequeñas excepciones con errores despreciables, El método de Prasad aproxima mejor la curva de remanso que el método del paso directo si se utiliza una mayor cantidad de puntos. La curva obtenida fue casi tangente a la recta del tirante normal al inicio y tangente a una recta horizontal al final del tramo confirmando el perfil M1 El flujo es subcrítico, por eso el análisis se realizó aguas arriba, por lo que el tirante se incrementa (y > yc)

D) Perfil del flujo gradualmente variado: -

De acuerdo a los tirantes calculados con el método de Prasad el perfil se clasifica como M1 es decir un flujo con las siguientes características: De pendiente suave ya que el tirante normal es mayor que el tirante critico El flujo es subcritico.

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0.3500 0.3300 0.3100 0.2900 0.2700 ) m0.2500 ( Y

0.2300 0.2100 0.1900 0.1700 0.1500 0.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

5.0000

X (m) PASO DIRECTO

PRASAD

Gráfico N4. Comparación de curvas por ambos métodos.

Página 11

6.0000

7.0000



ANEXO METODOS DE CÁLCULO Para el cálculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza la ecuación (X.3); sin embargo, la pendiente de fricción en flujos reales no es conocida y se debe determinar a partir de alguna ecuación de resistencia al flujo. Adicionalmente, se deben hacer algunas suposiciones, entre ellas: Se consideran tramos de análisis relativa mente pequeños, de tal forma que se pueda considerar flujo uniforme y así determinar la pendiente de fricción utilizando una ecuación de resistencia al flujo, usualmente Manning. La pendiente del canal es pequeña, por ende la profundidad de flujo vertical es aproximadamente la misma profundidad perpendicular al fondo, es decir que no se requiere corregir la profundidad de flujo por la pendiente. El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidráulico y constante en todo el tramo en consideración. Para conocer la variación de la profundidad del flujo gradualmente variado en relación con la longitud del canal ya sea hacia aguas arriba o aguas abajo de la sección de control, se emplean métodos teóricos aproximados entre los cuales los más usados son: el método DE PASO DIRECTO y el de PRASAD. Estos métodos son aplicables a canales prismáticos y no prismáticos.

MÉTODO DE PASO DIRECTO En este método se divide el canal en tramos cortos y se hacen los cálculos etapa por etapa. Es un método simple aplicado a canales prismáticos. En la Figura.2 se puede plantear la ecuación de energía entre los puntos 1 y 2.

Δx : longitud de cada tramo. E1 : energía específica para la sección inicial del tramo. E2 : energía específica para la sección final del tramo. So : pendiente del canal en tanto por uno (m/m; cms/cms) Sf : pendiente de fricción, también denominado gradiente hidráulico medio del tramo.

Se calcula para la profundidad media del tramo dada por:

Ym = (Y1+Y2)/2 Y1 : profundidad del agua en la sección inicial del tramo. Y2 : profundidad del agua en la sección final del tramo.

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Para el sistema de unidades técnico, internacional o M.K.S:

Sf = [(Q*n)/(Am*Rm2/3)]2 Para el sistema C.G.S.

Sf = [(Q*n)/(4.64Am*Rm2/3)]2 Am : área de la sección media de profundidad Ym. Rm : radio hidráulico de la sección media de profundidad Ym. Q : caudal. n : coeficiente de rugosidad del canal según Manning.

Para aplicar este método se debe conocer la profundidad de la sección inicial y la clase de variación. Tomando incrementos o decrementos Y, la profundidad siguiente será

Y= Y ±∆ Y 2 1 El signo es (+) si la variación es retardada hacia aguas abajo y el signo es (-) si es acelerada. El valor de los intervalos que se adopten ( x, Y) puede ser cualquiera, pero entre más pequeño sea, es mayor la exactitud del método.

Figura 4. Esquematización del método de paso directo.

L =∑∆x : longitud total de flujo gradualmente variado.

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METODO DE PRASAD El método tiene como base la expresión diferencial presentada en la ecuación (X.3), que cuando se consideran tramos se convierte en la siguiente expresión. (Δx/Δy) = (1 – Fr2)/(S o - Sf ) Para el sistema de unidades técnico, internacional o M.K.S:

Sf = [(Q*n)/(Am*Rm2/3)]2 Para el sistema C.G.S. Sf = [(Q*n)/(4.64Am*R m2/3)]2 g : aceleración de gravedad = 980 cm/s 2 = 9.8 m/s2. R : radio hidráulico. Como las variables A y Sf son función de la profundidad Y, la ecuación (X.10) puede expresarse como:

∫

(dx/dy) = F(y) x = yo F(y)dy Puesto que esta expresión no es integrable directamente, se debe recurrir a otros métodos aproximados como el de la integración gráfica. Si se grafica en coordenadas rectangulares la función F(Y) se tiene una curva. F(y) = [1-(Q2B)/(gA3)]/ (So - Sf ) Según la Figura X.5, la curva está limitada por F(Y 0) y F(Yn). El área debajo de la curva corresponde a la integral de la ecuación (X.13) o sea la longitud entre las secciones de profundidades Y 0 y Yn. Para encontrar esta área numéricamente se procede así: Se divide el área en trapecios de bases F(Y 1) y F(Y2) y altura ∆Y =Y2 -Y1 . El área de cada trapecio:

L=∑∆ x : longitud total de flujo

gradualmente variado.

Como en el método anterior, se parte de una sección de profundidad conocida y se debe conocer también la clase de variación según la cual se suma o resta Y . Entre más pequeños sean los intervalos x o Y adoptados, mayor será la exactitud.

Figura 5. Método de PRASAD

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OBSERVACI ONES

Las mediciones en el laboratorio no fueron muy precisas por parte del encargado, ya que en muchos puntos la distancia de 0.06m no era exacta. o

Otro ejemplo de la no exactitud es que en las mediciones se asumió que la base de la canalización era horizontal, lo cual es erróneo porque sabemos que tenemos 1.2% de pendiente. o

RECOMEND ACI ONES o o

Se podria nivelar el fierro que está en la parte superior debido a que el error es muy grande El limnimetro debe estar ajustado porque este experimento es en realidad una cosa muy seria

CONCLU SI ONES

Dado que la pendiente del canal es pequeña, el tirante no va a variar mucho si se mide en forma vertical o perpendicular con respecto al fondo (varía en el orden de mm). o

En un campo de flujo que se contrae, las pérdidas de energía son por efectos de fricción, mientras que en un campo de flujo expansivo, las pérdidas son debido a los vortices. o

o

Cuando la distribución de velocidades en un canal es fijo, el coeficiente de corrección alfa es constante.

De los gráficos se puede determinar que tanto las curvas teóricas pertenecientes a los métodos de Paso Directo y Prasad se aproximan a la gráfica de flujo variado obtenida en el laboratorio, ambas curvas teóricas tienen un comportamiento lineal. o

El Ycritico depende solo del caudal, y el Ynormal depende de la geometría del canal o sea las formas que pueda tener el canal, las cuales han sido estudiadas anteriormente. o

El yi depende del caudal, de la pendiente del canal que en este caso es de 1.2%, de la geometría del canal el cual es rectangular para esta experiencia, la rugosidad, ya que si alguno de estos datos varia el y i también variará. o

BIBLIOGRAFIA

HIDRÁULICA DE CANALES (Ven Te Chow) Arturo Rocha Hidráulica de Tuberías y Canales Víctor L. Streeter Mecánica de Fluidos Guía de Laboratorio de Mecánica de Fluidos II Universidad Nacional de Ingeniería. Guía de Laboratorio de Hidraulica Universidad de Chile

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