Teoria Maximas Avenidas Dic 2012

COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU CAPITULO DE INGENIERIA AGRICOLA DIPLOMADO: DIPLOMADO: Elaboración de Proyectos de Presas para la Regulación de Recursos Hídricos en el Marco del SNIP

MSc. Ing. Douglas Sarango Sarango Julca - Diciembre 2012

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COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU CAPITULO DE INGENIERIA AGRICOLA DIPLOMADO: DIPLOMADO: Elaboración de Proyectos de Presas para la Regulación de Recursos Hídricos en el Marco del SNIP

COLEGIO DE INGENIEROS DEL PERU CONSEJO CONSEJO DEPARTAMENTAL DE LIMA CAPITULO DE INGENIERIA INGENIERIA A GRICOLA GRICOLA

DIPLOMADO : ELABORACIÓN DE PROYECTOS DE PRESAS PARA LA REGULACION DE RECURSOS HIDRICOS EN EL MARCO DEL SNIP

Análisis de Máximas Máximas Avenidas 8.1

GENERALIDADES

En proyectos de diseño de estructuras y obras destinadas al control y almacenamiento del agua surge siempre un problema hidrológico que es la determinación del máximo caudal dado que de él dependen las dimensiones de vertederos de demasías, diámetro de tubería, sección de galerías pluviales, diámetro de túneles, sección de canales de conducción y muchas obras afines. De ello se deduce la l a gran importancia de la adecuada determinación de estos caudales ya que el costo de la obra va a depender de ella en gran parte. La hidrología proporciona gran variedad de métodos basados en diversos principios, dentro de los cuales se deberá escoger el más adecuado de acuerdo a las circunstancias particulares, a la obra a diseñar y dependiendo sobre todo de la disponibilidad de datos hidrometeorológicos apropiados, y las aplicaciones resultantes van a depender del sentido común y de la experiencia del proyectista. Algunas definiciones elementales son necesarias para iniciar el estudio del problema. Entiéndase como avenida como un caudal muy grande de escorrentía superficial que sobrepasa la capacidad de transporte del canal (cauce del río) generando la inundación de tierras aledañas. Las inundaciones traen, como es sabido problemas de toda índole en diversas áreas de la actividad humana. Por lo tanto, el objetivo de este capitulo es enfocar el aspecto hidrológico de la determinación de los caudales del proyecto en las obras hidráulicas, el que podría ser denominado “pre-determinación de descargas máximas”, ya que se trata del cálculo anticipado de un caudal critico que tal vez no haya sucedido o que exista una cierta probabilidad de suceder en el futuro. El termino “Prevención de Inundaciones” se aplica al efecto del fenómeno en la formación de la correspondiente descarga, conllevando un pronóstico de estado futuro de alturas o caudales, asociados al instante de ocurrencia de los mismos, con la finalidad de prevenir los efectos negativos que vengan a acontecer. La terminología “Prevención del Tiempo real” es más apropiada; que significa el uso de técnicas hidrológicas para calcular anticipadamente la ocurrencia de un evento, a partir del conocimiento del comportamiento del sistema natural y usando como entrada las lluvias o los niveles y caudales en determinados lugares de la cuenca y de la red fluvial. Las técnicas más recientes incluyen el modelamiento matemático, la cual exige el uso de computadoras, cuando la simulación envuelve grandes áreas y grandes volúmenes de datos (simulación continua) así como cuando se trata de eventos aislados de corta duración.

8.2

PERIODO DE RETORNO Y RIESGO

Si en un determinado lugar existen una serie de valores observados de 35 años, por ejemplo, el mayor caudal medido en los 35 años tiene la probabilidad de ser igualado o superado una vez cada 35 años aproximadamente, según las leyes clásicas de la probabilidad; si las necesidades del proyecto exigen, como se verá mas adelante, por ejemplo un período de retorno de 500 años o más, estamos delante de un problema de extrapolación de datos históricos. El período de retorno “T” o período de ocurrencia de una inundación (o tiempo de recurrencia) se define, entonces, como el tiempo medio, en años, en que esa inundación es igualada o superada por lo menos una vez.

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El problema ahora se concentra en la fijación del período de retorno a ser usado en una obra, ese valor debería obedecer a criterios económicos, como se sugiere en la Figura 8.1. Esta figura representa los costos que un usuario debería enfrentar para pagar los beneficios de un sistema de protección contra inundaciones, por ejemplo. Si existe un seguro contra inundaciones, el valor de este seguro sería decreciente con el “T” usado en proyectos de la obra (cuanto mayor es “T” mayor protección ofrece la misma), mientras el costo de la obra en si crece con “T”. Dado que el usuario deberá asumir con los dos costos, la curva del costo global indicará el período de retorno más adecuado para el proyecto de la obra en cuestión (Villeta y Mattos, 1975). Desafortunadamente, en los países en desarrollo no es común la exigencia de ese tipo de seguro, en la mayor parte de los casos, la fijación de “T” obedece a criterios relacionados con la vida útil de la obra, del tipo de la estructura, la facilidad de reparación en caso de daños y el peligro de pérdida de vidas humanas en caso de falla.

C O S T O A N U A L

Costo de las Obras

Costo Mínimo

Costo de Seguro contra inundaciones

PERIODO DE RETORNO (A OS)

Figura 8.1 : Determinación del Período de Retorno

La consideración de estos efectos y la experiencia acumulada a lo largo del tiempo ha producido valores como los mostrados en el Cuadro 8.1, que ofrece indicativos para la definición de T.

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Estructura

T (años)

Caudales del Proyecto Vertedor de grandes presas Vertedor de una presa de tierra Vertedor de una presa de concreto Galerias de aguas pluviales Bocatomas Pequeñas presas para abastecimiento de agua Puentes en carreteras importantes Puentes en carreteras comunes Lluvi as del Proyecto Pequeños canales sin dique : área rural área urbana Canales grandes sin dique: área rural área urbana Pequeños canales con diques: área rural área urbana Grandes canales con diques: área rural área urbana

10000 1000 500 5 a 20 25 a 75 50 a 100 50 a 100 25 5 10 10 25 10 50 50 100

Cuadro 8.1 : Valores del tiempo de retorno para proyecto de obras

Riesgo( R ) 0.01 0.10 0.25 0.50 0.75 0.99

1

10

100 10 4 2 1.3 1.01

995 95 35 15 7.7 2.7

Vida Util de la Obra ( n) en años 25 50 2488 238 87 37 18 5.9

4975 475 174 73 37 11

100

200

9950 950 348 145 73 22

19900 1899 695 289 144 44

Cuadro 8.2 : Valores del periodo de retorno T asociado al riesgo R

Existe, aún, otro criterio para escoger el período de retorno: la fijación a priori, del riesgo de falla de la estructura, dentro de la vida útil de la obra, esto puede ser expresado por la relación:

T =

1 1/ n

1 − (1 − R )

(8.1)

donde: R:

es el riesgo permisible o probabilidad de ocurrencia de la máxima descarga durante los n años de vida útil de la obra. Esta ecuación se encuentra en el Cuadro 8.2.

Un análisis del Cuadro 8.2 muestra que si se adopta un riesgo de 10) de que durante los 25 años de vida útil de una cierta presa ocurra una descarga igual o superior a la del proyecto, se deberá usar un período de retorno de 238 años. Si el período de retorno usado fuese 87 años, por ejemplo, el riesgo de falla de la obra aumenta en 2.5 veces o sea a 25´%. El enfoque discutido anteriormente muestra un análisis puramente estadístico del problema; en la actualidad podrían ser usados tres tipos de métodos para la determinación de la descarga del proyecto de la obra, abarcando las diversas posibilidades que se presentan para afrontar el problema:

- Métodos estadísticos


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- Métodos hidrometeorológicos - Otros métodos (formulas empíricas, regionalización) En cada caso la metodología a ser usada dependerá, en gran parte de la disponibilidad de información y de la experiencia del proyectista en el manejo de la información.

8.3

METODO ESTADISTICOS

8.3.1 Generalidades Para proyectar una obra hidráulica cualesquiera es necesario el conocimiento de la magnitud y frecuencia de los caudales (o niveles de agua) que esa obra deberá conducir, contener, almacenar, etc.; el proyecto envuelve dimensionamiento y localización de presas, puentes, canales, conductos forzados, sistemas de drenaje, redes pluviales, estaciones de bombeo, estaciones de tratamiento de agua y desagües, centrales hidroeléctricas y una gran variedad de estructuras relacionadas con estas. El máximo caudal (o nivel) que cualquiera de estas estructuras pueda soportar con seguridad es denominada Caudal del Proyecto. El ingeniero es consiente que esta proyectando una obra que puede ser dañada o más aún destruida, por descargas por descargas ocasionales de magnitud variable; la frecuencia con que esos daños ocurren debe ser considerada en la definición del tamaño y resistencia de la obra, su localización y hasta su reconstrucción. El problema en el fondo, es económico a través del costo anual de mantenimiento en una estructura dad, comparada con otras soluciones alternativas. El sub dimensionamiento o sobre dimensionamiento de una obra implica costos excesivos a lo largo del tiempo; por ejemplo una obra para una descarga de 5 años de período de retorno, puede ser pequeño, más el costo de reconstruirlo cada 5 años, en promedio resulta extremadamente costoso y un puente en el mismo lugar construido para dejar pasar una descarga de 100 años de período de retorno, sería extremadamente cara. Por lo tanto un proyecto intermedio sería la solución ideal, generando los menores costos anuales. Los métodos estadísticos se apoyen en la existencia de series de datos de caudales en el lugar de interés, las cuales son sometidas aun análisis de frecuencias usando técnicas tradicionales de estudio (se basa por lo tanto en la observación de eventos pasados). Esto implica que la curva de frecuencias definida para un determinado lugar es valida rigurosamente para ese lugar; cuando generalmente la información que se requiere es en un lugar diferente, donde no existen datos medidos; la regionalización de datos permite combinar informaciones de diversos lugares de la cuenca o región, para producir por ejemplo, una curva regional de frecuencias, valida en toda la región y lugares sin información; este recurso entre tanto, está limitado a descargas de hasta 100 años de período de retorno (Darrymple, 1962). Los resultados podrían ser confiables siempre que existan suficientes datos disponibles y no haya ocurrido modificaciones importantes en el régimen del curso de agua durante el período de registro, o después; se acepta entonces, la condición de que el comportamiento del sistema continuará siendo el mismo durante el período de cálculo (en el futuro). Los valores de caudales empleados en la determinación de las curvas de frecuencia serán valores instantáneos, pero en la mayoría de los casos se trabaja con los máximos medios diarios; de los que resultan series anuales y series parciales.

8.3.2 Series Parciales y Anuales la información hidrológica disponible, en principio en una estación hidrométrica, es una secuencia cronológica de caudales medios diarios. De estos caudales podrían ser escogidos los máximos anuales (una para cada año hidrológico), generando una serie anual. Esto obliga a descartar otros picos elevados que pueden haber ocurrido en el mismo año y permite escoger otros valores en otros años donde nada importante sucedió, desde el punto de vista de inundación. Esa limitación es superada elaborando una lista de todos los eventos ocurridos, en orden decreciente y seleccionando los mayores a un determinado limite que puede ser el menor de las descargas de las máximas anuales, obteniéndose de cierta manera una serie parcial.


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La dificultad generada con esta última opción es que los eventos así escogidos pueden ser o no independientes; dos eventos muy próximos puede, en realidad, ser un único evento. Para evitar ese inconveniente, deben ser escogidos eventos separados por un razonable período de tiempo. Existe una relación definida entre estos dos tipos de series (Dalrymple, 19625). El Cuadro 8.3 muestra esa relación, en función del período de retorno. En términos de período de retorno, existe una diferencia en los dos casos; en una serie anual el intervalo de recurrencia es el intervalo medio en el cual un caudal dado ocurrirá como máxima anual. En la serie parcial, el período de retorno es el intervalo medio entre avenidas de una determinada magnitud, sin relación alguna con año o cualquier otro período de tiempo. Esta situación se aplica siempre, a pesar de que para grandes avenidas los dos criterios convergen.

Ser ie Parc ial 0.50 1.00 1.45 2.00 5.00 10.00 20.00 50.00 100.00

Seri e Anu al 1.16 1.58 2.00 2.54 5.52 10.50 20.50 50.50 100.50

Cuadro 8.3 : Períodos de Retorno (en años)

8.3.3 La Curva de Frecuencias El análisis de frecuencias, a ser discutido, utiliza los mismos principios estadísticos aplicados a otras variables hidrológicas, adaptados a las peculiaridades de los datos de caudales máximos. La técnica en todos los casos consiste en ordenar la serie en orden decreciente y atribuir a cada valor de este arreglo el número de orden “m” (donde m varía desde 1 hasta n), siendo “n” el tamaño de la muestra, esto es, el número de años en el caso de series anuales. A continuación se calcula la frecuencia observada a través de una relación empírica como la de Weibull:

P=

m n +1

;

T =

n +1 m

(8.2)

Existen muchas otras propuestas de formulas en la literatura especializada (Viessman et al., 1972), de esta forma “P” es la probabilidad de una determinada descarga a ser igualada o superada cuando el valor de “n” es suficientemente granda. El tratamiento más común de los datos así preparados, es el ploteo de los pares de punto “P” ó “T” versus “Q” en un papel con escalas apropiadas. Para propósitos generales, la escala del papel usado no es importante, habiendo sido propuesta una escala (Dalrymple, 1962) que aproxima el gráfico a una recta.



 

Y = − ln − ln1 −



1  



T  

(8.3)

Donde: “Y” es una distancia lineal y “T” el período de retorno; dando valores a “T” se puede construir un papel probabilístico, en el cual generalmente los períodos de retorno se colocan en las abscisas y las descargas en las ordenadas; esta ultima escala puede ser transformada en logarítmica, dando origen a otro papel. Es común en nuestro país que la mayor parte de los registros disponibles de descargas no sobre pasen los 20


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ó 25 años, y dado que las necesidades del proyecto requieran periodos de retorno superiores; la tendencia es de usar la curva de frecuencia para efectos de extrapolación, por lo que esto debe ser efectuado con mucho criterio; la distancia lineal entre 25 y 250 años parece corta en los gráficos, pero la extrapolación solo puede justificarse cuando se verifica que el fenómeno se ajusta a la ley establecida. Muchos investigadores intentaron establecer las leyes teóricas de probabilidades que se ajustasen mejor a las muestras de “n” elementos de modo a poder estimar, para cada caudal máximo “Q”, la probabilidad teórica “P” de ocurrir o ser sobrepasada. En la práctica es posible efectuar el ajuste de varias distribuciones teóricas a una determinada muestra. Para comparar y concluir cual de ellas, se plotean los valores en el papel respectivo y se escoge las que mejor se aproxima a una línea recta. Existen a disposición del interesado paquetes de programas que efectúan ese trabajo (Silveira et al., 1983), facilitando sensiblemente el análisis, ya que el propio computador diseña el papel adecuado. A continuación serán examinadas con algún detalle, las distribuciones teóricas más usadas para el análisis de máximas avenidas, indicando que no existe un criterio definido para la selección a priori de la distribución adecuada.

8.4

DISTRIBUCION LOG - NORMAL

Es una distribución apropiada para una variable aleatoria cuyos logaritmos siguen una distribución normal, con parámetros µ y σ. Los datos hidrológicos, a veces, tienen una distribución fuertemente asimétrica y en general en esos casos una transformación logarítmica l a transforma en una distribución normal. Así la función de densidad y la función de distribución acumulada son:

f (Y ) =

1 σ 2π

e

1  Y − µ  −   2  σ 

2

Y

P (Y < Y dado ) = F (Y ) =

∫ σ

−∞

(8.4)

1 2π

e

1  Y − µ  −   2  σ 

2

dY

(8.5)

donde : Y = ln Q µ = media poblacional, = Y σ = desviación estandar = SY La distribución Log-Normal es de gran utilidad por que abre el amplio campo teórico de aplicación de la distribución Normal. Como ambas distribuciones, Normal y Log-Normal son de dos parámetros, basta calcular la media y las desviación estandar de los caudales y de sus logaritmos, respectivamente. El grado de ajuste de una serie de datos puede, como en los demás casos, ser examinado a través del uso del papel de probabilidades Log-Normal, donde debe resultar una recta. En la literatura se puede encontrar también información sobre las distribución Log-Normal de tres parámetros cuando esa linealización no se consigue (Raudkivi, 1979).

8.5

DISTRIBUCION DE GUMBEL Y LOG -GUMBEL


8-7


Entre las diversas distribuciones de valores extremos es la que tiene mayor utilidad. Los valores extremos en cuestión serian las descargas máximas diarias anuales, ya que cada una es la máxima entre los 365 valores del año. Para cumplir esa ley, se debe tener en cuenta que existen n muestras, cada una constituida por 365 elementos, del universo de la población infinita de la variable aleatoria que es el caudal diario. De acuerdo con la ley de los extremos (Pinto et al., 1976), la ley de distribución de la serie de n términos constituidos por los mayores valores de cada muestra tienden asintóticamente para una ley simple de probabilidades, que es independiente de la que rige la variable aleatoria en las diferentes muestras y en el propio universo de la población infinita. Esa es la base del método de Gumbel (o distribución de valores extremos Tipo I), en el cual se calcula P por la siguiente relación:

P = 1 − e−

Y =

1 0.7997σ Q

e − Y

(8.6)

(Q − Q + 0.45σ ) Q

(8.7)

donde Q es la media de los n caudales máximos, P es la probabilidad de que un máximo caudal medio diario de un año cualquiera se mayor o igual a Q, y σQ la desviación estándar de los n caudales máximos. La expresión Y muestra que existe una relación lineal entre él y el valor de Q; esa recta puede ser diseñada conociéndose:

Q =

∑Q

(8.8)

n

∑ (Q − Q )

2

S Q =

n −1

(8.9)

El eje donde están marcados los valores de Y pueden ser graduado en tiempos de retorno a través de la relación:

T =

1 P

(8.10)

y de esta manera, a cada caudal le corresponde un período de retorno; conociéndose a este como Papel de Distribución de Gumbel. El método de Gumbel es de fácil aplicación y se basa solo en dos parámetros, la media y la desviación estandar, mientras que otros métodos incluyen el coeficiente de asimetría.

Cuando la asimetría es grande, se toma X = ln Q y se procede al análisis como en el caso anterior, constituyéndose en una distribución Log-Gumbel; el gráfico establecido corresponde a una recta en el papel de probabilidades correspondiente, si el ajuste es adecuado. MSc. Ing. Douglas Sarango Julca - Diciembre 2012

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8.6

DISTRIBUCION PEARSON III Y LOG – PEARSON III

La distribución Pearson III posee la característica de ser asimétrica y no negativa, lo que lo hace adecuada para describir los caudales máximos; es una distribución de tres parámetros. La media, la desviación estandar y el coeficiente de asimetría, son definidos por las siguientes relaciones:

Q =

∑Q

(8.11)

n

∑ (Q − Q )

2

S Q =

∑ (Q − Q ) = 2 S ∑ (Q − Q ) 3

C Q

2

=

n

∑Q

3

n −1

(8.12)

− 3n(∑ Q )(∑ Q 2 ) + 2n(∑ Q )

3

n(n − 1)(n − 2 )S q

3

Q

(8.13)

La función de densidad y la función de probabilidad acumulada están dadas por: γ −1

f (Q) =

(Q − α )

−

e

Q −α

β

β γ Γ(γ )

Q

P (Q < Qdado ) = F (Q ) =

∫ 0

(8.14)

γ −1

(Q − α )

−

e

β γ Γ(γ )

Q −α

β

dQ

(8.15)

donde:

α = parámetro de posición β = parámetro de escala γ = parámetro de forma

Q = α + βγ

S Q = β γ C Q =

2 γ

De forma análoga al caso anterior, si se hace Y = ln Q, se genera procediéndose con un análisis semejante. El

la distribución Log-Pearson III,

METODO FOSTER representa una aplicación de la distribución Pearson III, a través de un ajuste del


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coeficiente de asimetría establecido por Hazen:

 

C Q = C Q 1 − '

8.5 



n 

(8.16)

donde n es el tamaño de la muestra de caudales máximos diarios. Para la aplicación del método, se calculan los parámetros media, desviación estándar y el coeficiente de asimetría.

8.7

METODO DE FULLER

Es un método de extrapolación de datos históricos basado no en una distribución de frecuencias, pero si en una regla de probabilidad, que establece la siguiente relación entre Q / Q y el período de retorno T:

Q Q

= a + b log T

(8.17)

donde Q es el caudal diario más probable con período de retorno T; a y b son coeficientes determinados a partir de los datos históricos. Cuando no existen series de datos observados, el autor propone valores de: a = 1.0 y b = 0.8 obtenidos de un gran número de ríos, y el caudal medio puede encontrarse a través de la relación:

Q = 0.796 A 0.8

(8.18)

Siendo A el área de la cuenca. De esta forma, el caudal máximo diario Q para un período de retorno T en una cuenca de área A se obtiene:

Q = 0.796 A

8.8

0.8

(1 + 0.8 log T )

(8.19)

USO DE LOS FACTORES DE FRECUENCIA EN EL ANALISIS DE MAXIMAS AVENIDAS

El factor de frecuencia es un valor característico de la ley de distribución Log-Normal, que tiene un gran significado en el análisis de eventos extremos y es conocido matemáticamente como la variable reducida. Este término fue usado por Ven Te Chow en combinación con la formula general para el análisis de frecuencias hidrológicas, siguiente:

Q = Q + KS Q

(8.20)

donde K es el factor de frecuencia, que depende de la ley de ocurrencia del evento hidrológico y es teóricamente idéntico al factor de asimetría de la curva logarítmica. La ecuación del factor de frecuencia (8.20) fue propuesta por Chow (1951), y se aplica a muchas distribuciones de probabilidad utilizadas en el análisis de frecuencia hidrológica. Para una distribución dada, puede determinarse una relación K – T entre el factor de frecuencia y el período de retorno correspondiente. Esta relación puede expresarse en términos matemáticos o mediante una tabla.


8-10


8.8.1 Factor de Frecuencia para la Distribución Normal y Log-Normal Es el mismo que la variable normal estándar Z definida por la siguiente relación:

K = Z =

Q−Q S Q

(8.21)

El valor de Z corresponde a una probabilidad de excedencia, puede calcularse encontrando el valor de la variable intermedia W:

  1  W = ln 2    P 

1/ 2

( 0 < P >= 0.5 )

  1   W = ln 2  P ( 1 ) −   

(8.22)

1/ 2

( P > 0.5 )

(8.23)

El valor de Z puede ser obtenida de tablas o calculada con la siguiente ecuación de aproximación:

K = Z = W −

2.515517 + 0.802853W + 0.010328W 2 1 + 1.432788W + 0.189269W 2 + 0.0013018W 3

(8.24)

Para la distribución Log-Normal, se usa el mismo procedimiento excepto que éste se aplica a los logaritmos de las variables.

8.8.2 Factor de Frecuencia para la Distribución Gumbel y Log-Gumbel Para la distribución de Valor Extremo Tipo I, Chow (1953) dedujo la siguiente expresión:

W = −

T =

  T   6   0.5772 + ln ln T 1 − π     

1

   π K   exp − exp −  0.5772 +   6     

(8.25)

(8.26)

Cuando la variable es igual a la media K=0 y T = 2.33 años, que corresponde al período de retorno de la media de la distribución. Para la distribución Log-Gumbel, se usa el mismo procedimiento excepto que éste se aplica a los logaritmos


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de las variables.

8.8.3 Factor de Frecuencia para la Distribución Pearson III y Log-Pearson III Para la distribución Log-Pearson III, el primer paso es tomar los logaritmos de la información y luego se procede a calcular la media, desviación estándar y el coeficiente de asimetría de los logaritmos de los datos. El factor de frecuencia depende del período de retorno T y del coeficiente de asimetría C. Cuando C = 0 el factor de frecuencia K es igual a la variable normal estándar Z y cuand o C ≠ 0 el factor de frecuencia se aproxima por Kite (1977) como: 2

3

4

5

 C  1  C   C   C  1  C  K = Z + ( Z − 1)  + ( Z 3 − 6 Z )  − ( Z 2 − 1)  + Z   +    6  3  6   6   6  3  6  2

(8.27)

Los valores de Z y K para un período de retorno dado pueden calcularse a través de las ecuaciones (8.24) y (8.27) o en su defecto obtenerse de tablas que se adjuntan a la presente separata.

8.9

LIMITES DE CONFIANZA PARA LAS DISTRIBUCIONES DE VALORES EXTREMOS

Los datos observados, graficados en los papeles de probabilidad correspondientes, muestran una tendencia lineal recta, sin que la línea ajustada se localice exactamente sobre los puntos ploteados. Este hecho muestra que los datos no pueden ser representados con absoluta confianza por la teoría de probabilidades. Por lo tanto la distribución de datos de probabilidad acumulada pueden ser descritas por los límites de confianza, establecidos a ambos lados de la curva de ajuste, quedando entonces la nube de puntos ploteados dentro de estos límites con un cierto grado de probabilidad. Para ello se calcula, en primer lugar, el intervalo de confianza a partir del error estándar de la media y de la desviación estándar multiplicándose por el estadístico “ t” de Student escogido en función del número de grados de libertad ( ν ):

tS Q

(1 + 0.5Z )

2 1/ 2

Intervalo de Confianza :

IC =

Límite de Confianza Superior:

LCS = Q + IC

(8.29)

Límite de Confianza Inferior :

LCI = Q − IC

(8.30)

n

(8.28)

El número de grados de libertad se calcula restando el número de parámetros (k) al tamaño de la muestra (n):

ν = n − k

8.10

(8.31)

METODOS HIDROMETEOROLOGICOS

8.10.1 CARACTERISTICAS GENERALES Una condición necesaria para la utilización de los métodos descritos en el ítem 8.3 es la existencia de series


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de descargas medias diarias en el punto de interés, que difícilmente se da en la mayoría de los casos. Cuando eso ocurre, esto es, cuando no se dispone de datos de salida o caudales, se parte del conocimiento de la entrada (lluvia) para transformarla en descarga a través de operadores precipitación-escorrentía. Los métodos hidrometeorológicos usan, entonces, la precipitación registrada en la cuenca, a l a cual puede ser atribuido un período de retorno por un intermedio de un análisis de frecuencias convencional; las descargas generadas, entretanto, en la mayoría de veces no pueden ser relacionadas aun período de retorno definido, ya que no se observa correspondencia entre las frecuencias de las precipitaciones y de las ondas de avenidas, en virtud de la diversidad de situaciones posibles en la cuenca al recibir una determinada lluvia (especialmente el estado de humedad del suelo), generando respuestas diferentes para las mismas entradas, en función de esas situaciones. Estos metodos se apoyan en relaciones físicas y no estadísticas entre las variables hidrometeorológicas y los parámetros del sistema, y varían desde los más simples, como el método racional, hasta lo más complejos modelos de simulación que buscan representar la mayor parte de los fenómenos físicos que se presentan en la superficie del suelo y en su interior.

8.10.2 METODO RACIONAL Considera una precipitación uniforme sobre la cuenca y acepta que la descarga máxima producida por ella es proporcional a la intensidad de esa lluvia y el área de la cuenca, o sea:

Q = CIA

(8.31)

Donde I es la intensidad de la lluvia en mm/hr, A es el área de la cuenca en Km2 y C un coeficiente adimensional; para que el caudal Q resulte en m3/seg, es necesario dividir el lado derecho de la ecuación (8.31) por 3.6. El coeficiente C, también llamado coeficiente de escorrentía es la relación entre el caudal generado y la lluvia correspondiente debe estar entre 0 y 1. El método se apoya en la llamada formula relacional, expresada por la relación Q = CIA, donde IA es la cantidad de lluvia (volumen) precipitado por unidad de tiempo y Q es el caudal. El hecho de C ser menor que la unidad indica que solo una parte del agua precipitada escurre sobre la superficie del suelo. El concepto básico de la ecuación (8.31), establece que la máxima descarga de una cuenca ocurre cuando toda la cuenca esta contribuyendo y esto ocurre cuando la duración de la lluvia iguala o supera el tiempo de concentración de la cuenca, conforme se deduce del examen de los postulados básicos del método: a) b) c) d) e)

La escorrentía resultante de una precipitación es máxima cuando esta tiene una duración mínima o igual al tiempo de concentración (Tc). la escorrentía máxima así definida es una fracción de la intensidad de lluvia generadora, esto es, se acepta una relación lineal entre Q e I, y Q = 0 cuando I= 0. la frecuencia del pico de la descarga es igual a la de la precipitación. El coeficiente de escorrentía es independiente de la frecuencia. El coeficiente de escorrentía es constante para todas las lluvias en la misma cuenca.

Se cree que estas hipótesis son satisfechas en cuencas altamente urbanizadas, donde la red de drenaje posee características y dimensiones hidráulicas bien definidas y no cambian fácilmente. En otro tipo de cuenca, su aplicación ha sido cuestionada (Chow, 1964). La condición de lluvia uniforme sobre la cuenca limita el tamaño de las áreas donde se puede aplicar el método; sobre este punto también existe discrepancias entre los investigadores, pero parece viable su utilización en cuencas de hasta 8 Km2 (Schwab et al., 1955). El tiempo de concentración de la cuenca puede ser calculado a través de ecuaciones empíricas como la de Kirpich: −0.485

0.77 T c = 0.0195 L S

(8.32)

donde Tc esta en minutos, L es la máxima distancia recorrida por la escorrentía de la cuenca, en metros, y S MSc. Ing. Douglas Sarango Julca - Diciembre 2012

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es la pendiente media de ese trayecto en m/m. Otras formas de cálculo del tiempo de concentración han sido propuestas, incluyendo nomogramas o tablas que pueden ser vistos en Schwab et al., 1955.

Máxima Distancia recorrida por la escorrentía Pies Metros 500 152 1000 305 2000 610 4000 1220 6000 1830 8000 2440 10000 3050 20000 6100

0.05 18 30 51 86 119 149 175 306

Tiempo de concentración (min) Pendiente de la cuenca (%) 0.1 0.5 1 2 13 7 6 4 23 11 9 7 39 20 16 12 66 33 27 21 91 46 37 29 114 57 47 36 134 67 55 42 234 117 97 74

5 3 5 9 15 20 25 30 52

Cuadro 8.4 : Tiempo de concentración para pequeñas cuencas rurales

El coeficiente de escorrentía C debe ser estimado en cada caso en función de las características físicas de la cuenca, las cuales son diferentes para cuencas rurales y urbanas. En caso de cuencas rurales, existen datos obtenidos de experiencias hechas en diversos países, como los obtenidos por el Soil Conservation Service, presentados en el Cuadro 8.5, para el suelo tipo B y en le Cuadro 8.6 la aplicación para otros tipos de suelos. Tal vez la mayor dificultad en el uso del método sea la correcta determinación de C, debido a la gran cantidad de factores de los cuales depende (humedad del suelo, desplazamiento de la lluvia, tipo de suelo, cobertura vegetal, red de drenaje, intensidad de lluvia, distribución espacial de la lluvia, etc.). Además de eso, el propio valor de C varía dentro de la cuenca siendo aconsejable calcular un valor ponderado en función de los diversos grupos de suelo encontrados, usando las áreas parciales como elementos reponderación.

Cobertuta vegetal y condición Hidrológica Cultivo en hilera, mal manejo Cultivo en hikera, buen manejo Granos pequeños, mal manejo Granos pequeños, buen manejo Pastos en rotación, buen manejo Pasto permanente, buen manejo Floresta madura, buen manejo

Coeficiente C para lluvias de: 25 mm/hr 100 mm/hr 200 mm/hr 0.63 0.65 0.66 0.47 0.56 0.62 0.38 0.38 0.38 0.18 0.21 0.22 0.29 0.36 0.39 0.02 0.17 0.23 0.02 0.1 0.15

Cuadro 8.5 : Coeficiente C para cuencas agrícolas y suelos arenosos y francos Con potencial de escorrentía moderadamente bajo (Suelo Tipo B)


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Factores para transformar C de suelos tipo B para suelos tipos Tipo A Tipo B Tipo C 0.89 1.09 1.12 0.86 1.09 1.14 0.86 1.11 1.16 0.84 1.11 1.16 0.81 1.13 1.18 0.64 1.21 1.31 0.45 1.27 1.4

Cobertuta vegetal y condición Hidrológica Cultivo en hilera, mal manejo Cultivo en hikera, buen manejo Granos pequeños, mal manejo Granos pequeños, buen manejo Pastos en rotación, buen manejo Pasto permanente, buen manejo Floresta madura, buen manejo

Cuadro 8.6 : Factores de conversión de C para otros suelos

Tipo de Suelo A B C D

Descripción

Mínimo potencial de escorrentía : incluye arenas profundas con muy poco limo y arcilla; suelos muy permeables (arenosos) Potencial de escorrentía moderadamente bajo: suelos arenosos y francos, menos profundos y menos consolidados que en A. Potencial de escorrentía moderadamente alto: suelos poco profundos con apreciable arcilla y coloides Máximo potencial de escorrentía: suelo con alto tenor de arcillas expansivas; incluye suelos poco profundos son subsuelo impermeable

Infiltración mínima (mm/hr) 8 - 12

4-8 1-4

0-1

Cuadro 8.7 : Descripción de Tipo de Suelo

Ejemplo de Aplicación No. 1 Determinar el caudal del proyecto para una lluvia de 50 años de período de retorno en una cuenca de 40.5 Ha. Con las siguientes características:

Sub - Area 24.3 Ha

Pendiente (%) Plana

T ipo de Suelo C

16.2 Ha

10 a 30

B

Us o del s uelo y c ondic ión hidrológica Cultivo Hilera, curvas de nivel, buen manejo Floresta madura, bueno

El máximo trayecto de la escorrentía es de 610 m. y la diferencia de altitud en ese trayecto es de 3.0 m. Solución: -

La pendiente de la cuenca es de 3/610 = 0.5 %

-

Del Cuadro 8.4 o de la ecuación (8.32), se calcula Tc = 20 min.

-

De las curvas I-D-F del lugar (arbitrarias, en este caso) se extrae la precipitación del proyecto con T = 50 años de período de retorno y duración de 20 min; siendo este valor de 97 mm/hr.

-

Los coeficientes C del Cuadro 8.6 son 0.56 y 0.10 respectivamente para cada parcela, y el factor de corrección, para suelo C a partir del suelo B, primera sub-área, es de 1.09 (Cuadro 8.6), así:


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C = (24.3 / 40.5) * 0.56 *1.09 + (16.2 / 40.5) * 0.10 = 0.41 la descarga del proyecto es:

Q = (0.41 * 97 * 0.405) / 3.57 = 4.51 Diversos tipos de tablas son ofrecidos en la literatura para determinar el coeficiente de escorrentía C sin tener en cuenta específicamente el tipo de suelo como se muestra en el Cuadro 8.8:

USO DEL SUELO Superficies impermeables Terreno esteril montañoso Terreno esteril omdulado Terreno esteril plano Prados, campiñas Bosques de follaje caduca Bosques de follaje permanente terrenos cultivados en zonas altas Terrenos cultivados en valles

COEFICIENTE C (%) 90 - 95 80 - 90 60 - 80 50 - 70 40 - 65 35 - 60 25 - 50 15 - 40 10 - 30

Cuadro 8.8 : Coeficientes de Escorrentía

Una de las aplicaciones más comunes del método está en el dimensionamiento de cunetas de carreteras y vías férreas que cortan un gran número de cuencas pequeñas impidiendo el flujo libre de la escorrentía superficial. Del mismo modo, existen normas fijadas por la experiencia, como fue mencionado anteriormente, para el establecimiento del período de retorno usado en el proyecto; en este caso es importante tener en cuenta las siguientes recomendaciones: a)

b)

En carreteras secundarias y de una solo vía, la salida de las cunetas deben permitir evacuar avenidas de 10 años de período de retorno sin ahogamiento de la entrada y avenidas de 25 años de período de retorno con una carga sobre la entrada de la alcantarilla siempre que no sea superior a dos veces el diámetro de la misma. En carreteras más importantes (de doble vía), el período de retorno para flujo ahogado pasa para 50 años.

La aplicación del método racional en el dimensionamiento de sistemas de drenaje pluvial urbano son numerosas. El método racional nos permite calcular un único valor de caudal del hidrograma, la correspondiente a la descarga pico. En muchos problemas hidrológicos esa sola información no es suficiente, siendo necesario conocer la distribución temporal de la escorrentía superficial, o sea el hidrograma completo; en esos casos se debe recurrir a otras técnicas, como el Hidrograma Unitario Sintético. Dentro de estas técnicas se tiene el Hidrograma Unitario Sintético de Snyder y el Hidrograma Unitario SCS, los cuales han sido vistos anteriormente.


8-16


8.11

FORMULAS EMPIRICA

Se recomienda su uso, únicamente, en caos donde no sea posible aplicar ninguno de los métodos señalados anteriormente.

8.11.1 Fórmula de Burki - Ziegler Q = 0.022 MRC 4

S M

(8.34)

donde: Q M R S C

= Caudal pico de la creciente en m3/seg = Area de la cuenca (ha) = intensidad media durante la lluvia crítica (Precipitación media) en cm/hr = Pendiente media de la cuenca (m/km) = Coeficiente que depende de la superficie del terreno y varia de 0.25 a 0.75, ver cuadro 8.9

Tipo de Superficie Calles pavimentadas y barrios bastante edificados calles comunes de ciudades Ploblados con plazas y calles en grava Campos deportivos

C

0.75 0.625 0.3 0.25

Cuadro 8.9 : Valores de variable C para formula de Burki - Zeigler


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Teoria Maximas Avenidas Dic 2012

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