Pandeo Teoria 2012 Mec

Universidad Tecnológica Nacional

ESTABILIDAD II

Facultad Regional Santa Fe

Ing. MECÁNICA

TEORÍA 3 PANDEO P

P

P

P

Profesor Titular:

Ing. Hugo Tosone JTP:

Dr. Federico Cavalieri Marzo de 2012

CONTENIDOS. Pandeo, concepto. Pandeo en el período elástico. Hipótesis. Planteo energético. Determinación de la carga crítica de pandeo por análisis geométrico. Diversos modos de vinculación. Capacidad de carga de acuerdo al modo de sustentación. Soporte elástico. Influencia de la calidad del acero. Tensión crítica de pandeo, hipérbola de Euler. Esbeltez límite para la validez de la fórmula de Euler. Forma conveniente de la sección. Eficacia de la forma de la sección y parámetro que la define. Influencia del esfuerzo de corte. Pandeo con deformaciones inelásticas. Método empírico-experimental (Tetmejer). Teorías del módulo tangente simple (Engesser) y del doble módulo (Engesser-Karman). Comparación entre ambas teorías y conclusión. Carga crítica Real. Normas. Procedimiento “omega” utilizando la norma DIN 4114. Tensión admisible al pandeo. Dimensionado directo (método Domhke), forma de proceder. Carga excéntrica aplicada a barras esbeltas (inexactitud en la aplicación de la carga). Deformaciones y tensiones que se producen. Influencia de la inexactitudes en la forma recta. Otras fórmulas para el proyecto de columnas. Aplicaciones.

ESTABILIDAD - ESTABILIDAD  - RESIST. DE MATERIALES

PANDEO

Pandeo de barras rectas Concepto: Se denomina pandeo al estado especial de equilibrio que se presenta en barras que soportan una fuerza axial de compresión, siendo su longitud relativamente importante en relación con sus dimensiones laterales. En tal caso puede no ser suficiente verificar la resistencia mecánica por el método de las tensiones mediante la comprobación:

P   adm F

[1]

Ello se debe a que interviene la longitud de la barra como nueva variable y consecuentemente la tensión de compresión admisible que pueda soportar teniendo en cuenta esta nueva variable, será menor que la resistencia a la compresión adm.

PANDEO EN EL PERÍODO ELÁSTICO. Hipótesis admitidas. Se realizará el análisis de la barra comprimida sobre la base de las siguientes hipótesis clasificadas de acuerdo a: FORMA DE LA BARRA

MATERIAL

CARGA

Eje rectilíneo

Homogéneo, isótropo, elástico.

Dirección colineal con el eje de la barra.

Cumple con la ley de Hooke Sección uniforme

Los módulos de elasticidad a Aplicada en el centroide G tracción y a compresión son igua- de la sección transversal. les: Etración. = Ecompr = E

Planteo energético: Sea la barra articulada en ambos extremos representada en la fig.1, a la que se le aplica una carga P de cierta intensidad cumpliendo con las hipótesis anteriores. En las condiciones establecidas la barra permanecerá rectilínea y en equilibrio. Se busca establecer en que condición de equilibrio se encuentra la barra en relación con la intensidad de P luego de perturbarla lateralmente con una pequeña fuerza H que se retira inmediatamente.

P

P



Hecho lo anterior, P bajará una pequeña cantidad estipulada  entregando el trabajo (energía) L=P., la barra se curvará almacenando l

energía potencial de deformación elástica U   (M 2  dz ) /(2  E  Ix) , y 0

podrá ocurrir una de las tres siguientes posibilidades: 1. Recobrará su forma rectilínea original. 2. Permanecerá ligeramente doblada (elásticamente). 3. Se doblará hasta la destrucción. Caso 1: Si U > L, al desaparecer la perturbación H, la barra recobrará su forma original. El estado de la barra es de equilibrio estable. PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

-1-

fig.1


PANDEO

Caso 2: Si U = L ambas energías son iguales y la barra permanecerá levemente curvada. El estado de la barra será de equilibrio indiferente. Caso 3: Es U < L al desaparecer la perturbación H la energía “P.” entregada por P, es mayor que la energía de deformación elástica U almacenada por la barra, siendo el proceso irreversible y produciéndose el colapso. El estado de la barra es de equilibrio inestable. Interesa el “caso 2” (equilibrio indiferente). Se deberá determinar la intensidad de la carga Pk que produce tal condición. A la carga Pk se la denomina “carga crítica de pandeo”.

Determinación de la carga crítica de pandeo Pk (análisis geométrico) Para un pequeño tramo de barra de longitud “dz” ubicado en la coordenada z (fig.2), al efectuar la reducción de Pk al centroide de la correspondiente sección, surgirá un momento flector M=Pk  y además de la fuerza Pk trasladada a dicho centroide, la que Pk no se ha representado en dicho lugar.

y

La ecuación diferencial de la línea elástica, por la acción del momento M (despreciando el esfuerzo de corte), es la siguiente:

M Pk y"    y E  Ix E  Ix resulta:

y haciendo:

y " k ². y  0

M

Pk k²  E  Ix

[2]

En la expresión de k² es necesario considerar al momento de inercia mínimo de la sección, ya que la flexión se producirá naturalmente en relación con el eje de mínima inercia. Hay excepciones que se verán en los trabajos prácticos.

y

l

z

M

z

La ecuación diferencial homogénea [2] tiene por solución general:

y  C1  sen(k  z)  C2  cos(k  z)

Pk

en la que C1 y C2 pueden determinarse en base a condiciones de contorno. Por ejemplo para z=0 la flecha resulta y=0. Reemplazando dichos valores en la solución se obtiene:

0  C1  0  C2  1 Queda:

y  C1  sen(k  z )

de donde:

C2  0

que representa una senoide de amplitud C1.

Para determinar C1 se tiene en cuenta que para: z=l, es y=0, por lo tanto:

0  C1  sen(k  ) En este producto la amplitud C1 no es nula y en consecuencia deberá ser:

sen(k  )  0 lo que se cumple para:

k    0   , 1  , 2   , .... n  

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-2-

fig. 2


Si:

k   0

k  0,

resulta:

k2 

pero:

PANDEO

Pk E  Ix

lo que implica Pk = 0, cosa que no resulta de interés para el caso. Si:

k  

resulta: k 



 k2 



2 2

pero: k ² 

Pk E  Ix

Teniendo en cuenta que Ix es el mínimo momento de inercia, queda finalmente:

Pk 

 2  E  I min 2

[3]

Esta expresión permite obtener el valor de la carga P k que mantenga a la columna en situación de equilibrio indiferente. Representa una hipérbola en el plano (l,Pk) denominada hipérbola de Euler, que tiene la misma forma que la de la fig.6 A Pk se la denomina carga crítica de pandeo y es el valor límite por sobre el cual se produce el colapso. Por tal motivo a ese valor se lo deberá afectar por un coeficiente de seguridad. La carga crítica de pandeo se conoce también con el nombre de carga crítica de Euler que se identificará como “Pe”. Si k    2   , 3   ,.... n   , resultaría una carga n² veces mayor que “Pe”, pero como el colapso se produce al superar la primera, no resulta de interés ninguna otra solución. La carga crítica de pandeo de Euler obtenida corresponde a “extremos articulados”. Para esa situación los extremos de la barra no soportan momento flector alguno (tener en cuenta que: “M=P.y” siendo y=0 en los extremos. En consecuencia la curvatura tiende a ser nula en dichos extremos, donde están los puntos de inflexión de la senoide y=C1.sen(k.z). Consecuentemente la longitud l es la distancia entre puntos de inflexión.

Pk

Pk

Pk

Se la denominará “le” (longitud efectiva de pandeo).

le

La expresión para pandeo elástico puede entonces generalizarse así:

Pk  Pe 

  E  Imin

le

2

2e

le

[3´] le

Otros tipos de vínculo: De acuerdo a lo analizado antes, en casos como los representados en la fig. 3, en los que es posible imaginar la forma que adquiere la barra al actuar la perturbación H, la longitud efectiva de pandeo será la distancia entre puntos de inflexión de la senoide. Para cualquiera de ellos la longitud efectiva de pandeo se calcula con la expresión:

le =  . l

[4]

en la que  depende del tipo de vínculo. PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

-3-

le = l 

le = 0,5 l 

fig. 3

le = 2 l 


PANDEO

La carga crítica de pandeo Pk será menor que la carga de rotura o la de fluencia, e inclusive menor que la de proporcionalidad del material. Por ello es posible que al producirse el equilibrio indiferente, la barra esté soportando tensiones menores a las mencionadaslo que se debe a una cuestión entre energías interior y exterior y no por haberse agotado la resistencia mecánica del material. Otros casos diferentes: Para otras situaciones distintas a las ya tratadas, se realiza el análisis procediendo de modo similar al caso de la barra articulada en ambos extremos, pero al efectuar la integración de la ecuación diferencial se deben establecer condiciones particulares de acuerdo al caso que se trate. En cualquier caso se obtiene al final una expresión del tipo:

k    K   , en la que K es un número real.

Pk

le

Procediendo de modo similar que al deducir la fórmula de Euler, se obtiene finalmente la expresión:

Pk 

 2  E  I min  2  E  I min   ²  2  2e

en la que el factor 2 es la inversa de K 2 .

fig. 3´

La longitud efectiva de pandeo “le” adquiere valores particulares de acuerdo al tipo de vinculación. Por ejemplo, en el caso de extremo superior articulado y extremo inferior empotrado, fig. 3´, resulta =0,7 lo que implica que la longitud efectiva de pandeo es el 70% de la real. Capacidad de carga de acuerdo al modo de sustentación De acuerdo a lo visto anteriormente, se puede comprender la influencia que tienen las condiciones de sustentación de la barra en el valor de la carga crítica. Además, cuanto mayor resulte la carga crítica mayor será la carga admisible. Se comprueba fácilmente que la barra empotrada en ambos extremos soporta 16 veces la carga correspondiente a la barra que posee un extremo libre y otro empotrado. Por ello y siempre que sea posible es recomendable empotrar los extremos. Ello en la práctica no siempre puede considerarse factible ya que los elementos que sirven de apoyo suelen poseer elasticidad en mayor o menor grado. Esto último introduce cierta incertidumbre en los cálculos, por lo que ante la duda es conveniente considerar la situación más desfavorable (extremos articulados), lo que implica un mayor grado de seguridad. Soporte ó apoyo elástico: Un caso de interés práctico se presenta cuando las restricciones en los extremos son elásticas y con respuesta proporcional a los desplazamientos angulares : “M=K.” en la que K es un factor de proporcionalidad, que opera como rigidez del apoyo elástico (=M/K). En este caso la longitud efectiva de pandeo de la barra analizada, depende de la relación entre la rigidez de los apoyos y la rigidez de la barra. La rigidez de los apoyos oscila entre “cero” e “infinito” lo que equivale a una transición entre extremos articulados y extremos empotrados. Por lo tanto el factor  que afecta a la longitud real “l” variará entre 1 (articulado-articulado) y 0,5 (empotrado-empotrado). PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

-4-


Como se dijo antes, si los extremos rotan un ángulo , entonces el par de momento M que surge en ambos apoyos es directamente proporcional a la rotación .

PANDEO

 1

Realizando el análisis con la misma condición de borde en ambos extremos, se obtienen los valores de  en función de la rigidez relativa entre apoyos y la barra: M





[5]

EI

0,5

e



que se muestran en la fig. 4 y en la tabla de valores numéricos.

5

El numerador de la [5] representa la rigidez de cada uno de los apoyos (iguales) mientras que el denominador corresponde a la rigidez de la barra.

10

15

20

25

fig. 4



0

1



1

0,860 0,775 0,720 0,685 0,657 0,635 0,620 0,606 0,597 0,588 0,581 0,575 0,568 0,560 0,545 0,535

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

15

20

25

Ejemplo: Calcular la longitud de pandeo para el tramo vertical de la estructura representada, la que soporta la acción de una carga P. Calcular luego la carga Pk. siendo E =2,1x106 [kgf/cm2]

Pero:

E1  E2

entonces:



3  E1  I 1   a

M

M





E2  I 2 L



3  E1  I 1 L  a E2  I 2

I1  I 2

a=120 cm

3  L 3  60   1,5 a 120

P

E1

C

interpolando en la tabla:   0,8175  L    L  0,8175  60  49cm

A

E2

e

además: I 

2  13 1  por lo que finalmente resulta: 12 6

P D

P

1cm

2 2 6 Pk    E2 I min    2,1  102  (1/ 6)  1439 kgf  Le 49

2cm



fig. 5 PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

L = 60 cm

M a  3  E1  I1

-5-

M


PANDEO

Calidad del acero: En la fórmula de Euler (válida solamente en el período elástico) se observa que la carga crítica Pk no depende de la resistencia del material (adm), estando relacionada solamente con la constante elástica E. Debido a que los aceros, independientemente de su mayor o menor calidad y resistencia (composición química y tratamientos térmicos), poseen un módulo de elasticidad que oscila entre 2 y 2,15x106 [kgf/cm²], resulta que “para pandeo en el período elástico no se justificaría en principio utilizar aceros de alta calidad”. Tensión crítica de pandeo Dividiendo ambos miembros de la fórmula de Euler por la sección transversal F de la barra, el primer miembro será la tensión de compresión, obteniéndose:

Pk  2  E I min  2  E 2 E 2 E     i ² min    2e F  2e F  2e ² i ² min

k

hipérbola de Euler

El cociente entre la longitud efectiva de pandeo “le” y el radio de giro mínimo imín se denomina “esbeltez de la columna” y se lo designará con la letra griega “”. La expresión de la tensión es entonces:

2 E k  [6] ²

siendo:



e i min

fig. 6



La fórmula anterior permite calcular el valor de la tensión de compresión para la condición de equilibrio indiferente y por lo tanto representa la tensión crítica de pandeo en función de la esbeltez . Se observa que la tensión es inversamente proporcional al cuadrado de la esbeltez . A la curva de la figura 6, que representa esa relación se la conoce con el nombre de hipérbola de Euler para las tensiones. Límite de validez de la hipérbola de Euler: En la fig. 6 se observa que a medida que  disminuye (columnas cortas), la tensión crítica puede crecer indefinidamente. Sin embargo, cuando k > p (p: límite de proporcionalidad) la fórmula de Euler ya no podrá ser utilizada porque el módulo de elasticidad E solamente es constante en el período elástico. En la figura 7 se muestra el diagrama de ensayo del acero y la hipérbola de Euler. Si en la fórmula de Euler se coloca “p” en lugar de “k” y se despeja le esbeltez , se obtiene el valor límite inferior 0 resultando:

0   .

E

p

[7]

Para esbelteces menores a ese valor no es de aplicación la fórmula de Euler. A la esbeltez “0” se la suele denominar también “lim”. PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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PANDEO

Ejemplos: Para el acero St-37 con: E=2.100.000 [kgf/cm²] y p=1900 [kgf/cm²] resulta: 0104. Para el acero St-52 con: E=2.100.000 [kgf/cm²] y p=2880 [kgf/cm²] resulta: 085. En la fig. 7 se representa con línea llena la parte de la hipérbola que es de aplicación y con línea de trazos la parte que no se considera por los motivos expuestos.

 r e

k

Diagrama convencional ( - )

f p

Hipérbola de Euler

p 

fig. 7

lím



Forma conveniente de la sección transversal a) Si el modo de pandeo es único para cualquier plano de flexión Es conveniente que la sección posea el mayor radio de giro posible. Las secciones huecas como la corona circular mejoran notablemente esa condición puesto que el radio de giro “i” resulta muy grande en relación con el área F de la sección. Se comportan mejor las secciones con formas regulares como lo son el triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, círculo, etc, las que poseen radio de giro uniforme (momento de inercia uniforme) para cualquier posición del eje centroidal de referencia (ver concepto de momento de inercia para rotación de ejes). b) Si el modo de pandeo es distinto para diferentes planos de flexión En ciertos componentes, como por ejemplo una biela para la cual el modo de pandeo según el plano que contiene al eje de los pernos, es diferente al modo de pandeo para el plano que es perpendicular a dicho eje, puede ser conveniente que la sección posea distintos radios de giro en correspondencia con dichos modos de pandeo, de modo que la esbeltez resulte igual para ambos planos de flexión.

Pernos

Empotrado - Empotrado  = 0,5 )

Articulado - Articulado  = 1 )

La fig. 8 ilustra bien la situación. En la guía de trabajos prácticos se analiza este caso.

Eje de flexión ( i: mínimo )

Eje de flexión ( i: máximo )

fig. 8 PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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PANDEO

Eficacia de la forma de la sección. Parámetro que la define. Una forma de medir la “eficacia” de la sección transversal de una columna, es utilizando la relación adimensional:

imin Imin  [8] . En la siguiente tabla se brindan algunos valores: F F imin Imin  F F 0,204

Forma de la sección Rectángulo, h/b = 2 Círculo

0,282

Cuadrado (h/b=1)

0,289

Triángulo equilátero

0,310

Perfil I

0,33 chicos, a 0,27 grandes, promedio:0,30

Perfil U


Perfil L


Anillo: di/de = 0,9a 0,96

0,87 a 1,4

Influencia del esfuerzo de corte Q sobre la carga crítica En la deducción de la carga crítica Pk se utilizó la ecuación de la línea elástica considerando solamente la acción del momento flector y despreciando la influencia del esfuerzo de corte Q. En el presente análisis se tendrá también en cuenta dicho esfuerzo de corte. Se analizará una barra de eje recto sometida a compresión axial y curvada por una perturbación H que la saca de la posición recta ideal, fig.9. Una sección genérica en la coordenada z, se encuentra sometida a un momento flector M y a una fuerza vertical Pk, la que se puede descomponer en una fuerza N perpendicular al plano de la sección y una fuerza Q contenida en dicho plano. Debido a que las deformaciones son pequeñas se puede escribir:

dy  tg  sen   dz

en la que el ángulo 

Pk y

N z

y

Q

Pk



M

Q

l z

está expresado en radianes. Resulta entonces:

Q  Pk  sen  Pk 

dy dz

La “rotación” adicional de la línea elástica generada por la fuerza de corte Q, como primera aproximación es la distorsión  del prisma de la fig. 9 (a la derecha):

y '(Q)   

 G



 Q F G

donde:



 Q

Pk

Pk

sen 

fig. 9



tg 

F

Recordar que  (coeficiente) permitía calcular la máxima tensión de corte en correspondencia con la fibra central y dependía de la forma de la sección. Su valor es 1,5 para la sección PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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PANDEO

rectangular, 4/3 para la circular, etc. Pero para calcular el corrimiento angular para dos secciones contiguas se debería utilizar un coeficiente denominado factor de cortadura “”, ver Belluzzi Tomo 1, pág. 241. Mediante un análisis energético se demuestra que dicho coeficiente se obtiene con siguiente expresión:



2 y '' S 1  dy . F  i 4 y ' b

y su valor es 1,2 para la sección rectangular, 1,11 para la circular, etc, mientras que para las secciones dispersas como los perfiles laminados puede estar comprendido entre 2 y 3. En la expresión de , F es el área, i el radio de giro, mientras que S y b son el momento estático y el ancho de la sección para cada valor de la variable “y” en la integral. No obstantem si se considera simplemente a , la variación de la pendiente causada por la fuerza de corte Q, representa la curvatura adicional por dicho motivo, y es la derivada primera de y’(Q). Reemplazando además Q en función de Pk se obtiene y usando el coeficiente  que es un valor mayor que  resulta:



dQ  d   dy    Pk dy 2 y´´(Q)     Pk      F  G dz F  G dz   dz  F  G dz 2 La curvatura total de la elástica se obtiene sumando la curvatura originada por el momento flector M, a la curvatura producida por el esfuerzo de corte Q.

d2y dz 2



Pk  y   Pk d 2 y   EI F  G dz 2

P    Pk  y´´1   k y F G  EI 

Haciendo:

k2 

y´´ 

ó:

y´´



Pk

Pk

   Pk  E  I  1   F G  

queda:

   Pk  E  I  1   F G  

Pk   Pk y  y´´ EI F G y0

y  k 2  y  0

Procediendo del mismo modo que al deducir la fórmula de Euler, a partir de esta nueva ecuación diferencial se obtiene:

n l A la carga crítica Pk se la obtiene con el menor valor de n es decir n=1 resultando. sen(kl)  0

k  2

2 l

2



Operando:

kl  n



Pk

   Pk  E  I  1   F G  

Pk  Pe 

k

ó



  Pe

F G

 Pk

2 EI l

2






Pk  Pe siendo Pe la carga de Euler.   Pk 1 F G

   Pe  Pk  1    Pe F G  

-9-


Resultando finalmente:

Pk  Pe 

1    Pe  1   F G  

 K  Pe

PANDEO

[9]

entonces:

Pk  Pe

Ello significa que debido a la acción de la fuerza de corte, la carga crítica disminuye por que1 dar afectada por la relación que es menor que la unidad.    Pe  1   F G   Cuando se trata de barras macizas esta relación difiere muy poco de la unidad. Para acero con =1/3 es: G  y además:

Pe 2 E  e  F 2

Resulta entonces:

E E E   G 2(1   ) 2(1  0,333) 8 / 3

ó:

  Pe

F G



  1 Pk  Pe  80   1 3  2 

 G

3 E 8

   2  E 10  8   80    2  2  G  3 3  2

    Pe  K  

Si se calcula el error que se comete al no tener en cuenta el corte Q, para tres valores de la esbeltez y del coeficiente de forma , se obtienen los valores tabulados a continuación: 

=1

30 100 150

3% 0,27 % 0,12 %

 = 4/3

 = 3/2

4% 0,36 % 0,16 %

4,4 % 0,4 % 0,18 %

Si se hubiese utilizado  en lugar de , los errores habrían sido menores aún. Como ejemplo de aplicación calcular la carga crítica Pk para una barra de acero biarticulada de sección circular, si se sabe que posee un diámetro de 0,05 [m] y una longitud de 1,30 [m]. Calcular además el error porcentual al no considerar al esfuerzo de corte.

PANDEO CON DEFORMACIONES ANELÁSTICAS Método Empírico experimental (Fórm. de Tetmajer). Realizada una gran cantidad de ensayos con probetas de distintos materiales, y para cada material con distintas esbelteces, Tetmajer propuso ajustar los resultados de dichos ensayos con una línea que en particular para el acero es una recta del tipo:

k  a  b

[10]

k

a

Hipérbola de Euler

f fluencia Recta de Tetmajer

denominada “de Tetmajer” en la que a y b son coeficientes que dependen del tipo de material. Para el acero St 37 (A-37 ó F24): a=310, b=1,14[MPa] PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

lím

fig. 10 - 10 -




resultando:

k  310  1,14 

PANDEO

a y b en [MPa]

Para esbelteces muy pequeñas, la tensión K según la recta de Tetmajer, se acercaría al valor 310. No obstante como el material alcanza la fluencia aproximadamente para el valor de f = 240 [MPa], dicha tensión de 310 [MPa] no se puede alcanzar. Por lo tanto la recta de Tetmajer será válida entre la tensión de fluencia y la de proporcionalidad P. Se debe tener en cuenta que los resultados de los ensayos para pequeñas esbelteces, se alinearán sobre una recta horizontal de valor f (fig.10). Teoría del módulo tangente simple (Engesser) El planteo de esta teoría propuesta por Engesser se basa en: 1. Se utiliza la verdadera curva del diagrama experimental tensión deformación (–) para compresión. Se trata del tramo ED del diagrama de la fig.11. 2. Se suponen validas las hipótesis idealizantes: Barra perfectamente recta y sección uniforme. Fuerza axial aplicada en G y colineal con el eje. 3. Es válida la hipótesis de Bernoulli (las secciones originalmente planas se mantienen planas luego de la deformación y giran alrededor de la línea neutra (eje neutro).



D

k

C

c

E

[%]



fig. 11

Análisis previo: Se considera la acción de una carga axial P creciente sobre una columna de esbeltez tal que pandea en el campo inelástico. El diagrama  -  para el material es el que muestran las figuras 11,12(e) y (e´), en los que  representa la tensión normal de compresión (uniformemente distribuida en la sección transversal). La tensión crítica de pandeo k y la deformación inelástica correspondiente están representadas por un punto en las cercanías de C sobre la curva, donde ocurren pequeñas deformaciones plásticas. El problema consiste en obtener la carga crítica Pk= F. k, es decir la carga mínima capaz de mantener a la columna en posición ligeramente curvada luego de aplicar una perturbación H simultáneamente con el último incremento de carga para alcanzar la carga Pk. A medida que aumenta la carga P, crecen las deformaciones específicas “” pero se mantienen uniformemente distribuidas. Graficando las deformaciones  y las tensiones para los distintos valores de la carga, se obtienen las rectas paralelas “1”, “2”, “3” y “4”, tanto para  como para  en las figuras 12(a) y 12(b). Al aproximarse P al valor Pk, se le aplica una perturbación “H” simultáneamente con el último incremento de carga, alcanzando el valor Pk. El diagrama se deformaciones específicas  presentará la distribución lineal “5” de la figura 12(c), por ser válida la hipótesis de Bernoulli (de las secciones planas), y por tratarse de un esfuerzo combinado de flexo-compresión. El diagrama de tensiones normales  en la sección nn correspondiente a la deformación con la viga levemente curvada, es el indicado con AB en la fig. 12(d). Se puede suponer una variación lineal de las tensiones (línea AB) debido a que el tramo curPANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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PANDEO

vo CC¨ del diagrama ampliado de la fig.12-e´, puede reemplazarse por la tangente CC´.

P

P

Pk

P

Pk

Pk  A



k

C´

5

K

B

 + 

E1 

-

5



n n

n

H

[%]



n

n n

n





(b)

(c)

(d)

+

M=Pk.y

n



(f)



C´ C´´

k

´´

n

(e)

(a)

Pk

E





c

´

C



4 3 2 1 n

-

D

C

D

c

E

(e´)

fig. 12 La pendiente para el ángulo C es igual al módulo de elasticidad Et (módulo tangente) en las proximidades del punto C. Se puede considerar que Et es constante para el incremento de la deformación especifica desde  hasta “+” para dicho tramo CC´. Esto equivale a sustituir el tramo CC´´ de la curva por el tramo CC´ de la tangente en C, lo que está justificado por ser  muy pequeño. Por tal motivo, al multiplicar  (lineal) por E (constante), se obtiene finalmente una tensión  lineal (AB). El incremento de tensión entre A y B es = E 1 .   . Solución por el módulo tangente simple Cuando se analizó la deformación de vigas (línea elástica) en el campo elástico con E= cte, se aceptó como válida la hipótesis de Bernoulli de las secciones planas. Por lo tanto las deformaciones  presentaban distribución lineal en toda la sección. Siendo además, el módulo de elasticidad Ë¨ constante para todas las fibras, entonces las tensiones  también tenían distribución lineal en la sección. Bajo esa hipótesis se dedujo la ecuación diferencial de la línea elástica: y 

M EI

en la que E representa el módulo de elasticidad en el período elástico. En el caso de deformaciones inelásticas, si se acepta que las deformaciones  varían muy poco para todas las fibras de la sección por ser  muy pequeño como antes se planteó, entonces Et = tg C (módulo tangente) se mantendrá ¨casi uniforme¨ (constante) para todas las fibras y las tensiones  se distribuirán también linealmente. Por lo tanto se puede recurrir al mismo razonamiento (para relacionar deformaciones con momento flector M) que el utilizado en el campo elástico y plantear: PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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y 

PANDEO

M Et  I

donde Et (considerado constante para todas las fibras) es el módulo tangente.

M ( x)  Pk  y

Como:

ó

y   k 2 y  0

Pk 

de donde:

y  

entonces resulta:

con:

 2  Et  I le2

k2 

Pk Et  I

[11]

Pk  y Et  I

que conduce finalmente a: k  l  

ó:

 2  Et k  [11´ ] 2

La [11´] representa la tensión crítica expresada en función del módulo tangente E t, cuyo valor en principio no se conoce ya que depende precisamente de la tensión k que se pretende calcular. Resolución gráfica para módulo tangente simple. El cálculo de k o de Pk para una barra de material y dimensiones dadas sometida a compresión, implica un proceso de aproximaciones sucesivas, ya que el valor de Et no se conoce si no se conoce el valor de k. De hecho, se debe disponer del diagrama de ensayo - del material, con el que se pueden determinar los valores del módulo tangente para distintas tensiones, para poder trazar una gráfica como la de la figura 14.

E

Et

k

Se puede calcular k (ó Pk) en base a un valor de Et supuesto (tentativo), usando la [11´] o la [11]. .

A

material: Et = f 

f  barra: Et = f 

Luego de obtenida la tensión k con la expresión O (11´), se verifica si a esa tensión le corresponde en la fig. 14 gráfica el valor Et que se supuso, caso contrario se debe recalcular con otro valor de Et hasta obtener una tensión k a la que le corresponda en la gráfica un módulo Et coincidente con el que se utilizó en el cálculo de k. Resolución gráfica: para evitar el proceso de tanteos se puede proceder del modo que sigue. Suponiendo que el módulo tangente es Et entonces se puede plantear la (11´) así:

k 

 2  Et 2

ó:

Et 

2 2   posee un valor único (constante) para una barra k en la que 2 2

en particular, por lo que resulta:

Et = K . k [12]

Esa expresión corresponde a la recta representada con la línea de trazos en la gráfica de la fig. 14, en la que el eje E coincide con el eje , pero se lo dibuja arriba junto a la zona cuadriculada, para una lectura más cómoda.


- 13 -


PANDEO

El punto A de intersección con la curva E= f ( ) posee las coordenadas k y Et que cumplen con la ecuación [12] deducida para pandeo según el módulo tangente, como así también con los valores E- correspondientes al ensayo del material matrial. Teoría del “Doble módulo” (o del módulo de pandeo de Engesser - Karman) En esta teoría se suponen válidas las mismas hipótesis utilizadas para la teoría del módulo tangente (simple) de Engesser, pero se introduce una modificación en el proceso de aplicación de la carga hasta alcanzar el valor de la carga crítica Pk. Se considera una barra de eje recto de una esbeltez tal que pandee en el campo anelástico, cargada axialmente de modo que se encuentre en estado de equilibrio indiferente. Estará sometida a una tensión de compresión uniforme k > P y la deformación especifica será . En la fig. 15 se ha representado el diagrama -, como así también a la propia barra dispuesta paralela al eje horizontal, para representar las deformaciones en la sección, y a la barra en forma vertical para representar las tensiones.

 S

K

n lado cóncavo

A´

A

-

DEFORMACIONES B

B´

n

n BARRA

lado cóncavo





lado convexo

i

TENSIONES

e = E e

T

  e

BARRA

i = Et i

C E

lado convexo n

c

fig. 15

El punto C del diagrama representa la tensión  alcanzada luego de aumentar la carga P hasta alcanzar el valor límite al que le corresponde una deformación . Si se le aplica una perturbación H, la barra se curvará. Al producirse la flexión las secciones originalmente planas y paralelas se inclinan una respecto de la otra lo que ocasiona que las fibras exteriores (lado convexo) disminuyan su deformación la cantidad e,y las fibras interiores (lado cóncavo) aumenten su deformación la cantidad i tal como muestra la línea A´B´ de la fig. 15.


- 14 -


PANDEO

Las fibras del lado cóncavo que se acortan un poco más, aumentan la tensión de compresión. El diagrama - correspondiente es el tramo CS de la curva al que le corresponde un módulo de elasticidad Et dado por la tangente del ángulo C Para las fibras del lado convexo que se “relajan” (se alargan en relación con el estado de acortamiento previo), el diagrama - correspondiente es el tramo CT de la curva al que le corresponde el módulo de elasticidad E del período elástico, cuestión que se estudió en oportunidad de analizar el diagrama de ensayo en el curso anterior. Significa que las fibras de la barra dispuestas a uno u otro lado (en la barra) trabajan con diferentes módulos de elasticidad a diferencia de lo que ocurre en el caso del módulo de elasticidad simple (teoría de Engesser). Por tal motivo Karman propone una modificación que consiste en el uso de un módulo que denomina “módulo reducido”, “doble módulo” ó “módulo de pandeo” que se identifica con la letra “T”, e involucra a los módulos Ë¨ y Ët”, dependiendo además de la forma de la sección. Es posible demostrar que para cualquier sección maciza puede usarse con suficiente aproximación el valor de T calculado para la sección rectangular, con el que se puede calcular la tensión crítica de pandeo k:

T



4  E  Et

E  Et 

2

[13]

2  T [14] k  2 

Como T es siempre mayor que Et las predicciones de las cargas de pandeo anelástico utilizando la teoría del “doble módulo” T, son mayores que las que corresponden a la teoría del módulo tangente simple Et. No obstante los valores de la carga crítica obtenidos por medio de ambas teorías difieren muy poco entre sí y su diferencia no tiene importancia a los fines prácticos, habiendo sido ambas plenamente comprobadas por experiencias y ensayos. La diferencia fundamental entre ambas teorías radica en el momento en que se aplica la perturbación H que encorva a la barra. Según la teoría del módulo simple Et, la perturbación H que encorva a la barra se aplica antes que se alcance la tensión crítica y en consecuencia todas las fibras se siguen acortando, por lo que corresponde el mismo módulo de elasticidad Et a todas ellas. Según la teoría del doble módulo T, la perturbación H se aplica luego de alcanzarse la tensión crítica, lo que trae como consecuencia que las fibras del lado convexo se comporten elásticamente con un módulo de elasticidad E (pues se produce en ellas una descarga) mientras que las del lado cóncavo se comporten anelásticamente con un módulo de elasticidad Et. Análisis crítico de las teorías del módulo tangente simple y del doble módulo. El diagrama de la fig. 16 muestra la variación de las tensiones críticas K obtenidas por medio de la fórmula de Euler y por las dos teorías ya expuestas. Corresponde preguntarse: ¿hasta que punto el comportamiento de una barra comprimida real se acerca a lo supuesto al desarrollar dichas teorías ?. Llamando: Pkt : a la carga crítica según teoría del módulo tangente Pkd : a la carga crítica según teoría del “Doble módulo” o “Módulo de pandeo”. Es de esperar que una columna real no se mantenga rectilínea hasta que se alcance la carga crítica Pkd como supone la teoría del doble módulo. Siempre habrá alteraciones de las conPANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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PANDEO

diciones ideales que motiven que la barra se curve para valores de la carga axial aún menores que Pkt. Si en una barra real cuyo material no posee un valor constante de Et se incrementara la carga por encima de Pkt, es improbable que se alcance el valor Pkd puesto que esas diferencias harán que se curve y colapse para una carga menor. De los ensayos experimentales realizados tratando de reproducir las condiciones ideales se concluye que los valores de la carga crítica de pandeo se encuentran entre los valores dados por ambas teorías. En conclusión: la carga de pandeo en el período anelástico para una barra o columna que se aparta relativamente poco de las condiciones ideales, puede predecirse satisfactoriamente mediante la expresión dada por la teoría del “módulo tangente”, mientras que la teoría del “doble módulo” puede considerarse solamente para establecer el límite superior de dicha carga, siendo improbable que se alcance en una barra real. Carga crítica real Pkr

k

k Doble módulo (Engesser - Karman)

k Euler k módulo simple (Engesser)



fig. 16

Puede efectuarse un estudio teórico mucho mas profundo y complicado y obtener así una carga crítica más próxima a la realidad, denominada “carga crítica real” que se identificará con Pkr. A tal fin se deberá prescindir de las hipótesis idealizantes utilizando la curva real del diagrama experimental, teniendo en cuenta además las desviaciones de la alineación recta de la barra, la excentricidad de la carga, la anisotropía del material, etc. La dificultad para la determinación y la complejidad del cálculo necesario, crecen en el siguiente orden: Carga crítica ideal de Euler (lo más sencilo). Carga crítica usual determinada con módulo de pandeo (un poco más complicado) Carga crítica real (mucho más complicado). Por tal motivo en el cálculo de construcciones metálicas es frecuente utilizar para el dimensionado: Carga crítica real Pkr sólo en los casos sencillos. Carrga crítica usual Pk en general. Carga crítica ideal Pki en los casos de mayor dificultad. Normas: Sobre la base de las distintas teorías ya expuestas para el campo anelástico, con mayores o menores modificaciones, se han redactado normas en distintos países con el fin de facilitar, ordenar y sistematizar el cálculo. Una de las más difundidas, de uso generalizado en nuestro país y con tendencia a ser reemplazada por las normas CIRSOC, es la norma alemana DIN 4114 que fuera editada en el año 1952. En esa norma se aborda de modo total y completo el problema de los estados de equilibrio inestables en las estructuras metálicas. A continuación se dan algunos detalles de las prescripciones de la citada norma referidas a barras rectas comprimidas axialmente. PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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PANDEO

Norma DIN 4114 Esta norma acepta en el período elástico la validez de la fórmula de Euler, pero en el período anelástico introduce los conceptos de la teoría del doble módulo o módulo de pandeo y la teoría de las inexactitudes iniciales (carga crítica real). Plantea asimismo un método directo (o semidirecto) de cálculo que se denomina “método Domhke”. Para barras comprimidas axialmente distingue tres valores distintos de la carga crítica; tensión crítica y coeficiente de seguridad, según sean las hipótesis que se tomen como bases para el cálculo, las que se resumen en el siguiente cuadro utilizando la notación de la norma. Teoría

EULER

Doble modulo (Módulo de pandeo)

Inexactitudes iniciales. (Carga crítica real)

Notación

Denominación

Hipótesis

Pki

Carga ideal de pandeo.

ki

Tensión ideal de pandeo.

ki

Coeficiente ideal de seguridad.

Pk

Carga de pandeo de Engesser.

k

Tensión de pandeo de Engesser.

 Material idealmente isótropo.  Validez ilimitada de la ley de Hooke.  Eje de la barra idealmente recto.  Aplicación de la fuerza idealmente centrada.  Material idealmente isótropo.  Validez de la ley de Hooke solo en el período elástico  Eje de la barra idealmente recto.  Aplicación de la fuerza idealmente centrada.  Validez de la ley de Hooke solo en el período elástico  Se prescinde de las hipótesis idealizantes del material, la carga y la geometría de la barra.

k

Coeficiente de seguridad de Engesser

Pkr

Carga real de pandeo.

kr

Tensión real de pandeo.

kr

Coeficiente real de seguridad.

Los coeficientes de seguridad: ki , k , kr Los coeficientes de seguridad han de estar comprendidos dentro de los límites se establecen por motivos de seguridad y economía, como así también por experiencia y conocimientos teóricos. Por lo tanto han de establecerse tanto mayores cuanto más se aparten de la realidad, las hipótesis simplificadoras admitidas. Es por eso que se proponen coeficientes de seguridad distintos para las cargas críticas Pki, Pk ó Pkr. Coeficiente de seguridad real: kr=1,71 siempre que para la determinación de la carga crítica Pkr se haya tenido en cuenta la máxima excentricidad posible en la aplicación de la carga “prácticamente inevitable”. Coeficiente de seguridad usual (Engesser): k=2,5 en el período elástico y disminuye hasta 1,71 en el período anelástico. Coeficiente de seguridad ideal (Euler): ki=2,5. PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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PANDEO

Tensión admisible al pandeo d_adm

a) Calculada en base a las “cargas críticas reales” El cálculo de d_adm se basa en la determinación de las tensiones críticas reales kr de acuerdo a las siguientes hipótesis:

A

1) FORMA: la sección de la barra es uniforme y tiene la forma

u

h/10

indicada en la figura 17. 2) CARGA: actúa en los extremos de la barra biarticulada y conserva su dirección durante el pandeo, siendo

h

G 2h

le  l .

fig. 17

3) EXCENTRICIDAD: el punto A de aplicación de la carga se

encuentra sobre el eje de simetría de la sección, a la distancia “u” del centroide G, con lo que se pretende tener en cuenta las inexactitudes inevitables (excentricidad, curvatura) de los casos reales. La norma adopta para u el valor:

u

i e  20 500

[15]

fl

en la que “i” es el radio de giro mínimo de la sección y “le” la

[%]

longitud efectiva de la barra (l=le) por ser biarticulada. fl

4) DIAGRAMA DE ENSAYO: se acepta para el acero el diagrama de tensión deformación simplificado de Prandt de la fig.

fig. 18

18, con un módulo de elasticidad E= 2.100.000 [kgf/cm2] y con f = 2300 [kgf/cm2]. 5) HIPÓTESIS FLEXIÓN ANELÁSTICA: son válidas las hipótesis de la teoría de la flexión en el período anelástico del material. 6) COEFIC. DE SEGURIDAD: teniendo en cuenta que las hipótesis formuladas son muy desfavorables, se adopta un coeficiente de seguridad kr=1,5. A las cargas y a las tensiones críticas que se determinan sobre la base de las hipótesis enunciadas, se las denomina “reales” y se las identifica con el agregado del subíndice “r” en su notación. Con la ubicación desfavorable de la carga se ha pretendido tener en cuenta las “inexactitudes” que son imposibles de evitar en un caso “real”, que representan en sí una perturbación no siendo necesaria la perturbación para provocar la desviación. Sobre la base de las hipótesis anteriores se puede calcular la tensión crítica real Kr en función de  , utilizando la siguiente ecuación propuesta por la Norma:


- 18 -




PANDEO 3

2

 m   kr    m   kr 2 E    0,005   m   kr   2   1  0,25     f   kr    f   kr    kr   f   kr     



   m  2,317   0,05   500  

donde: La

[16]

 kr para cada valor de  se puede obtener por tanteos ó mediante métodos numéricos.

b) Calculada en base a las “cargas críticas ideales” (Euler). Se calculan con la expresión [6] las tensiones críticas ideales de pandeo (de Euler) para di-

2 E  ki  2 

versos valores de  :

Determinación de las tensiones admisibles al pandeo Dividiendo los valores de kr por el coeficiente de seguridad kr=1,5 y los de ki por el coeficiente de seguridad ki=2,5, se obtienen dos valores de la tensión admisible a pandeo d_adm por cada valor de la esbeltez . Con ellos se pueden trazar dos curvas que se cruzan. El menor de ambos valores de d_adm para cada valor de , se adopta como la tensión admisible a pandeo d_adm. La curva de línea continua de la figura representa dichos valores.

adm d

_a

kr

dm

1,5

ki 2,5

Coeficiente de pandeo “” (omega) Una vez obtenidos los valores de d_adm para cada valor de  según lo explicado antes, se establece el siguiente cociente:

 d_a

dm



adm adm por lo tanto dadm   dadm con el que se confeccionaron las tabla del Anexo para dos aceros. 

En dicho cociente adm es la tensión admisible para tracción del acero y admisible al pandeo (compresión). Como

dadm

<

adm

dadm

es la tensión

resulta   1.

Para una barra solicitada a compresión axial, la tensión debe ser menor o igual a la admisible al pandeo, lo que se indica así:

P  dadm [17] F

ó:

P adm  [17´] F 


ya que:

- 19 -

dadm 

adm 


PANDEO

Dimensionado “directo” de barras comprimidas (Método “Domhke”) Este método se denomina “directo”, porque su aplicación evita realizar muchos tanteos en el proceso de dimensionado y verificación al pandeo. Como se explicó, se debe cumplir que:

P  adm  F 

Explicitando F para dimensionar resulta: F 

P 

 adm

Pero  depende de  que a la vez depende del radio de giro mínimo de la sección F que se pretende calcular. Esto hace que el proceso se realice proponiendo un valor tentativo para F y por prueba y error continuar hasta encontrar un valor de F que cumpla con la verificación. Para evitar el proceso de prueba y error, Domhke propone un método que según el tipo de sección puede resultar “directo” o “semidirecto”. El método se basa en la semejanza que poseen todas las secciones de un mismo tipo (ejemplo: todas las secciones de los perfiles “doble te” ó todas las secciones circulares) cuando cambia su tamaño. En el caso de los perfiles normalizados las dimensiones cambian en forma aproximadamente proporcional. En las geometrías como el círculo, el cuadrado, etc, las dimensiones cambian en forma estrictamente proporcional. Se puede entonces establecer el siguiente parámetro de semejanza: Z

F2  cte  min

[18]

ó “casi” constante según el tipo de sección.

La sección necesaria se puede calcular con: F  Entonces: Z  quedando:

2

2

F F   min F  i 2 min

Z=

F i 2 min

 adm

ya que: I  F  i 2

pero como

Reemplazando se obtiene:

P 

Z



e imin

entonces: i

2

min



 2e

2

F   2 P   2    2e  adm  2e

En la expresión anterior hay factores que son datos de un determinado problema de dimensionado como por ejemplo P, le y adm; al parámetro “Z” se lo encuentra en tablas según el tipo de sección. Agrupando los factores conocidos en un mismo miembro se obtiene lo siguiente:

 2 

Z   adm   2e P

Haciendo:



ó también:

Z   adm   2e [19] P


  

Z   adm   2e P

queda finalmente:

- 20 -

  


PANDEO

Se puede confeccionar ahora una tabla con tres columnas. Las dos primeras columnas con los valores de  y , que se obtienen de la tabla de   f ( ) . Los valores de la tercera columna se calculan operando con las dos primeras columnas, quedando (tabla del Anexo):  50 68,1 ...... 91,3 ......

Acero St-37 (A-37)     1,21 50 x 1,1=55 1,38 80 ...... ...... 1,73 120 ...... ......

De esta tabla se puede obtener " " en base a " " para un cálculo en particular. Entonces para dimensionar una barra al pandeo el procedimiento es el que se sintetiza a continuación: 1) Se calcula



Z   adm   2e P

con Z de la tabla.

2) Con ese valor de  se entra en la tabla de   f ( ) para el acero que corresponda para el cálculo en particular (St-37, St-52, etc). 3) Con el valor de  obtenido se calcula un “primer valor” de la sección F:

F

P 

 adm

Dicho valor de F podría no ser del todo correcto ya que en el cálculo previo se utilizó Z que puede ser exacto en algunos tipos de secciones pero sólo una aproximación en otros (perfiles). 4) Con el valor de la sección calculada en el punto anterior, se busca en la tabla de perfiles la sección F más próxima (la anterior o la posterior). 5) Con la sección seleccionada se procede a extraer imín y F de la tabla de perfiles. Luego se calcula



e . imin

6) Con el valor de  calculada en el paso anterior, se busca  en la tabla (de doble entrada)   f ( ) para el correspondiente acero, St-37, St-52, etc. 7) Se verifica entonces que:

P  adm , en la que F y  son los valores obtenidos en los pasos  F 

4 y 6. 8) Si no se cumple lo anterior se debe considerar la alternativa de tomar el perfil anterior o el posterior de acuerdo a como resulte la desigualdad. El objetivo consiste en encontrar la menor sección que cumpla con la verificación. Resumiendo: se debe lograr en definitiva que


P  adm  con la mínima sección. F 

- 21 -


PANDEO

Fórmulas empíricas para el proyecto de columnas. Fórmula de Rankine: Además de la fórmula empírica de Tetmajer ya vista, existen otras fórmulas obtenidas a través de ensayos sistemáticos de columnas al pandeo. Una de las fórmulas empíricas más antiguas se debe a Tredgold. Ha sido aceptada por Gordon para representar los resultados de los ensayos realizados por Hodgkinson y su forma final se debe a Rankine. La tensión de compresión dada por la fórmula de Rankine es:

k 

a 1  b  2

en la que “a” es una tensión y “b” es un factor numérico, que dependen del material. Eligiendo apropiadamente estas constantes la fórmula puede representar bien los resultados de los ensayos entre ciertos límites. Fórmula de Ostenfeld: esta expresión fue utilizada para establecer las tensiones admisibles a pandeo en la antigua norma alemana (antes de la DIN 4114) Es del tipo parabólico:

k  a  b2

En la que a y b dependen del material. Para el acero corriente es a= 2650 [kgf/cm2], b= 0,09 [kgf/cm2]

CARGA EXCÉNTRICA EN COMPONENTES ESBELTOS Carga aplicada en un plano que contiene a un eje principal de inercia. Sea la barra originalmente recta representada en la fig.20, en la que la carga P actúa con cierta excentricidad “e” por algún motivo como son las inexactitudes inevitables deformando a la barra del modo indicado. El plano de carga contiene al eje longitudinal de la barra y a uno de los ejes principales de inercia de la sección transversal. En este caso la ecuación diferencial de la línea elástica es la siguiente:

y´´ 

M E  Ix

con:

z

z

y y



e

fig. 20

P

M   P  (  e  y)

Siendo  la flecha máxima al deformarse la barra por la acción de la carga P. reemplazando M se obtiene: y´´

P  (  e  y) E  Ix

2 2 P  k 2 resultando: y   k y  k (  e) [20] E  Ix La solución para la ecuación diferencial no homogénea [20], es la suma de la solución de la ecuación “homogénea” más una solución particular de la “no homogénea”.

ó:

y´´ k 2  (  e  y)

donde:


- 22 -


Es entonces:

PANDEO

y  C1  sen(k  z)  C2  cos(k  z)  (  e)

[21]

Para resolver las constantes se establecen condiciones de contorno. Por ejemplo, en el empotramiento donde para z = 0, y = 0, resultando:

0  C2  cos(k  0)  (  e)

C2  (  e)

de donde se obtiene:

En el empotramiento: z = 0, y´ = 0. Hace falta conocer la derivada la ecuación [21] que resulta:

y´ C1  k  cos(k  z)  C2  k  sen(k  z)

0  C1  k  1  C2  k  0

Reemplazando la condición se obtiene:



C1=0 .

Reemplazando las constantes, la (21) queda entonces así:

y  C2  cos(k  z)  (  e)  (  e)  cos(k  z)  (  e)

y  (  e)  1  cos(k  z)

[22]

En la expresión [22] no se conoce  . Para calcularla se plantea la siguiente condición: en el extremo derecho: z = l , y =  . Reemplazando en la [22] se obtiene:

  (  e)  1  cos(k  ) de donde se puede despejar la flecha máxima :

      cos(k  )  e  e  cos(k  ) Resulta entonces:

  e

Y

1  cos(k  ) cos(k  )

  cos(k  )  e  1  cos(k  )

[23] ó

  e  sec(k  )  1

La [22] queda entonces así:

 1  cos(k  )   1  cos(k  )  y  e  e   1  cos(k  z)  e    1  1  cos(k  z) cos(k  )    cos(k  )  y  e

1  cos(k  )  cos(k  ) 1  cos(k  z)  1  cos(k  z)  e  cos(k  ) cos(k  )

y  e

1  cos(k  z ) [24] (Ecuación de la línea elástica) cos(k  )

En el empotramiento para z=0, y=0, ocurre el momento flector máximo. Momento flector máximo: (valor absoluto)

 1  cos(k  )  cos(k  )  1  1  cos(k  l )  M máx  P  (  e)  P   e   e  P e   Pe  cos k .l cos(k  ) cos(k  )    

M máx  P  e  sec(k  )

[25]

En el caso de una barra como la de la fig. 20, para adecuar las expresiones obtenidas, sólo hay que remplazar l por l/2 resultando: PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

- 23 -


kl 2 [23´]   e kl cos 2



1  cos

P

l /2

fig. 20´

k .l   1 2 

M max  P  e  sec

P

l/2

sec (k.l /2)

ó

 

  e  sec

PANDEO

kl [25´] 2

k.l/2

No linealidad entre carga y deformación En las ecuaciones [23] y [23´] se observa que no hay dependencia lineal entre carga y deformación. En efecto, reemplazando:

la [23´] queda:

 e

k

(1)

(2)

P EI

k. l l P 2 2 E.I

 2

fig. 21

l P  1  cos   2 EI    l P  cos   2 EI 

P

P e

e

En la fig. 21 se representa la relación entre el desplazamiento  y k.l/2 (en el que k depende de P) para dos valores distintos de la excentricidad. La curva (2) corresponde a una excentricidad mayor que la curva (1), como se puede corroborar con la expresión de . Se observa que cuando k   tiende a (inadmisible).

2

Tener en cuenta que para k  

=

 la flecha tiende a infinito 2

P

P

 correspon2

G

2 2 2 de: k 2    P  P    E  I 2 E  I 2

G

C

C

c.máx

t.máx

Que es la carga crítica de pandeo de Euler (Pe) para carga centrada. Ello implica que la carga de Euler es posible solamente si no existe excentricidad. A medida que la excentricidad crece, la carga P, que es posible aplicar, es cada vez menor.

fig. 22

Tensiones que origina la carga excéntrica. Por ser flexión compuesta hay que superponer la tensión debida a la componente axial compresora, más la tensión de la componente flectora. Si C es la distancia a la fibra más comprimida para cualquiera de las dos situaciones de la fig. 22, la máxima tensión de compresión será: PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

- 24 -


 Cmáx 

PANDEO

P M  c F I

Reemplazando la expresión de M dada por [25´], la anterior queda así:

 Cmáx 

 P Pec k  P Pec P    sec    sec    F I 2 F F i2 2 EI 

 Cmáx 

 P  ec P  1  2  sec   F  i 2 EI

ó también:

 C max 

   

  P  ec P  1  2  sec   F  i  2i E  F

  

[26]

Limitando Cmáx al valor fl entonces la carga P que produce esa situación seria el valor límite Pfl. A dicho valor se le debe aplicar un coeficiente de seguridad. La tensión en la fibra más alejada al momento de alcanzar la fluencia, queda expresada así:

 fl 

Pfl F

 ec   Pfl  1  2  sec   i  2i E  F 

   



ó:

 fl   c 1  

  ec  c   sec     [27] i2 E    2i

En la que  c es la tensión calculada (uniforme) con la componente axial, que provoca que la tensión máxima (de la distribución no uniforme) alcance el valor fl.

c e1 e2 e3 e4

Por ser un valor límite se debe aplicar un coeficiente de seguridad. Si conocida fl, se grafica  c 

Pfl

en función de  

e i

F para distintos valores de la excentricidad “e” y para una cierta sección transversal, se obtienen las curvas representadas en la fig. 23. Para poder calcular es conveniente contar con una gráfica ec en la que en lugar de “e” figure 2 (excentr. relativa), de i modo que para calcular

e  c solo se debe evaluar e 2c y . i

i

Luego con ese valor de  c y un coeficiente de seguridad, se puede finalmente calcular la tensión admisible:

c 

Euler

Curvas para distintos valores de "e"



fig. 23

c

a/l=1/1000 Euler

a/l=1/700 a/l=1/400

Barra levemente encorvada.

a

 fig. 24 PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

- 25 -


PANDEO

Caso de columna con deformación inevitable. Otro caso de inexactitud inevitable se presenta cuando la barra posee curvatura inicial con una flecha “a”. Conocida fl, si la máxima flecha inicial es “a” y se resuelve  c en función de la relación

ac y de la esbeltez i2

le , se obtienen las curvas de la fig. 24. i

Considerando que la flecha “a” guarda relación con el largo l de la barra (para l0, a0), entonces para distintos valores de “ a/l ” el análisis proporciona curvas de ese tipo.

BIBLIOGRAFIA Resistencia de materiales. Autor: Timoshenko. Editorial Espasa – Calpe Mecánica de materiales. Autor F.R Shanley. Editorial Mc Graw Hill Resistencia de materiales. Autor: Alvin Sloane. Editorial Uteha Resistencia de materiales. Autor: V.I.Feodosiev. Editorial: Mir (Moscú) Teoría de la estabilidad elástica. Autor: S. Timoshenko. Ed. EDIAR Soc. Anon. Editores Resistencia de materiales. Autor: Luis Ortiz Berrocal. Editorial Mc Graw Hill

Este material de apoyo didáctico, cuyos manuscritos originales fueran preparados por el ex-profesor de la Cátedra “Estabilidad III”, Ing. Guillermo Pons, fue adaptado, modificado, ampliado y digitalizado, y está destinado exclusivamente para el uso de las asignaturas: “Estabilidad II” de la carrera Ingeniería Mecánica, “Resistencia de Materiales” de la Carrera Ingeniería Civil y “Estabilidad” de la Carrera Ingeniería Eléctrica de la Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N. Profesor Titular: Ayudantes de TP:

Ing. Dr. Mg

Hugo A. Tosone. Federico Cavalieri. Alejandro Carrere.

Marzo de 2012


- 26 -


PANDEO

Ejemplo 1 (P 561: Secc. cuadr., Dimens. p/ Euler y Tetmajer) La barra de acero representada posee una longitud de 2,29 [m], deberá soportar una carga de trabajo de 190 [kN] y se dimensionará con sección cuadrada maciza. La tensión de proporcionalidad del acero es 200 [MPa], el módulo de elasticidad es E=210[GPa] y los coeficientes para la fórmula de Tetmajer son 310 [MPa] y 1,14 [MPa] respectivamente.

P

SE

El extremo superior está vinculado por medio de una articulación móvil mientras que el inferior está empotrado rígidamente. Calcular el valor del lado “t” de la sección, si se establece un coeficiente de seguridad para pandeo igual a 7.

1 cm

RESOLUCIÓN: Suponiendo que fallará en el período elástico del acero, en base a la fórmula de Euler resulta:

2  E  Imín Pk  P    L2e

t4   200  10  12  190000  7  2 (0,7  2, 29) 2

9

 t  0,06 [m]

Radio de giro: para figuras regulares como el cuadrado, es uniforme para cualquier posición del eje entonces:

imín 

Imín  F

Resultando una esbeltez:

t4  12  t2



t 6  102   1, 732  102 12 12

Le 0, 7  2, 29   92 imín 1, 732  102

Esbeltez limite según el material: lím   

E   p

210  109  102 200  103

Como   lím se debe utilizar una fórmula para período inelástico como por ejemplo la de Tetmajer:

k



Pk  a  b F

pero:

imín 

Entonces: queda:

t 12

entonces: siendo: F=t

a  t2  b  t2  Le 

a  F  b  F   Pk  0

2

12  Pk  0 en la que: Pk=7.P t

a  t2  12  b  Le  t  7  P  0

Resolviendo se obtiene: t 

(ecuación de 2° grado en “t”)

12  b  Le  12b2 L2e 4a( 7P) y reemplazando valores: 2a

12  11, 4  106  0,7  2, 29  12  (1,14  106 ) 2  (0,7  2, 29) 2  4  310  10 6  7  190000 t 2  310  106 El signo “-“ no brinda solución y corresponde usar el “+”, entonces:


- 27 -

t  0,0765[m]  7,65[cm]


PANDEO

Ejemplo 2 (P804: Secc. 1PNU, Dimens. p/Euler ó Tetmajer) Una columna consistente en un perfil normalizado PNU 16, posee un extremo articulado, mientras que el otro extremo está empotrado. Calcular la carga de trabajo Padm si se adopta un coeficiente de seguridad =3,5 en el caso de comportamiento elástico del material y de 2,5 si pandea en el período inelástico. Datos: L=3,5m, E=2.100.000[kgf/cm2], p=1.900 [kgf/cm2]. Coeficientes para fórmula de Tetmajer 3100 y 11,4 [kgf/cm2]. RESOLUCIÓN: La esbeltez límite para la aplicación de la fórmula de Euler es:

E

lim   

P

 

2,1106  kgf / cm2  1900[kgf / cm2 ]

 104, 44

De la tabla de perfiles se obtiene: UPN 16 con F=24 cm2; imín = 1,89 cm; Imin = 85,3 [cm4] La esbeltez resulta:



le imin



0, 7  350cm  129, 63  lim 1,89cm

Para obtener la carga crítica corresponde aplicar la fórmula de Euler:

Pk 

 2  E  Imin le2



 2  2,1106 [kgf / cm2 ]  85,3[cm4 ] (0, 7  350[cm])2

 29453, 43[kgf ]

La carga admisible resulta:

P

Pk 29453, 43   8415,27[kgf ]  3,5


- 28 -


PANDEO

Ejemplo 3 Ensayo s/optimiz. de secc. c/perfiles) Se sabe que sección triangular equilátera posee un Z=10,4 (ver método Dohmke) resultando ser el menor valor entre las figuras geométricas regulares macizas, a la que le sigue el cuadrado, pentágono, etc. y finalmente el círculo (si se lo concibe como de infinitos lados). Por ejemplo, el cuadrado posee Z=12 y para el círculo es Z=12,57; recordar que las mejores secciones son las que poseen menor Z. Ello indica que la forma triangular otorga una ventaja gométrica para el pandeo. Si en lugar de formas macizas se piensa en perfiles laminados la tendencia debería ser parecida. Suponiendo contar con un perfil PNI 20 y dos perfiles PNU 16, de iguales longitudes (6m), se pretende armar dos columnas de 6m de longitud uniendo mediante soldadura y algunos refuerzos, cada PNI 20 uno de los PNU con medio PNI tal como indica la figura, previo corte (medio) longitudinal del PNI. En la figura se observa que si bien no se trata de una forma triangular, se logra aunque sea una cierta semejanza con ella y una mejora de comportamiento para pandeo. Comprobar el valor de Z que surge de esa combinación y compaPNU 16 rar con los valores de tabla para los diversos perfiles simples y compuestos. RESOLUCIÓN: Al cortar por la mitad al PNI 20, se requiere conocer las 33,5 inercias propias para esa mitad (respecto a tus ejes cen2 troidales), lo qu exige conocer la posición de su centroide. La posición se identificará con “t”. Operando en [cm] con los valores obtenidos de la tabla de perfiles resulta: 137,1

P-130

6,5

2140 33,5 117   7, 4632  137,1[cm4 ] : Iy  [cm4 ] 2 2 2

925

Ix 

85,3 1,84

De tabla se obtiene para el PNI 20 lo siguiente: Ix=2140[cm4], Iy= 117[cm4] Por lo tanto el momento de inercia propio para medio perfil, con respecto a sus ejes centroidales es:

7,463

Sx 125   7, 463[cm] F / 2 33,5 / 2

8,484

t

10

117 2

P-130

24 Conocida la posición del centroide del medio perfil, se puede ubicar el centroide de la figura compuesta, ubicando un eje “x” en la parte inferior del PNU:

33,5  (7, 463  6,5)  24  (6,5  1,84) 2 yG   8, 484[cm] 33,5  24 2 Con la información obtenida se pueden calcular las inercias de la figura compuesta:

Ix  [137,1  Iy 

33,5  (7, 463  6,5  8, 484)2 ]  [85,3  24  (8, 484  6,5  1,84)2 ]  1076[cm4 ] 2

117  925  983[cm4 ] 2

El mínimo momento de inercia se da con respecto al eje “y”, resultando parecido al máximo (1076cm4) con lo que se logra cierta “uniformidad geométrica” para pandeo.

F 2 (33,5 / 2  24)2 Z  Im ín 983

Resulta finalmente;


Z  1,69 - 29 -

(ver tabla de Z…)


PANDEO

Ejemplo 4 ecc. 1PNL, Dimens. p/DIN 4114) La barra de acero St-37 representada en el croquis, cuyos extremos se consideran articulados, posee una longitud L=1,50[m] y está sometida a compresión axial por una fuerza P=7000 [kgf]. Si se adopta una tensión admisible a tracción de 1400 [kgf/cm 2], seleccionar el perfil ángulo de alas iguales lo más liviano posible, en base al criterio de la norma DIN 4114. RESOLUCIÓN: De Tabla 1 se obtiene Z=6,2, siendo además e   por ser extremos articulados.

Z  2e   adm 6,2  1502  1400 Resulta entonces:     167 P 7000

P

L=1,5m

P

De Tabla 2 y para acero St-37 se obtiene =2,22 La sección necesaria resulta:

F

P 

 adm



7000  2, 22  11,1 cm2  1400

PANDE 290

De la tabla de perfles se deberá ubicar un PNL que posea el mayor momento de inercia en relación con su sección transversal. Ello ocurre para los perfiles de menor espesor de pared para cada grupo que posee la misma dimensión de ala. Por ejemplo: el PNL 60x10 posee una sección F=11,1 cm2 y un radio de giro imín=1,15[cm] Verificación:  150 Para dicho perfil se obtiene:   e   130, 4 , y de la Tabla A (acero ST-37) resulta imín 1,15 =2,85, y con dicho valor se procede a la verificación del perfil seleccionado. P 7000  1400 Es   620 kgf / cm 2  mientras que: adm   491 kgf / cm2  F 11,1  2,85 Resulta entonces:

P  adm  F 

que es contrario al objetivo perseguido.

Probando con otros perfiles se obtiene finalmente el PNL 75x7 que posee la sección F=10,1 cm2 y un imín=1,45[cm]  150  103 y de la Tabla A se obtiene =1,96 resultando entonces: Verificación:   e  imín 1, 45

P 7000   693  kgf / cm2  F 10,1 P  adm  Ahora sí resulta: F  Es

mientras que:

 adm 1400   714 kgf / cm2   2,96

Y con ello se consigue el objetivo perseguido: que la tensión de compresión resulte menor que la admisible al pandeo y lo más cercana posible, de modo la sección no resulte sobredimensionada.


- 30 -


PANDEO

P

Ejemplo 5 (P305: secc. 2PNU, Dimens. p/DIN 4114) Dimensionar la columna representada, con dos perfiles normales (PNU) que se unirán por medio de soldadura, conformando un componente de una sola pieza.

Detalle de la sección

El extremo inferior está empotrado mientras que el extremo superior queda libre y sometido a una carga P=300 [kN]. Utilizar el criterio de la norma DIN 4114, adoptando una tensión admisible de 140 [MPa]. Material: acero St-37 (ó A-37)

2,5 m 2PNU

RESOLUCIÓN: Cálculo de Z: Por no disponer del valor de Z para este caso, consideramos el correspondiente a un caso similar.

P-305

Para 2 PNU (][) con una separación de 1 cm  es Z=6 Mejor aún sería calculando Z para una sección compuesta usando dos perfiles iguales de un grandor obtenido del medio de la tabla, para estar lo más cerca posible de la solución. Cálculo de la longitud efectiva le: A este tipo de vínculo le corresponde , por lo que la longitud efectiva de pandeo será  e  2    5 m  Cálculo de : A partir de los valores de Z y de le calculados y de los datos que aporta el enunciado, podemos calcular .





2

6  5 m   140  106 Pa  Z  2e   adm    265 P 300.000 N  Cálculo del coeficiente de pandeo ω: De la tabla para Acero St-37 y para el valor de  calculado, se obtiene:  265    3, 44 76,95 76,95 Cálculo del área: Con ese primer valor (aproximado) del coeficiente de pandeo, se calcula el área total necesaria:

F

P 

 adm



300.000  N   3, 44 140 10  Pa  6

 73, 7 104  m2   73, 7 cm2 

Como son dos perfiles iguales, a cada perfil le corresponde la mitad del área total, resultando:

F1 

73, 7  37 cm2  2

Elección y verificación del perfil: Con ese valor tentativo se busca en la tabla de perfiles el más cercano. El objetivo consiste en encontrar la menor sección que cumpla con la verificación de tensiones. Si se considera un PNU 22 resultan los siguientes valores según tabla: F1  37, 4 cm 2  ; i x  8, 48 cm  ; I x  2690 cm 4  ; I y  197 cm 4  ; e =2,14 cm  ; b  8 cm  El pandeo se producirá para el eje de menor radio de giro, o sea con respecto al eje “x” (tener en cuenta que los valores obtenido de la tabla corresponden a ejes que están a 90° con respecto a los ejes de este problema). Por medio del teorema de Steiner se obtiene: 2 I 2962, 6 I x  2 197  37, 4  8  2,14    2962, 6 cm4  ix  x   6, 29 cm   F 2  37, 4 Con Respecto al eje “y” PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

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Iy

PANDEO

5380  8, 48 cm (Obviamente igual al de tabla) F 2  37, 4 Como 6, 29  8, 48 se considerará dicho valor mínimo para el pandeo. 500  cm  La esbeltez resulta entonces: x  e   79 ix 6, 29 cm I y  2  2690  5380[cm4 ]

iy 



Con este valor de  se obtiene  de la tabla de doble entrada, resultando   1,53  adm 140  MPa  P 300.000[ N ] Resulta entonces:   61,36 MPa   91,5  MPa    F 2  37, 4 104  m2   1,53

 P resulta muy inferior a adm el perfil seleccionado es excesivo (sobredimensionado), F  por lo que se analizará un perfil más chico. Si se considera un PNU16: F1  24 cm 2  ; I y  85,3 cm 4  ; e =1,84 cm  ; b  6,5 cm  Como

2 I x  2 85,3  24   6,5  1,84    1213 cm4    500  cm I 1213  ix  x   5, 03cm x  e   99  de tabla:   1,88 ix 5, 03cm F 2  24

P 300.000[ N ]   62,5  MPa  F 2  24 104  m2 

 adm 140  MPa    74,5  MPa   1,88

 P notablemente inferior a adm por lo que se intentará con un perfil más chico. F  Si se considera un PNU14 resulta: F1  20,4 cm 2  ; I y  62,7 cm 4  ; e =1,75 cm  ; b  6 cm  Sigue siendo

2 I x  2 62, 7  20, 4   6  1, 75   862,35 cm4   

iy 

x 

Iy F



862,35  4, 6 cm 2  20, 4

 e 500 cm   108, 7    2,09 ix 4, 6 cm

P 300.000[ N ]   72,53 MPa  F 2  20, 4 104  m2 

 adm 140  MPa    67  MPa   2, 09

 P > adm lo que significa que el perfil es insuficiente, por lo que se deberá adoptar el F  perfil verificado anteriormente. Se adopta finalmente 2 PNU 16 Resultó


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PANDEO

Ejemplo 6 (CARGA EXCÉNTRICA )

P

El PNU n°20 representado en el croquis soportará una carga de punta de intensidad P. Si se prevé la posibilidad de que el punto de aplicación de la carga se desplace hasta el borde del alma del perfil (sobre el eje de simetría), calcular: 1.- La máxima tensión de compresión esperada en las fibras más alejadas del lado de la carga. 2.- Flecha esperada en el centro del vano. 6

Datos: P=3000 kgf, l=3m, E=2,1 x 10 kgf/cm

2

RESOLUCIÓN: De tabla de perfiles se obtiene para el PNU 20: Ix= 1910 cm4 F= 32,2 cm2 Iy= 148 cm4 distancia al centroide: 2,01cm iy= 2,14 cm b= 7,5 cm (ancho del ala)

P

P G

l

y

P

Cálculo de la máxima tensión normal:

x

P G

Con la carga en la posición prevista, tanto la excentricidad como la distancia a la fibra más alejada, coinciden con la distancia al centroide obtenida de tabla de perfiles. La máxima tensión por flexo-compresión se debe en parte a la excentricidad de la carga pero también está condicionada por el aumento del momento flector debido a la deformación elástica de la barra. La expresión es:

 c max 

  P  ec 1  2  sec F  iy  2iy

P   F  E 

en la que P es la carga aplicada, “e” es la excentricidad prevista, “c” la distancia a la fibra considerada, “l” la longitud de la barra (este caso coincide con el estudiado en teoría), “F” la sección transversal de la barra y “iy” es el radio de giro para el modo de flexión previsto para la barra. Reemplazando valores se obtiene:

c max 

 300  3000  2,01  2,01 3000   sec 1   2  2,14 32,2  2,1x106  32,2  2,142  

c max  185,2[kgf / cm 2 ]

Deformación máxima: el máximo desplazamiento transversal en el medio de la barra se obtiene con:

k  2   e k  cos 2 1  cos

siendo:

k   P 300 3000      0,466 _ rad 2 2 E  Iy 2 2,1106 148

resulta:

  2,01 

1  cos(0,466 _ rad ) cos(0,466 _ rad )


finalmente

- 33 -

  0,24cm


PANDEO

Ejemplo 7 (CARGA EXCÉNTRICA ) Para la barra del problema anterior calcular la carga admisible Padm para que resulte un coeficiente de seguridad = 3 aplicado a la carga P, en correspondencia con el inicio de la plastificación de las fibras más alejadas del lado de la carga. La tensión de fluencia del material es fl=240 MPa, con un módulo E=210 GPa RESOLUCIÓN: La carga que provocaría la fluencia en la fibra más alejada es: P = Padm.  en la que el coeficiente de seguridad es =3. La expresión de la máxima tensión es:

fl 

  Padm    e  c 1  2  sec F  iy  2  iy

Padm     F  E 

Siendo: e=0,0201 m, c=0,0201 m, F= 32,2 x 10-4 m2, Iy= 148 x 10-8 m4, iy=0,0214 m, E=210 GPa, reemplazando valores resulta:

240 106 

 3  Padm  0,0201  0,0201 3 3  Padm 1  sec  4  2 4 9 32,2 10  0,0214  2  0,0214 32,2 10  210 10

  

Resolviendo por tanteos ó por métodos numéricos de aproximaciones sucesivas resulta: Padm=70.004 N .

Ejemplo 8 (CARGA EXCÉNTRICA ) El PNU n°20 representado en el croquis soportará una carga de punta P.

P

P

Si se prevé la posibilidad de que el punto de aplicación de la carga se desplace hasta el borde derecho de la sección (sobre el eje de simetría). Se pide calcular: 1.- La máxima tensión de compresión esperada en las fibras más alejadas del lado de la carga. 2.- Flecha esperada en el centro del vano.

l

9

Datos: P=30 kN, l=3m, E=210 x 10 Pa RESOLUCIÓN:

x

De tabla de perfiles, se obtiene para el PNU 20: Ix= 1910 cm4

F= 32,2 cm2

Iy= 148 cm4

distancia al centroide: 2,01cm

iy= 2,14 cm

b= 7,5 cm (ancho del ala)

P P

La excentricidad de la carga es:

G

c= b - 0,0201= 0,075 - 0,0201= 0,0549 m Además en este caso es C=e=0,0549 cm


- 34 -

G P y


PANDEO

La expresión de la tensión máxima que ocurrirá en el lado derecho es:

c.máx 

  P  ec P   1   sec  2  2  i F  E  F iy y  

 c _ máx 

 30000  0,0549  0,0549 3 30000  1   sec    2  0,0214 32,2 10  4  210 109 32,2 10  4  0,0214 2 

c _ máx  77.982.677 _Pa

ó

  

c _ máx  78_MPa

Deformación máxima: el máximo desplazamiento se obtiene con:

k  2   e k  cos 2 1  cos

siendo:

k   P 3 30000      0,466 _ rad 2 2 E  I y 2 210 109 148 10 8

resulta:

  0,0549 

finalmente:

  0,00655 _ m  0,675 _ cm

1  cos(0,466 _ rad ) cos(0,466 _ rad )

Ejemplo 9 (CARGA EXCÉNTRICA ) En relación con la expresión [26] de la teoría, haciendo:



 i

R

eC i2

c 

P F

la misma queda de la siguiente forma:

    c   Cmáx   c 1  R  sec     fl   2 E 

1.- Construir curvas c= f() con los valores para : 60, 80, 100, 120, 140, 160, y para los siguientes valores del parámetro R: 0,4-0,6-0,8-1, de modo que la tensión de compresión en las fibras más exigida sea máx = 240 MPa. Considerar E=210 GPa 2.- Con dichas gráficas resolver la aplicación n° 2. RESOLUCIÓN: 1.- Haciendo R=0,4 la expresión es:

  240   c 1  0, 4  sec   2

  210.000 

c

Para los valores de  propuestos en el enunciado se resuelve la ecuación por aproximaciones sucesivas (por ejemplo por el método de Newton-Rawson o por medio de calculadoras avanzadas) obteniéndose los siguientes valores que se muestran en la primera columna de la PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00 - 35 -


PANDEO

tabla. Se advierte que para cada  resulta más de un valor de c, debiéndose considerar el menor. Tener en cuenta además que el ángulo debe consignarse en radianes. Para completar la tabla se debe repetir el mismo procedimiento con los otros valores de R. Con los valores de la tabla se representan las curvas

c[MPa]

R

180

1

160

R 0,4

60

152,0 131,8 116,9 105,3

140

R 0,6

80

136,2 118,2 105,3

95,3

120 100

R 0,8 R 1,0

73,0

140

80,2

73,0

67,3

62,7

160

66

61,1

57,1

53,7

80 60 40



20

200

79,2

180

87,1

160

97,6

140

120

120

84,1

40

92,2

20

100 117,0 102,7

100

0,8

80

0,6

60



0,4

2.- Para la aplicación n°2 era

240 10 6  R

3  Padm 32,2 10  4

0,0201  0,0201 0,0214

2

 0,0201  0,0201  3 3  Padm  sec  1  2 4 9 0,0214  2  0,0214 32,2 10  210 10 

 0,882



  

3  140 0,0214

De la gráfica para esbeltez 140 e interpolando R=0,882 entre las curvas de R=0,8 y R=1 se obtiene para

C 

3  Padm

32,2  10 4

un valor de aproximadamente 65 MPa.

Resulta entonces:

65  10 6 

3  Padm

32,2  10 4

de donde: Padm= 69766 70.000 N

Este material fue preparado para el uso en las asignaturas: “Estabilidad II” de la carrera Ingeniería Mecánica y “Resistencia de Materiales” de la Carrera Ingeniería Civil, Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N.

Profesor Titular:

Ing. Hugo A. Tosone.

Ayudantes: Dr. Federico Cavalieri, Mg. Alejandro Carrere. Marzo de 2012.


- 36 -


PANDEO

RESUMEN DE FÓRMULAS

Pk  Pe 

 2  E  Imin

le =  . l [4]

[3´]

2 e



2 E k  [6] ²

0   .

E

p

[7]

 M   EI  Coef. p/apoyos: art-art: 1, emp-emp: 0,5, libre-emp: 2, emp-art: 0,7 Apoyo elástico:           e  

0



1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

15

20

0,860 0,775 0,720 0,685 0,657 0,635 0,620 0,606 0,597 0,588 0,581 0,575 0,568 0,560 0,545 0,535

Influencia del esfuerzo de corte: 1 Pk  Pe   K  Pe [9] (círc. α=4/3; rectáng. α=3/2)    Pe  1   F G   Tetmajer:  k  a  b   [10] Módulo tangente simple:

(St 37 ó A-37:a=3100, b=11,4)

Pk 

 2  Et  I

 2  Et k  [11´] 2

l

2 e

 2

kgf/cm

Et = K . k [12]

2,1

3000 2500 2000

[11]

6

EG10 kgf/cm2

1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,4 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3

Et=f()

Acero

1500 1000 500



Doble módulo:

T

4E  E t



E  Et 

2

[13]  k 

 T [14] 2 2

0,001

0,002

0,003

PANDE_ACER



3

2

 m   kr    m   kr 2 E    0,005   m   kr   [16]    1  0,25   S/DIN 4114:   f   kr    f   kr    kr   f   kr     2



 

Con: m  2,317   0,05 

Z

25

2

F Imín





 

 500 

Z   adm   2e [19] P

Columnas compuestas con presillas: Fórmula de Rankine:  k  Fórmula de Ostenfeld:

como: F 

P 

 adm

n 2

 y i   y2   12

debe ser:

21  50

a 1  b  2

 k  a  b2

(acero corriente: a=2650, b=0,09]


- 37 -

P  adm  F 

n: n° de perfiles


c[MPa]

Carga excéntrica:

1  cos(k  ) [23] (empotrada-libre) cos(k  ) 1  cos(k   / 2)   e [23´] (artic-artic) cos(k   / 2)

  e



c 

R 0,6

120

R 0,8 R 1,0

e.c i2

60 40

 200

180

160

140

120

100

Resumen fórmulas

Pfl F

Ing. Hugo A. Tosone. Dr. Cavalieri – Mg. Carrere

Marzo de 2012. PANDEO_TEORIA_2012.doc - 26/03/2012 10:54:00

80

20

  ec  c   sec     [27] 2 i E    2i

Profesor: Docentes Auxiliares:

R=

80

  P  eC P  [26]   1  2  sec F i 2  i E  F  



140

100

P M   c F I

 fl   c 1 

R 0,4

60

c max

160

40

 Cmáx

k   [25´] 2

Acero común E=210 [MPa] Extremos articulados

180

20

M max  P  e  sec

PANDEO

- 38 -


PANDEO

PANDEO TABLA 1: Coeficiente de semejanza Z Ángulos alas iguales 45x45x5

Z Perfil normal

Z

4,6 2,9 t [mm] 8 10 12 15 30

t

Z 4,5 4,2 4,0 3,8 3,6

Ángulos alas desiguales

b

30 x 45 x 5

a

a:b=1:2 a:b=2:3 otro 50 x 65 x 5 a:b=1:2 a:b=2:3 otro

30 x 45 x 5 con Iy=1,1 Ix a:b=1:2 a:b=2:3 otro

base ancha b:h=1:2 Ix=1,1 Iy

8

Perfil normal con Iy=1,1 Ix

8

8,2 1,2

h/4

t

h

Z˜ 40.t/h

10 7 7,5 Z=12,6

Z 12,5 8 9 Z 2,2 3 2,9 Z

base ancha b:h=1:2

Perfil normal adosados

1,1 h

Z

h

Z=12.h/b

b t

d

Z=28.t/d

t

a

Z=28.t/a

a



St-37

 

 21 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 160 170 180

1,04 1,05 1,07 1,10 1,12 1,15 1,18 1,21 1,24 1,27 1,31 1,35 1,38 1,42 1,46 1,51 1,55 1,59 1,64 1,68 1,73 1,77 1,82 1,87 1,92 1,97 2,02 2,12 2,22 2,34

20,6 24,4 29,0 33,4 37,8 42,0 46,0 50,0 53,8 57,6 61,2 64,6 68,1 71,3 74,4 77,4 80,3 83,2 85,9 88,6 91,3 93,8 96,3 98,7 101 103 106 110 114 118

 =  

Si

7,5

4,2


Relación

14 11

Ala ancha incl. 9% 4,1 10x10 a 18x18 Antiguo ala ancha 3,34 14 a 22 Peiner ala ancha 4,25 20 a 80 Perfil normal 14 1 con Iy=1,1 Ix

6,2

TABLA 2

En ambos casos:

- 39 -

St-52

  1,06 1,08 1,10 1,13 1,16 1,19 1,23 1,27 1,31 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,71 1,77 1,82 1,88 1,94 2,00 2,07

20,4 24,1 28,6 32,9 37,1 41,2 45,1 48,8 52,5 55,9 59,2 62,4 65,4 68,3 71,1 73,8 76,5 79,0 81,5 83,9 86,2 88,4 90,4

 =  

Si

 =






PANDEO

COEFICIENTES DE PANDEO SEGÚN LA NORMA DIN 4114 TABLA A: Valores de

 para el Acero St-37 ó A-37



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9



20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

1.04 1.08 1.14 1.21 1.30 1.41 1.55 1.71 1.90 2.11 2.43 2.85 3.31 3.80 4.32 4.88 5.47 6.10 6.75

1.04 1.09 1.14 1.22 1.31 1.42 1.56 1.73 1.92 2.14 2.47 2.90 3.36 3.85 4.38 4.94 5.53 6.16 6.82

1.05 1.09 1.15 1.23 1.32 1.44 1.58 1.74 1.94 2.16 2.51 2.94 3.41 3.90 4.43 5.00 5.59 6.23 6.89

1.05 1.10 1.16 1.23 1.33 1.45 1.59 1.76 1.96 2.18 2.55 2.99 3.45 3.95 4.49 5.05 5.66 6.29 6.96

1.05 1.10 1.16 1.24 1.34 1.46 1.61 1.78 1.98 2.21 2.60 3.03 3.50 4.00 4.54 5.11 5.72 6.36 7.03

1.06 1.11 1.17 1.25 1.35 1.47 1.62 1.80 2.00 2.23 2.64 3.08 3.55 4.06 4.60 5.17 5.78 6.42 7.10

1.06 1.11 1.18 1.26 1.36 1.49 1.64 1.82 2.02 2.27 2.68 3.12 3.60 4.11 4.65 5.23 5.84 6.49 7.17

1.07 1.12 1.19 1.27 1.37 1.50 1.66 1.84 2.05 2.31 2.72 3.17 3.65 4.16 4.71 5.29 5.91 6.55 7.24

1.07 1.13 1.19 1.28 1.39 1.52 1.67 1.86 2.07 2.35 2.77 3.22 3.70 4.22 4.77 5.35 5.97 6.62 7.31

1.08 1.13 1.20 1.29 1.40 1.53 1.69 1.88 2.09 2.39 2.81 3.26 3.75 4.27 4.82 5.41 6.03 6.69 7.38

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

COEFICIENTES DE PANDEO SEGÚN LA NORMA DIN 4114 TABLA B: Valores de

 para el Acero St-52 ó A-52



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9



20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

1.06 1.11 1.18 1.28 1.41 1.58 1.79 2.05 2.53 3.06 3.65 4.28 4.96 5.70 6.48 7.32 8.21 9.14 10.1

1.06 1.12 1.19 1.29 1.43 1.60 1.81 2.10 2.58 3.12 3.71 4.35 5.04 5.78 6.57 7.41 8.30 9.24 10.2

1.07 1.13 1.20 1.31 1.44 1.62 1.83 2.14 2.64 3.18 3.77 4.41 5.11 5.85 6.65 7.49 8.39 9.34 10.3

1.07 1.13 1.21 1.32 1.46 1.64 1.86 2.19 2.69 3.23 3.83 4.48 5.18 5.93 6.73 7.58 8.48 9.44 10.4

1.08 1.14 1.22 1.33 1.47 1.66 1.88 2.24 2.74 3.29 3.89 4.55 5.25 6.01 6.81 7.67 8.58 9.53 10.5

1.08 1.15 1.23 1.34 1.49 1.68 1.91 2.29 2.79 3.35 3.96 4.62 5.33 6.09 6.90 7.76 8.67 9.63 10.7

1.09 1.15 1.24 1.36 1.51 1.70 1.93 2.33 2.85 3.41 4.02 4.69 5.40 6.16 6.98 7.85 8.76 9.73 10.8

1.09 1.16 1.25 1.37 1.52 1.72 1.96 2.38 2.90 3.47 4.09 4.75 5.47 6.24 7.06 7.94 8.86 9.83 10.9

1.10 1.17 1.26 1.38 1.54 1.74 1.98 2.43 2.95 3.53 4.15 4.82 5.55 6.32 7.15 8.03 8.95 9.93 10.9

1.11 1.18 1.27 1.40 1.56 1.76 2.01 2.48 3.01 3.59 4.22 4.89 5.62 6.40 7.23 8.12 9.05 10.0 11.1

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


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