Ecuación
Ecuación, declaración de la igualdad entre dos expresiones, utilizada en casi todas las ramas de
las matemáticas puras y aplicadas, así como en las ciencias físicas, biológicas y sociales. Una ecuación suele incluir una o más incógnitas, también llamadas variables. Éstas se denotan utilizando letras u otros símbolos, como en las ecuaciones x 2 + x - 4 = 8 ; y = sen x + x ; 3y = log x . Una ecuación se nombra según el número n úmero de variables que contenga, por lo que puede ser una ecuación con una, dos, tres o más variables. Se dice que una ecuación es satisfecha, o se cumple, para determinados valores de las incógnitas, si al sustituir las variables por dichos valores la expresión que queda al lado izquierdo del signo igual es igual a la del lado derecho. Por ejemplo, la ecuación 2 x + 5 = 13 se cumple para x = 4. Si uno o más valores de la variable no satisfacen la ecuación, ésta se denomina condicional. La ecuación con dos incógnitas 3 x + 4y = 8 es condicional pues no se cumple para x = 1 e y = 3. Se dice que una ecuación es una identidad si se cumple para todos los posibles x + y )2 = x 2 + 2 xy + y 2 ; sen2 x + cos2 x = 1 valores de las variables. Por ejemplo, las ecuaciones ( x son identidades pues se cumplen para todos los posibles valores de las incógnitas. Una solución de una ecuación condicional es un valor de la variable, o conjunto de valores de las variables, que satisfacen la ecuación; por eso, 3 es una solución de la ecuación x 2 - 2 x = 3, y x = 2, y = 4 es una solución de la ecuación 3 x 2 + 4y = 28. Una solución de una ecuación con una sola incógnita se denomina normalmente raíz de la ecuación. Una ecuación polinómica tiene la forma a0 + a1 x 1 + a2 x 2 + … + an x n = 0
en la que los coeficientes a0, a1, …, an son constantes, y n es un entero positivo. El mayor exponente, n, es el grado de la ecuación. Las ecuaciones e cuaciones de primer, segundo y tercer grado también son conocidas como ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas, respectivamente. Otros titipos de de ec ecuaciones im importantes so son la las ec ecuaciones al algebraicas, co como + x + 1) = 8, y trigonométricas, como sen x + cos 2 x = ; logarítmicas, como log x + 2 log ( x x exponenciales, como 3 + 2 x - 5 = 0.
= 7; 7;
Las ecuaciones diofánticas son aquellas ecuaciones con una o más incógnitas y con coeficientes enteros para las que se buscan soluciones enteras. Las ecuaciones de los cálculos diferencial e integral incluyen derivadas o diferenciales e integrales. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Una solución de dicho sistema es un conjunto de valores de las incógnitas que satisface todas y cada una de las ecuaciones simultáneamente. Véase Álgebra: Resolución de Ecuaciones. 1
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Teoría de ecuaciones
Teoría de ecuaciones, rama de las matemáticas que estudia la naturaleza de las raíces de
ecuaciones polinómicas y los métodos de búsqueda de dichas raíces. La teoría de las ecuaciones tiene aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y de las ciencias. Una ecuación polinómica tiene la siguiente forma general a0 + a1 x 1 + a2 x 2 + … an x n = 0
en donde los coeficientes a0, a1, …, an son cualquier número, excepto an que debe ser distinto de 0. El grado de una ecuación polinómica es igual al número entero positivo n. Una raíz es un valor de la x tal que al sustituir dicho valor en la ecuación polinómica se obtiene 0 = 0. Para resolver una ecuación polinómica, hay que encontrar todas las raíces de la ecuación. Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado que sólo tiene una raíz. La única raíz de la ecuación lineal ax + b = 0 es x = -b/a. La ecuación cuadrática, o de segundo grado, ax 2 + bx + c = 0, tiene dos raíces, dadas por la fórmula
Comienzos
Hasta el siglo XVII, la teoría de ecuaciones estuvo limitada pues los matemáticos no fueron capaces de aceptar que los números negativos y complejos podían ser raíces de ecuaciones polinómicas. Sólo los antiguos matemáticos indios, como Brahmagupta, conocían las raíces negativas, pero fuera de China e India no se trabajaba con coeficientes negativos en los polinomios. En vez de un solo tipo de ecuación de segundo grado, el mencionado más arriba, había seis tipos distintos, según cuáles cu áles fueran los coeficientes negativos. Un método de resolución de ecuaciones que puede encontrarse en antiguos libros egipcios y chinos, es el de la falsa posición. Por ejemplo, para resolver la ecuación x + x/7 = 19, primero se toma una aproximación de la x que simplifique el cálculo del primer término, como x = 7. Al sustituir la x por 7 en esta ecuación, el resultado es 8 en vez de 19. Por tanto, se necesita un factor corrector que se obtiene dividiendo 19 por 8. Este factor, 2 , se multiplica por el primer valor, 7, con lo que se encuentra en cuentra que la raíz de la ecuación original es 16 . Los egipcios utilizaban el método de la falsa posición para encontrar una raíz en ecuaciones de segundo grado sencillas. Para ecuaciones cuadráticas con un término en x, como x 2 - 5 x = 6, las primeras soluciones no se encuentran hasta en los libros de matemáticas babilonios del 2000 a.C. Aunque los babilonios no conocían las raíces negativas ni las complejas, su método de búsqueda de las raíces positivas reales es el mismo que se utiliza en la actualidad.
Otro importante descubrimiento del mundo antiguo, que se puede encontrar en los escritos del matemático y científico griego Herón de Alejandría en el siglo I, es un método de aproximación de la raíz positiva de ecuaciones como x 2 = 2. En este método, primero se toma una aproximación como para calcular una nueva aproximación utilizando la regla [ + 2/( )]/2, o
17/12. Si se repite este procedimiento se obtiene 577/408, que es una buena aproximación de . Estas aproximaciones y cálculos repetidos se denominan iteraciones. Un método iterativo muy útil, que se encuentra en los trabajos de los matemáticos chinos Liu Hui (en el siglo III) y Chu Shih-Chieh (en el siglo XIII), fue redescubierto en Europa hacia 1800 por el matemático inglés W. G. Horner. También había sido usado por el matemático árabe Yamschid al-Kaschi. Entre otros matemáticos árabes que hicieron importantes contribuciones a la teoría de ecuaciones se incluyen Al-Jw rizm y Omar Jayyam, Jayyam, que desarrollaron la primera teoría de las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, esta teoría estaba definida en términos geométricos y era, por tanto, incompleta.
Soluciones generales
En 1545 el matemático italiano Gerolamo Cardano publicó una solución algebraica para las ecuaciones de tercer grado en función de sus coeficientes y Niccolò Tartaglia la desarrolló. Poco después, Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, encontró una solución algebraica para las ecuaciones de cuarto grado. En 1629 el matemático francés Albert Girard aceptó raíces de ecuaciones tanto negativas como complejas y fue, por tanto, capaz de finalizar el aún incompleto estudio que François Viète había realizado sobre la relación entre las raíces de una ecuación algebraica y sus coeficientes. Viète había descubierto que si a y b son las raíces de x 2 - px + q = 0, entonces p = (a + b) y q = a·b. Generalizando, Viète demostró que si el coeficiente del término de mayor grado de la ecuación p( x x ) = 0 es la unidad, u nidad, entonces el coeficiente del segundo término de mayor grado cambiado de signo es igual a la suma de todas las raíces; el coeficiente del tercer término es igual a la suma de todos los productos formados al multiplicar las raíces de dos en dos; el coeficiente del cuarto término cambiado de signo es igual a la suma de todos los productos que resultan de multiplicar las raíces de tres en tres. Si el grado de la ecuación es par, el coeficiente del último término es igual al producto de todas las raíces; si es impar, es el producto de todas las raíces cambiado de signo. Viète también aportó importantes métodos numéricos para encontrar aproximaciones a las raíces de una ecuación. En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón mencionado más arriba es un caso particular de éste. A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró que cualquier ecuación polinómica tiene al menos una raíz. Sin embargo, quedaba aún por saber si era posible expresar esta raíz con una fórmula algebraica utilizando los coeficientes de la ecuación, como se había encontrado para las de segundo, tercer y cuarto grado. El astrónomo y matemático francés Joseph Lagrange dio un paso importante para resolver esta cuestión con su método de de permutación de las raíces de una ecuación para el estudio de sus soluciones. Este fructífero concepto, junto con los trabajos del matemático italiano Paolo Ruffini, del noruego Niels Abel y del francés Évariste Galois, Galois, condujo a una teoría completa de los polinomios. Entre otras cosas, esta teoría demuestra que un polinomio sólo se puede resolver utilizando una fórmula algebraica general si es de cuarto grado o menor. El trabajo de Galois también sirvió para resolver dos
famosos problemas que se remontaban a los antiguos griegos: Galois demostró que es imposible dividir algunos ángulos en tres partes iguales utilizando sólo el compás y la regla recta, y que es imposible construir un cubo cuyo volumen sea dos veces el de un cubo dado. dado. 2
Ecuación diferencial Ecuación diferencial, ecuación en la que figura una función y = ), y al menos una de sus y = f ( x x ), derivadas. La primera derivada de una función y = ’( x ), es la y = f ( x x ), o derivada de primer orden, f ’( x ), velocidad a la que cambia y con respecto a x. Si la función se representa gráficamente, la
primera derivada en cualquier punto es la pendiente de la curva en ese punto. La segunda x ), derivada, o derivada de segundo orden, f ’’( ’’( x ), es sencillamente la derivada de la derivada, y así sucesivamente. Véase Cálculo Cálculo.. A menudo, las ecuaciones diferenciales representan leyes naturales relativas a la velocidad de x ) que un determinado cambio. Una solución de una ecuación diferencial es una función y = f ( x satisface la ecuación; la solución general es una fórmula que representa todas las soluciones posibles. Una ecuación diferencial de orden n es una ecuación en la que figura la derivada enésima, x ), denotada por d ny/dx n = f (n)( x ), y ninguna derivada de orden superior. Para ver un ejemplo de ecuación diferencial de primer grado que corresponde a una ley natural, hagamos que x represente el tiempo e y la masa de una muestra radiactiva en el momento x. Se ha demostrado que y disminuye a una velocidad dy/dx proporcional a la masa de material radiactivo que queda; por tanto,
donde a es negativo puesto que y disminuye. La solución general de esta ecuación diferencial viene dada por y = ceax , donde c es una constante igual a la masa de material en el momento x = 0. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden surgen a menudo en problemas relativos al movimiento bajo la influencia de fuerzas fuerzas.. Si un objeto recorre la distancia y en el tiempo x, entonces dy/dx es su velocidad y d 2y/dx 2 es su aceleración. Si el objeto tiene una masa constante m y está sometido a una fuerza F, la segunda ley de Newton (véase Mecánica Mecánica)) afirma que
Si F es la fuerza gravitatoria mg, e y representa la distancia caída, entonces m·d 2y/dx 2 = F = mg, por lo que
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Como se demuestra en cálculo, la solución general de (2) es
donde a y b son constantes, iguales respectivamente a la velocidad y la distancia en el momento x = 0. Como ilustran estos ejemplos, la solución general de una ecuación diferencial de orden n implica n constantes arbitrarias, como son c en (1), o a y b en (2). Se dispone de muchos métodos potentes para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales, pero no hay un método único que resuelva todas, y en algunos casos sólo pueden hallarse soluciones aproximadas mediante técnicas numéricas. Las ecuaciones diferenciales parciales implican derivadas parciales de una función de dos o más variables. 3
Ecuación indeterminada Ecuación indeterminada, en matemáticas, nombre dado a una ecuación carente de un conjunto
único de soluciones, por lo que no se puede resolver de forma única. Una ecuación indeterminada puede tener un número n úmero infinito de soluciones. Estas ecuaciones sólo tienen solución si se añaden restricciones adicionales al problema; una restricción puede ser que las soluciones deben ser números enteros. Un ejemplo sencillo de este tipo de problemas es el siguiente: ¿cuántas monedas de cinco y veinticinco unidades se necesitan para tener cincuenta unidades? Algebraicamente, este problema se reduce a resolver la ecuación 5 x + 25y = 50. Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones si se admiten soluciones fraccionarias, pero el enunciado del problema prohibe estas soluciones, pues un tercio de moneda de 5, por ejemplo, no tiene sentido. Con esta restricción, está claro que hay tres y sólo tres soluciones: diez monedas de 5 y ninguna de 25, cinco de 5 y una de 25, y ninguna de 5 y dos de 25. Algunos de estos problemas no tienen solución, por ejemplo: ¿cuántas monedas de 5 y 25 se necesitan para tener 37 unidades? En problemas más complejos, la solución o soluciones no son tan fáciles de encontrar, por lo que ha sido necesario desarrollar un álgebra extensa para encontrar estas soluciones. El más simple de estos problemas puede expresarse en forma de una ecuación algebraica lineal con dos incógnitas (como la ecuación mostrada en el párrafo anterior), que se resuelve utilizando el método descubierto por los matemáticos griegos Diofante y Euclides. Las soluciones, si existen, se encuentran calculando el máximo común divisor de los coeficientes de la x y de la y en la ecuación. En la ecuación anterior, los coeficientes eran 5 y 25, con lo que su máximo común divisor es 5. Si el máximo común divisor es un submúltiplo del segundo miembro de la ecuación (50 es divisible por 5), la ecuación tiene una o más soluciones enteras. Para más información y ejemplos sencillos, véase Análisis diofántico. diofántico. Muchos de los grandes matemáticos, como el alemán Carl Friedrich Gauss dedicaron bastante tiempo a la búsqueda de soluciones enteras para ecuaciones indeterminadas complejas. 4
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