LEVAS Se requiere diseñar una leva de rotación, cuya velocidad de giro es constante de 50 r.p.m. La función de desplazamiento desplazamiento del seguidor debe cumplir: Tramo 1 de detención durante un giro de la leva de 86º Tramo 2 de subida que desplaza el seguidor 1 cm para un giro de la leva de 60º, que siga un movimiento cicloidal del tipo de la ecuación genérica: 1 ) S Li L( sin
Tramo 3 de subida que desplaza el seguidor 1 cm para un giro de la leva de 30º a velocidad velocidad constante. Tramo 4 de subida que desplaza el seguidor 1 cm para un giro de la leva de 47º, que siga un movimiento semi-armónico simple del tipo de la ecuación genérica: genérica: S Li L sin(
2
Tramo 5 de descenso que desplaza el seguidor 1 cm para un giro de la leva de 47º, que siga un movimiento semi-armónico simple del tipo de la ecuación genérica: genérica: S Li L(1 cos
)
2
)
Tramo 6 de descenso que desplaza el seguidor 1 cm para un giro de la leva de 30º a velocidad constante.
Se pide: 1. Proponer una solución para completar el ciclo (tramo 7). 2. Definir las ecuaciones específicas del diagrama de desplazamiento desplazamient o de la leva, incluyendo el tramo 7. 3. Calcular la velocidad del seguidor para un ángulo ángulo de 245º (en cm/s) 4. Calcular el ángulo para el que se da la aceleración máxima en el tramo 2, m.
1
ENGRANAJES 1 Se pretende diseñar una reductora formada por una pareja de engranajes. El piñón tiene Z 1 = 12 y la rueda Z2 = 17. Dichas ruedas han sido fabricadas con módulo 6 y con herramienta de talla normalizada ( = 20°). a) Calcular los parámetros de talla de cada rueda y montaje de la pareja considerando que los engranajes deben ser montados a 0 y que debe garantizarse la mínima distancia entre centros (evitando holgura circunferencial). Rellena la tabla siguiente con los valores calculados. Escribir todas las distancias en mm. y los ángulos en grados (°). Parámetros Número de dientes Z
Piñón
Rueda
12
17
Coeficiente de desplazamiento (x) Desplazamiento de talla (x.m) Radio primitive de referencia (r) Radio primitivo de funcionamiento (r’) Radio base (rb) Radio de cabeza (ra) Radio de pie (r f ) Paso (p) Espesor del diente (s) Hueco (e) Angulo de presión de funcionamiento (’)
b) Sin modificar los parámetros de ambas ruedas, se decide realizar un montaje de manera que la distancia entre ejes sea de 90mm (se permite en este caso cierta holgura circunferencial). En estas condiciones, calcular el nuevo ángulo de presión de funcionamiento ( ’).
ENGRANAJES 2 Determinar el número de parejas de ruedas, y el número de dientes para cada rueda, para una reductora industrial cuya relación de transmisión debe ser i 15 , con un error absoluto inferior a 10 -2. Se han de considerar las siguientes restricciones: Las relaciones de transmisión parciales están limitadas, i max = 5 (1/5 ≤ i ≤ 5) El número de dientes debe estar en el rango 17 ≤ Z ≤ 100.
2
VOLANTES
Se tiene máquina con una potencia media de 42kW, con un par motor como el que se muestra en la figura: f igura:
Cuando se añade un volante de inercia macizo a la máquina, se obtiene un grado de irregularidad de un 1% de la velocidad media. 1. Calcular el valor del par medio resistente resistent e 2. Determinar las velocidades de giro máxima y mínima y en qué puntos del ciclo se alcanzan 3. Calcular el momento de inercia del volante 4. Calcular el espesor del volante para un diámetro de 0,6m ( = 7250 kg/m3)
3
CHOQUES Y PERCUSIONES Una masa puntual de 2kg incide sobre el suelo con una velocidad de 10m/s, formando un ángulo con la vertical de 10º. y
10º
Se sabe que la percusión entre el suelo y la pelota solo tiene componente j (eje vertical y). El choque tiene un coeficiente de restitución de ε=0,5. Se pide: 1. La percusión que sufren el suelo y la la pelota en el primer bote. 2. La velocidad velocidad de la pelota después del primer bote 3. Velocidad de la pelota después del segundo bote 4. Percusión en el segundo bote
MECÁNICA ANALÍTICA
Dos barras, ambas de longitud L conocida, están conectadas como se indica en la figura. Todas las juntas O, A y B son de rotación y sin fricción. En A se encuentra una masa m A. En punto B tiene restringido su movimiento en la dirección vertical, como se muestra en la imagen. Los dos resortes tienen una longitud natural de valor l o = L, y una contaste de rigidez conocida de valor k/2. La distancia entre O y C es 2 L. i) Exprese la posición de las juntas A y B en función de la coordenada generalizada q. ii)
Encuentre la expresión de la energía cinética, T, y potencial, U, en función de la coordenada generalizada q.
iii)
Especifique Especif ique la función Lagrangiana para el sistema.
iv)
Encuentre la ecuación de movimiento del sistema (en la forma: q =….).
v)
Cuando el sistema está en equilibrio ( q = 0), encuentre una expresión simplificada para q. Suponga que el ángulo q es pequeño, con lo cual: tan q = sin q = q , y cos q = 1.
vi)
¿Cuánto tendría que valer la constante constant e de un muelle si el otro muelle es retirado para que el sistema siguiera siendo mecánicamente equivalente? 4
SOLUCIÓN LEVAS 1.
Proponer una solución para completar el ciclo (tramo 7).
5
4
6
3
7
2
Para el último tramo, se descarta la posibilidad de utilizar tanto una función de velocidad constante como una función armónica, dado que tiene que combinar con una detención y no se cumpliría la ley de continuidad de la leva. Se puede proponer una cicloidal o una polinómica 5 imponiendo condiciones para la continuidad.
2. Definir las ecuaciones específicas del d iagrama de desplazamiento de la leva, incluyendo el tramo 7
Ecuaciones específicas: Trabajando con ángulos θ globales: Tramo 1:
S 1 0 S 2
Tramo 2:
2 02 2
S 3 1 Tramo 3:
; = 86°
0 ≤ ≤ 86°
1
3 03 3
sin
( 2 02 )
1
2
2 86 60
1
sin
( 2 86) 60
; 86° ≤ ≤ 146°; 146° ; = 60°
3 146 30
;
146° ≤ ≤ 176°; 176° ;
= 30°
5
S 4 2 sin(
( 4 04 ) 2 4
Tramo 4:
S 5 3 1 cos
(5 05 ) 2 5
Tramo 5:
S 6 2
6 06 6
Tramo 6:
) 2 sin(
2
( 4 176)
2 cos
2 47
) 176° ≤ ≤ 223°; 223° ;
;
= 47°
(5 223) 2 47
270° ; ; 223° ≤ 5 ≤ 270°;
5 = 47°
6 270 30
; 270° ≤ ≤ 300°; 300° ;
= 30°
Tramo 7:
Solución 1: una cicloidal del tipo del tramo 2 de subida, pero cambiando la convexidad de la función porque si no no cumpliría la ley de continuidad de la leva:
07 1 (7 07 ) 300 1 (7 300) 1 S7 Li L( sin ) 1 ( 7 ) 1 ( 7 ) sin sin 60 60 7 7
;
300° ≤ ≤ 360°; 360° ; = 60°
Solución 2: una polinómica de grado 5, de la que calcularemos los coeficientes para que cumpla la ley de continuidad de la leva: 2
3
4
S7 C0 C1 C2 C3 C4 C5 1
2
3
C1 2C2 3C3 4C4 5C5 v7 7 1
2
a7 2 2C2 6C3 12C4 20C5 7
3
4
5
S7 (0) 1; C 0 1 v7 (0)
1 6
;
1 6
C 1
7
; C 1 2
a7 (0) 0; C2 0
S7 (1) 0; C3 C4 C5 1 v7 (1) 0; 3C3 4C4 5C5 2 a7 (1) 0; 6C3 12C4 20C5 0 C3 2;C4 1;C 5 0
6
3.
Calcular la velocidad del seguidor para un ángulo de 245º (en cm/s)
El ángulo de 245º pertenece al tramo 5. Por lo tanto:
S 5 3 1 cos
(5 05 )
Tramo 5:
2 5
2 cos
(5 223) 2 47
; 223° ≤ 5 ≤ 270°; 270° ;
5 = 47°
Derivamos respecto al ángulo y calculamos la velocidad, considerando que para pasar de cm/rad a cm/s, es necesario multiplicar por la velocidad angular de la leva (50 rpm)
v5
2 5
sin
(5 05 ) 2 5
0.0224
cm º
1, 284
cm rad
6, 72
cm s
7
4.
Calcular el ángulo para el que se da la aceleración máxima en el tramo 2, m.
S 2
2 02 2
Tramo 2:
1
sin
(2 02 ) 2
86 2 86 60
1
sin
( 2 86) 60
; 86° ≤ ≤ 146°; 146° ; = 60°
Derivamos dos veces para calcular la velocidad: v2
1
1
cos
( 2 86)
60 60 60 ( 2 86) a2 2 sin 60 60
Viendo la ecuación de la aceleración en el tra mo 2, es trivial que el valor máximo de aceleración en el tra mo se dará cuando la función senoidal sea máxima, es decir, cuando el ángulo sea , es decir, justo en la mitad
del tramo 2, tal y como se muestra en la figura.
sin
( 2 86) 60
1;
( 2 86) 60
1 / 2; 2 116º
8
SOLUCIÓN ENGRANAJES 1 x1
14 12
17 x1 m 0.706
r 1
m Z 1 2
x2 , 0,1176
0.1176
6 12 2
x2 m 0, 706
r 2
36
m Z 2 2
6 17
51
2
rb 2 r2 cos 51cos 20 20
r b1 r 1 cos 36 cos 20 33.829
47.924 ra 2 r2 m x2 m
r a1 r 1 m x1 m 36 6 0.706 42.71
51 6 0 ,706 56 ,294 r f 1 r 1 1.25m x1 m
r f 2 r2 1.25m x2 m
36 1.25 6 0.706 29.21
51 1.25 6 0, 706 42, 794
c c1 c2 0.25m 0.25 6 1.500 p m 18.850 s1 e1
m 2 m 2
s2 8,91
2 x1m tan 9.39
e2 9,39
2 x1m tan 8.91 Ev ' 2
x1 x2 Z1 Z 2
tan Ev 2
Ev ' 0.014904
r '1 r 1
cos cos '
36
0 12 15
tan 20 Ev 20 0.014904
' 20
cos 20 cos 20
36
r '2 r 2
cos cos '
51
cos 20 cos 20
51
a ' r '1 r ' 2 36 51 87
9
Parámetros
Piñón
Rueda
Coeficiente de desplazamiento (x)
0.1176
-0.1176
0.706
-0.706
36.000
51.000
36
51
Radio base (rb)
33.829
47.924
Radio de cabeza (ra)
42.706
56.294
Radio de pie (r f )
29.206
42.794
Paso (p)
18.850
18.850
Espesor del diente (s)
9.939
8.911
Hueco (e)
8.911
9.939
Desplazamiento de talla (x.m) Radio primitive de referencia (r) Radio primitivo de funcionamiento (r’)
Angulo de presión de funcionamiento (’)
20
b)
a ' r '1 r '2
r1
cos cos '
r2
cos cos '
a
cos
a cos a'
' cos1
cos '
87 cos 20 24.7 90
cos1
SOLUCIÓN ENGRANAJES 2 Para hallar la relación de transmisión aproximada, con un error absoluto menor de 10 -2 respecto a la dada: 38729 38730 (tb vale i ) y se usa el método de descomposición i 15 3, 87 8729 , se sustituye por i 10000 10000 en fracciones continuas hasta hallar una reducida que cumpla las especificaciones. 3
1
6
1
6
1
38729 10000
8729
1271
1103
168
95
8729
1103
168
95
73
E1 i R1 3.8729 3 10 3
R1 3
1 R2 3 4 1 R3 3
1271
1
E 2 i R 2 103
27 / 7 1 1 / 6 1 R4 3 31 / 8 1 1 7
E3 i R 2 1.57 *102 103 E 4 i R 4 2.1*103
103 vale
uego, una posible solución sería: Z 1 =
93
Z 2 =
24 10
SOLUCIÓN VOLANTES
1.
Trabajo Mm en un ciclo= Trabajo Mr en un ciclo
2πMR=Area ACE + Area EGI =2(1200 π/2)=600Nm 2.
Determinar velocidades de giro máxima y mínima y en qué puntos se alcanzan
Dado que Mr se da justo en la mitad de la altura de los dos triángulos; y que los dos triángulos son iguales, en realidad se están representando dos ciclos exactamente iguales de la máquina. Por ello, existen dos puntos de energía mínima y velocidad mínima, que son B y F. De la misma manera existen dos puntos de energía máxima y velocidad máxima, que son D y H.
P M Medio M
M
P
MMedio
42000 600
70
rad
s
Y las velocidades máxima y mínima:
rad 0, 01 Max M 1 70 1 70, 35 2 s 2 rad 0, 01 Min M 1 70 1 69, 65 2 s 2 3.
Calcular el momento de inercia del volante
Necesitamos A, o el trabajo para ir del punto de velocidad máxima a la mínima o viceversa. Este trabajo será igual al área BCD Area BCD=1/2 (600π/2)= 471,2 Nm
A
I V
M 2
4.
IV
IV b
1 2
1 2
471,2 70 0,01 ,01 2
9,62 kg m 2
Calcular el espesor del volante para un diámetro de 0,6 m (densidad 7250 kg/m3)
m R2
m R2 2 I V
R
4
1
2
m
2 I V
R 2
b R2 R2 2 9,32
7250
0, 3 4
2 9,32 0,3
1 2
2
207 kg
b R4
0,1040 m
b 104 mm
11
SOLUCIÓN CHOQUES Velocidad inicial de la masa (componte en eje x y eje y)
v A1 ( 10sen10, 10 1 0 cos 10 ) ( 1. 74, 9. 85 )m / s En una colisión de una partícula con un cuerpo rígido masivo, al igual que en los choques centrales oblicuos, se supone: Movimiento uniforme en la dirección perpendicular a la línea de impacto Un choque central donde las fuerzas se ejercen en la línea de impacto. Es decir, velocidades tangenciales se mantienen, y el coeficiente de restitución se aplica a las velocidades normales del punto de contacto. Las velocidades normales normales son la componente y.
0.5
v B 2 y vA 2 y v A1 y vB1y
0 vA 2 y
vA1y 0
v A2 y 0.5vA1y 4.93m / s j
m Av A m Av A P m AvA 2 x mAvA1x Px 0 m Av A 2 y mAv A1y Py 29. 56Ns
v A2 x vA1x 1.74 m/s Segundo revote masa puntual bajando.
v A3x vA 4x 1.74 m/s v A3 ( 1.74, 4.93 )m / s 0.5
v B 4 y vA 4 y v A3 y vB 3 y
0 vA 4 y
vA3 y 0
v A 4 y 0.5vA 4 y 2. 465m / s j
m AvA 4 mAvA3 P 2 m Av A 4 x mAv A3x P 2x 0 m AvA 4 y mAvA 3 y P 2 y 14. 79Ns
12
SOLUCIÓN MECÁNICA ANALÍTICA i) Xa=L cos q Ya=L sin q Xb=2 L cos q Yb=0 .
2
Energía cinética : T=(1/2)(mL q 2) Elongación de muelle 1: + (2 ( 2 cos q -1)L Elongación de muelle 2: - (2 ( 2 cos q -1)L
ii)
Energía potencial gravitatoria y elástica: U=mgL sin q+(1/2)(K/2)L2(2 cos (2 cos q -1)2+(1/2)(K/2)L2(2 cos (2 cos q -1)2 .
2
L=T-U=(1/2)(mL q 2)- mgL sin q-(1/2)KL2(2 cos (2 cos q -1)2
iii)
d L L 0 dt q q 2 L (cos qsenq) 2 KL2senq mgl cos q KL2 ( 2 cos q 1) 2( senq) mgl cos q 4 KL2 (c 2 q
d L
d
mL q mL q dt q dt 2
mL2 q (mgl cos q iv)
2
2 2
KL2 (2 cos q 1)2(senq ) mgl cos q 4KL2 (cos qsenq ) 2KL2senq ) 0
=-(g/L) cos q
q+(4k/m) cos q+(4k/m) cos q sin q-(2K/m) sin q
v)
Q=(mg)/(2KL)
vi)
Knueva= k El doble, ya que como se puede observar tanto en las ecuaciones como en el dibujo, al desplazar la corredera B, esta ejerce la misma elongación en el muelle de la izquierda como en el de la l a derecha. Los dos acumulan la misma energía potencial con tendencia a devolver la corredera a su estado original (mismo signo de energía potencia positiva). En las ecuaciones se ve que se suman como si fueran un único muelle de constante k.
13
