Teoría de la Decisión - El árbol de decisión - Su aplicación en situaciones de decisión con alternativas interdependientes.

Teoría de la Decisión – El árbol de decisión

25/07/2015

TEORÍA DE LA DECISIÓN El

Árbol

de

Decisión

Su aplicación en situaciones de decisión con alternativas interdependientes 1

Cuando nos hallamos ante la necesidad de superar un problema, por lo general procedemos a seleccionar un curso de acción (el mejor para nosotros) entre varias alternativas posibles, a través del denominado proceso decisorio.

B A

C

¿…? 2

Autor: Prof. CP Felipe R. Mangani

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B C

A

¡…! Dicho proceso, no siempre culmina al conocerse los resultados obtenidos tras llevar a cabo la acción elegida… 3

En muchas oportunidades, los efectos o consecuencias emergentes de una decisión, tomada en el momento actual, desencadenan la necesidad de tomar una nueva decisión, de manera inmediata o en un horizonte temporal cercano. La nueva decisión estará condicionada por los resultados de la alternativa elegida en el presente.

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En otras ocasiones, las decisiones actuales se adoptan considerando que en tiempos futuros han de tomarse otras decisiones, las que se encontrarán encadenadas o influenciadas por los resultados de la alternativa elegida en el presente.

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ESTADOS E1

E2

E3

PROBABILIDADES

1/3

1/3

1/3

∑=1

A1

5

3

12

6,67

A2

7

6

6

6,33

A3

10

4

8

7,33

A4

13

4

1

6

A5

5

8

10

7,67

ALTERNATIVAS

RACIONAL o de LAPLACE

V.E.

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ORIGEN y ANTECEDENTES DEL ÁRBOL DE DECISIÓN La utilización del diagrama de árbol surge de la Teoría de los juegos de John von Neumann y Oskar Morgenstern (1944), quienes recurren a este tipo de gráfico para representar la estructura temporal de un juego en forma extensiva (desde el principio –primera jugada–, hasta el final –última jugada-), como por ejemplo ante un juego de suma cero entre dos jugadores, como puede ser el denominado : “Pares y nones”.

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ORIGEN y ANTECEDENTES DEL ÁRBOL DE DECISIÓN

Este sencillo juego consiste en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dedos. Si el número de dedos coincide, el jugador que apuesta a “pares” (por ejemplo , el Jugador 1) gana la apuesta de $1 al jugador que apostó a “nones” (Jugador 2). Si el número de dedos no coincide, el Jugador 1 paga $1 al Jugador 2. Cada jugador tiene dos estrategias: mostrar uno o dos dedos, y los resultados se pueden exponer a través de una matriz de pagos. 14


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ORIGEN y ANTECEDENTES DEL ÁRBOL DE DECISIÓN La siguiente tabla (Matriz de Pagos) muestra los resultados para el Jugador 1

Jugador 2 (apuesta a “nones”) Matriz de Pagos 1 dedo

2 dedos

Jugador 1

1 dedo

1

-1

(apuesta a “pares”)

2 dedos

-1

1 15

ORIGEN y ANTECEDENTES DEL ÁRBOL DE DECISIÓN El gráfico del árbol permite exponer los mismos resultados (para el Jugador 1) mostrando el encadenamiento de las posibles decisiones de cada jugador. El esquema es aplicable a juegos más complejos.

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ESTRUCTURA DEL ÁRBOL DE DECISIÓN Como su nombre lo indica, el diagrama básico de un árbol de decisión está compuesto por “ramas” que se van abriendo a partir de un “nodo” principal, y de los “nodos” secundarios. Su confección se rige por las siguientes pautas:

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ESTRUCTURA DEL ÁRBOL DE DECISIÓN

NODOS DE DECISIÓN Indican el “momento” puntual de una toma de decisión, a partir del que se extenderán tantas “ramas” como alternativas posibles existan. Se representan gráficamente con un cuadrado:

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NODOS DE INCERTIDUMBRE Indican el “momento” en que acontecen los estados de las variables inciertas (o variables no controlables) que afectan a cada alternativa, a partir del que se extenderán tantas “ramas” como estados pudieran existir. Se representan gráficamente con un círculo:

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ARCOS Vinculan a los nodos entre sí. De los Nodos de Decisión parten tantos arcos como alternativas existan. De los Nodos de Incertidumbre parten tantos arcos como eventos inciertos se esperen. Se representan gráficamente con una línea:

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ARCOS De cada Nodo pueden partir muchos arcos, pero ingresa solo uno.

Un arco que parte de un Nodo de Decisión desemboca en un Nodo de Incertidumbre y viceversa. (aunque existen excepciones)

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RAMAS Una “rama” está compuesta por un arco y los nodos que une en forma correlativa.

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CAMINO Un conjunto de ramas constituyen un camino.

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SUB-ARBOL El “sub-árbol” es un árbol que comienza a partir de cualquier nodo que no sea el inicial.

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GENERALIDADES Los árboles de decisión se inician siempre en un Nodo de Decisión aunque pueden existir situaciones que parten de un Nodo de Incertidumbre (Decisión tácita)

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GENERALIDADES Los nodos se identifican en forma correlativa

B A C

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GENERALIDADES En los arcos que parten de Nodos de Decisión se identifican cada una de las alternativas

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GENERALIDADES En los arcos que parten de Nodos de Incertidumbre se identifican cada uno de los sucesos inciertos, y sus probabilidades (si se las conoce)

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GENERALIDADES Los arcos que parten de Nodos de Incertidumbre desembocan en los resultados (de ocurrir los estados inciertos), excepto que se presentara una nueva situación de decisión. $ 5.000.-

- $ 3.000.$ 10.000.-

- $ 8.000.-

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GENERALIDADES El árbol permite incorporar la noción del “tiempo” en el modelo decisorio (De este modo el decisor podrá relacionar los momentos del mismo con un calendario real)

Hoy

Mañana

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Planteamos un caso de decisión con alternativas interrelacionadas: Un emprendedor recibe una oferta para realizar una operación comercial que implica la posibilidad de ganar $ 11.000.- o de perder $ 9.000.-, con una probabilidad del 50 % para ambos cursos de acción. La condición para ingresar al negocio es la de contar con una disponibilidad de $ 30.000.-, que justo posee. El empresario también tiene en mente invertir en otra operación, prevista para dentro de dos meses, en la que puede obtener una ganancia de $ 15.000.- o una pérdida de $ 4.000.- con una probabilidad del 50%. En este caso la condición para poder participar del negocio es la de contar con una liquidez de $ 25.000.La interdependencia de alternativas se manifiesta en que la posibilidad de intervenir en el segundo negocio depende de lo que ocurra en el primero (si lo acepta y éste resulta perdidoso, no contará luego con la disponibilidad necesaria para intervenir en el segundo). La situación de decisión consiste en definir, en el presente, si ingresar o no al primer negocio, ya que sus resultados pueden impedirle participar del segundo dentro de dos meses. 32


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Diseño del gráfico del árbol de decisión según el orden de sucesión u ocurrencia de los momentos de decisión y de los estados inciertos, de izquierda a derecha. Se parte de la izquierda (comenzando desde un nodo de decisión), y se “avanza” al futuro hacia la derecha. (Utilizar los elementos de la estructura que fueron definidos)

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2

Se obtiene así una visión de conjunto de las distintas situaciones de decisión encadenadas , y ordenadas cronológicamente, de las diferentes alternativas, de los eventos inciertos y de sus probabilidades. Para graficar la situación de decisión planteada se utilizó una adaptación del complemento TreePlan de Microsoft Excel.

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0,50

Ganar $ 15.000

Aceptar 2

VISIÓN DE CONJUNTO

E

0,50

0,50 Perder $ 4.000

Ganar $ 11.000

C Aceptar 1

Rechazar 2 B

0,50 Perder $ 9.000

0,50

A

Ganar $ 15.000

Aceptar 2 F

0,50 Perder $ 4.000

Rechazar 1

D Rechazar 2

Hoy

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En dos meses

En primer lugar, el empresario hoy tiene la posibilidad de aceptar o rechazar el negocio 1 (nodo A), ya que cumple con el requisito de contar con una disponibilidad de $ 30.000.El problema central planteado consiste en tomar esta decisión. Aceptar 1 B

A Rechazar 1

D 36

Hoy


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Si aceptara el negocio 1 (nodo B), las consecuencias inmediatas pueden ser: ganar $ 11.000.-, o perder $ 9.000.- (ambas con una probabilidad del 0,50). Si se ganaran los $ 11.000.- el empresario tendría la oportunidad de aceptar o rechazar el negocio 2 (nodo C) a los dos meses, pero, si se pierden los $ 9.000.- no podrá considerarlo, ya que sus disponibilidades quedarían por debajo de los $ 25.000.0,50 Ganar $ 11.000

C Aceptar 1

B

0,50 Perder $ 9.000

En dos meses

Hoy

37

Al haber ganado con el negocio 1 los $ 11.000.- el empresario tiene la oportunidad de aceptar o rechazar el negocio 2 (nodo C) en dos meses. Si acepta el negocio 2 (nodo E), sus consecuencias pueden ser: ganar $ 15.000.-, o perder $ 4.000.- (ambas con una probabilidad del 0,50). Si lo rechaza, no habrá ganancias o ni pérdidas. 0,50 Ganar $ 15.000

Aceptar 2

E

0,50 Perder $ 4.000

C Rechazar 2 En dos meses


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Si el empresario rechaza hoy el negocio 1, no obtendrá ganancias ni sufrirá pérdidas, pero estará en condiciones de intervenir en el negocio 2 dentro de dos meses, al contar con el nivel de disponibilidades requerido. (nodo D) Si aceptara el negocio 2 (nodo F), las consecuencias pueden ser: ganar $ 15.000.-, o perder $ 4.000.- (ambas con una probabilidad del 0,50). Si lo rechaza, no habrá ganancias o ni pérdidas. 0,50 Ganar $ 15.000

Aceptar 2 Rechazar 1

F

0,50 Perder $ 4.000

D Rechazar 2 39

En dos meses

Hoy

El empresario desea saber hoy si le conviene aceptar o rechazar el negocio 1 (nodo A). Para ello deberá calcular el Valor Esperado de ambas estrategias, considerando la influencia de la futura decisión, y seleccionar aquella que arroje el mayor importe.

Aceptar 1 B

V.E. ?

A Rechazar 1

Hoy


D

V.E. ? 40

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Se comienzan a resolver las situaciones de decisión partiendo desde las ramas finales (a la derecha del gráfico), y se continúa hacia la base del árbol (a la izquierda del gráfico) Es decir que primero se seleccionan las alternativas óptimas correspondientes a las decisiones más mediatas, y en base a sus resultados se reanuda el mismo proceso con las decisiones que las anteceden en el tiempo. Así hasta llegar al momento inicial.

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Se inicia por calcular el Valor Esperado del nodo E, que corresponde a la opción Aceptar 2 (dentro de dos meses) = 15.000 x 0,50 + (4.000) x 0,50 = $ 5.500.El Valor Esperado de la rama Rechazar 2 es igual a cero (no hay ganancias ni pérdidas). 0,50 Ganar $ 15.000

Aceptar 2 E V.E. $ 5.500

0,50 Perder $ 4.000

C Rechazar 2 V.E. $ 0 En dos meses


42

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Continuando hacia la izquierda, el nodo de decisión C ahora cuenta con los V. E. de sus dos alternativas: Aceptar 2 = $ 5.500.- y Rechazar 2 = $ 0.Al optar por el resultado más conveniente (optimización), el Valor Esperado del nodo C ahora pasa a ser = a $ 5.500.0,50 Ganar $ 15.000

Aceptar 2 E V.E. $ 5.500

0,50 Perder $ 4.000

C V.E. $ 5.500

Rechazar 2 V.E. $ 0 43

En dos meses

Desde el nodo de Incertidumbre B, los eventos de sus dos ramas ahora son los siguientes : Ganar (11.000 + 5.500 = 16.500) y Perder (9.000).- Ambos con una probabilidad de 0,50. El Valor Esperado del nodo B: (16.500 x 0,50 + (9.000) x 0,50) pasa a ser = $ 2.750.De este modo, los resultados de los eventos futuros influyen sobre la decisión del presente. 0,50 Ganar $ 11.000

C Aceptar 1

V.E. $ 5.500 B

V.E. $ 2.750

0,50 Perder $ 9.000

Hoy


En dos meses

44

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Calcular el Valor Esperado del nodo de Incertidumbre F arroja el mismo resultado que el del nodo E (Aceptar 2 dentro de dos meses ) = $ 5.500.El V. E. de la rama Rechazar 2 es igual a cero (no hay ganancias ni pérdidas). Al resolver el nodo D, se opta por el mejor resultado entre las dos alternativas. El Valor Esperado del nodo D luego es = a $ 5.500.0,50 Ganar $ 15.000

Aceptar 2 Rechazar 1

F

V.E. $ 5.500

0,50 Perder $ 4.000

D

V.E. $ 5.500

Rechazar 2

V.E. $ 0 45

En dos meses

Hoy

El empresario ahora conoce los Valores Esperados de las dos alternativas para su decisión del presente, considerando la influencia de los resultados de los eventos futuros. Al optar por la alternativa que le ofrece el mejor resultado ($ 5.500 vs $ 2.750), hoy decide Rechazar su participación en el negocio 1, y Aceptar el negocio 2, dentro de dos meses. Aceptar 1 B

V.E. $ 2.750

A Rechazar 1 V.E. $ 5.500

D 46

Hoy


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0,50

Ganar $ 15.000

Aceptar 2 E

0,50

V.E. $ 5.500

Ganar $ 11.000

0,50 Perder $ 4.000

C V.E. $ 5.500

Aceptar 1

Rechazar 2

B V.E. $ 2.750

0,50 Perder $ 9.000

0,50

A

Ganar $ 15.000

Aceptar 2 F

Rechazar 1

V.E. $ 5.500

0,50 Perder $ 4.000

D

V.E. $ 5.500

Rechazar 2 Hoy

En dos meses

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En una situación de decisión simple como la desarrollada (con pocos nodos y arcos), la construcción de un árbol es sencilla.

Cuando la situación de decisión es compleja (con muchos nodos y arcos), la construcción requiere tiempo e ingenio. Por ejemplo, sustituir el gráfico por una tabla en la que se representan cada uno de los nodos.

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Se han desarrollado programas informáticos destinados a la confección y cálculo de los resultados de árboles de decisión, solucionando muchos de los problemas producidos por las situaciones de decisión más complejas, como por ejemplo las relacionadas a la evaluación de proyectos de inversión. Lo importante de esta herramienta es que le permite al decisor ordenar la estructura para obtener una visión integral del problema y hallarle una solución óptima.

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Teoría de la Decisión – El árbol de decisión Su aplicación en situaciones de decisión con alternativas interdependientes Referencias bibliográficas: ● Dresdner, Mario O. y otros. Técnicas Cuantitativas Aplicadas a las Decisiones. Editorial El Coloquio. Buenos Aires, 1973. ● Pavesi, Pedro y otros. La Decisión. Grupo Editorial Norma. Buenos Aires, 2004.

Foto final: Agustín Celso – Atalaya – Prov. de Buenos Aires – Argentina Resumen y diseño de la presentación: Prof. CP Felipe R. Mangani – Ciudad de Buenos Aires – Argentina Visite el blog: SEMBRAR ADMINISTRACIÓN http://administraciongeneraluba.blogspot.com.ar/

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