Teoria de Homomorfismo de Grupo

Universidad Nacional de Formosa Profesorado de Matemática Olmedo Francisco Javier

Facultad de Humanidades ALGEBRA III Unidad 4 Homomorfismo de Grupo

 Homomorfismo de Grupo  Definición: Sea

( G, ⊗ ) y ( G´, • ) dos grupos y

 f  una aplicación de G en G´ , la

aplicación  f  se dice que es un  HOMOMORFISMO DE GRUPO si para todo x, y que pertenecen a G se verifica: f ( x ⊗ y) = f ( x) • f ( y)

Clasificación Clasificación de Homomorfismo: • Si  f  es un homomorfismo de un grupo en si mismo diremos que f  es  ENDOMORFISMO. • Si  f  es un homomorfismo y además f  es inyectiva, diremos que f  es  MONOMORFISMO. • Si  f  es un homomorfismo y además  f  es sobreyectiva, diremos que  f  es  EPIMORFISMO. • Si  f  es un homomorfismo y además  f  es biyectiva, diremos que  f  es  ISOMORFISMO. • Los isomorfismo de en si mismo reciben el nombre de AUTOMORFISMO.

un un un un

Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos G1 y G2 , diremos que ambos grupos son isomorfos y escribiremos G1

≈ G2 .

Teorema de Automorfismo Sea G un grupo y g un elemento de G , definimos fg : G → G de manera que −

f g ( x) = g ⋅ x ⋅ g 1 para todo elemento  x de G ;  f g es un automorfismo de grupo.

 Demostración: 1. demostración de que  f g es un homomorfismo: fg ( x ⋅ y) = g ⋅ ( x ⋅ y) ⋅ g −1 (Por definición de  f g ). g ( x ⋅ y ) g −1 = g ⋅ x ⋅ e ⋅ y ⋅ g −1 (Por ser (G , ⋅) un grupo). g ⋅ x ⋅ e ⋅ y ⋅ g −1 = g ⋅ x ⋅ ( g −1 ⋅ g ) ⋅ y ⋅ g −1 (Por definición de neutro en G ). g ⋅ x ⋅ ( g −1 ⋅ g ) ⋅ y ⋅ g −1 = g ⋅ x ⋅ g −1 ⋅ g ⋅ y ⋅ g −1 (Disociativa en G ). g ⋅ x ⋅ g −1 ⋅ g ⋅ y ⋅ g −1 = ( g ⋅ x ⋅ g −1 ) ⋅ ( g ⋅ y ⋅ g −1 ) (Asociativa en G ).

( g ⋅ x ⋅ g )⋅(g ⋅ y ⋅ g ) = f −1

−1

g

( x ) ⋅ f g ( y ) (Por definición de  f g ).

2. demostración de que  f g es un isomorfismo, para ello demostraremos que es biyectiva.

 INYECTIVA: fg ( x) = fg ( y) ⇒ g ⋅ x ⋅ g −1 = g ⋅ y ⋅ g −1 (Por definición de  f g ) g/ ⋅ x ⋅ g/ −1 = g/ ⋅ y ⋅ g/ −1 ⇒ x = y (Por cancelativa a derecha e izquierda en G) ∴ fg ( x) = fg ( y) ⇒ x = y

Universidad Nacional de Formosa Profesorado de Matemática Olmedo Francisco Javier

Facultad de Humanidades ALGEBRA III Unidad 4 Homomorfismo de Grupo

SOBREYECTIVA −1 −1 ∀g ⋅ x ⋅ g ∈ G , ∃ x ∈ G / g ⋅ x ⋅ g = f ( x ) Por definición de grupo y por ser  f g un endomorfismo, todo elemento tiene su pre-imagen.  f g es inyectiva y sobreyectiva ⇒  f g es un isomorfismo y como es de G en si mismo lleva el nombre de Automorfismo.

 Propiedades  Propiedades de los Homomorfismos .  Lema 1: si  f  es un homomorfismo de G en G´ , entonces: a) f ( e) = e´ , el elemento unidad en G´ . b)

−1

− f ( a ) = ( f ( a) ) ∀ a ∈ G

1

 Demostración: Puesto que x= xe, f ( x) = f ( xe) = f ( x) f ( e) ; por la cancelación en G´ se obtiene f ( e) = e´ .Además, f ( aa−1 ) = f ( e) = e´ , por consiguiente

e´= f (aa −1 ) = f (a ) f (a −1 ) ,

f ( a−1 ) = ( f ( a))−1 .

 Núcleo de un Homomorfismo  Definición: Si  f  es un homomorfismo de G en G´ , entonces el núcleo de  f  ,  N ( f ) , se define por N ( f ) : { a ∈ G / f ( a) = e´} . Donde el elemento e´ es el elemento neutro en G´