Mecanica Classica UFES

mecânica clássica Marco Antônio dos Santos Marcos Tadeu D’Azeredo Orlando

Universidade Aberta do Brasil Universidade Federal do Espírito Santo

Física Física | Mecânica Clássica

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ste livro foi concebido com base em anos de experiência em novas formulações e desenvolvimento de aulas ministradas nos cursos de Mecânica Clássica para alunos de Física proferidos pelo Prof. Dr. Marco Antônio dos Santos, que é o atual (2012) coordenador do curso de Física da UFES. Com base nesse trabalho de pesquisa e didático, o Prof. Dr. Marco Antônio dos Santos me convidou para participar da elaboração deste livro tendo como base suas anotações e resumos. Ressalto que a abordagem utilizada aqui é diferenciada e muito singular, trazendo novos elementos ao fascinante mundo da Mecânica Clássica.

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Mecânica Clássica | Física

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ste livro foi concebido com base em anos de experiência em novas formulações e desenvolvimento de aulas ministradas nos cursos de Mecânica Clássica para alunos de Física proferidos pelo Prof. Dr. Marco Antônio dos Santos, que é o atual (2012) coordenador do curso de Física da UFES. Com base nesse trabalho de pesquisa e didático, o Prof. Dr. Marco Antônio dos Santos me convidou para participar da elaboração deste livro tendo como base suas anotações e resumos. Ressalto que a abordagem utilizada aqui é diferenciada e muito singular, trazendo novos elementos ao fascinante mundo da Mecânica Clássica.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Núcleo de Educação Aberta e a Distância

mecânica clássica Marco Antônio dos Santos Marcos Tadeu D'Azeredo Orlando

Vitória 2012

1

Presidente da República Dilma Rousseff

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

Ministro da Educação Aloizio Mercadante

Reitor Reinaldo Centoducatte

Diretor de Centro de Ciências Exatas Armando Biondo Filho

DED - Diretoria de Educação a Distância Sistema Universidade Aberta do Brasil João Carlos Teatini de Souza Climaco

Pró-Reitor de Ensino de Graduação Maria Auxiliadora de Carvalho Corassa

Coordenação do Curso de Licenciatura em Físca – EAD Marcos Tadeu D’Azeredo Orlando

Diretor Geral do ne@ad Reinaldo Centoducatte Coordenadora UAB da UFES Maria José Campos Rodrigues Direção Administrativa ne@ad Maria José Campos Rodrigues Diretor Pedagógico do ne@ad Julio Francelino Ferreira Filho

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Laboratório de Design Instrucional

LDI Coordenação Heliana Pacheco

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

José Otavio Lobo Name Ricardo Esteves

Gerência Samira Bolonha Gomes Editoração Thiers Ferreira

Capa Thiers Ferreira

Ilustração Thiers Ferreira

Impressão Gráfica e Editora GSA

S237m

Santos, Marco Antônio dos. Mecânica clássica / Marco Antônio dos Santos; Marcos Tadeu D'azeredo Orlando. - Vitória : UFES, Núcleo de Educação Aberta e a Distância, 2012. 129 p. : il.

Inclui bibliografia. ISBN: 1. Mecânica. I. Orlando, Marcos Tadeu D'azeredo. II. Título. CDU: 531

A reprodução de imagens de obras em (nesta) obra tem o caráter pedagógico e cientifico, amparado pelos limites do direito de autor no art. 46 da Lei n o 9610/1998, entre elas as previstas no inciso III (a citação em livros, jornais, revistas ou qualquer outro meio de comunicação, de passagens de qualquer obra, para fins de estudo, crítica ou polêmica, na medida justificada para o fim a atingir, indicando-se o nome do autor e a origem da obra), sendo toda reprodução realizada com amparo legal do regime geral de direito de autor no Brasil. Copyright © 2012. Todos os direitos desta edição estão reservados ao ne@ad. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por f otocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Física, na modalidade a distância.

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a c inemát ic a d a par t íc ula e a c inemát ic a d o sólid o

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9 3 a

n n i a o t n e w a i c c â n e m

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mec ânic a na f or mulaç ão Lag r angiana

mecânica na f ormulação Hamiltoniana

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Física | Mecânica Clássica

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a cinemática da partícula e a cinemática do sólido

6


1

1.

A Cinemática da Partícula

O problema fundamental da Mecânica Clássica se resume em descrever o movimento de um sistema (corpo, partícula ou sistema de partículas) sujeito a determinadas condições (forças, potenciais, vínculos, etc.). Mais especificamente, no formalismo newtoniano, dado uma partícula sujeita a determinada força, descrever seu movimento. Ou, inversamente, dada uma partícula se movimentando de determinada maneira, descrever as forças que atuam sobre ela. Esta relação, entre forças e movimento, caracteriza o formalismo de Newton da Mecânica Clássica, com a grandeza vetorial força desempenhando um papel fundamental, enquanto que em outros formalismos, como os de Lagrange e Hamilton, as grandezas necessárias para a descrição do movimento são basicamente as energias, cinética e potencial. Esta característica faz com que o formalismo Newtoniano seja um formalismo vetorial, sendo as grandezas vetoriais posição, velocidade, aceleração e força fundamentais para esta descrição. Por isso o formalismo de Newton é muitas vezes chamado de formalismo vetorial, e sua mecânica é também chamada de Mecânica Vetorial, enquanto que os outros formalismos, que se baseiam em grandezas escalares como energia e coordenadas são também conhecidos como Mecânica Analítica. Neste curso iremos tratar inicialmente do for-


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malismo newtoniano, depois do formalismo lagrangiano, e por fim, do formalismo hamiltoniano. Importante frisar, e o faremos ao longo de todo este texto, que todos estes formalismos tratam do mesmo assunto, qual seja, a descrição do movimento no âmbito da Mecânica Clássica. Quando o movimento se dá em situações de dimensões atômicas ou de velocidades muito grandes, próximas à da luz, as teorias que os descrevem são, respectivamente, a Mecânica Quântica e a Teoria da Relatividade, que estão fora do alcance deste Curso. Vamos então iniciar nossos estudos pela Mecânica de Newton. Do ponto de vista puramente matemático, a descrição do movimento de uma partícula, por exemplo, se realiza completamente com a caracterização da função vetorial r(t) ( ou das funções velocidade (v (t )) ou aceleração ( a(t)), como veremos logo adiante), a posição em função do tempo. Em geral, dado um sistema cartesiano de eixos com uma origem O, a posição da partícula em um determinado instante é representada pelo vetor posição r, que no instante t liga a origem O do sistema de eixos ao ponto P cujas coordenadas representam esta posição. Usaremos frequentemente a notação = P - O = xx + yŷ + zz

r

eq. 1

para representar o vetor com origem no ponto O e extremidade no ponto P. Do ponto de vista da Física, tal sistema de coordenadas possui origem e eixos fixos em um referencial R, a partir do qual se observa o movimento da partícula. Este referencial é um objeto físico, diferente do sistema cartesiano, que é um objeto matemático. Mais ainda, o referencial é um corpo extenso e rígido, no qual se definem a origem e os eixos do sistema de coordenadas, e onde se encontra o observador. Assim, partícula, referencial e observador são elementos, ou ingredientes físicos fundamentais da Mecânica. A existência da partícula, objeto que se movimenta e do qual sabemos ter dimensões desprezíveis, e que pode ser representada por um ponto, é subentendida assim como a do observador, que se pode pensar como os instrumentos que medem posição, massa, peso, etc. Mas a existência do referencial é algo de maior importância para o físico, uma vez que seu estado de movimento é da maior importância no estudo do movimento da partícula. Assim, como o referencial é um corpo rígido e pode se movimentar em relação a outro referencial é de fun-

8


damental importância conhecer a Cinemática do Corpo Rígido, o que faremos ao longo deste nosso estudo. Retornemos ao problema matemático da descrição do movimento de uma partícula. De uma maneira geral, conhecida a função r(t), por meio de uma simples operação de derivação se obtém a função v (t), que por sua vez, também derivada fornece a(t). Inversamente, conhecendo a(t), por uma integração se chega a v (t), que também pode gerar, via outra integração, a função r(t). Desta forma fica claro que para descrever o movimento de uma partícula, relativo a um sistema de coordenadas (que por sua vez encontra-se ligado a um corpo rígido), basta obter qualquer uma das funções r(t), v (t) ou a(t), pois através de operações de derivações ou integrações se pode chegar sempre à função vetorial desejada, via de regra r(t). No apêndice 1 trataremos dos problemas matemáticos de escrever os vetores fundamentais da cinemática em diversos sistemas de coordenadas. Os exemplos a seguir e alguns problemas propostos ao final deste Módulo encerram a questão da cinemática da partícula no contexto da formulação vetorial da Mecânica Clássica. Resta, entretanto, a importante questão da Cinemática do Corpo Rígido, ou Cinemática dos Sólidos, uma vez que este se torna um tema fundamental para que se discuta o movimento de maneira correta - visto que todo referencial é um sólido. (Inclusive teremos que tratar da questão fundamental da mudança de referenciais e das forças que aparecem em referenciais não inerciais). Mas qual seria a maneira de descrever, por exemplo, a posição de um sólido? Um sistema rígido é constituído por uma distribuição contínua de massa que ocupa um determinado volume. Esta distribuição, cujas distâncias entre seus pontos permanecem fixas (por definição de um sistema rígido), pode, em princípio, ter seu movimento descrito a partir da descrição do movimento de cada um destes pontos. Ou seja, descrever o movimento de cada um dos pontos constituintes do sólido é uma maneira trivial de descrever o movimento do sólido, o que não aparenta ser uma tarefa simples. Ocorre que o estudo desta Cinemática pode ser muito simplificado se um pequeno e importante instrumento da Matemática for conhecido antes, e este instrumento chama-se Cálculo Motorial. Este pequeno e importante tema será o nosso próximo objeto de estudo. Antes, porém, vejamos alguns exemplos que en volvem a cinemática da partícula.


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Exemplos 1) Um tubo metálico, retilíneo e oco, encontra-se girando sobre uma

mesa com velocidade angular constante e igual a w. No interior do tubo, uma formiga caminha com velocidade constante, em relação ao tubo, de módulo v, na direção paralela ao eixo de simetria do tubo e no sentido contrário ao ponto em que passa o eixo em torno do qual o tubo gira, que vamos tomar como origem de um sistema de coordenadas polar. Calcule a trajetória da formiga neste sistema polar supondo que no instante inicial a formiga passava pela origem e o tubo passava pelo eixo polar, ou seja, em θ = 0. Solução:

Chamando de r a coordenada polar radial da formiga, podemos escrever que, de acordo com a condição inicial, r = vt. Também de acordo com a condição inicial podemos escrever que a coordenada angular polar θ pode ser descrita por θ = wt. Tomando t em ambas as relações e igualando os valores temos θ

r = v

w

⇒ θv

= rw

Esta é a equação de uma espiral, em coordenadas polares, usualmente conhecida como espiral de Arquimedes. 2) Diz-se que uma partícula está animada de movimento central se a

reta suporte de sua aceleração passar constantemente por um ponto fixo, que é usualmente chamado centro do movimento. São centrais, por exemplo, os movimentos dos planetas em torno do Sol, assim como são também centrais os movimentos dos elétrons no átomo clássico de Bohr. Queremos demonstrar uma propriedade muito importante dos campos centrais que é a de que todo movimento central é plano. Solução:

Considere a figura abaixo v Mo = r

o

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x

γ

v

r

P

o ponto P representa a partícula em movimento sobre a curva γ e o ponto O, o centro do campo. O vetor MO é o momento da velocidade da partícula no ponto P em relação ao ponto O. Este vetor é constante no tempo uma vez que Ṁo = ṙ x v + r x v = 0

(o termo ṙ × v se anula uma vez que ṙ ≡ v e o termo r × v̇ se anula visto que a aceleração tem a direção do centro por definição). Mas se a direção definida por r e v é fixa, então o plano definido por estes vetores é único. Q. E. D. 3) Uma pequena esfera metálica é atirada verticalmente, de cima

para baixo, sobre a superfície da água de uma lagoa. A esfera atra vessa a superfície e continua a se mover verticalmente no interior da água. Sabendo que em conseqüência da ação das forças que atuam sobre a esfera no interior da água a sua aceleração a é, em cada data t, vertical, dirigida de baixo para cima e tal que ‖a‖ = λ‖v‖, onde λ é uma constante positiva conhecida e v é a velocidade da esferazinha na data t, e sabendo, mais, que é igual a v 0 a norma da velocidade da esferazinha imediatamente após ter atravessado a superfície da água da lagoa, deduza uma fórmula que permita calcular a velocidade escalar v da esferazinha em função da sua profundidade h abaixo da superfície da água da lagoa. Solução: dv = - λv → v = voe-λt dt -λt

dr = voe dt → h = →

e-λt = 1 -

- voe

(1) -λt

λ

t 0

=-

vo λ

(e-λt - 1)

λh vo

que levado em (1) fornece: v = v 0 - λ h


11

2.

Cálculo Motorial

Quando associamos a cada ponto do espaço o valor de uma grandeza física, temos o que os físicos chamam de um campo. Por exemplo, se associamos a cada ponto de uma região o valor da temperatura naquele ponto, falamos de um campo escalar (a temperatura é uma grandeza escalar), o campo das temperaturas. Se, por outro lado, falamos da força elétrica por unidade de carga associada a cada ponto do espaço, falamos de um campo vetorial, o campo elétrico. Os matemáticos preferem falar em funções. Temos as funções escalares, as funções vetoriais, as funções uniformes, as funções constantes, etc. Vamos definir uma função vetorial particular, de tal forma que os vetores associados a cada ponto estão relacionados entre si de acordo com uma regra específica, comum a uma família de funções, ou campos. A este tipo especial de campo vetorial daremos o nome de Motor, ou Campo Motorial. Assim, todo campo motorial é um campo vetorial, mas nem todo campo vetorial é um campo motorial. Vamos à definição matemática. Seja um conjunto n de vetores c1, c2,.....,cn aplicados respectivamente nos pontos A 1, A 2,...., A n. O momento deste conjunto de vetores em relação a um ponto O é definido por M0 = ∑

n i=1

r i x ci

eq. 2

sendo ri = A i - O o vetor posição do ponto A i em relação ao ponto O. Desta forma, podemos associar a cada e qualquer ponto Q o vetor MQ, o momento daquele conjunto de vetores, c i, em relação ao ponto Q. Temos então um campo vetorial . Veremos que este campo possui propriedades matemáticas comuns a muitos campos vetoriais encontrados na Mecânica. Um campo vetorial assim definido usualmente é chamado de campo motorial. É fácil ver que existe uma relação matemática entre os vetores associados aos pontos de um motor, que, aliás, é a propriedade que melhor caracteriza um campo vetorial como um motor. Veja que podemos escrever, conforme a figura 1, as coordenadas do campo ligadas aos pontos P e Q da seguinte maneira: n

MP = ∑ i = 1 r i x ci n

MQ =∑ i = 1 rí x ci

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Da figura se nota que podemos escrever r’ i = (P-Q) + r i na segunda expressão acima, de maneira que n

n

n

MQ= ∑ i = 1[(P - Q) + r i] x ci = ∑ i = 1(P - Q) x ci + ∑ i = 1 r i x ci = n

= MP + (P - Q) x ∑ i = 1 ci = MP + (P - Q) x c

onde usamos a definição

. Ou seja, podemos escrever a relação MQ = MP + c x (Q - P)

eq. 3

Esta é a principal relação do Cálculo Motorial, visto que ela define mesmo um campo motorial. Um campo vetorial cujas coordenadas ligadas aos seus pontos estão relacionadas desta forma é um campo motorial. Note que o vetor c não está relacionado a nenhum ponto em particular, mas é quem caracteriza a relação entre o valor do campo em um ponto com o valor em outro ponto. Esta relação é tão importante que recebe o nome de fórmula de Clifford , em homenagem ao grande matemático inglês do século XIX, Willian Kingdon Clifford, que foi quem estudou, pela primeira vez, o Cálculo Motorial. c

A i

r i

i

r’i

MP

Q P

MQ

Figura 1

A fórmula de Clifford nos informa que conhecemos todo o campo motorial, ou seja, conhecemos o vetor ligado a qualquer ponto Q, desde que conheçamos dois vetores: o vetor ligado a UM ponto, p.ex., o ponto P, e um vetor independente dos pontos, o vetor c na equação 3. Por isso chamamos de coordenada livre o vetor c, e de coordenada ligada o vetor MP . Ou seja, bastam duas informações, duas coordenadas vetoriais, usualmente representadas pelo par ( MP, c) e conhecemos todo o campo vetorial, se este for um motor. Esta seria apenas uma propriedade matemática interessante, não houvesse na Física alguns campos vetoriais muito importantes que se encontram nesta categoria. Um destes campos é aquele que nos motivou a fazer esta


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regressão matemática, ou seja, o campo vetorial formado pelas velocidades associadas aos pontos de um corpo rígido em movimento. Neste caso as coordenadas ligadas são, naturalmente, as velocidades ) associadas a cada ponto do corpo, e a coordenada livre é o vetor (v A velocidade de rotação do corpo, w. E é este fato de as velocidades dos pontos de um sólido se constituirem em um campo motorial, que faz a cinemática do sólido se tornar um assunto muito mais simples que seria caso não houvesse esta propriedade. Temos então vA = vB + w

(A - B)

x

eq. 4

Outro exemplo físico de um campo motorial é o campo formado pelos vetores momento angular de um sistema de partículas, cada qual com momento linear p, associados aos diversos pontos de uma região. De maneira análoga aquela que nos levou à equação 3, podemos partir da definição de momento angular de um sistema de n partículas L0 =

∑

n i=1

ri x pi

n

LQ = ∑ i = 1 rí pi x

e com o mesmo caminho utilizado em 3 chegar a LQ = LO + P x (Q - O)

eq. 5

onde a coordenada livre é o momento linear total do sistema. De maneira análoga, podemos mostrar que vale para os torques de um sistema de forças a relação NQ = NO + F x (Q - O)

eq. 6

onde agora é a soma das forças que faz o papel de coordenada livre. Embora seja um mero exercício chegar às eq. 5 e 6, não existe um caminho tão simples para mostrar que a eq.4 é válida. Para chegar a ela usaremos um teorema do Cálculo Motorial, que não julgamos conveniente demonstrar aqui, chamado de teorema discriminador (a demonstração deste teorema, embora não seja complicada, pode ser encontrada no livro Mecânica Vetorial, de L. P. M. Maia). A fim de usar este resultado na próxima seção, vamos enunciá-lo aqui:

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Teorema Discriminador: A condição necessária e suficiente para

um campo vetorial ser um vetor é que sejam iguais entre si as componentes, segundo um eixo qualquer, dos vetores do campo associados aos pontos do eixo.

3.

A Cinemática do Sólido

Do ponto de vista da Mecânica um corpo rígido, ou um sólido, é uma distribuição contínua de massa com a propriedade, ou vínculo, de que a distância entre quaisquer dois pontos deste permaneça constante no tempo. Assim, escolhendo A e B como dois pontos quaisquer do sólido, teremos que ‖ A - B ‖ = constante no tempo.

Embora o movimento mais geral de um sólido seja, à primeira vista, bastante complicado de se descrever, existem dois casos especialmente simples e que, como veremos, servem de base para a descrição mais geral. Trata-se do movimento puramente translacional e do movimento puramente rotacional. Vamos estudá-los em sequência.

Translação O movimento puramente translacional é aquele em que o vetor que liga dois pontos quaisquer do corpo rígido permanece eqüipolente a um vetor fixo no referencial a partir do qual o movimento do corpo é estudado. Portanto, podemos escrever que, para quaisquer A e B pertencentes ao sólido em movimento translacional, temos: A - B = constante no tempo. Observe que o movimento de translação de um sólido não implica em trajetórias retilíneas para os pontos deste. O movimento da cadeira de uma roda-gigante é um exemplo clássico de um movimento de translação em que os pontos do sólido não descrevem um trajetória retilínea (e nem mesmo circular!). É fácil perceber então que basta a descrição do movimento de UM ponto do sólido para que o movimento de todo o sólido esteja


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descrito, uma vez que os vetores posição de todos os demais pontos do corpo, em relação ao ponto escolhido, permanecem constantes. E assim, a cinemática do movimento do sólido se reduz à cinemática do movimento de um ponto, assunto que já conhecemos da Cinemática da Partícula. Para estabelecer de forma mais matemática esta conclusão, vamos colocá-la na forma de um teorema, e que pode assim ser redigido: Teorema: Todos os pontos de um corpo rígido, com movimento puramente translacional, possuem, em cada instante, a mesma velocidade e a mesma aceleração. Demonstração: Considere que a figura 2 representa um corpo rígido num momento em que este se move em translação, em relação ao referencial R. Podemos então escrever

B r

AB

A

r B r A 0 R

Figura 2

rB = r A + r AB

onde sabemos que r AB é um vetor constante no tempo. Podemos então derivar ambos os membros em relação ao tempo e obter (uma vez que a derivada temporal de r A é v A ) = v B v A Que por sua vez, também derivada em relação ao tempo fornece a A = aB , q.e.d.

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Rotação O movimento puramente rotacional é aquele em que dois pontos do sólido encontram-se em repouso em relação ao referencial em que este é observado. Estes dois pontos determinam uma reta, ∆, chamada de eixo de rotação. Podemos mostrar que todos os pontos do sólido que se encontram sobre o eixo de rotação possuem, também, velocidade nula no referencial em pauta. Para se convencer disto, observe a figura 3, onde os pontos A e B são os pontos em repouso e que, por isso, definem a reta ∆: B S

A R

∆

Figura 3

A equação vetorial que define a reta ∆ pode ser posta na forma P - A = α(B - A), onde P representa um ponto qualquer da reta e α é um escalar adequado a P e constante no tempo. Derivando em relação ao tempo esta equação temos: Ṗ - A = α(B - A) + α(Ḃ - A)

Como = Ḃ = = 0, temos mostrado que Ṗ = 0, q.e.d . Desta maneira, o único movimento que resta ao sólido é o de giro em torno do eixo ∆, como pode atestar a experiência. A este chamamos de movimento de rotação em torno do eixo ∆. Uma grandeza extremamente importante relacionada a este movimento é a velocidade de rotação, que iremos agora definir. Na figura 4 representamos um sólido em movimento de rotação pura em um determinado referencial R, e escolhemos um sistema de


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eixos cartesianos fixo em tal referencial, de maneira que o eixo z deste sistema coincide com o eixo de rotação do sólido: z ∆ S

0

y

θ

x

Figura 4

Seja P um ponto do sólido e P∆ o plano determinado por este ponto e o eixo ∆, de rotação. Estando o sólido em movimento de rotação em torno de ∆, o ângulo θ formado pelo plano e o eixo x é uma função do tempo, θ = θ(t). Definimos as derivadas primeira e segunda de θ em relação ao tempo respectivamente de velocidade angular e aceleração angular: w=θ

e

α=θ

Percebe-se, por esta definição, que a velocidade angular informa a respeito da rapidez com que o sólido gira em torno do eixo. Também é bastante intuitivo perceber que as velocidades de cada ponto do corpo são tão maiores quanto maior for a velocidade angular, mas que para uma mesma velocidade angular a velocidade de cada ponto é tão maior quanto maior a distância do ponto ao eixo de rotação. Tais informações podem ser ob tidas com mais exatidão por uma investigação matemática muito simples a respeito de w e v P , a velocidade de cada ponto P do corpo. Tal investigação também nos revelará uma propriedade muito importante a respeito da Cinemática do Sólido. Vamos escolher ainda um sólido em rotação em torno de um eixo que coincida com o eixo z do sistema cartesiano, como na figura anterior, apenas explicitando agora dois dos pontos do sistema S que definem ∆, os pontos A e B na figura 5, e vamos usar também o sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z):

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z ∆ C

S B r

A 0

y

θ

x

P

p

Figura 5

Em primeiro lugar, notemos que a trajetória de cada ponto P do sistema rígido S é uma circunferência de raio ρ e centro no eixo ∆, exatamente no ponto do eixo com a coordena z do ponto P: por um lado a distância CP (ρ) é constante pelo fato de o sistema S ser rígido e de z ser o eixo de rotação ( PB é constante e BC também), e por outro lado, a distância OC (z) também é constante pelo fato de serem ambos pontos do eixo de rotação. Logo, as condições ρ = cte. e z = cte definem uma circunferência de raio ρ em coordenadas cilíndricas. Como apenas θ muda com o tempo é conveniente escrever o vetor posição de P em coordenadas cartesianas, mas usando as coordenadas cilíndricas para escrever suas componentes. Temos então: r = ρcosθx ̂ + ρsenθy ̂ + zz

Como apenas θ depende de t, a velocidade será = r = -θ ρsenθx + θρcosθŷ = θρ(-senθ x +cosθŷ)

v

eq. 7

Tomando o módulo desta última equação e chamando de w, podemos escrever que v = wρ

eq. 8

que confere com aquilo que nossa intuição previa. Podemos, entretanto, ir mais além se definirmos o vetor velocidade de rotação, como usualmente se faz, como um vetor que possui como módulo a velocidade angular w, a direção dada pelo eixo de rotação e o sen-


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tido dado pela regra da mão direita, ou regra do parafuso, como queira, e conforme está ilustrado na figura 6: A Regra da Mão Direita

A Regra do Parafuso

O sentido do vetor velocidade de rotação de um sistema rígido S é aquele indicado pelo polegar da mão direita, supondo-se que se abarcasse com a mão direita o eixo ∆ de rotação do sistema S de uma forma tal que os outros dedos ficassem disposto no sentido no qual está girando o sistema S.

O sentido do vetor velocidade de um sistema rígido S é aquele no qual avançaria um parafuso comum cujo eixo coincidisse com o eixo ∆ de rotação do sistema S e que se fizesse girar no mesmo sentido no qual está girando o sistema rígido S.

Figura 6

Assim definido, o vetor velocidade de rotação para o caso em pauta na figura 5 é simplesmente w = wz, e podemos ver que o resultado expresso na eq. 7 é simplesmente v

=

P

w x r

P

eq. 9

que também pode ser escrito como v P = w × (P - O)

Para qualquer outro ponto Q do sólido vale a mesma relação, ou seja, v Q = w × (Q - O)

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Tomando a diferença entre estas duas temos: v P - v Q = w × (P - O) - w × (Q - O) = w × (P - O - Q + O) = w × (P - Q)

Ou seja, vP = vQ + w x (P - Q)

eq. 10

que é a própria eq.4 acima. Então, pelo menos para o caso do mo vimento de rotação pura, acabamos de demonstrar que o campo das velocidades de um sólido é um campo motorial, cuja coordenada livre é a velocidade de rotação. O que também é verdade para o movimento de translação pura, uma vez que neste caso w = 0 e então a eq.10 se resume a v P = v Q. Mas o que afirmar a respeito do movimento mais geral de um sólido, que não é nem bem uma translação nem bem uma rotação? Poderíamos compreendê-lo como alguma combinação dos dois? A resposta a esta questão foi dada por Euler em 1752, mais de um século antes do trabalho de Clifford, e portanto, sem a facilidade do Cálculo Motorial e que vai ser aqui chamada de Teorema de Euler, que resolve de maneira definitiva a questão central da Cinemática do Corpo Rígido: Teorema de Euler: O movimento mais geral possível de um sistema rígido pode sempre ser pensado como constituído, em cada data t, pela superposição de dois movimentos rígidos simples: um de translação e outro de rotação. O movimento de translação poderá ser caracterizado, na data t, em geral, por uma qualquer dentre uma infinidade de possíveis velocidades, enquanto que o movimento de rotação é caracterizado, na data t, por uma, e somente uma, velocidade de rotação. Demonstração: Sejam A e B dois pontos quaisquer de um corpo rígido. Podemos afirmar então que ‖A - B‖ = cte . ⇒ (A-B)2 = cte Derivando em relação ao tempo, temos: 2(A - B) . ( - Ḃ ) = 0 → .(A - B) = Ḃ.(A - B)


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Dividindo ambos os membros por ‖A - B‖, teremos o unitário u na direção do eixo que liga o ponto A ao ponto B, ou seja:  . u = Ḃ . u

Ou melhor, vA . û = vB . u

O que nos mostra que, segundo o teorema discriminador que enunciamos ao final da última seção, o campo das velocidades dos pontos de um corpo rígido, em seu movimento, qualquer que seja este, é um campo motorial, e portanto, vale a relação vA = vB + w x (A

- B)

eq. 11

(A rigor, esta expressão deveria ser escrita como v A = vB + w’ × × (A - B), onde w’ não teria nenhuma relação a priori com o vetor velocidade de rotação. Uma discussão mais detalhada a este respeito será feita no Apêndice 2.) Mas então o teorema encontra-se demonstrado, visto que numa data t, qualquer que seja esta, as velocidades dos pontos do sólido constituem um campo motorial no qual a coordenada livre é a velocidade de rotação. Pois escolhido UM ponto do sólido para com sua velocidade representar o movimento de translação ( e existe um infinidade de escolhas possíveis pois são infinitos os pontos passíveis de serem escolhidos), resta uma única possibilidade para o movimento de rotação, pois a coordenada livre é única. Formalmente, então, a eq.11 resolve nosso problema de descre ver o movimento de um sólido. Embora uma série de conseqüências desta solução, assim como vários casos particulares importantes do movimento de um sólido possam agora ser estudados, nos limitaremos a esta conclusão geral, pois que esta será suficiente para resol ver o problema que por hora nos preocupa, qual seja, a questão da mudança de referenciais na mecânica vetorial, ou newtoniana.

22


4.

O Problema Cinemático da Mudança de Referenciais Para encerrar a discussão a respeito da Cinemática vamos tratar do importante problema de relacionar a cinemática da partícula do ponto de vista de dois referenciais que se movimentam, um relativo ao outro. Ou seja, vamos tratar da questão específica de, sabendo quais são as grandezas cinemáticas, posição, velocidade e aceleração de uma partícula, do ponto de vista de um referencial, como ficam relacionadas estas com aquelas, posição, velocidade e aceleração da mesma partícula, do ponto de vista de um outro referencial (ou corpo rígido) que se move em relação ao primeiro de forma conhecida (quer dizer, do qual conhecemos a velocidade de um de seus pontos e sua velocidade de rotação). Como preliminar da questão acima vamos analisar como mudam as derivadas temporais de vetores, derivadas estas vistas de um ou de outro referencial. Vamos chamar de R’ um referencial inicial e de R um referencial que se mova em relação ao primeiro de maneira conhecida. É fácil perceber que, por exemplo, um vetor que é constante no referencial R, para um observador que se movimente “junto” com este referencial (imagine o vetor que liga dois pontos do referencial R), não parecerá constante do ponto de vista de outro observador no referencial R’, visto que o “corpo” de R se move em relação a R’. Usaremos a seguinte notação em nossa análise: d/dt (ou um ponto sobre um vetor) será usada para designar a derivada temporal relativa a R’ e ∂/∂t para designar a derivada temporal medida por um observador em R. Mostraremos agora que, para um vetor genérico g vale a seguinte relação: dg dt

=

∂g ∂t

+w

x

g

eq. 12

onde w é a velocidade de rotação de R em relação a R’. Quer dizer, se o movimento de R, em relação a R’, for de translação pura, as deri vadas temporais de vetores tomadas em ambos os referenciais coincidem. Mas caso haja movimento de rotação de R, em relação a R’, vale a eq.12. Vejamos primeiramente uma derivada particular, a de um vetor unitário fixo em R. Considere a figura 7 abaixo:


23

z S x

A 0 y

R’

Figura 7

O unitário em x, representado na figura pelo vetor que liga os pontos A e O, que são pontos do sólido S, pode ser escrito como ̂ = A - O, x

cuja derivada temporal, vista de R’ se escreve como (lembre que em nossa convenção o ponto serve para derivada tomada em R’) =  -

Mas  e são as velocidades de A e de O vistas de R’. Então podemos escrever = vA - vO

Mas o Cálculo Motorial nos informa que que vA- vO= w × (A - O) = w × x ̂ . Portanto, x = w

x

x

eq. 13

Relações análogas valem,obviamente, para as derivadas dos unitários em y e em z, ou seja, y = w

x

y

eq. 14

z = w

x

z

eq. 15

Estas relações são conhecidas como fórmulas de Poisson, pois foi o grande matemático francês do século XIX quem as primeiro escreveu.

24


Agora, a fim de mostrar que vale a eq.12, vamos considerar um vetor g, descrito na base cartesiana associada ao referencial móvel, R, como g = g1 x ̂ + g2 y + g3z

Por hipótese o referencial R possui velocidade de rotação w relativa ao referencial R’. Vamos tomar a derivada temporal deste vetor, derivada esta como calculada por um observador em R’. Ou seja, queremos, em nossa convenção, dg/dt , ou ġ: dg = g = g1x + g1x + g2y + g2y + g3z + g3z dt

Considere por um lado a soma do primeiro com o terceiro e o quinto termo do lado direito: eles resultam em ∂g/∂t = ġ1x ̂ + ġ2y + ġ3z, a derivada de g tomada em R. Por outro lado, os termos restantes podem ser reescritos usando as equações 13, 14 e 15, e se resumem a g1x + g2y + g3z = g1(w x x) + g2(w x y) + g3(w x z) = w x (g1x + g2y + g3z) = w x g

Temos então, como consequência destes resultados a eq.12. q.e.d. A equação 12 é também conhecida como fórmula de Poisson, e será fundamental na solução do problema que nos propomos a resolver no início desta seção, qual seja, uma vez conhecido o movimento de uma partícula em relação a um dado referencial, descrever este mesmo movimento, mas do ponto de vista de um outro referencial, que se move em relação ao primeiro de forma conhecida. Esta é a questão cinemática da mudança de referenciais. O problema dinâmico, isto é, como mudam as leis de movimento ao mudarmos de referencial, será objeto de estudo do próximo Módulo, do qual o atual é pré-requisito fundamental. Vamos considerar a situação exposta na figura 8: P r

z

R

x

0 R0

R y

0’ R’


25

Nesta figura está representada a partícula no ponto P, descrito pelo vetor posição R em relação à origem O’ no referencial R’, onde está a observadora feminina, e descrito pelo vetor posição r em relação à origem O no referencial R, referencial este representado na figura pelo sólido onde está o observador masculino, do qual conhecemos, por hipótese, a velocidade do ponto O e também a velocidad e de rotação, ambas em relação ao referencial R’. Ou seja, conhecemos o movimento do sólido, ou de R em relação a R’. Considere a relação facilmente obtida desta figura, entre os vetores posição da partícula em relação a ambos os referenciais: R = R + r

eq. 16

o

Vamos tomar a derivada temporal desta equação, mas do ponto vista do observador em R’. Temos: R = R O + 

Claramente, podemos identificar R com V, a velocidade da partícula em relação ao referencial R’, assim como R O com VO, a velocidade do ponto O em relação também a R’. Para ṙ podemos usar a eq.12, e, identificando ∂r/∂t com v , a velocidade relativa, velocidade da partícula em relação a R, e escrever finalmente V = Vo + v + w

x

r

eq. 17

Esta é a relação entre a velocidade da partícula, vista do referencial R’, e a velocidade da partícula, vista do referencial R, uma vez que se sabe que R se move em relação a R’ de acordo com as coordenadas (V O, w), ligada e livre, respectivamente do sólido S que representa R. A soma do primeiro com o terceiro termo do lado direito desta equação é normalmente chamada de velocidade de transporte, V tr, pois é a velocidade que a partícula teria, relativa ao referencial R’, ainda que estivesse em repouso no referencial R, ou seja, apenas “transportada por este”. Finalmente, tomando a derivada temporal em relação ao referencial R’, desta última equação, obteremos uma relação envolvendo as acelerações vistas dos dois referenciais: ̇ = V ̇ O + v̇ + w × r + w ×  V

26


Vamos identificar o termo V ̇ com A , a aceleração da partícula em relação ao referencial R’ e o termo V ̇ O com A O, a aceleração do ponto O também relativa a R’. Usaremos a eq.12 para reescrever o termo v̇ como ∂ v /∂t + w × v = a + w × v (uma vez que identifiquemos a aceleração relativa ao referencial R, a, com ∂ v /∂t ) e o termo w × ṙ como w × (∂r/∂t + w × r) = w × v + w × (w × r). Observe que o vetor w possui derivada temporal invariante ante uma mudança de referencial, como se pode notar da eq.12 tomando o vetor g como o próprio w. Escrevemos então: A = A O + a + w × v + w × r + w × v + w × (w × r)

Rearranjando os termos podemos escrever finalmente A = a + AO + w

×

(w × r) + ẇ × r + 2w × v

eq. 18

Analogamente à definição feita relativa à velocidade, é comum chamar de aceleração de transporte a soma dos segundo, terceiro e quartos termos do lado direito desta equação, pelas mesmas razões anteriores, pois seria a aceleração de uma partícula fixa em relação ao referencial R, que estaria então sendo “transportada” pelo referencial. .As equações 16, 17 e 18 resolvem o problema cinemático da mudança de referenciais, pois relacionam os vetores posição, velocidade e aceleração de uma partícula vistos de um referencial com os seus correspondentes vistos de um outro referencial que se move de maneira conhecida em relação ao primeiro. A equação 18 será de importância fundamental para o estudo que faremos no próximo módulo a respeito da Mecânica newtoniana. Exemplos 4) Uma partícula se move no interior de um tubo rígido e retilí-

neo, com velocidade escalar, relativa ao tubo, constante e igual a μ, enquanto o tubo gira, num plano α, com velocidade angular, relativa ao plano, constante e igual a w. Sabendo que na data escolhida como inicial a partícula estava passando no ponto O do tubo, ponto este que é fixo em relação ao plano α, utilize a técnica de mudança de referenciais e calcule numa data genérica t: 1) a velocidade da partícula em relação ao plano; 2) a aceleração da partícula em relação ao plano.


27

Solução: V

y’ V tr

y

x v

ω θ

x’

0

Figura 9

De forma coerente com a nomenclatura que temos usado neste texto, o referencial ligado ao tubo, Oxy, será o referencial R, aquele que se movimenta em relação ao referencial “fixo” R’, do sistema Ox’y’. Podemos então escrever, mantendo a notação que temos utilizado, a eq. 17 onde v = μx ̂ , V O = 0, w = wz e r = xx ̂ = μtx ̂ como V = μx + wẑ μtx = μ(x + wty) x

eq. i

(Na figura estão representadas as velocidades de transporte e relativa, que somadas fornecem a velocidade relativa ao referencial “fixo”.) Não há a menor dificuldade em exprimir esta velocidade no sistema ligado a R’, uma vez que se percebe facilmente da figura a validade das relações x = cosθx’ + sinθy’ = coswtx’ + sinwt y’ y = -sinθx’ + cosθy’ = -sinwtx’ + coswty’

eq. ii

Usando estas relações na eq. i obtemos: V = μ[(coswt - wt sin wt) x ̂ ’ + (sinwt + wt cos wt) ’] Deixamos ao estudante a tarefa de calcular, de forma análoga, as expressões das acelerações, seja em um referencial seja em outro.

28


5) O êmbolo do sistema mecânico representado na figura 10 fun-

ciona conjugado com uma manivela (na extremidade da haste associada ao êmbolo existe um pino que desliza ao longo de um sulco retilíneo existente na manivela). O êmbulo executa um mo vimento de vaivém, em relação ao plano α da figura, imprimindo, assim, um movimento oscilatória à manivela, que numa data genérica t faz um ângulo θ com o eixo Ox’ (que é paralelo à haste do êmbolo e é fixo no plano α) e a sua velocidade angular vale w. Os sistemas cartesianos Oxyz e Ox’y’z’ indicados na figura SAP são solidários à manivela e ao plano α, respectivamente. Sabendo que é igual a λ a distância da haste do êmbolo ao eixo Ox’ calcule, na posição genérica θ, a norma: 1) da velocidade v com que a extremidade da haste está se movendo relativamente à manivela; 2) da velocidade V do êmbolo em relação ao plano α; 3) da aceleração de Coriolis, acor , da extremidade da haste do sistema êmbolo-haste, caso sejam utilizados os dois seguintes referenciais: um, R, solidário à manivela, e outro, R’, solidário ao plano α. x y’ V tr V

y

v

ω

λ

θ

x’

0

Figura 10

Solução:

No sistema Oxyz temos que, mantendo coerência com a notação adotada neste texto, a primeira parte da questão está respondida assim: v = xx

λ = xsinθ

= - xθcotθ x ⇒ ǁvǁ = |λwcotθcscθ|

⇒ v


29

A segunda parte também é de simples solução, desde que lembremos que em nossa notação, V 0 = 0, w = w z e r = x x ̂ = λ cscθx ̂ , e portanto, w × r = wλ cscθy. Então a eq. 17 nos diz que: V = V O + v + w × r = -λwcotθcscθx ̂ + λwcscθy

O cálculo da aceleração de Coriolis é imediato: acor = 2w × v = 2wz ×(-λwcotθcscθx ̂ ) = -2λw2cotθcscθ 6) Composição de velocidade angular

Vamos analisar a seguinte questão ilustrada na figura 11: se numa data t a velocidade angular de um sólido relativa a um referencial R 1 é dada por w1 , e na mesma data a velocidade angular do referencial R1 em relação a outro referencial R 2 é w12 , qual será, nesta data, a velocidade angular do sólido referente a R 2?

B A S

R2

R1

Figura11

Solução

Sejam ∂⁄∂t e d⁄dt as derivadas temporais relativas a R 1 e R2 , respectivamente. Sejam os pontos A e B do sólido, e em nossa notação fica claro que podemos escrever ∂⁄∂t (A - B) = v A - v B = w1 × (A - B) i d⁄dt (A - B) = V A - V B = w2 × (A - B) ii

30


Por outro lado, a fórmula de Poison, eq. 12, nos garante que d⁄dt (A - B) = ∂⁄∂t (A - B) + w12 × (A - B) iii Usando os resultados i e ii em iii temos: w2 ×(A - B) = w1 ×(A - B) + w12 ×(A - B) ⇒ (w2 - w1 - w12) × (A - B) = 0

A única solução para esta condição é então w2 = w1 + w12


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Exercícios 1) Aos pontos P 1 e P2 de uma haste rígida e retilínea estão ligados

dois pinos que podem deslizar ao longo de dois sulcos retilíneos e mutuamente perpendiculares, conforme indicado na figura abaixo. Sabendo que na data t a haste forma com o sulco inferior um ângulo igual a θ e que o ponto P1 está então se movendo com uma velocidade de norma igual a ‖v 1‖, calcule qual será, na mesma data t, a norma da velocidade do ponto P2.

P2

P1

2) Uma partícula está animada de um movimento plano tal que as

componentes polares de sua velocidade satisfazem, em cada ponto P ↔ P (r, θ) da sua trajetória, a seguinte condição: v r = λ v θ, onde λ = cte. Calcule qual a trajetória da partícula, sabendo que foi registrado que em alguma data ela cortou o eixo polar no ponto cuja coordenada radial é igual a b. 3) O avião representado na figura estava voando horizontalmente com uma velocidade v 0 no momento em que largou um objeto. Supondo que a aceleração local da gravidade tenha um valor g =

cte e que seja irrelevante a resistência oferecida pelo ar ao movimento do objeto ( cuja velocidade escalar num ponto genérico da sua trajetória tem um valor igual a v), calcule: 1) a componente tangencial da aceleração do objeto, na data em que sua velocidade escalar tem o valor v; 2) a componente normal da aceleração do objeto, na data mencionada no item anterior; 3) o raio de curvatura da trajetória do objeto, correspondente ao ponto onde a sua velocidade escalar tem o valor v.

32


y v

H

0

P V T N 0 x

4) A reta ∆ representada na figura é paralela ao eixo das abs-

cissas Ox do sistema de eixos cartesianos Oxy e a sua distância a esse eixo é constante e igual a h, enquanto que a reta ζ gira com velocidade angular w = cte em torno da origem cartesiana O, mantendo-se sempre no plano xOy. Considere o ponto I de interseção das retas ∆ e ζ e calcule em função do ângulo θ indicado na figura: 1) a velocidade escalar com que o ponto I percorre a reta ∆; 2) a velocidade escalar com que o ponto I percorre a reta ζ; 3) a aceleração tangencial com que o ponto I percorre a reta ∆; 4) a aceleração tangencial com que o ponto I percorre a reta ζ. y

Δ

ζ h

I

ω H

θ 0

x

5) O bloco B e a polia P representados na figura têm dimensões

desprezíveis e o bloco B está preso a uma d as extremidades de um fio inextensível e que passa sobre a polia P ( que está situada a uma altura H acima do solo horizontal sobre o qual está apoiado o bloco). O extremo livre do fio está situado a uma altura h < H acima do solo e inicialmente os dois ramos do fio são verticais. A partir de um certo instante faz-se o extremo livre do fio se mover


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com uma velocidade constante v 0, da esquerda para a direita, permanecendo, porém, sempre a uma mesma altura h acima do solo. Sabendo que o bloco B e o extremo livre do fio se mantêm num mesmo plano, calcule a velocidade do bloco numa data genérica t e o intervalo de tempo transcorrido desde o instante inicial ( instante da partida) até o instante em que o bloco B atingiu a polia P.

P

O

H

V o h

B

6) O disco circular representado na figura tem raio igual a R, é rígido

e está rolando, sem deslizar, sobre um piso horizontal. Sabe-se que é retilínea a trajetória descrita pelo centro C do disco e que todos os pontos deste se mantêm num mesmo plano vertical. A figura é correspondente a uma certa data t, quando a velocidade do centro C do disco tinha norma igual a ‖v C‖ e O era o ponto do disco que estava em contato com o piso. Sabendo que as distâncias dos pontos A, B e D ao ponto O são respectivamente iguais a 3R/2, 2R e 5R/4, calcule as normas das velocidades de tais pontos, correspondentes à data t.

B

A

C

D

O

7) A, B e C são três pontos não colineares pertencentes a um sistema rígido S. Sabendo que em cada data t tem-se que v A = v B =

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v C, onde v A , v B e v C são as velocidades dos pontos A, B e C, res-

pectivamente, correspondentes à data t, demonstre que o sistema rígido S está animado de movimento puramente translacional. 8) O comprimento do raio da esfera fixa representada na figura vale

R, enquanto que o da esfera menor e que rola sobre ela vale r. No instante em que o segmento de reta OC forma com a vertical um ângulo igual a θ a velocidade angular da esfera móvel vale w. Sabendo que a esfera móvel rola sem deslizar, calcule a velocidade do seu centro, no instante mencionado. (Todas as velocidades são relativas ao referencial onde a esfera maior é fixa, e ambas as esferas são rígidas.) r C

R

θ

O

9) Na figura está representada uma seção plana e vertical de um he-

misfério, de raio R, cavado na rocha, e no interior do qual rola, sem deslizar, uma esfera rígida, de raio r < R. A seção representada contém os centros O e C do hemisfério e da esfera rolante. Numa data genérica t a velocidade angular da esfera móvel é igual a w e o segmento de reta OC que une os pontos O e C forma com a vertical um ângulo θ. Calcule: 1) a velocidade escalar do centro C da esfera rolante, na data t; 2) o valor de na data t. ( Todas as velocidades mencionadas são relativas a um referencial solidário à rocha.) O

θ R O


35

10) Na figura está representado um carretel, cujo raio de cada um

dos dois discos externos tem um valor igual a R e a fita fica enrolada sobre um cilindro co-axial com os dois discos. Na data t a que a figura corresponde, a extremidade livre da fita estava sendo puxada horizontalmente com uma velocidade escalar de valor igual a v e o raio da parte enrolada da fita era igual a r < R, conforme indicado na figura. Sabendo que o carretel rola, sem deslizar, sobre um plano horizontal, calcule qual a velocidade com que estava se movendo o seu centro, na data t.

11) Calcule a velocidade angular de um disco, relativa á Galáxia,

sabendo que o disco está girando em torno do próprio eixo, vertical e fixo em relação à Terra, com uma velocidade angular, relativa à Terra, igual a duas vezes a velocidade angular com que esta gira em relação à Galáxia (e que é wTG = 1 rotação/dia). Sabe-se que o disco está num ponto da Terra onde a vertical faz com o eixo polar um ângulo θ = 60°. Calcule, também, o valor do ângulo φ que formam entre si as velocidades de rotação wDG e wTG do disco e da Terra, relativas à Galáxia.

ω

TC

ω

DT

θ

36


12) As duas hastes rígidas, retilíneas e horizontais, representadas

na figura, giram em torno de um eixo vertical, ∆, fixo em relação à Terra. Ao longo de cada haste desliza um bloco que é movimentado ao longo das hastes com auxílio de um fio manipulado por um experimentador que está fazendo com que cada um dos blocos se mova, relativamente às hastes, com movimento uniforme, sendo a norma da velocidade de cada um deles igual a v. Escolha um sistema cartesiano de eixos Oxyz cujos eixos Ox e Oz coincidam com as hastes e com o eixo ∆, respectivamente, e calcule, numa data genérica t, a norma: 1) da velocidade de transporte de cada bloco; 2) a velocidade de cada bloco, relativa à Terra; 3) da aceleração de cada bloco, relativa às hastes; 4) da aceleração de transporte de cada bloco; 5) da aceleração de Coriolis de cada bloco; 6) da aceleração de cada bloco, relativa à Terra. Sabe-se que na data t as abscissas dos dois blocos são iguais respectivamente a b > 0 e –b e que a velocidade angular e a aceleração angular das hastes, relativas à Terra, são respectivamente iguais a w e α.

Δ

ω

13) Um fio inextensível está enrolado sobre a periferia de um disco

circular, de raio igual a R. Uma das extremidades do fio está presa a um suporte fixo em relação à Terra e o outro extremo está ligado ao disco. O disco partiu do repouso e está descendo de uma forma tal que o seu eixo se mantém horizontal e o seu centro se move percorrendo uma reta vertical. Solidário ao disco existe um sistema de eixos cartesianos Oxyz cuja origem O coincide com o centro do disco e cujo eixo das cotas (eixo Oz) se mantém horizontal. Uma formiga está se deslocando ao longo do eixo das abscissas (eixo Ox), movendo-se, em relação ao disco, com movimento uniforme, de velocidade escalar v > 0. No instante em que a formiga está a uma distância do centro do


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disco igual a ½ R, o eixo Ox está na vertical e dirigido de baixo para cima. Considerando o disco como referencial relativo e a Terra como referencial absoluto, e sabendo que desde o instante em que o disco iniciou o seu movimento até o instante em que a formiga atingiu a posição já mencionada transcorreu um intervalo de tempo igual a T e que a aceleração absoluta do centro O do disco tem norma igual a ¾ g, calcule, na data T: 1) a velocidade de transporte da formiga; 2) a velocidade absoluta da formiga; 3) a aceleração de transporte da formiga; 4) a aceleração de Coriolis e a aceleração absoluta da formiga.

y x O

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mecânica newtoniana

2 Física | Mecânica Clássica

39

1.

As Leis de Newton

A mecânica da partícula formulada por Isaac Newton (1642-1727) se fundamenta em três leis ou princípios básicos, que são popularmente conhecidos como as leis de Newton. Certamente o estudante deste curso já teve contato com tais princípios mais de uma vez, e seria pertinente que se perguntasse pelas razões para que se os estude mais uma vez. Recapitulemos então que a possível primeira vez tenha sido nos estudos do Ensino Médio, quando se estuda a Mecânica de forma introdutória, apenas em situações mais simplificadas, como por exemplo, nos movimentos em que se pode abrir mão do Cálculo Vetorial e do Cálculo Diferencial. Depois, já no início do Curso Superior e tomando contato com uma Matemática mais elaborada, se reestuda a mesma Mecânica, embora de forma mais avançada, exatamente pela posse de tais ferramentas matemáticas. Finalmente, já encerrando o Curso Superior, retorna-se ao tema de estudar a teoria de Newton da Mecânica. As razões para tal são várias, mas vamos nos ater a apenas algumas que podem ser consideradas suficientes para justificar tal “repetição”. “repetição”. Em primeiro lugar, o aparato matemático necessário para a comaparato matemático preensão da teoria encontra-se mais familiar e mais maduro. Já não

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se pode duvidar ou fraquejar ante o reconhecimento da natureza vetorial de determinadas grandezas como posição, velocidade, aceleração e força, apenas para citar algumas. E não há empecilhos para tratar com elas, quer dizer, manipular, calcular, etc. Também os conceitos e as operações do Cálculo Diferencial e Integral são mais familiares e mais maduros. Torna-se mais fácil entender que a velocidade de uma partícula SÓ pode ser definida e compreendida como uma DERIVADA da função posição em relação ao tempo. Então, esta releitura torna-se obrigatória, ao menos do ponto de vista matemático. Do ponto de vista físico, porém, existem questões fundamentais que precisam ser mais bem discutidas, a fim de que se adquira uma compreensão mais sólida da Mecânica de Newton. E entre elas, sem sombra de dúvida, está a questão do referencial. Via de regra, o estudante que está cursando esta disciplina, já ao final de seu Curso de Graduação, compreende muito muito mal a questão do referencial. E não se pode culpar ao estudante, quando mesmo os professores e os livros texto fazem um tratament tratamentoo deficiente e obscuro desta questão. Então, por exemplo, ao ser colocado para analisar uma situação que envolve a presença da força centrífuga, o estudante penetra em uma nuvem de raciocínios pouco claros e imprecisos para “decifrar” o enigma. Há uma força fictícia no problema? O que é mesmo uma força fictícia? Ela existe? É mesmo uma força? Mas se ela tem o mesmo módulo e sentido contrário à força centrípeta, a soma das duas é zero? Então o corpo se encontra em M. M. R. U., e não em uma curva? Elas formam um par ação e reação? Imagine-se dormir com um barulho desses. Podemos dizer que a confusão a respeito da questão do referencial foi plantada mesmo no livro l ivro magistral de Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathem Mathematica atica,, publicado em Londres em 1687. Ali Newton solucionou o problema do movimento que perturbava a mente humana por cerca de 2000 anos, desde Aristóteles, pelo menos. De forma genial, Newton formulou uma teoria matematicamente consistente (para isso Newton desenvolveu o Cálculo Diferencial) e que resolveu de forma aparentemente definitiva a questão do movimento, chegando inclusive, magistralmente, à correta descrição do movimento dos planetas e dos corpos celestes em geral. Havia, entretanto, um pressuposto na construção teórica de Newton, que embora não leve necessariamen necessariamente te a nenhuma incorreção nesta teoria, necessita de uma discussão mais profunda, a fim de desfazer a confusão


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que em geral produz. Este pressupos pressuposto to refere-se à própria concepção do movimento, tendo conseqüência direta na questão do referencial, como veremos neste Módulo. Este, por si só, já seria um fortissimo argumento para que uma releitura do formalismo newtoniano fosse feito. Mas existe ainda a questão da aparente simplicidade do conteúdo das leis de Newton, fato ilusório que em geral é responsável por induzir os estudantes a freqüentes erros na interpretação e aplicação da teoria. Vamos então aproveitar a oportunidade deste Curso para refinar nossa compreensão compreensão da teoria de Newton, tanto do ponto de vista conceitual quanto prático, pois nos dedicaremos também a resolver problemas que envolvam situações matematicamente mais avançadas que aquelas encontradas no Curso Básico. Antes mesmo de analisar as leis de Newton vamos tentar entender o conceito Newtoniano de força. Em sua teoria Newton considerava força como um agente, que atuando sobre uma partícula, fosse capaz de alterar o seu estado de movimento. Assim, estando uma partícula em repouso, esta sairia deste estado se um agente realizasse uma ação sobre ela, e esta ação seria representada pela grandeza força atuante sobre a partícula. O mesmo aconteceria em qualquer outra situação em que fosse alterado o estado de movimento, ou a velocidade, de uma partícula. Assim podemos já notar que em sua teoria, Newton considerava força como o resultado de uma interação, alguém ou algo no ambiente deve atuar sobre a partícula para que esta sofra a ação de uma força. Quer dizer, força pressupõe interação. Neste texto chamaremos de força de força de interação interação aquilo que era entendido apenas como força por Newton e seus seguidores. Vamos então à análise anál ise das leis le is de Newton, New ton, começando come çando pela pe la primeira lei, que foi assim enunciada pelo próprio Newton em sua obra acima citada: Lei I – Cada partícula permanece em seu estado de repouso, ou em movimento retilíneo e uniforme, a não ser que seja compelida a alterá-lo por forças que atuem sobre ela. Realmente, alguns autores consideram que tal lei pode mesmo ser compreendida como uma definição qualitativa de força. De fato, este é um ponto de vista coerente com a análise que fizemos anteriormente sobre o conceito de força usado por Newton ( assim como Galileu e seus contemporâneos). Entretanto, Entretanto, partindo do princípio de

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que tal definição já fosse subentendida, esta pode ser vista como uma definição da inércia, sendo por isso a primeira lei frequentemente chamada de lei da inércia. Galileu já havia “compreendido” que os corpos possuem esta propriedade, como se pode ver desta passagem retirada de seu livro Discorsi Intorno a Due Nuove Scienze , de 1638: Imagine uma partícula qualquer lançada sobre um plano horizontal, sem atrito; se o plano for ilimitado, a partícula se moverá sobre ele com movimento uniforme e perpétuo. É importante notar que a primeira lei também pode ser enunciada em sua forma mais moderna como a lei da conservação do momentum: É constante o momentum de uma partícula, a não ser que seja diferente de zero a soma das forças que atuam sobre ela. A segunda lei de Newton, ou o princípio do momentum linear, como também é chamada, pode ser assim enunciada ( e de fato assim o foi por Newton em seu Principia): Lei II – A soma das forças que atuam sobre uma partícula é igual à derivada temporal do seu momentum linear. ΣF ṗ

eq. 1

=

Debruçado sobre o trabalho experimental e matemático de Galileu, Newton relacionou de forma concisa a força com a aceleração, conforme podemos ver matematicamente, escrevendo o momentum linear como o produto da massa pela velocidade: dp

Σ F = dt =

d(mv) dt

=

dm dt

v + m

dv dt

Na situação particular em que a massa da partícula é constante o primeiro termo do lado direito é igual a zero, e então (e só então) podemos escrever Σ F = ma

eq. 2

que é a forma mais comum em que encontramos a segunda lei escrita. Enfatizando, foi Galileu Galilei quem, cerca de um século antes de Newton e após uma criteriosa investigação experimental descobriu que a força estaria relacionada com a aceleração e não com a velocidade como até então se cria, desde a época de Aris-


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tóteles, o sábio grego que viveu a mais de três séculos antes de Cristo. E Newton colocou esta relação como a relação central, em certo sentido, de sua construção teórica. Rigorosamente falando, Galileu concluiu a partir de suas investigações experimentais, que existia uma relação direta entre força e aceleração, mas não usou a massa da partícula como a constante de proporcionalidade entre ambas. Por outro lado, Newton, como observamos anteriormente, escreveu sua segunda lei como na eq.1, portanto, sem usar a forma que envolve a massa como na eq.2. A massa, como na eq.2, só foi introduzida por Leonhard Euler, grande físico suíço que viveu no século XVIII entre a Rússia e a Alemanha, em um artigo seu datado de 1750, portanto quase um século após a publicação do Principia de Newton. Por fim, vale enfatizar que as forças presentes no enunciado da segunda lei de Newton, não são fornecidas pela teoria da mecânica, mas apenas pela experimentação. As formas das diferentes forças (de interação) que existem na Natureza são investigadas e determinadas no laboratório, de forma experimental, e não como fruto da teoria em que são utilizadas ( por exemplo, a força produzida por uma mola esticada é determinada experimentalmente, e sabemos então que é do tipo –k x. O mesmo vale para todas as forças de interação, peso, atrito, tensão, atração elétrica, etc.). Por isso, para aplicar esta teoria ao movimento de uma partícula, é a experiência que nos diz quais são as forças (e como são) que aparecem no lado direito daquela equação. Sabendo disso, Newton deu enorme valor a um princípio que ajuda de maneira muito valiosa na investigação das forças que atuam sobre a partícula, e o colocou, por causa disso, como terceiro princípio em sua construção: Lei III – Sempre que uma partícula, 1, estiver exercendo uma força sobre uma outra, 2, esta outra estará, também, reciprocamente, exercendo uma força sobre a partícula 1, e tais forças terão, sempre, normas iguais, mesma direção e sentidos opostos. Embora pareça o mais simples de se compreender, este princípio induz muitos erros nos principiantes, principalmente porque se esquece muito frequentemente, de um detalhe fundamental ali presente: a afirmação diz respeito à interação entre DOIS corpos, ou partículas. A ação que um corpo sofre tem por consequên-

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cia uma reação que atua em OUTRO corpo, portanto, este par de forças NUNCA age sobre UM corpo apenas. Como um exemplo simples de como se faz com facilidade muita confusão com este fato vamos analisar a situação de um livro em repouso sobre uma mesa, conforme ilustrado na figura abaixo.

N

P

Figura1

Nesta situação, como o livro encontra-se em repouso, o estudante mais afoito entende que as forças peso e reação normal devem ser iguais e opostas, e por isso, imediatamente as consideram um par ação e reação. Entretanto, uma análise mais atenta o fará ver que a força P é exercida pela Terra sobre o livro; portanto, a reação correspondente é uma força igual a –P que reage sobre o planeta, e NÃO está representada na figura. O livro não se movimenta na vertical porque A MESA exerce também uma força sobre o livro, de mesma intensidade e direção que a força exercida pela Terra, mas de sentido oposto, e portanto, equilibrando a ação da força peso. Esta força exercida pela mesa sobre o corpo possui uma reação, que é a força exercida pelo corpo SOBRE A MESA, e que também não está representada na figura, visto que é o estado de movimento do livro que estamos investigando, e não o estado de movimento da mesa! Estas são as leis de Newton que constituem a base, o cerne, da Mecânica Clássica, aquela que trata do movimento em situações de velocidades baixas em comparação com a velocidade da luz (caso contrário necessitamos da Mecânica Relativística) e em dimensões acima da escala atômica (caso contrário necessitamos da Mecânica Quântica). Este quadro teórico, o conteúdo desta leis, está longe de ser simples ou intuitivo, conforme uma primeira impressão possa sugerir. Rigorosamente, nem mesmo a compreensão


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do que seja a velocidade de um corpo em um determinado instante é possível sem o auxílio do Cálculo Diferencial. Entretanto, existe uma questão muito importante que precisamos tratar antes de dar por encerrada esta discussão, que é questão do referencial, já citada anteriormente. Note, de passagem, que as leis anteriores, em especial as duas primeiras, na forma que estão enunciadas, não fazem absolutamente nenhum sentido. Pois que sentido faz dizer que uma partícula se encontra em repouso sem especificar em relação a que, ou a quem? Vamos então direto à questão.

2.

O Movimento e o Referencial

Vamos iniciar esta análise com o conceito de movimento de Newton na elaboração de sua Teoria. Do ponto de vista de Newton existiria um espaço absoluto, no qual estaria embebido todo o Universo, e em relação ao qual haveria o que ele chamou de movimento absoluto (ou verdadeiro). Newton estava convencido de que só teria sentido falar em movimento em relação ao espaço absoluto, e sua teoria tratava DESTE tipo de movimento. Vejamos em suas próprias palavras: O espaço absoluto, em sua própria natureza, sem relação com qualquer coisa externa,permanece sempre idêntico e imóvel. (Newton – Principia, p. 6) O movimento em relação a OUTROS referenciais, que se movem em relação ao espaço absoluto, seria um movimento relativo (ou fictício), do qual sua teoria não trataria. A fim de ilustrar melhor sua concepção, no próprio Principia ele examina uma experiência célebre, a experiência do balde d’água, em que mostra estar convencido de que o movimento fictício não obedeceria seu tratamento teórico, e portanto, suas leis não tratariam deste movimento. Em suas palavras: Os efeitos que distinguem o movimento absoluto do movimento relativo são as forças que agem sobre os corpos que giram, e que tendem a afastá-los dos eixos de seus movimentos circulares. Pois que, num movimento puramente relativo tais forças não existem, enquanto que num movimento circular verdadeiro e absoluto elas são maiores, ou menores, de acordo com a intensidade do movimento.Se um balde, suspenso por uma corda longa, for girado um grande número de vezes sobre si mesmo, de forma que a corda fique bastante

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torcida, e em seguida enchido com água e mantido em repouso juntamente com a água e, em seguida, pela ação brusca de uma força for posto a girar no sentido oposto ao inicial, enquanto a corda for se desenrolando por si mesma o balde continuará por algum tempo o seu movimento, mas a superfície da água a princípio se manterá plana, como era antes do balde começar a girar;mas, após o balde ir gradualmente comunicando o seu movimento à água, ela começará a girar sensivelmente e irá se afastando pouco a pouco do centro e elevando-se nas bordas do balde, formando uma figura côncava ( como eu verifiquei), e, quanto mais rápido for se tornando o seu movimento, mais alto a água irá se elevando, até que, finalmente, realizando suas revoluções no mesmo tempo que o balde, ela ficará em repouso relativamente a ele.Essa ascensão da água mostra o seu esforço para se afastar do eixo do seu movimento, e o movimento circular verdadeiro e absoluto da água, o qual é aqui diretamente contrário ao relativo, torna-se conhecido e pode ser medido através de tal esforço. No início, quando o movimento relativo da água no balde era máximi, ele nãp produzia nenhum esforço para afastar do seu eixo: a água não mostrava tendência alguma para se dirigir para a circunferência, nem qualquer ascensão sobre a parede do balde, mas, permanecia com sua superfície plana, e, portanto, o seu movimento circular verdadeiro não havia ainda sido iniciado. Mas, em seguida, quando o movimento relativo da água havia diminuído, a ascensão sobre a parede do balde provava o seu esforço de se afastar do eixo de rotação; e esse esforço mostrava o movimento circular real da água crescendo continuamente até atingir o seu maior valor, quando, então, a água estava em repouso relativamente ao balde. E, portanto tal esforço não depende de qualquer translação da água em relação aos corpos locais, nem pode o verdadeiro movimento ser definido por uma tal translação. Existe um único movimento circular real de um corpo, correspondente a um determinado esforço de afastamento de seu eixo de movimento, mas, movimentos relativos, correspondentes a um mesmo corpo, são inumeráveis, conforme as várias relações que ele mantenha com os corpos externos, e, semelhantemente a outras relações, são, em conjunto, destituídos de qualquer efeito real. (Newton – Principia, p.10-11) Esta concepção, aliada à primeira lei, fez com que por muito tempo prevalecesse a idéia de que as leis de Newton só seriam válidas relativas a certo tipo de referencial. Este seria o espaço absoluto ou qual-


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quer outro que se mova com velocidade uniforme em relação a ele. Pois como o movimento verdadeiro ( ao qual dizem respeito suas leis) se dá em relação ao espaço absoluto e a primeira lei coloca em pé de igualdade o referencial ligado ao espaço absoluto com outro que se mova com velocidade uniforme em relação a este, é em relação a esta classe de referenciais que são válidas as leis de Newton. Tal classe de referenciais é modernamente chamada de referenciais inerciais. Assim, a Mecânica de Newton estaria restrita a descrever os movimentos em relação a referenciais inerciais e, ainda, só compreenderia como forças aquelas aqui chamadas de forças de interação. Lembremos da observação feita, quando discutimos a segunda lei de Newton, a respeito do conhecimento experimental que possuímos a respeito das forças de interação. É importante frisar que o mesmo conteúdo experimental se encontra na identificação dos referenciais inerciais (uma vez que ninguém, até os dias atuais, localizou onde se encontra o espaço absoluto). É através da experiência, somente dela e dentro de certo grau de precisão, que sabemos, ou estabelecemos um referencial como inercial ou não. Por exemplo, sabemos que a Terra não é um referencial exatamente inercial, pois que além de percorrer uma trajetória elipsoidal em torno do Sol, ainda gira em torno de seu próprio eixo. Entretanto, para a grande maioria dos experimentos que aqui realizamos, e dentro de nossa precisão de medidas, esta se pode considerar um referencial inercial. Quer dizer, munidos das leis de Newton e considerando apenas a ação das forças de interação, damos cabo “perfeitamente” das questões mecânicas que nos rodeiam. Por outro lado, sabemos perfeitamente (é simples de se detectar) que, por exemplo, quem se encontra no interior de um jato em processo de decolagem, encontra-se em um referencial não inercial (não é necessária grande precisão em medidas para se verificar que as leis de Newton não são válidas ali, ao menos enquanto somente as forças de interação são levadas em conta). Daí a grande confusão, por exemplo, que reina em relação à existência da força centrífuga. Parece que ela só existe no terreno dos fantasmas, das coisas irreais. Ela é chamada inclusive de força fictícia. Esta é a realidade encontrada, por exemplo, na imensa maioria de livros texto, seja de nível secundário seja de nível superior. Ou seja, reina uma grande confusão no que diz respeito às bases da teoria de Newton, confusão esta que, diga-se de passagem, possui sua origem no próprio trabalho de Newton. Entretanto, é bom lembrar

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que nunca faltaram discordâncias ao longo da história com esta concepção newtoniana de movimentos absolutos. Mesmo em sua época Newton encontrava críticos à sua altura que propunham uma construção diferente e que eram, vemos agora, mais de acordo com as teorias que se sucederam na Física, até mesmo as mais modernas, como sabemos. Não que esteja errada, de forma alguma, a concepção de Newton (ao menos enquanto não pudermos comprovar EXPERIMENTALMENTE que o espaço absoluto não existe). Ocorre que esta é uma hipótese que restringe bastante a teoria, além de tornar mais confusa e limitada sua aplicação. Vejamos então que alternativa se tem para o espaço absoluto e os movimentos verdadeiros de Newton (e de uma corrente newtoniana que ainda hoje propaga, embora sem o saber, sua hipótese absoluta). Apenas para citar alguns, lembremos que se opunham ao conceito newtoniano de movimento já em sua época o filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646- 1716), o filósofo irlandês George Berkeley ( 1685- 1753), já no século XIX o físico escocês James Clerk Maxwell ( 1831- 1879), e o grande físico e filósofo austríaco, que deu enorme contribuição à concepção da Teoria da Relatividade, Ernest Mach ( 1838- 1916). A tese prevalecente em contraposição à idéia de Newton de espaço absoluto e movimento verdadeiro é a de que TODO MOVIMENTO É RELATIVO. Pode até mesmo existir tal espaço absoluto, mas este não é imprescindível para se estudar o movimento. E partindo deste pressuposto, restanos responder apenas à questão: como descrever o movimento de uma partícula no sentido mais geral, ou seja, sem restringi-lo a ser “verdadeiro” ou “absoluto”? Quer dizer, do ponto de vista de um observador em um referencial qualquer, não necessariamente inercial? Para isso, vamos recuperar a última equação do Módulo anterior, a eq. 18, apenas multiplicada por m, a massa da partícula, em ambos os lados: mA = ma + mAO + mw ×(w × r) + mw × r + 2mw × v Ou melhor, escrevamos assim: ma = mA - mAO - mw × (w × r) - mẇ × r - 2mw × v

eq. 3


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Vamos nos reportar à figura 8 do Módulo anterior, da qual derivamos a equação 18, e por conseqüência a equação 3 acima. Considere que o referencial R’ seja um referencial inercial, ou seja, considere que se possa escrever mA = ∑Fint como nos garante a segunda lei de Newton e vamos chamar de forças inerciais os quatro termos restantes no lado direito da equação 3, ou seja, -mAO - mw ×(w × r) - mw × r - 2mw × v = ∑Finer Podemos então escrever ΣF

=

ma

eq. 4

Ou seja, esta equação, que é bastante semelhante com a que estabelece a segunda lei de Newton, vale em um referencial QUALQUER, e não apenas nos inerciais. Só que agora, diferente da eq.2, temos que ∑F = ∑Fint + ∑Finer , ou seja, as forças estão divididas em duas categorias, as forças de interação, que já conhecíamos, e as forças inerciais, que são apenas quatro, as assim chamadas: E = -mAO → Força de Einstein C = -mw ×(w × r) → Força Centrífuga E* = -mw × r → Força de Euler C* = -2mw × v → Força de Coriolis

Em resumo, a equação 4 é a segunda lei de Newton generalizada, pois pode ser aplicada em QUALQUER referencial, para descrever QUALQUER movimento. Ocorre que, caso o referencial em uso seja inercial, esta se reduz à equação 2, a segunda lei de Newton usual na literatura. O que nossa descrição tem de diferencial da descrição inercial é que as forças que entram na equação de movimento são as forças de interação MAIS as forças inerciais, que são no máximo quatro, dependendo do movimento que o referencial em questão possua em relação a um referencial inercial. Veremos logo adiante exemplos de situações onde estas quatro forças ocorrem.

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O formalismo que estamos estudando, entretanto, é ainda o formalismo newtoniano. Apenas abrimos mão de uma hipótese (a da existência de um espaço absoluto) que leva a limitações e interpretações confusas em prol de um outro argumento (a de que todo movimento é relativo) que torna a teoria mais clara, ampla e concordante com pontos de vista mais modernos. Enquanto a “velha” teoria de Newton leva a uma Física invariante ante transformações de Galileu ( transformações que levam de um referencial inercial a outro, que se move com velocidade constante em relação ao primeiro ) essa “nova” teoria Newtoniana leva a uma Física invariante ante uma transformação mais geral que a transformação de Galileu (a Física é a mesma em qualquer referencial). Por exemplo, esta interpretação está de acordo com um postulado fundamental da Teoria da Relati vidade Geral, o Princípio da Equivalência. Desta forma, resta compreender melhor os tipos de força que existem na Natureza, dentro de nossa realidade Clássica (não-quântica e não-relativística). É o que procuraremos fazer na última parte deste Módulo.

3.

As Forças na Mecânica de Newton

Conforme vimos anteriormente, as forças do formalismo newtoniano mais geral podem ser agrupadas em duas categorias, quanto à sua natureza: as forças de interação e as forças inerciais. Enquanto que as forças de interação possuem uma grande diversidade de tipos e natureza as forças inerciais são apenas quatro. Por essa razão, faremos uma análise mais detalhada de situações que ilustrem o mecanismo das forças inerciais, até porque algumas delas são pouco familiares mesmo ao estudante neste nível de Curso.

Forças de Interação Basicamente, podemos separar as forças de interação em dois grandes grupos: as forças de contato e as forças de ação à distância. Como forças de contato mais comuns temos as forças empurrar ou puxar seja através de cordas, hastes, molas, superfícies, meios (viscosos), etc. A cada uma delas cabe à experiência (como já dissemos anteriormente) a descrição mais detalhada de sua forma de ação. As forças de atrito, por exemplo, dependem da natureza atômico-molecular


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das superfícies envolvidas e podem, em geral, ser caracterizadas por um coeficiente, que por sua vez pode variar com uma série de fatores ( temperatura, velocidade, etc.); dependem também, diz a experiência, da força normal exercida pela superfície de contato. A força elástica exercida por uma mola tem, em certas circunstâncias, uma forma funcional bastante interessante, do ponto de vista matemático ( a lei de Hooke). As forças de ação à distância, como o próprio nome sugere, não exigem qualquer contato, e da mesma maneira, têm sua forma de agir definidas pela experiência (a força gravitacional e a força eletromagnética são os exemplos mais comuns). Vejamos algumas desta forças um pouco mais detalhadamente:

Peso A força peso é a força que o planeta Terra exerce sobre os corpos na proximidade de sua superfície. Na verdade, ela é uma aproximação de uma força mais geral, que é a força de atração entre os corpos que foi estudada em detalhes por Newton , e sua forma é dada na lei (1) O movimento dos corpos celestes era, de Newton da gravitação universal . Esta lei diz que corpos se atraem aparentemente, o grande problema que com uma força que depende dos valores de suas massas e também da motivou Newton em seus estudos. Tal distância entre eles. É da seguinte forma esta dependência: movimento já intrigava o homem e tinha importância vital desde a Antiguidade,

F=G

m1m2 2

r

quando começou a se desenvolver a agricultura. A contagem do tempo e das estações eram problemas importantes, que se baseavam principalmente nestes movimentos. Eram muitas as “teorias” que tratavam de explicar tais movimentos, a maioria delas de cunho místico ou religioso. A importância deste conhecimento ficou muito maior na época de Newton,

onde G é uma constante universal, m 1 e m2 são os valores das massas dos corpos e r é a distância entre eles. Esta força tem a direção da reta que liga os dois corpos e é SEMPRE atrativa. Newton mostrou que esta força, que ocorre entre corpos como um pássaro e um elefante, é a mesma que ocorre entre a Terra e a Lua, ou entre um planeta e o Sol (1). Observe o que ocorre se calculamos o valor desta força quando um dos corpos é o planeta Terra e o outro é uma mesa, por exemplo, situada no nível do solo. Teremos:

em que as Grandes Navegações se tornavam mais e mais comuns, e os mapas

F=G

mTm 2

R

celestes eram de grande utilidade. Ao descobrir que as mesmas leis que regem o movimento de uma maçã ao cair de uma árvore também regem os movimentos dos planetas, Newton decifrou um grande enigma para a Humanidade.

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onde agora mT é a massa da Terra, m é a massa da mesa, e R é a distância entre os dois, que é igual ao raio da Terra. Se você consultar uma tabela verá que o raio da Terra é da ordem de 6 mil km, ou 6 x 10 6 m. Note que o fato da mesa se encontrar no nível do solo, ou a bordo de um avião a 10 km de altura, não muda muito

o valor desta força, pois trocaríamos o denominador de maneira insignificante para o resultado, que é o valor da força. Por essa razão, resolveu-se adotar o nome de peso para a força gravitacional que os corpos em nossa vizinhança sofrem pela atração gravitacional do planeta. Na expressão acima chamamos de P a força F, de g a constante (GmT)/R2, e a força peso adota a forma mais simples P = mg Aqui g é uma constante, independente do corpo, e chamada de aceleração da gravidade. Naturalmente, esta força tem a direção da perpendicular ao solo, ou seja, a vertical do lugar, e o sentido que leva para baixo. É importante observar que a constante g não depende do corpo, sendo a mesma para todos os corpos na proximidade da superfície da Terra. Vem daí a freqüente confusão entre massa e peso, pois o valor da força peso é proporcional ao valor da massa do corpo. A constante g tem unidade de aceleração, m/s2, e valor aproximado igual a 10. Vejamos porque é chamada de aceleração da gravidade. Suponha que um corpo encontra-se sujeito à ação única e exclusiva da atração gravitacional, próximo à superfície da Terra. Então a força peso é a única a atuar sobre o corpo. A segunda lei de Newton então informa (tomemos o eixo y na vertical com sentido para cima) que P =

ma → -mg j = ma → a = -g j

Portanto, independente do valor de sua massa, todo corpo deixado sob a ação apenas da força peso, move-se com uma aceleração igual a 10 m/s2, que é a aceleração da gravidade.

Forças de Contato Sempre que uma partícula se encontra em contato com uma superfície, ela sofre uma interação com a superfície que possui duas componentes distintas: uma componente perpendicular (ou normal) à superfície, que depende de quanto a partícula “empurra” a superfície, e outra componente que é tangente à superfície, que depende da natureza do atrito entre a partícula e a superfície. A assim chamada força normal é uma reação (3 a lei!) à força que a partícula imprime sobre a superfície.


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Por outro lado, sempre que a partícula faz uma força tangente à superfície no sentido de deslizar sobre esta, a superfície reage (3 a lei!) fazendo sobre a partícula uma força de mesmo módulo e sentido oposto àquele do movimento, e que é chamada de força de atrito. Verificase experimentalmente que o módulo da força de atrito é diretamente proporcional à força normal, e tal proporcionalidade é representada por uma constante que depende da natureza das superfícies em contato. Em módulo esta força pode ser representada assim: Fatr = μN Esta constante de proporcionalidade, chamada de coeficiente de atrito, possui dois valores distintos, o que se verifica experimentalmente: μe, que é o valor do coeficiente de atrito estático, refere-se à situação de iminência de movimento, antes que o corpo se mo vimente, e μc , que é o valor do coeficiente de atrito cinético, que refere-se à situação em que o movimento está ocorrendo.

Forças Elásticas As molas (ideais) produzem um tipo de força especial, chamada força elástica, do seguinte tipo: quando uma mola se encontra deslocada de sua posição natural, esta exerce uma força na direção de seu comprimento, porém no sentido oposto à sua deformação, que é proporcional ao comprimento deformado (comprimido ou alongado). A constante de proporcionalidade é característica de cada mola, e é chamada de constante elástica. Temos F = -kx , onde o sinal negativo serve para indicar a oposição ao deslocamento, e k é a constante elástica.

Cordas As cordas só produzem forças quando tensionadas, e estas forças têm sempre a direção da própria corda. Em geral lidamos com cordas inextensíveis e de massa desprezíveis, aproximação válida num curso inicial como o nosso, a fim de evitar dificuldades como um comprimento variável, ou ter que tratar do movimento da corda.

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Uma característica fundamental e que faz a única diferença entre as forças de interação e as forças inerciais, do ponto de vista físico, é que as forças de interação são, assim como as leis de Newton, in variantes ante a mudança de referenciais. Se uma força de interação atua sobre uma partícula do ponto de vista de um observador, situado em determinado referencial, ela existirá da mesma forma para outro observador em QUALQUER que seja o referencial em que este esteja. Naturalmente, o mesmo já não vale para as forças inerciais. Exemplos 1) Uma pequena esfera metálica é atirada verticalmente, de cima

para baixo, sobre a superfície de um lago. A esferazinha atravessa essa superfície e continua a se mover no interior da água. Diz a experiência que quando uma esfera se move no interior de um líquido, este exerce sobre ela, além da força de Arquimedes (empuxo), uma força de resistência ao avanço, R, força esta que é de sentido oposto ao da velocidade v da esfera e de norma proporcional à dessa velocidade. Sabendo que a densidade do material da esferazinha é igual à da água do lago e que é igual a λ o fator de proporcionalidade que figura na relação que existe entre ‖R‖ e ‖v ‖, e sabendo, mais, que é igual a v 0 a norma da velocidade da esferazinha imediatamente após ter atravessado a superfície da água do lago, calcule: 1) a vel ocidade escalar da esferazinha em função de sua profundidade; 2) o tempo transcorrido desde o instante em que a esferazinha atravessou a superfície da água do lago até o instante em que ela atingiu um ponto situado a uma profundidade h. Solução 1) Como o movimento é unidimensional (vertical) vamos escolher um

eixo Ox vertical, solidário à Terra, com origem na superfície do lago, e dirigido para baixo, para especificar a posição da esfera, como ilustra a figura abaixo. Ali também estão indicadas as forças (de interação, pois estamos supondo a Terra um referencial inercial)) que atuam sobre a esferazinha numa posição genérica do lago. Estas são: a força peso P, a força de Arquimedes (empuxo) A, e a força R de resistência ao avanço. Tendo em conta a segunda lei de Newton (eq.1, ∑F = p ⇒ ∑Fx = m ) e a figura podemos escrever imediatamente que: P-A-R=m


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Ou seja, tendo em conta que foi informado que P = A e R = λ v: -λv = mx

eq. i

o

A R x

P

x

Bem, como buscamos uma relação entre velocidade v e posição x, podemos usar que x=v=

dv dt

=

dv dx dx

dt

=

dv dx

v

que inserido na eq.i resulta em -λdx = mdv

⇒

-λx = mv + c

Donde, tendo em conta que v = v 0 no ponto x = 0, vem finalmente que v = v o

λ m

x

eq. ii

2) De um ponto situado na superfície da Terra deve ser disparado

um projétil, verticalmente de baixo para cima. Calcule qual deve ser o valor de sua velocidade inicial a fim de que ele atinja uma altura h acima do ponto de lançamento. Supõe-se desprezível a resistência oferecida pelo ar ao movimento do projétil e sabe-se que o raio e a massa da Terra valem respectivamente R e M e que a constante da gravitação universal vale G. Observação: a altura h, no caso, não é irrelevante em relação ao raio da Terra.

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Solução

Como o movimento é supostamente unidimensional vamos escolher apenas um eixo de coordenadas Ox ligado à Terra, suposta ela o referencial inercial em questão. Agirão então apenas forças de interação sobre o projétil, e como estão excluídas as forças de atrito apenas o peso P será levado em conta. De acordo com a segunda lei de Newton (eq.1, ∑F = p ⇒ ∑Fx= mẍ) e a convenção de sinais estabelecida na figura abaixo podemos escrever que: -P = mẍ Donde, tento em conta que x

A R O

P = GMm/x2 x=v=

dv dt

=

dv dx dx

dt

=

dv dx

v

Podemos então escrever que -GMm/x 2 = m

dv v dx

vdv = -GM

dx x2

O que nos leva ao resultado desejado através de uma simples integração: 0 v0

vdv = -GM

R+h R

dx x2

v0 = 2GMh / [R(R + h)]

3) Dois pontos da superfície da Terra, suposta esférica e homogênea,

são ligados por um tubo cilíndrico, de seção reta circular. Uma pequena esfera, de diâmetro igual ao da seção reta do túnel, é abandonada numa das extremidades do túnel. Supondo irrelevante a resistência oferecida pelo ar ao movimento da esfera, assim como o


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atrito entre ela e as paredes do túnel, e sabendo que a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre uma partícula situada num ponto não exterior à superfície terrestre é dirigida para o centro da Terra e é proporcional à distância desse centro à partícula, e sabendo, mais, que o comprimento do túnel é igual a 2A: 1) ache a equação de movimento da esferazinha (escolha como data inicial, t = 0, a data em que a esferazinha foi abandonada numa das extremidades do túnel); 2) demonstre que o tempo gasto pela esferazinha para ir de uma à outra extremidade do túnel não depende do seu comprimento. Solução 1) Na figura abaixo está indicado o sistema de eixos cartesianos esco-

lhido, ligado à Terra, suposta o referencial inercial em questão: origem coincidente com o centro da Terra, eixos Ox e Oy respectivamente perpendicular e paralelo ao túnel. As forças de interação em ação são apenas a força de atração gravitacional f e a força de reação vincular normal n exercida pelas paredes do túnel. Tendo em conta então a segunda lei de Newton (eq.1, ∑F = p ∑F y = m ) podemos escrever: -fsinθ = my

eq. i

y

R

f

n

θ

0

x

z

Representando por r a distância do centro da Terra (origem cartesiana O) ao ponto onde está a esferazinha na data genérica t, e por y a ordenada desse ponto, podemos escrever, tendo em conta a figura e a informação fornecida no enunciado da questão de que f é proporcional a r, que: sinθ = y / r f = λr

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fsinθ = λy

(λ = cte > 0)

Substituindo este resultado na eq.i temos y + w2y = 0

my + λy = 0

eq. ii

Onde usamos λ⁄m = w2

Esta é a equação de movimento da esferazinha. 2) A eq.ii é uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução

geral é da forma y = c1eiwt + c2e-iwt Com as condições iniciais fornecidas (y(0) = A e  (0) = 0) podemos determinar as constantes arbitrárias desta solução geral e colocar a solução no formato final y = Acoswt Esta solução nos mostra que a esferazinha se move no túnel com movimento periódico, de período τ = 2π⁄w. Consequentemente, para ir de um extremo do túnel até o outro, gastará um tempo T = ½ τ, ou seja, um tempo: T = �/w = �

m/λ

O que prova que o tempo que ela gasta para ir de um extremo do túnel até o outro independe do comprimento do túnel, uma vez que nem m nem λ dependem desse comprimento, q. e. d. 4) Um bloco de massa m está sendo arrastado sobre um plano ho-

rizontal. O coeficiente de atrito de deslizamento entre o bloco e o plano de apoio é igual a μ e a velocidade do bloco é mantida constante. O bloco está sendo arrastado com auxílio de um fio a ele ligado e se verifica que é possível manter o movimento retilíneo e uniforme qualquer que seja o ângulo θ que o fio faça com a horizontal, exceto ½ π; verifica-se, também, que a norma da tração que


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o fio deve exercer sobre o bloco, para manter constante a sua velocidade, é função do ângulo θ. Pois bem: o problema que proponho é calcular para qual valor de θ é mínima a norma da tração exercida sobre o bloco e qual o valor dessa norma mínima. Solução

Na figura estão representadas as forças (de interação) que atuam sobre o bloco. Tais forças são: o peso P, exercida pela Terra; a tração T exercida pelo fio, e a reação vincular exercida pelo plano de apoio, que já representamos, como é usual, decomposta em duas: a normal N e a tangencial (força de atrito) A . [Escolhemos um sistema de eixos cartesianos Oxy solidário à Terra, suposta um referencial inercial, sendo Ox horizontal e Oy vertical e dirigido de baixo para cima.] Queremos obter T como função de θ a fim de poder calcular para qual valor de θ tem-se T = mínimo.

y

T N

θ

A

O

x P

Ora, tendo em conta que, de acordo com a informação fornecida é nula a aceleração do bloco, podemos escrever imediatamente, de acordo com a primeira (ou a segunda) lei de Newton, que: ∑F = 0

∑Fx = 0

Tcosθ - A = 0

∑Fy = 0

Tsinθ + N - P = 0

Donde, tendo em conta que P = Mg e A = μN, vem que: T = μmg ⁄ (cosθ + μsinθ) Donde, finalmente, vem que o valor de θ para o qual T é mínima é o seguinte: Θ = arctan μ; e o valor mínimo de T é: T = µmg / 1 + µ2

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5) Um bloco de massa m está preso a uma das extremidades de

uma mola, de constante igual a k e massa desprezível, cuja outra extremidade está presa a um suporte fixo. Afasta-se o bloco da sua posição normal de equilíbrio até outra posição situada verticalmente abaixo, onde o bloco é abandonado. Escolha um eixo cartesiano Ox, fixo em relação à Terra, suposta um referencial inercial, e cuja origem seja o ponto correspondente à posição de equilíbrio do bloco. Escolhendo como instante inicial o instante em que o bloco foi largado e sabendo que nesse instante se tem x = A > 0 e x = 0: 1) calcule onde estará o bloco numa data genérica t, isto é, encontre a equação da posição do bloco; 2) prove que o movimento do bloco é periódico e calcule o seu período. Solução 1) Na figura estão representadas as forças (de interação) que atuam

sobre o bloco, numa data genérica t. Tais forças são apenas o seu próprio peso P = Mg, força exercida pela Terra sobre o bloco, e a força T exercida pela mola. Então, tendo em conta a segunda lei de Newton (eq.1, ∑F = p ⇒ ∑Fx = mẍ), podemos escrever imediatamente que: mg - T = mẍ

O

T

x P x

De acordo com a lei de Hooke, e tendo em conta a informação de que a origem O do eixo Ox corresponde à posição de equilíbrio do bloco, pode-se escrever que: T = mg + kx Levando esta informação para a equação anterior temos: mẍ + kx = 0


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Que é a equação diferencial do movimento do bloco, cuja solução geral é a função: x(t) = c1eiwt + c2e-iwt Donde, tendo em conta as condições iniciais dadas (x(0) = A e x (0) = 0, temos: x(t) = Acoswt, w2 = k⁄m 2) Esta solução já prova que o movimento é periódico e mostra que o

seu período τ tem um valor igual a 2π/w, isto é, mostra que se tem que: T = 2�

m / k

Forças Inerciais Enquanto que as forças de interação são determinadas exclusivamente pela experiência, as forças inerciais são definidas pelo estado de mo vimento do referencial em que se esteja relativo a um referencial inercial. Por exemplo, a força inercial que existe em um referencial que se encontra acelerado em relação a um referencial inercial com aceleração A O, mas em movimento puramente translacional (ou seja, w = 0) será apenas a força de Einstein, conforme definida anteriormente. Outra característica muito interessante das forças inerciais é que estas são de apenas quatro tipos. Quer dizer, o pior que pode acontecer, ou o que a mais infeliz das escolhas de referencial pode acarretar, é adicionar quatro forças extras àquelas consideradas por um observador em um referencial inercial. Mas em geral, apenas uma ou duas das quatro possíveis é adicionada. Vamos estudar detalhadamente:

Força de Einstein N T

A

P

Figura 2a

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N E

A

T

P

Figura 2b

Vamos convencionar aqui que uma silueta feminina representará, em nossas figuras, um observador em um referencial supostamente inercial, enquanto que uma silueta masculina representará um observador em um referencial não-inercial. Isto posto, vamos analisar a figura 2 a. Nela está representado o vagão de um trem que passa acelerado, com aceleração A , por uma observadora ligada ao solo, suposto um referencial inercial. Esta observa que no interior do vagão há uma mesa e sobre esta uma esfera de massa m em repouso em relação ao vagão. Nota ainda que, presa à esfera está uma mola esticada, com a outra extremidade presa à parede do vagão. Esta observadora também sabe que existem outras duas forças de interação agindo sobre a esfera, o peso P, e a reação normal N, a primeira sendo uma força (de ação à distância) exercida pelo planeta e a segunda uma força (de contato) exercida pela mesa. E como sabe que estas duas forças têm o mesmo módulo, a observadora descreve o movimento acelerado da esfera como sendo conseqüência da força resultante T que é a força que a mola exerce sobre a esfera. Escreve então a equação de movimento para a esfera como T = m A

Na figura 2 b encontramos a mesma esfera sendo observada por um observador solidário ao vagão. Como se encontra em um referencial não inercial em movimento de translação acelerado com aceleração A relativa a um referencial inercial, este observador nota, além das forças de interação N, P e T que existiam para a primeira observadora (as forças de interação são invariantes sob mudança de referencial, já o sabemos), a força de Einstein E representada na figura. E como para este observador a esfera encontra-se em repouso,


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ele conclui que é nula a soma das forças que agem sobre ela. Ele conclui então, que E=-T, portanto, E = -m A

A força de Einstein é uma força muito familiar a todos nós, certamente a força inercial mais presente à nossa experiência cotidiana. Ao viajar em qualquer veículo que possua uma aceleração maior, como um avião, ou uma motocicleta, até mesmo automóveis ou ônibus, todos sentimos a necessidade de se segurar quando de uma freada ou aceleração mais brusca. E não parece adequado supor que esta seja uma força “fictícia”, uma vez que sentimos na própria pele as conseqüências destes empurrões ou puxões, se não nos seguramos a fim de anulá-los. É esta a força que na Teoria da Relatividade Geral se afirma ser equivalente à força peso.

Força Centrífuga

ω

Figura 3a

Figura 3b

Na figura 3a está representado um disco horizontal, visto de cima, em repouso em relação à Terra, suposta um referencial inercial. Sobre o disco está uma esfera de massa m ligada a quatro molas idênticas, que nesta situação encontram-se dispostas de forma simétrica e relaxadas, ou seja, nem esticadas nem comprimidas. Uma observadora ligada à Terra verifica que as únicas forças ( de interação) aplicadas à esfera são seu peso P e a reação normal N do disco sobre a esfera ( ambas verticais). Como não há movimento vertical, conclui que P + N = 0. Na figura 3b o mesmo disco agora está girando com velocidade w constante em torno de um eixo vertical passando por seu centro.

64


A nova configuração das molas leva a observadora inercial concluir que agora existe uma força resultante da ação das molas, força esta no plano horizontale que, pela configuração simétrica das molas, está dirigida ao centro do disco: as molas dispostas radialmente, uma esticada e a outra comprimida, resultam numa força dirig ida ao centro, enquanto que as molas transversais, igualmente esticadas, possuem soma também dirigida para o centro. Ao mesmo tempo, ele observa que a esfera possui um movimento circlar e uniforme, de raio R e velocidade angular w. Portanto, observa que esta possui acelelação centrípeta de módulo ‖A‖ = w 2R = v 2/R . Então ela pode escrever que a força M das molas está relacionada com a aceleração centrípeta como M = mA . Quer dizer, a força centrípeta necessária para manter a esfera em movimento circular uniforme é dada pela força que as molas exercem sobre a esfera. Entretanto, um observador ligado ao disco girante, que é um observador não inercial, nota que, em relação a ele, a esfera se encontra em repouso. Como as forças de interação são as mesmas para ele, haverá alguma força que equilibre a força M das molas. Esta força C, que existe para este observador não inercial, pode ser então descrita como oposta à força das molas, portanto dirigida para fora do centro do disco e de módulo ‖C‖=w2R. Você pode verificar que esta força corresponde, na forma vetorial, à expressão que derivamos anteriormente C =

-mw ×(w × r)

e que denominamos como força centrífuga. A força centrífuga também surge com bastante freqüência em nossa experiência cotidiana. Sempre que percorremos uma curva, em especial em velocidades mais altas, no interior de um móvel, sentimos o corpo sendo “puxado” para fora do veículo, e em geral sentimos que as paredes deste nos “empurram” para dentro e anulando o efeito da força centrífuga, que de outra forma nos levaria a “cair” do veículo em movimento. Da mesma forma ela está presente quando empurra a roupa contra a parede em uma máquina de lavar e desta maneira “espreme” a água da roupa. Também em diversos brinquedos de parque de diversão é possível “experimentar” a força centrífuga.


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Força de Euler Suponha agora que o disco girante representado na figura 3 b sofra uma aceleração angular α. Tal situação está representada na figura 4. Vejamos como ficam as análises de nossos dois observadores nesta nova configuração. A observadora ligada à Terra, que estamos supondo como um referencial inercial, observa a esfera com movimento circular acelerado, sujeita às mesma forças de interação P e N que atuavam na situação anterior, e que da mesma forma se anulam. Porém sujeita a outra força resultante da ação das molas, R’. Também observa, por outro lado, que além da aceleração centrípeta, que ela pode escrever como AN = ̂ , onde N ̂ é o unitário segundo a normal à trajetória, apontando -w2RN para fora da curva, a esfera também possui uma aceleração tangencial ̂ onde T ̂ é o unitário tangente à trajetória. Ou seja, dada por AT = αRT ela escreve a seguinte equação de movimento para a esfera: R ’ = mA →

R’T = mẇR R’ N = -mw2R

ω

Figura 4

O observador ligado ao disco nota, entretanto, que a esfera permanece parada em relação a ele. Sabe então que além das forças de interação P e N que se cancelam na direção vertical, e da força inercial C , a força centrífuga, que cancela a ação das molas na direção radial, existe uma segunda força inercial, que cancela a força tangencial exercida pelas molas, e esta força E*, chamada força de Euler deve então ser tal que E* = -mw × r

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conforme você pode confirmar fazendo o produto vetorial neste caso. A força de Euler não é tão comum ou perceptível quanto as forças inerciais anteriores, embora não seja difícil senti-la em situações onde se aumente ou diminua sensivelmente a velocidade de rotação num brinquedo, por exemplo, onde você se encontre.

Força de Coriolis A quarta e última força inercial que iremos analisar é a única que depende de a partícula estar se movimentando em relação ao observador não-inercial, pois possui em sua expressão a velocidade v , relativa ao referencial não inercial. Nossa análise, embora mais qualitativa, fornecerá um caminho para compreender como esta força age. Para isto considere um disco circular e horizontal, mais uma vez, girando com velocidade w e agora com uma pequena esfera de massa que é lançada, a partir do centro do disco, com uma velocidade horizontal V 0 em direção a um ponto A na borda disco. Desprezando quaisquer irregularidades ou atritos que possam perturbar o movimento da esfera, vamos analisá-lo do ponto de vista de nossos observadores. A observadora ligada ao referencial inercial observa a esfera sendo lançada a partir do centro do disco com velocidade V 0 (figura 5 a) que não se altera ( a soma das forças que agem sobre a esfera, P e N, é nula!) até que ela, após percorrer uma trajetória retilínea enquanto o disco gira sob ela, alcança um ponto B diferente de A (figura 5 b). ω

0

A V 0

Figura 5a

A

ω

0

B

Figura 5b


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E o que verá o observador ligado ao disco? Vejamos as figuras:

ω*

0

A

v 0

Figura 6a

ω*

A

0

B

Figura 6b

O observador não considera que seu referencial esteja se mo vendo, mas sim o “cenário” externo se encontra girando com velocidade angular w* = -w. E de seu ponto de vista a esfera descreve a estranha curva mostrada na figura 6 b até atingir o ponto B. Ele percebe que uma força muda a direção da velocidade a cada ponto da trajetória. Sabemos que neste referencial não existe a força de Einstein (não há aceleração de nenhum ponto do disco em relação ao solo), nem a força de Euler (a velocidade de rotação é constante). Enquanto que a força centrífuga existe, mas tem a direção radial em cada ponto, a única força responsável pela mudança de direção da partícula é a força de Coriolis, que como sabemos é da forma C* = -2mw × v

Realmente, esta força perpendicular à trajetória da esfera em cada ponto de sua trajetória é a responsável pela estranha trajetória obser vada naquele referencial (figura 7).

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ω ω* = -ω

A

0

v C B

Figura 7

A força de Coriolis tem sua manifestação mais evidente e popular relacionada a uma característica que envolve o movimento de grandes massas de ar em nossa atmosfera. É sabido que os ciclones e todos os grandes deslocamentos de ar da atmosfera que ocorrem no hemisfério Norte do planeta possuem vorticidade orientada no sentido anti-horário, ao contrário do que ocorre no hemisfério Sul, onde o sentido do giro é o dos ponteiros do relógio. Presume-se que este seja um efeito notável da força de Coriolis, originada no fato de a Terra ser um referencial dotado de velocidade angular. O mesmo fato justifica os pequenos desvios na verticalidade dos objetos em queda próximos à superfície do planeta. Ao cair os objetos têm sua trajetória desviada da vertical por uma pequena deflexão, que é difícil de ser medida devido à presença, em geral, de vários fatores perturbadores da experiência tais como a presença de ventos, a resistência do ar e etc. Para se ter uma idéia, é fácil calcular qual seria a deflexão sofrida para uma queda de 100m de altura na região do Equador terrestre (onde a deflexão é máxima): seria de cerca de 2cm! Exemplo 6. Uma pequena esfera metálica pode se mover sem atrito no in-

terior de um tubo cilíndrico, de seção reta uniforme, que gira com velocidade angular constante, w, em torno de um eixo vertical, ∆, fixo em relação à Terra, suposta um referencial inercial. Sabendo que o tubo forma com a vertical do lugar um ângulo θ, calcule em que ponto do interior do tubo a esfera poderá ficar em equilíbrio, relativamente ao próprio tubo.


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Solução

Visando a obter uma mais profunda compreensão das leis da Mecânica, vamos resolver o problema do ponto de vista de um observador inercial e do ponto de vista de um observador não-inercial.

Solução do observador inercial

Solução do observador não-inercial T

T Y

Y

∆

∆

ω

C

ω

P

P

θ

θ

X

X

O sistema cartesiano OXY, inO sistema cartesiano oxy indicado na figura acima é, por hi- dicado na figura acima é, por pótese, solidário à Terra (suposta, hipótese, fixo no referencial R ela mesma, um referencial iner- solidário ao tubo que gira em cial) e é tal que o eixo OY coin- relação à Terra (suposta, ela cide com o eixo ∆ em torno do mesma, um referencial inercial) e qual o tubo gira. Na figura es- é tal que o eixo oy coincide com tão representadas as forças que o eixo ∆ em torno do qual o tubo atuam sobre a esferazinha, su- gira. Na figura estão representaposta já estar na posição em que das as forças que atuam sobre a fica em equilíbrio relativamente esferazinha, suposta já estar na ao tubo. Como o referencial utili- posição em que fica em equilízado (a própria Terra) é, por hipó- brio relativamente ao tubo. Uma tese, inercial, sobre a esferazinha vez que o referencial R é nãoatuarão apenas forças de intera- inercial, sobre a esferazinha atução, as quais são apenas o pró- arão forças inerciais, além das prio peso P da esferazinha e a de interação P e T. Escolhendo força T exercida pelo tubo. para pólo dos vetores-posição a Sob a ação dessas forças a es- origem cartesiana o (coincidente ferazinha está se movendo, com com o extremo inferior do tubo, uma aceleração A (relativa à e que estamos supondo perten-

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Terra), descrevendo uma circunferência horizontal, de raio ρ=r sinθ, onde r é a distância da esferazinha ao extremo inferior do tubo (extremo este que estamos supondo pertencer ao próprio eixo ∆ de rotação do tubo). Tendo em conta a segunda lei de Newton, podemos escrever que: ∑F = m A ⇒ ∑Fn = mA n (i) onde com ∑Fn estamos indicando a soma das componentes normais (à trajetória) das forças que atuam sobre a esferazinha e com A n a componente normal da sua aceleração. Como, no caso, A n = w2 ρ, vem, da i, e tendo em conta a figura, que:

cer ao próprio eixo de rotação ∆), ter-se-á que a única força inercial a atuar sobre a esferazinha será a força centrífuga C=-mw×(w×r). Sob a ação dessas forças a esferazinha está em equilíbrio, relativamente ao referencial R solidário ao tubo. Então, tendo em conta a primeira lei de Newton, podemos escrever que: ∑F = 0 ⇒ ∑f α = 0 (i)

Tcosθ= mw2ρ (ii)

Onde com ∑f α estamos indicando a soma das componentes, em relação a um eixo α coincidente com o eixo de simetria do tubo, das forças que atuam sobre a esferazinha. Da i, e tendo em conta a figura, vem que:

Tendo em conta, agora, que

C sinθ - Pcosθ = 0

A y = 0 → ∑F y = 0 E tendo em conta também a figura e o fato de que P = Mg, vem que: Tsinθ - mg = 0 (iii) De ii e de iii vem que ρsinθ = (gcosθ) ⁄ w2

Donde, tendo em conta que C = mw2ρ e P = Mg, vem que: mw2ρ sinθ = mgcosθ donde ainda, tendo em conta que da figura se vê que ρ = r sinθ, vem finalmente que: r = (gcotθ) ⁄ (w2sinθ)

Donde, finalmente temos: r = (gcotθ) ⁄ (w2sinθ)


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Exercícios 1) O carro representado na figura está percorrendo uma estrada

retilínea e horizontal, movendo-se com uma aceleração constante A dirigida da esquerda para a direita. Fixo ao carro existe uma rampa cujas retas de máximo declive pertencem a planos verticais paralelos ao eixo da estrada. Uma pessoa que viajava no carro observou que uma esfera homogênea sendo abandonada sobre a rampa permanecia imóvel em relação à rampa. Calcule o ângulo que a rampa forma com a horizontal.

2) A figura abaixo é, supostamente, a reprodução de uma foto-

grafia de um trecho de uma estrada, e a situação que foi fixada na fotografia é a seguinte: o automóvel da esquerda estava percorrendo um trecho horizontal, o do centro estava passando no ponto mais baixo de uma depressão e o da direita estava passando no ponto mais alto de uma elevação.

Sabendo que os carros eram idênticos e estavam igualmente carregados e com a mesma velocidade, e supondo momentaneamente desprezíveis os atritos, calcule qual dos carros estava exercendo sobre a estrada a força de norma maior.

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3) Um automóvel de massa m está atravessando uma ponte cujo raio

de curvatura correspondente ao seu ponto mais alto vale R. Sabendo que a concavidade da ponte é voltada para baixo, que vale h a altura do centro de massa do automóvel, relativa ao plano de apoio das rodas, e que a velocidade escalar do automóvel ao passar no ponto mais alto da ponte vale v, calcule a norma da reação vincular normal N que a estrada estará então exercendo sobre ele. N v

P

4) Uma partícula de massa m está percorrendo o ramo superior da

seguinte trajetória parabólica: y2 = 2λx z=0

λ = cte Sabendo que x > 0 e que x = α =cte, onde x é a componente, em relação ao eixo Ox, da velocidade da partícula, calcule a resultante das forças que atuam sobre ela num ponto genérico de sua trajetória. 5) O corpo C, de pequenas dimensões, representado na figura ao

lado, escorrega sem atrito, a partir de uma altura h, sobre uma superfície cujo ponto mais baixo tem tangente horizontal. C

δ h

Y

D

X


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Ao passar por esse ponto mais baixo da superfície o corpo aciona um dispositivo elétrico, de forma que no mesmo instante o eletro-imã representado na figura deixa cair o corpo D que estava na mesma altura que o ponto mais baixo na superfície sobre a qual o corpo C deslizava. Demonstre que os dois corpos se chocarão, independente da relação que possa existir entre h e a distância δ indicada na figura.

6) Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade inicial v0

que forma com a horizontal um ângulo θ. O ar exerce sobre o pro jétil uma ação que é equivalente, em cada data t, a uma força F que se opõe a seu movimento, sendo F = - λ v , onde λ = cte > 0 e v é a velocidade do projétil na data t. Escolha um sistema de eixos cartesianos Oxy cuja origem O coincida com o ponto de lançamento do projétil, cujo plano xOy contenha a velocidade inicial v0 e cujo eixo Oy seja vertical e apontado de baixo para cima, e obtenha as equações de movimento do projétil. Calcule, também, quanto tempo τ transcorre desde o instante de lançamento até o instante em que o projétil atinge o ponto mais alto de sua trajetória.

7) Uma das extremidades de uma mola é fixa enquanto que a outra

extremidade está ligada a um bloco metálico, de massa m, que pode deslizar ao longo de uma haste retilínea, horizontal e fixa. Afasta-se o bloco da sua posição normal de equilíbrio até uma posição situada a uma distância A da referida posição, onde ele é então abandonado. Supondo irrelevantes os possíveis atritos, assim como a massa da mola: 1) deduza uma fórmula que permita calcular a posição do bloco numa data genérica; 2) deduza uma fórmula que permita calcular a velocidade escalar do bloco numa data genérica. Constante da mola = k.

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8) Na figura está representada uma esfera metálica, de massa m, li-

gada a uma das extremidades de uma mola cuja outra extremidade está presa a um suporte fixo. A esfera apóia-se sobre uma rampa plana que forma com a horizontal um ângulo igual a θ. Inicialmente o sistema estava em equilíbrio, mas num certo instante a esfera foi deslocada ao longo da reta de máximo declive da rampa e abandonada numa nova posição e, em consequência, passou a oscilar. Supondo irrelevantes os possíveis atritos, assim como a massa da mola: 1) prove que o movimento da esfera é periódico; 2) calcule o período do movimento da esfera. Constante da mola = k.

θ

9) O carro representado na figura está percorrendo uma estrada re-

tilínea e horizontal, movendo-se com uma aceleração constante A dirigida da esquerda para a direita. O observado que viaja no carro observa que o fio de um pêndulo simples que existe no carro, e que está em equilíbrio (relativamente ao carro), forma com a vertical um ângulo θ = 30°. Sabendo que g = 9,81 m/s 2 e que o carro está animado de movimento puramente translacional, em relação à Terra, suposta, ela mesma, um referencial inercial, calcule a norma de A.

θ


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10) O oscilador harmônico (bloco-mola) representado na figura está

oscilando num elevador que está animado de translação vertical, uniformemente variada, relativa à Terra, suposta um referencial inercial. Sabendo que a constante da mola e a massa do bloco são respectivamente iguais a k e m, e que a aceleração do elevador tem norma igual a A e é dirigida de baixo para cima, estude o movimento do bloco, do ponto de vista do observador solidário ao elevador, informando, caso o movimento seja periódico, qual o seu período. Supõem-se irrelevantes a massa da mola, assim como os possíveis atritos. A

11) Uma pedra é largada, sem velocidade inicial relativa à Terra,

num ponto situado próximo à superfície desta e pertencente ao plano equatorial terrestre. Sabendo que a Terra gira, em relação ao universo estelar, com movimento de rotação sensivelmente uniforme e que é praticamente nula a aceleração do seu centro, relativa ao universo estelar, calcule se a pedra cai seguindo rigorosamente a vertical do lugar. Caso a pedra não caia segundo a vertical do lugar, calcule se ela, à proporção que vai caindo, vai se desviando para o leste, ou para o oeste, ou para o norte, ou para o sul. 12) Uma bola de chumbo está suspensa ao teto de um vagão por um

fio cuja massa é desprezível, e o vagão está descendo uma rampa, de declividade constante e igual a φ. Sabotadores haviam espalhado óleo sobre os trilhos, de forma que o vagão está descendo a rampa totalmente sem freios. Um passageiro, que está viajando no vagão, observa que existe uma posição do fio no qual o sistema fio-bolade-chumbo fica em equilíbrio relativamente ao vagão. Sabendo que os trilhos sobre os quais se move o vagão são paralelos às retas de declive máximo da rampa, e supondo desprezível a resistência ofe-

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recida pelo ar ao movimento do vagão, e considerando a Terra como um referencial inercial, calcule o ângulo que o fio forma com a vertical do lugar, estando o sistema fio-bola-de-chumbo na sua posição de equilíbrio relativamente ao vagão.


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mecânica na formulação Lagrangiana

78


3

1.

A Mecânica Lagrangiana

O estudo da Mecânica Clássica (aquela que lida com o movimento nas dimensões em que nossos sentidos percebem, ou seja, nem tão pequenos quanto aqueles em que se aplica a Mecânica Quântica, nem tão velozes quanto aqueles em que se aplica a Mecânica Relativística) não se esgota no formalismo newtoniano, pelo contrário, aquele foi apenas o primeiro formalismo que tratou do assunto, inclusive na ordem cronológica. Enquanto o formalismo desenvolvido por Newton se caracteriza por lidar com grandezas vetoriais (velocidade, aceleração e força, por exemplo), e por isso mesmo muitas vezes é chamado de Mecânica Vetorial, os formalismos que o sucederam tratam com grandezas escalares (coordenadas e energias, por exemplo) e são em geral chamados de Mecânica Analítica (categoria em que se encaixam as teorias desenvolvidas por Lagrange e Hamilton, por exemplo). Na introdução de seu livro Méchanique Analytique , publicado em 1788, Lagrange alertava:” Nenhum diagrama será visto neste trabalho”. Quer dizer, é possível resolver todos os problemas acerca do movimento, como aqueles em que usamos a teoria de Newton, lançando mão de outras teorias, em que, por exemplo, não se faz a menor menção a forças ou vetores. Neste curso veremos duas das mais importantes teorias analíticas da Mecânica Clássica,


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as teorias de Lagrange (Joseph-Louis Lagrange,1736-1813) e de Hamilton (Willian Rowan Hamilton, 1805-1865), respectivamente conhecidas como teorias lagrangiana e hamiltoniana. No Módulo atual trataremos exclusivamente do formalismo lagrangiano, reservando o próximo para o formalismo hamiltoniano. Evidente que o fato de lidar apenas com escalares não é a única característica que distingue os formalismos analíticos do formalismo vetorial ou newtoniano. Cada formalismo possui características peculiares que o tornam mais adequados que os outros dependendo das situações ou interesses em jogo. Por exemplo, para sistemas cujo mo vimento possua restrições, ou vínculos conforme veremos adiante, o formalismo lagrangiano pode ser preferível ao newtoniano, e mesmo ao hamiltoniano. Mas não existe uma prevalência absoluta de um formalismo sobre o outro. Não há um formalismo “melhor” que outro, mas situações nas quais um é mais adequado que o outro. Entretanto, neste Curso faremos uma abordagem muito introdutória a estes novos formalismos, de maneira que não caberia aqui uma discussão mais aprofundada a respeito de méritos e quais seriam dos vários formalismos da Mecânica Clássica. Nos contentarmos em compreender de forma mais geral como são e como se aplicam os formalismos analíticos em situações simples e ilustrativas da Mecânica Clássica. Embora as equações de Lagrange, aquelas que fornecem as eq uações de movimento dentro do formalismo lagrangiano e que se constituem no equivalente à segunda lei de Newton, possam ser derivadas a partir das próprias leis de Newton, e a equivalência das duas abordagens se torne então mais evidente, vamos apresentá-las como um postulado. Na verdade estas equações podem ser derivadas de forma completamente independente das equações de Newton, surgindo como conseqüência direta de um princípio mais geral e fundamental chamado de Princípio da Mínima Ação, mas vamos insistir em apresentá-las diretamente na forma de um postulado. Antes, porém, vamos definir alguns ingredientes fundamentais, como por exemplo, o que vem a ser uma coordenada generalizada. Considere como exemplo uma partícula que se move sobre um plano horizontal. Para descrever sua posição podemos utilizar um sistema de coordenadas cartesianas, duas neste caso, x e y. Ou um sistema de coordenadas polares, r e θ. De qualquer forma, o número de coordenadas necessárias para descrever a posição e, portanto, o movimento da partícula é dois. Dizemos que o sistema (partícula

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num plano) possui dois graus de liberdade. Da mesma forma, uma partícula que se move sobre uma curva possui um grau de liberdade e necessita de uma coordenada para descrever sua posição. No formalismo lagrangiano é o número de graus de liberdade, ou seja, o número de coordenadas independentes necessárias para descrever a “configuração” do sistema em pauta o que importa. Não importa a escolha particular do sistema de coordenadas que se fará uso, se cartesianas ou polares, ou cilíndricas. A teoria não é dependente do sistema de coordenadas, que é definido, ou escolhido, em cada situação. Utilizamos então a letra q para representar de forma geral as coordenadas neste formalismo. Voltando então ao sistema em pauta, as coordenadas generalizadas serão q1 e q2 . Em geral se utiliza a notação i = 1,...,n

qi

onde n é o número de graus de liberdade do sistema. Como as coordenadas generalizadas são independentes entre si, em princípio, é possível imaginar um conjunto de eixos mutuamente perpendiculares definindo um espaço de n dimensões, em que cada ponto representa uma possibilidade, uma configuração, em que o sistema pode se encontrar. Este espaço é chamado de espaço de con figuração. A evolução temporal do sistema, ou da partícula em nosso estudo, é representada por uma curva q(t) neste espaço. Na figura 1 mostramos a representação bidimensional de tal curva no espaço de configuração ( a representação cartesiana é apenas simbólica, pois no caso geral tal estrutura não é garantida; por exemplo, a coordenada pode ser um ângulo) entre os instantes t 1 e t2: qi + 1

t2

t1 qi

Figura 1


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Neste contexto, chamaremos de velocidade generalizada a deri vada temporal da coordenada generalizada: qi ≡

∂qi ∂t

Em toda esta exposição estaremos supondo que a física se observa a partir de um referencial inercial, supondo que a extensão para um referencial qualquer seja imediata e natural, apenas mais trabalhosa dependendo da situação particular. Vamos então definir uma função escalar, a lagrangiana L, em termos da energia cinética e da energia potencial da partícula, expressas estas em função das coordenadas e velocidades generalizadas e possivelmente o tempo. Temos então: L = T - V com T = T (q, q̇ ) e V = V (q,t) (usaremos sempre que não for motivo de confusão a notação abreviada (q, q̇ ) sem os índices i’s supondo implícita sua presença). Portanto, a lagrangiana pode ser escrita como L = L (q, q̇ ,t) Em muitas situações importantes e comuns a energia cinética dependerá apenas das velocidades e a energia potencial apenas das coordenadas, de forma que a lagrangiana será função apenas das coordenadas e velocidades generalizadas, como veremos em nossos exemplos. As equações de movimento podem então ser postuladas como d ∂L ∂L = dt ∂qi ∂qi i = 1,...,n

eq. 1

Temos assim um sistema de n equações diferenciais de segunda ordem no tempo para as n coordenadas que descrevem o sistema. No caso de uma partícula em 3 dimensões, temos 3 equações diferenciais de segunda ordem para resolver de forma matematicamente equivalente ao trabalho que tínhamos no formalismo newtoniano. Aparentemente, pouco se ganha com o novo formalismo, além de evitar a linguagem vetorial. Entretanto, existem situações em que a simplificação envolvida para resolver um problema com o forma-

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lismo lagrangiano é muito grande. Em linhas gerais, podemos citar aquelas situações em que existem vínculos, conforme já veremos e ilustraremos em exemplos. O estudo de simetrias torna-se também bastante facilitado neste formalismo, conforme veremos adiante. Também o tratamento de sistemas com muitos graus de liberdade, inclusive infinitos graus de liberdade como o são os fluidos ou as teorias de campos na física mais moderna, ganham um importante aliado no formalismo lagrangiano. Vamos abrir um pequeno parêntese para discutir a questão da força, ou a ausência desta, no formalismo de Lagrange. Na Mecânica de Newton as forças dão a informação de como o ambiente dita a natureza do movimento da partícula. Neste sentido é correto afirmar que as forças são a causa, ou origem, do movimento, pois são elas que determinam como este se altera, ou não se altera. No formalismo presente são as energias potenciais, que apesar de escalares, respondem pela ação do ambiente sobre o movimento da partícula. Já sabemos dos estudos da mecânica newtoniana que a força está relacionada com a energia potencial através de um gradiente, ou seja, F = -∇ V

Não deve, portanto, causar maior estranheza que seja a energia potencial, presente na lagrangiana, quem traz a informação de como o ambiente influencia no movimento da partícula. A propósito, note que da maneira pragmática como apresentado aqui, o formalismo de Lagrange abrange apenas sistemas conser vativos, o que não passa da pura verdade. Entretanto, é possível estender bastante o formalismo de maneira que praticamente todas as situações tratadas no formalismo newtoniano possam ser também tratadas neste formalismo. Mas infelizmente, tal análise não caberia no espaço e no tempo reservados para este Curso. Assim não trataremos de sistemas dissipativos ou de potenciais envol vendo velocidades, o que em particular abriria a possibilidade de englobar os sistemas eletromagnéticos. Restam ainda algumas observações a respeito de como são tratados os vínculos nesta teoria. Vínculos são restrições ao movimento representadas matematicamente por relações envolvendo, em geral, coordenadas e/ou velocidades, que na melhor das possibilidades permitem a redução explícita dos graus de liberdade do sistema em


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pauta. Considere, por exemplo, uma partícula em um plano restrita a se mover sobre uma circunferência de raio R contida neste plano. Em seu “universo” original, o plano, este sistema teria dois graus de liberdade. Mas a restrição, o vínculo a que ele está sujeito explicita uma redução no número de graus de liberdade de 2 para 1. Se usarmos coordenadas cartesianas, por exemplo, este sairia de uma situação de duas coordenadas, x e y, para uma coordenada, x por exemplo, uma vez que haveria o vínculo do tipo x2 + y 2 = R2 que permitiria eliminar a coordenada y da descrição através da substituição y → R 2 - x2

Este tipo de vínculo, que permite através de uma relação entre as coordenadas, exprimir uma ou mais coordenadas em função das demais, chama-se na literatura de vínculo holônomo. Nos ateremos, neste Curso, a problemas que envolvam apenas vínculos holônomos, por simplificação. Exemplos

Vamos ilustrar a teoria exposta acima com alguns exemplos de situações simples em que usaremos o formalismo de Newton e o formalismo de Lagrange, a fim de que se possa apreciar também a diferença de tratamentos matemáticos. I - Vamos considerar inicialmente uma partícula de massa m sujeita a uma força conservativa F num espaço tridimensional. Newton: ∑F = ma Usando coordenadas cartesianas x, y e z temos: ẍ = Fx / m ÿ = Fy / m z = Fz / m

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Lagrange: d dt

∂L ∂qi

=

∂L ∂qi

Também usando coordenadas cartesianas temos: T = ½ m (ẋ 2 + ẏ2 + ż2) ; V = V (x,y,z) L = ½ m (ẋ 2 + ẏ2 + ż2) - V (x,y,z) ∂L d = mẋ ; ∂ẋ dt

∂L ∂L = mẍ ; = ∂V / ∂x = Fx ∴ mẍ = Fx ∂ẋ ∂x

∂L d = mẏ ; ∂ẏ dt

∂L ∂L = mÿ ; = ∂V / ∂y = Fy ∴ mÿ = Fy ∂ẏ ∂y

∂L d = mż ; ∂ż dt

∂L ∂L = mz ; = ∂V / ∂z = F z ∴ mz = Fz ∂ż ∂z

Assim as equações de movimentos são as mesmas do grupo acima. II) Consideremos uma partícula de massa m em uma dimensão, sem atrito,

sob a ação de uma mola de constante k, conforme representado na figura:

0

X

Figura 2

Newton: ∑F = ma Usando a coordenada x representada na figura temos ẍ = - k/m x


85

Lagrange: d ∂L ∂L = dt ∂qi ∂qi

T = ½ mẋ2 ; V = ½ kx 2 L = ½ mẋ2 - ½ kx2 d ∂L = mẋ ; dt ∂ẋ

∂L ∂L = - kx ∴ mẍ = - kx = mẍ ; ∂ẋ ∂x

III) Considere uma partícula de massa m num plano horizontal

atada por uma corda inextensível e de massa irrelevante, em M. C. U. sobre uma circunferência de raio R. Newton:

θ

Figura 3

Usando um sistema de coordenadas polares (r, θ) com unitários ̂ e T ̂ , e chamando de T a tração exercida pela respectivamente N corda sobre a partícula temos ∑F = ma ̂ + 0T ̂ = -mv 2/R N ̂ + θRT ̂ -TN

⇒

Ou seja, θ=0 T = m v2/r

86


Que nos revelam a força de tração (força de vínculo) e que w = constante. Lagrange: Devido ao vínculo r=R vamos escolher a única coordenada generalizada como sendo a coordenada angular θ. Temos então d ∂L ∂L = dt ∂qi ∂qi T = ½ mR 2θ2 ; V = 0

L = ½ mR 2θ2 d ∂L = mR 2θ ; dt ∂θ

∂L ∂L = mR2θ ; =0 ∂θ ∂θ

E temos finalmente mR2 = 0, que nos informa apenas que a velocidade angular é constante, sem qualquer menção à força de vínculo F. IV) Seja o sistema conhecido como máquina de Atwood , um sis-

tema com vínculo holônomo, que vamos analisar primeiramente do ponto de vista newtoniano, conforme ilustrado na figura 2:

T

m P

T M P

As duas massas estão ligadas por uma corda de massa desprezível e inextensível, que passa por uma roldana também de massa desprezível. Desprezam-se também os atritos. As forças que agem sobre as massas estão representadas na figura. O vínculo em questão está contido na presença da corda que faz com que o movimento de uma partícula esteja vinculado ao movimento da outra. Se tomarmos o


87

solo como referencial, e um eixo perpendicular com origem no solo e orientado para cima (digamos o eixo x), o sistema de duas partículas teria em princípio dois graus de liberdade expressos nas coordenadas x1 e x2 das massas m e M, respectivamente. Mas como a corda tem comprimento fixo podemos escrever x1 + x2 = cte Ou seja, o movimento de m (dado pela função x 1(t) está vinculado ao movimento de M (x 2(t) ), ou vice-versa, pela equação (ou vínculo) acima. Em outras palavras, a um acréscimo ∆x em x 1 corresponde o acréscimo -∆x em x 2, de forma a manter o vínculo acima. Não por acaso, se você derivar duas vezes em relação ao tempo a equação do vínculo, irá obter: a1 = - a2 A segunda lei de Newton escrita em nosso sistema de coordenadas, conforme a notação da figura, nos informa que o movimento das massas m e M será descrito pelo sistema de equações: T - mg = ma1 T - Mg = ma2

que não são independentes devido ao vínculo presente. Tomando este em conta o sistema se resume ao seguinte conjunto de duas equações com duas incógnitas (T e a1): T - mg = ma1 T - Mg = - Ma1

que possui as soluções:

88


a1 =

(M - m) g (M + m)

T=

2Mm g (M + m)

Lagrange: A lagrangiana deve ser escrita em termos de uma só coordenada, uma vez que o vínculo deve ser usado para expressar uma delas em função da outra. Escolhendo coordenadas cartesianas como definidas anteriormente, o vínculo é usado para expressar x2 = cte - x1 Assim escrevemos T = ½ (mẋ21 + Mẋ 22 ) = ½ (m + M) ẋ21

V = mgx1 + Mgx2 = mgx1 + Mg (cte - x1) = (m - M)gx 1

Note que devido à forma das equações de Lagrange, um termo aditivo constante nunca contribui às equações de movimento, o que nos fez abandonar um termo constante na energia potencial acima. Temos L = ½ (m + M)ẋ 21 - (m - M)gx1

e d ∂L = (m + M)ẋ 1 → dt ∂ẋ1

∂L = (m + M)ẋ1 ∂ẋ1

∂L = (M - m)g ∂x1 (m + M)ẋ 1 = (M - m)g

⇒

ou seja, a1 =

(M - m) (M + m)

g

que coincide com o resultado anterior. Observe que nenhuma menção foi feita à força interna que a corda mantém sobre as massas (a força de vínculo), apenas se considera o vínculo para a contagem dos graus de liberdade, e somente a “força externa”, quer dizer, a energia potencial “externa” , do ambiente onde está inserido o sistema vinculado, entra na lagrangiana.


89

V) Neste exemplo vamos analisar uma situação que envolve víncu-

los dependentes do tempo (são chamados reônomos, enquanto que aqueles que não envolvem o tempo, são esclerônomos). Considere uma pequena esfera metálica que se movimenta sem atrito no interior de um tubo de seção reta interna uniforme, numa região livre da força gravitacional. O tubo gira com velocidade angular constante (w) em torno de um eixo perpendicular a este. Newton: Vamos fazer primeiramente a análise newtoniana da situação. Para isso vamos considerar como horizontal o plano onde o tubo se movimenta, e usar coordenadas polares para descrever o movimento da esfera. Como não há atrito com a parede do tubo, a esfera só pode sofrer força perpendicular ao tubo, portanto na direção do unitário tangente ao raio vetor desta. Sabemos que a aceleração no sistema polar possui a forma (i de Apêndice) a = (̈ r - r 2) r ̂ + (2 + r )

Como a força sobre a esfera é apenas a força exercida pelo tubo F = Ft , temos que mr - mrθ2 = 0 F = 2mṙθ + mrθ t

Como

= 0 , temos finalmente r = rw2 Ft = 2mwṙ

Lagrange: Como o vínculo se expressa como = w = const . a coordenada θ deve ser substituída por wt e a lagrangiana será função apenas da coordenada radial. Temos: T = ½ m (ṙ 2 + r 2θ2) = ½ m (ṙ 2 + r 2w2) ; V = 0 L = ½ m (ṙ 2 + r 2w2) ∂L d = mṙ ; ∂ṙ dt

90


∂L ∂L = mr ; = mrw2 ; ∂ṙ ∂r

Ou seja, ̈ r = rw2

Note que a força de vínculo não aparece no formalismo lagrangiano. A solução desta equação, do tipo r(t) = ewt mostra que a partícula se afasta do eixo de rotação devido à força centrífuga, do ponto de vista de um observador ligado ao tubo e, portanto, não inercial. Alguns autores confundem esta análise e creditam à força centrípeta este movimento (a força centrípeta, caso existisse aqui, levaria a esfera para o centro, e nunca para fora dele!) VI) Este é um bom exemplo de como uma situação que poderia ser

( na verdade é) bastante complicada para se resolver dentro do formalismo newtoniano pode ter uma solução simples no formalismo de Lagrange. Deixaremos ao estudante o desafio de resolver pelo formalismo newtoniano o sistema representado na figura abaixo, que poderíamos bem chamar de máquina “envenenada” de Atwood:

x2 x1

m2 x3

m1 m3

Figura 7

Vemos imediatamente que o vínculo entre as massas 1 e 2 é um vínculo holônomo tal qual aquele da máquina de Atwood, e portanto reduz um grau de liberdade do sistema. O mesmo não se pode afirmar da ligação entre os corpos 2 e 3. Portanto, os três corpos em movimentos unidimensionais terão suas coordenadas generalizadas x1 e x3 ou x2 e x3 , como queira, uma vez que a relação x1 + x2 = const.


91

permite que uma dessas coordenadas se expresse em termos da outra. Ficamos com a segunda opção. Derivando em relação ao tempo este vínculo obtemos x1 = -x2, e podemos escrever T = ½ (m1ẋ 21 + m2ẋ 22 + m3ẋ 23 ) = ½ (m1 + m2)ẋ 22 + ½ m3ẋ 23

E para a energia potencial gravitacional e da mola, usando o vínculo e desprezando termos constantes que não contribuem para as equações de Lagrange, temos conforme a figura: V = -g(m1x1 + m2x2 + m3 x3) + k/2 (x3 - x2- l)2 = -(m2 - m1)gx2 - m3gx3 + k/2 (x3 - x2- l)2

onde chamamos de l o comprimento relaxado da mola de constante k. Temos finalmente, L = ½ (m1 + m2)ẋ 22 + ½ m3ẋ 23 + (m2 - m1)gx2 + m3gx3 - k/2 (x3 - x2 -1)2 ∂L ∂ẋ2 ∂L ∂x2

= (m1 + m2)ẋ2 →

d dt

∂L = (m1 + m2)ẍ2 ∂ẋ2

= (m2 - m1)g + k(x3 - x2 - 1)

∂L ∂ẋ3 ∂L ∂x3

= m3ẋ3 →

d dt

∂L = m3x3 ∂ẋ3

= m3g - k(x3 - x2 - 1)

E temos as equações de movimento (m1 + m2)ẍ2 - (m2 - m1)g - k(x3 - x2 - 1) = 0 m3ẍ3 - m3g + k(x3 - x2 - 1) = 0

Faça k = 0 nestas equações e obtenha m 3 caindo em queda-livre enquanto m1 e m2 recuperam o mesmo movimento que na máquina de Atwood original.

92


3) Observações Importantes Lagrangianas Equivalentes

Interessante notar que um sistema mecânico não possui uma lagrangiana única, mas uma infinidade de lagrangianas equivalentes, no sentido que geram as mesmas e corretas equações de movimento. Isto se deve ao fato facilmente demonstrável que uma lagrangiana que difere de outra pela adição de um termo que seja a derivada total de QUALQUER função diferenciável das coordenadas e do tempo, gera as mesmas equações de movimento: pk =

∂L

dqk

eq. i

Deixamos a cargo do estudante demonstrar, por substituição direta nas equações de Lagrange, que estas Lagrangianas são equivalentes. Note que já observamos anteriormente que um termo constante porventura contido na lagrangiana pode ser descartado, pois somente derivadas da lagrangiana entram nas equações de Lagrange. Este pode ser também visto como um corolário do resultado acima, visto que uma constante c pode sempre ser computada como d/dt x ct. Coordenadas Cíclicas

Chamamos de momento generalizado, ou momento conjugado, ou ainda momento canonicamente conjugado à coordenada qk a quantidade pk =

∂L

dqk

eq. i

Embora seja uma grandeza fundamental no formalismo hamiltoniano que estudaremos a seguir, mesmo aqui no formalismo lagrangiano esta se revela uma grandeza particularmente importante quando se estudam as propriedades de simetria e as leis de conservação a elas associadas (aqui o formalismo lagrangiano se revela especialmente adequado). Observe para isto o que ocorre quando uma determinada coordenada generalizada, q j, por exemplo, não aparece explicitamente na lagrangiana. Neste caso ela é chamada de coordenada cíclica e a equação de Lagrange relacionada a ela torna-se simplesmente d dt

∂L = 0 ∂q j


93

Ou seja, p j = constante Note que a ausência da coordenada na lagrangiana implica em que a descrição do sistema não muda se variarmos esta coordenada, ou seja, existe uma simetria do sistema relativa a mudanças nesta coordenada. E o resultado acima afirma que, associada a esta simetria, existe uma lei de conservação, a conservação do momento conjugado à coordenada cíclica. Este é um rico ponto de estudo na Mecânica lagrangiana, que infelizmente não teremos oportunidade de explorar neste Curso. Vejamos pelo menos um exemplo desta propriedade. Se uma partícula no espaço está sob ação de um campo de forças plano, por exemplo, as forças só agem em um plano vertical, a energia potencial não irá conter a coordenada fora do plano. A lagrangiana abaixo ilustra este sistema: L = ½ m(x2 + 2 + ż2) - V(x, z) Neste caso, o momento conjugado à coordenada y será p y = ∂L/∂ = m que é uma constante do movimento.

94


Exercícios 1) Escreva a lagrangiana de uma partícula sujeita a um campo cen-

tral, isto é, a um potencial que depende apenas da distância da partícula a um ponto O, que pode (e deve) ser tomado como origem do sistema de coordenadas usado para descrever o movimento. Neste caso, se você utilizar, por exemplo, coordenadas esféricas, a energia potencial poderá ser escrita simplesmente como V = V (r). Resolva este problema de duas maneiras: uma usando coordenadas cartesianas e outra usando coordenadas esféricas (use apêndice). Qual dos sistemas lhe parece mais adequado, e por quê? 2) Considere o sistema de duas partículas de massas idênticas pre-

sas às extremidades de uma haste de comprimento l, rígida e de massa desprezível, vinculadas a se moverem nos sulcos representados na figura. Escreva a lagrangiana deste sistema de duas partículas usando como coordenada generalizada o ângulo α que a haste forma com a horizontal. Despreze possíveis atritos. Use as equações de Lagrange para obter a equação de movimento do sistema. y

l

α

x

3) Considere um pêndulo simples, de comprimento l e massa m.

Considere os vínculos presentes e escreva a lagrangiana em termos da(s) coordenada(s) generalizada(s) em questão. Derive também as equações de movimento.


95

4) Considere um pêndulo duplo e encontre a lagrangiana e as equa-

ções de movimento, após uma escolha adequada das coordenas generalizadas (conforme sugerido na figura).

y

l1

θ1

(x1, y1) m1 θ2

l2 m2

x

(x2, y2)

5) Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de uma haste

rígida, de massa desprezível, que gira num plano vertical com velocidade angular constante w. Mostre que, com uma escolha adequada da coordenada r, a lagrangiana do sistema é L = ½ m 2 + ½ mw2r 2 - mgrsenwt Encontre a equação de movimento. 6) Considere a chama máquina de Atwood oscilante. Usando as co-

ordenadas indicadas na figura, mostre que a lagrangiana é dada por L=

m+M 2

ṙ 2 +

m 2

r 2 +

θ - gr (M - mcosθ)

r

θ m M

96


mecânica na formulação Hamiltoniana

4 Física | Mecânica Clássica

97

1.

A Mecânica Hamiltoniana

O formalismo analítico que vamos estudar agora difere em muitos aspectos importantes do formalismo lagrangiano, embora também guarde o caráter não-vetorial, ou escalar, como uma característica relevante. Enquanto que, por um lado, o formalismo de Lagrange se revela bastante adequado quando se procura tratar relativisticamente importantes teorias físicas, por outro lado o formalismo hamiltoniano parece ser essencial, de um ponto de vista formal, quando se requer a transição para o limite de teorias quânticas ou para o tratamento da mecânica estatística. Entretanto, lembrando que nossa abordagem destes formalismos tem um caráter apenas introdutório e quase ilustrativo, e levando em conta nossos limites de espaço e tempo, não avançaremos muito mais nestas considerações a respeito da natureza mais profunda de cada formalismo. Vamos introduzir o formalismo de Hamilton da mesma forma pragmática que usamos ao apresentar o formalismo de Lagrange, sem nos preocupar com a “dedução” de um formalismo a partir de outro, ou mesmo a partir de algum outro princípio mais básico. Embora seja muito instrutivo e interessante o procedimento matemático que nos leva do formalismo lagrangiano ao hamiltoniano, ou

98


ainda a derivação da teoria de Hamilton a partir de um princípio fundamental e independente de outros formalismos, o Princípio da Mínima Ação, apresentaremos aqui o formalismo de Hamilton como um postulado, da mesma maneira como foi feito no caso lagrangiano. Teremos, entretanto, que começar por definir alguns dos ingredientes fundamentais da teoria e o espaço peculiar em que se dá a descrição de Hamilton da Mecânica. Inicialmente vamos definir as coordenadas que são usadas nesta descrição. Um sistema mecânico com n graus de liberdade é descrito, no formalismo de Lagrange, em um espaço de configuração n-dimensional, em que cada ponto representa uma configuração possível do sistema. A trajetória traçada por tal ponto neste espaço, que não é o espaço físico do sistema, no decorrer do tempo, representa o movimento do sistema. De maneira semelhante, o mo vimento de um sistema no formalismo de Hamilton é representado pela trajetória temporal de um ponto em um espaço, só que agora 2n-dimensional, onde a cada coordenada generalizada qn se associa uma nova coordenada p n, chamada momento canônico associado a qn, definido por (eq. 3-ii no Modulo III): pn =

∂L ∂qn

eq. 1

Ou seja, o espaço onde se representa o movimento no formalismo hamiltoniano tem dimensão duplicada (n ⇒ 2n) em relação àquele utilizado no formalismo lagrangiano, e é construído segundo a “receita” qn ⇒ (q n, p n). Dizemos que um sistema com n graus de liberdade é descrito por n “pares” canonicamente conjugados (q n, pn), ou equivalentemente, por 2n coordenadas canônicas, e o espaço por elas definido é chamado espaço de fase . Um ponto neste espaço 2n-dimensional representa um estado do sistema, pois que além de uma configuração possível do sistema (os valores das coordenadas que dizem onde está o sistema) este ponto contém também informações sobre como “anda” o sistema (ele traz informações sobre as velocidades com que mudam as coordenadas naquele ponto, através dos p’s). Sua trajetória temporal “representa” o movimento real do sistema, de forma análoga ao que ocorre no espaço de configuração no tratamento lagrangiano. A regra, entretanto, que estabelece como este ponto se movimenta é dada de outra forma: no


99

lugar de uma função L (q, q̇ , t), a lagrangiana, temos aqui uma outra função, H (q, p, t), a hamiltoniana, que traz informação sobre a “física” que envolve o sistema e nos informa como, através das equações de Hamilton, o sistema será “movido”. Esta função é definida por n H (q, p, t) = ∑i = 1 piqi - L (q, p, t)

eq. 2

Estamos supondo aqui que a eq. 1 pode ser invertida e usada para expressar as “velocidades” q̇ ’s em termos de q’s e p’s e assim fazer com que no lado direito da eq.2 realmente só ‘existam’ q’s e p’s, como sugere o lado esquerdo. Obter as equações de movimento definidas pela hamiltoniana é nosso próximo objetivo. Para isso tomemos a diferencial da eq. 2: ∂L ∂L ∂L dH = ∑ni = 1 (pidqi + qidpi) - ∑ni = 1 ∂q dqi + ∂q dqi + ∂t dt i i

eq. 3

Vamos usar a eq.1 para cancelar o primeiro termo na primeira soma com o segundo termo na segunda soma; vamos usar também as equações de Lagrange para escrever o primeiro termo na segunda soma como - pidqi. Temos então, simplesmente: dH = ∑ni = 1 (qidpi - pidqi) - ∂L dt ∂t

eq. 4

Esta relação confirma que a hamiltoniana, realmente, é função das coordenadas e momenta. E vista apenas desta forma, em geral é lícito escrever sua diferencial total como ∂H ∂H ∂H dH = ∑ni = 1 ∂q dqi + ∂p dpi + ∂t dt i i

eq. 5

Comparando então estes dois resultados temos que: qi =

∂H ∂pi

i = 1, ..., n.

∂H pi = ∂qi

eq. 6

E ainda, ∂H ∂t

100


∂L =

-

∂t

eq. 7

As equações 6 são as equações de movimento que procurávamos. Elas são chamadas de equações de Hamilton, Hamilton, ou mesmo de equações canônicas do movimento. movimento. Conforme se pode notar, estas se constituem em um conjunto de 2n equações diferenciais de primeira ordem nas 2n variáveis canônicas q’s canônicas q’s e p’s. Substituem as n equações diferenciais de segunda ordem do formalismo lagrangiano (equivalentes ao caso newtoniano, onde teríamos também n equações diferenciais de segunda ordem), o que matematicamente são sistemas equivalentes. Quer dizer, matematicamente uma equação diferencial de segunda ordem (requer duas integrações) é equivalente a duas equações diferenciais de primeira ordem (uma integração para cada equação). Entretanto, esta maneira “canônica” de equacionar o problema do movimento traz novas e poderosas ferramentas para a in vestigação de teorias físicas. Temos ainda como co-produto a eq.7 que nos informa de uma importante relação entre as dependências temporais explícitas da lagrangiana e da hamiltoniana. Embora em importantes situações físicas a hamiltoniana possa ser obtida diretamente da energia mecânica total, e podermos escrevê-la como a soma das energias cinéticas e potencial, escritas em termos de q’s e p’s, de maneira geral temos o seguinte “receituário” para aplicação do formalismo (na verdade estamos apresentando um pequeno resumo do que vimos acima no n o formato de “receita”): a) Escrevemos a lagrangiana; b) Extraímos da equação 1 as velocidades em função dos p’s e q’ s; c) Escrevemos a hamiltoniana H (q, p, t) a partir da equação 2 usando o resultado do passo anterior para eliminar as velocidades. Note que este procedimento, apesar de mais geral, não é “infalível”: em alguns casos o item b não é possível de se realizar! Bem, mas este é um problema para os físicos teóricos resolverem, uma vez que esta é situação objeto de muita pesquisa nos últimos anos. Nos exemplos a seguir usaremos boa parte dos d os exemplos que estudamos no Módulo anterior para ilustrar o método hamiltoniano, pois que assim já teremos executado o primeiro passo (a) do procedimento acima. Antes, porém, vamos fazer algumas observações a respeito de questões importantes, que embora não haja espaço suficiente para um estudo mais detalhado, não podem ser deixadas em branco.


101

2) Observações Importantes Coordenadas cíclicas

A primeira delas se refere à questão das simetria simetrias, s, que também neste formalismo levam de maneira bastante clara às leis de conservação. Basta notar que a ausência de uma coordenada na hamiltoniana, qk , por exemplo, leva imediatamente à conservação do momento canônico associado, pois a equação de Hamilton correspondente nos informa que ṗk = -

∂L ∂qk

eq. 8

Portanto, assim como no formalismo lagrangiano, as simetrias do problema são claramente evidenciadas. Parênteses de Poisson

Podemos escrever as equações canônicas de movimento em uma roupagem bastante interessante e útil se definimos um novo objeto chamado de parênteses de Poisson. Para isso, considere duas funções de espaço de fase, f (q,p) e g (q,p). Chamamos de parênteses de Poisson entre f e g a estrutura n

{f, g} ≡ ∑ i=1

∂f ∂g ∂qi ∂pi

-

∂f ∂g ∂pi ∂qi

eq. 9

Considere, por exemplo, uma função arbitrária G (q,p,t) e sua derivada n dG ∂G ∂G ∂G ṗi + =∑ qi + ∂pi ∂t dt i = 1 ∂qi

eq. 10

Usando as equações de Hamilton nesta expressão, temos: dG dt

n

=

∑ i=1

∂G ∂H ∂qi ∂pi

-

∂G ∂H ∂pi ∂qi

+

∂G ∂t

eq. 11

Ou seja, dG = {G, H} + dt

∂G ∂t

eq. 12

Esta relação é bastante geral e vale para qualquer função no espaço de fase. Em particular, para os q’s e p’s é evidente que

102


qi = {qi, H} ṗi = {pi, H}

eq. 13

As equações canônicas na forma da eq.13 não apenas tornam mais elegantes e simétricas as equações de Hamilton (desaparece o sinal negativo em parte das equações), mas também são as equações de movimento da Mecânica Clássica no formato mais próximo possível das equações que regem a Mecânica Quântica. Infelizmente, este é o limite até onde podemos avançar neste Curso. Transformaçõess Canônicas Transformaçõe

Vamos por último analisar uma questão muito importante relativa Vamos a transformações de simetria no formalismo canônico. As equações de Lagrange são escritas em termos de coordenadas generalizadas, o que as tornam independentes da escolha do sistema de coordenadas, ou seja, invariantes sob a escolha de sistema de coordenadas. Também no formalismo hamiltoniano existe uma invariância invariânci a frente à escolha de coordenadas do espaço de fase. Suponha, por exemplo, que um sistema é descrito pelas coordenadas (q,p) com hamil toniana H (q,p). Estas coordenadas possuem a seguinte propriedade, também chamada estrutura canônica, que pode ser facilmente verificada: {qi, qk } = 0 {pi, pk } = 0

eq. 14

{qi, pk } = δik

onde

é o chamado delta de Kronecker Kronecker..

Podemos usar outro sistema de coordenadas (Q,P) para o espaço de fase, com relações de transformação dadas por Q = Q (q,p, t) e P = P (q,p,t) para descrever o mesmo sistema. Naturalmente que teremos outra função para substituir a hamiltoniana H = H (q,p,t), (q, p,t), que vamos chamar aqui de “kamiltoniana” K = K (Q,P,t). Pode se mostrar que a condição para que tal transformação preserve a forma canônica das equações de movimento, eq.6 ou 13, é que a estrutura canônica, eq. 14, seja preservada. Ou seja, temos que ter também {Qi, Qk } = 0 {Pi, Pk } = 0 {Qi, Pk } = δik


103

Tais transformações, que são muito importantes no estudo de simetrias deste formalismo, são chamadas de transformações canônicas, e merecem um capítulo à parte num curso normal de Mecânica Analítica. 3) Exemplos

Como já informamos, vamos, na medida do possível, aproveitar os exemplos tratados no Módulo anterior a fim de já partir de uma lagrangiana e aplicar o formalismo hamiltoniano. I) Vamos considerar a partícula de massa m sujeita a uma força

conservativa F do primeiro exemplo do Módulo anterior. Queremos chegar às equações de movimento pelo formalismo hamiltoniano. Partimos da lagrangiana L = ½ m(x2 + ̇ 2 + ż2) -V(x, y, z) Temos os momenta canônicos e as velocidades expressas através deles: px =

∂L = mẋ → ẋ = px/m ∂ẋ

py =

∂L = mẏ → ẏ = py/m ∂ẏ

pz =

∂L = mż → ż = pz/m ∂ż

A hamiltoniana então se escreve como H = pxx + pxx + pxx - ½ m(x2 + 2 + ż2) + V (x, y, z) Eliminando as velocidades temos H=

p 2x 2m

+

p 2y 2m

+

p 2z 2m

+ V (x, y, z)

As equações canônicas são então: ẋ= ẏ= ż=

104


p

x

m py m p

z

m

ṗx = - ∂V/∂ x ṗy = - ∂V/∂ y ṗz = - ∂V/∂ z

A fim de compara com as equações de movimento de Newton ou de Lagrange, que são equações de diferenciais de segunda ordem no tempo, basta tomar a derivada temporal do primeiro grupo e usar o segundo grupo para escrever quem são os p’s: ẍ= y= z=

ṗ

x

m ṗy m ṗz m

=

-∂V/∂x → mẍ = F m

=

-∂V/∂y → my = F y m

=

-∂V/∂z → mz = F z m

x

II) Consideremos a partícula de massa m no plano, sem atrito, sob a

ação de uma mola de constante k, conforme representado na figura (exemplo ii do Módulo anterior):

0

X

Já conhecemos sua lagrangiana L = ½ mx2 - ½ kx2, e é fácil extrair o momento canônico associado a x e daí, a velocidade x: px = ∂L/∂x = mx → x = px⁄m A hamiltoniana é H = pxx - ½ mx2 + ½ kx2 Substituindo a velocidade calculada anteriormente temos: H=

p 2x 2m

+

1 kx2 2


105

As equações de movimento são então: ẋ=

px m

ṗx = -kx

Derivando a primeira equação em relação ao tempo e usando a segunda obtemos a equação de movimento de segunda ordem: ẍ=

ṗx m

=

-kx m

mẍ = -kx

III) Considere a partícula de massa m num plano horizontal atada

por uma corda inextensível e de massa irrelevante, em M. C. U., sobre uma circunferência de raio R (terceiro exemplo do Módulo III).

Com lagrangiana L = ½ mR2 2 vemos que a única coordenada é cíclica; temos o momento canônico e a velocidade dados por: pθ = ∂L/∂ = mR2 → = pθ⁄mR2 A hamiltoniana é H = pθ - ½ mR2 2 = pθ2/2mR2 As equações de movimento são θ = pθ / mR 2 ṗθ = 0

Que resultam em mR 2 = 0.

106


IV) Seja a máquina de Atwood , o sistema analisado no exemplo

IV do Módulo III. Sua lagrangiana foi obtida como sendo L = ½ (m + M)ẋ 21 + (M - m)gx1

O momento canônico associado à única coordenada é p1 = (m + M) x1

T

m P

T M P

Do qual obtemos a velocidade x1 = p1 ⁄ (m + M)

A hamiltoniana é H = p1ẋ1 -

p 21 1 - (M - m)gx1 (m + M)ẋ21 - (M - m)gx1 = 2 2 (m +M)

As equações canônicas são ẋ1 =

p1 m +M

ṗ1 = (M - m)g

Derivando a primeira equação em relação a t e usando a segunda equação obtemos a equação de segunda ordem (m + M)ẍ1 = (M - m)g


107

V) Considere a pequena esfera metálica que se movimenta sem

atrito no interior de um tubo de seção reta interna uniforme, numa região livre da força gravitacional. O tubo gira com velocidade angular constante (w) em torno de um eixo perpendicular a este (exemplo v do Módulo III). Obtivemos sua lagrangiana L = ½ m( 2 + r 2w2)

w

θ

O momento canônico é pr = ∂L/∂ = m De onde extraímos a velocidade  = pr ⁄m

A hamiltoniana corresponde a H = pr ṙ -

1 2

p2r 1 1 mr 2w2 = mr 2w2 2 2m 2

2

mṙ -

As equações de Hamilton são então ṙ=

∂H pr = m ∂pr

ṗr =

∂H = mw2r ∂r

Assim, a equação de movimento, diferencial de segunda ordem para r é ̈ r = rw2

108


VI) Considere a máquina “envenenada” de Atwood (exemplo vi do Módulo anterior).

x2 x1

m2 x3

m1 m3

Escrevemos sua lagrangiana L = ½ (m1 + m2)ẋ22 + ½ m3ẋ 23 + (m2 - m1)gx2 + m3gx3 - k/2 (x3 - x2 -1)2

Os momentos canônicos são p2 =

∂L = (m1 + m2)ẋ2 ∂ẋ2

p3 =

∂L = m3ẋ3 ∂ẋ3

Extraindo as velocidades temos: ẋ2 =

p2 / (m1 + m2)

ẋ3 =

p3m3

A hamiltoniana é dada por H = p2ẋ2 + p3ẋ3 - ½ (m1 + m2)ẋ 22 - ½ m3ẋ 23 - (m2 - m1)gx2 + k/2 (x3 - x2 - l)2

Substituindo as velocidades nesta expressão temos: H=

p 22 2 (m1 + m2)

+

p 23 2m3

- (m2 + m1)gx2 - m3gx3 + k/2 (x 3 + x2 + l)2


109

As equações de movimento são p2 ẋ = ∂H = ∂p2 (m1 + m2) ṗ2 = - ∂H = (m2 + m1)g + k(x3 + x2 - l) ∂x3

e ẋ3 =

p2 ∂H = ∂p2 (m1 + m2)

ṗ2 = -

∂H = m3g - k(x3 + x2 - l) ∂x2

O estudante pode concluir que estas equações conferem com o resultado obtido no exemplo vi do Módulo III.

110


Exercícios 1) Escreva a hamiltoniana de uma partícula sujeita a um campo

central, usando para isso coordenadas esféricas. Escreva também as equações canônicas. 2) Considere o sistema de duas partículas de massas idênticas presas

às extremidades de uma haste de comprimento l, rígida e de massa desprezível, vinculadas a se moverem em sulcos perpendiculares, conforme exercício 2 do módulo anterior. Escreva a hamiltoniana deste sistema de duas partículas usando como coordenada generalizada o ângulo α que a haste forma com a horizontal. Despreze possíveis atritos. Use as equações de Hamilton para obter as equações canônicas de movimento do sistema. 3) Considere o pêndulo simples do exercício 3 do módulo anterior.

Escreva a hamiltoniana e as equações de Hamilton do sistema. 4) Seja a conta do exercício 5 do módulo anterior, cuja lagrangiana é

fornecida ali. Encontre sua hamiltoniana e as equações de Hamilton. 5) Considere a máquina de Atwood oscilante e sua lagrangiana for-

necida no exercício 6 do módulo anterior. Escreva sua hamiltoniana e as equações de Hamilton do sistema.


111

Módulo I 1) |v 2| = |v 1|cotθ 2) r = beλθ 3) 1) aT = g(1 - (v 0 / v) 2)½ 2) a N = g x v 0 /v 3) ρ = v 3/ gv 0 4) 1) wh/cos2θ 2) wh x tanθ/cosθ 3) 2w2 h x sin θ/(cosθ)3 4) w 2h x (1 + sinθ2) / (cosθ)3 5) v B = v 02t / ((H - h) 2 + v 02 t2)½ e ∆t = 3H2 - 2Hh / v 0 6) v A = 3/2 x v C v B = 2 x v C v D = 5/4 x v C 7) Demonstração 8) v C = wr 9) 1) v C = wr 2) = v C/R-r = wr/R-r 10) v C = vR/R-r 11) wDG = 7rot/dia e cosφ = 2 7/7 12) 1) wb 2) v 2 + w 2b2 3) Zero 4) b w4 + α2 5) 2wv 6) w4b2 + α2b2 + 4w 2 v 2 + 4wbα v

112


13) 1) -3/4 x gT( x ̂ + 1/2 x ) 2) V = (v - 3/4 x gT) x ̂ - 3/8 x gT  3) A tr = -(3/4 x g + 9/32 x g2T2/R) x ̂ - 3/8 x g 4) a Cor = 2w x v = -3/2 x gTv/R x  A abs = A tr + aCor

Módulo II 1) Arc tanA/g 2) O do centro. 3) ‖N‖ = m[g+v 2 ⁄ (R+h)] 4) F = - m α2λ2 / y 3 x  5) Demonstrar 6) 1) mẍ + λx = 0 my + λ = -mg 2) τ = m/ λ x ln(1 + λ v 0senθ⁄mg) 7) 1) x = Acoswt, sendo w 2 = k/m e a data inicial, t = 0, tal que x (0) = A e x(0) = 0; 3) v ≡ x = -wAsenwt 8) 2) τ = 2π m⁄k 9) ‖ A ‖ = 5,5m⁄s2

10) O movimento é periódico, com τ = 2π m⁄k. 11) Não, a pedra ao cair não segue rigorosamente a vertical do lugar: à proporção que cai vai se desviando para o leste.


113

12) O ângulo que o fio forma com a vertical do lugar (e não do vagão!) é o mesmo que a rampa forma com a horizontal.

Módulo III 1) L = ½ m( x2 + 2+ ż2) - V( (x2 + y 2 + z2)) L = ½ m(  2 + r 2 2 + r 2φ2sen2θ) - V(r) O sistema esférico simplifica a forma das equações de movimento e possui uma coordenada cíclica. 2) L = ½ ml 2α2 - mglsenα ; α + g/l cosα = 0 3) L = ½ ml2 2 + mglcosθ ; θ + g/l senθ = 0, tomando o ponto mais baixo como origem. 4)

m2 2 2 l θ + m2l1l2θ1θ2cos(θ1- θ2) 2 2 2 2 + (m1 + m2)gl1cosθ1 + m2gl2cosθ2 L=

(m1 + m2)

2

2

l 1θ1 +

(m1 + m2) l 21 θ1 + m2l1l2θ2cos(θ1- θ2) + m2l1l2θ 22 sen( θ1- θ2) + (m1 + m2)gl1senθ1 = 0 m2l 22 θ2 + m2l1l2θ1cos(θ1- θ2) - m2l1l2θ 21 sen(θ1- θ2) + m2gl2senθ2 = 0

Módulo IV p2θ pφ2 + + V (r) r 2 r 2sen2θ pθ pφ ∂H pr , ∂H , φ = ∂H = ṙ=θ= = = m ∂pr ∂pθ mr 2 ∂pφ mr 2sen2θ

1 p 2 + 1) H = pr ṙ + pθθ + pφφ - L = 2m r

ṗr = -

2 2 pφ2 ∂H p θ dV , ṗ = - ∂H = pφ cotgθ , ṗ = - ∂H = 0 = + θ φ mr 3sen2θ dr mr 2sen2θ ∂pr rm3 ∂θ ∂φ

2) H = pαα - L = pα ml2 ṗα = -mglcosα α=

114


p α + mglsenα 2ml2

3)

H=

p 2θ - mglcosθ 2ml2

pθ ml2 ṗθ = -mglsenθ θ=

4)

H = pr ṙ - L =

p 2r 1 mw2r 2 + mgrsenwt 2m 2

pr m ṗr = mw2r - mgsenwt ṙ =

5)

H=

p 2r p 2θ + gr(M - mcosθ) + 2mr 2 2 (m + M)

pr (m + M) p 2θ ṗr = - g(M - mcosθ) mr 3 pθ θ = mr 2 ṗθ = - mgrsenθ ṙ =


115

116


Sistema de Coordenadas Apesar de a Mecânica de Newton ser uma teoria vetorial e os vetores serem de natureza matemática bastante adequados para descrever muitas grandezas e teorias na Física, não apenas na Mecânica Clássica, no momento conclusivo de realizar cálculos temos que, invariavelmente, “projetar” os vetores em algum sistema de coordenadas adequado. Neste apênd ice faremos uma análise de como se expressam as principais grandezas cinemáticas nos mais usuais sistemas de coordenadas, que são os sistemas cartesianos, polares, cilíndricos e esféricos. Vamos também estudar como se “traduzem” os vetores de um sistema de coordenadas cartesianas para outro daqueles sistemas citados acima.


117

1.

Coordenadas Cartesianas

Na figura 1 está representado um sistema de eixos cartesianos, ligado a algum referencial, e o vetor posição de uma partícula representada pelo ponto P que se move em relação a tal referencial. O vetor posição r = P – O tem a seguinte representação neste sistema cartesiano: p

z r

0 y x

Figura 1

r = xx ̂ + y y + zz Eq.A1

Aqui as funções escalares x = x(t), y = y(t) e z = z(t) são as coordenadas cartesianas do ponto P e os vetores constantes x ̂ , y e z são os unitários segundo os eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente. Os vetores velocidade v e aceleração a, são definidos em relação ao vetor r como v = ṙ e a = r ̈ respectivamente, e se escrevem então como ̂ + y + żz v = xx ̂ + y + ̈ zz a = ẍx Eq.A2 Eq.A3

Ou seja, as componentes v x, v y , v z, ax, a y e az, dos vetores v e a , são respectivamente v x = x, v y = , v z = ż, ax = ẍ, a y = y , az = ̈ z.

118


2.

Coordenadas Polares

Na figura abaixo está representada pelo ponto P uma partícula que se move sobre a curva plana γ e um sistema de eixos cartesianos Oxy por hipótese ligado ao referencial de onde se observa o movimento da partícula. Se representam também o vetor posição r = P – O, os unitários x ̂ e y segundo os eixos Ox e Oy, o ângulo θ entre o vetor r e o eixo Ox e os unitários r ̂ e do sistema de coordenadas polares ali definido:

y

P

ŷ θ

0

x

x

Figura 2

Nota-se da figura que o vetor posição, em coordenadas polares, é r = r r ̂ Eq.A4

Sua derivada temporal irá nos fornecer naturalmente o vetor velocidade v = ṙ =  r ̂ + r

Precisamos expressar o vetor em termos dos unitários polares r ̂ e θ. Usando primeiramente a regra da cadeia temos: dr ̂ /dt =

̂ /∂θ x ∂r

Vamos investigar quem é o vetor ∂r ̂ /∂θ. Para isso vamos escrever os unitários polares na base cartesiana:


119

Eq.A5 Eq.A6

Então podemos escrever finalmente o vetor velocidade: v =  r ̂ + r Eq.A7

O vetor aceleração segue a mesma receita e pode ser calculado como a = v̇ = ̈ r r ̂ +  r ̂ + ( + rθ) + r

Fazendo uso da regra da cadeia e das relações das derivadas dos vetores unitários acima chega-se facilmente à forma do vetor aceleração em coordenadas polares: a = (̈ r - r 2) r ̂ + (2 + r θ) Eq.A8

Ou seja, o vetor velocidade em coordenadas polares possui componentes radiais e tangenciais dadas por v r =  v θ = r Eq.A9

E o vetor aceleração em coordenadas polares possui, por sua vez, componentes radiais e tangenciais dadas por ar = ̈ r - r 2 aθ = 2 + r θ Eq.A10

120


3.

Coordenadas Cilíndricas

A figura abaixo nos auxiliará a definir as coordenadas cilíndricas: z

z

ρ

φ P

ρ

z

y

x

φ

Figura 3

Repare que as coordenadas cilíndricas ( ρ, φ, z) podem muito bem ser vistas como uma extensão das coordenadas polares do plano, que é onde aquelas são definidas, para o espaço tridimensional. Você pode imaginar que cada ponto no plano (x,y) com coordenadas “polares” ρ e φ ganha uma terceira dimensão ao ser tabulado com a coordenada z. De fato, para definir os vetores posição, velocidade e aceleração podemos tomar emprestadas suas representações em coordenadas polares e adicionar um componente “z” . Poderemos então, tomando em conta que apenas se trocam as letras r por ρ, θ por φ, fazer as seguintes associações (escrevendo os vetores no formato de matrizes colunas): Polares

Cilíndricas

ρ

r r =

r =

r

0 z

v =

ṙ

ρ v =

rθ

a =

r - rθ2 2ṙθ + rθ

ρφ ż ρ - ρφ2

a =

2ρφ + ρφ z


121

Então os vetores em coordenadas polares apenas ganham uma terceira dimensão z e, PLUFT!, estamos em coordenadas cilíndricas! Realmente, basta seguir uma trajetória análoga àquela adotada para encontrar os vetores velocidade e aceleração em coordenadas polares, quer dizer, derivar em relação ao tempo o vetor posição r = ρρ + zz Eq.A11

Usando regra da cadeia e derivando expressões para as derivadas dos unitários análogas às Eq.A5 e Eq.A6, e derivando mais outravez para encontrar o vetor aceleração para constatar que: = ρρ + ρφφ + zz v = Eq.A12

a = (ρ - ρφ2) ρ + (2ρφ+ ρφ) φ + ̈ zz Eq.A13

122


4.

Coordenadas Esféricas x3 e

r

e

ø

θ

r

ø

e

θ

x2

Figura 4

Enquanto as coordenadas cilíndricas se mostram particularmente adequadas a problemas que envolvem simetrias em torno de um eixo, as coordenadas esféricas são bastante adequadas para os problemas que possuem simetria em torno de um ponto, ou centro. Nesta categoria estão problemas muito importantes e fundamentais em Física, como os movimentos dos corpos celestes e o movimento do elétron no átomo. Entretanto, a semelhança encontrada entre os sistemas cilíndricos e polares não sobrevive aqui. Vejamos como ficam os vetores tendo por base a figura acima. Temos em primeiro lugar a coordenada radial r, que liga o centro tridimensional ao ponto em questão, depois a coordenada chamada azimutal representada pelo ângulo φ e por fim a coordenada zenital, do ângulo θ. Podemos escrever primeiramente o vetor posição do ponto P mostrado na figura, obviamente dado por r = r r ̂ Eq.A14

A fim de encontrar a derivada temporal deste vetor teremos, como nos casos anteriores, que usar a regra da cadeia e também conhecer algumas derivadas dos vetores unitários r ̂ , θ e φ. Vamos então, primeiramente, escrever os unitários esféricos em termos da base cartesiana. Temos Temos a “definição” destes vetores:


123

r =

(r.x)x + (r.y)y + (r.z)z

θ = (θ.x)x + (θ.y)y + (θ.z)z φ = (φ.x)x + (φ.y)y + (φ.z)z

Com um pouco de análise da figura 4 obtemos os valores: ̂ = sinθcosφ ; r ̂ .y = sinθsinφ ; r ̂ .z = cosθ; r ̂ .x θ.x ̂ = cosθcosφ ; θ.y = cosθsinφ ; θ.z = -sinθ; φ.x ̂ = -sinφ ; φ.y = cosφ ; φ.z = 0 Podemos então escrever:

sinθcosφx + sinθsinφy + cosθz

∂r ∂r = θ ; = sinθφ ∂θ ∂φ

θ = cosθcosφx + cosθsinφy - sinθz

∂θ ∂θ = -r ; = sinθφ ∂θ ∂φ

r =

φ = -sinφx + cosφ y

∂φ ∂φ =0; = -sinθr - cosθθ ∂θ ∂φ

Eq.A15

Interessante constatar destas relações que os vetores unitários da base esférica não possuem qualquer dependência com a coordenada r, o que pode também ser constatado por uma análise geométrica, a partir da própria figura4. Calculando as derivadas temporais do vetor posição e depois do vetor velocidade, usando usando a regra regra da cadeia e as relações 15 obtemos, após um pequeno trabalho os vetores =  r̂ + r + rφsinθφ v = Eq.A16

a = (̈ r - r 2 - r φ2sen2θ) r ̂ + (2 + rθ - - r φ2sinθcosθ)

+ (rφsinθ + 2φsinθ + 2r φcosθ)φ Eq.A17

124


Escrevendo separadamente as componentes, os vetores velocidade e aceleração são escritos em coordenadas esféricas com v r = r ̇ v θ = r v φ = r φsin Eq.A18

ar = ̈ r - r 2 - r φ2sen2θ aθ= 2 + r θ -- r φ2sinθcosθ aφ = rφsinθ + 2φsinθ + 2r φcosθ Eq.A19


125

126


Relações entre Campos Vetoriais Quando o teorema discriminador nos informa que as velocidades dos pontos de um sólido, em sua condição mais geral, constituem um campo motorial, podemos imediatamente escrever que v A = v B + g × (A - B) eq.12

Quer dizer, o máximo que podemos afirmar é que há uma relação como a 12, com uma coordenada livre sem relação imediata


127

com a velocidade de rotação w. Por outro lado, sabemos que, no caso particular de rotação pura, g se reduz realmente a w. O que nos levaria então a identificar a coordenada livre presente na eq.12 com o vetor velocidade de rotação, como na eq.11? Um argumento possível seria o seguinte: considere dois pontos, A e B de um sólido que em determinado instante se encontra em movimento. De acordo com a eq.12 temos que v A = v B + g × (A - B)

v A - v B = g × (A - B)

⇒

eq.a

Suponha agora o movimento deste corpo sendo visto por um observador em um referencial que se move, no mesmo instante, com velocidade igual a v B em relação ao referencial inicial. Vamos usar com ‘ para especificar as grandezas neste novo referencial. Então, como v B' = 0 , o movimento do sólido é de rotação pura, pois existe um ponto fixo (é fácil mostrar, na Cinemática do Sólido, que se em um determinado instante existe um ponto fixo, no movimento do sólido, então existirá um eixo instantâneo de rotação, e o movimento, naquele instante, é de rotação pura em torno deste eixo). E então sabemos que a eq.10 nos permite escrever v A ' = v B' + w × (A - B)

v A ' - v B' = w × (A - B)

⇒

eq.b

Comparando as equações a e b podemos ver que seus membros esquerdos são iguais, pois são velocidades relativas, que são as mesmas em ambos os referenciais e, portanto, g = w. q.e.d.

128


Referências São muitas e variadas as fontes de estudo existentes a respeito da Mecânica Clássica. Seria uma temeridade tentar montar uma lista das melhores ou mais adequadas para tal estudo. Vamos nos ater aqui a citar apenas duas referências excelentes para o estudante que pretenda fazer uma leitura mais detalhada e aprofundada do tema, por duas e boas razões: primeiro, são de autores nacionais, professores experientes e dedicados ao ensino da Mecânica por décadas a fio, e nas melhores Universidades brasileiras. Segundo: foram as principais fontes de inspiração, consulta e referência ao construir este texto. Fomos, inclusive, buscar al i boa parte do material de exemplos e exercícios utilizados aqui. Estas duas grandes obras são o livro do Prof. (falecido) da UFRJ, L. P. M. Maia, Mecânica Vetorial,editado pela Editora da Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1984, e o livro do Prof. Nivaldo A. Lemos, da UFF, Mecânica Analítica, editado pela Editora Livraria da Física, 2004. As referências neles contidas são, nos parece, suficientes para os propósitos de um Curso de Graduação em Física.


129

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MARCOS TADEU D’AZEREDO ORLANDO Possui graduação em Física pela Universidade de São Paulo (1989), mestrado em Física pela Universidade de São Paulo (1991), doutorado em Física pelo Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1999), pós-doutorado em Física com ênfase em Teoria de Campos realizado no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (2006). Realizou um segundo pós-doutorado na área de difração de nêutrons sob pressões hidrostáticas externas (2008). É professor concursado do quadro permanente desde 1993 da Universidade Federal do Espírito Santo.

MARCO ANTÔNIO DOS SANTOS Possui graduação em Física pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (1979) , mestrado em Física pelo Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1987) , doutorado em Física pelo Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (2001) e pós-doutorado pelo Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (2002) . Atualmente é Revisor da American Mathematical Society e Professor Associado III da Universidade Federal do Espírito Santo. Tem experiência na área de Física , com ênfase em Física das Partículas Elementares e Campos. Atuando principalmente nos seguintes temas: teoria quântica de campos, teorias de gauge, formulação canônica, modelos multidimensionais.


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Mecanica Classica UFES

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