Teoria dos Números_Unidade I

Teoria dos Números Autora: Profa. Marisa Rezende Bernardes Colaboradores: Profa. Valéria de Carvalho

Profa. Mirtes Mariano Prof. Daniel Scodeler Raimundo

Prfra cntuita: Maria Rzn Brnar Possui graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Maringá (1980), (1 980), licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (1988), (19 88), mestrado e doutorado pelo programa de pós‑graduação da Faculdade de Ciências da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, concluídos respectivamente em 2003 e 2009, e é vinculada ao Grupo de Pesquisa em História Oral e Educação Matemática (GHOEM). É professora da Universidade Paulista – UNIP, campus Bauru, desde 2003, ocupando o cupando atualmente a condição de titular.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) B521

Berna ernarrdes, es, Mariza Rezende nde Teoria dos Números. / Marisa Rezende Bernardes. ‑ São Paulo: Editora Sol. 132 p. il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2‑067/11, 2‑067/11, ISSN 1517‑9230 1.Educação 2.Pedagogia 3.Matemática.Título CDU 51

© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista.

Prfra cntuita: Maria Rzn Brnar Possui graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Maringá (1980), (1 980), licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (1988), (19 88), mestrado e doutorado pelo programa de pós‑graduação da Faculdade de Ciências da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, concluídos respectivamente em 2003 e 2009, e é vinculada ao Grupo de Pesquisa em História Oral e Educação Matemática (GHOEM). É professora da Universidade Paulista – UNIP, campus Bauru, desde 2003, ocupando o cupando atualmente a condição de titular.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) B521

Berna ernarrdes, es, Mariza Rezende nde Teoria dos Números. / Marisa Rezende Bernardes. ‑ São Paulo: Editora Sol. 132 p. il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2‑067/11, 2‑067/11, ISSN 1517‑9230 1.Educação 2.Pedagogia 3.Matemática.Título CDU 51

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Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor

Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Re Vice-Reito itorr de Planeja Planejamen mento, to, Admini Administr straçã ação o e Finanç Finanças as

Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias

Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Pesquisa

Profa. Dra. Marília Ancona‑Lopez Vice-Reitora de Graduação

Unip Interativa – EaD

Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Profa. Melissa Larrabure Material Didático – EaD

Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualicação e Avaliação de Cursos Projeto gráco: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Sueli Brianezi Carvalho

Sumário Tria  Númr APRESENTAO ......................................................................................................................................................7 INTRODUO ...........................................................................................................................................................7 Unidade I

1 ASPECTOS HISTÓRICOS DO CONCEITO DE NÚMERO .........................................................................11 1.1 Introdução................................................................................................................................................11 1.2 Panorama cultural inicial ...................................................................................................................11 2 SENSAO NUMÉRICA E A FACULDADE ABSTRATA DE CONTAR ................................................17 2.1 O conceito de número em outras culturas ................................................................................18 2.1.1 Introdução .................................................................................................................................................18 2.1.2 Alguns sistemas de numeração ........................................................................................................21

3 COMO SE ESCREVEM OS NÚMEROS .......................................................................................................26 3.1 O sistema grego .................................................................................................................................... 27 3.2 O sistema romano ................................................................................................................................ 28 3.3 Numerais hindu‑árabes .....................................................................................................................29 3.4 A evolução da teoria dos números ............................................................................................... 30 3.4.1 Antecedentes............................................................................................................................................30 3.4.2 Escola pitagórica .....................................................................................................................................30 3.4.3 Aritmética pitagórica ............................................................................................................................34 3.4.4 Os números gurados...........................................................................................................................35 3.4.5 Ternos pitagóricos ..................................................................................................................................38 3.4.6 A descoberta das grandezas irracionais.........................................................................................40

4 INTRODUO .................................................................................................................................................... 41 4.1 Descrição de um conjunto................................................................................................................ 41 4.2 Pertinência entre elemento e conjunto ...................................................................................... 51 4.3 Partes de um conjunto.......................................................................................................................52 4.4 Operações sobre conjuntos .............................................................................................................. 52 4.5 União de conjuntos .............................................................................................................................52 4.6 Intersecção de conjuntos ..................................................................................................................53 4.7 Diferença de dois conjuntos ............................................................................................................54 4.8 Complementação de conjuntos .....................................................................................................55 4.9 Relações ...................................................................................................................................................56 4.9.1 Introdução .................................................................................................................................................56 4.9.2 Relação sobre um conjunto A ...........................................................................................................59 4.9.3 Relações de equivalência.....................................................................................................................59

4.9.4 Classes de equivalência........................................................................................................................63 4.9.5 Relações de ordem .................................................................................................................................63

4.10 Representação posicional dos inteiros ...................................................................................... 67 4.10.1 Introdução ...............................................................................................................................................67 4.10.2 Representação posicional dos naturais e inteiros...................................................................68

4.11 Números inteiros: propriedades gerais e aplicações............................................................ 69 4.11.1 Operações de adição e multiplicação ...........................................................................................69 4.11.2 Princípio do menor número inteiro............................................................................................... 71 Unidade II

5 MÉTODO DA INDUO, CONCEITOS DE DIVISO E NÚMEROS PRIMOS ................................... 76 5.1 Introdução............................................................................................................................................... 76 5.2 Princípio da Indução (PI) ...................................................................................................................76 5.3 Princípio forte da indução (PFI) ......................................................................................................80 5.4 Múltiplos e divisores ...........................................................................................................................83 5.5 Algoritmo da divisão de Euclides................................................................................................... 85 5.5.1 Representação de inteiros em uma base ......................................................................................88

5.6 Números primos ................................................................................................................................... 95 6 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA.......................................................................................... 96 7 MAIOR DIVISOR COMUM E MENOR MÚLTIPLO COMUM; CONGRUÊNCIAS MÓDULO M EM Z; ARITMÉTICA MODULAR; EQUAÕES DIOFANTINAS ....................................... 97 7.1 Introdução............................................................................................................................................... 97 7.2 Maior divisor comum (MDC) .........................................................................................................101 7.3 Mínimo múltiplo comum – MMC ................................................................................................104 7.4 Congruências módulo m em Z – aritmética modular .........................................................105 7.4.1 Introdução ...............................................................................................................................................105 7.4.2 Congruências ..........................................................................................................................................105 7.4.3 Aritmética modular (aritmética módulo m) ..............................................................................113

8 EQUAÕES DIOFANTINAS .......................................................................................................................... 114 8.1 Introdução.............................................................................................................................................114 8.2 Equações diofantinas lineares (a duas incógnitas)...............................................................114 8.3 Equações diofantinas lineares (a três incógnitas).................................................................117

APReseNTAção Caro aluno, esta apresentação tem a função de expor de forma mais elaborada os objetivos da disciplina Teoria dos Números e sua vinculação com o projeto pedagógico e político do curso. É uma perspectiva que defende não ser concebível estudar qualquer disciplina de uma licenciatura como algo estanque, sem vinculação pedagógica com disciplinas especícas e muito menos utilizá‑la como mero atrativo inicial para conteúdos especícos. Esse texto tem, sobretudo na primeira unidade, a preocupação de apresentar uma forma de orientação aos futuros prossionais docentes em uma perspectiva que busca a construção de conceitos teóricos e uma discussão sobre a formação de conceitos empíricos a que os métodos didáticos da moda têm induzido. Além disso, o objetivo aqui proposto é sistematizar o conhecimento que a humanidade acumulou nesta área, mas sem perder de vista as análises dos contextos social, histórico e cultural que proporcionam a possibilidade de compreensão da ciência de modo mais abrangente e, em consequência, uma ação política mais efetiva na esfera da educação. Outra perspectiva que este texto tem como premissa é o fato de ele ter sido elaborado para um curso de educação a distância. Esse é um posicionamento importante, uma vez que estabelece um ambiente de aprendizagem diferente daquele utilizado pelo ensino presencial e, portanto, tem exigências diferenciadas. Essa modalidade de educação caracteriza‑se por ser uma prática educativa que exige do estudante, mais do que em outra modalidade, construir conhecimentos e participar efetivamente de seu próprio crescimento. Esse modelo implica, obviamente, um processo de ensino próprio, uma vez que modica, ou mesmo suprime, o físico e a estrutura do ensino presencial. Assim, a função docente sofre um deslocamento, seu papel é descentralizado e a forma de atenção ao aluno está mais próxima do que se entende por pesquisa em meios acadêmicos. É um novo formato de ensino‑aprendizagem na graduação, no qual os estudantes, assim como aqueles que se iniciam em pesquisas acadêmicas, devem aprender a estudar sozinhos, buscar informações com base em indicações do docente responsável pelo curso (orientador) e serem capazes de fazer inferências na produção do seu conhecimento.

INTRodção Em Eves (2004), foram introduzidos textos intitulados “Panoramas Culturais” com o objetivo de que o leitor aprenda que a matemática se desenvolveu de acordo com condições e necessidades históricas. Acredito que esta ressalva seja importante porque há na sociedade uma visão arraigada – e inúmeros trabalhos acadêmicos comprovam isso – de que a abordagem defendida pela imensa maioria dos professores de matemática (conscientemente ou não) é a abordagem internalista, que privilegia somente o conhecimento (do ponto de vista interno) da própria matemática. No entanto, os professores, mesmo defendendo à exaustão alguns pontos de vista (inclusive o internalista), têm uma vida que transcende a defesa de seus pontos de vista sobre a matemática. Suas vidas em família, a relação com seus companheiros e lhos, com colegas de prossão, com amigos e parentes, acrescentam fatos novos ao que se sabe das relações individuais com a categoria docente e com a sociedade. Todos esses aspectos permitem uma reexão sobre os condicionantes de práticas pedagógicas, o que coincide com a proposta do dispositivo estratégico de Foucault, segundo o 7

qual não se deve interrogar o discurso do outro segundo a ideologia no qual se inscreve: o discurso é muito mais. O discurso é o que se deve apreender a partir de posições assumidas, da fala, das práticas cotidianas e prossionais que denunciam os efeitos recíprocos do par saber‑poder e a sua integração estratégica na conjuntura de correlação de forças nos diversos confrontos produzidos na reprodução da vida (Bernardes, 2009). E, dentro dessa perspectiva, a matemática é uma forma de discurso e o panorama cultural da humanidade avaliza essa perspectiva. Como este texto foi produzido para a modalidade EaD, as leituras indicadas estão em sua maioria disponíveis on‑line . Essa preocupação está relacionada ao fato de alguns alunos da Unip Interativa serem de regiões onde o acesso a determinados materiais impressos é difícil. Porém, isso não os isenta do compromisso de fazer pesquisas de materiais pertinentes à área de interesse das disciplinas em bibliotecas locais. A divisão desse livro‑texto em duas unidades (e seus subtópicos), conforme o leitor poderá aferir no sumário, foi uma arbitrariedade da autora, já que o conteúdo aqui apresentado se desenvolveu de acordo com condições e necessidades históricas, ou seja, sua produção não foi linear e nem suas descobertas estiveram sempre relacionadas. Isso se deve ao fato de a história da matemática ser caótica, muitas vezes completamente anônima. Essa ressalva é importante porque nunca é demais lembrar que o desenvolvimento das diversas áreas da matemática nem sempre esteve pautado pela racionalidade e pelo modo defendido pelo positivismo, como assim defendem Bicudo & Garnica (2001): Permitem que se aceite como ciência procedimentos que conduzam à construção do conhecimento sustentados em critérios de rigor que digam dos modos de obter dados, de analisá‑los, de interpretá‑los, de generalizar resultados obtidos, de construir argumentações e de dispor de argumentos contrários, incompletos e insatisfatórios de maneira a articulá‑los em torno de uma ideia sustentada pelo autor, explicitando sua lógica e convencendo o leitor quanto à sua plausibilidade (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 16).

Outro aspecto que deve ser mencionado com clareza nesta introdução é a identicação da perspectiva a partir da qual foi desenvolvido este texto: ele está atrelado ao projeto pedagógico do curso, formador de professores em matemática. Porém, entrelaçada a essa diretriz fornecida pela instituição está a perspectiva atual da comunidade de educadores matemáticos. Na introdução do livro de Bicudo & Garnica (2001), há uma observação que nos mostra a complexidade atual do fazer docente, daqueles prossionais que trabalham tanto com pesquisas quanto com o ensino da matemática: O amadurecimento de uma área faz‑se sentir pela zona de densidade que a envolve, quando são encontrados concepções, conceitos, questões que se superpõem, entrelaçam‑se, criando a impossibilidade de ver‑se com clareza do que e de qual perspectiva se fala. É essa a situação que percebemos na educação matemática, no momento (BICUDO & GARNICA, 2001, p. 09).

Essa forma de pensar caracteriza‑se por ser analítica, crítica, reexiva e abrangente e, segundo a perspectiva aqui defendida, o caro leitor precisa desenvolver ferramentas para a gestação do futuro 8

professor e, com essa iniciativa, obter a liberdade de propor ações, intervenções e decisões em seu ambiente formativo e, posteriormente, prossional. É dessa forma que é possível contribuir efetivamente para o conhecimento do mundo cultural, cientíco, tecnológico, religioso, artístico, enm, do mundo humano. Deverá analisar também a função do mecanismo que normalmente liga os estudantes e professores às crenças fortemente arraigadas ao pensamento dos dois grupos de que a matemática é independente do humano, portanto, independente dos âmbitos cultural e social. É uma pesquisa que sugere analisar e reetir propostas e ações educacionais nos diferentes contextos em que ocorrem. O futuro professor, ao educar o olhar sob essa perspectiva, não só terá condições de observar a escola, mas buscar a nalidade e a intenção dos procedimentos na área de educação.

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Tor os úmros

Unidade I 1 AsPeCTos HIsTÓRICos do CoNCeITo de NÚMeRo 1.1 Intru O estudante que já cursou a disciplina História da Matemática foi alertado para a tendência das novas gerações a negligenciar as manipulações conscientes ou inconscientes que o interesse, a afetividade, o desejo, a inibição e a censura exercem sobre a memória individual e, consequentemente, reetem na memória coletiva. Daí a necessidade de sempre se renovar o alerta para a importância do contexto histórico, mas não como mero atrativo inicial para conteúdos especícos.

1.2 Panrama cultural inicial Quando o interesse é pela história da matemática, normalmente se arbitra seu início em função de outra arbitragem que é a divisão da história da humanidade em intervalos (Idade da Pedra, Idade Média, etc.). Para tanto, a opção é o início da narrativa a partir da Idade da Pedra e do movimento dos primeiros povos. Segundo Eves (2004) não é possível precisar ao certo tanto o início quanto o nal da Idade da Pedra. Algumas culturas persistiram na Idade da Pedra em algumas partes do mundo até o século XIX ou XX. Apenas por uma convenção histórica, situa‑se o m dessa fase aproximadamente em 3000 a.C., quando no Oriente Médio, na Índia e na China apareceram cidades com culturas capazes de fundir metais. Desse período o que se pode apreender de importante é a mudança de estilo de vida dos primeiros povos, face aos problemas climáticos e à escassez do tipo de alimento ao qual estavam acostumados. Um momento de reflexão para o futuro professor

Eves (2004) faz uma observação curiosa que, no contexto de um curso de licenciatura, vale a pena ser comentada:

1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

[...] Ou se deve recuar ainda mais no tempo e iniciar com os primeiros esforços tateantes feitos pelo homem pré‑histórico visando à sistematização das ideias de grandeza, forma e número? Ou se pode dizer que a matemática teve início em épocas pré‑humanas com a manifestação do senso numérico e reconhecimento de modelos, embora muito limitadamente, por parte de alguns animais, pássaros e insetos? Ou mesmo antes disso, nas relações numéricas e espaciais das plantas? Ou até antes, nas nebulosas espiraladas, nas trajetórias de planetas e cometas e na cristalização de minerais em épocas pré‑orgânicas? Ou será que a matemática, como acreditava Platão, sempre existiu, estando meramente a aguardar sua descoberta? (EVES, 2004). 11

Unidade 

O comentário do autor é interessante porque ele reitera uma perspectiva que não pode passar despercebida ao futuro professor e deve ser explorada em contextos de ensino e aprendizagem fundamentais: a matemática é uma criação humana e a forma como ela é apropriada difere conforme o contexto em que é utilizada. A ideia é mostrar aos estudantes imagens como as apresentadas a seguir e incentivar uma problematização a respeito delas. Ou seja, as relações de diferentes áreas da matemática, perceptíveis aos alunos, já existiam ou os seres humanos as criaram para descrever a natureza? A matemática tem origem divina? Nas condições atuais, a escola perpetua a condição de disseminadora da forma de apropriação de conhecimentos organizados segundo a lógica formal. Uma reelaboração possível de métodos em relação à escola usual é propiciar oportunidades de análise dos conteúdos como proposta aos estudantes, levando‑os à formação de pensamento teórico.

Figura 1 Amor

4 3 2

Earth

1 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

0 –4

–3

–2

–1

0

1

2

Aten –1

–2 –3 –4

Figura 2 – Elipse de Kepler 12

3

4 Apollo

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De fato, nos primórdios da sociedade humana, a ênfase da matemática primitiva ocorreu na aritmética e na mensuração, como uma ciência prática para assistir a atividades ligadas à agricultura e à engenharia. Mas foi exatamente esse contexto que criou as condições para que se desenvolvessem tendências no sentido da abstração. Uma forma de se perceber isso é o alerta de Ifrah (1996) em relação à importância de se diferenciar a forma como o número é concebido por diferentes grupos humanos, ou seja, as pessoas nem sempre são capazes de conceber qualquer número abstrato. Essa questão da capacidade de seres humanos conseguirem ou não conceberem resultados abstratos, ou seja, não concretos, imagináveis – que será tratada adiante neste texto – articula‑se com a capacidade de controlar a própria conduta. Somente quando essa capacidade está presente em uma pessoa é possível falar em capacidade de exercer seus direitos de cidadão. A formação do pensamento teórico vincula‑se à apropriação dos conhecimentos mais elaborados desenvolvidos pela humanidade. Segundo a Psicologia Histórico‑Cultural, o sujeito que forma um nível adequado do pensamento teórico, forma um pensamento capaz de controlar o próprio pensamento, o que articula com controlar a própria conduta. Ou seja, a formação do pensamento teórico articula‑se com a formação do sujeito autônomo (MAGAGNATO, 2011, p. 5).

Por isso, é desejável que todo material didático de uma licenciatura considere as conclusões de Davýdov & Márkova (1987), ao analisarem o trabalho desenvolvido pela psicologia pedagógica soviética. Esses autores acreditam ter base para armar que a atividade de estudo, em relação às capacidades e hábitos de estudo, necessita de uma sistematização que não se encerre quando os estudantes nalizam um ciclo escolar. Ou seja, que os conteúdos de cada disciplina sejam articulados para formar estudantes que buscam ampliar as perspectivas limitadas – em decorrência do tempo disponível, do número de alunos e do próprio conteúdo programático – de salas de aulas. Se ha realizado un gran trabajo, en principio nuevo, de sistematización de las capacidades y hábitos de estudio que deben adquirir los alumnos al nalizar el aprendizaje escolar. El criterio cualitativo para juzgar los resultados del estudio son la generación de las capacidades, la plasticidad, la capacidad de modicación y otras. Valorando altamente este trabajo [...] las capacidades y los hábitos son sólo uno de los eslabones de la actividad integral de estudio de los escolares; junto con las capacidades y los hábitos (y los procedimientos, acciones, operaciones de los alumnos con el material didáctico, que están detrás de aquéllos) el estudio incluye también la asunción de la tarea escolar por los alumnos, el cumplimiento de diferentes tipos de autocontrol, autoevaluación, etc. […]. Entonces los indicadores de eciencia no serán sólo las acciones de estudio del escolar, sino también el planteo, por él mismo, de las tareas y objetivos de estas acciones (Davýdov & MÁRKOVA, 1987, p. 316‑317).


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Unidade 

Em decorrência do exposto anteriormente à interrupção para um “um momento de reexão para o futuro professor” é que nesse texto será considerado o mesmo ponto arbitrário proposto por Eves (2004). Esse autor julga mais apropriado considerar como a matemática mais antiga aquela resultante dos primeiros esforços dos seres humanos para sistematizar os conceitos de grandeza, forma e número. O início será, então, o surgimento no homem primitivo do conceito de número e do processo de contar: O conceito de número e do processo de contar desenvolveram‑se tão antes dos primeiros registros históricos (há evidências arqueológicas de que o homem, já há uns 50.000 era capaz de contar) que a maneira como ocorreram é largamente conjectural. É razoável admitir que a espécie humana, mesmo nas épocas mais primitivas, tinha algum senso numérico (EVES, 2004, p. 25).

Os povos da Idade da Pedra eram nômades e viviam da caça de pequenos animais selvagens, das frutas, castanhas e raízes, segundo Eves (2004). Habitavam, em geral, porções menos inóspitas da África, sul da Europa, sul da Ásia e América Central. A sociedade e a cultura dessa época, como em todas as outras épocas históricas, adaptaram‑se a um mundo em transição. Inicialmente, em decorrência do estilo de luta pela sobrevivência ser muito difícil, as pessoas viviam demasiadamente ocupadas para se aterem aos problemas cientícos e intelectuais. No entanto, no decorrer do período, afastaram‑se de um tipo de economia centrada no caçar e colher para outra que envolvia modos primitivos de agricultura e domesticação de animais. As mudanças climáticas obrigaram os homens e mulheres a se adaptarem a um ambiente progressivamente hostil e seguir os animais em fuga para lugares com condições para todas as formas de vida. No entanto, nesses lugares, a densidade populacional tornara‑se alta demais para que as pessoas sobrevivessem como caçadores ou colhedores. Emergem, assim, após 3000 a.C., comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo do rio Nilo na África, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio e ao longo do rio Amarelo na China, nas quais a ciência e a matemática começam a se desenvolver. obrvaçã

A grande valorização do trabalho se dá na cidade. Esta é uma das funções históricas fundamentais da cidade: nela são vistos os resultados criadores produtivos do trabalho (LE GOFF, 1998, p. 49).

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Essa espécie de “revolução agrícola”, observa Eves (2004b), criou novas necessidades, tais como o desenvolvimento da engenharia em construções de sistemas de barragens e irrigações e também registros das estações das chuvas e das enchentes e traçados de mapas que especicavam as valas de irrigação. Segundo o autor, “os agricultores rezavam aos deuses para que as cheias e as chuvas pudessem vir conforme as tabelas e, no processo, observavam o movimento das estrelas. Todas essas atividades deram origem a novas classes de homens educados: sacerdotes, escribas e astrólogos” (Ibidem, p. 53). No interior desses agrupamentos, xados em cidades sem precisar se deslocar atrás de alimento, surgiram pessoas – reis, sacerdotes, mercadores e escribas – que tinham tempo para ponderar sobre os mistérios da natureza e da ciência. 14

Tor os úmros Em suma, o período de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma nova civilização humana cuja centelha foi uma revolução agrícola. Novas sociedades baseadas na economia agrícola emergiram das névoas da Idade da Pedra nos vales dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. Esses povos criaram escritas; trabalharam metais; construíram cidades; desenvolveram empiricamente a matemática básica da agrimensura, da engenharia e do comércio; e geraram classes superiores que tinham tempo bastante de lazer para se deter e considerar os mistérios da natureza. Depois de milhões de anos, anal, a humanidade tomava a trilha das realizações cientícas (EVES, 2004b, p. 56). Para Le Goff (1998) uma das funções essenciais de uma cidade é a informação...

Segundo o autor, a universidade encontrou na cidade medieval o húmus e as instituições. Isto é, de um lado, os mestres e os estudantes e, de outro, as formas corporativas, que lhes permitiram existir, funcionar e adquirir poder e prestígio. [...] Mas as relações entre a cidade e a universidade nunca foram fáceis, mesmo hoje quando se considera a universidade necessária para criar um “polo de excelência” nas cidades. Há uma animosidade entre ambas desde o início da história da universidade porque essa última, originalmente veiculada à Igreja, protegida por ela, colocava restrições à liberdade urbana. Como a universidade preserva a faculdade de julgar a si mesma, de julgar seus resultados, ela sempre resistiu às intervenções externas. A partir do século XIII, complementa o autor, surgiu um slogan que armava que o verdadeiro poder, aquele que os juristas chamavam de potestas no direito romano, apresentava três aspectos: regnum, o poder público; sacerdotium , o poder religioso e studium, o saber, isto é, a universidade. Assim, em decorrência da cristalização desse entendimento, as cidades se veem forçadas a ouvir as opiniões, autorizadas, da universidade. Mas, ainda hoje, essas instituições não parecem dispostas a se curvar aos desejos das coletividades locais (Ibid ., p. 60‑67). Assim, arma Eves (2004, p. 57), a ênfase da matemática primitiva ocorreu na aritmética e na mensuração, como uma ciência prática para assistir a atividades ligadas à agricultura e à engenharia. Essas atividades necessitavam de uma forma de cálculo para um calendário utilizável, o desenvolvimento de um sistema de pesos e medidas para ser empregado na colheita, no armazenamento e na distribuição de alimentos, a criação de métodos de agrimensura para a construção de canais, reservatórios e para dividir a terra, e a instituição de práticas nanceiras e comerciais para o lançamento e a arrecadação de taxas para propósitos mercantis. No entanto, foi nesse contexto, todavia, que se desenvolveram tendências no sentido da abstração e, até certo ponto, passou‑se então a estudar a ciência por si mesma. Assim, a álgebra evolveu‑se no m da aritmética e a geometria teórica originou‑se da mensuração, conclui o autor.


Há diculdades em localizar no tempo as descobertas em matemática. As comunidades não se comunicavam com facilidade e os materiais de escrita sobre as descobertas na antiguidade não se preservaram, em decorrência da fragilidade dos materiais utilizados para esse m. Os babilônios usavam tábuas de argila cozida, os egípcios usavam pedra e papiros e os primitivos chineses e indianos usavam casca de árvores e bambu. Além disso, algumas civilizações foram extintas e com elas suas descobertas. Em decorrência desse tipo de diculdades, e também da matemática ter seu desenvolvimento relacionado 15

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com a história das necessidades e preocupações de grupos sociais, Ifrah (1996) considera sua história completamente anônima, apesar da sua importância. Feita por e para as coletividades, ela não concedeu certicados, apenas alguns nomes são conhecidos, mas mesmo assim de pessoas que transmitiram, exploraram, comentaram algarismos e sistemas de numeração. Mas sobre os próprios autores, observa o autor, as informações estão certamente perdidas para sempre. Talvez porque algumas invenções remontem a uma antiguidade muito mais remota do que se supõe ou porque foram feitas por homens relativamente humildes a quem a história não deu direito a registro, conclui. Mas estas descobertas nunca estão para sempre asseguradas: uma civilização se apaga, a dos babilônios ou a dos maias, e, junto com sua casta de sacerdotes rigorosamente recrutados, é um pouco da técnica dos números que desaparece, toda uma invenção a refazer. Trata‑se, pois, de uma história caótica e tumultuada, cheia de avanços fulgurantes e de recaídas, em que o passo incerto, errático, feito de tentativas e de erros, de impasses, de esquecimentos e de renúncias da espécie humana, parece (para nós, que conhecemos seu coroamento, pelo menos em relação a esse ponto) com o de um bêbado (IFRAH, 1996, p. 11).

A gura a seguir mostra o quão danicados os documentos produzidos na antiguidade chegaram aos nossos dias:

Figura 3 – Papiro artemidoro


Segundo Ifrah (1996, p. 12), a invenção dos algarismos é anterior à escrita e estes estiveram relacionados no decorrer da história com o pensamento místico e religioso do homem. A lógica não foi, assim, o o condutor da história da matemática. Foram as preocupações de contadores, mas também de sacerdotes, de astrônomos‑astrólogos e somente em último lugar de matemáticos, que presidiram à invenção e à revolução dos sistemas de numeração. Muitos nomes de números, notações e símbolos distintos existiram ao longo da história da humanidade, mas apenas alguns acabaram por ter inuência na civilização ocidental, daí serem denominados de “berços da civilização” as regiões agrícolas do Oriente Médio, China e Egito. À revolução agrícola precederam formas de governo mais complexas, que necessitaram de novas realizações intelectuais. 16


Apesar de, segundo Conway & Guy (1999), a mais antiga ocorrência conhecida de numerais é talvez a que aparece nas tábuas de argila dos sumérios, que datam da primeira metade do 3 º milênio a.C. – o sistema sumério foi posteriormente adotado pelos babilônios –, foram os problemas políticos e sociais que zeram aparecer nos séculos de 600 a 600 a.C. o emprego do raciocínio dedutivo em matemática com Tales de Mileto (640?‑564? a.C.) e Pitágoras (586?‑500? a.C.) e a lógica foi sistematizada num tratamento de Aristóteles (EVES, 2004b).

saiba mai

GIMENEZ, K.; NUNES, R. Sumérios, os inventores da história. Guia do Estudante. São Paulo: Abril. Disponível em: . Acesso em: 20 nov. 2011.

2 seNsAção NMéRICA e A ACdAde ABsTRATA de CoNTAR Segundo Ifrah (1996), é importante diferenciar a forma como o número é concebido por diferentes grupos humanos. Nem sempre se é capaz de conceber qualquer número abstrato. Inúmeras hordas “primitivas”, observa o autor, como os zulus e os pigmeus da África, os aranda e os kamilarai da Austrália, os aborígenes das ilhas Murray e os botocudos do Brasil percebem o número de modo um tanto qualitativo. O número se reduz para esses grupos a uma “pluralidade material” e assume o aspecto de uma realidade concreta indissociável da natureza dos seres e objetos em questão. O traço comum de diferentes agrupamentos de possuírem a mesma quantidade de objetos, tais como cinco carneiros, cinco árvores, reduz‑se a uma espécie de capacidade natural chamada de “percepção direta do número” ou “sensação numérica”. Expressões tais como “muito”, “vários” são utilizadas para caracterizar agrupamentos, em verdade, avaliá‑los. Essa aptidão natural não pode ser confundida com a “faculdade abstrata de contar” que diz respeito a um fenômeno mental mais complicado e constitui uma aquisição relativamente recente da inteligência humana. Essa capacidade humana está relacionada às funções psíquicas superiores que possibilitam o interno estar em unidade com os meios externos de pensamento (linguagem conceitual, esquemas simbólicos, grácos, algoritmos, entre outros). 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

O conceito de “desenvolvimento das funções psíquicas superiores” [...] [abarca] dois grupos de fenômenos que a primeira vista parecem completamente heterogêneos, mas que de fato são dois ramos fundamentais, dois leitos de desenvolvimento das formas superiores de conduta que jamais se fundem entre si ainda que estejam indissoluvelmente unidos. Trata‑se, em primeiro lugar, de processos de domínio dos meios externos do desenvolvimento cultural e do pensamento: a linguagem, a escrita, o cálculo, o desenho; e, em segundo, dos processos de desenvolvimento das funções psíquicas superiores especiais, não limitadas nem determinadas com exatidão, que na psicologia tradicional denominam‑se atenção voluntária, memória lógica, formação de conceitos, etc. Tanto uns como outros, tomados em conjunto, formam o 17

Unidade  que qualicamos convencionalmente como processos de desenvolvimento das formas superiores de conduta da criança 1 (VYGOTSKY, 1983, p. 29 apud SCARPIM, 2010, p. 19. Tradução livre).

Determinadas espécies animais também são dotadas de um tipo de percepção direta dos números. Em alguns casos, são capazes de reconhecer as modicações de conjuntos numericamente reduzidos. No entanto, é curioso notar que as faculdades humanas de percepção direta dos números não ultrapassa a de certos animais, pois não vão além do número quatro. Para que o ser humano pudesse progredir no universo dos números, observa Ifrah (1996), foi necessário que certos procedimentos mentais fossem agregados à sensação numérica inata.

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O artigo de SENNA & BEDIN (2011) trata da Formação do conceito de número em crianças da educação . Disponível em: < http://www.anped.org. br/reunioes/30ra/trabalhos/GT07‑3370‑‑Int.pdf>. Acesso em: 8 dez. 2011.

2.1 o cncit  númr m utra cultura 2.1.1 Introdução

Domingues (1998) inicia sua preleção sobre alguns sistemas de numeração existentes a partir da necessidade das sociedades em desenvolvimento. Se dois conjuntos nitos e não vazios podem ser colocados em correspondência biunívoca, ou seja, se a cada elemento do primeiro é possível associar, de alguma maneira, um único elemento do segundo, e vice‑versa, então há entre esses conjuntos, sob o aspecto quantitativo, algo em comum. Diz‑se que ambos têm o mesmo número de elementos ou a mesma cardinalidade. Os símbolos usados para indicar os números chamam‑se numerais. 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

Com o desenvolvimento de uma sociedade, vai‑se tornando necessário contar conjuntos cada vez mais numerosos, efetuar cálculos, o que caria muito difícil sem a sistematização do processo de contagem e, paralelamente, El concepto de “desarrollo de las funciones psíuquicas superiores” y el objeto de nuestro estudio abarcan dos grupos de fenómenos que a primera vista parecen completamente heterogéneos pero que de hecho son dos ramas fundamentales, dos cauces de desarrollo de las formas superiores de conducta que jamás se funden entre sí aun que están indisolublemente unidas. Se trata, em primer lugar, de processos de dominio de los medios externos del desarrollo cultural y del pensamiento: el lenguaje, la escritura, el cálculo, el dibujo; y, en segundo, de los procesos de desarrollo de las funciones psíquicas superiores especiales, no limitadas ni determinadas con exactitud, que en la psicologí a tradicional se denominam atención voluntária, memoria lógica, formación de conceptos, etc. Tanto unos como otros, tomados en conjunto, forman lo que calicamos convencionalmente como procesos de desarrollo de las formas superiores de conducta del niño. 1

18

Tor os úmros do procedimento de escrever os números. O expediente de que o homem fez uso nesse sentido, desde os tempos imemoriais, foi [...] a escolha de uma base para formar grupos de elementos (DOMINGUES, 1998, p. 3).

A escolha de uma base, segundo o autor, esteve sempre relacionada, de algum modo, ao conjunto tomado como referência em relação ao qual todos os demais são relacionados. O sistema de base 10, segundo Aristóteles, é decorrente da relação com os dez dedos das mãos. Inclusive, arma Domingues (1998), o vocábulo dígito (usado para indicar qualquer dos algarismos de 0 a 9) é originário do termo latino dígitos , que signica dedo.

Figura 4 – Representação do número 2 com os dedos de uma mão

Um momento de reflexão para o futuro professor

A história dos números propicia um instrumento interessante para que o futuro professor questione qual o tipo de generalização a escola atual tem possibilitado aos estudantes. Em uma pesquisa que busca justamente um encaminhamento para essa questão Magagnato (2011) faz uso de Sforni (2004) para apresentar o quadro atual da escola, a partir da análise do tipo de pensamento que o conteúdo escolar permite ao aluno desenvolver. A autora baseia‑se então na possibilidade de que a forma do estudante pensar sobre os diversos assuntos, tanto escolares quanto de sua realidade, é extremamente revelador da qualidade do ensino efetivado. E referindo‑se ao ensino que está em vigor na maioria das escolas, utiliza o mesmo autor:


É priorizada uma forma de ensino em que a introdução de novos conceitos segue sempre a mesma estrutura: um pequeno texto, às vezes, com apenas uma frase, acompanhado de vários exemplos. Após a apresentação do conceito, surgem os exercícios que, normalmente, exigem a reprodução das mesmas palavras e exemplos citados. Na sequência, um novo texto apresenta um novo conceito e a dinâmica se repete [...] Solicita‑se a classicação de objetos em determinadas categorias e não a formação de categorias. Um 19

Unidade  exemplo disso está, inclusive, explícito nos objetivos propostos por muitos planejamentos: identicar, reconhecer, nomear, classicar, citar... Ao aluno resta a tarefa de “xar” ou reconhecer atributos dentro de um âmbito previamente denido (PALANGANA, GALUCH & SFORNI, apud SFORNI, 2004, p. 50).

Magagnato (2011) utiliza Davýdov (1982) para caracterizar o conceito de generalização que correntemente é utilizado na psicologia e didática tradicionais. Ou seja, a generalização consiste, num primeiro momento, em um processo e, em outro, em um resultado. É caracterizada pela busca do comum e a nomeação de certos invariantes num determinado conjunto de objetos. Depois, com os invariantes destacados, identificam‑se os objetos como pertencentes ou não à classe dada. A generalização leva a separar traços comuns e, portanto, gerais. No entanto, a abstração só ocorre quando se destaca um traço geral invariante de outros variáveis. “O conhecimento do geral, sendo resultado do ato comparativo e de sua fixação no signo constitui algo sempre abstrato, não concreto, imaginável ” (DAVÝDOV, 1982, p. 17 apud MAGAGNATO, 2011, p. 40). Logo, o processo da generalização depende inicialmente da realização do ato de comparação dos elementos de um determinado conjunto de objetos diversos e variados, desconsiderando outras qualidades e tomando apenas o que é invariável e fixando‑o com um signo (palavra, desenho gráfico etc.). A partir dessa etapa, o estudante poderá identificar certo objeto com uma determinada classe devido a algum atributo comum. No entanto, observa a autora, pode ocorrer nesse processo uma imprecisão na aquisição do conceito se tomado como traço substancial aquele que é secundário. O geral é algo invariante que se repete na diversidade de um grupo de objetos, mas nem sempre é substancial, pois o traço substancial é aquele que representa algo necessário, inseparável de um objeto, indispensável para seu estudo. Mas essa observação, por hora, não faz parte do que está sendo tratado. O que é proposto no momento ao futuro professor é a tarefa de idealizar atividades com objetos diversos, adequados para seus futuros alunos utilizarem no processo da comparação e separação dos traços comuns entre eles para o entendimento da ideia de base proposta por Domingues (1998): [...]certo número natural b>1 é escolhido como base; isso signica que um agrupamento de b unidades simples (de primeira ordem) forma uma unidade de segunda ordem, um agrupamento de b unidades de segunda ordem forma uma unidade de terceira ordem, e assim por diante (no nosso sistema, por exemplo, dez unidades formam uma dezena, dez dezenas uma centena, dez centenas um milhar , etc.); são atribuídos nomes e símbolos especiais para 1, 2, ..., b (ou 0, 1, 2, ..., b‑1, se o zero é conhecido) e, às vezes, para b2, b 3, ...; os nomes e os símbolos para os demais números são construídos a partir daqueles já introduzidos, mediante regras convenientes (DOMINGUES, 1998, p. 3).


Para que o leitor se situe melhor nessa observação de Domingues (1998), vamos citar como exemplo duas representações possíveis do número 446. Segundo a base decimal, ele pode ser representado por seis unidades, quatro dezenas e quatro centenas, ou seja, 4.102 + 4.10 + 6. Segundo a base 8, seria 6.8 2 + 7.8 + 6. Dessa forma, pode‑se armar que (446) 10 = (676)8.. 20


O leitor percebeu que (446)10 = (676)8 correspondem aos coecientes das bases utilizadas? 4.102 + 4.10 + 6 (4 4 6)10 Da mesma forma: 6.82 + 7.8 + 6 (6 7 6)8 Nesta unidade, está se tratando mais dos aspectos históricos da construção do conhecimento matemático sistematizado atual. Em unidade posterior será retomado o assunto bases de numeração na representação dos números inteiros. 2.1.2 Alguns sistemas de numeração

Na Mesopotâmia, por volta de 4000 a.C., os sumérios desenvolveram a escrita cuneiforme, representada em placas de argila.


Figura 5 – Escrita cuneiforme

21

Unidade 

Figura 6 – Escrita cuneiforme

Quase simultaneamente foram desenvolvidas no Egito uma forma de escrita, a hieroglíca, composta de símbolos e guras. Os egípcios não desenvolveram um alfabeto, mas determinaram símbolos correspondentes aos sons de sua língua. Ao combinar os fonogramas, formavam‑se as versões esquematizadas de palavras.


Figura 7 – Escrita hieroglíca

Com o passar do tempo, foram desenvolvidas mais duas formas para a escrita: a hierática e a demótica. A hierática foi usada pelos sacerdotes em textos sagrados e era uma escrita cursiva, geralmente gravada em papiro, madeira ou couro. A demótica era uma forma simplicada de escrita, usada para as situações de comércio e situações gerais do dia a dia. 22


Figura 8 – Papiro de Ani: documento em escrita cursiva hieroglíca


Figura 9 – Escrita hierática

Segundo Boyer (2003), as escritas demótica e hieroglíca só foram desvendadas a partir da descoberta em 1799 pela expedição de Napoleão da pedra de Rosetta (antigo porto de Alexandria). Al exandria). Ela continha uma mensagem em três línguas: demótica, hieroglíca e grega. Champollion, na França, e Thomas Young, na Inglaterra, decifraram decifraram as escritas antigas por serem conhecedores conhecedores da língua grega. 23

Unidade 

Figura 10 – Pedra de Rosetta

Desta forma, Boyer (2003) comenta que a numeração hieroglíca egípcia foi facilmente decifrada. Pelo menos tão antigo quanto as pirâmides e datando de cerca de 5000 anos atrás, o sistema baseava‑se na escala de dez. Para Para a representação numérica, tinham símbolos em hieróglifos e em hierático: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

Figura 11 – Hieróglifos 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

1

2

3

4

5

6

Figura 12 – Hierático

O sistema de numeração dos egípcios baseava‑se em sete números‑chave: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000. Todos os outros números eram escritos combinando os números chave. 24


1

10

100

1.000

10.000

100.000

1.000.000

Figura 13 – Numerais egípcios

Esses símbolos eram colocados lado a lado e repetidos até nove vezes. Por exemplo, o número 1.242 seria escrito da seguinte forma:

Figura 14

Como já foi dito, o sistema usado era o decimal, ou seja, cada dez símbolos eram trocados por um símbolo de ordem superior, mas não era posicional: cada símbolo não tinha um valor relativo, ou seja, um valor que dependia da sua posição posiç ão dentro do número. Não havia um símbolo para o zero. Os sistemas de numeração tinham por objetivo prover símbolos e convenções de agrupamento desses símbolos de forma a registrar a informação quantitativa e poder processá‑la. Ainda segundo Boyer (2003) as inscrições egípcias revelam familiaridade com grandes números desde tempos remotos. Os egípcios eram precisos no contar e no medir e, em razão disso, as pirâmides foram construídas com alto grau de exatidão e orientação. Já os babilônios, segundo Boyer (2003), usavam um sistema numérico sexagesimal, isto é, com base no número 60. Os assuntos matemáticos que se apresentam nos tabletes vindos da Mesopotâmia são: o sistema de numeração sexagesimal e as tábuas trigonométricas Ainda, o sistema de numeração usado variava entre o posicional, o decimal e o sexagesimal e a base 60 era apropriada principalmente para o cálculo com frações, por conta dos divisores di visores naturais de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Segundo o autor, especula‑se que o sistema sexagesimal teve origem provavelmente na astronomia, especicamente na contagem do tempo, isto é, na divisão do tempo em horas, minutos e segundos. O sistema seria originário da junção de dois sistemas mais antigos: o decimal e outro de base seis. No entanto, considera mais provável que a base de 60 unidades tenha sido adotada e legalizada no interesse da metrologia, uma vez que uma grandeza de 60 unidades pode ser mais facilmente subdividida em metades, terços, quartos, quintos, sextos, décimos, dozeavos, quinzeavos, vigésimos e trigésimos, fornecendo assim dez subdivisões. Eves (2004) informa que, mesmo nas tábuas mais antigas, o sistema sexagesimal posicional já estava estabelecido. Muitos dos textos dos primeiros tempos mostram a distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados neste sistema. Apesar da forma fundamentalmente decimal das sociedades atuais, esse sistema ainda permanece nas unidades de tempo e angulares.


25

Unidade 

O aparecimento e a difusão da escrita provocaram uma revolução na memória coletiva, propiciando a preservação de registros necessários ao desenvolvimento urbano que emergia nessas regiões: Em suma, o período de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma nova civilização humana cuja centelha foi uma revolução agrícola. Novas sociedades baseadas na economia agrícola emergiram das névoas da Idade da Pedra nos vales dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. Esses povos criaram escritas; trabalharam metais; construíram cidades; desenvolveram empiricamente a matemática básica da agrimensura, da engenharia e do comércio; e geraram classes superiores que tinham tempo bastante de lazer para se deter e considerar os mistérios da natureza. Depois de milhões de anos, anal a humanidade tomava a trilha das realizações cientícas (EVES, 2004, p. 56).

Nascimento & Feitosa (2009) observam que sistemas de representação dos números por uma base são denominados de sistemas posicionais. Os autores chamam a atenção para que em decorrência da utilização do sistema posicional sexagesimal (com 60 unidades) pelos astrônomos babilônios, ainda utilizamos, por exemplo, a divisão da hora em 60 minutos, minutos em 60 segundos e a medida da circunferência em 3600. Existem outros sistemas, como o vigesimal (com 20 unidades) usado pelos maias da América Central. Também identicamos traços de um sistema vigesimal na língua francesa: 80 é designado por quatre vingts , literalmente quatro vintes. Do sistema duodecimal (doze unidades) temos em uso a dúzia. No sistema de medidas inglês, 1 ‘pie’ é igual a 12 polegadas, e no sistema monetário, 1 ‘chilin’ equivale a 12 ‘pences’. O sistema mais conhecido de sistema não posicional é o sistema romano. Este sistema tem uma coleção determinada de símbolos principais [...] e todo número é representado como combinação destes símbolos (NASCIMENTO & FEITOSA, 2009, p. 59‑60).

saiba mai

Alunos da licenciatura em Ensino da Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa apresentaram uma série de seminários com base na obra de Georges Ifrah, que faz parte de nossa referência bibliográca, que estão disponíveis em:


. Acesso em: 8 dez 2011.

3 CoMo se esCReeM os NÚMeRos Como já foi comentado e é reintegrado por Conway & Guy (1999), os babilônios utilizavam um sistema de escrita cuneiforme (do latim cuneus , cunha), que utilizava símbolos que variavam de 26


signicado conforme sua posição, constituindo‑se, assim, no primeiro exemplo de escrita posicional. No entanto, eles não dispunham de zero, o que tornava a escrita confusa. A notação posicional não foi utilizada nos sistemas grego e romano, só reaparecendo mais tarde em nosso próprio sistema com a notação hindu‑árabe.

3.1 o itma grg Segundo Conway & Guy (1999), desde o século V a.C., aproximadamente, os gregos usavam a notação da gura abaixo. 1

10

100

α

ι

ρ

2

20

200

β

k

σ

3

30

300

γ

λ

t

4

40

400

δ

µ

υ

5

50

500

e

ν

φ

6

60

600

ς

ξ

χ

7

70

700

ζ

Ο

Ψ

8

80

800

η

π

ω

9

90

900

θ

ϙ

Ϡ

Figura 15 – Numerais gregos


saiba mai

O estudante interessado na forma de representação de números neste sistema poderá ter mais informações no artigo disponibilizado no endereço eletrônico: . em 08 dez. 2011.

Acesso 27

Unidade 

3.2 o itma rman Os numerais romanos, segundo Conway & Guy (1999), foram os únicos utilizados em toda a Europa durante mais de um milhar de anos. O sistema derivou do sistema etrusco. I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1000

Figura 16 – Numerais romanos

Figura 17 – Ainda hoje se utilizam os numerais romanos em mostradores de relógios, datas de monumentos, documentos etc.


Figura 18 – Relógio atual

Os mercadores europeus sentiram diculdade na transição deste sistema para o sistema árabe na época medieval. No início da transição, observam Conway & Guy (1999), eram comuns erros, resultado da mescla dos dois sistemas, tais como: 28


M5Oiv = 1504

Segundo esses autores, os numerais escritos com letras minúsculas apareceram também na época medieval, e atualmente ainda são utilizados na enumeração das subseções de uma lista de itens ou na numeração das páginas preliminares de um livro.

Figura 19 – Fotograa de Eves (2004, p. 161)

3.3 Numrai hinu‑árab O sistema de numeração atual, no qual se formam os números por justaposição dos dez dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é quase sempre denominado de notação árabe, porque aos árabes se atribui sua divulgação pelo mundo no século VII. No entanto, observa Conway & Guy (1999), sua origem é hindu. O valor de um dígito nesse sistema depende da sua posição nele, o que torna indispensável a existência de um símbolo para o zero. Como foi dito acima, os babilônios debateram‑se com a falta desse símbolo. Com os hindus, o zero ganhou o status de número, uma vez que, até então, mesmo entre os gregos do período alexandrino, ele era usado apenas para indicar “ausência”, observa Domingues (1998). Aliás, a respeito da importância desse símbolo, Ifrah (1996, p. 11) faz uma observação curiosa, que remete à história do desenvolvimento da matemática estar repleta de criadores anônimos: “O inventor do zero, escriba meticuloso e preocupado em delimitar um lugar numa série de algarismos submetidos ao princípio de posição, provavelmente nunca teve consciência da revolução que tornava possível”.


Coube também aos hindus, observa Domingues (1998), a introdução na matemática dos números negativos. Mas o objetivo ainda era de indicar débitos. O primeiro registro do uso de números negativos de que se tem notícia remete ao matemático e astrônomo hindu Brahmagupta (598?), que já conhecia as regras para as quatro operações com esses números. 29

Unidade 

Bhaskara (século XII), outro matemático e astrônomo hindu, teve importante participação na construção do conhecimento sobre os números negativos, com suas observações de que um número positivo tem duas raízes quadradas, uma negativa e outra positiva, e sobre a impossibilidade de se extrair raiz quadrada de um número negativo. Apesar da importância da participação dos hindus na introdução do uso dos números negativos, eles não tinham nenhuma preocupação teórica. Na verdade, ressalva Domingues (1998), os progressos iniciais matemáticos vericados na Índia ocorreram quase por acaso e em boa parte devido ao descompromisso com o rigor e a formalidade. Ainda, segundo o autor, o processo de aceitação e entendimento dos números negativos foi longo: Stifel (1486‑1567) os chamava de números absurdos; Cardano (1501‑1576), de números ctícios. Descartes (1596‑1650) chamava de falsas as raízes negativas de uma equação. Outros, como F. Viete (1540‑1603), importante matemático francês, simplesmente rejeitava os números negativos (DOMINGUES, 1998, p. 88).

3.4 A vlu a tria  númr 3.4.1 Antecedentes

Tanto os egípcios quanto os babilônios construíram, ao longo da história, um acervo matemático signicativo. Desenvolveram a aritmética, a geometria e a álgebra, até certo ponto. No entanto, observa Domingues (1998), a matemática, como já foi comentado anteriormente, desenvolvida para embasar as realizações materiais desses povos, tinha limitações sérias do ponto de vista cientíco. Embora houvesse alguns vislumbres teóricos, ela era pouco mais de uma coleção de conclusões empíricas construídas ao longo dos séculos. No entanto, conclui o autor, apesar de suas raízes empíricas, a matemática é uma ciência dedutiva e, portanto, só como tal pode se desenvolver plenamente. Com os gregos, mais ou menos a partir do século VI a.C., a matemática perdeu muito do seu caráter empírico, baseado somente na observação e experimentação, e a produção de seu conteúdo passou a ser pautada na análise da realidade a partir da razão, como instrumento na busca da verdade. Segundo Domingues (1998), no que tange à matemática, essa postura se consubstanciou na ênfase dada ao método dedutivo a partir de axiomas anunciados a priori . Novas diretrizes, como a organização lógica e o caráter abstrato que a matemática grega adquiriu em sua primeira fase (mais ou menos do século VI a.C. à morte de Alexandre, o Grande, em 323 a.C.), deram‑se pela proximidade com as escolas losócas. Tales de Mileto (século VI a.C.), lósofo, talvez, conclui o autor, tenha sido o primeiro a formular propriedades gerais sobre guras geométricas, desvinculadas do real.


3.4.2 Escola pitagórica

Segundo Domingues (1998), na juventude, Pitágoras esteve por muito tempo no Egito, na Índia e na Mesopotâmia, onde, a par da matemática, absorveu muito do misticismo existente. Aos 40 anos, fundou um misto de escola e comunidade religiosa, em que coexistiam os estudos referentes à losoa, 30


à ciência e à matemática. Os ensinamentos eram transmitidos oralmente e com exigência da promessa de segredo. Todas as descobertas eram atribuídas a Pitágoras, de forma que não se sabe ao certo quais foram suas verdadeiras contribuições na produção desses conhecimentos. Em razão da tradição oral da escola, nenhum documento original restou sobre a matemática pitagórica. As doutrinas pitagóricas foram reveladas em livro escrito por um dos seus discípulos, Filolaus (450‑365 a.C.), séculos após a morte de Pitágoras. A matemática pitagórica exerceu grande inuência na matemática grega, por meio de Platão, que teve acesso aos segredos divulgados por Filolaus. Proporções

De acordo com Boyer (2003), é possível que Pitágoras tenha conhecido na Mesopotâmia as três médias: a aritmética, a geométrica e a subcontrária (posteriormente denominada harmônica) e, ainda, a proporção áurea, que relaciona duas delas: “o primeiro de dois números está para a sua média aritmética como a média harmônica está para o segundo” (Ibidem, p. 38). Acredita‑se que os pitagóricos expandiram esse conhecimento posteriormente, mas não é possível precisar a data de listagem das dez possibilidades de médias, como apresentada a seguir. Se b é a média de a e c, sendo a menor do que c, então as três quantidades estão relacionadas por uma das equações: b

−

a

c

−

b

b

−

a

c

−

b

a =

=

b

a

c

a

b

b

c

−

−

−

−

a b

a =

a b

=

b

c

c

c

b

a

c

−

−

−

−

a b

b =

a b

a

c =

b

c

• c c

−

b

−

−

a

−

b

a a

c =

c =

a

c

a

c c

−

b

−

−

a

−

b

a a

b =

a

b =

a


Figura 20 – Pentagrama – símbolo da escola pitagórica 31

Unidade 

Segundo Eves (2004) admite‑se geralmente que os primeiros passos no sentido de desenvolvimento da teoria dos números e, ao mesmo tempo, do lançamento das bases do futuro misticismo numérico, foram dados por Pitágoras e seus seguidores movidos pela losoa da fraternidade. O distintivo da irmandade pitagórica era o pentagrama estrelado, formado pelas cinco diagonais de um pentágono regular. Cada um dos cinco lados do pentagrama estrelado divide em secção áurea cada um dos dois lados do pentagrama que ele intercepta. A secção áurea é denominada também de número de ouro, razão áurea ou segmento áureo. Esse número é simbolizado pela letra f, inicial de Fídias, escultor grego que o utilizou em suas obras, ou por t (tau). O número de ouro é obtido da seguinte maneira: quando uma linha de um segmento é dividida em duas partes, de tal modo que a razão entre o segmento inteiro e a parte maior seja igual à razão entre a parte maior e a parte menor, essa relação é chamada relação áurea e o número obtido é o número de ouro. Observe o triângulo retângulo a seguir:

n

m

Utilizando a denição dada para razão áurea, ou seja, quando uma linha de um segmento é dividida em duas partes, de tal modo que a razão entre o segmento inteiro e a parte maior seja igual à razão entre a parte maior e a parte menor, essa relação é chamada relação áurea e o número obtido é o número de ouro. Portanto, vamos considerar o seguinte segmento: m+n n m


temos: m+n

=

m

m n

Ao desmembrar a primeira parte da equação, temos: m m

1+

32

n

+

=

m

m

n m

=

n

m n

(1)


Denominando, assim: m n

=

(2)

f

Obtém‑se, reciprocamente: n m

=

1

(3)

f

Ao substituir as duas últimas relações (2) e (3) em (1), tem‑se: 1+

1 f

f + 1 f

=

f

=

f

f + 1 = f 2 f 2 – f – 1 = 0 Ao resolver a equação do segundo grau, temos: f =

1±

5

2

Ou seja, a raiz positiva é dada por: f =

1 + 2.23607 2

f = 1,618034 Ainda, quando se quer obter o segmento áureo de outro segmento dado, basta multiplicá‑lo por


1 f

e, quando se quer obter um segmento qualquer onde é conhecido o segmento áureo, basta multiplicá‑lo por f=1,618034 (número de ouro). Alguns exemplos muito conhecidos da aplicação da proporção áurea à concepção de beleza humana são as obras Homem Vitruviano e Mona Lisa, ambas de Leonardo da Vinci. Na Mona Lisa, o número áureo é utilizado nas relações entre tronco e cabeça e entre os elementos do rosto da mulher retratada. 33

Unidade 

Figura 21 – Homem Vitruviano , de Leonardo da Vinci


Figura 22 – Mona Lisa, de Leonardo da Vinci

3.4.3 Aritmética pitagórica

Em razão das características da escola, os pitagóricos perceberam a ligação da matemática com a música e com a astronomia. Eles separavam o estudo teórico dos números, que chamavam 34


de “aritmética”, dos cálculos práticos, que denominavam “logística”. Muito dos conhecimentos da matemática pitagórica foi reunido, informa Domingues (1998), nos Elementos , de Euclides (c. 300 a.C.): uma obra em 13 livros, abarcando a matemática elementar da época. Nessa obra, é atribuída aos pitagóricos a distinção entre números pares e ímpares, a divisão de números em primos e secundários (compostos) e, provavelmente, também era descoberta deles, o número perfeito (“números que é igual à soma de suas partes). 3.4.4 Os números fgurados

obrvaçã

Boyer (2003) destaca a importância de o misticismo pitagórico associar‑se a números com extensão geométrica. Logo, a matemática não só se tornou um ramo da losoa, mas se constitui como base de unicação de todos os aspectos da realidade. Apesar do misticismo e religiosidade, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eves (2004) observa que parece haver uma concordância universal de que os números gurados se originaram com os pitagóricos. Essa concordância se deve aos pitagóricos terem sido observadores atentos das formas geométricas, destaca Domingues (1998), assim eles se interessaram pelos números gurados. Esses números eram expressos como reunião de pontos numa determinada conguração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas sugestivas. São exemplos de classicações numéricas interessantes os números triangulares, os números quadrados e os números perfeitos. Os números classicados como triangulares são os que formam triângulos equiláteros. Seja Tn o n‑ésimo número triangular. Então: T1 = 1 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

T2 = 2 + 1 = 3 T3 = 3 + (2 + 1) = 6 T4 = 4 + (3 + 2 + 1) = 10 Tn = Tn−1 + n = (1 + 2 + 3 + ... + n) + n = Tn

=

n(n + 1) 2

n(n + 1) 2

35

Unidade 

Assim, esquematicamente:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

T5 = 15

T6 = 21

Tn

=

(

)

n n +1 2

Figura 23 – Números triangulares

A gura a seguir de números triangulares é sugestiva: Números triangulares


1, 3, 6, 10, 15, ... Figura 24 – Números triangulares

Os números classicados como quadrados são os que formam quadrados perfeitos. Seja Qn o n‑ésimo número quadrado. Então: 36


Q1 = 1 Q2 = 4 Q3 = 9 Q4 = 16 Qn = n2

Tn–1 + Tn = n2

2Tn = n (n + 1)

Figura 25 – Números quadrados

Assim, podemos determinar uma relação entre os números triangulares e os números quadrados. A soma de dois números triangulares consecutivos forma um número quadrado: T2 + T1 = Q2 T3 + T2 = Q3 T4 + T3 = Q4 Tn + Tn–1 = Qn Qn = n + 2Tn–1

Os números perfeitos são aqueles cuja soma dos divisores (excetuando‑se ele próprio) é o próprio número. Exemplos: O numero 6 é um número perfeito pois seus divisores são: 1, 2, 3 e 6. Então, excetuando‑se o 6 temos a soma dos divisores é 1 + 2 + 3 = 6. 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

saiba mai

No site do Instituto de Matemática e Estatística da USP (IME‑USP), é possível obter mais informações sobre números gurados . LUCHETA, V. Imática – A matemática interativa na internet. Supervisão e orientação: prof. doutor Francisco César Polcino Milies. Disponível em: . Acesso em: 21 nov. 2011.

37

Unidade 

3.4.5 Ternos pitagóricos

Os pitagóricos iniciaram, observa Domingues (1998), o estudo de problemas indeterminados envolvendo números naturais ao associá‑los às coisas, especialmente à geometria, ao buscarem o conjunto dos ternos ordenados de números naturais não nulos, tal que a2 + b2 = c2 (terno pitagórico) Esse estudo foi retomado posteriormente por Diofanto de Alexandria (séc. III, d.C.). Como foi comentado antes, a escola pitagórica era um misto de escola e comunidade religiosa, em que coexistiam os estudos referentes à losoa, à ciência e à matemática. O que é peculiar nisso não é o fato de muitas civilizações primitivas ou antigas partilharem de várias crenças sobre numerologia, mas, atualmente, tais preceitos ainda se encontrarem em certas comunidades místicas. No entanto, por mais que a numerologia não seja uma criação dos pitagóricos, sua adoração aos números mostra aspectos de abstração como a veneração ao número dez não estar ligada à anatomia de mãos e pés humanos. Boyer (2003) faz um relato sobre o pensamento místico que direcionava a escola pitagórica: O número um, diziam eles, é o gerador dos números e o número da razão; o dois é o primeiro número par, ou feminino, o número da opinião; três é o primeiro número masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto da unidade e da diversidade; quatro é o número da justiça ou retribuição indicando o ajuste de contas; cinco é o número do casamento, união dos primeiros números verdadeiros feminino e masculino; e seis é o número da criação. Cada número por sua vez tinha atributos peculiares. O mais sagrado era o dez ou o tetractys , pois representava o número do universo, inclusive a soma de todas as possíveis dimensões geométricas. Um ponto gera as dimensões, dois pontos determinam uma reta de dimensão um, três pontos não alinhados determinam um triângulo com área de dimensão dois e quatro pontos não coplanares determinam um tetraedro com volume de dimensão três; a soma dos números que representam todas as dimensões é, portanto, o adorado número dez (BOYER, 2003, p. 36). Um momento de reflexão para o futuro professor


O leitor mais atento pode ter estranhado a armação anterior: “No entanto, por mais que a numerologia não seja uma criação dos pitagóricos, sua adoração aos números mostra aspectos de abstração como a veneração ao número dez não estar ligada à anatomia de mãos e pés humanos”. O convite para uma reexão decorre exatamente por conta da possibilidade de existência de abstração em um raciocínio que envolvia aspectos místicos. Para entender‑se o que Boyer (2003) destacou como sendo abstração, é preciso retomar os aspectos teóricos que foram encaminhados no momento de reexão anterior, em que a sugestão foi idealizar um conjunto de objetos diversos para que alunos buscassem os traços comuns a eles e, se possível, os traços substanciais. O que está sendo proposto nesses exercícios é a possibilidade do futuro professor de matemática ser capaz de modelar o processo de ensino de forma que surja o conceito do assunto em questão. 38


Para a tarefa proposta é necessário congurar a ideia de modelo cientíco defendido neste trabalho: a saber, o modelo cientíco dialético como uma possibilidade de escapar das armadilhas de rigor que a lógica formal impõe ao processo ensino‑aprendizagem em ambientes que não são de bacharelado em Matemática. Segundo Magagnato (2011): No processo de modelagem, o modelo cientíco dialético é o método em ação, é a teoria se teorizando. Mas é preciso que haja determinadas estabilizações de regras para que haja sentido. O modelo, apesar de ser apresentado com uma certa estabilização, é sempre algo em processo, de acordo com Badillo (2004), uma constante substituição de modelos. De acordo com Davýdov (1982), os modelos são resultado e meio de uma atividade na qual está a unidade análise – síntese que, por um lado permite analisar o objeto e de outro ir obtendo um objeto intermediário sistêmico determinado que serve para explicar e substituir o objeto real. O modelo tem duas funções: uma é a substituição de um determinado sistema de objetos e outra é a que faz a substituição, não como um outro objeto, mas dando um certo padrão do processo de desenvolvimento do objeto. Pode‑se distinguir dois tipos de padrão: o “passo a passo” e aquele de relações conceituais. O primeiro tende a ser descritivo. Já o segundo apresenta a unidade sistema de conceitos – algoritmos, na qual há a codeterminação, mas com polo prevalente no sistema de conceitos. O sistema de conceitos envolve uma especíca sistematização de conceitos, a qual pode ser empírica ou teórica (MAGAGNATO, 2011, p. 12).

Segundo a análise de Magagnato (2011) a partir das colocações de Davýdov (1982) os trânsitos de pensamento do particular ao geral e do geral ao particular (com a identicação de objetos particulares a certa classe) junto com as generalizações e abstrações formais constituem os conceitos empíricos. A lógica formal tradicional, a psicologia e didática tradicionais “descrevem só o pensamento empírico, que resolve os problemas de classicação dos objetos por seus traços externos e o concernente à identicação dos mesmos2” (DAVÝDOV, 1982, p. 76 apud MAGAGNATO, 2011, p. 49).


É interessante observar que a partir dessas colocações, o problema proposto para esse momento de reexão começa a ser delineado. O que a humanidade tinha obtido de avanço, em direção aos conceitos que a matemática iria requerer em nossa era, consistia apenas em pensamentos empíricos, quando apenas relacionava os números à anatomia de mãos e pés humanos. Quando os pitagóricos, em seu misticismo, atribuíram “qualidades” aos números, eles utilizaram nexos não evidentes, não palpáveis. […]describen sólo el pensamiento empírico, que resuelve los problemas de clasicación de los objetos por sus rasgos externos y lo concerniente a la identicación de los mismos. 2

39

Unidade 

Segundo Magagnato (2011) a psicologia e a didática tradicionais recomendam aos professores que utilizem a experiência pré‑escolar dos alunos como base para o programa escolar quando eles entram na escola. Tal recomendação acontece na prática escolar, na qual se utiliza a experiência direta dos alunos para a formação de conceitos empíricos. Esta experiência, no ponto de vista da pedagogia tradicional, facilita a aprendizagem das crianças e, até certo ponto, há uma correspondência entre as noções escolares e o conteúdo da experiência do aluno. No entanto, é preocupante a escamoteação da diferença qualitativa entre a experiência e os conhecimentos cientícos, cando num mesmo plano e numa subordinação natural dos conhecimentos cientícos em benefício da experiência. Esta é uma consequência da teoria empírica na didática e na psicologia, observa a autora apoiada em Davýdov (1982, p.103‑104). Esse exercício de reflexão tinha como objetivo levar o autor a considerar com espírito crítico as propostas da moda em psicologia e didática. Conhecimentos científicos não são uma mera continuação ou um aprofundamento da experiência cotidiana. A produção do conhecimento científico [...] requer que se elaborem meios especiais de abstração, de singular análise e generalização que permita fixar os nexos internos das cois as, suas essências; requer vias peculiares de “idealização” dos objetos do conhecimento. Mas a psicologia pedagógica e a didática, que marcham em prol da teoria empírica, ao estruturar as disciplinas, desconhecem de fato estas peculiaridades do conhecimento científico 3 (DAVÝDOV, 1982, p. 105). 3.4.6 A descoberta das grandezas irracionais

Os números inteiros são abstrações que surgiram em função da necessidade de contar coleções, observa Eves (2004). Mas as necessidades da vida cotidiana requerem, além da contagem de objetos individuais, a medição de quantidades, como comprimento, peso e tempo. Para tanto, descobriu‑se a necessidade de números fracionários. Deniu‑se assim, comenta o autor, um número racional como o quociente p/q, sendo diferente de zero, de dois números inteiros. Imaginava‑se que o sistema de números racionais fosse suciente para todos os propósitos práticos, uma vez que contêm todos os números inteiros e fracionários. A interpretação geométrica desses números era simples e os matemáticos acharam que estavam assim representados todos os números. No entanto, os pitagóricos descobriram que havia pontos na reta que não correspondiam a nenhum número racional. Em particular, eles provaram que não há nenhum número racional ao qual corresponda o ponto P da reta em que OP é a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade. Novos números então foram inventados para serem associados a esses pontos e foram denominados de números irracionais (o que signica não racionais), conclui o autor. Por algum tempo 2 foi o único número irracional conhecido. Mais


Requiere que se elaboren medios especiales de abstracción, de singular análisis y generalización que permita jar los nexos internos de las cosas, sus esencias; requiere vías peculiares de “idealización” de los objetos del conocimiento. Mas la psicología pedagógica y la didáctica, que marchan en pos de la teoría empírica, al estructurar las disciplinas desconoce de hecho estas peculiaridades del conocimiento cientíco. 3

40


tarde, segundo Platão, Teodoro de Cirene (c. 424 a.C.) mostrou uma sequência de números irracionais: 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 . Por volta de 370 a.C., Eudoxo deu um tratamento para os incomensuráveis, que essencialmente coincide com a exposição moderna dos números irracionais dada por Dedekind em 1872.

4 INTRodção Neste tópico, serão apresentados os números inteiros e algumas propriedades elementares que caracterizam sua estrutura algébrica. Para desenvolver esse assunto, é necessária uma revisão de alguns fundamentos teóricos sobre conjuntos e relações de equivalência e ordem. As noções elementares sobre noção de conjunto, relação de pertinência e determinação de um conjunto, tipos de conjuntos, inclusão e igualdade de conjuntos, conjunto das partes de um conjunto, operações com conjuntos, o estudante poderá rever em livros de álgebra.

saiba mai

Os livros abaixo, listados na referência bibliográca são excelentes auxiliares na revisão de conceitos elementares sobre noção de conjunto. IEZZI, G; MURAKANI, C. Fundamentos de matemática elementar . São Paulo: Atual. 2004. v.1. SILVA, S. Matemática : para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1986.

4.1 dcri  um cnjunt Conjuntos

Como a introdução para uma teoria, segundo a lógica formal, são os conceitos primitivos, ou conceitos não denidos, a ideia intuitiva de conjunto é a de coleção, classe de objetos, agrupamentos etc. Um conjunto é determinado pelos seus elementos ou membros.


Alencar Filho (1968) apresenta o entendimento do Grupo Bourbaki: “Um conjunto é formado de elementos suscetíveis de possuírem certas propriedades e terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos, certas relações” (Idem, p. 5). Notações

1) Os conjuntos são, em geral, designados por letras maiúsculas: A, B, C, D... 2) Os objetos que constituem um conjunto são representados pelas letras latinas minúsculas; a, b, c... 41

Unidade  Um momento de reflexão para o futuro professor

A ideia de conceitos primitivos não é fácil de ser apreendida pelo estudante das séries iniciais. Daí a sugestão a seguir de leitura do texto produzido por Vianna & Cury (2001), a partir de uma pesquisa bibliográca sobre o conceito de ângulo. Esse artigo apresenta uma abordagem do tema sob uma perspectiva histórica. Os autores partiram da percepção de que a denição de um conceito, o de ângulo, está condicionada pelos interesses daquele que fornece a denição. Os propósitos da indicação da leitura desse artigo são dois. Primeiro, que o professor em formação internalize o fato de a matemática ter se desenvolvido por necessidades históricas de grupos sociais. Segundo, que a partir dessa compreensão, idealizem situações em que trabalhar com história da matemática tenha como intenção os alunos apreenderem um conceito e não como uma possibilidade lúdica de se “contar uma historinha”. Para tanto, os autores do artigo citado alertam para as innitas possibilidades de trabalhos a serem desenvolvidos pelos estudantes, a cada tópico de matemática, ao recorrer a certo aspecto da história, tal como o zeram neste texto. O professor em formação precisa exercitar sua capacidade de análise de experiências individuais e sociais de forma a destacar pontos relevantes dos diversos assuntos de interesse (que costumo denominar de célula de determinado conhecimento), pesquisar a respeito, detectar pontos de convergência e divergência entre diversos autores sobre o assunto etc. Esse exercício durante o curso o auxiliará a quebrar a resistência ao fato de se ver obrigado a conduzir o seu processo de formação e o tornará capacitado a introduzir futuramente nas escolas uma nova perspectiva de ensino, que busca preparar os estudantes para a autoformação, pelo gosto da leitura, análises, discussões sobre algum tema de interesse etc. Em verdade, há muito o regime capitalista tem instituído nas escolas a perspectiva infame de “progresso” em lugar de evolução. Os estudantes cam deslumbrados com a perspectiva de que o “progresso” dará a eles formas simplicadas de aprendizagem; em contrapartida, o processo de “evolução” mostra que é necessário buscar o conhecimento e isso não é algo fácil: é uma luta individual e coletiva para se adquirir conhecimentos já solidicados e na construção de novos saberes. A minimização dessas diculdades passa por uma mudança cultural e deverá ser preocupação dos cursos de licenciatura atuais no sentido de preparar o futuro professor para a confecção de materiais didáticos, para novas formas de atuação no ensino presencial e para o contato com os estudantes de modalidades a distância por vias síncronas e assíncronas. Outro aspecto que deve ser considerado é o professor, em face de produção massiva de novos conhecimentos, ser um orientador. Não há como ensinar aos estudantes tudo que a humanidade tem produzido, até mesmo porque é impossível a todos deter todos os aspectos de um determinado tema. Portanto, a ideia de alguém ser detector de um determinado saber é algo que só existe na esfera do poder. Alguém se coloca como tal, com objetivos especícos. Alguns professores, que trabalhavam no passado com turmas pequenas, talvez sintam nostalgia do relacionamento mais íntimo com os estudantes. Era possível conhecer um pouco de cada um. Isso podia resultar em um sentimento positivo ou negativo. Atualmente, os professores trabalham com turmas numerosas ou com ensino a distância. Mesmo no presencial, o contato com os alunos quase não existe. Visualmente, existe o contato com alguns, mas é impossível guardar‑se a sionomia de 500, 600 alunos. Assim, o professor já está no papel de orientador de estudos e não mais na gura de detector do saber. Em regime presencial, alguns tópicos são explorados e o aprofundamento sobre os mais diversos temas cabe aos estudantes. No ensino a distância o procedimento é o mesmo, apenas se diferencia pela utilização de novas mídias.


42


saiba mai

Vianna, C. Cury, H. Ângulos: uma “história” escolar. Revista História & Educação Matemática, v.1, n.1, pp. 23‑37, jan./jun. 2001. Disponível em: . Acesso em: 23 nov. 2011. Diagrama de Euler-Venn

É a representação de um conjunto por um recinto plano limitado por uma curva fechada. A

U

Figura 26 – Representação de um conjunto A

obrvaçã

Quase sempre a resposta para algumas questões relacionadas com conjuntos depende do conjunto Universo U que se está considerando. Um momento de reflexão para o futuro professor

Na pausa para reexão que foi proposta acima, discutiu‑se o problema do conceito primitivo. Nesse momento, em que os elementos da teoria dos conjuntos começam a ser relembrados é interessante diferenciar percepção de representação.


Segundo Magagnato (2011) nos materiais de estudo de diversas disciplinas, analisados por Davýdov (1982), encontram‑se objetos classicados por características comuns e cabe aos alunos “descobrirem” as correspondentes generalizações: O professor é convidado a fornecer um conjunto de objetos diversos adequados para os alunos utilizarem no processo da comparação e destacar os traços comuns entre eles para a busca da obtenção de um determinado conceito. O professor deve tomar cuidado para que nesse conjunto de objetos 43

Unidade  apareçam elementos que conduzam a formação do conceito desejado, ou seja, que os traços que são casuais, que podem variar, variem de forma bem acentuada para que os alunos possam abstrair de forma clara quais são os traços invariantes, pois são estes que irão formar o conceito. Como um exemplo em matemática, Davýdov (1982) aponta a generalização relativa ao conceito de retângulo: os alunos devem ver e construir retângulos com diversas relações entre os lados, como um retângulo com a altura muito superior à largura, um retângulo semelhante a uma faixa, um parecido com um quadrado. O processo da generalização depende da realização do ato de comparação, utilizou‑se um determinado conjunto de objetos diversos e variados e se separou com precisão o invariante. Tal processo está ligado ao processo de abstração, pois, na medida em que o aluno separa o que é geral, desconsiderando outras qualidades e tomando apenas o que é invariável e xando‑o com um signo (palavra, desenho gráco etc.), este resultado é algo abstrato, não concreto (MAGAGNATO, 2011, p. 44).

Ou seja, a autora, por meio de estudos de Davýdov (1982) faz um alerta para a insuciência dos procedimentos nos manuais tradicionais de didática. Neles é enfatizado que o processo de percepção é o ponto de partida indispensável para a formação de conceitos, ou seja, para todos os níveis de generalização, recomenda‑se que os materiais de ensino devam fornecer aos alunos objetos particulares, sensorialmente perceptíveis. Após a percepção ter‑se‑ía a representação, na qual já há certo nível de generalização e abstração, pois não se trabalha mais diretamente com o objeto concreto, mas com uma imagem esquemática e com o uso da linguagem: quando se descreve com uma imagem ou verbaliza‑se essa imagem, já se abstrai nela uns traços que seriam mais importantes que outros, porém, ainda os traços substanciais podem se confundir com os não substanciais. Essa prática tão recorrente nas escolas, observa Magagnato (2011) aposta no movimento que leva da percepção ao conceito. Segundo essa concepção, é o trânsito lógico do particular ao geral, mas este não é o único movimento em tal organização do ensino: o processo de generalização conceitual é uma parte do processo de assimilação dos conceitos pelos alunos. Para dominar um conceito, é necessário também saber aplicá‑lo às situações particulares, saber operar com os conceitos, ou seja, realizar o modo inverso das etapas descritas acima. Estes dois trânsitos frequentemente aparecem, no processo de ensino e aprendizagem tradicionais, de forma independente um do outro e, portanto, a realização de um não garante a capacidade de realização do outro. O aluno, ao se deparar com situações concretas, pode não conseguir identicar o traço substancial nelas e pode encontrar diculdades na hora de sua aplicação. Via de regra, os livros didáticos apresentam, para cada conceito, uma bateria de exercícios típicos para o aluno fazer, numa tentativa de superar essa diculdade (DAVÝDOV, 1982).


Essas observações feitas por Magagnato (2011) constituem em um passo a mais na constituição de uma perspectiva de que a educação é uma tarefa a ser conduzida por prossionais, que buscam além do que o senso comum preconiza. Não é novidade para ninguém da área da educação o discurso recorrente de que o ensino deve ser pautado na realidade. A questão dessa armação é que “realidade” é algo vago. Vamos analisar o exemplo citado por Davýdov (1982), a formação do conceito de retângulo. Nas práticas recorrentes no ensino atual, o procedimento citado pode ser considerado normal. Considere a tarefa de 44


apresentar aos alunos diversos retângulos e a partir deles uma classicação segundo o conceito de conjunto. Os estudantes por certo apresentarão uma quantidade de variações, desde o conjunto vazio até o universo (todos os retângulos disponibilizados na lousa). O passo seguinte é solicitar aos estudantes o mesmo tipo de atividade a partir do real. É certo que aparecerão conjuntos cujos elementos sejam portas, janelas, lousa... O aluno olhará em seu entorno e “facilmente” identicará vários exemplos. A partir disso, é interessante retomar a análise de Magagnato (2011): o conhecimento adquirido no exemplo da apresentação dos retângulos é do tipo abstrato‑geral. Ele permite ao estudante identicar certo objeto de uma determinada classe devido a algum atributo comum. Mas pode ocorrer nesse processo uma imprecisão na aquisição do conceito se tomado como traço substancial aquele que é secundário. O geral é algo invariante que se repete na diversidade de um grupo de objetos, mas nem sempre é substancial, pois o traço substancial é aquele que representa algo necessário, inseparável de um objeto, indispensável para seu estudo. Ou seja, quando os alunos reproduzem em seus cadernos os desenhos postos em lousa e os separam segundo certos atributos, há um processo mental de abstração – mas não suciente para a apreensão do conceito de retângulos. Isso ca evidente quando, no passo seguinte, solicita‑se conjuntos constituídos por retângulos a partir do real, e o que surge são coleções de sólidos e não de retângulos. Os trânsitos de pensamento do particular ao geral e do geral ao particular (com a identicação de objetos particulares a certa classe) junto com as generalizações e abstrações formais constituem, segundo a terminologia de Davýdov, os conceitos empíricos. Sobre a lógica formal tradicional, a psicologia e didática tradicionais, ele arma que: “descrevem só o pensamento empírico, que resolve os problemas de classicação dos objetos por seus traços externos e o concernente à identicação dos mesmos4” (DAVÝDOV, 1982, p. 76). A psicologia e a didática tradicionais recomendam aos professores que utilizem a experiência pré‑escolar dos alunos como base para o programa escolar quando eles entram na escola. Tal recomendação acontece na prática escolar, na qual se utiliza a experiência direta dos alunos para a formação de conceitos empíricos. Esta experiência, no ponto de vista da pedagogia tradicional, facilita a aprendizagem das crianças e, até certo ponto, há uma correspondência entre as noções escolares e o conteúdo da experiência do aluno. Assim, há uma escamoteação da diferença qualitativa entre a


experiência e os conhecimentos cientícos, cando num mesmo plano e numa subordinação natural dos conhecimentos cientícos em benefício da experiência. Esta é uma consequência da teoria empírica na didática e na

psicologia (MAGAGNATO, 2011, p. 49) (os destaques são meus).

Continuando a revisão proposta, em Iezzi & Murakami (1991, p. 23) há três exemplos interessantes para se entender a descrição de um conjunto a partir do conjunto Universo considerado. […]describen sólo el pensamiento empírico, que resuelve los problemas de clasicación de los objetos por sus rasgos externos y lo concerniente a la identicación de los mismos. 4

45

Unidade 

Questão 1: Qual é o conjunto dos pontos P que cam a igual distância de dois pontos A e B, sendo A e B pontos distintos? Considerando que o conjunto Universo é a reta dos Reais o conjunto procurado é o próprio P. Observe a representação: P

A

B Figura 27

Questão 2: Qual é o conjunto dos pontos P que cam a igual distância de dois pontos A e B, sendo A e B pontos distintos e U um plano contendo esses pontos? y 4 3

P

2 1

–3 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

–2

–1

A

B 1

–1

2

3

4

5

x 6

Reta mediatriz

–2 Figura 28

Nesse caso, o conjunto procurado é a mediatriz do segmento AB. Questão 3: Qual é o conjunto dos pontos P que cam a igual distância de dois pontos A e B, sendo A e B pontos distintos e U é o espaço? 46

Tor os úmros z

A

y

Plano mediador

x B

Figura 29

Nesse caso, o conjunto procurado é o plano mediador do segmento AB. Exemplos de aplicação

1) Indique os elementos dos conjuntos representados abaixo: a) A = {x : x é vogal} A = {a, e, i, o, u} b) B = {x : x conjunto dos meses do ano} B = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro} 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

c) C = {x : x é a capital do Estado de São Paulo} C = {São Paulo} d) D = {x : x foi o primeiro presidente eleito que cumpriu o mandato, após a ditadura militar no Brasil} D = {José Sarney} e) E = {x : x foi a primeira mulher presidente eleita no Brasil} E = {Dilma Rousseff} 47

Unidade 

f) F = {x : x ∈ N : x > 8} F = {9, 10, 11, 12, 13 ...} g) G = {x : x presidente do Brasil eleito em 2009} Como não houve eleição para presidente no Brasil em 2009, o conjunto pode ser representado por: G = { } ou G = φ Observações:

• Os conjuntos A, C, D e E são denominados de conjuntos nitos por terem uma quantidade de elementos que pode ser representada por um número natural. • O conjunto C é denominado universo, porque admite todos os elementos possíveis utilizados na descrição do conjunto. • Os conjuntos C, D e E são denominados de conjuntos unitários, porque só possuem um elemento. • O conjunto G é denominado vazio, porque não admite nenhum elemento. • O conjunto F é denominado conjunto innito por não ser possível representar a quantidade de seus elementos por um número natural. • Os conjuntos podem ser determinados de duas formas: — Extencionalmente, ou seja, pela listagem de seus elementos. Ex.: A = {a, b, c, o, u} — Intencionalmente, por meio de uma propriedade comum de seus elementos. 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

Ex.: A = {x ∈ N : x > 8} 2) Seja U = {‑4, 0, 3, 4, 5, 7}. Explicitar os elementos de cada um dos seguintes conjuntos: a) A = {x ∈ U : x2 –4 > 0} Observe que é necessário analisar a função do segundo grau que dene o conjunto A. Como se trata de uma função do segundo grau incompleta, as raízes são: x1 = –2 e x1 ‑ 2 48

Tor os úmros Análise do gráco da função

Analisando o gráco abaixo, observa‑se que os intervalos que satisfazem a inequação x2 –4 > 0, correspondem a ] –∞, –2[ e ]2, + ∞[. Confrontando esses intervalos com o conjunto U dado, temos como elementos do conjunto A: A = {–4, 3, 4, 5, 7} A = {–4, 4} a) B = {x ∈ U : x2 + 2x + 1> 0} 4

y

3 2 1 x –6

–5

–4

–3

–2

1

–1

2

3

4

5

6

–1 –2 –3 –4

Figura 30 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

2

∆=

b − 4ac

∆=

2 − 4.1.1

∆=

4 −4

∆=

0

2

∆=0 49

Unidade 

x=

x=

x

−b ±

2a

−2 ±

0

2.1

− =

∆

2

2

x = – 1 (raízes dupas)

4

y

3 2 1 x –6

–5

–4

–3

–2

1

–1

2

3

4

5

6

–1 –2 –3 –4 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

Figura 31

Analisando o gráco acima, observa‑se que os valores que satisfazem a inequação x 2 + 2x + 1 > 0, correspondem aos reais. Portanto, confrontando esse resultado com o conjunto U dado, temos como elementos do conjunto A os elementos do próprio conjunto U. 3) Seja U = R. Explicitar os elementos do conjunto do item anterior B = {x ∈ U : x2 + 2x + 1 > 0} Analisando o gráfico já obtido acima, observa‑se que os valores que satisfazem a inequação x + 2x + 1 > 0 correspondem aos reais. Portanto, confrontando esse resultado com o conjunto U dado, temos como elementos do conjunto B os elementos do próprio conjunto U. 2

50


obrvaçã

Dois conjuntos (no caso, B e U) são iguais quando todo elemento do conjunto B pertence ao conjunto U e, reciprocamente, todo elemento do conjunto U pertence ao conjunto B. Assim, dados dois conjuntos A e B: A = B ⇔ (∀ x)((x ∈ A → x ∈ B) e (x ∈ B → x ∈ A)) ⇔ (∀ x)(x ∈ A ↔ x ∈ B) A sentença (∀ x)(x ∈ A ↔ x ∈ B) é denominada de “princípio da extensionalidade dos conjuntos”. Subconjunto

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertencer também a B. A ⊂ B (∀ x)(x ∈ A → x ∈ B) U

A B

Figura 32 – Inclusão

Com essa notação está se indicando que “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

4.2 Prtinência ntr lmnt  cnjunt A relação entre elementos e conjuntos é feita por meio dos símbolos ∈ e ∉. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos que pertencem ao conjunto A, também pertencem ao conjunto B. A ⊆ B (∀ x)(x ∈ A → x ∈ B)

51

Unidade 

Exemplo de aplicação

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 0} e C = {3, 4, 7}, complete: a) A ____ A b) { } ____ B c) 2 _____ B d) 0 _____ C Resolução dos exercícios a) A = A b) { } ⊂ B c) 2 ∈ B d) 0 ∉ C

4.3 Part  um cnjunt Dado um conjunto A, chama‑se conjunto das partes de A, o conjunto P (A) formado por todos os subconjuntos X de A: P (A) = {X : X ⊂ A} Exemplos 1) Dado o conjunto A = {3, 4, 7}, o conjunto das partes de A é o conjunto P (A) = {φ, {3}, {4}, {7}, {3, 4}, {3, 7}, {4, 7}, {3, 4, 7}}. 2) Dado o conjunto B = {3}, o conjunto das partes de B é o conjunto P (B) = {φ, {3}}.

4.4 opraõ br cnjunt A partir das operações sobre conjuntos é possível obter‑se novos conjuntos.

4.5 ni  cnjunt Dados dois conjuntos A e B, o conjunto A ∪ B é denominado de conjunto união de A e B. Seus elementos pertencem a A ou a B.


A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}

52


Representação: B

A

U

Figura 33 – Reunião de conjuntos

Exemplos 1) Dados os conjuntos A = {3, 4, 7}, B = {‑1, 2}, C ={8}: i) O conjunto união de A e B: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7}. ii) O conjunto união de A e A: A ∪ A = {3, 4, 7} = A (Idempotente). iii) O conjunto união de A e φ : A ∪ φ –{3, 4, 7} –A (Elemento neutro). iv) A ∪ B = {–1, 2, 3, 4, 7} e B ∪ A = {–1, 2, 3, 4, 7}. Pois, A ∪ B = B ∪ A (Propriedade comutativa). v) (A ∪ B) ∪ C = {–1, 2, 3, 4, 7} ∪ {8} = {–1, 2, 3, 4, 7, 8} A ∪ (B ∪ C) = {3, 4, 7} ∪ {1, 2, 8} = {–1, 2, 3, 4, 7, 8}. Pois, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Propriedade associativa).

4.6 Intrc  cnjunt Dados dois conjuntos A e B, o conjunto A ∩ B é denominado de conjunto intersecção de A e B. Seus elementos pertencem a A e B, simultaneamente. A ∩ B = {x : x A ∈ A e x ∈ B} A

B


U

Figura 34 – Intersecção de conjuntos

53

Unidade 

Exemplos 1) Dado o conjunto U e os conjuntos A = {3, 4, 7}, B = {‑1, 2} e C ={8} pertencem a P (U): i) O conjunto intersecção de A e B: A ∩ B = φ (A e B são denominados conjuntos disjuntos ou mutuamente exclusivos uma vez que A ∩ B = φ ). ii) O conjunto intersecção de A e A: A ∩ A = {3, 4, 7} = A (Idempotente). iii) O conjunto intersecção de A e U: A ∩ U = {3, 4, 7} = A (Elemento neutro). iv) A ∩ B = φ e B ∩ A = φ . Logo, A ∪ B = B ∪ A (Propriedade comutativa). v) (A ∩ B) ∩ C = { } ∩ {8} = { } A ∩ (B ∩ C) = {3, 4, 7} ∩ { } = { }. Pois, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Propriedade associativa).

4.7 difrna  i cnjunt Dados dois conjuntos A e B, o conjunto A – B é denominado de conjunto diferença entre A e B. Seus elementos pertencem a A, mas não pertencem a B. A – B = {x : x ∈ A e x ∉ B} A


B

U

Figura 35 – Diferença de conjuntos

Exemplo 1) Dados os conjuntos A = {3, 4, 7}, B = {‑1, 2} e C = {3, 4, 7, 8}: i) A – B = {3, 4, 7} ii) A – C = φ 54


4.8 Cmplmnta  cnjunt A

Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊆ A. O conjunto CB é denominado de complementar de B em relação a A, sendo o próprio conjunto A – B. Ou seja, seus elementos pertencem a A, mas não pertencem a B. CBA

=

A − B = {x : x ∈ A e x ∉B )

obrvaçã A

i)

CB

ii)

CB

A

só é denido para B ⊆ A. −

também é representado por B ou por B’. U

A B

Figura 36 – Complementar de B em A U

B A

Figura 37 – Complementar de A em B


Exemplo 1) Dados os conjuntos A = {3, 4, 7, 8}, B = {4, 7, 8} e C = {3, 4, 7, 8} e D = { }: i) CBA A B { 3} =

ii)

A

CD

=

−

=

A

iii) CCA = φ 55

Unidade 

4.9 Rlaõ 4.9.1 Introdução

Vale a pena relembrarmos também as relações entre conjuntos! Dados dois conjuntos A e B, não vazios. O produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B é o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x ∈ A e y ∈ B. Assim, A x B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}. Dados dois conjuntos A e B. Chama‑se relação binária de A em B todo subconjunto R do produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B. Seja R uma relação em AxB. O domínio de R é o subconjunto de A, constituído pelos elementos x para cada um dos quais existe algum y em B, tal que (x, y) ∈ R. Dom (R) = {(x, y) ∈ R para algum y ∈ B} obrvaçã

Em geral, quando se trata de uma relação binária, utiliza‑se apenas o termo “relação” e representa‑se (x, y) ∈ R como xRy. Seja R uma relação em AxB. A imagem de R é o subconjunto de B, constituído pelos elementos y, para cada um dos quais existe algum x em A, tal que (x, y) ∈ R. Im (R) = {y ∈ B : (x, y) ∈ R para algum x ∈ A} Exemplos 1) Dados os conjuntos A = {3, 4, 7, 8}, B = {4, 7, 8} e C = {3, 4, 7, 8}: a) A x B = {(3, 4), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 7), (4, 8), (7, 4), (7, 7), (7, 8), (8, 4), (8, 7), (8, 8)}


obrvaçã

Note que a representação no plano cartesiano mostra que se A ≠ B, o produto cartesiano A x B ≠ B x A, ou seja, o produto cartesiano desses dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. 5

5

56

Este exemplo é citado por Milies e Coelho (2001, p. 26‑27) e por Nascimento e Feitosa (2009, p. 40‑41).


9 8 7 E 6 i x 5 o

4

y

3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Eixo x

Figura 38

b) B x A = {(4, 3), (4, 4), (4, 7), (4, 8), (7, 3), (7, 4), (7, 7), (7, 8), (8, 3), (8, 4), (8, 7), (8, 8)} 1) Dados os conjuntos A = {x ∈ R : 1 < x < 4} e B = {x ∈ R : 1 < x < 5}. Como os conjuntos estão representados por intervalos, o produto cartesiano desses dois conjuntos está contido em R2, ou seja, é representado gracamente por um retângulo. 2) Dados os conjuntos A = {x ∈ R : 1 < x < 4} e B = {x ∈ R : 1 < x < 5}. 9 8 7 E 6 i x 5 o


4

y

3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Eixo x

Figura 39 57

Unidade 

Como os conjuntos estão representados por intervalos, o produto cartesiano desses dois conjuntos está contido em R2, ou seja, é representado gracamente por um retângulo. a) A x B = (x, y) ∈ R2 : 1 < x < 4 e 1 < y < 5} 6 5 E i x o y

4 3 2 1 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

Eixo x

Figura 40

b) B x A = (x, y) ∈ R2 : 1 < x < 5 e 1 < y < 4}

4 3,5 E 3 i x 2,5 o


2

y

1,5 1 0,5 0 0

1

2

3 Eixo x

Figura 41 58

4

5

6


Dos exemplos acima, percebe‑se que: i) Se A e B são conjuntos nitos com n e p elementos, respectivamente, A x B é um conjunto nito com n.p elementos. ii) Se A ou B for um conjunto innito, ambos não vazios, então A x B é um conjunto innito. Conra! 4.9.2 Relação sobre um conjunto A

Uma relação sobre um conjunto A é um subconjunto R do produto cartesiano A x A. Além disso, a relação R pode ser: i) Reexiva: quando para todo a ∈ A, aRa. ii) Simétrica: quando para todos a, b ∈ A, se aRb, então bRa. iii) Transitiva: quando para todos a, b, c ∈ A, se aRb e bRc então aRc. iv) Antissimétrica: quando para todos a, b ∈ A, se aRb e bRa, então a = c. O quadro acima é importante porque é a partir do que foi colocado que se dene relação de equivalência, uma importante ferramenta nas generalizações de igualdade feitas em matemática. Ou seja, quando objetos distintos desempenham o mesmo papel dependendo da situação. 4.9.3 Relações de equivalência

Uma relação de equivalência sobre um conjunto A não vazio é uma relação reexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, se acontece: i) (∀ x)(x ∈ A ⇒ xRx) 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

ii) (∀x x ∀y)(xRy ⇒ yRx) iii) (∀x, ∀y, ∀z)(xRy e yRz ⇒ xRz) Em Domingues e Iezzi (1982, p. 19‑20), os autores idealizaram um esquema de echas que auxilia a vericação das propriedades de uma relação, quando o conjunto considerado é nito. a) Reexiva: em cada ponto do diagrama deve haver um laço.

59

Unidade 

Exemplo E

b

.a

c. Figura 42

Contraexemplo E

b

.a

c. Figura 43

b) Simétrica: toda echa deve ter duas pontas. Exemplo E


b

.a

c. Figura 44

60

d.


Contraexemplo E

b

.a

c.

d. Figura 45

c) Transitiva: para todo par de echas consecutivas existe uma echa cuja origem é a da primeira e a extremidade, a da segunda. Exemplo E

b

.a

c.

d. Figura 46

Contraexemplo 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

E

b

.a

c.

d. Figura 47 61

Unidade 

d) Antissimétrica: não há echas de duas pontas. Exemplo E

b

.a

c.

d. Figura 48

Contraexemplo E

b

.a

c.

d. Figura 49

Exemplo 1) Seja A = {a, b, c} e a relação R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}. Observe o esquema abaixo:


A

b.

.a

c. Figura 50 62


Logo, R é uma relação de equivalência. 4.9.4 Classes de equivalência

Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto A, não vazio. Dado a ∈ A, chama‑se classe de equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto [a] de A constituído pelos elementos x tais que xRa. [a] = {x ∈ A : xRa} Exemplo No exemplo acima, ou seja, dado A = {a, b, c} e a relação R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}, como R é uma relação de equivalência, podemos acrescentar que: a) [a] = {a, c} b) [b] = {b} c) [c] = {c, a} O conjunto de classes de equivalência sobre A, módulo R, é indicado por A/R e é denominado de conjunto quociente de A por R. 4.9.5 Relações de ordem

obrvaçã

A denição de ordem é fundamental em matemática! Tanto que após relembrarmos esse tópico, será proposta uma nova tarefa ao professor em formação. 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

Seja R uma relação em um conjunto A, não vazio. Esta relação é dita uma relação de ordem sobre A quando é uma relação reexiva, antissimétrica e transitiva. Ou seja, se acontece de: i) (∀ x)(x ∈ A ⇒ xRx) ii) (∀ x, y ∈ A)(xRy e yRx ⇒ x = y) iii) (∀ x, y, z ∈ A)(xRy e yRz ⇒ xRz) Nessas condições, o par (A, R) é uma estrutura de ordem e o conjunto A é ordenado por R. 63

Unidade 

obrvaçã

Uma relação de ordem às vezes é denominada de relação de ordem parcial sobre A. Exemplo Considere a estrutura de ordem representada pelo par (R, x < y). Esta é uma ordem em R. Dada uma estrutura de ordem, ela é dita estrutura de ordem total (ou ordem linear) quando para todo par de elementos x, y ∈ A, tem‑se x < y ou y < x. Ou seja, um par (A, x < y ) é uma ordem total se, e somente se, vale a lei da tricotomia: para quaisquer x, y ∈ A, vale exatamente uma das condições x < y, ou x = y ou y < x. Exemplo Considere a estrutura de ordem representada pelo par (R, x < y). Esta é uma ordem total em R. Dada a ordem (U, x < y) e um conjunto A, não vazio, e contido em U. Um elemento M de A é dito um máximo em A quando todo elemento deste conjunto for menor ou igual a M. Simbolicamente: ∀x(x ∈ A → x < M)

Um elemento M de A é dito um mínimo em A quando todo elemento deste conjunto for maior ou igual a M. Simbolicamente: ∀x(x ∈ A → m < x)

Dada a ordem (A, <) e todo subconjunto B de A, não vazio, tem elemento mínimo. Nesse caso, (A, <) é uma boa ordem.


O leitor pode estar estranhando o encaminhamento da revisão. Em verdade, já estão sendo introduzidos conceitos que serão mais detalhados posteriormente. No entanto, essa abordagem intuitiva inicial é necessária para possibilitar o desenvolvimento dos conteúdos que serão tratados nesta disciplina. Exemplo Considere a estrutura de ordem representada pelo par (N, x < y). Todo subconjunto dos números naturais possui um elemento mínimo. Portanto, (N, x < y) é uma boa ordem. 64

Tor os úmros Um momento de reflexão para o futuro professor

Há um clima na sociedade de que o professor é desnecessário. Os estudantes seriam condutores de seu conhecimento, sem que alguém que tenha conhecimento sobre a área o oriente. A ausência de licenciaturas em regime presencial na maioria das escolas de Ensino Superior é prova disso. Isso é ideia de “progresso” e, no meu entender, equivocada. O papel do professor na atualidade mudou, mas dele está sendo cobrada muito mais capacitação. Vencer uma postura cultural, estar habilitado tecnicamente e culturalmente para ser orientador e avaliar as novas propostas para o processo ensino‑aprendizagem que surgem a todo o momento não é tarefa simples. Caso assim o fosse, os programas de pós‑graduação estariam lotados de professores orientadores. E é público, no meio acadêmico, que isso não é verdade. Quanto ao prazer de ensinar – que no contato com os alunos em fóruns desse curso de licenciatura ainda parece ser um grande motivador na busca da condição de professor – vencidas as barreiras culturais, trabalhar com o estudante engajado na busca pelo saber é extremamente graticante, seja na modalidade presencial, quanto a distância. Como sempre foi. Não que os estudantes rebeldes ao processo também não sejam muito instigantes. No entanto, como foi dito na reexão anterior, os conhecimentos cientícos não são uma mera continuação ou um aprofundamento de nossa experiência cotidiana: A aquisição de conhecimentos científicos] requer que se elaborem meios especiais de abstração, de singular análise e generalização que permita fixar os nexos internos das coisas, suas essências; requer vias peculiares de “idealização” dos objetos do conhecimento. Mas a psicologia pedagógica e a didática, que marcham em prol da teoria empírica, ao estruturar as disciplinas desconhecem de fato estas peculiaridades do conhecimento científico (DAVÝDOV,1982, p. 105 apud MAGAGNATO, 2011, p. 46).

No exemplo de conjuntos, idealizados a partir de retângulos, observou‑se a tendência de formação do pensamento empírico. Isso porque o trânsito lógico formativo da abstração partiu do particular ao geral mediante a comparação das particularidades e abstração do comum, considerando o comum como se fosse o essencial. A proposta apresentada na análise feita por Magagnato (2011) é inverter o processo: a tarefa de estudo e os meios para sua realização estão colocados na forma de transformações materiais, porém já orientadas por um princípio geral. Ou seja, o início da atividade, a sua primeira ação de estudo, é a de destacar o principio geral que sistematiza as diversas particularidades do conteúdo de conhecimento que estará sendo assimilado.


O exemplo que a autora cita das tarefas organizadas por Davýdov em matemática é interessante para o estudo da teoria dos números. Ele teve como referência formar nos alunos o conceito de número real, por meio de organização de tarefas e as ações de estudos, para a formação da ideia de número em geral cuja base é o conceito de grandeza matemática (Davýdov, 1988, apud MAGAGNATO, 2011). A primeira tarefa de estudo consistiu na introdução dos alunos na esfera das relações das grandezas, com a noção matemática de quantidade, por meio das relações entre as grandezas e suas propriedades: “igual”, “menor do que”, “maior do que”. 65

Unidade  A orientação através dessas relações gerais permite que a criança realize uma comparação diferencial das grandezas apresentadas objetualmente. Ainda antes da assimilação do conceito de número o estudante pode fixar os resultados da comparação com ajuda de fórmulas, expressas por meio de letras, tais como a = b ; a > b ; a < b e realizar muitas de suas transformações, por exemplo, a + c = b ; a = b – c ; a + c = b + c etc. apoiando‑se nas propriedades dessas relações (Davýdov, 1988, p. 185 apud MAGAGNATO, 2011, p. 60).

A tarefa de formação do conceito abstrato de número é realizada a partir de quatro ações de estudo. A primeira é realizada por meio da relação de multiplicidade das grandezas. “Durante o cumprimento da primeira ação de estudo, os alunos realizam uma transformação objetual das grandezas, na qual põe em evidência o caráter múltiplo da relação” (Davýdov, 1988, p.185‑186). Apresenta‑se ao estudante situações em que as grandezas de mesma espécie A e B não podem ser comparadas diretamente e ele é instado a encontrar uma grandeza auxiliar C e a relação múltiplo (quantas vezes C “cabe” em A e B), registrando‑se a operação nas formas signica múltiplo).

A C

e

B C

(nas quais o traço

A segunda ação de estudo é modelar a relação “múltiplo” e seu resultado, na qual pode se utilizar de objetos, grácos ou letras. A comparação diferencial das grandezas A e B, portanto, expressa‑se como a seguir, considerando A > B e n > m: A C

=

B C

=

n

(1)

m

(2)

O modelo de número xado nas expressões acima generaliza a relação múltiplo para a comparação de grandezas em relação a qualquer tipo de número, sejam os naturais, negativos, fracionários etc. (Davýdov, 1988, apud MAGAGNATO, 2011,). Assim a contagem aparece como um caso particular de medida e a álgebra conduz o aprendizado da aritmética. 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

A terceira ação de estudo está ligada à transformação do modelo para entendimento de suas propriedades. Assim, por exemplo, “a modicação da unidade C, com a mesma grandeza inicial A leva à mudança do número concreto que representa sua relação múltiplo. Se, por exemplo A b

A C

=

k

e b < c então

etc.” (Davýdov, 1988 apud MAGAGNATO, 2011).

Durante a realização da atividade de estudo o professor deve propor situações nas quais se utilizam diferentes unidades de medida, instigando os alunos a estabelecerem relações entre elas. A partir das relações com distintas unidades de medida, trabalham‑se, inclusive, bases numéricas distintas. Assim, o número é entendido como multissignificativo, isto é, depende da base numérica a que se refere. 66


A quarta ação de estudo consiste na passagem do abstrato ao concreto, em que se liga o princípio geral de número a situações particulares. Desta maneira, os alunos resolvem a tarefa de estudo inicial pela via da construção do procedimento geral de obter o número e, ao mesmo tempo, assimilam seu conceito. A partir desse momento, eles podem aplicar esse procedimento e o conceito correspondente nas mais diferentes situações da vida que requerem a determinação da característica numérica dos objetos (Davýdov, 1988, p. 187, apud MAGAGNATO, 2011, p. 61).

4.10 Rprnta picinal  intir 4.10.1 Introdução

Os algarismos utilizados atualmente surgiram na Índia, no século VII, e a sua difusão internacional se deu, em grande parte, pelas atividades dos árabes, segundo Domingues (1991). A graa atual mal se assemelha à original, uma vez que o uso dos algarismos foi introduzindo modicações, no decorrer do tempo. O Ocidente aceitou o sistema posicional decimal como padrão, importado de outros povos, porque se encontrava em um período de estagnação na primeira fase do período medieval, conclui o autor. Em relação ao tratamento lógico‑dedutivo em matemática, segundo Domingues (1991) e Milies e Coelho (2001), iniciou‑se na geometria, 300 anos antes de Cristo, nos Elementos de Euclides. No entanto, segundo Domingues (1991), no que se refere à teoria dos números, a primeira tentativa nesse sentido é atribuída a Giovanni Campano (por volta de 1260), um capelão do Papa Urbano IV. Ele atribuiu à noção de número natural, que se desenvolveu gradativamente a partir das experiências cotidianas, quatro postulados, sendo que o último introduziu a ideia de existência do mínimo de qualquer coleção de números naturais. O primeiro uso conhecido dos números negativos, segundo Milies e Coelho (2001), encontra‑se em uma obra indiana, atribuída a Brahmagupta (628 d.C., aproximadamente), na qual são interpretados como dívidas. Domingues (1991) observa que Brahmagupta já conhecia as regras das quatro operações com números negativos. No entanto, salienta o autor, ao introduzirem os números negativos, os hindus não tinham nenhuma preocupação de ordem teórica. Os progressos matemáticos aconteceram na Índia, por essa época, quase que por acaso e em grande parte em decorrência do descompromisso com o rigor e a formalidade.


Em 1861, segundo Domingues (1991), Hermann G. Grassmann definiu adição e multiplicação dos números inteiros e demonstrou as propriedades fundamentais dessas operações. No entanto, segundo esses autores, a primeira fundamentação cuidadosa, um sistema completo de axiomas para a aritmética, foi apresentado por Richard Dedekind em torno da década de 1880 e a noção de número natural (a partir da qual se pode explicitar a noção de inteiros) foi fundamentada com precisão pela primeira vez por Giuseppe Peano em sua Arithmetica principia nova methodo exposita (na década de 1890). 67

Unidade 

4.10.2 Representação posicional dos naturais e inteiros

Para o desenvolvimento do conteúdo desta disciplina, serão consideradas as seguintes notações: i) O conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4...} N* = {1, 2, 3, 4...} ii) O conjunto dos números inteiros: Z = {..., ‑3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2, 3, 4...} • Um número inteiro positivo é um elemento do subconjunto dos números inteiros (que pode ser identicado com o conjunto dos números naturais: Z+* = {0, 1, 2, 3, 4...}. • Um número inteiro estritamente positivo é um elemento do subconjunto dos números inteiros: Z+* = {+1, +2, +3, +4...}. • Dado a ∈ Z, se –a ∈ Z+, dizemos que a é um número negativo. • Dado a ∈ Z, se –a ∈ Z+*, dizemos que a é um número estritamente negativo. Observe que o signicado do sinal negativo determina uma posição do número em relação ao zero, ou seja, números negativos são números simétricos aos positivos em relação ao número 0. Nas propriedades dos números inteiros, o leitor poderá perceber essa observação com mais precisão a partir da propriedade do simétrico aditivo. Vimos em tópico anterior que a estrutura de ordem representada pelo par (N, x < y) é uma boa ordem. A partir dela, dados a, b ∈ N, dene‑se que a < b em N se b = a + p, para algum p ∈ N. O número p é então denido como diferença entre b e a e é indicado por p = b – a. 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

Seja um par (A, x < y). Dizemos que se trata de uma ordem restrita quando para todo par de elementos x, y ∈ A, o elemento x é estritamente menor do que y , ou seja, dene‑se x < y quando x < y e x ≠ y. Nesse caso, < é uma ordem restrita. Assim, dados a, b ∈ N, dene‑se que a < b em N se b – a + q, para algum q ≠ 0. obrvaçã

Não basta, como no caso da estrutura de ordem (N, x < y), algum número pertencente a N, uma vez que x ≠ y. Daí a exigência da existência de um q ≠ 0. 68


A partir dessas relações estendeu‑se ao conjunto dos números inteiros a possibilidade de se comparar os seus elementos. Denição

Sejam a, b ∈ Z, dene‑se que a < b em Z se b = a + p, para algum p ∈ Z. O número p é então denido como diferença entre b e a e é indicado por p = b –a. Caso p ∈ Z+*, então se dene que a< b em Z se b = a + p.

4.11 Númr intir: prpria grai  aplicaõ O futuro professor de matemática deve estar atento às propriedades a seguir. Os conceitos introduzidos no Ensino Fundamental acompanharão os estudantes em toda sua vida escolar. Vale a pena ler o artigo sobre a ansiedade na aprendizagem da matemática dos autores citados abaixo: Vericou‑se então que, no contexto desta pesquisa, os alunos de sexta série apresentaram uma relação mais negativa com a matemática. [...] pode‑se pensar que haja relação entre estas atitudes negativas dos estudantes frente à matemática durante a sexta série e a introdução à álgebra. [...] Esses resultados estão em consonância com outros (Brito, 1996; Utsumi, 2000) que apontaram que as atitudes em relação à matemática não são estáveis e cristalizadas, mas sim mutáveis, tornando‑se mais negativas na sexta e sétima séries, quando da passagem da aritmética para a álgebra (LOOS, FALCO, ACIOLY‑RÉGNIER, 2001, p. 246). 4.11.1 Operações de adição e multiplicação

No conjunto dos números inteiros, estão denidas duas operações que são denominadas de adição e multiplicação, que serão assumidas como válidas. Com base nas propriedades básicas das operações, levando em consideração os elementos em Z, zero (0) e um (1) e os pares (Z, <), (Z, <) serão listadas as seguintes propriedades: 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã a m a r a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

Sejam a, b, c ∈ Z: 1) Fechamento: a + b ∈ Z e a . b ∈ Z. Adição 1) Comutatividade: a + b = b + a. 2) Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c. 3) Elemento neutro da adição: ∃ 0 ∈ Z : a + 0 = 0 + a. 69

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4) Simétrico aditivo: para cada a ∈ Z, existe –a ∈ Z tal que a + (–a) = 0. Multiplicação

1) Comutatividade: ab = ba para todo a, b ∈ Z. 2) Associatividade: a . (bc) = (ab) c. 3) Elemento neutro da multiplicação: ∃ 1 ∈ Z : 1 . a = a . 1 4) Distributividade da multiplicação em relação à adição: a . (b + c) = a . b + a . c. 5) Multiplicação por zero (anulamento do produto): 0 . a = 0. 6) Integridade: se a . b = 0, então a = 0 ou b = 0. 7) Se a . b = 1, então a = ± 1 e b = ± 1, na mesma ordem. • Regra do sinal: i) –(–a) = a ii) (–a) b = a (–b) = – (ab) iii) (–a)(–b) = ab iv) (a)(b) = ab • Tricotomia: dados a, b ∈ Z, então a < b ou a = b ou b < a. • Desigualdades: i) a < b ⇔ a + c < b + c.


ii) Se 0 < c, então a < b ⇔ a < bc. iii) Se c < 0, então a < b ⇔ a > bc. • Cancelamento: i) a + c = b + c ⇔ a = b. ii) Se a ≠ 0, então ab = ac ⇔ b = c. 70


• Para cada a ∈ Z, a2 = aa. • Dada a relação pelo par (Z, <): i) a < a, ∀ a ∈ Z (reexiva). ii) Se a < b e b < a então a = b (antissimétrica). iii) Se a < b e b < c, então a < c (transitiva). iv) Dados a, b ∈ Z, então a < b ou b < a (totalidade). v) Se a < b ⇒ a + c < b + c, ∀ c ∈ Z (compatibilidade com a adição). vi) Se 0 < a e 0 < b, então 0 < ab (compatibilidade com a multiplicação). vii) a < 0, então –a > 0. viii) a > 0 , então –a < 0 . ix) a2 > 0. • Regras de sinais, dada a relação pelo par (z, <): i) Se 0 < a e 0 < b, então 0 < ab. ii) Se 0 < a e b < 0, então ab < 0. iii) Se a < 0 e b < 0, então 0 < ab. 4.11.2 Princípio do menor número inteiro

Na teoria desenvolvida acima, foram apresentados os conceitos de máximo e mínimo de um conjunto qualquer, não vazio, contido em um conjunto U. Particularizar esse conceito para o conjunto dos números inteiros será útil para o desenvolvimento do que será apresentado a seguir nesta apostila.


Dada a ordem (Z, x < y) e um conjunto A, não vazio, e contido em Z. A partir do conceito de mínimo: Um elemento M de A é dito um mínimo em A quando todo elemento desse conjunto for maior ou igual a M. Simbolicamente: ∀x (x ∈ A → m < x) 71

Unidade 

Pode‑se enunciar o princípio do menor número inteiro a partir da constatação: Seja um conjunto A, não vazio, e contido em Z. A é denominado um conjunto limitado inferiormente se existe um elemento a ∈ Z, tal que a < x, ∀x ∈ A. Simbolicamente: ∀x (x ∈ A → a < x)

Seja um conjunto A, não vazio, e contido em Z. Se A é um conjunto limitado inferiormente, então existe um elemento m ∈ A, tal que m < x, ∀x ∈ A. O elemento M é então denominado de mínimo de A. Exemplos 1) Seja A subconjunto de Z e denido como A = {‑1, 0, 1, 2, 3...}. Esse conjunto tem como limites inferiores ‑1, ‑2, ‑3... Ou seja, elemento do conjunto Z, tal que se a ∈ Z, então a < x, ∀x ∈ A. Porém, o mínimo do conjunto A é ‑1, uma vez que –1 ∈ A, tal que –1 < x, ∀x ∈ A. 2) Seja B subconjunto de Z e denido como B = {...‑1, 0, 1, 2, 3}. Esse conjunto não é limitado inferiormente, uma vez que não é possível apresentar limites inferiores em Z, de tal forma que se a ∈ Z, então a < x, ∀x ∈ A. Logo, ele não possui mínimo. obrvaçã

Seja A subconjunto de Z, não limitado inferiormente. Esse conjunto A não possui mínimo. Rum

No primeiro tópico dessa unidade foi mostrado como a matemática se desenvolveu de acordo com condições e necessidades históricas. A sociedade e a cultura de uma época histórica sempre se adaptaram a um mundo em transição.


Não é simples localizar no tempo as descobertas em matemática. As comunidades não se comunicavam com facilidade e os materiais de escrita sobre as descobertas na antiguidade não se preservaram, em decorrência da fragilidade dos materiais utilizados para esse m. Muito das descobertas na história da matemática se perdeu com a extinção de algumas civilizações. A história da matemática é caótica e tumultuada, cheia de avanços fulgurantes e de recaídas, de passos incertos, erráticos, feito de tentativas e de erros, de impasses, de esquecimentos e de renúncias da espécie humana. 72


São denominados de “berços da civilização” as regiões agrícolas do Oriente Médio, China e Egito, em razão do desenvolvimento do conhecimento matemático nessas regiões. Para que o ser humano pudesse progredir no universo dos números, foi necessário que certos procedimentos mentais fossem agregados à sensação numérica inata. Os babilônios utilizavam um sistema de escrita cuneiforme (do latim cuneus , cunha), que utilizava símbolos que variavam de signicado conforme sua posição, constituindo‑se, assim, no primeiro exemplo de escrita posicional. No entanto, eles não dispunham de zero, o que tornava a escrita confusa. Somente com os hindus o zero ganhou o status de número. Apesar de suas raízes empíricas, a matemática é uma ciência dedutiva. Com os gregos, mais ou menos a partir do século VI a.C., a produção do conhecimento matemático passou a ser pautada na análise da realidade a partir da razão, como instrumento na busca da verdade. O sistema de numeração atual, no qual se formam os números por justaposição dos dez dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é quase sempre denominado de notação árabe, porque aos árabes se atribui sua divulgação pelo mundo no século VII. No entanto, sua origem é hindu. No segundo tópicos tratou‑se da Teoria Elementar dos Conjuntos, relações de ordem e, por m o conceito de número, cuja base é o conceito de grandeza matemática. De forma particular apresentou‑se as relações e propriedades dos números inteiros. exrcíci Questão 01. (ENADE‑MATEMÁTICA/2005) É comum alunos do Ensino Médio conhecerem a

demonstração do teorema de Pitágoras feita no livro I de Os Elementos de Euclides. Nela, usa‑se o fato de que todo triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c , está inscrito em um semicírculo. Demonstra‑se que as projeções m e n de AB e AC sobre a hipotenusa satisfazem à relação mn = h 2 em que h é a altura do triângulo. Por meio das relações de proporcionalidade entre os lados dos triângulos ABD, CAD e CBA, prova‑se que a2 + b2 = c2.


A h B

n

m D

C

, 73

Unidade 

Além de demonstrar o teorema de Pitágoras, o professor pode, ainda, com essa estratégia, demonstrar que I. é possível construir, com régua e compasso, a média geométrica entre dois números reais m e n. II. é possível construir, com régua e compasso, um quadrado de mesma área que a de um retângulo de lados m e n. III. todos os triângulos retângulos que aparecem na gura são semelhantes. Assinale a opção correta. A) Apenas um item está certo. B) Apenas os itens I e II estão certos. C) Apenas os itens I e III estão certos. D) Apenas os itens II e III estão certos. E) Todos os itens estão certos. Resposta correta: alternativa E. Análise das armativas:

I – Armativa correta. JUSIFICATIVA. Como h m.n dene a média geométrica de m e n e h2 = m . n, podemos ter a representação com régua e compasso da média geométrica de m e n, dada por h. =

II – Armativa correta. 1 1 0 2 / 2 1 / 4 1 o i c r á M : o ã ç a m a r g a i D o d l a r e G : o ã s i v e R

JUSTIFICATIVA. Se h2 = m . n, então a área de um quadrado de lado h é igual à área de um retângulo de lados m e n. III – Armativa correta. JUSTIFICATIVA. Podemos vericar que os triângulos BAD, ADB e ADC são semelhantes, pois têm os seus ângulos congruentes. Alternativa correta: E (todas as armativas estão corretas).

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Teoria dos Números_Unidade I

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