Teorema de Bell

5/28/2018

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Teorema de Bell

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Teorema de Bell El teorema de Bell o desigualdades de Bell se aplica en mec€nica cu€ntica para cuantificar matem€ticamente las implicaciones planteadas te•ricamente en la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen y permitir as‚ su demostraci•n experimental. Debe su nombre al cient‚fico norirlandƒs John S. Bell, que la present• en 1964. El teorema de Bell es un metateorema que muestra que las predicciones de la mec€nica cu€ntica (MC) no son intuitivas, y afecta a temas filos•ficos fundamentales de la f‚sica moderna. Es el legado m€s famoso del f‚sico John S. Bell. El teorema de Bell es un teorema de imposibilidad, que afirma que: Ninguna teor‚a f‚sica de variables ocultas locales puede reproducir todas las predicciones de la mec€nica cu€ntica.

Introducci€n Como en el experimento expuesto en la paradoja EPR, Bell consider• un experimento donde una fuente produce pares de part‚culas entrelazadas. Por ejemplo, cuando un par de part‚culas con espines entrelazados es creado; una part‚cula se env‚a a Alicia y la otra a Bob. En cada intento, cada observador Ilustraci•n del test de Bell para part‚culas de esp‚n 1/2. La fuente produce un par de independientemente elige entre varios esp‚n singlete, una part‚cula se env‚a a Alicia y otra a Bob. Cada una problema de la medidamide uno de los dos espines posibles. ajustes del detector y realiza una medida sobre la part‚cula. (Nota: aunque la propiedad entrelazada utilizada aqu‚ es el esp‚n de la part‚cula, podr‚a haber sido cualquier "estado cu€ntico" entrelazado que codifique exactamente un bit cu€ntico.) Cuando Alicia y Bob miden el esp‚n de la part‚cula a lo largo del mismo eje (pero en direcciones opuestas), obtienen resultados idƒnticos el 100% de las veces. Pero cuando Bob mide en €ngulos ortogonales (rectos) a las medidas de Alicia, obtienen resultados idƒnticos „nicamente el 50% de las veces. En tƒrminos matem€ticos, las dos medidas tienen una correlaci•n de 1, o correlaci•n perfecta cuando se miden de la misma forma; pero cuando se miden en €ngulos rectos, tienen una correlaci•n de 0; es decir, ninguna correlaci•n. (Una correlaci•n de €1 indicar‚a tener resultados opuestos en cada medida.) Mismo eje:

par 1 par 2 par 3 par 4

... n

Alicia, 0…:

+

€

€

+

...

Bob, 180…:

+

€

€

+

...

Correlaci€n: (

+1

+1

+1

+1

...)/ n = +1

(100% idƒntica) Ejes ortogonales: par 1 par 2 par 3 par 4

... n

Alicia, 0…:

+

€

+

€

...

Bob, 90…:

€

€

+

+

...

Correlaci€n: ( €1

+1

+1 €1

...)/ n = 0.0

(50% idƒntica)

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De hecho, los resultados pueden ser explicados a†adiendo variables ocultas locales - cada par de part‚culas podr‚a haber sido enviada con instrucciones sobre c•mo comportarse seg„n se las mida en los dos ejes (si '+' o ' €' para cada eje). Claramente, si la fuente „nicamente env‚a part‚culas cuyas instrucciones sean idƒnticas para cada eje, entonces cuando Alicia y Bob midan sobre el mismo eje, est€n condenados a obtener resultados idƒnticos, o bien (+,+) o € €

( , ); pero (si todos las posibles combinaciones de + y perpendiculares ver€n correlaci•n cero.

€

son generadas igualmente) cuando ellos midan sobre ejes

Ahora, considere que Alicia o Bob pueden rotar sus aparatos de forma relativa entre ellos un €ngulo cualquiera en cualquier momento antes de medir las part‚culas, incluso despu€s de que las part‚culas abandonen la fuente. Si las variables ocultas locales determinan el resultado de las medidas, entonces las part‚culas deber‚an codificar en el momento de abandonar la fuente los resultados de medida para cualquier posible direcci•n de medida, y no s•lo los resultados para un eje particular. Bob comienza este experimento con su aparato rotado 45 grados. Llamamos a los ejes de Alicia y , y a los ejes rotados de Bob y . Alice y Bob entonces graban las direcciones en que ellos miden las part‚culas, y los resultados que obtienen. Al final, comparan sus resultados, puntuando +1 por cada vez que obtienen el mismo resultado y €1 si obtienen un resultado opuesto - excepto que si Alicia midi• en y Bob midi• en , puntuar€n +1 por un resultado opuesto y €1 para el mismo resultado. Utilizando este sistema de puntuaci•n, cualquier posible combinaci•n de variables ocultas producir‚a una puntuaci•n media esperada de, como m€ximo, +0.5. (Por ejemplo, mirando la tabla inferior, donde los valores m€s correlacionados de las variables ocultas tienen una correlaci•n media de +0.5, i.e. idƒnticas al 75%. El "sistema de puntuaci•n" inusual asegura que la m€xima correlaci•n media esperada es +0.5 para cualquier posible sistema que estƒ basado en variables locales.) Modelo cl•sico:

variables altamente correlacionadas

variables menos correlacionadas

Variable oculta para 0… ( a):

+

+

+

+

€

€

€

€

+

+

+

+

€

€

€

€

Variable oculta para 45… ( b):

+

+

+

€

€

€

€

+

+

€

€

€

+

+

+

-

Variable oculta para 90… ( a'):

+

+

€

€

€

€

+

+

-

+

+

€

+

€

€

+

Variable oculta para 135… (b'):

+

€

€

€

€

+

+

+

+

+

€

+

€

+

€

€

+1

+1

+1

€

1

+1

+1

+1

-1

+1

€

Si se mide sobre a' € b, puntuaci•n: +1

+1

€

1

+1

+1

+1

€

1

+1

€

1

Si se mide sobre a'-b', puntuaci•n:

+1

€

1

+1

+1

+1

€

1

+1

+1

-1

Si se mide sobre a € b', puntuaci•n:

€

+1

+1

+1

€

+1

+1

+1

€

-

Puntuaci€n de correlaci€n:

Si se mide sobre a-b, puntuaci•n:

Puntuaci€n esperada promedio:

1

1

+0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5

1

€

1

€

€

1

€

+1

€

1

€

1

+1

+1

€

€

1

€

1

1

+1

€

0.5

€

1

€

0.5

€

€

0.5

1

1

+1

€

1

€

€

+1

€

1

+1

€

1

€

0.5

€

0.5

€

€

1

€

0.5

€

€

1

1

€

1 1

0.5

€

1 1 1 0.5

El teorema de Bell muestra que si las part‚culas se comportan como predice la mec€nica cu€ntica, Alicia y Bob pueden puntuar m€s alto que la predicci•n cl€sica de variables ocultas de correlaci•n +0.5; si los aparatos se rotan 45… entre s‚, la mec€nica cu€ntica predice que la puntuaci•n esperada promedio ser€ 0.71. (Predicci•n cu€ntica en detalle: Cuando las observaciones en un €ngulo de son realizadas sobre dos part‚culas entrelazadas, la correlaci•n predicha es . La correlaci•n es igual a la longitud de la proyecci•n del vector de la part‚cula sobre su vector de medida; por trigonometr‚a, . es 45…, y es , para todos los pares de ejes excepto

•

donde son 135… y

•

pero este „ltimo se toma negativo en el sistema de puntuaci•n

acordado, por lo que la puntuaci•n total es ; 0.707. En otras palabras, las part‚culas se comportan como si cuando Alicia o Bob hacen una medida, la otra part‚cula decidiese conmutar para tomar esa direcci•n instant€neamente.)


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Varios investigadores han realizado experimentos equivalentes utilizando diferentes mƒtodos. Parece que muchos de estos experimentos producen resultados que est€n de acuerdo con las predicciones de la mec€nica cu€ntica [1], conduciendo a la refutaci•n de las teor‚as de variables ocultas locales y la demostraci•n de la no localidad. Todav‚a existen cient‚ficos que no est€n de acuerdo con estos hallazgos [2]. Se encontraron dos escapatorias en el primero de estos experimentos, la escapatoria de detecci•n [3] y la escapatoria de comunicaci•n [4] con los experimentos asociados para cerrar estas escapatorias. Tras toda la experimentaci•n actual parece que estos experimentos dan prima facie soporte para las predicciones de la mec€nica cu€ntica de no localidad [5].

Importancia del teorema Este teorema ha sido denominado "el m€s profundo de la ciencia." [6] El art‚culo seminal de Bell de 1964 fue titulado "Sobre la paradoja de Einstein Podolsky Rosen." [7] La paradoja Einstein Podolsky Rosen (paradoja EPR) demuestra que, sobre la base de la asunci•n de "localidad" (los efectos f‚sicos tienen una velocidad de propagaci•n finita) y de "realidad" (los estados f‚sicos existen antes de ser medidos) que los atributos de las part‚cula tienen valores definidos independientemente del acto de observaci•n. Bell mostr• que el realismo local conduce a un requisito para ciertos tipos de fen•menos que no est€ presente en la mec€nica cu€ntica. Este requisito es denominado desigualdad de Bell. Despuƒs de EPR (Einstein • Podolsky • Rosen), la mec€nica cu€ntica qued• en una posici•n insatisfactoria: o estaba incompleta, en el sentido de que fallaba en tener en cuenta algunos elementos de la realidad f‚sica, o violaba el principio de propagaci•n finita de los efectos f‚sicos. En una modificaci•n del experimento mental EPR, dos observadores, ahora com„nmente llamados Alicia y Bob, realizan medidas independientes del esp‚n sobre un par de electrones, preparados en una fuente en un estado especial llamado un estado de esp•n singlete. Era equivalente a la conclusi•n de EPR de que una vez Alicia midiese el esp‚n en una direcci•n (i.e. sobre el eje x), la medida de Bob en esa direcci•n estar‚a determinada con total certeza, con resultado opuesto al de Alicia, mientras que inmediatamente antes de la medida de Alicia, el resultado de Bob estaba s•lo determinado estad‚sticamente. Por tanto, o el esp‚n en cada direcci•n es un elemento de realidad f‚sica, o los efectos viajan desde Alicia a Bob de forma instant€nea. ‚

En mec€nica cu€ntica (MC), las predicciones son formuladas en tƒrminos de probabilidades por ejemplo, la probabilidad de que un electr•n sea detectado en una regi•n particular del espacio, o la probabilidad de que tenga esp‚n arriba o abajo. Sin embargo, persiste la idea de que un electr•n tiene una posici•n y esp‚n definidos, y que la debilidad de la MC es su incapacidad de predecir exactamente esos valores de forma precisa. Queda la posibilidad de que alguna teor‚a m€s potente todav‚a desconocida, como una teor•a de variables ocultas, pueda ser capaz de predecir estas cantidades exactamente, mientras al mismo tiempo estƒ en completo acuerdo con las respuestas probabil‚sticas dadas por la MC. Si una teor•a de variables ocultas fuera correcta, las variables ocultas no ser‚an descritas por la MC, y por lo tanto la MC ser‚a una teor‚a incompleta. El deseo de una teor•a local realista se basaba en dos hip•tesis: 1. Los objetos tienen un estado definido que determina los valores de todas las otras variables medibles, como la posici•n y el momento. 2. Los efectos de las acciones locales, como las mediciones, no pueden viajar m€s r€pido que la velocidad de la luz (como resultado de la relatividad especial). Si los observadores est€n suficientemente alejados, una medida realizada por uno no tiene efecto en la medida realizada por el otro. En la formalizaci•n del realismo local utilizada por Bell, las predicciones de la teor‚a resultan de la aplicaci•n de la probabilidad cl€sica a un espacio de par€metros subyacente. Mediante un simple (aunque inteligente) argumento basado en la probabilidad cl€sica, mostr• que las correlaciones entre las medidas est€n acotadas de una forma que es violada por la MC. El teorema de Bell parece poner punto final a las esperanzas del realismo local para la MC. Por el teorema de Bell, o bien la mec€nica cu€ntica o bien el realismo local est€n equivocados. Se necesitan experimentos para determinar cu€l es correcto, pero llev• muchos a†os y muchos avances en la tecnolog‚a el poder realizarlos.


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Los experimentos de prueba de Bell hasta la fecha muestran inequ‚vocamente que las desigualdades de Bell son violadas. Estos resultados proveen evidencia emp‚rica contra el realismo local y en favor de la MC. El teorema de no comunicaci•n prueba que los observadores no pueden utilizar las violaciones de la desigualdad para comunicarse informaci•n entre ellos m€s r€pido que la luz. El art‚culo de John Bell examina tanto la prueba de 1932 de John von Neumann sobre la incompatibilidad de las variables ocultas con la mec€nica cu€ntica, como el artculo seminal de Albert Einstein y sus colegas de 1935 sobre la materia.

Desigualdades de Bell Las desigualdades de Bell conciernen mediciones realizadas por observadores sobre pares de part‚culas que han interaccionado y se han separado. De acuerdo a la mec€nica cu€ntica las part‚culas est€n en un estado entrelazado, mientras que el realismo local limita la correlaci•n de las siguientes medidas sobre las part‚culas. Autores diferentes posteriormente han derivado desigualdades similares a la desigualdad de Bell original, colectivamente denominadas desigualdades de Bell. Todas las desigualdades de Bell describen experimentos donde el resultado predicho asumiendo entrelazamiento difiere del que se deducir‚a del realismo local. Las desigualdades asumen que cada objeto de nivel cu€ntico tiene un estado bien definido que da cuenta de todas sus propiedades medibles y que objetos distantes no intercambian informaci•n m€s r€pido que la velocidad de la luz. Estos estados bien definidos son llamados a menudo variables ocultas, las propiedades que Einstein afirm• cuando hizo su famosa objeci•n a la mec€nica cu€ntica: "Dios no juega a los dados." Bell mostr• que bajo la mec€nica cu€ntica, que carece de variables locales ocultas, las desigualdades (el l‚mite de correlaci•n) pueden ser violadas. En cambio, las propiedades de una part‚cula que no son f€ciles de verificar en mec€nica cu€ntica pero pueden estar correlacionadas con las de la otra part‚cula debido al entrelazamiento cu€ntico, permiten que su estado estƒ bien definido s•lo cuando una medida se hace sobre la otra part‚cula. Esta restricci•n est€ de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg, un concepto fundamental e ineludible de la mec€nica cu€ntica. En el trabajo de Bell: Los f‚sicos te•ricos viven en un mundo cl€sico, mirando hacia un mundo cu€ntico. El „ltimo es descrito s•lo subjetivamente, en tƒrminos de procedimientos y resultados sobre nuestro dominio cl€sico. (...) Nadie conoce d•nde se encuentra el l‚mite entre el dominio cl€sico y el cu€ntico. (...) M€s plausible para m‚ es que encontremos que no hay l‚mite. Las funciones de onda ser‚an una descripci•n provisional o incompleta de la parte de la mec€nica cu€ntica. Es esta posibilidad, acerca de una visi•n homogƒnea del mundo, lo que constituye para m‚ la motivaci•n principal que me lleva al estudio de la as‚ llamada posibilidad de las "variables ocultas". (...) Una segunda motivaci•n est€ conectada con el car€cter estad‚stico de las predicciones de la mec€nica cu€ntica. Una vez se sospecha de la incompletitud de la descripci•n por funciones de onda, se puede aventurar que las fluctuaciones aleatorias estad‚sticas est€n determinadas por las variables adicionales "ocultas" ‚ "ocultas" porque hasta ahora s•lo podemos conjeturar su existencia y ciertamente no podemos controlarlas. (...) Una tercera motivaci•n est€ en el car€cter peculiar de algunas predicciones de la mec€nica cu€ntica, que parecen casi gritar por una interpretaci•n de variables ocultas. Este es el famoso argumento de Einstein, Podolsky y Rosen. (...) Encontramos, sin embargo, que ninguna teor‚a local determinista de variables ocultas puede reproducir todas las predicciones experimentales de la mec€nica cu€ntica. Esto abre la posibilidad de traer la cuesti•n al dominio experimental, intentando aproximar tanto como sea posible las situaciones ideales donde las variables locales ocultas y la mec€nica cu€ntica no concuerdan En teor‚a de la probabilidad, las mediciones repetidas de las propiedades de un sistema pueden ser consideradas como muestras repetidas de variables aleatorias. En el experimento de Bell, Alicia puede elegir el ajuste del detector


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Teorema de Bell para medir o bien

5 o bien

y Bob puede elegir un ajuste del detector para medir o bien

o bien

. Las medidas

Bob deben de alguna forma estar correlacionadas entre s‚, pero las desigualdades de Bell dicen que si la correlaci•n proviene de variables aleatorias locales, entonces existe un l‚mite a la magnitud de la correlaci•n que uno puede esperar obtener. Desigualdad original de Bell La desigualdad original que Bell dedujo fue: donde C es la "correlaci•n" de los pares de part‚culas y a, b y c ajustes del aparato. Esta desigualdad no se utiliza en la pr€ctica. Por un lado, es cierta s•lo para sistemas genuinamente de "dos salidas", no para los de "tres salidas" (con posibles salidas de cero adem€s de +1 y €1) encontradas en los experimientos reales. Por otro, se aplica „nicamente a un conjunto muy restrictivo de teor‚as de variables ocultas, solamente a aquellas para las que las salidas a ambos lados del experimento est€n siempre anticorrelacionadas cuando los analizadores est€n paralelos, de acuerdo con la predicci•n de la mec€nica cu€ntica. Existe un l‚mite simple de la desigualdad de Bell que tiene la virtud de ser completamente intuitivo. Si el resultado de tres lanzamientos de monedas estad‚sticamente diferentes A,B,C tienen la propiedad de que: 1. A y B son los mismos (ambos caras o ambos cruces) 99% del tiempo 2. B y C son los mismo el 99% del tiempo entonces A y C son los mismo por lo menos el 98% del tiempo. El n„mero de discordancias entre A y B (1/100) m€s el n„mero de discordancias entre B y C (1/100) son el m€ximo n„mero posible de discordancias entre A y C. En mec€nica cu€ntica, dejando que A,B,C sean los valores del esp‚n de dos part‚culas entrelazadas medidas con respecto a alg„n eje a 0 grados, ‚ grados, y 2‚ grados respectivamente, el solapamiento de la funci•n de onda entre los distintos €ngulos es proporcional a . La probabilidad de que A y B den la misma respuesta es , donde es proporcional a ‚. Esta es tambiƒn la probabilidad de que B y C den la misma respuesta. Pero A y C son los mismos 1 € (2 ƒ)2 del tiempo. Eligiendo el €ngulo para que , A y B est€n correlacionados al 99%, B y C est€n correlacionados al 99% y A y C est€n correlacionados s•lo el 96%. Imagine que dos part‚culas entrelazadas en un singlete de esp‚n se alejan a dos localizaciones diferentes, y que los espines de ambas son medidos en la direcci•n A. Los espines estar€n correlacionados al 100% (realmente, anticorrelacionados pero para este argumento es equivalente). Lo mismo es cierto si ambos espines son medidos en las direcciones B o C. Es seguro concluir que cualquier variable oculta que determinase las medidas de A, B y C en las dos part‚culas est€ correlacionada al 100% y puede ser utilizada indistintamente en ambas. Si A es medida en una part‚cula y B en la otra, la correlaci•n entre ellas es del 99%. Si B es medida en una y C en la otra, la correlaci•n es del 99%. Esto nos permite concluir que las variables ocultas que determinan A y B est€n correlacionadas al 99% y las de B y C al 99%. Pero si A se mide en una part‚cula y C en la otra, los resultados est€n correlacionados s•lo en un 96%, lo que es una contradicci•n. La formulaci•n intuitiva se debe a David Mermin, mientras que el l‚mite del €ngulo peque†o es destacado en el art‚culo original de Bell.


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Desigualdad CHSH Adicionalmente a la desigualdad de Bell original, la forma dada por John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony and R. A. Holt,[8] (the CHSH form) es especialmente importante, porque da l‚mites cl€sicos a la correlaci•n esperada para el experimiento anterior realizado por Alicia y Bob: donde C denota correlaci•n. La correlaci•n de observables X , Y se define como Esta es una forma no normalizada del coeficiente de correlaci•n considerada en estad‚stica (ver correlaci•n cu€ntica). Para formular el teorema de Bell, formalizaremos el realismo local como sigue: 1. Existe un espacio de probabilidades y las salidas observadas de Alicia y Bob resultan del muestreo aleatorio del par€metro . 2. Los valores observados por Alicia y Bob son funciones de los ajustes del detector local y de los par€metros ocultos „nicamente. Luego ˆ El valor observado por Alicia con el detector ajustado en a es ˆ El valor observado por Bob con el detector ajustado en b es Impl‚cita en la asunci•n 1) de arriba, el espacio de par€metros ocultos tiene una medida de probabilidad valor esperado de una variable aleatoria X sobre con respecto a se escribe

y el

donde para mayor legibilidad de la notaci•n asumimos que la medida de probabilidad tiene una densidad. desigualdad de Bell. La desigualdad CHSH (1) se cumple bajo la asunci•n de variables ocultas anterior.

Por simplicidad, asumamos primero que los valores observados son +1 or €1; quitaremos esta observaci•n abajo en la Nota 1. Sea

. Entonces por lo menos uno de

es 0. Entonces

y por tanto

Nota 1. La desigualdad de correlaci•n (1) todav‚a se mantiene si las variables

,

pueden tomar

valor sobre cualquier valor real entre €1 and +1. De hecho, la idea relevante es que cada sumando en la media superior estƒ acotado superiormente por 2. Es f€cil ver que esto es cierto en el caso m€s general:


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Para justificar el l‚mite superior 2 afirmado en la „ltima inecuaci•n, sin pƒrdida de generalidad, podemos asumir que En ese caso

Nota 2. Aunque el componente importante del par€metro oculto

en la demostraci•n original de Bell est€ asociado con la fuente y es compartido por Alicia y Bob, pueden haber otros que estƒn asociados con los detectores separados, siendo estos „ltimos independientes. Este argumento fue utilizado por Bell en 1971, y de nuevo por Clauser y Horne en 1974,[9] para justificar una generalizaci•n del teorema forzada sobre ellos por los experimentos reales, donde los detectores nunca tienen una eficiencia del 100%. Las derivaciones fueron dadas en tƒrminos de las medias de las salidas sobre las variables locales de los detectores. La formalizaci•n del realismo local fue entonces cambiada efectivamente, reemplazando A y B por medias y reteniendo el s‚mbolo pero con uun significado ligeramente diferente. Fue entonces restringido (en muchos trabajos te•ricos) a significar s•lo aquellos componentes que estuvieran asociados con la fuente. Sin embargo, con la extensi•n probada en la Nota 1, la desigualdad de CHSH todav‚a se cumple incluso si los propios instrumentos contienen ellos mismos variables ocultas. En este caso, promediando sobre las variables ocultas del intrumento obtenemos nuevas variables: sobre

que todav‚a tienen valores en el rango [€1, +1] por lo que podemos aplicar el resultado previo.

Las desigualdades de Bell son violadas por las predicciones de la mec•nica cu•ntica En el formalismo usual de la mec€nica cu€ntica, los observables X e Y son representados como operadores autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert. Para computar la correlaci•n, asumimos que X e Y son representados por matrices en un espacio de dimensi•n finita y que X e Y conmutan; este caso especial es suficiente para nuestros X prop•sitos abajo.deElsistemas postulado de medida von Neumann establece que: una de serie de medidas sobre una serie idƒnticos en eldeestado produce una distribuci•n valores reales. de Porunlaobservable asunci•n de que los observables son matrices finitar, esta distribuci•n es discreta. La probabilidad de observar ‰ es no nula si y s•lo si ‰ es un autovalor de la matriz X y por lo tanto la probabilidad es

donde E X (‰) es el proyector correspondiente al autovalor ‰. El estado del sistema inmediatamente tras la medici•n es De aqu‚, podemos mostrar que la correlaci•n de observables que conmutan X e Y en un estado puro

es

Apliquemos este hecho en el contexto de la paradoja EPR. Las medidas realizadas por Alicia y Bob son medidas de esp‚n sobre electrones. Alicia puede elegir entre dos ajustes del detector denominados a y aƒ; estos ajustes


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corresponden a medidas del esp‚n a lo largo del eje z o del eje x. Bob puede elegir entre dos ajustes del detector denominados b y bƒ; ƒstos corresponden a medidas del esp‚n a lo largo del eje zƒ o del eje xƒ, donde el sistema de coordenadas xƒ • zƒ es rotado 45… relativamente al sistema de coordenadas x • z. Los observables del esp‚n son representados por matrices autoadjuntas 2 Š 2 :

Estas son las matrices de esp‚n de Pauli normalizadas para que los correspondientes autovalores sean +1, €1. Como es costumbre, denotamos los autovectores de S x por Sea el estado de singlete de esp‚n para un par de electrones como en la paradoja EPR. Este es un estado especialmente construido descrito por los siguientes vectores en el producto tensorial

Ahora apliquemos el formalismo CHSH a las medidas que pueden ser realizadas por Alicia y Bob.

Los

operadores

,

corresponden a las medidas del esp‚n de Bob a lo largo de xƒ y zƒ. Notese que

Ilustraci•n del test de Bell para part‚culas de esp‚n 1/2. La fuente produce pares de singlete de esp‚n, una part‚cula de cada par es enviada a Alicia y la otra a Bob. Cada uno

realizar una de las dos medidas de esp‚n. los operadores A conmutan con los operadores B, por lo que podemos aplicar nuestro c€lculo para la correlaci•n. En este caso, podemos mostrar que la desigualdad CHSH falla. De hecho, un c€lculo directo muestra que

y

por lo que

Teorema de Bell: Si el formalismo de la mec€nica cu€ntica es correcto, entonces el sistema consistente en un par de electrones entrelazados no puede satisfacer el principio del realismo local. N•tese que es de hecho el l‚mite superior de la mec€nica cu€ntica llamado l‚mite de Tsirelson. Los operadores que dan este valor m€ximo son siempre isomorfos a las matrices de Pauli.


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Experimentos pr•cticos para comprobar el teorema de Bell Los tests experimentales pueden determinar si las desigualdades de Bell requeridas por el realismo local se mantienen bajo evidencia emp‚rica.

Esquema de un test de Bell de "dos canales"

La fuente SOURCE produce pares de "fotones", enviados en direcciones opuestas. Cada fot•n encuentra un polarizador de dos canales cuya orientaci•n (a o b) pueda ser ajustada por el experimentador. Las se†ales emergentes de cada canal son detectadas y las coincidencias de cuatro tipos (++, €€, +€ y €+) son contadas por el monitor de coincidencias.

Las desigualdades de Bell son comprobadas por "contadores de coincidencias" de un experimento de prueba de Bell como el •ptico mostrado en el diagrama. Los pares de part‚culas son emitidos como resultados de un proceso cu€ntico, analizados con respecto a alguna propiedad clave como la direcci•n de polarizaci•n, y entonces detectados. El ajuste (orientaciones) de los

analizadores son seleccionados por el experimentador. Los resultados experimentales de los test de Bell hasta la fecha violan la desigualdad de Bell de forma flagrante. Adem€s, puede verse una tabla de experimentos de test de Bell realizados antes de 1986 en 4.5 de Redhead, 1987.[10] De los trece experimentos listados, s•lo dos alcanzaron resultados contradictorios con la mec€nica cu€ntica; adem€s, de acuerdo a la misma fuente, cuando se repitieron los experimentos, "las discrepancias con la MC no pudieron ser reproducidas". Sin embargo, el asunto no est€ concluyentemente zanjado. De acuerdo a art‚culo divulgativo de Shimony de la enciclopedia de Stanford de 2004:[11] Muchos de las docenas de experimentos realizados han favorecido a la mec€nica cu€ntica, pero no decisivamente debido a la 'escapatoria de detecci•n' o a la 'escapatoria de comunicaci•n'. La „ltima ha sido decisivamente bloqueada por un experimento reciente y hay buenas perspectivas de poder bloquear tambiƒn la primera. Para explorar la 'escapatoria de detecci•n', uno debe distinguir las clases de desigualdades de Bell homogƒnea e inhomogƒnea. La asunci•n est€ndar en ‹ptica Cu€ntica es que "todos los fotones de una frecuencia, direcci•n y polarizaci•n dadas son idƒnticos" por lo que los fotodetectores tratan todos los fotones incidentes sobre la misma base. Semejante asunci•n de "muestreo justo" generalmente pasa desapercibida, pero limita efectivamente el rango de teor‚as locales a aquellas que conciben la luz como corpuscular. La asunci•n excluye una gran familia de teor‚as de realismo local, en particular, la descripci•n de Max Planck. Debemos recordar las palabras cautelosas de Albert Einstein [12] poco antes de morir: "Hoy en d‚a cada Tom, Dick y Harry ('jeder Kerl' en el alem€n original) piensa que sabe lo que es un fot•n, pero est€ equivocado". Las propiedades objetivas del an€lisis de Bell (teor•as realistas locales) incluyen la amplitud de onda de una se†al luminosa. Aquellos que mantienen el concepto de dualidad, o simplemente de la luz siendo una onda, reconocen la posibilidad o realidad de que las se†ales luminosas emitidas tengan un rango de amplitudes y, por lo tanto, que las amplitudes sean modificadas cuando la se†al pase a travƒs de dispositivos de an€lisis como polarizadores o separadores de rayos. Se sigue que no todas las se†ales tienen la misma probabilidad de detecci•n (Marshall y Santos 2002[13]).


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Dos clases de desigualdades de Bell El problema del muestreo justo fue encarado abiertamente en la dƒcada de 1970. En dise†os anteriores de su experimento de 1973, Freedman y Clauser[14] utilizaron muestreo justo en la forma de la hip•tesis de Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH). Sin embargo, poco despuƒs Clauser y Horne realizaron la importante distinci•n entre desigualdades de Bell inhomogƒneas (DBI) y homogƒneas (DBH). Comprobar una DBI requiere que comparemos ciertas tasas de coincidencia en dos detectores separados con las tasas aisladas de los dos detectores. Nadie necesita realizar el experimento, pues las tasas simples con todos los detectores en la dƒcada de 1970 eran como m‚nimo diez veces todas las tasas de coincidencia. Por ello, teniendo en cuenta esta baja eficiencia del detector, la predicci•n MC realmente cumpl‚a la DBI. Para llegar al dise†o experimental donde la predicci•n de la MC viola la DBI necesitamos detectores cuya eficiencia exceda del 82% para estados singlete, pero tenemos tasas oscuras muy bajas y tiempos muertos y de resoluci•n muy bajos. Esto est€ muy por encima del 30% disponible (Brida et al. 2006[15]) por lo que el optimismo de Shimony en la Stanford Encyclopedia, mencionado en la secci•n precedente, parece exagerado. Retos pr•cticos Debido a que los detectores no detectan una gran parte de todos los fotones, Clauser y Horne reconocieron que comprobar la desigualdad de Bell requiere algunas asunciones extra. Ellos introdujeron la Hip„tesis de no aumento (NEH): una se†al luminosa, originandose por ejemplo en una cascada at•mica, tiene una cierta probabilidad de activar un detector. Entonces, si se interpone un polarizador entre la cascada y el detector, la probabilidad de detecci•n no puede aumentar. Dada esta asunci•n, hay una desigualdad de Bell entre las tasas de coincidencia con polarizadores y las tasas de coincidencias sin polarizadores. El experimento fue realizado por Freedman y Clauser, que encontraron que la desigualdad de Bell se violaba. Por lo que la hip•tesis de no aumento no puede ser cierta en un modelo de variables ocultas. El experimento de Freedman-Clauser revela que las variables ocultas locales implican el nuevo fen•meno de aumento de la se†al: En en conjunto total de se†ales de una cascada at•mica hay un subconjunto cuya probabilidad de detecci•n aumenta como resultado de pasar a travƒs de un polarizador lineal. Esto es quiz€ no sorprendente, puesto que es sabido que a†adir ruido a los datos puede, en presencia de un umbral, ayudar a revelar se†ales ocultas (esta propiedad es conocida como resonancia estoc€stica [16]). Uno no puede concluir que esta es la „nica alternativa realista local a la ‹ptica Cu€ntica, pero muestra que la escapatoria es sorteada. Adem€s, el an€lisis conduce a reconocer que los experimentos de la desigualdad de Bell, m€s que mostrar una ruptura con el realismo o la localidad, son capaces de revelar nuevos fen•menos importantes.

Retos te€ricos Algunos defensores de la idea de las variables ocultas creen que los experimentos han rechazado las variables ocultas locales. Est€n preparados para descartar la localidad, explicando la violaci•n de la desigualdad de Bell por medio de una teor‚a de variables ocultas no local, donde las part‚culas intercambian informaci•n sobre sus estados. Esta es la base de la interpretaci•n de Bohm de la mec€nica cu€ntica, que requiere que todas las part‚culas en el universo sean capaces de intercambiar informaci•n instant€neamente con todas las dem€s. Un experimento reciente rechaz• una gran clase de teor‚as de variables ocultas "no locales" y no Bohmianas [17] Si las variables ocultas pueder comunicarse entre s‚ m€s r€pido que la luz, la desigualdad de Bell puede ser violada con facilidad. Una vez una part‚cula es medida, puede comunicar las correlaciones necesarias a la otra part‚cula. Puesto que en relatividad la noci•n de simultaneidad no es absoluta, esto no es atractivo. Una idea es reemplazar la comunicaci•n instant€nea con un proceso que viaje hacia atr€s en el tiempo sobre el cono de luz del pasado. Esta es


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la idea tras la interpretaci•n transaccional de la mec€nica cu€ntica, que interpreta la emergencia estad‚stica de una historia cu€ntica como una convergencia gradual entre historias que van adelante y atr€s en el tiempo. [18] Un trabajo reciente controvertido de Joy Christian[19] proclama que una teor‚a determinista, local, y realista puede violar las desigualdades de Bell si los observables son elegidos para ser n„mero no conmutativos en vez de n„ meros conmutativos como Bell asumi•. Christian proclama que de esta forma las predicciones estad‚ sticas de la mec€nica cu€ntica pueder ser reproducidas exactamente. La controversia sobre este trabajo concierne su proceso de promediado no conmutativo, donde los promedios de los productos de variables en lugares distantes dependen del orden en que aparecen en la integral de promediaci•n. Para muchos, esto parece como correlaciones no locales, aunque Christian defines la localidad para que este tipo de cosa estƒ permitida. [20][21] En este trabajo, Christian construye una visi•n de la MC y del experimento de Bell que respeta el entrelazamiento rotacional de la realidad f‚sica, que est€ incluido en la MC por construcci•n, pues esta propiedad de la realidad se manifiesta claramente en el esp‚n de las part‚culas, pero no es usualmente tenida en cuenta en el realismo cl€sico. Tras construir esta vista cl€sica, Christian sugiere que en esencia, esta es la propiedad de la realidad que origina los valores aumentados de las desigualdades de Bell y como resultado es posible construir una teor‚a local y realista. M€s a„n, Christian sugiere un experimento completamente macrosc•pico, constituido por miles de esferas de metal, para recrear los resultados de los experimentos usuales. La funci•n de onda de la mec€nica cu€ntica tambiƒn puede proveer de una descripci•n realista local, si los valores de la funci•n de onda son interpretados como las cantidades fundamentales que describen la realidad. A esta aproximaci•n se la llama interpretaci•n de las realidades alternativas de la mec€nica cu€ntica. En esta controvertida aproximaci•n, dos observadores distantes se dividen en superposiciones al medir un esp‚n. Las violaciones de las desigualdades de Bell ya no son contraintuitivas, pues no est€ claro quƒ copia del observador B ver€ a quƒ copia del observador A cuando comparen las medidas. Si la realidad incluye todas las diferentes salidas, la localidad en el espacio f‚sico (no en el espacio de salidas) no es ya restricci•n sobre c•mo los observadores divididos pueden encontrarse. Esto implica que existe una sutil asunci•n en el argumento de que el realismo es incompatible con la mec€nica cu€ntica y la localidad. La asunci•n, en su forma m€s dƒbil, se llama definici•n contrafactual. Esta establece que si el resultado de un experimento se observa siempre de forma definida, existe una cantidad que determina cu€l hubiera sido la salida aunque no se realice el experimento. La interpretaci•n de las realidades alternativas (o interpretaci•n de los muchos mundos) no es s•lo contrafactualmente indefinida, sino factualmente indefinida. Los resultados de todos los experimentos, incluso de los que han sido realizados, no est€n „nicamente determinados.

Observaciones finales El fen•meno del entrelazamiento cu€ntico que est€ tras la violaci•n de la desigualdad de Bell es s•lo un elemento de la f‚sica cu€ntica que no puede ser representado por ninguna imagen cl€sica de la f‚sica; otros elementos no cl€sicos son la complementariedad y el colapso de la funci•n de onda. El problema de la interpretaci•n de la mec€nica cu€ntica es intentar ofrecer una imagen satisfactoria de estos elementos no cl€sicos de la f‚sica cu€ntica. El art‚culo EPR "se†ala" las propiedades inusuales de los estados entrelazados, i.e. el estado singlete anteriormente mencionado, que es el fundamento de las aplicaciones actuales de la f‚sica cu€ntica, como la criptograf‚a cu€ntica. Esta extra†a no localidad fue originalmente un supuesto argumento de Reductio ad absurdum, porque la interpretaci•n est€ndar podr‚a f€cilmente eliminar la acci•n a distancia simplemente asignando a cada part‚cula estados de esp‚n definidos. El teorema de Bell mostr• que la predicci•n de "entrelazamiento" de la mec€nica cu€ntica ten‚a un grado de no localidad que no pod‚a ser explicado por ninguna teor‚a local. En experimentos de Bell bien definidos (ver el p€rrafo sobre "experimentos de test") uno puede ahora establecer que es falsa o bien la mec€nica cu€ntica o bien las asunciones cuasicl€sicas de Einstein: actualmente muchos experimentos de esta clase han sido realizados, y los resultados experimentales soportan la mec€nica cu€ntica,


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aunque algunos creen que los detectores dan una muestra sesgada de los fotones, por lo que hasta que cada par de fotones generado sea observado habr€n escapatorias. Lo que es poderoso sobre el teorema de Bell es que no viene de ninguna teor‚a f‚sica. Lo que hace al teorema de Bell „nico y lo ha se†alado como uno de los m€s importantes avances en la ciencia es que descansa „nicamente sobre las propiedades m€s generales de la mec€nica cu€ntica. Ninguna teor‚a f‚sica que asuma una variable determinista dentro de la part‚cula que determine la salida puede explicar los resultados experimentales, s•lo asumiendo que esta variable no puede cambiar otras variables lejanas de forma no causal.

Notas [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

http:/ / plato.stanford.edu/ entries/ bell-theorem/ #3 http:/ / arxiv.org/ abs/ quant-ph/ 9611037 http:/ / plato.stanford.edu/ entries/ bell-theorem/ #4 http:/ / plato.stanford.edu/ entries/ bell-theorem/ #5 http:/ / plato.stanford.edu/ entries/ bell-theorem/ #7 Stapp, 1975 J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, Physics 1, 195 (1964) (http:/ / www.drchinese.com/ David/ Bell_Compact.pdf)

[8]

J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony and R. A. Holt, Proposed experiment to test local hidden-variable theories, Physical Review Letters 23, 880 • 884 (1969)

[9] J. F. Clauser and M. A. Horne, Experimental consequences of objective local theories, Physical Review D, 10, 526 • 35 (1974) [10] M. Redhead, Incompleteness, Nonlocality and Realism, Clarendon Press (1987) [11] Article on Bell's Theorem (http:/ / plato.stanford.edu/ entries/ bell-theorem) by Abner Shimony in the Stanford Encyclopedia of Philosophy, (2004). [12] A. Einstein in Correspondance Einstein€ Besso, p.265 (Herman, Paris, 1979) [13] http:/ / www.crisisinphysics.co.uk/ optrev.pdf [14] S. J. Freedman and J. F. Clauser, Experimental test of local hidden-variable theories, Phys. Rev. Lett. 28, 938 (1972) [15] http:/ / arxiv.org/ abs/ quant-ph/ 0612075v1 [16] http:/ / prola.aps.org/ abstract/ RMP/ v70/ i1/ p223_1 [17] http:/ / www.nature.com/ nature/ journal/ v446/ n7138/ abs/ nature05677.html

[18] [19] [20] [21]

•

Cramer, John G. "TheofTransactional Interpretation Quantum Mechanics", Reviews(2007) of Modern 58,abs/ 647 688, July 1986 J Christian, Disproof Bell's Theorem by Clifford of Algebra Valued Local Variables http:/ / Physics arxiv.org/ quant-ph/ 0703179 J Christian, Disproof of Bell's Theorem: Further Consolidations (2007) http:/ / arxiv.org/ abs/ 0707.1333 J Christian, Can Bell's Prescription for Physical Reality Be Considered Complete? (2008) http:/ / arxiv.org/ abs/ 0806.3078

Referencias ˆ A. Aspect et al., Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem, Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981) ˆ A. Aspect et al., Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell's Inequalities, Phys. Rev. Lett. 49, 91 (1982). ˆ (1982). A. Aspect et al., Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers, Phys. Rev. Lett. 49, 1804 ˆ A. Aspect and P. Grangier, About resonant scattering and other hypothetical effects in the Orsay atomic-cascade experiment tests of Bell inequalities: a discusi„n and some new experimental data , Lettere al Nuovo Cimento 43, 345 (1985) ˆ J. S. Bell, On the problem of hidden variables in quantum mechanics, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966) ˆ J. S. Bell, Introduction to the hidden variable question, Proceedings of the International School of Physics 'Enrico Fermi', Course IL, Foundations of Quantum Mechanics (1971) 171 • 81 ˆ J. S. Bell, Bertlmann• s socks and the nature of reality, Journal de Physique, Colloque C2, suppl. au n„mero 3, Tome 42 (1981) pp C2 41 • 61 ˆ J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge University Press 1987) [A collection of Bell's papers, including all of the above.]


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ˆ J. F. Clauser and A. Shimony, Bell's theorem: experimental tests and implications, Reports on Progress in Physics 41, 1881 (1978) ˆ J. F. Clauser and M. A. Horne, Phys. Rev. D 10, 526 • 535 (1974) ˆ E. S. Fry, T. Walther and S. Li, Proposal for a loophole-free test of the Bell inequalities, Phys. Rev. A 52, 4381 (1995) ˆ E. S. Fry, and T. Walther, Atom based tests of the Bell Inequalities ‚ the legacy of John Bell continues, pp 103 • 117 of Quantum [Un]speakables, R.A. Bertlmann and A. Zeilinger (eds.) (Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2002) ˆ R. B. Griffiths, Consistent Quantum Theory', Cambridge University Press (2002). ˆ L. Hardy, Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states. Physical Review Letters 71 (11) 1665 • 1668 (1993) ˆ M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press (2000) ˆ P. Pearle, Hidden-Variable Example Based upon Data Rejection, Physical Review D 2, 1418 • 25 (1970) ˆ A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer, Dordrecht, 1993. Theory of Quantum Probability , PhD Thesis, University of Klagenfurt, 2006. ˆˆ P. B. Pluch, C. van Frassen, Quantum Mechanics, Clarendon Press, 1991. ˆ M.A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C.A. Sackett, W.M. Itano, C. Monroe, and D.J. Wineland, Experimental violation of Bell's inequalities with efficient detection,(Nature, 409, 791 • 794, 2001). ˆ S. Sulcs, The Nature of Light and Twentieth Century Experimental Physics, Foundations of Science 8, 365 • 391 (2003) ˆ S. GrŒblacher et al., An experimental test of non-local realism,(Nature, 446, 871 • 875, 2007).

Lecturas adicionales Las siguientes lecturas est€n pensadas para el p„blico en general. ˆ ˆ ˆ ˆ

Amir D. Aczel, Entanglement: The greatest mystery in physics (Four Walls Eight Windows, New York, 2001). A. Afriat and F. Selleri, The Einstein, Podolsky and Rosen Paradox (Plenum Press, New York and London, 1999) J. Baggott, The Meaning of Quantum Theory (Oxford University Press, 1992) N. David Mermin, "Is the moon there when nobody looks? Reality and the quantum theory", in Physics Today, April 1985, pp. 38 • 47. ˆ Louisa Gilder, The Age of Entanglement: When Quantum Physics Was Reborn (New York: Alfred A. Knopf, 2008) ˆ Brian Greene, The Fabric of the Cosmos (Vintage, 2004, ISBN 0-375-72720-5) ˆ Nick Herbert, Quantum Reality: Beyond the New Physics (Anchor, 1987, ISBN 0-385-23569-0) infamous boundary: seven decades of controversy in quantum physics (Birkhauser, Boston 1995) ˆˆ D. Wick, The R. Anton Wilson, Prometheus Rising (New Falcon Publications, 1997, ISBN 1-56184-056-4) ˆ Gary Zukav "The Dancing Wu Li Masters" (Perennial Classics, 2001, ISBN 0-06-095968-1)


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Enlaces externos ˆ Una explicaci•n del teorema de Bell (http:/ / www.ncsu. edu/ felder-public/ kenny/ papers/ bell.html), basada en el art‚culo de N. D. Mermin, "Bringing Home the Atomic World: Quantum Mysteries for Anybody," Am. J. of Phys. 49 (10), 940 (October 1981) ˆ Entrelazamiento cu€ntico (http:/ / www.ipod.org. uk/ reality/ reality_entangled.asp) Incluye una explicaci•n

simple de la desigualdad de Bell. ˆ Teorema de Bell en arxiv.org (http:/ / xstructure.inr.ac. ru/ x-bin/ theme3.py?level=2&index1=369244) ˆ Refutaci•n del teorema de Bell mediante un €lgebra de Clifford de variables locales (http:/ / front.math. ucdavis. edu/ 0703.4179) Refutaci•n del teorema de Bell


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Fuentes y contribuyentes del art‚culo

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Fuentes y contribuyentes del art‚culo Teorema de Bell Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69568435 Contribuyentes: Alfredobi, Armando-Martin, Davius, Digigalos, Farisori, Favargass, Jaljavi, Leonpolanco,

Matdrodes, Salvamoreno, UAwiki, Varano, Xoquito, 14 ediciones an•nimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

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Me Here, Joshbaumgartner, Karelj, Maksim, Mdd, Pieter Kuiper, Tano4595 Archivo:Bell-test-photon-analyer.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Bell-test-photon-analyer.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Chetvorno, Glenn, Joshbaumgartner, Karelj, Maksim, Mdd

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