TENSIONES POR PRESION INTERNA INTERNA EN CAÑERIAS Y RECIPIENTES
Modelos físicos físic os y matemáti matemáticos cos,, ingeniería in geniería mecánica filósofos como Leonardo Da Vinci (1550). •maquinas militares: buzos, tanques, helicópteros, paracaídas, etc. •Ausencia de lenguaje matemático apropiado, explicación idiomática y grafica. •No podían predecir con exactitud una relación causa – efecto. Galile Galileo o Galilei Galilei (1638) (1638)..
• • •
Newton (1670): surge el concepto de modelo matemático. Nació la la Mecánica •La resistencia es relacionada con un parámetro de la carga Tensión mecánica (presion)
Estado de tensiones en un punto materiales homogéneos e isótropos. el sólido puede transmitir cargas por corte y tracción – compresión
σ media =
La tensión en el punto P
lim =
δ A → 0
δ F δ
=
δ F δ A
dF dA
la tensión es un escalar, una componente de un tensor cartesiano de segundo grado, ente matemático tensión normal
σ n
y tensión tangencial σt,
Ecuaciones de equilibrio sistema de coordenadas cartesianas rectangulares (x, y, z)., nuestro cuerpo libre es ahora un ladrillo de lados δ x , δ y , δ z . En cada cara del cubo: tensión descompuesta en tensión normal y tangenciales según los ejes:
Las componentes definen el estado de tensiones en el punto P. Operando matemáticamente y estableciendo ecuaciones de equilibrio para tensiones y momentos actuantes:
σ
yx
= σ
xy
∂σ xx ∂σ yx ∂σ zx + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z
Estado de deformaciones deformaciones pequeñas, pequeños desplazamientos en una partícula: componentes u, v, w, varían en forma continua \sobre todo el volumen del cuerpo. pequeño elemento de volumen dx, dy, dz de un cuerpo elástico
∂u el desplazamiento en la dirección x de A, u + ∂ x dx
el incremento de longitud del elemento OA
∂u dx ∂ x
deformación unitaria o específica en el punto O según la dirección x xx =
ε
De manera análoga
∂u ∂ x ∂v ∂w y ∂ y ∂ z
Ley de Hooke Las relaciones entre las componentes de tensión y de deformaciones dependen del tipo de material que se esté analizando. material homogéneo, isótropo, elástico lineal: cada partícula en su seno se comporta como un pequeño resorte de gran rigidez. Las deformaciones son muy pequeñas y proporcionales a la carga recibida, se recuperan una vez se retira la carga (ej.: metales) Ladrillo elemental sometido a tension normal
,
La experiencia indica
ε xx =
σ xx E
ε yy = −ν σ xx E
ε zz = −ν σ xx E
E = módulo elástico o módulo de Young. ν (nu) = módulo de Poisson (a veces μ)
Si actúan simultáneamente las 3 tensiones normales las componentes resultantes de deformación se obtienen a partir del Principio de Superposición:
1
ε xx =
E
ε yy =
1 E
ε zx = ,
[σ
xx
− v(σ yy + σ zz )]
[σ
1 E
yy
[σ
zz
− v(σ xx + σ zz )] − v (σ xx + σ yy )]
E Se define como módulo de elasticidad transversal al valor G = 2(1 + v ) ,
Las mismas constantes pueden ser utilizadas para relacionar tensiones tangenciales con deformaciones angulares. ε xy =
σ xy 2G
σ ε zx = zx 2G
ε yz =
σ yz 2G
Efecto de la temperatura sobre las deformaciones unitarias la temperatura se manifiesta sobre la deformación unitaria de dos maneras: • modifica las constantes elásticas (efecto pequeño); • produce una deformación unitaria aunque no haya ninguna tensión: Deformación unitaria térmica εt . Expansión o contracción pura, sin componentes cortantes. Aproximación lineal para un cambio de temperatura de T o, a T: t t t
ε xx = ε yy = ε zz = α (T − T 0 ) t = ε yzt = ε zxt = 0 ε xy
El factor α se llama coeficiente de dilatación lineal . La deformación unitaria total en un punto de un cuerpo elástico es la suma de εe y εt
Estados bidimensionales
Estado plano de tensiones Componentes de tensiones independientes de z, sólo funciones de x, y.
Estado plano de deformaciones un cuerpo en el que la dimensión en la dirección de z es muy grande, cargado con fuerzas perpendiculares a su longitud que no varían a lo largo de la misma, las secciones extremas se encuentran entre planos rígidos, de manera que no son posibles desplazamientos axiales de dichas secciones. Componentes de tensiones tambien independientes de z, sólo funciones de x, y.
Tracción o compresión biaxial. Recipientes de revolución de pequeño espesor
σ m ρ m
+
σ t ρ t
=
p e
Recipientes sometidos a presión interna σ t r
=
p e
σ m =
⇒ σ 1 = pr
2e
pr e
σ m = 0
σ m =
pr
3e
La componente longitudinal depende de las condiciones de soportacion
σ r
+
σ r
=
p e
⇒ σ =
pr
2e
EN AUSENCIA DE DEFECTOS 1,4 1,2 o ñ 1 e s i 0,8 D e d r 0,6 o t c a0,4 F
1,3 0,72
1,0
0,2 0
1
OPERACION
PH
FALLA
Diseño API, ASME VII div. 1: “P por D sobre 2 te”
Tubos de paredes gruesas
ε t =
p a a − p b b 2
σ r t =
b −a 2
2
2
+
2 2 a b p a − p b 2
r
b −a 2
2
⋅
PROBLEMA
Se hace un pequeño agujero en la tierra y se mide mediante extensometría eléctrica la deformación circunferencial εcirc = 1000 microstrain en la superficie externa de una cañería enterrada. La cañería transporta gas natural, y es de acero, de diámetro 750 mm y 7.5 mm de espesor. Determine la presión interior que soportaba en ese momento
Flexión de placas delgadas cargadas lateralmente
Como el caso de la viga, los desplazamientos u y v son :
u = − z v = − z
∂w ∂ x ∂w ∂ y
∂v ∂2w ε yy = = − z 2 ∂ y ∂ y Podemos calcular las deformaciones unitarias ;
∂u ∂2w ε xx = = − z 2 ∂ x ∂ x 1 ⎛ ∂u
∂v ⎞ ∂2w + ⎟⎟ = − z ε xy = ⎜⎜ ∂ x∂ y 2 ⎝ ∂ y ∂ x ⎠
PROBLEMA recipiente de presión cilíndrico de pequeño espesor, correspondiente a un filtro separador de sólidos y líquidos en una planta de gas natural. Para permitir el cambio de los elementos filtrantes en su interior, el recipiente posee una tapa plana abulonada en su perímetro a una brida soldada al cuerpo cilíndrico. diámetro interior d = 300 mm presión interior p = 6 MPa diámetro exterior 500mm tensión admisible 200 MPa
Determine mínimo espesor requerido para la tapa. Estime cuanto se apartara la placa de la planitud inicial
Control por carga y control por desplazamiento Un balde colgado de una cuerda: •carga constante, a mayor sección de la cuerda, menor tensión y deformación. •Criterio standard de diseño por tensión, API, ASME, definición de espesor mínimo admisible
Un cable de la tierra a la luna: •su resistencia no influye en los desplazamientos, cuanto mas elástico, menor carga soportara. •Flexibilidad: omegas, juntas de expansión, modelado de transitorios termo elásticos, arranque y parada, diseño y calculo de suportaciones.
Determinación experimental de tensiones en la superficie de un recipiente
Extensómetros eléctricos o strain gauges se adhieren al componente y envían una señal eléctrica proporcional a la deformación en el punto. En el estado plano de tensiones en la superficie, se necesita conocer t componentes del estado de deformaciones para definir el estado de tensiones. Se requiere la colocación de tres extensómetros en distintas direcciones. Los fabricantes proveen extensómetros múltiples, o roseta Si se conocen las direcciones principales, podrán usarse solamente do extensómetros. En el caso de la pared de un recipiente con presión int alcanza con utilizar un solo extensómetro.
EJEMPLO En un extensómetro tipo roseta se disponen tres strain gauges, A, B, y C, que forman ángulos de 0º. 90º y –5º, respectivamente, con el eje horizontal de referencia. Como los strain gauges son muy pequeños, se puede suponer que los tres miden las deformaciones en el punto central O. Dibuje el círculo de Mohr de las tensiones en la partícula O.
