Geotecn Geotecnia ia I - Fac. de Ing Ing.. U.N.L.P U.N.L.P..
GEOTECNIA I Guía Práctica para seguir la clase teórica de
“Distribuci ón n de Tesiones Tesiones” ” “Distribució Distribució
Profesor: Ing. Augusto J. Leoni
Distribución de presiones El estudio de la distribución de tensiones en la masa de suelos, es un tema sumamente complejo en función de las muchas variables involucradas, además ha y que pensar que: a) El su suelo no es homogéneo ya que tiene estratificaciones conformadas por distintos tipos de suelos b) Esto involu involucra cra que por las las característi características cas del mismo, mismo, no es isótropo ya que los parámetros elásticos no son iguales en todas las direcciones en los distintos tipos de suelos y también varían en profundidad. En un estudio teórico no hay muchas a lternativas y el investigados debe resolver el problema idealizando situaciones y simplificando estratigrafías o analizando cada situación mediante experimentación in situ o en laboratorio. Por lo tanto para el aná lisis de la distribución de tensiones en la masa de suelos, tomaremos el caminos de la idealización teórica de la conformación del manto y por lo tanto lo consideraremos Isótropo y homogéneo (Teoría de Boussinesq)
(ejemplo módulo de Young “E”) Homogeneidad: Propiedades iguales en todos los puntos (ejemplo
Isotropía: Propiedades iguales en todas direcciones (Ev = Eh)
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1
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Distribución de presiones Las tensiones en la masa de suelo son causadas por dos factores principales: a) El peso propio del suelos W = γ .A.h .A.h
z
γ .z .z
p = γ .z .z h
γ
p = γ .h .h
p = γ .h .h
A
h
σ
σ = W/A = γ .A.h/A .A.h/A = γ .h .h
Distribución de presiones b) La carga de la estructura En todos los casos consideraremos que el suelo no tiene peso al transmitir tensiones de la superestructura y aplicaremos el principio de superposición, calcula ndo la influencia del peso por separado.
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Distintos tipos de problemas a resolver:
Edificio
Túnel
Muro de contención
Cálculo del incremento de tensiones ∆σz El cálculo del incremento de tensiones ∆σz es función de además de la intensidad de la carga exterior aplicada, de los siguientes factores:
a) De la profundidad considerada “z” b) De la distancia horizontal considerada “x” c) Del tipo de carga: Concentrada Lineal Repartida uniformemente
variable
d) De la forma del área cargada: Cuadrada Rectangular Circular e) De la profundidad del plano de aplicación de la carga: f) De las propiedades físicas del suelo: Homogeneidad, isotropía, Estratificación, Parámetros elásticos, etc
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Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada (teoría de Boussinesq) Q E = Módulo de Young E z
Variables geométricas y elásticas que intervienen
ν
∆σz
υ =
ε x ε z
Coeficiente de Poisson
r
Q
Forma de presentar los resultados
Distribución de presiones aproximadas
30°
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Valores aproximados Una primera aproximación de las tensiones inducidas en profundidad, es suponer que las mismas se propagan en el sentido de “z”con la forma de una pirámide trunca con una pendienrte de sus planos laterales de uno en vertical y de 0,5 en horizontal (1: 2) y suponiendo que en los planos horizontales intermedios entre 0 y “z” las tensiones son constantes. Otro dato importante a considerar en el momento de evaluar fundaciones, es que si tenemos un base de ancho “B”, que soporta una carga “Q” y transfiere al terreno una tensión “q”, se puede estimar que el 10% de ésta tensión “q”se transmite hasta una profundidad de aproximadamente 2.B, si el suelo es elástico isótropo y homogeneo. Q
B
q = Q/A 2.B
σ = 10%.q
Ejemplo para una base cuadrada B = L Q q B xB
z
26,6°
Q = q . B 2 = σ . (B + 2.z/2)2
σ Si hacemos z = 2.B z/2
B
z/2
Q = q . B 2 = σ . (B + 2.B) 2 = σ . 9.B 2
B+z Despejando σ
σ=q/9
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≈
10%.q
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Q
α ∆σ1máx
z1
10% ∆σ1máx
z2 r1
∆σ2máx
10% ∆σ2máx r2
tg (α ) =
r 1 z1
=
r 2
α = 51°
z 2
Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada (teoría de Boussinesq, suelos homogéneos elásticos e isótropos) Q
∆σz x
τzx
τzy y
R r
∆σx Donde:
υ =
ε x ε z
V o
τyx
∆σx
τxy
∆σy
z
ν ν = Coeficiente de poisson
R = x 2 + y 2 + z 2 = ∆σ z =
= (1 − 2.ν ).(σ x + σ y + σ z )
ν ν = 0,5 Deformación nula ν ν < 0,5 Dilatancia ν ν > 0,5 Contracción
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τyz
∆σz ∆σy
En un estado triaxial de tensiones,
∆V
τxz
∆V V o ∆V V o
∆V V o
<0
z 2
3 2 5 / 2
2.π (r + z ) 2
2
2
2
∆σ x =
Q 3. x . z y . z ( x − y ) − (1 − 2ν ) + 3 2] [ 5 2 R.r .( R + z ) R r 2.π R
∆σ y =
Q 2. y 2 . z x 2 . z ( y 2 − x 2 ) [ ( 1 2 ) ] ν − − + 2 3 2 2π R 5 R.r .( R + z ) R r
=0 >0
3.Q.
r 2 + z 2
τ zx = τ xz = τ rz =
3.Q
r . z
2
2.π ( r 2 + z 2 )5 / 2
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Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada (teoría de Boussinesq) Podemos hacer:
∆ σ z =
Q 3 2
Q = 2 . I 1 5 / 2 z +1
1
z 2 .π r z
( )
2
3 I 1 = 2 .π (r z
con
1
)
2
+ 1
5 / 2
Se puede entonces representar el valor de I 1 para distintos valores de r/z y obtenemos los siguientes valores
r/z
I1
r/z
I1
Q x
y
R r
∆σz ∆σy
∆σx z
Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga lineal
∆σ z =
2.q. z 3
π .( x 2 + z 2 ) 2
q = Q/L (tn/m) x
∆σ z = y
z
2.q
π . z.[( x / z ) 2 + 1]
2
z
∆σ (tn/m2)
∆σ z
x
( q / z )
=
2
π .[( x / z ) 2 + 1]
2
En los ábacos para obtener el valor de ∆σz se entra con los valores de x/z y de ∆σz /(q/z)
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x/z
∆σz/(q/z)
x/z
∆σz/(q/z)
x/z
∆σz/(q/z)
0
0,637
0,5
0,407
1,0
0,159
0,1
0,624
0,6
0,344
1,1
0,130
0,2
0,589
0,7
0,287
1,2
0,107
0,3
0,536
0,8
0,237
1,3
0,088
0,4
0,473
0,9
0,194
1,4
0,073
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Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga uniformemente repartida de longitud infinita y ancho “B” (zapata continua) B dr x
Esta solución se logra tomando una car ga de espesor muy pequeño tal que se pueda considerar lineal “q” (tn/m) e integrar su influencia para distintas ubicaciones comprendidas entre +B y –B a lo largo del eje “x”. Cada una de éstas cargas lineales tendrá una influencia ∆p sobre el punto considerado.
r
z
d σ z =
∆p x-r
2 .( q .dr ). z 3
[
2
π . ( x − r ) + z 2
]
2
z 3 2q dr 2 2 2 − B / 2 π [( x − r ) + z ]
x
+ B / 2
∆σ z = ∫ d σ = ∫
z
∆σ z =
z z B. z.[ x 2 − z 2 − ( B 2 / 4)] −1 − tan −1 − 2 tan 2 2 2 2 π x − ( B / 2) x + ( B / 2) [ x + z − ( B / 4)] + B . z q
Las tablas que contienen la solución de esta ecuación son de doble entrada co n los valores de 2.z/B y de 2. x/B
Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga repartida y linealmente variable de ancho “B” longitud infinita (Ej. talud de un terraplén)
dr
B
q x r
q . r dr . z 3 B
2 . d σ z =
x-r
δ
z
α
[
2
π . ( x − r ) + z 2
2.q B
B
∆σ z = ∫ d σ = 0
∫
]
2
z 3 .r .dr
π . B 0 [( x − r ) 2 + z 2 ]2
∆p
∆σ z =
q x
α − π B
sen(2.δ )
2
z Donde “α” y “δ” son los ángulos que se muestran en la figura. Los valores de ∆σ se encuentran tabulados para distintos valores de 2x/B y de 2z/B
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Valores de “m”
Valor del coeficiente de influencia “I” para determinar el incremento de tensiones a una profundidad “z”debajo de la esquina de una superficie de ancho “B”y largo “L”, cargada con una carga variable “p” m = L/z n = B/z
∆σz = I x p
Coeficiente de influencia para determinar el incremento de presiones ∆σz a una profundidad “z” debajo del centro del terraplén. Como el punto está sobre el eje del terraplén, Para calcular la influencia total, el valor de “I” deberá ser multiplicado por 2
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Cálculo del incremento de tensiones en el centro de una carga uniformemente distribuida sobre una superficie circular
q R r
d r α α
z
d
∆σ z =
d σ =
3.(q.r .d α .dr )
z 3
2.π
(r 2 + z 2 ) 5 / 2
2π R
∆σ = ∫ ∫
0 0
3.q
z 3 .r
2.π (r 2 + z 2 ) 5 / 2
dr .d α
z 3
3.Q.
2.π ( r + z 2 ) 5 / 2
∆σ z = q1 −
2
Carga puntual
1
[( R / z)
2
+ 1]
3 / 2
Incremento de tensiones verticales ∆σv debajo de una base circular de radio “R”sometida a una carga uniformemente repartida ∆qv ∆σz = I x ∆qv R
∆qv
z
∆σz
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x
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Cálculo del incremento de tensiones debajo de una esquina de una carga uniformemente distribuida sobre una superficie rectangular x q
dq = q.dx.dy
L
d σ =
B
y
B
z
3.q.dx.dy. z
3
2.π ( x 2 + y 2 + z 2 )5 / 2
3.q. z 3 (dx.dy )
L
∆σ = ∫ d σ = ∫ ∫
x =0 y = 0
2.π .( x 2 + y 2 + z 2 ) 5 / 2
∆σ = q. I Donde: I =
L 1
1 2.m.n. m 2 + n 2 + 1 m 2 + n 2 + 2
2 2 −1 2.m.n. m + n + 1 2 tan + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4π m + n + m .n + 1 m + n + 1 m + n − m .n + 1
m= 2
A
B z
n=
L z
B 3
∆σ z = q.( I A(1) + I A(2) + I A(3) + I A(4) )
4
Incremento de tensiones verticales σz debajo de una base rectangular de lado “B” y largo “L” sometida a una carga uniformemente repartida “q”
z
m
n
Iσ
σz
2 4 6 8 10
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Gráficos de Newmark para determinar los coeficientes de influencia ∆σ z
R
q
= 1 −
1
[( R / z )
2
+ 1]
3 / 2
(1)
o
q O
R z
∆σz
=
∆ σ z 1 − q
− 2 / 3
−1
Con ésta ecuación es posible obtener valores de la relación R/z que se correspondan para cada valor de ∆σz /q. Así por ejemplo para valores de: ∆σz /q = 0,1; 0,2; 0,3; . . . . 1,0 se tendrán valores únicos y crecientes de R/z. Por ejemplo de la (1) tendremos:
z
P
Para que ∆σz /q = 1 hay dos posibilidades para que R/z = ∞, R=∞ o z=0 Si le damos un valor constante a z = OP y un valor unitario a q = 1, tendremos que los incrementos de ∆σz serán únicamente función de R y podremos obtener distintos círculos de radios R0,1, R0,2, R0,3, . . . . R 1,0 cada uno de los cuales inducirá un incremento ∆σz = 0,1; 0,2; 0,3 . . . 1,0 a la profundidad z = OP. Esto quiere decir que si al círculo de radio R 0,1 lo cargamos con una carga unitaria (q = 1) el incremento de tensión ∆σz a la profundidad z = OP será:
∆σz = 0,1x (q = 1) = 0,1
Resumiendo
R
∆σ z q
q
= 1 −
1
[( R / z)
2
+ 1]
3 / 2
O Hacemos: z = OP y q = 1
∆σz P
z
∆σ z 1 = 1 − 3 / 2 2 (q = 1) [( R / OP) + 1] ∆σz = f (R)
Se tendrán valores únicos y crecientes de R, para ∆σz /(q = 1) = 0,1 0,2 0,3. . . . 1,0 Tendremos entonces distintos círculos de radios R 0,1, R0,2, R0,3, . . . . R1,0 cada uno de los cuales inducirá un incremento ∆σz = 0,1; 0,2; 0,3 . . . 1,0 Esto quiere decir que si al círculo de radio R 0,1 lo cargamos con una carga unitaria (q = 1) el incremento de tensión ∆σz a la profundidad z = OP será ∆σz = 0,1
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Gráficos de Newmark
q O
Con todo lo anterior, podemos decir que si la carga “q” está aplicada solamente sobre el anillo conformado por los círculos de radio R 0,1 y R0,2 el incremento de presión será:
∆σz = 0,2 – 0,1 = 0,1 z P
Si dividimos la corona en 20 partes iguales, cada área elemental del anillo cargado inducirá una tensión ∆σz = 0,1/20 = 0,05 Una carga “q” aplicada sobre un número “N” de elementos, inducirá una tensión en el centro del círculo y a una profundidad z = OP que será igual a:
R
0 , 2
R 0, 1
∆σz = 0,05.N.q
R0,1 R0,2
Utilización de los gráficos de Newmark Se debe dibujar la planta en la escala del segmento OP = z
OP = z
O
q O
Ejemplo: Coeficiente de influencia por cada sector = 0,1/16 = 0,00625
∆σz = 0,00625.N.q = 0,00625.15.q = 0,094.q
z ∆σ z
P
Para cada profundidad “z” hay que dibujar la planta nuevamente en la escala del segmento OP
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Suelos anisotrópicos en los que el módulo elástico no se mantiene constante con la profundidad Fröhlich (1934): Estableció una relación aproximada que permite a través de un factor llamado “factor de concentración” “c” calcular el incremento de presión en un punto bajo la superficie a una distancia “ z”, inducido por una carga puntual “ Q” aplicada en la superficie. Q
r
θ z
σp
σ ρ = f (Q , θ , z ( C − 2 ) )
c = Factor de concentración
Holl (1940): Propuso una fórmula de variación del módulo elástico “E” en función de la profundidad.
E = E 1. z
λ
Donde E1 = Valor de “E” a una profundidad z = 1 m
λ = c − 3 Para 3 < c < 4
Para c = 3
λ=0
λ<1
E
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Para c = 4
λ=1
E
E = E1.zλ
E = E1
z
c = Factor de concentración
z
E
E = E1.z
z
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Variación del módulo elástico en función de la profundidad
Suelos cohesivos
Suelos granulares
E
E
E
E = f(z)
E = cte
z
z
z
σv σh
σh σv
E
Distribución de la tensión σv en la vertical que pasa por la esquina de un rectángulo, para distintos valores de “c”
c=3
z q
z
σz
E
c=4
z
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Isobaras de tensión vertical producida por una carga vertical “Q”
c=3
E
E
c=3
c=4
Comparación de la tensión vertical inducida sobre un plano para distintos valores de “c”
z
z
E R
c=3 q
z
σz
z
E
c=4
σz = q . I σ z E
c=5
z
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Asentamientos de la masa de suelo Toda estructura de fundación experimenta asentamientos. Estos asentamientos pueden ser clasificados en función de su origen de acuerdo lo siguiente:
a) Asentamientos elásticos o instantáneos: “Si” Tiene que ver con la deformación elástica de los suelos y se producen en forma inmediata a la aplicación de la carga.
b) Asentamientos por consolidación: “Sc” Este tipo de asentamiento está asociado a las presiones neutras del agua de poros que se incrementan en los suelos poco permeables cuando se los somete a un estado de tensiones, son asentamientos que básicamente se generan en los suelos cohesivos y su desarrollo en el tiempo depende del tipo de suelos y de las condiciones de borde del suelo.
c) Asentamientos por consolidación secundaria: “Scs” Este asentamiento depende del tipo de suelo cohesivo que se trate y se genera por un fenómeno de creep o de fluencia plástica, dentro de la masa de suelos En todos los casos la magnitud total del asentamiento resultará de la suma de los tres asentamientos mencionados Stotal = Si + Sc + Scs
Asentamientos instantáneos
Df q
H Es = Módulo de elasticidad
Si tenemos una base rectangular de lado menor “B” y mayor “L”, que transfiere al te rreno una tensión uniforme “q”se producirá un asentamiento en el terreno que tomará la forma de la línea negra si la base es elástica (deformable) o la forma de la línea roja si la base es rígida (indeformable). Si el suelo es homogéneo e isótropo con un módulo elástico “Es” y un módulo de Poisson “ ν” y suponemos que la base es perfectamente flexible y que el espesor del manto es infinito (H = ∞). El asentamiento elástico vendrá expresado por:
ν = Coef. De Poisson
Si =
Si =
B.q Es B.q Es
(1 − υ 2 )
α 2
2
(1 − υ )α
En una esquina de la base
En el centro de la base
Donde:
α =
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1 + m 2 + 1 1 1 + m 2 + m ln + m ln 1 + m 2 − 1 π 1 + m 2 − m
Con
m=
L B
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Asentamientos instantáneos El asentamiento instantáneo promedio de una base flexible lo podemos estimar con la siguiente ecuación:
Si =
B.q Es
(1 − υ 2 )α av
De la misma forma, el asentamiento instantáneos para una base rígida lo podremos obtener con:
Si =
B.q Es
2
(1 − υ )α r
Los distintos valores de α para distintas relaciones L/B se obtienen del gráfico adjunto. Si en la realidad H ≠ ∞ no nos cambia substancialmente el valor del asentamiento instantáneo calculado con las fórmulas detalladas mientras H > 2.B
Asentamientos instantáneos Para una base flexible apoyada en un suelo arcilloso saturado ( ν = 0,5) podemos utilizar la siguiente ecuación en la que A 1 es función de H/B y de L/B, mientras que A 2 es función de Df/B
υ =
Df
B H
ε h ε v
Si = A1 . A2 .
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q
Bq Es
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Asentamientos instantáneos, definiciones Los asentamientos instantáneos de las estructuras están siempre presentes en toda obra de ingeniería, los mismos están asociados a los parámetros elásticos del suelo. Para resolver esta situación, se utiliza muy frecuentemente, el “Coeficiente de Balasto” o “Módulo de Reacción del Suelo” también conocido como “Coeficiente de Sulzberger”, estudiado muy en profundidad por Terzaghi . Este parámetro asocia la tensión transmitida al terreno por una placa rígida con la deformación o la penetración de la misma en el suelo, mediante la relación entre la tensión aplicada por la placa “q” y la penetración o asentamiento de la misma “y”. Generalmente se la identifica con la letra “k”
k =
q
en kg/cm3
y
Este módulo, se obtiene mediante un simple ensayo de carga sobre el terreno, que se realiza utilizando una placa metálica rígida de sección cuadrada de 30,5 cm de lado ó de sección circular con un diámetro de 30,5 cm (1 pié)
Esquema de montaje de un ensayo vertical de plato de carga, dentro de una calicata 1
6 1: Perfil doble T anclado en el terreno 2: Gato hidráulico
3
3: Aro dinamométrico 4: Comparadores centesimales 5: Plato de carga
2
6: Puntal telescópico
4
5
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Coeficiente de balasto σ (kg/cm2 k 1
k 1 =
σ δ
σ k 1 =
σ 1 0.127cm
δ (cm) δ = 0,127 cm = 0,05”
Definición El módulo de Reacción o Coeficiente de Balasto se define como: La relación entre la tensión capaz de generar una penetración de la placa normalizada (de 1 pié de lado) en el terreno de 0,05” que equivale a una deformación de 0,127 cm , es decir que este coeficiente es la pendiente de la recta que une el origen de coordenadas con el punto de la curva “tensión – deformación” que genera un asentamiento de la placa de 0,127 cm Se expresa en kg/cm3 y el sub índice 1 expresa que se refiere a un plato de carga de 1 pié de lado
B Supongamos tener una base cuadrada de lado B que soporta una carga “Q”
q=
Q
B
B. B
Apoyada a una profundidad “D” en un terreno elástico, uniforme, con un módulo de deformación constante “E”, podremos decir que el asentamiento que la misma experimentará, por deformación elástica del terreno, puede ser aproximado por la expresión:
y =
q . B E
.(1 − υ 2 ).α av
(1)
En ésta expresión “ ν” es el coeficiente de Poisson, e “αav” es un coeficientes que tienen en cuenta la forma del área cargada y la rigidez de la base. Con éstas dos expresiones podemos calcular el coeficiente de balasto
k =
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q y
=
E 2
B (1 − υ ).α av
= Cte.
E B
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Suelos Arcillosos Si tenemos una placa cuadrada de lada “B”, apoyada en la superficie (D = 0), sobre un suelo arcilloso que consideraremos que tiene una humedad elevada que nos permite considerarlo incompresible frente a una solicitación instantánea ( ν = 0,5), tendremos entonces que la expresión (1) se transforma en: k =
k =
q y
q y
=
E
= Cte.
2 B(1 − υ ).α av
=
E B
×
E B
k cuadrada
1
≅ 1, 5
E B
0 , 75 . 0 ,885
En los suelos arcillosos homogéneos e isótropos podemos considerar que el módulo elástico se mantiene constante con la p rofundidad, con lo cuál podemos aplicar la fórmula anterior para un plato de carga B = 0,30 m y para una base cuadrada de lado “B” y despejar “E” e igualar:
k cuadrada = 1,5.
E
k plato = k 1 = 1,5.
B
Suelos cohesivos E
E
0,30m z
E = k 1.0,30m / 1,5 = k cuadrada .B / 1,5
k cuadrada = k 1.
0,30m B
Esta es la ecuación que nos permite pasar de un valor de “k 1” para un plato de carga, a un valor de “k” para una base cuadrada de lado “B”
Suelos Arcillosos (base rectangular) Cuando la base no es cuadrada sino rectangular de lado “B” y “L” debemos calcular el valor de “k”para una base cuadrada de lado “B” y luego corregir el valor para la base rectangular con la siguiente ecuación: L
L + 0,5. B k rectangular = k cuadrada B .( ) 1,5. L
B
En el límite, para valores de L » B la ecuación anterior se transforma en:
k continua =
k cuadrada
1,5
= 1,5 .
E
1,5 . B
=
E B
k cuadrada = 1,5
E B
Para L = ∞ Zpata continua tendremos:
k continua =
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E B
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Relaciones entre N – qu – Es – k1 (Valores orientativos) qu(kg/cm²) 10 9 8 7 6 5 4
Ks1 3
Es
qu 2
1 = u q
N= 1
Ks1=1
N( SPT)
Ks1(kg/cm³) Es(kg/cm²)
0 0 5
0 0 4
0 0 3
0 0 2
0 5 1
0 0 0 0 0 0 0 7 6 5 1 9 8
0 4
0 3
0 2
5 1
0 1 9 8
E=1 7
6
5
4
3
2
0.9 0.8
2
3
4
5
6 7 8 9 10
15
20 25 30
0.7 0.6 0.5 0.4
0.3
qu = N / 7,5
0.25 0.2
Ks1 = N / 2,14 Es = N . 9,34
0.1
Ing Augusto José Leoni
22
