Tema5 Flexion Tensiones

Tema 5: Flexión: Tensiones

Tema 5 : FLEXIÓN: TENSIONES

σMAX(COMPRESIÓN) z G n

x

n

y

σMAX(TRACCIÓN)

1


5.1.- INTRODUCCIÓN Una barra está solicitada a FLEXIÓN PURA cuando en sus secciones rectas transversales actúan únicamente los momentos flectores: Mz y/o My. (Fig. 5.1.a) En el caso de que a la vez que los momentos flectores Mz y/o My actúen también las fuerzas cortantes Vy y/o Vz, se dice que está solicitada a FLEXIÓN SIMPLE.(Fig. 5.1.b) z Vz z Mz

G

Mz

G

x

x

My

My y

Vy Fig.5.1.b

Fig.5.1.a

y

FLEXIÓN SIMPLE

FLEXIÓN PURA

Si sólo actuase uno de los dos momentos flectores: Mz o My se denomina: FLEXIÓN SIMÉTRICA (Fig. 5.1.c) Si el vector momento tiene las dos componentes: Mz y My se denomina: FLEXIÓN ASIMÉTRICA (Fig. 5.1.d)

z Mz

G

z x

Mz

G

My y Fig.5.1.c FLEXIÓN SIMÉTRICA

2

y Fig.5.1.d FLEXIÓN ASIMÉTRICA

x

Sección 5.2: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Diagramas y relaciones entre ambos

5.2.-FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES. DIAGRAMAS Y RELACIONES ENTRE AMBOS

Ejes de referencia z x

O

n<0

n>0x

y Fig.5.2 Sección con normal exterior positiva: n > 0 Sección con normal exterior negativa: n < 0

Convenio de signos para las fuerzas cortantes Vy , Vz En una sección con normal exterior positiva (n > 0), las fuerzas cortantes Vy y Vz son positivas, cuando llevan el mismo sentido de los semiejes positivos OY, OZ respectivamente. Serán negativas en caso contrario. En el caso de una sección con normal exterior negativa (n < 0) será al revés

Vy Vz

z

n>0 x

n<0

O

Vz Vy

y Fig.5.3 Vy > 0

Vz > 0

3


Convenio de signos para los momentos flectores Mz , My Caso del momento flector Mz: En una sección con normal exterior positiva (n > 0), el momento flector Mz será positivo, cuando lleve el sentido contrario al del semieje OZ positivo . Será negativo en caso contrario. En el caso de una sección con normal exterior negativa (n < 0) será al revés

Mz z n>0 x

n<0

O

Mz

y Mz > 0

Mz > 0

Fig.5.4

: la viga flexa (se dobla) hacia la parte positiva del eje y

x + y Fig.5.5.a

Mz < 0

: la viga flexa (se dobla) hacia la parte negativa del eje y

x

y

4

Fig.5.5.b

Sección 5.2: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Diagramas y relaciones entre ellos

Caso del momento flector My: En una sección con normal exterior positiva (n > 0), el momento flector My será positivo, cuando lleve el mismo sentido al del semieje OY positivo . Será negativo en caso contrario. En el caso de una sección con normal exterior negativa (n < 0) será al revés

My z n>0 x

n<0

O

My

y

My > 0

Fig.5.6

: la viga flexa (se dobla) hacia la parte positiva del eje z z + x

y

My < 0

Fig.5.7.a

: la viga flexa (se dobla) hacia la parte negativa del eje z z

-

x

y Fig.5.7.b

5


Observación: El Mz es el único, que en las secciones n>o, se toma positivo si su sentido es el contrario al semieje positivo correspondiente. Diagramas de Fuerzas Cortantes y de Momentos Flectores Éstos diagramas representarán las Fuerzas Cortantes y los Momentos Flectores en cada una de las secciones de una viga, (al igual que en la sección 4.2 se estudiaron los Diagramas de Fuerzas Normales) y gracias a ellos se podrán conocer los esfuerzos máximos y las secciones donde éstos se darán. Se desarrollarán los Diagramas de Fuerzas Cortantes y de Momentos Flectores a través del siguiente ejemplo:

F

z x

O P x L y

Fig.5.8

En una sección x cualquiera la Resultante y el Momento resultante de las fuerzas exteriores serán: F

z F

O

F.x n>0 x

P

P

P.x

x y

Fig.5.9.a

Rext, Mext

Con lo cual, la Resultante y el Momento resultante de las fuerzas interiores serán: F

z F

O

F.x n>0 x

P

P x

P.x

y Rint, Mint 6

Fig.5.9.b

Sección 5.2: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores: Diagramas y relaciones entre ellos

F

z

F

F

x

O

z

O

P

F.x n>0 x

P

P x

x

P.x

L y

y Rint, Mint Fig.5.10 Teniendo en cuenta elsigno de las Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores:

F x Vy

0≤ x≤L V y = − F (cte) Vz = − P (cte)

P

M y = − P.x

x

x =0→ My =0 x = L → M y = − P.L

Vz

-

P.L x

My

-

M z = − F .x x = 0 → Mz = 0 x = L → M z = − F .L

F.L x

Mz

7


Relaciones entre Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores Las Fuerzas Cortantes y los Momentos Flectores no son independientes sino que están relacionados entre sí. Antes de ver dicha relación conviene dejar claro que, en rigor, no existen fuerzas concentradas en un punto, pues según se vio en 1.1, por el Principio de Saint Venant, se podrán considerar concentradas las fuerzas que se transmitan a la barra a través de una superficie pequeña en comparación con la superficie de ésta.

R

Se considera una rebanada de una viga formada por dos secciones muy próximas, separadas dx y sobre la que actúa una carga distribuida q(x). En ambas caras de la rebanada se sitúan las correspondientes Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores (todos con sentidos positivos) q(x) Kg/m

n<0

M

G

n>0

M+dM

V V+dV dx Fig.5.11 Estableciendo las ecuaciones de equilibrio de los esfuerzos que actúan sobre la rebanada: dx 2 simplificando y despreciando infinitésimos de 2º orden frente a los de1º:

∑M

G

=0

V .dx = dM

M + V .dx = M + dM + q.dx.

→ V = dM dx

(5.1)

“La Fuerza Cortante es la derivada del Momento Flector” 8

Sección 5.2: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Diagramas y relaciones entre ellos

∑F = 0

V = q.dx + V + dV

simplificando : 0 = q.dx + dV

dV d 2 M −q = = dx dx 2

(5.2)

“la carga q(x) es la derivada de la Fuerza Cortante o la segunda derivada del Momento Flector”

V=0 x

V=0 V=C1 V=C1.x+C2 V

V=C1.x2+C2.x+C3

x M=C1

M=Mmax

M=C1.x+C2

M

2

M=C1.x +C2.x+C3

M=C1.x3+C2.x2+C3.x+C4

Observación: La expresión del Momento Flector es siempre de un grado superior a la de la Fuerza Cortante

dM = 0 → M = C1 (cte) dx dM V = C1 → V = = C1 → dM = C1 .dx → M = C1 .x + C 2 dx dM V = C1 .x + C 2 → V = = C1 .x + C 2 → dM = ( C1 .x + C 2 ) .dx → M = C1 .x 2 + C 2 .x + C3 dx dM V = 0 (en 1 punto ) → V = = 0 (en 1 punto) → M max o min dx V =0 → V =

9


5.3.-FLEXIÓN PURA

5.3.1.-TENSIONES NORMALES: CASO GENERAL Una viga está sometida a FLEXIÓN PURA cuando en sus secciones rectas transversales actúan únicamente los Momentos Flectores Mz y/o My z

G

O

Mz

y

x

My

Fig.5.12 Las relaciones tensiones – solicitaciones vistas en la sección 1.6 serían:

N = 0 = ∫ σ x .dA A

V y = 0 = ∫ τ xy .dA

T = 0 = ∫ (τ xz . y − τ xy .z ).dA A

A

M y = ∫ σ x . z.dA A

Vz = 0 = ∫ τ xz .dA A

(5.3)

M z = ∫ σ x . y.dA A

Pero al igual que ocurría en la Tracción-Compresión éstas ecuaciones, por si solas, no permiten calcular las tensiones originadas por los Momentos Flectores Mz y/o My. Habrá que recurrir nuevamente a hipótesis simplificativas que han sido comprobadas experimentalmente.

Hipótesis de Bernouilli – Navier: “ En la Flexión Pura cada sección transversal de la viga gira alrededor de un eje, contenido en la sección, denominado Eje Neutro, permaneciendo las secciones planas y normales a las fibras deformadas”.

Admitiremos también que la flexión se produce en régimen elástico y por tanto dentro de los límites de validez de la Ley de Hooke, por lo que las tensiones que se originan han de ser proporcionales a las deformaciones producidas.

10

Sección 5.3.1: Flexión Pura. Tensiones normales: Caso general

Al flexionar la viga, las secciones transversales giran y hacen que las fibras longitudinales, inicialmente rectas, dejen de serlo y se curven, alargándose o acortándose según sea su posición en el interior de la viga. Fibras que se acortan

Fibras que se alargan Fig.5.13 Existen fibras longitudinales que ni se alargan ni se acortan, a esas fibras se las denomina FIBRAS NEUTRAS. A la superficie donde se encuentran las fibras neutras se la denomina SUPERFICIE NEUTRA. Las fibras que estén por encima o por debajo de la Superficie Neutra alargarán o acortarán según hacia donde flexione la viga. (En el caso del dibujo acortarán las fibras que están por encima de la Superficie Neutra y alargarán las que estén por debajo) A las fibras transversales de la Superficie Neutra se las denomina: LINEAS NEUTRAS o EJES NEUTROS. Alrededor de ellos giran las secciones transversales En las siguientes figuras se representan estos términos para su mejor identificación: Superficie Neutra

Fibras Neutras

Ejes Neutros o Líneas neutras

Eje Neutro o Línea Neutra

Fig.5.14 11


Así pues como resultado de la flexión el paralelepípedo elemental abcd se transforma en el a1b1c1d1 y como según la Hipótesis de Bernouilli-Navier: “……las secciones transversales de la viga giran alrededor de un eje, contenido en la sección, denominado Eje Neutro, permaneciendo planas y normales a las fibras deformadas”, se deducirá que: a1b1 será perpendicular a a1c1. Con lo cual se podrá afirmar: “Las deformaciones angulares de los diferentes paralelepípedos son nulas, es decir: γ = 0”

m a c

n b d

m1 a1 c1

dx

n1 b1 d1

Fig.5.15

τ

(5 . 4 ) =0 → τ =0 G “En la Flexión Pura son nulas las tensiones cortantes”

Por la ley de Hooke:

γ=

Para calcular las tensiones normales σx, se analizará con más detalle la deformación de la rebanada dx de la figura anterior O

r

m a c

dn

n b d

m1 dx dn n1 a1 b2 b1 c1 d1

Supongamos que la superficie neutra es la que pasa por la fibra mn. (m1n1 una vez flexionada) O: Centro de curvatura de la fibra neutra m1n1 r: radio de curvatura de la fibra neutra m1n1

dx

Se estudiará el alargamiento que ha sufrido la fibra ab que se encuentra a una distancia dn de la superficie neutra. La fibra ab de longitud dx al flexionar se ha convertido en la fibra a1b1. La fibra neutra mn de longitud dx al flexionar se ha convertido en la fibra m1n1 de la misma longitud (la fibra neutra ni alarga ni acorta). Si se traza por n1 una paralela a m1a1 se obtiene n1b2, siendo entonces: a1b2 =dx. El alargamiento de la fibra ab al flexionar habrá sido: b2b1. A continuación se buscará una expresión para obtener dicho alargamiento: bb bb De la semejanza de ε x = 2 1 = 2 1 triángulos (Oa1b1) y (n1b2b1), tienen a1b2 dx 12


sus lados paralelos , se podrá expresar:

b2b1 d n = dx r b2 b1 d n = dx r “ las deformaciones longitudinales de las fibras son proporcionales a su distancia a la superficie neutra”

εx =

Sustituyendo en la expresión de εx:

εx =

y por la ley de Hooke:

σx

→ σ x = ε x .E = E .

E

dn r

(5.5)

“ las tensiones normales σx son proporcionales a su distancia a la superficie neutra” Utilizando ahora la primera ecuación de las expresiones (5.3) resultará:

∫σ A

→

x

.dA = 0

∫

A

→

∫

A

E.

dn .dA = 0 (al ser E=cte, r=cte) → r

E d n .dA = 0 → r ∫A

d n .dA = 0

Si se quisiera obtener ahora la distancia del centro de gravedad de la sección a la superficie neutra, la fórmula a emplear sería:

d n (G ) =

∫

A

d n .dA

∫

A

dA

= (y por lo obtenido antes) =

∫

0 =0 → dA

d n (G ) = 0

(5 . 6 )

A

“la distancia del centro de gravedad G de una sección a la superficie neutra es cero, el centro de gravedad está pues en la superficie neutra”, o lo que es lo mismo “el eje neutro o línea neutra de una sección pasa por el centro de gravedad G de la misma”

G

Eje Neutro o Línea Neutra Fig.5.16 13


Se buscará a continuación una forma cómoda para medir dn, Para ello, la siguiente figura (5.17), representa una sección transversal cualquiera de una viga y se expresará dn en función de las coordenadas del punto donde se quiera hallar la tensión.

Línea neutra o Eje neutro

n α

dn

G

z

y P

z n y

Fig.5.17

La distancia dn de un punto P(y,z) cualquiera a la línea neutra será:

d n = y. cos α + z.senα Introduciendo este valor en la ecuación (5.5) que da la tensión normal en un punto cualquiera quedará:

σ x = E.

dn E = .( y. cos α + z.senα ) = C1 . y + C 2 .z r r

(5 . 7 )

Desarrollando ahora dos nuevas ecuaciones de las expresiones (5.3):

M z = ∫ σ x . y.dA = (y según 5.6) = ∫ (C1 . y + C2 .z ). y.dA A

A

= C1.∫ y .dA + C2 .∫ z. y.dA = C1 .I z + C2 .I zy 2

A

A

M y = ∫ σ x .z.dA = ( y según 5.6) = ∫ (C1 . y + C2 .z ). z.dA A

A

= C1.∫ y.z.dA + C2 .∫ z .dA = C1.I zy + C2 .I y 2

A

A

y resolviendo este sistema de ecuaciones por la regla de Cramer:

14


C1 =

Mz My Iz I zy

I zy Iy I zy Iy

=

M z .I y − M y .I zy I z .I y − I

C2 =

2 zy

Iz I zy

Mz My

Iz

I zy

I zy

Iy

=

M y .I z − M z .I zy I z .I y − I zy2

Sustituyendo finalmente el valor obtenido para las dos constantes C1 y C2 en la ecuación (5.7), quedará como expresión final general del cálculo de la tensión normal en un punto cualquiera de coordenadas (y,z) la siguiente:

σx =

( M z .I y − M y .I zy ). y + ( M y .I z − M z .I zy ).z I z .I y − I zy2

(5.8)

Las componentes del estado de tensiones en un punto P del interior de una viga sometida a Flexión Pura serán pues:

z σx

σx

x

P y

σx =

Fig.5.18


τ xy = 0

σy =0

τ yz = 0

σz = 0

τ zx = 0

(5.9)

15


CÁLCULO DE LA LÍNEA NEUTRA (EJE NEUTRO)

Las fibras que pertenecen a la Superficie Neutra, por definición, ni se alargan ni se acortan, con lo cual se cumplirá:

ε x = 0 y por la ley de Hooke : σ x = ε x .E = 0 Así pues la ecuación de la línea neutra la podemos obtener como lugar geométrico de los puntos de una sección que tienen tensión normal cero, es decir:

( M z .I y − M y .I zy ). y + ( M y .I z − M z .I zy ).z

σx =

I z .I y − I zy2

=0

o lo que es lo mismo: ( M z .I y − M y .I zy ). y + ( M y .I z − M z .I zy ). z = 0

(5.10)

Ecuación de la línea neutra o Eje neutro

También puede expresarse, sabiendo que ha de pasar por el centro de gravedad G de la sección, en virtud de (5.6), por su ángulo de inclinación α con respecto al eje z.

tagα =

M y .I z − M z .I zy y = (despejando esta expresion de5.10) = − z M z .I y − M y .I zy

Ángulo de inclinación de la línea neutra respecto al eje Z Sección transversal de la viga n

G

z

α n y 16

Fig.5.19

(5.11)

Tema 5.3.2: Tensiones normales: Casos particulares

5.3.2.-TENSIONES NORMALES: CASOS PARTICULARES

Caso Particular 1º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección” En éste caso se deberá cumplir: Izy = 0, con lo cual las ecuaciones 5.8 y 5.11 serán:

σx =

M z . y M y .z + Iz Iy

tag α = −

(5.12)

M y .I z M z .I y

(5.13)

Caso Particular 2º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además uno de los Momentos Flectores es cero”

Si My = 0 :

σx =

M z .y Iz

tagα = 0 → α = 0º el eje neutro es el eje z

(5.14)

(5.15)

La distribución de tensiones normales σx para este caso será:

σMAX(COMPRESIÓN) z G n

x

n

y

σ X max =

M z . yMAX Iz

(5.16)

σMAX(TRACCIÓN)

Fig.5.20

17

Tema 5 : Flexión: tensiones

Si Mz = 0 :

σx =

M y .z

tagα = ∞ → α = 90º el eje neutro es el eje y

(5.17 )

Iy

(5.18)

La distribución de tensiones normales σx para este caso será:

σMAX(TRACCIÓN) z

n

x

G

σ X max = n σMAX(COMPRESIÓN) y Fig.5.21

18

M y .zMAX Iy

(5.19)

Tema 5.3.2: Tensiones normales: Casos particulares

Observaciones: Convenio de signos para Mz y My: Con el convenio de signos adoptado en la sección 5.2 para los Momentos flectores Mz y My se observa lo siguiente: Mz > 0 → “las fibras que se alargan son las que están por debajo de la superficie neutra, por tanto se producirá TRACCIÖN en los puntos de la sección de la parte inferior del eje z, es decir en los puntos de la parte positiva del eje y”

Superficie neutra

Mz z

Compresión

n>0

G

n Mz

n

n

x

n

n

G

Tracción

y

n

z

y Fig.5.22

My > 0 → “las fibras que se alargan son las que están en la parte positiva del eje z”

Superficie neutra My

Tracción

z

n

n

n

x

z

G

n>0 n

n

My

Compresión

n

y

y Fig.5.23

19

Tema 5 : Flexión: tensiones

5.3.3.-LÍNEA ELÁSTICA. RADIO DE CURVATURA Se denomina LÍNEA ELÁSTICA al eje x de la viga una vez deformado debido a la flexión.

Línea elástica x x

Fig.5.24 El radio de curvatura de la línea elástica se podrá obtener de la siguiente manera:

σ x = E.

La ecuación 5.5 que daba la tensión en un punto P cualquiera:

dn r

n

dn

G z

α y P

n z

n

G dn = y

z

P

n y

Fig.5.25

y

y para el 2º caso particular visto en 5.3.2: ( Izy = 0 My = 0 ) → el eje neutro es el eje z y Entonces : dn = y, con lo cual la fórmula de la tensión será: σ x = E. r La fórmula final (5.14), para el cálculo de la tensión en éste caso particular era: Igualando ambas expresiones de la tensión:

E. y M z . y = r Iz

→

1 Mz = r E .I z

(5.20)

Siendo: E.Iz = Módulo de Rigidez a la flexión alrededor del eje z. así si: E.I z ↑ → 20

1 ↓ → r ↑ ⇒ flexa poco,es muy rígida a la flexión r

σx =

M z .y Iz

Sección 5.3.3: Línea elástica. Radio de curvatura

E.Iz (grande) ⇓ Flexiona poco ⇓ muy rígida a la flexión

E.Iz (pequeño) ⇓ Flexiona mucho ⇓ poco rígida a la flexión

Para el otro caso particular visto en 5.3.2: ( Izy = 0, Mz = 0 ) → el eje neutro es el eje y, entonces dn = z.

n G

z dn = z

n y

P

Fig.5.26

Con lo cual la ecuación (5.5) para la tensión sería:

σ x = E.

z r

La ecuación final (5.17), para el cálculo de la tensión en éste caso particular era:

σx =

M y .z Iy

Igualando ambas expresiones de la tensión:

E. z M y . z = r Iy

→

1 My = r E .I y

(5.21)

Siendo: E.Iy = Módulo de Rigidez a la flexión alrededor del eje y.

21


5.4.-FLEXIÓN SIMPLE Una viga está solicitada a FLEXIÓN SIMPLE cuando en sus secciones transversales actúan conjuntamente los Momentos Flectores: Mz y/o My y las Fuerzas Cortantes: Vy y/o Vz. z

Vz x

G

O Mz

My

y

Vy

Fig.5.27

Las relaciones Tensiones – Solicitaciones vistas en 1.7 serían:

N = 0 = ∫ σ x .dA A

V y = ∫ τ xy .dA

T = 0 = ∫ (τ xz . y − τ xy .z ).dA

Vz = ∫ τ xz .dA

A

A

(5.22)

A

M y = ∫ σ x . z.dA A

M z = ∫ σ x . y.dA A

5.4.1-TENSIONES NORMALES En estas ecuaciones (5.22), se observa que en las relaciones que interviene la tensión normal σx, son las mismas que las expresadas en las (5.3) para la Flexión Pura. Sin embargo la aparición ahora de las tensiones cortantes: τxy y τxz , que eran cero en la Flexión Pura, va a producir deformaciones angulares γ, que habrá que añadir a las deformaciones propias de la Flexión Pura. Si las tensiones cortantes no se distribuyeran uniformemente en la sección, lo mismo ocurriría con las deformaciones angulares, lo que significará que en la FLEXIÓN SIMPLE las secciones planas se alabean, es decir, no permanecerán planas y no se cumplirá por tanto la Hipótesis de Bernouilli- Navier Fibras que se acortan

Fig.5.28 22

Fibras que se alargan

Sección 5.4.1: Flexión simple: tensiones normales

Sin embargo se comprueba, que este alabeo de las secciones apenas influye en el valor de las tensiones normales σx, con lo cual se aplicará para éstas, en el caso de FLEXIÓN SIMPLE, las mismas ecuaciones obtenidas en la FLEXIÓN PURA, es decir:

σx =


(5.7)

σy =0 σz = 0


σx =

M z . y M y .z + Iz Iy

(5.12)

tag α = −

M y .I z M z .I y

(5.13)

Caso Particular 2º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además uno de los Momentos Flectores es cero” Si My = 0 :

σx =

M z .y Iz

(5.14)

tagα = 0 → α = 0º el eje neutro es el eje z

(5.15)

23


5.4.2-TENSIONES CORTANTES EN SECCIONES DE GRAN ESPESOR Para el cálculo de las tensiones cortantes se tendrá en cuenta la forma de la sección de la viga. Así en este apartado se comenzará con el caso de vigas con secciones de gran espesor: circulares, rectangulares, etc….. En este tipo de secciones se hará el cálculo por separado de las tensiones cortantes: τxy y τxz.

Cálculo de la tensión cortante τxy: Tomemos una rebanada dx de una viga de sección de gran espesor sometida a Flexión Simple (Fig.29.a). En ambos extremos de la misma se sitúan los Momentos Flectores y Fuerzas Cortantes correspondientes. Se trata de calcular las τxy en los puntos de una línea cualquiera ab que se encuentran a una distancia y del eje z. Para ello se supondrá que τxy = cte a lo largo de todos los puntos de la dicha línea. Vy Vz + dVz

z My Mz

O

n<0

n>0 c

y

Vz

x

G

b Mz + dMz

a

d

τxy

My + dMy

y Vy + dVy dx

Fig.5.29.a

Seccionando el elemento diferencial por el plano abcd y estableciendo el equilibrio de fuerzas del trozo inferior resultante, se tendrá: dx t(y) b

c τyx

A

a σx

d

dA

dA σx +dσx Fig.29.b

Mz, My →σx

M z + dM z , M y + dM y → σ x + dσ x

y para que exista equilibrio de fuerzas en direccion del eje x → τ yx sobre superficie abcd

∑F

x

24

=0 →

∫ (σ A

x

+ dσ x ).dA = ∫ σ x .dA + τ yx .t ( y ).dx A

y operando :

Sección 5.4.2: Tensiones cortantes en secciones de gran espesor

∫

A

dσ x .dA = τ yx .t ( y ).dx

Calculemos

σx =

dσ x .dA = τ yx .t ( y) A dx

∫

→

(1)

dσ x a partir de la expresión de σ x obtenida en (5.7) : dx

( M z .I y − M y .I zy ). y + ( M y .I z − M z .I zy ).z I z .I y − I

2 zy

=

M z .( I y . y − I zy .z ) + M y .( I z .z − I zy . y ) I z .I y − I zy2

dM y dM z . ( I y . y − I zy .z ) + . ( I z .z − I zy . y ) V .( I . y − I .z ) + V .( I .z − I . y ) dσ x y y zy z z zy dx dx = = 2 2 dx I z .I y − I zy I z .I y − I zy y sustituyendo esta expresión en (1):

τ yx .t ( y ) = ∫

Vy . ( I y . y − I zy .z ) + Vz . ( I z .z − I zy . y ) I z .I y − I zy2

A

.dA

Vy .  I y .∫ y.dA −I zy .∫ z.dA + Vz .  I z .∫ z.dA − I zy .∫ y.dA A   A A  τ yx .t ( y ) =  A 2 I z .I y − I zy

τ yx =

Vy .  I y .Qz ( y ) − I zy .Qy ( y )  + Vz .  I z .Qy ( y ) − I zy .Qz ( y )  t ( y ).  I z .I y − I zy2 

y como por lo visto en el tema 1º : τyx = τxy se obtendrá finalmente:

τ xy =

Vy .  I y .Qz ( y ) − I zy .Qy ( y )  + Vz .  I z .Q y ( y ) − I zy .Qz ( y )  t ( y ).  I z .I y − I zy2 

(5.23)

siendo:

Qz ( y) =

∫ y.dA A

z

G

y a

b

τxy>0 y

A

los momentos estáticos del área rayada A respecto de los ejes z e y respectivamente Observación: en la sección de n>0 se cumple:

A

t(y)

Q y ( y ) = ∫ z.dA

τ xy > 0 → "su sentido es entrante en el área rayada " Fig.5.30

τ xy < 0 → "su sentido es saliente del área rayada " 25


Cálculo de la tensión cortante τxz: Se trata de calcular ahora las τxz en los puntos de una línea cualquiera ef que se encuentran a una distancia z del eje y. Para ello se supondrá que τxz = cte a lo largo de todos los puntos de la dicha línea. Vy

Vz + dVz g

z

f My n<0

Mz

O

n>0

τxz

Mz + dMz

z

Vz

x

G

h My + dMy

e y Vy + dVy dx

Fig.5.31.a

Seccionando el elemento diferencial por el plano efgh y estableciendo el equilibrio de fuerzas del trozo posterior resultante, se tendrá: g

f σx

τzx

dA

dA

σx + dσx

t(z) A e

h dx

Mz, My →σx

Fig.5.31.b

M z + dM z , M y + dM y → σ x + dσ x

y para que exista equilibrio de fuerzas en direccion del eje x → τ zx sobre superficie efgh

∑F

x

=0 →

∫ (σ A

x

+ dσ x ).dA = ∫ σ x .dA + τ zx .t ( z ).dx A

y operando:

dσ x .dA = τ zx .t ( z ) A A dx ysiguiendo un procesosimilar al anterior,se obtendrá:

∫

dσ x .dA = τ zx .b( z ).dx

τ xz = 26

→

∫

Vy .  I y .Qz ( z ) − I zy .Qy ( z )  + Vz .  I z .Qy ( z ) − I zy .Qz ( z )  t ( z ).  I z .I y − I zy2 

(5.24)


siendo: f

τxz>0

Qz ( z) =

∫ y.dA

Q y ( z ) = ∫ z.dA

A

t(z) A

G

z

z

A

los momentos estáticos del área rayada A respecto de los ejes z e y respectivamente Observación: en la sección de n>0 se cumple:

e y

Fig.5.32

τ xz > 0 → "su sentido es entrante en el área rayada " τ xz < 0 → "su sentido es saliente del área rayada "

CASOS PARTICULARES:


τ xy =

Vy .Qz ( y ) Vz .Qy ( y ) + t ( y ).I z t ( y ).I y

τ xz =

Vy .Qz ( z ) Vz .Qy ( z ) + t ( z ).I z t ( z ).I y

(5.25)

Caso Particular 2º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además una de las Fuerzas Cortantes es cero”

→ τ xy =

Vy .Qz ( y )

- si Vy = 0 → τ xy =

Vz .Qy ( y )

-si Vz = 0

t ( y ).I z

t ( y ).I y

τ xz =

Vy .Qz ( z )

τ xz =

Vz .Qy ( z )

t ( z ).I z

t ( z ).I y

(5.26)

(5.27)

27


5.4.3-TENSIONES CORTANTES EN SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR Las barras que se utilizan en las estructuras metálicas suelen tener secciones de pequeño espesor. tf

tf

tw

h

h

d

tw d

b

b

Fig.5.33

Se consideran incluidas en este grupo todas las secciones en las que se cumpla:

h ≥ 10.tw

b ≥ 10.t f

El cálculo de las tensiones cortantes en este tipo de secciones, presenta algunas diferencias con respecto al de las secciones macizas visto anteriormente.

Cálculo de la tensión cortante τxs: Tomemos una rebanada dx de una viga de sección abierta de pequeño espesor sometida a Flexión Simple. En ambos extremos de la misma se sitúan los Momentos Flectores y Fuerzas Cortantes correspondientes. Se trata de calcular las τxs en los puntos de una línea cualquiera ab, perpendicular a la línea media, que se encuentran a una distancia s de uno de los extremos abiertos de la sección. Para ello se supondrá que τxs = cte a lo largo de todos los puntos de dicha línea y sus direcciones son perpendiculares a la misma Vy

dx

My z

Vz+dVz

Mz

n>0

G n<0 τxs a

s 28

Vz b

x Mz+dMz

c My+dMy

y

Vy+dVy

Fig.5.34.a

Sección 5.4.3: Tensiones cortantes en secciones abiertas de pequeño espesor

Seccionando el elemento diferencial por el plano abcd y estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección del eje x, del trozo inferior resultante, se tendrá: t(s)

τsx

b a

c d

σx+dσx

σx dA s dx

∑F

x

∫

A

=0 →

∫ (σ A

x

Fig.5.34.b

+ dσ x ).dA = ∫ σ x .dA + τ sx .t ( s ).dx A

dσ x .dA = τ sx .t ( s).dx

→

y operando:

dσ x .dA = τ sx .t ( s) A dx

∫

y siguiendo a partir de ahora un desarrollo similar al realizado en el cálculo de las tensiones cortantes en secciones de gran espesor, se obtendrá:

τ xs =

Vy .  I y .Qz ( s ) − I zy .Qy ( s )  + Vz .  I z .Qy ( s ) − I zy .Qz ( s )  t ( s ).  I z .I y − I zy2 

(5.28)

siendo: G

z

Q z (s) =

∫ y.dA A

b

a

Q y ( s ) = ∫ z.dA A

los momentos estáticos del área rayada A respecto de los ejes z e y respectivamente

τxs>0 A

Observación: en la sección de n>0 se cumple:

s y Fig.5.34.c

τ xs > 0 → "su sentido es entrante en el área rayada " τ xs < 0 → "su sentido es saliente del área rayada "

29


CASOS PARTICULARES:

Caso Particular 1º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección” En éste caso se deberá cumplir: Izy = 0, con lo cual la ecuación 5.28 será:

τ xs =

Vy .Qz ( s ) Vz .Qy ( s ) + t ( s ).I z t ( s ).I y

(5.29)

Caso Particular 2º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además una de las Fuerzas Cortantes es cero”

-si Vz = 0

→

τ xs =

Vy .Qz ( s )

- si Vy = 0

→

τ xs =

Vz .Q y ( s )

30

t ( s ).I z

t ( s ).I y

(5.30)

(5.31)

Sección 5.4.4: Tensiones cortantes en secciones cerradas de pequeño espesor

5.4.4-TENSIONES CORTANTES EN SECCIONES CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR Cálculo de la tensión cortante τxs: Tomemos una rebanada dx de una viga de sección cerrada de pequeño espesor sometida a Flexión Simple. En ambos extremos de la misma se sitúan los Momentos Flectores y Fuerzas Cortantes correspondientes. Se trata de calcular las τxs en los puntos de una línea cualquiera ab, perpendicular a la línea media, que se encuentran a una distancia s de una línea aobo, también perpendicular a la línea media, que se tomará como referencia. Para ello se supondrá que τxs = cte a lo largo de todos los puntos de la línea ab, de espesor t(s), siendo sus direcciones perpendiculares a la misma y que igualmente ocurrirá con las tensiones τxso = cte en los puntos de la línea de referencia aob, de espesor t(so) Vy

dx

My z

Mz

Vz+dVz n<0 G

τxs

n>0

b

a

x Mz+dMz

Vz

Vy+dVy

b0 s τxso a0

My+dMy

y Fig.5.35.a

Seccionando el elemento diferencial por el plano abcd y por el aobocodo, y estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección del eje x, del trozo resultante, se tendrá: t(s)

τsx

b

c

a

σx

∑F

x

∫

A

=0 →

τsox

a0

s

∫ (σ A

x

σx+dσx

d

dA b0

co do

dx

t(so) Fig.5.35.b

+ dσ x ).dA + τ sox .t ( so ).dx = ∫ σ x .dA + τ sx .t ( s ).dx A

dσ x ..dA + τ sox .t ( so ).dx = τ sx .t ( s ).dx →

y sustituyendo el valor de

∫

A

∫

A

dσ x ..dA + τ sox .e( s o ) = τ sx .e( s ) dx

dσ x .dA obtenido en la sección 5.4.3: dx 31


τ sx .t ( s ) = τ sox .t ( so ) +

Vy .  I y .Qz ( s) − I zy .Qy ( s )  + Vz .  I z .Qy ( s) − I zy .Qz ( s )  I z .I y − I zy2

(5.32)

Observación: en esta expresión se observa que para poder calcular τsx se deberá antes conocer τsox. Ésto no ocurría en las secciones abiertas de pequeño espesor, pues en ellas tan sólo era necesario dar un corte para aislar el elemento diferencial y estudiar sobre él, el equilibrio de fuerzas, con lo cual se obtenía una ecuación con una sola incógnita: τsx, y se la podía calcular directamente. Cálculo de una tensión de referencia: τsox El cálculo de una tensión de referencia τsox se obtiene a partir de la siguiente propiedad: “la suma de las deformaciones angulares γxs a lo largo de toda la línea media de una sección cerrada de pequeño espesor es cero” s

∫ γ xs .ds = 0

s

y por la ley de Hooke :

→

0

τ xs

∫ G .ds = 0 0

y sustituyendo τxs =τsx por su valor obtenido de la ecuación (5.32): s

∫

τ sox .t ( so ) t ( s ).G

0

s

.ds + ∫

V y .  I y .Qz ( s ) − I zy .Q y ( s )  + Vz .  I z .Q y ( s ) − I zy .Qz ( s )  t ( s ).G.( I y .I z − I zy2 )

0

como : τ sox = cte,

t ( so ) = cte

.ds = 0

y eliminando G :

s V y .  I y .Qz ( s ) − I zy .Q y ( s )  + Vz .  I z .Q y ( s ) − I zy .Qz ( s )  ds +∫ .ds = 0 t (s) 0 t ( s ).( I y .I z − I zy2 ) 0 s

τ sox .t ( so ).∫

y despejando finalmente τ sox :

τ sox =

32

s s  s Q ( s) Q ( s)   s Q (s) Q (s)  Vy .  I y .∫ z .ds − I zy .∫ y .ds  + Vz .  I z .∫ y .ds − I zy .∫ z .ds  t ( s) t ( s) t (s) 0 0   0 t (s)  −  0 2 t ( s0 ).( I z .I y − I zy ) s

ds ∫0 t (s)

= τ xso

(5.33)

Sección 5.4.4: Tensiones cortantes en secciones cerradas de pequeño espesor

Una vez obtenida de esta forma τsox, sustituyendo su valor en la ecuación (5.33) se obtendría el valor de la tensión que se quería calcular: τxs = τsx

τ xs =

τ xso .t ( s0 ) Vy .  I y .Qz ( s ) − I zy .Qy ( s )  + Vz .  I z .Qy ( s ) − I zy .Qz ( s )  + t ( s ).( I z .I y − I zy2 )

t (s)

(5.34)

CASOS PARTICULARES:


s

s Q (s) Qz ( s ) .ds Vz .∫ y .ds t (s) t ( s) 0 + 0 t ( s0 ).I z t ( s0 ).I y

Vy .∫

τ xso = −

s

(5.35)

ds

∫ t ( s) 0

τ xs =

τ xso .t ( s0 ) Vy .Qz ( s ) Vz .Qy ( s ) t (s)

+

t ( s ).I z

+

(5.36)

t ( s ).I y

Caso Particular 2º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además una de las Fuerzas Cortantes es cero” Por ejemplo: caso de Vz = 0 s

Qz ( s ) .ds t ( s) 0 t ( s0 ).I z s ds ∫0 t (s)

Vy .∫

τ xso = −

(5.37)

τ xs =

τ xso .t ( s0 ) Vy .Qz ( s ) t (s)

+

t ( s ).I z

(5.38)

Caso Particular 3º: 33


“Si el eje y es de simetría y sólo hay Vy” τxso = 0

τxs z

Vy τxso = 0 y

Fig.5.36

En este caso las ecuaciones anteriores se simplifican, pues se demuestra que en los puntos de corte de la sección con el eje y la tensión cortante es cero.

Así pues tomando dichos puntos como referencia, en ellos será:

τxso =0

(5.39)

con lo cual la tensión cortante en cualquier otros puntos será:

τ xs =

Vy .Qz ( s ) t ( s ).I z

(5.40)

siendo Qz(s) el momento estático del área rayada respecto del eje z Fórmulas análogas se obtendrían si el eje z fuese de simetría y sólo hubiese Vz Y finalmente si ambos ejes: y, z, fuesen de simetría y hubiese Vy y Vz, las fórmulas se obtendrían por el Principio de Superposición de los Efectos, estudiando cada caso por separado y sumando los valores obtenidos en ambos.

34

Sección 5.4.5: Centro de fuerzas cortantes

5.4.5-CENTRO DE FUERZAS CORTANTES Sea una viga con sección abierta de pequeño espesor y sea F la Resultante de las fuerzas exteriores aplicada en el punto G de la sección indicada en la Fig. (5.37). La fuerza cortante en dicha sección será pues: Vy = F

Vext = F G x z Vy = Rint = F

y

Fig.5.37

La distribución de tensiones cortantes τxs en las alas y en el alma de la sección, aplicando la ecuación (5.30) será la indicada en la Fig. (5.38.a): τxs = τxz

τxs = τxy

G z Vy τ = τxz y xs Fig.5.38.a

La suma de las tensiones cortantes en el alma τxs = τxy dará lugar a una resultante que será Vy, y las de las alas: τxs = τxz, darán lugar a unas resultantes Vz. (Fig.5.38.b). Llevando la acción de estas resultantes de las fuerzas interiores: Vy y Vz, al centro de gravedad G de la sección, darán lugar a una Resultante: Vy (la suma de las Vz será cero, al ser iguales, de la misma dirección, pero de sentidos contrarios), y un Momento Resultante: Mx = Vz.h + Vy.c que produce una Torsión en la sección (Fig. 5.38.c) Vz

Vy

G

z

h

Vz c y

Fig.5.38.b.

⇒

G

Vy y

Mx = Vz.h + Vy.c z

Fig.5.38.c 35


Este efecto inesperado de la Torsión que producen las tensiones cortantes y al que tan sensibles son este tipo de secciones abiertas y de pequeño espesor (tienen muy poca rigidez a la torsión), se podrá evitar si se aplican las fuerzas exteriores, en lugar de en el centro de gravedad G de la sección, en un punto C al que llamaremos “Centro de Fuerzas Cortantes”. Calculemos a continuación la posición del Centro de Cortantes ( C ), para la sección dada. Para ello se situarán las fuerzas exteriores que actúen sobre la viga, de modo que la Resultante de las mismas pase por un punto C sobre el eje z y a una distancia d del centro de gravedad G de la sección. (Fig.5.39.a). Para ver el efecto que dicha Resultante provoca en G, la trasladamos a dicho punto, dando lugar a una fuerza: F y un momento: F.d. (Fig. 5.39.b) Vext = F Vext = F Mx = F.d C

G

d

C

⇒

z

G

d

y

z

y

Fig.5.39.b b Pero al estar la Resultante de las fuerzas exteriores F, aplicada ahora en el punto G, (Fig. 5.39.b) , F, esta fuerza sólo, por lo visto anteriormente, provocará unas fuerzas internas que daban lugar a la fuerza y al momento indicados (Figs.5.40.a y b) Fig.5.39.a

Vext = F G x z Vy = Rint = F

y

G

⇒

Ry y

Fig.5.40.a

Mx = Vz.h + Vy.c z

Fig.5.40.b

Si situamos el punto C a una distancia d del punto G, tal que se consiga que el momento torsor exterior: Mx, sea igual y de sentido contrario al provocado por las fuerzas internas: Mx , se habrá conseguido anular éstas, es decir se habrá anulado el efecto de la Torsión en la sección F.d = Vz.h + Vy.c

⇒

d=

Vz .h + V y .c

(5.41)

F

con ello queda localizada la posición del punto C (Centro de fuerzas cortantes), para este tipo de sección 36

Sección 5.4.5: Centro de fuerzas cortantes

Observaciones: Para otros tipos de secciones, los Centros de Cortantes serán: a) Secciones abiertas de pequeño espesor con dos ejes de simetría

C≡G

z

y Fig.5.4 1 b) Secciones abiertas de pequeño espesor con sólo un eje de simetría

C

G

G z

z C

G y

d

y Fig.5.42.b

Fig.5.42.a

z

C y Fig.5.42.c

c) Secciones abiertas de pequeño espesor sin ejes de simetría

C≡G

z

y Fig.5.43

37


5.5-INTRODUCCIÓN AL DIMENSIONAMIENTO A RESISTENCIA DE VIGAS METÁLICAS SOLICITADAS A FLEXIÓN ( Normativa DB-SE-A ) 5.5.1.-RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A FLEXIÓN PURA: MOMENTOS FLECTORES 1.-Criterio elástico de dimensionamiento: Según vimos en la sección 3.7: “La resistencia elástica de una sección se obtendrá cuando en un punto de la misma se alcance la tensión del límite elástico fy.” Caso de una sección solicitada por un momento flector Mz: Al momento flector Mz que produce la tensión del límite elástico fyd en los puntos más alejados de la línea neutra, se le denomina: Mzel,d y representa la resistencia elástica de una sección a la flexión Mz.. Calculemos su valor: La distribución de tensiones normales σx para este caso será, (ver fig.5.44): σMAX(COMPRESIÓN) = fyd z G n

Mz = Mzel,d

x

n

y

σMAX(TRACCIÓN) = fyd Fig.5.44

σ X max =

M zel ,d . yMAX Iz

=

M zel ,d M = zel ,d = f yd → Iz Wzel yMAX

M zel ,d = Wzel . f yd

(5.42)

siendo: M zel ,d : "resistencia elástica de la sección a la flexión M z " Wzel =

Iz

ymax

:"módulo resistente elástico a la flexión M z "

Así pues para la comprobación a resistencia elástica de una sección trabajando a Flexión Pura: Mz, se aplicará la fórmula:

M z* ≤ M zel ,d = Wzel . f yd Mz* (carga mayorada) = Mz.γ : 38

(5.43)

Sección 5.5: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas solicitadas a flexión

Mz: momento flector que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2) Caso de una sección solicitada por un momento flector My: De forma similar al caso anterior llegaríamos a los siguientes resultados: La distribución de tensiones normales σx para este caso será ahora (ver fij.5.45): σMAX(TRACCIÓN) = fyd z

n

x

G

My = Myel,d n

σMAX(COMPRESIÓN) = fyd y

σ X max =

M yel ,d .zMAX Iy

=

M yel ,d M yel ,d = = f yd → Iy Wyel zMAX

Fig.5.45

M yel ,d = Wyel . f yd

(5.44)

siendo: M yel , d :"resistencia elástica de la sección a la flexión M y " Wyel =

Iy zmax

:"módulo resistente elástico a la flexión M y "

Así pues para la comprobación a resistencia elástica de una sección trabajando a Flexión Pura: My, se aplicará la fórmula:

M *y ≤ M yel ,d = Wyel . f yd

(5.45)

My* (carga mayorada) = My.γ My: momento flector que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2) Observación: Los módulos resistentes elásticos Wzel, Wyel, para el caso de series de perfiles normalizados se pueden obtener en las tablas correspondientes a los mismos. En caso de perfiles no normalizados se obtendrán a partir de sus expresiones respectivas.. Caso de los Momentos Flectores: Mz y My actuando simultáneamente: En este caso la normativa propone la siguiente fórmula de cálculo:

M *y M z* + ≤1 M zel , d M yel ,d

(5.46) 39


2.-Criterio plástico de dimensionamiento: Según vimos en la sección 3.7: “La resistencia plástica de una sección se obtendrá cuando en todos los puntos de la misma se alcance la tensión del límite elástico fy.” Caso de una sección solicitada por un momento flector Mz: Al momento flector Mz que produce la tensión del límite elástico fyd en todos puntos de la sección, se le denomina: Mzpl,d y representa la resistencia plástica de una sección a la flexión Mz. Calculemos su valor: La distribución de tensiones normales σx para este caso será, (ver fig.5.46): σ(COMPRESIÓN) = fyd z G n

x

Mz = Mzpl,d

n σ (TRACCIÓN) = fyd

y

Fig.5.46

Para obtener la resistencia plástica Mzpl,d de la sección se procederá del siguiente modo:

∑M

G

= 0 → M zpl , d = ∫ σ .dA. y = (como σ = f yd = cte) = f yd .∫ y.dA = A

A

= f yd .2.∫

A/ 2

y.dA = Wzpl . f yd

M zpl ,d = Wzpl . f yd

(5.47)

siendo: M zpl ,d :"resistencia plástica de la sección a la flexión M z " Wzpl = 2.∫

A/ 2

y.dA :"módulo resistente plástico a la flexión M z "

Así pues para la comprobación a resistencia plástica de una sección trabajando a Flexión Pura: Mz, se aplicará la fórmula:

M z* ≤ M zpl ,d = Wzpl . f yd

(5.48)

Mz* (carga mayorada) = Mz.γ : Mz: momento flector que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2)

40


Caso de una sección solicitada por un momento flector My: De forma similar al caso anterior llegaríamos a los siguientes resultados: La distribución de tensiones normales σx para este caso será, (ver fig.5.47): σMAX(TRACCIÓN) = fyd z

n

x

G

My = Mypl,d n

σMAX(COMPRESIÓN) = fyd y

Fig.5.47

Para obtener la resistencia plástica Mypl,d de la sección se procederá del siguiente modo:

∑M

G

= 0 → M ypl ,d = ∫ σ .dA.z = (como σ = f yd = cte) = f yd .∫ z.dA = A

A

= f yd .2.∫

A/ 2

z.dA = Wypl . f yd

M ypl ,d = Wypl . f yd

(5.49)

siendo: M ypl ,d :"resistencia plástica de la sección a la flexión M y " Wypl = 2.∫

A/ 2

z.dA : "módulo resistente plástico a la flexión M y "

Así pues para la comprobación a resistencia plástica de una sección trabajando a Flexión Pura: My, se aplicará la fórmula:

M *y ≤ M ypl ,d = Wypl . f yd

(5.50)

My* (carga mayorada) = My.γ : My: momento flector que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2) Caso de los Momentos Flectores: Mz y My actuando simultáneamente: En este caso la normativa propone la siguiente fórmula de cálculo:

M *y M z* + ≤1 M zpl ,d M ypl ,d

(5.51) 41


Observación: Los módulos resistentes plásticos Wzpl, Wypl, al igual que los elásticos, se obtendrán: En el caso de series de perfiles normalizados, en las tablas correspondientes a los mismos y en el caso de perfiles no normalizados, a partir de las expresiones respectivas obtenidas para los mismos. Ejemplo 1: Sección rectangular

b.h3 b.h 2 = 12 = h 6 2

h.b3 I I h.b 2 Wzel = z Wyel = y = 12 = b ymax zmax 6 2 z h b.h b.h2 Wzpl = 2.∫ y.dA = 2. yG ( A / 2) . A( A / 2) = 2. . = A/ 2 4 2 4 b b.h h.b 2 Wypl = 2.∫ z.dA = 2.zG ( A / 2) . A( A / 2) = 2. . = A/ 2 4 2 4

G

h

y b Ejemplo 2: Sección circular

π .R 4

R z

Wzel =

Iz = ymax

4 R

=

π .R 3 4

Wyel = (por simetría) = Wzel Wzpl = 2.∫

A/ 2

y

y.dA = 2. yG ( A / 2) . A( A / 2) = 2.

Wypl = (por simetria) = Wzpl

Ejemplo 3: IPE-300

Wzel = (tablas) = 557,1 mm3 Wyel = (tablas) = 80,5 mm3 Wzpl = (tablas) = 628, 4 mm3 Wypl = (tablas) = 125, 2 mm3

42

4.R π .R 2 4 3 . = .R 3.π 2 3


3.-Criterio de Von Mises de dimensionamiento: Si aplicásemos el criterio de dimensionamiento de Von-Mises (sección 3.7), llegaríamos al mismo resultado que con el criterio elástico de dimensionamiento. En efecto, la fórmula de Von Mises es:

σ co = σ *2 + 3.τ *2 ≤ f yd

Caso del Momento Flector: Mz: M z* . ymax M z* M z* siendo : σ = = = Iz I z / ymax Wzel *

σ co =

M z* ≤ f yd Wzel

τ* = 0

y sustituyendo

τ* = 0

y sustituyendo

→ M z* ≤ Wzel . f yd

Caso del Momento Flector: My: siendo : σ * =

σ co =

M y* Wyel

M *y .zmax

≤ f yd

Iy

=

M *y I y / zmax

=

M *y Wyel

→ M y* ≤ Wyel . f yd

Caso de los Momentos Flectores: Mz y My actuando simultáneamente: * * M *y M z* . ymax M y .zmax M z* M z* M y siendo : σ = + = + = + Iz Iy I z / ymax I y / zmax Wzel Wyel *

τ* = 0

y sustituyendo * M z* M y σ co = + ≤ f yd Wzel Wyel

*

My M z* → + ≤1 → Wzel . f yd Wyel . f yd

M *y M z* + ≤1 M zel , d M yel ,d

Observación: La Normativa indica las clases de secciones a las que aconseja aplicar el cálculo elástico o el plástico.

43


5.5.2.-RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A CORTADURA Para el cálculo debido a las Fuerzas Cortantes, la normativa propone un cálculo plástico de las mismas suponiendo unas distribuciones de tensiones cortantes uniformes.

1.-Criterio plástico de dimensionamiento: El estudio se hará indistintamente para las cortaduras: Vy o Vz y la denominaremos en general: V A la fuerza cortante V que producen la tensión cortante del límite elástico τyd en todos puntos de la sección, se le denomina: Vpl,d y representa la resistencia plástica de una sección a la cortadura V. Calculemos su valor: Según vimos en la sección 3.7, en el criterio de dimensionamiento de Von Mises, la tensión cortante en el límite elástico tenía el siguiente valor :

τ yd =

f yd 3

(ver ecuación 3.27)

Si suponemos, como dijimos antes, una distribución uniforme de las tensiones cortantes a lo largo de la sección, tendremos:

τ = τyd = fyd/√3 = cte

Vpl,d

Fig.5.48

Para obtener la resistencia plástica de la sección a esfuerzos cortantes, se procederá del siguiente modo:

∑F =0→

V pl ,d = ∫ τ .dA = (como τ = τ yd = cte) = τ yd .∫ dA = (y por la ecuación 3.27) = Av

=

44

f yd 3

Av

. Av


Quedará pues:

V pl ,d = Av .

f yd

(5.52)

3

siendo: V pl ,d : "resistencia plástica de la sección a la cortadura V" Av :"área de la sección a considerar, según el tipo de la misma ": •

Secciones macizas de gran espesor: rectangulares, circulares,……. Av = A (área de la sección)

•

Perfiles abiertos de pequeño espesor: IPE, HEB, UPN,………. Con cortadura Vy: Av = Área del alma del perfil Con cortadura Vz: Av = Área de las alas del perfil

•

Perfiles cerrados de pequeño espesor circulares: Av = A.2/π

•

Perfiles cerrados de pequeño espesor rectangulares: Con cortadura Vy: Av = Área de las almas de los perfiles Con cortadura Vz: Av = Área de las alas de los perfiles

Ejemplo: tf Vy → Av ≈ h.tw tw

h

Vz → Av ≈ A-.d.tw

d

b

45


Así pues para comprobar la resistencia plástica de una sección a cortadura:

V * ≤ Vpl , d = Av .

f yd

(5.53)

3

V* (carga mayorada) = fuerza cortante que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2)

2.-Criterio de Von Mises de dimensionamiento: Si aplicásemos el criterio de dimensionamiento de Von-Mises (sección 3.7), sólo para las Fuerzas Cortantes, llegaríamos al mismo resultado que con el criterio plástico de dimensionamiento visto anteriormente. En efecto, la fórmula de Von Mises es: siendo : σ = 0 *

σ co = σ *2 + 3.τ *2 ≤ f yd

V* τ = (sup oniendo distribución uniforme) = Av

y sustituyendo : 3.

*

V* ≤ f yd Av

→ V * ≤ Av .

f yd 3

5.5.3.-RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A FLEXIÓN SIMPLE: MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES Se estudiarán los dimensionamientos vistos para los Momentos Flectores y para las Fuerzas Cortantes separadamente y si se cumple que:

f 1 1 V * ≤ .V pl ,d = . Av . yd 2 2 3

→ no habrá que hacer mas comprobaciones

Esto ocurrirá en la mayoría de los casos y en el caso de que no se cumpliese habría que hacer una nueva comprobación combinando el Momento flector con la Fuerza Cortante (ver Normativa DB-SE-A)

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5.5.4.-RESISTENCIA DE LAS BARRAS METÁLICAS A FLEXIÓN Al considerar ahora la barra en su conjunto, se tendrán que hacer nuevas comprobaciones: 1.- Comprobación del Pandeo Lateral debido a la flexión: al tener la viga zonas comprimidas, si éstas no presentan una rigidez suficiente, la viga, si no está suficientemente rigidizada lateralmente, podrá flexar lateralmente al mismo tiempo que torsionarse. Esto puede ocurrir en vigas metálicas.

⇒

Fig.5.49.a

Fig.5.49.b

2.-Comprobación de la rigidez del alma de una barra bajo cargas concentradas 3.-Abolladura del alma por cortante Ëstas comprobaciones son objeto de estudio en otras asignaturas. (Ver la Normativa española sobre Estructuras de acero en la edificación: DB-SE-A) Para otros materiales existen las Normativas específicas: caso del Hormigón y madera

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OBSERVACIONES: Para efectuar el dimensionamiento completo de una viga que trabaje a Flexión habrá que realizar, además del dimensionamiento a resistencia que se acaba de ver, la comprobación a rigidez: limitación de la flecha máxima. (Se verá en el capítulo siguiente)

ymax Fig.5.50

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Tema5 Flexion Tensiones

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