Tema 4 Cinemática. Elementos Para La Descripción Del Movimiento. Movimientos de Especial Interés. Métodos Para El Estudio Experimental Del Movimiento.

~~T-EM_A4----------------------------~~ ·

TEMARIO FÍSICA Y QUÍMICA.

Juan Miguel Yago Cantó. Fernando Escudero Ramos. ·

Temario Flslca y Química. Tema 4.

2

' • '-· • ~

Índice de Contenido.

2.1 LA VELOCIDAD..........._....- ..···-···-·············-···--···-·····························-···········-··················-··-····-···5 2.2 LA ACELERACIÓN ...................................................................................................................................7

3.1 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS.....................-................................................................................. 10 3.1.1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (M.R.U) .........................................................- ............... 10 3.1.2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A) ................................... 10

3.2 COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS.................................................................... 12

3.2.1.1 TIRO HO RIZO NTAL. _ ...........- ....- ..............-·-·------~......................._ .................- .....- ....... 12 3.2.1.2 TIRO OBLICU0.................................................- ....................................................................................... 14

3.3 MOVIMIENTO CIRCULAR................................................................................................................. 16

3.3.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIAD0 ................................................................. 17

3.4 MOVIMIENTOS PERIÓDICOS: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ..................................... 19

3.5 RELACIÓN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. ......................................................................................................................................................................... 20

Juan Miguel Yago Cantó y Fernando E!!lcudero Ramos

Temario Físlc11 y Químicll. Tem11 4.

4.1 MÉTODOS TRADICIONALES DE LABORATORIO DE MECÁNICA. ......................................" 22

4.2 MÉTODOS DE FOTOGRAFÍA ESTROBOSCÓPICA. ..................................................................... 23

4.3 MÉTODOS DE LABORATORIO ASISTIDO POR ORDENADOR (L.A.0) ................................ 23

Juan Miguel Yago Cantó y FeTnandD EscudeTo

Ramt~s

Temario Física y Química. Tema 4.

Podemos hacer una subdivisión de la mecánica en tres ramas: Cinemática, Dinámica y Estática. 1.

La cinemática constituye una parte de la mecánica que se ocupa del estudio y descripción del movimiento, prescindiendo de las causas que lo originan Uuerzas).

2.

La dinámica estudia las causas (interacciones) que producen el movimiento.

3.

La estática estudia las condiciones bajo las cuales debe de encontrarse un sistema para que se encuentre en equilibrio bien estático o dinámico.

En este tema nos ocuparemos de la parte de cinemática, así pues, los planteamientos cinemáticos se caracterizarán por una descripción matemática del movimiento o movimientos en cuestión y en tal sentido, es posible reducir la cinemática a una geometría sobre un espacio tetradimensional, a saber, las tres dimensiones espaciales {x, y, z) y la temporal t. Con este fin se introducirán diferentes magnitudes cuya variación con el tiempo va a permitirnos caracterizar los diferentes tipos de movimientos.

Decimos que un punto está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con respecto a algo que consideramos fijo y que constituye el sistema de referencia. En términos geométricos, el sistema de referencia vendrá dado por un triedro positivo de coordenadas ligado al cuerpo que suponemos fijo. Así pues, un punto estará en movimiento con respecto a dicho sistema, si sus coordenadas varían con el tiempo; en caso contrario diremos que está en reposo. Si el sistema de referencia se mueve a v =cte o v =O (reposo) el sistema de referencia decimos que es inercial SRI, en mecánica clásica, consideramos que la tierra se comporta como un SR/, lo que daría lugar a considerar el SR fijo (movimiento absoluto). Todos los movimientos en realidad son relativos, es decir SRNI.

J11an Miguel Yago Cantó y Fernando Escudero Ramos

4

.

.. .,_' J


Es decir, en virtud del movimiento se establece una dependencia funcional entre la l(ariable t y la posición del punto, la cual queda definida (en cada momento) por el vector posición de componentes (x,y,z) o lo que es lo mismo: z

r

p

r = x1+ y]+zk V -

....

1 ,

- - -·- _'"':...- .>'

Empleando los vectores unitarios cartesianos 1, j, k. Si queremos hacer explicita dicha dependencia funcional escribiremos: r(t) = x(t)1 + y(t)j + z(t)k

Esta constituye la llamada ecuación vectorial del movimiento y pone de manifiesto que cualquier movimiento puede considerarse descompuesto en tres movimientos rectilíneos mutuamente perpendiculares cuyas trayectorias se extienden sobre cada uno de los tres ejes cartesianos x, y, z. Dicha ecuación vectorial puede escribirse en forma escalar mediante las ecuaciones x=x(t); y=y(t); z=z(t) que definen en paramétricas, la curva trayectoria, "la linea imaginaria que describe el extremo del vector de posición con el tiempo" Una magnitud escalar de importancia es el espacio recorrido por el móvil sobre la trayectoria, se nota por la letra s y desde luego varía con el tiempo; la ecuación que expresa dicha variación s=s(t) se denomina ley horaria del movimiento.

1 2.1 LA VELOCIDAD.

A partir de la ecuación vectorial del movimiento es posible definir algunas magnitudes que nos permitan describir el movimiento de una forma mós directa. Una de las respectivas dichas magnitudes es la velocidad. Sean los instantes t 1 y t 2 y T1. y posiciones que ocupa el punto móvil P en dichos instantes. Se define el vector velocidad media V m como el cociente incremental:

rz

Juan Miguel Yago Cantó y Fernando Escudero Ramos

5

TetrUirio Física y Quimlca. TetrUI 4.

Phl

---. _ tJ.r _ rz-Ti V

m

----M

tz-tl

Desde un punto de vista físico, la v,;; representa lo que en promedio varía la posición por unidad de tiempo a lo largo de un intervalo de tiempo finito considerado. Por definición llamaremos velocidad instantánea al límite de la anterior ecuación cuando el intervalo de tiempo ~t se reduce a un instante:

. v= hmv At-->0

m

=dT -

dt

Recordando las propiedades de la derivada de una función vectorial con respecto a un parámetro, resulta que esta ecuación podrá desarrollarse en función de sus componentes cartesianas en la forma:

_

dT(t) dt

dx(t).. dt

dy(t).. dt

dz(t)dt

v=--=--t+--J+--k

Asimismo cabe hablar de las componentes intrínsecas del vector velocidad v, es decir, las componentes referidas a un sistema de ejes ligado al punto móvil y formado por la tangente y la normal principal a la trayectoria. Dado que es sabido que:

ldTI = ds

1

Para un inti!IYQio infinitl!simal

_ ldTI

ds lvl = dt = dt

ds

-+ c =dt

Es decir, el modulo del vector velocidad instantánea representa, también, la rapidez con la que el móvil describe la trayectoria. Dicha rapidez, que es una magnitud escalar, recibe con frecuencia el nombre de celeridad y se nota por c. Juan Miguel Yago Cantó y Fernando Escudero Ramos

Temario Física y Química. TfH'UI 4.

Dado que la razón de dicha coincidencia radica en la igualdad dada 1arl = ds, valida únicamente para intervalos de tiempo diferenciales, cabe señalar que para los valores medios no se dará (salvo para movimientos rectilíneos), el módulo del vector velocidad media no coincidirá con la celeridad media. El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en el punto correspondiente al instante t:

_

dT

dT ds

_

V = - = - · - = Ut

dt

ar ds

ds dt

ds

_

·-=

dt

C·Ut

es un vector unitario tangente a la trayectoria (pues dT y ds tienden a ser

iguales para un intervalo infinitesimal). Así pues, la celeridad instantánea constituye la única componente intrínseca de la velocidad. Las unidades de velocidad en el SI son el m/s.

1 2.2 LA ACELERACIÓN.

Si trasladamos el origen del vector v, de la trayectoria al origen de coordenadas, el extremo de v describirá una curva que se conoce con el nombre de hodógrafa del movimiento. Viendo las ecuaciones paramétricas de la trayectoria vistas anteriormente, las de la hodógrafa, por construcción, serán pues: a= x'(t); 8 = y'(t); y= z'(t)

z

y

X


Temario Fí5k:a y Química. Tem• 4.

es decir, la hodógrafa viene a ser la curva derivada temporal de la trayectoria. En ella la velocidad del punto M constituye una nueva magnitud cinemática que se conoce como aceleración del punto P. Se define el vector aceleración media como el cociente incremental:

y representa lo que en promedio varía por unidad de tiempo el vector velocidad en un intervalo de tiempo considerado. El valor instantáneo de la aceleración o aceleración cuando el intervalo de tiempo se reduce a un instante), se instantánea (límite de la define a su vez como:

a; .....

.

a = llm Um 6t->0

.r=!

= -uv dt

d(crr) d 2 -r = dtdt -- dt2

De igual modo que para la velocidad es posible definir el vector a, en base, bien a sus componentes cartesianas o a sus componentes intrínsecas. De la ecuación de definición anterior se pueden obtener, de forma inmediata, las componentes cartesianas de la aceleración.

..... a

dV(t)

= -¡u- =

dvx(t)... dvy(t)... dvz(t) ..... dt 1 + dt 1 + dt k

El vector aceleración va a estar situado en el plano que contiene a la hodógraja y al origen de coordenadas, esto es, en el plano osculador. Por tal motivo, y en general, la aceleración tendrá dos componentes intrínsecas. La obtención de las componentes intrínsecas de la aceleración es sencilla, sin más que sustituir la expresión de la componente intrínseca de la velocidad v = v · en la ecuación de definición de la

u;

.• • • ace1erae~on mstantanea, a=

dV dt

esto es:


- -- -..... ---. Tem11rlo Físic11 y Qulmicll. Tem11 4.

i 9 1

u;

es un vector unitario1 y por tanto1 de módulo

constante~

por lo que es

perpendicular a su derivada temporal1 así pues la dirección de ~ coincidirá con la normal dur =!p · U,: 1 siendo p principal a la trayectoria1 es decir U,: . El cálculo del módulo resulta au: t el radio de la curvatura; y sustituyendo nuevamente en la ecuación anterior tendremos: _

dv _

v2 _

a = -dt · ut + -u p n

Donde ar=dv/dt y a,.=tlfp

ar y an reciben el nombre de aceleración tangencial y aceleración normal respectivamente. La primera está relacionada con los cambios en el módulo del vector v y la segunda con los cambios de dirección del vector v. Las unidades de aceleración en el SI vienen dadas por el m/~. Los vectores unitarios u; y U,: son perpendiculares como hemos visto1 definimos un vector binormal ¡¡¡; (Ub = u; A u,;) de modo que ¡¡¡;, u; y U,: definen un triedro intrínseco o de Frenet1 que acompaña a la partícula en su movimiento por lo que se le llama triedro móvil. IBinomual N~ plaae

Juan Miguel Yago Cantó y Femando Escudero Ramos

~

.

Temar/o Física y Química. Tema 4.

10

. '

./ Los veCtores (U; y iiJ definen el plano osculador. ./ Los vectores fUb y iiJ definen el plano normal. ./ Los vectores fUb y u;) definen el plano rectificante. ./ El vector aceleración a está contenido en el plano oscu_lador.

l 3.1 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS. La característica de este tipo de movimientos es la constancia en la dirección del vector velocidad, característica que queda igualmente definida por la condición a=O. Dado que la trayectoria es rectilínea y por tanto unidireccional, el tratamiento vectorial es innecesario, por lo que en general se restringe a un tratamiento escalar.

3.1.1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (M.R.U)

Es el movimiento de un punto material cuyo vector velocidad se conserva constante durante el mismo, en magnitud, dirección y sentido (v=cte, an=O; at=O). Así pues, integrando la ecuación definición de velocidad ds=v·dt resulta esta:

S

=

So +V (t-

t0)

Ecuación cin~mótica drl M.R.U

3.1.2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A)

Se entiende por tal, el movimiento de un punto material cuyo vector aceleración carece de componente normal y se mantiene constante con el tiempo, incrementa su



u- -

velocidad en cantidades iguales durante tiempos iguales sobre una trayectoria rectilínea. (at=cte; ~n=O; a=aJ. Así pues a = at = dv/dt e integrando:

v = v0

+ a (t

- t0)

Ecuación cinemática en función de la v y el t del M.R. U.A

Integrando ds=v·dt de acuerdo con la ecuación anterior es posible obtener una expresión en la que interviene el espacio:

s = s 0 + v 0 (t-

t 0)

1

+-·a· (t2

t 0)

2

Ecuación cinemática en función del s y el t del M.R.U.A

Podemos deducir una tercera ecuación para el M.R.U.A que relaciona la velocidad con la posición. Se obtiene despejando el tiempo de la ecuación de la velocidad y sustituyendo su valor en la ecuación de la posición.

Ecuación cinemática en función del s y la v del M.R.U.A

Si la variación de la velocidad con el tiempo fuera negativa dv/dt
'

Temario Física y Química. Tema 4. ' 12

1 3.2 COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS.

La composición de movimientos se efectúa en base a la ley clásica de adición de velocidades según la cual la velocidad instantánea de un movimiento compuesto es la suma vectorial de las velocidades individuales, es decir: z.

:v (t) = V!Ct) + vz(t) v = .Jv 1 2 + v 2 2 + 2 · v 1 · v 2 · cos8

y

X

Este principio de superposición vectorial permite obtener, en cada instante el módulo y dirección del vector v, que quedara fijada por los cósenos directores de v en la forma: Vx

V1x

+ Vzx

cosa = - = - - - v

V

cosp

Vy

Vty

+ Vzy

= -V = ----=--.::... V

Vz

cosy = - = V

Vtz

+ Vzz V

3.2.1 MOVIMIENTO DE PROYECTILES

El movimiento de un proyectil es, en esencia, la composición de dos movimientos rectilíneos, uno uniforme y otro uniformemente variado por la acción del campo gravitatorio terrestre, si se desprecia la acción del aire como medio resistente. Según el ángulo que forma el vector velocidad inicial v0 con la horizontal sea nulo o no, se tienen dos casos, uno de los cuales resulta ser obviamente, un caso particular del otro, a saber, el tiro horizontal y el tiro oblicuo. No obstante y con el fin de mostrar la aplicación de la ley de adición de velocidades a la composición de movimientos, los trataremos independientemente.

3.2.1.1 TIRO HORIZONTAL.

Consideremos el movimiento cuya componente horizontal (sobre el eje de las X) es un m.r.u., y la componente vertical (sobre el eje Y) un m.r.u.v cuya aceleración es la gravedad g. Si la velocidad inicial comunicada al móvil es va. tendremos para ambos ejes:

Juan Miguel Yago Canto y Fernando Escudero Ramos

•


Eje

X--+ X=

Eje y --+ y

v0 · t

1

= -2 · a · t 2

Donde a = -g (Porque el sentido será negativo al ser caída}

Eliminando t de ambas ecuaciones resulta la ecuación de la trayectoria que corresponde a una parábola con vértice en el origen de coordenadas. .)t.Ok--!,.--i2'---:f-3_ g

2;-r -- ... · 4g 2'16 1

Y= k·x es la ecuación de una parábola 9g

2v~

y

La figura corresponde la trayectoria parabólica correspondiente al tiro horizontal. Aplicando la ley de adicción de velocidades, la expresión vectorial de velocidad quedara:

v(t) = Vol- gtj (v=ds/dt}

siendo su módulo y su dirección:

8

= arctg

-gt

V

= arctg - -

2 Vx

Vo

La expresión de aceleración se obtendrá derivando en la ecuación de la velocidad:

a= -nJ (a=dv/dt}

como corresponde a un movimiento cuya única aceleración es la de la gravedad.

Juan /lo1iguel Yago Cantó y Fen1ando Escudero Ramos

_..,. X


14

3.2.1.2 TIRO OBUCUO. En este caso, la velocidad inicial v0 forma un ángulo a con la horizontal, pero por lo demás sigue siendo el movimiento resultante de un m.r.u y un m.r.u.v de aceleración -g. Considerando sus movimientos sobre los ejes y su trayectoria parabólica.

Ejex-+ x = (v 0 ·cosa) · t

y

....y

1 2 Eje y-+ y= (v 0 ·sena) · t +-·a· t 2 Donde a= -g (Parque el sentida será negativa al ser caída)

X Eliminando t de las ecuaciones anteriores resulta la ecuación de la trayectoria:

que corresponde a una parábola con el vértice en el origen y con el eje de simetría paralelo al de ordenadas, situado en el punto más alto de la trayectoria y la concavidad dirigida hacia abajo. La ecuación de la velocidad resultara aplicando la ley de adicción de velocidades.

v(t) = (vo. cosa)i + (vo. sena- gt)] (v=ds/dt}

siendo el módulo y su dirección:

v =

J(v 0 • cosa) 2 + (v 0 ·sena- gt) 2 Vy

O = arctg -

Vx

= arctg

(v 0

(

·sena- gt) v 0 ·cosa)


.


Calculemos ahora algunos parámetros característicos del tiro oblicuo; el tiempo de vuelo {que emplea el proyectil en alcanzar de nuevo la horizontal se obtendrá sin más que hacer y=O en la ecuación del Eje y.

Eje y~ O= (v 0 · sena)·

1 2

t-- · g · t

2

2v 0 sena g

{=---

La altura máxima hmax de la trayectoria, se obtendrá despejando en la ecuación del eje y cuando el tiempo es t=r./2, se sabe que con t=r./2, y=hmax por razones de simetría.

h m~

1 (v 0 sena) = (v 0 ·sena)· v 0 sena -g 2 ·g · g

El alcance horizontal que notaremos por

Xmax

2

se deduce de la ecuación del eje x

cuando el tiempo es t={ (Es obvio que el alcance horizontal toma un valor máximo para: 2a=90º o a=45º; Xmax=v//g).

Eje x-+ x(t

= O = (v 0 ·cosa) · { 2v sena

Xmax

0 = (v 0 ·cosa) · - -g

Xmax

=

v 0 2 sen2a g

15

' 1


3.3 MOVIMIENTO CIRCULAR. El movimiento circular se define como un punto móvil cuya trayectoria es una circunferencia. Es un tipo particular de movimiento curvilíneo (Este tiene un radio de curvatura constante e igual al radio de la circunferencia trayectoria), por lo que tiene asociado a el una componente normal de la aceleración no nula a, dirigida hacia el centro O de la circunferencia trayectoria, por tal motivo se denomina también aceleración centrípeta. Existen dos posibles formas de referirse al movimiento circular, con magnitudes lineales definidas en el apartado 2, o con magnitudes angulares. Consideraremos estas en lo sucesivo. Se define la velocidad angular media como el cociente incremental

Wm

=IJ{t/IJt; se

expresa en rad/s y representa lo que, en promedio, varía el ángulo barrido por el vector de posición en la unidad de tiempo a lo largo del intervalo IJt considerado. El límite de

Wm

considerado para IJt 70 constituye la velocidad angular instantánea (unidades en el SI serán, pues, rad/s). fl()

w=flt d() w= limw = t.t~o

dt

X

La velocidad angular se puede expresar en forma vectorial como un vector que tiene por módulo w, por dirección la perpendicular al plano de la trayectoria y por sentido el de avance de un sacacorchos que gire en el mismo sentido del movimiento. (Regla de Maxwe/1)

...w



Si la velocidad angular varía con el tiempo, se introduce una magnitud que da idea del ritmo de tal_ variación; es la aceleración angular. El valor medio escalar se define como am=lJ.w/lJ.t y análogamente a Wm representa lo que en promedio varia w en la unidad de tiempo a lo largo del intervalo IJ.t considerado. Se expresa en rad/l. El valor instantáneo de a se definirá: ~w

a=~t a

dw

d 20

= .Clt-->0 lima = - = -dt dt 2

3.3.t MOVIMIENTO CIRCULAn UNIFORME.

Se dice que un movimiento circular es uniforme, cuando la velocidad angular w se mantiene constante. En tal caso ar=O; an=cte; a=an. Ello es debido a que la an da idea de los cambios en la dirección del vector v; por ello aunque el modulo de v se mantenga constante, la dirección esta variando de manera uniforme. La expresión escalar angular característica del m.c.u se puede obtener integrando la expresión de la velocidad angular instantánea.

O = 0 0 + w(t- t 0 )

Cabe reseñar el carácter periódico del m.c.u, cuyas variables se repiten a intervalos iguales de tiempo. El período T o tiempo necesario para que se efectúe una vuelta completa será T=2n/w. Es frecuente utilizar la magnitud frecuencia v (n!2 de vueltas por segundo) que se define como v=T 1•

3.3.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO.

El movimiento circular uniformemente acelerado es aquel cuya aceleración angular a es constante (ar=cte;an=cte), esto es, la variación de su velocidad angular varia de un


modo uniforme. Integrando· la ecuación de la aceleración instantánea se tiene para este tipo de movimiento la expresión cinemática.

w

= w 0 + a(t- t 0 )

si se integra nuevamente la expresión anterior recordando que w=d{J/dt. (} = 9o

1

+ Wo(t- to) + Za(t- to)

2

Podemos deducir una tercera ecuación que relaciona la velocidad angular con el ángulo. Se obtiene despejando el tiempo de la ecuación de la velocidad angular y sustituyendo su valor en la ecuación anterior.

La anterior terna de ecuaciones es análoga a la obtenida para el m.r.u.v. y es que la descripción escalar de un movimiento circular puede efectuarse, bien en base a las magnitudes lineales, o en base a las magnitudes angulares, sin más que tener en cuenta las siguientes correspondencias: Magnitud angular

Magnitud lineal (R=Radio de la circunferencia)

{J

w

v=w·R

a

ar =a·

R

Ni que decir tiene que las anteriores expresiones son igualmente válidas para movimientos circulares uniformemente retardados sin más que otorgar signo negativo a la aceleración a. Ju;.¡n IF(gue l Yago C;:¡¡-,fó y F e rnar-Jdo E s-:ud eu: R3mos

18

.·


1 3.4 MOVIMIENTOS PERIÚDICOS: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Un tipo de movimiento muy corriente en la naturaleza es el denominado movimiento oscilatorio, o movimiento periódico. Muchos fenómenos son periódicos, por ejemplo, los latidos del corazón de un animal, el balanceo del péndulo de un reloj de pared antiguo, las vibraciones de los átomos en los sólidos, etc. Dos tipos de movimientos que están estrechamente relacionados con el movimiento oscilatorio son el movimiento circular y el movimiento ondulatorio. El tipo más sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado movimiento armónico simple (M.A.S) En esta parte se va a abordar su estudio sólo desde el punto de vista cinemática. Se define el M.A.S. como el movimiento de un objeto cuya coordenada x en función del tiempo t se escribe como:

x =A· sen (w · t

+ qJ)

Mientras el objeto oscila hacia delante y hacia atrás, la coordenada X varía sinusoidalmente con el tiempo entre A y -A, donde A es lo que se denomina amplitud, debido a que es la máxima distancia entre el objeto y la posición central en X = O. El símbolo w representa la frecuencia angular (también pulsación), y su valor depende de la rapidez con que suceden las oscilaciones. El parámetro cp se denomina constante de fase y se puede seleccionar a voluntad según cuando se comience la medida (t = O). Lo que queda dentro del paréntesis, el argumento del seno, se conoce como fase (w · t + cp). Una característica propia de cualquier movimiento oscilatorio, incluido el MAS, es que el movimiento se repite cada cierto intervalo de tiempo característico, denominado período T. Esto es, el objeto experimenta un ciclo completo de su movimiento cada intervalo de tiempo T, como se aprecia en la anterior figura. Así pues, para un ciclo completo, la fase (wt+lt) aumenta 2n rad mientras el tiempo t aumenta en T.

w(t + T) + 8 = (wt + 8) + 2n Juan Miguel Yago Cantó y Fernando Escudero Ramos

19

.

'


Operando se llega a la expresión: 2rr T=w

La velocidad de la partícula que realiza un Movimiento Armónico simple viene dada por la derivada de la elongación respecto del tiempo.

v =dx - = w ·A· cos(w · t + cp) dt

= w ·A· sen ( w · t + cp +-rr) 2

La aceleración de la partícula se determina haciendo la derivada de la velocidad respecto del tiempo. dv

a=-= -w 2 ·A· sen(w · t + cp) dt

= -w 2 · x

Considerando a=F/m la fuerza que deberá actuar sobre una partícula para que realice un Movimiento Armónico Simple debe ser también proporcional a la Elongación de la partícula y de signo contrario a ésta: F

=m

· a = -m · w 2 · x = -k · x

k= m · w 2 k es fa llamada constante armónico.

3.5 RELACIÓN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.

Existe una relación estrecha entre el movimiento armónico simple de un objeto que se mueve a lo largo de una línea, y el movimiento de una partícula describiendo una circunferencia con una velocidad cuyo módulo es constante. Esa conexión puede ser de gran ayuda para comprender mejor ambos tipos de movimientos y ver cómo otros tipos de movimientos están relacionados con el MAS.


Sea un móvil que reco;re una circunferencia con velocidad angular constante y que al cabo de un tiempo ~ se encuentra en la posición P~ para lo que hubo de describir una fase:

8 = 80

+w ·t

La elongación s del punto oscilante P' corresponde al segmento OP'

=PM

y la

amplitud A será igual al radio OP. En el triángulo OMP se tiene que:

PM

sen8

= OP

S

sen (w · t

+ 80 ) = A

s =A· sen(w · t

+ 80)

Ecuación que también suele expresarse en función del período:

s = A · sen ( (;) · t + 8 0 ) Si para deducir la ecuación de la elongación se hubiera proyectado la posición del punto P sobre el eje de las x~ la elongación hubiera correspondido en este caso al segmento OM~

apareciendo entonces una expresión análoga en función del coseno.


Temario Ffslca y Qufmica. Tema 4.

1 22 1

1

Mediante múltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y se trasladan a gráficos diversos, mediante los cuales se demostrarán las ecuaciones de los movimientos. Aunque existen múltiples métodos de estudiar el movimiento, podemos reagruparlos en tres bloques:

j4.1 MÉTODOS TRADICIONALES DE LABORATORIO DE MECÁNICA.

En el primer grupo, podemos incluir los métodos más utilizados en el laboratorio y tradicionalmente heredados de los experimentos de Galileo, entre los que destacamos los experimentos de caída de los cuerpos a través de planos inclinados.

p l ono-•11•1 o

El experimento una vez montado y realizado, permite medir las magnitudes lineales ¿¿s, a, x e y'', y a partir de ellas, por las ecuaciones cinemáticas correspondientes al movimiento parabólico obtenemos *v y r' y de ellas se obtendrá ¿'a" aplicando la ecuación del M.R. U.A sobre el plano inclinado. Ecuaciones Cinemáticas para obtención de v y t. Eje x-+ x = (v ·cosa) · t 1

Eje y-+ y= (v ·sena) · t +- · a · t 2 2 Donde a = -g (Porque el sentido ser6 negatfllo al ser calda}

Juan Miguel Yago Cantó y Fernando E:scudero Ramos

• ,

.

.

--~--

. - - - · - -

..

#

TemJirlo Flslca y Química. Tema 4.

1

Deben trasladarse los datos numéricos a gráficas adecuadas y hacerse un estudio de los errores cometidos.

14.2 MÉTODOS DE FOTOGRAFÍA ESTROBOSCÓPICA. El métod~ consiste en fotografiar sobre el mismo negativo, la imagen de un objeto en movimiento (caída libre, movimiento parabólico, movimiento armónico, etc.), tantas veces como sea preciso, con intervalos muy reducidos de tiempo entre imagen e imagen que sean siempre constantes. El estudio de estos fotogramas, midiendo las distancias entre los cuerpos, permite obtener tablas de datos de distancias y de tiempos que trasladados a gráficos permiten la comprobación de las leyes de la Cinemática.

14.3 MÉTODOS DE LABORATORIO ASISTIDO POR ORDENADOR (L.A.O). Se precisa un ordenador personal y accesorios, un programa de Software de laboratorio asistido por ordenador, (L.A.O), un interface de transformación de datos y los materiales de laboratorio específicos para cada práctica. Se requiere además conocimientos avanzados en el manejo del sistema operativo del ordenador, bases de datos, hojas de cálculo y manejo de programas de usuario.

.

Plol • l"l aof

e le c~ r6 nlcaa

·.


23

-

,

Temario Física y Química. Tem11 4.

24

-

..

\

'

'-

' El aparto mide con gran precisión los inteiva/os de tiempo entre las puertas electrónicas y estos datos son trasladados a la hoja de cálculo del programa L.A.O que permite toda clase de manipulación y cálculo, así como representaciones gráficas totales y parciales, así como su escritura en una impresora. La utilización de este método sólo depende de 1':1 imaginación del experimentador.

ALONSO, Maree/o y FINN, Edward J. Física. Ed. Addison-Wesley. 1995 BURBANO, Santiago; BURBANO, Enrique y GRACIA, Carlos. Física General. Ed. Tébar. 2003 TIPLER, Pau/ A. y MOSCA, Gene. Física para la ciencia y la tecnología. Ed. Reverte. 2010 GETTYS, W. Edward; KELLER, Frederick J. y SKOVE, Maleo/m J. Física clásica y moderna. Ed. Me GrawHi/1. 1991 GUERRA, Mario; CORREA, Juan; NUÑEZ, Ismael y SCARON, J. Miguel. Física. Elementos fundamentales. Mecánica y Termodinámica Clásica. Tomo!. Ed. Reverte. 1984

Juan Miguel Yaga Cantó y Fernando E!tcudero Ramos

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