Tema 3. Divisibilidad de números naturales

Zefl 91 Jgvgsg`gngjlj je cñferhs clturlnes.

ÆCJGIE <. JG[GYG@GNGJLJ

9

<.<. Jekgcgig J ekgcgigùc ùc je j e jgvgsg`gng jgv gsg`gngjlj jlj ...................................................................................................................... 9 <.0. Penligùc Penligù c je j e jgvgsg`g j gvgsg`gngjlj ngjlj ......................................................................................................................... 9 <.0.<. Jekgcgigùc ........................................................ ......................................................................................................................... .............................................................................................. ............................. 9

0. FÑNZG_NHY

:

0.<. Jekgcgigùc Jekgcg igùc ................................................................................................................................................... : 0.0. Fñntgpnhs Fñntgp nhs je uc cñferh c ñferh .......................................................................................................................... : 0.9. _rhpgejljes _rhpge jljes ............................................................................................................................................... ; 0.:. Eaerigighs Eaerig ighs ................................................................................................................................................... 2

9. JG[GYHPEY

4

9.<. Jekgcgigùc Jekgcg igùc ................................................................................................................................................... 4 9.0. _rhpgejljes _rhpge jljes ............................................................................................................................................... 7 9.9. Eaerigigh Eaerig igh ...................................................................................................................................................
:. PEYUFEC JE IHCIE_ZHY

:.<. Penligùc ectre jgvgsg`ne phr, fñntgpnh y jgvgshr .............................................................................
5. IPGZEPGHY JE JG[GYG@GNGJLJ

<<

5.<. Jekgcgigùc Jekgcg igùc .................................................................................................................................................. << 5.0. Irgterghs je jgvgsg`gngjlj fìs ihfuces............................................................................................ << 5.0.<. _hr 0 ............................................................................................................................................................ << 5.0.0. _hr 9 ........................................................................................................................................................... << 5.0.9. _hr 5 ........................................................................................................................................................... << 5.0.:. _hr 7 ........................................................................................................................................................... ................................................................................................ ........................................................... <0 5.0.5. _hr
5.9. Htrhs irgterghs je jgvgsg`gngjlj ........................................................................................................ <9 5.9.<. _hr : ..................................................... ................................................................. ....................................................................................................... ...................................... <9 5.9.0. _hr ; ........................................................................................................................................................... ................................................................................................ ........................................................... <9 5.9.9. _hr 2 ........................................................................................................................................................... ................................................................................................ ........................................................... <: 5.9.:. _hr 4 ........................................................................................................................................................... ................................................................................................ ........................................................... <: 5.9.5. _hr 05 ............................................................. .............................................................................................................................. ............................................................................................ ........................... <: Befl Gslèn Flræc Il`lnnerh

_ìbgcl < je 9;


5.9.;. _hr <05 ........................................................... ............................................................................................................................ ............................................................................................ ........................... <: 5.9.2. Zl`nl ’ Pesufec ...................................................... ....................................................................................................................... ................................................................................. ................ <5

;. CÑFEPHY _PGFHY

<5

;.<. Jekgcgigùc Jekgcg igùc ................................................................................................................................................. <5 ;.0. Irg`l je Erltùstec Er ltùsteces es ........................................................................................................................... <; ;.0.<. Eaerigigh Eaer igigh ......................................................... .......................................................................................................................... ............................................................................................ ........................... <;

;.9. Zl`nl je cñferhs cñfe rhs prgfhs .................................................................................................................... <2 ;.:. Pebnls plrl ihfprh`lr sg uc cñferh es prgfh ............................................................................. <2

2. CÑFEPHY IHF_UEYZHY

<2

2.<. Jekgcgigùc Jekgcg igùc ................................................................................................................................................. <2 2.0. Klithrgzlr uc cñferh h Jesihfphsgigùc je uc cñferh ec klithres prgfhs ......... ............... ............ .......... <4

4. IÌNIUNH JE ZHJHY NHY JG[GYHPEY 7. FÌTGFH IHFÑC JG[GYHP

<4 0<

UYLCJH NL KLIZHPGQLIGÙC

7.<. Jekgcgigùc Jekgcg igùc ................................................................................................................................................. 0< 7.0. Iìniunh jen fìxgfh ihfñc jgvgshr..................................................................................................... 0< 7.9. Eaerigighs Eaerig ighs ................................................................................................................................................. 0< 7.:. Jhs cñferhs shc prgfhs ectre sæ .................................................................................................... 00

09

<<. PENLIGÙC ECZPE F.I.J. W F.I.F. <0. EAEPIGIGHY <9. _PH@NEFLY

Befl Gslèn Flræc Il`lnnerh

0: 0: 90

_ìbgcl 0 je 9;


<. JG[GYG@GNGJLJ <.<. Jekgcgigùc je jgvgsg`gngjlj Nl plnl`rl jgvgsg`gngjlj se rekgere l nl plrte je nl lrgtfçtgil que estujgl nls ihcjgighces que dlc je tecer nhs cñferhs plrl ser jgvgsg`nes phr htrhs , htrhs , es jeigr, que se puejlc jgvgjgr exlitlfecte. Este ihciepth es fuy lctgbuh y surbgù iulcjh en dhf`re tuvh nl ceiesgjlj je replrtgr ihsls ectre vlrghs. Ye suene expreslr je nl khrfl l|`, que se nee1 «l jgvgje l `½, «l es jgvgsg`ne phr `½, «l es uc jgvgshr je `½ h «` es fñntgpnh je l½ . l½ . L ihctgculigùc, se estujglrìc esths ihciepths.

<.0. Penligùc je jgvgsg`gngjlj <.0.<. Jekgcgigùc

Uc cñferh l es jgvgsg`ne phr htrh cñferh ` (jgstgcth je ierh) iulcjh nl jgvgsgùc es exlitl.

l es jgvgsg`ne phr `

l1`6i

Jgvgsgùc exlitl (resth 6 ?)

J

j

J 6 jgvgjecjh 6 l

?

i

j 6 jgvgshr 6 ` ≯ ? i 6 ihigecte Pesth 6 ?

Eaefpnh1 ¸ <0 es jgvgsg`ne phr : 8 <0 es jgvgsg`ne phr :, yl que resuntl je jgvgjgr <0 ectre :. <0 1 : 6 9 l 6 <0, ` 6 :, i 6 9 Zlf`gçc se jgie que l es jgvgsg`ne ectre ` sg exgste uc cñferh i tln que l 6 ` ² i. Jhs cñferhs estìc efplrectljhs phr nl renligùc je jgvgsg`gngjlj iulcjh uch ilè ec en htrh ucl ilctgjlj exlitl je veies, es jeigr, su jgvgsgùc es exlitl .

J ihctgece uc cñferh exlith i je veies l j. Yg J es jgvgsg`ne phr j , jeigfhs que ectre J y j exgste ucl renligùc je jgvgsg`gngjlj . Eaefpnh1 Ec ucl estlcteræl je 4? if ilèc, exlitlfecte, iultrh ilzuenls je 0? if. Yhnuigùc1 4? 1 0? 6 : En cñferh 0? ilè ucl ilctgjlj exlitl je veies (:) ec 4?. 4? es jgvgsg`ne ectre 0?.


_ìbgcl 9 je 9;


0. FÑNZG_NHY 0.<. Jekgcgigùc Uc cñferh l es fñntgpnh je htrh cñferh ` iulcjh es en resuntljh je funtgpngilrnh phr htrh cñferh i.

l es fñntgpnh je ` l 6 ` ² i Eaefpnh1 ¸ <4 es fñntgpnh je 0 8 <4 es fñntgpnh je 0, yl que resuntl je funtgpngilr 0 phr 7. <4 6 0 ² 7 _hr nl fgsfl rlzùc, <4 es fñntgpnh je 7. l 6 <4, ` 6 0, i 6 7 ù `gec l 6 <4, ` 6 7, i 6 0 Htrl khrfl fìs kìign je slèr sg l es fñntgpnh je ` , es reshnvgecjh nl jgvgsgùc l 1 ` y ihfprh`lr que nl jgvgsgùc es exlitl , es jeigr, en resth es ? . _hr tlcth, uc fñntgpnh clturln se h`tgece ln funtgpngilrnh phr iulnquger cñferh clturln.

0.0. Fñntgpnhs je uc cñferh Nhs fñntgpnhs je uc cñferh ` shc htrhs cñferhs l, je gbuln h flyhr tlflüh, que nh ihctgecec ucl ilctgjlj exlitl je veies i y se h`tgecec funtgpngiìcjhnh phr iulnquger htrh cñferh clturln i. Es jeigr, nhs fñntgpnhs je uc cñferh se ilniunlc ihc nl tl`nl je funtgpngilr. funtgpngilr .

Eaefpnh1 Nl nhcbgtuj reihrrgjl phr ucl rlcl ec suiesgvhs slnths je 0? if. Yhnuigùc1 < slnth  0? if 0 slnths  :? if 9 slnths  ;? if : slnths  4? if 5 slnths 
Nhs cñferhs 0?, :?, ;?, 4?,
ilctgjlj exlitl je veies (<, 0, 9,

Zhjhs esths cñferhs se h`tgecec funtgpngilcjh 0? phr uc cñferh clturln1 0? ² < 6 0?


0? ² 0 6 :?

0? ² 9 6 ;?

……

_ìbgcl : je 9;


Eaefpnhs1 l) Fñntgpnhs je 01 0²?6? 0²<60 0 ² 5 6
0²06:

0²96;

0²:64

0 ² 2 6 <:

0 ² 4 6 <;

0 ² 7 6 <4

9²06;

9²967

9 ² : 6 <0

9 ² 2 6 0<

9 ² 4 6 0:

9 ² 7 6 02

i) Fñntgpnhs je :1 :²?6? :²<6: : ² 5 6 0? : ² ; 6 0:

:²064

: ² 9 6 <0

: ² : 6 <;

: ² 2 6 04

: ² 4 6 90

: ² 7 6 9;

j) Fñntgpnhs je 51 5²?6? 5²<65 5 ² 5 6 05 5 ² ; 6 9?

5 ² 0 6
5 ² 9 6 <5

5 ² : 6 0?

5 ² 2 6 95

5 ² 4 6 :?

5 ² 7 6 :5

e) Fñntgpnhs je ;1 ;²?6? ;²<6; ; ² 5 6 9? ; ² ; 6 9;

; ² 0 6 <0

; ² 9 6 <4

; ² : 6 0:

; ² 2 6 :0

; ² 4 6 :4

; ² 7 6 5:

2 ² 0 6 <: 2 ² 2 6 :7

2 ² 9 6 0< 2 ² 4 6 5;

2 ² : 6 04 2 ² 7 6 ;9

4 ² 0 6 <;

4 ² 9 6 0:

4 ² : 6 90

4 ² 2 6 5;

4 ² 4 6 ;:

4 ² 7 6 20

7 ² 0 6 <4

7 ² 9 6 02

7 ² : 6 9;

7 ² 2 6 ;9

7 ² 4 6 20

7 ² 7 6 4<

`) Fñntgpnhs je 91 9²?6? 9²<69 9 ² 5 6 <5 9 ² ; 6 <4

k) Fñntgpnhs je 21 2²?6? 2²<62 2 ² 5 6 95 2 ² ; 6 :0 b) Fñntgpnhs je 41 4²?6? 4²<64 4 ² 5 6 :? 4 ² ; 6 :4 d) Fñntgpnhs je 71 7²?6? 7²<67 7 ² 5 6 :5

7 ² ; 6 5:

g) Fñntgpnhs je

_ìbgcl 5 je 9;


0.9. _rhpgejljes <) Zhjh cñferh l, jgstgcth je ?, es fñntgpnh je sæ fgsfh y je nl ucgjlj . Yg l ≯ ? l es fñntgpnh je l y l es fñntgpnh je < Eaefpnh1 Yg l 6 5  5 es fñntgpnh je 5 y 5 es fñntgpnh je < phrque 5 6 5 ² < 0) En ierh es fñntgpnh je thjhs nhs cñferhs. ? es fñntgpnh je ` Eaefpnh1 ? es fñntgpnh je 5 phrque ? 6 ? ² 5 9) Zhjh cñferh `, jgstgcth je ierh, tgece gckgcgths fñntgpnhs. Fñntgpnhs je ` shc gckgcgths Yg ` ≯ ? Eaefpnh1 Yg ` 6 9  Fñntgpnhs je 9 6 ?, 9, ;, 7, <0, <5, <4, …… Es nl tl`nl je funtgpngilr je 9. :) Yg l es fñntgpnh je ` , ln jgvgjgr l ectre ` nl jgvgsgùc es exlitl . Yg l es fñntgpnh je `

l 1 ` 6 i y resth 6 ?

Eaefpnh1 Yg ; es fñntgpnh je 0  ; 1 0 6 9 y resth 6 ? 5) Nl sufl je vlrghs fñntgpnhs je uc cñferh es htrh fñntgpnh je jgidh cñferh. Yg l< y l0 shc fñntgpnhs je ` (l< + l0) es fñntgpnh je ` Eaefpnh1 Yg : es fñntgpnh je 0 y ; es fñntgpnh je 0  : + ; 6
;) Nl jgkerecigl je jhs fñntgpnhs je uc cñferh es htrh fñntgpnh je jgidh cñferh. Yg l< y l0 shc fñntgpnhs je ` (l0 ’ l<) es fñntgpnh je ` Eaefpnh1 Yg : es fñntgpnh je 0 y ; es fñntgpnh je 0  ; ’ : 6 0  0 es fñntgpnh je 0 :60²0 ;60²9 0 es fñntgpnh je 0 phrque 0 6 0 ² < 2) Yg uc cñferh es fñntgpnh je htrh, y çste nh es je uc terierh, en prgferh es fñntgpnh jen terierh . Yg l es es fñntgpnh fñntgpnh je ` y ` es fñntgpnh je i l es es fñntgpnh fñntgpnh je i Eaefpnh1 Yg <4 es fñntgpnh je 7 y 7 es fñntgpnh je 9  <4 es fñntgpnh je 9


_ìbgcl ; je 9;


4) Yg uc cñferh es fñntgpnh je htrh, thjhs nhs fñntgpnhs jen prgferh nh shc tlf`gçc jen sebucjh . Yg l es fñntgpnh je `

Fñntgpnhs je l shc fñntgpnhs je `

Eaefpnh1 Yg <0 es fñntgpnh je :  Fñntgpnhs je <0 6 ?, <0, 0:, 9;, :4, … shc fñntgpnhs je :

0.:. Eaerigighs <) Dlnnl nhs 5 prgferhs fñntgpnhs je 05. Yhnuigùc1 [lfhs suflcjh je 05 ec 05 y tecefhs1 5?, 25,
0) Dlnnl thjhs nhs fñntgpnhs je <4 fechres je 005. Yhnuigùc1 [lfhs suflcjh je <4 ec <4 dlstl que nnebuefhs l 005 h chs plsefhs, y tecefhs1 <4, 9;, 5:, 20, 7?,
9) Ilniunl thjhs nhs fñntgpnhs je <2 ihfprecjgjhs ectre 4?? y 4;?. Khrfl <1 <± Jgvgjgfhs1 4?? 1 <2 6 :2

Pesth 6 <  4?? 6 <2 ² :2 + <

4;? 1 <2 6 5?

Pesth 6
Nhs fñntgpnhs efpgezlc l plrtgr je :2 + < 6 :4 y terfgclc ec 5?. Ilniunlfhs nhs fñntgpnhs dlstl que nnebuefhs l 4;? h chs plsefhs1 <2 ² :4 6 4<; <2 ² :7 6 499 <2 ² 5? 6 45? <2 ² 5< 6 4;2 Estl ñntgfl jgvgsgùc ch se dlie sg prevglfecte defhs deidh 4;? 1 <2. Khrfl 01 <± Jgvgjgfhs1 4?? 1 <2 6 :2

Pesth 6 <  4?? 6 <2 ² :2 + <

0± Ilniunlfhs <2 ² :2 6 277 9± Ilniunlfhs en prgfer fñntgpnh1 277 + <2 6 4<; :± [lfhs suflcjh je <2 ec <2 y dlstl que nnebuefhs l 4;? h chs plsefhs. Yhnuigùc1 4<;, 499, 45? Befl Gslèn Flræc Il`lnnerh

_ìbgcl 2 je 9;


9. JG[GYHPEY 9.<. Jekgcgigùc Nhs jgvgshres je uc cñferh l shc htrhs cñferhs `, je gbuln h fechr tlflüh, que estìc ihctecgjhs ec çn ucl ilctgjlj exlitl je veies i.

Eaefpnh1 Ye tgece uc bruph je 0? idgihs y idgils, y se qugerec jgvgjgr ec equgphs gbulnes, ¸ec iuìctls jgstgctls khrfls shc phsg`nes8 Yhnuigùc1 Jgvgshres je 0? Cñferh je equgphs Cñferh je idgihs/ls

<

0

:

5

0?

0?

5

:

0

<

Iljl uch je nhs cñferhs <, 0, :, 5,
0? 1 : 6 5

0? 1
0? 1 0 6
0? 1 5 6 :

0? 1 0? 6 <

Zhjhs esths cñferhs khrflc plreals iuyh prhjuith es 0?1 < ² 0? 6 0?

0 ²
: ² 5 6 0?

Uc cñferh ` es uc jgvgshr je htrh cñferh l iulcjh ln jgvgjgr l ectre ` nl jgvgsgùc es exlitl , es jeigr, en resth es ? .

` es jgvgshr je l l 1 ` 6 i Jgvgsgùc exlitl (resth 6 ?) Eaefpnh1 ¸ : es jgvgshr je <0 8 : es jgvgshr je <0, yl que resuntl je jgvgjgr <0 ectre :. <0 1 : 6 9 l 6 <0, ` 6 :, i 6 9 _hr nl fgsfl rlzùc, 9 es jgvgshr je <0. l 6 <0, ` 6 :, i 6 9 ù `gec l 6 <0, ` 6 9, i 6 : L nhs jgvgshres tlf`gçc se nes nnlfl klithres.

CHZL1 Dly vlrgls khrfls plrl ilniunlr nhs jgvgshres1 <) Jgvgjgfhs en cñferh phr thjhs nhs cñferhs clturlnes (ec hrjec) phr nhs que sel jgvgsg`ne (nl jgvgsgùc sel exlitl), dlstl nneblr l ucl jgvgsgùc ec nl que en ihigecte > jgvgshr . 0) Jgvgjgfhs en cñferh phr thjhs nhs cñferhs clturlnes (ec hrjec) phr nhs que sel jgvgsg`ne (nl jgvgsgùc sel exlitl), dlstl nneblr l nl fgtlj jen jgvgshr. 9) Uslfhs nl jesihfphsgigùc jen jgvgshr ec klithres prgfhs .


_ìbgcl 4 je 9;


Eaefpnhs1 l) Jgvgshres je <0 6 <, 0, 9, :, ;, <0 `) Jgvgshres je 9; 6 <, 0, 9, :, ;, 7, <0, <4, 9;

9.0. _rhpgejljes <) Zhjh cñferh `, jgstgcth je ?, es jgvgshr je sæ fgsfh . Yg ` ≯ ? ` es jgvgshr je ` Eaefpnh1 Yg ` 6 ;  ; es jgvgshr je ; phrque ; 1 ; 6 < 0) En < es jgvgshr je thjhs nhs cñferhs. < es jgvgshr je l Eaefpnh1 < es jgvgshr je ; phrque ; 1 < 6 ; 9) Zhjh jgvgshr je uc cñferh jgstgcth je ierh es fechr h gbuln l çn, phr tlcth, en cñferh je jgvgshres es kgcgth. Yg l ≯ ?

Jgvgshres je l ≪ l

Eaefpnh1 Yg l 6 ;  Jgvgshres je ; 6 <, 0, 9, ; :) Yg uc cñferh es jgvgshr je htrhs jhs , tlf`gçc nh es je su sufl y je su jgkerecigl. Yg ` es jgvgshr je l< y l01 ` es jgvgshr je l< + l0 ` es jgvgshr je l0 ’ l< Eaefpnh1 Yg 0 es jgvgshr je : y ;1 0 es jgvgshr je : + ; 6
5) Yg uc cñferh es jgvgshr je htrh , tlf`gçc nh es je iulnquger fñntgpnh jen prgferh . Yg ` es jgvgshr je l ` es jgvgshr je nhs fñntgpnhs je ` Eaefpnh1 Yg 5 es jgvgshr je

_ìbgcl 7 je 9;


;) Yg uc cñferh es jgvgshr je htrh, y çste nh es je uc terierh, en prgferh es jgvgshr jen terierh . Yg ` es jgvgshr je l y l es es jgvgshr je i Eaefpnh1 Yg 5 es jgvgshr je
` es jgvgshr je i

5 es jgvgshr je 9?



9.9. Eaerigigh <) ¸Je iuìctls khrfls jgkerectes se puejec replrtgr ec equgphs gbulnes nhs 0: lnufchs y lnufcls je ucl inlse8 ¸Iuìcths equgphs slnec ec iljl ilsh8 Yhnuigùc1 Jgvgshres je 0:

<

0

9

:

;

4

<0

0:

0:

<0

4

;

:

9

0

<

Cñferh je equgphs Cñferh je lnufchs/ls

Iljl uch je nhs cñferhs <, 0, 9, :, ;, 4, <0, 0: estì ihctecgjh ec 0:ucl ilctgjlj exlitl je veies (0:, <0, 4, ;, :, 9, 0, <). _hr tlcth, thjhs ennhs shc jgvgshres je 0:. 0: 1 < 6 0:

0: 1 0 6 <0

0: 1 9 6 4

0: 1 : 6 ;

0: 1 ; 6 :

0: 1 4 6 9

0: 1 <0 6 0

0: 1 0: 6 <

Zhjhs esths cñferhs khrflc plreals iuyh prhjuith es 0:1 < ² 0: 6 0:

0 ² <0 6 0:

9 ² 4 6 0:

: ² ; 6 0:

:. PEYUFEC JE IHCIE_ZHY :.<. Penligùc ectre jgvgsg`ne phr, fñntgpnh y jgvgshr l1`6i

l

`

l 6 jgvgjecjh

?

i

` 6 jgvgshr ` ≯ ? i 6 ihigecte Pesth 6 ?

l es jgvgsg`ne phr / ectre ` l es fñntgpnh je ` ` es jgvgshr je l Ectre l y ` exgste ucl renligùc je jgvgsg`gngjlj .

Jgvgsgùc exlitl

Eaefpnh1 Ihfpnetlr nhs dueihs ihc cñferhs plrl que se iufpnl nl renligùc. Yhnuigùc1 0, :, <0, <::, … l) XXX es jgvgsg`ne phr 0 Yhnuigùc1 9, 7 `) 4< es fñntgpnh je XXX Yhnuigùc1 9?, ;05, … i) <5 es jgvgshr je XXX j)

Yhnuigùc1 0 y 5, < y
_ìbgcl

Eaefpnh1 Pelngzl nhs iìniunhs ljeiuljhs plrl jeterfgclr sg nls sgbugectes lkgrflighces shc verjljerls h klnsls1 Yhnuigùc1 [erjljerh phrque ;05 6 <05 ² 5 l) <05 es jgvgshr je ;05 Yhnuigùc1 [erjljerh phrque <90 6 ; ² 00 `) <90 es fñntgpnh je ; Yhnuigùc1 Klnsh phrque <:; 6 <9 ² << + 9 i) <:; es fñntgpnh je <9 Yhnuigùc1 Klnsh phrque 4? 3 :? y jeè ser fechr. j) 4? es jgvgshr je :?

5. IPGZEPGHY JE JG[GYG@GNGJLJ 5.<. Jekgcgigùc Nhs irgterghs je jgvgsg`gngjlj shc ucl serge je rebnls, fuy sgfpnes, que perfgtec jesiu`rgr ihc rlpgjez, sgc tecer que dlier hperlighces, iuìcjh uc cñferh es jgvgsg`ne ectre htrh , es jeigr, sg uc cñferh es fñntgpnh je 0, 9, 5, …

5.0. Irgterghs je jgvgsg`gngjlj fìs ihfuces 5.0.<. _hr 0

Uc cñferh es jgvgsg`ne phr 0 , sg terfgcl ec ierh h igkrl plr .

Eaefpnhs1
Uc cñferh es jgvgsg`ne phr 9 , sg nl sufl je sus igkrls es fñntgpnh je 9 .

Eaefpnhs1 5;: es fñntgpnh je 9  5 + ; + : 6 <5, es fñntgpnh je 9 phrque <5 6 9 ² 5 222 es fñntgpnh je 9  2 + 2 + 2 6 0<, es fñntgpnh je 9 phrque 0< 6 9 ² 2 0.?:? es fñntgpnh je 9  0 + ? + : + ? 6 ;, es fñntgpnh je 9 phrque ; 6 9 ² 0 5.0.9. _hr 5

Uc cñferh es jgvgsg`ne phr 5 , sg terfgcl ec ierh h igcih .

Eaefpnhs1

_ìbgcl << je 9;


5.0.:. _hr 7

Uc cñferh es jgvgsg`ne phr 7 , sg nl sufl je sus igkrls es fñntgpnh je 7 .

Eaefpnhs1 4< es jgvgsg`ne phr 7  4 + < 6 7  7 es fñntgpnh je 7 <.?74 es jgvgsg`ne phr 7  < + ? + 7 + 4 6 7  <4 es fñntgpnh je 7 9.;;9 es jgvgsg`ne phr 7  9 + ; + ; + 9 6 <4  <4 es fñntgpnh je 7 5.0.5. _hr
Uc cñferh es jgvgsg`ne phr
Eaefpnhs1 <9? es jgvgsg`ne phr
Uc cñferh es jgvgsg`ne phr << , sg nl jgkerecigl ectre nl sufl je nls igkrls que hiuplc nhs nublres plres y nl je nhs gfplres g fplres es ierh h fñntgpnh je << . << .

Eaefpnhs1 <0< es jgvgsg`ne phr <<  (< + <) ’ 0 6 0 ’ 0 6 ? :.00: es jgvgsg`ne phr <<  (: + 0) ’ (0 + :) 6 ; ’ ; 6 ? <9.
Ec nl tl`nl sgbugecte, se presectl uc resufec je nhs irgterghs je jgvgsg`gngjlj fìs ihfuces.

Cñferh

Irgtergh je jgvgsg`gngjlj

Eaefpnhs

0

Yg terfgcl ec ierh h igkrl plr.

9

Yg nl sufl je sus igkrls es fñntgpnh je 9.

5;:, 222, 0.?:? , …

5

Yg terfgcl ec ierh h igcih.

7

Yg nl sufl je sus igkrls es fñntgpnh je 7.

4<, <.?74, 9.;;9 , …

Yg terfgcl ec ierh.

<9?, <.::?,
<<

Yg nl jgkerecigl ectre nl sufl je nls igkrls que hiuplc nhs nublres plres y nl je nhs gfplres es ierh h fñntgpnh je <<.

<0<, :.00:, <9.

_ìbgcl <0 je 9;


5.0.4. Eaerigigh

<) Flril ihc ucl T jhcje ihrresphcjl1 Cñferh 90 <0? 0:5 4:2 7?? <.?47 0.9
Irgtergh je jgvgsg`gngjlj 0 9 5 7
T T T

T

T T

T

T T T T

T T

T

T

T

T T T

T T T

T T T

T

T T T T T

T

T

T

T

5.9. Htrhs irgterghs je jgvgsg`gngjlj 5.9.<. _hr :

Uc cñferh es jgvgsg`ne phr : , sg sus jhs ñntgfls igkrls shc ierhs h fñntgpnh je : . : .

Eaefpnhs1 9; es jgvgsg`ne phr :  9; es fñntgpnh je : phrque 9; 6 : ² 7 :?? es jgvgsg`ne phr :  phrque tgece ?? <.?04 es jgvgsg`ne phr :  <.?04 es fñntgpnh je : phrque <.?04 6 : ² 052 5.9.0. _hr ;

Uc cñferh es jgvgsg`ne phr ; , sg es jgvgsg`ne phr 0 y phr 9 .

Eaefpnhs1 20 es jgvgsg`ne phr ;1 20 es jgvgsg`ne phr 0 phrque 20 1 0 6 9; 20 es jgvgsg`ne phr 9 phrque 20 1 9 6 0: 90: es jgvgsg`ne phr ;1 90: es jgvgsg`ne phr 0 phrque 90: 1 0 6 <;0 90: es jgvgsg`ne phr 9 phrque 90: 1 9 6

_ìbgcl <9 je 9;


<.5?? es jgvgsg`ne phr ;1 <.5?? es jgvgsg`ne phr 0 phrque <.5?? 1 0 6 25? <.5?? es jgvgsg`ne phr 9 phrque <.5?? 1 9 6 5?? 5.9.9. _hr 2

Uc cñferh es jgvgsg`ne phr 2 iulcjh nl jgkerecigl ectre en cñferh sgc nl igkrl je nls ucgjljes y en jh`ne je nl igkrl je nls ucgjljes es ierh h fñntgpnh je 2 . 2 .

Eaefpnhs1
Uc cñferh es jgvgsg`ne phr 4 , sg sus tres ñntgfls igkrls shc ierhs h fñntgpnh je 4 . 4 .

Eaefpnhs1 :.??? es jgvgsg`ne phr 4  phrque tgece ??? <.?:4 es jgvgsg`ne phr 4  ?:4 es fñntgpnh je 4 phrque ?:4 6 4 ² ; <.5<0 es jgvgsg`ne phr 4  5<0 es fñntgpnh je 4 phrque 5<0 6 4 ² ;: 5.9.5. _hr 05

Uc cñferh es jgvgsg`ne phr 05 , sg sus jhs ñntgfls igkrls shc ierhs h fñntgpnh je 05 . 05 .

Eaefpnhs1 5?? es jgvgsg`ne phr 05  phrque tgece ?? <.?05 es jgvgsg`ne phr 05  ?05 es fñntgpnh je 05 phrque ?05 6 05 ² < <.425 es jgvgsg`ne phr 05  425 es fñntgpnh je 05 phrque 425 6 05 ² 95 5.9.;. _hr <05

Uc cñferh es jgvgsg`ne phr <05, sg sus tres ñntgfls igkrls shc ierhs h fñntgpnh je <05 . <05 .

Eaefpnhs1 <.??? es jgvgsg`ne phr <05  phrque tgece ??? <.<05 es jgvgsg`ne phr <05  <05 es fñntgpnh je <05 phrque <05 6 <05 ² < :.05? es jgvgsg`ne phr <05  05? es fñntgpnh je <05 phrque 05? 6 <05 ² 0


_ìbgcl <: je 9;


5.9.2. Zl`nl ’ Pesufec Pesufec

Ec nl tl`nl sgbugecte, se presectl uc resufec je htrhs irgterghs je jgvgsg`gngjlj.

Cñferh

Irgtergh je jgvgsg`gngjlj

Eaefpnhs

:

Yg sus jhs ñntgfls igkrls shc ierhs h fñntgpnh je :.

9;, :??, <.?04 , …

;

Yg es jgvgsg`ne phr 0 y phr 9.

20, 90:, <.5?? , …

2

Iulcjh nl jgkerecigl ectre en cñferh sgc nl igkrl je nls ucgjljes y en jh`ne je nl igkrl je nls ucgjljes es ierh h fñntgpnh je 2.

4

Yg sus tres ñntgfls igkrls shc ierhs h fñntgpnh je 4.

:.???, <.?:4 , <.5<0, …

05

Yg sus jhs ñntgfls igkrls shc ierhs h fñntgpnh je 05.

5??, <.?05, <.425, …

<05

Yg sus tres ñntgfls igkrls shc ierhs h fñntgpnh je <05.

<.???, <.<05, :.05?, …

;. CÑFEPHY _PGFHY ;.<. Jekgcgigùc Uc cñferh prgfh es lquçn que ch se pueje jesihfphcer ec klithres . _hr tlcth, uc cñferh prgfh sùnh tgece jhs jgvgshres1 çn fgsfh y nl ucgjlj.

Eaefpnhs1 5  Jgvgshres je 5 6 <, 5 <9  Jgvgshres je <9 6 <, <9 <7  Jgvgshres je <7 6 <, <7 57  Jgvgshres je 57 6 <, 57 En cñferh < sùnh tgece uc jgvgshr, phr esh ch nh ihcsgjerlfhs ihfh prgfh. _lrl lvergbulr sg uc cñferh es prgfh , se jgvgje hrjecljlfecte phr thjhs nhs cñferhs prgfhs fechres que çn . Iulcjh, sgc resuntlr jgvgsghces exlitls, nnebl l h`tecerse uc ihigecte fechr h gbuln ln jgvgshr, se jgie que en cñferh es prgfh.

Eaefpnh1

_hr tlcth, <27 es uc cñferh prgfh.


_ìbgcl <5 je 9;


;.0. Irg`l je Erltùsteces Nl irg`l je Erltùsteces es uc lnbhrgtfh que perfgte dlnnlr thjhs nhs cñferhs prgfhs fechres que uc cñferh clturln jljh.

<) _lrtgfhs je ucl ngstl je cñferhs que vlc je 0 dlstl uc jeterfgcljh cñferh. 0) Engfgclfhs je nl ngstl nhs fñntgpnhs je 0. 9) Nuebh thflfhs en prgfer cñferh jespuçs jen 0 que ch kue engfgcljh (en 9) y engfgclfhs je nl ngstl sus fñntgpnhs, y lsæ suiesgvlfecte. :) En prhiesh terfgcl iulcjh en iuljrljh jen flyhr cñferh ihckgrfljh ihfh prgfh es flyhr que en cñferh kgcln je nl ngstl. 5) Nhs cñferhs que perflceiec ec nl ngstl shc nhs prgfhs. ;.0.<. Eaerigigh

<) Ilniunl phr en lnbhrgtfh je nl irg`l je Erltùsteces nhs cñferhs prgfhs fechres que :?1 l) Esirg`gfhs nhs cñferhs ihfprecjgjhs ectre 0 y :?. 0

9

:

5

;

2

4

7

<<

<0 <9 <: <5 <; <2 <4 <7 0?

0< 00 09 0: 05 0; 02 04 07 9? 9< 90 99 9: 95 9; 92 94 97 :?

`) Engfgclfhs nhs fñntgpnhs je 0 phrque 0 0 > :?. 0 0<

9

5

2

7

<<

<9

<5

<2

<7

09

05

02

07

9<

99

95

92

97

<2

<7

i) En sgbugecte cñferh es 9, ihfh 9 0 > :? engfgclfhs nhs fñntgpnhs je 9. 0

9

5

09

05

2

<< 07

<9

9<

95

92

j) En sgbugecte cñferh es 5, ihfh 5 0 > :? engfgclfhs nhs fñntgpnhs je 5. 0

9

5

2

09

<< 07

<9

9<

<2

<7

92

e) En sgbugecte cñferh es 2, ihfh 2 0 3 :? en lnbhrgtfh terfgcl y nhs cñferhs que chs quejlc shc prgfhs. 0

9

5

09


2

<< 07

9<

<9

<2

<7

92

_ìbgcl <; je 9;


;.9. Zl`nl je cñferhs prgfhs 0

9

5

2

09 :<

:9

;<

07

;2

2<

59

57

29

27

<<9 <9<

<92

<5<

<52

<;2

<4<

<7

72

<:7

<2 92

47

<02

<;9

<9

9<

:2

49
<<

<29 <7<

<79

<97

<27 <72

<77

;.:. Pebnls plrl ihfprh`lr sg uc cñferh es prgfh Exgstec lnbucls rebnls que perfgtec ihfprh`lr sg uc cñferh es prgfh. 





Zhjh cñferh que terfgcl ec ?, 0, :, 5, ; u 4, h iuyhs jæbgths suflc uc cñferh jgvgsg`ne phr 9, ch es prgfh. Nhs cñferhs que terfgclc ec <, 9, 2 ù 7 puejec ser prgfhs h ch. Utgngzlr nhs irgterghs je jgvgsg`gngjlj.

2. CÑFEPHY IHF_UEYZHY 2.<. Jekgcgigùc Uc cñferh ihfpuesth es lquçn que phsee fìs je jhs jgvgshres . Es jeigr, se pueje jgvgjgr phr sæ fgsfh, phr nl ucgjlj y phr htrhs cñferhs.

Eaefpnhs1 <0  Jgvgshres je <0 6 <, 0, 9, :, ;, <0. <5  Jgvgshres je <5 6 <, 9, 5, <5. 90  Jgvgshres je 90 6 <, 0, :, 4, <;, 90. Nhs cñferhs ihfpuesths , se puejec expreslr ihfh prhjuiths ihfh prhjuiths je phtecigls je cñferhs cñ ferhs prgfhs , l jgidl expresgùc se ne nnlfl jesihfphsgigùc je uc cñferh ec klithres prgfhs .

Eaefpnh1 2? 6 0 ² 5 ² 2


_ìbgcl <2 je 9;


2.0. Klithrgzlr uc cñferh h Jesihfphsgigùc je uc cñferh ec klithres prgfhs Klithrgzlr uc cñferh ihcsgste ec jesihfphcernh ec klithres prgfhs , es jeigr, expreslrnh ihfh prhjuith ihfh prhjuith je sus jgvgshres prgfhs . _lrl klithrgzlr uc cñferh h jesihfphcernh ec klithres prgfhs ekeitulfhs suiesgvls jgvgsghces ectre sus jgvgshres prgfhs dlstl h`tecer uc uch ihfh ihigecte . ihigecte . Esth es, en cñferh nh jgvgjgfhs ectre 0 tlctls veies ihfh sel phsg`ne= jespuçs, ectre 9= nuebh, ectre 5= y lsæ suiesgvlfecte ectre nhs sgbugectes prgfhs dlstl h`tecer < ec en ihigecte. _hr tlcth, nhs jgvgshres je uc cñferh perfgtec su jesihfphsgigùc ec khrfl je prhjuiths je jhs h fìs klithres. _lrl relngzlr nls jgvgsghces utgngzlrefhs ucl `lrrl vertgiln, l nl jereidl esirg`gfhs nhs jgvgshres prgfhs y l nl gzqugerjl nhs ihigectes .

Eaefpnhs1 :90 0

0.50? 0

0<; 0

<.0;? 0

;9? 0

5: 0

9<5 9

02 9 7 9

9 9

2 2

<

<

:90 6 0: ² 99

0.50? 6 09 ² 90 ² 5 ² 2

4. IÌNIUNH JE ZHJHY NHY JG[GYHPEY UYLCJH

NL KLIZHPGQLIGÙC

_lrl ilniunlr thjhs nhs jgvgshres , uslfhs nl jesihfphsgigùc ec klithres prgfhs .

Eaefpnh <1 Ilniunl thjhs nhs jgvgshres je 20. 20 0 9; 0 <4 0 7 9 9 9 < 20 6 09 ² 90 <± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 0, jesje 0 ? dlstl 0 9. 0± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 9, jesje 9 ? dlstl 9 0. 9± Estls phtecigls nls hrblcgzlfhs ec ucl tl`nl je jh`ne ectrljl y funtgpngilfhs ucls phr htrls.


_ìbgcl <4 je 9;


:± Nhs prhjuiths shc thjhs nhs jgvgshres je 20. 0? 6 <

0< 6 0

00 6 :

09 6 4

9? 6 <

<

0

:

4

9< 6 9

9

;

<0

0:

90 6 7

7

<4

9;

20

Yhnuigùc1 Zhjhs nhs jgvgshres je 20 shc <, 0, 9, :, ;, 4, 7, <0, <4, 0:, 9;, 20

Eaefpnh 01 Ilniunl thjhs nhs jgvgshres je <.<05. <.<05 9 925 9 <05 5 05 5 5 5 < <.<05 6 90 ² 59

<± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 9, jesje 9 ? dlstl 9 0. 0± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 5, jesje 5 ? dlstl 5 9. 9± Estls phtecigls nls hrblcgzlfhs ec ucl tl`nl je jh`ne ectrljl y funtgpngilfhs ucls phr htrls. :± Nhs prhjuiths shc thjhs nhs jgvgshres je <.<05. 9? 6 <

9< 6 9

90 6 7

5? 6 <

<

9

7

5< 6 5

5

<5

:5

50 6 05

05

25

005

59 6 <05

<05

925

<.<05

Yhnuigùc1 Zhjhs nhs jgvgshres je <.<05 shc <, 9, 5, 7, <5, 05, :5, 25, <05, 005, 925, <.<05


_ìbgcl <7 je 9;


Eaefpnh 91 Ilniunl thjhs nhs jgvgshres je 7?. 7? 0 :5 9 <5 9 5 5 < 7? 6 0 ² 9 0 ² 5 <± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 0, jesje 0 ? dlstl 0 <. 0± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 9, jesje 9 ? dlstl 9 0. 9± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 5, jesje 5 ? dlstl 5 <. :± Engfgclfhs 5 ? phrque es gbuln l 0 ?. 5± Esirg`gfhs en prhjuith je phtecigls je 0 < y 5<. ;± Estls phtecigls nls hrblcgzlfhs ec ucl tl`nl je jh`ne ectrljl y funtgpngilfhs ucls phr htrls. 2± Nhs prhjuiths shc thjhs nhs jgvgshres je 7?. 0? 6 <

0< 6 0

5< 6 5

0< ² 5< 6
9? 6 <

<

0

5

9< 6 9

9

;

<5

9?

90 6 7

7

<4

:5

7?

Yhnuigùc1 Zhjhs nhs jgvgshres je 7? shc <, 0, 9, 5, ;, 7,
Eaefpnh :1 Ilniunl thjhs nhs jgvgshres je 5:?. 5:? 0 02? 0 <95 9 :5 9 <5 9 5 5 < 5:? 6 00 ² 99 ² 5 <± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 0, jesje 0 ? dlstl 0 0. 0± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 9, jesje 9 ? dlstl 9 9. 9± Esirg`gfhs thjls nls phtecigls je `lse 5, jesje 5 ? dlstl 5 <. :± Engfgclfhs 5 ? phrque es gbuln l 0 ?. Befl Gslèn Flræc Il`lnnerh

_ìbgcl 0? je 9;


5± Esirg`gfhs en prhjuith je phtecigls jesje 0 < dlstl 0 0 ihc 5<. ;± Estls phtecigls nls hrblcgzlfhs ec ucl tl`nl je jh`ne ectrljl y funtgpngilfhs ucls phr htrls. 2± Nhs prhjuiths shc thjhs nhs jgvgshres je 5:?. 0? 6 <

0< 6 0

00 6 :

5< 6 5

0< ² 5< 6
00 ² 5< 6 0?

9? 6 <

<

0

:

5

0?

9< 6 9

9

;

<0

<5

9?

;?

90 6 7

7

<4

9;

:5

7?

<4?

99 6 02

02

5:

<95

02?

5:?

Yhnuigùc1 Zhjhs nhs jgvgshres je 5:? shc <, 0, 9, :, 5, ;, 7,
7. FÌTGFH IHFÑC JG[GYHP 7.<. Jekgcgigùc En fìxgfh ihfñc jgvgshr (f.i.j.) je jhs h fìs cñferhs es en flyhr cñferh que jgvgje l thjhs exlitlfecte , es jeigr, es en flyhr je sus jgvgshres.

7.0. Iìniunh jen fìxgfh ihfñc jgvgshr <) Ye jesihfphcec nhs cñferhs ec klithres prgfhs. 0) Ye thflc nhs klithres ihfuces ihc fechr exphcecte.

7.9. Eaerigighs <) Dlnnl en f.i.j. je 20,

;? 0

9; 0

5: 0

9? 0

<4 0

02 9

<5 9

7 9

7 9

5 5

9 9

9 9

<

<

<

20 6 09 ² 90


;? 6 00 ² 9 ² 5

_ìbgcl 0< je 9;


0± Ye thflc nhs klithres ihfuces ihc fechr exphcecte. f.i.j. (20,
0) Dlnnl en f.i.j. je1 l) 05 ² 99 0: ² 2 Yhnuigùc1 f.i.j. 6 0 : 6 <; `) 09 ² 99 ² 52 05 ² 90 ² 5 Yhnuigùc1 f.i.j. 6 0 9 ² 90 ² 5 6 4 ² 7 ² 5 6 9;? i) 2 ² <<5 ² <9 59 ² <90 2: ² << Yhnuigùc1 f.i.j. 6 <

7.:. Jhs cñferhs shc prgfhs ectre sæ iulcjh su fìxgfh ihfñc jgvgshr es <. Jhs cñferhs shc prgfhs ectre sæ iulcjh Eaefpnh1 Ihfprue`l sg esths cñferhs shc prgfhs ectre sæ1 l) <4 y 25 Yhnuigùc1 <4 6 0 ² 9 0 25 6 9 ² 5 0 f.i.j. (<4, 25) 6 9 _hr tlcth, <4 y 25 ch shc prgfhs ectre sæ. `) 4: y 2<5 Yhnuigùc1 4: 6 00 ² 9 ² 2 2<5 6 5 ² << ² <9 f.i.j. (4:, 2<5) 6 < _hr tlcth, 4: y 2<5 shc prgfhs ectre sæ. Befl Gslèn Flræc Il`lnnerh

_ìbgcl 00 je 9;


;? 0

9; 0

5: 0

9? 0

<4 0

02 9

<5 9

7 9

7 9

5 5

9 9

9 9

<

<

<

20 6 09 ² 90

;? 6 00 ² 9 ² 5

0± Ye thflc nhs klithres ihfuces y ch ihfuces ihc flyhr exphcecte. f.i.f. (20,
0) Dlnnl en f.i.f. je1 l) 05 ² 99 0: ² 2 Yhnuigùc1 f.i.f. 6 0 5 ² 99 ² 2 6 90 ² 02 ² 2 6 ;.?:4


_ìbgcl 09 je 9;


`) 09 ² 99 ² 52 05 ² 90 ² 5 Yhnuigùc1 f.i.f. 6 0 5 ² 99 ² 52 6 90 ² 02 ² 24.<05 6 ;2.5??.??? i) 2 ² <<5 ² <9 59 ² <90 2: ² << Yhnuigùc1 f.i.f. 6 5 9 ² 2: ² <<5 ² <90 6 <05 ² 0.:?< ² <;<.?5< ² <;7 6 4.<;4.;42.7?0.925

<<. PENLIGÙC ECZPE F.I.J. W F.I.F. f.i.j. (l, `) ² f.i.f. (l, `) 6 l ² `

Eaefpnh1 f.i.j. (<0, <;) 6 0 0 6 : f.i.f. (<0, <;) 6 0 : ² 9 6:4 <0 6 0 0 ² 9 <; 6 0 : f.i.j. (<0, <;) ² f.i.f. (<0, <;)

: ² :4 6 <0 ² <;  <70 6 <70



<0. EAEPIGIGHY <) Je nhs sgbugectes cñferhs1 <27, 9<<, 4:4, 95;;, 2042. Gcjgilr iuìnes shc prgfhs y iuìnes ihfpuesths. Yhnuigùc1 _rgfhs1 <27 y 9<<. Ihfpuesths1 4:4, 95;; y 2042. Cñferh

Jgvgshres

Zhtln je jgvgshres

Cñferh prgfh

<27

<, <27

0

T

9<<

<, 9<<

0

T

4:4

<, 0, 4:4, …

30

T

95;;

<, 0, 95;;, …

30

T

2042

<, 9, 2042, …

30

T


Cñferh Ihfpuesth

_ìbgcl 0: je 9;


0) Ilniunl, fejglcte ucl tl`nl, thjhs nhs cñferhs prgfhs ihfprecjgjhs ectre :?? y :5?. Yhnuigùc1

l) Esirg`gfhs nhs cñferhs ihfprecjgjhs ectre :?? y :5?. :?? :?< :?0 :?9 :?: :?5 :?; :?2 :?4 :?7 :
`) Engfgclfhs nhs fñntgpnhs je 0 phrque 0 0 > :5?. :?<

:?9

:?5

:?2

:?7

:<<

:<9

:<5

:<2

:<7

:0<

:09

:05

:02

:07

:9<

:99

:95

:92

:97

::<

::9

::5

::2

::7

i) En sgbugecte cñferh es 9, ihfh 9 0 > :5? engfgclfhs nhs fñntgpnhs je 9. :?<

:?9 :<9

:0< :9<


:?2 :<5

:?7 :<7

:05

:02

:99

:95

:92

:97

::9

::5

::2

::7

_ìbgcl 05 je 9;


j) En sgbugecte cñferh es 5, ihfh 5 0 > :5? engfgclfhs nhs fñntgpnhs je 5. :?<

:?9

:?2

:<9 :0< :9<

:?7 :<7

:02 :99

:92

:97

::9

::2

::7

e) En sgbugecte cñferh es 2, ihfh 2 0 3 :5? engfgclfhs nhs fñntgpnhs je 2. :?<

:?9

:?2

:?7 :<7

:0< :9<

:99

:92

:97

::9

::2

::7

k) En sgbugecte cñferh es <<, ihfh << 0 3 :5? engfgclfhs nhs fñntgpnhs je <<. :?<

:?9

:?7 :<7

:0< :9<


:99

:92

:97

::9

::2

::7

_ìbgcl 0; je 9;


b) En sgbugecte cñferh es <9, ihfh <9 0 3 :5? engfgclfhs nhs fñntgpnhs je <9. :?<

:?7 :<7

:0< :9<

:99

:92

:97

::9

::2

::7

d) En sgbugecte cñferh es <7, ihfh <7 0 3 :5? engfgclfhs nhs fñntgpnhs je <7. :?<

:?7 :<7

:0< :9<

:99 ::9

:97 ::2

::7

g) En sgbugecte cñferh es 09, ihfh 09 0 3 :5? en lnbhrgtfh terfgcl y nhs cñferhs que chs quejlc shc prgfhs. :?<

:?7 :<7

:0< :9<

:99 ::9


:97 ::2

::7

_ìbgcl 02 je 9;


9) Jesihfphcer ec klithres1 l) 0<; Yhnuigùc1 0<; 0
0<; 6 09 ² 99

7 9 9 9 <

`) 9;? Yhnuigùc1 9;? 0 <4? 0 7? 0 :5 9

9;? 6 0 9 ² 90 ² 5

<5 9 5 5 <

i) :95 Yhnuigùc1 :95 9 <:5 5 07 07

:95 6 9 ² 5 ² 07

<

j) 9:0 Yhnuigùc1 9:0 0 <2< 9 52 9

9:0 6 0 ² 9 0 ² <7

<7 <7 <


_ìbgcl 04 je 9;


:) Jesihfphcer ec klithres1 l) 0.05? Yhnuigùc1 0.05? 0 <<05 9 925 9 <05 5

0.05? 6 0 ² 9 0 ² 59

05 5 5 5 <

`) 9.5?? Yhnuigùc1 9.5?? 0 <25? 0 425 5 <25 5

9.5?? 6 0 0 ² 59 ² 2

95 5 2 2 <

5) Ilniunl en f.i.j. y f.i.f. je1 l) :04 y 92; Yhnuigùc1 <± Ye jesihfphcec nhs cñferhs ec klithres prgfhs. :04 0

92; 0

0<: 0

<44 0

7: 0 :2 :2 < 92; 6 09 ² :2

0± Ye thflc nhs klithres ihfuces y ch ihfuces ihc flyhr exphcecte. f.i.j. (:04, 92;) 6 0 0 6 : f.i.f. (:04, 92;) 6 0 9 ²

_ìbgcl 07 je 9;


`) <:4 y <5; Yhnuigùc1 <± Ye jesihfphcec nhs cñferhs ec klithres prgfhs. <:4 0 2: 0 92

<5; 0 24 0

92

97 9

<

<9 <9 <

<:4 6 00 ² 92

<5; 6 00 ² 9 ² <9

0± Ye thflc nhs klithres ihfuces y ch ihfuces ihc flyhr exphcecte. f.i.j. (<:4, <5;) 6 0 0 6 : f.i.f. (<:4, <5;) 6 0 0 ² 9 ² 92 ² <9 6 5.220

i) ;?? y <.??? Yhnuigùc1 <± Ye jesihfphcec nhs cñferhs ec klithres prgfhs. ;?? 0

<.??? 0

9?? 0

5?? 0

<5? 0

05? 0

25 9

<05 5

05 5

05 5

5 5

5 5

<

<

;?? 6 09 ² 9 ² 5 0

<.??? 6 09 ² 59

0± Ye thflc nhs klithres ihfuces y ch ihfuces ihc flyhr exphcecte. f.i.j. (;??, <.???) 6 0 9 ² 50 6 0?? f.i.f. (;??, <.???) 6 0 9 ² 9 ² 5 9 6 9.???


_ìbgcl 9? je 9;


;) Ilniunl en f.i.j. y f.i.f. je1 l) <.?:4, 24; y 9.79? Yhnuigùc1 <± Ye jesihfphcec nhs cñferhs ec klithres prgfhs. <.?:4 0

24; 0

9.79? 0

50: 0

979 9

<.7;5 9

0;0 0

<9< <9<

<9< <9<

;55 5

<

<9< <9<

< <.?:4 6 09 ² <9<

< 24; 6 0 ² 9 ² <9<

9.79? 6 0 ² 9 ² 5 ² <9<

0± Ye thflc nhs klithres ihfuces y ch ihfuces ihc flyhr exphcecte. f.i.j. (<.?:4, 24;, 9.79?) 6 0 ² <9< 6 0;0 f.i.f. (<.?:4, 24;, 9.79?) 6 0 9 ² 9 ² 5 ² <9< 6 <5.20?

`) 9.<0?, ;.0?? y <.4;: Yhnuigùc1 <± Ye jesihfphcec nhs cñferhs ec klithres prgfhs. 9.<0? 0

;.0?? 0

<.4;: 0

<.5;? 0

9.
790 0

24? 0

<.55? 0

:;; 0

97? 0

225 5

<75 9

<55 5

;5 5 <9 <9

099 099 <

9< 9< <

< 9.0
;.0?? 6 0 9 ² 50 ² 9<

<.4;: 6 09 ² 099

0± Ye thflc nhs klithres ihfuces y ch ihfuces ihc flyhr exphcecte. f.i.j. (9.0

_ìbgcl 9< je 9;


<9. _PH@NEFLY <) Uc klrh se ecigecje iljl <0 sebucjhs, htrh iljl <4 sebucjhs y uc terierh iljl fgcuth. L nls ;.9? je nl tlrje nhs tres ihgcigjec. Lvergbul nls veies que vhnverìc l ihgcigjgr ec nhs igcih fgcuths sgbugectes y l quç dhrl. Yhnuigùc1 <0 sebucjhs  <0 6 00 ² 9 <4 sebucjhs  <4 6 0 ² 9 0 < fgcuth 6 ;? sebucjhs  ;? 6 00 ² 9 ² 5 f.i.f. (<0, <4, ;?) 6 0 0 ² 90 ² 5 6 <4? <4? sebucjhs 1 ;? sebucjhs/fgcuth 6 9 fgcuths Ihgcigjec l nls ;.9? d. Jectrh je 5 fgcuths, nhs tres klrhs sùnh ihgcigjec ucl vez l nls ;.99 d.

0) Uc vglaerh vl l @lrienhcl iljl <4 jæls y htrh iljl 0: jæls. Dhy dlc estljh nhs jhs ec @lrienhcl. ¸Jectrh je iuìcths jæls vhnverìc l estlr nhs jhs l nl vez ec @lrienhcl8 Khrfl <1 <4 6 0 ² 9 0 0: 6 0 9 ² 9 f.i.f. (<4, 0:) 6 0 9 ² 90 6 20 Jectrh je 20 jæls. Khrfl 01 Ihfpnetl nl tl`nl plrl jlr nl respuestl. <ª vuentl

0ª vuentl

9ª vuentl

:ª vuentl

Jæls que tlrjl vglaerh <

<4

9;

5:

20

Jæls que tlrjl vglaerh 0

0:

:4

20

7;

Esth qugere jeigr que se ilniunlc1 Fñntgpnhs je <41 ?, <4, 9;, 5:, 20, … Fñntgpnhs je 0:1 ?, :4, 20, 7;, … Fñntgpnhs ihfuces je <4 y 0:1 20 En ? ch se iuectl phrque es en gcgigh je nhs jhs vglaerhs ec @lrienhcl. Yhnuigùc1 20 jæls tlrjlc ec ecihctrlrse nhs jhs vglaerhs ec @lrienhcl.


_ìbgcl 90 je 9;


9) Ùsilr y Yhcgl estìc fhctlcjh ec nhs ilrs je uc plrque je ltrliighces. Yhcgl tlrjl : fgcuths ec jlr ucl vuentl l nl pgstl y Ùsilr, ; fgcuths. Yg slnec nhs jhs aucths je nl fetl, ¸iuìcths fgcuths tlrjlrìc ec vhnver l ihgcigjgr ec nl fetl8 Khrfl <1 : 6 00 ;60²9 f.i.f. (:, ;) 6 0 0 ² 9 6 <0 Jectrh je <0 fgcuths. Khrfl 01 Ihfpnetl nl tl`nl plrl jlr nl respuestl. <ª vuentl

0ª vuentl

9ª vuentl

:ª vuentl

5ª vuentl

;ª vuentl

Fgcuths que tlrjl Yhcgl

:

4

<0

<;

0?

0:

Fgcuths que tlrjl Ùsilr

;

<0

<4

0:

9?

9;

Esth qugere jeigr que se ilniunlc1 Fñntgpnhs je :1 ?, :, 4, <0, <;, 0?, 0:, … Fñntgpnhs je ;1 ?, ;, <0, <4, 0:, 9?, 9;, … Fñntgpnhs ihfuces je : y ;1 ?, <0, 0: En ? ch se iuectl phrque es en gcgigh je nl ilrrerl. Yhnuigùc1 L nhs <0 y 0: fgcuths ihgcigjgrìc ec nl fetl.

:) Ln`l y Yhcgl vlc l ver l su lùenl uc jeterfgcljh jæl. L plrtgr je ese jæl Ln`l vuenve iljl <4 jæls, y Yhcgl, iljl 9? jæls. ¸Iuìcths jæls tlrjlrìc ec vhnver l ecihctrlrse phr prgferl vez8 Khrfl <1 <4 6 0 ² 9 0 9? 6 0 ² 9 ² 5 f.i.f. (<4, 9?) 6 0 ² 9 0 ² 5 6 7? Jectrh je 7? jæls.


_ìbgcl 99 je 9;


Khrfl 01 Ihfpnetl nl tl`nl plrl jlr nl respuestl. <ª vuentl

0ª vuentl

9ª vuentl

:ª vuentl

5ª vuentl

Jæls que tlrjl Ln`l

<4

9;

5:

20

7?

Jæls que tlrjl Yhcgl

9?

;?

7?

<0?

<5?

Esth qugere jeigr que se ilniunlc1 Fñntgpnhs je <41 ?, <4, 9;, 5:, 20, 7?, … Fñntgpnhs je 9?1 ?, 9?, ;?, 7?, <0?, <5?, … Fñntgpnhs ihfuces je <4 y 9?1 7? En ? ch se iuectl phrque es en gcgigh je nl vgsgtl l su lùenl. Yhnuigùc1 7? jæls tlrjlc ec ecihctrlrse Ln`l y Yhcgl.

5) Ye lpgnl ec ucl thrre iu`hs je 9? if je lrgstl y ln nljh, ec htrl thrre, iu`hs je 9; if je lrgstl. ¸L quç lnturl ihgcigjec nls igfls je lf`ls thrres8 Jlths1 9? if je lrgstl je ucl thrre. 9; if je lrgstl je htrl thrre. Hperlighces1 9? 6 0 ² 9 ² 5 9; 6 00 ² 90 f.i.f. (9?, 9;) 6 0 0 ² 90 ² 5 6 <4? Yhnuigùc1 Nls igfls je lf`ls thrres ihgcigjec l nhs <4? if.

;) ¸Iuìn es en fechr cñferh que ln jgvgjgrnh seplrljlfecte phr <5, 0?, 9; y :4, ec iljl ilsh, jl je resth 78 Yhnuigùc1 f.i.f. (<5, 0?, 9;, :4) 6 0 : ² 90 ² 5 6 20? 20? + 7 6 207


_ìbgcl 9: je 9;


2) Ec ucl `hjebl dly 9 thcenes je vgch, iuyls ilpligjljes shc1 05? n, 9;? n, y 5:? n. Yu ihctecgjh se qugere ecvlslr ec igerth cñferh je blrrlkls gbulnes. Ilniunl nls ilpligjljes fìxgfls je estls blrrlkls plrl que ec ennls se puejec ecvlslr en vgch ihctecgjh ec iljl uch je nhs thcenes, y en cñferh je blrrlkls que se ceiesgtlc. Yhnuigùc1 f.i.j. (05?, 9;?, 5:?) 6
4) En suenh je ucl dl`gtligùc, que se qugere ef`lnjhslr, tgece 5 f je nlrbh y 9 f je lcidh. Ilniunl en nljh y en cñferh je nls `lnjhsls, tln que en cñferh je `lnjhsls que se ihnhque sel fæcgfh y que ch sel ceieslrgh ihrtlr cgcbucl je ennls. Yhnuigùc1 9 f 6 9? jf  9? 6 0 ²9 ² 5 5 f 6 5? jf  5? 6 0 ² 5 0 L 6 9? ² 5? 6 <.5?? jf 0 f.i.j. (9?, 5?) 6 0 ² 5 6
7) Uc ihferiglcte jesel phcer ec ilals <0.?04 flczlcls y <0.220 clrlcals, je fhjh que iljl ilal ihctecbl en fgsfh cñferh je flczlcls h je clrlcals y, ljefìs, en flyhr cñferh phsg`ne. Dlnnl en cñferh je clrlcals je iljl ilal y en cñferh je ilals ceieslrgls. Yhnuigùc1 f.i.j. (<0.?04, <0.220) 6 <0: <0: clrlcals ec iljl ilal Ilals je clrlcals 6 <0.220 / <0: 6

_ìbgcl 95 je 9;



_ìbgcl 9; je 9;

Tema 3. Divisibilidad de números naturales

Recommend Documents