Tema 20 - Divisibilidad II.pdf

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DIVISIBILID DIVISIBILIDAD AD II DESARROLLO DEL TEMA

I.

RES ESTO TOS S PO POTEN TENCIALES LES

II. CRITERIO CRITERIOS S DE DIVISI DIVISIBILI BILIDAD DAD Son un conjunto de reglas que aplicadas a las cifras cifras de un numeral, nos permite determinar su multiplicidad respecto a cierto módulo, de tal manera que el residuo se puede calcular en forma directa y de modo más sencillo, con algunas excepciones, como veremos. Cada sistema de numeración numeración tiene sus propios criterios criterios de divisibilidad y para conocerlos nos valemos de los restos potenciales.

Se llama restos potenciales de un entero "E" (diferente de cero) respecto respecto a un módulo "m", a los residuos que dejan la sucesión de potencias enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo "m".  Así si tenemos las potencias: E 1; E 2; E3; E4; ... Entonces: o

o

o

o

E1  m r1; E2  m r2 ; E3  m; E4  m  r4 ; ...

Sea el numeral: N  ...... ...edcba(B)

Donde: r1; r2; r3 ; r4 ; ........, son los restos potenciales de E respecto al módulo m.

Entonces: N  ... ....  e x B 4  d x B3  c x B2  b x B  a

Gaussiano Gaussiano (g) Se llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m a la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y diferentes de cero, que se repiten ordenada y periódicamente.

Si queremos llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad se tiene que det erminar erminar la multiplicidad, según el módulo "m", de:

Ejemplo: Calcular los restos 161 = m9 + 7 162 = m9 + 4 163 = m9 + 1

Reemplazando: potenciales de 16 respecto al módulo 164 = m9 + 7 167 = m9 + 165 = m9 + 4 168 = m9 + 166 = m9 + 1 169 = m9 +

o

9. 7 4 1

o

o

o

•

1642  9  1; por que : 42 42  3

•

1632  9  4; porque : 32  3  2

o

UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III

o

o

o

En conclusión: "Las cifras del numeral, de derecha a izquierda, se multiplican por los restos potencial de la base en que está el numer nu meral, al, respecto respecto al m ódulo investigado, i nvestigado, luego se reduce en operaciones de adición y/o sustracción hasta llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad".

 Aplicaciones: 1628  9 7; porque : 28  3 1

o

N  m .. ...  e x r4  d x r3  c x r2  b x r1  a

16m3  m9  1  Ge nerali za ndo 16m31  m9  7  m32  m9  4 16

•

o

Finalmente:

El gaussiano es: g = 3

o

o

N  ....  e x (m  r4)  d x (m  r3)  c x (m  r2)  b x (m  r1)  a

Los restos potenciales son: 7; 4; 1

o

o

B1  m  r1; B 2  m  r2 ; B 3  m  r3; B4  m  r4 ;. ... .

Ejemplo: Determinar el criterio de divisibilidad de un numeral expresado en base 7 respecto al módulo 5. Resolución

o

Sea el numeral: N  ...... ...fedc fedcba ba(7) 55

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TEMA 20

DIVISIBILIDAD II 

Exigimos más!  Donde:

Entonces: o

N  .....  f x 75  e x 74  d x 73  c x 72  b x 71  a

o

 1 7  72   Pero 73   4 7  75

o

o

N  ....  f x (5  2)  e x (5  1)  d x (5  2) o

 c x (5  1)  b x (5  2)  a

o

52 o

o

o

o

Luego:

 5  4  5  1 (exceso)

o

 2  f  1  e   d 1  c   N  5  (..... 2 2 b 1  a)  

 5  3  5  2 (exceso)

E

o

 5 1

o o  E  5  N  5 Por lo tanto:  o o  E 5 r N 5     r 

o

 52

UNI SEMESTRAL 2013 - III

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TEMA 20

DIVISIBILIDAD I I 

Exigimos más! 

problemas resueltos

Problema 1

o

 Aplicando su criterio:

o

9  4a  9 2

El numeral de la fo rma:

o

o

o

cd  ab  99 ... (1)

o

4a  9 2  9 2  18  9  20

o

 9 2 aaa...a 

 a5

40 cifras

Como:

Hallar "a".

cd  ab  37 Respuesta: A) 5 

UNI  Nivel fácil 

 A) 5

B) 8

C) 7

D) 6

Reemplazando en (1):

Problema 2 o

Sea el numeral abcd  99 y cd  ab  37, calcular:

E) 10

a+b+c+d UNI 

Resolución: 

Nivel intermedio 

o

aaa...a  9  2  Aplicando el criterio del 9:

 A) 15

B) 18

C) 20

D) 20

E) 13

 a  a a  ...  a  9 2  40 cifras

o

40a  9  2 o

(9 4)a  9 2 UNI SEMESTRAL 2013 - III

2ab  37  99 2ab  62 ab  31  a  3  b  1

 cd  31  37

o

o

o 99 ab  37  ab  99  198 (No cumple)

cd  68 Resolución: 

 c=6  d=8

  a + b + c + d = 18

En el numeral: o

Respuesta:  B) 18 

abcd  99 57

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TEMA 20

DIVISIBILIDAD II 

Exigimos más!  Problema 3

Resolución: 

Si se cumple que:

 Aplicando el criterio del 11 en: o

o

o

a23b  11  b23a  9

o

a 2 3 b  11   a  2  3  b  11 

Calcule b.a

o

UNI  Nivel difícil 

o  4 (No cumple) b  a  9 5  13

 b + a = 13

b-a=1

a  b  11 1

b–a=1

... (1)

2b = 14

... (1)  b=7

 A) 45 B) 48

a=6

 Aplicando el criterio del 9 en:

C) 50 D) 42 E) 55

UNI SEMESTRAL 2013 - III

o

b23a  9

  b.a = (7)(6) = 42

o

Respuesta:  D) 42 

 b  2 3a  9

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TEMA 20