0
0
A B B mb m+ltipl$ de /
La aritmética es la disciplina disciplina matemtica !"e# c$m$ s" etim$l$%&a etim$l$%&a indica 'arit(m$s si%ni)ica *n+mer$, en %rie%$- se $c"pa del est"di$ de las pr$p pr$pie ieda dade dess de l$s n+mer$s n+mer$s.. En realid realidad ad desde desde s" nacimient$# s" $/0et$ prim$rdial prim$rdial es el n+mer$ nat"ral. nat"ral. Ell$ es l1%ic$ si se piensa piensa !"e éste éste es el c$ncept$ c$ncept$ matemtic$ )"ndamenta )"ndamentall # !"e l$s n+mer$s n+mer$s enter$s 2 raci$nales raci$nales se red"cen red"cen )cilmente a a!"ell$s a!"ell$s 2 p$r +ltim$ !"e el n+mer$ real# p$r m+ltiples ra3$nes # es $/0et$ mas /ien del Anlisis Anlisis !"e de la Aritmétic Aritmética. a.
9='@-
Si
o
o
20 5 ó 20 4
0
N 8 ent$nces N = ;# ; 6
Determine en )$rma e
2 8 En l$s l$s > > primer primer$s $s n+mer n+mer$s $s ente enter$s r$s p$sit p$siti7$ i7$s# s# c"nt$ c"nt$ss s$n m+ltipl$s de: a. ?FFF ?FFFFF FFFF FFFF FFFF FFF. F..R .Rpt pta: a: 9 9 /. GFFF GFFFFF FFFF FFFF FFFF FFF. F..R .Rpt pta: a: c. 8 per$ per$ n$ de @FF. @FF..R .Rpa pa:: ? ? d. @ per per$$ n de de 8>F 8>FFF FF.. ..Rp Rpta ta:: 88 88?
Un n+mer$ enter$ *A, es di7isi/le entre $tr$ n+mer$ n+mer$ enter$ p$siti7$ p$siti7$ *5, si al di7idir *A, entre *5, el c$ciente es enter$ 2 el resid"$ i%"al i%"al cer$.
HC"nt$s a. /. c.
Sim/1licamente: Si A Z , B Z y k Z , adems:
HC"nt$s n+mer$s de la )$rma ab5 s$n m+ltipl$s de 8?I
A 0
B k
A es divisible divisi ble en!e en! e B B es diviso! de A
Si em/ar%$ l$s element$s de la di7isi1n se p"eden presentar mediante s" al%$ritm$# est$ es:
A % B (k)
A es es m"li#lo m"li#l o de B B es mód$lo de A
n+mer$s de ? ci)ras: S$n S$n m+lt m+ltip ipl$ l$ss de 8. 8.FF FFFF FFRp Rpta ta:: > N$ s$n s$n m+l m+ltitipl pl$s $s de 8FF 8FFRp Rpta ta:: 8 8 S$n S$n m+lt m+ltip ipl$ l$ss de FFF FFFFF FFRp Rpta ta:: 889 889
Rpta: G Jasta el m$ment$# s1l$ (em$s 7ist$ l$s m+ltipl$s de "n m1d"l$# sin em/ar%$ tam/ién tam/ién se tienen n+mer$s !"e n$ s$n m+ltipl$s de al%+n m$d"l$. K est$ s"cede p$r !"e n$ se est c"mpliend$ la de)inici1n# es decir la di7isi1n res"lta ine
> n$ es di7isi/le entre G# p$r!"e al di7idir > entre G la di7isi1n es ine
ee*o 7 '8 5
8
8.
40 0
5
40 % 8(5) 9. 0
0
7 0
0 % 7(0)
'8 2
&
+0
40 es divisible en!e 8 8 es diviso! de 40
p$r el al%$ritm$ de la di7isi1n: > = G'- M > = G'8- 9 Usand$ la n$taci1n de la m"ltiplicidad# para tra/a0ar s1l$ c$n el
40 es m"li#lo de 8 8 es mód$lo de 40
m1d"l$# $/tenem$s: $/tenem$s: > =
0 es divisible en!e 7 7 es diviso! de 0 0 es m"li#lo de 7 7 es mód$lo de 0
De est$s e0empl$s p$dem$s p$dem$s sacar al%"nas al%"nas c$ncl"si$nes. 8- Si el n+mer$ enter$ N es m+ltipl$ m+ltipl$ de 89 89 si%ni)ica si%ni)ica !"e N se 7a a $/tener de m"ltiplicar m"ltiplicar 89 p$r "n enter$ ;# 89 tiene di7is$res# di7is$res# l$ c"al permite e;- = >'9;>'9;- = ?'@;-= @'?;Se $/ser7a $/ser7a !"e en en cada cada cas$ p$dem p$dem$s $s t$mar t$mar "n m1d"l m1d"l$$ c$m$ re)erencia# re)erencia# es decir p$dem$s a)irmar a)irmar tam/ién !"e N es m+ltipl$ de ? 1 @ 1 9. De a!"& a!"& se c$ncl"2e: c$ncl"2e: T$d$ n+mer$ enter$ es m+ltipl$ de s"s di7is$res enter$s p$siti7$s. N es m+ltipl$ de 8# c$m$: 8=?B L"e%$ se p"ede a)irmar !"e: N es m+ltipl$ de ? 1 N es m+ltipl$ de 9- El cer$ es es m+ltipl$ m+ltipl$ de de t$d$ m$d" m$d"l$ l$ es m+ltipl$ de p$r !"e: =' es m+ltipl$ de n p$r !"e: = n'- d$nde n z
-*eso 7
/o! ee*o d ! de . 0
0
> =
7 5
0
7 2
/o! e-*eso d ! . + e-
0
Dsi%ni)ica d !"er dela representaci1n D d ser exp"ede Est$ rep resentaci1n p"ede dar en )"nci1n )"nci1n del resid"$ p$r de)ect$ $ el resid"$ p$r e
0
i.
43 8 3 ó 43 8 5 ; (3 5 8)
ii.
54 7 5 ó 54 7 2 ; (5 2 7)
0
0
HC"nt$s HC"nt$s n"meras de ? ci)ras s$n
0
5 2 I Rpta: 8
Al reali3ar "na di7isi1n ine
E0empl$: ? M 8@ = @ G'- M G'9- = G'G-
0
0
L"e%$ en %eneral:
0
7 7 7 0
0
n n
0
n
El n"meral 3+247 ( 5) p"ede ser desc$mp"est$ p$lin1micamente en /l$!"es# as&.
E0empl$: 9 O 8
0
3+24+(5) 3+24( 5) 5 +
'9-
3+24+( 5) 3+2 ( 5) 5 2 4+5
0
0
8
=
'- O '?- =
5
0
3+24+(5) 3+(5) 5 24+5 3
5 5
0
Aplicand$ la n$taci1n de m"ltiplicidad para cada cas$ se tiene:
0
n n
n
5
3 3+24+( 5) 5 + (5 ) 4+( 5) 5 24+( 5) Asimism
$:
5 22 2
&
2
0 2
0
E)ect"em$s las si%"ientes di7isi$nes:
47
0
(n) n donde k z
0
k
0
47 5 2
0
0
N +2 ( 7 ) 4& +2 ( 7 ) 4& &
4 0
22 5 2
0
n e 8 B G = 8 = ?'?- = '98- = G'80
0
0
0
0
+5
+5
3
5
7
ab*d ( n ) 0
n de ( n ) 0 3
0
n *de ( n )
Se $/ser7a !"e si m"ltiplicam$s "n +5 ó 7 el res"ltad$ 0
0 2
0
es +5 ó 7 # en %eneral: 0
n0
0
;a z (n a )
n a
Al di7idir A entre G el resid"$ )"e # adems 5 al di7idirse entre G de01 "n resid"$ i%"al a A. HP"é resid"$ se $/tendr al m"ltiplicar A.5 entre GI Rpta: >
Calc"le el resid"$ de di7idir '8@? B 99Entre .
N ab*3(8) aa+0+( 2) bb3+( 4)
Sa/iend$ !"e:
Calc"le le resid"$ al di7idir N entre .
Rpta: ?
0
8@? B 99 = 5 1 ( )
Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces será múltiplo del menor múltiplo común de los módulos
Representar a 8@G 2 99 en )"nci1n de m1d"l$ . 0
0
+47 5 2 228 5 3 5
(+43228)
0
N 4
.
1
0
L"e%$ en ' 0
N '
0
0
0
0
0
0
0
0
0
'
0
5 1
0
0
0
Rpta: 8 Jalle el resid"$ de di7idir '.?@>.9>Entre G o
0
onde m es el meno! m"li#lo *om"n de a, b, * 0 0 1 b1 m 0 * se c"enta entre @ 2 @ pers$nas# de las c"ales l$s En "na1 re"ni1n 2 2 3 s$n 7ar$nes l$s "san lentes 2 l$s s$n pr$)esi$nales#
1 a
+ 5 1
0
0
(n a )(n b)(n c ) n a b c
7
E0empl$: 3
8
0
888
0
0
0
5+2
0
(4) 3 4 4 4 4
'
0
0
5
+0
0 A 8 A 5 2 2 2 3 k +20k +20 0 A' 8 0
5 + 5 1
5
A +0
0
5(5) 5(3) 2(5) ( 2)(3) (5 1 ) 5 5 5
'
Se $/ser7a !"e 89 es el men$r n+mer$ m+ltipl$ de @ 2 >.
0
(5 2)(5 3) (5 1 ) 0
}4 0 0 0 N 2 23 k +2k 4 ' +2
5
3
HC"ntas m"0eres (a/&an en la re"ni1nI Rpta: 9@
Jalle el ma2$r n"mer$ de ? ci)ras# tal !"e al di7idirl$ entre > 2 se $/tienen resid"$s m
Un c$merciante tiene entre @ 2 naran0as. Si l$s 7ende de en le s$/rar&an ? per$ si !"isiera 7enderl$s de 88 en 88 le )altar&an >. HC"ntas naran0as tiene el c$mercianteI Rpta: @>G e A!.$9medes 0
0
0
n n enon*es B n A y z
i AB % onde
0
0
0
0
(& 4) & 4 & '4 & +
(8 3) 4 8 3 4 8 8+ 8 +
(7 2) 5 7 2 5 7 32 7 4 7 3
(+3 +)
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( 5 4 )
0
+3 +
2000
5+
0
0
(5 +)
0
0
5 + 5 4
5+
En %eneral# sean l$s enter$s p$siti7$s: a r 2 n 0
0
0
7 N & *omo 7 & enon*esN &
i.
ii. 'A
0
0
++ *omo ' ++enon*es A ++ 0
0
3 N ++ '
iii.
0
0
a ! n : n es #a!
(a ! )
3 N ' ++ 0
0
(a ! ) n a ! n0
0
n
0
a ! n : n es im#a!
0
3( N 2) ++ c$m$ ? ++ ent$nces 0
0
N 2 ++
N ++ 2
Calc"le el resid"$ al di7idir
+3
4N2000
entre G. Rpta:8
Se p"ede a/re7iar el pr$ces$ si la i%"aldad ' - se di7ide entre ?: Jalle las ci)ras de $rden cer$ 2 "n$ al e
0
3 N ++ '
23
0
N ++ 2
L$s 7al$res p$siti7$s !"e as"me N s$n: N = 9 8? 9@F
Calc"le el resid"$ al di7idir
N 30 3+ 32 340+ entre Rpta: @ Un criteri$ de di7isi/ilidad es "na relaci1n !"e de/en c"mplir las ci)ras de "n determinad$ n"meral para !"e éste sea di7isi/le p$r $tr$# si n$ l$ es# n$s permitir calc"lar el resid"$ a partir de ellas. Cada sistema de n"meraci1n tiene s"s pr$pi$s criteri$s de di7isi/ilidad 2 para c$n$cerl$s n$s 7alem$s de l$s rest$s p$tenciales.
Calc"le el resid"$ al di7idir '8@:?8- entre .
0
5 1
8@ . ?8 = 0
0
0
(5 4)(5 4) 5 1 0
Jalle el 7al$r $ l$s 7al$res de a 2 / si se c"mple !"e: i. a+7' es di7isi/le entre >. Rpta: 8# @# G
0
(5 4) 2 5 1 0
0
0
0
0
ii. 30a 7& ++ y bb2' b
5 4 2 5 1
0
7
Rpta: a =
/=
5 +' 5 1 0
0
0
5 5 + 5 1 0
Si se c"mple !"e: a 23 b
0
0
++ b23a &
Calc"le / a
Rpta: 8
0
5 + 5 1
Calc"le el resid"$ de di7idir ab*d entre 89 si,a, es m
R=8
0
a3524b 33 2+ 0
0
0
0
5c 27 d 4 && 35
0
(++ 2)5 ++ 25 ++ 32 ++ +0
0 1 E S A B N E
0
Rpta: 8@
0
0
Por 2
ab*de 2 e i e 2(e 0, 2, 4, ', 86) ab*de 2
Por 4
ab*de 4 de i de 4(de 00, 04, 08,+2,,&'6) ab*de 4
Por 8
0
0
0
0
0
0
ab*de 8 *de i *de 8 (*de 000, 008, 0+',, &&26) ab*de 8
0
0
0
Por 5
ab*de 5 e
i e 5(e 0,56) ab*de 5
Por 25
ab*de 25 de i de 25(de 00, 25, 50, 756) ab*de 25
0
0
0
0
Por 125
0
0
0
ab*de +25 *de i
0
*de + 25(*de 000, +25, 250,,8756) ab*de +25
0
0
Por 3
ab*de 3 a b * d e i a b * d e 3 (a b * d e) 3, ', &,+2,6
Por 9
ab*de & a b * d e i a b * d e &(a b * d e) &, +8, 27, 6
Por 11
a b * d e
0
0
0
0
++ e d * b
a
8i a b * d e
++
0
ab*de ++
0
Por 7
0
a b * d e < = 7 (3a b) (2* 3d e) (2 3< =) i N 7 ab*de<= 7 N
23 + 3 + 23 +
0
Por 13
a b * de <= +3 3a ( b 4* 3d) (3 4 3<) =
0
0
abcde 33 a bc de Si a bc de 33 abcdef 33
Por 99
abcde && a bc de Si a bc de && abcdef &&
Por “n#1!en $ase n
0
0
0
0
a b * d e
(n)
0
o
8. En "n /arc$ (a2 8 pers$nas# $c"rre "n accidente 2 m"ere "n o
HC"nt$s n$ s$n 3 ni 5 I 5- @ C- @9 E- @88
primer$s n+mer$s entre @ A- 8 5- 9 D- @ E-
C- ?
3. La cantidad de l$s al"mn$s de "n sal1n de clase es "n n+mer$ entre 8 2 89. al ser a%r"pad$s de en 2 de G en G# en am/$s cas$s s$/ran ?. si se a%r"pan de > en > s$/ra: A- 5- 8 C- 9 D- ? E- @
%r"p$ de ellas. De l$s s$/re7i7ientes l$s 9 s$n s$lter$s 2 l$s 8?8@ s$n c$l$m/ian$s. HC"nt$s m"rier$nI A- 9 5- 98 C- 99 D- 9? E- 9@
9. En "na )iesta d$nde (a/&an 89 pers$nas entre damas# ca/aller$s 2 ni$s. El n+mer$ de ca/aller$s !"e n$ /aila/an en "n m$ment$ dad$ era i%"al a la tercera parte del n+mer$ de damas el n+mer$ de ni$s era i%"al a la !"inta parte del n+mer$ de damas 2 la c"arta parte del n+mer$ de damas )"er$n c$n 7estid$ r$0$. HC"ntas damas n$ /aila/an en ese m$ment$I A- ? 5- ?8 C- ?9 D- ?? E- ?@
10.
4. HC"l es el n+mer$ ms cercan$ a 8 !"e es m+ltipl$ de 8GI 5- > E-
C- 88
5. El n+mer$ de la )$rma 2aa+ al ser di7idid$ entre G da c$m$ rest$ 5- @ E- ?
C- >
5- > E-
7. HC"l es el resid"$ de di7idir A- 9 D- @
5- 8 E-
En "na di7isi1n el di7idend$ es
C- @
, 222
{
2
50>i!as
entre I
C- ?
o ++ 4 2 el di7is$r
o ++ 7 . El rest$ de di7idir el c$ciente entre 88 es: A- 9 D- G
5- ? E-
C-
o
11.
6. Jallar *a, sa/iend$ !"e el n+mer$ de la )$rma 42ab'7b es di7isi/le entre >. A- D- 9
0
(n +) a b * d e i a b * d e (n +) ab*de (n +) (n +
2. Jallar el resid"$ !"e res"lta al di7idir el pr$d"ct$ de l$s 8
. (allar a. A- 9 D-
0
ab*de (n ) (n +) a b * d e i a b * d e (n +) ab*de (n+) (n +)
1. Dada 8#9#?#@# F#
A- G D- 8?
i N +3 ab*de<= +3
0
0
PROBLEMAS A- @ D- @8
0
0
Por 33
Por “n1!en "ase“n!
N E
0
N
+ 4 3 + 4 3 + 3
L A R E N E G
0
Jallar *a, en a 4a 4a 8 . A- 9 5- D- > E- 8
C-
o
12.
Jallar *a, en 5a 2a ' 7 A- 9 5- ? D- > E-
13.
C- @
o
Jallar a M / en aba b ' 44
A- 8 D- 8?
5- 88 E- 8@
C-
o
14.
Si 2b3+ 23 HC"l es el 7al$r de */,I A- 5- 8 C- G D- 9 E- o
15.
Jallar *m, si 4m35 +7 A- 9 5- 8 D- ? E-
16.
17.
5- 8> E- 99
C- a = ># / =>
o 5- +3 +
o D- +3 &
o E- +3 2
o
19.
o
o
o
C- +3 5
o
Si: +3 A +3 & +3 5 +3 . Jallar el 7al$r de A.
A- @ D- ?
5- E- >
C-
Jallar el resid"$ de di7idir +3+32' entre .
20. A- @ D- 8
5- ? E-
C- 9
o
21.
Si 2b3+ 23 . HC"l es el 7al$r de */,I A- 5- 8 C- G D- 9 E-
22.
Determinar el rest$ !"e se $/tiene al di7idir el n+mer$ 5k 2 entre siend$ *;, "n n+mer$ enter$.
'5
A- 8 D- @
23.
5- 9 E-
24.
C- ?
o
Jallar *a, si 4a35 +7 . A- 9 5- 8 D- ? E-
C- @
Jallar el men$r 7al$r !"e p"ede ad$ptar 'aM5- si:
ab 2ab 3ab 4ab 20ab &+ A- 9 D-
5- ? E- >
5- 8 E-
C- ?
HC"nt$s de l$s n+mer$s de 8 a 9@ s$n m+ltipl$s de ? $ m+ltipl$s de per$ n$ m+ltipl$s de @I A- > 5- @ C- G9 D- 8@@ E- 89
32.
HC"nt$s de l$s n+mer$s de ? ci)ras s$n m+ltipl$s de G per$ n$ de I A- 89 5- 9> C- 89 D- 8? E- 8>
33.
Un n+mer$ di7idid$ p$r # da p$r resid"$ @ di7idid$ p$r # da p$r resid"$ ?. HP"é resid"$ dar si se le di7ide p$r @I A- 89 5- 8? C- 98 D- 8 E- N.A.
34.
HEntre !"é n+mer$ es siempre di7isi/le el n+mer$: a 2b ba
I A- 89 D- 89
35.
5- 89> E- 89
C- 89G
Sa/iend$ !"e: a
o
b
o
*
o
ab* & 4
ab* & 5 ab* & + HC"l es el resid"$ de di7idir ab*ab* entre I A- 5- 8 C- 9 D- 89 E- 8?
36.
2 2 Si A es "n n+mer$# ent$nces A A +
di7isi/le entre: A- 8 D- 89
5- E-
siempre es
C- 9@
C- @
25.
En "na )iesta d$nde asistier$n 8 pers$nas entre ni$s# damas 2 7ar$nes# se $/ser71 !"e la cantidad de ni$s era la Gma parte de las damas 2 l$s 7ar$nes !"e n$ /aila/an era la 7a parte de las damas HC"ntas damas n$ /aila/anI A- ?@ 5- > C- 99 D- 89 E- 9
26.
HC"nt$s n+mer$s de ? ci)ras s$n m+ltipl$s de 89I A- G@ 5- G C- G> D- GG E- G
27.
A- 9 D- @
31.
o 18. En "na di7isi1n el di7is$r es "n +3 7 # el c$ciente es "n o +3 4 . HC1m$ tendr !"e ser el di7idend$ si el resid"$ es "n o +3+2 I o
Al di7idir el n+mer$ ab20a&b entre el rest$ )"e 8.
Calc"lar a b .
5- a = # / = E- N.A.
A- +3
Si: ababa es di7isi/le p$r @. Jallar a b . A- 8 5- ? C- 9G D- 89 E- N.A.
30.
C- 8G
Jallar l$s 7al$res de a 2 / para !"e ababa sea di7isi/le p$r
@. A- a=# / = > D- a = ># / =
C- 9G
29.
C- @
Si ab* se m"ltiplica p$r 88 se $/tiene &n8n . Jallar a M / M
c. A- 8 D- 9
o
Si: 24?37b 72 # (allar / A- 98 5- ? D- ? E- N.A.
28.
Determinar HC"nt$s n+mer$s de ? ci)ras s$n di7isi/les p$r 9 2 ? a la 7e3# per$ n$ p$r I A- 88 5- 88 C- 89 D- 89@ E- 8
37.
C"l es el resid"$ de di7idir
+ 2n 22n
entre G
sa/iend$ !"e: o
n 3 n �
A- D- ?
38.
5- 8 E- @
C- 9
Si a 2 / s$n ci)ras si%ni)icati7as# c"nt$s n+mer$s de la )$rma
aabb s$n m+ltipl$s de . A- @ D-
39.
5- 9 E-
C- >
ara !"e el n+mer$ ab*d de /ase G sea di7isi/le entre # se c"mplir:
o
o
A- a M / M c M d = 5
5- *d 5
C- d M 9c / 9a =
o
5 o
o
D- 9'/MD- 'aMC- = 5
Sa/iend$ !"e el n+mer$ de la )$rma abb3+b es m+ltipl$ de ># (allar *a, A- 5- > C- @ D- E- 8
a
o
b
o
7 5- ? E- 9
C-
C- ?
La e
43.
El n+mer$ de la )$rma abaa2 es m+ltipl$ de G9. Dar la s"ma
de t$d$s l$s 7al$res !"e p"ede t$mar ab . A- 8@ 5- > D- 8>9 E- 888
45.
El n+mer$ de la )$rma ab7ab es di7isi/le entre G9. Jallar el
46.
siempre di7isi/le p$r: A- 9@ D- 8>
47.
5- E-
48.
2
n 2 +
es
a
o
o
HC"l ser el rest$ de di7idir: ab* A- 8 5- @ D- E- N.A
o
Jallar el resid"$ de di7idir abab entre . A- @ 5- D- G E-
C- > o
59.
HC"nt$s n+mer$s de ? ci)ras s$n +& 2 terminan en ci)ra I A- 8? 5- C- 9@ D- @9 E- 8G o
Sa/iend$ !"e: ab*d +3 adems: *d 5ab 3 . Jallar: *a M / M c M d, A- G 5- C- 89 D- 8 E- o
A- 8 D- 889
o
5- 8?> E- 8@9
C- 8?@
Jallar el men$r 7al$r de ab si:
C- >
*
o
ab* & 4 ab*
ab 2ab 3ab 20ab &+ A- 885- 8? D- 9>
!"e: b
o
Sa/iend$ !"e: aba & 8 2 ab b & 7
o
5- @ E- N.A. ab* & 7
El n"meral ab(2a)(2b) es siempre di7isi/le p$r: A- 8? 5- 8G C- 8 D- 9? E- 9
62.
C- 89
Sa/iend$
ab* & 7
C- @
Sa/iend$ !"e: 3A 7 5A 8 . HC"l es el men$r 7al$r de *A, si es de ? ci)rasI
Se sa/e !"e 4a83b8 es di7isi/le entre . (allar el rest$ de
di7idir ab entre G. A- 9 D- ?
5- ? E- >
61.
C- 9
Si *n, es "n n+mer$ nat"ral# ent$nces n
o
Jallar *<, si se c"mple: 5+3+3-5 (8) 8 (8)
60.
C- 8@
rest$ de di7idir dic($ abab entre 8?. A- G 5- > D- E- N.A.
C- @
57.
58.
HC"nt$s 7al$res p"ede t$mar ab I A- 8 5- 9 D- @ E-
5- ? E- >
A- 9 D-
El n+mer$ de la )$rma 2a5+b5 es di7isi/le entre ??
44.
Jallar el resid"$ de di7idir *E, entre G.
56.
o
el 7al$r de < ser: A- 8 D- @
42.
o
HC"nt$s n+mer$s del 8 al 9@ s$n 2 1 3 per$ n$ de 5 I. A- 89@ 5- 89 C- 89> D- 8@ E- 8>
A- 9 D-
ab 7 5 ab
o
o
54.
23k 4 2'k 3 2 3 (@ N)
ab 7 2
ab
o
HC"nt$s n+mer$s del 8 al 89 s$n 2 2 3 per$ n$ 5 I. A- > 5- C- 89 D- 8@ E- 8>
55.
Sa/iend$ !"e:
o
o
53.
E- a M/cMd = 5
40.
41.
9? perdier$n "n /ra3$ 2 perdier$n las 9 piernas. HC"nt$s m"rier$nI A- 89 5- 9@ C- ?> D- 88 E- 8?9
entre I C- G
49.
HC"l es el rest$ de di7idir: +2ab75 entre 9I A- 8> 5- 89 C- D- @ E- N.A. Si *n, es "n enter$ c"al!"iera. 2 2n +5n + siempre es di7isi/le p$r: A- G 5- C- 88 D- 8? E- 8
C- 9? E- ??
63.
HC"nt$s 7al$res p"ede t$mar *a, para !"e E sea "n m+ltipl$ de *a,I
, +a 2a 3a &a A- @ D-
5- E- 89
C- >
64.
Un n+mer$ al ser di7idid$ entre > 2 G de0a c$m$ resid"$ 2 ? respecti7amente. HC"l ser el resid"$ c"and$ se di7ide entre @9I. A- 8? 5- 8 C- 8G D- 8 E- 9?
50.
51. A- > D- >
52.
HC"nt$s n+mer$s de la )$rma a0&b s$n m+ltipl$s de 8I 5- C- G E-
En "n campe$nat$ (a2 ? pers$nas# $c"rre "n ata!"e s$rpresa 2 de l$s s$/re7i7ientes se sa/e !"e 8?G !"edar$n cie%$s
65.
Un past$r c"enta s"s $7e0as de G en G de @ en @ 2 de > en > 2 siempre le s$/ran > ? 2 $7e0as respecti7amente HC"ntas $7e0as tiene el past$r si es la m&nima p$si/leI A- 8>> 5- 9@ C- ? D- 8@? E- 89
66.
Jallar el ma2$r n+mer$ de @ ci)ras !"e al ser di7idid$ entre 8 @9 2 > de0a en cada cas$ el mG 5- G> C- G
D- G9
E- >
80.
67.
Jallar el men$r n+mer$ de ? ci)ras m+ltipl$ de > tal !"e si se le a%re%a "n$ se c$n7ierte en m+ltipl$ de G 2 se le a%re%a "na "nidad ms se c$n7ierte en m+ltipl$ de . A- 8@ 5- 8> C- 98> D- 8G@ E- ?@9
68.
HC"nt$s n+mer$s de ? ci)ras e respecti7amenteI. A- 5- G C- D- G E- >
69.
El n"meral: ab*d (8) es "n m+ltipl$ de G c"and$: o
o
A- d 3* 2b a 7 o
D- a b * d 7
o
E- 2b * d a 7
70.
71.
5- G E- ? el
resid"$
C-
de
di7idir
*E,
entre
.
Jallar el men$r 7al$r de *<, si se c"mple: -A 7 4 2 o
(- +)A 7 3
73.
5- ? E- >
C- @
En este sistema de /ase G la ci)ra de las "nidades del n+mer$
(+45&)25 es: A- 8 D- @
5- 9 E-
C- ?
74.
HC"nt$s n+mer$s de la )$rma: ab*' s$n m+ltipl$s de I. A- 88? 5- 88G C- 88 D- 89 E- 8?9 o
75.
HC"nt$s términ$s de la serie s$n 45 I 8.99 8.9? 8.9@ ..... 8.> A- 88@ 5- 88 C- 88> D- 89G E- 89
76.
o
HC"nt$s +3 +0 (a2 en la serieI
@8G A- @ D- @?
5- @8 E- ?
9 ?G @ ? .........
5- 8 E- 9
C- 9 o
Sa/iend$ !"e: b2b(b +)(3 b)b 2 . HC"nt$s 7al$res
p"ede t$mar */,I A- 9 D-
5- ? E- >
C- @ o
Si se c"mple: (a 3)aa 2 4 . HC"nt$s 7al$res p"ede 5- @ E- G
C- o
o
Sa/iend$ !"e: 8abb7 ++. Jallar el 7al$r de *a,. A- 9 5- ? C- @ D- E- G o
Si se c"mple: (m 2)m(m +)(m 3) 7 ' . Jallar el
7al$r de *m,. A- @ D- ?
C- @9
HC"l es el men$r n+mer$ de términ$s de la si%"iente serie c"2a s"ma es m+ltipl$ de 9I G 88 8 8 ...... A- 5- 8 C- 88 D- 89 E- 9
Entre 9 2 >. HC"nt$s n+mer$s terminan en 2 s$n m+ltipl$s de 89I A- >G 5- > C- G D- G? E- 9 HC"nt$s términ$s de la si%"iente serie n$ s$n m+ltipl$s de 79. @I >'8 M 8- >'8 M 9- >'8 M ?- ............ >'8 M 8 A- 9 5- > C- D- @ E- >
5- > E-
C- G
87.
o
88.
o
89.
o
Sa/iend$ !"e: a432+a +3 . Jallar el 7al$r de *a, A- ? 5- @ C- D- > E- G Si se c"mple: mnn58n 72 . Jallar: *9m M ?n,. A- 89 5- 8> C- 8G D- 8 E- 9 Sa/iend$ !"e: ab'b5 ++25 . Jallar: *?a M 9/, A- 5- 8 C- 8 D- 8? E- 8 o
Dad$: a23aba 45 . Jallar: a 2 b 2 . A- G9 5- G@ C- G> D- G E-
90.
o
91.
Si se c"mple: aba2b && . Jallar: */ a,. A- @ 5- C- > D- G E- ? o
o
92.
77.
78.
82.
86.
o
A- 9 D-
I A- 8? D- 9G
85.
200+2 20032 2005 2 2+&& 2 A- 5- 8 C- 9 D- @ E- >
72.
o
HC"nt$s n+mer$s de @ ci)ras c"adrad$s per)ect$s s$n 5 4
Jallar la s"ma de l$s 7al$res !"e t$ma *<, si: +-- 4 3 A- 5- 9 C- 8 D- 89 E- 8
o
Jallar
81.
84.
Sa/iend$ !"e: m0(m +)(m +) +& . Jallar: *m,
A- D- >
o
t$mar *a,I A- ? D- >
o
C- d 3* 2b a 7
0
!"e n$ s$n '4 se c$n7ierten en 32 al restarle 9 "nidadesI. A- 9G 5- 9 C- 9 D- ? E- ?8
83.
5- a b * d 7
o
En l$s 8 primer$s n+mer$s enter$s p$siti7$s HC"nt$s 4
Sa/iend$ !"e: ab* 45 a* 8 . Jallar: *a M / c, A- 89 5- C- > D- G E-
93.
o
o
o
Jallar el 7al$r de *c, si: a0b 5 ; b0a & ; ab* ++
A- 8 D-
5- 9 E- G
C- ?
94.
Sa/iend$ !"e: +5 +30a'a43'800 . Jallar *a,. A- 5- > C- G D- E-
95.
Sa/iend$ !"e: ab*d (8) 55 (8) nmm3n . Calc"lar: *m.n,
A- > D- @9
96.
5- @ E- ?
C- @
Si se c"mple: ab* 5ab* Calc"lar: *a M / M c, A- 88 5- 8? C- 8 D- 8G E- 8
97.
Jallar el ma2$r n+mer$ de ? ci)ras !"e di7idid$ entre la s"ma de s"s ci)ras de 9 de c$ciente 2 ? de resid"$. Dar la ci)ra de las centenas. A- 5- > C- G D- E- o
98.
2a 22a 222a &
Sa/iend$ !"e: 1 4 4 2 4 4 3 &0 *i!as
Jallar el 7al$r de *a, m
99.
C- >
Si al n+mer$ de la )$rma ab*d0 se le tac(a la ci)ra cer$ de la
derec(a se $/tiene "n n+mer$ !"e restad$ del $ri%inal es 2-45- Jallar: *a M / M c M d M < ,. A- 9 5- 9> C- 9 D- ? E- ?>
