GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec determinar si es divisible o no respecto a cierto módulo. En caso de no serlo nos dará a conocer el residuo.
DIVISIBILIDAD DE UN NÚMERO 3.1 DIVISIBILIDAD POR 2 1. DEFINICIÓN:
Cuando termina en cero o cifra.
Un número A es divisible entre otro B, cuando la división de A entre B es entera y exacta. A B
donde : K Z
0 K
A = BK
A “es divisible divisible por” por” B B “es divisible de“ A B “divide a“ A
3.2 DIVISIBILIDAD POR 3 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. N=
abc 3 a + b + c = 3
3.3 DIVISIBILIDAD POR 4
N=
abcd 4 cd oo 4
3.4 DIVISIBILIDAD POR 5 Cuando la última cifra es cero o cinco.
También :
N= A “es múltiplo de” B B “es factor de” A Notación : A =
abc 2 c = cero o par.
Cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
Se lee :
N=
B
3.5 DIVISIBILIDAD POR 6 Cuando es divisible por 2 y también por 3. N=
2. OBSERVACIONES :
abcd 5 d = 0 v 5
abcd 6 2 3
3.6 DIVISIBILIDAD POR 7
a) El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo.
a b c d e f g h 7
b) El cero no es divisor a la unidad de ningún número.
3 1-2 -3-1 2 3 1
c) Todo número es divisor de la unidad. d) Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes en el conjunto de los números enteros.
h + 3g + 2f – 2f – e e – – 3d 3d – – 2c 2c + b + 3a =
7
3.7 DIVISIBILIDAD POR 8 Cuando sus tres últimas cifras cero o múltiplo de 8. N=
abcd 8 bcd 000 8
e) Un número negativo puede ser múltiple de otro positivo.
3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son condiciones que consiste en analizar las cifras de un número, para
3.8 DIVISIBILIDAD POR 9 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec N=
abcd 9 a + b +
c=
9
Ejemplos: o
o
1. – A = 13 6 13 7 o
3.9 DIVISIBILIDAD POR 11
o
Cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par; es 0 o múltiplo de 11. N=
o
2. – B = 7 2 7 5 o
3.- C = 9 – 3 = 9 + 6
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Las operaciones aritméticas respeto a un mismo módulo
a b c d e f 11
A. Adición
- + - + - +
25 15 35 75
o 5
o 5
o 5
o 5
Si “A” no es divisible entre “B”
En general:
Ejemplo: ¿30 será divisible entre 7? Rpta: No, porque al dividir 30 entre 7 la división es inexacta, esto es:
o
o
o
o
+ n + n =
n+ n
o
n
B. Sustracción 76 36 40
– Por defecto
30
7
r= 2
4
30
7
re = 5
5
o 4
o 4
o 4
o
o
– Por exceso
En general: m – m
30 = 7(4) + 2
C. Multiplicación
30 = 7(5) - 5
7
o
=m
25 x 7 = 175
7
Es decir:
o
o
5 x 7 =
5
30 = 7+ 2 = 7 - 5 r
(+)
er
En general: o
d=7
n (k)
En general: Si: “A” no es divisible entre “B”:
Defecto
o
=
n
D. Potenciación 6
Exceso
2
= 36
o
3 2 51
8
51
8
3
6
3
6
o
o
+
mr m
A = B(K+1) – r e
; r Z
Nota:
o
A = B + r = B – r e
Nota:
o
3
En general: o
A = B(K) + r
; k Z
r + r e = B
2
1.-
o o o o o 7 2 7 3 7 3 7 2 7 6
o 7
o 7
o 7
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec o o o 7 2 7 3 7 6 x
2. Sea : A = {3436; ab48; 3128; 32a50 } Cuantos múltiplos de 4 existen.
o o o 9 4 9 2 9 8
Solución:
En general:
3436 =
4
ab48 = 4
o o o o n a n bn c n a xb x c
2.-
4253
( 8)
4
3128 = 4
porque 28 =
4
32a50
4 porque
4 x83 2x82 5x8 3
o 8
o 8
o 8
o 4253(8) = 8 + o
porque 48 =
50
4
Existen 3 números
3. De los 100 primeros números naturales cuantos múltiplos de 7 existen.
3
3152(6) = 6 + 2
En general:
Solución:
o
abcdef (n) n f
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;.. ; 100
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON k es par
(n a ) k =
n+
7
: 7; 14; 21; 28; 35;. . . 98
7k : 1; 2; 3; 4; 5 , . . . 14
k
a
k es impar (n a )k = n a k
PROBLEMAS RESUELTOS
Existen 14 números
4. Si : 1a2a3a4a =
11
; halla “a”
Solución: Se sabe que:
1. En la siguiente sucesión cuantos números múltiplos de 5 existen.
4a – (4 + 3 + 2 + 1) =
4a – 10 =
2; 5; 7; 10; 12; 15; 25; . . . 50 Solución: 5; 10; 15; 20; 25; . . . 50 Factorizando 5 5(1; 2; 3; 4; 5; . . ; 10) Existen 10 números.
4a = a=
11 +
11
11
11
10
+8
a=8
5. Cuántos números múltiplo de 4 existen en los 200 primeros números naturales. Solución: 1; 2; 3; 4; 5; 6;. . . . 198; 199; 200
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec
4:
4; 8; 12; 16; 20; . . . 200
4k = 1; 2; 3; 4; 5; . . . 50
a) 5 d) 3
a) 1 d) 4.
6. Del siguiente conjunto : A = ab0; abc ; ab5; a25; a48 Cuántos múltiplos de 5 existen. Solución:
c) 1
5.- Hallar a sabiendo que 4aa5a2 es divisible entre 7
Existen 50 números.
ab0 5
b) 9 e) 7.
Porque termina en 0.
abc 5
ab5 5 Porque termina en 5
a25 5 Porque termina en 5
b) 6 e) 5
c) 8
NIVEL INTERMEDIO: 6.- A una función de cine asisten “N” personas. Entre dichos asistentes se observó que los 2/7 de “N” vieron la película íntegramente; los 4/5 de “N” lloraron con el final del drama y los 2/3 de “N” comieron golosinas mientras observaban la película. Hallar “N”, si el cine tiene una capacidad máxima de 200 personas.
a48 5
a) 140 d) 105
Existen 3 números.
NIVEL BÁSICO: 1.- Hallar “a” sabiendo que divisible entre 8 a) 2 d) 8
b) 4 e) 0
42553a es
c) 6.
2.- Hallar a si 274aa2 es divisible entre 8 a) Sólo 1 b) Sólo 3 c) Sólo 1 y 5 d) 1, 5 ó 9. e) 1, 3, 5, 7, ó 9 3.- Hallar a sabiendo que 2aaa6 es divisible entre 11 a) 3 d) 4
b) 8. e) 9
c) 6
4.- Hallar a sabiendo que 4a2a7 es divisible entre 9
b) 165 e) 175
c) 195
7.- En una reunión familiar cuando todas las damas bailan, un varón deja de hacerlo. Si se forman rondas de a 5 sobran 4 y si lo hacen de a 7 sobran 6. ¿Cuántos asistieron a dicha reunión, sabiendo que hay entre 120 y 190 personas?. Indicar el número de varones a) 40 d) 70
b) 71 e) 69
c) 139
8.- De los 400 alumnos de una escuela se supo que al finalizar el año, los 2/5 de las mujeres aprobaron todos los cursos, los 3/7 de ellas desaprobaron al menos un curso y los 5/8 de las mismas seguirán estudiando en la escuela. ¿Cuántas mujeres ya no seguirán estudiando en la escuela? a) 120
b) 175
c) 112
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec d) 102
e) 105
9.- En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas y la cantidad de niños era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas están casadas, se desea saber cuántas damas no bailaban en dicho momento. a) 55 d) 75
b) 65 e) 85
c) 45
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7.
13.- ¿Cuántos números impares de 3 cifras son divisibles por 13? a) 68 d) 34.
b) 35 e) 32
c) 33
14.-A un congreso de informática asistieron personalidades europeas y americanas; entre los europeos los
10.- La cantidad de postulantes a cierta universidad es un número entre 1 100 y 1 200. Se sabe que los 3/8 de ellos usan anteojos; que los 5/6 estudiaron en colegios particulares y que los 2/7 son mujeres. Hallar el número de postulantes a dicha universidad que no usan anteojos. a) 840 d) 588
12.- En la serie: 18, 36, 54,........ . ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 14?
b) 441 e) 800
son médicos, los los
8
5 14
son abogados.
15
¿Cuántos americanos se presentaron si en total asistieron 348 personalidades? a) 128 d) 148
b) 118 e) 108
c) 138.
c) 735 15.-En una reunión de 540 personas, de
NIVEL AVANZADO: 11.- En una fiesta donde habían 120 personas entre damas, caballeros y niños. El número de caballeros que no bailaban en un momento era, igual a la tercera parte del número de damas, el número de niños era la quinta parte del número de damas y la cuarta parte del número de damas fue con vestido blanco. ¿Cuántas damas no bailaban en ese momento? b) 32. e) 45
7
son ingenieros y
5
las mujeres se sabe que
a) 48 d) 28
2
c) 60
minifalda;
4 9
son coquetas y
8 2 5
usan
fuman.
El número de varones es: a) 180. d) 360
b) 140 e) N.A.
c) 160
TAREA DOMICILIARIA: 1.- ¿Cuántos valores puede tomar “a” 353
66 a
A) 1 D) 5
º
7 2
B) 4 E) 6
C) 2.
2.- Hallar ab sabiendo que el número de la forma 2a3b26a es divisible entre 72
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec a) 64 d) 46.
b) 24 e) 36
c) 26
3.- Hallar ab si se cumple que divisible entre 56. a) 34 d) 26
b) 94 e) 66
8baa2a
es
c) 44.
4.- ¿Cuál es el residuo de dividir entre 13 un número formado por 70 cifras “2” seguidas de 90 cifras “6”? a) 1 d) 5
b) 3 e) 9
c) 12
5.- Hallar el residuo que se obtiene al dividir el número “N” entre 7, si: a) 1 d) 5
b) 2 e) 6
c) 3
GRUPO EDUCATIVO Ai Apaec
PREGUNTAS PARA SEMANAL 1.- ¿Cuántos números de la forma existen que sean 6 4 ? a) 15 b) 17 c) 13 d) 18 e) 16
2ab
º
2.- Halla (a+b) mínimo:
2317b4 9
a3542 3
a) 1 d) 6
b) 2 e) 12
c) 3
3.- Halla (amínimo + bmáximo)
3a251 9
a) 10 d) 13
3259b 4
b) 11 e) 14
c) 12
4.- Un comerciante cuenta las botellas que tiene de 12 en 12; de 10 en 10; y de 15 en 15, sobrando siempre 7 botellas. Calcular la cantidad de botellas, si es mayor que 400 y menor que 440. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 d) 15
b) 13 e)16
c) 14
5.- El número de vacantes de cierta universidad está comprendida entre 3500 y 3700. Hallar el número sabiendo que si se cuenta de 8 en 8, de 6 en 6 de 5 en 5, siempre sobran 2. a) 3609 d) 360
b) 3501 e) 3700
c) 3602