o.
I
PRÓLOGO
En esta nueva edición (la número XXVIII) se han actualizado, reordenado y ampliado todos los temas, conteniendo nuevos tipos de problemas y empleando diferentes normas metodológicas en sus soluciones (muchos de los~problemas que contiene este libro se han resuelto de dos o tres maneras diferentes), siempre con el fin de clarificar al alumno de Física los conceptos adquiridos en sus estudios teóricos. Este libro pretende ser una ayuda en el aprendizaje de la resolución de problemas para los alumnos que estudien algún aspecto de la Física en sus primeros cursos universitarios. Contiene la obra más de 2100 problemas totalmente resueltos y explicados, ordenados de acuerdo con lo indicado en los distintos apartados del libro FísicaGeneral, de los mismos autores, y también publicado por Editorial Tébar. Encabeza la obra don Santiago Burbano de Ercilla, fallecido en 1967, puesto que fue su iniciador y no vemos que se pueda hacer mejor homenaje a un hombre que además de ser padre y maestro de uno de los autores, dedicó toda su vida a la enseñanza de la Física, dejándonos una profunda huella a todos los que le conocimos, no sólo por su gran humanidad, sino también por la manera tan particular que tenía de exponer de forma tan sencilla esta nada fácil disciplina, tanto como profesor que fue de la Facultad de Ciencias de Zaragoza, como en su tarea en la Enseñanza Media. También queremos recordar a don Gabriel Díaz de Villegas Blasco, ya fallecido, que en su día fue colaborador de don Santiago Burbano de Ercilla. Rogamos a quienes trabajen con este libro, profesores o alumnos, nos indiquen los errores que encuentren, así como las faltas de claridad. Ello irá en beneficio de futuros estudiosos. Muchas gracias. Enrique Bmbano García Carlos Gracia Muñoz
I
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CONTENIDO
Capítulo 1. UNIDADES fíSICAS. ANÁLISIS DIMENSIONAL.ERRORES EN LAS MEDIDAS A) Unidadesy sistemas B) Análisisdimensional C) Cálculode errores D) Medidade longitudes,ángulosy masas. Densidad
Capítulo IX. CINEMÁTICAY ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍ11 11 14 19 23
Capítulo 11. CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA 27 , 27 A) Álgebravectorial B) Teoríade momentos 38 C) Cálculoinfinitesimalvectoria! 45 D) Coordenadaspolaresplanas : 49
MECÁNICA Capítulo 111. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO.. A) Magnitudes fundamentales B) Movimientos rectilíneos. Magnitudes angulares C) Movimientos rectilíneos y uniformes D) Oscilaciones
51 51 56 63 72
Capítulo IV. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO CURVILÍ. NEO DE LA PARTÍCULA 89 A) Movimientos curvilfneos de la partícula 89 B) Estudio de diversos movimientos curvilíneos singulares de la partícula 105 C) Movimientos relativos 118
GIDO A) B) C) D)
;
,
Cinemáticadel sólido rígido Momentos Estáticadel sólido rígido Resistenciaa la rodadura
273 273 279 281 297
Capítulo X. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO A) Momentos de inercia B) Dinámica del sólido girando alrededor de un eje C) Dinámica de rotación y traslación del sólido rígido D) Trabajo y energía de un sólido en rotación E) Oscilaciones. Péndulo físico
299 299 305 317 326 342
Capítulo XI. EL CAMPO GRAVITATORIO
347
Capítulo XII. ESTUDIO BÁSICO DE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA. MECÁNICA DE fLUIDOS A) Estudiobásico de la estructurade la materia B) Hidrostática C) Aerostática D) Dinámicade fluidosen régimen de Bemouilli E) Huidos reales.Viscosidad
371 371 372 391 397 403
Capítulo XIII. ELASTICIDAD. fENÓNEMOS MOLECULARES EN LOS LÍQUIDOS 407 A) Elasticidad 407 B) Fenómenos molecularesen los Uquidos 412
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA Capítulo V. fUERZA y MASA. LAS TRES LEYES DE NEWTON.ESTÁTICA.MAGNITUDES ANGULARES 127 A) Composiciónde fuerzas.Estáticade la partícula 127 B) Momentolineal.Segunda y tercera ley de Newton 139 C) Magnitudesdinámicasangulares 156 Capítulo VI. PESO. ROZAMIENTO. OSCILACIONES A) Peso. Centro de gravedad B) Rozamiento estático y dinámico C) Dinámica de las oscilaciones Capítulo VII. TRABAJO Y ENERGÍA DE LA PARTÍCULA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA A) Trabajo y potencia B) Teoría de campos C) Energías cinética y potencial gravitatoria. Principio de conservación de la energía O) Energía en los osciladores. Resonancia
167 167-' 172 193
207 207 212 217 236
DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS Capítulo VIII. DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS A) Las leyesde Newtonen los sistemas de partículas B) Magnitudesdinámicasangularesde los sistemasde partículas .. C) Energíaen los sistemasde partículas O) Choques
245 245
256 260 263
Capítulo XIV. TEMPERATURA CINÉTICO MOLECULAR A) Termometría B) Dilatación de sólidos C) Dilatación de líquidos D) Dilatación de gases ideales E) Teoría cinético molecular
Y DILATACIÓN.
TEORÍA
Capítulo XV. EL CALOR Y SUS EFECTOS A) Calorimetría.Cambios de estado o de fase. Higrometría B) Ucuefacciónde gases. Ecuación de Vander Waals C) Transmisiónde calor D) Disoluciones:propiedades coligativas
421 421 422 424 425 433
435 435 442 444 446
Capítulo XVI. PRIMER Y SEGUNDO PRINCIPIOS DE LA TERMODINÁMICA 449 A) Principiode la equivalencia 449 B) Primer y segundo principiosde termodinámica 452 Capítulo XVII. MOVIMIENTOS ONDULATORIOS A) Ecuaciónde ondas B) Energíae intensidad de las ondas C) EfectoDoppler D) Superposiciónde ondas. Interferencias E) Difracción,reflexióny refracción F) Propagacióndel sonido. Cualidades. Música G) Instrumentosmusicales
469 469 479 481 484 491 494 496
H) Percepción del sonido
498
,-
r:.. ELECTRO MAGNETISMO Capitulo XVIII. ELECTROSTÁTICA A) Principios fundamentales de la electrostática B) El campo eléctrico C) Energía potencial electrostática D) La función potencial E) Energía asociada a un campo eléctrico
501 501 506 514 520 533
Capitulo XIX. EL CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA.. A) Conductorescargados en equilibrio B) Condensadores.Fuerzaentre conductores C) Dieléctricos.Polarización D) El vector desplazamiento
537 537 544 553 559
Capítulo XX. CORRIENTE ELÉCTRICA CONTINUA A) Corriente eléctrica.Resistencia.EfectoJoule B) Fuerza electromotriz.Circuitofundamental de corriente cóntinua C) Leyes de Kirchhoff D) Aparatosde medida de corrientecontinua E) CircuitosRC F) Corrientecontinua en líquidos.Electrólisis
567 567
B) C) D) E)
Prisma óptico Dioptrio plano Dioptrio esférico Espejos esféricos
680 681 683 686
Capítulo XXV. ÓPTICA GEOMÉTRICA 11 A) Sistemascentrados. Sistemascompuestos.Lentes B) El ojo humano. Instrumentosde óptica
693 693 710
.. .. .. "-
..
....
ts!!
579 587 594 597 598
Capítulo XXI. EL CAMPO MAGNÉTICO A) Fuerzade Lorentz:aplicaciones B) Ley de Bioty Savart C) Propiedadesgeneralesdel campo magnético.Ley de Ampere .. D) Campos magnéticosproducidos por corrientes no estacionarias .. E) Propiedades magnéticasde la materia
609 609 616 623
Capítulo XXII. CORRIENTES INDUCIDAS A) Leyes de Faraday-Lenz B) Autoinducción.Inducciónmutua C) Energíamagnética.Descargaoscilante D) Corrientesalternas E) Transformadores
633 633 638 644 647 664
627 628
Capítulo XXIII. ECUACIONES DE MAXWELL. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 667
ÓPTICA Capítulo XXIV. ÓPTICA GEOMÉTRICA I A) Reflexióny refracción
675 675
Capítulo XXVI. ÓPTICA FÍSICA A) Naturalezaondulante de la luz.Dispersión B) Radiacióntérmica C) Fotometría D) Interferencias E) Difracción F) Polarizaciónde la luz
719 . 719 723 724 728 735 740
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1: :..
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..
-RELATIVIDAD Capítulo XXVII. CINEMÁTICA Y DINÁMICA RELATIVIS. TAS 743 A) Cinemáticarelativista 743 B) Dinámicarelativista 753
.. ..
t!I ...
ti!
...
el!
EL ÁTOMO Capítulo XXVIII. CORTEZA ATÓMICA
763
Capítulo XXIX. ELECTRÓNICA A) Válvulaselectrónicas B) Semiconductores C) Amplificadores
777 777 782 784
Capítulo XXX. EL NÚCLEO ATÓMICO A) Caracterfsticasdel núcleo B) Radiactividadnatural C) Reaccionesnucleares.Fisióny fusión
787 787 791 803
Simbología
811
Alfabeto griego y constantes físicas
817
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CAPÍTULO ~
1
~
UNIDADES FISICAS. ANALISIS DIMENSIONAL. ERRORES EN LAS MEDIDAS A) UNIDADES Y SISTEMAS FORMULARIO
UNIDADES
Magnitud física
FUNDAMENTALES
DEL 51*
Unidad
Abreviatura
Longitud
Metro
m
Masa
Kilogramo
kg
Tiempo
Segundo
s
Corriente eléctrica
Amperio
A
Temperatura
Kelvin
K
Intensidad luminosa
Candela
cd
Cantidad de sustancia
Mol
mol
ÜTRos SISTEMAS DE UNIDADESNORMALMENTE UTIUZADOS
Sistema
UEE(cGS)
TÉCNIcO
ABsolUTO INGlÉS
.
Estesistema es el que fundamentalmente emplearemos en este libro.
Magnitudes Fundamentales
Unidades
Longitud (L)
Centímetro
Masa (M)
Gramo
Tiempo (T)
Segundo
Permitividad (E)
Ea
Longitud (L)
Metro
= 1/4:n:
Fuerza (F)
Kilopondio
Tiempo (T)
Segundo
Longitud (L)
Pie
Masa (M)
Ubra-masa
Tiempo (T)
Segundo
Intensidad (A)
Amperio
~
/
12
UNIDADES FíSICAS.
ANÁLISIS DIMENSIONAL.
PREFIJos,
ERRORES EN LAS MEDIDAS
SÍMBOLOS
Y VALORES RECOMENDADOS,
PARA LAS UNIDADES
SIMPLES
DEL SISTEMA
Factor por el cual ha de multiplicarse la unidad
Símbolo
Prefijo
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024 1 000 000 000 000 000 000 000 = 102J 1 000 000 000 000 000 000 = lOJ8 1 000 000 000 000 000 = lOJ5
Y
yotta zetta
Z
exa
E
= 10J2
peta tera
P T
=109
giga
G
mega kilo
M
100
= 106 = 103 = 102
hecto
h
10
= 10J
deca
da
0,1
= 10-J
deci centi
d
1 000000000000
1 000000000 1 000000 1 000
0,01 = 10-2
m n
pico femto
P f
atto
a
= 10-2J
zepto
z
= 10-24
yocto
y
0,000 001 = 10-6
= 10-J2
0,000 000 000 000 001 = 10-J5 0,000 000 000 000 000 001 = 1O-J8 0,000 000 000 000 000 000 001 0,000000000000000000000001
c
mili
0,000 000 001 = 10-9 000 000 001
k
micra nano
0,001 = 10-3
0,000
POR LA CGPM
INfERNACIONAL
UNIDADESDISTINTAS A LASDELSISTEMAINTERNACIONAL NORMALMENTE UTlUZADASEN LOS DISTINTOSMEDIOSDE TRABAJOY SU EQUNALENCIA EN EL SISTEMAINTERNACIONAL
MASA
loNGITUD
= 10-3 kg = 103 kg
1 gramo (g) 1 tonelada métrica (t) 1 libra-masa (lbm)
= 0,453 6 kg
151ug
= 14,59 kg
1 ton, long (2 240 lb)
= 1 016 kg
1 ton, 5hort (2 000 lb)
=907,2 kg
1 micra () 1 milimicra (m)
=10-6 = 10-9
m m
1 ang5trom (Á) 1 unidad X (uX)
= 10-JOm
1 fermi (fm) 1 año luz
= 10-J5 m
= 10-J3 m
1 unidad de masa atómica (u)
= 1,661 X 10-27 kg
1 parsec (pc)
= 9,65 X 10J5 m =3,07 X 10J6 m
1 unidad técnica de masa (utrn)
= 9,806 kg
1 milla* (mile)
=1609m
1 pie (ft)
= 0,304 8 m
1 pulgada (in)
= 2,54 x 10-2 m
1 yarda (yd)
= 0,914 4 m
TIEMPO 1 año (a) 1 día (d)
INTENSIDADDE CORRIENTEELÉCTRICA
=3,156
x 107 5
1 UEEI
= 3,336 X lO-JOA
=864005
1 hora (h)
=36005
1 minuto (min)
= 60 5
* Esta es la milla terrestre. La milla marina equivale a 1 852 m.
l A,
UNIDADES Y SISTEMAS
UNIDADES SUPLEMENTARIASY DERIVADAS
Unidad
Magnitud
Símbolo
Expresión en otras unidades SI
UNIDADES SUPLEMENTARIAS
radián estereorradián
Ángulo plano Ángulo sólido
rad sr
UNIDADES DERIVADAS
Superficie Volumen Frecuencia Densidad Velocidad Velocidadangular Aceleración Aceleraciónangular Fuerza Presión (tensión mecánica) VIScosidadcinemática VIScosidaddinámica Trabajo, energía, cantidad de calor Potencia Cantidad de electricidad Tensióneléctrica, diferencia de potencial, fuerza electromotriz Intensidad de campo eléctrico Resistenciaeléctrica Conductancia eléctrica Capacidad eléctrica Flujo de inducción magnética Inducción electromagnética Inducción magnética Intensidad de campo magnético Fuerza magnetomotriz Flujo luminoso Luminancia Iluminación Número de ondas Entropía Calor específico Conductividad térmica Intensidad energética Actividad (de una fuente radiactiva)
metro cuadrado metro cúbico hertz kilogramo por metro cúbico metro por segundo radián por segundo metro por segundo cuadrado radián por segundo cuadrado newton pascal metro cuadrado por segundo pascalporsegundo julio vatio culombio voltio voltio por metro ohmio siemens faradio weber henrio tesla amperio por metro amperio lumen candela por metro cuadrado lux una onda por metro julio por kelvin julio por kilogramo kelvin vatio por metro kelvin vatio por estereorradián una desintegración por segundo
Problema 1-1. Teniendo en cuenta la equivalenciaentre las unidades fundamentales, determinar losfactoresde conversiónde: 1. km/h a mile/h. 2. Ib/ff a g/cm3. 3. t. m/i a slug. yd/i. Solución 1) 1 km
h
=103
m
h
=
103
mile
1609 h
= O 6215 '
mile
h
2) 1 ~ = 0,4536 kg - 0,4536 x 103 -.JL = O016-.JL fe 0,304 83 m3 - 0,304 83 x 106 cm3 ' cm3 3) 1 t. m S2
=103
kg
.ID = 14,59
52
10
x 0,914 4
= slug . yd =74 956 4 S2
'
slug. yd S2
m2 m3
Hz kg/m3 mIs rad/s m/S2 rad/s2 N Pa m% Pa .S J W C V V/m
n S F Wb H T Alm A 1m cdlm2 Ix 1/m JIK J/(kg. K) W/(m.K) W/sr Bq
1/s
.
kg m/S2 N/m2
N . s/m2 N.m J/s A.s W/A V/A AN CN V.s Wb/A Wb/m2
cd .sr lm/m2
1/5
13
14
UNIDADES FíSICAS. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
ERRORES EN LAS MEDIDAS
Problema 1-2. Pasaral SIlas siguientesunidades: 1. 2. 3. 4.
1 yarda/s. 1 milla/h. 1 poundal (pdl)= 1lb . ftI~. 1 slug/tr. Solución 1) 1 yd =0,9144 m s s
~ 2) 1 mile = 1609 m =0,4469 m h 3600 s s
~ .
fu.ft ~.m 3) 1---rs = 0,453 6 x 0,304 8 ~ s = 0,138 2 N 4) 1 slug = 14,59 ft3 0,30483
Problema
.
.
kg = 515 241 ~
m3
'
,
m3
,
1-3. Pasar al sistema absoluto inglés las siguientes unidades:
. .
1. kg.m2. 2. utm/cm3. 3. kg.m2/h. 1) lkg.m2=
,
Solución
,
,,
1 Qlb.ft2=23,73Ib.ft2 0,4536 x 0,3048
.,
2) 1 utm = 9,806 x 106 x 0,304 83 lb = 61216 x 105 ~ cm3
0,4536
kg.m2 3) 1-= h
ft3'
ft3
1 Ib.ft2 2 0,4536 x 0,304 82 x 3 600 s = 6,592 X 10-6 lb. sft
Problema 1-4. Definirel ESTENO, unidad de fuerza en el sistema MTS(metro, tonelada masa, segundo). Calcular su equivalencia con la dina, el newton y el kilopon dio. Solución
F=Ma
Si en la ecuación fundamental de la dinámica:
M =1t
hacemos:
F = 1 esteno
A
«El este n o es la fuerza que aplicada a una tonelada masa, le comunica una aceleración de un metro por segundo cada segundo.» 1t = 106 g 1 m/s
2
= 100
cm/s
2
1 este no
= 108 dyn
1 este no
108 = --S 10 = 103 N
~ I
1 N = 105 dyn 1kp=9,8N
103 1esteno = _ = 102,04kp
9,8
de una magnitud
de equidimensionalidad
(homogeneidad)
~
~
de una magnitud tal que:
[5] = LOMb TC
Q
b1xl
= + b2x2 + b3x3 = b
CIXl
+ C2X2 + C3X3 = C
~
[5]
= pX¡ QX2 RX3
siendo:
= [R] = La3 [Q]
L02
.~
..
cuando viene expresada en función de otras tres P, Q y R por la fórmula: [P] = LOI
.. . ~ .
S en base L, M, T: [5] =Lo Mb TC
Condiciones
, . -
~
FORMULARIO dimensional
,,, ,, ,, ,,
-
B) ANÁLISIS DIMENSIONAL
Ecuación
.
Mb¡ TC'
QIXl + Q2X2 + Q3X3
Mb2
TC2
Mb3
TC3
~
.~~ .
ANÁLISIS DIMENSIONAL
15
Problema 1-5. 1. Conocida la ecuación de dimensiones de la velocidad [v] = LT-1 determinar las de la aceleración a y la fuerza F, sabiendo que [a]= [v]/[t] y que [F] = [M] [a], siendo t el tiempo y M la masa. 2. Determinar la ecuación de dimensiones de la constante de gravitación universal que interviene en la conocida ley de Newton: F = GMM'/r2 (My M' = masas; F = fuerza; r = distanciaentre los cuerpos). 3. Determinar la ecuación de dimensiones del número 3t. 4. Determinar la ecuación de dimensiones 5. Determinar la ecuación de dimensiones 6. Determinar la ecuación de dimensiones que: [a] = [W]/[A], (A:superficie). 7. Determinar la ecuación de dimensiones [r¡]
= [F] [r]/[A]
de un seno, un coseno y una tangente. de la energía (W) sabiendo que [W] = [F] [r]. de la constante de tensión superficial (a) sabiendo del coeficiente de viscosidad (r¡)sabiendo que
[u].
8. Determinar la ecuación de dimensiones del número de Reynolds (R), sabiendo que [u]= [R] [r¡]/[p][r] (p: densidad).
Solución Internacional:
[a]
= [v] - LT-1
[F] = [M] [a] = ML T-2
[tI ---y=Lr2
1) Sistema Técnico:
[a]= [v]- Lr1
Internacional:
[G]= [r2][F]
[F]=F
[t]---y=Lr2
y
- L2MLr2 -
[M][M']
MM
=L3M-1T-2
L2F
- L4r4F-1
2) Sistema Técnico:
[G]= [r2][F]
[M][M']
F2
--
(Lr2)2
--- -------', \\
3)
C :n:=D
I
4) senc=f
C: longitud de la circunferencia D: longitud del diámetro
[C) -
.!:.= 1
[:rr]=[D]- L
I
[sen a] = [y] - L
r x cosa=r
X
[r]-I=l
o
reosa]- [x] L
[tga] = [y]- L [x]-I= 1 [W]
5) Sistema
Técnico: Internacional:
I
= [F]
[r]
= ML T-2 L = MeT-2
[W] = [F] [r] = FL
[W] ML2T-2 Internacional: [a]=-=--MT-2 6) Sistema
7) Sistema
8) Sistema
I
[A]
e-
Técnico:
[W] FL [a]=-=-=FL-1
Internacional:
[11]=[F][r]= MLT-2L -
I
[A] e
[A][v]
eLr1
- ML-1-1 T
Técnico:
[11]=[F][r] =[A][v] eLT-1
Internacional:
[R]= [v][p][r] = LT-1ML-3L
I Técnico:
]j
M A
Problema 1-5.
-y,:]=I=l
tga =f x
B '\, , \\
[11]
-2 - FL T 1
ML-1T-1
[R]= [v][p][r] = Lr1FL-1T2L-3L [11] FL-2T
1
El número de Reynolds es adirnensional.
Problema 1-6. Determinar en el SI la ecuación de dimensiones de las siguientes magnitudes eléctricas (Base: L, M, T, A). 1. De la constante de Coulomb (K) que interviene en la ley del mismo nombre: F = Kqq'/r2, sabiendo que [q] = [1] [t]= AT. 2. De E sabiendo que K = 1I43tE. 3. Del potencial eléctrico (V): [V] = [W]/[q]. 4. De la resistencia eléctrica (R): [R] = [V]/[l].
X
r
16
UNIDADES FÍSICAS. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
ERRORES EN LAS MEDIDAS
Del campo eléctrico E): [E] = [F]/[q]. De la capacidad (C): [C] = [q]/[V]. Del desplazamiento eléctrico (D): [D] = [e] [E]. De la inducción magnética (B): [B] = [F]/[q] [v]. 9. De la permeabilidad magnética (,u): [B] = Lu] [l]![r].
5. 6. 7. 8. 10.
De la autoinducción
(L): [L]
= [B] [A]/[l]. Solución
3)
Problema 1-7. Teniendo en cuenta los factores de conversión entre las unidades de las magnitudes fundamentales .en los sistemas GIORGI,CGSy ABSOLlITO INGLÉS,determinar las equivalencias entre las unidades, en estos sistemas, de las magnitudes: 1. Fuerza ([F] = [M] [a]). 2. Potencial eléctrico ([V] = [W]/[q]). Solución
1)
[F] = MLT-2
=>
1 unidad
(GIORGl)de fuerza = 1 N = 1 kg' m' 5-2
1 unidad
(CGs) de fuerza
1 unidad (Al)de fuerza Irl
luego:
1 N = 1 kgs ~ m
= 103
= 1 dyn = 1 9 . cm . 5-2
= 1 pdl = lib. ft. 5-2 = 105
X 102 g'~
s
dyn
1 1 N = 1 kg.r-m = lb . ft s 0,4536 x 0,3048 y= 7,233 pdl 1 dyn = 10-5 N = 7,233 X10-5 pdl
1 1 pdl = 7,233 N = 0,13825 N = 13 825 dyn 1 unidad
(GIORGl) de potencial
1 unidad
(UEE)de potencial
1 unidad (Al)de potencial
= 1 V = 1 kg.
m2 . 5-3. A-1
= 1 g . cm2 . 5-3 . (UEEl¡-1 = lib. ft2 . 5-3. A-1
luego:
lb . ft2
1 UEEde Potencial
=300 V = 300 x 23,73~A.s
lb. ft2 = 7 119 ~A's
lb. ft2 1 ~A.s = 0,042 V = 1,4X10-4 = 13825 UEEde Potencial Problema 1-8. Sabemos que el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre (go) es 9,8 m/S2.¿Cuál es la aceleración de la gravedad expresada en el sistema absoluto inglés?
,"
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Solución
=> 1
1 1m/s2= 0,3048 ft/s2= 3,280 8 ft/s2
1 unidad
(SI) de aceleración
1 unidad
(Al) de aceleración
=> I
go
= 1 m/s2 = 1 ft/s2
= 9,8 m/s2 = 9,8 x 3,280 8 ft/s2 = 32,15 ft/s21
Problema 1-9. En las gasolineras inglesas los aparatos de medida de presión de neumáticos de coche se miden en pdVin2(poundaVpulgada2). Si queremos hinchar la rueda de nuestro coche, a la presión de 1,8 kp/cm2, ¿qué presión debe solicitarse en Inglaterra para obtener este resultado? Solución Sabemos que:
y como:
[P]= [F] [A]
y como:
1 N = 7,233 pdl
En el problema 7 veíamos que:
= 9,8 N
1,8 kp/cm2 = 1,8 x 9,8 x 1cf N/m2
tendremos que:
= 9,8 x la' N/m2
1 kp/cm2
1 kp
y que por la definición del kilopondio se obtiene:
p = 1,8 x 9,8 x 104 x 7,233 X 2,542 x 10-4 = 823 pdl/in2
la presión que debe solicitarse será:
Problema 1-10. Determinar la ecuación de dimensiones del momento de inercia y comprobar la homogeneidad de las siguientes fórmulas físicas N=Ia
Nt = Á(Iw)
[N= momento del par; 1= momento inercia; t = tiempo; /{J,w y a son respectivamente el ángulo de giro, la velocidad angular y la aceleración angular]. Solución Para la solución tenemos que determinar la ecuación de dimensiones de un ángulo, de una velocidad angular y de una aceleración angular. ['1']
= [arco]
[radio]
['1']-.!
=!:. = 1 L
- [al]= T-2 a - [t]
= T-1
aI=TtI-T
Ecuación de dimensiones de /: Ecuación de dimensiones
del momento
de un par:
=>
[N] = [/][a]
I
I [N][t]
luego:
=>
= [/][aI]
I
[N]
[/{J]
= [/]
=>
[W2]
I
Problema
1-11.
1. Demostrar
la homogeneidad
[N] = [F] Ir]
[la] Mt2y-2 [N] = ML2y-2
=
[lw] [Nt]= Mt2y-l Mt2y-1
=
=>
[N] = ML2T-2
Homogénea I
Homogénea I
==
[/W2] Mt2y-2 [Ntp] Mt2y-21 de las siguientes
Homogénea
fórmulas
físicas: Impulso
= va-
riaciónmomento lineal: Ft = Á (Mv) (F = fuerza; t = tiempo; M = masa; v = velocidad) Trabajo =variación energía cinética: Fs cos /{J= Á (Mv2/2) (s = espacio; /{J= ángulo formado por Fys). 2. Demostrar que el «trinomio de Bernouil1i» es homogéneo, es decir, que sus tres sumando tienen la misma ecuación dimensional; el trinomio es: 1 p + "2 pV2 + hpg
(p =presión = fuerza/superficie; p
=de
= densidad = masa/volumen; v =velocidad;
h = altura;
g= aceleraciónde la gravedad). Solución 1) Las fórmulas serán homogéneas si las ecuaciones de dimension.es de los dos miembros son idénticas. Ecuación de dimensiones del impulso: Ecuación de dimensiones, variación momento lineal:
[F] [tI = MLT-2T = MLT-1 [M] [v] = MLT-1
Homogénea I
17
,..
18
UNIDADESFfslCAS. ANÁUSIS DIMENSIONAL.ERRORES EN lAS MEDIDAS
Ecuación de dimensiones del trabajo: Ecuación de dimensiones, variación energía cinética:
[F] [5]
= MLT-ZL = MLZT-Z
[Mvz/2] = Mer2
I
Homogénea
Problema 1-12. Teniendo en cuenta el problema 6, demostrar la homogeneidad de las siguientes fórmulasfísicas: 1. W=VIt=V2t/R=I2Rt. 2. B = p.I/2¡r;r. 3. v = 1/..¡e¡;. Solución [V/t]= MeT.JK1AT= 1\
MeT-2
V2 t =M2L4T-6A-Z T=ML2T-2
[R
]
ML2T-3A-2
(12Rt]
=A2MeT-3
A-zT
=Mer2
1
3) [v]=L T-1
M-1I2
L -3/2T2
AM
1/2 L1I2T-1
A -1
Problema 1-13. Demostrarque la ecuación de ondas: a2tp -=vat2
2 a2tp
ax2
es homogénea para cualquiera que sea tp (longitud,presión, campo eléctrico,etc.) siendo vla velocidad de la onda. Solución Supongamos
que
[1/1]= P, entonces, tomando como base (L, T, P):
como queríamos demostrar.
Problema 1-14. Suponiendo que el período de oscilación de un péndulo simple (T = tiempo que tarda en dar una oscilación) depende exclusivamente de la longitud del hilo (1),de la masa (m) de la partícula que oscila y de la aceleración de la gravedad (g), y que en la fórmula del período no intervienen más que las magnitudes indicadas, en producto entre sí (elevadas a exponentes diversos) y ligadas por un coeficiente numérico, deducir las leyes a que obedece el período de oscilación de dicho péndulo. Solución T =K /xmVg'
La fórmuladel péndulo tendrá que ser de la frorma:
Siendo la ecuación de dimensionesde g (aceleración)L~, se debe verificarpara que la igualdadanterior sea homogénea:
y por tanto:
x+z=o
Luego la ecuación será:
y=o
- 2z=1 =>
1
z=-"2
1 x="2
y=o
=>
(el período es independiente de la masa; la hipótesis hecha en el enunciado, no es cierta.)
Problema 1-15. Sabiendo que la velocidad de salida de un líquido por un pequeño orificio practicado en la pared de una vasija es proporcional a la distancia vertical (h) del centro del orificio a la superficie libre del líquido ya la aceleración de la gravedad (g); dudamos si tal velocidad es proporcional también a la densidad del líquido. Deseamos resolver nuestra duda y hallar la forma de la función: v = f(h, g, p).
,. CÁLcuLO
DE ERRORES
19
Solución v =K hXif p'
Hagamos:
(K = constante de ecuación dimensionall); [g] =LT-2
[h]=L
[v]=Ly-l
entonces:
[P] =ML-.3
Igualemos las ecuaciones de dimensiones del primero y segundo miembro L T-1
= LX LV
T-2y MZ L -iJz = Lx+y-3z
MZ T-2y
los exponentes de las mismas magnitudes simples, habrán de ser iguales en el primero y segundo miembro, por lo que obtenemos el sistema de eucaciones:
z=O y = 112 x = 112
O=z
1= x + y - 3z
-l=-2y Valores que sustituidos en el de v, dan:
Hemos obtenido la forma de la función y deducido que la velocidad de salida de un lfquido por un orificio practicado en la pared de una vasija, es independiente de la densidad de tallfquido.
Problema 1-16. Sabemos que la energía disipada en forma de calor (Q) por el efecto Joule en una resistencia eléctrica depende de la intensidad de corriente que la atraviesa (1), de la resistencia (R) y del tiempo (t) que circula la corriente
por ella. Calcular la forma de la función:
Q
= f(1, R, t).
Solución Q =K
La función tendrá que ser de la forma:
siendo:
[Q]=M eT-2
¡x RY tZ
[1]=A
[tI= T
[R]= M L2T-.3A-2
tendrá que verificarse: y por tanto:
y=l
luego la ecuación
será:
z=l
z-3y=-2
A
x=2
x-2y=O
C) CÁLCULO DE ERRORES FORMULARIO Error absoluto:
«Es la diferencia entre la medida exacta de una magnitud (xo)y la medida obtenida experimentalmente (x)>>. E=!:;,x=Xo-x
Error relativo: «Es el cociente del error absoluto al valor exacto de la magitud». Media aritmética
de un conjunto
x= IXi n
de n datos:
-X=- In¡x¡
E = !:;,x Xo
n
n = I ni.
ni:frecuencia,veces que se repite un determinado dato,
Error en la media aritmética de un conjunto de n datos (fórmulade Gaus): E =:!:
Cálculo del error relativo en medidas didas de b y c por la fórmula:
II (x¡- X)2 V n (n- 1)
indirectas:
E=:!: II n¡ (x¡- X)2 V n (n- 1)
supongamos que la magnitud a queda determinada al conocer las me-
en la que k, n y m son constantes conocidas. Se trata de calcular el error relativo de a una vez calculados los de b y c. Tomando logaritrnos neperianos en la expresión anterior: In a = In k + n In b - m In c
da db -=n--ma d
dc c
sustituyendolas diferencialespor incrementos finitos,haciendo positivostodos los términos del segundo miembro:
r
r: 20
UNIDADES FÍSICAS. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
.. .. ..
ERRORES EN LAS MEDIDAS
¿la ¿lb s=-=n-+ma b
el .-
¿lc c
quedando, así, determinado el error máximo de a en función de los de b y c. Se ha dado signo + a todos los términos del segundo miembro puesto que la probabilidad de errores accidentales por exceso y defecto es la misma y de esta manera nos colocamos en las condiciones más desfavorables (sin compensación de errores) obteniendo el máximo error relativo. Acotación de errores: en una medida directa, el valor de la magnitud problema está comprendido entre los valores máximo y mínimo obtenidos al realizar varias determinaciones experimentales. Las cifras comunes de tales medidas extremas, pueden considerarse ciertas. En el caso de las medidas indirectas nos pondremos en las condiciones más desfavorables, para obtener los valores extremos; es decir si:
.. ., ., .. .. .. .. ..
el
.,.
.. calcularemos el valor máximo de la medida de a, empleando el valor máximo experiemental de b, y el mínimo de c; para obtener el mínimo valor de la medida de a, emplearemos el mínimo de b, y el máximo de c; a estará comprendida entre los dos valores obtenidos y las cifras comunes de ellos pueden considerarse como ciertas.
Problema 1-17. 1. En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 300 km, 300 m. ¿Qué error relativo es mayor? 2. ¿Qué preferiríasganar, dos euros por cada veinticincoeuros o eI8%? Solución 1) E
1
1/
= 0,001 =~1000 1
E_300_1 2
- 300 000
=> I
Los dos son iguales
.. .. .. ..
.,. ti
..
\11
=2 euros => I
La ganancia es la misma
..
I
111
Problema 1-18. Como medida de un radio de 7 dm hemos obtenido 70,7 cm. Calcular: 1. El error absoluto. 2. El error relativo. 3. El error absoluto y relativo en la medida de la longitudde la circunferenciade tal radio. 4. El error absoluto y relativo en la medida del área del círculo. 5. El error absoluto y relativo en la medida del volumen de una esfera de 7 dm de radio. Solución 1) t!.x= 70,7 -70 = 0,7 cm
t!.x=:n:(70,72 -702) = 98,49:n:cm2 4)
2) E= 0,7 =0,01=1% 70
3)
.,.
el I
I~
t!.x = 2:n:(70,7 -70)
.,
.. ..
1 000
8x25 2) 8% de 25 euros =100
.
E=98,49:n: =98,49 =00201=201% 702:n: 702' , 4 t!.x= -:n: (70,73-703) = 13 857,66:n:cm3 3
= 2:n:0,7 = 1,4:n: cm
E= 1,4:n:=~=001=1% 2:n:70 140 '
~:n: (70,73 -703)
0,03=3%
i:n:703 3
Problema 1-19. Hemos realizado diez veces la pesada de un cuerpo obteniendo los siguientes resultados expresados en gramos:
1~3n 1~3~ 1~3n 1~3n 1~3m 1~3M 1~3n 1~3n 1~3n 1~373 calcular el error de la medida aritmética.
el
I!!
..
.. .. .. .. .. ..
-..
el
5)
E=
.. .. .-
.. .... ..
...-
.. .. ..
..
CÁLCULO DE ERRORES
Solución
N.o
de la pesada
Xi en gramos
la
12,372
2.a
12,373 12,372 12,371 12,370 12,374 12,372
Xi
- X en mg
(Xi _X)2
°
°
+1
1
°
°
-1 -2 +2
1 4 4
12,372
°
°
12,371
-1
lO.a
12,373
+1
n (n-1) = 10 X9 = 90
X= 12,372 9
3.a
4.a 5.a 6.a 7.a
8.a 9.a
I
Llx=:J:~
°
°
1 1 L (X,- X)2= 12
=:J:0,36mg
I
Como 0,00036 es menor que la sensibilidad del aparato, el resultado de la pesada se debe expresar:
I
que corresponde
m
= 12,372 :1:0,001
9
I
a un error relativo:
E
0,001 x 100 = 8 x 10-3% 12,372
Problema 1-20. En la medida de una longitud hemos determinado los siguientes valores:
1,30 cm 1,32 cm 1,32 cm 1,31 cm
1,32 cm 1,31 cm
1,33 cm 1,31 cm
1,32 cm 1,31 cm
Hallar el error de la medida aritmética y los errores relativos de las medidas del área y volumen de un cuadrado y un cubo que tenga por arista tal longitud. Solución x en centésimas N.a de la medida X en décimas x, - de milímetro de milímetro la 2.a 3.a 4.a 5.a 6.a 7.a 8.a 9.a 10.a
132 131 130 132 132 131 133 131 132 131
n (n- 1)=90
X= 131,5
n
t.1=E=:!:,/'-J
+5 -5 -15 +5 +5 -5 +15 -5 +5 -5
(X,-X)2 25 25 225 25 25 25 225 25 25 25 n 2 L(XJ -X) =650 J
-2
~n[X, X] (n - 1)
=:J: -
~650 90
=:1:2,687centésimasde mm
Puesto que la sensibilidad del aparato de medida es 0,01 cm el error absoluto en la medida será este valor.
I
A=12
=>
InA=21nl
=>
dA = 2 di I A
=>
l\A = 2 = 2 0,01 = 15 x 10-2 A I 1,31 '
V=13
=>
InV=31nl
=>
dV = 3 di V d
=>
t.V = 3 t.l = t.A = 15 X10-2 = 2 25 X10-2 V 1 2 A 2' ,
=>
11,5% I
=>
12,25%
I
21
22
UNIDADES FÍSICAS. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
r:,
,f
ERRORES EN lAS MEDIDAS
..
Problema 1-21. Se han determinado el radio (2 cm) y la generatriz (5 cm) de un cilindro con un error absoluto de ::J::0,1 mm. Calcular cómo influyen tales errores en la medida del volumen.
ti
"
Solución In V =In:rc + 21n r+ln I
f f
dV = 2 dr + di V r I
Expresando las longitudes en mm, el error relativo es:
f! 11 ti
E= 6.V= 2xO,1 + 0,1 = 0,6 =12% V 205050'
e Problema 1-22. Midiendo una longitud con una cinta de agrimensor cometemos errores del 0,5%. ¿Cuál es el error absoluto y el relativo en la medida del área de un terreno rectangularde 100x50m? Solución
ti
"..
..
A=ab
.. .. .. ..
In A = In a + In b
dA da -=-+A a dA da -=-+A a
db b 6.b b
da = 0,5% a
dA -=-
1 100
5 000
6.b = 0,5% b
Problema 1-23. 1. Demostrar que los errores relativos de a = b/e y de a' = be, son iguales. 2. Demostrar que el error relativo en la medida del volumen de un eubo es tres veces mayorque en el de su arista. Solución 1) Ina=lnb-lne da db de ----a b e 6.a db de -=-+a b e
InV=31nl
.
e
~
@
" "
dV = 3 di V I
e f e
Solución 9
~ .,
=4:rc2J.-. T2
tomando logaritmos:
= In
4 + 21n 11'+ In 1-
( 21n T
dg
9
= di I
2 dT T
=>
6.g = di + 2 6.T 9 I T
Problema 1-25. La ecuación de estado de los gases perfectos es: pV = nRT; al aplicarlapara calcular la temperatura de un gas una vez medidos la presión, 1,22 atrn con un error de::J::1mm de Hg, y el volumen 1,921, con un error de ::J::1 cm3, nos dio 125°C. ¿Cuál es el error absoluto máximo que se puede esperar 'en esta última cantidad si se considera como exacto n (número de moles), siendo R la constante universal de los gases perfectos? Solución pV = nRT
ya que:
y como:
dp dV -+-=P V
In p +In V =In n+ln R +ln T
dn = O n
6.p = 1 mm de Hg = 0,1 atm 76
~ ~ fI
Problema 1-24. Determinar el error relativo en la medida de la aceleración de la gravedad, conocidos los errores relativos en las medidas de la longitud de un péndulo simple y de su período. Se suponen oscilacionessuficientementepequeñas para que cumpla la ley: T = 2:rc.,¡r¡g.
In 9
{I
.
In a' = In b + In e da' db de -=-+a' b e da' db 6.e
-=-+a' b
I!I ti fI
luego:
dT T
6.p 6.V 6.T -+-=P V T
dV = 1 cm3 = 10-3 1
T = 398 K
,e
,"
"
C e
C
e
C
,
~
~
,
,
e
C @ ~
MEDIDAS DE WNGmJDES,
0,1 10-3 tJ.T -+-=76 x 1,22 1,92 398
obtenemos:
I
ÁNGUWS y MASAS. DENSIDAD
T= 398 :t 0,64 K
AT =0,64 K I
Problema 1-26. Al determinar el valor de la expresión: x =7a2/b se han hallado para a y b los siguientes valores: valores de a:
2,200 O 2,199 O 2,201 O 2,1985
Acotar el valor de x.
valores de b:
4,100 O 4,099 O 4,1001 4,100 2
Solución .
22012
Valor máximo de x
=7
4,099 = 8,272 9
.
219852 Valor mfmmo de x = 7' 4,1002
18,272 9 ~ x ~8,25171
- 8,251
7
D) MEDIDAS DE LONGITUDES, ÁNGULOS Y MASAS. DENSIDAD FORMUlARIO Precisión del Nonius:
p=D-d=
D n
D: longitud de la división de la regla. d: longitud de la división del nonius. n: número de divisiones del nonius.
Nonius decimal.
Medida de la distancia AB con un nonius decimal.
1
Esferómetro:
r= .J3
R: radio de la esfera a medir. f: <
Densidad:
Esferómetro.
Problema 1-27. Calcular la precisiónde un nonius que tiene 20 divisionessi la regla está dividida en mm. Solución
I
p
=-;;20 D _1mm
=O,05mm
I
Problema 1-28. Se tiene una regla divididaen medios milímetrosy se desea colocarleun nonius para que se aprecien centésimas de milímetro.¿Cómo hay que construido? Solución
p=-Dn (p
=precisión;
D = longitud de una división de la regla; n = número de divisiones n - 1 divisiones de la regla).
del nonius
que tienen
la misma longitud que
n= 0,5 0,01= 50
=>
Se tomarán 49 divisiones de la regla y se dividirán en 50 partes iguales en el nonius
Problema 1-29. Un limbo circular está dividido en medios grados y se le aplica un nonius construido de forma que 29 divisiones del limbo se han dividido en 30 partes iguales en el nonius. ¿Cuál es su precisión?
23
r 24
UNIDADES FÍSICAS. ANÁLISIS DIMENSIONAL.
ERRORES EN LAS MEDIDAS
Solución D p=~
0,5 grados - 30 minutos = 1 minuto 30 30
Problema 1-30. El paso de rosca de un palmer es de medio milímetroy su cabeza tiene 50 divisiones. ¿Cuál es el espesor de un objeto si se han dado 6 vueltas y 23 divisiones? Problema
1-29.- Nonius circular.
Solución p=-
D n
(D: paso de rosca. n: número de divisiones del tambor)
luego el espesor (e) será:
le =6 x 0,5 + 23 x 0,01= 3,23mm
p=
0,5 mm = 0,01 mm
50
I
Problema 1-31. Las patas de un esferómetro forman un triángulo equilátero de lado 8,65 cm. Aplicando el aparato a una superficieesférica,la medida de su flecha es de 0,1 cm. Calcularen litros la capacidad de la esfera. Solución El radio de la circunferencia que pasa por los puntos en que se apoyan las patas del esfer6metro es:
r=~8,65 .,f§ - .,f§ = 5 cm El radio de la esfera viene dado por la fórmula:
El volumen de la esfera es: I
Problema
1-30.- Palmer.
V = ~ .nR3= 8181231 cm3 =8
181 l1
Problema 1-32. Supongamos que al aplicar un esferómetro a un casquete esférico, la medida de la flecha (f) es la tercera parte de la longitud del lado (1) del triángulo equilátero que forman los puntos de apoyo del esferómetro. Demostrar que el radio de la esfera es de doble longitud que la flecha. Solución
1 r =.,f§ 1 /="3 Problema 1-33. Un recipientetiene una masa de 38,52 9 cuando está vacío y de 137,26 9 cuando se llena de agua de 1,00 g/cm3de densidad. Se llena el recipiente con otro líquidoy entonces la masa total es 106,21 g. ¿Cuál es la densidad del líquido? Solución
-
La masa de agua será: M¡ = 137,26 38,52 = 98,74 g, entonces el volumen ocupado por el agua se calcula: V =M¡!p¡ =98,74 cm3.
-
La masa del líquido problema es: M2 = 106,21 38,52 = 67,69 g, y por tanto su densidad:
M2
P2 =\1-
-
67,69 = 0,69 g/cm3
98,74
Problema 1-34. Se desea obtener un litro de jarabe de densidad con relación al agua 1,3, mezclando otros dos de densidades 1,2 y 1,5. ¿Qué volumen de cada uno de ellosse debe emplear? Solución La masa resultante es: Problema 1-31.- Medida del radio de una esfera con un esfer6metro.
M = Vp = loJ x 1,3 = 1 300 9
esta masa ha de ser la suma de la de las componentes de la mezcla; si el volumen del primero lo llamamos x (en cm3), el del segundo es (103 - x) y sus masas: M¡ = 1,2x, M2= (103- x) 1,5, y como:
.. ~ ....
_L
MEDIDAS DE LONGITUDES,
=>
3 200 - 666,67 cm x= 0,3 -
=>
1300 = 1,2x + (103 - x) 1,5
ÁNGUWS
el volumen del segundo jarabe será:
Problema 1-35. ¿Qué volumen de agua se debe añadir a un litro de lejía de sosa de densidad con relación al agua 1,3 para que su densidad sea 1,2? Solución M¡
= masa
de lejía
M 2 =masa de agua V = volumen total
=>
M1 + M2 =1,2V
103 x 1,3 + x = (103 + x) 1,2
=>
100 = 500 cm3
x= 0,2
Problema 1-36. Un comerciante ladrón vende leche en su establecimiento con una densidad de 1,030 g/cm3 cuando la densidad de la leche pura es de 1,042 g/cm3. Determinar la proporción de agua que le ha añadido. Solución m. y P.: masa Ydensidad del agua. m y p: masa y densidad de la leche pura. Pm: densidad de la mezcla.
=>
(m + m.) Pm = mp + m.Pa
-
m. P - Pm 0,012 2 --;;:;-- Pm - P. = 0,030 ="'5
=>
Pm + ma Pm = P + m. P. m m
por cada 5 partes de leche pura hay 2 de agua en peso.
Problema 1-37. 100 g de latón están formados por 30 g de Zn y 70 de Cu, cuyas densidades respectivasson 7 y 9 g/cm3.Calcularla densidad del latón. Solución V = volumen de latón
tendremos:
M P
V =V1+ V2
V1
= volumen
del Zn
V2
= volumen
del Cu
100 30 => ---+---
= M1
+ M2
P1
P2
70
760
/\
=>
P=
p-79-63
63 x 100 = 8,3 g/cm3 760
Problema 1-38. Una estrellade neutrones característicatiene una masa de 2 x 1030kg con un radiode 10 km. Calcularel peso que tendría 1 cm3de esa estrellaen la superficiede la Tierra. Solución La densidad (masa de la unidad de volumen) de una estrella de neutrones será: M
p=V=
3M
- 3 x 2 X 1030
-
4nR3
4n1012
= 5 X 1017
kg/m3
=5 x 1011kg/cm3
luego el peso de 5 x 1011 kg que ocupa 1 cm3 en la superficie de la Tierra en la que 9
I
P
= Mg = 5 X 1011 x 9,8
= 4,9 x 1012 N
= 9,8N/kg,será:
I
Problema 1-39. Mediante la dispersión de partículas a dotadas de alta energía, se ha determinado que la sección eficaz del núcleo del átomo de plomo es aproximadamente a = 1,54 x 10-28m2. 1. Calcular la densidad del núcleo del plomo. 2. Relación existente con la densidad macroscópica del plomo cuyo valor es 11,34 g/cm3. Masa atómica del plomo 207,19 u. NA= 6,022 X 1023. Solución 1) Considerando el núcleo del plomo como esférico, su radio Res:
=> y teniendo en cuenta que su masa atómica es:
1,54 X 10-28
n
=7,00
X 10-15
m
y MASAS. DENSIDAD
25
26
UNIDADES FfsICAS.
ANÁLISIS DIMENSIONAL.
ERRORES EN LAS MEDIDAS
mpb
= 207,19 u =
207,19
6,022 x 1023 9 = 3,44 X 10-25 kg
obtenemos para la densidad nuclear P. del Pb:
2) La relaciónpedida será:
r¡=~P
2,39x1017 11 340 = 2,11 x 1013
Problema 1-40. Experimentalmentese comprueba que el radio nuclear resulta ser: R= RoA1I3 donde A es la masa atómica y Ro es una constante que tiene el mismo valor para todos los núcleos y que es igual al radio del núcleo de :H por tener éste A = 1 y cuyo valor, medido por el es-
pacio ocupado por la carga nuclear, se obtiene: Ro= 1,2 X10-15m. Tomando como válidala ecuación dada determínese la densidad de la materia en estado nucleónico, admitiendo que la masa del protón y del neutrón son iguales e igual al u. NA= 6,022x 1(13.
Solución Sin tener en cuenta la energía de ligadura (que se estudiará en el último capítulo),la masa de cualquier núcleo será: M = mA, siendo m la masa del protón o del neutrón: m = mp = m. = 1 u =
1 23 9 = 1,660 X 10-27 kg 6,022 x 10
luego el valor pedido será:
p
=M
V
= 3mA = 3mA =~=3x1,660x1027 3' =23x1017k 4nR3 4nR3o A 4nR3o 4n (12 , x 10-15)
9 1m3
