TEMA VII Derivación 7.1. Conceptos de derivada. En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. or ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Ejemplo
!n e"emplo habitual aparece al estudiar el movimiento# si una una func funció ión n repr epresen esenta ta la posi posici ció ón de un ob"et b"eto o con con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho ob"eto. !n avión que realice un vuelo transatlántico de $%&& 'm entre las ()#&& * las (+#&&, via"a a una velocidad media de %& 'm-h. in embargo, puede estar via"ando a velocidades ma*ores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las (%#&& * las (%#/& recorre $&& 'm, su velocidad media en ese tramo es de +&& 'm-h. ara conocer su velocidad instantánea a las (%#)&, por e"emplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora# entre las (%#(% * las (%#)%, entre las (%#(0 * las (%#)(, etc.
7.2. La recta tangente.
!na recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto * que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión (, .
Ecación de la recta tangente La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto 1a, f1a22 * cu*a pendiente es igual a f 31a2.
!ro"lemas 4alcular los puntos en que la tangente a la curva * 5 6 / 7 /6 ) 7 06 8 % es paralela al e"e 9:. * 3 5 /6 ) 7 ;6 7 0< 1simpli=cando por /2
6 ) 7 )6 7 / 5 &
6 ( 5 / * ( 5 7)) 6 ) 5 7(* ) 5 (&
A#$% &22' (#&1% 1)' e ha trazado una recta tangente a la curva *5 6 / , cu*a pendiente es / * pasa por el punto 1&,7)2. >allar el punto de tangencia. ea el punto de tangencia 1a, f1a22 f3 1625 /6 ) f3 1a25 /a )
/a ) 5/a 5 ?( Las ecuaciones de las rectas tangentes son# a 5 ( f1a2 5 ( * 7 ( 5 /16 7 (2 * 5 /67) a 5 7( f1a2 5 7( * 8 (5 /16 8 (2 * 5 /6 8 ) El pu nto 1 &, 7)2 p er te ne ce a l a r ec ta /67).
* 5
or tanto el punto de tangencia será #1% 1' .
7.$. La derivada de na *nción. El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. @sí, la derivada se entiende como la variación que e6perimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio su=cientemente pró6imos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos cientí=cos, tanto naturales como sociales.
La *nción derivada de na *nción *#+' es na *nción ,e asocia a cada n-mero real s derivada , si e6iste. e e6presa por *#+' .
Ejemplos
Aeterminar la función derivada de f162 5 6 ) 7 6 8 (.
4alcular f317(2, f31&2 * f31(2 f317(2 5 )17(2 7 ( 5 &$ f31&2 5 )1&2 7 ( 5 &1 f31(2 5 )1(2 7 ( 5 1
7./. 0eglas de derivación. Las reglas de derivación son los mBtodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Aependiendo del tipo de función se utiliza un mBtodo u otro. a. 0egla de la constante.
1 Derivada de na constante #c' )
!na función polifónica de grado & o función constante es aquella que no depende de ninguna variable * su derivada siempre será cero. i f 1 x 2 5 a, tendremos que f 31 x 2 5 & Aonde a es una constante, como un e"emplo# f 1 x 2 5 f 31 x 2 5 &
". 0egla de la potencia.
0eglas de la potencia #para n ) 3 n 4 )' 5 +n 6 n+n1 !na función de carácter e6ponencial, cu*o e6ponente es un entero se representa por f 1 x 2 5 x n * se puede demostrar que su derivada es f 31 x 2 5 nx n 7 ( por e"emplo tomemos la función# f 1 x 2 5 x /
Lo primero que se debe hacer es Cba"arC el e6ponente de tal forma que Bste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo e6ponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así# f 31 x 2 5 / x / 7 (
Duedando =nalmente# f 31 x 2 5 / x )
En algunas funciones donde la variable *a esta siendo multiplicada, como# f 1 x 2 5 x $ se aplica la siguiente regla.
c. 0egla del m-ltiplo constante.
0eglas de Mltiplo constante 5 c *#+' 6 c * 8#+' i es una función derivable * 4 d6 un número real.
d. Las reglas de la sma 3 la di*erencia.
0egla de la derivada de na sma 3 na di*erencia #para 2 o m9s t:rminos' 5 *#+' ; g#+' 6 * 8#+' ; g 8#+' e puede demostrar a partir de la de=nición de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada tBrmino por aparte. Es decir, 1 f 8 g23 5 f 3 8 g3. 4omo e"emplo consideremos la función f 1 x 2 5 / x % 8 x /, para determinar su derivada se traba"a la derivada de cada tBrmino por aparte * la e6presión de estos será la derivada de la función suma# f 31 x 2 5 (% x $ 8 / x )
