EAPIC
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CATEDRATICO
:
BEJARANO DOLORIER JORGE
ASIGNATURA
:
ANALISIS ESTRUCTURAL
ALUMNO
:
TEMA
:
CICLO
:
LAZO ESPINOZA IRVIN
CALCULO DE DEFLEXION
SEPTIMO
2015
CALCULO DE DEFLEXIONES
LAZO ESPINOZA IRVIN
EAPIC
DEDICATORIA
Dedico este trabajo a Toda To da mi familia. Por apoyarme en toda.
Las cosas cosas positivas, positivas, que deseo deseo
CALCULO DE DEFLEXIONES
LAZO ESPINOZA IRVIN
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INTRODUCCION En este capítulo se pesentan los pincipales !"todos tadicionales tadicionales utili#ados en el c$lculo de de%le&iones de estuctuas' Al(unos de ellos %ueon vistos en los cusos de )ec$nica de s*lidos, aplicados a estuctuas dete!inadas, dete!inadas, + se epasan aquí paa %acilita su e!pleo en la soluci*n de estuctuas indete!inadas' indete!inadas' E&isten !"todos paa calcula la de%o!aci*n en cada punto de la lon(itud de la vi(a, deida a %le&i*n' Aquí en este taa-o te da!os a conoce di%eentes !"todos co!o el !"todo eal, que pate de la consevaci*n de la ene(ía, el !"todo de teoe!a de casti(liano que nos a+uda a calcula estuctuas dete!inadas e indete!inadas, el !"todo del taa-o vitual, !"todo del $ea de !o!entos que sive paa calculo de pendientes + de%le&iones, de%le&iones, + po ulti!o dae!os a conoce el !"todo de la vi(a con-u(ada este !"todo consiste en ca!ia el pole!a en este taa-o .a+ divesos e-ecicios + la esoluci*n espectiva de cada !"todo co!o se aplica en la vida eal en estuctuas co!o puentes, casas etc' El estudio de las de%o!aciones de%o!aciones de una pie#a el$stica, es de capital i!potancia en la Resistencia de )ateiales, +a que todos los !"todos de esoluci*n de estuctuas dete!inadas e indete!inadas, indete!inadas, de !anea !$s o !enos in!ediata, se %undan en la dete!inaci*n de aquellas' Conceta!ente Conceta!ente el .alla#(o de las eacciones o inc*(nitas en estuctuas, se .ace en !uc.os casos si(uiendo el pocedi!iento que indica!os a continuaci*n/ continuaci*n/ 0' 1e conviete, povisional!ente, povisional!ente, la estuctua en isost$tica, lie$ndola de las ecuaciones ecuaciones supeaundantes, supeaundantes, + sustitu+"ndolas sustitu+"ndolas po %ue#as e&teioes que podu#can los !is!os e%ectos, eli(iendo, paa ello, adecuada!ente adecuada!ente su punto de aplicaci*n + diecci*n, se(2n se aclaa en los e-e!plos que si(uen' 3' 1e e&pesa que la estuctua isost$tica ase, así estalecida, so!etida a las %ue#as e&teioes dadas, + a las de !*dulo desconocido, que sustitu+en a las coacciones supeaundantes/ supeaundantes/ se de%o!an id"ntica!ente que la estuctua .ipeest$tica eal' Las ecuaciones que e&pesan esta condici*n, son las necesaias paa la dete!inaci*n de las inc*(nitas .ipeest$ticas' .ipeest$ticas'
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Contenido TITULO:..................... ................................ ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................... ........ 4 OBJETIVOS: ..................... ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................... ........................ 4
'MARCO TEÓRICO:..................... ................................ ..................... ..................... ..................... ............................................ .................................. 4 ANÁLISIS: ..................... ............................... ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ................................... ......................... 33 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: ..............................................................33
................................ ..................... ..................... ..................... ............................................... ..................................... 33 BIBLIOGRAFIA:..................... ANEXOS:..................... ............................... ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... ........................... ................ 34
TITULO: CALCULO DE DEFLEXIONES
OBJETIVOS:
La aplicac aplicaci* i*n n de los dive divesos sos !"todo !"todoss en el c$lcul c$lculo o de de%le& de%le&ion iones es que su%en su%en las las estuctuas dete!inadas e indete!inadas' indete!inadas'
Reconoce cada !"todo + su aplicaci*n
Identi%ica el tipo de estuctua'
La e-ecuci*n del !"todo en la estuctua coespondiente' 'MARCO TEÓRICO: CALCULO DE DEFLE4IONE1 Las Las ca(as ca(as de %le&i* %le&i*n n aplic aplicada adass a una una vi(a vi(a .acen .acen que se %le&i %le&ione one en una diecci diecci*n *n pep pepen endi dicu cula la a su e-e' e-e' Una Una vi(a vi(a ect ecta a en su oi( oi(en en se de%o de%o! !a aa a + su %o! %o!a a se$ se$ li(ea!ente cuva' En la !a+o pate de los casos, el %acto cítico es la de%le&i*n !$&i!a de la vi(a, o su de%le&i*n en dete!inados lu(aes' 1. MÉ MÉTO TODO DO DE DEL L TRA TRABA BAJO JO REA REAL L El !"todo del taa-o eal utili#a el pincipio de consevaci*n de la ene(ía, en vitud del cual el taa-o e&teno eali#ado po las ca(as dee se i(ual al taa-o inteno de de%o!aci*n poducido po los es%ue#os causados po las ca(as' Al plantea el taa-o e&teno es peciso cuida que las ca(as sean co!patiles con las de%le&iones, de tal !anea que paa co!ponentes lineales de de%le&i*n se ten(a'
La desventa-a del !"todo adica en su li!itaci*n, pues s*lo pe!ite la e&istencia de una inc*(nita, + si se aplica !$s de una %ue#a o !o!ento se tend$ !$s de un despla#a!iento o otaci*n'
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La 2nica e&cepci*n a 'lo anteio es el caso de si!etía con dos %ue#as o dos !o!entos, +a que entonces las de%le&iones lineales o otacionales a-o cada una de las ca(as son i(uales' Ejemplo. Avei(5e la la de%le&i*n poducida poducida en el el punto D de la a!adua a!adua !ostada !ostada po una ca(a 6 de 788 9N aplicada en el !is!o' 1up*n(ase que paa todas las aas L: A; 0 !!<0 + que el !ateial es aceo estuctual con E ; 388888 N:!!3'
Solución: Aplicando el el !"todo del taa-o taa-o eal a a!aduas a!aduas se otiene= otiene=
6 o consi(uiente, paa esolve el pole!a .a+ que e!pe#a po evalua las %ue#as en las aas' En este caso es !u+ sencillo .acelo po el !"todo de los nudos, teniendo en cuenta la si!etía de la estuctua + de la ca(a' Los esultados est$n dados ente pa"ntesis en la !is!a %i(ua + siven paa elaoa el cuado si(uiente=
> llevando este valo a la ecuaci*n ?a@=
2. AP APLICA LICACI! CI! DEL DEL TEOR TEOREMA EMA DE CASTI CASTI"LIA "LIA!O !O Los teoe!as de Casti(liano de esistencia de !ateiales se !ateiales se deen al in(enieo italiano Calo Aleto Casti(liano ?0B ? 0B0B 0B@, @, que elao* nuevos !"todos de an$lisis paa CALCULO DE DEFLEXIONES
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siste!as el$sticos' el$sticos ' Los dos teoe!as que llevan actual!ente su no!e, enunciados en 0 0 + + 07 07 espectiva!ente espectiva!ente son sus contiuciones !$s i!potantes' Co!o +a se di-o, el Teoe!a de Casti(liano + su coolaio esultan !u+ 2tiles en el c$lculo de de%le&iones de estuctuas dete!inadas dete!inadas + de eacciones edundantes en las indete!inadas, indete!inadas, ta!i"n se dice que= El teoe!a de Casti(liano, estalece que cuando act2an %ue#as soe siste!as el$sticos, el despla#a!iento despla#a!iento coespondiente a cualquie %ue#a, puede encontase oteniendo la deivada deivada pacial de la ene(ía ene(ía de de%o!aci*n especto especto a esta %ue#a' Los t"!inos Fue#a + Despla#a!iento .an de intepetase con a!plitud, +a que se aplican i(ual!ente a !o!entos + a los despla#a!ientos an(ulaes' El teoe!a de Casti(liano es una .ea!ienta (andiosa paa la dete!inaci*n de de%o!aciones de estuctuas co!ple-as' 1e .a visto que la ene(ía de de%o!aci*n es 1i sustitui!os en esta ecuaci*n
la ecuaci*n esulta
Deivando esta e&pesi*n especto a F
?Ec. 2.21)
Co!o se puede ve esta deivada es id"ntica a la de%o!aci*n' Ta!i"n se sae que la ene(ía de de%o!aci*n de la tosi*n es= La deivada de esta ecuaci*n especto a T es=
?Ec. 2.22)
Hue es la ecuaci*n del despla#a!iento an(ula a-o una ca(a de tosi*n La ene(ía de %o!aci*n paa una vi(a en voladi#o con una ca(a concentada en su e&te!o, es ?Ec. 2.23) > la deivada especto a F es
que es la de%o!aci*n de%o!aci* n de la vi(a'
El teoe!a de Casti(liano Casti(liano puede estalecese !ate!$tica!ente !ate!$tica!ente , n ; despla#a!iento despla#a!iento del punto de aplicaci*n de Fn en la diecci*n Fn' 6uede aplicase una %ue#a i!a(inaia H, si no e&iste eal!ente nin(una %ue#a en este punto' Despu"s que se .a+a otenido la e&pesi*n de n n, la %ue#a H se .ace i(ual a ceo/ la e&pesi*n esultante es el despla#a!iento en el punto de aplicaci*n de la %ue#a i!a(inaia H + en la diecci*n en la que se i!a(in* que actuaa H' Aquí te !osta!os un e-e!plo del del teoe!a de casti(liano' casti(liano' Ejemplo. Calcula la !$&i!a de%o!aci*n de una vi(a si!ple!ente apo+ada con una ca(a uni%o!e!ente uni%o!e!ente distiuida
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1e .a colocado una ca(a i!a(inaia H en el cento de la vi(a, que es el punto de !$&i!a de%o!aci*n' de%o!aci*n' Consideando Consideando s*lo s*lo la pate i#quieda, el !o!ento es= Ec. 2.24
La ene(ía de de%o!aci*n paa la vi(a entea es el dole de la coespondiente coespondiente a la !itad de la vi(a'
La de%o!aci*n en el cento es Ec. 2.25
6uesto que H es i!a(inaia pode!os a.oa i(ualala a
ceo'
Ejemplo. Encuente la de%le&i*n .oi#ontal del punto A, poducida poducida po el siste!a de ca(as !ostado' Las di!ensiones son tales que paa las dia(onales LIA ; 08 !!0 + paa las otas aas L: A; 7 !!0 J EL !ateial es aceo estuctual' E; 388 9N:!!3
Solución:
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Co!o' Ka+ vaias %ue#as aplicadas, el pole!a no se podía esolve po el !"todo del taa-o eal' En ca!io el Teoe!a de Casti(liano esulta !u+ 2til, + co!o +a .a+ una %ue#a aplicada en el punto + diecci*n del despla#a!iento uscado, asta$ con lla!ala 6' Entonces=
6aa !a+o claidad se puede sepaa en dos el siste!a de ca(as=
En el e&te!o deec.o se .a ilustado la soluci*n de la se(unda pate' Los esultados de a!as se esu!en en el si(uiente cuado=
#. MÉ MÉTO TODO DO DEL DEL TRA TRABA BAJO JO $IRT $IRT%A %AL L CALCULO DE DEFLEXIONES
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>a se .aía !encionado que el !"todo del taa-o vitual es, ente los tadicionales, el pocedi!iento pocedi!iento !$s ves$til paa evalua de%le&iones el$sticas de estuctuas poducidas incluso po causas di%eentes de la aplicaci*n de ca(as, co!o eoes de %aicaci*n o ca!ios de te!peatua' La 2nica esticci*n es que en su %ona %inita s*lo es aplicale a Aquellos casos casos en los que es v$lido v$lido el 6incipio 6incipio de supeposici*n' supeposici*n' 1e ecoda$ que, en esu!en, el 6incipio del taa-o vitual decía que si una estuctua de%o!ale, de%o!ale, en equiliio a-o un siste!a de ca(as, ea so!etida a una de%o!aci*n vitual co!o esultado de una acci*n adicional, el taa-o vitual e&teno .ec.o po el siste!a de ca(as es i(ual al taa-o vitual inteno e%ectuado po las %ue#as intenas causadas po "l' 1u aplicaci*n se educe entonces a evalua a!as e&pesiones e i(ualalas' #.1. De&le'ione( )e(ul*+n*e( ,e ,e&o)m+cione( +'i+le( 1uponiendo que se quiee avei(ua la de%le&i*n vetical del punto A de la a!adua !ostada, poducida po las ca(as 60, 63 + 6, se e!pie#a po e!ove dic.as ca(as paa aplica lue(o una ca(a %icticia unitaia en el punto + diecci*n de la de%le&i*n uscada'
La estuctua queda en equiliio a-o la acci*n de esta %ue#a %icticia, que puede considease co!o el sistema de cargas dado en el 6incipio del taa-o vitual' A.oa la a!adua se considea so!etida a despla#a!ientos despla#a!ientos vituales id"nticos a las de%le&iones esultantes del siste!a eal de ca(as, o sea que el punto A se de%o!a vitual!ente una cantidad ∆. En consecuencia, la %ue#a unitaia %icticia eali#a$ un taa-o=
6o ota pate, si U epesenta la %ue#a intena en la aa i inducida po la ca(a %icticia, al dale a la estuctua los despla#a!ientos despla#a!ientos poducidos po las ca(as eales, dic.a %ue#a tend$ que ecoe la de%o!aci*n el$stica deida a tales ca(as + al .acelo e%ectua$ un taa-o' El taa-o inteno de toda la estuctua se$ la su!a de los taa-os eali#ados en las aas, o sea=
Donde 1 epesenta co!o antes la %ue#a en el !ie!o poducida po las ca(as eales' Aplicando a.oa a.oa el 6incipio 6incipio del taa-o vitual= vitual=
De nuevo, si el si(no es ne(ativo, quiee deci que la de%le&i*n es en sentido opuesto al de la ca(a unitaia aplicada' La tensi*n se considea positiva poque a ella coesponde un ala(a!iento' CALCULO DE DEFLEXIONES
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1i se quiee avei(ua la otaci*n de una aa, asta coloca un !o!ento unitaio' La ecuaci*n ?B'M@ se conviete entonces en=
Aia se ilusta ilusta el pocedi!iento pocedi!iento paa enconta enconta la otaci*n de de la aa A' Final!ente, co!paando co!paando las ecuaciones ?'33@ + ?B'M@ se oseva que el valo de U no es oto que el ?ds:dp@ del Teoe!a de Casti(liano' La 2nica di%eencia est$ en el !odo de .allalo + en el %ondo % ondo los dos !"todos son id"nticos' Usual!ente, Usual!ente, el alu!no pe%ei$ uno u oto se(2n se incline po los pole!as %ísicos o po los !ate!$ticos' #.2. #. 2. De De&l &le' e'io ione ne(( ,e,e-i, i,+( +( + &le &le'i 'ión ón Las e&pesiones del taa-o e&teno contin2an siendo 0 & ∆ paa de%le&iones lineales + 0 4 Φpaa otaciones' 6aa evalua el taa-o inteno deido a %le&i*n, se si(ue un 6oceso si!ila al anteio=
Con e%eencia a la %i(ua, si se desea avei(ua la de%le&i*n vetical en A se coloca allí una ca(a vitual unitaia que poduci$ en una secci*n a una distancia x del apo+o un !o!ento vitual !&' Consideando que "ste es el sistema de cargas + aplic$ndole a la vi(a los despla#a!ientos despla#a!ientos poducidos po las ca(as aplicadas, se eali#a$ en la secci*n un taa-o inteno de !a(nitud=
En donde β& epesenta la otaci*n deida al !o!ento ), poducido po las ca(as eales' De )ec$nica de s*lidos se sae que a una distancia y del e-e neuto el es%ue#o o + est$ dado po=
>, po consi(uiente, el ca!io en lon(itud de una %ia a esa distancia es=
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Co!o la otaci*n es pequea, el $n(ulo 0, se puede e!pla#a po su tan(ente' De a.í que
> e!pla#ando en la ecuaci*nJ ?B'@
El taa-o total se otend$ inte(ando la e&pesi*n anteio anteio a lo la(o de la vi(a'
I(ualando esta e&pesi*n a las que dan el taa-o e&teno, se otiene entonces= 6aa de%le&iones lineales=
En donde el suíndice a indica que los !o!entos vituales son deidos a la aplicaci*n de un pa unitaio en A' Co!paando Co!paando la ecuaci*n ?B'0 O@ con la ?'3@, se vuelve a enconta total equivalencia equivalencia con el !"todo de Casti(liano, en el que el ! de a.oa es el !is!o ?o) 1 o6@ de aqu"l' #.#. De&le'ione( po) co)*e *o)(ión 1i(uiendo un pocedi!iento co!pleta!ente an$lo(o se pueden avei(ua los taa-os Intenos deidos a cote + a tosi*n' Pstos est$n dados po= 6aa' Cote=
En donde paa una secci*n &, v es la %ue#a de cote esultante de la ca(a unitaia %icticia ?Equivalente ?Equivalente al dV:d6 de Casti(liano@, V es el cote poducido po las ca(as eales + Q el %acto de %o!a de%inido antes'
En donde t es la tosi*n %icticia en una secci*n & deida a la ca(a vitual unitaia ?equivalente al dt:d6 visto anteio!ente@, T la tosi*n poducida en la !is!a secci*n po las
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ca(as eales + el !o!ento pola de inecia paa ele!entos de secci*n cicula o su equivalente paa secciones ectan(ulaes ectan(ulaes ?cuado '0 @' Las e&pesiones de taa-o e&teno en a!os casos si(uen siendo i(uales= 0 & ∆ + 0 & Φ paa despla#a!ientos lineales + otaciones, espectiva!ente' Vaias veces se .a dic.o que las de%le&iones po cote en la !a+oía de las vi(as co!2n!ente encontadas encontadas en la p$ctica, son insi(ni%icantes si se las co!paa con las deidas a %le&i*n' El cuado B'0 pesenta paa una vi(a S 03 & 3 de aceo estuctual, la elaci*n ente las dos de%le&iones paa di%eentes luces + dos .ip*tesis de ca(a= concentada en el cento de la lu# + uni%o!e!ente epatida' epatida' Cu+,)o /.1 Relaci*n ente las de%le&iones en el cento de la lu# deidas a cote + a %le&i*n en una vi(a S 03 & 3 de aceo estuctual
Co!o ea de espease, el pi!e caso poduce de%le&iones de%le&iones de cote elativa!ente !a+oes, !a+oes, puesto que su dia(a!a de cote tiene un $ea !uc.o !a+o que la del se(undo, !ientas que en las $eas de los dia(a!as de !o!ento espectivos pasa lo contaio' Ejemplo. La cec.a !ostada se quiee utili#a paa cui un auditoo con lu# de =7 ! >' va apo+ada soe colu!nas que est$n espaciadas cada '78 !' La te-a es de asesto ce!ento + la ca(a viva de diseo especi%icada es de 788 N:!3 de po+ecci*n .oi#ontal' 1e pide enconta la de%le&i*n en el cento el= la lu#, causada po el peso popio + la soeca(a anteio'
eas= Cod*n supeio= 0788 !!3 Cod*n in%eio= 0888 !!3 Dia(onales + !ontantes= 0388 !!3 Solución CALCULO DE DEFLEXIONES
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1e e!pie#a po dete!ina las ca(as= Te-a ondulada de asesto ce!ento No' M + accesoios Cielo aso 6eso p popio es esti!ado, in inclu+endo co coeas + aiosta!iento Ca(a viva Ca(a total q0 ; q! qv ; Ca(a po nudo en una cec.a inteio= p ; 0'B 4 0'M37 4 '78 ; 0'8 9N
8'0M 9N:!3 8'3 9N:!3 8'08 9N 9N:!3 q! ; 8' 9N:!3 qv ; 8'78 9N:!3 0'B 9N:!3
En el an$lisis utinaio se .ace la si!pli%icaci*n de considea que tanto el peso del cielo aso co!o el peso popio se .allan aplicados en los nudos supeioes' De acuedo con el !"todo de los nudos + apovec.ando la si!etía se elaoa el cuado si(uiente paa los dos siste!as de ca(as indicados a continuaci*n=
La pendiente !íni!a eco!endada paa te-a ondulada Ete!it es de 3W ?07'0 X@' Aquí se adopta 8W ?0M' X@, que esulta en coeas espaciadas cada 0'MB !, que es apo&i!ada!ente apo&i!ada!ente la lon(itud de una te-a t e-a No' M'
6o el Teoe!a del taa-o vitual=
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N*tese la sustacci*n del valo coespondiente a la aa D paa evita duplicala al considea la cec.a total' /. MÉT MÉTODO ODO DE LA DOB DOBLE LE I!T I!TE"R E"RACI ACI! ! Es el !as (eneal paa dete!ina de%le&iones' de%le&iones' 1e puede usa paa esolve casi cualquie co!inaci*n co!inaci*n de ca(as + condiciones condiciones de apo+o en vi(as est$tica!ente dete!inadas e indete!inadas' 1u uso equiee la capacidad de escii las ecuaciones de los dia(a!as de %ue#a cotante + !o!ento %lecto + otene posteio!ente las ecuaciones ecuaciones de la pendiente pendiente + de%le&i*n de una vi(a po !edio del c$lculo inte(al' El !"todo de dole inte(aci*n poduce ecuaciones paa la 6endiente la de%le&i*n en toda la vi(a + pe!ite la dete!inaci*n diecta del punto de !$&i!a de%le&i*n' /. 1. 0un,+men*o( En el se(undo cuso de )ec$nica de s*lidos se vio que la cuvatua de una vi(a so!etida a %le&i*n pua est$ dada po=
En donde p es el adio de cuvatua, ) el !o!ento aplicado, E el !*dulo de elasticidad del !ateial e l el !o!ento de inecia de la secci*n tansvesal, con especto a un e-e no!al al plano de las ca(as' De%iniendo co!o línea el$stica la cuva que %o!a el e-e neuto de la vi(a, se di-o t a!i"n que po los pincipios del c$lculo la elaci*n ente la cuvatua + la pendiente de la cuva se puede e&pesa co!o=
En las vi(as que se pesentan no!al!ente en la In(enieía civil, se equiee que las de%le&iones sean in%eioes a 00M8 de la lu#, lo cual oli(a a que las pendientes sean !u+ pequeas' De a.í que la ecuaci*n anteio se puede apo&i!a po la si(uiente=
I(ualando las ecuaciones ?B'0B@ + ?B'0M@, se otiene entonces=
Hue es la ecuaci*n di%eencial di%eencial de la línea el$stica de una vi(a en %le&i*n pua' La !a+oía de las vi(as, sin e!a(o, est$n so!etidas a cote + la ecuaci*n !4.1" @ s*lo seviía paa
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evalua la pate coespondiente a %le&i*n' 6eo ta!i"n en la !a+oía de ellas, co!o +a se di-o, las de%le&iones po cote son elativa!ente pequeas + pueden despeciase' despeciase' Una pi!ea inte(aci*n de la ecuaci*n ? B'0 @ da la pendiente de la el$stica en cualquie punto, + al inte(a po se(unda ve# se otiene la ecuaci*n de la el$stica !is!a' Las constantes de inte(aci*n se otienen a pati de las condiciones en los apo+os o de continuidad continuidad de la vi(a, co!o se ecoda$ con los si(uientes e-e!plos' e-e!plos' En el caso de vi(as si!ple!ente apo+adas + vi(as e!potadas en un e&te!o, po e-e!plo, tene!os las si(uientes condiciones= condiciones=
#$ puede estalecese= Del apo+o en Y #$ & ; LA Z + ; 8 >, deido al apo+o en % & ; L Z + ; 8
#$ Deido al e!pota!iento Y #$ & ; LA Z + ; 8 & ; LA Z q ; 8 Ejemplo. Encuente la pendiente en el apo+o + la %lec.a ?de%le&i*n !$&i!a@ de una vi(a si!ple!ente apo+ada so!etida a ca(a uni%o!e=
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Solución Del dia(a!a de cuepo lie=
Inte(ando=
6o si!etía, la pendiente es ceo en el cento de la lu#'
Re!pla#ando este valo en ?a@
En el apo+o A, & ; O
Inte(ando a.oa la ecuaci*n ?@=
+ la ecuaci*n de la el$stica queda=
Deido a la si!etía, la %lec.a o de%le&i*n !$&i!a se pesenta en el cento de la lu#'
M*o,o +l*e)no CALCULO DE DEFLEXIONES
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1e puede osevase que el !"todo anteio conlleva la soluci*n de cuato ecuaciones paa enconta las cuato constantes de inte(aci*n' Esto se dee
5. METODO DE AREA DE MOME!TOS. El !"todo de $ea!o!ento popociona un pocedi!iento se!i(a%ico paa enconta la pendiente + el despla#a!iento en puntos especí%icos soe la cuva el$stica de la vi(a' La aplicaci*n de este !"todo equiee el c$lculo de $eas asociadas con el dia(a!a de !o!ento %lecto de la vi(a/ si el dia(a!a consta de %o!as (eo!"ticas sencillas, el !"todo esulta !u+ %$cil de usa' No!al!ente este es el caso cuando la vi(a esta ca(ada con %ue#as + !o!entos concentados' El !"todo es astante $pido + si!ple, peo en (eneal se usa paa calcula la de%le&i*n de solo uno a unos cuantos puntos de la vi(a' 1u uso equiee un elevado nivel de co!pensi*n co!pensi*n del pincipio de !o!entos + de las t"cnicas paa pepaa dia(a!as de !o!ento %lecto ade!$s nos !uesta dos teoe!as en este !"todo' Los dos teoe!as que constitu+en la ase de este !"todo %ueon enunciados en la Univesidad Univesidad de )ic.i(an en 0 + esultan !u+ 2tiles paa el c$lculo de pendientes + de%le&iones de%le&iones de vi(as + p*ticos, especial!ente cuando se anali#a su espuesta a ca(as concentadas' Los teoe!as citados son= Teo)em+ 1: 1i se tienen dos puntos A + de la cuva el$stica de un ele!ento so!etido a %le&i*n, la di%eencia en pendiente de las tan(entes a la cuva en esos dos puntos es i(ual al $ea del dia(a!a ):EI ente ellos' 6endientes pequeas= De!ostaci*n >a se vio que paa pendientes pequeas
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=
El $ea a-o el dia(a!a de cuvatua cuvatu a ente dos puntos A + es i(ual al ca!io en las pendientes ente esos dos puntos soe la cuva el$stica'
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1e puede usa paa vi(as con EI vaiale' = n(ulo tan(ente en !edido desde la tan(ente en A' 1e !ide en adianes' eas positivas positivas indican que la la pendiente cece' cece'
Teo)em+ 2: La distancia !edida vetical!ente de un punto , soe la cuva el$stica de una vi(a a la tan(ente ta#ada en oto punto A de la !is!a, es i(ual al !o!ento est$tico con especto a del $ea del dia(a!a ):EI ente dic.os puntos' Demo(*)+ción Consideando Consideando la vi(a en voladi#o de la %i(ua, + suponiendo que es í(ida e&cepto en un ta!o di%eencial de lon(itud d&, se oseva que a-o la acci*n del !o!ento en la vi(a se de%lacta$ de la !anea indicada' 6o la ecuaci*n ?B'0@=
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La de%le&i*n total de al considea toda la vi(a %le&ile es ovia!ente la inte(al de la e&pesi*n anteio a lo la(o de la vi(a, o sea=
Es deci, el< !o!ento del $ea del dia(a!a ?):EI@ ente A + con especto a ' La e&pesi*n anteio se puede (eneali#a cuando el !o!ento no es constante/ en cu+o caso s*lo sive paa evalua la pate de la de%le&i*n que coesponde a %le&i*n' Ade!$s, dee tenese en cuenta que el valo otenido no da la de%le&i*n asoluta, sino si!ple!ente la distancia vetical a la tan(ente ta#ada en A, que no sie!pe es .oi#ontal' 1e necesita$, entonces, acudi a la (eo!etía del con-unto paa .alla la de%le&i*n vedadea, co!o se e&plica !$s adelante' La e&pesi*n (eneal queda=
Es evidente que paa aplica e&itosa!ente el !"todo es i!pescindile calcula coecta!ente los dia(a!as dia(a!as de !o!ento, !o!ento, po lo cual cual se su(iee su(iee al estudiante estudiante epasa epasa la pate petinente de sus cusos de )ec$nica de s*lido
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6o teoía de los $n(ulos pequeos tene!os= , si su!a!os todos los despla#a!ientos veticales veticales otene!os la desviaci*n vetical ente las tan(entes en A + ' )o!ento de pi!e oden con especto a A del $ea a-o la cuva de ente A > ' El teoe!a es= La desviaci*n de la tan(ente en un punto A soe la cuva el$stica con especto a la tan(ente polon(ada desde oto punto , es i(ual al !o!ento del $ea a-o la cuva ente los puntos A+ con especto a un e-e A' 1e cu!ple sie!pe cuando en la cuva no .a+a discontinuidades discontinuidades po aticulaciones' aticulaciones' Esta desviaci*n sie!pe es pependicula a la posici*n oi(inal de la vi(a + se deno!ina %lec.a'
Ejemplo. Encuente la pendiente en el apo+o + la de%le&i*n !$&i!a de la vi(a indicada'
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Solución Dea-o de la vi(a se .a diu-ado el dia(a!a ):EI coespondiente' 6o si!etía 1e ; O/ aplicando el pi!e teoe!a ente A + C=
Aplicando a.oa a.oa el se(undo se(undo teoe!a ente A + C, con la tan(ente tan(ente ta#ada en C=
En que el si(no positivo indica que el punto A est$ po enci!a de la tan(ente ta#ada en C'
6. METODO DE LA $I"A CO!J%"ADA Es una vi(a %icticia de lon(itud i(ual a la de la vi(a eal + cu+a ca(a es el dia(a!a de !o!ento %lecto educido aplicado del lado de la co!pesi*n' La vi(a con-u(ada es sie!pe CALCULO DE DEFLEXIONES
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una vi(a est$tica!ente dete!inada' dete!inada' El !"todo de la vi(a con-u(ada consiste en .alla el !o!ento en la vi(a eal + ca(alo a la vi(a con-u(ada' Lue(o dando cote + aislando unas de las pate de !e-o conveniencia, se otiene el cotate que se$ el (io de la vi(a eal + el !o!ento en la vi(a con-u(ada se$ el despla#a!iento despla#a!iento en la !is!a' Este !"todo consiste en ca!ia el pole!a de enconta las pendientes + de%le&iones causadas en una vi(a po un siste!a de ca(as aplicadas, po oto pole!a en que se avei(uan las %ue#as de cote + !o!entos de una vi(a especial, lla!ada vi(a con-u(ada, que est$ ca(ada con el dia(a!a ):EI de la vi(a oi(inal' En elaci*n con el !"todo de ea de !o!entos, tiene la venta-a de que no necesita conoce pevia!ente pevia!ente un punto de tan(ente ceo +, po consi(uiente, en todos los casos se puede avei(ua diecta!ente diecta!ente la pendiente + de%le&i*n de cualquie punto de la el$stica' 6o ota pate !uc.os in(enieos de estuctuas pe%ieen taa-a con %ue#as de cote + !o!entos en lu(a de inte(ales' En la %i(ua de aa-o se pesenta una vi(a so!etida una ca(a de intensidad vaiale, la cual poduce el dia(a!a ):EI indicado' En la deducci*n de los teoe!as de ea de !o!entos se lle(* a la ecuaci*n=
+ ta!i"n=
1i se inte(a esta 2lti!a e&pesi*n=
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R ecodando a.oa que en un ele!ento de vi(a de lon(itud d& la ca(a, %ue#a de cote + !o!ento est$n elacionados po las e&pesiones'
1e puede supone que si se tiene una vi(a %icticia lla!ada 'iga conj&gada de lon(itud' I(ual a la de la vi(a eal, + so!etida a una ca(a deno!inada carga el(stica de intensidad [ ; )iel, las e&pesiones del ca!io en %ue#a de cote + en !o!ento paa dic.a vi(a 1e$n=
Co!paando Co!paando estas ecuaciones con las ?B'0@ + ?B'30@, se ve que los lados deec.os son i(uales/ de a.í que los i#quiedos i#quiedos ta!i"n dean selo' 6o consi(uiente= consi(uiente=
+ si se pescien condiciones de apo+o adecuadas se puede lo(a que en cada caso 'los puntos de e%eencia sean ceo, pudiendo esciise entonces=
H ue en palaas se pueden e&pesa así=
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P)opo(ición 1 a pendiente de la el(stica en c&al*&ier secci+n de la 'iga real ?@ ,,- ig&al a la f&er/a de corte en la misma secci+n de la 'iga conj&gada correspondiente ?V@'
P)opo(ición 2 La de%le&i*n de cualquie punto de la li(a eal ?+@ es i(ual al !o!ento en la secci*n coespondiente de su vi(a con-u(ada ?)@, Utili#ando estas poposiciones se \pueden estalece las condiciones de apo+o que dee tene la vi(a con-u(ada paa que se podu#ca la equivalencia' Los esultados se esu!en en el cuado B'3' El cuado de equivalencias se puede e&plica co!o si(ue= si el apo+o es si!ple .a$ otaci*n peo no de%le&i*n, lo cual i!plica que en la vi(a con-u(ada dee .ae cote peo' no !o!ento, o sea las condiciones que o%ece el !is!o apo+o si!ple' En el caso de e!pota!iento, e!pota!iento, en ca!io, no .a+ ni (io ni de%le&i*n, de tal !anea que en la vi(a con-u(ada no puede .ae ni cote ni !o!ento, lo cual s*lo se lo(a de-ando dic.o e&te!o lie' 6o el contaio, si el e&te!o de la vi(a eal est$ lie po se un voladi#o, tend$ otaci*n + de%le&i*n, oli(ando a e!potado en la vi(a con-u(ada paa que allí se pesenten cote + !o!ento' Cu+,)o /.2 Equivalencia ente los apo+os de la vi(a eal + los de la vi(a con-u(ada coespondiente
En los apo+os inteioes de la vi(a eal no .a+ de%le&i*n, peo la pendiente dee se la !is!a a lado + lado de cada uno de ellos/ po consi(uiente, este tipo de apo+o se dee e!pla#a, en la vi(a con-u(ada, po una aticulaci*n que inda !o!ento nulo e i(ual %ue#a de cote a uno + otos lados' Cuando se pesenta una aticulaci*n en la vi(a eal, el aciocinio inveso es co!pleta!ente v$lido, de a.í que dea e!pla#ase po un apo+o inteio en la vi(a con-u(ada' Los si(uientes e-e!plos ilustan la aplicaci*n de las e(las estalecidas estalecidas en el cuado citado'
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1e oseva que, a di%eencia de la vi(a eal, la vi(a con-u(ada puede se inestale en sí !is!a ?casos + e@' Una ve# ca(ada con el dia(a!a ):EI, se !antend$ en equiliio inestale a-o su acci*n' Ta!i"n conviene anota que en todos los casos la vi(a con-u(ada dee se dete!inada, pues una vi(a con-u(ada indete!inada equeiía una vi(a eal inestale' 1i la vi(a con-u(ada se ca(a con el dia(a!a ?):EI@ del lado de co!pesi*n de la vi(a eal, a un !o!ento positivo en aqu"lla coesponde una de%le&i*n .acia aa-o ?ne(ativa@ de "sta, + a un cote positivo en la vi(a con-u(ada un (io en sentido .oaio ?pendiente ne(ativa@ de la vi(a eal' Es i!potante ecoda esto paa evita con%usiones, especial!ente cuando se tata de estalece ecuaciones de co!patiilidad de de%o!aciones en la soluci*n de vi(as indete!inadas' La e&tensi*n del !"todo de la vi(a con-u(ada a la soluci*n de p*ticos si!ples ecie el no!e de )"todo de la estuctua con-u(ada' Rel+cione( en*)e l+ 3i4+ )e+l l+ 3i4+ conju4+,+. a' La lon(itud de la vi(a eal + de la con-u(ada es la !is!a' ' La ca(a en la vi(a con-u(ada es el dia(a!a de !o!entos de la vi(a eal' c' La %ue#a cotante en un punto de la vi(a con-u(ada es la pendiente en el !is!o punto de la vi(a eal' d'El !o!ento %le&ionante en un punto de la vi(a con-u(ada es la %lec.a en el !is!o punto de la vi(a eal' e'Un apo+o si!ple eal equivale a un apo+o si!ple en la vi(a con-u(ada' %' Un apo+o e!potado eal equivale a un e&te!o lie o voladi#o de la vi(a con-u(ada' (' Un e&te!o lie ?voladi#o@ eal equivale a un e!pota!iento con-u(ado' .' Un apo+o inteio en una vi(a continua equivale a un pasado o aticulaci*n en la vi(a con-u(ada'
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Rel+cione( en*)e lo( +poo(
Este !"todo al i(ual que el del e-e el$stico + $ea de !o!entos nos pe!ite calcula los (ios + %lec.as de los ele!entos .oi#ontales deno!inados deno!inados vi(as o de los veticales lla!ados colu!nas' En este capítulo estudiae!os este i!potante !"todo aplic$ndolo tanto a vi(as co!o p*ticos' En cuanto a las caacteísticas de la vi(a con-u(ada, dado que al ca(ase "sta con las ca(as el$sticas su dia(a!a de !o!entos %lectoes dee epesenta e&acta!ente la el$stica de la vi(a eal, sus vínculos deen ele(ise de !anea tal que se espeten estas pe!isas' An+lo47+( ,e Mo8)
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Ejemp!" Calcular el giro en ! la "ec#a en D de la $iguiente %iga:
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Ejemplo. )ediante el !"todo de la vi(a con-u(ada, encuente la de%le&i*n en el punto C del voladi#o )ostado, suponiendo El constante'
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ANÁLISIS:
E$ nece$ario calcular la$ de"e&ione$ de 'ie'(ro$ e$tructurale$ (a)o carga$ ! condicione$ a'(ientale$ conocida$. El calculo de de"e&ione$ #a $ido e$tudiado $olo en *or'a deter'in+$tico.La$ ar'adura$ $on e$tructura$ co',ue$ta$ ,or 'ie'(ro$ de do$ *uer-a$ u$ual'ente recto$. Con$tan general'ente de $u(ele'ento$ triangulare$ ! e$t/n a,o!ada$ de 'anera 0ue $e i',ida todo 'o%i'iento. En e$ta ,r/ctica $e anali-ar/n lo$ '1todo$ de re$oluci2n re$oluci2n de e$tructura$ deter'inada e indeter'inada$ %iga$. Co'o $e #alla con cada uno de e$to$ '1todo$ alguno$ de e$to$ '1todo$ utili-a deri%ada$ el '1todo del tra(a)o real e$ el '/$ utili-ado en la ,r/ctica cuando no$otro$ %a'o$ a a,licar en el ca',o ,or e)e',lo en ,uente$ calcular la "e&i2n '/&i'a 0ue ,uede $o,ortar. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
Lo$ di*erente$ '1todo$ u$ado$ ,ara el c/lculo de de"e&i2n utili-ado$ a0u+ no$ dan a conocer la re$oluci2n de la$ e$tructura$ deter'inada$ e indeter'inada$ indeter'inada $ ! $a(er la a,licaci2n de cada '1todo en 0ue ti,o de e$tructura e$ 'a$ */cil $u a,licaci2n lo$ ele'ento$ e$tructurale$ $e calculan ,ara $a(er la carga de $er%icio 'a$ ,e$ada$ 0ue %a a $o,ortar $e reco'ienda reco'ienda la a,licaci2n del '1todo real 0ue e$ 'a$ a,lica(le !a 0ue ta'(i1n 'uc#o$ ingeniero$ de e$tructura$ ,reeren tra(a)ar con *uer-a$ de corte ! 'o'ento en lugar de integrale$. Ade'/$ ,ara ,oder controlar e$te ,ro(le'a $e de(e a,licar el di$eo de lo$ '1todo$ a,ro,iado$ ,ara el control de e$te ,ro(le'a.
BIBLIOGRAFIA:
An$lisis Estuctual Estuctual GENARO DELGADO CONTRERA1 )ec$nica de )ateiales FERDINAND 6' EER, E' RU11EL OKN1TON, R' Resistencia de )ateiales I ] II ARTEAGA N', 6' 6' IERICO IERICO C', 6' 6' IERICO IERICO C', C' GON^ALE1, GON^ALE1, A' )EGO C' C' An$lisis estuctual estuctual AIRO URIE E1CA)ILLA
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ANEXOS:
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