ARITMÉTICA
MAGNITUDES MA GNITUDES PROPORCIONALES DESARROLLO DEL TEMA I. NO NOCI CION ONES ES PREV PREVIA IAS S
Ejemplo: Andrea compra compra en la la panadería panadería 10 panes panes con S/. 2, manteniendo el precio del pan constante se podría afirmar:
A. Magnitud Magnitud Es toda cualidad de la materia que pueda experimentar variación, en nuestro caso estudiaremos la magnitudes matemáticas que serán aquellas susceptibles a medición. B. Cantidad Cantidad Es el valor que toma una magnitud en un determinado instante, generalmente se expresa como un valor numérico acompañado de cierta unidad de medida.
Se observa:
Ejemplos: Magnitud
Cantidad 4 h ;20m ;20miin 5 m ; 80 80 km 37C ; 3 00 00 k
Tiempo Longitud Temperatura Volumen 60 m3 ; 4 Númer Número o de alum alumno noss 50 alumno alumnoss
En ambos casos varía en la misma propo rción. Luego: (N pa p anes) DP(Costo)
En el ejemplo:
II. RELACI RELACIÓN ÓN ENTRE ENTRE DOS DOS MAGNI MAGNITUD TUDES ES
1 0 3 0 15 20 5 2 6 3 4 constante
En este capítulo estudiaremos el comportamiento de dos magnitudes que guardan cierta relación de dependencia entre sí: relación directa y relación inversa. A. Magnit Magnitude udes s direct directam ament ente e propor proporcion cionale ales s (D.P (D.P.) .) Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor de una de ellas entonces el valor de la otra aumente o disminuya respectivamente en la misma proporción. Se cumple que el cociente de sus respectivos valores es constante. UNI SEMESTRAL 2013 - III
(N pane panes) s) K (costo) K : const constant ante e
En general Sean las magnitudes A y B: A DP B
5
(Val (Valor or de A) K (val (valor or de B) K : cons constan tante te
ARITMÉTICA
TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! Observación:
El comportamiento de las magnitudes del ejemplo anterior también se puede representar gráficamente.
Se observa:
En ambos casos la proporción se invierte. Luego: • La gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
(Velocidad)I.P. (tiempo) (Velocidad) (tiempo) h h: constante
• En cualquier punto de la recta el cociente entre los valores de sus coordenadas es constante.
En el ejemplo: 10 6 30 2 15 4 20 3 60
10 15 20 30 f(x) k 2 3 4 6 x constante
constante
En general: Sea las magnitudes M y N.
Luego: f(x) = K f(x)=k x x K :constante
Sean las magnitudes M y N M IP N
Función de proporcionalidad directa
Valor Valor de M de N h
h : constante
Observación: B. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
El comportamiento de las magnitudes en el ejemplo anterior también se puede representar gráficamente.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor de una ellas entonces el valor de la otra disminuya o aumenta respectivamente y la proporción se invierta. Se cumple que el producto de sus respectivos valores es constante.
Ejemplo: David es un ciclista que recorre a diario una distancia de 60 km como parte de su entrenamiento, con respecto al comportamiento de su velocidad y el tiempo empleado en los últimos cuatro días, se puede afirmar: UNI SEMESTRAL 2013 - III
6
ARITMÉTICA
TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! Ejemplo: Sean las magnitudes A, B, C, D y E. • Elegimos "A" como magnitud referencial. • Comparamos "A" con las demás magnitudes. A DP B; cuando C, D y E son constantes. A IP C; c uando B, D y E son constantes. A IP D; cuando B, C y E son constantes. A DP E; cuando B, C y D son constantes.
C. Propiedades Sean las magnitudes A, B, M y N.
I.
II.
III.
A DP B B IP A M IP N N IP M A DP B AK DP BK M IP N MK IP NK
K Q
A DP B A IP 1 B 1 M IP N M DP N
problemas
• Finalmente la relación será: A C D K B E
constante
resueltos
Problema 1
Operación del problema
Resolución:
Para pintar el Estadio Nacional se contratan 8 personas que afirman pueden terminar la obra en 10 días, laborando 8 horas diarias. Al terminar el quinto día de trabajo se decide incrementar la jornada a 10 horas diarias y contratar más personas para culminar el resto de la obra en 2 días. Calcule la cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional.
Se cumple para la obra "b":
Ubicación de incógnita
Conclusión y respuesta
El más perjudicado es el socio A, pues es el mayor de todos ellos. Respuesta: A)
E) 16
Resolución:
del socio C. Como el reparto se realizó un año después, calcule la cantidad que
Ubicación de incógnita Piden: Cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional (x)
Análisis de los datos o gráficos
a
a
10 días, 8 h/d
recibe el socio que más se perjudica. UNI 2009-II
5 días
2días
8h/d
10h/d normalmente 8
5 días
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A B C A (x 1) (x 2) (x 5) x 1
M A 3x 6 x 1 A
M(x 1) 3(x 2)
B)
M(x 2) x 1
C)
M(x 3) x 1
D)
M(x 1) x 3
M(x 1) Respuesta: A) 3(x 2)
Problema 3 De las magnitudes Z, W, X, se sabe que Z es directamente proporcional a X 2 y W es inversamente proporcional a X 2. Si N = Z + W y X = 1 implica que N = 6;
personas 8h/d culminarían en
A B C k x 1 x 2 x 5
M(x 1) A) 3(x 2)
b
8 personas (8+x)personas
Operación del problema Dentro de 1 año:
Tres socios A, B, C deberían repartirse una utilidad de M dólares proporcionalmente a sus edades, las cuales son x del socio A, (x – 3) del socio B y (x – 6)
D) 14
8 personas
8
Problema 2
B) 10
C) 12
Análisis de los datos o gráficos
x 8
UNI 2010-II
A) 8
Se pide hallar lo que recibe el socio que más se perjudica.
(8 x) 2 10 8 8 5
X = 0,5, implica que N = 9. Determínese N si X 2 .
M(x 1) E) 2(x 3) 7
ARITMÉTICA
TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! UNI 2008 - II Análisis de los datos o gráficos
A) 6
Dado que Z DP X 2, entonces
B) 8 C) 9
Z a X2
Z ax 2
D) 10 E) 12
Dado que W IP X 2, entonces WX 2 = b W
Resolución:
Ubicación de incógnita Nos piden hallar N para X 2 .
UNI SEMESTRAL 2013 - III
b x2
Para X = 1:
6 =a+ b
1 a : 9= + 4b 2 4 Resolviendo: a = 4, b = 2 Para X =
Cuando X
N4
2
2
Operación del problema Además N = Z + W
8
2 , reemplazando:
2 2
9
2
Respuesta: C) 9
ARITMÉTICA
TEMA 3
