TEKNIK PENGATURAN
AULIA ULLAH, ST., M.Eng
Pertemuan Pertem uan hari ini
TRANSFORMASI LAPLACE DAN FUNGSI ALIH
Definisi
Fungs Fun gsii tr trans ansffer Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace sinyal output terhadap transformasi Laplace sinyal input deng dengan an meng mengan angg ggap ap selur eluruh uh kondi ondissi mul mulany anya nol nol. Deng engan mengetahui fungsi transfer sistem, maka kita dapat mengetahui ”relasi” langsung antara masukan dan keluaran dari sistem
Definisi •
Fungsi Fungsi Trans ransffer suat suatu u sist sistem em line linear ar dide didefi fini nisi sika kan n seba sebag gai perban perbandin ding gan trans transfo forma rmasi si Laplac Laplace e sinya sinyall output output terhad terhadap ap sinyal input dengan asumsi semua kondisi awal sama dengan nol. Output
G ( s)
Y ( s ) U ( s )
L y (t ) kondisi _ awal no l Lu (t ) kondisi _ awal no l Input
Definisi TRANSFORMASI LAPLACE Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat diubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks s. Bila persamaan aljabar dalam s dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial (transformasi Laplace balik dari variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace. Suatu kelebihan metode transformasi Lapalace adalah bahwa metode ini memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramal kinerja sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Kelebihan lain metode transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen transien maupun komponen keadaan tunak.
Definisi Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi Laplace adalah: a. Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan ke kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace. Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabel transformasi laplace. b. Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace. c. Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan waktu. d. Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan waktu.
Konsep transformasi Laplace
Konfersi Transformasi Laplace
Konfersi Transformasi Laplace
Fungsi Transfer Persamaan differensial suatu sistem yang menghubungkan output dengan input
an y n an 1 y n 1 ... a1 y1 a0 y bmu m bm1u m1 ... b1u1 b0u
Output , y ( t )
Inpu t ,u ( t )
Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas dengan kondisi awal sama dengan nol
G( s ) Fungsi Transfer
G ( s )
Y ( s) U ( s )
L y (t ) kondisi _ awal no l Lu (t ) kondisi _ awal no l
bm s m bm 1 s m1 ... b1 s b0 an s n an 1 s n1 ... a1 s a0
Sifat -sifat Fungsi Transfer 1. Fungsi transfer suatu sistem merupakan model matematik yang mengekpresikan persamaan differensial yang menghubungkan variabel output terhadap variabel input. 2. Fungsi transfer adalah property dari system itu sendiri, tidak bergantung pada input atau fungsi penggerak. 3. Fungsi transfer memiliki besaran yang diperlukan untuk menghubungkan input dan output. Tetapi tidak memberikan informasi tentang struktur physik dari suatu sistem. Fungsi transfer dapat sama (identik) dari bentuk physik yang berbeda. 4. Jika fungsi transfer sistem diketahui, output atau response dapat dipelajari dari berbagai input yang diberikan. Fungsi transfer memberikan deskripsi menyeluruh mengenai karakteristik dinamik suatu sistem
Persamaan Karakteristik •
Persamaan karakteristik suatu sistem (linier) didefinisikan sebagai denumerator polinomial fungsi transfer sama dengan nol. Fungsi Transfer
G( s)
N ( s) D( s) Note: Stabilitas suatu sistem linier SISO (single-input single-output) ditentukan dengan akar persamaan karakteristik
g ( s) D( s) 0 Persamaan Karakteristik D I
M h
dY
i
12
Zero dan Pole Suatu Fungsi Transfer •
Fungsi transfer biasanya direpresentasikan dalam bentuk polynomial pecahan sebagai berikut :
G ( s)
N ( s) D( s)
( s z 1 )( s z 2 )...( s z m ) ( s p1 )( s p2 )...( s pn )
Solusi N(s)=0 disebut zeros (z), karena membuat G(s) bernilai nol. Solusi D(s)=0 disebut poles (p), karena membuat G(s) bernilai tak berhingga •
Perhatikan fungsi transfer berikut:
G( s)
N ( s) D( s)
s 2 4 s 3 s( s 2 3 s 2)
( s 1)( s 3) s( s 1)( s 2)
Memiliki zero pada s=1, s=3 dan pole pada s=0, s=-1, s=-2
Zero dan Pole Dengan MatLab •
MatLab memiliki fungsi built-in “roots” yang dapat digunakan untuk mencari zero dan pole suatu fungsi transfer :
zeros roots (c)
c adalah vektor koefisien numerator fungsi transfer dan d vektor koefisien denumerator fungsi transfer
poles roots(d ) •
Perhatikan fungsi transfer berikut:
G ( s) •
N ( s) D( s)
s 2 4 s 3 s( s 2 3 s 2)
s 2 4 s 3
zeros =
s 3 3 s 2 2 s
3
Perintah berikut:
1
>>num=[1 -4 3];
poles =
>>den=[1 3 2 0];
0
>>zeros=roots(num)
-2
>>poles=roots(den)
-1 D I
M h
dY
i
14
Contoh Soal Fungsi Alih
Contoh Soal Fungsi Alih
Contoh Soal Fungsi Alih
Jika soal sebelumnya diketahui F=2t+3, m = 2 kg, f v= 4 Ns/m, dan k = 100 N/m. Tentukan Fungsi Alih.
Penyederhanaan Blok Diagram
Diagram Blok: Seri
R(s)
G1(s)
G2(s)
Y(s) Gk(s) G(s)
Fungsi Transfer k
G( s ) Gi ( s ) G1 ( s)G2 ( s )...Gk ( s ) i 1
Seri
Paralalel
Paralalel
Paralel
G1(s) R(s) G2(s)
Gk(s)
+
+ +
Y(s)
G(s)
Fungsi Transfer hubungan paralel: k
G( s) Gi ( s) G1 ( s) G2 ( s) ... Gk ( s) i 1
Umpan Balik
Umpan Balik
Feedback
R(s)
Y(s)
G1(s)
+ +-
G(s)
G2(s)
Fungsi Transfer
G( s)
G1 ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s)
Simplikasi Diagram Blok - Pergeseran
Simplikasi Diagram Blok - Pergeseran
Simplikasi Diagram Blok - Pergeseran
R
Y G
R
+
Y G
+ +-
+B
Y
R
R
G
+
Y G
+B
B
1/G
B
G
+ +-
Simplikasi Diagram Blok - Pergeseran
R
Y G
R
Y H
+
G/H
+
+-
+B
H
Y
R G
+ +-
H
R
Y 1/H
GH
+ +-
Simplikasi Diagram Blok - Pergeseran
R
Y
R
Y
G
G Y B
G
Y
R
R
G
Y G
R R
1/G
Simplikasi Diagram Blok - Pergeseran
Tahapan dalam mereduksi diagram blok Tahapan untuk mereduksi diagram blok yang rumit menjadi diagram blok tunggal dapat dilakukan dengan menggunakan bentukbentuk ekuivalen diagram blok berikut ini :
(a)
G
H
GH
G (b)
G+H H G
G 1
(c)
GH
H G (d)
G 1 G
(e)
G
G
(1)
Reduksi digram blok berikut ini menjadi diagram blok ekuivalen tunggal dan tentukan fungsi alih sistem tersebut ! G2
G1 x
y G4
G3
H1 H2
x
G1 G2
G3 G 4
H1 H
y
G1 G2
x
G3 G 4
H 1( G 1 G2
1
G3 G 4 )
y
H2
G1 G2 x
H 1( G 1 G 2
1
G1 G2
H2
1
x
1
( H1
G3 G 4 )
y
G3 G 4
H 1( G1 G2
G 1 G2 1
G3 G 4
G3 G 4 )
y
G3 G 4
H 2 ) (G1 G2
G3 G 4 )
Contoh1 Diagram blok dari suatu sistem diberikan seperti gambar berikut, Tentukan: a). Open-Loop Transfer Function, OLTF b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF R
+
E
-
U
C
B
Y G
H
Jawab a). Open-Loop Transfer Function, OLTF B( s) OLTF C ( s)G ( s) H ( s) E ( s) b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF
CLTF
Y ( s) R( s)
C ( s)G ( s) 1 C ( s)G ( s) H ( s)
Contoh2 Sederhanakan diagram blok berikut: C1 R
+
-
+ +
C2
-
Y G1
H1
H3
H2
G2
Contoh2 Jawab
C1 R
+
-
+ +
C2
-
Y G1
H1
H3
H2
G2
Contoh2 Jawab
R
+
-
C1+C2
G1 1+G1H1
Y G2
H2H3
R
+
-
(C1+C2)G1G2 1+G1H1
H2H3
Y
Contoh2 Diagram Blok yang disederhanakan menjadi:
R
(C1+C2)G1G2 1+G1[H1+(C1+C2)G2H2H3]
Y
FUNGSI ALIH (TRANSFER FUNCTION) Fungsi alih adalah perbandingan transformasi laplace keluaran dengan transformasi laplace masukan dengan menganggap semua kondisi awal nol. Contoh : carilah fungsi alih sebuah sistem yang dinyatakan oleh persamaan diferensial berikut:
+3
+ 2 =
+ 2 ; x = input sistem , y = output sistem
Jawab: Dengan menerapkan transformasi laplace (Kondisi awal nol) diperoleh: 2 + 3 + 2 = + 2() Maka fungsi alihnya :
() ()
=
+2 2 + 3 + 2
Tugas
Sederhanakan diagram blok berikut & cari fungsi alihnya!
Contoh Reduksi Diagram Blok (2)
Sederhanakan diagram blok berikut & cari fungsi alihnya!
Blok diagram hasil reduksi:
Reduksi digram blok berikut ini menjadi diagram blok ekuivalen tunggal dan tentukan fungsi alih sistem tersebut ! (1)
x
G2
G1
G3
y
H
(2)
x
G2
G1
y
H1 H2
(3)
x
G
y
H1 H2 OTOMASI SISTEM PRODUKSI
44
