OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE (NEWTON) 1. Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili stanju jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok neka sila koja na nj djeluje ne promijeni to stanje. (Zakon tromosti) 2. Ubrzanje (vektor!) (promjena brzine) proporcionalno je sili koja djeluje na tijelo, a zbiva se u smjeru djelovanja sile. (Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja) 3. Dva tijela djeluju uvijek jedno na drugo silama koje su po veličini jednake, ali suprotna smisla. (Princip akcije i reakcije) AKSIOMI STATIKE 1. Ako na kruto tijelo djeluju dvije sile, ono će biti u ravnoteži ako su sile kolinearne, jednake po veličini, a usmjerene suprotno. Kolinearne sile su one sile koje leže na istom pravcu. 2. Rezultatnta se dviju sila koje djeluju u istoj točki krutog tijela određuje po zakonu paralelograma. Umjesto paralelograma može se upotrijebiti trokut sila. Dakle, ove se dvije sile mogu zamijeniti rezultantom, a isto tako se ova rezultanta (dakle nova sila) može rastaviti na dvije sile koje djeluju u istoj točki, a na pravcu ove rezultante. 3. Ravnoteža ili jednoliko gibanje krutog tijela neće se promijeniti ako se tijelo oslobodi veza i umjesto njih dodaju se krutom tijelu sile koje su jednake reakcijama veza. 4. Stanje ravnoteže ili jednolikog gibanja neće se promijeniti ako se tijelu doda ili oduzme uravnoteženi sustav sila. 5. Ako deformabilno tijelo pod djelovanjem sila zauzme deformirani ravnotežni položaj, ravnoteža se neće narušiti ako se deformirano tijelo razmatra kao idealno kruto tijelo. Ovaj se aksiom često naziva i princip solidifikacije ili načelo ukrućenja. Kruto tijelo je idealizirano čvrsto tijelo. Ono se pod djelovanjem opterećenja ne deformira - ne mijenja svoj oblik i dimenzije. Masa tijela se definira u fizici kao mjera tromosti ili inercije tijela, a jedinica joj je kilogram (kg). Jedan je kilogram određen etalonom koji se čuva u Sevresu u Francuskoj. Sila je usmjerena ili vektorska veličina koja je određena pravcem djelovanja, hvatištem, veličinom i smislom. Sila se može objasniti kao međusobno djelovanje materijalnih tijela koja nastoji promijeniti stanje gibanja tijela. Sila može tijelo ubrzati i može ga deformirati. Redukcija sile koja djeluje na tijelo (npr. s hvatištem u točki A) znači njezin paraleni pomak u neku drugu točku hvatišta, npr. B. Ovo ima za posljedicu da se k tijelu mora pridodati odgovarajući spreg sila kako bi se poništio efekt redukcije sile. Statički moment sile
s obzirom na točku O jest vektor definiran:
To je vektor s hvatištem u O i upravljen okomito na ravninu trokuta OAB. Smjer se statičkog momenta sile određuje po pravilu desnog vijka, dok je njegova apsolutna vrijednost (iznos, intenzitet ili modul) jednaka umnošku iznosa sile i njezinog kraka, tj. udaljenosti h točke O od pravca djelovanja sile:
Statički moment sile s obzirom na os z jest vektor, a predstavlja statički moment sile s obzirom na točku O u kojoj os z probija ravninu . Iznos sile jednak je projekciji sile na ravninu , koja stoji okomito na os z: odnosno
. 1
Spreg sila je vektor (moment). Ovaj vektor čine dvije po iznosu jednake antiparalelne sile. Moment sprega je slobodni vektor i stoji okomito na ravninu sprega. Smjer je određen pravilom desnog vijka, a iznos je: Analitički određivanje položaj rezultante prostornog skupa paralelnih sila Neka je zadan skup paralelnih sila u prostoru . Ovaj je skup moguće zamijeniti s jednom silom - rezultantom na sljedeći način: 1. Odabere se koordinatni sustav tako da je jedna os npr. z, paralelna sa zadanim skupom sila. Izvrši se redukcija sila na točku ishodišta O pri čemu je: , , . Momenti oko osi su: , , . 2.
3. 4.
5.
Glavni moment: Potrebno je odabrati NOVU točku redukcije B, ali tako da se nalazi na pravcu određenim vektorom koji je OKOMIT na glavni moment . U ovoj točki dodati k skupu sila dvije uravnotežene sile i čime se ništa ne mijenja. Dvije sile i čine spreg . Ovaj je spreg slobodan vektor pa može imati hvatište u B kao i glavni moment. Iz ovoga je vidljivo da zapravo treba odbrati iznos vektora položaja tako da su iznosi sprega i glavnog momenta JEDNAKI, a kako su im smjerovi protivni, oni će se poništiti. Iz gornjih je jednadži vidljivo kako se određuje iznos rezultante i iznosi komponenti momenata. to iz:
i
slijede koordinate vektora položaja
:
i
2
kada je skalarni produkt rezultante i momenta jednak ništici: Skalarni produkt glavnog momenta i rezultante iznosi ništici, dakle: 1. Glavni je moment jednak ništici: . Kako rezultanta ne mora biti jednaka ništici, to ima za posljedicu ubrzano pravocrtno gibanje krutog tijela. 2. Glavni vektor - rezultanta je jednaka ništici: . Kako u ovom slučaju glavni moment ne mora biti jednak ništici, to ima za posljedicu ubrzano rotacijsko gibanje krutog tijela. 3. Glavni je moment jednak ništici i glavni vektor - rezultanta je jednaka ništici: i . Ovime su predočeni uvjeti ravnoteže tijela u vektorskom obliku. 4. Kut između glavnog momenta i rezultante . Ovaj je slučaj moguć u dva primjera: skup paralenih sila u prostoru skup ravninskih (komplanarnih) sila U ovim se primjerima redukcija skupa sila može svesti samo na glavni vektor - rezultantu. Položaj se rezultante u ovim primjerima određuje posebnim postupkom - izborom posebne NOVE točke redukcije u kojoj će moment sprega uravnotežiti glavni moment. teorem o ravnoteži tri neparalelne sile: U planu je sila zatvoren TROKUT sila i u planu se položaja sve tri sile sijeku u jednoj točki. Dokaz teorema: neka u ravnini postoje tri neparalelene sile; na temelju DRUGOG aksioma Statike, dvije se sile mogu zamijeniti jednom silom koja je njihova rezultanta; sada zapravo u planu položaja postoja dvije sile; na temelju PRVOG aksioma Statike, dvije se sile mogu poništiti samo ako leže na istom pravcu, jednakog iznosa i protivnog smjera djelovanja. Radi ovoga pravac djelovanja treće sile mora prolaziti SJECIŠTEM prethodne dvije u planu sila treća sila ima početak u vršku rezultante prve dvije, a kako se mora poništiti s njom, treba šiljkom završiti u njenom početku. Za ovako nastali lik se kaže da je ZATVOREN trokut sila. VARIGNONov TEOREM Na ravnu krutu ploču
djeluje skup komplanarnih sila različitog pravca. Ako je rezultanta
tada je:
ili skalarno tj. statički moment rezultante skupa sila s obzirom na točku O jednak je zbroju momenata ovoga skupa sila s obzirom na istu točku. Primjenjuje se: kod određivanja položaja rezultante ravninskog skupa sila, kod određivanja položaja rezultante prostornog skupa paralelnih sila, kod određivanja položaja težišta Culmannova metoda je prikladna za rješavanje onih zadaća ravnoteže gdje se analizira, u pravilu, samo jedno tijelo opterećeno obično samo jednom vanjskom silom (najčešće vlastitom težinom). Drugi važan uvjet je da se poznati pravci bar dviju nepoznatih iznosa sila sijeku u okviru crteža plana položaja dok se treći poznati pravac nepoznate sile treba sijeći s poznatim pravcem sile vanjskog opterećenja. Princip se temelji na Drugom aksiomu Statike i na Teoremu o ravnoteži tri neparalene sile. Metoda je čisto grafička. Potrebno je crtati plan položaja i plan sila u mjerilu.
3
POSTUPAK: Poznati pravci bar dviju nepoznatih iznosa sila koji se sijeku imaju, na temelju Drugog aksioma Statike, rezultantu čiji pravac prolazi tim sjecištem. Ovime za analizu postoje TRI sile koje su u ravnoteži: sila , vanjska sila i preostala nepoznata sila te se na njih može primjeniti Teorem o ravnoteži tri neparalelne sile. Riterova metoda je prikladna za rješavanje onih zadaća ravnoteže gdje se analizira, u pravilu, samo jedno tijelo. Drugi važan uvjet je da se poznati pravci triju nepoznatih iznosa sila sijeku međusobno u okviru crteža plana položaja. Princip se temelji Momentnom pravilu (Varignonov teotem) za slučaj ravnoteže. Metoda je grafo-analitička. Potrebno je crtati plan položaja u mjerilu. POSTUPAK:U točki u kojoj se poznati pravci dviju nepoznatih iznosa sila sijeku postavi se MOMENTNA JEDNADŽBA RAVNOTEŽE. Ovo daje jednadžbu samo s jednom nepoznanicom - iznos treće nepoznate sile. Pri ovome se krakovi svih sila izmjere u planu položaja. Ovaj se postupak treba ponoviti za još dva preostala sjecišta princip izolacije ili reza U općem su primjeru konstrukcije ili mehanički sustavi uzajamno vezani na raznovrsne načine. Da bi se moglo analizirati djelovanje sila na jedno tijelo promatranog sustava, potrebno ga je izdvojiti, a umjesto veza s ostalim tijelima ili okolinom postavljaju se odgovarajuće sile. 1. Veza tijela preko užeta ili štapa Oslobađanje se tijela svodi na zamišljeno presijecanje užeta ili štapa, te zamjena ove veze silama s hvatištem na mjestu veze i pravcem na pravcu užeta ili štapa, a usmjerene od tijela prema zamišljenom presjeku. Na ovaj se način pretpostavlja da su sile u užetu i štapu vlačne, što se u postupku računanja očituje kao pozitivni predznak izračunate veličine, a ako bi predznak izračunate reakcije bio negativan (što ima smisla samo za štap), tada je sila u štapu tlačna. 2. Pomični oslonac - veza tijela u glatkom dodiru U primjerima kada se tijelo naslanja na okolinu ili drugo tijelo tako da taj kontakt ne predstavlja nikakav otpor pomicanju tijela u dodirnoj ravnini, kaže se da je oslonac pomičan, a dodir gladak. Reakcija podloge (okoline) ili drugog tijela, upravljena je okomito na dodirnu plohu usmjerenu k promatranom tijelu. Dodirna ploha leži u zajedničkoj tangencijalnoj ili dodirnoj ravnini tijela. 3. Nepomični oslonac - zglobna veza tijela Veza tijela za okolinu ili drugo tijelo na način da nema aksijalnih pomaka, nego su eventualni pomaci mogući kao rotacija oko točke veze - naziva se zglobna veza. U ravninskim je zadaćama sila reakcije ovakve veze proizvoljno upravljena sila u toj ravnini. Pravac, smjer i iznos su rezultat računanja. Kod analitičkog je računanja pogodno ovu reakciju predočiti kao dvije uzajamno okomite komponente usmjerene u pozitivnom (ili negativnom) smjeru osi pogodno odabranog koordinatnog sustava što vrijedi i za prostorne zadaće. 4. Uklještenje Veza tijela za okolinu ili drugo tijelo tako da je onemogućen pomak ili rotacija u bilo kojem smjeru naziva se uklještenje. Pri analizi ovakvih veza najpovoljnije je da se na mjestu uklještenja postave tri komponente sile reakcije usmjerene u pozitivnom smjeru osi odabranog koordinatnog sustava te tri komponente momenta uklještenja orijentiranih oko (i u smjeru) osi odabranog koordinatnog sustava.
4
5. Veza tijela u dodiru uz prisustvo trenja U primjerima kada se tijelo naslanja na okolinu ili drugo tijelo tako da taj kontakt predstavlja otpor pomicanju tijela u dodirnoj ravnini, govori se da u dodirnoj ravnini djeluje trenje. Detaljnije o ovakvoj vrsti veze pokazano je u poglavlju o trenju. 6. Veza tijela pomoću spiralne opruge Spiralna opruga je osobiti strojni element koji, kao i štap, može prenositi tlačne ili vlačne sile, a koje su usmjerene u smjeru uzdužne osi. Ovakve se veze posebice primjenjuju kod tijela koje vibriraju i često u sprezi s tzv. prigušnim elementima pridonose ublažavanju efekta vibriranja. Veza pomoću opruge isto je tako pogodna kada neki element strukture treba zauzeti po volji pogodan, ali uravnotežen položaj. 7.Veza tijela pomoću užeta i kolotura Kolotur je takav strojni element koji u pravilu služi za promjenu smjera djelatne sile. Kako se u pravilu trenje koje djeluje u ležajevima kolotura može zanemariti prema iznosu sile u užetu, iznos sile u užetu je nepromijenjen. Kolotur može biti nepomičan ili pomičan. Kombinacijom pomičnih i nepomičnih kolotura, može se ostvariti efekt smanjenja sile u užetu prema djelatnoj sili poteznika pomičnih kolotura, ( Arhimedov koloturnik). Ravnoteža tijela: Tijelo je u ravnoteži kada su rezultanta sila i glavni moment jednaki nuli što se u obliku vektorskih jednadžbi piše: ;
.
U primjeru OPĆEG sustava sila opterećenog tijela u PROSTORU, vektorski se način može zamijeniti u obliku sustava od šest algebarskih jednadžbi gdje su iznosi rezultante svih sila u smjeru koordinatnih osi i momenti svih sila oko triju koordinatnih osi ravni ništici. Ovdje je moguće je riješiti šest nepoznatih veličina.
, , , , , .
5
težište tijela: Za homogeno tijelo gustoće
, položaj težišta S tijela u pravokutnom koordinatnom
sustavu podudara se s geometrijskim središtem njegova obujma te su njegove koordinate odrediti na slijedeći način: prema momentnom pravilu ili Varignonovom teoremu općenito vrijedi
,
te radi
,
te radi može se pisati te se mogu izračunati skalarne projekcije:
,
,
slijedi: ,
,
,
gdje je
obujam tijela.
težište plohe (težište površine): Za homogenu ploču ravnomjerne gustoće ( znatno manja od drugih dviju dimenzija ( određivanje geometrijskog središta površine A.
mogu
) čija je debljina
), zadatak određivanja koordinata težišta S svodi se na
Koordinate težišta površine A su: ,
,
, gdje je ploština površine A jednaka:
.
STATIČKI MOMENTI TROMOSTI: 1.Aksijalni moment tromosti ravne površine definiran je integralom oko osi y: ; oko osi z: Aksijalni moment tromosti ravne površine može biti samo POZITIVAN!
.
Ovo je iz razloga što u integralima i diferencijal površine dA po definicijidA ne može biti negativan, dok udaljenosti bilo y bilo z su u kvadratu te su stoga uvijek pozitivne. 2. Polarni moment tromosti ravne površine definiran je integralom oko osi neke točke, npr. S (ovdje ujedno i ishodište koordinatnog sustava y,z):
.
3. centrifugalni moment tromosti ravne površine definiran je integralom oko dviju osi koordinatnog sustava y,z: Centrifugalni moment tromosti ravne površine može biti i POZITIVAN i NEGATIVAN! Ovo je iz razloga što u integralu diferencijal površine dA po definicijidA j euvijek pozitivan, dok udaljenosti bilo y bilo z mogu biti bilo pozitivne bilo negativne.
6
Centrifugalni ili devijacijski moment tromosti svake ravne površine pa tako i TROKUTA definiran je integralom oko dviju osi koordinatnog sustava y,z smještenog u TEŽIŠTU TROKUTA: . Za PRAVOKUTNI trokut kao na slici, kojemu se širina b mjeri u smjeru y-osi, a visina h u smjeru z osi:
iznosi: . Predznak minus (-) može se jednostavno primjeniti na temelju promatranja površina u tzv. pozitivnim odnosno negativnim kvadrantima. Kako se vidi, ovdje su ploštine površina trokuta u negativnim kvadrantima veće nego one u pozitivnim kvadratima. Centrifugalni ili devijacijski moment tromosti ravne površine oko dviju osi koordinatnog sustava y,z smještenog u TEŽIŠTU LIKA: bit će jednak ništici u dva slučaja: 1. kada je bilo koja od osi koordinatnog sustava y,z ili su pak obje ujedno i OSI SIMETRIJE toga lika 2. kada se rotacijom koordinatnog sustava OSI TROMOSTI 1 i 2
za kut
osi dovedu u poziciju te postanu GLAVNE
Steinerovo pravilo a) za aksijalne MT Aksijalni moment tromosti presjeka s obzirom na neku os jednak je momentu tromosti oko paralelne težišne osi uvećanom za umnožak ploštine A presjeka i kvadrata udaljenosti između tih dviju osi, I
.
b) za centrifugalne MT Devijacijski moment ili centrifugalni moment tromosti presjeka s obzirom na dvije međusobno okomite osi jednak je devijacijskom momentu tromosti tog presjeka s obzirom na paralelne težišne osi uvećanom za umnožak ploštine presjeka i razmaka između oba para paralelnih osi .
7
c) ako su poznati momenti tromosti za osi izvan težišta Aksijalni moment tromosti presjeka s obzirom na os KROZ TEŽIŠTE jednak je momentu tromosti oko paralelne osi IZVAN TEŽIŠTA umanjen za umnožak ploštine A presjeka i kvadrata udaljenosti između tih dviju osi. i . Centrifugalni moment tromosti presjeka s obzirom na osi KROZ TEŽIŠTE jednak je momentu tromosti oko paralelne osi IZVAN TEŽIŠTA umanjen za umnožak ploštine A presjeka i razmaka između oba para paralelnih osi. . momenti tromosti za zarotirane osi koordinatnog sustava: Ako su poznati momenti tromosti presjeka s obzirom na osi koordinatnog sustava momenti tromosti presjeka s obzirom na osi zarotiranog koordinatnog sustava gdje su koordinate; ,
, mogu se odrediti , gdje je
kut rotacije,
,
prema formulama: , , . Kod ovih transformacija nepromjenljive (invarijante) ovisnosti su: , . derivacija aksijalnog momenta tromosti za zarotirane osi koordinatnog sustava: Rotacijom osi presjeka za kut
,
i
poprimaju ekstremne vrijednosti kod kojeg je uvjet ekstrema
funkcije , zapravo određene su glavne osi presjeka 1 i 2 te glavni momenti tromosti presjeka. Dakle derivacija aksijalnog momenta tromosti za zarotirane osi koordinatnog sustava jendaka je centrifugalnom momentu tromosti. uvjet za ekstrem aksijalnog momenta tromosti za zarotirane osi koordinatnog sustava: Rotacijom osi presjeka za kut
,
i
poprimaju ekstremne vrijednosti kod kojeg je uvjet ekstrema
funkcije , zapravo ,određene su glavne osi presjeka 1 i 2 te glavni momenti tromosti presjeka. Kada se prva derivacija neke izjednači s nulom, tada su rješenja ove funcije ekstremi te funkcije (MAKSIMUM I MINIMUM). U ovom su slučaju to GLAVNI MOMENTI TROMOSTI. Centrifugalni moment tromosti za glavne osi je jednak ništici!
8
Glavni momenti tromosti presjeka s obzirom na glavne osi presjeka su:
. Ako su poznati glavni momenti tromosti presjeka, tada su momenti tromosti za koordinatne osi ( su zarotirane za kut 1 u odnosu na glavne osi (1,2) tromosti presjeka:
) koje
, , . Glavni momenti tromosti presjeka s obzirom na glavne osi presjeka su:
. Ako su poznati glavni momenti tromosti presjeka, tada su momenti tromosti za koordinatne osi ( su zarotirane za kut 1 u odnosu na glavne osi (1,2) tromosti presjeka:
) koje
, , . Za dvije uzajamno okomite osi ZBROJ je aksijalnih momenata tramosti za ove dvije osi uvijek konstantan! Ova se nepromjenjivost naziva PRVA invarijanta:
.
polumjer tromosti: za osi y i z presjeka definirani su sa formulama:
, a glavni polumjeri tromosti presjeka:
,
su poluosi elipse tromosti presjeka: Slijedi moment tromosti oko osi
:
.
.
Elipsa tromosti omogućuje brzo određivanje vrijednosti momenta tromosti s obzirom na neku os zarotirana za kut prema osi y presjeka.
koja je
9
Povlači se tangenta na elipsu tromosti paralelno s tom osi i izmjeri se polumjer tromosti te se pomnoži s odabranim mjerilom. Kvadrat ove veličine pomnoži se s iznosom ploštine A površine presjeka, što je moment tromosti presjeka s obzirom na os kut glavnih osi momenata tromosti: Rotacijom osi presjeka za kut funkcije presjeka.
Kut se
,
, zapravo
. i
poprimaju ekstremne vrijednosti kod kojeg je uvjet ekstrema
određene su glavne osi presjeka 1 i 2 te glavni momenti tromosti
može odrediti iz:
gdje kut određuje glavnu os 1 presjeka, mjereno od osi s obzirom na koju je moment tromosti veći po algebarskoj vrijednosti. Mohrova kružnica tromosti Glavni momenti tromosti presjeka mogu se odrediti grafičkim postupkom u dijagramu gdje su na apscisi aksijalni momenti tromosti, a na ordinati devijacijski momenti tromosti, crtanjem Mohrove kružnice tromosti čiji je polumjer
, a središte na osi apscise. Postupak crtanja Mohrove kružnice tromosti za grafičko određivanje glavnih momenata tromosti i glavnih osi tromosti presjeka provodi se na sljedeći način: 1. odabere se prikladno mjerilo za prikazivanje momenata tromosti dužinama 2. crtamo točku A s koordinatama ( ) i točku B s koordinatama ( 3. točke A i B spojimo dužinom koja siječe os apscise u točki
)
, središtu Mohrove kružnice. 4. iz središta S crtamo kružnicu polumjera kroz točke A i B. 5. kružnica siječe os apscise u točkama C i D, čije koordinate odgovaraju u izabranom mjerilu glavnim momentima tromosti presjeka i 6. kroz točku A provlačimo pravac paralelan s osi y, a kroz točku B pravac paralelan s osi z. Sjecište ovih pravaca na kružnici određuje pol P 7. pravac kroz pol P i točku C definira glavnu os 1 tromosti presjeka, a pravac kroz pol P i točku D definira glavnu os 2 tromosti presjeka. 8. Momente tromosti presjeka za osi sljedeći način
zarotirane za kut
iz pola P povučemo pravac koji je paralelan s osi Mohrovoj kružnici je točka E Okomit pravac na spojnicu
u odnosu na osi y,z određujemo na
, tj. čini kut
s osi y, a presjecište na
. iz pola P određuje os
, a presjecište na kružnici je točka
F . 9. Dužine izmjerene u Mohrovoj kružnici pomnožene s mjerilom određuju vrijednosti pripadajućih momenata tromosti presjeka. 10
