Otros Temas de la Estimación Inferencia Estadística Instituto IACC 23 de Enero 2017
1) Un concesionario de automóviles tiene unas existencias de 400 automóviles usados. Para estimar el número medio de kilómetros de estos vehículos, pretende tomar una muestra aleatoria simple de automóviles
usados.
Los
estudios
anteriores
sugieren
que
la
desviación típica poblacional es de 10.000 kilómetros. El intervalo de confianza al 90 por ciento de la media poblacional debe tener una amplitud de 2.000 kilómetros a cada lado de su estimación muestral. ¿De qué tamaño debe ser la muestra para satisfacer este requisito? Respuesta: Se trata de determinar el tamaño de una muestra de tamaño significativo para obtener un margen de error establecido para la media poblacional, con varianza poblacional conocida. X: Kilómetros recorridos por un vehículo perteneciente a un concesionario.
σ x =10.000 km
N=400
e . e=2.000 km
α =0,1
Z 0,95=1,64 5
Se calcula el tamaño de la muestra para una varianza poblacional conocida:
( (
1,645 ∙10.000 2.000
n¿ =
n¿ =
α 1− 2
∙ σx
2
Z
e .e
)
2
)
¿
n ≈ 68 Utilizando corrección por población finita se tiene que:
n=
n¿ ¿ n 1+ N
n ≈ 58 Interpretación:
El tamaño requerido de la muestra para obtener una amplitud del intervalo de confianza
para
la
distancia
media
recorrida
por
los
vehículos
de
la
concesionaria menor a 4.000 kilómetros con un nivel de confianza de un 90% y una varianza poblacional conocida es de 58 vehículos.
2) Un profesor de una clase de 417 alumnos está considerando la posibilidad de hacer un examen final que los alumnos puedan realizar en casa. Quiere tomar una muestra aleatoria de alumnos para estimar la proporción que prefiere este tipo de examen. Si el intervalo de confianza al 90% de la proporción poblacional debe tener una amplitud máxima de 0,04 a cada lado de la proporción muestral, ¿de qué tamaño debe ser la muestra? Respuesta: Se trata de determinar el tamaño de una muestra de tamaño significativo para obtener un margen de error establecido para la proporción de una población, con varianza poblacional desconocida.
{
X : 1 Alumno prefiere realizar examen final desde casa 0 N=417
e . e=0,04
α =0,1
Z 0,95=1,64 5
Se calcula el tamaño de la muestra para una varianza poblacional desconocida:
(
n¿ =
Z
α 1− 2
∙ √ P(1−P) e.e
2
)
Se propone P = 0,5 por criterio de varianza máxima:
(
n¿ =
1,645 ∙ 0,5 0,04
n¿ ≈ 423
2
)
Utilizando corrección por población finita se tiene que:
n¿ n= n¿ 1+ N n ≈ 210 Interpretación: El tamaño requerido de la muestra para obtener una amplitud del intervalo de confianza para la proporción de alumnos que prefiere realizar el examen final en casa menor a 0,08 con un nivel de confianza de un 90% y un criterio de varianza poblacional máxima es de 210 alumnos.
3) En la ciudad de Antofagasta se desea estimar la presión sistólica media de los pacientes atendidos en cuatro consultorios de los cuales se obtuvo la siguiente información: Consulto
Ni
Si2
rio 1
100
241
2
0 300
0 293
3
0 200
8 204
4
0 100
7 221
0
4
a) Determine el tamaño de muestra adecuado para estimar la presión sistólica media en la ciudad con una confianza de 95% y un error no superior a 5 mm/Hg usando muestreo aleatorio estratificado con: i. Asignación proporcional. ii. Asignación óptima.
b) Determine el número de pacientes a elegir por consultorio en cada caso. Se trata de determinar el tamaño de una muestra de tamaño significativo a partir de un muestreo aleatorio estratificado para obtener un margen de error establecido para la presión sistólica media de los pacientes atendidos en cuatro consultorios de Antofagasta, con varianza muestral conocida. Datos: Xi: Presión sistólica de un paciente del consultorio i de Antofagasta, en mm/Hg. i = 1, 2, 3, 4.
N=7.000
e . e=5 mm /Hg
Consultori
Ni
Si2
o 1
100
241
2
0 300
0 293
3
0 200
8 204
4
0 100
7 221
0
4
α =0,05
Z 0,975=1,96
Un método de estimación insesgado de la varianza de la media muestral para una muestra de tamaño significativo genera la estimación puntual. 2
σi =
Si2 N i−ni ∙ ni Ni
Un método de estimación insesgado de la varianza de la media muestral estratificada para una muestra de tamaño significativo genera la estimación puntual.
K
∑ N 2i ∙ σ 2i
σ 2st = i=1
N2
El tamaño de la muestra para una muestra determinada se obtiene a partir de:
(
n=
Z
1−
α 2
∙ σ st
e.e
2
)
a) i. Asignación proporcional Se utiliza asignación proporcional según tamaño poblacional para la proporción de muestras de cada estrato en la muestra total, obteniéndose las siguientes conclusiones:
n1 +n2 +n 3+ n4 =n n1 :n2 : n3 : n4=N 1 : N 2 :N 3 : N 4 1 n1= n 7
3 n2 = n 7
2 n3= n 7
1 n4 = n 7
Luego se reemplazan los tamaños de muestra de cada estrato en la varianza de cada uno. 2
S N −n σi = i ∙ i i ni Ni 2
2
S σ 12= 1 ∙ n 7
2
S σ 4 2= 4 ∙ n 7
N 1−
n 7
N1
N 4− N4
n 7
2
;
S σ 22 = 2 ∙ 3n 7
N 2−
3n 7
N2
2
;
S σ 32= 3 ∙ 2n 7
N 3−
2n 7
N3
;
Las varianzas de cada estrato se reemplazan en la fórmula de la varianza total obteniéndose: K
∑ N 2i ∙ σ 2i
σ 2st = i=1
N2
(
(
N 1 S12 N 1−
n 7
) + N S ( N − 37n ) + N S ( N − 27n ) + N S ( N − n7 ) 2
2
2
2
3
2
3
4
4
σ 2st =
1 N1 2 N
σ 2st =
7 N1 7 N2 7 N3 7N4 1 N 1 S12 −1 + N 2 S 22 −1 + N 3 S32 −1 + N 4 S 42 −1 2 n 3n 2n n N
( (
[( ) (
1 7 σ = 2 N n 2 st
σ 2st =
2
n 7
)
3
3n 7
(
)
4
2n 7
(
)
n 7
(
))
N 22 S22 N 32 S 32 N1 S + + + N 42 S 42 −( N 1 S12 + N 2 S 22 + N 3 S 32 + N 4 S 42 ) 3 2 2
2 1
2504,5714 −0,3578 n
)
)
]
Se calcula el tamaño de la muestra para una varianza poblacional en función del tamaño de la muestra, con corrección por tamaño de muestra ya aplicada:
Z
2
( )
n=
1−
α 2
e.e
n=0,3922 ∙
n=
∙ σ 2st −0,3578) ( 2504,5714 n
384,86 −0,055 n
n2 +0,055 n−384,86=0 Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene:
n ≈ 20 Interpretación: El tamaño requerido de la muestra para obtener una amplitud del intervalo de confianza para la presión sistólica media de los pacientes atendidos en 4 consultorios de Antofagasta menor a 5 mm/Hg con un nivel de confianza de un 95% es de 20 pacientes. b) Desde la respuesta anterior se obtiene que:
n1=3
n2=9
n3=6
n4 =3
Finalmente el tamaño total de la muestra es de 21 pacientes.