Taller con apoyo del aparato de Galton Nombre: Katherine Vera, Gonzalo Martínez ítem
Especificaciones
Describa brevemente qué es un aparato de Galton
Es un aparato que permite simular un experimento Bernoulli con probabilidad un medio un número importante de veces, en el cual es posible visualizar que la tendencia en distribución, al repetir varias veces el experimento. Es posible concluir mediante este aparato que la distribución binomial se aproxima a una distribución normal.
Breve reseña histórica del aparato de Galton
Sir Francis Galton, científico inglés del siglo XIX, crea dicho aparato mientras se encontraba estudiando características de la distribución normal, con este le es posible simular una gran cantidad de experimentos aleatorios que terminan aproximándose a la distribución estudiada.
Plantee objetivos 1. Aproximar a partir de histogramas de distribuciones binomiales el específicos (mínimo gráfico de la “Campana de Gauss”. dos) 2. Modelar situaciones de la vida diaria o de ciencias con distribuciones aleatorias como la distribución binomial o la distribución normal.
Señale los contenidos (del nivel escolar adecuado), previos a la realización del taller
Distribución binomial Valor esperado Varianza Desviación estándar Variable aleatoria continua Distribución de probabilidad de una variable aleatoria Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria
Indique materiales para el taller
Calculadora científica (o una moneda) Aparato de Galton
Motivación:
Taller
Considere la siguiente situación. situación. Para llegar al gimnasio gimnasio un joven camina camina por la Avenida Avenida A, debiendo pasar por 7 semáforos. semáforos. Suponga que el tiempo en que está permitido cruzar tiene la misma duración que el tiempo de espera. Además, asuma que este joven deportista respeta estos tiempos. Se define la variable aleatoria X de la siguiente manera: X: “Número de semáforos en verde ” Se entrega al alumno una hoja con instrucciones para desarrollar la actividad. Desarrollo:
Puntaje
Para simular esta situación, cada estudiante del curso deberá utilizar su calculadora (o bien una moneda). Con la tecla Ran# obtendrá un número aleatorio entre 0 y 1. El número obtenido se interpretará de la siguiente forma:
Si ≤ 0.5, el semáforo está verde (el joven cruza). Si > 0.5, el semáforo está en rojo (el joven debe esperar).
Cada estudiante realiza este procedimiento 7 veces, es decir, una vez por cada semáforo. Luego, se registra el número de veces que el joven encuentra el semáforo en verde (Si no se cuenta con calculadoras, se puede utilizar una moneda, si sale cara el joven cruza, si sale sello debe esperar. De igual forma, se registran los resultados). Pregunta 1 ¿La variable X distribuye binomial? Argumente. De ser así,
identifique los parámetros Cada estudiante deberá realizar este experimento 10 veces. Anotando los resultados en la siguiente tabla, donde S1, S2,…, S7 representan los semáforos y E1, E2,…, E10, las 10 repeticiones del experimento. Como se trata de un experimento Bernoulli, se hace la siguiente asignación: Éxito: 1, Fracaso: 0. En nuestro caso, asociamos el éxito a encontrar el semáforo en verde. Por ejemplo, si el joven encuentra en verde el semáforo 5, entonces en S5 colocamos un 1, mientras que si está en rojo, colocamos un 0. Por otro lado, en X se anota la cantidad de semáforos en verde. Es decir, el resultado de la suma de la fila. En total, colocamos la suma de los resultados de las columnas. S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
X
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 Total Pregunta 2 ¿Cuál es el valor esperado de la variable X? ¿Puede
interpretarlo con los valores de la tabla?
A continuación, los estudiantes realizan el histograma respectivo. Posteriormente, se juntan en grupos de 5 personas, ahora se realiza el histograma basado en las 50 repeticiones del experimento. Finalmente, se juntan los datos de todos los grupos presentes, supongamos que el curso tiene 30 alumnos, luego se realiza el histograma respectivo basado en las 300 repeticiones de la experimento. Los alumnos realizarán en total 3 histogramas. Pregunta 3 ¿Qué conclusiones puede obtener a partir de los 3
histogramas que realizó? En una última etapa, el profesor muestra el aparato de Galton, da una breve reseña del mismo. El aparato que presenta el profesor presenta 7 filas de clavos. El profesor tira una cierta cantidad de pelotitas y muestra cómo funciona esta máquina. Pregunta 4 ¿Al relacionar el aparato de Galton con la distribución
binomial, qué representan las 7 filas de clavos, el hecho de que las pelotas reboten en los clavos y caigan hacia los lados, y la cantidad de pelotas? Vincule lo anterior con la situación del joven y los semáforos. Ahora, usando el aparato de Galton y relacionándolo con la situación del deportista y los semáforos, el profesor tira 10 pelotitas, luego repite la experiencia con 50 pelotitas, y finalmente con 300 pelotitas. Los alumnos observan la forma que adopta el conjunto de pelotas al posicionarse en las celdas del aparato. Pregunta 5 ¿Qué puede observar en el aparato de Galton a medida que se
deslizan más pelotitas? Relacione lo anterior cuando se juntó en grupo y cuando juntaron los resultados de todos?
Cierre: A partir de una situación cotidiana como cruzar una serie de semáforos, hemos observado que cruzar el semáforo, bajo un mismo tiempo de duración, es un proceso Bernoulli, por lo que la variable que definimos inicialmente distribuye binomial. Una primer objetivo de esta clase se centró en realizar histogramas, por lo que era menester que el estudiante entendiera el concepto de variable aleatoria, para luego realizar los histogramas, de donde el estudiante va a inferir que al aumentar el número de repeticiones, observará una gráfica que se asemeja a una campana. Por otra parte, al seguir las instrucciones dadas por el profesor y responder las 5 preguntas propuestas, estas guiarán al alumno a conseguir el segundo objetivo que nos planteamos, el cual era observar mediante el aparato de Galton, contando además con el apoyo de los histogramas, que una distribución normal se aproxima a una normal.
Preguntas
Respuestas
¿La variable X distribuye binomial? De ser así, identifique los parámetros
Sí, por tratarse de repeticiones de procesos Bernoulli. Los parámetros son p=1/2, n= 7. Por tanto,
~ ( = 7, = 1⁄2) Al identificar la variable X como una Binomial, los alumnos saben calcular esta esperanza, ¿Cuál es el valor esperado de la variable X? ¿Puede identificarlo en la tabla?
( ) = ∙ = 3 , 5 En la tabla confeccionada, en la columna de la variable X, los alumnos constarán que se repiten más los valores 3 y 4. Es decir, que el joven pasa por lo general por 3 o 4 semáforos en verde.
¿Qué conclusiones puede obtener a partir de los 3 histogramas que realizó?
¿Al relacionar el aparato de Galton con la distribución binomial, qué representan las 7 filas de clavos, la cantidad de pelotas y el hecho de que las pelotas reboten en los clavos? Vincule lo anterior con la situación del joven y los semáforos.
¿Qué puede observar en el aparato de Galton a medida que consideramos más días? Relacione lo anterior cuando se juntó en grupo y cuando juntaron los resultados de todos?
A medida que se realizan más repeticiones del experimento, observamos que los histogramas adquieren una forma más acampanada.
Las 7 filas de clavo representa el valor de n. El hecho que las pelotitas puedan caer a la izquierda o la derecha al momento de rebotar en un clavo, habla de la probabilidad p, que es igual a 0.5, por último, las pelotitas representan la cantidad de veces que se repite el experimento. La relación con el con el joven de deportista, ya se dijo que n es la cantidad de semáforos, el p es la probabilidad de cruzar, mientras que las pelotitas representan, por ejemplo, la cantidad de días que el joven pasa por los semáforos. En el caso que consideramos los 300 experimentos, puede interpretarse como las veces que pasa el joven por la calle en un año.
Se observa que a medida que se deslizan más pelotitas en el aparato de Galton, observamos en las celdas, que las pelotitas así agrupadas, presentan la forma de la campana de Gauss. Esto es, estamos en presencia de una distribución normal. Con esto, se concluye que la distribución binomial se aproxima a una distribución normal.
