MÁQUINA DE GALTON
CALCULO Y
1. Introducció Introducción n Los ambien ambientes tes de aprend aprendiza izaje je basado basadoss en tecnol tecnologí ogía a computacional han tenido impacto en los diferentes dominios matemáticos, entre ellos, la aritmética, el álgebra, la geometría, la estadística, el cálculo, etc. Sin embargo, se reconoce que el acceso a estos dispositios electr!nicos no garantiza que todos los estudiantes a"an a adquirir una cultura matemática# son herramientas que pueden simpli$car la tarea que tienen en sus manos, pero no la resuelen %&'(M, )*+*. &o obstante, se considera que los estudiantes de todos los nieles educatios debe deberí rían an tene tenerr acce acceso so a las las comp comput utad ador oras as para para ser usad usadas as cuando resuelan problemas matemáticos %&'(M, -. /n el bach bachill iller erat ato o de la 0&1M 0&1M se recon reconoc oce e que que el cono conocim cimie ient nto o matemático está in2uido por los aances tecnol!gicos, entre otros# " que las nueas tecnologías contribu"en a inestigar, conj conjet etur urar ar " eri eri$c $car ar mode modelo loss mate matem mátic áticos os en el alum alumno no %'onsejo 1cadémico del 3achillerato40&1M, -). 1sí, la constante creaci!n " renoaci!n de los recursos tecnol!gicos para la ense5anza, particularmente la ense5anza de las las matem atemát átic icas as,, han han in2u in2uid ido o en gran ran medid edida a en la ense5anza. Si bien es cierto que los paquetes de c!mputo se realizan con cierta intencionalidad, el desarrollo de su potencial educatio depende de su funcionamiento informático " de la crea creati tii ida dad d " dest destre reza za de los los usua usuari rios os,, ine inest stig igad ador ores es " profesores, principalmente, en lo que se re$ere al dise5o de actiidades de aprendizaje para los estudiantes. &oss " 6o"les %)**7 en en la computadora una entana para mirar la manera en que los estudiantes producen signi$cados matemáticos. /n este sentido se cree que deben ser ser busc buscad adas as " cons constr trui uirr acti actii ida dade dess a desa desarr rrol olla larr con con la computadora, actiidades que permitan obserar características importantes de los procesos que los estudiantes llean a cabo para darle signi$cado a los distintos conceptos " procesos matemáticos. La presen presencia cia de calcul calculado adoras, ras, comput computado adoras ras " soft8a soft8are re educatio modi$ca el entorno de la acci!n docente " establece nueas condiciones para el aprendizaje, en particular de las matemáticas.
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2. RESEÑA ISTORICA
1 Galton se le puede considerar como el 9padre: de la psicología diferencial, al aplicar los principios de su primo, ;ar8in, al estudio de las diferencias indiiduales. /sto se oponía a las ideas psicol!gicas que más difusi!n tenían en su época< las de =ilhelm =undt . >ara algunos, las ideas que propuso Galton supusieron un cisma dentro de la psicología, que obliga a er las dos corrientes que nacieron como enfrentadas. ?tros psic!logos en ambas como subdisciplinas integrables. 'entr! su interés en el estudio de las diferencias indiiduales de las capacidades humanas, siempre desde una perspectia adaptatia " biol!gica. >ara ello, se centr! en el estudio de los procesos mentales simples. Sent! las bases de la meteorología al identi$car el efecto de los cambios de la presi!n atmosférica sobre la climatología, descubriendo los anticiclones, " trazando por primera ez líneas isobaras en los mapas. Su interés por la medida fue quizá la característica más releante de toda su inestigaci!n, " su afán por descubrir las diferencias entre las personas le lle! a demostrar por primera ez que el patr!n de las huellas digitales es e@clusio de cada indiiduo. Su método fue adoptado por Scotland Aard, " por todos los departamentos de policía del mundo. ;escubri! también que el oído humano pierde con la edad la percepci!n de las ondas de alta frecuencia %tonos agudos. /n lo que más afecta a la psicología, acu5! el concepto estadístico de correlaci!n, como una forma de determinar matemáticamente la relaci!n entre dos ariables %el procedimiento matemático fue re$nado más tarde por su discípuloBarl >earson .
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/l impacto que le produjo el descubrimiento del mecanismo de la selecci!n natural le hizo plantearse la posibilidad de que la inteligencia hubiese sido una pieza clae en el desarrollo de nuestra especie, " que las diferencias de aptitud entre unos humanos " otros pudieran deberse a factores hereditarios. Galton empez! estudiando lo que él llam! la 9tasa de eminencia:. 'alcul! que, en Gran 3reta5a, una de cada cuatro mil personas era eminente. Sin embargo, de las personas que aparecían en los diccionarios, el ) C tenía al menos un pariente que también aparecía en el diccionario %D eces la tasa de eminencia global. 1demás, la probabilidad de que este pariente fuese directo %padre, hijo o hermano era cuatro eces ma"or que la de que fuese un pariente indirecto. /n estadística " probabilidad se llama distribuci!n normal a una de las distribuciones de probabilidad de ariable continua que con más frecuencia aparece en fen!menos reales. La distribuci!n normal recibe el nombre de ;istribuci!n de Gauss %e@cepto en Erancia, que se la conoce como ;istribuci!n de Laplace. La grá$ca de su funci!n de densidad se reconoce enseguida por su forma acampanada " es simétrica respecto de un determinado parámetro %por lo que también recibe el nombre de 'ampana de Gauss. /n la segunda mitad del siglo FF, Galton constru"! su famosa máquina 9Huincun@:, la cual estaba formada por una tabla ertical en la que había una serie de $las de claos intercalados unos con otros a modo de triángulo de >ascal. La aplicaci!n de este artefacto es isualizar la distribuci!n normal al dejar caer un total de + bolitas. La máquina de Galton construida por nosotros tiene * nieles, por lo que genera una distribuci!n multinomial para ) cajas. Las probabilidades te!ricas de las ) clases para las condiciones del Huincun@ original serían< %)I+, *I+, J7I+, +DI+, )-7I+, )-7I+, )-7I+, +DI+, J7I+, *I+ " )I+. 1 traés de la aplicaci!n informática K hemos calculado que te!ricamente s!lo a partir de bolas se aprecia una simetría casi absoluta, por lo que + bolitas de la máquina original se quedan mu" cortas. &uestra inestigaci!n consiste en realizar un nmero su$ciente de ensa"os como para alidar empíricamente la máquina de Galton.
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!. MARCO TEORICO
La máquina de Galton, o caja de galton, es un dispositio inentado por Erancis Galton ) para demostrar el teorema del límite central, en particular que la distribuci!n normal es una apro@imaci!n a la distribuci!n binomial. La máquina consta de un tablero ertical con arias $las de claos. Las bolillas caen desde la parte superior, botando aleatoriamente " an depositándose, a medida que caen, en los casilleros de la parte inferior. Eormando una super$cie de campana.
Las @ bolillas chocarán con el primer clao teniendo una probabilidad de )I- de ir a la izquierda o hacía la derecha, " a medida que continan a teniendo más caminos a donde ir, es decir más posibilidades para que las bolitas se desíen. 1 lo largo de esta estructura, las bolitas toman caminos aleatorios hasta caer en alguno de los canales colocados en la base. 1l $nal, tendrán ma"ores probabilidades los canales interiores que los e@teriores, formándose
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una distribuci!n de probabilidades conocida como distribuci!n binomial.
". DISTRI#UCI$N #INOMIAL En estadística, la distribución binomial es
una distribución de
probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q ! " # p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n $eces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. %ara n ! ", la binomial se con$ierte, de &ec&o, en una distribución de Bernoulli. %ara representar que una $ariable aleatoria X si'ue una distribución binomial de par(metros n y p, se escribe)
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CALCULO Y *a distribución binomial es la base del test binomial de si'nificación estadística.
".1. E%EM&LOS DE DISTRI#UCI$N #INOMIAL
En las si'uientes situaciones citaremos dos ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución) ". +i se lanza un dado un numero de n $eces nosotros queremos saber cu(les son las probabilidades de que esos lanzamientos el dado nos cai'a un numero primero, la cantidad de lanzamientos de n $eces es independiente una de la otra, ni un lanzamiento depende de nadie. . +e quiere lanzar - $eces una moneda y queremos saber cu(les son las probabilidades de que nos toque un - caras y -#"/ sellas, es similar al caso anterior de los dados, en los lanzamientos de las monedas cada una es independiente de la otra.
".2. E'&ERIMENTO #INOMIAL
/@isten muchas situaciones en las que se presenta una e@periencia binomial. 'ada uno de los e@perimentos es independiente de los restantes %la probabilidad del resultado de un e@perimento no depende del resultado del resto. /l resultado de cada e@perimento ha de admitir s!lo dos categorías () *)+ ,u- +- d-noin) /0ito r)c)+o3. Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los e@perimentos %se denotan como p " q o p " )4p. Se designa por F a la ariable que mide el nmero de é@itos que se han producido en los n e@perimentos. 'uando se dan estas circunstancias, se dice que la ariable F sigue una distribuci!n de probabilidad binomial, " se denota 3%n,p.
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5.¿QUÉ ES LA CAMPANA DE GAUSS?
La campana de Gauss es empleada en estadística " probabilidad, " debe su nombre a su descubridor, el matemático, astr!nomo " físico alemán 'arl Eriedrich Gauss. N(e gustaría saber ,u/ -+ *) c)4)n) d- G)u++O La campana de Gauss es una representaci!n grá$ca de la distribuci!n normal de un grupo de datos. Pstos se reparten en alores bajos, medios " altos, creando un grá$co de forma acampanada " simétrica con respecto a un determinado parámetro. /l punto má@imo de la cura corresponde a la media, " tiene dos puntos de in2e@i!n a ambos lados.
.). 6S(?K1 1unque la campana de Gauss llea el nombre del genio de las matemáticas 'arl Eriedrich Gauss , realmente la distribuci!n normal la descubri! " publico por primera ez 1braham Moire %por eso en algunos libros se llama la distribuci!n de Moire Q Gauss en un artículo del a5o )RJJ, que reprodujo en la segunda edici!n de su obra (he ;octrine of 'hanceT % )RJ+ como apro@imaci!n de la distribuci!n normal para alores grandes de n. /ste resultado fue ampliado por >ierre4Simon de Laplace en su libro (eoría analítica de las probabilidadesT %)+)-.
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/l nombre de Gauss se ha asociado a esta distribuci!n porque la us! con profusi!n cuando analizaba datos astron!micos " algunos autores le atribu"en un descubrimiento independiente del de ;e Moire. /l nombre de UcampanaU se lo dio /sprit VouWret que uso este término %bell surface %super$cie campana por primera ez en )+R-. /'01'?&/S La campana de Gauss está de$nida por la funci!n<
>ropiedades ). /l campo de e@istencia es cualquier alor real, es decir, %4X, YX. -. /s simétrica respecto a la media Z. J. (iene un má@imo en la media Z. D. 'rece hasta la media Z " decrece a partir de ella. . /n los puntos Z [ \ " Z Y \ presenta puntos de infle@i!n. 7. /l eje de abscisas es una asíntota de la cura. R. /l área del recinto determinado por la funci!n " el eje de abscisas es igual a la unidad. +. 1l ser simétrica respecto al eje que pasa por @ ] Z, deja un área igual a . a la izquierda " otra igual a . a la derecha. *. La probabilidad equiale al área encerrada bajo la cura. p%^ 4 \ _ F ` ^ Y \ ] .7+-7 ] 7+.-7 C p%^ 4 -\ _ F ` ^ Y -\ ] .*D ] *.D C p%^ 4 J\ _ F ` ^ Y J\ ] .**R ] **.R C
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.-. 1>L'1'?&/S 0na de las ma"ores aportaciones al cálculo integral que realiz! Gauss, fue la introducci!n de esta funci!n. /ste grá$co se usa en ariables asociadas a fen!menos naturales que siguen el modelo de la normal. ). 'aracteres morfol!gicos de indiiduos % personas, animales, plantas,... de una especie, >or ejemplo tallas, pesos, energaduras, diámetros, perímetros,... -. 'aracteres $siol!gicos, por ejemplo< efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. J. 'aracteres sociol!gicos, por ejemplo< consumo de cierto producto por un mismo grupo de indiiduos, puntuaciones de e@amen. D. 'aracteres >sicologíapsicol!gicos, por ejemplo< cociente intelectual, grado de adaptaci!n a un medio, ... . /rrores cometidos al medir ciertas magnitudes. 6 .
alores estadísticos muéstrales, por ejemplo< la media.
.J. 5&)r) ,u/ +- uti*i6) *) c)4)n) d- G)u++7 /ste grá$co se usa en ariables asociadas a fen!menos naturales8 caracteres morfol!gicos de indiiduos como la estatura o el peso, caracteres $siol!gicos como el efecto de un fármaco, caracteres sociol!gicos como el consumo de un determinado producto por un mismo grupo de indiiduos, caracteres psicol!gicos como el cociente intelectual
9. CONTRUCCI$N DE LA MÁQUINA DE GALTON
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>ara realizar la construcci!n de la máquina de Galton los elementos fueron los siguientes<
) tabla de madera.
) palitos de chupete
Silicona
(ijera
'ola sintetica
(ornillos
) pedazo de idrio de -@- apro@imadamente.
) canicas
;esarmador
itron %cortador de idrio
Ligas para el cabello
:. ARMADO DE LA MAQUETA DE LA MAQUINA DE GALTON
). 'omo base usamos un rompecabezas "a que fue un material de fácil adquisici!n " se adaptaba a nuestras necesidades, en este caso nuestra necesidad de realizar la maqueta. -. >ara hacer las canaletas usamos palitos de chupete %pegando + de estas para cada ranura. usamos cola sintética para madera. J. 0samos tornillo de pulgada " media para atornillar las bolitas %bolitas con liga para sujetar el cabello de las mujeres D. >intamos toda la base " las canaletas, procedimos a echarle barniz para que quede un poco más bonito a la hora de presentar. . /chamos barniz para crear una super$cie lisa 7. 0samos silicona para pegar los idrios, en caso no utilizáramos silicona el idrio estaría suelto " propenso a romperse, el uso de silicona nos resulta seguro "a que es un pegamento que reacciona con el idrio. R. 0na ez terminado todo el armado de la maqueta solamente tuimos que esperamos que seque todo.
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DES&UES DE REALI;AR TODOS LOS &ASOS ANTES MENCIONADOS NUESTRA MAQUETA QUEDO COMO SE
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=NOTA>
La máquina de Galton es un tema mu" interesante en el ámbito de la estadística, nos e@plica acerca de la probabilidad de casos siendo unos independientes de otros, como el profesor menciono en sesiones anteriores que las maquetas podían hacerse de forma mu" sencilla, nos pareci! coneniente realizar este tema debido a su fácil construcci!n.
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?. COMO A&LICAR EN TEMAS DE ESTADISTICA TENIENDO COMO UN RECURSO EL &ROGRAMA GEOGE#RA. ?tra de las aplicaciones las podemos encontrar en el programa Geogebra el cual mostraremos de inmediato
). >rimeramente ingresamos al programa Geogebra " nos amos a la opcion ista " entre las opciones escogemos calculos de probabilidadT
-. 0na ez que damos clic el calculos de probabilidad nos aparecera la siguiente entana.
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3. Claramente podemos observar como se forma una campana de Gauss. La cual es simetrica. 4. Al usar este graco podemos resolver diversidad de problemas de estadistica. Vemo que en las opciones que nos aparecen en la parte inferior izquierda podemos poner la media (poblacional ! la desviaci"n.
EN ALGUNAS &ARTES EL @ORMATO DEL ORD CAM#IA A INGLES Y &OR MAS QUE SE QUIERE CAM#IAR A ES&AÑOL NO SE &UEDE LOGRAR. &OR E%EM&LOB EN LA E'&LICACION DEL GEOGE#RA QUE ESTAMOS DANDO EL @ORMATO ESTA CAM#IANDOB &ERO NO #. $n el caso anterior %desviacion & '%media poblacional. $stos
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CALCULO Y dos valores inu!en muc)o en como se va a dar el graco* el graco siempre sera simetrico pero en lo que va a variar va a sera en su posicion.
+. Con el programa geogebra podemos obtener los valores de las probabilidades instantaneamente sin la necesidad de estar realizando calculos. ,or e-emplo
/. Como podemos ver* en la imagen anterior nosotros !a )emos puesto valores tanto en los casilleros para la desviacion ! para la media poblacional las cuales estan en la parte superior. $n la parte inferior necesitamos poner los intervalos dentro de los cuales queremos saber la posibilidad. 0n vez llenado todos los valores el programa nos da el resultado de la probabilidad al instante. Como podemos ver se cumple la teoria de probabilidades las cuales dicen que la probabilidad esta en el rango de cero ! uno 12*.
?. &RO#LEMAS A&LICATI
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&(@3 .F &(E3 ." &(E H@3 .!.
Se toma un estudiante al azar< a. /ncontrar la probabilidad de que estudie francés o espa5ol. b. b. &( -3 4(3 J 4(-3 K 4(- H 3 .F J ." K .! .9 c. &( H-3c 1 K 4( -3 1 K.9 ." , que también es 4(-c H c 3 ." d. Si sabemos que estudia francés, Ncuál es la probabilidad de que estudie espa5olO P
() E
F
.
=
(
P F ∩ E
)
( )
P F
=
0.3 0.5
= 0.6
e. Si sabemos que estudia espa5ol N'uál es la probabilidad de que estudie francés . P
() F E
(
P F ∩ E
=
( )
P E
)
=
0.3 0.4
=0.75
E%EM&LO 2. /n una pregunta del 'S sobre la edad hasta la que consideran conenientes los padres controlar los programas " el tiempo de teleisi!n de los hijos, la media fue de ),D a5os " la desiaci!n típica de -,)). (eniendo en cuenta que las respuestas se distribu"en apro@imadamente como la cura normal " que an de los R a los -D a5os, calcular<
a4'uantos respondieron que la edad debe ser hasta los )J a5os b4'uantos dijeron que debe estar entre )D " )R a5os. c4'uantos respondieron que debe estar por encima de los )* a5os
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SOLUCI$N8 )3
S @ ] -,)
'onsultando las tablas de la cura normal comprobamos que entre la media " un desiaci!n típica de ),)J encontramos un área de ,JR+ que si situaría a la izquierda de la cura por tener signo negatio. Si el área que queremos calcular es el que queda a la izquierda del alor 4),)J, es decir, los de menos de )J a5os, restamos a , %que es la super$cie de la mitad de la cura ,JR+ " obtenemos el resultado de )-,*-C ,4,JR+] ,)-*3
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Las áreas correspondientes a estos alores z son ,-DD " ,-RJD respectiamente. 'omo en este caso nos preguntan por el área comprendida entre las unidades z Q,77 " ,R sumaremos ambas con el resultado de del ),++C ,-DDY,-RJD ] ,)++ c3
/l área correspondiente es de .DD " los que están por encima de ),R unidades z se obtienen restando de ,, el ,DD de las tablas.
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,4,DD ] ,DD7, es decir el D,D7C. E%EM&LO !. /l consumo medio bimestral de energía eléctrica en una ciudad es de * B8h., con una desiaci!n típica de 7 B8h. Se supone que se distribu"e segn una distribuci!n normal. a N'uántos B8h. tendría que consumir bimestralmente para pertenecer al C de la poblaci!n que más consumeO. b Si usted consume D B8h. Nqué C de la poblaci!n consume menos que ustedO
)3
3uscamos en la tabla el alor de la ariable tipi$cada cu"a probabilidad acumulada es el ,* %*C, por lo que por arriba estaría el C restante. /ste alor corresponde a t ] ),7D. 1hora calculamos la ariable normal F equialente a ese alor de la normal tipi$cada< ),7D ] %F 4*I7 F ] 7R,+R >or lo tanto, tendría usted que consumir más de 7R,+R B8h. bimestralmente para pertenecer al C de la poblaci!n que más consume 3
amos a er en que niel de la poblaci!n se situaría usted en funci!n de los D B8h. consumidos. 'alculamos el alor de la normal tipi$cada correspondiente a D B8h. t ] %D 4*I* ] 4-.JJJ > %F ` D ] > %t ` 4-,JJJ ] > %t -,JJJ ] ) 4 > %t` -,JJJ ] ) 4 ,**) ] ,** Luego, tan s!lo un ),J*C de la poblaci!n consume menos que usted.
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E%EM&LO ". El tiempo medio de los electricistas de una empresa en realizar el montaje de un determinado cuadro eléctrico es de 4 días, con una desviación típica de 1 día. Se supone que se distribuye segn una distribución normal. !alcular" a# $orcentaje de electricistas que tardan menos de % días. b# &iempo a partir del cual del cual se sita el 1'( de los electricistas que m)s tiempo emplean en realizar el cuadro. c# &iempos mínimo y m)*imo que engloba al +'( de los electricistas con tiempo medio.
a)
t -% 4#/1 1 $ -0 %# $ -t 1# $ -t 1# $ -t 2 1# $ -t 2 1# 1 $ -t 1# 1 ',341% ',135 6uego, el 1,35 ( de los electricistas emplean un tiempo in7erior a % días b)
8uscamos en la tabla el valor de la variable tipi7icada cuya probabilidad acumulada es el ',9 -9'(#, lo que quiere decir que por encima se sita el 1'( superior. Este valor corresponde a t 1,:3:. ;
espejando 0, su valor es ,:3:. $or lo tanto, el 1'( de los electricistas que m)s tardan en realizar un cuadro lo
8uscamos en la tabla el valor de t cuya probabilidad acumulada es el ',3 -3'(#. !omo sabemos que
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CALCULO Y ',34: -0 4#/1 = 0 4,13 6os valores de 0 son %,13 y 4,13. $or lo tanto, los electricistas con tiempos comprendidos entre %,13 días y 4,13 días constituyen el +'( de la población con un tiempo medio de realización del cuadro.
E%EM&LO F. Se hace una encuesta en un grupo de )- personas, preguntando si les gusta leer " er la teleisi!n. Los resultados son<
4 1 J- personas les gusta leer " er la tele. 4 1 *- personas les gusta leer. 4 1 DR personas les gusta er la tele. Si elegimos al azar una de esas personas< a. N'uál es la probabilidad de que no le guste er la teleO b. N'uál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta er la teleO c. N'uál es la probabilidad de que le guste leerO
So*ución8
amos a organizar la informaci!n en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan<
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Llamemos L ] ULe gusta leerU " ( ] ULe gusta er la teleU.
a/ P [ no I ]
23 =
b/ P [ L / T ]
c/ P [ L ]
=
",1
=
3, 52
6, ",1
=
=
1,0"
=
1, 04
,3 31
=
1, 22
. CONCLUSIONES8 La campana de Gauss que se forma al hacer el e@perimento de la maqueta de la máquina de Galton se debe justamente a las probabilidades que se presentan en cada obstáculo e interalo. Los interalos que se encuentran en el centro son los que se llenan de bolitas rápidamente, esto se debe a que justamente esos interalos son los que tienen ma"ores probabilidades de tener una bolita debido a que son a"udados por la graedad " de tienen ma"ores caminos que pueda recorrer la bolita. /n cambio, los interalos que se encuentran en los e@tremos se llenan de bolitas raramente debido a que para que caiga una bolita en ellos estas bolitas deben de haber recorrido o bien en todos sus caminos hacia la derecha o hacia la izquierda.
Vustamente esta maqueta nos demuestra las probabilidades que surgen además de que al momento que ocurren pueden ser isualizadas por los demás.
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