Primera parte. a) Consideren un espacio tridimensional (x, y, z), una transformación lineal de rotación: (45 grados alrededor del eje z, y 30 grados alrededor del eje x), una primera base (e1, e2, e3) notada E conformada por los vectores unitarios sobre los tres ejes, un vector w de coordenadas (2,1,2), una segunda base E’ (e1, e2, w). Encontrar la representación de la transformación en la base E (A), en la base E’ (A’ ), ), la representación de w en las bases E y E , ’ las representaciones de w transformado (rotado) en las bases E y E , ’ las matrices P y Q. -
Transformación en la base E (A):
Se tiene la matriz E:
1 0 0 00 10 01 4 5 4 5 0 ,45º 5º 045 045 10 1 0 0 ,30º 0º 00 3300 3300 4 5 4 5 3 0 4 5 3 0 ∗ 045 453030 453030 ∗ 4455 44553300 44553300 |1 1 1| 0 30 30
La primera rotación, 45º alrededor del eje Z entrega:
La segunda rotación, 30º alrededor del eje X entrega:
La rotación final se obtiene multiplicando las dos transformaciones:
Luego, se calcula:
=
* *
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que A=
1
-
45 45 30 45 45 30 30 45 45 30 0 30 30 1 0 1 1 0 2 − 00 10 12 00 10 1/21/2 10 01 21 002 − 1 0 1 1 0 2 45 45 30 45 30 ′00 10 1/21/2 450 453030 45303000 10 12
Transformación en la base E’ (A’):
Q se calcula más adelante, y también se calcula su inverso, sus resultados son: ;
Por lo tanto E’ =
Aplicando la red de similitud, se tiene:
45 45 45300. 3030 2 4545 3 030+2 4530230 45 5 30 2 45+45300. 5 302 4 53030 0 0.530 0.530+30
Para expresarlo un poco más simplificado:
√ 22 √ 22 0
√ √ 646 112 4 1 4 4
La transformación de E’ se obtiene:
√ 2 √ √ 466 121 + √ √ 222 √ √ 33 √ 2 + 41 4√ 3 2 2 4+ 2
′′∗′ 2
√ 22 ′ √ 22 0 -
√ √ 646 41 2
√ 2 √ √ 466 + √ √ 222 √ 21+ 4 2 2 +√ 3
Representación de w=[2,1,2], en las bases E y E’ :
Partiendo de la ecuación:
∗ [2,1,2][1,1,1] 2 12 ′1 ∗0′ 2 [2,1,2] 00 10 12 0 ′01
La representación de w respecto a la base E se obtiene:
De manera similar, se tiene que la representación de w respecto a la base E’:
Como alternativa para comprobar las representaciones obtenidas, se utiliza la siguiente ecuación:
′∗ 1 0 1 2 0 ′00 10 1/21/2 12 01 *
=
Obteniendo el mismo vector b’ calculado anteriormente. -
Representaciones de w transformado (rotado) en las bases E y E’
Partiendo de la rotación de los vectores unitarios, en los ejes y g rados indicados anteriormente, se tiene:
3
45 45 30 45 45 30 30 {,,}45 45 30 0 30 30
Tomando como base la matriz anterior, se utiliza para determinar cuál sería la rotación de W:
2 45 45 30 45 30 450 453030 45303012 245 45 30 245 30 245 45 30 245 30 0 30 230 ∗ 245 45 30 245 30 2450 453030 24523030 |1 1 1| 245 45 30 245 30 245 45 30 245 30 0 30 230
De esta manera, se obtiene la rotación de W, como se muestra a continuación:
Luego, se calcula la representación de W rotado en la base E:
=
*
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que A=
A continuación, se calcula la representación de W rotado en la base E’:
′ ∗ 1 0 2 245 45 30 245 30 2450 453030 24523030 00 10 12 245 45 3030 245 30230 2450 450.300. 5 30 245 3030 530 30 =
*
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que A=
-
Matrices P y Q:
Partiendo de la ecuación:
∗ 4
Los valores de E y E’ se to man de los datos de entrada:
1 0 0 1 0 2 00 10 01 ′00 10 12 10 01 00 10 01 21∗ 001 002 1 0 1 00 10 1/21/2 ′∗ 1 0 2 00 10 12 ;
=
Resolviendo los sistemas de ecuaciones, se encuentra P como se muestra a continuación:
De manera similar, se tiene que:
Con lo que se obtiene:
Multiplicando P*Q, se obtiene la matriz identidad.
b) Clasificar, según los valores de m, la familia de formas cuadráticas de:
+ + ++
Tabla 1: Clasificación de las formas cuadráticas[5].
5
1 2 2 2 10 01 2
1 2 2 2 10 01 2
1 2 2 det 2 10 10 0 2 1 2 1 0
Al despejar esta ecuación, se puede categorizar la función inicial según los siguientes valores de m :
<√ 2 → >0 → ó √ 2 <<0 → , , >0 → ó 0 → 1 3 → ó 0>>√ 2 → , , >0 → ó ±√ 2 → 0 1 2 → ó >√ 2 → , >0 → ó c) Calcular y verificar gráficamente tres normas de: 4 1 3 6
A
Dar lo valores propios y singulares de A. Valores propios:
Valores singulares:
det det43 61 0 4 6 30 → 3 7 6
2225 2237 22 det 25 0 22 37 53,8035 8,1964
Entonces los valores singulares son: 7,3350 y
2,8629
Normas: 1)
∥∥∥∥∑| ∥∥∥=| ∥ 34 6 4,4,33 1, 6 1, 6 ∥∥7
Con esto podemos definir la representación gráfica de norma 1 como sigue:
Figura 1: Grafico de la norma 1.
2) El cálculo de la norma por el método de valor singular, requiere el cálculo realizado anteriormente para los valores singulares, en este caso tenemos que la norma es el valor singular de mayor magnitud, i.e. 7,33.
7
Figura 2: Grafica de la norma euclidiana.
∥∥∞|3|+| 6 |9 3,3 3,3
3) En este caso la norma corresponde a la suma más grande de las magnitudes de las respectivas filas, i.e.
Figura 3: Grafica de la norma
∥∥∞
8
Bibliografía [1]
Chi-Tsong Chen, “Linear system theory and design,” Oxford University Press . OXFORD UNIVERSITY PRESS, New York, p. 47, 1999.
[2]
L. Hogben, “Handbook of linear algebra.” Chapman & Hall, p. 95, 2007.
[3]
J. E. Jackson, A User’s Guide to Principal Components Analysis . John Wiley & Sons, 1991.
[4]
E. J. Ientilucci, “Using the Singular Value Decomposition,” 2003. .
[5]
“Optimización económica.” [Online]. Available: http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/formacuadratica#T_34_3_htm.
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