Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica
Tarea 4: Mecanismo de yugo escocés
Alumno:
Felipe Ligeti
Profesor:
Claudio García
Fecha:
08-01-2016
Contenido Introducción........................................................................................................ 3 Desarrollo............................................................................................................ 4 Grados de libertad con criterio de Grübler.......................................................4
Condiciones de restricción para coordenadas naturales..................................5 Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la resolución analítica con métodos tradicionales...............................................7 Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la simulación con SolidWorks............................................................................... 9 Comparación de resultados con software SolidWorks y resolución analítica mediante MathCad........................................................................................... 9 Desplazamiento............................................................................................ 9 Velocidad.................................................................................................... 10 Aceleración................................................................................................. 10 Conclusión y comentarios personales...............................................................11 Bibliografía........................................................................................................ 12
Introducción En la actualidad muchas máquinas están basadas en el principio de las transmisiones de movimiento y la transformación del mismo, por lo mismo, la importancia que conlleva la implementación de estos mecanismos es muy amplia que incluso se remonta a tiempos 2
inmemorables con la invención de la rueda, la cual se ha convertido en una pieza fundamental en toda maquinaria de hoy en día. El mecanismo de yugo escocés tiene algunas ventajas con respecto a otros sistemas como el de biela-manivela, por ejemplo, requiere de menos piezas móviles y tiene funcionamientos más suaves (aceleraciones más pequeñas). Entre las aplicaciones que utilizan este sistema, se pueden mencionar los motores de combustión interna y también en motores neumáticos. El principal objetivo de este trabajo consiste en simular mediante el software SolidWorks el mecanismo de yugo escocés con el fin de estudiar la evolución del desplazamiento, velocidad y aceleración de un punto en específico de un elemento del sistema. Para ello es necesario encontrar el grado de libertad utilizando el criterio de Grübler. Se aplicaran las condiciones de restricciones para coordenadas naturales del problema que definirán el comportamiento de este para finalmente realizar la comparación de los gráficos obtenidos con la solución analítica por medio de los métodos tradicionales de mecánica.
Desarrollo
El esquema del problema se representa en la imagen a continuación:
3
Donde: P es el punto donde se realiza el estudio de movimiento. Se pide determinar para el mecanismo:
Numero de grados de libertad mediante el criterio de Grübler. Condiciones de restricción en coordenadas naturales Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la
resolución analítica con métodos tradicionales Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la simulación con SolidWorks
Grados de libertad con criterio de Grübler
El criterio de Grübler permite obtener el grado de movilidad de un mecanismo. Consiste simplemente en realizar una diferencia entre los grados de libertad de los eslabones del mecanismo y las restricciones impuestas por los pares cinemáticos.
En este problema se establece un mecanismo plano con un eslabón fijo, por lo tanto, la fórmula resultante para obtener el grado de movilidad es la siguiente:
4
m=3 ∙ ( n−1 ) −2∙ j 1− j 2
Donde:
m=Grados de libertad
n=Número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc.) del mecanismo
j 1 =Número de uniones de 1 grado de libertad
j 2 =Número de uniones de 2 grados de libertad
Considerando que el mecanismo de yugo escocés propuesto posee 4 elementos, 4 uniones de 1 grado de libertad y 0 uniones de 2 grados de libertad, la expresión para encontrar el grado de movilidad es:
m=3 ∙ ( 4−1 )−2 ∙ 4−0=1
Por consiguiente, el problema posee un grado de libertad, es decir, el movimiento de todo el sistema se logra solamente con la manipulación de un solo elemento. Para la simulación con SolidWorks basta con agregar un motor en la manivela que se encuentra sujeta a la articulación fija en el extremo izquierdo para establecer todo el movimiento.
Condiciones de restricción para coordenadas naturales
Como este problema es un caso plano, las coordenadas naturales son coordenadas cartesianas de puntos de sólidos del mecanismo, denominados puntos básicos, en los cuales se deben cumplir las siguientes características: 5
Cada sólido rígido debe contener, al menos, dos puntos de sólidos, ya que en caso
contrario no queda su posición definida En cada articulación debe situarse un punto básico. De esta forma, los dos sólidos que se unen en el par comparten un punto, quedando así automáticamente
impuesta la condición de par de revolución Pueden utilizarse más puntos básicos por conveniencia: definición de ángulos o distancias, puntos concretos de interés, etc.
La imagen a continuación muestra los puntos del esquema del mecanismo.
Luego las condiciones de restricción para coordenadas naturales son:
Manivela: 2
2
2
(X B− X O) −(Y B−Y O ) −L1=0 Biela:
(X P− X B )2−(Y P −Y B )2−L22=0 Deslizadera horizontal:
(X P− X F ) ∙(Y F −Y E )−(X F− X E ) ∙(Y P −Y F )=0 6
Deslizadera vertical:
(X A −X D )∙( Y D −X C )−(X D− X C )∙(Y A −Y C )=0 Ángulo:
( X B− X O )−L1 ∙ cos ( a 1 )=0 Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la resolución analítica con métodos tradicionales
Para encontrar la evolución de la posición, velocidad y aceleración del punto P, se utiliza el método de las restricciones, para ello se observa la siguiente imagen:
L1 y L2 son 140 y 170 [mm] respectivamente. Las ecuaciones de restricción que se desprenden de la geometría del problema son:
L1 sin ( a 1 )=h y L2 sin ( a2 )=h entonces
L1 sin ( a 1 )=L2 sin ( a 2 ) (¿)
La ecuación
(¿) , es la primera restricción. 7
Por otro lado, la distancia X desde la articulación fija hasta el punto P se obtiene de la suma de los cosenos de cada ángulo a1 y a2, es decir:
¿∗¿ ¿ ( a2 ) ¿ ( a 1 ) + L2 cos ¿ X=L1 cos ¿
¿∗¿ ¿ , es la segunda restricción.
La ecuación
Para encontrar la variación de X mientras varia el ángulo es necesario dejar la expresión
¿∗¿ ¿ en función solo de a1, para ello se utiliza el teorema del seno, por lo tanto: sin ( a1) sin ( a2) = L2 L1
a 2=asin
(
L1 sin ( a1 ) L2
)
Luego
(
¿∗¿ ¿ L sin ( a1) asin ( 1 ) ¿ L2 ( a 1 )+ L2 cos ¿ X =L1 cos ¿
)
Finalmente se indica que la velocidad de rotación es de 10rpm, por lo tanto el ángulo a1 varía según:
π 2π −10 ∙ ∙t 4 60
8
Donde las rpm se expresan en vuelta ( 2 π ¿
Notar que
π 4
por minuto (60segundos) y t es el tiempo.
expresa que la posición inicial de la manivela se encuentra a 45 grados
con respecto a la horizontal. Conocida la posición X del punto P, basta con derivar una vez esta expresión para encontrar la velocidad y derivar por segunda vez para obtener la aceleración del punto P. Las otras restricciones son las derivadas primera y segunda de las ecuaciones
(¿ )
,y
¿∗¿ ¿ . Es decir:
X´ =velocidad=−L1 a´1sin ( a 1 )−L2 a´2 sin ( a 2 ) ´ sin ( a 1 )−L1 a´12 cos ( a 1 )−L2 a´2 sin ( a 2 )−L2 a´22 cos ( a 2 ) X´ =aceleració n=−L1 a1 Pero como la velocidad angular es constante e igual a 10 rpm, la aceleración angular y por ende
a´1 es 0. Luego la expresión para la aceleración es:
´ 2 cos ( a 1 ) −L2 a´2 sin ( a 2 )−L2 a2 ´ 2 cos ( a 2 ) X´ =aceleraci ó n=−L1 a1 Posteriormente estas ecuaciones se grafican en el software MathCad para encontrar los gráficos correspondiente a la evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P.
Evolución de posición, velocidad y aceleración del punto P mediante la simulación con SolidWorks A continuación se presenta la modelación en SolidWorks del mecanismo.
9
Está compuesto por 4 piezas que conforman el sistema y luego se realiza el ensamble completo de estas. Una de las características que posee SolidWorks es que ofrece un estudio de movimiento, el cual entrega todos los datos que se puedan necesitar por medio de gráficos. Una vez impuesta las condiciones de relación geométrica e implementando el motor que gira horariamente a 10rpm, el software arroja los resultados correspondiente para posición, velocidad y aceleración del punto P.
Comparación de resultados con software SolidWorks y resolución analítica mediante MathCad Desplazamiento
Velocidad
10
Aceleración
Los gráficos con líneas azules representan la solución entregada por SolidWorks mediante la simulación. Por otro lado, los de color rojo representan la solución analítica graficada por medio de MathCad. Se observa que las curvas de desplazamiento, velocidad y aceleración cumplen con un comportamiento bastante similar, esto significa que los resultados simulados y analíticos son 11
correctos y reflejan de buena manera los movimientos del mecanismo de yugo escocés.
Conclusión y comentarios personales La importancia de simular el comportamiento del mecanismo de yugo escocés queda de manifiesto al realizar la simulación por medio de SolidWorks, pues se demuestra como un movimiento rotacional puede ser transformado en un movimiento trasnacional o al revés si se quisiera, consecuencia relevante si se considera que este análisis ha sido de gran ayuda para el funcionamiento de por ejemplo, motores de combustión interna o neumáticos. Cuando se determina que el grado de libertad, utilizando el criterio de Grübler, es 1, significa que el mecanismo solo con un motor logra simular todo el movimiento. Esto se refleja al momento de realizar el estudio en SolidWorks, pues el mecanismo se logra controlar solo con la implementación de un motor, que gira en 10rpm, en la pieza sujeta a la articulación fija. Realizado el estudio de movimiento, los gráficos entregados de desplazamiento, velocidad y aceleración del punto P son semejantes a los gráficos obtenidos de manera analítica, esto indica
que
los
resultados
son confiables
y
que
la
simulación
cumple
satisfactoriamente con el análisis, pues el comportamiento de las curvas es el mismo. Cabe destacar que el yugo escocés se diferencia de la manivela simple porque el movimiento de salida lineal describe una trayectoria senoidal como se aprecia en los resultados obtenidos. En otras palabras, el trabajo cumple con la finalidad de comprender la importancia que adquiere la simulación de movimientos mediante el software SolidWorks, demuestra ser un programa eficaz y útil para realizar distintas operaciones que se encuentren relacionadas al área de la ingeniería, lo que lo convierte en una herramienta potente para los ingenieros.
Bibliografía Modelación de sistemas mecánicos [en línea]. [Consulta: 05-01-2016]. Disponible en: < http://lim.ii.udc.es/docencia/phd-meccomp/capitulo1.pdf> 12
Asignatura de sistemas mecánicos. Mecanismos 1 [en línea]. [Consulta: 05-01-2016]. Disponible en:
13
