mecanismo yugo escoces

Práctica de máquinas

Amalia Luque Sendra

Índice

Introducción __________________________________________________________2 Análisis Cinemático ____________________________________________________3 Análisis dinámico ______________________________________________________6 Anexos _____________________________________________________________11 •

•

••

Cálculo de s,

s,

s y sus gráficas _________________________________________ 11

•

•

••

Cálculo de h,

h,

h y sus gráficas _________________________________________ 12

•

Cálculo del momento motriz y su gráfica _____________________________________ 14

•

Cálculo del trabajo realizado por el momento motriz y su gráfica__________________ 15

•

Cálculo de la energía cinética y su gráfica ____________________________________ 16

•

Cálculo de la energía potencial y su gráfica ___________________________________ 17

•

Cálculo del trabajo resistivo y su gráfica _____________________________________ 18

• Cálculo del momento motriz y el trabajo por él realizado, en presencia de fricción con sus gráficas ___________________________________________________________________ 19 •

Cálculos para la comprobación ____________________________________________ 21

Movimiento del mecanismo _____________________________________________23 Comprobación _______________________________________________________25

Página 1


Amalia Luque Sendra

Introducción El yugo escocés realiza básicamente la misma función que una manivela simple, pero el movimiento de salida lineal es una sinusoide pura. Según la definición del Mechanical Engineering, se entiende por yugo escocés “an apparatus with a four-bar linkage arrangement that converts rotary motion into simple harmonic motion” (un aparato con un mecanismo de cuatro barras que convierte un movimiento rotatorio en un movimiento armónico simple). Vamos a analizar el movimiento de este mecanismo desde el punto de vista cinemático y dinámico, durante una vuelta completa de la barra de entrada. Al dar dicha barra una vuelta completa, el movimiento lineal armónico de salida cubre un periodo completo 1. Podemos ver varias posiciones diferentes del mecanismo en el anexo. Observamos también, y así se puede constatar mediante los cálculos que siguen, que las velocidades del pasador y la del seguidor son las proyecciones de la velocidad del disco según las direcciones de los ejes coordenados. Todos los programas que se han usado para generar las funciones y las gráficas se adjuntan en un disquete, en formato Mathematica.

1

Se puede ver la animación de dicho movimiento en el disquete que adjunto, bajo el nombre de animación.nb (archivo de Mathematica).

Página 2


Amalia Luque Sendra

Análisis Cinemático El yugo escocés está compuesto de varias piezas, que nosotros vamos a nombrar como sigue: • • • •

Pieza 1: Barra fija Pieza 2: Barra de entrada Pieza 3: Pasador vertical Pieza 4: Seguidor

En el mecanismo se supone que la barra de entrada evoluciona con velocidad constante durante el recorrido considerado, por tanto ϕ = ϕ0 + ω⋅ t ; siendo ωla velocidad angular, constante, y ϕ y ϕ0 los valores iniciales y finales del ángulo que indica la posición de la barra de entrada. Calculamos la posición, velocidad, y aceleración de la barra de salida en función del tiempo, para una vuelta completa. Para ello tomo como valor numérico para ωel último dígito de mi DNI. Como mi DNI es 28811584, ω = 4 rad s . 3 2

Para todos los cálculos se toma como origen de coordenadas el punto O.

r h

j

4

K

o

M

s

Por la geometría del problema deducimos que r ⋅ cos ϕ(t ) = s (t ) r ⋅ sen ϕ( t ) = h( t ) Derivando respecto al tiempo obtenemos •

•

− r ⋅ sen [ϕ(t ) ]⋅ ϕ (t ) = s (t ) •

•

r ⋅ cos[ϕ(t )] ⋅ϕ (t ) = h ( t ) De donde obtenemos la velocidad de salida (horizontal), así como la velocidad vertical del pasador: Página 3


Amalia Luque Sendra •

v salida = −r ⋅ sen[ϕ(t ) ]⋅ ϕ (t ) Sustituyendo por los valores numéricos

r = 200 mm •

ϕ=4

rad

s

obtenemos la velocidad de salida. •

Representamos la posición de la barra de salida (s) y su velocidad (s ) en sendas gráficas: s H mm L 200 100

0.25

0.5

0.75

1

1.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

tHsL

-100 -200

sp H mm • s L 750 500 250 0.25

1.5

t H sL

-250 -500 -750

Del mismo modo, aunque no son pedidas, representamos la posición (h) y velocidad •

( h ) del pasador: h Hmm L 200

100 tH s L 0.25

0.5

0.75

1

-100

-200

Página 4

1.25

1.5


Amalia Luque Sendra h H mm • s L ×

750 500 250 0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

t Hs L

-250 -500 -750

Derivando de nuevo las ecuaciones de la velocidad obtenemos • 2

••

••

• 2

••

••

− r ⋅ cos[ϕ( t ) ]⋅ ϕ − ϕ⋅ r ⋅ sen [ϕ(t ) ] = s

− r ⋅ sen [ϕ(t ) ]⋅ ϕ + ϕ⋅ r ⋅ cos[ϕ(t )] = h •

••

Teniendo en cuenta que ϕ = ω = cte ⇒ ϕ = 0 y las ecuaciones quedan • 2

••

• 2

••

− r ⋅ cos[ϕ(t )] ⋅ϕ = s

− r ⋅ sen [ϕ(t ) ]⋅ ϕ = h

••

Por último representamos la aceleración horizontal de la barra de salida ( s ) y la ••

aceleración vertical del pasador ( h ). s p 2 H mm • s 2 L 3000 2000 1000 0.25

0.5

0.75

1

1.25

0.75

1

1.25

1.5

tH sL

-1000 -2000 -3000

h H mm • s 2 L

××

3000 2000 1000

tHsL 0.25

0.5

-1000 -2000 -3000

Página 5

1.5


Amalia Luque Sendra

Análisis dinámico Calculamos el par motriz (M) en función del tiempo, cuando el mecanismo efectúa una vuelta completa y está sometido a la fuerza resistente del muelle. Para ello, elijo los siguientes valores de las masas: m2 = 2 Kg m3 = 1 Kg m4 = 10 Kg El centro de gravedad de la barra 1 está en punto fijo O (dicha barra se puede considerar como un disco que efectúa una rotación pura). El centro de gravedad del pasador 3 está en el punto medio de dicho pasador, y el del seguidor 4 está en eje se simetría de dicho seguidor, coincidiendo con el eje x. Representamos la evolución frente al tiempo del par motriz, el trabajo desarrollado por éste, la energía cinética del sistema, la energía potencial gravitatoria y el trabajo de la fuerza resistente. La fuerza resistente es la provocada por el muelle. El valor numérico de la rigidez será el del penúltimo dígito del DNI, en mi caso 8 KN m. Posteriormente realizo los mismos cálculos suponiendo que en la deslizadera existe fricción, siendo el coeficiente µ = 0.2 . En primer lugar calculamos el valor del momento motriz M: •

•

• ••

• ••

• ••

M ⋅ ϕ− Fmuelle ⋅ s − m3 ⋅ h⋅ h − m 3 ⋅ s ⋅ s − m 4 ⋅ s⋅ s + m 3 ⋅ h& ⋅ g = 0 En esta ecuación de potencias virtuales no incluimos el término debido a la masa 2 porque su centro de gravedad es un punto fijo. Por otra parte, tampoco añadimos el término causado por la masa 4, pues su velocidad es horizontal y la gravedad es vertical. Despejando M: •

M=

• ••

• ••

• ••

Fmuelle ⋅ s + m3 ⋅ h⋅ h + m 3 ⋅ s ⋅ s + m4 ⋅ s ⋅ s •

•

=

•

••

• ••

k ⋅ ( r + s ) ⋅ s + m3 ⋅ h⋅ h +( m3 + m4 ) ⋅ s⋅ s − m3 ⋅ h& ⋅ g

ϕ

•

ϕ

Representamos el momento respecto al tiempo:

Página 6


Amalia Luque Sendra

Momento HN*mL 3´10 6 2´10 1´10

6 6

tHsL 1

2

3

4

-1 ´10 6 -2 ´10

6

-3 ´10

6

Sabemos por otra parte que el trabajo desarrollado por dicho par es •

W = ∫ M ⋅ dϕ = ∫

• ••

k ⋅ ( r + s ) ⋅ s + m3 ⋅ h⋅ h + ( m3 + m4 ) ⋅ s& ⋅ &s& − m3 ⋅ h& ⋅ g •

⋅ dϕ

ϕ

y la evolución del trabajo respecto al tiempo es la siguiente: Trabajo

motriz HN*mL

1.5 ´10

6

1´10 6 500000 t 1

2

3

4

-500000 -1´10 6 -1.5 ´10

6

Sabemos que la energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de cada componente, es decir, Ec = Ec2 + Ec3 + Ec4 . Calculamos por separado cada una de esas energías: • 2 1 Ec 2 = I G ϕ 2 • 2 •2 1 Ec 3 = m 3 ( h + s ) 2 •2 1 Ec 4 = m4 s 2 Necesitamos calcular el tensor de inercia del disco.

Página 7


Amalia Luque Sendra  1 ⋅ m2 ⋅ r 2  4 I G = 0  0 

  1 ⋅ m ⋅ r2  0 4 2  2 1 0 2 ⋅ m2 ⋅ r  0

0

Y por lo tanto la energía cinética queda Ec =

•2 • 2 1 •2 m h + ( m + m ) s + I ϕ 3 4 G  2  3 

Y su representación gráfica es la siguiente: Energía

cinética

H JL

3.5´ 10 6 3 ´ 10 6 2.5´ 10

6

2 ´ 10 6 1.5´ 10 6 1

2

3

4

tH sL

Por otra parte la energía potencial gravitatoria del sistema es la suma de las energías potenciales de cada una de las piezas, es decir, Ep = Ep2 + Ep3 + Ep4 . Si tomamos como origen de potencial el eje x, sólo tiene energía potencial no nula el pasador, pues tanto la barra de entrada como el seguidor tienen su centro de masas permanentemente en dicho eje (aunque el centro del seguidor no es un punto fijo, realiza un movimiento horizontal). Ep = m3 ⋅ g ⋅ h que representado respecto al tiempo queda:

Página 8


Amalia Luque Sendra

Energía

HJ L

potencial 2000

1000

1

2

3

tHs L

4

-1000

-2000

El trabajo de la fuerza resistente es el realizado por el muelle, así W resistente = ∫ Fmuelle ⋅ ds cuya representación es

Trabajo

resistivo

HN * m L

100000 1

2

3

4

tH s L

-100000 -200000 -300000 -400000

Por último, si consideramos que existe fricción en la deslizadera, el momento motriz y el trabajo realizado por este cambian, y quedan de la siguiente forma: •

M=

• ••

• ••

• ••

•

Fmuelle ⋅ s + m3 ⋅ h⋅ h + m 3 ⋅ s ⋅ s + m4 ⋅ s ⋅ s − m 3 ⋅ h& ⋅ g + µ ⋅ N ⋅ h ,

•

ϕ donde la normal N se debe calcular por equilibrio. N 34 Fx

Página 9


Amalia Luque Sendra

Haciendo un equilibrio de fuerzas horizontales en el seguidor obtenemos que •• r r r N − Fx = m 4 ⋅ a 4 = m 4 ⋅ s

De esta ecuación podemos obtener la normal y con ella el momento:

M=

• • •• • •• • •• •• • r Fmuelle ⋅ s + m3 ⋅ h⋅ h + m 3 ⋅ s⋅ s + m4 ⋅ s⋅ s − m3 ⋅ h& ⋅ g + µ ⋅ (m 4 ⋅ s + Fmuelle ) ⋅ h

,

•

ϕ W = ∫ M ⋅ dϕ Si los representamos frente al tiempo obtenemos las siguientes gráficas:

Momento HN*mL 4 ´10

6

3 ´10 6 2 ´10

6

1 ´10 6

t HsL 1

-1 ´10

6

-2 ´10

6

2

3

2

3

4

Trabajo HJL

2.5 ´10

8

2´10 8

1.5 ´10

8

1´10

8

5´10

7

tHsL 1

Página 10

4


Amalia Luque Sendra

Anexos •

Cálculo de s,

j=

p +4 t; 2

j0 =

jf =

p

•

s,

••

s y sus gráficas

;

2 5p ; 2

s = r Cos @ jD ; sp = ¶t s sp2 = ¶t sp r = 200; j0 t0=

p 2

;

4 jf -

p 2

tf=

;

4 g1 = Plot@ s, 8 t, t0, tf< , AxesLabel ® 8"tHsL", "sH mmL "
s H mm L 200 100

0.25

0.5

0.75

1

-100 -200

Página 11

1.25

1.5

tH s L


Amalia Luque Sendra sp H mm • s L 750 500 250 0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.25

1.5

tHsL

-250 -500 -750

sp2 H m m • s 2 L 3000 2000 1000 0.25

0.5

0.75

1

-1000 -2000 -3000

•

Cálculo de h,

•

h,

••

h y sus gráficas

Clear @rD; p j= +4 t; 2 p Sj0 = ; 2 5p jf = ; 2 h = r Sin @ jD ; hp = ¶t h hp2 = ¶t hp r = 200; j0 - p 2 t0= ; 4 jf - p 2 tf= ; 4 g1= Plot@ h, 8 t, t0, tf< , AxesLabel ® 8"tH sL", "hH mmL "
g2= PlotA hp, 8t, t0, tf<, AxesLabel ® 9 "tH sL ", "hH mm•sL"=E; ×

g3 = PlotA hp2, 8 t, t0, tf< , AxesLabel ® 9"tHsL", "hH mm•s2 L"=E ; ××

Página 12

tHsL


Amalia Luque Sendra

h H mm L 200

100 tHsL 0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

0.5

0.75

1

1.25

1.5

-100

-200

hH mm • sL ×

750 500 250 0.25

t Hs L

-250 -500 -750

h H mm • s 2 L

××

3000 2000 1000

tHsL 0.25

0.5

0.75

1

-1000 -2000 -3000

Página 13

1.25

1.5

Práctica de máquinas •

Amalia Luque Sendra

Cálculo del momento motriz y su gráfica

j=

j0 =

p + 4 t; 2 p ; 2

jp = 4;

jf =

5p ; 2

s = r Cos @ jD ; sp = ¶t s; sp2 = ¶t sp;

h = r Sin @ jD ; hp = ¶t h; hp2 = ¶t hp; r = 200; j0 t0=

p 2

;

4 jf tf =

p 2

;

4

k = 8; m3 = 1; m4 = 10; g = -9.81;

m=

k H r + sL sp + m3 * hp * hp2 + H m3 + m4L * sp * sp2 - m3 * hp * g jp

g1= Plot@ m, 8t, t0, 3*tf< , AxesLabel ® 8"tH sL ", "MomentoH N*m L"
Momento HN*m L 3 ´10

6

2 ´10

6

1 ´10

6

-1 ´10

6

t HsL 1

2

3

-2 ´106 -3 ´10

6

Página 14

4


Amalia Luque Sendra

Cálculo del trabajo realizado por el momento motriz y su gráfica

jp = 4; j0 =

p ; 2

s = r Cos @ jD ;

sp= -rSin @ jD *jp;

sp2 = -r Cos @jD *jp *jp; h = r Sin @ jD ;

hp= r Cos @jD *jp;

hp2 = -r Sin @jD *jp *jp; r = 200; k = 8; m3 = 1; m4 = 10;

m=

k H r + sL sp + m3* hp* hp2 + H m3+ m4L *sp *sp2 + 9.81* hp

;

jp

w = à m âj; j=

p + 4 t; 2

w t0= 0;

tf=

p ; 2

g1= Plot@ w, 8t, t0, 3*tf< , AxesLabel ® 8 "t", "Trabajo motrizH N*m L"
Trabajo

motriz HN *mL

1.5 ´10 6 1 ´10 6 500000 t 1

2

-500000 -1 ´10 6 -1.5 ´10

6

Página 15

3

4


Amalia Luque Sendra

Cálculo de la energía cinética y su gráfica

j =

p

+ 4 t;

2 j0 =

p

;

2 j p = 4;

jf =

5 p

;

2 s = r Cos @ j D ; sp = ¶ t s; r = 200;

t0 =

j0 -

p 2

;

4

tf =

jf -

p 2

;

4 h = r Sin @ j D ; hp = ¶ t h; m2 = 2; m3 = 1; m4 = 10; ec = 0.5 I m3 * hp2 + H m3 + m4 L * sp2 + 0.5 * m2 * r2 * j p2 M g1 = Plot@ ec, 8 t, t0, 3 * tf< , AxesLabel ® 8 "t H sL ", " Energía cinética H JL "< D ;

Energía 3.5 ´ 1 0

cinética 6

3´10 2.5 ´ 1 0

6

6

2´10 1.5 ´ 1 0

HJL

6

6

1

2

Página 16

3

4

tHsL


Amalia Luque Sendra

Cálculo de la energía potencial y su gráfica

j =

p

+ 4 t;

2

j0 =

p

;

2

jf =

5 p ; 2

h = r S i n@ j D ; r = 200;

t0 =

j0 -

p 2

;

4

tf =

jf -

p 2

;

4 m3 = 1 ; g = 9.81; ep = m3 * g * h g1 = P l o t@ ep , 8 t , t0 , 3 * tf < , A x e s L a b e l ® 8 " tH sL " , " E n e r g í a

Energía

p o t e n c i a lH J L " < D ;

H JL

potencial 2000 1000

1

2

-1000 -2000

Página 17

3

4

tHs L


Amalia Luque Sendra

Cálculo del trabajo resistivo y su gráfica

r = 200;

t0 =

p 2

j0 -

;

4 p

jf -

2

tf=

;

4 k = 8;

w = à -k Hr + sL âs s = r Cos @ jD ; j=

j0 =

p +4 t; 2 p

;

2 jf =

5p ; 2 i k

w = -8 200 s +

s2 y ; 2 {

g1= Plot@ w, 8t, t0, 3*tf< , AxesLabel ® 8 "tH sL ", "Trabajo resistivoH N*m L"
Trabajo

resistivo HN*mL

100000 1

2

-100000 -200000 -300000 -400000

Página 18

3

4

tHs L


Amalia Luque Sendra

Cálculo del momento motriz y el trabajo por él realizado, en presencia de fricción con sus gráficas

s = r Cos @ jD ;

sp= -rSin @ jD *jp;


hp= r Cos @jD *jp;

hp2 = -r Sin @jD *jp *jp; r = 200; jp = 4; k = 8; m3 = 1; m4 = 10; m = 0.2; g = -9.81; n = m4*sp2 +k H r + sL; k H r + sL sp + m3 *hp* hp2 + H m3+ m4L *sp *sp2 - m3* g*hp -m *n*hp ; jp

m=

H* Nota: El término del rozamiento lo pongo negativo porque se puede comprobar

que el producto de la normal por la velocidad vertical es siempre negativo*L

w = à m âj

j=

p +4 t; 2

j0 =

p ; 2

jf =

5p ; 2 j0 -

t0=

p 2

;

4 jf tf=

p 2

;

4 g1= Plot@ m, 8t, t0, 3*tf< , AxesLabel ® 8 "tH sL ", "MomentoH N*m L"
Página 19


Amalia Luque Sendra

Momento HN*mL 4´10

6

3´10 6 2´10

6

1´10 6 tHsL 1 -1 ´10

2

3

4

2

3

4

6

-2 ´10 6

Trabajo HJL

2.5 ´10 8

2´10 8

1.5 ´10 8

1´10

8

5´10 7 tHsL 1

Página 20


Amalia Luque Sendra

Cálculos para la comprobación

r = 200; p 2

j0 t0=

;

4 p

jf -

2

tf=

;

4 k = 8;

wr = à -k Hr + sL âs; s = r Cos @ jD ; r = 200; j0 =

p ; 2

jf =

5p ; 2 i k

wr = -8 200 s +

s2 y ; 2 {

jp = 4; j0 =

p ; 2

s = r Cos @ jD ;

sp= -r Sin @ jD * jp;


hp= r Cos @jD *jp;

hp2 = -r Sin @jD *jp *jp; r = 200; k = 8; m3 = 1; m2 = 2; m4 = 10;

m=

k H r + sL sp + m3 *hp*hp2 + H m3+ m4L *sp *sp2 + 9.81* hp jp

;

wm = à m âj;

Página 21


j=

Amalia Luque Sendra

p + 4 t; 2

t0= p; tf= 1.1 * p; ep= m3*9.81*h;

ec= 0.5 I m3*hp2 + H m3 + m4L *sp2 + 0.5 * m2*r2 *jp2M ; c = wm + wr- ec -ep g1= Plot@ c, 8 t, t0, tf
- 2 . 3 2

´ 1 0

6

- 2 . 3 2

´ 1 0

6

- 2 . 3 2

´ 1 0

6

- 2 . 3 2

´ 1 0

6

3 . 1 5

3 . 2 5

3 . 3

3 . 3 5

Página 22

3 . 4

3 . 4 5


Amalia Luque Sendra

Movimiento del mecanismo Muestro en esta sección el movimiento del yugo escocés, generado mediante el siguiente código: r = 200; anchopasador = 10; altopasador = 15; anchoseguidor = 12; altoseguidor = 450; largoseguidor = 500; dt = p • 10; tf = p • 2;

ForAt = 0, t < tf, t = t + dt, 9

j=

p

+ 4 t; 2 xp = r Cos@jD; yp = r Sin@jD;

linea = Graphics@Line@880, 0<, 8xp, yp<
pasador = Graphics@8GrayLevel@0D, Rectangle@8xp1, yp1<, 8xp2, yp2
xs1 = xp - anchoseguidor• 2; ys1 = altoseguidor• 2; xs2 = xp + anchoseguidor• 2; ys2 = -altoseguidor• 2;

seguidor = Graphics@[email protected], Rectangle@8xs1, ys1<, 8xs2, ys2
seguidor2 = Graphics@[email protected], Rectangle@8xs3, ys3<, 8xs4, ys4
xmax = 1.1 Hr + anchoseguidor • 2 + largoseguidorL; ymin = 1.1 H-altoseguidor • 2L; ymax = 1.1 Haltoseguidor • 2L;

PlotRange -> 88xmin, xmax<, 8ymin, ymax<
Show@linea, seguidor, pasador, seguidor2, =E;

Página 23


Amalia Luque Sendra

De este modo generamos una serie de posiciones sucesivas del mecanismo, de manera que al mostrarlas una a continuación de la otra se produce la animación del mecanismo y podemos visualizar su movimiento.

Página 24


Amalia Luque Sendra

Comprobación Para cerciorarnos de que los resultados obtenidos son correctos, comprobamos que debe cumplirse que la suma de las energías potencial y cinética sea igual a las suma de los trabajos resistivo y motriz, salvo constante. E c + E p = Wr + Wm + C Para comprobar este resultado generamos la función C y comprobamos que es constante (salvo errores infinitesimales). C = E c + E p − Wr − Wm Representando C respecto al tiempo en un rango apropiado obtenemos la siguiente gráfica:

- 2 . 3 2

´ 1 0

6

- 2 . 3 2

´ 1 0

6

- 2 . 3 2

´ 1 0

6

- 2 . 3 2

´ 1 0

6

3 . 1 5

3 . 2 5

3 . 3

3 . 3 5

3 . 4

3 . 4 5

Donde podemos observar que la función C resulta ser efectivamente contante excepto pequeñas oscilaciones en los puntos de enlace.

Página 25

mecanismo yugo escoces

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