Tarea 3: Polarización y álgebra de Jones

Ricardo Alejos Teoría Electromagnética II

Tarea 3 Polarización y matrices de Jones.

Ejercicio 1 Dos ondas linealmente polarizadas están en fase pero tienen diferentes amplitudes en



:

    ̂    ̂     ̂    ̂     

Demuestre que la suma

es también una onda linealmente polarizada

y encuentre su dirección de polarización. La suma de ambas ondas resulta en:

   [     ̂]  [    ̂      ̂]   ̂            ̂  (  )    ̂ Y dado que ambas componentes de la onda resultante están en fase podemos decir que está

linealmente polarizada . El ángulo de polarización componente





lo podemos obtener con la tangente inversa de la división de la



entre la componente :

   

Ejercicio 2 Demuestre

que

una

onda

elípticamente

    ̂     ̂

(siendo



polarizada

en



por

el desfase entre ambas compo-

nentes)puede descomponerse como la suma de una onda linealmente polarizada y una circularmente polarizada.

1

Ricardo Alejos Teoría Electromagnética II En general, las ondas que son linealmente polarizadas cuando el ángulo de desfase entre sus componentes es

  o

. Por otra parte, las ondas que están circularmente polarizadas

tienen sus dos componentes iguales y tienen un ángulo de desfase de

  ⁄

entre ellas.

      ̂     ̂   ̂   ̂       ̂   *     + ̂ ̂    ̂

Consideremos una onda linealmente polarizada que:

y una onda circularmente polarizada

tal

Pero aplicando a esta última la identidad trigonométrica nos queda:

De modo que al sumar ambas obtendremos:

  [   ̂      ̂]     ̂ ]  [̂         ̂  [     ]̂  ⁄  ⁄  ⁄√             ̂  √ √  [     ]̂       ̂  √     √    √  ̂       ̂  √  *      + ̂

A estas alturas quizá podríamos considerarnos en un problema ya que estamos desprovistos de alguna forma de simplificar la componente término por

, no obstante podemos multiplicar y dividir dicho

para ahora sí poder simplificar utilizando de nueva

cuenta la identidad

.

     ̂  √ ( ( )  ̂

Puesto que en general las componentes tienen magnitudes distintas y además están desfasadas podemos decir que



es una onda polarizada elípticamente.

Ejercicio 3 Utilizando las matrices de Jones determine: 2

Ricardo Alejos Teoría Electromagnética II

(a) El efecto de un polarizador lineal de transmisión horizontal sobre luz incidente

   

linealmente polarizada en la dirección . (b) El efecto de un polarizador lineal de transmisión vertical sobre luz incidente linealmente polarizada en la dirección .

(c) El efecto de un polarizador lineal de transmisión a nealmente polarizada en la dirección .



sobre luz incidente li-

(d) El efecto de un polarizador circular de transmisión dextrógira sobre luz incidente linealmente polarizada en la dirección . En general las matrices de Jones se utilizan para modelar la acción de un elemento polarizador sobre una onda incidente. Estas matrices tienden a describir espacios vectoriales ortonormales: sus vectores columna tienen norma unitaria y además son linealmente independientes entre ellos. Si se tiene una onda polarizada incidente

̃

que pasa a través de un medio polarizador con

ciertas propiedades descritas por la matriz (de Jones) resultante del otro lado del polarizador

̃



entonces la onda que se obtiene como

se pude obtener mediante

̃  ̃

.

Obedeciendo al enunciado del problema, consideremos entonces una onda incidente lineal-



mente polarizada en la dirección , cuyo vector de Jones es:

̃  

Inciso (a) La matriz de Jones para el efecto de transmisión horizontal es:

De modo que el efecto sobre

̃

    ̃  ̃         

se modela matemáticamente mediante la siguiente operación:

 

Así entonces podemos decir que este polarizador ha dejado intacta a la onda.

Inciso (b) La matriz de Jones para el efecto de transmisión vertical es: 3

De modo que el efecto sobre

̃

    ̃  ̃         

Ricardo Alejos Teoría Electromagnética II

se modela matemáticamente mediante la siguiente operación:

 

Lo que nos muestra que este polarizador ha impedido completamente el paso de la onda

Inciso (c)

      ̃ ̃    ̃       

La matriz de Jones para el efecto de transmisión a

De modo que el efecto sobre

̃

es:

se modela matemáticamente mediante la siguiente operación:

  

De modo que este polarizador sólo deja pasar cierta porción de la onda, pero ahora con una polarización polarización a



.

Inciso (d) La matriz de Jones para el efecto de transmisión circular dextrógiro es:

De modo que el efecto sobre

̃

      ̃  ̃       

se modela matemáticamente mediante la siguiente operación:

  

De modo que este polarizador deja pasar una onda polarizada circularmente hacia la derecha (sentido dextrógiro).

4

Ricardo Alejos Teoría Electromagnética II

Ejercicio 4 En qué secuencia colocaría dos polarizadores cuyas matrices de Jones son:

       ⁄    Para producir luz circularmente polarizada de un haz de luz no polarizado:

̃  √   Si colocamos primero



 (̃)   √       √   ⁄      √      ⁄

y luego

obtendremos:

 √   

Note entonces que nuestro resultado con esta combinación ha resultado en un haz de luz polarizado circularmente en sentido levógiro, con ambas componentes desplazadas

5

 ⁄

radianes.