` DE CALDAS UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS E TEORIA DE NUMEROS 2 ALEXIS YESID TARAZONA RINCON CODIGO: CODIGO: 20101167011 20101167011 1) Demostrar que 6 n, si y solo si, 2 n y 3 n. Demostracion: n 0(mod 6) n 0(mod 3) y n 0(mod p) luego 6 lo puedo factorizar como 2 3 entonces: n 0(mod 3 2) por propiedad en al congruencia lo anterior se puede expresar como: n 0(mod p) y n 0(mod p) lo cual era lo que queria demostrar.
|
≡ ≡ ≡
|
↔ ≡ ∗ ≡
|
≡ ∗
2) Expresando los enteros positivos en el sistema de numeracin con base 100, deducir un criterio de divisibilidad por 101. Soluci`on: on: Sea 101 1(mod 100) tengo que para todo n expresado en base 100 sera congruente con cero en modulo 101 si: n0 n(mod 101) donde n expresado en base 100, n = 0 y n debe cumplir que las unidades en base 100 sea igual a las centenas en base 100 y que sus decenas sean igual a 0 en base 100.
≡
≡
3) En Z 7 resolver las ecuaciones 3x + 4 = 1 y x2 + 2 x + 6 = 0. 1) (3x + 4 = 1) = 3x + 4 + 3 = 1 + 3 = 3x = 4 = 3x
×5 = 4×5
=x=6 2) x2 + 2x + 6 = 0
−(2) ± x=
22
2(1)
− 4(6)
√ 4 − 3 ± x= 2 √ 5± 4+4 5
x=
x=
2
5
± √ 1 2
1
5+1 =3 2 5 1 =2 x2 = 2 4) Encuentre la raz digital de un numero cuadrado. Solucion: 5) Encuentre el valor posible de la raz digital de un numero cubico. Solucion: 6) Pruebe que si la raz digital de un entero n es 9 entonces, la raz digital. de cualquier multiplo tambien es 9. Demostracion: 7) Construya el diseo modular (17, 9). Solucion: 8) Calcule el Check Digit de los n` umeros 79002966 y 88049338. Solucion: 1) Check digit de 79002966: x1 =
−
(7, 9, 0, 0, 2, 9, 6, 6)(7, 3, 9, 7, 3, 9, 7, 3) (mod 10) [7 7] + [9 3] + [0 9] + [0 7] + [2 3] + [9 9] + [6 7] + [6 3]
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
49 + 27 + 0 + 0 + 6 + 81 + 42 + 18
≡ 3(mod 10) 2) Check digit de 88049338: (8, 8, 0, 4, 9, 3, 3, 8)(7, 3, 9, 7, 3, 9, 7, 3) (mod 10) [8 7] + [8 3] + [0 9] + [4 7] + [9 3] + [3 9] + [3 7] + [8 3]
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
56 + 24 + 0 + 28 + 27 + 27 + 21 + 24
≡ 7(mod 10) 9) Usando el ISBN calcule el Check Digit de 087620321 y 020157889. Solucion: 1) El Check digit en ISBN de 087620321 :
−(0, 8, 7, 6, 2, 0, 3, 2, 1)(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2)(mod11) −([0 ∗ 10]+[8 ∗ 9]+[7 ∗ 8]+[6 ∗ 7]+[2 ∗ 6]+[0 ∗ 5]+[3 ∗ 4]+[2 ∗ 3]+[1 ∗ 2]) −(0 + 72 + 56 + 42 + 12 + 0 + 12 + 6 + 2) ≡ −5 (mod 11) 2
≡ 6(mod 11)
2) El Check digit en ISBN de 020157889:
−(0, 2, 0, 1, 5, 7, 8, 8, 9)(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2)(mod11) −([0 ∗ 10]+[2 ∗ 9]+[0 ∗ 8]+[1 ∗ 7]+[5 ∗ 6]+[7 ∗ 5]+[8 ∗ 4]+[8 ∗ 3]+[9 ∗ 2]) 0 + 18 + 0 + 7 + 30 + 35 + 32 + 24 + 18
≡ −10 (mod 11) ≡ 1 (mod 11)
10) Hallar la solucion general de las ecuaciones Diofanticas 10x + 14y = 8 . 20y
− 15x = 100
. 11) Una seora compro 100 frutas por 5000. Las ciruelas le costaron 25, las manzanas 150 y las pitahayas 500. Cuantas frutas de cada clase compro?. Solucion: 12) Resolver los sistemas de congruencias:
≡ 2(mod3) x ≡ 5(mod7) x ≡ 5(mod8) x
.
≡ 3(mod5) x ≡ 6(mod7) x ≡ 4(mod9) x ≡ 8(mod11) x
.
≡ 2(mod7) x ≡ 6(mod9) x ≡ 9(mod14) x
.
3
4x + 5y
≡ 7(mod17) 7x + 12y ≡ 4(mod17) x + 2y + 16z
≡ 4(mod19) x + 3 y + z ≡ 11(mod19) 2x + 5y + 15z ≡ 9(mod19) . 13) Hallar el menor entero positivo que deja residuos 2, 7 y 10 cuando se divide por 3, 10 y 13. 14) Hay una pila de ladrillos. Si se divide en dos partes sobra un ladrillo, si se divide en tres partes sobran 2 ladrillos, cuando se divide en cuatro partes sobran 3 ladrillos, si se divide en doce partes sobran 11 ladrillos, pero cuando se divide en trece partes no sobran ladrillos. Cual es el menor numero de ladrillos que puede haber en la pila?. 15)Probar que para todo entero positivo n, existen n enteros consecutivos a1, a2 ,...,an tales que pi ai donde pi representa el iesimo primo. Demostraci`on
|
a1 = x0
≡ 0((modp )
a2 = x0 + 1
2
1
2
≡ 0((modp ) 2
16) Demostrar que para cada entero positivo n, se pueden encontrar n enteros consecutivos divisibles por cuadrados perfectos. 17). Sea p un numero primo y a, b enteros no negativos tales que a + b = p 1. Demuestre que a!b! (1)b+1 (mod p)
−
≡
4
